Изопериметрические неравенства для интегральных характеристик областей и их применение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гафиятуллина Лилия Ильгизяровна

• Гафиятуллина Лилия Ильгизяровна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Гафиятуллина Лилия Ильгизяровна

Введение

Глава 1. Изопериметрические неравенства на плоскости

1.1 Основные определения и геометрические неравенства

1.2 Экстремальные неравенства теории упругости

1.3 Изопериметрическая монотонность и ее связь с изопериметрическими неравенствами

Глава 2. Изопериметрические неравенства для евклидового

момента выпуклой области

2.1 Аналог неравенства Полиа-Сеге для евклидового момента инерции выпуклой области

2.2 Неравенства типа Макай для евклидовых моментов выпуклой области 39 Глава 3. Двусторонняя оценка для жесткости кручения выпуклой области, обобщающая неравенства Полиа-Сегё и Макай

3.1 Геометрические неравенства между евклидовыми моментами различных порядков выпуклой области

3.2 Обобщение неравенств Макан и Полиа-Сегё для жесткости кручения 65 Глава 4. Двусторонняя оценка для жесткости кручения выпуклой области через геометрические функционалы области

4.1 Функционалы К(С) и (((р(С)) и их свойства

4.2 Оценка сверху евклидового момента выпуклой области через функционал К (С)

4.3 Оценки жесткости кручения выпуклой области через функционал К(С)

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изопериметрические неравенства для интегральных характеристик областей и их применение»

Введение Общая характеристика работы

Актуальность работы. Настоящая работа посвящена изопериметрическим неравенствам, дающим оценки некоторых геометрических и физических функционалов выпуклых областей через более легко вычислимые геометрические характеристики области, а также обобщениям известных изопериметрических неравенств. Функционалы, которые определяются через геометрические характеристики области, мы называем геометрическими, функционалы, которые определяются с помощью краевых задач и имеют важные приложения в задачах физики и механики — физическими [12].

Любое неравенство, которое связывает геометрические и физические величины для одной и той же области, называется изопериметрическим неравенством [12]. Особый интерес представляют области, для которых в неравенствах выполняется знак равенства. Такие области называются экстремальными областями неравенств. Доказательство неравенств, связывающих различные характеристики области, является одним из основных направлений исследований в области теории функций, геометрии и математической физики [20].

Существует ряд важных геометрических и физических характеристик области, зависящих от её формы и геометрии. Некоторые характеристики широко известны: длина границы, площадь, объем. Отметим, что существует ряд трудно вычислимых геометрических величин, например, супремум конформного радиуса, конформный модуль области. Естественной является задача оценки сложно вычислимых величин через простые геометрические характеристики области (см., напр., [7], [30], [И], [12], [26], [27], [28], [29], [33], [38]-[40], [41]-[51]).

Первой изопериметрической задачей, по-видимому, обсуждавшейся в научной литературе, является задача Д и доны. Об этой задаче упоминали еще во времена Аристотеля. Эта задача заключается в нахождении области с наибольшей возможной площадью, граница которой имеет заданную длину. Решением этой классической изопериметрической задачи является окружность. Строгое доказательство свойства круга охватывать наибольшую площадь среди всех фигур

с одинаковым периметром дал Г.А.Шварц [20].

Пусть С — односвязная область на плоскости с кусочно-гладкой границей дС. Рассмотрим функцию напряженийи(х, С), которая удовлетворяет уравнению Аи = — 2 внутри области С и граничному условию и = 0 на границе области. Хорошо известно (см., например, [12]), что для широкого класса областей такая функция существует и определяется единственным образом.

Одной из важных физических характеристик области в математической физике является функционал

Р(С) := 2 JJ и(х,С^А, (1)

с

называемый жесткостью кручения области С в теории упругости, а также потоком в гидродинамике. Через dA обозначен дифференциальный элемент площади (см. [12])-

Б. Сен-Венаном была предложена следующая знаменитая приближенная формула для жесткости кручения

ИС1- 1 А(С)4 (21

Р(°' ~ (2^)2 7 ' (2)

где А(С) — площадь области С, 7 - полярный момент инерции С относительно ее центра тяжести (см. [12]). Если центр тяжести (х0,у0) облает и С совпадает с началом прямоугольной системы координат, то

7 = JJ(x2 + У2 МА.

с

Формула Сен-Венана (2) становится точной, когда поперечное сечение С является эллипсом.

Точные формулы для вычисления жесткости кручения известны лишь для некоторых областей. На практике для получения значения жесткости кручения области применяют программные продукты, основанные на приближенных методах, которые могут дать ошибочный результат. При помощи оценок жесткости кручения через более простые геометрические характеристики области

эта характеристика может быть определена достаточно точно. Отметим, что получению формул для жесткости кручения некоторых областей посвящена монография Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна "Кручение упругих тех" [6].

Первые экспериментальные результаты вычисления жесткости кручения были получены в 1784 г. Ш. Кулоном [18]. Рассматривая проволоки, изготовленные из одного материала, но различных длин и диаметров, он установил формулу для жесткости кручения однородного стержня с круговым сечением: Р(С) = пгА/2 (где г — радиус сечения проволоки). Нахождение формул для приближенного вычисления жесткости кручения оказалось непростой задачей. Это привело к созданию оценок для жесткости кручения через геометрические функционалы области. Первые изопериметрические неравенства для жесткости кручения принадлежат Б. Сен-Венану, Г. Полна, Г. Сегё, Е. Макай и многим другим ([12], [28], [38]-[51]). Обзор результатов по этой тематике можно найти в статье [46]. Также исследованию и получению оценок жесткости кручения односвязных и выпуклых областей посвящены работы, опубликованные в последнее время (например, [3], [4], [5] [14]-[16], [53]-[57]). Усилия Б. Сен-Венана были направлены на получение приближенных формул для жесткости кручения на основании легко вычислимых геометрических характеристик области.

Б. Сон Вонин определил одно важное направление исследования: изучение свойств физических функционалов области, которые часто выражаются в форме неравенств, в частности, изопериметрических неравенств. Например, утверждение о том, что круг имеет максимальную жесткость при заданной площади поперечного сечения (Б. Сен-Венан, [12]), эквивалентно изопериметрическому неравенству

Р(С) < А?, (3)

при этом равенство в неравенстве достигается только в случае кругового сечения (Сон Вонин Полни [28]). Последнее неравенство было доказано Г. Полна с помощью симметризации Штейнера. Применяя методы симметризации были получены различные оценки для жесткости кручения, которые нелегко улучшить применяя другие способы [12]. В частности, Г. Полна и Г. Сегё методом

симметризации Штейнера показали, что для любого треугольника G с площадью A(G) имеет место неравенство:

P(G) < ЦA(G)2. (4)

Неравенство (4) дает более точную оценку жесткости кручения, чем неравенство (3).

