Сильные взаимодействия и поиски Новой Физики: непертурбативная феноменология тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Орловский, Всеволод Дмитриевич

• Орловский, Всеволод Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Орловский, Всеволод Дмитриевич

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы.

1.1.1 Актуальность темы.

1.1.2 Задачи диссертационного исследования.

1.1.3 Научная новизна и результаты диссертационного исследования

1.1.4 Апробация результатов и публикации.

1.1.5 Структура диссертации.

1.2 Обзор работы.

2 Элементы непертурбативной феноменологии в КХД

2.1 Операторное разложение и правила сумм в квантовой механике

2.1.1 Функция Грииа в квантовой механике.

2.1.2 Квантовомеханические правила сумм и квазиклассический подход.

2.2 Корреляторы адронных токов и операторное разложение в квантовой теории поля.

2.2.1 Коррелятор токов: модель и эксперимент

2.2.2 Правила сумм в КХД.

2.2.3 Функции Грина и частичное суммирование

2.3 Пепертурбативные корреляторы калибровочных полей в НР1 сг-модели

3 Поиски новой феноменологии

3.1 Поляризация фотона в радиационном распаде В —(рКу

3.1.1 Поляризация фотона в Стандартной Модели и за ее рамками

3.1.2 Распад [^А']1 -> ККК и угловое распределение.

3.2 Размерность пространства-времени на электрослабом масштабе: ограничения из бегущей константы связи КЭД.

3.3 Киральный магнитный эффект.

3.3.1 Нарушение Р-четности в терминах локальных параметров порядка.

3.3.2 КМЭ в рамках квантовой теории измерений.

3.3.3 Асимметрия зарядовых флуктуаций и поляризационный оператор

3.3.4 Общая структура поляризационного оператора.

3.3.5 Модельные примеры.

3.3.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сильные взаимодействия и поиски Новой Физики: непертурбативная феноменология»

1.1 Общая характеристика работы 1.1.1 Актуальность темы

Современная физика знакома с четырьмя видами взаимодействий: гравитационным, электромагнитным, слабым и сильным. Безусловно, мечтой любого физика-теоретика является всеобъемлющая теория, которая объединила бы все известные взаимодействия на единой основе и общих принципах. Однако на сегодняшний день гравитация стоит немного особняком, хотя и является областью наиболее смелых и красивых идей, в то время как тройка оставшихся взаимодействий объединена общепринятой теорией, называемой Стандартной Моделью (СМ) физики элементарных частиц. Стандартная Модель взаимодействий оказалась необычайно успешной: за несколько десятков лет ее развития и утверждения были проведены согни экспериментов, в основном при помощи ускорителей частиц, которые подтвердили правильность ее предсказаний с феноменальной точностью -от Ю-10 в электромагнитном секторе до долей процента в случае сильных взаимодействий. Стандартная Модель будет проверяться и в дальнейшем на Большом Адронном Коллайдере, впрочем, больше не с целью проверки согласованности теоретических предсказаний и экспериментальных измерений, а, скорее, наоборот -через поиск новых явлений, так называемой Новой Физики - физики, лежащей за рамками описаний Стандартной Модели. Многие факты говорят нам о том, что Стандартная Модель не есть окончательная теория, но является низкоэнергетическим пределом некоторой общей теории, учитывающей гравитационное взаимодействие, включающей дополнительные механизмы нарушения симметрий, возможно, какие-то новые частицы или даже предполагающей отход от парадигмы квантовомеханической теории локальных полей. Основные надежды при этом с точки зрения экспериментального обнаружения каких-либо новых эффектов связаны с электрослабым сектором Стандартной Модели - той ее частью, которая описывает слабые и электромагнитные взаимодействия, наиболее тесно сплетенные в этой теории, а также, по некоторым предположениям, возможно удастся зарегистрировать какие-то феномены, имеющие в своей основе гравитационные взаимодействия. В то же время, по всеобщему убеждению, физика сильных взаимодействий с исчерпывающей полнотой описывается уже существующей теорией Квантовой Хромодинамикой (КХД) - неабелевой теорией поля на основе калибровочной группы Би(3) цветовой симметрии. Фундаментальными составляющими этой теории являются кварки - фермионные поля спина 1/2, обладающие дробным зарядом, и глюоны - неабелевы калибровочные поля спина 1, взаимодействующие с кварками и между собой. Сильные взаимодействия занимают особое место в Стандартной Модели, и КХД может изучаться отдельно от остальных секторов СМ. С другой стороны, эффекты взаимодействия кварков и глюонов играют первостепенную роль на такой адронной машине, как ЬНС, и должны быть учтены с необходимой полнотой, если мы хотим правильно понять физику, стоящую за процессами, наблюдаемыми на ускорителе. Нет необходимости говорить о том, что сильные взаимодействия ответственны за формирование ядер, взаимодействие нуклонов между собой и, в конечном счете, образование самих нуклонов (и других элементарных частиц), которые составляют основную компоненту нашей видимой Вселенной, так что роль сильных взаимодействий трудно переоценить.

