Геометрия и топология полей квантовой глюодинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Бойко, Павел Юрьевич

• Бойко, Павел Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бойко, Павел Юрьевич

Введение

1. Мотивация и обзор работы.

2. Общая характеристика работы.

Глава 1. Скейлинговые свойства МАП монополей

1.1. Магнитные монополи и невылетание

1.2. Обзор решеточной феноменологии.

1.3. Геометрические и скейлинговые свойства.

1.4. Связь с центральными вихрями

1.5. Интерпретация феноменологии

1.6. Выводы к первой главе

Глава 2. Погруженная НРП модель

2.1. Связь киральных и калибровочных теорий.

2.2. Погруженная НРП модель на решетке.

2.3. HP1 проекция

2.4. Структура топологических флуктуаций

2.5. Выводы ко второй главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия и топология полей квантовой глюодинамики»

1. Мотивация и обзор работы

Нет сомнений в том, что сильно взаимодействующие частицы состоят из кварков и глюонов, не наблюдаемых по отдельности. Вопрос о том, почему кварки связываются в адроны с наблюдаемыми свойствами далек, однако, от окончательного ответа.

Опыт решения большого количества квантовомеханических задач учит тому, что первым делом следует попытаться понять основное состояние системы, после чего можно надеяться, что свойства возбуждений получатся естественным образом. В этой работе мы сконцентрируемся исключительно на свойствах вакуума.

Конечно, полное решение КХД включает описание вакуумного состояния, конфайнмента и свойств адронов. Решеточная КХД делает серьезные успехи на этом пути, предоставляя решение в виде систематически улучшаемых результатов численных расчетов. Тем не менее, приближенные модели вакуума остаются важной составной частью понимания этих результатов. Назначением моделей является качественное объяснение непертурбативных свойств теории, таких как конфайнмент, вакуумные конденсаты, фазовая диаграмма.

Самые разнообразные модели были и остаются в разной степени феноменологически успешными. В моделях "мешков" роль непертурбативного вакуума сводится к граничным условиям на волновую функцию кварков на границе адронного мешка. Вакуум Саввиди заполнен спонтанно генерирующимся хромомагнитным полем, в спагетти-вакууме магнитное поле организовано в тонкие замкнутые трубки (мы вернемся к этой идее в разделе 1.4). Вакуум модели дуальной сверхпроводимости имеет конденсат "магнитных зарядов", в результате (дуальный) эффект Мейснера сжимает "электрическое" поле между кварком и антикварком в трубку, мы детально рассмотрим эту модель в первой главе. Множество вариаций модели инстантонной жидкости феноменологически успешны, особенно в описании свойств легких адронов.

Могут ли все эти модели быть (хотя бы отчасти) верными одновременно? Можно ли получить их параметры из первых принципов? На каком масштабе эффективное описание сшивается с теорией возмущений? Как это происходит?

Решеточная КХД оказалась уникальным инструментом для поиска ответов на такие вопросы. Действительно, численное Монте-Карло моделирование теории1 представляет наблюдаемые в виде статистических средних по ансамблям конфигураций калибровочных полей {А^(х)}. Выделяя на каждой конфигурации интересующие эффективные степени свободы, например "инстантоны" или "магнитные монополи", можно непосредственно изучать их динамику в настоящем непертурбативном вакууме (евклидовой) КХД. При дополнительных предположениях оказывается возможным факторизо-вать вклад рассматриваемых объектов в физические наблюдаемые, такие как натяжение струны. Можно рождать новые объекты, вычисляя эффективное действие. Можно даже удалять объекты из вакуума, исследуя соответствующее изменение физических свойств теории. Мы будем называть знания такого рода решеточной феноменологией.

Накопление и интерпретация фактов решеточной феноменологии привели к существенному пересмотру старых моделей вакуума.

