Изопериметрические неравенства для моментов инерции плоских областей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Салахутдинов, Рустем Гумерович

• Салахутдинов, Рустем Гумерович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Салахутдинов, Рустем Гумерович

Содержание

1 Интеграл от квадрата конформного радиуса и его обобщения

1.1 Изопериметрическое неравенство для конформного момента инерции области

1.2 Оценки норм конформного радиуса в пространствах Ьр

1.3 Аналитическое неравенство Пуанкаре в областях класса Джона

1.4 Точные оценки скалярного произведения Петерсона через нормы Бергмана со специальными весами

2 Интегралы от функции расстояния

2.1 Изопериметрические неравенства для выпуклых областей

2.2 Случай односвязных областей и некоторые обобщения на трехмерный случай

2.3 Аналоги неравенства Ф. Джона для прямоугольников

3 Точное решение основных задач теории упругости для

плоскости с отверстием в форме аэродинамического профиля

3.1 Постановка задач на плоскости и сведение к двум задачам Шварца

3.2 Решение краевых задач. Приложения к задаче обтекания аэродинамического профиля стоксовой жидкостью и одной изопериметрической проблеме

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изопериметрические неравенства для моментов инерции плоских областей»

Введение

В диссертации изучаются изопериметрические свойства геометрических функционалов односвязной области, которые связаны с физическими величинами, встречающимися в теории упругости.

Изопериметрические неравенства являются постоянным предметом исследования в различных областях математики, механики и физики, что связано с большим числом практических задач, которые часто носят изопериметрический характер. Одним из самых известным примеров является задача, решение которой выражается классическим изоперимет-рическим неравенством. Изопериметрическим задачам посвящено большое число работ. Классические результаты и гипотезы подытожены в известной монографии Г. Полиа и Г. Сеге [26]. Дальнейшие результаты связаны с новыми геометрическими неравенствами, оценками норм оператора вложения в пространствах Соболева, методами геометрической теории функций и, особенно, методами симметризации.

Более глубокому изучению и систематизации изопериметрических неравенств посвящены монографии К. Бэндл [45], Г. Хадвигера [36], В.Д. Бураго и В.А. Залгаллера [8], Р.П. Сперба [71]. Современному состоянию этой области науки посвящены обзорные статьи JI.E. Пейна [62], В.К. Ионина [13], Оссермана Р. [60], В.Н. Дубинина [И] и Г.В. Кузьминой [17]. Изопериметрические неравенства тесно связаны с оценками норм вложения в пространствах Соболева (см., например, [21], [30]). Исследованию изопериметрических неравенств посвящены статьи М. Эссена [39], Г. Полиа [63], Дж. Дженкинса [51], А. Вайнстейна [64], Г. Сеге [74], М. Шиффера [38], Дж. Херша [55], [56] Л.Е. Пейна [61], В.Н. Дубинина [11], [50], А.Ю. Солынина [31], Р. Банеолиса, Т. Каррола [47], К. Бендл и М. Флючера [46], Ч.С. Стантона [72], В. Андриевского, В. Хансена, Н. Надирашвили [40], А. Хубера [57] и других. Наиболее

эффективному применению аппарата симметризации, его разработке и развитию уделяется внимание в работах Г. Полиа [63], Г. Сеге, А. Берн-штейна [44], Дж. Дженкинса [52], И.П. Митюка [23], [24], В.Н. Дубинина [12], А.Ю. Солынина [32] и т.д.

Основным результатом диссертации является доказательство прямого аналога гипотезы Сен-Венана для новых моментов инерции области, введенных Ф.Г. Авхадиевым [1], [2], [3].

В диссертации также рассмотрено решение первой и второй основных задач теории упругости для специального класса областей. Применению аппарата аналитических функций в теории упругости посвящены монографии Н.И. Мусхелишвили [25], А. Лява [20] и других; большое число статей посвящено различным вопросам плоской теории упругости. Результаты, полученные в диссертации, являются непосредственным продолжением и развитием работ Ч. By [75], Е.А. Широковой [68], [69].

