Некоторые непертурбативные аспекты теории Янга - Миллса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Козлов, Игорь Евгеньевич

• Козлов, Игорь Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козлов, Игорь Евгеньевич

1 Введение

2 Ежеобразные петли Вильсона и фазовый переход в КХД

2.1 Полевые дефекты

2.1.1 Модель Гинзбурга-Ландау

2.1.2 Модель Джорджи-Глешоу.

2.1.3 Абелевы монополи.

2.2 Петля Вильсона

2.2.1 Модель Янга-Миллса.

2.2.2 Определение и свойства петли Вильсона.

2.3 Ежеобразная петля Вильсона.

2.3.1 Определение ежеобразной петли Вильсона.

2.3.2 Пример ежеобразной петли Вильсона.

2.3.3 Ежеобразная петля Вильсона, как полевой дефект

2.4 Параметры порядка.

2.4.1 Линия Полякова.

2.4.2 Сверхпроводник

2.5 Поведение статичных ежеобразных линий.

2.5.1 Эффективная теория линий Полякова.

2.5.2 Ожидаемое поведение ежеобразных линий Полякова

2.6 Оператор плотности ежеобразных петель Полякова.

2.6.1 Непрерывный предел.

2.6.2 Переход на язык решеточного формализма.

2.7 Вычисления на решетке.

2.7.1 Общие сведения

2.7.2 Поведение статичных линий Вильсона.

2.7.3 Результаты решеточных вычислений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые непертурбативные аспекты теории Янга - Миллса»

3.2 Метод вакуумных корреляторов.61

3.2.1 Определение вакуумных корреляторов.61

3.2.2 Обоснование метода вакуумных корреляторов . 62

3.2.3 Стохастический и когерентный вакуум .64

3.2.4 Гауссова доминантность и эффект Казимира.65

3.3 Двухточечный коррелятор .66

3.3.1 Процедура охлаждения.67

3.3.2 Длинные линии Швингера .70

3.3.3 Структура двухточечного коррелятора.72

3.4 Расчет топологической восприимчивости.73

3.4.1 Коррелятор квадрата топологической плотности . 73

3.4.2 Свойства коррелятора квадрата топологической плотности .75

3.4.3 Численная оценка величины топологической восприимчивости .79

3.5 Заключение.80

4 Хромоэлектрические струны и распределение плотности топологического заряда 82

4.1 Введение.82

4.2 Пробники и метод вакуумных корреляторов .83

4.3 Глюонный конденсат в окрестности струны.85

4.3.1 Определение пробника глюонного конденсата.85

4.3.2 Распределение глюонного конденсата в окрестности струны.86

4.4 Плотность топологического заряда в окрестности струны . . 88

4.4.1 Определение пробника плотности топологического заряда .88

4.4.2 Распределение плотности топологического заряда в окрестности струны.89

4.5 Структура струны.90

4.6 Заключение.91

5 Нарушение киральной симметрии и конденсация монополей в КХД 92

5.1 Введение.92

5.2 Модель дуального сверхпроводника для инфракрасной КХД 93

5.2.1 Недиагональные глюоны и взаимодействие монополей 93

5.2.2 Исходные и дуальные калибровочные поля в U(l) случае 96

5.2.3 Модель дуального сверхпроводника для КХД.100

5.3 Фермионный конденсат в дуальном сверхпроводнике . 103

5.3.1 Производящий фермионный функционал.103

5.3.2 Решение методом перевала.106

5.3.3 Действие на решениях уравнений движения .111

5.4 Заключение.112

6 Заключение 114

Список литературы 116

А Уравнения на фермионную собственную энергию Е 126

В Вычисление фермионного действия S[А, В, С] 131

1 Введение

Квантовая хромодинамика (КХД) занимается описанием сильных взаимодействий. Лагранжиан КХД описывает взаимодействие глюонов - неа-белевых калибровочных полей, переносчиков сильного взаимодействия, с кварками. Теоретическая модель не только хорошо предсказывает экспериментальные данные, но и является примером внутренне согласованной полевой теории [1], [2].

Для описания процессов с участием сильного взаимодействия чаще всего используются пертурбативные методы такие, как диаграммная техника. Их применение базируется на использовании характерного свойства КХД, известного как асимптотическая свобода [3], [4], и заключающегося в уменьшении значения бегущей константы связи КХД с ростом энергии. Следует отметить значительные успехи, достигнутые в описании процессов сильно-взаимодействующих систем при высоких энергиях. Однако, в инфракрасном диапазоне энергий возможности пертрубативных методов, основанных на разложение по малой константе связи, как по малому параметру, сталкиваются с существенными ограничениями, вызванными ростом бегущей константы связи при уменьшении энергии.