В первой главе мы увидим, к каким причудливым модификациям модели дуальной сверхпроводимости привела систематическая интерпретация решеточных данных. В центре внимания будет описание магнитных монополей (определенных в максимальной абелевой проекции SU(2) глюодинами

1 Предполагается, что читатель знаком с основами решеточных калибровочных теорий. Для ориентации см., например, учебники [1, 2]. ки) в терминах флуктуирующей геометрии "квантовых" траекторий. Будет показано, что монополи проявляют себя не только на больших расстояниях порядка Aкак положено эффективным низкоэнергетическим степеням свободы, но и на малых расстояниях вплоть до масштаба обрезания2 а. Например, плотность монополей имеет вид (см. подробности в разделе 1.3.1)

Р aqcd ■ а~1 i явно смешивая инфракрасный и ультрафиолетовый масштабы. Последовательная интерпретация (раздел 1.5) подобной "интерференции" масштабов неожиданно приводит к синтезу модели дуальной сверхпроводимости с картиной спагетти-вакуума центральных вихрей. Феноменологически, вклад вихрей и монополей в наблюдаемые идентифицируется в терминах квадратичной степенной поправки.

Другая феноменологически успешная модель вакуума - модель инстан-тонной жидкости (ILM) - испытала не меньшие метаморфозы под давлением решеточных данных. Специфика решеточной феноменологии ILM состоит в том, что наблюдение инстантонов требует явного разделения пертурбативно-го и непертурбативного вкладов. Так, плотность действия и плотность топ-заряда максимально флуктуируют пертурбативно,

G2) ос ос а"4 , не оставляя шансов заметить на пертурбативном фоне классическое решение с

С2) ос у/Щ ос K%CD .

Более того, уже определение плотности топологического заряда сталкивается на решетке с серьезными проблемами. Действительно, любая "наивная"

23десь и далее мы используем решеточную регуляризацию с шагом решетки а. дискретизация тензора напряженности = G^ + 0{ап) в определении q ос GG нарушает целочисленность топологического заряда: оо к—п

Проблема в том, что формально подавленные как степени а поправки на дискретизацию пропорциональны операторам высших размерностей и, вообще говоря, ультрафиолетово расходятся в среднем согласно размерности: (Л4к &к) ос а-4 для всех к. Отметим для сравнения, что в аналогичном разложении плотности действия G2 настоящим малым параметром выступает константа связи а3{аГ2) и только асимптотическая свобода обеспечивает сходимость дискретной версии оператора к непрерывной при а —» 0.

Отличные от наивной дискретизации определения решеточной плотности топологического заряда имеют свои серьезные недостатки. То же относится к широко распространенным рецептам "охлаждения" и сглаживания полей.

Во второй главе предлагается новый подход к конструкции оператора плотности топологического заряда в решеточной SU{2) глюодинамике. Конструкция состоит из двух частей.

Во-первых, калибровочное поле А^(х) аппроксимируется с помощью геометрической связности поля | q) (х) погруженной кватернионной нелинейной (Т-модели:

Aail~-i{q\Tadll\q), \q)G HP", А" е su(2).

Вопросы о том, что такое геометрическая связность, кватернионная проективная модель и как понимать приближенное равенство в выражении выше, подробно обсуждаются в разделе 2.1.

Во-вторых, геометрический смысл топологического заряда как индекса отображения | q) (х) : Sphys —> НРП позволяет сконструировать дискретные операторы топологического заряда и его плотности с "хорошими" свойствами. Описанию дискретной конструкции и ее свойств посвящен раздел 2.2.

Удивительным "побочным продуктом" конструкции погруженной HP1 модели оказывается полное подавление (по крайней мере лидирующего) пертур-бативного вклада в физические наблюдаемые. В разделе 2.3 мы познакомимся с определением HP1 проекции как калибровочно-ковариантного отображения полей А^ —> —i(q \тадц\ q), обобщающего подход к определению плотности топзаряда на другие операторы. Оказывается, что HP1 проекция сохраняет такие непертурбативные динамические свойства как глюонный конденсат, киральный конденсат и натяжение струны. Более того, статистически достоверно определена квадратичная поправка к глюонному конденсату. При этом наблюдаемые в HP1 проекции не имеют пертурбативных вкладов, таких как вклад нулевых колебаний в (G2) и кулоновский член в потенциале. Напротив, остаток от проекции демонстрирует только пертурбативное поведение, см. сводную таблицу наблюдаемых 2.2.

