Топологические структуры как пробники непертурбативных свойств квантовой хромодинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Чернодуб, Максим Николаевич

• Чернодуб, Максим Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чернодуб, Максим Николаевич

1 Введение

2 Температурный переход в КХД как переход вида Кертежа

2.1 Введение.И

2.2 Внедренные дефекты в электрослабой модели.

2.2.1 Структура электрослабой модели.

2.2.2 Внедренные дефекты: монополи и вихри.

2.2.3 Перколяция (протекание).

2.2.4 Динамика внедренных дефектов в электрослабой модели

2.3 Кварковые монополи в КХД.

2.3.1 Определение в непрерывном пределе БЦ(2) калибровочной теории

2.3.2 Определение в 811(2) калибровочной теории на решетке.

2.3.3 Обобщение на 311(3) калибровочную группу.

2.3.4 Численное моделирование монополей в 51/(2) глюодинамике

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические структуры как пробники непертурбативных свойств квантовой хромодинамики»

3.1.1 Абелевый монополь на решетке: компактная 11(1) модель . 39

3.1.2 Абелевые монополи в теории Янга-Миллса.39

3.2 Монополи в глюонной плазме.42

3.3 Заключение.50

4 Дуальная сверхпроводимость и свойства глюонов 51

4.1 Монополи и непрерывный предел.51

4.1.1 Укрупнение монополей в трех измерениях.54

4.1.2 Укрупнение в четырех измерениях.62

4.1.3 Численное моделирование в трехмерной глюодинамике . 68

4.1.4 Статические монополи в высокотемпературной глюодинамике . 75

4.1.5 Конденсат монополей в четырехмерной глюодинамике.81

4.2 Некоторые свойства Абелевой проекции.87

4.2.1 Глюонные пропагаторы.87

4.2.2 Внутренняя структура монополей.90

4.3 Проекционная зависимость дуального сверхпроводника.92

4.3.1 Об универсальности монопольного механизма удержания цвета . 92

4.3.2 Статичность Абе левых монополей.94

4.3.3 Дуальный лагранжиан в Поляковской калибровке.95

4.3.4 Конденсат монополей и удержание цвета в калибровке Полякова 99

4.4 Динамические кварки и Абелева проекция.103

4.4.1 КХД на решетке.103

4.4.2 Абелевый, монопольный и фотонный части калибровочного поля 106

4.4.3 Критическая температура термодинамического перехода . 108

4.4.4 Потенциал между тяжелыми кварками и монополи.113

4.5 Заключение.117

5 В поисках новых подходов к динамике глюонов 118

5.1 Жидкокристаллические структуры в глюонных полях.118

5.1.1 Нематик как результат разделения спина и цвета.119

5.1.2 Нематик как результат остаточной глобальной симметрии . 128

5.2 "Ежи" в петлях Вильсона как динамические объекты.139

5.2.1 Введение.139

5.2.2 Вильсоновские петли из центра группы как ежеподобные петли 141

5.2.3 Примеры конфигураций .145

5.2.4 Ежовые петли и удержание цвета.147

5.2.5 Плотность статических ежеобразных линий.149

5.2.6 Статические ежовые конфигурации в численных вычислениях . 153

5.2.7 Заключение.159

6 Сильные взаимодействия и компактные Абелевые поля в (2+l)D 160

6.1 Калибровочная модель с компактным Абелевым полем .160

6.1.1 Введение.160

6.1.2 Механизм температурного фазового перехода.162

6.1.3 Фазовый переход и удержание заряда.166

6.1.4 Свойства монополь-антимонопольной системы .169

6.1.5 Удержание заряда и монополи.173

6.1.6 Пропагатор калибровочного поля на больших расстояниях . . . 175

6.1.7 Непертурбативная физика малых расстояний.183

6.1.8 Влияние внешних электрических и магнитных полей.186

6.2 Компактная Абелева модель со скалярным полем заряда 1.200

6.2.1 Введение.200

6.2.2 Фазовая структура модели.201

6.2.3 Выравнивание потенциала.203

6.2.4 Структура монопольных конфигураций .206

