Динамика топологических дефектов в калибровочных теориях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Губарев, Федор Васильевич

• Губарев, Федор Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Губарев, Федор Васильевич

Содержание

1 Введение

2 Взаимодействие монополей в абелевой модели Хиггса

3 Вакуум глюодинамики как дуальный сверхпроводник

3.1 Решеточный подход в квантовой теории поля

3.2 Метод абелевых проекций

3.3 Формулировка т'Хофта

3.4 Максимальная Абелевая Проекция

3.4.1 Процедура фиксации калибровки

3.4.2 Абелевые наблюдаемые

3.4.3 Абелевые и 0(3) монополи

3.4.4 Абелевая петля Вильсона

3.4.5 Иллюстрация подхода: статический БПС-монополь

3.5 Абелевая проекция и монополи на решетке

3.6 Компактная электродинамика

4 Б = 4 Б11 (2) глюодинамика в абелевой проекции

4.1 Абелевая и монопольная доминантность

4.2 Уравнение Лондона для монопольных токов

4.3 Монопольный конденсат

4.4 Инстантоны и монополи

4.4.1 Случай одного инстантона

4.4.2 Многоинстантонная конфигурация

4.4.3 Дальнейшее развитие

4.5 Абелевые монополи в самодуальных полях

4.5.1 Классическое рассмотрение

4.5.2 Решеточная формулировка задачи

4.5.3 Результаты исследования

5 Обзор результатов

6 Другие механизмы невылетания: эффект Ааронова-Бома

6.1 Обзор центральной проекции глюодинамики

6.2 Эффект Ааронова-Бома в Абелевой Модели Хиггса

6.3 струны, эффект Ааронова-Бома и конфайнмент

7 Абелевая проекция в других полевых моделях

8 Заключение и выводы

9 Приложение А:

Дифференциальные формы на решетке

10 Приложение Б:

Преобразование дуальности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика топологических дефектов в калибровочных теориях»

1 Введение

Феноменология сильных взаимодействий содержит всего лишь две фундаментальных составляющих: асимптотическую свободу и невылетание цвета. Уже только первое требование неизбежно приводит к заключению, что из всего многообразия теоретико-полевых моделей только неабеле-вые калибровочные теории способны описывать мир адронов. Что же касается второго требования, то здесь ситуация далеко не столь очевидна. С одной стороны, совпадение углов наклона траекторий Редже для различных адронов, спектроскопия кваркониевых систем и многое другое говорят о существовании линейно растущего с расстоянием потенциала между кварками. С другой стороны, за почти двадцатипятилетнюю историю существования КХД никто еще не сумел доказать, что микроскопическая, фундаментальная теория кварков и глюонов действительно приводит к линейному конфайнменту цвета на больших расстояниях.

Таким образом, существует до сих пор не решенная проблема описания свойств КХД при низких энергиях. И по всей видимости, проблема эта не только и не столько техническая: меняется качественное содержание теории. В противоположность большинству известных до сих пор теоретико-полевых моделей, фундаментальные возбуждения вакуума КХД вообще не появляются в физическом спектре: только адроны, лептоны и фотоны наблюдаемы в эксперименте.

. "Ч / N

О*;.

- V

\

-ЧГ

¿1

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Качественную картину того, что происходит в хромодинамике при переходе от высоких энергий к низким можно увидеть уже в теории возмущений. В лидирующем порядке по константе связи взаимодействие двух пробных цветных зарядов есть обычный одноглюонный обмен (Рис. 1), что приводит к потенциалу Кулона между источниками. Но уже в следующем порядке происходит нечто интересное, а именно, диа-

грамма на Рис. 2 определяет замечательное явление, известное только в неабелевых калибровочных теориях и называемое антиэкранировкой или асимптотической свободой ([1]). В 'обычной' теории поля, например в квантовой электродинамике, облако виртуальных частиц экранирует заряд, приводя к тому, что величина эффективного заряда растет с увеличением переданного импульса. В КХД все происходит с точностью до наоборот: 'размножение' глюонов на Рис. 2 приводит к следующей зависимости эффективного заряда от переданного импульса:

то есть к росту а3 с уменьшением энергии. Высшие поправки теории возмущений лишь немного меняют вид этой зависимости.

Уравнение (1) означает, что эффективное цветное взаимодействие становится все сильнее и сильнее при увеличении расстояния между пробными цветными зарядами и, как видно из этих же уравнений, на расстояниях порядка возрастает настолько, что перестает иметь

смысл говорить об отдельных глюонах (Рис. 3) Вместо этого наиболее естественным становится язык описания в терминах хромоэлектричес-ких и хромомагнитных полей.

В 'обычных' теоретико-полевых моделях, например в электродинамике, поле пары пробных зарядов, помещенных в вакуум теории, распространяется на большие расстояния. Предполагается, что физический вакуум КХД устроен гораздо более сложно, в частности, распространение хромоэлектрических полей на большие расстояния энергетически невыгодно [2, 4]. Вместо этого поле пары цветных зарядов сжимается в нечто наподобие струны (трубки силовых линий), натянутой между ними. Возникновение линейного потенциала между кварками в таком случае очевидно.

Такое поведение хромоэлектрического поля очень напоминает эффект Мейснера в сверхпроводнике. Хорошо известно, что магнитное поле не может проникнуть в сверхпроводящую среду. В лучшем случае, если условие ненулевого потока наложено извне, например, граничными условиями, то магнитное поле собирается в узкую трубку силовых линий, несущую весь поток; сверхпроводимость внутри трубки разрушена.

Следующим логическим шагом было бы внести статическую моно-поль-антимонопольную пару в сверхпроводник. С одной стороны, достаточно очевидно образование струно-подобной трубки силовых линий

магнитного поля между монополем и антимонополем при достаточно большом расстоянии между ними. С другой стороны, не вызывает сомнений, что на малых расстояниях в полной энергии доминирует куло-новский вклад.

Таким образом, явно просматривается качественная аналогия между поведением монополь-антимонопольной пары в сверхпроводнике и парой цветных зарядов в вакууме КХД. Точнее говоря, так как КХД -теория релятивистская, то аналогия существует скорее между КХД и релятивистским обобщением теории сверхпроводимости - абелевой моделью Хиггса (АМХ). Мы остановимся более подробно на этой аналогии в следующих разделах, а пока посмотрим более внимательно на саму АМХ.