Итак, конструкция погруженной HP1 модели отвечает всем требованиям для открытия инстантонной жидкости в вакууме: хорошо определенный оператор плотности топзаряда и разделение пертурбативного и непертурба-тивного вкладов в наблюдаемые. Пространственной структуре топологической плотности посвящен раздел 2.4. По-видимому, квадратичная поправка к глюонному конденсату оказывается фатальной для ILM вакуума. В разделе 2.4.1 показано, что квадратичная поправка к (G2) соответствует линейной расходимости характерной плотности топзаряда у/Щ -(lfm)-3^"1.

Это, в свою очередь, интерпретируется как эффективно трехмерная структура флуктуаций топологической плотности в вакууме - вместо инстантона топзаряд порядка единицы несет сильно асимметричный "блин" характерного размера (1 fm)3 х а.

Определение диффузионной размерности (раздел 2.4.2) позволяет провести независимую проверку утверждения о низкоразмерной структуре топологических флуктуаций. Оказывается, что действительно существует режим диффузии на фоне (модуля) плотности топологического заряда при котором величина локального возмущения падает со временем по степенному закону Ф(£) ос t~D/2 с эффективной размерностью D — 3.07(3).

В Заключении обсуждаются основные результаты работы.

В следующем разделе представлена общая информация о работе: список результатов выносимых на защиту, апробация диссертационной работы, ее объем и структура, а также благодарности.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Бойко, Павел Юрьевич

2.5. Выводы ко второй главе

Погруженная HP1 модель (раздел 2.1) позволяет сконструировать геометрически ясные решеточные операторы топологического заряда и его плотности (раздел 2.2). Теоретическая обоснованность для классических полей и численное сравнение с другими определениями в случае квантовых полей оправдывают применимость метода. В частности Хнр = 216(4) MeV, в согласии с общепринятым значением. Метод, однако, не ограничен расчетами топологической восприимчивости.

HP1 проекция (раздел 2.3) является калибровочно-ковариантным отображением полей, обобщающим определение топологической плотности для других наблюдаемых. Оказывается, что HP1 проекция сохраняет такие непертур-бативные динамические свойства как глюонный конденсат (2.3.1), киральный конденсат (2.3.3) и натяжение струны (2.3.2). Более того, статистически достоверно определена квадратичная поправка к глюонному конденсату. При этом наблюдаемые в HP1 проекции не имеют (по крайней мере лидирующего) пертурбативного вклада, такого как вклад нулевых колебаний в (G2) и кулоновский член в потенциале. Напротив, остаток от проекции (2.3.4) демонстрирует только пертурбативное поведение, см. сводную таблицу 2.2 и раздел 2.3.5.

Простой геометрический смысл полей погруженной HP1 модели позволяет связать лидирующие расходимости плотности действия и характерной плотности топологического заряда (раздел 2.4.1). Сделанные при этом дополнительные предположения о структуре отображения \q) (я) проверяются непосредственно. Показано, что квадратичная поправка к (G2) соответствует линейной расходимости q ~ (lfm)~3 • а-1. Это, в свою очередь, интерпретируется как эффективно трехмерная структура флуктуаций топологической плотности в вакууме.

Определение диффузионной размерности (раздел 2.4.2) позволяет провести независимую проверку утверждения о низкоразмерной структуре топологических флуктуаций. Оказывается, что действительно существует масштабно-инвариантный режим диффузии соответствующий эффективной размерности D = 3.07(3) независимо от шага решетки.

Заключение

Физические явления обычно организуются согласно иерархии масштабов. В вакууме квантовой глюодинамики отсутствуют априорные размерные параметры и соответствующие масштабы связаны с расходимостями. Их два: инфракрасный (ИК) масштаб A ~ lfm-1 определяется, например, как положение полюса Ландау; ультрафиолетовый (УФ) масштаб а <С lfm искусственно вводится для регуляризации ультрафиолетовых расходимостей. Физические наблюдаемые, например спектр возбуждений, зависят от А и не зависят от а в непрерывном пределе а —» 0. Нефизические "ненаблюдаемые", например энергия нулевых колебаний вакуума, зависят от а и не зависят от А. Физика малых расстояний не влияет прямо на физику больших расстояний и наоборот6. Асимптотическая свобода делает теорию возмущений надежным описанием физики на малых расстояниях и, напротив, процессы на масштабе А должны описываться как-то по-другому. Поэтому обычно в глюодинами-ке разделение "жесткого" УФ и "мягкого" ИК масштабов отождествляется с разделением пертурбативной и непертурбативной физики. При этом считается, что пертурбативная глюодинамика "тривиально" верна в своей области применимости.

