Топологические возбуждения в квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Чернодуб, Максим Николаевич

• Чернодуб, Максим Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чернодуб, Максим Николаевич

Оглавление

1 Введение

2 Дуальная сверхпроводимость в 8и(2) глюодинамике

2.1 Максимальная абелевая проекция

2.1.1 МаА проекция 811(2) глюодинамики и компактная КЭД

2.1.2 МаА проекция в формализме функционального интегрирования

2.2 Абелевы монополи как физические степени свободы

2.3 Монопольный параметр порядка в 811(2) глюодинамике

2.3.1 Оператор рождения монополя

2.3.2 Эффективный монопольный потенциал

2.4 Четыре формулировки 811(2) глюодинамики в МаА проекции

2.4.1 Монопольное действие в МаА проекции

2.4.2 Компактная абелевая формулировка

2.4.3 Дуальная формулировка

2.4.4 Решеточная теория струн

2.5 Выводы

3 Топологические дефекты в общей абелевой проекции

3.1 Минополи в минимальной абелевой проекции

3.2 Гибриды

3.3 Струны несущие магнитный поток

3.3.1 Определение струны с абелевым магнитным потоком в 811(2) глюодинамике

3.3.2 Пример: эффект Ааронова-Бома в абелевой модели Хиггса на решетке

3.4 Выводы

4 Струны глюодинамики в непрерывном пределе

4.1 Струны 811(2) глюодинамики в абелевой проекции

4.2 Эффект Ааронова-Бома в 811(2) глюодинамике

4.2.1 Эффект Ааронова-Бома в абелевой модели Хиггса

4.2.2 Конденсация дионов в 811(2) глюодинамике

4.3 Струны 811(3) глюодинамики в абелевой проекции

4.4 Выводы

5 Центральная проекция 811(2) глюодинамики

5.1 Центральные монополи и струны

5.2 Механизм фазового перехода в максимальной центральной калибровке

5.3 Выводы

6 Топологические дефекты в электрослабой теории и сфалерон

6.1 Максимальная абелевая проекция 811(2) теории Хиггса

6.2 Монополи Намбу и ^-струны

6.2.1 Определение в континууме

6.2.2 Определение на решетке

6.3 Топологический состав сфалерона: несколько иллюстраций

6.4 Выводы

7 Динамика топологических дефектов при фазовых переходах

7.1 Некоторые аналитические аргументы

7.2 Эффективная трехмерная модель

7.3 Фазовый переход первого рода

7.4 Непрерывный кроссовер

7.4.1 Перколяционный переход при отсутствии фазового перехода?

7.4.2 Статистика вихревых кластеров

7.4.3 2-вихри как физические объекты

7.5 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические возбуждения в квантовой теории поля»

1 Введение

В этой диссертационной работе мы рассмотрим свойства различных топологических возбуждений в квантовой глюодинамике, абелевой модели Хиггса, в электрослабой модели и обсудим физические эффекты, возникающие благодаря присутствию этих возбуждений.

Одной из важных проблем современной квантовой теории поля является объяснение невылетания цвета в неабелевых калибровочных теориях. Интересным подходом к этой проблеме является метод абелевых проекций, который был предложен 'т Хофтом в работе [1]. Рассмотрим частичную фиксацию калибровки в глюодинамике, которая не фиксирует [£/( 1)]ЛГ_1 подгруппу Б1/(М) калибровочной группы. При оставшихся незафиксированными абелевых преобразованиях диагональные элементы глюонного поля преобразуются как калибровочные поля, а недиагональные - как поля материи. Благодаря компактности абелевой калибровочной подгруппы в теории существуют топологические возбуждения: абелевы монополи. Если монополи сконденсированы, то невылетание можно объяснить на классическом уровне [2, 3]: между цветными зарядами образуется струна, представляющая собой дуальный аналог струны Абрикосова [4] в сверхпроводнике, а монополи играют роль куперовских пар.

В описанном механизме невылетания цвета, который часто называют механизмом дуального сверхпроводника, основную роль играют абелевы монополи, появляющиеся из-за специфической фиксации калибровки1. Сразу возникают вопросы: Являются ли объекты, возникающие при фиксации калибровки, физическими степенями свободы (не являются ли абелевы монополи артефактом фиксации калибровки)? Сконденсированы ли монополи в абелевой калибровке? Этим вопросам посвящена Глава 2, где мы изучаем £7/(2) глюодинамику в решеточной регуляризации. Полученные результаты относятся к так называемой максимальной абелевой проекции (МаА) [5, 6], которая является одной из наиболее изученных абелевых проекций [8, 11].

Глюодинамика в МаА проекции обладает свойством "абелевой доминантности" [12]: инфракрасное поведение источников в фундаментальном представлении в этой проекции определяется в основном абелевыми степенями свободы. Другими словами, отношение Кройца [13] (величина, определяющая натяжение струны в решеточной теории) для абелевых петель Вильсона [14] \¥и^ для частиц заряда 1, практически полностью совпадает с отношением Кройца для полных (неабелевых) петель Вильсона в

фундаментальном представлении. Абелевая петля Вильсона может быть представлена как произведение двух независимых операторов, [15]-[18]: У^11^ = УУтоп ■ ЦГР'\ где оператор у/топ зависит только от монопольных степеней свободы, а в оператор Ц/р1'' дают вклад только фотоны. Оказывается, что отношения Кройца для неабелевой петли и для монопольной части Ц^топ абелевой петли практически совпадают, в

то время как среднее < \¥рк > имеет только периметральное поведение (т.е. натяжение струн равняется нулю) [15]-[18]. Этот результат, который часто называют свойством

■•-В этой работе мы используем два похожих термина: "абелева калибровка" и "абелева проекция". Под абелевой проекцией мы подразумеваем фиксацию абелевой калибровки и замену 5(/(Ы) наблюдаемых на соответствующие [^Д!)]^1 наблюдаемые.

"монопольной доминантности" [17], говорит о том, что в МаА проекции решеточной глюодинамики за невылетание кварков ответственны в основном монопольные степени свободы. Заметим, что это утверждение является более сильным, чем свойство абелевой доминантности.

Следовательно, инфракрасные свойства глюодинамики доминирующим образом определяются динамикой абелевых монополей в МаА проекции. Оказывается, что с хорошей точностью действие монополей в МаА проекции может быть представлено в форме квадратичного действия Смита-ван-дер-Сииса, [19]:

где '] суть монопольный ток, А-1 - обратный лапласиан на решетке и р, дт - некоторые параметры. Это предположение было численно подтверждено вычислениями на решетке [20]-[22].

Используя численно полученное монопольное действие можно вывести несколько представлений для континуального интеграла глюодинамики в МаА проекции [22], которые мы приводим в Главе 2. Монопольной теории соответствует некоторая эффективная абелевая теория в которой монополи являются топологическими дефектами в компактном абелевом калибровочном поле. Исходя из того же монопольного представления, нетрудно получить дуальную формулировку теории, в которой фундаментальными объектами являются дуальное (некомпактное) калибровочное поле А/л и скалярное поле монополей Ф. В инфракрасном пределе дуальный лагранжиан записывается в континууме в следующем виде:

¿(Я, Ф) = ТТ^Ви])2 + + + А(|ф|2 - г/2)2, (2)

^ 9 т ^

где дт суть магнитный заряд монополя. Если г/'2 > 0, то абелевы монополи сконденсированы, что отвечает фазе невылетания цвета в глюодинамике. С помощью несложных преобразований мы можем определить также и струнную теорию, которая эффективно описывает динамику КХД-струны.

Помимо абелевых монополей, произвольная абелевая калибровка содержит также и другие топологические дефекты, из которых наиболее простыми являются мино-поли [23, 24, 25] и гибриды [26]. Мы показываем, что в определенных абелевых калибровках именно эти объекты (а не монополи!) обуславливают невылетание цвета, что говорит о том, что в разных калибровках механизм невылетания различается [24]. Другими словами, в разных абелевых калибровках неабелевы конфигурации, приводящие к невылетанию цвета, "проецируются" на различные абелевые топологические дефекты.