Например, известно, что природа спектра масс адронов, то есть частиц, составленных из фундаментальных полей КХД, имеет сугубо непертурба-тивный характер. В частности, масса пи-мезона: где С - некоторая -размерная константа, a as - сильная константа связи. Указанная зависимость демонстрирует принципиальную невозможность использования пертурбативных методов для исследования определенных задач, связанных с теорией сильных взаимодействий. По этой причине актуально развитие так называемых непертурбативных методов, позволяющих исследовать характерные для КХД эффекты в инфракрасном диапазоне энергий, чему и посвящена данная работа. В данной работе мы интересовались вопросами, связанными с изучением фазового перехода конфайнмент - деконфайнмент (глава 2), топологических свойств КХД вакуума (гла

1.1) вы 3, 4), эффектов спонтанного нарушение киральной симметрии и кон-файнмента цвета (глава 5). В ходе исследования применялись как уже известные и зарекомендовавшие себя методы описания и исследования непер-турбативных свойств КХД вакуума (главы 3, 4, 5), так и сравнительно новые (глава 2). Актуальность рассмотрения упомянутых эффектов обусловлена их тесной связью с наблюдаемым экспериментально поведением сильновзаимодействующих систем и будет более подробно обсуждаться ниже, в начале каждой главы, а сейчас остановимся на кратком общем описании КХД и некоторых из ее характерных особенностей.

Спектр фундаментальных полей (частиц) КХД следующий:

• 8 глюонов, представляющих собой калибровочное поле теории и лежащих в присоединенном представлении неабелевой калибровочной группы симметрий SU(3),

• 18 кварков (с учетом цветности), представляющих собой поля материи и преобразующихся по фундаментальному представлению калибровочной группы симметрий SU(3).

Неабелевую калибровочную группу SU(3) часто также называют цветной.

Нарушение киральной симметрии и удержание ("конфайнмент") цветных зарядов внутри адронов являются одними из самых интересных эффектов КХД. Аналитические методы не позволяют объяснить эти явления исходя из первых принципов теорци, так как их природа сугубо непертур-бативна.

Конфайнмент цвета проявляется в потенциале взаимодействия между фундаментальными цветными зарядами, кварком и антикварком, в виде слагаемого, линейно растущего с расстоянием R между зарядами,

V = aR + ., (1.2) где коэффициент пропорциональности а, называемый "натяжением КХД струны", является размерной величиной (ее размерность - масса2). Из-за ненулевой физической размерности натяжения струны получить аналитическую формулу для ее вычисления в виде ряда теории возмущений по степеням константы связи невозможно, что подчеркивает непертурбатив-ную природу конфайнмента.

Киральная симметрия в КХД с безмассовыми фермионами ф(х) реализуется как симметрия лагранжиана КХД относительно глобальных £7(1) преобразований, ф(х) —» ехр(ш75)^>(а;). (1.3)

Нарушение киральной симметрии сопряжено с появлением размерной величины кваркового (кирального) конденсата, (ф(х)ф(х)), неинвариантного относительно киральных преобразований. Ненулевая размерность кирального конденсата указывает на непертурбативную природу нарушения киральной симметрии.

Глава 5 посвящена обсуждению возможной связи эффектов конфайн-мента цвета и спонтанного нарушения киральной симметрии.

Возвращаясь к обсуждению свойств КХД, заметим, что неабелевая калибровочная SU(3) симметрия придает КХД следующую отличительную особенность по сравнению с абелевой £7(1) в случае квантовой электродинамики (КЭД). Зарядом в КХД обладают не только материальные поля кварков, как электрон - позитроны в КЭД, но и калибровочные бозоны -глюоны, что не имеет аналогии в КЭД, так как фотоны не несут электрического заряда. Этот факт имеет следующее следствие. В случае КЭД в качестве асимптотических можно рассматривать калибровочно не инвариантные состояния, обладающие зарядом. То есть, например, можно рассматривать рассеяние электрона на электроне, при этом сечение рассеяния такого процесса будет калибровочно-инвариантным. Инвариантность сечения будет обусловлена сохранением абелевого тока. В случае же КХД, то есть неабелевой калибровочной симметрии, аналогичного закона сохранения нет, и в качестве асимптотических состояний могут выступать только бесцветные состояния. Так как начальным и конечным состоянием в задаче рассеяния в КХД могут быть только адроны, то для изучения взаимодействия кварков необходимо рассматривать столкновение адронов, акцентируя при этом внимание на том, как в этом процессе взаимодействуют между собой кварки, входящие в состав рассеиваемых адронов.