Описанная картина, однако, неполна. Основным результатом этой диссертации является демонстрация одновременной зависимости от масштабов А и а вида

О) ос А "-(Г*3, 0. для большого количества величин, связанных с моделями вакуума. В таблице 2.5 собраны скейлинги разнообразных величин, обсуждаемых в этой работе. Подчеркнем, что все они определены "микроскопически", т.е. на масштабе обрезания а. Тем не менее, все они динамически чувствительны к инфракрас

6Примером "наоборот" является независимость ультрафиолетовых расходимостей от температуры.

Наблюдаемая" Скейлинг * стр.

Плотность перколирующего кластера монополей А3 31

Плотность самопересечений перколирующего кластера А4 35

Корреляционные длины для монопольных траекторий А-1 39

Плотность центральных вихрей ** А2 46

Топологическая восприимчивость в HP1 проекции А4 78

Плотность монополей, образующих конечные кластеры А2 • а""1 31

Действие монопольной траектории длины 1 ~ А-1 *** 1-а~1 42

Действие центрального вихря площади А ~ А-2 ** А-а~2 46

Глюонный конденсат в HP1 проекции А4 + А2 • а"2 80

Характерная топологическая плотность в HP1 проекции А3 • а"1 94

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бойко, Павел Юрьевич, 2008 год

1. Creutz М. Quarks, gluons and lattices. — Cambridge, Uk: Univ. Pr. ( 1983) 169 P. ( Cambridge Monographs On Mathematical Physics).

2. Montvay I., Munster G. Quantum fields on a lattice. — Cambridge, UK: Univ. Pr. (1994) 491 p. (Cambridge monographs on mathematical physics).

3. Boyko P. Y., Polikarpov M. I.} Zakharov V. I. Geometry of percolating monopole clusters // Nucl. Phys. Proc. Suppl.— 2003.— Vol. 119. — Pp. 724-726.

4. Geometry of the monopole clusters at different scales / V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2004. Vol. 129. - Pp. 668-670.

5. Boyko P. Y. et al. Once more on the interrelation between abelian monopoles and p-vortices in su(2) lgt // Nucl. Phys. — 2006. — Vol. B756. — Pp. 71-85.

6. Boyko P. Y., Gubarev F. V., Morozov S. M. SU(2) gluodynamics and HP1 sigma-model embedding: Scaling, topology and confinement // Phys. Rev. — 2006. Vol. D73. - P. 014512.

7. Boyko P. Y., Gubarev F. V. On the continuum limit of topological charge density distribution // Phys. Rev. 2006. - Vol. D73. - P. 114506.

8. Monopole clusters at short and large distances / V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov // Nucl. Phys. 2003.-Vol. B672. - Pp. 222-238.

9. Monopoles and hybrids in Abelian projection of lattice QCD / P. Y. Boyko,

10. М. N. Chernodub, А. V. Kovalenko et al. // Nucl. Phys. Proc. Suppl — 2002. Vol. 106. - Pp. 628-630.

11. Boyko P. Y., Gubarev F. V.; Morozov S. M. On the structure of QCD confining string // PoS. 2007. - Vol. LAT2007. - P. 307.

12. Dirac P. A. M. Quantised singularities in the electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. bond. — 1931. Vol. A133. - Pp. 60-72.

13. Dirac P. A. M. The theory of magnetic poles // Phys. Rev. — 1948.— Vol. 74. Pp. 817-830.

14. Aharonov Y., В ohm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev. 1959. - Vol. 115. — Pp. 485-491.

15. Абрикосов A. A. // ЖЭТФ. 1957. - Vol. 32. - P. 1442.15. !t Hooft G. — in 'High Energy Physics', Proceedings of the EPS International Conference, Palermo 1975, ed. A. Zichichi, Editrice Compositori, Bologna 1976.