Очень важным вопросом является нахождение в явном виде класса удерживающих конфигураций неабелевого калибровочного поля. Несмотря на то, что существует калибровочно -инвариантное определение абелевого монополя в любой заданной абелевой проекции [27], это не позволяет явно описать неабелевые удерживающие конфигурации, соответствующие абелевому монополю. Одним из многообещающих претендентов

на удерживающие конфигурации являются неабелевые дионы [28, 29, 30]. Действительно, неабелевый дион в максимальной абелевой проекции соответствует абелевому монополю [19, 31]. К сожалению, полностью решить задачу соответствия монополей и неабелевых конфигураций, которые приводят к невылетанию цвета, чрезвычайно сложно. В настоящей работе мы не будем останавливаться на этом вопросе.

Абелевы калибровки содержат также абелевы струны, несущие магнитный поток2 [32]. Эти струны взаимодействуют с кварками посредством эффекта Ааронова-Бома [33], которое обусловлено сугубо топологическими причинами. Волновая функция заряженной частицы, которая рассеивается на такой струне, приобретает дополнительную фазу. Сдвиг в фазе является физическим эффектом - аналогом классического эффекта Ааронова-Бома [33]: струны играют роль соленоидов, которые рассеивают заряженные частицы. Мы иллюстрируем появление взаимодействия Ааронова-Бома в квантовой теории поля [34]-[37] на примере абелевой модели Хиггса на решетке в Главе 3 и для теории в континууме в Главе, 4.

Известно много попыток отождествить струнную теорию с локальной калибровочной теорией. Ниельсен и Олесен [38] нашли статические струнные решения в абелевой модели Хиггса с квантованным магнитным потоком, являющиеся аналогом струн Абрикосова [4] в сверхпроводниках, и заметили, что они ведут себя похоже на струну Намбу-Гото. В работе [39] это замечание было доказано, а эффективная струнная модель была получена в работах [39, 40]. В пределе Лондона абелевая модель Хиггса может быть точно переписана как струнная теория с нелокальным действием [40]-[45]. В частности, дуальная инфракрасная модель SU(2) глюодинамики [46] может быть явно переписана как струнная теория в пределе Лондона, что является довольно естественным фактом, поскольку дуальная картина глюодинамики предполагает образование струн. Эффективное действие для этих струн включает в себя, помимо действия Намбу-Гото, также и так называемое действие с жесткостью [118, 119, 43, 44]. Заметим, что абелевы монополи в максимальной абелевой проекции скореллированы с топологическим зарядом [31, 47] и из-за этого абелевы монополи эффективно являются абелевыми дионами: они преобретают небольшой электрический заряд [48, 49]. Этот эффект ведет к интересной модификации струнного действия и появлению еще одного вида взаимодействия Ааронова-Бома в глюодинамике. Обсуждению эффективных теорий струн для SU(N), N = 2,3, глюодинамик, посвящена Глава 4.

Как мы уже упоминали, одним из мощных методов изучения невылетания цвета в неабелевых калибровочных теориях является метод абелевых калибровок. Традиционно под этим методом подразумевается фиксация SU(N) калибровочной группы вплоть до U(l)N 1 подгруппы. Недавно в работе [50] был предложен новый класс абелевых калибровок, фиксирующих SU(N) группу до Ждг подгруппы. Такие калибровки еще называются "центральными". Наиболее известной калибровкой такого типа является так называемая "максимальная центральная калибровка" [50], определение которой мы приводим в Главе 5.

В максимальной центральной калибровке SU(N) калибровочная теория сводится к

2Эти струны не следует путать со дуальными аналогами струн Абрикосова [4], которые несут электрический поток от кварка к анти-кварку.

некоторой Ж д.- калибровочной которая содержит струны (вихри) как топологические дефекты. Эти струнные дефекты называются "центральными вихрями", поскольку их определение основано на фиксации центральной калибровки. Решеточные расчеты [50, 51] показали, что в максимальной центральной калибровке динамика этих степеней свободы играет существенную роль в невылетании цвета. Например доказано, что вклад вихрей в натяжение струны КХД почти полностью совпадает с полным натяжением струны. Согласно работе [50], решеточные вихри соответствуют некоторым топологическим структурам в непрерывном пределе, поскольку решеточная плотность вихрей ведет себя как физическая величина размерности [масса]-3 при скейлингивых исследованиях перехода к непрерывному пределу.

В Главе 5 мы показываем, что центральные калибровки также содержат новые топологические объекты, которые мы называем "центральные монополи". Мы исследуем различные свойства центральных вихрей и монополей при конечнотемпературном фазовом переходе, и предлагаем новый механизм невылетания в этой калибровке.

Еще одной интересной темой, обсуждаемой в настоящей диссертационной работе является исследование топологических свойств электрослабой модели. Электрослабая модель имеет струноподобные решения классических уравнений движения, так называемые 2- и И^-струны [53]-[58]. Эти решения не являются топологически стабильными и представляют собой струные конфигурации Абрикосова-Ниельсена-Олесена [4, 38], которые "внедрены" из абелевой модели Хиггса в электрослабую модель. Поэтому эти возбуждения еще называют "внедренными дефектами" [53, 54]. Струны могут быть как бесконечно длинными, так и заканчиваться на некоторых монополеподобных конфигурациях, которые еще называют монополлми Намбу [55]. Эти монополи тоже принадлежат классу внедренных дефектов, поскольку их можно рассматривать как монополи 'т Хофта-Полякова [59, 60], внедренные из модели Джорджи-Глэшоу [61] в электрослабую модель. Подробные определения этих топологических возбуждений даны в Главе 6.

Помимо внедренных дефектов, в электрослабой модели можно определить абелевы монополи таким же образом, как это было сделано в случае чистой глюодинамики в Главе 2 (с помощью некоторой абелевой проекции). Мы применяем максимальную абе-леву проекцию и показываем, что помимо абелевых монополей, электрослабая модель в абелевой проекции содержит также два независимых типа абелевых струн, несущих магнитний поток. Эти струны либо замкнуты, либо заканчиваются на абелевых монополях, вследствии сохранения абелевого магнитного потока.

В качестве первого шага исследования топологических дефектов в электрослабой модели, мы изучаем внедренные и абелевые топологические возбуждения на злектро-слабой конфигурации, известной как электрослабый сфалерон [56, 62, 63]. Эта конфигурация является решением статических уравнений движения бозонного сектора электрослабой модели. Согласно современным представлениям, сфалерон ответственней за релаксацию конечной барионной ассиметрии Вселенной, возникшей после завершения электрослабого перехода [64].

В Главе 7 мы рассматриваем поведение внедренных топологических дефектов в высокотемпературной электрослабой теории как в области фазового перехода первого рода, так и в области гладкого кроссовера. Согласно современным решеточным вы-

числениям [65, 66, 67] стандартная электрослабая теория не имеет фазового перехода при конечных температурах. Этот вывод был получен на основе изучения 31) <?[/(2) модели Хиггса, которая является эффективной размерно-редуцированной версией электрослабой теории. В этой модели фазовый переход первого рода исчезает при массе Хиггса М# > 72 ГэВ, а при больших значениях массы Хиггса в модели происходит лишь гладкий кроссовер [68]. Исходя из качественной аналогии между фазовыми переходами в БII(2) модели Хиггса и в 811(2) х 11(1) модели Хиггса [69], и также принимая во внимание текущую нижнюю экспериментальную границу на массу Хиггса [70], Мн > 89.3 ГэВ, можно заключить, что фазовый переход в стандартной электрослабой теории отсутствует. Однако следует заметить, что существуют расширения минимальной стандартной модели, в том числе и суперсимметричные, в которых может быть фазовый переход первого рода [64, 71] и в которых существуют аналогичные внедренные топологические дефекты. Поэтому изучение динамики топологических объектов при фазовом переходе первого рода представляет не только академический интерес.

