Весовая ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Шамбилова, Гулдарья Эрмаковна

• Шамбилова, Гулдарья Эрмаковна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Шамбилова, Гулдарья Эрмаковна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ § 1.1. Редукционные теоремы для монотонных операторов

операторов

Глава 2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ § 2.1. Дискретные и интегральные критерии ограниченности квазилинейных операторов на конусах монотонных

функций

§ 2.2. Прямой метод исследования интегральных неравенств для квазилинейных операторов на конусе монотонных

функций

Глава 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ КВАЗИВОГНУТЫХ ФУНКЦИЙ

§ 3.1. Квазивогнутые функции

§ 3.2. Неравенство Харди на конусе квазивогнутых

функций

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Весовая ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций»

ВВЕДЕНИЕ

Неравенство Харди и его приложения положили начало новому направлению в изучении неравенств в классическом анализе, относящееся к дифференциальным и интегральным уравнениям.

В 1925 г. Г. Г. Харди [39] получил следующий результат: Пусть р>1,/>0«/р- суммируемая функция на (0, со). Тогда выполнено неравенство

Эта первоначальная форма интегрального неравенства Харди позже была существенно обобщена. Ниже мы приводим основные факты развития теории.

Пространство Лебега Ь^(а,Ь), 0 < р < оо, состоит из всех измеримых функций, таких что

н/||«:= (£\ты*)<ьу<оо

при 0 < р < со и

||/|и« := езэ8ир|/(х)|и(х) < оо.

а<х<Ь

Здесь и{х) > 0— измеримая весовая функция. Для краткости мы часто будем писать ^\/\ри^Р . Весовое интегральное неравенство типа Харди в пространстве Лебега имеет вид

1 , 1 Я \ ч / гЬ \ Р

и{х)йх )<с( \/\рь , (0.0.1)

где —со < а < Ь < оо, 0 < < оо, 1 < р < -оо, и, V— измеримые весовые функции, положительные почти всюду на (а, Ь). Задача харак-теризации данного неравенства состоит в нахождении необходимых

и достаточных условий (критериев) на весовые функции и и г> для выполнения неравенства (0.0.1). Эти критерии для различных значений параметров р и <7 можно найти в работах [48] [42], [6], [49], [58],

Обозначим р' := ^ при 1 < р < оо, р' 1 при р = оо и р' := оо при р = 1. А также мы пишем А ж В, если с\А < В < С2А, где константы С{ зависят только от параметров суммирования.

Теорема А. Для наилучшей константы в неравенстве (0.0.1) выполнена оценка С ~ Д-, 1 = 1,2,3, где (г) при 1 < р < д < оо

Аналогичные критерии были получены для двойственного неравенства, которое имеет вид:

Пусть 0 < р < оо и >0 измеримая весовая функция на

[0;+оо). Пространство Лоренца А.р(ю\ определяется в виде

[57], [64].

(и) при O<<7<P<00, O<<7<I<P<00

(гу) при 0 < <7 < 1 = р

где /* - невозрастающая перестановка измеримой функции /, определенная по формуле

ПО := Ы{у > 0 : АД*,) < *},

где Л/ - функция распределения:

Л/(у) := тез{а; е X : |/(х)| > у].

С начала 90-х годов прошлого столетия начали интенсивно изучаться задачи об ограниченности классических операторов в пространтвах Лоренца, что привело к необходимости характеризовать весовые интегральные неравенства типа Харди на конусе монотонных функций. Например, известно, что максимальный оператор Харди - Литтлвуда

где супремум берется по всем шарам В с центром в точке х € , допускает двустороннюю оценку

г Jo

поэтому ограниченнность оператора М : Ар(у) —> Ая(и), 1 < р, < оо, эквивалентна ограниченности оператора Харди

действующего из £р(г>) в Ья(и), 0 < р, < оо, на конусе неотрицательных убывающих функций.

В 1990 г. М. Ариньо и Б. Мукенхаупт [17] получили критерий указанной ограниченности при 1<р<ооии = у. В дальнейшем Е. Сойер [56] обобщил результаты М.-Ариньо и Б. Мукенхаупта для произвольных весовых функций и, V и параметров 1 < р, <? < оо. Случаи 0 < д<1<р<оо,0<р<(3'<оо,0<р<1 были решены В.Д.

Степановым [68], а случай 0 < д < р < 1 M.JL Гольдманом [36] и Г.Беннеттом и К.Г. Гроссе-Эрдманом [21]. Для операторов Вольтерра критерии ограниченности на конусах монотонных функций получены О.В. Поповой [8].

В дальнейшем весовым неравенствам на конусе монотонных функций посвящено множество публикаций (см. недавний обзор [2] и литературу там же), поэтому данное направление исследований является актуальным.

Пусть ШТ+ - множество всех неотрицательных измеримых по Лебегу функций на R+ := [0, оо) и ШТ^ С Ш+ конус всех невозрастающих функций.

Пусть 0 < q < оо. В работе Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова [И] был изучен новый класс квазилинейных интегральных операторов вида

Tf(x) QT Ц4 /и) * w(t)d?J " , (0.0.2)

:= QT ( jf° fuj 4 w(t)d?j 9, (0.0.3)

Sf(x) := (jT fu^j 4 w(t)dtj 9 , (0.0.4)

ff{x) := QT Qf /«) " w(t)dt)4 , (0.0.5)

играющих важную роль в теории пространств Морри (см., например, [27], [28],[29]).

Пусть 0 < р < оо, 0 < г < оо. В диссертации изучаются неравенства вида

(jTWp)г < С (jTW*)р J ешК

где константа С не зависит от / и полагается выбранной наименьшей

из возможных, а в качестве Я рассматриваются квазилинейные интегральные операторы вида (0.0.2)- (0.0.5), для которых мы даем исчерпывающее решение поставленной задачи, а также находим приложение полученных результатов к анализу операторов Харди на конусе квазивогнутых функций.

Перейдем к изложению содержания диссертации. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава "Весовые интегральные операторы на конусах монотонных функций" носит вспомогательный характер.

Основным методом изучения интегральных неравенств на конусе монотонных функций является метод редукции, т.е. сведение данного неравенства на конусе монотонных функций к неравенству на неотрицательных функциях.

В данной главе представлены основные теоремы редукции из работ А. Гогатишвили и В.Д. Степанова [38], [2], которые далее используются во второй главе.

Вторая глава "Ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций".

Основная цель во второй главе - дать решение задачи нахождения необходимых и достаточных условий выполнения весовых неравенств для квазилинейных операторов на конусе монотонных функций. При решении задачи используется метод редукции интегральных неравенств на конусах монотонных функций к неравенствам на конусах неотрицательных функций, которые затем характеризуются с помощью известных и недавних результатов Прохорова Д.В. и Степанова В.Д. (см. [11]). Однако, при решении задачи методами, предложенными в первом параграфе данной главы не удалось охватить все случай-параметров суммирования. Во втором парагДИмииммаимиииииерна-тишиш Подхода, основная идея которого взята из работы [12], [13],

этот пробел был восполнен.

Приведем основные результаты для операторов Т, 51, <5^, . Пусть

/■< рЬ роо

У(г) := / V, и(Ь) := / и, И^) := / го, 0 < * /о /о Л

< оо.