Нижние оценки для жесткости кручения можно получить применением операции диссимметризации, предложенной В.Н.Дубининым [9]. Различным методам симметризации и диссимметризации, а также их применениям в экстремальных задачах посвящено большое количество работ (см. например, работы В.К.Хеймана [21], И.П.Митюка [10], В.Н.Дубинина [9], А. Ю.Солынина

[17])-

Геометрический функционал

G

где р(х, G) — функция расстояния от точки ж до границы области G, называется евклидовым моментом порядка р области относительно границы. При р =2 функционал называют евклидовым моментом инерции области (см. [2], [3]), а при р = i _ стационарным евклидовым моментом области. Этот функционал был введен Ф. Г. Авхадиевым (см. [2, 3]), более того, им были получены двусторонние оценки

12(G) < P(G) < 6412(G). (6)

Таким образом, жесткость кручения и евклидовый момент инерции являются сравнимыми величинами в классе односвязных областей.

Двустороннее неравенство (6) показывает, что простого решения в терминах классических геометрических характеристик проблема Сен-Венана не имела. Впоследствии левое неравенство в (6) удалось усилить (см. [53]), а именно было показано, что

212(G) < P(G). (7)

Насколько нам известно, приведенные константы "64" и "3/2" не являются точными.

Далее, если сузим класс рассматриваемых областей до класса выпуклых, то проблема Сон Вонини может быть решена при помощи классических геометрических характеристик области. В 1951 году Г. Полна и Г. Сегё [12] показали, что для любой выпуклой области имеет место неравенство

P(G) > 2A(G)P(G)2, (8)

где p(G) — радиус максимального круга, содержащегося в G. Равенство в (8) достигается для круга. Е. Макай [38] получил обратное неравенство

P(G) < 4A(G)p(G)2, (9)

справедливое для выпуклых областей. Это неравенство также оптимально в том смысле, что константа "4/3" является наилучшей из возможных и достигается в пределе, например, па последовательности прямоугольников [0,1] х [1,1/n], п ^ ж. Неравенства (8) и (9) позволяют строить приближенные формулы в классе выпуклых областей, например, при помощи их среднего арифметического

P(G) и 11A(G)p(G)2.

В действительности, Е. Макай [38] доказал еще одно неравенство

P(G) < 4 A(G)p(G)2 (10)

аналогичное (9), но справедливое для любой односвязной области конечной площади. Позднее, Ф.Г. Авхадиев [2, 3] показал, что существуют односвязные области с бесконечной площадью и конечной жесткостью кручения, т. е. неравенство аналогичное (8) не имеет места в классе односвязных областей. Этот факт также послужил обоснованием необходимости введения функционалаI2(G) в классе односвязных областей.

В работе [38] было показано, что неравенство (9) является следствием другого изопериметрического неравенства

P(G) < 412(G), (И)

здесь С — выпуклая область и константа "4" наилучшая из возможных, а экстремальные области также как в (9) вырождены.

Для выпуклой области с конечной площадью справедливо (см. [64]) неравенство

Р(С) < 3А(С)р(С)2 — ^Р(О)4, (12)

улучшающее неравенство Макай (9).

Неравенства (8) и (9) можно записать в виде двусторонней оценки Р(С) аналогично (6). Преимущество неравенств Полиа-Сегё (8) и Макан (9) состоит в том, что жесткость кручения оценивается через более простые геометрические характеристики с точными константами. В свою очередь, неравенства (6) справедливы для более широких классов односвязных областей.

В этой диссертационной работе продолжается исследование задачи оценки жесткости кручения выпуклой области.

Цели диссертационного исследования. Основными целями работы являются:

1. Получить новые изопериметрические неравенства для евклидовою момента порядка р относительно границы области и жесткости кручения выпуклой области, обобщающие классические неравенства Полиа-Сегё и Макай.

2. Построить новые функционалы области, обладающие свойством изопериметрической монотонности по параметру и обобщить изопериметрические неравенства для евклидовых моментов различных порядков.

3. Изучить множество экстремальных областей, а также связанные с ними константы в полученных неравенствах.

В первой главе приведены основные обозначения, определения, а также известные неравенства, используемые в работе. Результаты этой части принадлежат, в основном, Г. Полна, Г. Сегё [12], Е. Макай [38], [40], Ф. Г. Авхадиеву [3] и Д. Хершу [33].

Вторая глава состоит из двух параграфов: в первом — устанавливается неравенство для евклидовою момента инерции, выраженное через площадь

области и являющееся аналогом неравенства Полиа-Сегё; во втором -доказывается обратное неравенство, аналогичное неравенству Макай для жесткости кручения.

В частности, получены следующие результаты:

Теорема 1. Пусть С — произвольная выпуклая область на плоскости. Тогда, имеет место следующее неравенство

12(С) > 6А(С)р(С)2 + 11(р(С))р(С)3,

причем, равенство достигается тогда, когда С — описанный около окружности круговой многоугольник, круг или, круговой многоугольник, полученный из описанного многоугольника заменой некоторых его сторон или, их частей дугами вписанной окружности.

Теорема 1 является аналогом утверждения, полученного в 1951 году Г. Полна, Г. Сегё. Теорема 1 и неравенство Полиа-Сегё (8) позволяют установить следующее утверждение в классе описанных около окружности многоугольников.

Следствие 1. Пусть С — описанный около окружности многоугольник. Тогда, справедливо неравенство

Р(С) > 312(С).

Далее, при помощи метода Е. Макай из [38] устанавливается

Теорема 2. Пусть С — произвольная выпуклая область на плоскости. Тогда, имеет место следующее неравенство

2

12(С) < 311 (С)р(с).

Постоянная в неравенстве наилучшая из возможных, так как существует

последовательность областей, которые в пределе вырождаются и для которых

2

в пределе 12(С) ~ -11(С)р(С).