Опишем кратко основные задачи и результаты. Пусть D — односвяз-ная область на плоскости комплексного переменного z, и(х, у) — решение краевой задачи Дирихле

' Аи = -2, z G D, u\dD= 0.

Коэффициентом жесткости кручения, как известно [6], [26], называется величина

C{D) = 2 JJ^ u{x,y)dxdy.

Согласно гипотезе Сен-Венана, строго доказанной Г. Полиа [63] в 1948 году, среди областей с фиксированной площадью S(D) величина C(D) максимальна для круга. Аналитическим выражением гипотезы является неравенство

C(D) < ¿S\D),

где равенство достигается только для круговой области.

Это неравенство вместе с результатами, полученными Ф.Г. Авха-диевым, послужило отправной точкой наших исследований. Ф.Г. Авхадиев в 1995г. доказал следующую теорему. Теорема [1], [2] Для всех односвязных областей С{Б) < +оо тогда и только тогда, когда 1С{Е) < +оо(или 7(сШ) < причем

/(&0) < /с(£>) < С(£>) < 4/с(£>) < 64/(<9£>),

где

1(дБ) = Ц^^дВ)^ (0.1)

— момент инерции области относительно границы,

ЦБ) = Л Я2(г, 0)<1х<1у (0.2)

— конформный момент инерции области, сИзЬ(г,дП) — расстояние от точки г до границы области дИ, И) — конформный радиус О в точке г.

Основной целью диссертации является изучение изопериметрических свойств функционалов (0.1) и (0.2) и их аналогов.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация теорем, лемм и определений сквозная. Нумерация формул по главам.

Первая глава состоит из четырех параграфов, в которых исследуются свойства интегралов от конформного радиуса и некоторые их обобщения. Вторая глава состоит из трех параграфов, где изучаются свойства геометрических функционалов области зависящих, от функции расстояния. В третьей главе, которая состоит из двух параграфов, получены решения первой и второй основных задач теории упругости для специального класса областей, а также их приложение.

В первой главе изучаются изопериметрические свойства конформных моментов инерции области. Основным результатом первого параграфа является доказательство следующего аналога теоремы Сен-Венана для конформного момента инерции области.

Теорема 1. Пусть I) —■ односвязная область комплексной плоскости С конечной площади Тогда имеет место неравенство

Ш) <

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда £) — круг.

При доказательстве используются конформные отображения и оценки для рядов, причем удается выяснить все случаи равенства.

Как следствие из теоремы 1 получено строгое неравенство для момента инерции относительно границы области

/(ао) <

Второй параграф является непосредственным обобщением первого. В нем рассматриваются моменты инерции области порядка Ь > О

/Ю(1>) = Л 11*{г,П)(1х(1у.

Оказывается, что при четном положительном Ь удается провести доказательство по аналогии со случаем £ = 2. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть И — односвязная область с конечной площадью 5(1)). Тогда имеет место неравенство

7С~п

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда И круг.

Как следствие из теоремы 2 получаем изопериметрическое неравенство в случае нечетного Ь. Применяя стандартный метод оценки в пространствах Ьр, т. е. зная оценки для у — 1 и у + 1, можно получить оценки для £ Е [у — 1,у 4- 1]. Таким образом, для нечетного I получаем строгое неравенство

В з 1.3 рассматривается неравенство Пуанкаре для аналитических функций. Задача была поставлена Д. Гамильтоном [43] и заключается в следующем: "Определить односвязные области I) (0 6 I)), для которых существует абсолютная константа К = К (О) и выполняется неравенство

для любой аналитической в области функции /(г;), с условием /(0) = 0".

Основным результатом параграфа является доказательство достаточного условия выполнения аналитического неравенства Пуанкаре в областях класса Джона (см. определение [49], [59] или в §1.3 диссертации).