Теорема 1. Пусть 0<^<оо,0<р<оо,0<г<оо. Тогда для наилучшей константы Ст в неравенстве

1 - V 1

ГОО \ -

[Т/\ГР) <Ст{]0 ./еа^

выполняется оценка

СТ~А1+А2-\- В,

где Ль Лг - наилучшие константы в неравенствах

1 Г ^

/

/■оо / /-оо / ЛОО

Л \ 1

^ [£%)]Му№У

при к € 9Я+; а константа В имеет вид

Б :=

¿х

Р < г/ г <р,

в г р

Здесь функции <т : [0; оо) -»• [0; оо) и сг 1 : [0; оо) -> [0; оо) задаются формулами (т£ 0 = оо)

ст(х) р|, х > 0,

а~1{х):=Ы^у>0: р|, х > О,

а операторы и ЩсД имеют вид

1 \ р

в

3[с,<ф{х) ■= Х[сд{х) ^ J ^ ^ ^ Н^ и(в)(1,

для О < с < (1 < оо,0 <г < оо, И е 9Я+.

Для предельных значений параметров имеет место следующее Замечание 1.(1) При д = оо имеем

Ст ~ ¿1,1 + А2,1 + Въ где ¿1,1,^2,1 - наилучшие константы в неравенствах

/ 1 г ^

I™ р(х)тх)Т [[ л) Р и{8)<ь\ ¿х| < А\л £ НУ,

Е

г г СО

/ р^еэвБир ( / И] и{£)и)(£)(И уо [\Л /

при к £ а константа В\ имеет вид

™Р1>0 (1ор)1тъу

йх

:=

где I := I - I.

я г р

(2) при р = оо или г = со имеем

1,

Р < г/

/0°° /К®) [иг р) 1И--1 (х)^(«)] Р ^) ' г < Р'

ст = 8ирЯ(г)М ¿>0

1

Р 2, г = оо,

и/

где

:= езэзирр^), И-^а;) := еззвирги^).

0<г<Ь г>х

Пусть

и := —, и(£) := / и, 0 < £ < оо.

К? Jt

Теорема 2. Пусть 0<^<оо,0<р<оо,0<г<оо. Тогда для наилучшей константы С5 б неравенстве

у™[ЗЯх)}гр(х)с1х^' < С3 " ЕЖ1

выполняется оценка

С5 « Ах + А2 + В, где Ах, А2 - наилучшие константы в неравенствах

Г (Г (Г

ЛК] [£%)МУ)<*У

р{х)(1х

лоо

< А? / Л, J о

Г"-1 (Г-У (Г

£

Г \ Г

I I / ЛУу «(в) ¿в ) йх

при Н 6 а константа В имеет вид

и»

2 I

/■оо

< А^ / /г, J о

г;

Здесь операторы Ти Т\сд имеют вид

Г,А(х) := хм(х) Ц^0 Ц' Л^ Р ВД&

(«т(<0 / пв \ \

J у ьу^ ,

для О < с < с1 < оо, 0 < £ < оо, Не Ш+.

Для предельных значений параметров имеем Замечание 2.(1) При д = оо имеем

С5 « Ах + А2 + В,

где Ах, Аг - наилучшие константы в неравенствах

рос

I р{х)

евБ вир

Ох

hV) U(t)w(t)dt

dx

(■СО

< а; / /г, J о

J™ p{x){W{x)Y ^J\vyu(s)d^J dxj <A5ji Л,

при h e ШГ1", о константа В имеет вид suptxj (fop)r \\Tt\\h^L%'

3 г р

(2) Яри р = оо и при г = оо имеем

'V

Cs = supÄ(i)||rt||'. g, г = оо,

t>0

p<r; г < р.

где

W(x) := ess sup w(t)

x<t<a2(x)

R(t) := esssupp(z).

0<z<t

Теорема 3. Пусть 0 < q < oo, 0 < p < 00,0 < r < 00. Тогда для наилучшей константы С& в неравенстве

г ос

\3rf(x)}rp{x)dx) <0

{Г[т]р

v{x)dx) J еШ1

выполняется оценка

+ М + ¿Я,

где - наилучшие константы в неравенствах

/ V

2 - \ г

jf* Р(х) (£ (J* hvY [U(y))hu(y)dyY dx ) <<J"h,

при h G 9Я+, а константа SB имеет вид

poo

<^2 I Jo

suPi>0 (JTV)'

1ГР(х)

и»

1

v

l^LI

где 1.-1-1. э т р

Для предельных значений параметров имеем Замечание 3. (1) При д = оо имеем

С> « М + л*2 +

Р < г; г < р.

где - наилучшие константы в неравенствах

ГОО

Jo Р{Х)

Г* \ р ~ hV) U(t)w(t)

dx\ <S&

poo

Г Л,

Jo

Г p(x)esssup[w(t)}r ( Г ( Г hv)" u(s)ds) ) < [ h, Уо о <t<x yjx \Jo J j J Jo

при h £ а константа & имеет вид

suPt>o ur p)

tt

fo°° p(x)

(J?P)

L^LZ T[C-4xUlx))

p < r;

dx I , r < p.

S r p

(2) при p = oo и при г — оо имеем

c? = \ml)\wp, р = оо; C> = sup^(i)||Tf||* я, г = оо,

t> о

где

M{t) := esssupp(z).

z>t

Здесь функции С : [0; оо) -> [0; оо) и С"1 : [0; оо) -»■ [0; оо) задаются формулами (inf 0 = оо)

С{х) := sup i^y > 0 : J и>^ J , а; > 0 С_1(х) := sup jy > 0 : J и > 2 J u J, x > 0.

а операторы tt, имеют вид

Tth(x) := xwW (£{t) hV) ' '

Т[сЛКх) := хм(®) Ц Р

для 0 < с < (1 < оо,0 < г,р < оо,И е Ш+.

Теорема 4. Пусть 0 < q < оо,0 < р < оо,0 < г < оо. Тогда для наилучшей константы Су в неравенстве

< Су ,/ е

выполняется оценка

Су « А1 + А2 + В, где Ах, А2 - наилучшие константы в неравенствах

Г (С'{£ $ *

jT р(х) Ц* QT л) * Uq(y)w{y)dy при h Е ffl+, а константа В имеет вид

5 \

dx

/

reo

< а? / /»v,

Jo /»00

<Ар2 hV

J о

В := ^

( supi>0 (/t°° / м я 1 р 2 > bj^—iLfu Р < г; } \i

"с/г р) 2 у—

гае I := I _ I .

s г р

Замечание 4. (1) При q = оо имеем

Су « Ai + А2 + В,

где Ai, А2 - наилучшие константы в неравенствах

J™ p(x)W(x^ Ц™ h^" u{s)dsj dxj <KJq hV>

1 V ^

[ p{x)e sssup (f /1J U(t)w(t) da;) < Ap2 I hV JO 0 <t<x \Jt J J Jo

при h e ffl+, а константа В имеет вид

sup*>o игру

Я

В := (

Г р(х)

(Гр)

Ly—tL'H?

SF\r-1

р < г; dx ) , г < р.

i := ? - 5 •

s г р

(2) При р = оо и при г = оо имеем

Су= \\У(-)\\ц, Р = оо;

i> о

1

^ 2, г = оо,

где

&(t) := esssupp(z).

z>t

W(x) := ess sup [w(t)]r

С ~2(x)<t<x

Здесь операторы и имеют вид

:= ^ ^ ^ hj u(s)dsSj ,

для 0 < с < d < 00,0 < t < 00, h G 9Л+.