2 Взаимодействие монополей в абелевой модели Хиггса

Проблема вычисления энергии взаимодействия монополь-антимонопольной пары в сверхпроводнике имеет свою собственную историю (см. [5, 6, 7, 8, 9, 10] и ссылки в этих работах). С теоретико-полевой точки зрения естественным языком этой задачи является формализм Званзигера [11], позволяющий самосогласованно описывать взаимодействие фотонов с электрическими и магнитными зарядами. В первоначальной формулировке этого формализма вакуум теории предполагался тривиальным. Если же попытаться наивно включить в формализм Званзигера механизм спонтанного нарушения симметрии, то оказывается, что результирующий фотонный пропагатор, во-первых, определен неоднозначно (помимо калибровочной неопределенности), во-вторых, содержит нефизические сингулярности. Предполагались различные пути решения этой проблемы [5, 7, 8], но все они основываются на дополнительных предположениях и посылках, что само по себе не может быть удовлетворительным. Для того, чтобы увидеть возникающие трудности, рассмотрим теорию Званзигера, представляющую собой локальную полевую теорию электрически и магнитно заряженных частиц. Вводится два калибровочных поля АДх) и Вц(х), ковариантно взаимодействующих соответственно с электрическими и магнитными токами. Теория задается статистической

суммой:

Z = j DADB e-S{A>B)+ie{f,A)+ig{jm,B) (2)

с действием:

S(A, В) = / éx {\{n • [д л A])2 + \{n • [d A B])4

(3)

+ i(n • [d A A])(n • [d A B)d) - i(n • [a A B])(n • [9 A A]d)}

где e(g) есть электрический (магнитный) заряд, - произвольный постоянный вектор единичной длины. В (2) и (3) мы использовали сокращенные обозначения:

(j, А) = f éx(ж) = J A^d(4) [А Л В]^ = АцВу — АиВй, {п-[А/\ В])ц = п„{А A B)Vfl, (5)

(G)iu = ^envXpG\p (6)

Калибровочная симметрия действия (3) задается преобразованиями

А* Л* + д»а

(?)

Вр-^Вр + дгР

с произвольными функциями о;(ж), /3(ж); как следствие этого и электрический je и магнитный jm токи сохраняются: dj(e>m) = 0.

Несмотря на наличие двух калибровочных полей Ац и В(Л) теория описывает один фотон с двумя физическими степенями свободы, что следует из рассмотрения гамильтоновой динамики системы [5, 11].

Действие (3) приводит к следующим классическим уравнениям движения:

(пд)2Ац - п„(пд)(дА) - др(пд){пА) + n^inA)-

- г(пд)е^хРпхдрАи = -iej*

(8)

{пд)2В„ - nfl(nd)(dB) - д^(пд)(пВ) + пйд2(пВ)+

+ iin&je^xpnxdpBu = -igj™ 6

Рассмотрим энергию взаимодействия двух классических внешних источников 'Уп. Хотя ответ может быть получен непосредственно из уравнений движения, такой путь решения не является самым простым, так как (8) не диагонально по полям А я В. Вместо этого удобно проинтегрировать все поля в (2), тем более что такой подход понадобится нам в дальнейшем. В качестве действия, фиксирующего калибровочную свободу (7), мы выбираем

(9)

Детерминант Фаддеева-Попова в этом случае тривиален и действие с фиксированной калибровкой имеет вид:

(10)

(И)

Szv + Sg.f. = A (Л, DWA) + i (В, №в) - г (В, К А)-

-ie(f,A) — ig (jm, В) В импульсном пространстве Г)(А>В) и К определены как: D{£>B){k) = S^(kn)2 - (кп)(пцк„ + пикц) + (к2 + М\

Кй„{к) = (кп)(п А к)^, = (кп) пхкр Непосредственное интегрирование по полю В приводит к результату: Z = ¡DA e-sW+ieU^A)

S(A)=fd4x {\(дЛА-д(пд)-ЧпЛГ}У+ (12)

+24(М-Чал)2 + ^М)2},

где интегральный оператор (пд)~х может быть представлен в виде [11]:

оо

(ndr'ix) = - fd( [6(х - Сп) ~ 8{х + СП)} (13)

Следовательно, (пд) 1[пА ]т) представляет собой струну Дирака, направленную вдоль вектора п^ и имеющую ток зт своей границей.

Интегрирование поля А приводит к результату:

J £)A£>ß e~SZw(A,B)+ie(r,A)+ig(jm,B) _ e-S(je,jm)

S(f,jm) = 4 (ЗтЛВ)Эт) + i Cf, Q(A)je) + {eg (je,Tjm)

откуда следует, что пропагаторы исходной модели (2) определяются в импульсном пространстве следующим образом:

< AßAv >=< BßBu >= =

= + м\АвВ (кп)Ъ ~ + kvnß)) (15)

< AßBv >— Три = pffjui/Ap-Qmj = к2(кп) Л k]d)fiv

Заметим, что последний член в S(je,jm) содержит кажущуюся зависимость от произвольно выбранного вектора nß. Требование того, что эта зависимость только кажущаяся, приводит к условию квантования Дирака: ед = 2я"т [11]. Существует общее доказательство того, что при выполнении этого условия физические результаты не зависят от выбора вектора nß.

Трудности возникают, если попытаться включить в описанный выше формализм механизм спонтанного нарушения симметрии. Предположим, что заряженное скалярное поле приобретает ненулевое вакуумное среднее, что приводит к появлению массового члена \vr?vA?lx в лагранжиане. После этого вычисление пропагаторов Ал В полей дает (см. например [5]):

< BßBv > (к) = ^ (¿^ + - гуг„) + ....) ,

(16)

< AßAv > (к) = к2+т2 (öfiv + ■■■),

где многоточием обозначены члены, пропорциональные kß, и поэтому несущественные в силу сохранения токов. Из (16) непосредственно видно, что энергия взаимодействия монопольной пары при обмене массивным фотоном с таким пропагатором явным образом зависит от пКроме того, не слишком понятно, что делать с членом ~ 1/(кп)2 в (16).

в

л

А

В

В

А

А

В

Рис. 4

В этом месте необходимо сделать следующее замечание. В принципе, члены ~ (8^ — ПцП„) в пропагаторе < В^Ву > появляются и в случае тривиального пертурбативного вакуума при учете радиационных поправок. Например, вклад диаграмм Рис. 4 составляет величину ~ (¿V — ПдПг,)/(кп)2. Соответствующий вклад в действие составил бы

Но в силу сказанного выше (ид)-1 [п Л jm] есть ни что иное как струна Дирака, неизбежно 'сопровождающая' мировую линию монополя, и подобная 'энергия' есть нефизическая собственная энергия дираковской струны.

Проблемы с пропагатором (16) уже обсуждались в литературе [7, 8] и было предложено их обойти исходя из физических соображений. В частности в работе [7], где рассматривался предел Лондона (m# mv), предлагалось расходимость в интеграле по к из-за члена 1 /(кп)2 избежать, понимая интеграл в смысле главного значения, и направить вектор п вдоль направления, соединяющего монополь-антимонопольную пару. Оправданием этих предписаний служило то, что только таким образом удается восстановить свойства решений классических уравнений движения [6].

