Некоторые экстремальные задачи теории приближения и поперечники классов функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Тухлиев Камаридин

• Тухлиев Камаридин
• доктор наук
• 2017

Оглавление диссертации доктор наук Тухлиев Камаридин

Введение

Глава I. Наилучшее приближение периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве Ь2 и значение поперечников некоторых классов функций

§1.1. Обозначения и определения. Постановка задач

§1.2. Неравенства содержащие наилучшие приближения и характеристики гладкости 0,т из Ь^

§1.3. Приближение некоторых классов сверток

§1.4. Точные значения п-поперечников некоторых классов периодических функций, задаваемых модулем непрерывности 0,т(ф; Ь) . 85 §1.5. Неравенства Джексона - Стечкина для усредненной характеристики гладкости Лт на классах функций Ь^, а € .... 98 §1.6. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и

характеристиками гладкости лт(/; Ь) в пространстве Ь2 .... 110 §1.7. Точные значения п-поперечников классов функций Wp,л1 (К; Ф)

в Ь2

Глава II. Среднеквадратическое приближение функций рядами Фурье — Бесселя и значения поперечников некоторых функциональных классов

§2.1. Точные верхние грани наилучших приближений суммами Фурье - Бесселя в пространстве Ь2([0, у\,х(1х)

§2.2. Основной результат и некоторые следствия

§2.3. Оценка величины наилучших приближений посредством К-

функционала Петре

§2.4. Точные значения п-поперечников некоторых классов функций 139 §2.5. Значения п-поперечников классов функций, задаваемых посредством К-функционала

Глава III. Некоторые экстремальные задачи приближения

функций на всей оси целыми функциями

§3.1. О наилучших приближениях целыми функциями в пространстве L2(R)

§3.2. Неравенства Джексона - Стечкина в пространстве L2(R) . . . 149 §3.3. Точные значения средних v-поперечников классов целых

функций экспоненциального типа из L2(R)

§3.4. Верхние грани оценки остатка преобразования Фурье на некоторых классах функций в L2(R)

Глава IV. Оптимальные квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода

§4.1. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и

кривых, задаваемых модулями непрерывности

§4.2. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода на классах функций Wpk\fc, Q), w(kJ(K,Q) и кривых Nq(L)

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые экстремальные задачи теории приближения и поперечники классов функций»

Общая характеристика работы Актуальность темы

Теория приближения функций, основы которой были заложены в классических трудах П.Л.Чебышева и К.Вейерштрасса о наилучшем равномерном приближении функций алгебраическими и тригонометрическими полиномами, и сегодня является одной из наиболее интенсивно развивающихся областей математики. В начале двадцатого века теория приближения функций стремительно развивалась и сформировалась в отдельную ветвь математического анализа. Фундаментальные результаты, связанные с изучением скорости убывания величины наилучших приближений функций в зависимости от ее структурных свойств, были получены в работах А.Лебега, Ш.Ж.Валле-Пуссена, Д.Джексона и С.Н.Бернштейна. В дальнейшем своем развитии теория приближения прошла три этапа: от наилучшего приближения индивидуальных функций на первом этапе до наилучшего приближения классов функций во втором этапе и, наконец, выбора экстремальных приближающихся подпространств на третьем этапе. Этот последний этап связан с именем А.Н.Колмогорова [63], который в 1936 г. ввел в теорию приближений понятие поперечника множества, известного теперь как поперечник по Колмогорову. Отыскание точного значения колмогоровского поперечника связано с указанием наилучшего приближающегося подпространства заданной размерности - это подпространство, которое реализует поперечник по Колмогорову. Кроме поперечника Колмогорова, в теории приближений используется ряд других поперечников: Бернштейна, Гельфанда, линейный, проекционный, тригонометрический и информационный.

Нахождение точных значений вышеперечисленных величин связано с решением экстремальных задач вариационного содержания и в большинстве случаев является задачами на экстремум: требуется найти точную верхнюю грань погрешности приближения заданным методом на фиксированном клас-

се функций или указать для этого класса наилучший метод приближения. Цели и задачи исследования

В диссертационной работе решается ряд конкретных экстремальных задач, связанных с:

• наилучшим приближением периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве L2 := L2[0, 2п] и отысканием точных констант в неравенстве Джексона - Стечкина (глава I);

• вычислением точных значений n-поперечников классов функций, задаваемых усредненными с весом значениями обобщенных модулей непрерывности m-го порядка, определяемых оператором Стеклова (глава I);

• наилучшим полиномиальным приближением функций частными суммами Фурье - Бесселя в пространстве L2([0,1],xdx) (глава II);

• вычислением точных значений n-поперечников классов функций, задаваемых специальными модулями непрерывности m-го порядка, определяемыми дифференциальным оператором Бесселя второго порядка (глава II);

• приближением функций, суммируемых с квадратом на всей оси, целыми функциями экспоненциального типа (глава III);

• вычислением точных значений средних v-поперечников некоторых классов функций, определяемых модулями непрерывности m-го порядка, в пространстве L2(—ж, +ж) (глава III);

• вычислением верхней грани оценки остатка преобразования Фурье на классах функций, задаваемых обобщенными модулями непрерывности m-го порядка, в пространстве L2(R) (глава III);

• отысканием оптимальных квадратурных формул приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности и некоторых других классов функций и кривых (глава IV).

Методы исследования

При решении указанных задач в первой главе в качестве аппарата приближения используются тригонометрические полиномы; во второй

обобщенные полиномы; в третьей главе применяются целые функции экспоненциального типа. При нахождении оптимальных квадратурных формул в смысле С.М.Никольского для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого типа в четвертой главе привлечены тонкие факты функционального анализа вариационного содержания. При доказательстве оптимальности полученных квадратурных формул используется метод Н.П.Корнейчука оценки остатка квадратурных формул на множестве функций, для которых квадратурная сумма обращается в нуль.

Научная новизна исследований

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

• найдены точные неравенства Джексона - Стечкина, связывающие величины наилучшего полиномиального приближения периодических функций с обобщенным модулем непрерывности т-го порядка в метрике Ь2[0, 2п\, определяемым оператором Стеклова;

• вычислены точные значения п-поперечников классов периодических функций, задаваемых усредненными с весом значениями обобщенных модулей непрерывности т-го порядка в пространстве Ь2[0, 2п\;

• найдено точное неравенство Джексона - Стечкина между величиной наилучшего приближения функции частными суммами Фурье - Бесселя и специальными модулями непрерывности т-го порядка, определяемыми дифференциальным оператором Бесселя второго порядка;

• вычислены точные значения п-поперечников некоторых классов функций, задаваемых специальными модулями непрерывности т-го порядка;

• найдено точное неравенство Джексона - Стечкина, связывающее величины наилучшего приближения функций, суммируемых с квадратом, целыми функциями экспоненциального типа с усредненным весом обобщенным модулем непрерывности т-го порядка г-ых производных функций;

• вычислены точные значения средних ^-поперечников некоторых классов функций, определяемые модулями непрерывности т-го порядка в

пространстве Ь2(-ж, +ж);

• вычислены верхние грани оценки остатка преобразования Фурье на классах функций, задаваемых обобщенными модулями непрерывности т-го порядка, в пространстве Ь2(Ж);

• найдены оптимальные квадратурные формулы в смысле С.М.Никольского приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода для классов функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности первого порядка;

• найдены оптимальные квадратурные формулы в смысле С.М.Никольского приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода для классов функций, у которых норма градиента в пространстве

1 < р < ж ограничена.