Таким образом, представляется целесообразным разрабатывать методы, работающие в рамках формализма бесцветных объектов. Одним из таких известных примеров является формализм петель Вильсона, используемый в главе 2. В главе 2 мы введем в рассмотрение новые физически интересные объекты - ежеобразные петли Вильсона, и покажем, что они, выступая в качестве эффективных степеней свободы, позволяют более наглядно описать динамику смены фаз конфайнмент - деконфайнмент.

В главах 3, 4 мы воспользуемся методом вакуумных корреляторов, представляющим другой хорошо известный пример формализма оперирующего в терминах бесцветных объектов, для того, чтобы изучить топологические свойства вакуума КХД, получить численную оценку величины топологической восприимчивости (глава 3), определить влияние КХД струны на изменение распределений плотности действия и квадрата плотности топологического заряда (глава 4).

Из соображений удобства в главах 2, 3, 4 мы будем работать с глюоди-намикой при рассмотрении присущих КХД непертурбативных эффектов, обусловленных именно динамикой глюонов. Действительно, известно, что конечнотемпературный фазовый переход конфайнмент - деконфайнмент или, что то же самое, вылетание-невылетание цвета имеет место не только в модели "полной" КХД, но и в глюодинамике. Более того, фазовый пере> ход имеет место и в модели глюодинамики с калибровочной группой SU(2). Хотя, кончено, следует отметить тот факт, что изменение калибровочной группы модели приводит к изменению порядка фазового перехода: в глюодинамике с калибровочной группой SU(3) имеет место фазовый переход первого рода, а с калибровочной группой SU(2) - второго рода. В данной работе мы будем рассматривать модель с калибровочной группой SU(2), предполагая, что суть механизмов, обуславливающих природу непертурбативных эффектов, мало зависит от размерности калибровочной группы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Козлов, Игорь Евгеньевич

6 Заключение

В диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. В рамках модели дуального сверхпроводника для КХД при нулевой температуре показано, что конденсация монополей, обуславливающая дуальный эффект Мейссиера, необходимый для реализации эффекта удержания цвета, приводит к образованию кваркового конденсата, нарушающего киральную симметрию в пределе безмассовых кварков.

2. При помощи компьютерного моделирования показано, что для модели глюодинамики, описываемой в рамках теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU{2), в фазе деконфайнмента существенно увеличивается плотность термальных ежеобразных линий с центральным зарядом, близким к значению линии Полякова в вакууме.

3. Получена теоретическая оценка коррелятора квадрата топологической плотности и величины топологической восприимчивости при помощи метода вакуумных корреляторов.

4. Показано, что глюонный конденсат и локальная топологическая восприимчивость подавляются в непосредственной близости от оси хро-моэлектрической струны, которая удерживает (анти)кварки в барио-нах и мезонах.

Благодарности

Я хотел бы поблагодарить моего научного руководителя Андрея Алексеевича Славнова и Максима Николаевича Чернодуба за сложно переоцени-мую помощь и внимание к моей работе.

Я признателен официальным оппонентам диссертации Виталию Геннадьевичу Борнякову и Дмитрию Геннадиевичу Левкову за критические замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козлов, Игорь Евгеньевич, 2008 год

1. А.А. Славное, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М., Наука, 1988.

2. Ф. Индурайп, Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов, М., Мир, 1986.

3. D. J. Gross and F. Wilczek, Ultraviolet behavior of nonabelian gauge theories.// Phys. Rev. Lett. 1973. - 30. - c. 1343.

4. H. D. Politzer, Reliable perturbative results for strong interactions.// Phys. Rev. Lett. 1973. - 30. - c. 1346.

5. В. A. Pyбаков, Классические калибровочные поля, М., УРСС, 1999.

6. G. 't Hooft, High energy physics, Bolognia, Editrice Compositori, 1976.

7. S. Mandelstam, Vortices and quark confinement in nonabelian gauge theories.// Phys. Rep. С 1976. - 23. - с. 245.

8. A. M. Polyakov, Quark confinement and topology of gauge groups. // Nucl. Phys. В 1977. - 120. - с. 429.

9. G. H. Derrick, Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles. // J. Math. Phys. 1964. - 5. - c. 1252.

10. Ю. С. Тюпкин, В. А. Фатеев, А. С. Шварц, Топологически нетривиальные частицы в квантовой теории поля. // Письма в ЖЭТФ 1975. - 21. - с. 91.