Замечание 5. С помощью работ [11], [12], [13] мы находим точные двусторонние оценки констант А, В, А, В, «й/, А, В, а также норм операторов через явные интегральные функционалы от весовых функций.

Третья глава "Интегральные неравенства на конусах квазивогнутых функций".

Пусть (р G Ш+ - гладкая, строго возрастающая функция, такая что <р(0) = 0, <£>(оо) = оо. Обозначим через fI^ множество всех неотрицательных (р - квазивогнутых функций, таких что

% ■= {/ е ал1-: - е эк1 I ч>

В данной главе приведены критерии ограниченности интегральных операторов типа Харди на конусе квазивогнутых функций.

Пусть u,v,w 6 93Т+, 0 < р, q < оо. Рассматривается неравенство

^J™[Af(x)Mx)dx^9 < С a QT[/(aO]4*)ds)' , / е % (0.0.6) где

Af(x) := / f(y)w{y)dy. Jo

Эта задача тесно связана с ограниченностью максимального оператора Харди-Литтлвуда в весовых Г—пространствах Лоренца вида

Р» |/ : ||/||ГР(ш) QH Q£ f*J w^dtj < оо ►

и в последние два десятилетия была решена для всех значений параметров 0 < р, q < оо, исключая случай 0 < q < 1 (см. [66], [36], [4],[51]). В третьей главе представлен альтернативный метод решения задачи, с помощью которого дается ответ в интегральном виде для всех случаев параметров. Кроме этого, мы находим критерий выполнения неравенства, аналогичного (0.0.6), с оператором

/»ос

Bf(x) := / f(y)w(y)dy.

J X - 16-

Приведем основные результаты.

Теорема 5. Пусть 0 < р, д < оо ии,и,ш € 9Я+. Тогда для наилучшей констаны С а в нерванстве

* < ^ , /еП,

выполнено соотношение

СА « ¿0 + ^1 +А0 +Аь где константы в правой части имеют вид

о

(/о ф) (¡О^У^)

= 8иР---> Р ^ 9

и

ж.

АГЧ

мш®]" (¡*и(8) (¡У™)4 йзУ~ч

(0.0.7)

для д < р.

лР \ ■» V'/ V 4 V"' / / ^

К = йир -7Т77\-, V < Я.

*>о V [1)

и для д <р

При р < д

егз. ч

х 1 /■/

соо \ - п

Ах = вир I / и ) 0 < р < 1,

«6(0,ос) /

и

/ f°° / Г* ( Lstpw \^ / N ,,Л7 ;4i« sup / и) / <^sMs)á5 ,р>1,

te(0,oo)\Jt J \Jo \Ms)]pV(s)J J

где p' := При q < p

Ai =

Л U{X)(L V Lc^-cw) W-FW

dx

\...... V-" ............/ J

при 0 < p < 1 и

[Ai]

J22_

p-q

(0.0.8)

для p > 1. При p < q

S¡w

Ai = sup I / и) sup —5—г, 0 < p < 1 í€(0,oo) \Л / se{0,t) [V(s)]f

и

1

Or Г (Г V

м / Tr7~\ w(s)ds ,р> 1. t / Wo \VKS)) )

При q < p

f оо " оо ^ / (/С(х)«ЛР\^ 4 "

A1= f u(x)([ tiJI sup Vs ' 1 dx

^J о \Jx ) ^e(C-Mx),C(x)) VKS)

при О < р < 1 и

Ai

2-2 РЯ

р-д

\ х /

при р > 1.

Теорема 6. Пусть 0 < р,д < оо и и, и,ги е Ш+. Тогда для наилучшей константы С в в неравенстве

„ i

r-оо

[В/(х)]<и(х)<1ху < Св Ц [/(х)МФх) , / б % имеем

Св ~ Во + В1 + В0 + В1,

где константы в правой части определяются ниже формулами

/ г2{х) у и(х)П <ри,I йх\ ,р<д

и

«

Г°° ч ( г* ( r2W у ( r4t) у

/ / Ф) / <pw\ dx\ u{t) / ути/ 1 dt

(0.0.9)

при g < р. Аналогично,

Б0Р = sup[K (í)]"1 «(*) ( jTw)'dxy,p<q,

q¡P-9 И

J^ [V{t)]& QT u(x) viy dx^j " 4 u(t) QÍ" ^y dt, g<p.

(0.0.10)

при р < д имеем

В1 = вир ( / и ) зир^в)!^)] р [ I (рги ) , 0 < р < 1,

Вх ~ вир и при д < р

. РЯ

у-1

(р(з)1и(8)с18 I , р > 1

[В,]й = .

Си{х){[и)

при 0 < р < 1,

р-ч

(/а-Чх) Н

Р~\

р-ч

¿х, (0.0.11)

(р-УЯ р-ч

(0.0.12)

если р > 1. Аналогично, для константы имеем при р < д :

В\ = вир ( / и эир^я)] р [ I ги ) , 0 < р < 1,

Вх ~ вир ¿>о

и при д < р:

I ' Р >

гоо

Бх = I ^ „(*) Ц и

вир

Р-ур^ \ РЯ

сг_1(х)<^<а(х)

У(5)

для О < р < 1 и при р > 1

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1.1. Редукционные теоремы для монотонных операторов.

В данном разделе приведены теоремы редукции интегральных неравенств с положительными операторами в весовых пространствах Лебега на конусе монотонных функций к неравенствам на конусе неотрицательных функций [2], используемые в данной работе.

Пусть 9Я+ - множество всех неотрицательных измеримых по Лебегу функций на R+ := [0, оо) и WV- С Ш+ подмножество всех невозраста-ющих функций. Пусть оператор Т : Ш+ —> Ш+ удовлетворяет следующим условиям:

(i) T{Xf) = АТ/ для всех Л > 0 и / € ШТ+;

(ii) Tf(x) < сТд(х) для почти всех х £ М+, если f(x) < д{х) для почти всех х € R+ с константой с > 0, не зависящей от / и д ;

(iii) Т(/ + Л1) < c(Tf -f- ATI) для всех /еШГ+иА>0с константой с > 0 , не зависящей от / и Л, где 1 - функция на R+, тождественно равная 1.

Сформулируем редукционные теоремы для неравенства

(jfW«>)9 < с (jTW*)? (i-1-i)

на конусе Ш^ при 0 < q < оо, 1 < р < оо. В отличие от теорем редукции, основанных на принципе двойственности Е. Сойера [56], область изменения параметров суммирования позволяет исследовать неравенства при 0<д<1<р<оо. Обозначим V(t) := /J v.

Теорема 1.1. Пусть 0 < q < оо, 1<р<ооиТ:Ш+-> полоснсителъный оператор. Тогда из условия (1.1.1) следует неравенство

,00 - . — - — . I

"00 \ h

'X J

W

< с (^J™ hpvpvl~p^J", hem+. (1.1.2)

Если У(оо) = оо и Т - монотонный оператор, удовлетворяющий (г) и (И), то условие (1.1.2) является достаточным для выполнения (1.1.1) на конусе а если 0 < У(оо) < оо , то для выполнения (1.1.1) на конусе ШТ* достаточно (1.1.2) и

1

\TiYwy < с , (1.1.3)

если оператор Т удовлетворяет условиям ({)-(ггг).

