Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости и строительной механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, доктор технических наук Коробко, Андрей Викторович

• Коробко, Андрей Викторович
• доктор технических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор технических наук Коробко, Андрей Викторович

Введение

Глава 1 Краткий обзор развития геометрических методов ре- 19 шения двумерных задач теории упругости. Обоснование темы исследования

1.1 Краткий обзор развития геометрических методов решения 19 задач теории упругости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости и строительной механики»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проектирование современных машин, аппаратов и их агрегатов связано со всесторонними исследованиями прочности и жесткости конструкций, находящихся под воздействием как статических, так и динамических нагрузок. Расчетные схемы многих элементов таких конструкций могут быть представлены в виде стержневых, пластинчатых, оболо-чечных и комбинированных (пластинчато-стержневых, оболочечно-пластин-чатых и др.) систем. Для их расчетов создаются программные комплексы целевого назначения, включающие в себя подготовку исходных данных, численную реализацию алгоритмов расчета конструкций определенного вида на ЭВМ, выдачу результатов в удобной для практического использования форме [92].

Однако по-прежнему в расчетной практике большое значение придается развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, машин и агрегатов. «. упрощенные методы расчета не потеряли и, видимо, еще очень долго не потеряют своего значения. Во-первых, простые аналитические решения, наглядно отражающие влияние отдельных параметров конструкций, необходимы для правильного понимания силовой схемы конструкции. Во-вторых, умение пользоваться простыми мето дами расчета, не требующими сложных программ счета, с одной стороны, избавляет проектировщика в необходимости каждый раз прибегать к помощи мощных ЭВМ для получения оперативного результата на начальной стадии проектирования, с другой стороны, помогает ему контролировать и правильно истолковывать результаты уточненных поверочных расчетов. Наконец, упрощенные аналитические методы используются в системах автоматизированного проектирования на этапах оптимизации силовых конструкций, когда производится многократное повторение прочностного расчета с целью подбора оптимальных параметров отдельных элементов и всей конструкции» [9, с. 4].

К типичным элементам конструкций зданий и сооружений, машин и агрегатов, расчет которых сводится к двумерным задачам теории упругости, относятся, в частности: стержни произвольного сечения, испытывающие деформации кручения (различного рода валы, элементы силового набора фюзеляжа и крыла самолета [1, 13, 113], корпуса корабля [106], вращающиеся детали машин и др.); мембраны (элементы приборов [86], обшивки ракет, крыла и фюзеляжа самолета [1, 111], корпуса корабля [86] и др.); пластинки (плоские несущие элементы зданий и сооружений, машин и агрегатов, работающие в условиях поперечного и продольного изгибов [1, 13, 111] и др.).

Разработкой и совершенствованием методов расчета различных элементов конструкций занимаются науки: теории упругости, строительная механика и механика деформируемого твердого тела (МДТТ), которые имеют в настоящее время целый ряд достижений. Современная теория расчета пластинок и мембран считается достаточно разработанной. Имеются классические аналитические методы [78, 108, 109, 110], которые дают точные решения для ограниченного набора форм областей в некоторых задачах (квадрат, прямоугольники, равносторонний треугольник). В большинстве же практически важных случаев применяются приближенные методы расчета, с помощью которых найдены решения дйя некоторых задач, связанных с областями в виде ромбов, параллелограммов, равнобедренных треугольников, равнобочных трапеций. Такие решения приводятся в соответствующей справочной литературе [14, 17, 90, 105]. Они получены, как правило, численными методами для конкретного вида областей с различной степенью точности.

Среди приближенных подходов к решению двумерных задач теории упругости одним из основных направлений совершенствования методов расчета является разработка методов, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможностью получения двусторонних оценок. Перспективным в этом плане является изопериметрический метод [57, 87, 115, 118,], относящийся к эффективным геометрическим методам исследования, использующим геометрическое преобразование - симметризацию Штейнера. В настоящее время этот метод находит все более широкое распространение в математической физике [87], теории упругости [57, 118] и прикладных задачах динамики и прочности машин. Получаемые с его помощью двусторонние оценки некоторых интегральных характеристик в виде изопериметриче-ских неравенств в ряде случаев являются достаточно эффективными. Однако во многих случаях эти оценки бывают неудовлетворительными. До настоящего времени не исследованы вопросы поведения и характера изменения интегральных характеристик в процессе геометрических преобразований, а рассматриваются лишь их конечные значения, соответствующие граничным фигурам. Не получено строгого математического доказательства наличия функциональной связи между интегральными характеристиками и коэффициентом формы области. Набор используемых геометрических операций для преобразования фигур включает в себя лишь штейнерову симметризацию. Не систематизированы и не рассмотрены в обобщенном виде свойства и закономерности коэффициента формы плоской выпуклой области.