3

Из теоремы 2 и неравенства Макай (7) вытекает

Следствие 2. Для, любой выпуклой области С справедливо неравенство

о

Р(С) < 811 (С)р(С),

равенство в котором достигается в пределе, когда область вырождается, например, для узких прямоугольников [0,1] х [1,1/п], п ^ ж. Получена следующая

Теорема 3. Пусть С — произвольная выпуклая, область на плоскости. Тогда, имеет место следующее неравенство:

1х(С0 < 1 А(С)р(С),

причем, постоянная в неравенстве — наилучшая из возможных.

Оценка в теореме 3 улучшает неравенство Макан (9). С помощью теоремы 2 и теоремы 3 получается

Следствие 3. Для любой выпуклой области С имеет место неравенство

12(С) < 3А(С)р(С)2,

равенство в котором достигается в пределе для вырожденных областей. Доказана следующая

Теорема 4. Пусть С — произвольная выпуклая область на плоскости. Тогда, имеет место неравенство

12(С) > 3II(С)р(С).

Отметим, что константа "1/3" в теореме 4 не является точной.

Получена следующая цепочка неравенств для жесткости кручения:

8 4

Р(С) < 412(С) < 3II(С)р(С) < 3А(С)р(С)2.

Постоянные, входящие в эти неравенства, наилучшие.

Третья глава состоит из двух параграфов, в которых получены двусторонние оценки для жесткости кручения через евклидовые моменты выпуклой области произвольного порядка.

В начале приводятся понятия растяжения и сжатия выпуклой области, а также вводится класс выпуклых областей Г.

Выпуклая область С называется растяжением выпуклой области Со, если область С0 можно получить из С путем вырезания прямоугольного фрагмента и

и

соединения оставшихся частей так, что p(G0) = p(G). С другой стороны, область G0 естественно назвать сжатием G. Растяжение и сжатие области определяются неоднозначно: растягивать область можно до бесконечности, сжимать до касания стороны области максимальной вписанной окружности.

Обозначим через Г0 множество всех выпуклых областей, содержащее описанные около некоторой окружности многоугольники, а также круговые многоугольники, получаемые из описанных многоугольников заменой некоторых сторон пли их частей дугами вписанной окружности. Пусть Г — это множество, которое состоит из элементов множества Г0, а также растяжений этих элементов.

Обозначим через I(д) периметр кривой, которая состоит из тех точек из G, для которых минимальное расстояние до границы G равно д и пусть

1 (p(G)):= lim I(ц, G).

^p(G)

Д.Херш в работе [33] разработал метод доказательства изопериметрических неравенств, основанный на понятии "изопериметрической монотонности" и непрерывности функционала по параметру. До подхода Д. Херша, задача заключалась в нахождении точной константы, с помощью которой трудно вычислимая физическая величина оценивается более легко вычислимыми геометрическими функционалами. Д.Херш построил функционал области, зависящий от параметра, с помощью которого удалось связать различные физические характеристики этой области. Подробнее "изопериметрическая монотонность" Д. Херша рассмотрена в параграфе 1.3 первой главы.

Используя теоремы Р. Г. Салахудинова из [54], [56] и следуя методу, развитому в работах М. Кёхлер-Джобин [35] и Д. Херша [32], доказываем следующий результат

G

Тогда при 0 < q < р < ж справедливо неравенство

У С) > ^ ¿ + [(в + 1)(? + 2)1, ( О) + (р - Ч)1 (р(С))р( С)«+1 ] .

Равенство достигается тогда и только тогда, когда С € Г.

Как мы увидим, эта теорема будет играть ключевую роль при обосновании неравенств для жесткости кручения выпуклой области.

Определим функционал

<р + 1)(р + 2) ^ _ Iмумог^ , (13)

П(С; р) := ^ ШС) _

р +1 у

где р > _1 — параметр.

Теорему 4 можно переформулировать в терминах функционалаН(С; р) Теорема 6. Пусть С — выпуклая область конечной площади на плоскости и С0 — сжатие С. Тогда,

1. Если С не принадлежит классу областейГ, то Н(С; р) является строго возрастающей функцией от, р.

2. Если С — область из класса Г, то Н(С; р) = Ь(С0). Из теоремы 5 сразу вытекает такой результат:

Следствие 4. Для любой выпуклой области С такой, что А(С) < +ж7 имеет место неравенство

ЫО > 111(С),(С) + .

Равенство достигается тогда и только тогда, когда С € Г.

Ф.Г. Авхадиев и К. Виртс в работе [23] получили неравенство, устанавливающее связь между классическими неравенствами типа Харди. Аналогично неравенству Ф. Г. Авхадиева и К. Виртса следующая теорема позволяет с помощью числового параметра установить связь между двумя оценками жесткости кручения выпуклой области (11) и (12).

Теорема 8. Пусть С — выпуклая область конечной площади на плоскости и пусть 0 < д < 2. Тогда при р > д справедливо неравенство

2п(2 _ д)р(С)4

Р(°) < [(Р 2) 1р(°) _ (р _^ (р(°))р(с)3

3(5 + 2)

Константы при, функционалах 1рС и I(р(С))р(С)3 в этом неравенстве являются неулучшаемыми.

Методами аналогичными тем, с помощью которых доказана теорема 8, можно доказать следующее утверждение о нижней оценке жесткости кручения.

Теорема 9. Пусть С — выпуклая область конечной площади на плоскости и пусть д > 0. Тогда, при, 0 < р < д справедливо неравенство

Р(С) >

1

2( + 2)

(р + 1)0 + 2)

1,( С) + (д - р)1 ( р(С))р(Су

4

+

2(^ + 2)'

р(С)Р-2

равенство в котором достигается для круга.

Четвертая глава посвящена оценкам жесткости кручения выпуклой области через более легко вычислимые геометрические характеристики области.

В первом параграфе вводятся новые геометрические функционалы выпуклой области и обсуждаются их свойства. Также приведены различные вспомогательные утверждения и неравенства, позволяющие оценить жесткость кручения сверху.

Для областей И из Г рассматриваем функционал

К( И) := вир (-/V)) ,

где I' (ц) - производная функции I (ц).

Произвольной выпуклой области С сопоставляем область И € Г, которая содержит С, имеет тот же самый радиус максимального круга и имеет наименьшую длину границы области. Определим функционалы

К(С) := К(И), а(р(С)) := I(р(И)). (14)

Во втором параграфе получены двусторонние оценки для евклидовою момента

В итоге доказывается

Теорема 14. Пусть С — выпуклая область конечной площади на плоскости. Тогда, при, р > 1 справедливо неравенство

ЦО)(р + 2) + I( р(С))(р +1) < (р + < К( С)р(С) + (р + 2)а( р(О).

