Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма - Лиувилля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ежак, Светлана Сергеевна

• Ежак, Светлана Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ежак, Светлана Сергеевна

Введение.

Глава 1.

Глава 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма - Лиувилля»

Вопрос оптимизации собственных значений задачи Штурма - Лиувилля за счет выбора потенциала из некоторого фиксированного класса функций часто возникает в приложениях. Например, в теории упругости в процессе поиска наиболее прочных конструкций из данного материала. Примером такой задачи является задача Лагранжа о нахождении наиболее прочной колонны единичной длины и единичного объема, являющейся телом вращения плоской кривой.

Задача Лагранжа продолжает вызывать интерес исследователей и оживленную полемику в научной печати. Она послужила источником для различных постановок экстремальных задач на собственные значения, в том числе — с интегральным условием на потенциал, одной из которых является задача, рассматриваемая в данной работе. В связи с этим приведем физическую постановку задачи Лагранжа и исторический обзор результатов, полученных в процессе ее исследования (см., например, [27]).

В 1773 году, развивая работы Л. Эйлера [33] об устойчивости упругих стержней, Ж.-Л. Лагранж [15] поставил задачу об оптимальной форме колонны, нагруженной продольной силой Р: найти форму колонны (упругого тела вращения), максимизирующую критерий "прочности т. е. доставляющую

0.1) где Рс - критическая сила потери устойчивости, а V -объем колонны.

Потеря устойчивости колонны описывается известными уравнениями изгиба тонких стержней Бернулли - Эйлера (гравитационные силы не учитываются)

Е1у")" + Ру" = 0, 0 <х<Ь. (0.2) где у(х) - функция прогиба, Е - модуль Юнга, 1(х) = 1тЯа(х)/4: - момент инерции стержня круглого сечения радиуса Л, штрихи обозначают дифференцирование по х.

Ж.-Л. Лагранж рассматривал условия шарнирного опи-рания колонны на обоих концах:

2/(0) = (Е1у'%=о = 0, у{Ь) = (Е1у")х=ь = 0. (0.3)

Объем колонны описывается интегралом ь

У = 1 А{х)дх, (0.4) о где А(х) = 7тВ?(х) - площадь поперечного сечения. Для удобства введем безразмерные переменные = V у= Ь ^ . А(Ьх)Ь а (х) =

А =

V 4 ттРЬ4 ЕУ2 '

Тогда соотношения (0.1) — (0.4) примут вид (знак ~ над символами ж, у здесь и ниже опускаем) а2(х)у")п + \у" = 0, 0<х<1 (0.6) у(0) = (a Wo = 0, 2/(1) = {a2y")x=i = 0, (0.7) i

J a(x)dx = 1. (0.8) о

Соотношения (0.6), (0.7) определяют задачу на собственные значения. Таким образом, задача Лагранжа сводится к максимизации первого собственного значения Л при изопериметрическом ограничении (0.8). Решая эту задачу, Ж.-Jl. Лагранж [15] пришел к выводу, что оптимальное решение задачи - колонна постоянного сечения (цилиндр). Ошибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя член - корреспондентом С.-Петербургской Академии наук Томасом Клаузеном [5]. Как оказалось, оптимальное решение имеет вид а0(ж) = ^sin2 в(х), у0(х) = sin3 в(х), в(х) - ]■ sin 2в(х) = тгх, (0.9) л

О<0<7г,О<а?<1,

Собственная функция уо{х) (форма потери устойчивости) определена с точностью до произвольного множителя. Критическая сила Ао для решения (0.9) в 4/3 раза превосходит соответствующее значение для колонны постоянного сечения а(х) = 1 и одинакового объема V = 1.

Задача Лагража (0.1) может быть сформулирована и слудующим образом: при заданной критической силе Рс найти колонну минимального объема (веса). Решение этой задачи и было, собственно, получено Т. Клаузеном [5] для граничных условий: жесткая заделка - свободный конец.