Данная работа преследует двоякую цель: во-первых, это развитие феноменологии сильных взаимодействий. С использованием методов ренормгруппового анализа было установлено, что КХД является асимптотически свободной теорией: при больших преданных импульсах константа связи мала и применима теория возмущений с соответствующими рассматриваемой теории Фейнмановскими правилами. Теоретические предсказания на этих масштабах были успешно проверены в экспериментах, в частности, по глубоко неупругому рассеянию электрона на протоне -наиболее эффективному средству проверки партонной модели КХД и нертурба-тивных вычислений. Однако при переходе к режиму малых энергий (или больших расстояний) мы наблюдаем ситуацию, отличную от случая квантовой электродинамики (КЭД). Константа связи растет, теория возмущений оказывается неприменимой, и мы входим в область, где главную роль играют непертурбативные эффекты, для которых на данный момент не существует исчерпывающего количественного описания. Наблюдаемые частицы не являются, в отличие от КЭД, элементарными квантами теории, которые соответствуют нолям, входящим в фундаментальный лагранжиан, а представляют собой связанные бесцветные состояния кварков и глюонов, удерживаемых в одном адроне явлением конфайнмента. Экспериментальные данные говорят о том, что кварк и антикварк, составляющие мезон, притягиваются друг к другу на больших расстояниях с силой порядка 14 тонн. Выяснилось, что само явление связано с образованием струны между цветными зарядами, которая ответственна за постоянную силу на больших расстояниях (или линейный рост потенциала, что следует из решеточных расчетов). Таким образом, развитие феноменологии КХД в ее непертурбативной области, корреляторов ненертурбативных полей, адронных токов и вообще исследование структуры вакуума КХД, ответственной за эти непертурбативные явления, представляет собой задачу первостепенной важности. В этой связи первая часть настоящего исследования касается такого непертурбативного метода как правила сумм и техника частичных суммирований рядов операторного разложения. Рассматривается полезное техническое средство - представление амплитуд в виде первично-квантованного интеграла по траекториям частиц, так называемое представление Фейимана-Фока-Швингера, или \уог1сШпе-формализм, в применении к вычислению петлевых процессов, в которых принимают участие частицы с разными массами. Это может иметь непосредственное применение к расчету адронных вкладов, например, в форм-факторы и амплитуды распадов В-мезоиов. Очень давно пришло понимание того, что за нетривиальные непертурбативные эффекты сильных взаимодействий ответственна сложная структура вакуума КХД. В методе правил сумм появляется понятие глюонного конденсата - непертурбативного среднего от глюонных полей по вакуумному состоянию. В логическом развитии этого подхода - методе полевых корреляторов, рассматриваются уже нелокальные величины - корреляционные функции от вакуумных полей, характеристикой нелокалыю-сти которых служит корреляционная длина, определяющая их пространственно-временную зависимость. Вычислению этой величины в удобной модели посвящен один из разделов первой части диссертации.

Вторая цель работы также была обозначена немного выше - это поиск Новой Физики. Под понятием "Новая Физика" мы подразумеваем не только какие-либо экзотические эффекты, находящиеся за рамками описания Стандартной Модели, но и явления, уже присутствующие в ней, но экспериментально еще не до конца изученные или не имеющие адекватного и ясного теоретического объяснения, например, из-за упомянутой недоработанности феноменологии непертурбативных аспектов сильных взаимодействий. В частности, мы исследуем возможные проявления физики, не представленной в Стандартной Модели в процессах с участием В-мезонов, которые будут наблюдаться и исследоваться в рамках программы эксперимента ЬНСЬ. Также рассматривается более экзотический сюжет (но тем не менее имеющий тесную связь с феноменологией и экспериментом), развивающийся не из электрослабого сектора, а из популярной в настоящее время темы, связанной с предположением о перестройке структуры и свойств пространства-времени на некотором масштабе. С другой стороны, если говорить о явлениях, уже заложенных в Стандартной Модели, но еще недостаточно изученных, то хорошим примером в этой области является киральный магнитный эффект, которому посвящен раздел второй части данной работы. Это явление в последнее время привлекает к себе все более пристальное внимание, в частности, в связи с возможностью экспериментального его наблюдения в экспериментах по столкновению тяжелых ионов.

1.1.2 Задачи диссертационного исследования

Диссертационное исследование нацелено на решение следующих задач:

1. Сравнение метода правил сумм и квазиклассического подхода на примере кван-товомеханических задач о вычислении положений энергетических уровней в заданном потенциале с применением пересуммирования спектральной суммы и техники частичного суммирования рядов квантовомеханического операторного разложения.

2. Сравнение вычислений корреляторов адронных токов - поляризационных операторов, вычисленных в модели с эквидистантным спектром с экспериментальными данными коллаборации АЬЕРН по адронному распаду т-лептона.

3. Применение техники частичных суммирований рядов операторного разложения с использованием представления Фейнмана-Фока-Швингера для корреляционных функций в виде интеграла но собственному времени.

4. Развитие техники вычисления функций Грина, амплитуд перехода и эффективных действий в worldline-подходе для петлевых процессов с участием фермионов разных масс.

5. Исследование вакуума калибровочных теорий и вычисление в связи с этим корреляционной длины вакуумных полей в HP1 а-модели.

6. Вычисление параметра поляризации фотона в трехчастичном радиационном распаде В —> ipKj на основе измерения углового распределения продуктов распада.

7. Развитие феноменологии в сценарии с существованием дополнительных нецелочисленных пространственных измерений в контексте поиска возможных ограничений на параметры модели из экспериментальных данных по измерению бегущей константы связи КЭД.

8. Разработка теории, способной прояснить понимание явлений, связанных с Ки-ральным Магнитным Эффектом, на основе вычислений поляризационных операторов во внешнем магнитном поле при конечной температуре.

1.1.3 Научная новизна и результаты диссертационного исследования

Следующие новые научные результаты выносятся на защиту:

1. Проведено сопоставление феноменологических расчетов поляризационных операторов в координатном представлении в модели с эквидистантным спектром и найдено хорошее согласие с экспериментальными данными коллаборации ALEPH по адронному т-распаду.

2. Вычислено дифференциальное сечение радиационного распада В —» (pKj, фи-тированием которого будущими экспериментальными данными эксперимента LHCb по соответствующему каналу возможно извлечение параметра поляризации фотона, с хорошей точностью равного —1 в Стандартной Модели, но допускающего существенные отклонения от этого значения в ее расширениях.

3. Явно вычислены корреляторы калибровочных полей в IIP1 ст-модели, являющейся своего рода проекцией калибровочной теории SU(2). Корреляционные длины, извлеченные из экспоненциальных фитов для этих корреляторов А]"1 = 1.40(3) ГэВ и Л-1 = 1.51(3) ГэВ, находятся в хорошем согласии с другими известными вычислениями.

4. Получен явный вид асимметрии зарядовых флуктуаций в терминах компоненты поляризационного оператора для свободных фермионов, находящихся в постоянном магнитном поле при конечной температуре.

Все представленные к защите результаты являются оригинальными и новыми разработками на момент опубликования.

1.1.4 Апробация результатов и публикации

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий" в 2009 году, на VI Курчатовской молодежной научной школе в 2008 году, на Второй летней научной школе фонда Династия в 2005 году, на Международных школах "European School of High-Energy Physics 2007" (Тржешт, Чехия), "Trans-European School of High Energy Physics 2008" (Буймеровка, Украина), "9th International Moscow School of Physics 2006" (Звенигород, Россия), а также на теоретических семинарах ИТЭФ. По теме диссертационного исследования имеется б публикаций [1, 2, 3, 4, 5, 6].