16. Mandelstam S. // Phys. Rep. 1976. - Vol. C23. - P. 245.

17. Polyakov A. M. Compact gauge fields and the infrared catastrophe // Phys. Lett. 1975. - Vol. B59. - Pp. 82-84.

18. DeGrand T. A., Toussaint D. Topological excitations and monte carlo simulation of abelian gauge theory // Phys. Rev. 1980. - Vol. D22. — P. 2478.

19. Polyakov A. M. Particle spectrum in quantum field theory // JETP Lett. — 1974. Vol. 20. - Pp. 194-195.

20. Georgi H., Glashow S. L. Unified weak and electromagnetic interactions without neutral currents // Phys. Rev. Lett. — 1972. — Vol. 28. — P. 1494.

21. Bogomolny E. B. Stability of classical solutions // Sov. J. Nucl. Phys. — 1976.-Vol. 24,- P. 449.

22. Monopole condensation and color confinement / A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz, U. J. Wiese // Phys. Lett.— 1987.— Vol. B198. — P. 516.

23. Kronfeld A. S., Schierholz G., Wiese U. J. Topology and dynamics of the confinement mechanism // Nucl. Phys. — 1987. Vol. B293. — P. 461.

24. Ezawa Z. F., Iwazaki A. Abelian dominance and quark confinement in yang-mills theories // Phys. Rev. 1982. - Vol. D25. - P. 2681.

25. Suzuki Т., Yotsuyanagi I. A possible evidence for Abelian dominance in quark confinement // Phys. Rev. 1990. - Vol. D42. - Pp. 4257-4260.

26. Dual Superconductor Scenario of Confinement: A Systematic Study of Gribov Copy Effects / G. S. Bali, V. Bornyakov, M. Muller-Preussker, K. Schilling // Phys. Rev. 1996. - Vol. D54. - Pp. 2863-2875.

27. Bornyakov V. G., Ilgenfritz E. M., Mueller-Preussker M. Universality check of abelian monopoles // Phys. Rev. 2005. - Vol. D72. - P. 054511.

28. Stack J. D. Polyakov loops and magnetic screening from monopoles in SU(2) lattice gauge theory // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 1997. — Vol. 53. -Pp. 524-527.

29. Yee К. K. Abelian dominance in pure gauge SU(3) // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1994. - Vol. 34. - Pp. 189-191.

30. Ejiri S. Monopole condensation and Polyakov loop in finite- temperature pure QCD // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1997. - Vol. 53. - Pp. 491-493.

31. Suzuki T. et al. Monopoles and hadron spectrum in quenched QCD // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1996. - Vol. 47. - Pp. 374-377.

32. Miyamura 0. Chiral symmetry breaking in gauge fields dominated by monopoles on SU(2) lattices // Phys. Lett. — 1995. Vol. B353. — Pp. 9195.

33. Singh V., Browne D. A., Haymaker R. W. Structure of Abrikosov vortices in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Lett. — 1993. Vol. B306. — Pp. 115119.

34. Schlichter C., Bali G. S., Schilling K. The structure of flux tubes in maximal abelian gauge // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1998. - Vol. 63. - Pp. 519-521.

35. String tension and monopoles in T not = 0 SU(2) QCD / S. Ejiri, S.i. Kitahara, Y. Matsubara, T. Suzuki // Phys. Lett. — 1995. — Vol. B343. — Pp. 304-309.

36. Frohlich J., Marchetti P. A. Magnetic monopoles and charged states in four-dimensional, abelian lattice gauge theories // Europhys. Lett. — 1986. — Vol. 2. Pp. 933-940.

37. Polikarpov M. I., Polley L., Wiese U. J. The Monopole constraint effective potential in U(1) lattice gauge theory // Phys. Lett. — 1991. — Vol. B253. — Pp. 212-217.

38. Chernodub M. N., Polikarpov M. I., Veselov A. I. Effective constraint potential for Abelian monopole in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Lett. — 1997. Vol. B399. - Pp. 267-273.

39. Kennedy Т., King C. Spontaneous symmetry breakdown in the abelian higgs model // Commun. Math. Phys. 1986. —Vol. 104. - Pp. 327-347.

40. Nakamura N. et al. Disorder parameter of confinement // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1997. - Vol. 53. - Pp. 512-514.