Теорема 3. Аналитическое неравенство Пуанкаре справедливо для областей класса Джона.

При доказательстве теоремы ключевой оказывается теорема, доказанная X. Поммеренке [65]. Также используется модификация метода доказательства теоремы 1. Отметим, что теорема очерчивает достаточно широкий класс областей, где неравенство Пуанкаре имеет место. Имеются примеры областей, например, спиралеобразной (см. М. Хуммель [58]), когда неравенство не выполняется. И.Р. Каюмовым [14] построен пример звездообразной относительно нуля области, с одним нулевым углом на вещественной оси, для которой аналитическое неравенство Пуанкаре

Результаты §1.3 и §1.4 получены совместно с Ф.Г. Авхадиевым.

11п \Кг)\2Шу < К (И) I[ \Г{г)\2Шу

не выполняется. Отметим, что Д. Гамильтон обосновал справедливость неравенства Пуанкаре для квазидисков [54].

В §1.4 рассматриваются оценки норм в пространствах Бергмана Аа(0), а > 1 и их приложения к изопериметрическим неравенствам. Обозначим, через \(г,В) коэффициент метрики Пуанкаре области В. Тогда квадрат нормы в пространстве Аа(В) определяется формулой

(а~ /7 I |2 \ 2—а I

Аа{д,В) = ^-^ / / \д(г)\2\2-а(г,П)с1х<1у.

7Г У 71)

Основным результатом является следующая

Теорема 4. Пусть В —односвязная область гиперболического типа, а > 1, 6 > 1. Тогда для любых аналитических в В функций р(г) и д(г) имеет место неравенство

Ло+^Я) < Аа(р,В)А&{ч,В). (0.3)

Знак равенства реализуется только для функций вида

где г = /(С) — конформное отображение единичного круга на область В, а0, Ь0 — произвольные константы, \к\ < 1, ¡к^ < 1.

Более ясно характер теоремы раскрывают следствия и замечания к ней. Приведем некоторые из них.

Как известно (см., например, [65]) для односвязной области, конформный радиус и коэффициент метрики Пуанкаре связаны соотношением

Положим, в частности, в (0.3) р(г) = д(г) = 1 для всех г из И, а также сделаем замену а' = а — 2, 51 — 5 — 2. Получим

£> 7г(а 4- <з + 3)

* 1^11а(г,В)(1х<1у Л^К5(г,0)(1х(1у. (0.4)

Следствие 4.1. При а = 5 = — 1 из (0.4) следует классическое изопериметрическое неравенство

1\о)

5(£>)<

47г

где 1(0) — длина границы дИ.

Следствие 4.3. При а + 5-\-2 = 2п; п £ N, момент инерции области порядка 2п достигает максимума в случае, когда область есть круг той же площади.

Основываясь на (0.4), можно также сделать следующее полезное замечание. Достаточно рассматривать оценки моментов инерции для £ Е [0,2], для остальных моментов, при £ > 2, оценки получаются при использовании неравенства (0.4).

Во второй главе рассматриваются функционалы области, которые строятся с использованием евклидова расстояния от точек области до ее границы.

В отличие от конформного радиуса в случае евклидова расстояния существенным является класс рассматриваемых областей. Одним из наиболее простых классов областей является класс выпуклых областей.

В §2.1 изучаются изопериметрические свойства интегралов от функции расстояния в классе выпуклых областей. Доказана теорема, которая является прямым аналогом гипотезы Сен-Венана.

Теорема 5. В классе выпуклых областей при фиксированной площади области И максимум геометрическому функционалу 1{дО) доставляет круговая область.

Утверждение теоремы может быть записано в виде неравенства

1

£! дО)с1х(1у <

причем равенство достигается только для случая, когда область есть круг.

Доказательство теоремы позволяет получить более общий результат. Следствие 5.1. Пусть И — выпуклая область конечной площади

Ф(£) — непрерывная, неубывающая функция для Ь £ [0, у £(1))/7г]; К — круг той же площади. Тогда

Л Ф[(Изг{г,дП))(1х<1у < Л Ф(<Изг(г,дК))(1х(1у,

где равенство возможно тогда и только тогда, когда И — круг.