1.1.5 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, основной части, содержащей два раздела по три главы в каждом, и заключения, а также двух приложений. В диссертации 128 страниц, включая 19 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 159 ссылок.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Орловский, Всеволод Дмитриевич

3.3.6 Выводы

Мы обсудили три возможных способа изучения квантовой физики, стоящей за киральным магнитным эффектом и асимметрией флуктуаций электрического заряда, наблюдаемой в столкновениях тяжелых ионов. Для всех подходов подчеркивается важность разделения масштабов - должна быть иерархия динамических масштабов, описывающих жизнь кварк-глюонной фазы после столкновения и внутренние масштабы КХД, (возможно сдвинутые полем/температурой) характеризующие картину флуктуаций пеабелева топологического заряда. Физическая сущность КМЭ, как мы пытались здесь это представить, заключается в том, что кварк-глюонная среда играет роль измерительного прибора по отношению к топологическому вакууму КХД с конечным результатом в виде асимметрии электрического заряда вылетающих частиц. Наиболее ясно это иллюстрируется выражением (3.59).

Третий подход из рассмотренных нами, т.е. анализ вкладов типа "Р-нечетный х Р-нечетный" в Р-четную наблюдаемую, несколько отличается от предыдущих, поскольку он дает ненулевой ответ даже для свободных фермионов в магнитном поле, т.е. без какой-либо "топологической природы". Мы полагаем, что это может также рассматриваться как частный случай КМЭ. Именно ненулевой матричный элемент от векторного тока между вакуумом и ,/+-состояниями во внешнем магнитном поле приводит к асимметричной картине для заряда/тока, как если бы был флуктуирующий векторный ток, параллельный В. Конечно, детали зависят от реальной квантовой динамики этих J н степеней свободы, и мы показали, что в фазе конфайнмента действительно имеется сильное подавление. Тем не менее, мы находим возможным, интерпретировать эту динамику, используя тот же КМЭ-подобный язык, поскольку именно эта обусловленная аномалией аксиально-векторная корреляция лежит в центре эффекта, тогда как конкретный способ жизни аксиальных степеней свободы (функция распределения для в стандартном анализе КМЭ) является вопросом второстепенной важности.

Глава 4

Заключение

Подведем итоги настоящей работы. В ходе диссертационного исследования были решены следующие задачи.

1. Проведено сопоставление двух методов сравнения разложений функции Грина, правил сумм и квазиклассического подхода, различающихся способом рассмотрения спектральной суммы: в первом случае точно учитывается основное состояние, а возбужденные заменяются вкладом континуума, во втором подходе изучение спектра идет с противоположного конца - квазиклассическая асимптотика рассматривается в качестве лидирующего приближения, а отклонения от нее описываются рядом поправок. Несмотря на то, что квазиклассический метод применим преимущественно для возбужденных уровней, в зависимости от потенциала, он может воспроизводить с хорошей точностью и положение основного состояния (в частности, рассмотрены потенциалы степенного вида и класс квази-точнорешаемых потенциалов). Оказываются полезными частичные суммирования ряда теории возмущений, приводящие к качественным и количественным улучшениям результатов метода правил сумм.

2. Рассмотрена модель, основанная на КХД в пределе большого числа цветов .Л/с, в которой мезонный спектр представляет собой бесконечный ряд эквидистантных уровней нулевой ширины. Проведено сравнение расчетов, выполненных в рамках этой модели, для корреляторов адронных токов в аксиальном и векторном каналах в координатном представлении с высокоточными экспериментальными данными коллаборации АЬЕРН для изучаемых корреляционных функций. Установлено, что при изучении моментов спектральных функции, в частности, корреляционных функций в координатном представлении, результаты оказываются практически не чувствительными к деталям спектра, а определяются всего лишь несколькими глобальными характеристиками - положением нижних резонансов и правильной квазиклассической асимптотикой. Отметим, кроме того, что все параметры модели (массы мезонов, постоянные распада и струнного натяжения) фиксированы своими физическими значениями и вычисленные корреляционные функции в принципе также имеют вид фиксированного предсказания без каких-либо подгоночных параметров, однако, сдвинув совсем немного значения этих параметров 2 — 3%), можно достичь полного согласия с экспериментальными данными, так что модельные кривые будут целиком лежать в экспериментальных коридорах ошибок.

3. Исследована техника частичных суммирований в применении к кварковым функциям Грина и получено точное замкнутое выражение для таких объектов во втором порядке по внешним глюонным нолям.

4. Измерены двухточечные корреляторы вакуумных полей на решетке в HP1 а-модели. Этот подход позволяет избавиться от вклада теории возмущений и использовать непертурбативные выражения для больших расстояний во всем диапазоне значений х, начиная с двух шагов решетки. Проведенные измерения обеспечивают твердое подтверждение экспоненциального поведения на больших расстояниях функций D(x) и Di (х)1 параметризующих двухточечные корреляторы. Соответствующие корреляционные длины оказались равными А]"1 = 1.40(3) ГэВ и А-1 = 1.51(3) ГэВ в хорошем согласии с другими известными вычислениями, использовавшими совершенно другие методы вычисления на решетках. Важно отметить, что параметры £ = (ЛА4)1/2 « 0.14, = (Ai\[)ll2 « 0.12 оказываются довольно малыми, подтверждая картину метода вакуумных корреляторов, в которой непертурбативные поля оказываются довольно слабыми в сравнении с обратной корреляционной длиной. Также изучена зависимость билокальных функций от формы соединяющей кривой и обнаружено некоторое уменьшение корреляционной длины с возрастанием длины кривой, соответствующей функции D±(x). В случае функции Оц (х) эта зависимость может быть выявлена через изучение интегральных характеристик в виде малой разницы (около 5%) между наклонами wu(S) и WfXS) (2.112) как функций площади прямоугольника.

5. Применен общий метод [75] измерения параметра поляризации фотона Ат к радиационному распаду В~ —> (ср —> К+к~)К~j. Установлено, что для того, чтобы получить надежную экспериментальную информацию о поляризации фотона, нужно условие сильной интерференции между парциальными волнами в [<£>-К"]-системе, являющейся векторным состоянием. Получено выражение для дифференциальной ширины распада, зависящей от пяти параметров -четырех адрон-ных амплитуд и параметра поляризации фотона. Если будут выполнены условия интерференции между парциальными волнами и доминирования векторного состояния, то соответствующие сильные параметры, а также интересующий нас параметр поляризации можно будет легко определить по данным изучаемой моды распада как только появятся экспериментальные данные ЬНСЬ.

