Нелинейные и конструктивно-нелинейные задачи механики упругих элементов конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Андрюкова Вероника Юрьевна

• Андрюкова Вероника Юрьевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Андрюкова Вероника Юрьевна

Введение

Глава 1. Современное состояние исследований

Глава 2. Устойчивость упругих систем с неудерживающими связями и

условная положительная определенность квадратичных форм на конусах

Глава 3. Устойчивость упругих систем с односторонними связями

3.1. Устойчивость сжимаемых продольной силой стержней при односторонних ограничениях на перемещения

3.2. Устойчивость стержня при жестких ограничениях на перемещения

с граничными условиями свободного края

3.3. Об устойчивости кругового кольца, сжимаемого равномерно распределенными центральными силами, при наличии односторонних ограничений на перемещения

3.3.1. Аналитическое решение задач устойчивости кольца с односторонним подкреплением в случае центральных сил

3.3.2. Случай внешнего нормального давления

3.3.3. Задача устойчивости кругового кольца, подкрепленного нитями, расположенными по сторонам правильного т—угольника

3.4. Устойчивость прямоугольных пластин при односторонних ограничениях на перемещения

3.5. Устойчивость оболочек вращения

3.5.1. Устойчивость 'горообразной оболочки

3.5.2. Устойчивость сферической оболочки

Глава 4. Линейные и нелинейные колебания прямоугольных пластин

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность и степень разработанности темы

Исследование устойчивости упругих систем берет свое начало с работ Эйлера по теории продольного изгиба. Проблемы упругой устойчивости исследовались многими авторами, например, Б. Будянским, И.И. Воровичем, А.Л. Гольденвейзером, Э.И. Григолюком, В.В. Новожиловым, А.В. Погореловым, Е.П. Поповым, С.П. Тимошенко, Г. Циглером. Общая концепция упругой бифуркационной устойчивости изложена в монографии В.В. Новожилова. В связи со стремительным развитием вычислительной техники и появлением универсальных численных алгоритмов решения краевых задач (метод граничных элементов, метод конечных элементов) к настоящему времени появились комплексы программ, позволяющие рассчитывать упругие конструкции на устойчивость, к примеру, разработанные А.В. Перельмутером и В.И. Сливкером.

В общем случае проблемы упругой устойчивости сводятся к нахождению точек бифуркации некоторых нелинейных уравнений.

Исследованию контактных задач для гибких элементов конструкций посвящено большое количество работ, например, диссертация Ю.П. Артюхина, его исследования в соавторстве с С.Н. Карасевым по теории пластин и оболочек, К. Байоки совместно с А. Капело в работе "Вариационные и квазивариационные неравенства". Решение вариационных неравенств в механике рассмотрено в одноименной книге группой авторов:

И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас, Я. Ловишек. Численно исследовали вариационные неравенства Р. Гловински, Ж,-Л. Лионе, Р. Тримольер, П. Панагиотопулоса.

Одной из важных проблем является задача изучения влияния односторонних связей на устойчивость упругой конструкции. Наличие таких связей приводит к появлению неравенств, которым должны удовлетворять перемещения. Анализ упругих систем на устойчивость при наличии односторонних (неудер-живающих) связей сводится к определению параметров, при которых задача оптимизации имеет неединственное решение. Общий подход и методы решения за-

дач устойчивости упругих систем при наличии односторонних связей изложены в монографии В.Н. Тарасова, а также в его работах в соавторстве с Д.В. Холмогоровым. Во многих случаях системы, ограниченные односторонними связями, сводятся к идентификации условной положительности квадратичных форм на конусах. Алгебраический критерий условной положительности в самом важном случае, когда конус есть неотрицательный ортант в Яп, предложен в работах В.Л. Крепса и Л.Б. Рапопорта.

Общая характеристика диссертационной работы

Целью диссертационной работы и задачей исследования является исследование задач устойчивости упругих систем с односторонними ограничениями на перемещения и влияние односторонних связей на значение критической нагрузки.

Актуальность исследования

Проблемы упругой устойчивости находятся в центре внимания механики тонкостенных конструкций. В связи широким использованием в машиностроении, механики строительных конструкций и элементов с неизвестной областью контакта актуальной является задача расчета на прочность и устойчивость таких систем. Также актуальной является задача нахождения все более точных методов расчета на устойчивость оболочек вращения.

Научная новизна

Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Ряд постановок задач устойчивости равновесия связаны с вариационными формулировками, которые важны как для теоретических, так численных исследований. Рассматриваемые проблемы относятся к контактным задачам теории упругости с неизвестной областью активного взаимодействия элементов конструкции. Подобные задачи являются конструктивно-нелинейными, так как при их математической формализации используются неравенства и недифференцируемые функции. Поэтому в подобных задачах необходимо находить и исследовать точки бифуркации негладких уравнений или решений задач нелинейного программирования. При нагрузке, большей критической величины, упругая система мо-

жет перейти в смежное состояние равновесия. При этом, как правило, малые возмущения приводят к большим изменениям состояния системы, вплоть до потери несущей способности.

Методология и методы диссертационного исследования выбирались исходя из особенностей решаемых задач: конструктивно нелинейные задачи исследовались методами математического моделирования с применением методов оптимизации, а также методов решения неклассических вариационных задач с ограничениями в виде неравенств.

Достоверность полученных результатов

Результаты математически строго доказаны и подтверждены численными экспериментами.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты решения задач устойчивости упругих систем при наличии односторонних связей могут быть использованы в проектировании различных конструкций, приборов машиностроения.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Аналитическое решение задачи устойчивости сжимаемого продольной силой стержня, прогиб которого с одной стороны ограничен жестким препятствием, при граничных условиях свободного края.

2. Аналитическое решение задачи устойчивости упругих колец, нагруженных нормальными или центральными силами, и подкрепленных упругими нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий.

3. Результаты численного исследования задачи устойчивости оболочек вращения в осесимметричном случае в наиболее точной нелинейной постановке с вычислением работы внешних сил по точной термодинамической формуле.

4. Результаты численного решения задачи устойчивости прямоугольных пластин при односторонних ограничениях на перемещения с граничными условиями свободного края.

5. Результаты численного анализа нелинейных колебаний прямоугольных пластин в рамках теории Кармана.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные и конструктивно-нелинейные задачи механики упругих элементов конструкций»

Апробация работы

Результаты научных исследований опубликованы в 25 печатных работах и были представлены на конференциях различного уровня: XIII Коми республиканской молодежной научной конференции. Российская академия наук Уральское отделение Коми научный центр, Сыктывкар, 1997.

XIV Коми республиканской молодежной научной конференции. Российская академия наук Уральское отделение Коми научный центр, Сыктывкар, 2000. Международной конференции «XVIII сессия Международной Школы по моделям механики сплошной среды» г. Саратов, 2007.

«Февральские чтения», Сыктывкарский государственный университет (2008 г., 2010 г., 2011 г., 2012 г., 2013 г., 2014 г., 2015 г.).

«Февральские чтения» региональная научно практическая конференция, Сыктывкарский лесной институт (2008 г., 2011 г., 2012 г.).

I Всероссийской молодежной научной конференции «Молодежь и наука на Севере», г. Сыктывкар (2008).

IV Международная конференция «Математическая физика и ее приложения», г. Самара, 2014 г.