11. G. 't Hooft, Topology of the gauge condition and new confinement phases in nonabelian gauge theories. // Nucl. Phys. В 1981. - 190. - с. 455.

12. H. Suganuma, S. Sasaki and H. Toki, Color confinement, quark pair creation and dynamical chiral symmetry breaking in the dual Ginzburg-Landau theory. // Nucl. Phys. В 1995. - 435. - с. 207.

13. M. N. Chernodub, A gauge invariant object in nonabelian gauge theory.// Phys. Lett. В 2006. - 634. - с! 255.

14. Е. В. Bogomolny, Stability of Classical Solutions.// Sov. J. Nucl. Phys.- 1976. 24. - c. 449.

15. M. K. Prasad and С. M. Sommerfield, An exact classical solution for the 't Hooft monopole and the Julia-Zee Dyon. // Phys. Rev. Lett. 1975.- 35. c. 760.

16. P. Rossi, Exact results in the theory of nonabelian magnetic monopoles.// Phys. Rept. -1982. 86. - c. 317.

17. M. Пескин, Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Ижевск, Регулярная и Хаотическая Динамика, 2001.

18. В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, К теории сверхпроводимости.// ЖЭТФ- 1950. 20. - с. 1064.

19. R. D. Pisarski, Quark-gluon plasma as a condensate of SU(3) Wilson lines.// Phys. Rev. D 2000, - 62. - c. 111501.

20. J. Engels, J. Fingberg and M. Weber, Finite size scaling analysis of SU(2) lattice gauge theory in (3+l)-dimensions.// Nucl. Phys. В 1990. - 332.- с. 737.

21. V. A. Belavin, M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Hedgehogs in Wilson loops and phase transition in SU(2) Yang-Mills theory. // Nucl. Phys. В- 2006. 748. - с. 524.

22. A. D. Kennedy, J. Kuti, S. Meyer and B. J. Pendleton, Where is the continuum in lattice quantum chromodynamics.// Phys. Rev. Lett. 1985.- 54. c. 87.

23. M.A. Shifman , A.I. Vainshtein and V.I. Zakharov, QCD and resonance physics. Sum rules.// Nucl. Phys. В 1979. - 147. - с. 385.

24. E. Witten, Current algebra theorems for the U(l) Goldstone boson.// Nucl. Phys. В 1979. - 156. - с. 269.

25. G. Veneziano, U(l) without instantons.// Nucl. Phys. В 1979. - 159.- с. 213.

26. P. Di Vecchia, К. Fabricius, G. С. Rossi and G. Veneziano, Preliminary evidence for U(l)-a breaking in QCD from lattice calculations.// Nucl. Phys. В 1981,- 192. - с. 392.

27. M. Campostrini, A. Di Giacomo, H. Panagopoulos and E. Vicari, Topological charge, renormalization and cooling on the lattice.// Nucl. Phys. В 1990. - 329. - с. 683.

28. A. Hart and M. Teper, The topological susceptibility and f(pi) from lattice QCD.// Phys. Lett. В 2001. - 523. - с. 280.

29. С. Bernard, Т. DeGrand, A. Hasenfratz, C. Detar, J. О shorn, S. Gottlieb, E. Gregory, D. Toussaint, A. Hart, U. Heller, J. Hetrick and R. Sugar, Topological susceptibility with the improved Asqtad action.// Phys. Rev. D 2003. - 68. - c. 114501.

30. L. Del Debbio, L. Giusti and C. Pica, Topological susceptibility in the SU(3) gauge theory.// Phys. Rev. Lett. 2005. - 94. - c. 032003.

31. F. V. Gubarev and S. M. Morozov, Lattice gauge fields topology uncovered by quaternionic sigma-model embedding.// Phys. Rev. D 2005. - 72.- c. 076008.

32. S. Durr, Z. Fodor, C. Hoelbling and T. Kurth, Precision study of the SU(3) topological susceptibility in the continuum.// JHEP 2007. - 0704.- c. 055.

33. H. G. Dosch, Gluon condensate and effective linear potential.// Phys. Lett. В 1987. - 190. - с. 177.

34. H. G. Dosch and Yu. A. Simonov, The area law of the Wilson loop and vacuum field correlators.// Phys. Lett. В 1988. - 205. - с. 339.