6. Рассмотрены ограничения на пространство модели с дробной пространственно-временной размерностью из данных по бегущей константе связи КЭД на массе ¿-бозона. Показано, что эти ограничения, вместе с аналогичными из данных по смешиванию нейтральных Р-мезонов и аномальному магнитному моменту мюона допускают существенные отклонения от значения размерности теории <1 = 4 даже на масштабах порядка 100 ГэВ.

7. Обсуждены способы изучения квантовой физики, стоящей за кирально-магнитным эффектом и асимметрией флуктуаций электрического заряда, наблюдаемой в столкновениях тяжелых ионов. Для всех подходов подчеркивается важность разделения масштабов - должна быть иерархия динамических масштабов, описывающих жизнь кварк-глюонной фазы после столкновения и внутренние масштабы КХД. Физическая сущность КМЭ заключается в том, что кварк-глюонная среда играет роль измерительного прибора по отношению к топологическому вакууму КХД с конечным результатом в виде асимметрии электрического заряда вылетающих частиц. Третий подход из рассмотренных нами, т.е. анализ вкладов типа"Р-нечетный х Р-нечетный" в Р-четную наблюдаемую, несколько отличается от остальных, поскольку он дает ненулевой ответ даже для свободных фермионов в магнитном поле, т.е. без какой-либо "топологической природы". Мы полагаем, что это может также рассматриваться как частный случай КМЭ. Именно ненулевой матричный элемент от векторного тока между вакуумом и 3 '"-состояниями во внешнем магнитном поле приводит к асимметричной картине для заряда/тока, как если бы был флуктуирующий векторный ток, параллельный В.

Благодарности

Я сердечно благодарен моему научному руководителю Владимиру Игоревичу Шевченко, который на протяжении семи лет терпеливо и заботливо ведет меня по пути моего научного совершенствования. Также я благодарю Ю.А. Симонова за обсуждение разных вопросов и внимание к моей научной деятельности. Я признателен Ф.В. Губареву, М.И. Поликарпову, В. А. Новикову за обсуждение различных задач и вопросов.

Наконец, я выражаю признательность Б.О. Кербикову и Э.Э. Боосу, взявшим на себя труд быть официальными оппонентами настоящей работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Орловский, Всеволод Дмитриевич, 2011 год

1. V. D. Orlovsky, "Correlators of hadron currents: The model and the ALEPH data on tau decay," Phys. Lett. В 634, 408 (2006) arXiv:hep-ph/0510192],

2. V. D. Orlovsky and V. I. Shevchenko, "On the photon polarization in radiative В -> ipKy decay," Phys. Rev. D 77, 093003 (2008) arXiv:0708.4302 [hep-ph]].

3. V. D. Orlovsky and V. I. Shevchenko, "Nonlocal field correlators on the lattice in HP1 <7-model," JETP Lett. 90, 85 (2009) arXiv:0906.1340 [hep-lat]].

4. V. Orlovsky, "Operator expansion in quantum mechanics," Surveys High Energ. Phys. 19, 203 (2004).

5. В. Д. Орловский, В. И. Шевченко, "Нелокальные полевые корреляторы на решетке в HP1 ст-модели," Ядерная Физика 73, 2023 (2010), Phys. Atom. Nucí. 77, 1970 (2010)].

6. V. D. Orlovsky and V. I. Shevchenko, "Towards a quantum theory of the chiral magnetic effect," Phys. Rev. D 82, 094032 (2010), arXiv: 1008.4977 hep-ph],

7. V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, "Current correlators in QCD: OPE versus large distance dynamics," Phys. Rev. D 70, 074012 (2004) arXiv:hep-ph/0406276].

8. M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, "QCD And Resonance Physics: Applications," Nucl. Phys. В 147, 448 (1979).

9. M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, "QCD And Resonance Physics. Sum Rules," Nucl. Phys. В 147, 385 (1979).

10. J. S. Schwinger, "On gauge invariance and vacuum polarization," Phys. Rev. 82, 664 (1951).

11. Yu. A. Simonov and J. A. Tjon, "The Feynman-Schwinger representation in QCD," Annals Phys. 300, 54 (2002) arXiv:hep-ph/0205165].

12. W. Heisenberg and H. Euler, "Consequences of Dirac's theory of positrons," Z. Phys. 98 (1936) 714 arXiv:physics/0605038].

13. H. G. Dosch and Yu. A. Simonov, "The Area Law of the Wilson Loop and Vacuum Field Correlators", Phys. Lett. B205, 339 (1988).

14. H. G. Dosch, "Gluon Condensate and Effective Linear Potential", Phys. Lett. B190, 177 (1987).

15. Yu. A. Simonov, "Vacuum Background Fields in QCD as a Source of Confinement", Nucl. Phys. B307, 512 (1988).

16. A. Di Giacomo, H. G. Dosch, V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, "Field correlators in QCD: Theory and applications," Phys. Rept. 372, 319 (2002) arXiv:hep-ph/0007223].

17. F. V. Gubarev, S.M. Morozov, "Lattice gauge fields topology uncovered by quaternionic sigma-model embedding", Phys. Rev. D72, 076008 (2005), hep-lat/0509011.

18. P.Yu. Boyko, F.V. Gubarev, S.M. Morozov, MSU(2) gluodynamics and HP1 sigma-model embedding: Scaling, topology and confinement", Phys. Rev. D73, 014512 (2006), hep-lat/0511050.

19. D. Atwood, M. Gronau and A. Soni, "Mixing-induced CP asymmetries in radiative B decays in and beyond the standard model," Phys. Rev. Lett. 79, 185 (1997) arXiv:hep-ph/9704272],

20. V. I. Shevchenko, "Phenomenology of scale-dependent space-time dimension", arXiv:0903.0565 hep-ph],

21. A. V. Radyushkin, "Introduction into QCD sum rule approach," arXiv:hep-ph/0101227.

22. M. A. Shifman, "Sum Rule Approach To Heavy Quark Spectroscopy," Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 33, 199 (1983).

23. C. M. Bender, G. V. Dunne and M. Moshe, "Semiclassical Analysis of Quasi-Exact Solvability," Phys. Rev. A 55, 2625 (1997) arXiv:hep-th/9609193].