6.2.5 Пропагатор калибровочного поля и массовая щель.208

6.2.6 Заключение.211

6.3 Компактная Абелева модель со скалярным полем заряда 2.213

6.3.1 Введение.213

6.3.2 Решеточная формулировка.214

6.3.3 От<3=1до<2 = 2и дальше.216

6.3.4 Топологические взаимодействия.219

6.3.5 Фазовая структура и дефекты: ненулевая температуры.227

6.3.6 Фазовая структура и дефекты: нулевая температура.233

6.3.7 Пропагатор в калибровке Ландау.239

6.3.8 Заключение.242

6.4 Абелева модель со скалярными полями заряда 1 и 2.244

6.4.1 Введение.244

6.4.2 Разделение спина и заряда: формальные рассуждения.244

6.4.3 Свойства топологических дефектов.249

6.4.4 Фазовая диаграмма.253

6.4.5 Численное моделирование системы.261

6.4.6 Усиление фазового перехода: "2"+"2"='<1".265

6.4.7 Усиление фазового перехода в КХД?.266

6.5 Заключение.270

7 Заключение 271

Список литературы 274

1 Введение

Сильные взаимодействия элементарных частиц описываются неабелевой теорией поля, Квантовой Хромодинамикой (КХД). С момента открытия этой теории в начале 70-х годов и до настоящего времени мировым научным сообществом были получены многочисленные результаты, подтверждающие хорошее соответствие теоретических предсказаний КХД с экспериментально наблюдаемыми явлениями, происходящими, в основном, в области высоких энергий [1]. Подавляющее большинство результатов получено с помощью методов теории возмущений, использующих малость константы связи КХД [2]. Уменьшение силы взаимодействия при увеличении энергии сталкивающихся сильновзаимодействующих частиц является характерной чертой КХД, известной как асимптотическая свобода [3]. Однако при уменьшении энергии константа связи КХД растет, что приводит к неприменимости теории возмущений, например, к описанию такого важнейшего низкоэнергетического свойства КХД, как эффект удержания цвета1. Благодаря удержанию цвета элементарные составляющие материи, кварки, образуют только бесцветные состояния, известные как адроны. Другим важнейшим низкоэнергетической области КХД является нарушение киральной симметрии, которое определяет характерные черты спектра адронных масс. Свойство киральной асимметрии вакуума КХД также не может быть описано теорией возмущений2.

Таким образом, вычисление фундаментальных наблюдаемых КХД, таких как спектр масс адронов и времен их жизни, разработка теории невылетания цвета и теории нарушения киральной симметрии требует применения непертурбативных методов. Одним из известнейших методов вычислений в непертурбативном режиме является подход численного моделирования, который получил большое развитие в последнее время в связи с быстрым ростом вычислительных мощностей [4]. Численное моделирование требует дискретизации пространства и времени, и поэтому в этом подходе теория сильных взаимодействий рассматривается в дискретном мире, состоящем из узлов и ребер, а из также граней решеточных кубов, кубов и гиперкубов четырехмерной периодической кристаллообразной структуры, известной как "решет

1Эффект удержания цвета известен также как явление "невылетания", или "конфайнмента" (confinement) цвета.

2Теорию возмущений часто называют "пертурбативной теорией", от слова perturbation ("возмущение"). ка". Поэтому дискретизованную теорию сильных взаимодействий, использующуюся в компьютерных вычислениях, часто называют решеточной КХД. Хотя в настоящее время компьютерные вычисления только входят в ту фазу, когда уже можно предсказывать с разумной точностью интересные величины в реальном мире легких кварков, многие свойства вакуума неабелевых теорий, том числе и КХД, известны уже сейчас.