Достоверность результатов

Все результаты диссертационной работы получены с помощью строгих математических доказательств.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Развитые в ней методы и полученные результаты могут применяться в других экстремальных задачах теории приближений, теории функций многих переменных, оптимизации вычислений многомерных интегралов. Главы диссертации в отдельности могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по специальности математики.

Апробация работы

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на:

• семинарах отдела теории функций и функционального анализа Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан под руководством академика АН РТ М.Ш.Шабозова (Душанбе, 2008-2016 г.);

• международной конференции Современные проблемы анализа и преподавания математики", посвященной 105-летию академика С.М.Никольского (Москва, 17-19 мая 2010 г.);

• международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее приложения" (Душанбе, 28-30 июня 2011 г.);

• международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций" (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.);

• международной научной конференции Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений", (Душанбе, 17-18 июня 2013);

• 4-й международной конференции Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 90-летию члена-корреспондента РАН Л.Д.Кудрявцева (Москва, 25-29 марта 2013 г.);

• международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее преподавания", посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.);

• международной научной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения -V" (Ростов-на-Дону, 26 апреля - 1 мая 2015 г.);

• IX международной научно-практической конференции "Теоретические и прикладные аспекты современной науки" (Белгород, 31 марта 2015 г.);

• международной научной конференции Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (Душанбе, 27-28 апреля 2015 г.);

• международной конференции Функциональные пространства и теория приближения функций", посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского (Москва, 25-29 мая 2015 г.);

• XII международной Казанской летней Школы-Конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 27 июня по 4 июля 2015 г.);

• международной летней математической Школы-Конференции С.Б.Стечкина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа 2016 года);

• международной Школы-Конференции "Соболевские чтения" (Новосибирск, 18-22 декабря 2016 г).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 30 печатных работах автора. Из них 20 статьей опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК Российской Федерации, а 10 статьей в трудах международных конференций. Из совместных с М.Ш.Шабозовым [142,143,145,146] работ на защиту выносятся лишь результаты, полученные лично автором. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы из 164 наименований, занимает 236 страниц машинописного текста и набрана на ЬаТеХ. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первая цифра совпадает с номером главы, вторая указывает на номер параграфа, а третья на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Краткое содержание работы

Первая глава диссертация посвящена экстремальным задачам теории наилучших приближений периодических функций тригонометрическими полиномами в гильбертовом пространстве Ь2 := Ь2[0, 2п]. Этот важный раздел теории аппроксимаций уже неоднократно освещался как в отдельных научных статьях, так и в монографической литературе. Наиболее полное изложение этого вопроса дано в монографиях Н.П.Корнейчука [67,69], В.М.Тихомирова [100], В.И.Иванова и О.И.Смирнова [54]. В этом направление некоторые результаты окончательного характера ранее были получены в работах Н.И.Черных [105-107], Л.В.Тайкова [96-98], А.А.Лигуна [71, 73,74], В.А.Юдина [128,129], В.В.Арестова и В.Ю.Попова [13], А.Г.Бабенко [16,17], А.Г.Бабенко, Н.И.Черных, В.Т.Шевалдина [18], В.И.Иванова [57,58], Н.Айнуллоева [8-10], Х.Юссефа [130], В.В.Шалаева [126], С.Б.Вакарчука [27-32], С.Б.Вакарчука и В.И.Забутной [33, 34, 36], С.Н.Васильева [41], А.И.Козко и А.В.Рождественского [62], М.Ш.Шабозова [111], М.Ш.Шабозова

и Г.А.Юсупова [121-123,125], Г.А.Юсупова [131-133] и других математиков. Полученные в первой главе результаты являются своеобразным развитием некоторых идей, содержащихся в цитированных выше работах. Здесь изложены неулучшаемые неравенства между величинами полиномиальных приближений 2п-периодических функций и усредненными с положительным весом обобщенными модулями непрерывности т-го порядка, определяемыми оператором Стеклова. Полученные результаты отличаются от имеющихся тем, что почти все неравенства теории наилучших приближений приведены с конкретными постоянными. Таким образом, решаются вопросы, связанные с нахождением точных постоянных в неравенствах Джексона - Стечкина, с построением и изучением методов приближения, реализующих эти оценки.

Базируясь на полученных результатах, для некоторых классов функций, естественно возникающих при решении приведенных экстремальных задачах, вычислены точные значения различных п-поперечников.

Приведем нужные нам в дальнейшем определения и обозначения.

Пусть N — множество натуральных чисел; Ъ+ = N и {0}; — множество всех положительных чисел вещественной оси. Пусть Ь2 — пространство измеримых и суммируемых с квадратом по Лебегу вещественных 2п-периодических функций /, имеющих конечную норму

112; \1/2 ИI = И к := i П у \И М\2^1 .

При решении некоторых экстремальных задач теории приближения для изучения структурных и конструктивных свойств функции И Е Ь2 в последнее время часто используют различные модификации обычного модуля непрерывности т-го порядка:

шт(М : =8ПР{||ДИ(•)Ць2 : \Н\ < г], (0.0.1)

где

т , \

Д т(/5*) = £(-1)тД (х + кН)

- конечная разность т-го порядка функции / в точке х с шагом Н.

Для описания приведенной ниже модификации модуля непрерывности, исходя из определения функции (оператора) Стеклова

н

Бн(/, х) = 2н //(х + тН> 0,

-н

полагаем Бн,г(/) = Бн(Бн,-\(/)), где г е N и Бн,о(/) = /. Обозначив через I

— единичный оператор в Ь2, определим конечные разности первого и высших порядков [3]:

ДН(/,х) = Ян(/,х) - /(х) = (Бн - 1)(/,х),

Am(f,x) = А^ -),x) =

= (Sh - I)m(f, ж) = ¿(-1)m-^7^) Shi(f, x), m = 2,3,4,....

¡=0 ;

Используя указанные обозначения, введем следующую характеристику гладкости функции f Е L2

qm(f,t) = sup{||Am(f)|| : 0 <h < t}, (0.0.2)

которую назовем обобщённым модулем непрерывности m-го порядка.

Через 0:2п-1 обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка не выше n — 1. Известно, что для произвольной функции f Е L2, которая имеет разложение в ряд Фурье

f (x) - + £ a (f) C°s jx + bj (f) sin jx), (0.0.3)

j=i

величина ее наилучшего приближения элементами подпространства ^2n—1 равна

En-i(f) := inf | If — Tn—ill : Tn—i Е %2n—i} =

= Wf - s—f )|| = > jf)

íe p?(f)}

I j=n )

1/2

где sn—1(f) - частичная сумма порядка n — 1 ряда Фурье функции f, p2(f) = Oj(f) + b2(f), j G N, aj(f),bj(f) — косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции f.