24. F. J. Yndurain, "The theory of quark and gluon interactions," Berlin, Germany: Springer (1999) 413 p

25. T. Schafer and E. V. Shuryak, "Implications of the ALEPH tau lepton decay data for perturbative and non-perturbative QCD," Phys. Rev. Lett. 86, 3973 (2001) arXiv:hep-ph/0010116].

26. B. L. Ioffe and K. N. Zyablyuk, "The V-A sum rules and the operator product expansion in complex q'^-plane from tau decay data," Nucl. Phys. A 687, 437 (2001) arXiv:hep-ph/0010089].

27. B. L. IofFe and K. N. Zyablyuk, "Gluon condensate in charmonium sum rules with 3-loop corrections," Eur. Phys. J. C 27, 229 (2003) arXiv:hep-ph/0207183],

28. S. Narison, "V-A hadronic tau decays: A laboratory for the QCD vacuum," Phys. Lett. B 624, 223 (2005) arXiv:hep-ph/0412152].

29. S. Friot, D. Greynat and E. de Rafael, "Chiral condensates, Q(7) and Q(8) matrix elements and large-N(c) QCD," JHEP 0410, 043 (2004) arXiv:hep-ph/0408281].

30. S. Peris, B. Pliily and E. de Rafael, "Tests of large-N(c) QCD from hadronic tau decay," Phys. Rev. Lett. 86, 14 (2001) arXiv:hep-ph/0007338].

31. Yu. A. Simonov, "Spectrum and Regge-trajectories in QCD," Phys. Atom. Nucl. 66, 2038 (2003) Yad. Fiz. 66, 2088 (2003)] [arXiv:hep-ph/0210309],

32. A. M. Badalian, B. L. G. Bakker and Yu. A. Simonov, "Light meson radial Regge trajectories," Phys. Rev. D 66, 034026 (2002) arXiv:hep-ph/0204088].

33. M. C. Chu, J. M. Grandy, S. Huang and J. W. Negele, "Correlation functions of hadron currents in the QCD vacuum calculated in lattice QCD," Phys. Rev. D 48, 3340 (1993) arXiv:hep-lat/9306002].

34. T. A. DeGrand, "Shoit distance current correlators: Comparing lattice simulations to the instanton liquid," Phys. Rev. D 64, 094508 (2001) arXiv.hep-lat/0106001].

35. R. Barate et al. ALEPH Collaboration], "Measurement of the spectral functions of axial-vector hadronic tau decays and determination of alpha(S)(M(tau)**2)," Eur. Phys. J. C 4, 409 (1998).

36. M. Golterman, S. Peris, B. Phily and E. De Rafael, "Testing an approximation to large-N(c) QCD with a toy model," JHEP 0201, 024 (2002) arXiv:hep-ph/0112042].

37. M. Golterman and S. Peris, "Large-N(c) QCD meets Regge theory: The example of spin-one two-point functions," JHEP 0101, 028 (2001) arXiv:hep-ph/0101098].

38. S. R. Beane, "Constraining quark hadron duality at large N(c)," Phys. Rev. D 64, 116010 (2001) arXiv:hep-ph/0106022].

39. S. S. Afonin, A. A. Andrianov, V. A. Andrianov and D. Espriu, "Matching Regge theory to the OPE," JHEP 0404, 039 (2004) arXiv:hep-pli/0403268].

40. M. A. Shifman, "Quark-hadron duality," arXiv:hep-ph/0009131.

41. O. Cata, M. Golterman and S. Peris, "Duality violations and spectral sum rules," JHEP 0508, 076 (2005) arXiv:hep-ph/0506004],

42. K. G. Wilson, "Nonlagrangian models of current algebra," Phys. Rev. 179, 1499 (1969).

43. V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, "Calculations In External Fields In Quantum Chromodynamics. Technical Review," Fortsch. Phys. 32, 585 (1984).

44. V. I. Shevchenko, "Chiral symmetry breaking in confining theories and asymptotic limits of operator product expansion," JHEP 0603, 082 (2006) arXiv.hep-ph/0512113].

45. C. Schubert, "Perturbative quantum field theory in the string-inspired formalism," Phys. Rept. 355, 73 (2001) arXiv:hep-th/0101036],

46. M. G. Schmidt and C. Schubert, "On the calculation of effective actions by string methods," Phys. Lett. B 318, 438 (1993) arXiv:hep-th/9309055].

47. C. Schubert, "QED in the worldline formalism," arXiv:hep-ph/0011331.

48. A. Di Giacomo and H. Panagopoulos, "Field strength correlations in the QCD vacuum," Phys. Lett. B 285, 133 (1992).

49. Yu. A. Simonov, "Test of the QCD vacuum with the sources in higher representations," JETP Lett. 71, 127 (2000) arXiv:hep-ph/0001244],

50. V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, "Casimir scaling as a test of QCD vacuum," Phys. Rev. Lett. 85, 1811 (2000) arXiv:hep-ph/0001299].

51. G. S. Bali, "Casimir scaling or flux counting?," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 83, 422 (2000) arXiv:hep-lat/9908021].

52. S. N. Nikolaev and A. V. Radyushkin, '"Vacuum Corrections To QCD Charmonium Sum Rules: Basic Formalism And O (G**3) Results," Nucl. Phys. B 213, 285 (1983).

53. S. V. Mikhailov, "Nonlocal gluonic condensate in QCD sum rules for the meson wave functions," Phys. Atom. Nucl. 56, 650 (1993) Yad. Fiz. 56N5, 143 (1993)].

54. A. G. Grozin, "Methods of calculation of higher power corrections in QCD," Int. J. Mod. Phys. A 10, 3497 (1995) arXiv:hep-ph/9412238].

55. A. E. Dorokhov, S. V. Esaibegian and S. V. Mikhailov, "Virtualities of quarks and gluons in QCD vacuum and nonlocal condensates within single instanton approximation," Phys. Rev. D 56, 4062 (1997) arXiv:hep-ph/9702417].

56. V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, "Relations between correlation functions in gauge field theory," Phys. Atom. Nucl. 60, 1201 (1997) Yad. Fiz. 60N7, 1329 (1997)] [arXiv:hep-th/9701026].