Тем не менее, причина трудностей, возникающих при попытке включить в формализм Званзигера механизм спонтанного нарушения симметрии, кажется почти очевидной. Мы уже качественно описывали, что происходит с магнитным полем монополь-антимонопольной пары в сверхпроводнике - между парой неизбежно образуется трубка силовых линий (струна Абрикосова-Нильсена-Ольсена или AHO струна). По видимому, правильный подход состоит в корректном учете струнных степеней свободы, для чего удобно воспользоваться струнным представлением АМХ [12]. А именно, как следует из результатов [12], статистическая

сумма АМХ

ZAHM = / D.AD®DÖ>

Ф, Ф) = / d'x { 1(0 Л А)2 + ||(ö - <еА)Ф|2+ (18)

+А((|Ф|2 - п2)П

в пределе Л оо может быть представлена в виде теории замкнутых AHO струн. Если Х(а) определяет координаты мировой поверхности, то

lim Zahm = f DZ e~sW (19)

А-юо J

<5£=0

где DE означает интеграл по всем возможным Х(сг) и действие равно:

= iml / (fad? а' UßV(a) К(Х(а) - Х{о')) IPV) (20)

= eabdaXß(a)dbX„(<r)

Интегральное ядро К(х) определяется из уравнения (—д2 + rnl)K(x) — 6(х) и mv = er).

Возвращаясь к исходной задаче, рассмотрим в рамках теории Зван-зигера со спонтанным нарушением симметрии среднее петли Вильсона для поля В:

< eig(jm,B) >= ± f DADBD$DÖ> e-S{A,B)-S{A,b)+ig{j™,B)

(21)

S(A, Ф) = fd4x{ геАЩ2 + А|(|Ф|2 - ?72)|2} Интегрирование поля В происходит аналогично (2) (см. также [13]):

< ei9(3m,B) >= _L_ JDADQD® е-5»ям(л,ф,ф) H{Y,jm)

= / d4x {-\(д Л А + ^Е^)2 + ^(9 А А)')

(22)

#(EjTO) = е

где Еjmd = (пд) 1[п Л jm]d, 5Y,jm = jm и мы использовали условие квантования Дирака ед — 27г.

Таким образом, среднее петли Вильсона < егд > поля В сводится к среднему петли т'Хофта H(Y>jm) калибровочного поля А при специальном выборе поверхности Ejm, а именно, поверхность Ejm в любой своей точке параллельна вектору (см. 13). Необходимо показать, что среднее < H(Hjm) > не зависит от выбора формы поверхности. Рассматривая для простоты случай Л —> оо и проводя вычисления, аналогичные [12], получаем:

lim < H(I:jm) > = [ DT, (23)

А—юо J

<fS=0

где струнное действие 5(E) дается формулой (20). Заменой переменных Е —> Е — Ej-m интеграл по замкнутым поверхностям = 0 сводится к интегралу по поверхностям, натянутым на ток jm:

lim < жад > = [ DE (24)

А->оо J

6T,=jm

Таким образом, очевидно, что среднее < HiEjm) > зависит только от jm, но не от поверхности Еjm.

В качестве применения полученных формул найдем энергию взаимодействия статической монополь-антимонопольной пары в пределе Л —> оо. Если расстояние между монополем и антимонополем равно R, то

ДО = - Д/2) - + Д/2)] (25)

и потенциал взаимодействия можно вычислить как

л

V(R) = -gfln< H(Tijm) > (26)

Первый член ^ (jm, Kjm) в (24) для контура (25) легко вычисляется

2тг2 - г 7г e~mvR

¿¡4Г, КГ) = (self energy) ~ J dt ~ (27)

и приводит к потенциалу Юкавы:

V(R) = V1(R) + V2(R), = (28)

Что касается второго члена ^(i?), то с ним все гораздо сложнее. Даже на классическом уровне необходимо найти

поверхность Ajjm 3 натянутую

на для которой действие 5(Е_,т) минимально. Для произвольного контура зт такая задача, по видимому, неразрешима аналитически, но для частного случая (25) естественно ожидать, что это должна быть минимальная поверхность, которую удобно параметризовать следующим образом:

х° = г ге (-оо; +оо) Х*=Ша <т€(-1;+1)

(29)

Вычисление действия трудностей не вызывает. Так как для

£аЬдаХ»(а)дьХи((т) = -

£

(30)

имеем

С(^тпгпЛ _ 1

) — ^

7ГДГП„

е

] ¿ге/сг ^ ^ +

АкКт,,

' с/3/с вш2(£Л/2)

Л ИЬ 7*2 , 2

(31)

(2тг)3 +

Интеграл по импульсам в этом выражении необходимо обрезать на массе скалярного бозона. В результате вычислений получим потенциал взаимодействия:

УШ - тге~^д , 1

А-кЯгп,.

7 вт2(кЯ/2) 1 Й Щ* к2 + т2у Щ*

_ ^ е-т„ Д

2е

+ ¡Г* [х + т2]3/2 ]

= ^ { + 1п - I1 - е_ГОиЛ] +

+туВ. Е1[т0Д] }

(32)

ВД = - Г = с + 1п[ж] + £

*=1

кк\

где С = 0.57722... - постоянная Эйлера.

Таким образом, учет струнных степеней свободы позволяет получить хорошо определенное выражение для потенциала взаимодействия мо-нополь-антимонопольной пары в абелевой модели Хиггса. А именно: 1) в (32) отсутствуют расходимости при к-й-> 0; 2) условие минимальности классического действия фиксирует произвольный вектор в формализме Званзигера.

На первый взгляд полученный результат можно было бы интерпретировать также в терминах фотонного пропагатора. А именно, можно было бы попытаться определить статический пропагатор фотона Ю(к2) как обычно:

П(Р) = I щ^{Щехр{гк-й). (33)

Найти О (к2), используя (32), не составляет труда. Казалось бы, релятивистский пропагатор фотона следует отсюда непосредственной заменой к2 —» к2 и добавлением произвольного (в силу сохранения тока) члена О^к^кцку/к2. Таким образом можно было бы получить вполне правдоподобный ответ для фотонного пропагатора Ю(к2) с асимптотикой Б{к2) -> 1/к4 при к2 0.

Но нетрудно видеть, что такой ответ не имеет смысла хотя бы уже потому, что он означает существование потенциала между двумя монополями, линейно растущего с расстоянием и имеющего знак, противоположный знаку потенциала в случае пары монополь-антимонополь. Подобный ответ не имеет физического смысла, и следовательно в абелевой модели Хиггса определить пропагатор фотона со стандартными свойствами как Фурье образ потенциала взаимодействия нельзя. Причина, по-видимому, заключается в том, что потенциал явно учитывает классические решения полевых уравнений, которые могут и не обладать свойством кроссинг-симметрии.

3 Вакуум глюодинамики как дуальный сверхпроводник.

3.1 Решеточный подход в квантовой теории поля.