Ошибка Лагранжа и решение Клаузена описано в работе известного петербургского механика Е.Л. Николаи [22], опубликованной в 1907 году. Он обобщил решение Клаузена, введя дополнительное ограничение на минимально допустимую толщину колонны. Из отечественных исследований 30-х годов отметим статью Н.Г. Ченцова [32], рассмотревшего различные формы поперечного сечения стержня, и дипломную работу А.Ю. Ишлинского (1935г.).

В послевоенные годы задача Лагранжа стала популярной в США. Хотя эта задача и решение Клаузена упоминаются в книге С.П. Тимошенко [30] по истории механики, Клиффорд Трусделл [31], не зная о Т.Клаузене и его российских последователях, предложил задачу Лагранжа для решения американским ученым Дж. Келлеру и Г. Вайнбергеру. Оба ученых с этой задачей успешно справились. Однако работа Г. Вайнбергера осталась неопубликованной, а Дж. Келлер [13] не только повторил решение Клаузена, но и показал, что для выпуклых поперечных сечений оптимальная колонна имеет форму равностороннего треугольника. Он же исследовал закрити-ческое поведение оптимальной колонны с одной формой потери устойчивости.

В работе И. Таджбахша и Дж. Келлера [29] были получены оптимальные решения и для других видов граничных условий: жесткая заделка с обоих концов колонны.

Н.В. Баничук [1] рассмотрел случай свободный конец -упругая заделка. Все описанные выше решения обладали одной формой потери устойчивости.

Однако в 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен [23] обнаружили, что решение приведенное в [29] для случая жесткой заделки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя линейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). В работах А.П. Сейраняна [26] были выведены условия оптимальности бимодального решения, указаны условия его возникновения и найдено аналитическое решение для случая жесткой заделки с обоих концов. Почти одновременно аналогичные результаты опубликовал американский ученый Е. Мейзур [17]. Оказалось, что бимодальные решения для жесткой заделки, полученные разными методами в [23], [26], [17], хорошо согласуются друг с другом.

Отметим, что для решения задачи Лагранжа в общей постановке потребовались практически все разделы вариационного исчисления, включая современные достижения. Эта задача стимулирует развитие новых математических дисциплин, таких как теория экстремальных задач с недифференцируемыми функционалами. Механическая сущность задачи о колонне позволила выявить и выбрать среди возможных экстремалей оптимальные решения, имеющие ясный физический смысл. В большинстве случаев оптимальные решения оказываются бимодальными (обладающими двумя линейно независимыми формами потери устойчивости), и в этом смысле являются равноустойчивыи. Этот факт означает, что для определения прогиба колонны необходим нелинейный анализ закритического поведения.

Попытки исправить доказательство Келлера - Тадж-бахша привели к потоку статей на тему о необходимых условиях оптимальности собственного значения оператора в том случае, когда оно кратно. См. работы A.C. Бра-туся [3], A.C. Братуся и А.П. Сейраняна [4], Накамурты [21], Кокса и Овертона [6], Овертона [21], А.П. Сейраняна [26] и другие.

Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемую в [29] и связанной с ней вариационной задачи.

Пусть Л - величина нагрузки вдоль оси и и - смещение колонны в ортогональном к оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна

1 1

Т = J EI{x)\u"(x)\2dx - X J \u'(x)\2dx, о о где 1(х) - второй момент площади сечения колонны и Е - модуль Юнга. Критической нагрузкой Ai называется максимальное значение Л, при котором infM Т = 0. Таким образом,

Ai = inf F[u], и(х)ен2(o,i) J EI{x)\u"{x)\2dx

F[u] = ^-, j\u'(x)\4x 0 где Щ - пространство функций, имеющих обобщенные производные до второго порядка включительно, обращающихся в нуль на концах интервала вместе со своими первыми производными, с нормой

Уравнение Эйлера - Лагранжа для функционала ^ имеет вид

Я{хУ'(х)У + А у"(х) = О, где функция у(х) удовлетворяет следующим условиям

У(0) = 2/(0) = 2/(1) = у'{ 1) = 0.