В связи с отмеченными недостатками изопериметрического метода представляется весьма актуальным проведение дальнейших исследований с использованием установленных закономерностей этого метода [87] в направлении разработки теоретических основ и математического аппарата нового инженерного метода, который бы давал возможность построения аппроксимирующих функций, представляющих собой простые приближенные аналитические решения рассматриваемых задач для ограниченного подмножества фигур путем геометрического моделирования формой области в пределах рассматриваемого подмножества с использованием в качестве аргумента коэффициента формы области, а также значительного расширения арсенала геометрических приемов и способов преобразования фигур.

Объект исследования. В качестве объекта исследования в работе приняты пластинки, находящиеся в условиях поперечного и продольного изгибов и свободных колебаний, мембраны, находящиеся в условиях поперечного изгиба и свободных колебаний, и сечения стержней, воспринимающих деформации кручения. Выбор этих элементов обусловлен общностью подходов к анализу их напряженно-деформированного состояния (НДС), относящейся к классу двумерных задач теории упругости. В работе рассматриваются задачи, которые математически описываются дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков. К числу рассматриваемых задач относятся: поперечный изгиб мембран и пластинок; свободные колебания мембран и пластинок; устойчивость пластинок; кручения упругих призматических стержней.

Цель исследования заключается в разработке теоретических основ, математического аппарата и методологических принципов реализации нового инженерного метода решения двумерных задач теории упругости - метода интерполяции по коэффициенту формы области (МИКФ).

В основу исследований положена гипотеза о том, что интегральная геометрическая характеристика формы области (коэффициент формы К£) является геометрическим аналогом интегральных характеристик в рассматриваемых задачах, связанных с плоской областью с выпуклым контуром, а изменение коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях моделирует изменение соответствующих интегральных характеристик.

Задачи исследования заключаются в следующем.

1 Исследование физико-механических и геометрических аналогий в рассматриваемых задачах теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков. Доказательство функциональной связи между интегральными характеристиками исследуемых объектов и их коэффициентом формы.

2 Исследование закономерностей изменения коэффициента формы области при геометрических преобразованиях различных фигур, выявление изопериметрических свойств К^ и доказательство основных изопериметриче-ских теорем относительно этой характеристики для различных классов (подмножеств) геометрических фигур. Обобщение всех имеющихся в научной литературе и полученных в диссертации сведений о коэффициенте формы. Разработка алгоритма и программы для вычисления К^ с помощью ЭВМ.

3 Разработка теоретических основ и математического аппарата МИКФ для построения аппроксимирующих функций, являющихся приближенными аналитическими решениями при нахождении интегральных характеристик в рассматриваемых задачах, связанных с процессом геометрических преобразований плоских областей.

4 Разработка приемов и способов использования полученных интегральных характеристик для построения полей деформаций, внутренних усилий и напряжений.

5 Исследование погрешности решений, получаемых с помощью МИКФ, и разработка способов ее оценки.

6 Разработка методологических приемов и способов геометрического моделирования формой области в рассматриваемых задачах для различных классов геометрических фигур и граничных условий.

7 Распространение МИКФ на области с невыпуклым контуром и области с комбинированными граничными условиями.

Методы исследования. В работе использованы фундаментальные методы теории упругости, среди которых: методы физико-механической и геометрической аналогий, вариационные методы, изопериметрический метод.

Достоверность научных положений и полученных результатов подтверждается строгостью математических доказательств, а также их сравнением с известными результатами, найденными с помощью фундаментальных методов теории упругости.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1 Установлена фундаментальная закономерность в теории упругости о функциональной взаимосвязи интегральных характеристик в рассматриваемых задачах и коэффициентом формы области. Доказано, что коэффициент формы является геометрическим аналогом соответствующих интегральных характеристик, то есть изменение области при геометрических преобразованиях моделирует изменение соответствующих интегральных характеристик и дает не только качественную, но и количественную картину их изменения. Установлена закономерность о двусторонней ограниченности интегральных характеристик и указаны эти границы.

2 Предложен приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков для двумерных задач теории упругости.

3 Подробно исследованы и обобщены закономерности изменения коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях; доказаны теоремы относительно его изопериметрических свойств и закономерностей для отдельных классов геометрических фигур; разработан алгоритм и программа вычисления коэффициента формы с помощью ЭВМ для любой области с выпуклым контуром.

4 Разработаны теоретические основы и математический аппарат нового инженерного метода - метода интерполяции по коэффициенту формы -для получения приближенных аналитических решений в двумерных задачах теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков.

5 Подробно исследованы решения, полученные с помощью МИКФ, для многих задач, связанных с областями определенных классов (треугольные, параллелограммные, трапециевидные области, области в виде частей круга (секторы, сегменты, луночки и т. п.), области в виде правильных фигур); предложены разнообразные геометрические приемы преобразований фигур с целью образования определенных подмножеств областей.