КХД является неабелевой калибровочной теорией поля, в которой цветная симметрия описывается группой SU(3). Теория состоит из восьми глюонов и шести кварков. Глюонами называются калибровочные поля, переносящие цветное взаимодействие, в то время как кварки являются полями материи. В отличие от электродинамики, в которой фотон не обладает электрическим зарядом, глюоны несут заряд калибровочной неабелевой группы. Заряженность глюона естественным образом приводит к появлению много-глюонных вершин и делает динамику глюонной среды (даже без учета кварков!) существенно непертурбативной в низкоэнергетической области. Многие эффекты, такие как удержание цвета и, в математически определенном смысле этого слова, нарушение киральной инвариантности, можно также описать и в исключительно глюонном вакууме, не содержащем динамических кварков. Поскольку для существования этих эффектов важна динамика глюонов, имеет смысл рассмотреть "чистую глюодинамику", т.е. теорию КХД без кварков. Такая теория известна также как теория Янга-Миллса с SU(3) калибровочной группой, или, как ее еще называют, безкварковой (quenched) КХД. В этой работе мы будем интересоваться именно безкварковой теорией, за исключением, пожалуй, одного раздела. Для дальнейшего упрощения вычислений мы часто будем рассматривать теорию Янга-Миллса с двумя цветами (т.е., с тремя глюонами), которая несет основные качественные черты более реальной теории трех цветов.

Характерным непертурбативным свойством многих калибровочных теорий является существование в них - помимо обычного полевого состава - топологических дефектов, которые являются, как правило, решениями классических уравнений движения этих теорий [5]. Стабильность дефектов определяется симметриями лагранжиана модели и симметриями ее основного состояния. В качестве примера можно привести известное инстантонное решение в неабелевой калибровочной теории, возникающего из-за нетривиальности третьей гомотопической группы для многообразия неабелевой калибровочной группы. Геометрически, дефекты можно классифицировать по коразмерности их мировой траектории CoD, определяемой как разница между размерностью пространства-времени и размерностью траектории топологического дефекта. В четырех пространственно-временных измерениях, которым, в основном, и посвящена наша работа, размерности траектории ноль (изолированная точка, CoD = 4) соответствует инстантон, размерности один (линия, CoD = 3) -монополь (частица), размерности два - вихрь (струна, CoD = 2), размерности три

- мембрана, СоБ = 1, а размерности траектории четыре {С о Б = 0) соответствует объект, иногда называемый как "текстура". В нашей работе мы будем интересоваться, в основном, монополями и вихрями. Подробный обзор монополей можно найти в книге [6], а вихревые конфигурации подробно рассматриваются в работе [7].

Свойства топологических дефектов зачастую тесно связаны с динамикой системы элементарных полей теории. Поэтому изучение топологических дефектов может пролить свет на непертурбативные черты теории и привести к открытию новых эффектов, которые трудно сформулировать на уровне элементарных полей. Классический пример описанной ситуации - уже упомянутый инстантон в КХД. Несмотря на свою чисто глюонную структуру, этот топологический объект (а точнее говоря, статистический ансамбль этих объектов) естественным образом приводит к нарушению киральной симметрии в вакууме КХД [8]. При очень высоких температурах киральная симметрия восстанавливается, что на уровне инстантонов можно объяснить образованием дипольных инстантон-анти-инстантонных пар (т.е., инстантон-ных молекул [9]). Образование инстантонных молекул приводит к восстановлению киральной симметрии, что является примером того, как определенный процесс на уровне дефектов приводит к изменении спектра теории. Другим, менее известным, но более простым иллюстративным примером является образование монополь-анти-монопольных молекул в компактной электродинамике в двух пространственных измерениях. Этот процесс усиливается с повышением температуры и приводит к исчезновению удержания цвета и разрушению массовой щели при высоких температурах [10].

Диссертация посвящена изучению топологических объектов в КХД и в других калибровочных теориях, а также связи динамики топологических объектов с различными непертурбативными эффектами в теории поля. Отложив описание каждой конкретной задачи последующие главы, ниже мы упомянем основные направления исследований, затронутых в диссертации.