В следующем параграфе рассматривается случай произвольной од-носвязной области. При доказательстве существенно используется тот факт, что односвязную область можно представить как предел вписанных многоугольников. Рассмотрены также некоторые обобщения на евклидово пространство К3. Основные результаты параграфа — следующие утверждения.

Теорема 6. При данной площади области круговая область имеет больший момент инерции относительно границы, чем любая другая область той же площади.

Следствие 6.1. Пусть И — односвязная область, Ф(£) — непрерывная, неубывающая функция для £ 6 [0, у£(1))/7г], К — круг той же площади, что и И. Тогда

Л Ф((И8г{г,дП))(1х(1у < Л Ф((Из^,дК))йхйу,

где равенство возможно тогда и только тогда, когда D — круг.

Далее, используя изопериметрические неравенства Я. Штейнера и Е. Шмидта, получены точные оценки для момента инерции относительно границы. Приведем, например, оценку снизу

1{дП) > d\D) (S(D) - \l(D)d(D) + ,

где 1(D) — длина границы области D, d(D) = supdist(z,dD).

zed

Рассмотрим в евклидовом пространстве R3 односвязные тела, характеризуемые тем свойством, что все сечения тела плоскостями, параллельными плоскости z = t = const, представляют собой односвязные области. Определим следующий функционал тела Q

ZQ

I(dti) = J I(dDz)dz,

о

где z0 — некоторая константа, зависящая только от Q, ("высота" тела). Теорема 7. Симметризация Шварца увеличивает функционал тела

zo

J J J Ф (dist(u,dDz))dxdydz,

о Dz

где Ф(£) — непрерывная, неубывающая функция, Ф(£) > 0. Результаты §2.3 получены совместно с Ф.Г. Авхадиевым. Одним из вопросов, с которым приходится сталкиваться при применении тех или иных приближенных формул, является вопрос о допустимом классе областей и функций, где имеет смысл пользоваться этой формулой. Г. Полиа и Г. Сеге [26] было доказано, что приближенная формула Сен-Венана для жесткости кручения имеет нетривиальные оценки в классе выпуклых областей. При этом был предложен общий метод оценки в классе выпуклых областей, который заключается в следующем:

если отношение физического и геометрического функционалов ограничено сверху и снизу в некотором семействе гомотопических областей, тогда, используя метод вписанного и описанного эллипсов Джона, можем установить ее для произвольной выпуклой области. Г. Полиа и Г. Сеге в качестве гомотопических областей были использованы эллипсы. Мы предлагаем заменить эллипсы прямоугольниками. Чтобы получить погрешность, возникающую в результате использования такого метода, надо изучить отношение геометрических величин описанного и вписанного прямоугольника (эллипса) вокруг области. Получен следующий результат.

Пусть \R2\I\Ri] означает отношение подобия прямоугольников, причем Ш/Ш > 1.

Теорема 8. Для произвольной ограниченной выпуклой области И существуют два прямоугольника и Я2, такие , что

1)^1 С I) С Д2) 2)И £ [1,2],

[Щ

двойка является наилучшей константой и достигается, в частности, для любого треугольника.

Аналогичный результат для эллипсов имеет то же отношение соответствующих полуосей [Е^Д-Еа] £ [1,2], а решение задачи дает эллипс Ф. Джона (см. [53]).

Результаты главы 3 получены совместно с Е.А. Широковой.