6 Показаны возможные пути дальнейшего развития МИКФ для решения задач, связанных с комбинированными граничными условиями и областями с невыпуклым контуром.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенный инженерный метод решения задач теории упругости может быть широко использован при реальном проектировании элементов конструкций в виде пластинок, мембран и призматических стержней в прикладных проблемах расчета строительных конструкций и задачах динамики и прочности машин. Полученные в работе аналитические зависимости, графики и таблицы могут быть непосредственно использованы в виде справочного материала при проектировании.

На защиту выносится новый инженерный метод решения двумерных задач теории упругости, математическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого, - метод интерполяции по коэффициенту формы.

В числе отдельных вопросов, имеющих самостоятельное теоретическое и практическое значение, на защиту так же выносятся:

- доказательство существования фундаментальной закономерности о функциональной взаимосвязи и геометрической аналогии между интегральными характеристиками рассматриваемых задач с коэффициентом формы;

- приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков с использованием разрешающей функции, линии уровня которой подобны контуру области и подобно расположены;

- результаты исследований изопериметрических свойств и закономерностей коэффициента формы выпуклой плоской области для геометрических фигур различного вида; алгоритм и программа вычисления Кг для произвольных фигур с выпуклым контуром с помощью ЭВМ;

- графическая интерпретация функциональной взаимосвязи интегральных характеристик в рассматриваемых задачах с коэффициентом формы при различных геометрических преобразованиях областей;

- результаты решения многочисленных задач, связанных с различными областями.

При проведении исследований принят ряд ограничений, сужающих круг рассматриваемых в работе задач: в работе исследуются только одно-связные области с выпуклым контуром и однородными граничными условиями (за исключением 10-й и 11-й глав); задачи продольного изгиба пластинок (устойчивости пластинок) ограничены случаем всестороннего равномерного сжатия по контуру; в работе не рассматриваются физически и геометрически нелинейные задачи строительной механики.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы: две монографии, 37 научных статей, учебник для вузов, научно- учебно-методическое пособие, получено одно авторское свидетельство на изобретение.

Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в диссертации, докладывались в 1990.1998 гг. на научно-технических конференциях различных вузов страны, а также на ХУ-й Международной конференции по теории пластин и оболочек (Нижний Новгород, 1992), на Ш-й Международной научной конференции "Материалы для строительных конструкций" (Макеевка, Украина, 1994), на И-й Международной конференции "Циклические процессы в природе и обществе" (Ставрополь, 1994), на Н-ой научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии" (Курск, 1995), на Х1-й Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Пущино Московской области, 1996), межвузовской областной конференции молодых ученых "Проблемы современной науки" (Орел, 1996), на Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых твердых тел. Методы конечных и граничных элементов» (С. Петербург, 1998); на научных семинарах, проводимых под руководством профессоров Толоконникова JI. А. (Тула, ТГУ, 1997), Гордона В.А. (Орел, ОрелГТУ, 1998, 1999), Леонтьева Н. Н. (Москва, МГСУ, 1998), Василькова Г.В. (Рос-тов-на Дону, 1999), Сафронова B.C. (Воронеж, ВГАСА, 2000). Диссертационная работа обсуждалась со специалистами отдела МДТТ ИМАШ РАН, возглавляемого чл.-корр. РАН Махутовым H.A.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 316 страницах машинописного текста и состоит из введения, двенадцати глав, заключения, списка литературы, включающего 134 наименования, и двух приложений. В работе приведены 114 рисунков и 41 таблица.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Коробко, Андрей Викторович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

По результатам проведенных в работе теоретических исследований можно сделать следующие выводы.

1 Разработаны теоретические основы, математический аппарат и методологические принципы применения нового инженерного метода решения двумерных задач теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа второго и четвертого порядков, - метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ).

К числу рассматриваемых задач относятся: поперечный изгиб и свободные колебания мембран и пластинок; устойчивость пластинок; кручение упругих призматических стержней.

2 При теоретическом обосновании и разработке МИКФ решен целый ряд вопросов, представляющих самостоятельное научное значение.

2.1 Математически строго доказана функциональная связь интегральных характеристик в рассматриваемых задачах теории упругости с интегральной характеристикой формы области - коэффициентом формы. Доказано, что коэффициент формы является геометрическим аналогом интегральных характеристик, и, таким образом, путем исследования его свойств и закономерностей для ограниченного множества областей, связанных одним геометрическим преобразованием, можно оценивать как качественную, так и количественную стороны физической задачи без ее решения. Другими словами, решение сложной физической проблемы сводится к решению элементарной геометрической задачи. С учетом этого предложен способ исследования двумерных задач теории упругости с помощью геометрического моделирования формой области.

2.2 При исследовании математической стороны задачи разработан приближенный способ оценки собственных значений дифференциальных уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков.

2.3 Подробно исследованы и обобщены закономерности изменения коэффициента формы при различных геометрических преобразованиях; доказаны теоремы относительно изопериметрических свойств и закономерностей для отдельных классов геометрических фигур; разработана программа вычисления коэффициента формы для любой области с выпуклым контуром.