Наиболее популярные механизмы нарушения барионной симметрии [72, 73, 64], требующие достаточно сильного фазового перехода первого рода, не работают в стандартной электрослабой теории. Таким образом, поиск обобщений стандартной модели и изучение их фазовой структуры стал одним из наиболее важных направлений исследования нарушения барионной симметрии Вселенной. Тем не менее, принимая во внимание возможность альтернативных механизмов нарушения барионной ассиметрии Вселенной, существует интерес в изучении свойств стандартной модели, которые качественно меняются при некоторой характеристической температуре (на Ж-маштабе). Таким свойством, в частности, является перколяционная вероятность для ^-вихрей, или, говоря другими словами, вероятность существования в вакууме бесконечно длинных мировых траекторий вихрей. Поведение этой вероятности при фазовом переходе тесно связано с одним из сценариев нарушения барионной симметрии Вселенной [158, 142], который обсуждается в Главе 7.

Я хотел бы поблагодарить Д. Антонова, Э. Ахмедова, П. ван Баала, Б. Л. Дж. Бак-кера, О. Борисенко, М. Гарсиа Перез, Дж. Гринсайта, Ф. В. Губарева, А. Ди Джа-комо, Д. И.Дьяконова, Э.-М. Ильгенфрица, К. Зарембо, В. И. Захарова, Ю. М. Маке-енко, Л. МакЛеррана, А.Ю. Морозова, М. М. Мюллер-Пройсскера, С. Като, Д. Озерова, П. Орланда, В. Ю. Петрова, В. А. Рубакова, К. Руммукайнена, Ю. А. Симонова, Я. Смита, Т. Сузуки, П. Г. Тинякова, Р. Хаймекера, В. Шевченко и А. Шиллера за полезные дискуссии, обсуждения и критические замечания. Особо мне хотелось бы выразить огромнейшую благодарность моему научному руководителю Михаилу Игоревичу Поликарпову, благодаря которому я научился работать над физическими задачами.

2 Дуальная сверхпроводимость в 811(2) глюодина-

мике

Многочисленные решеточные компьютерные эксперименты подтверждают монопольный механизм невылетания в абелевое спроектированной 311 (2) глюодинамике (см., например, обзоры [7, 10]). Натяжение струны, &и(1), посчитанное для [7(1) петель Вильсона (т.е. петель, построенных из абелевых калибровочных полей) совпадает с полным натяжением 517(2) струны [12], монопольные токи удовлетворяют уравнению Лондона для сверхроводника [74]. Также было показано, что учет только монопольных токов дает значение для натяжения струны, которое близко к полному натяжению 81/(2) струны [15]-[18]. Все эти результаты были получены для так называемой максимальной абелевой (МаА) проекции3 [5, 6] которая описывается в разделе 2.1.

Абелевы монополи появляются в непрерывной теории вследствии сингулярных калибровочных преобразований [1], и поэтому не совсем ясно, являются ли эти объекты решеточными артефактами или физическими степенями свободы. В разделе 2.2 мы приводим численные результаты, показывающие, что абелевы монополи в МаА проекции действительно являются физическими степенями свободы.

Если вакуум глюодинамики подобен дуальному сверхпроводнику, то конденсат монополей должен быть отличен от нуля в фазе конфайнмента и зануляться в фазе декон-файнмента. Этот эффект действительно наблюдался в МаА проекции глюодинамики [76, 77]. Подробно конденсация монополей рассмотрена в разделе 2.3.

Различные представления (монопольное, дуальное, компактно-абелевое и струнное) континуального интеграла решеточной глюодинамики в максимальной абелевой проекции представлены в разделе 2.4.

2.1 Максимальная абелевая проекция

2.1.1 МаА проекция 8И(2) глюодинамики и компактная КЭД

Максимальная абелевая проекция проекция [5, б] соответствует калибровке, которая максимизирует диагональные элементы решеточного калибровочного поля 11Х11. Такая калибровка определяются следующим условием:

Параметризуя матрицу 311(2) калибровочного поля стандартным образом, 11^ = со8 11Ц = зт^е*»"; 1}Ц = ЦЦ = 0 < ф < тг/2, -тг < в,Х < мы

З3аметим, что хотя приведенная ниже реализация дуальной сверхпроводимости в глюодинамике основана на фиксации конкретной калибровки, гипотеза дуальной сверхпроводимости хорошо согласуется с поведением (калибровочно-инвариантных) корреляционных функций для тензоров напряженности не абелевых полей [75].

(3)

Щ) = , им = г.

(4)

получим вместо условия (3):

X,ß

Выражения (3) и (5) инвариантны относительно преобразований (диагональной) 11(1) подгруппы Би(2) калибровочной группы. Под действием этой подгруппы компактная переменная 0 ведет себя как абелевое калибровочное поле, а переменная х становится векторным голдстоуновским бозоном, который несет заряд 2:

0

0.г

xß r vxß + ^-x+jX

Xxß Xxß + OLx + Ctx+ß

(6) (7)

Соответствие между решеточными полями £/ЖА( и непрерывными полями А^(х) задается уравнением

x+aß

UXß = V exp{¿ J Aß{y) dyß}

(8)

где а - шаг решетки, и в непрерывном пределе функционал (4) перейдет в следующее выражение:

R[A] = -J d4x [(Alf + (Alf) . (9)

Дифференциальные уравнения, соответствующие условию (3), запишутся в виде:

(д,ТгА1)А±^ О, A¡ = Al±iAl. (10)

Согласно условию (3), из всех копий Грибова [78], являющихся решением данного уравнения, необходимо выбрать ту, которая максимизирует функционал (9).

Выражая решеточное плакетное действие через углы ф, 0 и х? мы получим:

Sp = ^Тг ихи2ЩЩ = SaP + SnP + S*p

где

na _

О р —

Qn _

О р —

COs(d0) COS COS 02 COS 03 COS 04, COs(03 + 04 - Xl + X2) COS 03 COS 04 S + COS($2 + O4 - Xl + Хз) COS 02 COS 04 S + COs(0X - 04 + X2 - Хз) COS 01 COS 04 S + COs(6l2 - 03 - Xl + X4) COS 02 COS 03 S + COS(01 + 93 + X2 - X4) COS 0i COS 03 S - COS (01 4- 02 4- Хз - X4) c°s 01 cos 02 s cos(dx) sin 01 sin 02 sin 03 sin04;

1101 s П 0i S П02 s 11 01 S

П02 S 1103 S

П02

H 03 И 03 П 04 H 04

1104,

(H)

(12)

(13)

x

Индексы 1,..., 4 соответствуют ребрам плакетов, 1 —> {ж, ж + Д},..., 4 -» {ж, ж + г>} и мы также ввели обозначения:

а,9 = 01 + 02-03-04 , ¿X = XI - Х2 + Хз - Х4 ,

(15)

(16)

Заметим, что слагаемое Я'1 пропорционально плакетному действию Вильсона для компактной электродинамики с "калибровочным" полем 0. Самодействие полей "материи" - X; описывается слагаемым $г. содержащим необычную комбинацию хр- которая инвариантна относительно /7(1) калибровочных преобразований. Действие описывает взаимодействие полей 0 и х-

Компактность абелевых калибровочных полей в абелевой проекции является причиной возникновения таких топологических дефектов как абелевы монополи. В этом смысле глюодинамика в абелевой проекции похожа на компактную электродинамику. Монопольный ток ¿топ определен на дуальной решетке согласно уравнению:

1

Зтоп —

2тг

Ч(с10 тос! 2тг)

(17)

где определение (1 дано в уравнении (15). Здесь и ниже мы используем формализм дифференциальных форм на решетке [104], кратко описанный в Приложении А.