XIX Зимняя школа по механике сплошных сред, г. Пермь, Институт механики сплошных сред, 2015 г.

Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 2015 г.

Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 100-летию В.14. Феодосьева, Москва, 2016 г.

XX Зимняя школа по механике сплошных сред, г. Пермь, Институт механики сплошных сред, 2017 г.

Международный семинар «Теоретико-групповые методы исследования физических систем», 2017. Физико-математический институт Коми НЦ Уро РАН, Сыктывкар.

Публикации

По теме диссертации опубликована 25 работ, включая 3 работы в рецензируемых журналах из перечня ВАК.

• Андрюкова В.Ю., Тарасов В.Н. Об устойчивости упругих систем с

неудерживающими связями. // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2013. №3(15). С. 12-18.

• В.Ю. Андрюкова, В.Н. Тарасов Аналитическое решение задач устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения. Известия Коми НЦ Уральского отделения РАН. 3(19). 2014. с. 39 43.

•

посторонними ограничениями на перемещения.// "Вычислительная механика сплошных сред". Пермь. 2014. Том 7, №4. С.412 422.

А также публикацию, входящую в систему цитирования Scopus:

•

for elastic rings. Труды международной конференции «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы», посвященной памяти профессора В.Ф. Демьянова. Часть I. - СПб.: Издательство ВВМ, 2017. 268 е.; DOI: 10.1109/CNSA.2017.7973928.

Личный вклад автора заключается в анализе текущего состояния исследований по теме работы, создании алгоритмов, формулировке основных результатов и выводов диссертации. Автор предложила и реализовала новый метод расчета на устойчивость оболочек вращения в осесимметричном случае. Автор лично получила аналитические решения задачи устойчивости стержня, прогиб которого с одной стороны ограничен жестким препятствием, при граничных условиях свободного края, а также задачи устойчивости упругих колец, нагруженных нормальными или центральными силами, и подкрепленных упругими нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий. Автор непосредственно разрабатывала и реализовывала алгоритм численного решения задач нелинейных колебаний прямоугольных пластин в рамках теории Кармана. Автор лично проводила численные эксперименты, представленные в работе, и обрабатывала полученные результаты.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 88 наименований. Работа изложена на 93 страницах текста, подготовленного в издательской системе 1^1^X2£ и распечатанного в

размере шрифта 14 пунктов через 1,5 межстрочных интервала. Содержание работы

Во введении обсуждается история вопроса, приводится обзор литературы по теме диссертации. Рассматривается общая характеристика диссертационной работы, кратко излагаются полученные результаты. Первая глава посвящена краткому обобщению современного состояния исследований. Вторая глава представляет необходимый теоретический материал. В третьей главе приведено аналитическое решение задачи устойчивости сжимаемых продольной силой стержней, находящихся в упругой среде, прогибы которых с одной стороны ограничены жестким препятствием. Исследовано влияние граничных условий на величину критической силы. Также рассмотрена устойчивость кругового кольца, сжимаемого равномерно распределенными центральными силами, при наличии односторонних ограничений на перемещения; решена задача устойчивости прямоугольной пластины, прогиб которой ограничен двумя жесткими ребрами, при этом на двух кромках пластины выполняются граничные условия свободного края. Приведено решение осесимметричной задачи устойчивости оболочек вращения, находящихся под действием внешнего нормального давления. Для вычисления работы внешних сил использована точная термодинамическая формула. В четвертой главе исследуются линейные и нелинейные колебания прямоугольных пластин. Анализируются результаты численных экспериментов, проводится сравнительный анализ колебаний пластин в линейном и нелинейном случае.

Глава 1

Современное состояние исследований

Вариационный подход к задачам устойчивости упругих систем был развит С.П. Тимошенко, который решил ряд задач устойчивости стержней, пластин и оболочек. На основе вариационного подхода можно доказать теорему существования решения уравнений равновесия. В устойчивом положении равновесия функционал полной энергии достигает локального минимума.

Решение классических задач на устойчивость упругих систем приводит к проблеме на собственные значения линейных операторов. Задачи устойчивости и закритического поведения упругих систем при ограничениях на перемещения в виде неравенств сводятся к нахождению и исследованию точек бифуркации нелинеаризуемых уравнений или к определению параметров, при которых вариационные задачи с ограничениями на искомые функции в виде неравенств имеют неединственное решение. В отличие от классических задач на устойчивость, при наличии односторонних связей необходимо находить точки бифуркации решения задач оптимизации, в которых имеются ограничения в виде неравенств. С работ Эйлера берет свое начало теория устойчивости упругих систем. Краткий обзор этой теории можно найти в [47]. К настоящему времени теория и методы решения рассматриваемых задач разработаны недостаточно. В общем случае требуется применение методов глобальной оптимизации в задачах нелинейного программирования. Предположим, что полная потенциальная энергия упругой конструкции имеет вид

где и - функция, характеризующая состояние упругой системы (это может быть, например, вектор перемещения, тензор деформации и т.д.), Г (и) - упругая энергия системы, С(и, Л) - работа внешних сил, Л - параметр, характеризующий внешнюю нагрузку. Пусть уравнение Эйлера для функционала (1.1) записывается в виде

Ф(и, Л) = Г (и) + С(и, Л)

(1.1)

Ь(и,Л) = 0,

(1.2)

где Ь - дифференциальный нелинейный оператор. Поиск критического параметра Л сводится к нахождению точек бифуркации уравнения (1.2).

Исследованию вариационных неравенств посвящены работы [20], [23], [33], [50], [82], [84], [86]. Математическая формализация таких задач сводится к выпуклым вариационным задачам, методы решения которых в настоящее время хорошо разработаны, так как все алгоритмы выпуклого программирования сходятся к оптимальному решению. Эффективный метод решения контактных задач для тонкостенных элементов конструкций предложен В.Н. Тарасовым и Е.И. Михайловским в работе "О (ходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей".

Интересные задачи устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения решены В. 14. Феодосьевым. В. 14. Феодосьев рассмотрел задачу плоского изгиба упругого стержня, находящегося в первоначальном недеформированном состоянии между двумя жесткими стенками на одинаковом расстоянии от каждой из них и исследовал задачу устойчивости тонкостенного кольца, сжимаемого накинутой на него абсолютно гибкой нерастяжимой нитью, натягиваемой силой, а также кольца, вставленного в жесткую обойму. Надо отметить, что после потери устойчивости система может прийти в движение, тогда для исследования следует применять динамический подход. Примером такой задачи является известная задача об устойчивости продольно сжимаемого стержня под действием следящей нагрузки. Сравнение статического и динамического подходов к отысканию критических нагрузок можно найти в монографиях В.В. Болотина, Г.Циглера. Анализ упругих систем на устойчивость при наличии односторонних (неудерживающих) связей сводится к определению параметров, при которых задача оптимизации имеет неединственное решение.

Глава 2

Устойчивость упругих систем с неудерживающими связями и условная положительная определенность квадратичных форм на конусах

Пусть А, ф - положительно определенные квадратные матрицы порядка п, В, С - диагональные матрицы с неотрицательны ми элементами (Ь\, Ь2,Ьп) и (с1, с2,сп) соответственно. Рассмотрим задачу нахождения числа Л, при котором уравнение

Ах + Сх+ + Вх- = Лфх (2.1)

имеет нетривиальное решение. В (2.1)

Х+ = (Х1+, Х2+, .., Хп+), Х- = (Х1 —, Х2—, .., Хп—),

гу . I I гу . I гу . _ I гу . I

= таж{0, Х]\ = ——-——, = гат{0, ж.,-} = ——-——

Так как x+ + x- = ж, то можно считать, что min{bi,ci} = 0, ибо для любых положительных чисел b, c

ct+ + bt- = min{c, b}t + (c — min{c, b})t+ + (b — min{c, b})t—.