57. G. S. Bali, N. Brambilla and A. Vairo, "A lattice determination of QCD field strength correlators," Phys. Lett. B 421, 265 (1998) arXiv:hep-lat/9709079].

58. F. V. Gubarev, private communication.

59. M. Campostrini, A. Di Giacomo and G. Mussardo, "Correlation Length Of The Vacuum Condensate In Lattice Gauge Theories," Z. Phys. C 25, 173 (1984).

60. A. M. Badalian, A. V. Nefediev and Yu. A. Simonov, "Gluonic correlation length from spin-dependent potentials," JETP Lett. 88, 558 (2009) arXiv:0807.3320 [hep-ph]].

61. Yu. A. Simonov and V. I. Shevchenko, Adv. High Energy Phys. 2009, 873051 (2009) "Confinement Mechanism in the Field Correlator Method," arXiv:0902.1405 hep-ph],

62. M. Neubert, "Radiative B decays: Standard candles of flavor physics," arXiv:hep-ph/0212360.

63. A. Ali and A. Parkhomenko, "B —> (p, 0^7 decays and CKM phenomenology," arXiv:hep-ph/0610149.

64. T. Gershon and A. Soni, "Null tests of the standard model at an international super B factory," J. Phys. G 33, 479 (2007) arXiv:hep-ph/0607230].

65. D. Atwood, T. Gershon, M. Hazumi and A. Soni, "Mixing-induced CP violation in B -> P(l) P(2) gamma in search of clean new physics signals," Phys. Rev. D 71, 076003 (2005) arXiv:hep-ph/0410036].

66. H. Ishino, M. Hazumi, M. Nakao and T. Yoshikawa, "New measurements using external photon conversion at a high luminosity B factory," arXiv:liep-ex/0703039.

67. D. Melikhov, N. Nikitin and S. Simula, "Probing right-handed currents in B -> K* 1+ 1- transitions," Phys. Lett. B 442, 381 (1998) arXiv:hep-ph/9807464],

68. C. S. Kim, Y. G. Kim, C. D. Lu and T. Morozumi, "Azimuthal angle distribution in B -> K* (-> K pi) 1-r 1- at low invariant m(l-r 1-) region," Phys. Rev. D 62, 034013 (2000) arXiv:hep-ph/0001151].

69. Y. Grossman and D. Pirjol, "Extracting and using photon polarization information in radiative B decays," JHEP 0006, 029 (2000) arXiv:hep-ph/0005069].

70. F. Kruger, L. M. Sehgal, N. Sinha and R. Sinha, "Angular distribution and CP asymmetries in the decays anti-B -> K- pi+ e- e+ and anti-B -> pi- pi+ e- e+,"

71. Phys. Rev. D 61, 114028 (2000) Erratum-ibid. D 63, 019901 (2001). [arXiv:hep-ph/9907386].

72. T. Mannel and S. Recksiegel, "Flavour changing neutral current decays of heavy baryons: The case Lambda/b -> Lambda gamma," J. Phys. G 24, 979 (1998) arXiv:hep-ph/9701399].

73. G. Hiller and A. Kagan, "Probing for new physics in polarized Lambda/b decays at the Z," Phys. Rev. D 65, 074038 (2002) arXiv:hep-ph/0108074].

74. F. Legger and T. Schietinger, "Photon helicity in A&--> pKj decays,"

75. Phys. Lett. B 645, 204 (2007) Erratum-ibid. B 647, 527 (2007). [arXiv:hep-ph/0605245],

76. M. Gronau, Y. Grossman, D. Pirjol and A. Ryd, "Measuring the photon helicity in radiative B decays," Phys. Rev. Lett. 88, 051802 (2002) arXiv:hep-ph/0107254].

77. M. Gronau and D. Pirjol, "Photon polarization in radiative B decays," Phys. Rev. D 66, 054008 (2002) arXiv:hep-pli/0205065].

78. D. Atwood, T. Gershon, M. Hazumi and A. Soni, "Clean Signals of CP-violating and CP-conserving New Physics in B —> P V 7 Decays at B Factories and Hadron Colliders," arXiv:hep-ph/0701021.

79. A. Drutskoy et al. BELLE Collaboration], "Observation of radiative B -> Phi K gamma decays," Phys. Rev. Lett. 92, 051801 (2004) [arXiv:hep-ex/0309006].

80. B. Aubert et al. BABAR Collaboration], "Measurement of B decays to Phi K gamma," arXiv:hep-ex/0607037.

81. P. Ball and R. Zwicky, "Time-dependent CP asymmetry in B -> K* gamma as a (quasi) null test of the standard model," Phys. Lett. B 642, 478 (2006) arXiv:hep-ph/0609037].

82. B. Grinstein, Y. Grossman, Z. Ligeti and D. Pirjol, "The photon polarization in B -> X gamma in the standard model," Phys. Rev. D 71, 011504 (2005) arXiv:hep-ph/0412019].

83. B. Grinstein and D. Pirjol, "The CP asymmetry in B0(t) -> K(S) piO gamma in the standard model," Phys. Rev. D 73, 014013 (2006) arXiv:hep-ph/0510104].

84. M. Matsumori and A. I. Sanda, "The mixing-induced CP asymmetry in B -> K* gamma decays with perturbative QCD approach," Phys. Rev. D 73, 114022 (2006) arXiv:hep-ph/0512175].

85. B. Grinstein and D. Pirjol, "Long-distance effects in B -> V gamma radiative weak decays," Phys. Rev. D 62, 093002 (2000) arXiv:hep-ph/0002216].

86. L. L. Everett, G. L. Kane, S. Rigolin, L. T. Wang and T. T. Wang, "Alternative approach to b -> s gamma in the uMSSM," JHEP 0201, 022 (2002) arXiv:hep-ph/0112126],

87. J. P. Lee, "Photon polarization with anomalous right-handed top couplings in B -> K(res) gamma," Phys. Rev. D 69, 014017 (2004) arXiv;hep-ph/0309018],

88. K. Agashe, G. Perez and A. Soni, "B-factory signals for a warped extra dimension," Phys. Rev. Lett. 93, 201804 (2004) arXiv:hep-ph/0406101],

89. M. Jacob and G. C. Wick, "On the general theory of collisions for particles with spin," Annals Phys. 7, 404 (1959) Annals Phys. 281, 774 (2000)].