Другой полезной редукционной теоремой является альтернативное утверждение.

Теорема 1.2. Пусть 0 < д < оо, 1 < р < оо и оператор Т : —> 9Я+ удовлетворяет условиям (I) и (И). Тогда для выполнения на конусе неравенства (1.1.1) достаточно, а при У(оо) = оо необходимо, чтобы

Чз (Iку

X \ 1Ч \ д / /*оо \ £

о I. у2(х)

< с ^ ЫРь1~р^ , н е Ш+.

(1.1.4)

Если 0 < У(оо) < оо, то (1.1.1) необходимо для (1.1.4) при выполнении условий (г)-(Иг) и неравенства (1.1.3).

В случае 0 < р < 1 мы используем следующее утверждение. Теорема 1.3. Пусть 0<р<б/<оои для оператора Т : ШТ+ —> ЗЛ+ выполнены условия (г-Ш), а также условие

для любых ¡п > 0. Тогда (1.1.1) на конусе 9Я"'' эквивалентно выполнению любого из следующих условий:

(г от

2 «оо

[Гхм(х)]р/г(5)сг5^ Р Ь){х)(1х ) < Ср2 I НУ, Н € ЯЯ+,

( /"00[зирТХм(а:)]р Г 1$у>{х)<1хV < С£ Г НУ, Н € 9Я+, 5>о Л / /о

или

гОО \ д 1

Более того

С ~ С*2 — Г) г^ Сз = С4.

§ 1.2. Весовые оценки одного класса квазилинейных

операторов.

В недавней работе В.Д.Степанова и Д.В.Прохорова [11] рассмотрены и сформулированы критерии ограниченности квазилинейных интегральных операторов вида:

ГДгг) := ^Г (^/«У го^У ,/ б 9Н+, (1.1.5)

:= ^Г ы^У ,/Е Ш+, (1.1.6)

£/(*) -(У*00 /иу тЩ^У ,/еШ+, (1.1.7)

:= ^Г О^У^с^У ,/ е 9Л+- (1-1.8)

в неравенствах:

'00

'О

гоо

(1.1.9)

(1.1.10)

(1.1.11)

,fem+. (1.1.12)

-> [0; оо) и а-1 : [0; оо)

(SfYu)^ < Cs (I

(У/уЛ' < Су U

[0; оо) задаются формулами (здесь inf 0 = оо)

а(х) := inf > 0 : jí и > 2 jí н|, х > О,

a~l{x) :=Ы^у>0: jV u>^J uj, х > 0. Для 0 < с < d < оо,0 < t < оо, f € Ш1+ положим

Hcf{x):=X[c,oo){x) í fv,

Jo

Hc,df{x) -=X[c,d)(x) Í fv'>

J cr-1(c)

roo

H*f{x) '=X[c,oo){x) / /v;

•/ x

roo

H*c,df(x) :=X[c,d){x) / fv,

Jx

Теорема 1.4. Пусть 1 < p < oo,0 < <7 < oo,0 < r < oo, j (^ — Ддл выполнения неравенства (1.1.9) необходимо и достаточно выполненщ неравенства

г ос

и конечности константы t „ 1

А :=

supf>0 (/о «)" IIl^U , Р < г;

{(гф) [s:%) <у) н^&м.)]Ий-Й <&]^ 8' < л

Теорема 1.5. Пусть 1<р<оо,0<д<оо,0<г<оо, —

Для выполнения неравенства (1.1.11) необходимо и достаточно выполнения неравенства

(1°°и(х)\\х[х,ачх))\\гь1 /*) йху < с > / е

2(х)

и конечности константы

1

В

suPt>o (/ou)'

\ !а%)<У)

Н[а-\у),а{.х)\

dy

L/y—^L* w

dx\ , r <p,

J»00

t u <

oo, t > 0. Функции С : [0; oo) [0; oo) и С-1 : [0; oo) [0; oo) задаются формулами (здесь inf 0 = oo)

((х) := sup i^y > 0 : J u>^ J u |, z > 0 C\x) := sup jy > 0 : jf u > 2 J u j, x > 0.

Для 0 < с < d < oo,0 < t < oo, / G 9Л+ положим

poo

Лdf(x) := ХМ (a?) / /и;

t/ X

rC(<0

i /и;

«/ x

/о

гх

ХМ (*) / ^

Теорема 1.6. Пусть 1<р<оо,0<д<оо,0<г<оо, 7 := — Для выполнения неравенства (1.1.10) необходимо и достаточно выполнения неравенства

(I™ФЖ^Жа ^ с (Г

Ру) , / е Ш+,

и конечности константы ^>0

л/:=

/о°° и(х) [/С% 1Иг'Ы,С(х)] Щ^ы ¿у] ' йх

р<г;

г <р,

Теорема 1.7. Пусть 1<р<оо,0<<2<оо,0<г<оо, —

Для выполнения неравенства (1.1.12) необходимо и достаточно

выполнения неравенства

лоо /■ гс2(х) \г V / гоо >

Уо «^Нхк-^НЦП^ /И <*г! <СЦ

при / Е 9Я+ и конечности константы

'зпр4>0 (Г«)*

^ЧуШ*)]

йу

йх

Р<Г;

г <р,

ГЛАВА 2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ КВАЗИЛИНЕИНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ

ФУНКЦИЙ

§ 2.1. Дискретные и интегральные критерии ограниченности квазилинейных операторов на конусах монотонных функций.

Пусть R+ := [0;+оо), Ш+ — множество всех неотрицательных измеримых функций на R+, С подмножество всех невозраста-ющих функций. Пусть 0 < q, г < оо, 1 ^ р < оо.

В этой главе изучаются интегральные неравенства вида

(.L°°[Rf]rp)r ^с (Г[1]Ру)Р'f е (2ЛЛ)

где р(х) и v(x) — неотрицательные локально суммируемые функции на Ж+ и константа С, не зависящая от /, выбирается наименьшей из возможных. В качестве оператора R рассматриваются квазилинейные операторы

Tf(x) := ( jH Qf fuy w(t)d?j\ fem\ (2.1.2)

&f{x) := QT ^ w(t)dty , f e (2.1.3)

Sf(x) QH QH fuy w(t)dtj \ feWlK (2.1.4)

\« 1

я

У№ := Ц Ц , / е ая^, (2.1.5)

где и, и) — неотрицательные локально суммируемые функции на М+.

Ниже дается характеризация неравенства (2.1.1) для указанных выше операторов методом редукции. Сначала мы получаем дискретную форму критериев, а затем интегральную.

Оператор Т.

го° и

Пусть

/•оо рз

/ у), := и, 0 < £ < я < оо.

Сначала докажем критерии дискретного типа.

Теорема 2.1. Пусть 1 < р < оо, 0 < д, г < оо, ^ := ^ — ^ . Пусть 0 < /02р < оо; х € (0, оо), /0°°р = сю и последовательность {ап} С (0, оо) определена из уравнений /0а" = 2", и £ Положим Д„ := [ап,а„+1). Тогда <?лл наилучшей константы С в неравенстве (2.1.1) с оператором вида (2.1.2) выполняются оценки С ~ 4- В где

1) р = 1, 0 < д, г < оо.

У- Ч52"(/.

2) 1 < р ^ д, г < сю.