Равенства в неравенствах достигаются тогда и только тогда, когда С € Г.

Третий параграф посвящен двусторонним оценкам жесткости кручения выпуклой области.

Следующая теорема устанавливает верхнюю оценку для жесткости кручения выпуклой области через функционал K(G).

Теорема 15. Пусть G — выпуклая область конечной площади на плоскости. Тогда справедливо неравенство

P(G) < 2p(^ (P(G)) + K(G)p(G) - пp(G)).

Равенство достигается в пределе, например, на последовательности прямоугольников [0,1] х [0,1/п], п ^ ж.

Также получается следующая оценка снизу для жесткости кручения: Теорема 16. Пусть G — выпуклая область конечной площади на плоскости. Тогда справедливо неравенство

P(G) > (L(G) + l(p(G))(g + 1) + щр(С)),

равенство в котором достигается для круга.

На защиту диссертации выносятся положения:

1. Найдена оценка жесткости кручения выпуклой области G с конечной площадью на плоскости

nqp(G)4

P(G) > + 2)W) + (Я - P)l(P(G)) P(G)3

+

2(q + 2)'

где д > 0 и 0 < р < д. Неравенство является обобщением неравенства Полиа-Сегё (8). Равенство достигается для круга.

2. Получена точная оценка для жесткости кручения выпуклой области

о

Р(С) < °Р(С)11(С)

улучшающая неравенство Е. Макан (9).

3. Найдена оценка жесткости кручения выпуклой области С конечной площади на плоскости

2^(2 _ д)р(С)4

P(G) < + 2)IP(G) - (Р - 4)1 (,P(G))p(Gf

3(q + 2)

справедливая для 0 < q < 2 и р > q. Константы 4(р + 1)(р + 2)/(3(q + 2)) и 4(р—q)/3(q+2) являются наилучшими из возможных. Неравенство обобщает и уточняет оценку Е. Макай (9). При р = q = 2 неравенство совпадает с неравенством Макай (11).

Научная новизна результатов исследования. Полученные в диссертации результаты являются новыми. Представленные в настоящей диссертации результаты развивают и обобщают известные неравенства Г. Полна, Г. Cere, Е. Макай, Ф. Г. Авхадиева, Р. Г. Салахудинова.

Методология и методы исследования. В работе использованы методы теории функций действительного переменного, дифференциального и интегрального исчисления. Также используются классические методы построения оценок на линиях уровня из статей и монографий Г. Полна, Г. Сегё [12], [48]-[51], Л.Е. Пейна [41]-[47], Д. Херша [32], [33], М.Т. Кёхлер-Джобин [35], [36], Е. Макай [38] и Р. Г. Салахудинова [14], [16], [54], [56].

Степень достоверности результатов и их апробация. Основные результаты были доложены и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского Казанского федерального университета под руководством Л. А. Аксентьева и С. Р. Насырова.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. XIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Лобачевские чтения". 24 — 29 октября 2014 г., г. Казань.

2. XII Международная Казанская летняя школ а-конференция "Теория функций, её приложения и смежные вопросы", 27 июня - 4 июля 2015 г., г. Казань.

3. Международная математическая конференция по теории функций, посвященная 100-летию чл. корр. АН СССР А. Ф. Леонтьева, 24 — 25 мая 2017 г., г. Уфа.

4. XIII Международная Казанская летняя научная школа-конференция "Теория функций, её приложения и смежные вопросы", 21 — 27 августа 2017

г., г. Казань.

5. XVI Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Лобачевские чтения", 24 - 29 ноября 2017 г., г. Казань.

6. XVII Всероссийская молодежная школ а-конференция "Лобачевские чтения-2018", 23 — 28 ноября 2018 г., г. Казань.

7. XIV Школа-конференция "Теория функций, её приложения и смежные вопросы", 7 — 12 сентября 2019 г., г. Казань.

8. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, 22 — 28 августа 2021 г., КФУ, г. Казань.

9. XX Всероссийская молодежная школ а-конференция "Лобачевские чтения", I _ 4 декабря 2021 г., г. Казань.

10. Международная конференция "Комплексный анализ и смежные проблемы", 30 июня — 04 июля 2022 г., КФУ, г. Казань.

11. Международная конференция "Экстремальные проблемы теории функций", посвященная 75-летию профессора Ф.Г. Авхадиева, 29 октября — 30 октября 2022 г., КФУ, г. Казань.

12. XVI Международная Казанская школа-конференция "Теория функций, её приложения и смежные вопросы", 21-26 августа 2023 г., КФУ, г. Казань.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 15 (пятнадцати) печатных работах, из них 3 (три) научные статьи [62]-[64], 12 (двенадцать) тезисов докладов [65]-[76]. Статья [62] написана самостоятельно, статьи [63], [64] — совместно с научным руководителем Р. Г. Салахудиновым.

Личный вклад автора. Результаты второй главы получены диссертантом самостоятельно. В третьей главе постановка задач и методы исследования принадлежат научному руководителю; все утверждения главы получены совместно с Р. Г. Салахудиновым. В четвертой главе постановка задач и определения исследуемых в работе функционалов принадлежат научному руководителю; разработанные методы исследования, все утверждения главы получены совместно с научным руководителем.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты

позволяют в некоторых случаях дать достаточно точные оценки важных величин, в которых могут быть заинтересованы специалисты при проведении научных исследований. При вычислении различных характеристик области полученные неравенства позволяют оценить корректность полученных численно значений этих характеристик.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, каждая из которых разбита на параграфы, заключения, списка литературы из 76 (семидесяти шести) наименования, включая список работ, опубликованных автором по теме диссертации и приложения. Общий объём диссертации составляет 105 (сто пять) страниц, содержит 37 (тридцать семь) рисунков.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю к.ф.-м.н., доценту Рустему Гумеровичу Салахудинову за постановки задач, помощь при написании и внимание к работе, заведующему кафедрой математического анализа, д.ф.-м.н., профессору Семену Рафаиловичу Насырову за ценные замечания и советы, а также всем сотрудникам кафедры математического анализа Казанского (Приволжского) федерального университета за обсуждения результатов работы и поддержку.