И если a = min{c, b} > 0, то в уравнении (2.1) можно положить a^ = a^ + a, матрица A останется симметричной и положительно определенной. Введем в рассмотрение функцию

f(x) = ж) + 1(Сж+5 ж) + ж), (2.2)

= ж), (2.3)

здесь

n n

(Cx+, x) ^ ^ , (Bx—, x) ^ ^ bjxi—. 1 1

Ясно, что f (x), g(x) непрерывно дифференцируемые функции, градиенты которых равны

df (x) . „ „

Л = Аж + Сж+ + Бж_, dx

^ = Qx. dx

Рассмотрим задачу нелинейного программирования

/(ж) min (2.4)

jgr"

при ограничениях

g(x) = ^(Qx,x) = 1. (2.5)

Пусть ж* - решение задачи (2.4) - (2.5). Тогда существует множитель Лагранжа Л такой, что

df{x*) = Хдд{х дх дх

т.е. выполнено уравнение (2.1) Далее, можно считать, что b = 0, так как, в противном случае, сделав замену Xj = — y, получим Xj— = — yj— = y + (воспользовались известным свойством min{— t, 0} = — max{t, 0}.)

К уравнению (2.1) могут быть сведены задачи устойчивости упругих систем при наличии односторонних ограничений на перемещения. Например, рассмотрим задачу устойчивости сжимаемого продольной силой P стержня, находящегося на границе раздела двух упругих сред с жесткостями c(x) и b(x), реагирующих на боковое смещение стержня, как простые винклеровские основания. Предполагая, для определенности, граничные условия жесткой заделки, при-

P

которых краевая задача

d4w d2w

EJ——r + c(x)w+ + b(x)w- = -Р-гт, x G (0, /), (2.7)

dx4 dx2

w(0) = w(l) = 0, w'(0) = w'(l) = 0 (2.8)

имеет нетривиальное решение. Здесь w(x) - прогиб (рассматривается плоская форма изгиба), EJ - жесткость стержня на изгиб

w+ (x) = max{0,w(x)}, w— (x) = min{0,w(x)}.

Особенностью задачи (2.7) является ее нелинейность, обусловленная срезкой функции w(x) , т.е. необходимо находить "собственные"функции негладких

операторов. Очевидно, поиск минимальной силы Р, при которой уравпение (2.7) имеет нетривиальное решение эквивалентен задаче оптимизации

1 Г ''

•/(■ш) = - {ЕЗи) 2 + с{х)иг[ + Ъ{х)и)2_)(1х —>■ тт (2.9)

2 Л ™

1

при ограничениях

д(и,) = ^ I ги^х. (2.10)

2о

Задача (2.9) - (2.10) имеет решение в гильбертовом пространстве функций 1], удовлетворяющих граничным условиям (2.8) и имеющим обобщенную, суммируемую с квадратом, вторую производную (первая производная функции и>(ж) абсолютно непрерывна). Если заменить производные прогиба и>(ж)

(2.1).

Об условной положительной определенности квадратичных форм на конусах

Рассмотрим задачу нелинейного программирования

/(ж) = ^(Аж,ж) —>• тш (2.11)

при ограничениях

д{х) = ^х,х) = 1, (2.12)

(^,ж) < 0, ; е I =1: т. (2.13)

Здесь А - положительно определенная, Q - неотрицательно определенная квадратные матрицы порядка п, bj е Неравенства (2.13) определяют выпуклый конус в Ка. Пусть ж* - решение задачи (2.11) - (2.13). По теореме Куна-Таккера найдутся множители Лагранжа ^ > 0, ] е 1 : т и Л* такие , что

' Аж* - Л*Qж* + ^7=1 М?bj = 0, £(ж*) = 1, (2.14)

, М? (bj ,ж*) = 0.

Точки ж*, удовлетворяющие (2.14), будем называть стационарными. Введем обозначение В (Л) = А — ЛQ. Можно показать, что для любых Л < Л* (В(Л)ж,ж) > 0, для всех ж е Г, и, напротив, если Л > Л*, то найдется вектор

ж € Г такой, что (В(А)ж,ж) < 0. Очевидно также, что Л* = ](ж*). Таким образом, матрица В (А) при А < А* будет условно положительно определенной на Г.

квадратичных форм на конусах рассматривались в работах [30], [62]. Там получены критерии условной положительной определенности квадратичных форм в важном частном случае, когда Г = {ж € Яп \ж? > 0, ] € 1 : п}. Их применение сводится к вычислению большого количества определителей (в общем случае 2п), и в этом отношении является крайне неэкономичным.

Сформулируем метод последовательных приближений для поиска стационарных точек [66]. Пусть решение ж0 € Г, $(ж0) = 1 некоторое начальное приближение. Пусть уже получена точка € Г, д(жк) = 1. Обозначим

Г = {ж € Г, Кфж*, ж - ж к) = 0}. (2.15)

Найдем точку Гк € Гк такую, что

(Ах и, ж/с) = ш|п - (Ах, ж). (2.16)

к

2 ' жег-- 2

Далее полагаем

Хк+1 = */,'•''/,• где вк = у/9{хк). (2-17)

Поскольку г к — решение задачи минимизации (2.16), то найдутся множители Лагранжа мк? > 0 и Ак такие, что

АГк — АкЯжк + Мк? Ь? = 0,

(^жк ,Г к — жк) = 0, (2-18)

^ Мк? (Ь? ,Гк) = 0.

Можно показать, что последовательность {Ак} монотонно убывает, ограничена снизу, и любая предельная точка последовательности {жк} является стационарной. Обозначим предел последовательности {Ак} через А*.

Предлагаемый метод является локальным, и он сходится к решению задачи (2.11) - (2.13), если удачно выбрано начальное приближение. После того, как А

условной неотрицательной определенности матрицы А—А*^ на конусе Г. Обычно в реальных задачах матрица А — А*Q имеет небольшое число отрицательных собственных чисел, а трудоемкость метода ветвей и границ в задачах невыпуклого квадратичного программирования оценивается числом отрицательных собственных чисел матрицы. Если же применять метод ветвей и границ непосредственно к задаче (2.11) - (2.13), то объем вычислительной работы будет зависеть от размерности пространства переменных.

На каждом шаге предлагаемого алгоритма требуется решать задачу минимизации выпуклой квадратичной функции при линейных ограничениях (задачу выпуклого квадратичного программирования). Последняя значительно проще исходной.

Если I = 0, т. е. Г = Яп и Q— единичная матрица, то предлагаемый алгоритм превращается в известный метод Келлога для поиска минимального

А.

Глава 3

Устойчивость упругих систем с односторонними связями

Рассмотрим плоский изгиб упругого стержня длины I, сжимаемого продольной силой Р, которая в процессе деформации сохраняет свою величину и направление [47].