гг /ц\Р' \ р'

к; +

п / Гп+1 Л' / г

Л2 ~ Зир2'' вир I / Ш I I / пег ¿ед„ \Л / уЛп

И вир 2? Бир Г [ г/О V [ 71+1 у~рг пеъ геАп \Лп / \Л

и +

Ч\Г / Г°° . \ 7

-НБир У] 2* / №/ /

Ill

3) О < g < p < оо, 1 < p < r < оо, — :=---.

к q p

A3 « sup2r

ne Z

Bz ~ sup 2'

ne z

rí С/9«;') P f Г"+1 Уи) 7 £/9(¿M¿) ) + 'An Va„ / \Jt /

i 1

roo

uqw v~pv

+ sup

nez

an+i

1 1 1

4)l<p<oo, 0<r<p^g<oo, -:=---.

s r p

E

a,

E

4TieZ

0/*an+l

w

t

+

2? sup ( / ) * ( / n+1 F-^v )7

Í6A„ \Л„ / \Л /

+

+

5) 1 < p < 00, 0 < q, r < p.

nez

iü(í) dt

/

В.s

(í

,nez Van

Uqw

1

— \ s

Uq(t)w{t)dt

+

+

\ Vál / / WOn+1

Доказательство. По теореме 1.1 неравенство (2.1.1) эквивалентно

(гиг»:

д) {х) =

И

о

Имеем

^V"" , д в ю J

roo / ft / /-оо \ \ 9

д J «(у) dy J w(t) dt J . Тогда (2.1.1) эквивалентно двум неравенствам на

i

1°° ОТ Of**7)dt)'^^

< Ci ( I gpVpvl~pdx

(2.1.6)

ос / /«оо / лоо \ <7 \ q

\Jt 9У U4(^W^dt)

(Г

<C2 / gpVpvl~pdx

(2.1.7)

и, следовательно, С ~ С\ + Для оценки наилучших констант С\ и С2 воспользуемся теоремой 1 из [И]. Неравенства (2.1.6) и (2.1.7) эквивалентны с точностью до переобозначений неравенствам (1) и (3)

из [11], критерии для которых приводят к результатам нашей теоремы. □

Далее получим интегральные критерии для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.2). Для этого прположим, что 0 < JqP < 00, х € (0;оо) и определим функцию а : [0;оо) —> [0;оо) формулой

а(х) := inf jy > 0 : J J р|, х > 0.

Теорема 2.2. Пусть 1 ^ р < оо, 0 < г < оо, 0 < q ^ оо. Для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.2) необходимо и достаточно выполнение неравенств на ШГ1"

z X I i

и конечности констант 1) 1 < р ^ q, г < оо.

А\ := sup ( í р\{В1 + В2), t>о \Jо /

где

Bi :— sup í / Wi •«>< \Js ,

2)0<д<р<оо, 1<р^г<оо,

А2 '■= sup í / p) {Bl+B2), t>0 \Jo

где

В, :=

\ —

l-p' \4 1 -p'

fOO

:= < /o p(x)

ra(x)

/ p(y)(Bi(ar,y)+B2(a;,y))dy J <T-1(x)

dx

где

£i(ar,y):=( sup

сг-г(2/)<<<(7(х)

B2(x,y) := I sup

a~l(y)<t<,

<т(*) ЧЛ-ЧУ) / / / 1__1 11__1 1

4)l<p<oo)0<r,9<p|i. p p,x. 9 p.

< /o p(s)

ro{x)

/ p(y)(£i(:c,y) + B2(:E,y))dy

Ja-Цх)

dx

где

B2{x,y) :=

rcr(x) / ft

W

ltj-l(y) XJa-1^)

аЦх)

V.

1-P' „W

г/о

(í) dt

Более того, С « + £>2 + Д-.

Доказательство. Так как выполнение неравенства (2.1.1) для оператора (2.1.2) эквивалентно выполнению неравенств (2.1.6) и

(2.1.7), то доказательство теоремы следует из теорем 2 и 3 работы [11]. □

Рассмотрим случай г < оо, 0 < р ^ 1.

Теорема 2.3. Пусть г<оо, 0<р<1. Тогда для

. наилучшей константы С в неравенстве (2.1.1) с оператором вида (2.1.2) выполнена оценка

1

где

А(х,г) := ^ + 4 '

Доказательство. Покажем, что для оператора (2.1.2) выполнено условие

Действительно, применяя неравенства Йенсена при 0 < р ^ 1 и Мин-

С ~ эир <>о

/

оо

(Л(ж, г) 4- В{х, £)У р{х) йх

ковского при - ^ 1, получаем

т £/»

ЧГ-ЧЛ?'^*

= (ГЧг/)(?Г/"и) *

=

Л/

< Е »м (/" /»«)' ■<*»)' = Е р'/»1р •

Далее, применяя теорему 3.1 из [38], утверждение теоремы следует пересчетом соответствующих функционалов. □

Оператор 5.

Сначала укажем критерии дискретного типа.

Теорема 2.4. Пусть 1 < р < оо, 0 < г < оо, - := (---) •

5 \г Р/ +

Пусть 0 < /0хр < оо, х £ (0,оо), /0°°р = оо и последовательность {ап} С (0, оо) определена из уравнений р = 2п, п Е Z. Положим Ап := [ап,ап+1). Тогда для наилучшей константы С в неравенстве (2.1.1) с оператором вида (2.1.4) выполняются оценки С « А{ + В{, где

1) р = 1, 0 < д, г < оо.

2) 1 < р ^ д, г < оо.

Вх«

IV

кпеъ

'Ап

Ai ~sup 2

ne z

r sup Г [an+1 Vqw) Я ( Г vvA teДп \Л J \Jan J

^ VA

+

V9™ ) Afc /

or-')''

Бо

sup2r sup ( [ w\ ( f "+1 V^V^v] 7 + nez íeA„ \Л„ / \Л J

roo \p

+ sup

nez

111

3)0<g<p<oo, l<p^r<oo, — :=---.

я q p

Vp Vpv

'O-n+l

Л3 « sup 2^ I J ^jT"*1 W) ' f f* vV^ 7 V«(í)«;(i) dt ] +

+ sup(j>*

Vqw

ne z

'(Г

л P7

£3 « sup^ jT " 7 w(t) <ft J +

ïAJJÏUy^

-f sup

ne z

1 1 1

4) 1 < p < oo, 0 < r < p q < oo, - :=---.

s r p

E

^nez

2r sup

íeA;

- \ «

f Vtfl)

t

1 -1

7

+

+

5(S

^пйЪ

Я / /,оп+1 _ 1 , \ 7

2г 8ир ( I т) [ I УрУрь

+

5) 1 <р < оо, 0 < д, г < р

V \Кп / / \-'вп+1

1

Я \ 8

+

+

'ап+1

Доказательство. По теореме 2.2 из [2] неравенство (2.1.1) эквивалентно

(Г (т (ш^МУ'Н* *с (Г ^"У •5 е (Г(Г МйМ-Н'-Н'-

Имеем

X / /

Тогда (2.1.1) эквивалентно двум неравенствам на Ш1+

Г ОТ (/ 9 ^с1 {Г дрг)1~р)р'

(2.1.9)

Г (/00 ОГдУУ)4 9 р(2г)^) ^(1°° р

(2.1.10)

и, следовательно, С ~ С\ + Сг- Для оценки наилучших констант С\ и воспользуемся теоремой 1 из [И]. Неравенства (2.1.9), (2.1.10) эквивалентны с точностью до переобозначений неравенствам (1), (3)

из [11], критерии для которых приводят к результатам нашей теоремы. □

Далее получим интегральные критерии для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.4), для этого предположим 0 < 1о Р < °о, х € (0; оо).