В заключительной главе решаются первая и вторая основные задачи теории упругости для плоскости с отверстием в форме несимметричного аэродинамического профиля. Классическими трудами в теории упругости являются монографии Н. И. Мусхелишвили [25], А. Лява [20] и других, решение задач в которых строится при помощи аппарата аналитических функций, а также теории интегральных уравнений. Пользуясь

тем, что функция, отображающая внешность единичного круга на рассматриваемую область, является дробно-рациональной, удается свести задачу к двум задачам Гильберта для мероморфных функций. Характерно, что рассматриваемая область имеет граничную точку возврата. Форма профиля зависит от параметров. Случай симметричного профиля с однородными граничными условиями был рассмотрен в работах Ч. Ву [75], задачи решались методом квазиконформного продолжения. В работах Е. А. Широковой [68], [69] основные задачи теории упругости для симметричного профиля при непрерывных граничных условиях были решены сведением к двум задачам Гильберта.

В §3.1 рассматривается постановка задачи и метод сведения к двум задачам Гильберта.

Во втором параграфе строится и исследуется решение основных задач для данной области. Основной результат формулируется в виде теоремы 9, которая утверждает, что при непрерывной дифференцируемос-ти краевых условий первая и вторая основные задачи теории упругости для несимметричного аэродинамического профиля безусловно разрешимы. Решение строится в явном виде в квадратурах.

Далее рассматриваются некоторые приложения. Решается задача обтекания аэродинамических профилей вязкой жидкостью по модели Сток-са.

Вычисляются коэффициенты интенсивности напряжения в граничной точке возврата и ставится задача их оптимизации как изопериметричес-кая задача для многопараметрических контуров. Исследуется частный случай.

На защиту выносятся следующие результаты:

- доказательство изопериметрического неравенства для конформного момента инерции односвязной области;

- доказательство изопериметрического неравенства для момента инерции области относительно границы;

- доказательство достаточного условия выполнения аналитического неравенства Пуанкаре в области;

- решение основных задач теории упругости для плоскости с отверстием в форме несимметричного аэродинамического профиля.

Основные результаты диссертации изложены в работах [5], [27], [28], [41], [42], [70], работа [4] принята в печать.

Результаты диссертационной работы были представлены в докладах на следующих конференциях:

1. II республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов, 28 июня - 1 июля 1996г., Казань.

2. Всероссийская школа-конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева, 16 - 22 июня 1997г., Казань.

3. Итоговые научные конференции Казанского университета, 1994 -1997гг.

В целом работа доложена на семинаре под руководством д.ф.-м.н. Ф.Г. Авхадиева.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук Ф.Г. Авхадиеву, научному консультанту, кандидату физико-математических наук Е.А. Широковой, а также благодарит всех участников семинара по геометрической теории функции (рук. Ф.Г. Авхадиев) за постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Салахутдинов, Рустем Гумерович, 1998 год

Библиография

[1] Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань. Изд-во Казанский фонд "Математика". 1996.

[2] Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства и их приложения. Препринт N 95-1. Казань. Изд-во Казанский фонд "Математика". 1995.

[3] Авхадиев Ф.Г. Вариационные конформно-инвариантные неравенства и их приложение // Докл. Акад. Наук. 1998. Т. 359. N 6. С. 727-731.

[4] Авхадиев Ф.Г., Салахудинов Р.Г. Изопериметрические неравенства для моментов инерции и точные оценки в пространствах Бергмана // Казань. Сб." Фонд научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ Республики Татарстан. Фундаментальные науки. Конкурс проектов '96". (в печати)

[5] Авхадиев Ф.Г., Салахудинов Р.Г. Точные оценки в весовых пространствах Бергмана и их приложения / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань, 1622 июня 1997. С. 9.

[6] Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: ГИФМЛ. 1996.

[7] Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука. 1967.

[8] Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Ленинград: Наука. 1980.

[9] Г ахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: ГИФМЛ. 1977.

[10] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука. 1966.

[И] Дубинин В.Н. Некоторые свойства внутреннего приведенного модуля // Сиб. мат. жур. 1994. Т. 35. N 4. С. 774-792.

[12] Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функции комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1994. 49. N 1. С. 3-76.