Рис. 3.1: Форма деформированного стержня под действием силы Р

Пусть й - длина дуги стержня, и>(й), ж(й) - декартовы координаты деформированного стержня. Обозначим через в(й) угол между касательной к дефор-

ж.

w' = sin в, x' = cos в-

(3.1)

В предположении выполнения условий несжимаемости оси стержня и гипотезы плоских сечений (гипотезы Бернулли) энергия упругого стержня определяется изменением кривизны стержня. Из дифференциальной геометрии известно, что кривизна упругой линии определяется формулой

1 , дьв

~ = & = Т р йй

или

w

3 •

Р (1 + ш^

При малых ¡3 sin/З = ¡3, поэтому cos ¡3 = 1 — \[32 +

= 1 — \w'2. также dx

1

cos eds. По определению работа внешних сил равна

A = P (ds - dx) = P (1 - cos в)ds. Jo Jo

В квадратичном приближении

(3.2)

/>« 1 P

A = P (1 - 1 + -w/2)d.s = - / w/2d.s.

Л 2 2 J0

Полная потенциальная энергия стержня определяется функционалом

г I

U = /

o

^-EJ[3'2 — Р(1 — cos /3) 2

ds .

[ 11

/ -EJ(3'^ds упругая энергия стержня, Jo 2

ГI ГI

P(I — l) = / P(ds — dx) = P(1 — cos в)ds - работа внешних сил, oo

EJ - жесткость стержня на изгиб (E - модуль Юнга, J - момент инерции

поперечного сечения].

В положении равновесия полная энергия стержня принимает минимальное значение. Предположим, что выполнены граничные условия шарнирного опи-рания:

Ц0) = Ц1) = 0 , м"(0) = м"(1) = 0. (3.4)

Введем обозначение

^ = р

EJ'

тогда уравнение Эйлера для функционала (3.3) имеет вид:

в'' = — k2 sin в, (3.5)

первый интеграл которого хорошо известен:

J/2 _ о 7.2

или

в'2 = 2k2(cos а — cos в), (3.6)

/3/2 = 4A:2(sin2|-sm2^). (3.7)

i

В (3.6) cos а - постоянная интегрирования. Сделаем подстановку

.в . а . . sm — = sm — sin w. 2 2

Дифференцируя подстановку и используя (3.7), получаем равенства:

1 2 в о/2 1/2-2 а 2 / о/2 л i 2 • 2 а 2 /

- cos —p=w sm — cos w, p = 4Ar sm — cos w. 4 2 2 2

Новая переменная ф удовлетворяет уравнению

<0/2 = £;2(l-sin2^sin2^), (3.8)

2

откуда находим

ь= ^ _ /'" ^ (3.9)

0 ' / 1 — sin2 f sin2 Ф Л /1 — sin2 f sin2 ф

Здесь постоянная интегрирования определена из условий: при в = 0 должно

77, при 3 = %

быть ¡3 = а, следовательно, ф = при s = | = 0. Для определения а

получаем уравнение

, <** (3.10)

2 ^ J1 - sin2 f sin2 -ф

Уравнение (3.10) имеет решение при условии, что > f, откуда получаем зависимость между углом а и нагрузкой P и первую критическую силу Эйлера

2EJ

I2 '

р = (З.П)

Обозначив т2 = sin2f, получим

ks = K(m) - K(m, ф), (3.12)

где

к{т)= i* dllj о , (3.13)

./о \/1 — m2 sin2 ф

fc(m, .</>)= [*-= it _ , (3.14)

./о y1 — m2 sin2 ф

полный и неполный эллиптический интегралы первого рода.

Для определения перемещений воспользуемся уравнениями w = sin в, x' = cos в- Тогда

Л • ЙЯ 2 dllj ■ Р Р 2т ■ Ы1

aw = sin pas = —-—, 9 sm — cos — = —— sin у dip.

k V 1 — m2 sin2 ф 2 2 k

Откуда

= _ COS '0o)•

k

Так как -0o = f, то

2m

w = —— cos w. k

^ Wo ---4 Гл - т>т2 oin^ i" - 1

dx = cos /3d.s = (1 — 2 sin2 — )<is = ——\/l — m2 sin2 ibdib + —d.s.

2 k k

Отсюда

x = ji(ñ d* _ [" ** )+le = к Jo \/l — m2 sin2 ф Jo \/l — m2 sin2 ф к

= + (3.15)

здесь E(m,0) и E(m) полный и неполный эллиптический интегралы второго рода. Из уравнений (3.1) можно получить выражения для упругой линии стержня (эластики Эйлера). Таким образом, при Р = 7r"^J происходит бифуркация решений уравнения равновесия: кроме тривиального решения в(s) = 0, которое становится неустойчивым, возникают смежные состояния равновесия. Если стержень изгибается по n полуволнам, то набор критических сил определяется формулой

= = 1,2... (3.16)

Проинтегрировать нелинейное уравнения равновесия для упругих элементов удается в редких случаях, поэтому линеаризуем уравнения. Используя (3.1), можно приближенно положить

w' « в,

в2

х' = cos в « 1--.

; 2

Задача минимизации функционала (3.3) заменяется на

1 тр J Z/2 P /2

-bJw--W

2 2

ds

min.

w

(3.17)

Уравнение Эйлера для функционала (3.17) имеет вид:

Общее решение уравнения Эйлера определяется формулой:

и = А + А2 й + А3 бш^Й) + А4 СОБ^Й).

(3.18)

(3.19)

Из граничных условий (3.4) следуют равенства А = А2 = А4 = 0. Для того, чтобы существовало нетривиальное решение уравнения (3.18), удовлетворяющее (3.4), необходимо потребовать выполнение равенства = пп, п = 1, 2..., откуда находим последовательность собственных чисел и собственных функций линейной краевой задачи (3.4), (3.18)

п2п2

к - — р -

п"П ,, 1 1 п

■, Wn = A3 sin(kns).

I' "" I2

Из решения линейной краевой задачи (3.4), (3.18) прогиб и(й) определить нельзя, ибо постоянная интегрирования А3 остается неопределенной.

3.1 Устойчивость сжимаемых продольной силой стержней при односторонних ограничениях на перемещения

Пусть прямолинейный стержень длины I, находящийся в упругой среде с жесткостью C, работающей как простое винклеровское основание, нагружен продольной силой P.

Таким образом, полная энергия системы (упругая энергия минус работа внешних сил) в квадратичном приближении определяется функционалом

1 Ге

J(w) = - (Du/'2 + Cw2 - Pw'2)dx, (3.20)

2 J о

где Cw2 - энергия упругого основания. Полное решение задачи устойчивости стержня, связанного с упругим основанием, приведено в [15]. Предположим,

что прогиб стержня w с одной стороны ограничен жестким препятствием так,

w(x) > 0, x е [0,1]. (3.21)

В состоянии равновесия полная энергия системы принимает минимальное значение, поэтому расчет на устойчивость стержня сводится к нахождению минимальной силы P, при которой вариационная задача

J(w) ^ min (3.22)

w

при ограничении (3.21) имеет нетривиальное решение.

В работе В.Н. Тарасова [68] рассмотрены два вида граничных условий:

• граничные условия жесткой заделки:

w(0) = w(l) = 0, w'(0) = w'(l) = 0. (3.23)

w(0) = w(l) = 0, w''(0) = w''(l) = 0. (3.24)

В диссертационной работе решена задача устойчивости стержня при комбинированных граничных условиях:

• граничные условия жесткой заделки при x = 0 с граничными условиями свободного края при x = I

w(0) = 0,w'(0) = 0,

w"{e) = o,w'"{e) + %w'{e) = o.