Монопольный заряд сохраняется поскольку монопольные траектории замкнуты, 5*3 = 0. Формула (17) является решеточным аналогом известного уравнения ] = <11VВ. Явная решеточная конструкция монополей из полей 0 показана на Рис. 1. Линиями обозначены реберные переменные 0; в формуле (17) с учетом ориентации.

Рис. 1: Конструкция монополей из полей 0.

Благодаря условию (5), в МаА проекции углы ф флуктуируют около нулевых значений и можно предположить, что наибольший вклад в полное действие (11) идет из слагаемого б'6', и что 8а > вп > 5'г. Это предположение было подтверждено численными вычислениями. Оказывается [24], что < ,Ча > очень близко к полному действию, максимальная разница между < 5р > и < 5г > находится при /3 и 2.2, где

< Sa >« 0.82 < Sp >; a S* является чрезвычайно малым: < Sг >« -0.001 ± 0.0004 при (3 = 2.2, при других значениях ¡3 абсолютная величина < S1 > даже меньше. Очевидно, что если мы пренебрежем флуктуациями угла ф, также как и детерминантом Фаддеева-Попова, то SU(2) действие в МаА проекции может быть хорошо аппроксимировано U( 1) действием: Sp ~ cos вР, с ренормализованной постоянной $ — /3 < cos4 ф >.

Поскольку невылетание в компактной электродинамике обусловлено конденсацией монополей, факт, что в численных экспериментах вакуум глюодинамики в МаА проекции ведет себя как дуальный сверхпроводник, не является неожиданным. Конечно, это только интуитивный аргумент. Невылетание в U( 1) теории существует только в области сильной связи, в которой ротационная инвариантность отсутствует. Поэтому, для того, чтобы понять, почему явление невылетания в SU(2) решеточной глюодина-мике наблюдается при всех значениях /3, мы должны детально исследовать некоторые черты фиксации МаА калибровки (такие, как эффективное действие, индуцированное детерминантом Фаддеева-Попова, величину флуктуаций угла ф, и т.д.). Мы обсуждаем эти вопросы ниже.

Наблюдение, что < Sa > близко к < Sp > очень интересно; оно означает, что в МаА проекции SU(2) решеточной глюодинамики существует малый параметр, который можно определить следующим образом:

<Sp>-<S'> с=—ift^—• (18)

причем при всех значениях ¡3 мы имеем е < 0.18. Смысл этого параметра прост: он является естественной мерой близости решеточных полей U к диагональным матрицам после абелевой проекции.

2.1.2 МаА проекция в формализме функционального интегрирования

Рассмотрим фиксацию калибровки, которая заключается в минимизации некоторого калибровочно неинвариантного функционала Следуя методу Фаддеева-Попова, мы подставляем единицу

1 = Арр(11) I[<Ш]ехр{-А^/(^(п))} (19)

в континуальный интеграл

2 = |[а(/]ехр{-/^((/)}, (20)

и устремляем А к +оо. Делая замену переменных И —> и используя инвариант-

ность действия 5 и детерминанта Фаддеева-Попова относительно действия калибровочных преобразований мы получим, что интеграл по калибровочным преобразованиям /[<Ш] факторизуется, оставляя континуальный интеграл с фиксированной калибровкой. Ниже мы покажем как в контексте этой стандартной процедуры возникает понятие Фундаментальной Модульной Области [78, 79, 80], которая, как оказывается, является

одним из основных факторов, определяющих динамику абелевых степеней свободы в МаА проекции [81].

Для вычисления мы используем метод перевала, который приводит к точ-

ному ответу, т.к. А —У +оо. Параметризуем матрицу калибровочных преобразований О в (19) следующим образом: Щш) = 0° здесь матрица = П°(/7) такая,

что (I = ^^.ж+дФ^+д соответствует абсолютному минимуму функционала В точке перевала мы можем рассматривать малые значения ш = и

Зд1(П(и)1т+( и)) = Яд ¡(и) +Си + ^шЭш + 0(и;3), (21)

где С = С£(и) иР = Т^хЬуФ)- Т.к. II соответствует абсолютному минимуму Бд], то:

^ = «,,(»(■*№)) =0. (22)

П=1

Подставляя (21) в (19) и интегрируя по ш, мы придем следующему выражению для детерминанта Фаддеева П опова :

Afp(U) = const. exp{xSgf(U)} Det* {V(U)} . (23)

Подставляя затем уравнение (19) в функциональный интеграл (20) и используя калибровочную инвариантность S(U), мы получим произведение группового объема /[сШ] и континуального интеграла с фиксированной калибровкой:

Z = const. J [df/] exp {-(3S(U) + \[Sgf(U) - Sgf{U)] }Det*{V(U)} . (24)

Используя еще раз тот факт, что А -4- +оо, мы видим, что ненулевой вклад в этот интеграл определяется только полями Г/, принадлежащими глобальному минимуму функционала Sgj(U):

Армк = {и : /(и) < Б^мт*) V а}. (25)

Область в пространстве калибровочных полей, определяемая этим уравнением, называется Фундаментальной Модульной Областью.

Для того, что-бы ограничить интегрирование по полям на эту область, мы должны вставить в континуальный интеграл (24) следующую функцию Г^мк(^), [78, 79, 80]:

г (тт\ /1' если и е /0£\

1 рмя(и) = 1 л ЛИК 1

10, если II 0 Армв.

Так как £1°(1/) = 1,0 = 1/ для всех полей £/, находящихся в Фундаментальной Модульной Области, то:

2 = ¡\ЩеМ-№{и)}Ве£^{и)}тРМН{и) . (27)

Для МаА проекции фиксирующее калибровку действие определяется следующим выражением:

= -щи),

(28)

где функция Щи) определена в уравнении (4).

Согласно гипотезе абелевой доминантности [12], динамика Би(2) системы в МаА проекции на больших расстояниях должна определяться преимущественно абелевыми степенями свободы. Поэтому большой интерес представляет эффективное абелевое действие, которое получается после интегрирования в функциональном интеграле по недиагональным глюонам.

В Приложении Б рассчитан вклад первых трех членов в петлевом разложении детерминанта Фаддеева-Попова в эффективное абелевое действие. Нулевая (5'('0'), первая (>£>(1)) и вторая (б^2)) поправки даны с формулах (Б.6),(Б.7) и (Б.8,Б.9), соответственно. Для изучения эффективного (7(1) действия проводился численный анализ средних < >, < > и < > в МаА проекции. Зависимость этих величин от р показана на Рис. 2. Эти результаты были получены при помощи усреднения по 10 статистически независимым полевым конфигурациям на каждое значение /3. Ассим-птотики показанные на этом рисунке, даются формулами:

Эти выражения могут быть легко получены из уравнений (Б.б)-(БЛО) при помощи стандартной техники низкотемпературного разложения. Выводя эти формулы, мы использовали предположение, что < Б11 > / < Яа >= О(ф), которое подтверждается нашими численными расчетами.

Исходя из Рис. 2 можно заключить, что первые петли в разложении детерминанта Фаддеева-Попова не являются подавленными. Аналогичное наблюдение было сделано в работах [10], [82] на основании численных данных. Таким образом, как этого и следовало ожидать, эффективное (/(1) действие решеточной глюодинамики в МаА проекции отличается от действия решеточной компактной КЭД. Мы коснемся еще раз этого вопроса в разделе 2.4.

2.2 Абелевы монополи как физические степени свободы

Абелевы монополи появляются в непрерывной теории как сингулярные калибровочные преобразования [1], и поэтому не совсем ясно, насколько эти объекты могут соответствовать физическим степеням свободы. Интуитивно понятно, что физическая степень

< Я*1* >

< 5<°> >

(29)

0.10

8

а)

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

0.00

.....