2.4 Разработаны способы построения аппроксимирующих функций для решения рассматриваемых задач теории упругости, относящихся к ограниченным подмножествам геометрических фигур, объединенных каким-либо одним геометрическим преобразованием, а также способы оценки погрешности решений, получаемых с помощью МИКФ.

2.5 Рассмотрена возможность построения полей деформаций, внутренних усилий и напряжений с помощью МИКФ.

3 Предложены разнообразные геометрические приемы преобразований фигур с целью создания определенных подмножеств областей.

4 Решения для некоторых классов фигур (произвольные треугольники, параллелограммы, трапеции и др.) представлены графически и указаны возможные границы изменения ФМХ.

5 Подробно изучены способы геометрического моделирования при решении многих задач теории упругости, связанных с областями определенных классов (треугольные, параллелограммные, трапециевидные области, области в виде частей круга (секторы, сегменты, луночки и т. п., области в виде правильных фигур), доказаны соответствующие изопериметрические теоремы.

6 Показаны возможные пути развития МИКФ и приемы его использования для решения задач теории упругости, связанных с областями с комбинированными граничными условиями.

7 Сравнивая МИКФ с другими приближенными методами как аналитическими, так и численными, молено очертить его область применения.

7.1 МИКФ рекомендуется использовать преимущественно в тех случаях, когда в качестве опорных используются известные из научной и справочной литературы решения:

276

- при решении двумерных задач теории упругости, связанных с типовыми (широко распространенными) областями;

- при необходимости быстрого получения оперативного результата;

- при многовариантном проектировании;

- при создании вычислительных комплексов в системах автоматизированного проектирования,

7.2 МИКФ может также применяться в указанных выше случаях и совместно с другими приближенными методами (преимущественно численными), когда опорные решения отыскиваются с помощью численных методов.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как обоснование и разработку нового научного направления исследований по проблеме развития и совершенствованию приближенных аналитических методов решения двумерных задач строительной механики.

Практическое внедрение этого метода в проектно-конструкторскую практику имеет важное народнохозяйственное значение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая результаты проведенного в диссертации исследования можно констатировать:

1 Выдвинутая в диссертации научная гипотеза о наличии функциональной связи между интегральными характеристиками в двумерных задачах теории упругости, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков, с интегральной характеристикой формы области (коэффициентом формы) нашла в работе убедительное подтверждение. Установленная закономерность носит фундаментальный характер.

2 Коэффициент формы области оказался геометрическим аналогом интегральных характеристик в рассматриваемых задачах и его использование в качестве единственного независимого аргумента при построении аппроксимирующих функций, описывающих действительные решения задачи, связанной с определенным подмножеством областей, объединенных каким-либо одним монотонным геометрическим преобразованием, позволило свести решение сложной физической проблемы к геометрическому моделированию формой области (к решению элементарной геометрической задачи). Другими словами, качественную и количественную стороны двумерных физических задач, рассматриваемых в работе, можно оценивать без решения соответствующих дифференциальных уравнений. Это является основным преимуществом разработанного метода, поскольку подобной возможности не дает ни один из известных приближенных аналитических методов в теории упругости и строительной механике.

3 Для решения конкретных прикладных задач с использованием установленной закономерности предложен новый инженерный метод - метод интерполяции по коэффициенту формы, разработаны его теоретические основы, математический аппарат и методологические приемы реализации.

4 Основное содержание диссертационной работы полностью раскрыто в научной печати: в двух монографиях, одном учебнике, 37 научных статьях, опубликованных в таких научных журналах, как "Сопротивление материалов и теория сооружений", "Известия вузов. Строительство", "Известия вузов. Авиационная техника", "Проблемы машиностроения", трудах Международной конференции по теории оболочек и пластин, трудах института кибернетики АН Украины и др. - изданиях, в которых рекомендуется публиковать результаты научных работ по материалам исследований в докторских диссертациях.

Кроме того, диссертационная работа прошла широкую апробацию на научно-технических конференциях различного уровня от вузовских до международных, докладывалась на научных семинарах, которыми руководят известные крупные ученые в области строительной механики и теории упругости.

5 Часть научных исследований по теме диссертационной работы проводилась по гранту межвузовской научно-технической программы "Ар-хитек-тура и строительство" в 1994-1995 гг., и гранту РФФИ в 1994 г. Выполненные отчеты прошли научное рецензирование экспертами программы и фонда, а также государственную регистрацию в ВИНИТИ.

6 Разработанный в диссертации инженерный метод (МИКФ) внедрен в проектную практику в Хабаровском унитарном предприятии ХДП «ЦНИИПРОЕКТЛЕГКОНСТРУКЦИЯ», Орловском АОЗТ «Гипроприбор», Орловском институту «ГИПРОНИИСЕЛЬПРОМ» при решении некоторых задач прочности и динамики строительных конструкций.