35. Yu. A. Simonov, Vacuum background fields in QCD as a source of confinement.// Nucl. Phys. В 1988. - 307. - с. 512.

36. A. Di Giacomo, H. G. Dosch, V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, Field correlators in QCD: Theory and applications.// Phys. Rept. 2002. - 372.- c. 319.

37. D. S. Kuzmenko, V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, Vacuum, confinement and QCD strings in the vacuum correlator method.// Phys. Usp. 2004. - 47. - с. 1.

38. D. S. Kuzmenko, V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, The QCD vacuum, confinement and strings in the vacuum correlator method.// hep-ph/0310190.

39. Yu. A. Simonov, The confinement.// Phys. Usp. 1996. - 39. - c. 313.

40. N. G. van Kampen, A cumulant expansion for stochastic linear differential equations.// Physica 1974. - 74. - c. 239.

41. N. G. van Kampen, Stochastic differential equations.// Phys. Rep. С- 1976. 24. - с. 171.

42. M. Campostrini, A. Di Giacomo and G. Mussardo, Correlation length of the vacuum condensate in lattice gauge theories.// Z. Phys. С 1984. - 25.- с. 173.

43. M. Campostrini, A. Di Giacomo and S. Olejnik, On the possibility of detecting gluon condensation from the spectra of heavy quarkonia.// Z. Phys. С 1986. - 31. - с. 577.

44. M. Campostrini, A. Di Giacomo, M. Maggiore, H. Panagopoulos and E. Vicari, Cooling and the string tension in lattice gauge theories.// Phys. Lett. В 1989. - 225. - с. 403.

45. A. Di Giacomo and H. Panagopoulos, Field strength correlations in the QCD vacuum.// Phys. Lett. В 1992. - 285. - с. 133.

46. A. Di Giacomo, Е. Meggiolaro and Н. Panagopoulos, Gauge invariant field correlators in QCD at finite temperature.// Nucl. Phys. В 1997. - 483.- с. 371.

47. G. Bali, N. Brambilla and A. Vairo, A lattice determination of QCD field strength correlators.// Phys. Lett. В 1998. - 421. - с. 265.

48. V Shevchenko and Yu. Simonov, Casimir scaling as a test of QCD vacuum.// Phys. Rev. Lett. 2000. - 85. - c. 1811.

49. G. Bali, Casimir scaling or flux counting?// Nucl. Phys. Proc. Suppl.- 2000. 83. - c. 422.

50. G. Bali, Casimir scaling of SU(3) static potentials.// Phys. Rev. D 2000.- 62. c. 114503.

51. S. Deldar, Static SU(3) potentials for sources in various representations.// Phys. Rev. D 2000. - 62. - c. 034509.

52. S. Deldar, The string tensions of the SU(3) representations.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1999. - 73. - c. 587.

53. L. Del Debbio, H. Panagopoulos, P. Rossi and E. Vicari, К string tensions in SU(N) gauge theories.// Phys. Rev. D 2002. - 65. - c. 021501.

54. L. Del Debbio, H. Panagopoulos, P. Rossi and E. Vicari, Spectrum of confining strings in SU(N) gauge theories.// JHEP 2002. - 0201. - c. 009.

55. B. Lucini and M. Teper, The к = 2 string tension in four dimensional SU(N) gauge theories.// Phys. Lett. В 2001. - 501. - с. 128.

56. В. Lucini and M. Teper, Confining strings in SU(N) gauge theories.// Phys. Rev. D 2001. - 64. - c. 105019.

57. Yu. A. Simonov, Test of the QCD vacuum with the sources in higher representations.// JETP Lett. 2000. - 71. - c. 127.

58. M. D'Elia, A. Di Giacomo and E. Meggiolaro, Field strength correlators in full QCD.// Phys. Lett. В 1997. - 408. - с. 315.

59. Е. М. Ilgenfritz and S. Thurner, Gauge invariant field strength correlators from RG smoothing and color correlations between topological charge clusters.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2000. - 83. - c. 488.

60. E. M. Ilgenfritz and S. Thurner, Field strength correlators and gluon condensates at finite temperature from renormalization group smoothing.// hep-lat 9905012.

61. M. Teper, Cooling and confinement in lattice gauge theory, Oxford, 1989.

62. A. Di Giacomo and E. Meggiolaro, On the dependence of the gauge invariant field strength correlators in QCD on the shape of the Schwinger string.// Phys. Lett. В 2002. - 537. - с. 173.

63. К. Osterwalder and R. Schrader, Axioms for euclidean green's functions.// Comm. Math. Phys. 1973. - 31. - c. 83.