Глава 1

Изопериметрические неравенства на плоскости

Данная глава посвящена изложению результатов, которые были опубликованы в 1921 - 2019 годах Э.Шмидтом [58], Я.Штейнером [24], Г. Полиа, Г. Сегё [12], Е. Макай [38], [40], К.Бэндл [24], Д.Хершем [33], М. Т. Кёхлер-Джобин [37], Ю. Д. Бураго и В. А. Залгаллером [30], Ф. Г. Авхадиевым [3] и Р. Г. Салахудиновым [13]-[16].

§1.1 Основные определения и геометрические неравенства

Пусть G — односвязная область на плоскости с кусочно-гладкой границей dG. Будем использовать следующие обозначения: A(G) — площадь области G; L(G) — длина границы области G;

р(х, G) — функция расстояния от точки х £ G до границы области G; p(G) — радиус максимального круга, содержащегося в G; R(x, G) — конформный радиус G в точке х £ G;

G(p) := {х £ G | р(х, G) множество уровня функции расстояния

p(x,G);

а(д) := A(G(p)) := JJ dA — ^тожества уровня G(p);

l(p,G) := L(G(ß)), l( p(G)) := lim l(ß,G). Если рассматривается только

^p(G)

одна область, то кратко будем обозначать функционал l(р, G) через l (р).

Самая первая и известная изопериметрическая задача о наибольшей площади выпуклой фигуры, охватываемой кривой заданного периметра, представляется в виде следующего классического изопериметрического неравенства:

L(G)2 > 4nA(G), (1.1)

равенство в котором возможно, лишь если G — круг.

В 1921 году Т. Боыыезеыом [29] получена следующая оценка

1(С)2 - > (1(С) - 2пр(С))2 , (1.2)

справедливая для произвольной односвязной области. Очевидно, что неравенство Боннезена всегда дает лучшую оценку для Ь^), чем классическое изопериметрическое неравенство (1.1). В отличие от (1.1), неравенство (1.2) имеет экстремальные области, отличные от круга. Экстремальные области для неравенства (1.2) называют областями типа Боннезена. Будем обозначать область

сторонами (1 и 2г, через В (см. рис. 1.1). Эта область играет значительную роль в неравенствах для жесткости кручения, которая состоит в том, что область В является одной из экстремальных областей во многих оценках.

Рис. 1.1. Пример области типа Боннезена

Приведем еще одно определение множества G(д) (см. [24]). Объединение всех замкнутых кругов радиуса д, центры которых лежат в односвязной области называется внешним параллельным множеством, его обозначим G(jl)+ (см. рис. 1.2). Внутреннее параллельное множество G(д) (внутренняя параллель) определяется как объединение центров всех кругов радиуса д, целиком лежащих в ^ ^^^^ Область G(д) определяется только для 0 < д < р(С)^ а G(д)+

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гафиятуллина Лилия Ильгизяровна, 2024 год

Список литературы

[1] Авхадиев Ф.Г. Геометрические характеристики области, эквивалентные некоторым нормам операторов вложения / Ф.Г. Авхадиев // Материалы международной конференции Чебышевские чтения 1. - 1996. - С. 12-14.

[2] Авхадиев Ф. Г. Конформные отображения и краевые задачи / Ф.Г. Авхадиев. - Казанский фонд "Математика" Казань. - 1996.

[3] Авхадиев Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана / Ф.Г. Авхадиев // Математический сборник - 1998. - Т. 189. - № 12. - С. 3-12.

[4] Авхадиев Ф.Г. Новые изопериметрические неравенства для моментов областей и жесткости кручения / Ф.Г. Авхадиев // Известия ВУЗов. Математика. - 2004. - № 7. - С. 3-11.

[5] Авхадиев Ф. Г. Неравенства для интегральных характеристик областей / Ф.Г. Авхадиев. - Казань: Казанск. гос. ун-т им. И. И. Ульянова-Ленина. - 2006. -142 с.

[6] Арутюнян Н. X. Кручение упругих тел / Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян. - М.: Физматгиз. - 1963. - 688 с.

[7] Бляшке В. Греческая и наглядная геометрия // Математическое просвещение / В. Бляшке. - М.: Физматгиз. - 1958.

[8] Бураго Ю.Д. Геометрические неравенства / Ю.Д. Бураго, В. А. Залгаллер. -Л.: Наука. - 1980. - 288 с.

[9] Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного / В. Н. Дубинин // УМН. - 1994. - Т. 49. -..V" 1. - С. 3-76.

[10] Митюк И. П. Принцип симметризации для кольца и некоторые его применения / И. П. Митюк // Сиб. матем. журн. - 1965. Т. 6. № 6. -С. 1282-1291.

[11] Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин.

- Наука, М. - 1970. - 512 с.

[12] Полна Г., Сегё Г. / Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полна, Г. Сегё. М.: Физматгиз. - 1962. - 336 с.

[13] Салахудинов Р. Г. Введение в теорию изопериметрических неравенств, I / Р. Г. Салахудинов. - Казань. - 2013. - 100 с.

[14] Салахудинов Р. Г. Изопериметрическая монотонность евклидовых моментов односвязной области / Р. Г. Салахудинов // Известия вузов. Математика. -2013. - № 8. - С. 66-79.

[15] Салахудинов Р. Г. Изопериметрические неравенства для Р^-норм функции напряжения многосвязной области на плоскости / Р. Г. Салахудинов // Известия вузов. Математика. - 2013. Л'° 9. С. 75-80.

[16] Салахудинов Р. Г. Некоторые свойства функционалов на множествах уровня / Р. Г. Салахудинов // Уфимский математический журнал. - 2019.

- Т. И. 2. - С. 118-129.

[17] Солынин А. Ю. Изопериметрические неравенства для многоугольников и диссимметризация / А. Ю. Солынин // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4. -№ 2. - С. 210-234.

[18] Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов / С.П.Тимошенко. - ГИФМЛ, М. - 1957.

[19] Тихомиров В. М. Выпуклый анализ / В. М. Тихомиров. - Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. - 1987. - № 14. — с. 5-100.

[20] Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах / В.М.Тихомиров. -2-е изд., исправленное. - М.: МЦНМО. - 2006. - 200 с.

[21] Хейман В. К. Многолистные функции / В. К.Хейман. - ИЛ, М. - 1960.