X X X X X

гй

1.00

г. оо

(3

3.00

4.00

5.00

Рис. 2: Зависимость средних < ,9(0' >, < ,9^ > и < > от /? в МаА проекции.

свободы должна нести некоторую энергию, и в настоящем разделе мы изучаем вопрос о существовании корреляций между абелевыми монополями и .9/7(2) действием.

Простейшая величина, которая отражает локальную закоррелированность действия и монопольного заряда, может быть определена как средний избыток действия возле монопольной траектории по отношению к остальному вакууму. Обозначим среднее действие на плакетах, ближайших к монопольному току как 5"то, тогда избыток действия может быть представлен в виде [83, 84, 85]

г/ =

Ьт >5

,9

(30)

где 5 суть стандарное среднее плакетное действие, .9 =< (1 - \TrUp) >. Определение »9та такое:

(31)

г£дСи(х)

где среднее проводится по всем трехмерным кубам С1/(х) дуальным к токам монополей ]и{х), сумма проводится по всем плакетам Р являющихся гранями куба Си(х); IIр суть плакетная матрица. Для статическоко монополя, ]о{х) ф 0, ^(х) = 0, г = 1,2,3, и, следовательно, только .9(7(2) магнитная полотность дает вклад в Ят.

При больших значениях /3, величина г) равна нормализованному коррелятору:

<\Тг (Жх) Р^х))2 >

11 < Л(х) >< \ТгП0(х) > '

где мы подразумеваем решеточную регуляризацию,

0.40

Рис. 3: Относительный избыток плотности неабелевого действия возле монопольного тока, г/, для решетки 104. Окружности соответствуют максимальной абелевой проекции, квадраты - Поляковской калибровке.

(|Tr (Ux)F^x))2) = (¿да • 5 i1 - \TrUr)) > (33)

На Рис. 3 мы показываем зависимость г/ от ¡3 для решетки 104 в МаА калибровке и в так называемой Поляковской калибровке, в которой калибровочным условием является диагонализация петли Полякова. Величина г/ заметно меньше для Поляковкой калибровки, чем для МаА калибровки, в то время как последняя имеет порядок г/ ~ 1/3 при больших значениях ¡3. Это же наблюдение верно и при конечных температурах. Мы изучали подобные корреляции также для Ни калибровки (диагонализация плакет-ных переменных Ux,i<z) и произвольной абелевой проекции (без фиксации калибровки). Величина г/ для этих калибровок так же мала, как и для Поляковской калибровки [83].

Корреляция монополей и действия может быть явно визуализирована. На Рис. 4 мы показываем "временной" разрез решетки 104. Монопольные токи показаны линиями (или большими точками, если ток перпендикулярен временному разрезу). Монопольные токи получены в МаА проекции при /3 = 2.4, плотность маленьких точек пропорциональна S{x) 9 (S(x) — Sc)', где мы положили Sc = 0.75 < S(x) > (при других значениях Sc корреляция на так видна). Видно, что монополи и действие действительно зако-реллированы, но не полностью: только около 30% монополей окружены повышенным действием. Заметим, что Рис. 4 следует рассматривать лишь как иллюстрацию, в то время как доказательство закоррелированности следует из Рис. 3.

Таким образом мы нашли, что абелевы монопольные токи и области пространства

Рис. 4: Трехмерный срез четырехмерной решетки 104. Линии и большие точки обозначают монопольные токи, плотность маленьких точек пропорциональна плотности 5(7(2) действия.

с повышенной плотностью 5(7(2) действия пространственно свазаны. Мы заключаем, что монополи в МаА проекции несут неабелево действие, и таким образом, представляют собой физические степени свободы. Монополи в Поляковской, (/12 и произвольной абелевых калибровках физическими степенями свободы, скорее всего, не являются.

2.3 Монопольный параметр порядка в 811(2) глюодинамике

Монопольный механизм невылетания цвета в МаА проекции решеточной глюодинамики ("вакуум 5(7(2) глюодинамики ведет себя как дуальный сверхпроводник") является сейчас общепринятым [2, 3, 7, 10]. Однако существует еще много открытых вопросов. В решеточной глюодинамике весьма важно найти параметр (бес)порядка фазового перехода вылетание-невылетание цвета, построенный из оператора рождения монополя. Первым кандидатом является величина монопольного конденсата, которая должна быть отлична от нуля в фазе невылетания цвета и зануляться в точке фазового перехода. Для изучения необходим явный вид оператора И(х), который рождает абелевый монополь в точке х. Оператор Ы(х) был найден Фройлихом и Маркетти [87] для компактной

электродинамики с действием Виллейна, и исследовался численно в работах [88, 89]. Ниже мы описываем оператор рождения монополя для произвольной абелевой проекции решеточной 57/(2) глюодинамики и приводим численные результаты, полученные для МаА проекции [77, 90, 91, 92].

2.3.1 Оператор рождения монополя

Оператор рождения монополя в точке х дуальной решетки в произвольной абелевой проекции SU(2) глюодинамики определяется следующим уравнением [90]:

U(x) = exp m-Sa($P, ф) + Sa(dP + WP{x), ф)}} , (34)

где Sa = J2p Sp, определение Sp = 8р{вР,ф) дано в уравнении (12) и функция Wp(x) определена в Приложении В, - формула (В.8). Учитывая (12) получаем:

U{x) = ехр [- cos(<?P) + cos(вР -f ЖР(ж))]| , (35)

где /3 = cos ф1 cos Ф2 cos фз cos ф4 j3. Эффективно, оператор рождения монополя сдвигает все абелевые плакетные углы Bp на функцию Wp{x).

Для компактной электродинамики с действием Виллейна предыдущее определение совпадает с определением Фройлиха и Маркетти [87]. Для общего вида действия в компактной электродинамике мы можем использовать описанную выше конструкцию. Доказательство представлено в Приложении В.

2.3.2 Эффективный монопольный потенциал

В этом подразделе мы описываем результаты численных расчетов на решетке 103 х 4 с антипериодическими граничными условиями по по пространственным направлениям. Периодические граничные условия запрещены благодаря закону Гаусса: не существует решения уравнения (В.6) в конечном объеме с периодическими граничными условиями. Чтобы увидеть, что оператор U является параметром порядка для фазового перехода вылетание-невылетание, удобно изучить вероятность распределения этого оператора. Это означает, что мы должны посчитать среднее < 8(ip — 14(х)) >. Заметим, что эффективный потенциал,

e-vef,w =< Цф _ > (36)

' X

имеет большее физическое значение, чем распределение вероятности. Расчет Vefj{Ф) весьма сложен, и мы представляем результаты вычислений величины У(Ф), определенной следующим образом:

=<5{Ф-и{х))> . (37)

-1.0 -г. о -з.о -4.0 -5.0 -6.0

-7.0

0.0

1.0

г.о з.о

(а)

: и': 11 |

! I1

:1 II

: /з=2.о ]

1 (сопйпешеп 1)

4.0

-4.5

У(Ф) -5.0

-6.0

(б)

Рис. 5: Правая половина потенциала У(Ф) для фазы (а) невылетания и (б) вылетания цвета.

На Рис. 5(а,б) представлена функция У(Ф) для фаз невылетания и вылетания, соответственно. Ясно видно, что в фазе невылетания минимум У(Ф) наблюдается при ф = фс ф 0, в то время как в фазе вылетания Фс = 0. Мы использовали положительно определенный оператор Ь1(х) (35), но в дуальном представлении теории оператор рождения монополя (В.5) не является положительно определенным - это несоответствие объясняется тем, что мы сделали обратное дуальное преобразование на бесконечной решетке. На конечной решетке возможно определить также неположительно определенный оператор Ы(х) - в этом случае вместо Рис. 5(а) мы получим потенциал типа потенциала Хиггса. Рис. 5(а,б) ясно показывают, что положение минимума У(Ф) играет роль параметра порядка.