(3.25)

_jn i ij\ _ о

(3.21) (3.22)

заделки (3.23) (3.24).

Очевидно, что определение критической силы [68] сводится к задаче изопе-риметрического типа:

1 Гг

J(w) = - (Diu"2 + Cur)dx min (3.26)

2 J 0

при ограничении

1 Ге

Ji{w) = - w'2dx = 1 (3.27)

и выполнении условий (3.21) и (3.23).

Решение экстремальной проблемы (3.26) - (3.27) при ограничениях (3.21), (3.23) существует [66], ибо множество функций и € Ж|[0,1], удовлетворяющих (3.21) и (3.27) является слабым компактом, а функционал </(и), является выпуклым. Доказательство теорем существования решений экстремальных задач в гильбертовых пространствах можно изучить в работах [10], [46]. Известно, что непрерывный выпуклый функционал достигает своего минимума на любом слабо компактном множестве. Здесь Ж|[0,1]— пространство функций Л.С. Соболева, имеющих на [0,1] обобщенные суммируемые с квадратом первую и вторую производные (первая производная абсолютно непрерывна) и удовлетворяющих (3.21)

Решение задачи (3.26) (3.27) (3.21) (3.23) можно искать среди функций строго положительных на интервале (0,^), 0 < < I и тождественно равных нулю вне этого интервала [66].

Так как и > 0 при х € (0,11), то прогиб удовлетворяет уравнению Эйлера на этом интервале

где ш = С/Р, р2 = А/Р, А - множитель Лагранжа для ограничения изопери-метрического типа (3.27).

В этом случае (3.28) является уравнением равновесия сжимаемого продольной силой стержня, находящегося в упругой среде. Заметим также, что (3.28) совпадает с уравнением равновесия цилиндрической оболочки, сжимаемой продольной силой, в осесимметричном случае. Экспериманталыюму исследованию устойчивости продольного сжатия цилиндрической оболочки, находящейся в жесткой обойме, посвящена работа [66]. Можно показать, что для существования нетривиального решения уравнения (3.28) при граничных условиях (3.23) или (3.24) необходимо выполнение неравенства

В самом деле, пусть р2 < 2л/й, и функция ги(х) ф 0 удовлетворяет урав-

и1У + ши + р2и = 0

(3.28)

р1 > 2\/ш.

(3.29)

нению (3.28). Тогда

^ = (т''2 - р2т'2 + шт2)^ж = 0.

Л

С другой стороны, представляя функцию т(ж) рядом Фурье (т(0)

кпж

(3.30) т(1) = 0),

т(ж) =

(1и Й1П

к=1

I

и подставляя в (3.30), получим:

оо

к=1

кж^

т

р

кж

т

+ ш

>

> Е

к=1

ак

' А'7г \ 4 ^ /— ( кж \ 2

т т

1

к=1

ак

кж"

Т

ш

> 0,

т.е. полная энергия стержня строго положительна, если условие (3.29) не выполнено.

При этом условии общее решение уравнения (3.28) имеет вид

т(ж) = с1 8ш(ж1ж) + с2 8т(ш2ж) + с3 сов(ш1ж) + с4 со8(ш2ж),

(3.31)

где

т1 =

р2

+

'Р4

— ш, т2 =

£

Г

ш.

(3.32)

Учитывая, что т(ж) > 0 для любого ж € (0,11) и т(ж) = 0 при ж € (11,1), то 11 либо совпадает с I, либо находится из решения задачи

1

при ограничении

= о / " + итг)йх —>■ тш

2 Л

1

Д ; 2 Л

(3.33)

(3.34)

Из условия минимума по 11 в задаче (3.33) - (3.34) и с учетом того, что ^(11) = 0, т'(11) = 0, из (3.33) получаем еще одно граничное условие: ^''(11) = 0

4

2

2

Таким образом, функция w(x) является дважды непрерывно дифференцируемой на всем интервале [0,1] и удовлетворяет следующим условиям:

' w(0) = w(li) = 0,

< w'(0) = w'(li) = 0, (3.35)

^ w''(li) = 0.

Подставляя (3.31) в граничные условия (3.35), получаем систему уравнений

относительно произвольных постоянных c1,c2, c3,c4 и l1 /

Сз + С4 = 0,

mici + m2c2 = 0, < ci sin y + c2 sin z + c3 cos y + c4 cos z = 0, (3.36)

cimi cos y + c2m2 cos z — c3mi sin y — c4m2 sin z = 0, cimf sin y + c2m2 sin z + c3mi cos y + c4m2 cos z = 0,

где y = mili, z = m2li. Рассматривая первые четыре уравнения относительно неизвестных ci,c2,c3,c4 и приравнивая определитель матрицы коэффициентов к нулю, получаем, что для существования нетривиального решения необходимо, чтобы

2zy(1 — cos z cos y) — (z2 + y2) sin z sin y = 0. (3.37)

Если же рассмотреть первое, второе, третье и пятое уравнение системы (3.36), то приходим к уравнению

z cos z sin y — y sin z cos y = 0.

Минимальной критической силе соответствует решение системы уравнений (3.37), (3.38)

y = 3п, z = п, т.е. 3п = mili, п = m2li. (3.32)

9 10 ,— „ л/3 7Г , ^

Р2 = (л = (3.39)

3 ш

Если li < I, то выражение для прогиба принимает вид

w(x) = c • sin3(m2x)H(li — x), x G [0,1], (3.40)

где то = \/ш/у/3, Н(1)— функция Хевисайда.

Устойчивость стержня при жестких ограничениях на перемещения с граничными условиями шарнирного опирания [68].

При жестких ограничениях на перемещения с граничными условиями шарнирного опирания выполнены условия

w(0) = w(li) = 0, w''(0) = w''(li) = 0, w'(li) = 0.

(3.41)

Тогда в системе уравнений (3.36) необходимо заменить второе уравнение на ш2с3 + т|с4 = 0, откуда, с учетом первого уравнения получаем, что с3 = с4 = 0 и система (3.36) заменяется на следующую:

c1 sin y + c2 sin z = 0,

c1m1 cos y + c2m2 cos z = 0, (3.42)

c1m1 sin y + c2m2 sin z = 0.

Для существования нетривиального решения последней системы необходимо, чтобы

det

det

sin y

sin z

m1 cos y m2 cos z

sin y

sin z

22 mf sin y m2 sin z

Откуда получаем два уравнения

=0

= 0.

(3.43)

(3.44)

m2 cos z sin y = m1 cos y sin z, m2 sin y sin z = m2 sin y sin z.

sin y = 0 sin z = 0.

sin y = 0, sin z = 0

cos y = 0,

y = m1l1 = ni, z = m2l1 = nj, = 1, 2,....

(3.45)

Из (3.45) и второго уравнения системы (3.42) получаем, что

т1 [ 1, если (г — 3) - четное чиело,

Со = —С\(3—, где (3 = \

т2 I —1,если (г — з) - нечетное число.

А из (3.31)

га(х) = с\ ( ятт\х — /3— яттох ) , (3.46)

V т )

0 < Ш2 х < п;, з = 1, 2,....