[22] Яглом, И. М. Выпуклые фигуры / И. М. Яглом, В. Г. Болтянский. - Москва; Ленинград: Гос. изд-во техн.-теорет. лит. - 1951. - 344 с.

[23] Avkhadiev F. G. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Bulletin of the Belgian Math. Soc.-Simon Stevin. -2011. - V. 18. - № 4. - P. 723-736.

[24] Bandle С. Bounds for the solutions of boundary value problems / C. Bandle // Jornal of mathematical analysis and applications. - 1976. - № 54. - P. 706-716.

[25] Bandle С. Estimates for the Green's functions of elliptic operators / C. Bandle // SIAM J.nMath. Anal. - 1978. ..V" 9. P. 1126-1136.

[26] Bandle С. Isoperimetric inequalities and applications / C. Bandle. - Pitman, Boston. - 1980. - 228 p.

[27] Banuellos R. Torsional rigidity and expected lifetime of brownian motion / R. Banuellos, M. van den Berg, T.J.Carroll // London Math. Soc. - 2002. -V. 66. - № 2. - P. 499-512.

[28] B. de Saint-Venant. Memoire sur la torsion der prismes / B. de Saint-Venant // Memoires presentes par divers savants a I'Academie des Scienes. - 1856. - № 14.

- P. 233-560.

[29] Bonnesen T. Sur une amelioration de linegalite isoperimetrique du cercle et la demonstration d'une inegalite de Minkowski / T. Bonnesen // CR Acad. Sei. Paris.

- 1921. - № 172. - P. Ю87-1089.

[30] Burago U.D. Geometric inequalities / U.D.Burago, V. A. Zalgaller/ - Die Grundlehren der mathematischen Wissensechaften in Einzeldarstellungen. Springer-Verlag. - 1988.

[31] Fusco N. The quantitative isoprimetric inequality and related topics / N/Fusco // Bulletin of Mathematical Sciences. - 2015. - V. 5. - № 3. - P. 517-607.

[32] Hersh J. On the isoperimetric inequality on surfaces of variable Gaussian curvature / J. Hersh // Ann. of Math. - 1954. - № 60. - P. 237-247.

[33] Hersh J. Isoperimetric monotonicity: some properties and conjunctures (connections between isoperimetric inequalities / J. Hersh // SIAM Review. - 1988. - V. 30. _ ^ 4_ _ p 551 577.

[34] Keller J.B. Lower bounds and isoperimetric inequalities for eigenvalues in the Schrodinger equation / J. B. Keller //J. Mathematical Phys. - 1961. - № 2. - P. 262-266.

[35] Kohler-Jobin M. T. Une methode de comparaison isoperimetrique de fonctionnelles de domaines de la physique mathématique. I. Premiere partie: une demonstration de la conjecture isoperimetrique PX2 > de Polya et Szego / M.T. Kohler-Jobin // Z. Angew. Math. Phys. (ZAMP). - 1978. - № 29. - P. 757-766.

[36] Kohler-Jobin M. T. Une methode de comparaison isoperimetrique de fonctionnelles de domaines de la physique mathématique. II. Seconde partie: cas inhomogene: une inégalité isoperimetrique entre la frequence fondamentale d'une membrane et l'energie d'équilibré d'un problème de Poisson / M. T. Kohler-Jobin // Z. Angew. Math. Phys. (ZAMP). - 1978. - № 29. - P. 767-776.

[37] Kohler-Jobin M.T. Isoperimetric monotonicity and isoperimetric inequalities of Payne-Rayner type for the first eigenfunction of the Helmholtz problem / M.T.Kohler-Jobin // Z. Angew. Math. Phys., 1981. - № 32. - P. 625-646.

[38] Makai E. On the principal frequency of a membrane and the torsional rigidity of a beam / E. Makai // Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in honor of G. Polya, Standford University Press, Stanford, California. - 1962. -P. 227-231.

[39] Makai E. A lower estimation of the principal frequencies of simply connected membranes / E. Makai // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica. - 1965.

[40] Makai E. A proof of Saint-Venant's theorem on torsional rigidity / E. Makai // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae Tomus. - 1966. - P. 419422.

[41] Payne L. E. New isoperimetric inequalities and other physical quantities / L. E. Payne // Comm. Pure Appl. Math. - 1956. ..V" 9. P. 531-542.

[42] Payne L. E. Two more inequalities between physical and geometrical quantities / L. E. Payne //J. Indian Math. Soc. - 1960. - № 24. - P. 413-419.

[43] Payne L. E. Some isoperimetric inequalitie for membrane frequencies and torsional rigidity / L. E. Payne //J. Math. Anal. Appl. - 1961. - № 2. - P. 210-216.

[44] Payne L. E. Some isoperimetric inequalities in the torsional problem for multiply connected regions / L. E. Payne //in studies in mathematical analysis and related topics, university of California press, Stanford, Calif. - 1962. - P. 270-280.

[45] Payne L. E. Isoperimetric inequalities for eigenvalues and their applications, Au-tovalori e autosoluzioni / L. E. Payne // Centro Internazionale Matematico Eativo 2° Ciclo, Chieti. - 1962. - P. 1-58.

[46] Payne L. E. Isoperimetric inequalities and their applications / L. E. Payne // SIAM Review. - 1967. V. 9. № 3. - P. 453-488.

[47] Payne L. E. An isoperimetric inequality for the first eigenfunction in the fixed membrane problem / L. E. Payne, M. E. Rayner // Z. Angew. Math. Phys. - 1972. - № 23. - P. 13-15.

[48] Polya G. Torsional Rigidity, Principal Frequancy, Electrostatic capacity and sym-metrization / G. Polya // Quart. Appl. Math. - 1948. ..V" 6. P. 267-277.

[49] Polya G. On the torsional rigidity of multiply connected cross-section / G. Polya, A. Weinstein // Ann. Math. - 1950. - № 52. - P. 154-163.

[50] Polya G. More isoperimetric inequalities proved and conjectured / G. Polya // Comm. Math. Helv. - 1955. - № 29. - P. 112-119.

[51] Polya G. Two more inequalities between physical and geometrical quantities / G. Polya. - 1958.

[52] Polya G., Weinstein A. On the torsional rigidity of multiply connected cross-sections / G. Polya, A.Weinstein // Annals of Math. - № 52. - 1950. P. 154-163.

[53] Salakhudinov R. G. An isoperimetric inequality for torsional rigidity in the complex plane / R. G. Salahudinov //J. Inequal. and Appl. - 2001. - V. 6. - P. 253-260.