Как мы уже упоминали, одной из самых важных проблем современной квантовой теории поля является объяснение эффекта удержания цвета в сильных взаимодействиях. В настоящее время различные подходы к этой сложной задаче обсуждаются во множестве исследовательских работ, публикующихся как в Российских так и в зарубежных научных изданиях. Основная часть диссертации посвящена новым подходам именно к этому неразгаданному свойству материи, основанному на гипотезе конденсации определенных монополе-подобных конфигураций глюонов в низкотемпературной фазе (так называемая модель дуального сверхпроводника). Монополи определяются как сингулярности в диагональных глюонных полях, которые, предположительно, влияют на непертурбативную физику больших расстояний, в то время как недиагональные глюоны (определенные в абелевой калибровке) оказывают заметно меньшее влияние. В диссертации подробно обсуждаются многочисленные физические характеристики вакуума, такие как удержание цвета, разрыв удерживающей струны, внутренняя структура монополей, распространение глюнов, спонтанное нарушение киральной симметрии, монопольный конденсат как параметр беспорядка в глюодинамике, и зависимость механизма дуальной сверхпроводимости от определения монополя. Помимо аналитического исследования ряда описанных выше эффектов представлены также результаты численного моделирования КХД с двумя легкими динамическими кварками, полученные с использованием суперкомпьютеров. Особое внимание уделено обсуждению преимуществ и ограничений подхода дуального сверхпроводника к изучению непертурбативных свойств вакуума, описанных ниже.

Заметная часть диссертации посвящена другой, не менее актуальной, проблеме физики сильных взаимодействий - поведению среды при температурах, при которых кварки уже не способны составлять бесцветные состояния в термически возбужденной глюонной среде. Этот режим, известный как кварк-глюонная плазма, является существенно непертурбативным3. Непертурбативность высокотемпературной фазы связана с магнитным сектором теории, и, предположительно, с монополеподобны-ми глюонными состояниями в этом секторе. В диссертации указано, что выше критической температуры перехода в КХД монополе-подобные конфигурации глюонов ведут себя как жидкость, которая, испаряясь при дальнейшем повышении температуры, превращается в плотный кулоновский газ монополей. Переход "монопольная жидкость"—"монопольный газ", происходящий при температуре в два раза выше критической температуры, подобен нефазовому переходу вода-пар выше трикритической точки.

Успех модели дуальной сверхпроводимости показывает плодотворность поиска связей физики сильных взаимодействий с физикой конденсированных сред. Поэтому значительная часть диссертации посвящена изучению новых подходов к изучению непертурбативного вакуума КХД, развивающих идеи физики конденсированного состояния в КХД. Одним из интересных направлений является поиск возможной реализации эффекта разделения спина и заряда в глюонных полях. Эффект разделения спина и заряда часто рассматривается в современной научной литературе, посвященной изучению физических явлений в определенных системах конденсированных сред. Предполагается, что этот эффект возникает в широком спектре веществ, включающих, например, такие классы материалов как высокотемпературные сверхпроводники и углеродные нано-структуры. В работе предлагается возможный вариант реализации программы разделения спина и заряда в теории поля, а именно, в теории Янга-Миллса с двумя цветами. высокотемпературная фаза часто называется фазой деконфайнмента (от слов "color deconfinement'—"неудержание цвета"). Мы же будем называть эту область фазовой диаграммы фазой вылетания цвета.