Решеточные подход занимает выделенное место среди всех известных методов исследований. В определенном смысле решетка позволяет 'гру-

бой силой', но зато исходя из 'первых принципов' численно находить различные корреляторы заданной квантовой теории поля, определенной своим действием S. Объем и шаг решетки в вычислениях, с необходимостью, ограниченны. Кроме того, вычисления происходят в эвклидовом пространстве и аналитическое продолжение в пространство Минковско-го результатов, полученных в ограниченном множестве точек с конечной точностью, не всегда возможно. Таким образом, не всякая физически осмысленная величина может быть вычислена непосредственно. Тем не менее, во многих вопросах решеточные методы оказались мощнейшим инструментом, пожалуй самый яркий такой пример - вычисление масс адронов. Конечно же, существует великое множество других феноменологически важных задач, где решеточные вычисления просто незаменимы.

К сожалению, практически на решетке доступно рассмотрение только самых низколежащих возбуждений адронов. Кроме того, решеточные предсказания ограничены достаточно простыми физическими системами: даже расчет параметров дейтерия все еще не доступен современным компьютерам. Поэтому совершенно необходимо сочетание решеточных вычислений с аналитическими методами. Компьютер сам по себе играет роль 'черного ящика': для понимания и интерпретации полученных результатов необходимо владеть физикой происходящего. И наоборот, решетка является мощнейшим инструментом проверки нашего понимания физики. В противоположность 'настоящей' природе, на решетке можно изменить массы кварков, число цветов, температуру, объем, размерность пространства-времени, граничные условия для лучшего понимания модели, для проверки ее различных аспектов. Вместо косвенного вычисления параметров в 'настоящем' эксперименте, вполне возможно их вычисление напрямую в эксперименте численном.

Действие решеточной КХД формулируется в явно калибровочно инвариантном виде и приближается к действию КХД в континууме при при стремлении к 0 шага решетки. Предел нулевого шага в идеальной ситуации необходимо брать при фиксированном физическом размере решетки, La = const, и только затем исследовать термодинамический предел L оо. На практике для большинства адроных процессов шаг решетки а < 0.1/ш уже достаточно близок к непрерывному пределу; для расчета же основных состояний мезонов и барионов вполне достаточно решетки размера La ~ 2.

Вакуумное ожидание некоторого оператора 0(и,"ф,-ф) находится не-

посредственным вычислением функционального интеграла:

<0>У [du] [d-ф] [#] Ö(U, ф, ф)е~3(и>^ (34)

Нормировочный фактор 2 таков, что < i >= 1. Интеграл высокой размерности (34) вычисляется методом Монте-Карло как среднее по ансамблю из п представительных полевых конфигураций {U^ ,ф^г\фЩ,1 = 1 ,...,п. Таким образом, результат измерения не является точным, статистические ошибки ведут себя в общем случае как 1 /\/п: чем дольше длится измерение, тем точнее полученный ответ. Следовательно, можно говорить о 'решеточных измерениях' и 'решеточных экспериментах' по аналогии с экспериментами 'настоящими'.

Из сказанного выше следует, что решеточный подход является удобным методом непертурбативных вычислений. Более того, этот подход начинает играть все более возрастающую роль в нашем понимании структуры КХД вакуума, и в частности, понимании явления невылетания цвета.

В действительности, конфайнмент в КХД благодаря образованию трубки хромоэлектрического потока между цветными зарядами - давно установленный на решетках факт. На Рис.5,6, взятых из работы [14], показано распределение плотности действия, измеренного в единицах натяжения струны, вокруг двух статических цветных зарядов при расстоянии между ними равном lfm, и 1.35fm соответственно.

В целом решеточные данные дают очень ценную для понимания физики конфайнмента информацию.

Рис. 5.

Рис. 6.

3.2 Метод абелевых проекций.

Вскоре после появления КХД т'Хофт [3] и Мандельстам [4] предложили для объяснения конфайнмента теорию дуальной сверхпроводимости. Предположено было, что вакуум хромодинамики ведет себя аналогично обычному сверхпроводнику, но магнитные и электрические поля меняются местами: вместо конденсата куперовских пар в обычном сверхпроводнике вакуум КХД характеризуется конденсатом магнитных монополей. Если в такую среду внести электрическую пару заряд-антизаряд, электрическое поле между ними сожмется в струноподобный AHO вортекс, приводя к линейному конфайнменту электрических зарядов.

В действительности, во всех теоретико-полевых моделях, где кон-файнмент удалось доказать, а именно в компактной U( 1) калибровочной теории с действием Виллейна [16], в модели Джорджи-Глешоу [17], в суперсимметричной теории Янга-Миллса [18], реализуется именно такой механизм. Но до того, как такой механизм невылетания может быть применен к КХД или к SU(NC) хромодинамике, необходимо выделить соответствующие динамические переменные; электромагнитная дуальность U( 1) калибровочной теории не обобщается на случай SU(NC) непосредственно. Как определить электрические поля калибровочно инвариантным способом? Какие поля являются дуальными к электрическим? Каков параметр порядка в фазовом переходе конфайнмент-деконфайнмент? Нарушение какой симметрии происходит при этом? В конце концов нам необходима эффективная низкоэнергетическая теория, которая соответствует теории Гинзбурга-Ландау в обычном сверхпроводнике.

Ответить на все эти вопросы непросто. В теории Джорджи-Глешоу ¿>0(3) калибровочная симметрия нарушается до U(l), так как вакуумное ожидание поля Хиггса становится ненулевым. В этой оставшейся эффективной С/ (1) теории реализуется стандартная электромагнитная дуальность, приводя к невылетанию. Подобного механизма нет в КХД, но можно попытаться нарушить SU(NC) до абелевой симметрии 'руками'. Именно так было предложено идентифицировать монополи в U(l)Nc l диагональной подгруппе SU(Nc) калибровочной теории после фиксации калибровки по отношению к недиагональным SU(Nc)/U(l)Nc~l степеням свободы (абелевая проекция).

3.3 Формулировка т'Хофта.

В общем случае абелевая проекция определяется диагонализацией произвольного калибровочно неинвариантного оператора X, X = преобразующегося по присоединенному представлению калибровочной группы:

X ->• Ха = = ¿^(Х^х), ...,ХМс(х)), (35)

где а = 1,..., — 1 - генераторы в фундаментальном представлении.

После того, как X диагонализирован в каждой точке, остается абелевая калибровочная симметрия по подгруппе и(1)Мс~1, так как Ха инвариантен при преобразованиях (35) с

Щх) = 6 г7(1)ЛГс-1

(36)

Е Фа = 0

а=1

В выбранной калибровке новые (калибровочно преобразованные) потенциалы Ац = — гдц)£1 ведут себя по-разному по отношению к нефиксированной подгруппе ?7(1)ДГс~1. Для диагональных компонент:

(37)

в то время как для недиагональных:

(38)

ВЦ

В этих формулах легко узнать закон преобразования абелевого калибровочного поля (37) и поля материи (38) в С/^)^-1 теории. Другими словами, абелевая проекция позволяет свести неабелевую калибровочную теорию к абелевой, при этом недиагональные глюоны становятся заряженными полями материи.