Обозначим а = т1т—1 = г • з—1, тогда формула (3.32) с учетом того, что

9 1 + а2

/Г =-

а

дает значение критической силы. Подбирая г, 3 таким образом, чтобы р2 = А/Р, было минимальным, а функция и(х) (3.46) была неотрицательной, находим

2 5 л/2,7Г

р = -уш, ¿1 =

2* 7 ^

Если 11 < I, то прогиб задается формулой

■И1(х) = с (+ йш^ ) - ж), с > 0. (3.47)

V 11 11 /

3.2 Устойчивость стержня при жестких ограничениях на перемещения с граничными условиями свободного края

х=0

вий свободного края при х = I выполнены равенства

и(0) = 0,и'(0) = 0,

1 ; 1 ; 3.48

и'(1) = 0,и''(1) + р2и (I) = 0,

где р2 = Р/Р. При данных граничных условиях неравенство (3.29) заменяется

р2 < 2^,

и общее решение уравнения (3.28) имеет вид:

ад(ж) = С1важ 8т(вж) + с2еах еов(вж) + с3е ах вт(вж) +

+С4 е-ах ео8(вх), (3.49)

где

1 /—^—: „ 1

а = -^2^ - р\ /3 = ^ V + ^ (3-50)

Можно показать, что существует участок полного прилегания к стенке, т.е.

ад(ж) = 0, х е [0,4], и ад(ж) > 0, х е (11,1]. (3.51)

Как и выше,

ад = 0, ад' = 0, ад" = 0 при ж = 11.

Таким образом, имеем две системы уравнений:

Ц4) = 0,ад'(4) = 0,

V' (I) = 0, ад'" (1) + р2ад' (I) = 0.

(3.52)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Андрюкова Вероника Юрьевна, 2018 год

- - _ - -

d = (sin /З'г^о — ~ sin ado) (/3 sin /Мо — а sin ai)о) — а

— (cos а§0 — cos /3§0)(/3 cos /3§0 — а sin а§0

(3.81)

(3.82)

(3.69)

(3.79), необходимо и достаточно, чтобы

d = d(k; §0) = 0.

(3.83)

Нетривиальные решения системы (3.81) при к = к^и к = к2 (к1, к2 - корни (3.83) Аз = 1,

A2 =

sin(ak) — sin(-k) cos(ak) — cos(/3k)

Графики функции A(fc) приведены на рис.3.5 (слева) при í)q = ^f, при

í)o = (справа). Первые два корня уравнения (3.83) приведены в табл.2.

Рис. 3.6: Форма прогиба г^(^) при = к = к\ (слева); форма прогиба ии^)

при = "у 5 к = к2 (справа).

о-

Рис. 3.7: Форма прогиба г^(^) при = х > к = к\ (слева); форма прогиба уо^)

при = т1 > ^ = (справа)-

Рис. 3.9: Форма прогиба ии($) при = = к\ = к2 (слева); график ги"^) при $о = (справа).

Таблица 2. Значения критического параметра к

к 1 к2

2тг т 4.3154 4.4849

Зтг т 4.0463 4.3099

Зтг 4.3 4.3132 4.3132

На рис.3.6 представлены графики прогибов ии($) при = х и разных зна чениях А;. На рис.3.7 - графики прогибов ии($) при $ = На рис.3.8 (слева

приведен график г*/($) при к = и = х? спРава приведен график пер-

вой производной функции г^т?) при к = к\ = к2 = тк. На рис.3.9 слева

4.3

представлен график ии($) при к = к\ = к2 и = тк, справа - график второй

4.3

производной при тех же параметрах. При к = к\ для = х прогиб ии($) меняет знак (рис.3.7 (слева)), следовательно, ограничение (3.77) не выполняется. Подходящим (т.е. удовлеворяющим односторонним ограничениям) является второй корень к = к2 при $ о < ^ (рис.3.7 (справа)). Из графика производной ^/(т?) (рис.3.8 (слева)) при = х производная обращается в ноль на интервале [а, Ь] ровно три раза. Это означает, что сама функция /ш($) на этом интервале имеет три точки экстремума, откуда следует, что функция меняет знак на этом интервале (рис.3.7 (справа)). Если = то корни уравнения (3.83) будут кратными, т.е. к = к2 (рис.3.5 (справа)). С другой стороны, чем больше тем меньше значение критического параметра к. Таким образом, значение безразмерного параметра критической силы при наличии односторонних огра-

ничений на перемещения (3.77) будет равно

РР3

к2 = к\ = к% = = 18.6044. (3.84)

Из рис.3.9 видно, что при $ = 0 и $ = $0 м($) = 0 ($) = 0 и и>"($) = 0. Таким образом, при данном значении параметра $0 обращается в ноль не только функция и>($) и ее первая производная, но и ее вторая производная.

В случае плоской деформации при аппроксимации сплайнами прогиба и>($) при т = 72 путем решения задачи математического программирования (3.89) - (3.91) получено следующее значение безразмерного параметра

- РЯ3

Р = —— = 18.5854. В

Сравнивая это значение с (3.84), находим, что точность численного решения задачи равна

Отношение _

£=18*854 = 4.1301. Р1 4.5

А из формулы (3.84) ——— = 4.1343. Таким образом, подкрепление нитями

4. 13

Случай неплоской деформации

Предположим, что кольцо подкреплено нерастяжимыми нитями, которые не держат сжимающих усилий [2]. Один конец нити прикреплен к неподвижному центру кольца, другой - к точкам кольца с координатами х0 = 0 у0 = ±а, £0 = 0. В результате деформации вектор (0, ±а, 0) переходит в вектор (±а7 + и, ±а + + эд) в системе координат (Х0,У0,^0). В этой системе центр кольца имеет координаты (Я, 0, 0). Тогда расстояние между точками прикрепления нити вычисляется по формуле

р* = \/(±«7 + и- Я)2 + {а + у)2 + {аа + ги)2.

Обозначим через р =

л/Я2 + а2 - расстояние между центром кольца и точкой с координатами (0, ±а, 0). Так как нити нерастяжимы, то должно быть выпол-

ыеыо неравенство

^>(и^,ад,7) = р* — р ^ 0. (3.85)

Введем вектор неизвестных д = (и^,ад,7). В линейном приближении

2Я , а аЯ

± —;-± =7-

7Г>9 I „О / 7-.о о '

уя2 + а2 Я2 + а2 л/ЖТа2 Таким образом, переменные и, V, ад и угол поворота 7 должны удовлетворять

неравенствам

—2Яи ± а^ ± аЯ7 < 0. (3.86)

Заметим, что ограничения (3.86) не содержат функции и($). Решение задачи устойчивости подкрепленного кольца может быть сведено к задаче изоперимет-рического типа

1 = \ Г + №)2 + - Г"}2 + + Г')2)м ^ (3'87)

при ограничении

~ 1 Р2п

■Л = -- {и/2 - 2ад2 + г/2 - = 1, (3.88)

20

причем функции ад, V и угол поворота 7 должны удовлетворять неравенствам (3.86)

При численном решении задачи (3.87) (3.88) (3.86) будем аппроксимировать искомые функции периодическими интерполяционными сплайнами [29]. Пусть ■í)i = ¿/г, % Е 0 : тп, К =

^ = ад($), гг+то = V($), ..., гг+2т = 7($),

(ад; $), (V; $), (7; $) - интерполяционные кубические сплайны для функций ад,V и 7:

(ад; $г) = ^г, (V; $г) = V», (7; $) = 7г,

причем из условий периодичности следуют равенства

Wo = wm, Vo = vm, Yo = 7m-

Подставляя сплайны в функционалы (3.87), (3.88), получаем две квадратичные формы:

f(z) = J(sw, sv, .s7) = - [Gz, z),

g(z) = Ji{sw, Sv, -s7) = ^{Qz, z),

где G, Q - квадратные матрицы порядка n. Таким образом, вместо задачи (3.87), (3.88), (3.86) получаем задачу нелинейного программирования:

f(z) = ±(Gz,z)^ min (3.89)

при ограничениях

g(z) = ±(Qz,z) = 1, (3.90)

a a

—2Kzi + —Zi+m + —Rzi+om ^ 0,

а а

— 2RZi — —Zi+m — —RZi+2m ^ 0.