7 Результаты научных исследований, полученные в диссертации, внедрены в учебный процесс при чтении курсов лекций и проведении практических занятий по спецкурсу строительной механики, основам теории упругости и пластичности, динамике и прочности летательных аппаратов для студентов машиностроительных и строительных специальностей в ОрелГТУ, ОрелГАУ, Сев.-КавГТУ (г. Ставрополь), Комсомольском-на-Амуре ГТУ, Днепропетровской государственной металлургической академии и ряде других вузов стран СНГ.

В 1998 году в издательстве Ассоциации строительных вузов стран СНГ (г. Москва) издан учебник «УНИРС для строителей», в котором две главы написаны автором и включают материалы по использованию МИКФ в организации и проведении научно- учебно-исследовательской работы студентов. Это учебник, а также монография «Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости» рекомендованы

УМО издательства для использования в учебном процессе для студентов строительных специальностей. В 1999 году в этом же издательстве вышла монография автора «Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости», которая также рекомендована Ассоциацией в качестве учебного пособия для студентов вузов технических специальностей.

8 Результаты исследований, полученные в диссертации, могут быть использованы при формировании учебных программ для студентов машиностроительных и строительных вузов по курсам теории упругости и пластичности, строительной механики, сопротивления материалов.

Методика МИКФ рекомендуется к внедрению в проектно-конструк-торскую практику при проведении прочностных расчетов различных строительных и машиностроительных конструкций.

9 Дальнейшее развитие МИКФ может пойти по пути преодоления введенных ограничений на круг рассматриваемых задач в диссертации, а главные перспективы его развития представляются автору в направлении его применения к геометрически и физически нелинейным задачам теории упругости и теории пластичности, а также к некоторым задачам теории пологих оболочек.

10 Следует отметить и междисциплинарный характер полученных в диссертации результатов. Методика МИКФ, ввиду наличия физико-механических и геометрических аналогий при математическом описании многих физических явлений природы, может быть распространена на решение некоторых задач физики, например задач гидродинамики и аэродинамики, магнитостатики и магнитодинамики, которые описываются дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвертого порядков. Просматривается также возможность распространения этого метода на двумерные задачи математической физики, описываемые дифференциальными уравнениями параболического и гиперболического типов.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как обоснование и разработку нового научного направления исследований по проблеме развития и совершенствованию приближенных аналитических методов решения двумерных задач строительной механики.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Коробко, Андрей Викторович, 2000 год

1. Авдонин A.C. Фигуровский В.И. Расчет на прочность летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1985. 439 с.

2. Александров А.Я., Бородин М.Я., Павлов В.В. Конструкции с заполнителями из пенопластов. М.: Машиностроение, 1972. 212 с.

3. Александров А. В., Лащенников Б. Я., Шапошников H. Н., Смирнов В. А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ: В двух частях. М.: Стройиздат, 1976.

4. Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии. М.: Просвещение, 1967. - 648 с.

5. Анисимов А. Н. Устойчивость равномерно сжатых односвязных пластинок произвольной формы // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1970, N8. -С. 45-49.

6. Анпилогова А. В., Дехтярь А. С., Погорелый В. Ф. Геометрические свойства и несущая способность оболочек // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1987. - N 4. - С. 26-29.

7. Арутюнян H. X., Абрамян В. Л. Кручение упругих тел. М.: Физ-матгиз, 1964. - 840 с.8\ Ахмедиев С. К. Прочность, устойчивость и колебания треугольных пластин. Дисс. канд. техн. наук. Караганда, 1982. 156 с.

8. Балабух Л.И., Алфутов H.A., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. М.: Высшая школа, 1984. 3,91 с.

9. Безухов Н. И., Лужин О. В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974.-200 с.

10. Бояршинов C.B. Основы строительной механики машин. М.: Машиностроение, 1973. 456 с.

11. Вайнберг Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Буд1вельник, 1973, - 1050 с.

12. Варвак П. М., Варвак М. Ш., Дехтярь А. С., Рассказов А. О. Предельное равновесие оболочек отрицательной гауссовой кривизны // Пространственные конструкции зданий и сооружений. М.: Стройиздат. - 1972. -Вып. 1.-340 с.

13. Варданян Г. С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела. М.: Изд-воМИСИ, 1980. 103 с.

14. Вибрации в технике: Справочник. М.: Машиностроение, 1978. Т. 1.352 с.

15. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.- 984 с.

16. Габбасов Р. Ф. Расчет изгибаемых плит с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. - N 3. - С. 27-30.

17. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1940. - 280 с.

18. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек: Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1964. - 282 с.

19. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.

20. Гухман А. Л. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа, 1963.-254 с.

21. Дехтярь А. С. О форме и несущей способности замкнутых рам // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1989. -N3.-0.19-22.