[13] Ионин В.К. О изопериметрических и других неравенствах на многообразиях с ограниченной кривизной // Сиб. мат. жур. 1969. 10. С. 233-243.

[14] Каюмов И.Р. Об аналитическом неравенстве Пуанкаре / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань. 16-22 июня 1997. С. 114.

[15] Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир. 1975.

[16] Крушкаль С.Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск. 1975.

Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций. II // Алгебра и Анализ. 1997. Т. 9. вып. 5. С. 1-50.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: ГИФМЛ. 1951. Т. 2.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973.

Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ. 1935.

Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Ленинград: ЛГУ. 1985.

Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука. 1968. Т. 2.

Митюк И.П. Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризационные методы. Краснодар: Кубан. гос. ун-т. 1980.

Митюк И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубан. гос. ун-т. 1985.

Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР. 1954.

Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: ГИФМЛ. 1962.

Салахудинов Р.Г. Оценка жесткости кручения выпуклых областей / Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. Казань, 28 июня-1 июля 1996. Книга 3. С. 17.

[28] Салахудинов Р.Г. Изопериметрические неравенства для моментов инерции области относительно своей границы / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань, 16-22 июня 1997. С. 182.

[29] Слезкин H.A. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГИФМЛ. 1955.

[30] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физики. Ленинград: ЛГУ. 1950.

[31] Солынин А.Ю. Применение симметризации для доказательства функциональных неравенств // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1996. 226. С. 170-195.

[32] Солынин А.Ю. Изопериметрические неравенства для многоугольников и диссиметризация // Алгебра и Анализ. 1992. Т. 4. вып. 2. С. 210-234.

[33] Стоколос A.M. О дифференцировании интегралов базисами не обладающими свойством плотности // Матем. сб. 1996. Т. 187. N 7. С. 113-138.

[34] Тот Л.Ф. Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве. М.: ГИФМЛ. 1958.

[35] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: ГИФМЛ. 1959. Т. 2.

[36] Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади и изометрии. М.: Наука. 1966.

[37] Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука. 1974.

[38] Шведенко С.В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре // Итоги Науки и Техники. Серия математический анализ. 1985. Т.23. С. 3-124.

[39] Aissen М. Estimation and computation of torsional rigidity. Stanford University. Dissertation. 1951.

[40] Andrievskii V., Hansen W., Nadirashvili N. Isoperimetric inequalities for capacities in the plane // Math. Ann. 1992. 292. P. 191-195.

[41] Avhadiev F.G., Salahudinov R.G. Estimates of the Saint-Venant functional and its analogues // The 5 g. Preprint. Kazan. Series in Mathematics. Kazan Math. Foundation. 1996. N 5.

[42] Avhadiev F.G., Salahudinov R.G. Sharp estimations of norms in Bergman Spaces and their application // The 5 g. Preprint. Kazan. Series in Mathematics. Kazan University Press. 1997. N 1.

[43] Barth K.F., Brannan D.A., Hayman W.K. Research problems in complex analysis // Bull. London Math. Soc. 1984. N 16. P. 490-517.

[44] Baernstein A. II, Integral means, univalent functions and circular symmetrization // Acta Math. 1974. 133. N. 3-4. P. 139-169.

[45] Bandle C. Isoperimetric inequalities and applications. Pitman. Boston. 1980.

[46] Bandle C., Flucher M. Harmonic radius and concentration of energy;

n I л

hyperbolic radius and Liouville's equations AU = eu and AU = JJn-2 // SIAM Rev. 1996. V.38. N 2. P. 191-238.

[47] Banuelos R., Carroll T., Brownian motion and the fundamental frequency of a drum // Duke Math. Jour. 1994. V. 75. N 3. P. 575-601.

[48] Banuelos R., Housworth E. An isoperimetric-type inequality for integrals of Green's functions // Mich. Math. Soc. 1995. 337. N 3. P. 603-611.

[49] Chuaqui M., Osgood B., Pommerenke Ch. John domain, quasidisks, and the Nehari class // J. Reine Angew. Math. 1996. 471. P. 77-114.