Полученные в первой главе результаты связаны с определением дробной производной в смысле Вейля, которая для f G L2 с рядом (0.0.3) определяется равенством

то

f (a)(x) = ^ ka \aak cos (kx + On) + bk sin (kx + } • k=i

Далее, через L^ (a > 0, L^ = L2) обозначим множество функций f G L2, у которых существует производная в смысле Вейля f(а) G L2 (a > 0).

Если sn—1(f (а),х) (a > 0) - частичная сумма порядка n — 1 ряда Фурье функции f(а), то легко доказать, что наилучшее приближение функции f(а) G L2 тригонометрическими полиномами Tn—1 степени не выше n — 1 имеет вид

En-i(f(a)) = inf {Wf(a) - Tn-iW : Tn-i G ^2n-i}

/то \ 1/2

= Wf(a) -sn-i(f(a))w = ^k2api(f) •

\ k=n /

Всюду далее полагаем

I sin t , „ j Л

sine t := < -, если t = 0; 1, если t = 0>.

1 t ' = ; '

Несложное вычисление показывает, что для произвольной f G L^ имеет место равенство

tfm(f (a),t) = sup IT k2ap2k (f) (1 - sine kh)2m : \h\< t

{g k2api (f )(1 - sine kh)2m : \h\ < t^.

Для компактного изложения последующих результатов вводим в рассмотрение экстремальную характеристику

Xn,a,p(^m,q,h) = sup -En—(f)- ,

¡еьа í h 4 '

f=const П npm(f(a),t)q(t)dt

где m,n G N, a > 0, p G R+, 0 < h < п/n, q > 0 — весовая функция на отрезке [0, h]. Отметим, что величина (0.0.4) при a G N была исследована в работах [36,123] и при различных значениях параметров m,p и конкретных весовых функциях q многими другими математиками (см. в [36] подробную литературу с комментариями).

Отметим, что ряд экстремальных задач теории аппроксимации, связанные с понятием дробной производной в смысле Вейля ранее рассматривались в работах А.И.Козко [61], М.Г.Есмаганбетова [49], М.Ш.Шабозова и С.Д.Темурбекова [120], Г.А.Юсупова [134] и др.

Основным результатом второго параграфа первой главы является

Теорема 1.2.1. Пусть m G N, a > 0, 0 <p < 2, 0 < h < п/n, n G N, q - весовая функция на отрезке [0,h]. Тогда справедливы неравенства

\Anm,ap(q,h)\ < Xn,ap(^m,q,h) <{ inf Akm,ap(q,h)\ , (0.0.5)

L J \и<к<ж I

где i /

Ak ,m ,a ,p(q, h) = ^kap J (1 - sin ckt)mp q(t)dt j , k > n.

Отметим, что двустороннее неравенство (0.0.5) для обычных модулей непрерывности m-го порядка um(f (r),t),r G N, (0 < t < 3n/(4n), при p =2 было доказано А.А.Лигуном [73], а в случае 0 < p < 2, М.Ш.Шабозовым и Г.А.Юсуповым [122]. Теорема 1.2.1 является распространением результата [36] для специального модуля непрерывности Qm(f (a),t),a G R+, 0 <t < п.

В связи с утверждением теоремы 1.2.1 возникает естественный вопрос: выяснить условия, при выполнении которых будет иметь место соотношение

inf Ak,m,a,p(q, h) = An,m,ap(q,h), (0.0.6)

н<к<ж

равносильное задаче о точности двустороннего неравенства (0.0.5). Ответ на поставленный вопрос содержится в следующем утверждении.

Теорема 1.2.2. Пусть q - весовая функция на отрезке [0,h] (0 < h < n/n, n E N) является дифференцируемой. Если при некотором а Е R+, а > 1, 1/а < р < 2 и любых t Е (0, h) выполнено дифференциальное неравенство

(ар - 1)q(t) - tq'(t) > 0, (0.0.7)

то справедливо соотношение (0.0.6) и, следовательно,

h \ -1/р

Xn,a,p(^m,q,h) = -1 I i (1 - sinc nt)mp q(t)dt

Из теоремы 1.2.2, в частности, вытекает

Следствие 1.2.2. В условиях теоремы 1.2.2 при р = 1/m, m Е N, q(t) = 1, а > m или q(t) = t, а > 2m соответственно имеют место равенства:

1 ( \ -m

Xn,aA/m(^m, 1,h) = ( nh - Si(nh) J ,

rn V /

где Si(t) = J -du - интегральный синус;

о

ггл 7 4 1 ((nh)2 . 2 nh\ m

Xn,a,1/m(^m, t, h) = - 2 81П YJ

В частности, если nh = n, то

Xn,а,l/m(^m, 1,n/n) = ^ (П - Si(n))"

1 2Ш

Хп,а,1/т = ' (п2 _ 4)т '

В третьем параграфе рассмотрена экстремальная задачу (0.0.4) в более общей ситуации, для классов сверток, когда структурные характеристики функции / Е Ь2 характеризуются обобщенным модулем непрерывности

t

причём для доказательство соотношение (0.0.6) не требуется выполнения дифференциального неравенства (0.0.7), а требуется лишь накладывать некоторое ограничение на поведение весовой функции д.

Рассматриваются функции / € Ь2, представимые в виде свертки

2п

](х) = (к * ф)(х) = У к(х — г)ф(г)м, (0.0.8)

0

где К € Ь2 - некоторая фиксированная функция (ядро), а ф будет пробегать некоторое подмножество функций из Ь2. Пусть

к(г) - V щвш, щ = — к(г)е—11Чг, I € (0.0.9)

[=-ж> 0

1 „

ф(г) - ^ Ь еШ> Ь = ф(*)е-Шаг> 1 € z

1=—то 0

— ряды Фурье этих функций. Очевидно ряд Фурье свертки (0.0.8) имеет вид

то

/(х) - ^ акЬке*кх. (0.0.10)

При этом

1/2

2

где

Ей—1 (/) = \\/ — вп—1(/)|| = i \акЬк\

<\к\>п

вп—1 (/,х)= ^ ак Ьк егкх

\к\<п—1

— частичная сумма (п — 1)-го порядка ряда Фурье (0.0.10) функции / € Ь2.

Для изучения аппроксимативных свойств свертки (0.0.8) вводится в рассмотрение экстремальная характеристика

1En-1(K^ ф) \an\ 1En-1(f (0011)

= sup -1- = sup -1-, (0.0.11)

vgL2 / h \1/p vgL2 / h \ 1/p

^COnSt ( Г vPm(v,t)q(t)dt\ ^COnSt If ^,t)q(t)dt

где m,n G N, p G R+, 0 < h < п/n, an = an(K) — n-й коэффициент Фурье функции K (см . (0 . 0 . 9)), q — весовая функция на отрезке [0, h].