На Рис. 6 мы показываем зависимость положения минимума, экстраполированного в пределе решетки бесконечного размера, Ф"'^, от константы связи ¡3. Видно, что Ф"'^ зануляется в точке фазового перехода, что означает, что конденсат монополей существует только в фазе невылетания! Этот результат является явным подтверждением гипотезы дуального сверхпроводника.

2.4 Четыре формулировки 8и(2) глюодинамики в МаА проекции

В настоящем разделе мы обсудим несколько представлений континуального интеграла Би(2) глюодинамики в максимальной абелевой проекции, основываясь на численно известном [20]-[22] действии для абелевых монополей.

Рис. 6: Конденсат монополей как функция константы связи /3. 2.4.1 Монопольное действие в МаА проекции

Имеются сильные указания на то, что в эффективной инфракрасной теории 81/(2) глю-одинамики масса дуального калибровочного бозона по порядку величины совпадает с массой монополя [46, 74, 93, 94, 95]. Как показано в работах [21, 22], это означает константа А четырех-точечного самодействия поля Хиггса в эффективном дуальном действии (2) должна быть конечной и эффективное монопольное действие содержит га-точечные (п = 2, 4, 6,...) взаимодействия. Следовательно, в общем случае монопольное действие может быть представлено в виде [21, 9]:

¿ТЛ = ^('¿Д'Дм)

^ х \м=-4 /

+г(Ь)£ £

х \ц=-4

V2

(38)

где дт, р, д, г, /г- суть некоторые параметры монопольного действия, причем дт имеет смысл монопольного заряда. Точками обозначены п-точечные и нелокальные взаимодействия с п > 8, которые, как следует из наших численных данных, сильно подавлены. Монопольные токи определены на дуальной решетке, монопольный заряд квантован (*jl е Ж) и сохраняющийся (&*2 — 0). Слагаемое Б^Щ представляет из себя суммы членов 2-точечных взаимодействий [96] монопольных токов, которые были введены для

проверки величины поправок к Кулоновскому взаимодействию (*j, A~1*j). Наши численные результаты показывают, что в инфракраской области этими поправками можно пренебречь (/¿(6) 1, Ь > 1).

Для определения коэффициентов <¡¿(6), p(b), q(b), r(b) мы использовали численный метод Свендсена [17, 96, 97] (который еще называют "методом обратного Монте Карло") для SU(2) глюодинамики на решетке [20]. Для того, что бы изучить поведение этих параметров под действием ренормализационной группы мы рассмотрели п—расширенные монопольные токи [98] которые появляются при блок-спиновом преобразовании на дуальной решетке.

Интересно заметить, что параметры действия (38) зависят только от физического размера монополя Ъ = п • а(/3). Для того, чтобы выразить Ъ через физические (размерные) единицы мы измеряли безразмерное натяжение стуны к(/3,п) (в решеточных единицах) используя нерасширенные монопольные токи [20]. Тогда Ь(/3,п) = па (/3) = у/кЦЗ, n)//cphys, где /cphys суть физическое натяжение струны (которое порядка (400 МэВ)2 в КХД).

Наилучшая подгонка численных данных дает для ренормализованных параметров дЦЪ), p(b),q(b), г(Ь) дает [22]:

g2Jb) 2

p(b) ?(Ь)

г(6)

0.300(22) 0.527(25)

¿3.53(7) '

0.0178(15)

56.18(13) '

0.83(8) х 10"

¿10.05(17)

47Г

ж

(39)

где

И

1

(ЬА)2

+

17 44^

In

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чернодуб, Максим Николаевич

7.5 Выводы

Мы исследовали поведение внедренных топологических дефектов, Z~вихрей и Намбу монополей, в ,9/7(2) модели Хиггса соответствующей стандартной модели при высоких температурах. Самым важным из полученных результатов является существование перколяционного перехода для вихрей: в области фазового перехода первого рода перколяционный переход совпадает с фазовым переходом, а в области кроссовера, где фазовый переход отсутствует, перколяционный переход тем не менее имеет место. Температура перколяционного перехода при М# « 100 ГэВ (режим кроссовера) составляет Трегс ~ 170 ГэВ (~ 130 ГэВ для более реалистичного случая с топ-кварком). При высоких температурах, Т > Трегс, вакуум содержит конденсат вихрей, при низких температурах конденсат отсутствует. При перколяционном переходе, конденсированное состояние (бесконечно длинный вихрь с несколькими маленькими вихревыми кластерами) распадается и образуются много маленьких вихрей. Каждый из этих вихрей может нести нетривиальное твистовое число, которое соответствует некоторому барионному числу [158]. Таким образом, разрушение вихревого конденсата может привести к спонтанному образованию барионной асимметрии [158, 142]. В настоящем исследовании мы показали, что такой сценарий нарушения барионной симметрии может происходить не только в области фазового перехода первого рода но даже и в зоне кроссовера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чернодуб, Максим Николаевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] G. 't Hooft, Nucl. Phys.f В190[FS3] (1981) 455.

[2] G. 't Hooft, "High Energy Physics", Ed. by A. Zichichi, Editrice Compositori, Bolognia, 1976.

[3] S. Mandelstam, Phys. Rep., 23C (1976) 245.

[4] А. А. Абрикосов, ЖЭТФ 32 (1957) 1442.

[5] A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G. Schierholz, U.J. Wiese, Phys. Lett. 198B (1987) 516.

[6] A.S. Kronfeld, G. Schierholz and U.-J. Wiese, Nucl. Phys., B293 (1987) 461.

[7] М.И. Поликарпов, Yen. Физ. Наук, 165 (1995) 627.

[8] M.N. Chernodub and M.I. Polikarpov, in "Confinement, Duality and Nonperturbative Aspects of QCD", edited by Pierre van Baal, Plenum Press, 1998, p. 387.

[9] T. Suzuki, S. Kato, N. Nakamura, M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and S. Kitahara, in "Confinement, Duality and Nonperturbative Aspects of QCD", edited by Pierre van Baal, Plenum Press, 1998, p. 439.

[10] T. Suzuki, Nucl. Phys., В (Proc. Suppl.) 30 (1993) 176.

[11] M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.) 53 (1997) 134.

[12] T. Suzuki and I. Yotsuyanagi, Phys. Rev., D42 (1990) 4257.

[13] M. Creutz, Phys. Rev. D21 (1980) 2308.

[14] K. G. Wilson, Phys. Rev. D10 (1974) 2445.

[15] H. Shiba and T. Suzuki, Phys. Lett., 333B (1994) 461.

[16] S. Ejiri, S. Kitahara, Y. Matsubara, T. Suzuki, Phys. Lett., 343B (1995) 404.

[17] H. Shiba and T. Suzuki, Phys. Lett. B351 (1995) 519.

[18] J.D. Stack, S.D. Neiman and R.J. Wensley, Phys. Rev. D50 (1994) 3399.

[19] J. Smit, A. van der Sijs, Nucl.Phys. B355 (1991)603.

[20] S. Kato, S. Kitahara, N. Nakamura and T. Suzuki, Nucl. Phys. B520 (1998) 323.

[21] S. Kato, M. N. Chernodub, S. Kitahara, N. Nakamura, M. I. Polikarpov, T. Suzuki, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 63 (1998) 471.

[22] М. N. Chernodub, S. Kato, N. Nakamura, M. I. Polikarpov and T. Suzuki, preprint К A NA ZA WA -98-19, направлена в Nucl. Phys. B.

[23] M. I. Polikarpov and M. N. Chernodub, JETP Lett. 59 (1994) 459.

[24] M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and A. I. Veselov, in Proceedings of International Workshop on Nonperturbative Approaches to QCD, edited by D. Diakonov, Petersburg Nucl. Phys. Inst., Gatchina, 1995, p. 81.

[25] M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and A. I. Veselov Phys. Lett. B342 (1995) 303.