Последние ограничения являются линейными, запишем их в виде

(щ,z) < 0, k е 1:2m. (3.91)

Для поиска стационарных точек применялся метод, описанный формулами (2.15) - (2.18). В случае неплоской деформации значение критической нагрузки зависит от отношения размеров поперечного сечения кольца и его радиуса R. Результаты численных экспериментов при m = 30 приведены в таблице 3.

Таблица 3. Значения критических сил в пеилоеком случае

а Ь R Р\ А Р P/Pi P/Po

1 1 10 0.188 0.375 0.189 1.008 0.504

1.5 1.5 10 0.9557 1.890 0.961 1.005 0.506

1.5 0.5 10 0.349 0.070 0.289 0.827 4.115

1.5 1.0 5 5.091 4.501 5.169 1.011 4.141

2.5 1.0 5 23.302 7.502 23.598 1.023 3.221

3.25 1.0 5 51.801 9.750 43.799 0.846 4.492

Как видно из табл.3, при а/6 > 1 в результате потери устойчивости происходит плоская деформация кольца. В этом случае отношение критической нагрузки подкрепленного кольца к нагрузке для кольца без подкрепления равно 4.13. Если же а < 6, то кольцо теряет устойчивость в результате пространственной деформации, описываемой уравнением (3.70), и критическая нагрузка не зависит от подкрепления.

Вычислим работу внешних сил. Пусть й - длина дуги кольца, к(й) - кривизна дуги, ж(й), у(й) - координаты точек кольца, ^ = Я^$, где Я - радиус кольца в недеформированном состоянии. Из дифференциальной геометрии известно

Введем неподвижную систему координат ж($), у($), такую, что прогиб и тангенциальное перемещение точек кольца связаны формулами:

3.3.2 Случай внешнего нормального давления

X (й) = сое ^(й) < у'а (5)=8т ^(й)

(3.92)

Дифференцируя равенства (3.93), получаем:

(3.93)

ж' = (ад' — V) сое $ — (Я + w + V') Бт $, у' = — V) Бт $ + (Я + w + V') сое $,

(3.94)

{ж'' = — 2v' — w — Я) сое $ — (2w' — V + V'') Бт $, у'' = — 2v' — w — Я) Бт $ + (2w' — V + V'') сое $.

Известно, что кривизна удовлетворяет соотношению

(3.95)

(3.95)

к2(>$) = - 2п' - ад - К)2 + (2ад' + у" - V)2.

Изменение кривизны кольца будет равно — 1/Я, а упругая энергия кольца вычисляется по формуле:

в г 2пД / 1 \ 2

и'' ' и \2 (2и' V V'' \2 . _

Здесь В жесткость на изгиб в плоскости кольца. Условие несжимаемости оси 2 2 2

кольца х + у = Я2 с учетом полученных выражении принимает вид:

(и' — V)2 + (Я + и + V' )2 = Я2. Преобразуем последнее равенство:

(и' — V)2 + 2Яи + 2Яи' + (и + V' )2 = 0 (3.96)

и проинтегрируем его, учитывая периодичность v(^),

/ ^ = v(2п) — v(0) = 0.

Л

Получаем

/>2п />2п

2Я / иМ = — / [(и' — V)2 + (и + V' )2] (3.97)

оо

Отбрасывая в (3.96) нелинейные слагаемые, в линейном приближении можно записать

V' = —и. (3.98)

В соответствии с теоремой Эйлера Бернулли, работа внешних (гидростатических) сил будет равна произведению силы на разность площадей кольца в деформированном и недеформированном состояниях:

*2п

и = Р

\ I {ху'3 - ух'3)(1,8 -7Гв2

Используя (3.93) - (3.95), вычислим

1

ху'8 - ух'3 = -^-[Я2 + иг + V2 + 2Яш + Яг/ + ггг/ - ю'и]. (3.99) Я

Учитывая (3.97), находим

/ жу^ — уХ¿й = 2пЯ2 + / [w'(v — w') — V+ V')] ./0 ./0

(3.98)

получаем формулу:

р г2п

Щ = -- IV'{V - т')М. (3.100)

20

Далее, с учетом условия (3.98), имеем:

ад" 2и' и' \2 / Ъг' и ¿/Л2 ^

12 1

1 + -^(ы" + иО2 - + ы) + - *;)2 - 1 Я2 Я Я2

( 1 1 1 V

' ;(ад" + ад)2 - -(ад" + ад) + —-^(ад' - г;)2

\2Я2 у Я у 2 Я2

~ -^(ад" + ад)2.

Полученная формула для изменения кривизны деформации кольца в плоском

(3.61)

приближении полная энергия кольца, находящегося под действием сил нормального давления, вычисляется по формуле:

В /*2п

,1(и1) = — / (ад" + ад)2^ + иъ (3.101)

2Я3 Л

где работа внешних сил, с учетом равенства

/>2п />2п />2п

/ w'vd$ = — / v'wd$ = w2d$, ./о Л ./о

имеет вид

р р2п

иг = -- {и/2-игЩ. 20

Таким образом, задача устойчивости подкрепленных колец, находящихся под

действием нормального внешнего давления, сводится к отысканию таких зна-р,

В /*2п р />2п

,/(.ш) = —- / (ад" + ги)2(И) - — / (ад/2 - ад2)^ гшп (3.102)

'о 2 ./о

2

2

имеет нетривиальное решение при граничных условиях периодичности и ограничениях

w($) < 0. (3.103)

Выпишем уравнение Эйлера для функционала (3.102):

wIV + (2 + k 2)w'' + (1 + k2)w = 0, (3.104)

где к2 = ^J-. Соответствующее характеристическое уравнение

Л4 + (2 + k2)A2 + (1 + k2) = 0

имеет решение

Ai,2 = ±г; Л3,4 = ±\Л + к2г. Тогда функция прогиба представима в виде

w = Ai sin $ + A2 cos $ + A3 sin a$ + A4 cos a$, (3.105)

где a = vTTP.

Допустим, что на интервалах j = [в , в'+l

m m

w($) < 0, $ G и j и w($) = 0, $ G U j.

j=i j=i

(3.106)

) = и(в'+1) = 0, и' (в- ) = и' (в'+1) = 0.

Ясно, что для решения задачи на устойчивость можно рассматривать только один интервал (т = 1) и можно считать в1 = 0 Обозначим в2 = в. Зафиксируем некоторый угол в > 0. Будем считать, что

< 0, § С (0, в) И = 0, § е (в, 2п).