Теорема 2.5. Пусть 1 ^ р < оо, 0 < г < оо, 0<д^оо. Для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.4) необходимо и достаточно выполнение неравенств

Г£ \ Г \ Т / гоо -

/ 9 ¿х) < А / 9ру[

при всех д 6 9Я+ и конечности констант

1) 1 < р ^ q, г < оо.

Аг := supf / pV (Bi + B2),

t>0 /

где

jBi := sup f f wX ( [ vl-p'Y , B2:= sup ( [ w2 s>t \Js / \Jo / s>t \J0

111

2)0<g<p<oo, 1<р^г<оо, — :=---.

я q p

A2 := supf f p\ (B! + B2), t>o vo /

где

Bi :=

-(fCf-O'GM'-™*

v*~p,{s) ds

3) 1 < p < oo, 0<r<p^g<oo, -:=- —

s r p

roo

Аз < /о />(*)

r<j{x)

/ (a:, 2/) H-

Ja-l(x)

где

sup

o-^yKtCc^x) \Jt

Щх,у) := I sup (f \ a-1(y)<i<a(x) \Jcr-1

-!(y)<i<a(x) Vo-^ii) -39-

<T2(l)

«/ I I /

1 1 1

1

4) 1 < р < оо, 0 < г, д < р, \ :=---, — :=---.

8 г р я д р

{/»оо Г га(х)

/ р{х) / р{у){В1{х,у) + В2{х,у)йу Лт-Цх)

¿X

где

В1(х1 у) := ( Г(Х) ( Г(Х) ш\(Г у[-А 7 \J<r-^(J,)\Jt } \Jcr-4y) /

Г<г(х) \ ч

ии

В2(х, у) := [ Г(Х) ( Г ш) ' ( Г ™ ^) ' Л

уа-Цу) \Jcr-4y) / \Л /

Более того, С « + £)2 + Д.

Доказательство. Так как выполнение неравенства (2.1.1) для оператора (2.1.4) эквивалентно выполнению неравенств (2.1.9) и (2.1.10), то доказательство теоремы следует из теорем 2 и 3 работы [11]. □ Рассмотрим случай 0 < р ^ д, г < оо, 0 < р ^ 1. Теорема 2.6. Пусть 0 < р ^ д, г < оо, 0 < р < 1. Тогда для наилучшей константы С в неравенстве (2.1.1) с оператором вида (2.1.4) выполнена оценка

-Чу)

а*(х)

С « вир ¿>о

Г (£

ия(1,у)иэ(у)йу )

Доказательство. Так как для оператора вида (2.1.4) выполнено

условие (2.1.8), то утверждение теоремы следует по теореме 3.1 из [2]. □

Замечание 1.Аналогично предыдущим теоремам находятся дискретные и интегральные критерии ограниченности сублинейных операторов и . а также соответствующие результаты для конуса неубывающих функций.

Замечание 2. Редукционный метод, основанный на применении результатов работы [2], не покрывает всей области изменения параметров суммирования. В частности, случай 0<д<р<1не охватывается теоремами данного параграфа. Для устранения этого пробела в следующем параграфе мы находим альтернативный прямой способ решения рассматриваемой задачи.

§ 2.2. Прямой метод исследования интегральных неравенств для квазилинейных операторов на конусах монотонных функций.

Будем считать для простоты, что 0 < р < оо, 0 < т < оо при любом х > 0 и /0°° р = оо, /0°° IV = оо. Определим последовательность {«п} С (0; оо) из уравнений

/

Jo

а„

р = 2п, пеЪ. о

Пусть функции а : [0; оо) [0; оо) и а 1 : [0; оо) —» [0; оо) задаются формулами (здесь т£ 0 = оо)

а{х) > 0 : ^ Р> 2 ^ р|, я > 0, (2.2.1)

а~\х) ц* |у > 0 : > \ £ Р^ > ® > 0. (2.2.2)

Тогда а и сг-1 возрастающие функции, причем р = 2 /0Х р, 1о (1) Р ~ 2 1о Р- В частности, а(ап) = ап+ъ ап = ¿т_1(ап+1). Для 0 < с < в, < оо,0 < £ < оо, /1 6 Ш+ положим

ЗДх) Х[«,оо)(®) t л) ' , (2.2.3)

'(0

р

Г(1

'(с) 41 -

&ЫНх) Х[сф) П*^ , (2.2.4)

SUD (TW»)

(2.2.5)

и аналогично для ||<%«1||| •

Теорема 2.7. Пусть 0<д<оо,0<р<оо,0<г<оо. Тогда для наилучшей константы Ст в неравенстве

г оо

[■Tf{x)]Tp{x)dxj <РгЦ [f(x)}pv(x)dxj Jem*- (2.2.6) выполняется оценка

СТ&А1+А2-\- В, где А\,А2 - наилучшие константы в неравенствах

J~p(x)[W(x)f Ц

x / /»оо

h ) u(s)ds j dx

£

Г

<Al

Jo

hV,

/ \

poo j poo / poo

Jo \ Jx \Jy

h [U(y)]qw(y)dy

p(x)dx j <ap2J^ hV,

при h £ ШV~, а константа В имеет вид suPi>0

г >

В :=

Ly-^Lw

Г Р(Х) ШоР) |Иа-1(х),а(х:

р < г;

dx ) , г <р,

где\:=1-±

s г р

Доказательство. Пусть [f{x)]p =: f™ h, h e Ш+, тогда неравенство (2.2.6) эквивалентно неравенству на конусе ЭДТ+

Г {Г Of ОТh)Р u{s)ds)9 p{x)dx) - ^ jTну-

Оценка сверху. В дальнейшем мы будем пользоваться известным соотношением (см., например, [36], Proposition 2.1)

Е2"(Еа.) «Е2"<,

nez \¿>n / nez

верное для любых последовательностей неотрицательных чисел и любого s > 0. Обозначим

Имеем

J = Е [ n+1 ( [ №»%))* dy)4 dx

п Jan \Jx /

~ Е 2" (jf° w(y) №»%))* <%)4 dx

г

= Е2П (Е Г dy)4 dx

п \i>n J

~ E2П ( Г' w{-y) ^yrf dy)"dx

n \Jan J

(Г (Г (fкУ

1 Q r

Далее

J p(x)dx ^J iy /г^ u(s)ds

^ E £П (7^ (У P dx

/•оо

= / р(х)[]У(х)]Ц&рк(х))$ (Ь < А\ J о

\ р

Г1 1 ЬУ . о )

Таким образом,

Запишем

е Гс

Л" «л? /

./о

ЛУ.

Л и £ 2" (£+1 и(у) (£ л) Р и{8)^ йу

+£2П

гап+1 / /-у V / Г

И}(у){ и) ¿у) I И) =: с/2д +

Имеем

<

/*а„ / /-а

^2,2 ~ £ / /

п ¿Оп-1 \JcLn

/•ОО / />00 / />с

вп+1 / \ р

[^(у)МУ)Ц Ч <*У

/г ¿у ¿х <Аг2 / ^

;(Г

тем самым

« Ар2 I ЬУ.