[26] E. T. Akhmedov, M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, in proceedings of RCNP Workshop on Color Confinement and Hadrons (CONFINEMENT 95), edited by H. Toki, Y. Mizuno, H. Suganuma, T. Suzuki and 0. Miyamura, World Scientific, 1995, p. 37.

[27] M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, M. I. Polikarpov and A. I. Veselov, Progr. Theor. Phys. Suppl. 131 (1998) 309.

[28] Yu. A. Simonov, Usp.Fiz.Nauk, 166 (1996) 337.

[29] A. Gonzalez-Arroyo and Yu. A. Simonov, Nucl. Phys. B460 (1996) 429.

[30] Yu. A. Simonov, Lectures given at International School of Physics 'Enrico Fermi\ Course Selected Topics in Nonperturbative QCD, Varenna, Italy, 27 June - 7 July 1995, p. 339.

[31] Ф. В. Губарев и M. H. Черонодуб, Письма в ЖЕТФ, 62 (1995) 92; [JETP Lett. 62 (1995) 100].

[32] М. N. Chernodub, М. I. Polikarpov and М. A. Zubkov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 34 (1994) 256.

[33] Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115 (1959) 485.

[34] M.G. Alford and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett., 62 (1989) 1071.

[35] L.M. Kraus and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett., 62 (1989) 1221.

[36] M.G. Alford, J. March-Russel and F. Wilczek, Nucl. Phys., B337 (1990) 695.

[37] J. Preskill and L.M. Krauss, Nucl. Phys. B341 (1990) 50.

[38] H. B. Nielsen and P. Olesen, Nucl. Phys. B61 (1973) 45.

[39] D. Forster, Nucl. Phys., B81 (1974) 84.

[40] J.L. Gervais, B. Sakita, Nucl. Phys. B91 (1975) 301.

[41] F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov and V.I. Zakharov, Phys. Lett. B438 (1998) 147.

[42] M.I. Polikarpov, U.-J. Wiese and M.A. Zubkov, Phys. Lett., 309B (1993) 133.

[43] P. Orland, Nucl. Phys. B428 (1994) 221.

[44] E. T. Akhmedov, M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and M. A. Zubkov, Phys. Rev. D53 (1996) 2087.

[45] E. T. Akhmedov, M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and M. A. Zubkov, in Proceedings of International Workshop on Nonperturbative Approaches to QCD, edited by D. Di-akonov, Petersburg Nucl. Phys. Inst., Gatchina, 1995, p. 174.

[46] S. Maedan and T. Suzuki, Prog. Theor. Phys. 81 (1989) 229

[47] M. Feurstein, H. Markum and S. Thurner, Phys. Lett. B396 (1997) 203.

[48] M. N. Chernodub, F. V. Gubarev and M. I. Polikarpov, hep-lat/9801010.

[49] M. N. Chernodub, F. V. Gubarev and M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 63 (1998) 516.

[50] L.Del Debbio et al., Phys.Rev. D55 (1997) 2298.

[51] L.Del Debbio et al., Nucl.Phys.Proc.Suppl. 63 (1998) 552.

[52] L.Del Debbio et al., hep-lat/9802003.

[53] Т. Vachaspati and M. Barrióla, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 1867.

[54] M. Barrióla, Т. Vachaspati and M. Bucher, Phys. Rev. D50 (1994) 2819.

[55] Y. Nambu, Nucl. Phys. B130 (1977) 505.

[56] N. S. Mantón, Phys. Rev. D28 (1983) 2019.

[57] Т. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 1977; Erratum ibid. 69, (1992) 216.

[58] Т. Vachaspati, Nucl. Phys. B397 (1993) 648.

[59] G. 4 Hooft, Nucl. Phys. В79 (1974) 276.

[60] A. M. Polyakov, JETP Lett. 20 (1974) 194.

[61] H. Georgi and S.L. Glashow, Phys.Rev.Lett. 28 (1972) 1494.

[62] R. F. Dashen, B. Hasslacher and A. Neveu, Phys. Rev. DIO (1974) 4138.

[63] F. R. Klinkhamer and N. S. Mantón, Phys. Rev. D30 (1984) 2212.

[64] В. А. Рубаков и M. E. Шапошников, «УФН 166(1996) 493; [Phys. Usp. 39 (1996) 461)].

[65] М. Gürtler et al., Nucl. Phys. B483 383 (1997).

[66] M. Gürtler, Е.-М. Ilgenfritz and A. Schiller, Phys. Rev. D56 (1997) 3888.

[67] K. Rummukainen et al., preprint CERN-T11-98-08, hep-lat/9805013.

[68] K. Kajantie et al, Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 2887.

[69] K. Kajantie et al., Nucl. Phys. B493 (1997) 413.

[70] S. de Jong, "Higgs Searches at LEP", Review talk delivered at the XXXIIIrd Rencontres de Moriond, Les Arcs, France, March 14 - 21 (1998) .

[71] M. Carena, M. Quiros and С. E. M. Wagner, Phys. Lett. B380 (1996) 81.

[72] A. D. Sakharov JETP Lett. 6 (1967) 24.

[73] V. A. Kuzmin, V. A. Rubakov and M. E. Shaposhnikov, Phys. Lett. 155B (1985) 36.

[74] V. Singh, D. Browne and R. Haymaker, Phys. Lett., B306 (1993) 115.

[75] Yu. A. Simonov and S. V. Molodtsov, JETP Lett. 60 (1994) 240.

[76] T.L. Ivanenko, A.V. Pochinsky and M.I. Polikarpov, Phys. Lett., B302 (1993) 458.

[77] А. И. Веселов, M. И. Поликарпов и M. H. Черодуб, Письма в ЖЕТФ, 63 (1996) 392; [JETP Lett. 63 (1996) 411].

[78] V.N. Gribov, Nucl. Phys., B139 (1978) 1.

[79] M.A. Semenov-Tyan-Shanskii and V.A. Franke, Proc. Seminars of the Leningrad Math. Instit. (1982), english translation (Plenum, New York, 1986).

[80] D. Zwanziger, Nucl. Phys., B378 (1992) 525; Nucl. Phys., B399 (1993) 477.

[81] G.S. Bali, V. Bornyakov, M. Müller-Preussker and K. Schilling, Phys. Rev. D54 (1996) 2863.

[82] K. Yee, Phys. Lett. B347 (1995) 367.

[83] B. L. G. Bakker, M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 30.

[84] B. L. G. Bakker, M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 63 (1998) 486.

[85] B. L. G. Bakker, M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, M. I. Polikarpov and A. I. Veselov, in proceedings of 31st International Ahrenshoop Symposium on the Theory of Elementary Particles, Buckow, Germany, 1997, p. 229.

[86] B. L. G. Bakker, M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and V. I. Veselov, preprint ITEP-TH-60/98, hep-lat/9811001.

[87] J. Fröhlich and P.A. Marchetti, Gommun. Math. Phys., 112 (1987) 343.

[88] L. Polley and U.J. Wiese, Nucl. Phys. B356 (1991) 629.

[89] M.I. Polikarpov, L. Polley and U.J. Wiese, Phys. Lett., B253 (1991) 212.

[90] M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and A. I. Veselov, Phys.Lett. B399 (1997) 267.

[91] M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and A. I. Veselov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 49 (1996) 307.

[92] M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and A. I. Veselov, in Proceedings of YITP International Workshop on Recent Developments in QCD and Hadron Physics, edited by Y. Koike, Soryushiron Kenkyu, Vol. 95, No. 4, July 1997, p. D204.

[93] G. S. Bali, C. Schlichter,К. Schilling, talk given at Yukawa International Seminar on Non-Perturbative QCD: Structure of the QCD Vacuum (YKIS 97), Kyoto, Japan, 2-12 Dec 1997, hep-lat/9802005.

[94] C. Schlichter, G. S. Bali and K. Schilling, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 63 (1998) 519.