Предположим теперь, что в какой-то точке ж0 оператор X имеет совпадающие собственные значения и рассмотрим для простоты случай ЛГС = 2. Для X = таХа собственные значения легко находятся

Ах,2 = ±\/Х«Ха (39)

и условие их совпадения имеет вид:

Ха = 0 а = 1.....3 (40)

Эти три условия выделяют в четырехмерном пространстве одномерное многообразие, где преобразование (35) становится сингулярным. Легко показать, что существует невырожденная замена координат у(х), приводящая оператор X в окрестности точки Xq к виду X = тауа. В сферических (по отношению к у) координатах X принимает вид:

( cosO sin9 e~i(t> \ ( ,

sin 9 е^ -cos 9 ) { }

Преобразование, диагонализирующее X в окрестности точки xq, есть:

( cos0/2 е"4* -sin9/2 \ . .

\ sin 9/2 cos 9/2 е®^ J К >

и новые потенциалы: Ац = 0,+АцС1 — iQ+dflГ2.

Если первоначальные поля А^ были регулярны, то величина также является регулярной. С другой стороны, при Г2 из (42) выражение —¿П+сЭцП содержит особенности, что можно увидеть следующим образом.

Рассмотрим интеграл

Ф = ^ (-Ш+0Д}) dx» (43)

с

по замкнутому контуру С. Ф может быть интерпретировано как поток цветного магнитного поля сквозь контур С. Выберем контур так, чтобы г = const, 9 = const, 0 < ф < 2-к. Тогда:

(44)

= -2тг cos2 |г3 = -2тг(1 + cos 0)^

Заметим теперь, во-первых, что величина Ф диагональна и следовательно определяет магнитный поток абелевого калибровочного поля. Во-вторых, Ф остается остается конечным даже в пределе 9 —> 0, то

есть при стягивании контура С в точку. Следовательно, соответствующее магнитное поле имеет ¿-функциональную особенность при 9 = 0 и калибровочное поле сингулярно на этой линии. Выражение (44) удобно переписать в виде:

где первый член есть ни что иное как поток магнитного поля монополя, а второй представляет собой струну Дирака.

Существует доказательство того, что монополи неизбежно появляются при фиксации любой абелевой калибровки. Основано это доказательство на том простом факте, что группа остаточной калибровочной симметрии всегда компактна. Таким образом, после фиксации абелевой калибровки КХД может быть представлена как теория взаимодействующих фотонов, монополей и полей материи (недиагональные глюоны и кварки). Можно предположить, что недиагональные компоненты калибровочного поля не влияют существенно на физику больших расстояний. Это предположение известно как абелевая доминантность [19].

3.4 Максимальная Абелевая Проекция. 3.4.1 Процедура фиксации калибровки.

Как указывалось выше, выбор оператора X, определяющего абелевую проекцию, неоднозначен. В своей первоначальной работе т'Хофт предполагал, что механизм дуальной сверхпроводимости должен быть справедлив в любой абелевой проекции. По всей видимости это не так, по крайней мере решеточные вычисления показывают справедливость механизма дуальной сверхпроводимости всего лишь в нескольких проекциях (хотя существует и другое мнение, см. например [21]). Наиболее популярная из обсуждаемых проекций это так называемая максимальная абелевая проекция [22, 24], МаА, являющаяся явно перенормируемой и определяющаяся для калибровочной группы 5С7(2) максимизацией функционала:

(45)

тах

Я[А% ЩА] = - / {(^)2 + (А2)2}

(46)

Аа = А"та

■м

где т° - матрицы Паули. Условием экстремальности функционала Я [А] является:

[д(1±1дА1)А± = О, (47)

где А^ = А*±г'А2. Очевидно, что это условие так же как и сам функционал В,[А] инвариантны при 11(1) калибровочных преобразованиях Пг/(1) =

Стандартный метод фиксации калибровки заключается в подстановке 'единицы' Фаддеева-Попова:

1 = Д мал [А; Л]-1ЪП (48)

в статистическую сумму теории. Затем необходимо рассмотреть предел Л —> +оо, что соответствует максимизации функционала (46) по отношению ко всем калибровочным преобразованиям. Таким образом:

£ ОС гМаА = ЛИт^ I Т>ААМаЛ [А; Л] е^ум[А]+хк[А] (49)

Детерминант Фаддеева-Попова дается выражением: А'М\А[А-,Х} =

= / 2X2 ехр ( -Л / с14х £ - Ш+д1Д]а)2 1 =

[ 0=1,2 J

2тт

= / Vф • / Х>п е_А5®-/ И:"]

о П2=1

(50)

где и( 1) степень свободы ф явным образом факторизуется,

п° = ^Тг [п+га0г3] а = 1,2,3 (51)

и фиксирующее калибровку действие

[А; п} = I (В»(А)п)2 [В„(А)п]а = д»па - еаЬсА\пс (52)

есть ни что иное, как действие 0(3) нелинейной а-модели во внешнем калибровочном поле

Таким образом, детерминант Фаддеева-Попова обратно пропорционален статистической сумме 0(3) нелинейной сг-модели во внешнем калибровочном поле А®.

3.4.2 Абелевые наблюдаемые.

Рассмотрим квантовое среднее [/(1) инвариантного оператора за-

висящего только от тензора напряженности абелевого калибровочного поля = - дуА\\

< >МаА= • \jmJVAkMaA\A-\]-

(53)

.ехр{-5гм[А] - А^А;^3]} где мы воспользовались очевидным соотношением

= (54)

Сдвигая переменные А А^ и интегрируя по всем калибровочным преобразованиям О, получаем:

< >мал=< [А] > (55)

где квантовое среднее с правой стороны этого равенства вычисляется в ви(2) калибровочной теории без какой бы то ни было фиксации калибровки. Калибровочно инвариантный оператор 08и^[А] соответствует абелевому оператору и определяется соотношением:

0зЩ2)[а]= Ит АмаА[А-,Х\-

Х-^+оо

(56)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Губарев, Федор Васильевич

8 Заключение и выводы

Существует до сих пор не решенная проблема описания свойств КХД при низких энергиях. С одной стороны, асимптотическая свобода делает неабелевые калибровочные теории единственно возможными кандидатами на роль теории сильных взаимодействий. С другой стороны, никто еще не сумел доказательно показать, что микроскопическая, фундаментальная теория кварков и глюонов действительно приводит к линейному конфайнменту цвета на больших расстояниях.

Данная диссертация посвящена рассмотрению глюодинамики при низких энергиях в специальных калибровках. Показано, что существует целый класс калибровок, в которых инфракрасная КХД поддается описанию в терминах эффективной теории поля.

К основным результатам, полученным в настоящей диссертационной работе, относятся:

• В абелевой модели Хиггса (простейшей модели, в которой как и в глюодинамике существуют струноподобные полевые конфигурации) найден потенциал взаимодействия монополь-антимонопольной пары, исходя из струнного представления теории. Показано, что из самого факта существования струн в АМХ следует вывод о невозможности определения фотонного пропагатора со стандартными свойствами. Найденный факт имеет, по-видимому, непосредственную применимость к КХД.