64. E. Stiler and I. O. Stamatescu, Some remarks on the Witten-Veneziano formula for the eta-prime mass.// MPI-Pae/PTh 10/87 (препринт) 1987.

65. E. Seiler, Some more remarks on the Witten-Veneziano formula for the eta-prime mass.// Phys. Lett. В 2002. - 525. - с. 355.

66. E. Meggiolaro, Field strength correlators in QCD: New fits to the lattice data.// Phys. Lett. В 1999. - 451. - с. 414.

67. M. Eidemiiller and M. Jamin, QCD field strength correlator at the next-to-leading order.// Phys. Lett. В 1998. - 416. - с. 415.

68. M. С. Chu, J. M. Grandy, S. Huang and J. W. Negele, Evidence for the role of instantons in hadron structure from lattice QCD.// Phys. Rev. D- 1994. 49. - c. 6039.

69. G. S. Bali, QCD forces and heavy quark bound states.// Phys. Rept.- 2001. 343. - с. 1.

70. G. S. Bali, The mechanism of quark confinement.// hep-ph 9809351.

71. G. S. Bali, C. Schlichter and K. Schilling, Observing long color flux tubes in SU(2) lattice gauge theory.// Phys. Rev. D 1995. - 51. - c. 5165.

72. V.G. Bornyakov, Н. Ichie, Y. Mori, D. Pleiter, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer, H. Stiiben and T. Suzuki, Baryonic flux in quenched and two-flavor dynamical QCD.// Phys. Rev. D 2004. - 70.- c. 054506.

73. R. W. Haymaker, V Singh, Y. C. Peng and J. Wosiek, Distribution of the color fields around static quarks: Flux tube profiles.// Phys. Rev. D- 1996. 53. - c. 389.

74. Т. T. Takahashi, H. Suganuma, Y. Nemoto and H. Matsufuru, Detailed analysis of the three quark potential in SU(3) lattice QCD.// Phys. Rev. D 2002. - 65. - c. 114509.

75. F. Okiharu and R. M. Woloshyn, A study of colour field distributions in the baryon.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2004. - 129. - c. 745.

76. A. M. Green, C. Michael and P. S. Spencer, The structure of flux-tubes in SU(2).// Phys. Rev. D 1997. - 55. - c. 1216.

77. A. M. Green, C. Michael and P. S. Spencer, Sum rules and 2-quark flux-tube structure.// hep-lat 9609019.

78. F. Bissey, F-G. Gao, A. Kitson, B.G. Lasscock, D.B. Leinweber,

79. A.I. Signal, A.G. Williams and J.M. Zanotti, Gluon field distribution in baryons.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2005. - 141. - c. 22.

80. F. Bissey, F. G. Gao, A. R. Kitson, A. I. Signal, D. B. Leinweber,

81. B. G. Lasscock and A. G. Williams, Gluon flux-tube distribution and linear confinement in baryons.// hep-lat 0606016.

82. F. Karsch, SU(N) Gauge theory couplings on asymmetric lattices.// Nucl. Phys. В 1982. - 205. - с. 285.

83. С. Michael, Lattice action sum rules.// Nucl. Phys. В 1987. - 280. - с. 13.

84. Я. G. Dosch, О. Nachtmann and М. Rueter, String formation in the model of the stochastic vacuum and consistency with low-energy theorems.// hep-ph 9503386.

85. H. J. Rothe, A novel look at the Michael lattice sum rules.// Phys. Lett. В 1995. - 355. - с. 260.

86. Я. J. Rothe, Lattice energy sum rule and the trace anomaly.// Phys. Lett. В 1995. - 364. - с. 227.

87. M.N. Chernodub, K. Ishiguro, Y. Mori, Y. Nakamura, M.I. Polikarpov, T. Sekido, T. Suzuki and V.I. Zakharov, Vacuum type of SU(2) gluodynamics in maximally Abelian and Landau gauges.// Phys. Rev. D- 2005. 72. - c. 074505.

88. M. Faber, H. Markum, S. Olejnik and W. Sakuler, Topological charges and confinement in lattice QCD.// Phys. Lett. В 1994. - 334. - с. 145.

89. S. Thurner, M. Feurstein, H. Markum and W. Sakuler, Correlations of topological objects and quarks in hadrons.// Phys. Rev. D 1996. - 54.- c. 3457.

90. M. N. Chernodub and F. V. Gubarev, Confining string and its widening in HP(1) embedding approach.// Phys. Rev. D 2007. - 76. - c. 016003.