[54] Salakhudinov R. G. Refined inequalities for euclidean moments of a domain with respect to its boundary / R. G. Salahudinov // Siam J. Math. Anal. - 2012. - V. 44. - №. 4. - P. 2949-2961.

[55] Salakhudinov R. G.. Payne type inequalities for L^-norms of the warping functions / R. G. Salahudinov // J. of Math. Anal, and Appl. - 2014. - V. 410. - № 2. - P. 659-669.

[56] Salakhudinov R. G. Torsional rigidity and euclidian moments of a convex domain / R. G. Salakhudinov // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2016. - № 67. - P. 669-681.

[57] Salakhudinov R. G. A note about torsional rigidity and euclidean moment of inertia of plane domains / R. G. Salahudinov // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2018. - P. 826-834.

[58] Schmidt E. Der Brunn-Minkowskische Satz und sein Spiegeltheorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie / E.Schmidt // Math. Nachr. - 1948. ..V" 1. P. 81-157.

[59] Schumann I. J. An isoperimetric inequality for closed curves in even dimensional Euclidian space / I.J. Schumann // Acta. Math. - 1954. - № 91. - P. 143-164.

[60] Weinberger H. F. An isoperimetric inequalities for the N-dimensional free membrane problem / H.F. Weinberger //J. Rational Mech. Anal. - 1956. -№5.-P. 533-636.

[61] Weinstock R. Inequalities for a classical eigenvalue problem / R. Weinstock //J. Rational Mech. Anal. - 1954. Л'° 3. P. 745-753.

Публикации автора по теме исследования

Публикации в журналах

[62] Гафиятуллина Л. И. Аналоги неравенств Полиа-Сеге и Макан для евклидова момента инерции выпуклой области / Л. И. Гафиятуллина // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз., ВИНИТИ РАН, М. - 2020. -Т. 176. - С. 70-79.

Перевод: Gafiyatullina L. I. Analogs of the Polya-Szego and Makai Inequalities for the Euclidean Moment of Inertia of a Convex Domain / L. I. Gafiyatullina // Journal of Mathematical Sciences. - 2023. - V. 275. - № 5. - P. 592-601.

[63] Гафиятуллина Л. И. Об одном обобщении неравенств Полиа-Сегё и Макан для жесткости кручения / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Известия вузов. Математика. - 2021. - № 11. - С. 86-91.

Перевод: Gafiyatullina L. I. A Generalization of the Polia-Szego and Makai inequalities for torsional rigidity / L. I. Gafiyatullina, R. G. Salakhudinov // Russian Mathematics. - 2021. - V. 65. - №. 11. - P. 76-80.

[64] Salakhudinov R. G. Two-Sided Estimate for the Torsional Rigidity of Convex Domain Generalizing the Polya-Szego and Makai Inequalities / R. G. Salakhudinov, L. I. Gafiyatullina // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2022. - V. 43. -№ 10. - P. 3020-3032.

Публикации в сборниках материалов конференций

[65] Гафиятуллина Л. И. Неравенства типа Полиа-Сегё и Макай для евклидовою момента инерции выпуклой области / Л. И. Гафиятуллина // Труды Математического цента имени Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд -во Казан, ун-та. - 2014. - Т. 50. - С. 53-55.

[66] Гафиятуллина Л. И. Об одном уточнении неравенства Макай для жесткости кручения / Л. И. Гафиятуллина // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань: изд-во Казанского математического общества, изд-во Академии наук РТ. - 2015. - Т. 51. - С. 148-150.

[67] Гафиятуллина Л. И. Геометрические неравенства в теории кручения / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Международная математическая конференция по теории функций, посвященная 100-летию чл.-корр. АН СССР А. Ф. Леонтьева. - Уфа: РИЦ БГУ. - 2017. - С. 50.

[68] Гафиятуллина Л. И. Обобщение неравенства Макай для жесткости кручения / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань: Изд-во математического общества, Изд-во Академии наук РТ. - 2017. - Т. 54. - С. 104-105.

[69] Гафиятуллина Л. И. О точности констант в обобщенном неравенстве Макай для жесткости кручения / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевсвого. - Казань: Изд -во Казан, ун-та. - 2017. - Т. 55. - С. 40-41.

[70] Гафиятуллина Л. И. О супераддитивности Эссена для жесткости кручения / Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ. - 2018. Т. 56. - С. 88-90.

[71] Гафиятуллина Л. И. Некоторые обобщения неравенств Г. Полиа-Г. Сеге и Е. Макай для жесткости кручения / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Труды Матем. центра имени Н.И. Лобачевского. - 2019. - Т. 57. - С. 106-108.

[72] Гафиятуллина Л. И. Некоторые двусторонние оценки для жесткости кручения / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань,: Изд-во Академии наук РТ. -2021. - Т. 60. - С. 195-197.

[73] Гафиятуллина Л. И. Изопериметрические неравенства для жесткости кручения выпуклой области / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Академии наук РТ. - 2021. Т. 61. - С. 33-34.

[74] Salakhudinov R. G. On an estimate of the torsional rigidity of a convex domain that improves the Polia-Szego inequality / R. G. Salakhudinov, L.I. Gafiyatullina / / Proceedings of the Mathematical Center named after N.I. Lobachevsky. - Kazan: KFU. - 2022. - V. 63. - P. 55.

[75] Гафиятуллина Л. И. Об оценке жесткости кручения выпуклой области, улучшающая неравенство Полиа-Сегё / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: КФУ. - 2022. - Т. 64. - С. 22-23.

[76] Гафиятуллина Л. И. Оценка жёсткости кручения выпуклой области через геометрические функционалы области / Л. И. Гафиятуллина, Р. Г. Салахудинов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: КФУ. - 2023. - Т. 66. - С. 75-76.