[50] Dubinin V.N. Capacitie s and geometric transformations of subsets in n-space // Geom. and func. anal. 1993. V. 3. N 4. P. 342-369.

[51] Jenkins J.A. On circulary simmetric functions // Proc. Amer. Math. 1955. 6. N 4. P. 620-624.

[52] Jenkins J.A. Some uniqueness results in the theory of simmetrization. I, II // Ann. of Math.(2). 1955. 61. N 2. P. 223-230.

[53] John F. Extremum problems with inequlities as subsidiary conditions, Studies and Essays presented to R.Courant on his 60th birthday // N. Y. : Interscience publ. 1948. P. 187-204.

[54] Hamilton D.H. On the Poincaré inequality // Complex variables. 1986. V. 5. P. 265-270.

[55] Hersch J. On symmetric membranes and conformai radius: Some complements to Polya's and Szegô's inequalities // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. 20. P. 378-390.

[56] Hersch J. On the torsion functions, Green's functions and conformai radius: An isoperimetric inequality Polya and Szegô, some extensions and applications // J. d' Analyse Math. 1979. 36. P. 102-117.

[57] Huber A. On the isoperimetric inequality on surfaces of variable gaussian curvature // Ann. Math. 1954. V. 60. N 2. P. 237-247.

[58] Hummel J.A. Counterexamples to the Poincaré inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. V. 8. N 2. P. 207-210.

[59] Martio 0. Definitions for uniform domains // Ser. A. I. Math. 1980. V. 5. P. 197-205.

[60] Osserman R. The isoperimetric inequality // Bull, of the Amer. Math. Soc. 1978. V.84. N 6. P. 1182-1238.

[61] Payne L.E. Some isoperimetric inequalities in the torsion problem for multiply connected regions // Stud, in Math. Anal, and Relat. Topics: Ess. in honor of G. Polya. Stan. Univer. Press. 1962. P. 270-280.

[62] Payne L.E. Isoperimetric inequalities and their applications // SIAM Rev. 1967. 9. P. 453-488.

[63] Polya G. Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic and symmetrization // Quarterly of Appl. Math. 1948. N 6. P. 267-277.

[64] Polya G., Weinstein A. On the torsional rigidity of multiply connected cross-sections // Ann. of Math. 1950. 52. P. 154-163.

[65] Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformai maps, Springer — Verlag. Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest. 1992.

[66] Saint-Venant B. Mémoire sur la torsion des prismes // Mémoire présenté par divers savants a l'Académie des Sciences. 1856. V.14. P. 233-560.

[67] Schiffer M., Szegô G. Virtual mass and polarization // Tran. of Amer. Math Soc. 1949. 67. P. 130-205.

[68] Shirokova E.A. The exact solution of the plane elasticity problem for the simmetric airfoil cracks // Mech. Res. Com. 1994. N 6. P. 575-581.

[69] Shirokova E.A. The exact solution of the plane elasticity second basic problem for the simmetric airfoil cracks // Mech. Res. Com. 1995. V. 22. N 5. P. 447-451.

[70] Shirokova E.A., Salahudinov R.G. The exact solution of the plane elasticity second basic problem for the simmetric airfoil cracks // Mech. Res. Com. 1997. V. 274. N 2. P. 131-136.

[71] Sperb R.P. Maximum principles and their applicathions. New York. Academic Press. 1981.

[72] Stanton C.S. Isoperimetric inequalities and Hp estimates // Complex variables. 1989. V. 12. P. 17-21.

[73] Stegenga D. Multipliers of Dirichlet space // 111. J. Math. 1980. V. 24. P. 113-139.

[74] Szegô G. On membranes and plates // Nation, acad. of Sci. 1950. 36. P. 210-216.

[75] Wu C.H. Unconvention Internal Cracks Part I: Simmetric Variation of a Straight Crack // Appl. Mech. 1982. V. 49. P. 62-68.