Если Б(х) - площадь сечения колонны при 0 < х < 1, то (2(х) = Е82(х) = Б2(х) (считаем модуль Юнга Е постоянным и равным 1). При этом объем колонны фиксирован, т.е.

1 1 J 3{х)йх = J у/<2(х)(1х = 1, > 0. о о

В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, если все сечения подобны одному из них. Если колонна неоднородна, то есть составлена из слоев с различными упругими свойствами, и сечения не являются подобными, то условие на функцию можно заменить условием 1 о, о при некотором а € [0,1].

В работе Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева в [10] предложено альтернативное доказательство теоремы Келлера - Таджбахша, не зависящее от кратности собственного значения. Из результатов этих авторов следует, что форма колонны, найденная в [28] оптимальна, также как и значение 1б7г2/3 критической нагрузки.

Поскольку задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны привлекала внимание ученых многих стран мира на протяжении более 200 лет, то представленный выше обзор литературы не может претендовать на полноту, но отмечает лишь наиболее заметные этапы в истории этой задачи.

Приведем некоторые постановки экстремальных спектральных задач, порожденных задачей Лагранжа.

Оценки собственных значений задачи Штурма - Лиу-вилля

-у"{х) + ч{х)у(х) = \у(х), 2/(0) = У{ 1) = 0, рассматривались в работах А.Г. Рамма [25], Дж. Таленти [28], X. Эгнелла [8], Ю.В. Егорова и С. Караа [9], С. Караа [12].

Среди этих работ можно выделить работы, в которых рассматривается задача Штурма - Лиувилля с интегральным условием на потенциал. Приведем некоторые из результатов, полученные в этом направлении.

Ю.В. Егоровым и В.А. Кондратьевым в [10] и [11] рассматривалась задача у"(х) + М{х)у(х) = 0,

2/(0) = 2/(1) = 0, где q{x) - вещественнозначная суммируемая на (0,1) функция с положительными значениями, удовлетворяющая условию 1 о

Были получены оценки минимального собственного значения Ai этой задачи в зависимости от потенциала q(pc) при различных значениях ¡3. В процессе решения этой задачи рассматривались функционалы 1 f y'2(x)dx

L[q,y] = Vf q(x)y2(x)dx о l f y'2(x)dx

- тг-^ f\y(x)\Pdx 0 где P =

Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Ai может быть найдено следующим образом:

Ai = inf L[q, у]. у(х)еЩ( од)

Оценивались значения тр = inf Ai, Мр = sup Ai, q{x)eRp q(x)eRi3 и где Яр множество вещественнозначных суммируемых на (0,1) функций д с положительными значениями и таких, что

I Ч\х)<1х = 1, О, о

Основным результатом работы Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева является следующая теорема:

Теорема 0.1. Если ¡3 > 1, то

3-1)1+1/* 2 /1 1 хч где В - бета-функция Эйлера 1 о

Существуют функции и(х) 6 #¿(0,1) и q{x) е Щ такие, что

Ця,у] = Ця,и] = тр.

У(х)ен1¿(од)

Если /3 = 1, то гп\ = 4, М\ — оо. 1 2

Если 0 < ¡3 <\, то м' = ^Г-(I» ' **=

Существуют функции и(х) £ Яр (0,1) г/ е ^ такие, что

М; 2/] = Ця> и\ = Щу(х)еЩ(о,1)

Если Р < 0; то

1 - £)1+1//? о2 Л 1 П

Существуют функции и(х) Е #¿(0,1) и д(х) 6 Щ такие, что

Если \ < ¡3 < I, то тр = 07 Мр = оо.