90. S. U. Chung, "SPIN FORMALISMS," Lectures in Academic Training Program of CERN", 1971.

91. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, "The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter," Phys. Lett. B 429, 263 (1998) arXiv:hep-ph/9803315].

92. L. Randall and R. Sundrum, "A large mass hierarchy from a small extra dimension," Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999) arXiv:hep-ph/9905221],

93. P. Gibbs, "The Small scale structure of space-time: A Bibliographical review," arXiv:hep-th/9506171.

94. C. Jarlskog and F. J. Yndurain, "IS THE NUMBER OF SPATIAL DIMENSIONS AN INTEGER?," Europhys. Lett. 1, 51 (1985).

95. A. Zeilinger and K. Svozil, "Measuring The Dimension Of Space-Time," Phys. Rev. Lett. 54, 2553 (1985).

96. С. Amsler et al. Particle Data Group], "Review of particle physics," Phys. Lett. В 667, 1 (2008).

97. H. Burkhardt and B. Pietrzyk, "Low energy hadronic contribution to the QED vacuum polarization," Phys. Rev. D 72, 057501 (2005) arXiv:hep-ph/0506323].

98. M. E. Peskin and D. V. Schroeder, "An Introduction To Quantum Field Theory," Reading, USA: Addis on-Wesley (1995) 842 p

99. D. Kliarzeev, R. D. Pisarski and M. H. G. Tytgat, "Possibility of spontaneous parity violation in hot QCD/' Phys. Rev. Lett. 81, 512 (1998) arXiv:hep-ph/9804221],

100. D. Kharzeev and R. D. Pisarski, "Pionic measures of parity and CP violation in high energy nuclear collisions," Phys. Rev. D 61, 111901 (2000) arXiv:hep-ph/9906401].

101. D. E. Kharzeev, R. D. Pisarski and M. H. G. Tytgat, "Aspects of parity, CP, and time reversal violation in hot QCD," arXiv:hep-ph/0012012.

102. D. Kharzeev, A. Krasnitz and R. Venugopalan, "Anomalous chirality fluctuations in the initial stage of heavy ion collisions and parity odd bubbles," Phys. Lett. В 545, 298 (2002) arXiv:hep-ph/0109253].

103. D. Kharzeev, "Parity violation in hot QCD: Why it can happen, and how to look for it," Phys. Lett. В 633, 260 (2006) [arXiv:hep-ph/0406125].

104. D. Kliarzeev and A. Zhitnitsky, "Charge separation induced by P-odd bubbles in QCD matter," Nucl. Phys. A 797, 67 (2007) arXiv:0706.1026 [hep-ph]].

105. D. E. Kharzeev, L. D. McLerran and H. J. Warringa, "The effects of topological charge change in heavy ion collisions: 'Event by event P and CP violation'," Nucl. Phys. A 803, 227 (2008) arXiv:0711.0950 [hep-ph]].

106. K. Fukushima, D. E. Kharzeev and H. J. Warringa, ''The Chiral Magnetic Effect," Phys. Rev. D 78, 074033 (2008) arXiv:0808.3382 [hep-ph]].

107. H. J. Warringa, "Implications of CP-violating transitions in hot quark matter on heavy ion collisions," J. Phys. G 35, 104012 (2008) arXiv:0805.1384 [hep-ph]].

108. D. E. Kharzeev, "Hot and dense matter: from RHIC to LHC: Theoretical overview," Nucl. Phys. A 827, 118C (2009) arXiv:0902.2749 [hep-ph]].

109. H. J. Warringa, "The Chiral Magnetic Effect: Measuring event-by-event P- and CP-violation with heavy ion-collisions," arXiv:0906.2803 hep-ph].

110. D. E. Kharzeev, "Topologically induced local P and CP violation in hot QCD," arXiv:0906.2S08 hep-ph],

111. D. E. Kharzeev and H. J. Warringa, "Chiral Magnetic conductivity," Phys. Rev. D 80, 034028 (2009) arXiv:0907.5007 [hep-ph]].

112. D. E. Kharzeev, "Chern-Simons current and local parity violation in hot QCD matter," Nucl. Phys. A 830, 543C (2009) arXiv:0908.0314 [hep-ph]].

113. H. U. Yee, "Holographic Chiral Magnetic Conductivity," JHEP 0911, 085 (2009) arXiv:0908.4189 [hep-th]].

114. E. S. Fraga and A. J. Mizher, "Chiral symmetry restoration and strong CP violation in a strong magnetic background," PoS C POD2009, 037 (2009) arXiv:0910.4525 [hep-ph]].

115. S. i. Nam, "Chiral magnetic effect at low temperature," Phys. Rev. D 80, 114025 (2009) arXiv:0911.0509 [hep-ph]].

116. M. Abramczyk, T. Blum, G. Petropoulos and R. Zhou, "Chiral magnetic effect in 2+1 flavor QCD+QED," arXiv:0911.1348 hep-lat].

117. L. McLerran, "Theoretical Concepts for Ultra-Relativistic Heavy Ion Collisions," arXiv:0911.2987 hep-ph],

118. D. E. Kharzeev, "Topologically induced local P and CP violation in QCD x QED," Annals Phys. 325, 205 (2010) arXiv:0911.3715 [hep-ph]].

119. S. i. Nam, "Chiral magnetic effect (CME) at low temperature from instanton vacuum," arXiv:0912.1933 hep-phj.

120. K. Fukushima, D. E. Kharzeev and H. J. Warringa, "Electric-current Susceptibility and the Chiral Magnetic Effect," arXiv:0912.2961 hep-ph].

121. A. Bzdak, V. Koch and J. Liao, "Remarks on possible local parity violation in heavy ion collisions," arXiv:0912.5050 nucl-th],

122. W. j. Fu, Y. x. Liu and Y. 1. Wu, "Chiral Magnetic Effect and Chiral Phase Transition," arXiv:1002.0418 hep-ph].

123. K. Fukushima, D. E. Kharzeev and H. J. Warringa, "Real-time dynamics of the Chiral Magnetic Effect," arXiv:1002.2495 hep-ph].

124. M. Giovannini and M. E. Shaposhnikov, "Primordial magnetic fields, anomalous isocurvature fluctuations and big bang nucleosynthesis," Phys. Rev. Lett. 80, 22 (1998) arXiv:hep-ph/9708303].