Следуя общей идее поиска аналогии КХД и конденсированных сред, в диссертации рассмотрена возможная связь неабелевой теории поля с физикой нематических жидких кристаллов. Показано, что реализация жидкокристаллической структуры в КХД вполне возможна в калибровке Ландау, в которой калибровочная симметрия фиксируется с точностью до глобальной подгруппы калибровочной группы. Как следствие развитого здесь формализма, появляется возможность определения новых топологических дефектов в КХД, являющихся прямыми аналогами дисклина-ций ("вихрей") и точечно-подобных дефектов ("монополей") в нематических жидких кристаллах. В работе предлагается интерпретация фазового перехода в КХД по аналогии с фазами нематических кристаллов. Показана связь 311(2) глюодинамики с нематическим жидким кристаллом, что косвенно подтверждается совпадением рода перехода, и класса универсальности этих различных систем. Глобальные симметрии играют существенную роль во множестве физических систем таких как спиновые системы, сверхтекучие Нез и Не4, различные виды жидких кристаллов и т.д. [11]. В работе предложено, что остаточная глобальная симметрия приводит к существованию специфических топологических дефектов, аналогичных дефектам в нематических жидких кристаллах и в сверхтекучем гелии 3Не. Несмотря на то, что исходная теория Янга-Миллса обладает гораздо большей (калибровочной) симметрией, уместно предположить, что глобальная часть этой симметрии тоже будет нести информацию, в частности, о непертурбативных свойствах всей системы.

Последняя часть диссертации посвящена изучению непертурбативных свойств низкоразмерных калибровочных моделей с динамическими полями материи в различных представлениях калибровочной группы. В современной литературе обсуждается использование этих моделей в качестве эффективных теорий среднего поля, предположительно описывающих различные свойства сильно-коррелированных электронов. С другой стороны, обсуждаемые калибровочные модели имеют отношение к физике сильных взаимодействий, поскольку описывают явления, аналогичные наблюдаемым эффектам в квантовой хромодинамике. Изучение свойств обеих упомянутых систем, высокотемпературных сверхпроводников и сильно-взаимодействующего кварк-глюонного вакуума, является актуальной проблемой современной физики.

Цели, научная новизна и практическая значимость Цели диссертации

Целями диссертации является следующий круг вопросов:

1. Определение динамики топологических объектов в КХД и роли этих объектов в непертурбативных проявлениях теории;

2. Изучение непертурбативных свойств высокотемпературной области и природы температурного перехода в КХД;

3. Поиск связи различных систем физики конденсированных сред с квантовой теорией поля, в частности, с КХД и с (минимальной) моделью электрослабых взаимодействий;

4. Поиск новых механизмов удержания цвета;

5. Исследование свойств КХД с динамическими кварками и без них из первых принципов с помощью численных расчетов, выполненных на (суперкомпьютерах.

Научная новизна и практическая значимость

Все представленные на защиту результаты являются оригинальными и (на момент опубликования) новыми разработками автора диссертации. Результаты опубликованы в ведущих Российских и зарубежных журналах (54 работы), докладывались на международных конференциях (36 докладов) и представлены в виде тезисов в трудах этих конференций. Работы известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях теоретической физики. Среди новых результатов следует отметить следующие:

- впервые предложен калибровочно-инвариантный объект монопольного типа в квантовой хромодинамике;

- впервые указано на то, что температурный переход адронная фаза-кварк-глю-онная плазма является переходом Кертежа по отношению к перколяции этих объектов;

- впервые показано, что магнитные глюонные степени свободы обладают свойствами жидкости над точкой фазового перехода в сильно-взаимодействующей глюонной системе.

Изучение в диссертации широкого класса низкоразмерных моделей продемонстрировало существование новых качественных связей этих относительно простых систем со сложной средой сильновзаимодействующих кварков и глюонов. Помимо этого, предложены новые подходы к непертурбативным эффектам квантовой хромо-динамики, основанные на аналогиях с физикой конденсированных сред. В частности, предложена связь неабелевой теории с нематическим жидким кристаллом и использована идея разделения спиновых и зарядовых переменных. Эти шаги, несомненно, имеют практическую ценность в понимании сложных непертурбативных свойств квантовой хромодинамики.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чернодуб, Максим Николаевич

7 Заключение

В диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. Введен новый топологический калибровочно-инвариантный объект в КХД, "внедренный кварковый монополь", который характеризуется сохраняющимся магнитным зарядом, определяется с помощью кварковых мод в глюонных полях, и разрушает киральный конденсат в своем центре.