91. M. Luscher, G. Munster and P. Weisz, How thick are chromoelectric flux tubes.// Nucl. Phys. В 1981. - 180. - с. 1.

92. M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Topological susceptibility in Yang-Mills theory in the vacuum correlator method.// JETP Lett. 2007. - 86.- c. 1.

93. M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Topological density fluctuations and gluon condensate around confining string in Yang-Mills theory.// Phys. Lett. В 2008. - 661. - с. 220.

94. D. S. Kuzmenko and Yu. A. Simonov, Field distributions in heavy mesons and baryons.// Phys. Lett. В 2000. - 494. - с. 81.

95. D. S. Kuzmenko and Yu. A. Simonov, QCD string in mesons and baryons.// Phys. Atom. Nucl. 2001. - 64. - c. 107.

96. T. Suzuki, Monopoles and confinement.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1993.- 30. c. 176.

97. M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, Confinement, duality and nonperturbative aspects of QCD.// hep-th 9710205.

98. R. W. Haymaker, Confinement 'studies in lattice QCD.// Phys. Rept.- 1999. 315. - c. 153.

99. А. А. Абрикосов, О магнитных свойствах сверхпроводников второго рода.// ЖЭТФ, 1957. - 32. - с. 1442.

100. Т. Suzuki and I. Yotsuyanagi, A possible evidence for Abelian dominance in quark confinement.// Phys. Rev. D 1990. - 42. - c. 4257.

101. H. Shiba and T. Suzuki, Monopoles and string tension in SU(2) QCD.// Phys. Lett. В 1994. - 333. - с. 461.

102. J. D. Stack, S. D. Neiman and R. J. Wensley, String tension from monopoles in SU(2) lattice gauge theory.// Phys. Rev. D 1994. - 50.- c. 3399.

103. H. Shiba and T. Suzuki, Monopole action and condensation in SU(2) QCD.// Phys. Lett. В 1995. - 351. - с. 519.

104. S. Ejiri, S. Kitahara, Y. Matsubara and T. Suzuki, String tension and monopoles in T not = 0 SU(2) QCD.// Phys. Lett. В 1995, - 343.- с. 404.

105. A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz and U. J. Wiese, Monopole condensation and color confinement.// Phys. Lett. В 1987. - 198. - с. 516.

106. A. S. Kronfeld, G. Schierholz and U. J. Wiese, Topology and dynamics of the confinement mechanism.// Nucl.Phys. В 1987. - 293. - с. 461.

107. J. D. Stack and R. Filipczyk, Abelian links, monopoles and glueballs in SU(2) lattice gauge theory.// Nucl. Phys. В 1999. - 546. - с. 333.

108. М. N. Chernodub and F. V. Gubarev, Instantons and monopoles in maximal Abelian projection of SU(2) gluodynamics.// JETP Lett. 1995.- 62. c. 100.

109. S. Thurner, M. C. Feurstein and H. Markum, Instantons and monopoles are locally correlated with the chiral condensate.// Phys. Rev. D 1997.- 56. c. 4039.

110. T. Bielefeld, S. Hands, J. D. Stack and R. J. Wensley, Magnetic monopoles as agents of chiral symmetry breaking in U(l) lattice gauge theory.// Phys. Lett. В 1998. - 416. - с. 150.

111. R. J. Wensley, Monopoles and the chiral phase transition in SU(2) lattice gauge theory.// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1997. - 53. - c. 538.

112. S. Sasaki and O. Miyamura, Lattice study of U(l) anomaly: The role of QCD-monopoles.// Phys. Lett. В 1998. - 443. - с. 331.

113. S. Maedan and T. Suzuki, An infrared effective theory of quark confinement based on monopole condensation.// Prog. Theor. Phys.- 1989. 81. - c. 229.

114. D. Zwanziger, Local Lagrangian quantum field theory of electric and magnetic charges.// Phys. Rev. D 1971. - 3. - c. 880.

115. C. D. Roberts and R. T. Cahill, Dynamically selected vacuum field configuration in massless QED.// Phys. Rev. D 1986. - 33. - c. 1755.

116. M. N. Chernodub and I. E. Kozlov, Chiral symmetry breaking and monopole condensation in QCD.// JETP Lett. 2005. - 81. - c. 245.