[

Jo

Далее, используя обозначения (2.2.3) и (2.2.4), запишем

^1 = Е2"

ч 2"

|>а»-Н 2 \я

}ЧУ)У<1У)

г / \ р

^Е2" 11^.111;,. . ,(/ ■

Рассмотрим случай р <г. Применяя неравенство Иенсена, получим

Отсюда

п Цг-+Ь& /

41<зир( /%У 11^11 « ГиУ

Следовательно,

Ч,\ <ВР I hV. Jo

Рассмотрим случай г < р. Применяя неравенство Гёльдера =

I — i), имеем

Г Р' '

* / roo

Ьу-лЬ И

hV

Так как

W

£2'1ИО.аи..]||;

п

2

—>Lw

Zfy-—tLw

dx

lo pj Liv_>L¡

dx = Bs

roo

= / p{x) Jo

то оценка сверху Ст А\ + А2 + В доказана.

Оценка снизу. Сужая области интегрирования [0, у] —> [0, х] и [s,oo) —» [у, оо) в неравенстве (2.2.7), находим

1 Г ^

J™ р(х)[\¥(х)]я Ц (^J™ hj* u{s)ds\ dx j <CpJ™hV,

roo ¡ roo / roo

Jo \Jx \Jy

h [U (y)]qw(y)dy

при h e ШТ+. Откуда Д < Ст, A2<CT. Из неравенства (2.2.7) следует

p{x)dx

<C% Г

Jo

hV,

£

ОМ' (Г (£.w (rtf*»)'«*)'**^

при И € Ш+, поэтому Ст В и теорема доказана при р < г.

Осталось получить доказательство оценки снизу при г < р. Имеем

В1

роо

= / р(х) Jo

2

Г<1п+1

гс

=Е / '(*)

<

Е/

а«+1

р(х)(1х

1+1 \ р

Р) |Иа"Ча„-1),а(ап+1)]||

1

1Лг—

¿X

Г/у—^Хш

Е2"

2

1<|г—

Отсюда

Т/у—ЪГ/у)

Пусть 0 е (0,1) - произвольное фиксированное число, тогда для любого п € Ъ существует функция Кп € //^[а„_з,ап+2] такая, что \\К\\ы[ап-3,ап+2) = 1 И

|И«11_2,вп+2]Лп|Ь - 01И°п-а,а„+2]||м_. ^ •

Л/у—гЪ-и-

Положим

9п := ||5[ап_2,а71+2] Тогда

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шамбилова, Гулдарья Эрмаковна, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Буренков В.И., Голъдман М.Л. Вычисление нормы положительного оператора на конусе монотонных функций // Труды МИАН. 1995. Т. 210. С. 65-89.

2. Гогатишвили А., Степанов В.Д. Редукционные теоремы для весовых интегральных неравенств на конусе монотонных функций // Успехи матем. наук. 2013. Т. 68. № 4. С. 3-68.

3. Голъдман М.Л. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций. // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 115-143.

4. Голъдман М.Л., Сорокина М.В. Трехвесовые неравенства типа Харди на конусе квазимонотонных функций. // Доклады АН.

2005. Т. 401. № 3. С. 301-305.

5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ, Наука, М.: 1984, 752 с.

6. Мазъя В.Г. Пространства Соболева. ЛГУ. 1985.

7. Ойнаров Р. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов. // Тр. МИАН. 1993. Т. 204. С. 240-250.

8. Попова О. В. Неравенства типа Харди на конусах монотонных функций // Сибир. матем. журн. 2012. Т. 53. № 1. С. 187-204.

9. Прохоров Д.В. Неравенство Харди с тремя мерами.// Тр. МИАН.

2006. Т. 255. С. 233-245.

10. Прохоров Д. В. Неравенство Харди с мерами, случай 0 < р < 1. // Мат. заметки. 2009. Т. 86. №6. С. 870-883.

И. Прохоров Д.В., Степанов В.Д. О весовых неравенствах Харди в смешанных нормах // Труды МИАН. 2013. Т. 283. С. 125-140.

12. Прохоров Д.В., Степанов В.Д. Оценки одного класса сублинейных интегральных операторов. // Доклады АН. 2013. Т. 453. С. 486-488.

13. Прохоров Д. В., Степанов В.Д. Оценки одного класса сублинейных интегральных операторов. // Доклады АН. 2014. Т. 456. С. 645-649.

14. Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувил-ля. // Известия АН, сер. матем. 1990. Т. 54. № 3. С. 645-656.

15. Степанов В.Д., Ушакова Е.П. Весовые оценки для интегральных операторов на полуоси с монотонными ядрами // Сиб. матем.-жури. 2004. V. 45. № 6. Р. 1378-1390.

16. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж.Е., Полия Г. Неравенства.// М.: ГИФМЛ. 1948.

17. Arino М., Muckenhoupt В. Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy's inequality with weights for non-increasing functions. // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 320. № 2. P. 727-735.

18. Bennett G. Some elementary inequalities. I. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 1987. V. 38. № 152. P. 401-425.

19. Bennett G. Some elementary inequalities. II. // Quart. J. Math.

Oxford Ser. (2) 1988. V. 39. № 156. P. 385-400. »

20. Bennett G. Some elementary inequalities. III. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 1991. V. 42. № 166. P. 149-174.

21. Bennett G., Grosse-Erdmann K.-G. Weighted Hardy inequalities for decreasing sequences and functions. // Math. Ann. V. 2006. V. 334. № 3. P. 489-531.

22. Bennett G., Grosse-Erdmann K.-G. On series of positive terms. // Houston J. Math. 2005. V. 31. № 2. P. 541-585.

23. Bennett C., Rudnick K. On Lorentz-Zygmund spaces. // Dissertations Math. (Rozprawy Mat.) 1980. V. 175. P. 67.

24. Bennett C. and Sharpley R. Interpolation of operators, Academic Press, Boston, 1988.

25. Bergh J., Lofstrom J. Interpolation Spaces. An introduction. Springer, Berlin. 1976.

26. Bloom S., Kerman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. 113. № 1. P. 135-141.

27. Burenkov V.I., Gogatishvili A., Guliev V.S., Mustafaeyev R.Ch. Boundedness of the fractional maximal operator in local Morrey-type spaces // Complex Variables and Elliptic Equations. 2010. V. 55, N 8-10. P. 739-758.

28. Burenkov V.I., Gogatishvili A., Guliev V.S., Mustafaeyev R.Ch. Boundedness of the Riesz potential in local Morrey-type spaces // Potential Anal. 2011. V. 35. P. 67-87.

29. Burenkov V.I., Oinarov R. Necessary and sufficient conditions for -boundedness of the Hardy-type operator from a weighted Lebesgue space to a Morrey-type space // J. Math. Inequal. Appl. 2013. V. 16. P. 1-19.

30. Bergh J., Burenkov V., Persson L.-E. Best constants in reversed Hardy's inequalities for quasimonotone functions. // Acta Sci. Math. (Szeged) 1994. V. 59. № 1-2. P. 221-239.

31. Bergh J., Burenkov V., Persson L.-E. On some sharp reversed Holder and Hardy type inequalities. // Math. Nachr. 1994. V. 169. P. 19-29.