К.Э. Куралбаевой в [14] рассматривалась подобная задача у"(х) + \Р{х)у{х) = 0, 2/(0) = у(1) = 0, где Р(х) - измеримая неотрицательная функция, такая что х{1 - х)Р{х)йх < оо 0 или 1 р>К( 1-^ = 1, о где 7 Е Л, 7 Ф 0, а € Я, /3 е К

Были получены оценки наименьшего собственного значения А1 этой задачи при различных предположениях относительно Р(х) и соотношениях между а, /3 и 7.

О.В. Мурышкиной в [20] рассматривалась задача Штурма - Лиувилля с симметричными краевыми условиями. у'\х) + Ар{х)у(х) = 0, 1 j/(0) - к2у{0) = 0, 1/(1) + к2у( 1) = 0, где р(х) - функция из класса Аа, где Аа при а > 0 - множество неотрицательных ограниченных функций (при а < 0 Аа - множество положительных ограниченных функций), удовлетворяющих условию 1 pa(x)dx = 1, аф 0. о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи в зависимости от потенциала р(х) при различных значениях а. Рассматривался функционал yf2(x)dx-hkY(0)-hk2y2(l)

Цр,у] = --1-•

J p(x)y2(x)dx о

Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Ai может быть найдено следующим образом:

Ai= inf L\p,y]. У(х)ен i(o,i)

Оценивались значения та — inf Ai, • Ма = sup Ai. р(х)еАа р(х)еАа

Обозначив 1

Q, = {у(х) : у(х) в H\0,1),J \у(х)\Чх < оо,д = -^L}, о приведем основной результат [20]:

Теорема 0.2. Если а > 1, то 0 < та < оо; Ма = ос, причем существуют функции и(х) 6 Н1(0,1) и р(х) 6 Аа, что inf Цр, у] = L[p, и] = та. у{х)енЦ од)

Если а = 1, то mi = = 2к2, причем эти оценки являются точными.

Если 0 < а < 1, то 0 < Ма < оо; та = 0, причем существуют функции и(х) Е 0,1) и р(х) £ Аа, что inf L[p, у] = L[p, м] = Ма. у(х)ен 1(0,1)

Если а < 0, то 0 < Ма < оо, та = 07 причем существуют функции и(х) £ Нг(0,1) и р(х) Е Аа, что inf L\p,y] = L\p,u] = Ма. у{х)ещ

Исследованиями подобных задач занимались также В.А. Винокуров, В.А. Садовничий [7]. Ими рассматривалась задача у"(х) + (А - Я(х))у(х) = 0,

2/(0) = </(0 = 0, где д(х) - вещественнозначная суммируемая по Лебегу на (0,/) функция.

Исследовался вопрос: насколько сильно можно изменить (увеличить или уменьшить) собственное значение, если д(х) меняется в пределах некоторого подмножества С3 С Ьх[0, /], а именно, есть замкнутый шар радиуса £ > 0 с центром в нуле банахова пространства Ьр[0, /],р € [1, +оо].

В работе использовались следующие обозначения

В случае д = О собственное значение Хп{о) = Оценивались

- верхний сдвиг собственного значения на множестве 11РЩ и

- нижний сдвиг собственного значения на множестве 1/рЩ Получены следующие оценки сдвига собственного значения в пространстве Ь\.

Теорема 0.3. Для любых п Е N и I € [0, оо[ верно неравенство

Ап,рОО = эир Лп(д), ч^ЩЩ К,о ~ АП|Р(0

Теорема 0.4. Для любых п £ N и I £ [0, верно неравенство

I /

В диссертации рассматривается следующая задача Штурма - Лиувилля: у"(х) + 8Q(x)y(x) + А у{х) = О,

2/(0) = 2/(1) = О, где 8 = ±1, Q(x) - неотрицательная ограниченная на [0,1] функция, удовлетворяющая условию: 1

Qa(x)dx = 1, а ф 0. о

Исследуется зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи от потенциала Q(x) при различных значениях а.