[95] M. Baker, N. Brambilla, H. G. Dosch and A. Vairo, Phys. Rev. D58 (1998) 034010.

[96] H. Shi ha and T. Suzuki, Phys. Lett. B343 (1995) 315.

[97] R.H. Swendsen, Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 1165; Phys. Rev. B30 (1984) 3866,3875.

[98] T.L. Ivanenko, A.V. Pochinskii, M.I. Polikarpov, Phys. Lett. B252 (1990) 631.

[99] T. Banks, R. Myerson and J. Kogut, Nucl. Phys. B129 (1977) 493.

[100] V. L. Beresinskii, Sov. Phys. JETP, 32 (1970) 493.

[101] J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys., C6 (1973) 1181.

[102] F. Brandstaeter, U.-J. Wiese and G. Schierholz, Phys. Lett., 272B (1991) 319.

[103] S. Hioki et al, Phys. Lett., 272B (1991) 326.

[104] P. Becher and H. Joos, Z. Phys., C15 (1982) 343.

[105] M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, in Proceedings of International Workshop on Nonperturbative Approaches to QCD, edited by D. Diakonov, Petersburg Nucl. Phys. Inst., Gatchina, 1995, p. 183.

[106] Ф. В. Губарев, M. И. Поликарпов и M. И. Чернодуб, Письма в ЖЕТФ, 63 (1996) 492; [JETP Lett. 63 (1996) 516].

[107] М. N. Chernodub, F. V. Gubarev and M. I. Polikarpov, Phys.Lett. B416 (1998) 379.

108] М. N. Chernodub, F. V. Gubarev and M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 53

(1997) 581.

109] M. N. Chernodub, F. V. Gubarev and M. I. Polikarpov, in proceedings of 9th International Seminar on High-energy Physics: Quarks 96, Yaroslavl, Russia, 1996.

110] Higgs Mechanism in Nontrivial Background, V. I. Shevchenko, hep-th/9810222.

111] G. Bali, K. Schilling and C. Schlichter, Phys. Rev. D51 (1995) 5165.

112] M. Sato and S. Yahikozawa, Nucl. Phys., B436 (1994) 100.

113] K. Lee, Phys. Rev. D48 (1993) 2493.

114] K. Bardakci, S. Samuel, Phys. Rev. Lett., V18 (1978) 2849.

115] D. V. Antonov, Phys. Lett. B427 (1998) 274.

116] D. V. Antonov, Mod. Phys. Lett. A13 (1998) 581.

117] J. Polchinski and A. Strominger, Phys. Rev. Lett., 67 (1991) 1681.

118] A.M. Polyakov, Nucl. Phys., B268 (1986) 406.

119] H. Kleinert, Phys. Lett., 174B (1986) 335.

120] V. Bornyakov and G. Schierholz, Phys. Lett, B384 (1996) 190.

121] Э. Т. Ахмедов, M. И. Поликаров и M. H. Чернодуб, Письма в ЖЕТФ, 67 (1998) 367; [JETP Lett. 67 (1998) 389].

122] D. Zwanziger, Phys. Rev. D3 (1971) 880.

123] G. 't Hooft, Nucl. Phys., B138 (1978) 1; Nucl. Phys., B153 (1979) 141.

124] Y. Кота, H. Suganumaand H. Toki, hep-ph/9804289; Talk at "INNOCOM '97, XVII RCNP the International Symposium on Innovative Computational Methods in Nuclear Many-Body Problems", November 1997, Osaka, Japan.

125] Д. А. Комаров и M. H. Чернодуб, Письма в ЖЕТФ, 68 (1998) 109; [ JETP Lett. 68

(1998) 117].

126] String Representation of Field Correlators in the SU(3)-Gluodynamics, D. Antonov and D. Ebert, preprint HUB-EP-98/55, hep-th/9809018.

127] H. Suganuma, S. Sasaki and H. Toki, Nucl. Phys. B435 (1995) 207.

128] S. Kamizawa, Y. Matsubara, H. Shiba and T. Suzuki, Nucl.Phys. B389 (1993) 563.

[129] М. N. Chernodub, М. I. Polikarpov, A. I. Veselov and M. A. Zubkov, to be published in Proceedings of the 16th International Symposium on Lattice Field Theory (LATTICED'), edited by T. DeGrand, Elsevier, 1998.

[130] A. V. Pochinsky, M. I. Polikarpov and B. N. Yurchenko, Phys. Lett. A154 (1991) 194.

[131] A. Hulsebos, hep-lat/9406016; Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.) 34 (1994) 695.

[132] M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov, A. I. Veselov and M. A. Zubkov, Phys. Lett. B432 (1998) 182.

[133] K. Kajantie et al, Nucl. Phys. B466 (1996) 189.

[134] M. Gürtler et al., Nucl. Phys. B483 (1997) 383.

[135] M. Gürtler, E.-M. Ilgenfritz and A. Schiller, Phys. Rev. D56 (1997) 3888.

[136] M. Teper, Phys. Lett. B311 (1993) 223.

[137] О. А. Борисенко, Ф. В. Губарев и М. Н. Черонодуб, Письма в ЖЕТФ, 67 (1998) 526; [JETP Lett. 67 (1998) 553].

[138] О. A. Borisenko, М. N. Chernodub and F. V. Gubarev, Phys. Lett. B423 (1998) 130.

[139] K. Kajantie et al, Nucl. Phys. B458 (1996) 90.

[140] M. N. Chernodub, F. V. Gubarev and E.-M. Ilgenfritz, Phys. Lett. B424 (1998) 106.

[141] T. A. DeGrand and D. Toussaint, Phys. Rev. D22 (1980) 2478.

[142] T. Vachaspati, "Electroweak Strings, Sphalerons and Magnetic Fields", in the Proceedings of the NATO Workshop on "Electroweak Physics and the Early Universe", Sintra, Portugal (1994); Series B: Physics Vol. 338, Plenum Press, New York (1994); hep-ph/9405286.

[143] M. Garcia Perez and P. van Baal, Nucl. Phys. B429 (1994) 451.

[144] M. Garcia Perez and P. van Baal, Nucl. Phys. B468 (1996) 277.

[145] M. Hindmarsh, in Electroweak Physics and the Early Universe, J. C. Romäo and F. Freire (Eds.), Plenum, New York, 1995, p. 195, hep-ph/9408241.

[146] M. Hindmarsh and M. James, Phys. Rev. D49 (1994) 6109.

[147] M. Axenides, A. Johansen, H. B. Nielsen and 0. Tornkvist, Nucl. Phys. B474 (1996) 3.

[148] H. K. Lo, Phys. Rev. D51 (1995) 7152.

[149] H.G. Evertz, J. Jersak and K. Kanaya, Nucl.Phys. B285 (1987) 229.

[150] F. Karsch, E. Seiler and I.O. Stamatescu, Phys.Lett. 131B (1983) 138.

[151] A.M. Polyakov, Nucl.Phys. B120 (1977) 429.

[152] M.H. Чернодуб, Письма в ЖЕТФ, 66 (1997) 577; [JETP Lett 66 (1997) 605].

[153] M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, E.-M. Ilgenfritz and A. Schiller, Phys. Lett. B434 (1998) 83.

[154] E.-M. Ilgenfritz et ai, Phys. Lett. B356 (1995) 561.

[155] K. Kajantie et al., Phys. Lett. B428 (1998) 334.

[156] M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, E.-M. Ilgenfritz and A. Schiller, preprints KANAZAWA-98-08 and UL-NTZ 18/98, accepted for publication in Phys. Lett. B.

[157] M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, E.-M. Ilgenfritz and A. Schiller, preprint KANAZAWA-98-13, to be published in Proceedings of the 16th International Symposium on Lattice Field Theory (LATTICE'98% edited by T. DeGrand, Elsevier, 1998.

[158] T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 73 (1994) 373.

[159] P.A.M. Dirac, Canad. J. Phys. 33 (1955) 650.