22. Дехтярь А. С., Погорелый Д. Ф. Форма и несущая способность призматических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1989, - N 55. - С. 41-44.

23. Дубинский А. М. Расчет несущей способности железобетонных плит. Киев: Госстройиздат УССР, 1961.

24. Клячко С. Д. Об аффинности решения задач теории упругости: Тр. НИИЖТа. Строительная механика. Новосибирск. - Вып. 62. - 1967. - С. 6376.

25. Клячко С. Д. Аффинное подобие в теории неоднородных анизотропных упругих, упруго-пластических, упруго-вязких пластин и оболочек / Механика деформируемого тела и расчет сооружений: Тр. НИИЖТа. Новосибирск. - 1970. - Вып. 96. - С. 54-62.

26. Колесник И. А., Коробко А. В. Определение геометрической жесткости упругих призм с сечением в виде произвольного треугольника. Днепропетровский металлургический ин-т. Днепропетровск, 1989. 15 с. Деп. в УкрНИИНТИ 15.02.89, N 598-Ук89.

27. Колесник И. А., Коробко А. В. К вопросу о геометрической жесткости кручения секториальных призматических брусьев // Математическое и электронное моделирование в машиностроении. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР. - 1989. - С. 77-84.

28. Колесник И. А., Коробко А. В. О границах изменения физико-механических характеристик в задачах теории упругости, связанных с параллелограммом // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР. 1990. - С. 27-33.

29. Колесник И. А., Коробко А. В. Кручение упругих призматических брусьев с сечением в виде параллелограмма // Проблемы машиностроения. 1991. -Ы 36. - С. 34-39.

30. Колесник И. А., Коробко А. В. Определение физико-механических характеристик параллелограммных пластинок, мембран, сечений // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: - 1991. - N 60.

31. Колесник И. А., Коробко А. В. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев. - 1993. -N61.

32. Колесник И. А., Коробко А. В. Метод физико-геометрической аналогии в строительной механике // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. Киев: Институт кибернетики АН Украины. 1993.

33. Колманок А. С. Расчет пластинок: Справочное пособие. М. Гос-стройиздат, 1959. - 207 с.

34. Коренев Б. Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложениях к задачам о равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран // МПП. -1940. Вып. 5-6. - Т. 4. - С. 61-72.

35. Коробко А. В. Способ определения физико-механических характеристик плоских элементов конструкций // Авт. свидетельство N 1716373 СССР. М. Кл.4 G 01 N 3/00. Опубл. в БИ 1992. N 8.

36. Коробко А. В., Хусточкин А. Н. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим методом // Изв. вузов. Авиационная техника. -1992. -N 1. С. 105-114.

37. Коробко А. В. Исследование напряженно-деформированного состояния косоугольных пластинок, мембран и сечений геометрическими методами: Автореферат диссертации канд. техн. наук. Ростов-на-Дону, 1993. -20 с.

38. Коробко А. В. Определение высших форм и частот колебаний треугольных пластинок // Материалы Второй Международной конференции "Циклические процессы в природе и обществе"(Ставрополь, 1994). Изд-во Ставропольского университета, 1994. - Вып. 3. - С. 47-48.

39. Коробко А. В. Решение задач строительной механики методом интерполяции по коэффициенту формы // Изв. вузов. Авиационная техника.- 1995.-N3.-С. 81-84.

40. Коробко А. В. Решение задач строительной механики, связанных с фигурами в виде правильных многоугольников // Изв. вузов. Строительство.- 1995. -N47-C. 114-119.

41. Коробко А. В. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твердого тела. Ставрополь: Изд-во Ставропольского университета, 1995. - 165 с.

42. Коробко А. В. Свободные колебания пластинок с комбинированными граничными условиями / Сб. докладов и материалов II научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии", Курск, 1995.-С. 30-33.

43. Коробко А. В., Бояркин В. В. Оценка погрешности решений задач строительной механики, полученных методом интерполяции по коэффициенту формы / Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел, 1996.- Вып. 2. С. 65-69.

44. Коробко А. В. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению некоторых задач строительной механики / Сб. научных трудов ученых Орловской области. Орел, 1996. Вып. 2. - С. 114-122.

45. Коробко А. В. Расчет трапециевидных пластинок (мембран, сечений) методом интерполяции по коэффициенту формы // Изв. вузов. Авиационная техника, 1997. № 2. - С. 103-107.

46. Коробко A.B., Хусточкин А. Н. Взаимосвязь интегральных характеристик в двумерных задачах механики деформируемого твердого тела. Орел: ОГСХА, 1998. 22 с. Деп. В ВИНИТИ 19.03.98, № 795-В98.

47. Коробко В. И. Состояние и перспективы развития изоперметриче-ского метода в строительной механике // Изв. вузов. Строительство, 1993. N 11-12.-С. 125-135.