2. Показано, что температурный переход "адронная фаза"-"кварк-глюонная плазма" в КХД сопровождается конденсацией внедренных монополей, определяющих температурный переход вида Кертежа при малом химическом потенциале, соответствующем той области фазовой диаграммы КХД, где отсутствует термодинамический фазовый переход.

3. Указано, что выше критической температуры Т > Тс фазового перехода монополе-подобные конфигурации глюонов в теории Янга-Миллса ведут себя как жидкость, которая, испаряясь при дальнейшем повышении температуры, превращается в плотный кулоновский газ мопонолей. Переход "монопольная жидкость"—"монопольный газ", происходящий в окрестности Т « 2Тс, подобен нефазовому переходу вода-пар выше трикритической точки.

4. Предложены новые непертурбативные подходы к динамике глюонов, основанные на аналогиях с физикой конденсированных сред и твердого тела. В частности, показана связь неабелевой теории поля с нематическим жидким кристаллом, что подтверждается совпадением рода перехода, и класса универсальности этих разных систем.

5. Описано разделение спиновых и зарядовых переменных в теории поля, по аналогии с похожим явлением в физике конденсированного состояния.

6. Предложен новый еже-образный калибровочно-инвариантный объект в глюонных полях, являющийся аналогом топологического дефекта в пространстве (Вильсоновских) петель. С помощью численного моделирования явно продемонстрировано резкое увеличение плотности евклидово-статических объектов этого типа в высокотемпературной фазе глюодинамики по отношению к низкотемпературной фазе.

7. Подробно изучен большой класс моделей с компактными Абелевыми калибровочными полями и со скалярными полями материи в (2+1) измерениях. Показано, что помимо таких известных свойств как удержание (конфайнмент) цвета и наличие массовой щели, эти модели успешно моделируют многие важные эффекты в неабелевых калибровочных теориях, а именно:

- появление аномальной размерности в пропагаторе глюонов;

- наличие непертурбативных поправок к энергии взаимодействия зарядов на малых расстояниях;

- разрыв и устойчивость удерживающих струн в различных представлениях калибровочной группы;

- влияние температуры и полей матери на топологические объекты (образование инстантонных молекул и появление монопольно-вихревых цепей);

- понижение критической температуры и возникновение перехода типа Кер-тежа из-за присутствия динамических полей материи.

8. Изучена сложная фазовая структура и топологические аспекты компактной Абелевой модели с двумя скалярными полями разных зарядов. Эта модель описывает разнообразные физические явления в физике конденсированных сред, от ферромагнетизма и сверхтекучести до аспектов высокотемпературной сверхпроводимости. Найден новый эффект усиления рода фазового перехода при наложении более слабых фазовых переходов.

Багодарности

Я хотел бы поблагодарить моих со-авторов и коллег Никиту Ованесовича Агася-на, Эмиля Тофиковича Ахмедова, Пьера ван Баала, Бернарда Баккера, Владимира Александровича Белавина, Павла Юрьевича Бойко, Мартина Бока, Виталия Геннадьевича Борнякова, Павла Васильевича Буйвидовича, Александра Ивановича Ве-селова, Григория Ефимовича Воловика, Джеффа Гринсайта, Федора Васильевича Губарева, Дмитрия Игоревича Дьяконова, Кацуя Ишигуро, Валентина Ивановича Захарова, Михаила Александровича Зубкова, Эрнста Михаэля Ильгенфрица, Бориса Лазаревича Иоффе, Хироко Ичие, Сейко Като, Бориса Олеговича Кербикова, Кацуя Кобаяши, Алексея Викторовича Коваленко, Игоря Евгеньевича Козлова, Елену Викторовну Лущевскую, Бориса Вениаминовича Мартемьянова, Валентина Константиновича Митрюшкина, Йошихиро Мори, Сергея Михайловича Морозова, Михаэля Мюллер-Пройсскера, Ацуши Накамуру, Йошифуми Накамуру, Антти Ниеми, Михаила Игоревича Поликарпова, Романа Николаевича Рогалева, Валерия Анатольевича Рубакова, Тору Секидо, Юрия Антоновича Симонова, Андрея Алексеевича Славно-ва, Сергея Николаевича Сырицына, Цунео Сузуки, Роберта Фельдмана, Кончи Ха-шимото, Владимира Игоревича Шевченко, Геррита Шиерхольца, Арведа Шиллера и Хиннерка Штюбена за полезные дискуссии и обсуждения.