32. Carro M., Soria J. Weighted Lorentz spaces and the Hardy operator. 11 J. Funct. Anal. 1993. V. 112. № 2. P. 480-494.

33. Carro M., Soria J. Boundedness of some integral operators. // Ca-nad. J. Math. 1993. V. 45. № 6. P. 1155-1166.

34. Carro M.J., Pick L., Soria J., Stepanov V.D. On embeddings between classical Lorentz spaces. // Math. Inequal. Appl. 2001. V. 4. № 3. P. 397-428.

35. Carro M.J., Rapozo J.A., Soria J. Recent developments in the theory of Lorentz spaces and weighted inequalities // Mem. Amer. Math. Soc. 2007. V. 187. № 877. xii+128 pp.

36. Goldman M.L., Heinig H.P. and Stepanov V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces, Canad. J. Math. 48 (1996), no. 5, 959-979.

37. Gogatishvili A., Pick L. Discretization and antidiscretization of rearrangement-invariant norms, Publ. Mat. 47 (2003), 311-358.

38. Gogatishvili A., Stepanov V.D. Reduction theorems for operators on the cones of monotone functions //J. Math. Anal. Appl. 2013. V. 405. № 1. P. 156-172.

39. Hardy G.H. Notes on some points in the integral calculus, LX. An inequality between integrals. // Messenger Math. 1925. V. 54. P. 150156.

40. Heinig H.P., Maligranda L. Weighted inequalities for monotone and concave functions. // Studia Math. 1995. V. 116. № 2. P. 133-165.

41. Johanson M., Stepanov V.D., Ushakova E.P. Hardy inequality with three measures on monotone functions // Math. Inequal. Appl. 2008. V. 11. № 3. P. 393-413.

42. Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific, New Jersey. 2003.

43. Kufner A., Maligranda L., Persson L.-E. The Hardy inequality. About its history and some related results. Vydavatelsky Servis, Pilsen. 2007.

44. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy type operators. // Proc. London Math. Soc. (3) 1999. V. 79. № 3. P. 649-672.

45. Lorentz G.G. On the theory of spaces A. // Pacific J. Math. 1951. V. 1. P. 411-429.

46. Maligranda L. Weighted inequalities for quasi-monotone functions. // J. London Math. Soc. (2) 1998. V. 57. № 2. P. 363-370.

47. Martin-Reyes F.J., Sawyer E. Weighted inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106. № 3. P. 727-733.

48. Muckenhoupt B. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. 1972. V. 44. P. 31-38.

49. Opic B., Kufner A. Hardy-type inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics, Series 219, Longman Science and Technology, Harlow. 1990.

50. Persson L.- E., Popova 0. V., Stepanov V.D. Two - sided Hardy inequalities for monotone functions // Complex Var. Elliptic Equ. 2010. V. 55, N 8-10. P. 973-989.

51. L.-E. Persson, O.V. Popova and V.D. Stepanov Weighted Hardy-type inequalities on the cone of quasi-concave functions, Math. Inequal. Appl. 17, (2014), no 3, 879-898.

52. Persson L.- E., Stepanov V.D., Ushakova E.P. Equivalence of Hardy - type inequalities with general measures on the cones of nonnegative respective non-increasing functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. V. 134. № 8. P. 2363-2372.

53. Prokhorov D.V. Inequalities of Hardy type for a class of integral operators with measures. // Anal. Math. 2007. V. 33. № 3. P. 199225.

54. Prokhorov D. V. Weighted Hardy's inequalities for negative indices. 11 Publ. Mat. 2004. V. 48. № 2. P. 423-443.

55. Roy den H.L. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. 1988.

56. Sawyer E. Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces, Studia Math., 96 (1990), 145-158.

57. Sinnamon G. A weighted gradient inequality. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 1989. V. 111. № 3-4. P. 329-335.

58. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial-type inequalities. // J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 160. № 2. P. 434-445.

59. Sinnamon G. Spaces defined by the level function and their duals. // Studia Math. 1994. V. 111. № 1. P. 19-52.

60. Sinnamon G. The level function in rearrangement invariant spaces. 11 Publ. Mat. 2001. V. 45. № 1. P. 175-198.

61. Sinnamon G. Embeddings of concave functions and duals of Lorentz spaces. // Publ. Mat. 2002. V. 46. № 2. P. 489-515.

62. Sinnamon G. Transferring monotonicity in weighted norm inequalities. // Collect. Math. 2003. V. 54. № 2. P. 181-216.

63. Sinnamon G. Hardy's inequality and monotonocity. // Function Spaces and Nonlinear Analysis (Eds.: P. Drabec and J. Rakosnik). Mathematical Institute of the Academy of Sciences of the Czech Republic, Prague. 2005. P. 292-310.

64. Sinnamon G., Stepanov V.D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p=l //J. London Math. Soc. 1996. V. 54. № 2. P. 89-101.

65. Stepanov V.D. Two-weighted estimates for Riemann-Liouville integrals. // Czeskoslovenska Akademie Ved Matematicky Ustav. 1988. V. 39. P. 1-28.

66. Stepanov V.D. Integral operators on the cone of monotone functions 11 J. London Math. Soc., 1993. V. 48. № 3. P. 465-487.

67. Stepanov V.D., The weighted Hardy's inequality for nonincreasing functions, Trans. Amer. Math. Soc. 338 (1993), 173-186.

68. Stepanov V.D. Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators. // J. London Math. Soc. (2) 1994. V. 50. № 1. P. 105-120.

69. Stepanov V.D., Ushakova E.P. Alternative criteria for the bounded-ness of Volterra integral operators in Lebesque spaces. // Math. Ine-qual. Appl. 2009. № 12: 4. P. 873-889.

70. Stepanov V.D., Ushakova E.P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications // Math. Inequal. Appl. 2010. V. 13. № 3. P. 449-510.

71. Stepanov V.D., Tikhonov S. Yu. Two power - weight inequalities for the Hilbert transform on the cones of monotone functions // Complex Var. Elliptic Equ. 2011. V. 56. № 10-11. P. 1039-1047.

72. Шамбилова Г. Э. Весовые неравенства для квазилинейных интегральных операторов на конусе монотонных функций. // Вестник РУДН. т. 2013. С. 17-28

73. Шамбилова Г.Э. Весовые неравенства для одного класса квазилинейных интегральных операторов на конусе монотонных функций.// Сибир. матем. журн. Т 55. №4. 2014. С. 912-936. Англ. пер.: Shambilova G.E. The weighted inequalities for a certain class of quasilinear integral operators on the cone of monotone functions. // Siberian Mathematical Journal. 2014. V. 55. No 4. P. 745-767.

74. Степанов В.Д., Шамбилова Г.Э. О весовой ограниченности одного класса квазилинейных операторов на конусе монотонных функций. // Доклады АН. Т 458. № 3. 2014. с. 268-271. Англ. пер.: Stepanov V.D., Shambiova G.E. Weight Boundedness of a Class of Quasilinear Operators on the Cone of Monotone Functions. // Dok-lady Mathematics. 2014. V 90. No 2. P 569-572.

75. Persson L.-E., Shambilova G.E., Stepanov V.D. Hardy-type inequalities on the weighted cones of quasi-concave functions.//Banach

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

J. Math. Afial. 2015. No 2. P. 21-34.