41. Hart A., Teper M. Monopole clusters in abelian projected gauge theories // Phys. Rev. 1998. - Vol. D58. - P. 014504.

42. Hart A., Teper M. Monopole clusters, z(2) vortices and confinement in su(2) 11 Phys. Rev. 1999. - Vol. D60. — P. 114506.

43. Bornyakov V. G., Mitrjushkin V. K., Muller-Preussker M. Deconfinement transition and Abelian monopoles in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Lett. 1992. - Vol. B284. - Pp. 99-105.

44. Grimmett G. Percolation. — Springer; 2 edition, 1999.

45. Ivanenko Т. L., Polikarpov M. I., Pochinsky А. V. Condensate of monopoles and confinement in an su(2) lattice gauge theory // JETP Lett. — 1991. — Vol. 53. Pp. 543-545.

46. Ivanenko T. L., Pochinsky A. V., Polikarpov M. I. Condensate of abelian monopoles and confinement in lattice gauge theories // Phys. Lett. — 1993. Vol. B302. - Pp. 458-462.

47. Langfeld K., Reinhardt H. Monopole anti-monopole excitation in mag projected su(2) lattice gauge theory. — 2002.

48. Bornyakov V. G. et al. Anatomy of the lattice magnetic monopoles // Phys. Lett. 2002. - Vol. B537. - Pp. 291-296.53. 't Hooft G. On the Phase Transition Towards Permanent Quark Confinement // Nucl. Phys. 1978. - Vol. В138. - P. 1.

49. Mack G., Petkova V. B. Comparison of Lattice Gauge Theories with Gauge Groups Z(2) and SU(2) // Ann. Phys. 1979. - Vol. 123. - P. 442.

50. Nielsen H. В., Olesen P. A Quantum Liquid Model for the QCD Vacuum: Gauge and Rotational Invariance of Domained and Quantized Homogeneous Color Fields // Nucl. Phys. 1979. - Vol. B160. - P. 380.

51. Ambjorn J., Olesen P. On the Formation of a Random Color Magnetic Quantum Liquid in QCD // Nucl. Phys. 1980. - Vol. B170. - P. 60.

52. Ambjorn J., Olesen P. A Color Magnetic Vortex Condensate in QCD // Nucl. Phys. 1980. - Vol. B170. - P. 265.

53. Greensite J. The confinement problem in lattice gauge theory // Prog. Part. Nucl. Phys. 2003. - Vol. 51. - P. 1.

54. Center dominance, center vortices, and confinement / L. Del Debbio, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik. — 1997.

55. Engelhardt M., Reinhardt H. Center vortex model for the infrared sector of Yang-Mills theory: Confinement and deconfinement // Nucl. Phys. — 2000. Vol. B585. - Pp. 591-613.

56. Faber M. E., Greensite J., Olejnik S. Direct Laplacian center gauge // JHEP. 2001. - Vol. 11. - P. 053.62. de Forcrand P., D'Elia M. On the relevance of center vortices to QCD // Phys. Rev. Lett. — 1999.- Vol. 82. — Pp. 4582-4585.

57. Deconfinement in SU(2) Yang-Mills theory as a center vortex percolation transition / M. Engelhardt, K. Langfeld, H. Reinhardt, O. Tennert // Phys. Rev. 2000. - Vol. D61. - P. 054504.

58. Self-tuning of the P-vortices / F. V. Gubarev, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov et al. // Nucl Phys. Proc. Suppl. 2004. - Vol. 129. - Pp. 671-673.

59. Properties of P-vortex and monopole clusters in lattice SU(2) gauge theory / A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, V. I. Zakharov // Phys. Rev. 2005. - Vol. D71. - P. 054511.

60. Interplay of monopoles and P-vortices / A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, V. I. Zakharov // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2004. — Vol. 129. Pp. 665-667.

61. The structure of projected center vortices in lattice gauge theory / R. Bertie, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik // JHEP. — 1999. — Vol. 03. — P. 019.

62. Zakharov V. I. Hidden mass hierarchy in qcd. — 2002.

63. Chernodub M. N., Zakharov V. I. Towards understanding structure of the monopole clusters // Nucl. Phys. — 2003. — Vol. B669. — Pp. 233-254.