Я признателен официальным оппонентам диссертации Григорию Ефимовичу Воловику, Дмитрию Игоревичу Дьяконову и Валерию Анатольевичу Рубакову за критические замечания.

Мне еще раз хотелось бы выразить огромнейшую благодарность Михаилу Игоревичу Поликарпову и Цунео Сузуки за многочисленные обсуждения и помощь.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чернодуб, Максим Николаевич, 2007 год

1. Ф. Индурайн, "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюо-нов" (Мир, 1986).

2. А. Н. Mueller, Phys. Rept. 73, 237 (1981).

3. D. J. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973); H. D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30, 1346 (1973).

4. M. Кройц, "Кварки, глюоны и решетки" (Мир, 1987).

5. В.А. Рубаков, "Классические калибровочные поля" (УРСС, 1999).

6. Y. Shnir, "Magnetic Monopoles" (Springer, 2005).

7. M. В. Hindmarsh and Т. W. В. Kibble, Rept. Prog. Phys. 58, 477 (1995).

8. D. Diakonov and V. Y. Petrov, Nucl. Phys. В 272 (1986) 457.

9. Т. Schafer, E. V. Shuryak and J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. D 51, 1267 (1995).

10. N. O. Agasian, K. Zarembo, Phys. Rev. D 57, 2475 (1998).

11. G. E. Volovik, "The Universe in a Helium Droplet" (Clarendon Press, Oxford, 2003).

12. K. Rajagopal, F. Wilczek, in "At the frontier of particle physics, vol. 3", ed. by M. Shifman (World Scientific), p.2061, hep-ph/0011333.

13. S. D. Katz, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129, 60 (2004); Z. Fodor, S. D. Katz, JHEP 0404, 050 (2004).

14. Aoki et al, Nature Physics 2, (2007).

15. M. N. Chernodub, Phys. Rev. Lett. 95, 252002 (2005).

16. Г.Е. Воловик и В.П. Минеев, Письма в ЖЭТФ 23, 647 (1976).

17. G. Е. Volovik, V. P. Mineev, JETP 45, 1186 (1977).

18. Y. Nambu, Nucl. Phys. B130 (1977) 505.

19. N. S. Manton, Phys. Rev. D28 (1983) 2019.

20. T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 1977; Erratum ibid. 69, (1992) 216.

21. H. Takeuchi and M. Tsubota, J. Low Temp. Phys. 148, 375-379 (2007)

22. M. N. Chernodub, S. M. Morozov, Phys. Rev. D 74, 054506 (2006)

23. Т. Vachaspati, М. Barrióla, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 1867.

24. M. Barrióla, Т. Vachaspati, M. Bucher, Phys. Rev. D50 (1994) 2819.

25. T. Vachaspati, Nucl. Phys. B397 (1993) 648.

26. A. A. Abrikosov, Sov. Phys. JETP, 32 1442, (1957); H. B. Nielsen, P. Olesen, Nucl. Phys. В 61, 45 (1973).

27. A. Achucarro, T. Vachaspati, Phys. Rept. 327 (2000) 347.

28. J. Kertész, Physica A161, 58 (1989).

29. С. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn, Physica 57, 536 (1972).