Приложение

Таблица 1

Иллюстрация неравенства (2.16) в сравнении с неравенством Макай (1.10)

Область P(G) 3M.G) p(G) P(G) 3 A(G) p(G)2

Круг радиуса а 0.5625 0.375

Равносторонний треугольник 0.675 0.45

Квадрат 0.6327 0.4218

Полукруг радиуса а = 1 0.740501 0.568296

Сектор радиуса а = 1 раствора ж/2 0.662162 0.458247

а = 1 раствора 2ж/3 0.67523 0.479519

Прямоугольник со а = 1 = 1/2 0.82332 0.6861

Узкий прямоугольник Ь/а ^ 0 1 1

Таблица 2 Иллюстрация неравенства (3.26)

Область (2Ií(G)p(G) + l(p(GHp(G3) /I2(G)

Круг радиуса а 1

Прямоугольник 1

Полукруг радиуса а = 1 0.896723

а = 1 0.988072

раствора ж/3

а = 1 0.97424

раствора ж/2

а = 1 раствора 2ж/3 0.955168

Треугольник 1

Таблица 3

Иллюстрация неравенства (3.27) при д = 1, р = 2

Область ?{С)

9\12UG)-1 (р(О)р(С)3]-

Круг радиуса а 0.75

Эллипс, а = 1 Ь = а/10 0.757729

Эллипс, а = 1, Ь = а/2 0.72

Эллипс, а = 1 Ь = а9/10 0.714422

Узкий эллипс, Ь/2 ^ 0 0.75

Равносторонний 0.795193

треугольник

Квадрат 0.787154

Полукруг радиуса а = 1 0.735663

а = 1 0.768954

раствора -к/2

а = раствора 2к/3 1 0.754201

Прямоугольник со 0.893425

а = 1 = 1/2

/ 0 1

Таблица 4

Иллюстрация неравенства (3.30) прир = 27 д = 3

Область (Ш2^)- 1(р^)) р^)3+3тг р^)4) 10Р(G)

Круг радиуса а 1

Эллипс, а = 1 Ь = а/10 0.33229

Эллипс, а = 1, Ь = а/2 0.53125

Эллипс, а = 1 Ь = а9/10 0.88509

Узкий эллипс, Ь/2 ^ 0 0.3

Область (1212(С)-1 (р(С) )р(С) р(С)4) 10Р(С)

Равносторонний 0.635633

треугольник

Квадрат 0.774699

Полукруг радиуса а = 1 0.5368

Сектор радиуса а = 1 0.685769

раствора ж/2

а = 1 0.652054

раствора 2ж/3

Прямоугольник со 0.402097

сторонами а = 1, Ь = 1/2

/ а 0.225

0

Таблица 5

Значения функционалов К (С) и б (р(С))

Область К(С) б (Р(С))

Круг а 2ж 0

Эллипс полуоси а жЬ 2ж 4(а - Ь)

Квадрат 8 0

Прямоугольник стороны а, Ь7 а >Ь 8 2(а - Ь)

Полукруг радиуса а 4 + ж 2а

Сектор радиуса а, угол 7 = 2жЛ, 0 < Л < 2 2 2 + 2^ V) 0

Равносторонний треугольник 6^3 0

а

Треугольник, 45°, 45°, 90° 11.6569 0

Треугольник, 30°, 60°, 90° 12.9282 0

Таблица 6

Иллюстрация неравенства (4.10) на примере эллипса

Область Ц(С)

к(с)р(с) + а {р{с)\

Эллипс, а/Ь = 1 1

Эллипс, а/Ь = 6/5 0.977779

Эллипс, а/Ь = 4/3 0.967349

Эллипс, а/Ь = 3/2 0.95769

Эллипс, а/Ь = 7/4 0.948036

Эллипс, а/Ь = 2 0.942164

Эллипс, а/Ь = 3 0.935708

Эллипс, а/Ь = 4 0.938395

Эллипс, а/Ь = 7 0.951491

Эллипс, а/Ь = 12 0.965792

Эллипс, а/Ь = 100 0.994597

Эллипс, а/Ь = ж 1

Таблица 7

Иллюстрация теоремы 15 в сравнении с неравенством Макай (1.9).

Область 3Р( С) Р(С)

2р(С)3 (26(р(С)) + К(С)р(С) - кр(С)) 4Ь( С)

Круг радиуса г 0, 75 0, 75

Эллипс, а/Ь = 6/5 0.703834 0.767925

Эллипс, а/Ь = 4/3 0.692329 0.787693

Эллипс, а/Ь = 3/2 0.685232 0.812711

Эллипс, а/Ь = 7/4 0.68005 0.845916

Эллипс, а/Ь = 2 0.676727 0.87273

Эллипс, а/Ь = 3 0.664704 0.934614

Эллипс, а/Ь = 7 0.6447 0.974535

Эллипс, а/Ь = 12 0.61617 0.995411

Эллипс, а/Ь = 100 0.592589 0.99993

Эллипс, а/Ь = ж 0.58905 1

Квадрат, сторона а 0.694435 0.843462

Область 3Р( С) Р(С)

2р(С)3 (26(р(С)) + К(С)р(С) - жр(С)) 412 (С)

Прямоугольник, а/Ь = 2 0.853665 0.914729

Прямоугольник, а/Ь = 3 0.908926 0.947939

Прямоугольник, а/Ь = 4 0.934152 0.962788

Прямоугольник, а/Ь = 5 0.948443 0.971053

Прямоугольник, а/Ь = 6 0.957634 0.976324

Прямоугольник, а/Ь = 7 0.964041 0.97996

Прямоугольник, а/Ь = 8 0.968776 0.982637

Прямоугольник, а/Ь = 10 0.975277 0.986291

Прямоугольник, а/Ь = 12 0.979537 0.98867

Прямоугольник, а/Ь = 100 0.997616 0.998692

Прямоугольник, а/Ь = ж 1 1

Полукруг радиуса г 0.595121 0.885363

Сектор г, угол 7 = 2жЛ, Л = 1/12 0.596293 0.91068

Сектор г, угол 7 = 2жЛ, Л = 1/10 0.602724 0.900422

Сектор г, угол 7 = 2жЛ, Л = 1/8 0.603784 0.888036

Сектор г, угол 7 = 2жЛ, Л = 1/6 0.584973 0.873561

Сектор г, угол 7 = 2жЛ, Л = 1/4 0.492653 0.860148

Сектор г, угол 7 = 2жЛ, Л = 1/3 0.360299 0.859949

Сектор г, угол 7 = 2жЛ, Л = 5/12 0.200915 0.868803

Узкий сектор г = 1 7 = 2жЛ ^ 0 0.5 1

Равносторонний треугольник, а 0.644978 0.900001

Треугольник 45°, 45°, 90° 0.624461 0.912417

Треугольник 30°, 60°, 90° 0.608295 0.920522

Правильный шестиугольник 0.729602 0.797505