Доказано следующее утверждение:

Теорема 1.3.1. Пусть 0 < p < 2, коэффициенты Фурье ak := ak(K) ядро Kg L2 удовлетворяют условиям

|ao| =0, \ak\k1/p > \ak+i\(k + 1)1/p, k G N. (0.0.12)

Пусть h> 0. Если q > 0 — невозрастающая весовая функция на [0,h], то величина (0.0.11) при любых m,n G N и 0 < h < 3n/(4n) удовлетворяет равенству

(г \ ~-1/

Mn,p(^m, q,h)= ( (1 - sine nt)mp q(t)dt I . (0.0.13)

Существует свёртка f0 := (K * ф0), ф0 G L2, ф0 = const, реализующая верхнюю грань в (0.0.11), равная правой части (0.0.13).

Отметим, что условие (0.0.12) при решении экстремальных задач теории полиномиального приближения функции f G L2 впервые использовал A.Pinkus (см., например, монографию [84, с.109, теорема 4.9]), когда структурная характеристика функции f G L2 задавалась классическим модулем непрерывности uim(f(r),t), r G N в случае веса q(t) = 1. Результат теоремы 1.3.1 в известном смысле является обобщением и распространением упомянутого результата A.Pinkus для усредненных с произвольным весом q(t) значений обобщенного модуля непрерывности

В завершении этого параграфа заметим, что для произвольного a > 0 функция q*(t) := e-at является весовой и убывающей на отрезке [0, h]. В силу (0.0.13) приходим к следующему утверждению.

Следствие 1.3.1. Пусть 0 < р < 2, д*(£) := е—аЬ, где а > 0, 0 < £ < Н (0 < Н < 3п/(4п)), коэффициенты Фурье функции К € Ь2 удовлетворяют условиям (0.0.12) теоремы 1.3.1. Тогда при любых т,п € N выполняется равенство

В четвертом параграфе первой главы вычисляются точные значения п-поперечников некоторых классов периодических функций, задаваемых модулем непрерывности 0,т(ф,Ь).

Приводим необходимые нам в дальнейшем определения. Всюду далее в диссертационной работе рассматриваются различные гильбертовы пространства. Поэтому мы приводим определения рассматриваемых нами в дальнейшем п-поперечников в произвольном гильбертовом пространстве Н.

Пусть Б — единичный шар в пространстве Н; М — выпуклое центрально-симметричное подмножество из Н; Лп С Н — п-мерное подпространство; Лп С Н — подпространство коразмерности п; % : Н ^ Лп — непрерывный линейный оператор; %^ : Н ^ Лп — непрерывный оператор линейного проектирования. Величины

Ьп(М, Н) = вир {вир {е > 0, еБ П Лп+1 С М} : Лп+1 С Н} , (0.0.14)

йп(Ш, Н) = 1п£ {вир {Ы {\\/ — д\\ : д € Лп} : / € М} : Лп С Н} , (0.0.16) 6п(ш,Н) = 1п£ {Ы {вир {\Ц — %/\\ : / € м} : С Лп} : Лп С Н} ,

= 1п£ {1п£ {вир {\\/ — \\: / € М} : С Л^} : Лп С Н} (0.0.18)

называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоров-ским, линейным, проекционным п-поперечниками. Известно [84; 100], что пе-

¿п(М,Н) = 1п£{вир{\\/\\ : / € м П Лп} : Лп С Н} ,

(0.0.15)

(0.0.17)

Пп(М,Н)

речисленные выше п-поперечники монотонны по п и в произвольном гильбертовом пространстве Н связаны соотношениями:

Ьп(м, Н) < ¿п(м, Н) < ¿п(м, Н) = 6п(м, Н) = Пп(м, Н).

Пусть т,п € N5 0 < Н < 3п/(4п), 0 < р < 2 и д — неотрицательная, непрерывная и неубывающая на отрезке [0, Н] весовая функция. В пространстве Ь2 определим класс функций

W = W(т,р,д,Н, К) = = |к* Ф : i прт(ф,£)д№ < 1.

Пусть Ф(£) > 0 — произвольная возрастающая на [0, то) функция, такая, что Ф(0) = 0. При тех же ограничениях на параметры т,п,р и 0 < Н < 2п в случае, когда весовая функция д = 1, введем в рассмотрение класс функций

W(Ф, К) = W(т,р, Ф, К) =

h

K* ф : i i Wm(<p,t)dt < ФР(Н)

Полагая в точке t = 0 значение функции sine t равным 1, следуя работу [36], через t* обозначим значение аргумента sine t, при котором она достигает наименьшего значения на множестве R+ = (0, +ж). Заметим, что число t* является наименьшим положительным корнем уравнения t = tg t. Легко вычислить, что 4,49 < t* < 4, 51. Далее вводим обозначение

1 — sine t, если 0 <t < t*;

(1 — sine t) :=

1 — sine t*, если t* < t < ж.

Теорема 1.4.1. Пусть m,n <E N, 0 < p < 2, 0 < h < t*, q — непрерывная невозрастающая весовая функция на отрезке [0,h], коэффициенты Фурье

:= (К) функции К Е Ь2 удовлетворяют условиям (0.0.12) теоремы 1.3.1. Тогда справедливы равенства

\2п (W,L2) = X2n-i(W,L2) = En_i(W )l2 =

-i/p

= \an\ | I (1 — sine nt)mp q(t)dt

где { }

En—i(W )2 = sup I En—i(f )2 : f E Wj,

Xk(•) — любой из перечисленных выше k-поперечников, определённых равенствами (0.0.14) - (0.0.18).

Рассмотрим одно конкретное применение теоремы 1.4.1. Пусть r E R+ (r > 1) и a E R — произвольное действительное число. Положим

то

Br, а(x) = k—r cos (kx — ^ • (0.0.19)

k=i

При г = а, г, а Е N функция (0.0.19) есть многочлен Бернулли. Обозначим

(г)

через Wa Ьр, г Е К+, а Е К, 1 < р < ж класс непрерывных периодических функций /, допускающих представление (см. [94; 68, с. 51])

!(х) = С + (Вгаа * ф)(х), (0.0.20)

где С Е К, ф Е Ьр (1 < р < ж), ф±сопб^

Из представления (0.0.20), в частности, следует, что если г = а, г, а Е К+, то ф(Ь) = /(г)(£) - производная дробная порядка г в смысле Вейля [94], а Wr(г)L2 (г Е К+) есть класс функций / Е Ь^ (г Е К+), у которых дробная производная /(г) в смысле Вейля удовлетворяет условию \\/(г)\\ < 1. Положим

— Е - Ч ■■

Поскольку коэффициенты ядра (r Е R+, а Е R) удовлетворяют соотношениям \an\ = n—r (n Е N, r Е R+, r > 1), то неравенство

\aj\j1/p >\aj+i\(j + 1)1/p, j Е N,

выполняется для 1/r < p < 2 (r > 1, r Е R+). В силу теоремы 1.4.1 мы приходим к следующему утверждению.