64. Zakharov V. I. Hints on dual variables from the lattice SU(2) gluodynam-ics. 2003.

65. Zakharov V. I. Non-perturbative match of ultraviolet renormalon. — 2003.

66. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and Resonance Physics. Sum Rules // Nucl. Phys. 1979. - Vol. B147. - Pp. 385-447.

67. Berry M. V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes // Proc. Roy. Soc. bond. 1984. - Vol. A392. - Pp. 45-57.

68. Wilczek F.; Zee A. Appearance of Gauge Structure in Simple Dynamical Systems // Phys. Rev. Lett. 1984. — Vol. 52, — P. 2111.

69. Дубровин . Новиков . Фоменко . . Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Эдиториал УРСС, 2001.

70. Polyakov А. М., Belavin A. A. Metastable States of Two-Dimensional Isotropic Ferromagnets // JETP Lett. 1975. - Vol. 22. - Pp. 245-248.

71. Gursey F., Tze C.-H. Complex and quaternionic analyticity in chiral and gauge theories, part 1 // Ann. Phys. — 1980. Vol. 128. - P. 29.

72. Narasimhan M., Ramanan S. // Amer. J. of Math. — 1963.— Vol. 85.— P. 223.

73. Construction of instantons / M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld, Y. I. Manin // Phys. Lett. 1978. - Vol. A65. - Pp. 185-187.

74. Zhang J. B. et al. Numerical study of lattice index theorem using improved cooling and overlap fermions // Phys. Rev. — 2002. — Vol. D65. — P. 074510.

75. Del Debbio L., Pica C. Topological susceptibility from the overlap // JHEP. 2004. - Vol. 02. - P. 003.

76. Gubarev F. V., Morozov S. M. Lattice gauge fields topology uncovered by quaternionic sigma-model embedding // Phys. Rev. — 2005. — Vol. D72. — P. 076008.

77. High statistics computation of the topological susceptibility of SU(2) gauge theory / A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz, U. J. Wiese // Nucl. Phys. 1987. - Vol. B292. - P. 330.

78. Phillips A., Stone D. Lattice gauge fields, principal bundles and the calculation of topological charge // Commun. Math. Phys. — 1986. — Vol. 103. — Pp. 599-636.

79. Preliminary evidence for U(l)-A breaking in qcd from lattice calculations / P. Di Vecchia, K. Fabricius, G. C. Rossi, G. Veneziano // Nucl. Phys.— 1981, —Vol. B192. — P. 392.

80. Bilson-Thompson S. О., Leinweber D. В., Williams A. G. Highly-improved lattice field-strength tensor // Ann. Phys. — 2003. — Vol. 304. — Pp. 1-21.

81. Neuberger H. Exactly massless quarks on the lattice // Phys. Lett. — 1998. — Vol. B417. Pp. 141-144.

82. Narayanan R., Neuberger H. A construction of lattice chiral gauge theories // Nucl. Phys. 1995. - Vol. B443. - Pp. 305-385.

83. Garcia Perez M., Philipsen O., Stamatescu I.-O. Cooling, physical scales and topology // Nucl. Phys. 1999. - Vol. B551. - Pp. 293-313.

84. Lucini В., Teper M. SU(N) gauge theories in four dimensions: Exploring the approach to N infinity // JEEP. - 2001. - Vol. 06. - P. 050.

85. Low lying eigenmodes localization for chirally symmetric Dirac operator / F. V. Gubarev, S. M. Morozov, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov. — 2005.

86. Rakow P. E. L. Stochastic perturbation theory and the gluon condensate // PoS. 2006. - Vol. LAT2005. - P. 284.

87. Baig M. Gluon condensation parameter in SU(2) lattice gauge theory and large N universality. — UAB-FT-124.

88. Di Giacomo A., Rossi G. C. Extracting the Vacuum Expectation Value of the Quantity alpha / pi G G from Gauge Theories on a Lattice // Phys. Lett. 1981. - Vol. B100. - P. 481.

89. Bali G. S., Schilling K., Schlichter C. Observing long color flux tubes in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Rev. 1995. - Vol. D51. - Pp. 51655198.