• Выведено явно калибровочно инвариантное определение топологических дефектов (монополей) в максимальной абелевой проекции глюодинамики. Найдено соответствие между монопольными токами в абелевой проекции SU(2) калибровочной теории и топологическим числом ('winding number') 0(3) нелинейной сг-модели во внешнем поле.

• Найдена взаимосвязь классических самодуальных решений полевых уравнений глюодинамики (инстантонов) и абелевых монополей в максимальной абелевой проекции. Как следствие этого показано, что абелевые монополи эффективно являются дионами с флуктуирующим электрическим зарядом.

• Аналитически и численно исследован эффект Ааронова-Бома в теории поля как топологическое взаимодействие, возможно приводящее к невылетанию внешних пробных зарядов. Показано, что в рамках 'обычного' эффекта Ааронова-Бома конфайнмент невозможен. Указано на возможное обобщение 'классического' эффекта Ааронова-Бома, которое может привести к невылетанию зарядов.

• Сделана попытка понять успех метода абелевых проекций в глюодинамике на примере гораздо более простых моделей - неабеле-вых спиновых систем. Найдено, что ситуация здесь аналогична ситуации в калибровочных теориях: возникновение массовой щели успешно описывается в терминах абелевых переменных.

Я хотел бы выразить глубокую благодарность тем людям, благодаря которым появилась эта работа. Среди них: Д. Антонов, Э. Ахмедов, П. ван Баал, Б. Л. Дж. Баккер, О. Борисенко, А. И. Веселов, М. И. Высоцкий, Т. П. Галахова, Дж. Гринсайт, М. В. Данилов, А. Ди Джако-мо, Д. И. Дьяконов, Э.-М. Ильгенфриц, К. Зарембо, В. И. Захаров, М. Зубков, Ю. М. Макеенко, А.Ю. Морозов, М. М. Мюллер-Пройсскер, В. А. Новиков, А. Новиков, Д. Озеров, П. Орланд, В. А. Рубаков, Ю. А. Симонов, А. А. Славнов, Я. Смит, Т. Сузуки, Е. С. Суслова, К. А. Тер-Мартиросян, П. Г. Тиняков, Р. Хаймекера, М. Чернодуб, В. Шевченко, А. Шиллера и многие другие. Особенно мне хотелось бы выразить искреннюю признательность моему научному руководителю Михаилу Игоревичу Поликарпову, которому я обязан слишком многим, чтобы даже попытаться выразить это словами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Губарев, Федор Васильевич, 1998 год

Список литературы

[1] D. Gross, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1343; H. D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1346.

[2] G. t'Hooft, The confinement Phenomenon in Quantum Field Theory, 1981 Cargese Summer School Lecture Notes on Fundamental Interactions, Eds. M. Levy and J.-L. Basdevant, NATO Adv. Study Inst. Series B: Phys. vol. 85, p.639 [reprinted in G. t'Hooft, Under the Spell of the Gauge Principle, (W.S., Singapore, 1994), p.514];

[3] G. t'Hooft, in High Energy Physics, ed. A. Zichici (Editrice Compositori, Bologna, 1976).

[4] S. Mandelstam, Phys. Rep. 23 (1976) 245.

[5] A.P. Balachandran, H. Rupertsberger, and J. Schechter, Phys. Rev. Dil (1975) 2260.

[6] A. Jevicki, P. Senjanovic, Phys. Rev. Dil (1975) 860;

J.W. Alcock, M.J. Burfitt, W.N. Cottingham, Nucl. Phys. B226 (1983) 299;

J.S. Ball, A. Caticha, Phys. Rev. D37 (1988) 524.

[7] T. Suzuki, Progr. Theor. Phys. 80 (1988) 929;

S. Maedan, T. Suzuki, Progr. Theor. Phys. 81 (1989) 229; T. Suzuki, Progr. Theor. Phys. 81 (1989) 752.

[8] S. Sasaki, H. Suganuma, H. Toki, Progr. Theor. Phys. 94 (1995) 384.

[9] M. Baker, N. Brambilla, H.G. Dosch, A. Vairo, Phys. Rev. D58 (1998) 034010;

M. Baker, J.S. Ball, F. Zachariasen, Phys. Rev. D51 (1995) 1968.

[10] F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, V.l. Zakharov, Phys. Lett. B438 (1998) 147.

[11] D. Zwanziger, Phys. Rev. D3 (1971) 343;

R.A. Brandt, F. Neri, D. Zwanziger, Phys. Rev. D19 (1979) 1153; M. Blagoevid, G. Senjanovi6, Phys. Rep. 157 (1988) 233.

[12] P. Orland, Nucí. Phys. B428 (1994) 221;

M. Sato, S. Yahikozawa, Nucl. Phys. B436 (1995) 100;

E.T. Akhmedov, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov,M.A. Zubkov, Phys.

Rev. D53 (1996) 2087;

M.I. Polikarpov, U.-J. Wiese, M.A. Zubkov, Phys. Lett. 309B (1993) 133.

[13] E.T. Akhmedov, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, JETP Lett. 67 (1998) 389.

[14] G.S. Bali, The Mechanism of Quark Confinement, Preprint HUB-EP-98/57. Talk given at 3rd International Conference in Quark Confinement and Hadron Spectrum (Confinement III), Newport News, VA, 7-12 Jun 1998.

[15] O.A. Borisenko, M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, JETP Lett. 67 (1998) 553, Phys. Lett. B423 (1998) 130.

[16] T. Banks, R. Myerson, J. Kogut, Nucl. Phys. B129 (1977) 493.

[17] A.M. Polyakov, JETP Lett. 20 (1974) 194;

G. t'Hooft, Nucl. Phys. B79 (1974) 276.

[18] N. Seiberg, E. Witten, Nucl. Phys. B426 (1994) 19.

[19] Z.F. Ezawa, A. Iwazaki, Phys. Rev. D25 (1982) 2681; T. Suzuki, I. Yotsuyanagi, Phys. Rev. D42 (1990) 4257.

[20] T. Suzuki, Prog. Theor. Phys. Suppl, 122, (1996), 75.

[21] A. Di Giacomo, PreprintIFUP-TH 44/98. Talk given at the Fourth Workshop on QCD, The American University of Paris, 1-6 Jun 1998.

[22] G. t'Hooft, Nucl. Phys. B190 (1981) 455.

[23] J.D. Stack, R.J. Wensley, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 21;

H. Shiba, T. Suzuki, Phys. Lett. B333 (1994) 461.

[24] A.S. Kronfeld, G. Schierholz, U.J. Wiese, Nucl. Phys. B293 (1987) 176; A.S. Kronfeld, M. Laursen,G. Schierholz, U.J. Wiese, Phys. Lett. B198 (1987) 516.

[25] L. Polley, U.J. Wiese, Nucl. Phys. B356 (1991) 629.

[26] M.I. Polikarpov, L. Polley, U.J. Wiese, Phys. Lett. B253 (1991) 212.