117. А Уравнения на фермионную собственную энергию Е

118. В этом приложении рассмотрено интегрирование по угловой части, dQ,^ пространственной переменной g в уравнениях (5.62) и (5.63). Для удобства интегрирования выберем следующую систему координат:

119. Пц — q = (qQ,qsm9coscp,qsm9smcp,qcos9), р = (р0, 0,0,р). (А.1)

120. В этой системе координат обсуждаемые уравнения примут следующий вид:

121. А(ро ,р) l) (joPo + 7зР) + С(ро,р)-уо =dAq D (р ab A{q°,q) + (К 2)где

122. E(qo,q) = A2{qo,q){qt + q2) + 2A(qo,q)C(qo,q)qQ (А.4)1. C2(g0,g) + £2(g0,g).

123. Г 1 \ / 42, (p + g)2 + (po-go)22pg(p0 go)21 (p - g)2 + (po - go)24pg(po go)3(£ - 1 ){p2 -g2 + pl- qp (a ,,p g)2 + Сpo - g0)2)№ + g)2 + (po - go)2) ^ ' ;

124. Теперь приведем явный вид уравнений на стационарную точку (5.62) и (5.63) для случаев калибровок Фейнмана (£ = 1) и Ландау (£ = 0).

125. Калибровка Фейнмана, £ = 1.

126. Mj + (pQ до)2)2 + Сp2 - g2)21 Ml + (p + q)2 + (po - gp)2q + (p — q)2 + (po — go)

127. C(g0,g)^(- 4pg(p0 ,02 - (p2 - ,2))2p2g 4(p g)2 + (po - go)2)((p + g)2 + (po - go)2) (p + g)2 + (po - go)2 |1. АЛ5)

128. X ^ -12-м+ (р + д)2 + (ро — go)2(-2(МВ + (ро до) ) log Ml + (р - ,)» + (Ро - qo)2 u \21 {p + q)2 + (ро - яо)2л

129. В Вычисление фермионного действия SA, В, С.

130. Рассмотрим выражение для SA, В, С.: S[A,B,C} =

131. Tr Ln(7 • d)A(x у) + exp(fy5 в)В(х -у) Л- i{ 7 • п)С{х - у).+

132. Jd^y{((3s(y} x)ps(x, у) + /Зр(у, я)/^*, у; £)+гОАЛ® у> 0},гдеexp(z7560B = e2D((3s + гЪ(Зр), (В.1)7 -д){А- 5(*>) + г(7 ■ n)C = е2D(3VU . (В.2)

133. Ja х J (27Г)4 \р*+2{р-п)С+С2+В2 у

134. Заметим, что результат совпадает с ответом для квантовой электродинамики, приведенный в 115., при С= О, М% = 0.

135. Зависимость от 9 входит только во вторую часть последнего выражения.00 ( \п

136. Рассмотрим ее более подробно. Воспользуемся Ln(:r) = — Y2 * :1. П=11. СО 71—1- я2)г(7 ' п)С{х2 х3) + ехр(г^5в)В(х2 - ж3).-•' • • 1цп9цЛх2п-1 - х2п)[г[п • п)С{х2п ~ xi) + ехр(гтьв)В(х2гг - a?i)]}.

137. После раскрытия скобок произвольный член суммы:ьа: j diXl. diX2ntii'j^g^ixi x2)i{7 • n)C{x2 - x3) + exp{i^b6)B{x2 - z3).x2n-i x2n)i{l • n)C(x2n - Xi) + ехр(г-уБ6)В(х2п - rci).}

138. Число В в произвольном члене суммы четно, так как след произведения нечетного числа гамма-матриц равно нулю. Заметим также, что, так как 75 антикоммутирует с гамма-матрицами:

139. Ъг9иХхз ~ xj+i) exp(ij50) = exp(-iy5e)yM.gM.(xj xj+1),ixh ~ xh+i)ib • n)C(xjl+l xh+2)\>1ш9щ (Xj2 X32 +1) eXP(^75^) -B{Xj2 +1 - Xh+2). =ехр(-гъО)Ъг,91лн(хк ~ ' n)C(xh+1 xjl+2).hii9iii (xj2

140. Используя удобство вычислений в импульсном пространстве, имеем:

141. Тг Щ6^(х у) + f d4cv(7 • g)(i(j • п)С(ш - у) + В(ш - у)). = = (I f(§?tr ^Si1 - 9оС - (g - 7)70С + ibo9o + (9 ■ 7))В] = = 2(f d4x) f 0 log(l - g)2 + g2C2 + g2B2}.

142. Таким образом мы не только доказали вырожденность SA, В, С. по в, но и получили преобразованное выражение для действия:

143. Sl,B,C\ = jd4xj^{-2\og[(l-^)2 + g2C2 + g2B2.2В2 + 2{п р)С + 2С2 -j