48. Коротеев Г. И., Чаплинский И. А. Теорема о симметризации пластинок переменной толщины // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1977. -N8. С. 47-48.

49. Коротеев Г. И. Некоторые вопросы расчета пластин переменного сечения методом предельного равновесия. Дисс. канд. техн. наук, Новосибирск, 1979.

50. Курдюмов А.А. Приложение теории подобия к расчету свободных и вынужденных колебаний корабля. В кн.: Труды Ленинградского кораблестроительного ин-та. 1961. Вып. 34. С. 63-67.

51. Куршин Л. М., Филыитинский Л. А. Устойчивость равномерно сжатой многоугольной пластинки // Изв. СО АН СССР. 1961. - N 7. - С. 3-8:

52. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

53. Лужин О. В. Проблемы устойчивости в строительной механике // Строительная механика и расчет сооружений. 1964. - N 2.

54. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.512 с.

55. Мазумдар Дж. Устойчивость пластинок произвольного очертания // Вестник МГУ. Математика и механика. 1966. - N 6. - С. 61-70.

56. Малых С. Г. Исследование графоаналитическим способом некоторых задач изгиба жестко защемленных пластинок // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1986. - N 1. - С. 126-130.

57. Мануйлов Г. А. Оценки критической нагрузки и основной частоты колебаний некоторых пластин полигонального очертания // Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкций. Л: ЛИСИ. -1983.-- С. 59-67.

58. Мануйлов Г. А. Оценки решений для четырехугольных пластин на основе некоторых геометрических преобразований // Численные решения задач строительной механики транспортных сооружений. М., 1986. - С. 6370.

59. Мануйлов Г. А. Геометрические оценки основной частоты шар-нирно опертых полигональных пластин и пологих сферических оболочек // Инженерные проблемы прикладной механики. М., 1987. - С. 87-94.

60. Мануйлов Г. А. О построении геометрических оценок решений для защемленных изотропных пластинок // Научно-технические проблемы судостроения и судоремонта. М., 1988. - С . 45-50.

61. Масленников А. М. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 225 с.

62. Митчелл Э. Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

63. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Гостехиздат, 1970. 512 с.

64. Монахенко Д. В. Предельная теорема аффинности и ее применение при моделировании задач строительной механики // Исследования по строительной механике. Л.: Изд-во ЛИИЖТа, 1968. - С. 173-179.

65. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1966. - 707 с.

66. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.

67. Овакимян С. Г. Изгиб правильных многоугольных и овалообраз-ных, защемленных по контуру тонких плит, методом конформного отображения / Тр. Ереванского политехи, ин-та. Ереван. - 1950. - Вып. 4. - С. 187235.

68. Огибалов П. М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: МГУ, 1958. - 389 с.

69. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластинки. М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

70. Пастушихин В. Н. Устойчивость упругих тонких пластинок с па-раллелограммным контуром // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1966.-N4.

71. Пискунов В. Г. К задаче о колебаниях и устойчивости параллело-граммных пластинок и мембран // Прикладная механика. Киев, 1965. - Т. 1. -Вып. 3.-С. 67-71.

72. Пискунов В. Г. Определение частот собственных колебаний треугольных и трапецеидальных пластинок // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1965. - N 9. - С. 58-62.

73. Пискунов В. Г. Частоты собственных колебаний ромбических пластинок при смешанных граничных условиях // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1969. - N4. - С. 44-46.

74. Погорелов А. В. Геометрическая теория устойчивости оболочки.-М.: Наука, 1966.-296 с.

75. Погорелов А. В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М. : Наука, 1967.- 280 с.

76. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов. М.: Машиностроение, 1980. 326 с.

77. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М. : Госматиздат, 1962. - 336 с.

78. Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике. М.: Гостехиздат, 1948. - 400 с.

79. Пригоровский Р. И. Методы и средства определения полей деформации и напряжений. М.: Машиностроение, 1983. - 248 с.

80. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трех томах. -М.: Машиностроение. 1968. - Т. 1. - 831 с; Т.2. - 463 с; Т. 3. - 567 с.

81. Рассказов А. О., Дехтярь А. С. Предельное равновесие оболочек. -Киев:, 1978. 151 с.

82. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

83. Роотс Л. М. Нахождение критической нагрузки равномерно сжатых пластинок трапециевидного и треугольного очертания / Тр. конф. по теории пластин и оболочек. Казань. - 1960 - С. 306-311.

84. Роотс Л. М. Об устойчивости пластинок различной формы. Дисс. канд. физ.- мат. наук, Тарту. - 1961.

85. Роотс Л. М. Об устойчивости пластинок различной формы, в частности треугольных и трапециевидных / Учен. зап. Тартуского ун-та. -1961,- Вып. 102. С. 351-365.

86. Роотс Л. М. Определение критических нагрузок равномерно сжатых треугольных пластинок / Учен. зап. Тартуского ун-та. 1961. - Вып. 102. - С. 372-375.