30. M. Reuter, C. Wetterich, Nucl. Phys. В 408, 91 (1993);

31. К. Kajantie, M. Laine, K. Rummukainen, M. E. Shaposhnikov, Phys. Rev. Lett. 77, 2887 (1996); Nucl. Phys. В 466, 189 (1996);

32. M. Gurtler, E. M. Ilgenfritz, A. Schiller, Phys. Rev. D 56, 3888 (1997).

33. K. Rummukainen, M. Tsypin, K. Kajantie, M. Laine, M. E. Shaposhnikov, Nucl. Phys. В 532, 283 (1998).

34. M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, E. M. Ilgenfritz, A. Schiller, Phys. Lett. В 434, 83 (1998).

35. M. N. Chernodub, JETP Lett. 66, 605 (1997).

36. G. 't Hooft, Nucl. Phys. В 79, 276 (1974).

37. M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, E. M. Ilgenfritz, Phys. Lett. В 424, 106 (1998).

38. Т. A. DeGrand, D. Toussaint, Phys. Rev. D 22, 2478 (1980).

39. E. J. Weinberg, Phys. Rev. D 20, 936 (1979); Nucl. Phys. В 167, 500 (1980); ibid., 203, 445 (1982).

40. T. Banks, A. Casher, Nucl. Phys. В 169, 103 (1980).

41. M. N. Chernodub, B. L. Ioffe, Письма в ЖЭТФ 79, 742 (2004).

42. A. M. Polyakov, JETP Lett. 20, 194 (1974).

43. M. N. Chernodub, V. I. Zakharov, Phys. Rev. Lett. 98, 082002 (2007)

44. G. 't Hooft, in 'High Energy Physics', Proceedings of the EPS International Conference, Palermo 1975, ed. A. Zichichi, Editrice Compositori, Bologna 1976.

45. S. Mandelstam, Phys. Rep. C23 (1976) 245.

46. Y. Nambu, Phys. Rev. D 10, 4262 (1974).

47. A.M. Polyakov, Phys. Lett. 59B (1975) 82.

48. T. Banks, R. Myerson, J. Kogut, Nucl. Phys. B129 (1977) 493.

49. J. Smit, A.J. van der Sijs, Nucl. Phys. B355 (1991) 603.

50. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B190 FS3] (1981) 455; Phys. Scr. 25 (1982) 133.

51. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B 138, 1 (1978).

52. P. de Forcrand, M. D'Elia and M. Pepe, Phys. Rev. Lett. 86, 1438 (2001).

53. C. Hoelbling, C. Rebbi and V. A. Rubakov, Phys. Rev. D 63, 034506 (2001).

54. M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov, Phys. Lett. B 514, 88 (2001).

55. E.V. Shuryak, hep-ph/0608177.

56. I. R. Klebanov, Int. J. Mod. Phys. A21 (2006) 1831;

57. O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, Y. Oz, Phys. Rept. 323 (2000) 183.

58. F. Karsch, Nucl. Phys. A 783 (2007) 13; U. M. Heller, PoS LAT2006 (2006) 011.

59. D. Teaney, Phys. Rev. C68 (2003) 034913 nucl-th/0301099]; A. Nakamura, S. Sakai, Phys. Rev. Lett. 94, 072305 (2005).

60. T. Suzuki, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 30, 176 (1993);

61. M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov, "Abelian projections, monopoles", in "Confinement, duality,, nonperturbative aspects of QCD", Ed. by P. van Baal, Plenum Press, p. 387, hep-th/9710205; R.W. Haymaker, Phys. Rept. 315, 153 (1999).

62. J. Greensite, Prog. Part. Nucl. Phys. 51 (2003) 1.

63. M. N. Chernodub et al., Phys. Rev. D 72, 074505 (2005).

64. M. N. Chernodub, K. Hashimoto, T. Suzuki, Phys. Rev. D 70, 014506 (2004).

65. M. N. Chernodub, K. Ishiguro, T. Suzuki, Phys. Rev. D 71, 094506 (2005).

66. M. N. Chernodub, V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B 669, 233 (2003).

67. Y. A. Simonov, Успехи Физических Наук 166, 337 (1996); hep-ph/0211330; D. S. Kuzmenko, V. I. Shevchenko, Y. A. Simonov, hep-ph/0310190.64 65 [66 [67 [68 [69 [70 [7172 7374