Для исследования первого собственного значения этой задачи рассматривается функционал

1 1 f y'2(x)dx — 5 f Q(x)y2(x)dx

R[Q,y] = ---• f y2(x)dx 0

Согласно вариационному принципу

Ai= inf R[Q,y]. у(х)еЩ( o,i)

Пусть ma = inf Ai, Ma = sup Ai,

Q{x)eAa Q(x)eAa где Aa - множество неотрицательных ограниченных на i

0,1] функций таких, что f Qa(x)dx = 1. о

Результаты, полученные в первой главе, формулируются в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть J = —1. Если а > 1; то та = 7г2? Ма = const < оо, причем существуют такие функции и(х) G Hq(0, 1) и Q(x) G Аа; что inf R[Q,y] = R[Q,u] = Ma. у(х)ен3(0,1) 2

Если OL — \} то 771\ = 7Г2, Ml = у + 1 + |\/7г2 + 4; причем существуют такие функции и(х) G ^¿(0,1) и Q(x) е Аа, что inf = = у(х)еЩ(о,1)

Если 0 < а < то та = 7г2, Ма = оо.

Если а < 0, то гаа = const > 7г2, Ма = оо? причем существуют такие функции и(х) G #g(0,1) и Q(x) £ что inf R[Q, г/] = ft[Q, и] = та. у(х)еЩ( од)

Результаты, полученные во второй главе, формулируются в виде следующей теоремы.

Т е о р е м а 2. Пусть 6 = +1. Если а > 1, то та = const > 0, Ма = 7г2, причем существуют такие функции и(х) G i?o(0,1) и Q(x) G Аа, что inf R[Q,y] = R[Q,u] = та. у(х)еЩ( од)

Если а = 1, то mi есть решение уравнения 2л/А = tg ? = 71-27 причем mi достигается на функции Q(x) = S (ж — .

Если 0 < а < 1/3; то та = —оо, Ма = const < tv2. Если 1/3 < а < 1/2, то та = —оо, Ма < 7г2. Если 1/2 < а < 1, то та = —оо, Ма = 7г2. а < 0, то та = — оо, Ма = const < it2, причем существуют такие функции и(х) Е #¿(0,1) и Q(x) Е что inf Я[<2, ?/] = Д[<Э, и] = Ма. уфбЯ^ОД)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ежак, Светлана Сергеевна, 2005 год

1.. Баничук H.B. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1974. - N 4. - С. 150-154.

2. Буттаццо Дж., Джаквинта М., Гильдебрандт С. Одномерные вариационные задачи. Введение. Новосибирск: Научная книга, 2002.

3. Братусь A.C. Кратные собственные значения в задачах оптимизации, спектральные свойства систем с конечным числом степеней свободы // Журн. вычислит, ма-тем. и матем. физ. 1986. - Т. 26. - С. 1-7.

4. Братусь A.C., Сейранян А.П. Бимодальные решения в задачах оптимизации собственного значения // При-кл. матем. мех. 1983. - Т. 47. - С. 451-457.

5. Clausen Т. Uber die form architektonischer Säulen // Bull. cl. physico-raath. Acad. St.-Petersbourg. 1851. - T. IX. - P. 371-380.

6. Cox S.J., Overton M. L. On the optimal design of columns against bucking // SIAM J. Math. Anal. 1992. - V. 23. - P. 287-325.

7. Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала // Доклады Академии наук. 2003. - Т. 392, N 5. - С.592-597.

8. Egnell H. Extremal properties of the first eigenvalue of a class of elliptic eigenvalue problems // Annal. Sculntern. Series of Numerical Mathematics. 1984. - V. 71. - P. 341350.

9. Egorov Yu.V., Karaa S. Optimisation de la premiere valeur propre de l'operateur de Sturm Liouville // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. I. - 1994. - V. 319. - P. 793-798.

10. Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of elliptic operators //in Operator theory: Advances and Applications. Birkhouser. 1996. - V.89. - P. 1-325.

11. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля // УМН. -1996. Т.51, вып. 3 (309). - С. 73-144.

12. Karaa S. Valeurs propres extremales dans problèmes de Sturm Liouville // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. I. - 1995.- V. 321. P. 265-270.

13. Keller J.B. The shape of the strongest column // Arch. Rat. Mech. Anal. 1960. - V. 5, N 4. - P. 275-285.

14. Куралбаева К.З. Об оценке первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, N 6. - С. 852-853.

15. Lagrange J.-L. Sur la figure des colonnes. In: Ouvres de Lagrange (Publ. de M. J.-A.: Serret), V. 2. Paris: Gauthier- Villars. 1868. - P. 125-170.

16. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

17. Masur E.F. Optimal structural design under multiple eignvalues constraints // Internat. J. Solids Struct. 1984. -V. 20, N 3. - P. 211-231.

18. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения вчастных производных. М.: Наука, 1983.

19. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

20. Мурышкина О.В. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с несимметричными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2001. - N 3. - С. 114-115.

21. Nakamura S. A remark on eigenvalue splittings for one-dimensional double-well Hamiltonian // Lett. Math. Phys.- 1986. V. 11. - P. 337-340.

22. Николаи Е.Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн // Изв. С.-Петербургского политехи. института. 1907. - T.VIII, вып. 1. - С.255-288.

23. Olhoff N., Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clamped columns // Internat. J. Solids Struct. 1977. V. 13, N 7. - P. 605-614.

24. Overton M. L. Large-scale optimizition of eigenvalues // SIAM J. Optim. 1992. - V. 2. - P. 88-120.

25. Ramm A. Topics scattering and spectral theory. Queries // Notices Amer. Math. Soc. 1982. - V. 29. - P. 327-329.

26. Сейранян А.П. Об одной задаче Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. - N 2. - С. 101-111.

27. Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Институт механики МГУ им. Ломоносова. Препринт N 60-2000. - 64 с.

28. Talenti G. Estimates for eigenvalues of Sturm-Liouville problems // Intern. Series of Numerical Mathematics. 1984.- V. 71. P. 341-350.

29. Tadjbakhsh I., Keller J.B. Strongest columns andisoperimetric inequalities for eigenvalues // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1962. - V. 29, N 1. - P. 159-164.

30. Timoshenko S.P. History of Strength of Materials. -New York: McGraw Hill, - 1953.

31. Truesdell C. Essays in the History of Mechanics. -Berlin: Springer-Verlag, 1968.

32. Ченцов Н.Г. Стойки наименьшего веса // Тр. ЦА-ГИ. 1936. - вып. 265. - 48 с.

33. Эйлер Л. Об упругих кривых. В кн.: Эйлер JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметри-ческой задачи, взятой в самом широком смыле. M.-JL: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры - 1934. - С. 447-572.

34. Ежак С.С. Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля // Тезисы докладов. Международная молодежная научная конференция "XXVIII Гагаринские чтения", Москва, 8 -12 апреля 2002 г. М.: Изд. МАТИ - РГТУ. - 2002. -С.66.

35. Ежак С.С. Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма Лиувилля с интегральным условием на потенциал // Дифференциальные уравнения. - Москва. - 2004. - Т.40, N 6. - С. 856.

36. Ежак С.С. Оценки первого собственного значения некоторых задач Штурма Лиувилля // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. - М.: Изд.ЦПИ при мех. - мат.факультете МГУ. - 2004. - С. 83-89.

37. Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма Лиувилля с интегральным условием // принята к печати в журнале "Современная математика и ее приложения"в 2005 году.

38. Ежак С.С. Оценки минимального собственного значения задачи Штурма Лиувилля с интегральным условием на потенциал // МЭСИ. - М., 2004. - 21 е., библ. 7. -Рус. - Деп. в ВИНИТИ 06.12.2004, е 1920-В2004.