87. Роотс Л. М., Таутс Т. Об устойчивости защемленных пластинок произвольной формы // Учен. зап. Тартуского ун-та. 1962. - Вып. 129. - С. 487-492.

88. Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М.: Госстройиздат, 1954. - 287 с.

89. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М.: Госматиздат, 1955. 475 с.

90. Ржаницын А. Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1983.-288 с.

91. Самарский А. А., Андреев В. В. Разностные уравнения для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

92. Саченков А. В. К расчету на устойчивость плоских пластин // Изв. вузов. Авиационная техника. 1963. - N2. - С. 44-49.

93. Сен-Венан. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Госматиздат. 1961.

94. Серенсен C.B., Когаев В.П., Шнейдерович P.M. Несущая способность и расчеты на прочность деталей машин. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.

95. Справочник по теории упругости. Киев: Буд1вельник, 1971.419 с.

96. Суслов В.П., Кочанов Ю.П., Спихтаренко В.Н Строительная механика корабля и основы теории упругости. Л.: Судостроение, 1972. - 720 с.

97. Сухарев И. П. Экспериментальные методы исследования деформаций и прочности. М.: Машиностроение, 1987. - 212 с.

98. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / Пер. С англ. М.: Физматгиз, 1959. 439 е.

99. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. -М.: Наука, 1971.- 808 с.

100. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: 1963.- 635 с.

101. Уманский А. А. Строительная механика самолета. М,: Оборон-гиз, 1961. 529 с.

102. Фейш Тот JI. Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве. М.: Физматгиз, 1958.

103. Феофанов А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций. М.: Машиностроение. 1964. 136 с.

104. Филиппов А. П. Колебания механических систем. Киев: Науко-ва думка, 1965. - 716 с.

105. Хусточкин А. Н. Развитие и применение изопериметрического метода к решению задач устойчивости пластинок. Дисс. канд. техн. наук. -Ставрополь. 1991.

106. Шаповалов Л. А. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1990. - 287 с.

107. Шклярский Д. О., Ченцов Н. И., Яглом И. М. Геометрические неравенства в задачах на максимум и минимум. М.: Наука, 1970. - 335 с.

108. Шуманн В. Об одном изопериметрическом неравенстве в теории пластинок // Механика. 1959. - N4. - С. 73-78.

109. Cadambe V., Kumaraswami М., Kanl Р. К. Transverse vibration of thin cantilever plate of trapezoidal plan form // J. of just. Enqes of India. -1956. -Parti.-N5.

110. Carleman T. Uber ein Minimalproblem der mathematischen physik // Mathematische Zeitschriti 1918. - V. I. - P. 208-212.

111. Courant R. Beweis des satzes, das von allen homogenen Membrantn gegebenen Umfanges und gegeben Spannund die kreisförmige den tietsten crundtion gibt // Mathematische Zeitschrift. 1918. - V. 1. P. 321-328.

112. Сох H. Vibranion of isosceles triangular plates // ZAMP. 1955. - v.vl.

113. Cox H., Klein B. Vibration of isosceles triangular plate // ZAMP. -1955. v. vl.

114. Faber G. Beweis dab unter allen hovogenen Membranen von gleicher Flache und fleicher Spannung die kreisformide den tiefsten crundtion gibt // Sitzungsberichte der Bayrischen Akademie der Wissenschaften. 1923. -P. 169-172.

115. Hamanda M., Koubo H. Fundamental freguency of a rhomboidal plate with all edges clamped // Trans. Japan. Soc. Mech. Engrs.- 1957. N131.

116. Kaul R. K., Cadambe Y. The natural freguencies of eigen values of a clamped plate in tension // Aero Gurt. 1956.288

117. Kaul R. K., Cadambe V. The natural freguencis of thin skev plates //Aero. Guart. 1956.

118. Klein B. Fundamental frequencies of arbitrarily shaped simplysupported triangular plate // J. Roy. Aer. Soc. 1965. - V. 60. - N541.

119. Pan Lin-Chow. Equilibrium, vibration and Bucklind of 30 60 Trianqular plate, Simply supported at the Edqes // Scient. Sinica. - 1957. - N6 - P. 347-379.

120. Polya G. Sur la frequence fondamental des membranes vibranes et la resistance elestique des tiges a la torsion // Comptes Rendus de I Academie des saences. V. 228. - P. 346-348.

121. Steiner J. Einfache beweise der isoperimetrischen Hauptsatza // Ges. Werke. Berlin. - 1882. - V. 2. - P. 77-91.

122. Wittrick W. A. Symmetrical Buckling of Riqht-Anqled Isosceles Triaqular plates//Aeronautical Guarterly. 1954. - V. V. P. 131-143.

123. Wainstein A. Edude des spectres des equations aux derivees partielles de la theorie des plaques élastiques // Memorial des Sc. Math. 1937. -V. 88.