Следствие 1.4.1. При любых m,n Е N, 1/r < p < 2 (r Е R+, r > 1) и 0 < h < n/n справедливы равенства

A2n(^(r) (h,q),L2) = A2n—1(W (r)(h,q ),L2) = En—i(W (r)(h,q))L2 =

{h \ —1/p j (1 — sine nt)pm q(t)dt

Теорема 1.4.2. Пусть m,n Е N, 0 < p < 2 и мажоранта Ф при любых значениях h Е R+ удовлетворяет ограничению

nh

/ (1 — sine t)mp dt

«> Y > П • 1_. (0.0.21)

\ф(п/и)) - nh П v J

/ (1 — sine t)mp dt

о

Коэффициенты Фурье ak := ak(K) функции (ядро) K удовлетворяют условиям (0.0.12) теоремы 1.3.1. Тогда справедливы равенства

A2n(W (Ф, K),L2) = A2n—i(W (Ф, K),L2) = En—i(W (Ф, K))l2 =

П

—1/p

\anY \ 1 (1 — sine т)mp drф(n)

о

где Хк(•) — любой из вышеперечисленных п-поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (0.0.21), не пусто. Доказано, что указанному условию удовлетворяет, например, функция

Ф,(£) = 0 <р < 2,

Y = y(m,p) = n | J (1 — sine r)mp dr— 1 (mp < y < 2mp).

Из теоремы 1.4.2 в случае K = Brr (r E R+, 1/r < p < 2, r > 1) вытекает Следствие 1.4.2. В условиях теоремы 1.4.2 справедливы равенства

\2n(W(Ф, Br,r),L2) = A2n— l(W(Ф, Br,r),L2) = En—i(W(Ф, Br,r)k =

n \ —i/P

1J (1 — sine r)mp drn—r Ф(n)-

о J

В качестве второй модификации классического модуля непрерывности в пятом параграфе первой главы рассматривается усредненная характеристика гладкости функции f E L2

t \ У2

Am(f,t) := < tj llAm(f)||^, t E R+, (0.0.22)

ранее введенная в работах К.В.Руновского [92] и Н.Н.Пустовойтова [91].

Основные свойства аппроксимационной характеристики (0.0.22) подробно изучены в работе С.Б.Вакарчука и В.И.Забутной [40]. Очевидно, что из равенств (0.0.1) и (0.0.22) при любом t E R+ следует неравенство

Am(f,t) < ||Дm(f)|| < Um(f,t).

Пусть

t

Jkm(t) = 1 J (1 — cos kr )mdr. (0.0.23)

о

С целью отыскания точной константы в неравенстве Джексона - Стечкина вводится экстремальная характеристика

naEn—i (f)

Xm, n, a(L2,t) = SUp

¡EZ Яf

где m,n е N, а е R+, f(0) = f, L^ = L2, 0 <t < 2п.

Теорема 1.5.1. При а > 1/2 справедливо равенство

, ™ ... -1/2 = 2

/ \ -1/2 XmnAL 2,t) = (2mJi,m(t^ , (0.0.24)

где функция J1, m(t) определяется равенством (0.0.23). В частности,

-1/2

-1/2

Xm n a(L2,n)= [Cm) • (0.0.25)

Отметим, что из (0.0.24) при m = 1 вытекает

X1,n,o.(L2, t) = [2 (1 - sinet)]-1/2

из которого, в частности, получаем

X1, n a(L2,n ) = —. (0.0.26)

Равенства (0.0.25) и (0.0.26) являются в известном смысле аналогами хорошо известных результатов Н.И.Черных [105] для функции f е L^.

Следующую далее теорему 1.5.2 можно рассматривать как распространение и обобщение одного результата М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова (см., например, [122, теорема 1]) в рассматриваемом нами случае использования характеристики гладкости Лт.

Теорема 1.5.2. Пусть m,n е N, а е R+, 0 < p < 2, h е (0, 2n/n] - произвольное число, q — весовая функция на отрезке [0, h]. Тогда справедливы неравенства

\nn,m,a,p(q,h)\ < sup -2-En-l(f)-1/- <1 inf Щ^ар^, h)\

L J f La) / h \ 41 ^ n<k<rn J

f=Jnst I J Лm(f (a),t)q(t)dt

(г л1/Р

Щ.т.ак) = \ка" I гГ2д(г)йг

Рассмотрим ряд следствий, вытекающих из теоремы 1.5.2.

Следствие 1.5.1. Пусть п Е N а Е К+, 0 < р < 2, 0 < к < 3п/(4п),

д — весовая функция на отрезке [0,к]. Тогда имеет место равенство

v2naEn—i(f) 1

Др ( h y/p Г h л i/p

/=C02nst ^ j Лl(f M t)q(t)dt\ j (1 — sine nt)p/2q(t)dt

Следствие 1.5.2. Пусть n,m E N, a E R+, 1/a < p < 2, a > 1 и пусть h E (0, 2n/n], вес q = 1. Тогда имеет место равенство

2m/2En—i(f) 1 , .

sup -tj- =-т—тт. (0.0.27)

f eL(») / h \i/p Пп , m , a ,p(1,h)

/=const U Лpm(f M, t)dt

В частности, из (0.0.27) при m = 1 имеем

V2 naEn—i (f) 1

fElPa)'/ h \i/p ( h

¡=c0nst П Л^(a),t)dt i П (1 — sine nt)p/2dt

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Тухлиев Камаридин, 2017 год

Список литературы

1. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Приближение функций суммами Фурье-Бесселя // Известия вузов. Математика. 2001. Т.18, №8. С. 3-9.

2. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Об одной квадратурной формуле // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т.42, №4. С. 451-458.

3. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Некоторые вопросы приближения 2п-перио-дических функций суммами Фурье в пространстве Ь2(2п) // Матем. заметки. 2004. Т.76, №6. С. 803-811.

4. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Несколько замечаний о преобразовании Фурье в пространстве Ь2(Ж) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т.48, №6. С. 939-945.

5. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье на некоторых классах функций в пространстве Ь2[(а,Ь);р(х)] // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т.49, №6. С. 966-980.

6. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Некоторые новые оценки преобразования Фурье в пространстве Ь2(Ж) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т.53, №9. С. 1419-1426.

7. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье - Бесселя // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т.55, №6. С. 917-927.

8. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // ДАН ТаджССР. 1984. Т.27, №8. С. 415-418.

9. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 // ДАН ТаджССР. 1985. Т.28, №6. С. 309-313.

10. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // Применение функционального анализа в теории

приближений. Сборник научных трудов: Калининский госуниверситет. 1986. С. 3-10.

11. Алексеев Д.В. Приближение полиномами с весом Чебышева - Эрмита на действительной оси // Вестник МГУ. Математика. Механика. 1997. №6. C. 68-71.

12. Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т.51, вып. 6(312). С. 89-124.

13. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Известия вузов. Математика. 1995. №8. С. 13-20.

14. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. - М.: Наука. 1966. 345 с.

15. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965, 406 с.

16. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 // Матем. заметки. 1986. Т.39, №5. С. 651-664.

17. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве L2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Известия РАН. Серия матем. 1998. Т.62, №6. С. 27-52.

18. Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. Неравенства Джексона -Стечкина в L2 с тригонометрическим модулем непрерывности // Матем. заметки. 1999. Т.65, №6. С. 928-932.

19. Бабенко А.Г. О неравенстве Джексона - Стечкина для наилучших L2-приближений функций тригонометрическими полиномами // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2001. Т.7, №1. С. 30-46.

20. Бабенко В.Ф. Приближения, поперечники и наилучшие квадратурные формулы для классов периодических функций с перестановочно инвариантными множествами производных // Anal. Math. 1987. V.13, №4. С. 15-28.

21. Baraboshkina N.A. The Least Constant in Jackson's Inequality for Best Approximations of Functions in L2 by Finite-Dimensional Subspaces // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 2004. №1. P. S128-S136.

22. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства. - М.: Мир. 1965. 276 с.

23. Белкина Е.С., Платонов С.С. Эквивалентность ^-функционалов и модулей гладкости, построенных по обобщенным сдвигам Данкля // Известия вузов. Математика. 2008. №8. С. 3-15.

24. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при помощи целых функций данной степени // Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР. 1952. T.II. С. 371-375.

25. Боянов Б.Д. Существование оптимальных квадратурных формул с заданными кратностями узлов // Мат. сб. 1978. Т.105(147), №3. С. 342-370.

26. Вакарчук С.Б. Оптимальная формула численного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для некоторых классов функций и кривых // Укр. матем. журнал. 1986. Т.38, №5, С. 643-645.

27. Вакарчук С.Б. ^-функционалы и точные значения n-поперечников некоторых классов из L2 // Матем. заметки. 1999. Т.66, №4. С. 494-499.

28. Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях в L2 некоторых классов 2^-периодических функций и точных значениях их n-поперечников // Матем. заметки. 2001. Т.70, №3. С. 334-345.

29. Vakarchuk S.B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes // East Journal on Approx. 2004. V.10, №1-2. Р. 27-39.

30. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L2 // Матем. заметки. 2005. Т.78, №5. С. 792-796.

31. Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Джексона в L2[-1,1] и точных значениях n-поперечники функциональных классов // Укр. матем. вюник. 2006. Т.3, №1. С. 116-133.

32. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Матем. заметки. 2006. Т.80, №1. С. 11-19.

33. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East Journal on Approximation. Bulgarian Academy of Sciences: Sofia. 2008. V.14, №4. Р. 411-421.

34. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точное неравенство типа Джексона-Стеч-кина в L2 и поперечники функциональных классов // Матем. заметки. 2009. Т.86, №3. С. 328-336.

35. Вакарчук С.Б., Доронин В.Г. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов // Укр. матем. журнал. 2010. Т.62, №8. С. 1032-1043.

36. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона-Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 // Матем. заметки. 2012. Т.92, №4. С. 497-514.

37. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси I, II // Украшський математичний вТсник. 2012. Т.9, №3. С. 401-429, №4. С. 678-602.

38. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона для специальных модулей непрерывности на вещественной оси и точные значения средних v-поперечников классов функций в пространстве L2(R) // Укр. матем. журнал. 2014. Т.66, №6. С. 740-766.

39. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. О наилучших средне-квадратических приближениях целыми функциями экспоненциального

типа L2 (R) и средних v-поперечниках некоторых функциональных классов // Известия вузов. Математика. 2014. №7. С. 30-48.

40. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве L2 и поперечники классов функций // Матем. заметки. 2016. Т.99, №2. С. 215-238.

41. Васильев С.Н. Точное неравенство Джексона-Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным произвольным конечноразностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. РАН. 2002. Т.385, №1. С. 11-14.

42. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. - М.: ИЛ. 1949. 800 с.

43. Weyl H. Bemerkungen zum Begriff der differentialquotienten gebrochener Ordnung // Vierteljahresschrift der Naturschenden Gesellschaft in Zurich. 1917. V.62. P. 296-302.

44. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. 4-е изд. - М.: Наука. 1981. 512 с.

45. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. - М.: Изд. ФМЛ. 1962. 1100 с.

46. Jackson D. Über die Genauigkeit der Annaherunger stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung // Preisschrift und Dissertation. Üniversitat Gottingen. 1911.

47. Ditzian Z., Totik V. ^-functionals and best polynomial approximation in weighted LP(R). // J. Approx.Theory. 1986. V.46, №1. Р. 38-41.

48. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука. 1977. 511 с.

49. Есмаганбетов М.Г. Поперечники классов из L2[0, 2п] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Матем. заметки. 1999. Т.65, №6. С. 816-820.

50. Женсыкбаев А.А. Наилучшая квадратурная формула для некоторых классов периодических дифференцируемых функций // Изв. АН СССР. Серия матем. 1977. Т.41, №5. С. 1110-1124.

51. Женсыкбаев А.А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы // Успех. мат. наук. 1981. Т.36, №4(220). С. 107-159.

52. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // Докл. АН СССР. 1970. Т.194, №5. С. 1013-1016.

53. Ибрагимов И.И. Теория приближения целыми функциями. - Баку: Элм. 1979. 468 с.

54. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. - Тула: ТулГУ. 1995. 192 с.

55. Иванов В.И., Смирнов О.И. О теореме Джексона в пространстве ¡¿(Щ) // Матем. заметки. 1996. Т.60, №3. С. 390-405.

56. Иванов В.И., Чертова Д.В., Лю Юнпин. Точное неравенство Джексона в пространстве L2 на отрезке [—1,1] со степенным весом // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т.14, №3. С. 112-126.

57. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т.16, №4. С. 180-192.

58. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Мат. заметки. 2013. Т.94, №3. С. 338-348.

59. Ivanov Kamen G. On a new characteristic of functions. I // Сердика Бълг. Мат. Списание. 1982. Т.8, № 3. С. 262-279.

60. Ivanov Kamen G. On a new characteristic of functions. II // Direct and converse theorems for the best algebraic approximation in C[—1;1] and Lp[-1; 1]. Сердика Бълг. Мат. Студ. 1983. Т.5. С. 151-163.

61. Козко А.И. Дробные производные и неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой // Изв. РАН. Серия математическая. 1998. Т.2, №6. С. 125-142.

62. Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона в L2 с обобщенным модулем непрерывности // Мат. сборник. 2004. Т.195, №8. С. 3-46.

63. Коlmоgогоff A.N. Über die besste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen // Ann. of Math. 1936. V.37. Р. 107-110.

64. Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д.Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // ДАН СССР. 1962. Т.145, №3. С. 514-516.

65. Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных // Матем. заметки. 1968. Т.3, №5. С. 565-576.

66. Корнейчук Н.П., Лушпай Н.Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение // Изв. АН СССР. Серия матем. 1969. Т.33, №6. С. 1416-1437.

67. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М.: Наука. 1976. 320 с.

68. Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями. - Киев: Наукова думка. 1982. 252 с.

69. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. - М.: Наука. 1987. 424 с.

70. Lebesgue H. Sur la representation trigonometrique approchyee des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz // Bull. S.V.F. 1910. V.38. Р. 184210.

71. Лигун А.А. О точных константах приближения дифференцируемых периодических функций // Матем. заметки. 1973. Т.14, №1. С. 21-30.

72. Лигун А.А. О наилучших квадратурных формулах для некоторых классов периодических функций // Матем. заметки. 1978. Т.24, №5. С. 661669.

73. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 // Матем. заметки. 1978. Т.24, №6. С. 785-792.

74. Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве L2 // Матем. заметки. 1988. Т.43, №6. С. 757769.

75. Liu Y. Best L2-approximation of functions on [0,1} with the weight x2v+1 // Труды междунар. летн. матем. школы С.Б.Стечкина по теории функций. - Тула: Изд-во ТулГУ. 2007. С.180-190.

76. Löfstrom J., Peetre J. Approximation theorems connected with generalized translations // Math.Ann. 1969. V.181. Р. 255-268

77. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление соболевских классов функций на прямой // Матем. сб. 1991. Т.182, №11. С. 1635-1656.

78. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // Докл. СССР. 1991. Т.318, №1. С. 35-38.

79. Насибов Ф.Г. О приближении в L2 целыми функциями // Докл. АН Азербайджанской ССР. 1986. ^XLII, №4. С. 3-6.

80. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука. 1979. 480 с.

81. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука. 1988. 256 с.

82. Осколков К.И. Об оптимальности квадратурной формулы с равноотстоящими узлами на классах периодических функций // ДАН СССР. 1979. Т.249, №1. С. 49-52.

83. Peetre J. On the connection between the theory of interpolation spaces and approximation theory // Colloqium on Constructive Function Theory. Budapest. 1969.

84. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. — Berlin: Springer-Verlag. Heidelberg. New York. Tokyo. 1985. 252 p.

85. Pinkus A. On n-Widths Periodic Functions // Journ. Analyse Math. 1979. V.35. Р. 209-235.

86. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближения функций на полупрямой // Изв. РАН. Серия математика. 2007. Т.71, вып. 5. С. 149-196. №6. С.65-73.

87. Plancherel M. Contribution a l'etude de la representetion d'une fonction arbitraire par des integrales definies // Rend. Circolo Matem. di Palermo. 1910. T.30. P.289-335.

88. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. №6. С. 65-73.

89. Потапов М.К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений // Вестник Московского ун-та. Серия 1. Матем. мех. 1998. №3. С. 38-48.

90. Потапов М.К. О применении несимметричных операторов обобщенного сдвига в теории приближений // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы V Казанской международной летней школы-конференции (Казань, 27 инюня - 4 июля 2001 г.). Тр. матем. центра им. Н.И.Лобачесвского. 2001. Т.78. С. 185-189.

91. Пустовойтов Н.Н. Оценка наилучших приближений периодических функций тригонометрическими полиномами через усредненные разности и многомерная теорема Джексона // Матем. сборник. 1997. Т.188, №10. С. 95-108.

92. Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < p < 1 // Матем. сборник. 1994. Т.185, №8. С. 81-102.

93. Рыбасенко В.Д., Рыбасенко И.Д. Элементарные функции. Формулы, таблицы, графики. - М.: Наука. 1987. 416 с.

94. Стечкин С.Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т.20, №5. С. 643-648.

95. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике - М.: Наука. 1976. 346 с.

96. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 // Матем. заметки. 1976. Т.20, №3. С. 433-438.

97. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства L2 // Матем. заметки. 1977. Т.22, №4. С. 535-542.

98. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Матем. заметки. 1979. Т.25, №2. С. 217-223.

99. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Фзматгиз. 1960. 624 с.

100. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ. 1976. 325 с.

101. Titchmarsh E.C. A note on Fourier transforms // Journal London Math. Soc. 1927. V.2. P.148-150

102. Feng Dai. Some equivalence theorems with ^-functionals // J. Appr. Theory. 2003. V.121. Р. 143-157.

103. Федоров В.М. Приближение алгебраическими многочленами с весом Чебышева-Эрмита // Известия вузов. Математика. 1984, №6. C. 55-63.

104. Чебышёв П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближённым представлением функций (1859) // Собр. соч. М. - Л.: Изд-во АН СССР. 1947. Т.П. С. 151-235.

105. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 // Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С. 513-522.

106. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Приближение функций в среднем. Сборник работ. Тр. МИАН СССР. 1967. Т.88. С. 71-74.

107. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Ьр(0, 2п) (1 < р < 2) с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т.198. С. 232-241.

108. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 с периодическим весом Якоби // Известия Тульского госуниверситета. Естественные науки. 2009. вып.1. С. 5-27.

109. Чертова Д.В. Теорема Джексона в пространстве Ь2 на прямой со степенным весом // Материалы 8-й междунар. Казан. летн. научн. шк.-конф., Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва. 2007. Т.35. С. 267-268.

110. Шабозов М.Ш. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения п-поперечников некоторых классов функций из Ь2 // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2010. №4(141). С. 7-24.

111. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве Ь2[0, 2п] // Матем. заметки. 2010. Т.87, №4. С. 616-623.

112. Шабозов М.Ш. Точные неравенства типа Джексона - Стечкина для 2п-периодических функций в Ь2 и поперечники некоторых классов функций // Укр. матем. журнал. 2011. Т.63, №10. С. 1040-1048.

113. Шабозов М.Ш. О наилучших квадратурных формулах для вычисления криволинейных интегралов на некоторых классах функций и кривых // Матем. заметки. 2014. Т.96, №7. С. 637-640.

114. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 // Analysis Mathematica. 2012. Tomus 38, №2. Р. 154-165.

115. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точные неравенства типа Джексона - Стечкина для периодических функций в L2 и значения поперечников классов функций // ДАН России. 2013. Т.451, №6. С. 625628.

116. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. О точных значениях средних n-поперечников некоторых классов функций // ДАН РТ. 2009. Т.52, №4. С. 247-254.

117. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа в L2 (R) // Вестник Хорогского госуниверситета. 2001. Сер.1, №4. С. 76-81.

118. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. Оптимизация приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // ДАН РТ. 2010. Т.53, №6. С. 415-419.

119. Shabozov M.Sh., Palavonov K.K. Exact values of widths of certain classes of periodic differentiable functions in the space L2[0,2n] // Analysis Mathematica. 2015. Т.41, №2. С. 103-115.

120. Шабозов М.Ш., Темурбекова С.Д. Значения поперечников классов функций из L2[0, 2п] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Известия Тульского госуниверситета. Естественные науки. 2012. вып.3. С. 60-68.

121. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Неравенства между наилучшими приближениями и усреднениями модулей непрерывности в пространстве L2 // ДАН России. 2010. Т.435, №2. С. 178-181.

122. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки. 2011. Т.90, №5. С. 764-775.

123. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций в L2 // Сибир. матем. журнал. 2011. Т.52, №6. С. 1414-1427.

124. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. О точных значениях средних ^-поперечников некоторых классов целых функций // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т.18, №4. С. 315-327.

125. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Widths of Certain Classes of Periodic Functions in L2 // Journ. of Approx. Theory. 2012. V.164, issue 1. Р. 869-878.

126. Шалаев В.В. О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Укр. матем. журнал. 1991. Т.43, №1. С. 125-129.

127. Шевчук А.И. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. - Киев: Наукова думка. 1992. 225 с.

128. Юдин В.А. Диофантовы приближения в экстремальных задачах // Докл. АН СССР. 1980. Т.251, №1. С. 54-57.

129. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С. 309-315.

130. Юссеф Х. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в L2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сб. научн. трудов. Калининский гос. ун-т. Калинин. 1988. С. 100-114.

131. Юсупов Г.А. Точные значения поперечников некоторых классов функций из L2 и минимизация констант в неравенствах типа Джексона -Стечкина // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т.20, №5. С. 106-116.

132. Yusupov G.A. Best polynomial approximations and widths of certain classes of functions in the space L2 // Eurasian Mathematical Journal. 2013. V.4, №3. Р. 120-126.

133. Yusupov G.A. Jackson's - Stechkin's inequality and the values of widths for some classes of functions from L2 // Analysis Mathematica. 2014. V.40, issue 1. Р. 69-81.

134. Юсупов Г.А. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 и значение поперечников некоторых функциональных классов // Известия Тульского госуниверситета. Естественные науки. 2015. №3. С.127-144.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В академических журналах, входящих в перечень ВАК РФ:

135. Тухлиев К. О наилучших квадратурных формулах приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2012. №4. С. 18-27.

136. Тухлиев К. Оптимальные квадратурные формулы для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода // ДАН РТ. 2012. Т.55, №10. С. 775-779.

137. Тухлиев К. О наилучшем полиномиальном приближении периодических функций в L2 и поперечников некоторых классов функций // ДАН РТ. 2013. Т.56, №7. С. 515-520.

138. Тухлиев К. Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Известия Тульского госуниверситета. Естественные науки. 2013. вып.2, ч.1. С. 50-57.

139. Тухлиев К. Неравенства типа Джексона - Стечкина для обобщйных модулей непрерывности и некоторые их применения // ДАН РТ. 2013. Т.56, №11. С. 861-868.

140. Тухлиев К. Оптимальные квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т.20, №3. С. 121-129.

141. Тухлиев К. О наилучших приближениях целыми функциями в пространстве L2(R). I // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2013. №3(152). С. 19-29.

142. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Наилучшие полиномиальные приближения и поперечники некоторых функциональных классов в L2 // Матем. заметки. 2013. Т.94, №6. С. 905-914.

143. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. ^-функционалы и точные значения n-попе-речников некоторых классов из L2 ((л/1 — x2)-1, [—1,1]) // Известия Тульского госуниверситета. Естественные науки. 2014. вып. 1, ч.1. С. 83-97.

144. Тухлиев К. О наилучших приближениях целыми функциями в пространстве L2(R). II // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2014. №3(156). С.7-19.

145. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. 2015. Сер.1. Т.2(60), вып.4. С. 563-575.

146. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Неравенства Джексона — Стечкина с обобщенными модулями непрерывности и поперечники некоторых классов функций // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т.21, №4. С. 292-308.

147. Тухлиев К. О приближении периодических функций в L2 и значениях поперечников некоторых классов функций // Моделирование и анализ информационных систем. 2015. Т.22, №1. С. 127-143.

148. Тухлиев К. О некоторых экстремальных задачах наилучших приближений целыми функциями // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (TSPU Bulletin). 2015. вып. 2(155). С. 213-220.

149. Тухлиев К. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями и значения средних поперечников некоторых функциональных классов // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (TSPU Bulletin). 2015. вып. 2(155). С. 229-231.

150. Тухлиев К. Структурные характеристики функций из Ь2 и точные значения поперечников некоторых классов функций // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2015. №1(158). С. 7-19.

151. Тухлиев К. Точные значения п-поперечников некоторых классов функций // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2016. №1(162). С. 7-14.

152. Тухлиев К. О наилучшем приближение некоторых классов сверток // Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н. 2016. №2(163). С.20-30.

153. Тухлиев К. Наилучшие приближения и поперечники некоторых классов сверток в Ь2 // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2016. Т.22, №4. С. 284-294.

154. Тухлиев К. Среднеквадратическое приближение функций рядами Фурье - Бесселя и значения поперечников некоторых функциональных классов // Чебышевский сборник. 2016. Т.17, №4. С. 141-156.

В других изданиях:

155. Тухлиев К. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов некоторых классов функций и кривых // 4-й Международной конференции посвященной 90-летию Л.Д.Кудрявцева. Москва. 25-29 марта 2013 г. С. 129-130.

156. Тухлиев К. Наилучшие приближение целыми функциями в пространстве Ь2(Я) //В материалах IX Международной научно-практической конференции "Теоретические и прикладные аспекты современной науки". Белгород. 31 марта 2015 г. С. 16-18.

157. Тухлиев К. О наилучшем полиномиальном приближении периодических дифференцируемых функций в Ь2[0, 2п] //В материалах международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений". Душанбе. 27-28 апреля 2015г. С. 42-45.

158. Тухлиев К. Неравенства типа Джексона-Стечкина в пространстве Ь2(Ж) // В материалах международной научной конференции "Современные

методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения -V". Ростов-на-Дону. 26 апреля — 1 мая 2015 г. С. 55.

159. Тухлиев К. О наилучшем приближении функций алгебраическими полиномами в пространстве Ь2^[-1,1] // Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского. Москва. 25-29 мая 2015 г. МИАН. С. 238.

160. Тухлиев К. Наилучшие полиномиальные приближения периодических функций в пространстве Ь2 // XII Международная Казанская летняя школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Казань. 27 июня по 4 июля 2015 г. С. 440-442.

161. Тухлиев К. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями в Ь2(Я) // Международная научная конференция "Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ". Уфа. 1-3 октября 2015 г. С.133-135.

162. Тухлиев К. Приближения периодических функций и значения поперечников некоторых классов функций в Ь2 // Труды международной летней математической Школы-Конференции С.Б. Стечкина по теории функций. Таджикистан. Душанбе. 15 - 25 августа 2016 г. С.226-230.

163. Тухлиев К. Неравенства Джексона - Стечкина для специальных модулей непрерывности и значение поперечников классов функций в Ь2^[-1,1] // Труды международной летней математической Школы-Конференции С.Б. Стечкина по теории функций. Таджикистан. Душанбе. 15 - 25 августа 2016 г. С. 231-238.

164. Тухлиев К. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями // Международной математической Школы-Конференции "Соболевские чтения". Новосибирск. 18-22 декабря 2016 г. С. 149.