125. G. Veneziano, "U(l) Without Instantons," Nucl. Phys. B 159, 213 (1979).

126. E. Witten, "Current Algebra Theorems For The U(l) Goldstone Boson," Nucl. Phys. B 156, 269 (1979).

127. S. A. Voloshin, "Discussing the possibility of observation of parity violation in heavy ion collisions," Phys. Rev. C 62, 044901 (2000) arXiv:nucl-th/0004042],

128. S. A. Voloshin, "Parity violation in hot QCD: How to detect it," Phys. Rev. C 70, 057901 (2004) arXiv:hep-ph/0406311].

129. I. V. Selyuzhenkov STAR Collaboration], "Global polarization and parity violation study in Au + Au collisions," Rom. Rep. Phys. 58, 049 (2006) [arXiv:nucl-ex/0510069].

130. I. Selyuzhenkov STAR Collaboration], "Azimuthal charged particle correlations as a probe for local strong parity violation in heavy-ion collisions," arXiv:0910.0464 [nucl-ex],

131. S. A. Voloshin, "Local strong parity violation and new possibilities in experimental study of non-perturbative QCD," arXiv:1003.1127 nucl-ex],

132. S. A. Voloshin, "Anisotropic flow: Achievements, Difficulties, Expectations," J. Phys. G 35, 104014 (2008) arXiv:0805.1351 [nucl-ex]].

133. S. A. Voloshin STAR Collaboration], "Probe for the strong parity violation effects at RHIC with three particle correlations," arXiv:0806.0029 [nucl-ex].

134. S. A. Voloshin, "Anisotropic collective phenomena in ultra-relativistic nuclear collisions," Nucl. Phys. A 827, 377C (2009) arXiv:0902.0581 [nucl-ex]].

135. S. A. Voloshin STAR Collaboration], "Experimental study of local strong parity violation in relativistic nuclear collisions," Nucl. Phys. A 830, 377C (2009) [arXiv:0907.2213 [nucl-ex]].

136. B. I. Abelev et al. STAR Collaboration], "Observation of charge-dependent azimuthal correlations and possible local strong parity violation in heavy ion collisions," arXiv:0909.1717 [nucl-ex].

137. B. I. Abelev et al. STAR Collaboration], "Azimuthal Charged-Particle Correlations and Possible Local Strong Parity Violation," Phys. Rev. Lett. 103, 251601 (2009) [arXiv:0909.1739 [nucl-ex]].

138. G. Wang STAR Collaboration], "Highlights from STAR: probing the early medium in heavy ion collisions," Nucl. Phys. A 830, 19C (2009) [arXiv:0907.4504 [nucl-ex]].

139. D. T. Son and P. Surowka, "Hydrodynamics with Triangle Anomalies," Phys. Rev. Lett. 103, 191601 (2009) arXiv:0906.5044 [hep-th]].

140. L. Del Debbio, H. Panagopoulos and E. Vicari, "Topological susceptibility of SU(N) gauge theories at finite temperature," JHEP 0409, 028 (2004) arXiv:hep-th/0407068].

141. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, "Chiral magnetization of non-Abelian vacuum: a lattice study," Nucl. Phys. B 826, 313 (2010) arXiv:0906.0488 [hep-lat]].

142. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, "Numerical evidence of chiral magnetic effect in lattice gauge theory," Phys. Rev. D 80, 054503 (2009) arXiv:0907.0494 [hep-lat]].

143. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, "Lattice QCD in strong magnetic fields," arXiv:0909.1808 hep-ph].

144. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, "Numerical study of chiral magnetic effect in quenched SU(2) lattice gauge theory," arXiv:0910.4682 hep-lat].

145. M. Dey, V. L. Eletsky and B. L. Ioffe, "Mixing of vector and axial mesons at finite temperature: an Indication towards chiral symmetry restoration," Phys. Lett. B 252, 620 (1990).

146. H. Perez Rojas and A. E. Shabad, "Polarization Of Relativistic Electron And Positron Gas In A Strong Magnetic Field. Propagation Of Electromagnetic Waves," Annals Phys. 121, 432 (1979).

147. V. N. Baier, V. M. Katkov and V. M. Strakhovenko, "An Operator Approach To Quantum Electrodynamics In External Field. 2. Electron Loops," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 68, 405 (1975).

148. A. E. Shabad and V. V. Usov, "Real and virtual photons in an external constant electromagnetic field of most general form," Phys. Rev. D 81, 125008 (2010) arXiv: 1002.1813 [hep-th]].

149. K. Bhattacharya, "Elementary particle interactions in a background magnetic field," arXiv:hep-ph/0407099.

150. M. Asakawa, A. Majumder and B. Muller, "Electric Charge Separation in Strong Transient Magnetic Fields," Phys. Rev. C 81, 064912 (2010) arXiv: 1003.2436 [hep-ph]].

151. F. Jegerlehner and A. NyfFeler, "The Muon g-2," Phys. Rept. 477, 1 (2009) arXiv:0902.3360 [hep-ph]].

152. A. S. Gorsky, "Higher Twist Effects In QCD Description Of Light Meson Exclusive Form-Factors: Twist Four Wave Functions And The Application To PiO Gamma Gamma Amplitude," Preprint ITEP-87-86.

153. W. Y. Tsai, "Vacuum Polarization In Homogeneous Magnetic Fields," Phys. Rev. D 10, 2699 (1974).

154. L. F. Urrutia, "Vacuum Polarization In Parallel Homogeneous Electric And Magnetic Fields," Phys. Rev. D 17, 1977 (1978).

155. S. L. Adler, "Photon splitting and photon dispersion in a strong magnetic field," Annals Phys. 67, 599 (1971).

156. A. Chodos, K. Everding and D. A. Owen, "QED With A Chemical Potential: 1. The Case Of A Constant Magnetic Field," Phys. Rev. D 42, 2881 (1990).

157. P. Elmfors, D. Persson and B. S. Skagerstam, "QED effective action at finite temperature and density," Phys. Rev. Lett. 71, 480 (1993) arXiv:hep-th/9305004],

158. J. Alexandre, "Vacuum polarization in thermal QED with an external magnetic field," Phys. Rev. D 63, 073010 (2001) arXiv:hep-th/0009204],

159. R. P. Feynman, A. R. Hibs, "Quantum Mechanics and Path Integrals," McGraw-Hill, New York, 1965

160. H. Kleinert, "PATH INTEGRALS in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets World Scientific, Singapore, 2004