90. Narayanan R., Vranas P. M. A numerical test of the continuum index theorem on the lattice 11 Nucl. Phys. 1997. - Vol. B506. - Pp. 373-386.

91. Banks Т., Casher A. Chiral Symmetry Breaking in Confining Theories // Nucl. Phys. 1980. - Vol. B169. - P. 103.

92. Horvath I. et al. On the local structure of topological charge fluctuations in QCD // Phys. Rev. 2003. - Vol. D67. - P. 011501.

93. Seller E. Some more remarks on the Witten-Veneziano formula for the eta' mass // Phys. Lett. — 2002. Vol. B525. - Pp. 355-359.

94. Horvath I. et al. Low-dimensional long-range topological charge structure in the QCD vacuum // Phys. Rev. 2003.- Vol. D68. - P. 114505.

95. Itzykson C., Drouffe J. M. Statistical Field Theory.— Cambridge Univ. Press, 1989.

96. Localization of low lying eigenmodes for chirally symmetric Dirac operator / M. I. Polikarpov, F. V. Gubarev, S. M. Morozov, V. I. Zakharov // PoS. — 2006. Vol. LAT2005. - P. 143.

97. Ambjorn J. Quantization of geometry. — 1994.

98. Ambjorn J., Durhuus В., Jonsson T. Quantum geometry. A statistical field theory approach. — Cambridge, UK: Univ. Pr., 1997. (Cambridge Monographs in Mathematical Physics). 363 p.

99. Polyakov A. M. Gauge fields and strings. — Chur, Switzerland: Harwood1987) 301 P. (Contemporary Concepts in Physics, 3).

100. Parisi G. Statistical field theory. — Redwood City, USA: Addison-Wesley1988) 352 P. (Frontiers in Physics, 66).

101. Feinberg G. Possibility of Faster-Than-Light Particles // Phys. Rev.— 1967. Vol. 159. - Pp. 1089-1105.

102. Gubarev F. V., Polikarpov M. /., Zakharov V. I. Physics of the power corrections in QCD // Surveys High Energ. Phys. — 2000. — Vol. 15. — Pp. 89144.

103. Zakharov V. I. Renormalons as a bridge between perturbative and non-perturbative physics // Prog. Theor. Phys. Suppl— 1998.— Vol. 131. — Pp. 107-127.

104. Beneke M. Renormalons // Phys. Kept. 1999. — Vol. 317. — Pp. 1-142.

105. Zakharov V. I. QCD'98: Status of the power corrections // Nucl Phys. Proc. Suppl 1999. - Vol. 74. - Pp. 392-398.

106. Zakharov V. I. From confining fields back to power corrections // Nucl Phys. Proc. Suppl — 2007. Vol. 164. - Pp. 240-247.

107. Balitsky I. I. Wilson loop for the stretched contours in vacuum fields and the small distance behavior of the interquark potential // Nucl Phys. — 1985. Vol. B254. - Pp. 166-186.

108. Dosch H. G., Simonov Y. A. The Area Law of the Wilson Loop and Vacuum Field Correlators // Phys. Lett. — 1988. Vol. B205. — P. 339.

109. Webber B. R. Estimation of power corrections to hadronic event shapes // Phys. Lett. 1994. - Vol. B339. - Pp. 148-150.

110. Bali G. S. Are there short distance non-perturbative contributions to the QCD static potential? // Phys. Lett. 1999. - Vol. B460. - P. 170.

111. Chetyrkin K. G., NarisonS., Zakharov V. I. Short-distance tachyonic gluon mass and 1/Q2 corrections // Nucl Phys. — 1999. — Vol. B550. — Pp. 353374.

112. Вепеке М., Zakharov V. I. Improving large order perturbative expansions in quantum chromodynamics // Phys. Rev. Lett.— 1992.— Vol. 69.— Pp. 2472-2474.

113. Gubarev F. V.} Stodolsky L., Zakharov V. I. On the significance of the quantity A2 // Phys. Rev. Lett. 2001. — Vol. 86. — Pp. 2220-2222.

114. Gubarev F. V., Zakharov V. I. On the emerging phenomenology of ((.Aa)2)min 11 Phys. Lett. 2001. - Vol. B501. - Pp. 28-36.