[27] S. Hioki et. al., Phys. Lett. B272 (1991) 326.

[28] J.D. Stack, S.D. Neiman, R.J. Wensley, Phys. Rev. D50 (1994) 3399.

[29] G. Bali, V.G. Bornyakov, M. Müller-Preussker, K. Schilling, Phys. Rev. D54 (1996) 2863.

[30] J.D. Stack, S.D. Neiman, Phys. Lett. B377 (1996) 113.

[31] J.D. Stack, R.J. Wensley, S.D. Neiman, Phys. Lett. B385 (1996) 261; J.D. Stack, Nucl. Phys. Proc. Suppl.B53 (1997) 524.

[32] K. Yee, Nucl. Phys. Proc. Suppl.B34 (1994) 189.

[33] S. Kitahara, Preprint: KANAZAWA-96-12.

[34] S. Ejiri, Nucl. Phys. Proc. Suppl.B53 (1997) 491.

[35] T. Suzuki, S. Kitahara, T. Okude, F. Shoji, K. Moroda, O. Miyamura, Nucl. Phys. Proc. Suppl.B47 (1996) 374;

T. Suzuki, Preprint: KANAZAWA-96-08.

[36] V. Singh, R.W. Haymaker, D.A. Browne, Phys. Rev. D47 (1993) 1715.

[37] G.S. Bali, C. Schlichter, K. Schilling, Preprint: HLRZ 05/98, WUP-TH 05/98, HUB-EP 98/11.

G.S. Bali, C. Schlichter, K. Schilling, Nucl.Phys.Proc.Suppl., 63 (1998) 519.

[38] Y. Matsubara, S. Ejiri, T. Suzuki, Nucl.Phys.Proc.Suppl., B34 (1994) 176.

[39] J. Fröhlich, P.A. Marchetti, Europhys. Lett. 2 (1986) 933.

[40] M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, Nucl.Phys.Proc.Suppl, B49 (1996) 307.

[41] M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, Phys. Lett. B399 (1997) 267.

[42] T. Kennedy, C. King, Comm. Math. Phys. 104 (1986) 327.

[43] N. Nakamura, V.G. Bornyakov, S. Ejiri, S. Kitahara, Y. Matsubara, T. Suzuki, Preprint: KANAZAWA-96-16, Nucl.Phys.Proc.SuppL, B53 (1997) 512.

[44] A. Di Giacomo, Proceedings of the Workshop 'Confinement, Duality and NonPerturbative Aspects of QCD', Cambridge (UK), 24 June - 4 July 1997.

[45] L. Del Debbio, A. Di Giacomo, G. Paffuti, P. Pieri, Phys. Lett. B355 (1995) 255.

[46] A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.S. Schwartz, Yu.S. Tyupkin, Phys. Lett. B59 (1975) 85

[47] T. Schaefer, E. Shuryak,Rev.Mod.Phys.70 (1998) 323-426;

J.W. Negele, Tnstantons, the QCD Vacuum, and Hadronic Physics', Plenary talk given at 16th International Symposium on Lattice Field Theory (LATTICE 98), Boulder, CO, 13-18 Jul 1998.

[48] G. t'Hooft, Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 8, Phys. Rev. D14 (1976) 3432, Phys. Rev. D18 (1978) 2199(E).

[49] C.G. Callan, R. Dashen, D.J. Gross, Phys. Rev. D17 (1978) 2717, Phys. Rev. D19 (1979) 1826.

[50] R.D. Carlitz, D.B. Creamer, Ann. of Phys. 118 (1979) 118.

[51] M.A. Shifman, A.I. Vanshtein, V.l. Zakharov, Nucl. Phys. B147 (1979) 385,448,519.

[52] E.V. Shuryak, Nucl. Phys. B203 (1982) 93,116,140, Nucl. Phys. B302

(1988) 559,599, Nucl. Phys. B319 (1989) 521,541, Nucl. Phys. B328

(1989) 85,102;

D.I. Dyakonov, V.Yu. Petrov, Nucl. Phys. B245 (1984) 259, Nucl. Phys. B272 (1986) 457.

[53] M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, JETP Lett. 62 (1995) 100.

[54] M.K. Passard, C.M. Sommerfeld, Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 760;

E.B. Bogomol'nyi, Sov. J. Nucl. Phys., 24 (1976) 449.

[55] P. Rossi, Phys. Rep. 86 (1982) 317.

[56] J. Smit, A. van der Sijs, Nucl. Phys. B355 (1991) 603.

[57] A. Hart, M. Teper, Phys. Lett. B371 (1996) 261.

[58] R.C. Brower, K.N. Orginos, C.-I. Tan, Phys. Rev. D55 (1997) 6313; R.C. Brower, K.N. Orginos, C.-I. Tan, Nucl. Phys. Proc. Suppl., B53

(1997) 488.

[59] M. Feurstein, H. Markum, S. Thurner, In QCD Phase Transitions, ed. by H. Feldmeier, J. Knoll, W. Norenberg, J. Wambach. GSI, 1997. 458p.

[60] H. Suganuma, S. Umisedo, S. Sasaki, H. Toki, O. Miyamura, Austral. J. Phys., 50 (1997) 233.

[61] S. Thurner, H. Markum, E.M. Ilgenfritz, M. Müller-Preussker, Preprint: KANAZAWA-98-16.

A. Hart, M. Teper, Phys. Rev. D58 (1998) 014504;

M. Feurstein, H. Markum, S. Thurner, Nucl. Phys. Proc. Suppl., B63

(1998) 477;

M. Feurstein, H. Markum, S. Thurner, Nucl. Phys. Proc. Suppl., B64 (1998) 502.

[62] M. Fukushima, H. Suganuma, A. Tanaka, H. Toki, S. Sasaki, Nucl. Phys. Proc. Suppl, B63 (1998) 513;

B.L.G. Bakker, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 30;

S. Thurner, M.C. Feurstein, H. Markum, Phys. Rev. D56 (1997) 4039; S. Sasaki, O. Miyamura, Preprint YTIP-97-35.

[63] M. Feurstein, H. Markum, S. Thurner, Phys. Lett. B396 (1997) 203;

S. Thurner, M. Feurstein, H. Markum, W. Sakuler, Phys. Rev. D54 (1996) 3457;

H. Markum, W. Sakuler, S. Thurner, Nucl. Phys. Proc. Suppl, B47 (1996) 254.

[64] V. Bornyakov, G. Schierholz, Phys. Lett. B384 (1996) 190.

[65] F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, M.N. Chernodub, A.I. Veselov, Progr. Theor. Phys. Suppl 131 (1998) 309;

B.L.G. Bakker, M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, Nucl.Phys.Proc.Suppl.59 (1997) 229. M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, Nucl.Phys.Proc.Suppl.63 (1998) 516.

[66] G. Mack, V.B. Petkova, Ann. Phys. (NY) 123 (1979) 442; G. Mack, V.B. Petkova, Z. Phys. C12 (1982) 177;

L.G. Yaffe, Phys. Rev. D21 (1980) 1574; E.T. Tomboulis, Phys. Rev. D23 (1981) 2371; T. Yoneya, Nucl. Phys. B205 (1982) 130; J.M. Cornwall, Phys. Rev. D26 (1979) 1453;

G. Holliday, A. Schwimmer, Phys. Lett. B101 (1981) 327.

[67] T.G. Kovacs, E.T. Tomboulis, Phys. Rev. D57 (1998) 4054;

T.G. Kovacs, E.T. Tomboulis, Nucl. Phys. Proc. Suppl. B63 (1998) 534;

E.T. Tomboulis, Phys. Lett. B303 (1993) 103;

E.T. Tomboulis, Nucl. Phys. Proc. Suppl B34 (1994) 192.

[68] R.V. Gavai, M. Manu, Preprint: TIFR/TH/98-28, UTCCP-P-41, SNB 98-07-05;

M. Grady, Preprint: SUNY-FRE-98-09.

[69] L. Del Debbio, M. Faber, J. Giedt, J. Greensite, S. Olejnik, Phys. Rev. D58 (1998) 094501;

L. Del Debbio, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, Phys. Rev. D55 (1997) 2298.

[70] K. Langfeld, H. Reinhardt, O. Tennert, Phys. Lett. B419 (1998) 317; K. Langfeld, H. Reinhardt,M. Engelhardt, O. Tennert, Phys. Lett. B431 (1998) 141;

P.W. Stephenson, Preprint: IFUP-TH 27/98.

[71] S. Cheluvaraja, Phys. Rev. D58 (1998) 074508;

P. Majumdar, H.S. Sharatchandra, Phys. Rev. D58 (1998) 067702;

H.S. Sharatchandra, Preprint: imsc/98/06/30.

[72] L. Faddeev, A.J. Niemi, Preprint: PP-TH-0114; M. Mathur, Preprint: SNB/98-07-06;

H.-M. Chan, T.S. Tsun, Phys. Rev. D57 (1998) 2509, Phys. Rev. D51 (1995) 7040.

[73] T. DeGrand A. Hasenfratz, T. Kovacs, Nucí Phys. B478 (1997) 417; R. Narayanan, H. Neuberger, Nucl. Phys. B412 (1994) 574.

[74] R. Narayanan, R Vranas, Nucl. Phys. B506 (1997) 373;

Ph. De Forcrand, M. Garcia Perez, I.-O. Stamatescu, Nucl. Phys. B499 (1997) 409;

B. Alies, M. D'Elia, A. Di Giacomo, Phys. Lett. B412 (1997) 119.

[75] Yu.A. Siraonov, Phys. Usp. 39 (1996) 313;

H.G. Dosh, Yu.A. Simonov, Phys. Lett. B205 (1988) 339.

[76] G. t'Hooft, Nucl. Phys. B138 (1978) 1.

[77] G. Mack, in Recent Developments in Gauge Theories, ed. G. t'Hooft (Plenum, New York, 1980);

H.B. Nielsen, P. Olesen, Nucl. Phys. B160 (1979) 380; J. Ambj0rn, P. Olesen, Nucl. Phys. B170 (1980) 60,265.

[78] J. Ambj0rn, B. Felsager, P. Olesen, Nucl. Phys. B175 (1980) 349; P. Vinciarelli, Phys. Lett. B78 (1978) 485;

J.M. Cornwall, Nucl. Phys. B157 (1979) 392.

[79] R.P. Feynman, Nucl. Phys. B188 (1981) 479.

[80] Y. Aharonov, D. Bohra, Phys. Rev. 115 (1959) 485.

[81] A.M. Polyakov, Phys. Lett. A3 (1988) 325;

C.-H. Tze, Int. J. Mod. Phys. 3A (1988) 1959;

G.T. Horowitz, M. Srednicki, Commm. Math. Phys. 130 (1990) 83.

[82] A.Yu. Alekseev, S.L. Shatashvili, Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 1551.

[83] M.D. Frank-Kamenetskii, A.V. Vologodskii, Usp. Fiz. Nauk 134 (1981) 641.

[84] M.G. Alford, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 1071; L.M. Kraus, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 1221;

M.G. Alford, J. March-Russell, F. Wilczek, Nucl. Phys. B337 (1990) 695;

J. Preskill, L.M. Kraus, Nucl. Phys. B341 (1990) 50; E.T. Akhmedov et all., Phys. Rev. D53 (1996) 2097.

[85] M.G. Alford, J. March-Russel, Nucl. Phys. B369 (1992) 276;

F.A. Bais, A. Morozov, M. de Wild Propitius, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 2383;

H.-K. Lo, Phys. Rev. D52 (1995) 7247.

[86] M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Phys. Lett. B432 (1998) 182;

M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, Phys. Lett. B416 (1998) 379;

M. Chavel, Phys. Lett. B378 (1996) 227.

[87] M.I. Polikarpov, U.-J. Wiese, M.A. Zubkov, Phys. Lett. B309 (1993) 133;

[88] M.G. Alford, K.-M. Lee, J. March-Russell, J. Preskill, Nucl. Phys. B384 (1992) 251.

[89] F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, M.N. Chernodub, JETP Lett. 63 (1996) 516, Phys. Lett. B416 (1998) 379-384, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 53 (1997) 581.

[90] V.L. Beresinskii, Sov. Phys. JETP 32 (1970) 493;

J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless, J. Phys. C6 (1973) 1181.

[91] C.G. Callan, R. Dashen, D.J. Gross, Phys. Lett. B66 (1977) 375.

[92] M.N. Chenodub, M.I. Polikarpov, In Non-Perturbative Approaches to Quantum Chromodynamics, ed. D. Diakonov, Gatchina, 1995, p. 183.

[93] S. Samuel, Nucl. Phys. B154 (1979) 62.

[94] T.G. Kovacs, Nucl. Phys. B482 (1996) 613.

[95] Dong-Shin Shin, Preprint MPI-PhT/96-116.

[96] P. Hasenfratz, M. Maggiore, F. Niedermayer, Phys. Lett. B245 (1990) 522.

[97] M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, Phys. Lett. B342 (1995) 303.

[98] A.V. Pochinsky, M.I. Polikarpov, B.N. Yurchenko, Phys. Lett. A154 (1991) 194.

[99] P. Becher, H. Joos, Z. Phys., C15, (1982), 343; A.H. Guth, Phys. Rev. D21 (1980) 2291.

[100] A.T. Фоменко, Д.Б. Фукс, 'Курс Гомотопической Топологии', Москва, 'Наука', 1989.

[101] M.I. Polikarpov, U.J. Wiese, preprint HLRZ-90-78 (1990);

A.K. Bukenov, M.I. Polikarpov, A.V. Pochinskii, U.J. Wiese, Phys. Atom. Nucl. 56 (1993) 122.

[102] H.A. Kramers, G.H. Wannier, Phys. Rev. 60 (1941) 252.