Первая производная и'(§) должна быть непрерывной при § е (0, 2п), тогда функция и удовлетворяет граничным условиям

и(0) = 0, и'(0) = 0, и(в) = 0, и'(в) = 0. (3.107)

Подставляя (3.105) в (3.107), получим систему линейных уравнений

A2 + A4 = 0, А1 + aA3 = 0,

Ai sin в + A2 cos в + A3 sin(«e) + A4 cos(a^) = 0, A1 cos в — A2 sin в + aA3 cos(«e) — aA4 sin(«e) = 0.

После упрощения, имеем

A3($т(ав) — a sin в) + А^тз^в) — cos в) = 0, А3(a cos(aв) — a cos в) + A4(sin в — a si^a^)) = 0.

(3.108)

(3.109)

Система уравнений (3.109) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю, то есть

d(a) = —2a cos(aв) cos в + 2a — sin(aв) sin в — a2 sin(aв) sin в = 0. (3.110)

Решая уравнение (3.110) относительно неизвестной a, получим функцию a = a^). При заданном в уравнение (3.110) имеет бесконечное число корней.

a = 1 в

a = 1 соответствует сила P, равная нулю. Далее, находим форму прогиба по формулам (3.105) Несложно убедиться, что формула (3.105) при a = 1 дает перемещение кольца как жесткого целого. Следовательно, надо находить минимальный корень уравнения (3.110) удовлетворяющий условию a > 1. Также необходимо выполнение знаковых ограничений (3.103). Чем больше угол в? тем меньше fc2, а значит и с ила P. Значения критического параметра Р в зависи-

в

Таблица 4. Значения критического параметра a в зависимости от угла в

Р 7Г 4 7Г 2 Зтг 4 7Г 5тт 4

а 4.9801 4.2915 3.2136 3 2.4841

Численные эксперименты при в > п показали, что собственная функция w будет менять знак на интервале (0,в) т0 есть ограничения неотрицательности на функцию w не будут выполняться.

Рис. 3.10: График определителя ¿(к) при в = 1.25п(слева); форма прогиба w при в = п(справа).

Рис. 3.11: Форма прогиба w при в = 1.25п, а = 2.4841 (слева); форма прогиба w при в = 1.25п, а = 2.8413(справа).

График функции ¿(а) при /3 = ^ приведен на рис.3.10 слева. Уравнение ¿(а) = 0 имеет, в данном случае, два корня, значения которых меньше 3: а\ = 2.4841 и а2 = 2.8413. Графики собственной функции гш(г&) уравнения (3.104) при граничных условиях (3.110) приведены на рис.3.11 слева - при а\ = 2.4841, справа - при а2 = 2.8413. В обоях случаях меняет знак на интервале [0..в], то есть ограничение (3.103) не выполняется. Знаковые ограничения на собственную функцию будут выполнены, если в £ (0, п]. Ясно, что

а=3

в = п. В этом случае, критическое давление для подкрепленного кольца равно

Я3

Для неподкрепленного кольца

Д3

Рис. 3.12: Форма равновесия кольца под действием внешнего нормального давления (слева); форма равновесия кольца, подкрепленного упругими нитями (справа).

График функции прогиба при в = п и a = 3 приведены на рис.3.10 справа. Различие форм равновесия кольца проиллюстрировано на рис.3.12: слева - кольцо без поддерживающих нитей, справа - с нерастяжимыми нитями.

3.3.3 Задача устойчивости кругового кольца, подкрепленного нитями, расположенными по сторонам правильного

m—угольника

В параграфе рассмотрены два вида подкрепления: центральные нити и нити,

m—

Постановка задачи

Рассмотрим задачу устойчивости упругого кольца радиуса R, нагруженного внешним давлением P, и подкрепленного упругими нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий. Пусть $ - центральный угол, x($) = R cos y ($) = R sin $ - координаты точек кольца. Введем систему единичных ортов (i, j), орт j - единичный вектор касательной, орт i - единичный вектор, направленный в сторону внешней нормали. Рассматривается случай плоской деформации кольца, тогда вектор перемещений имеет вид

П = w($)i + v ($)j,

w($) - прогиб, v($) - касательное перемещение.

Предположим, что кольцо подкреплено нитями одностороннего действия.

Нити являются нерастяжимыми и не воспринимают сжимающих усилий.

Рассматриваются два вида подкрепления: в первом случае один конец нити прикреплен к неподвижному центру кольца, а другой к некоторой его точке, § = соответствующий угол, таким образом, что расстояние между точками прикрепления нитей не может увеличиваться. Это приводит к ограничениям на перемещения

) < 0, j е Mi = [1..mi], (3.111)

где m1 - количество таких нитей. Во втором случае один конец нити прикреплен к точке кольца, соответствующей углу §i = s1j , а второй - к углу §2 = j таким образом, что расстояние между центром кольца и точкой прикрепления нити не может увеличиваться. Пусть

Oj = e2j — £lj,

Pj = 2i?sinЦ- расстояние между точками прикрепления нитей до деформации. Обозначим

£i = w(eij), £2 = w(£2j), ni = v(eij), П2 = v(^).

Тогда расстояние между точками после деформации будет равно

(а' 2

( - Я sin у + <¿2 cos (lj ~ r¡2 sin a.j — £1)

OL ' o\ ^

+ (R cos + £2 sin dj — 1]2 cos (Ij — l]iY j \ (3.112)

2 /

Таким образом, для этого подкрепления должно выполняться неравенство

pj — Pj < 0, j е M2 = [mi + 1..m2]. (3.113)

Считая деформации малыми, можно приблизительно предположить

pj - pj = sin - cos -^£2 + cos -fni + sin -¿-Г)2, J e M2. (3.114)

J 2 2 2 2

Выражение (3.114) есть первый ненулевой член ряда Тейлора по переменным £i, £2, ni, П2. Считая деформации кольца плоской, приходим к задаче : найти минимальное значение силы Р, при которой вариационная проблема

В /*2п

Дго) = — / (ад" + ад)2сМ—

2 Л3 Л

(ад/2 — Ьад2)^0 ^ шт (3.115)

р г2п

2 «У о №

при ограничениях (3.111) - (3.113) имеет нетривиальное решение. В (3.115)

Ь = 1 в случае сил внешнего нормального давления (нагрузка все время остается нормальной к деформированной оси кольца), и Ь = 2 в случае центральных сил (нагрузка до и после деформации направлена к неподвижному центру кольца). В (3.115) В - жесткость кольца при изгибе, первый интеграл представляет собой упругую энергию кольца, второй - работу внешних сил [2]. Прогиб ад(0) связан с касательным перемещением ^(0) условием

V = —ад. (3.116)

Для конечномерной аппроксимации прогиб ад(0) будем приближать интерполяционными кубическими периодическими сплайнами

^(ад, 0) = адг(1 — *)2(1 + 2£) + адг+г£2(3 — 2*) +

+шгМ(1 — *)2 — адг+1^2(1 — (3.117)

ТЬ

п - число точек сетки. При этом должны быть выполнены условия периодичности

^(г)(ад;0) = 5(г)(ад;2п), г = 0,1, 2.

Здесь Б(г) - производная по рядка г. Введем вектор

г = (¿1, ¿2, .., ¿п), г = ад(0), г е [0..п].

Подставляя сплайн Б(ад,0) в (3.115), получаем две квадратичные формы

1 /*2п 1

/(г) = 2 I " 2*/2 + = з (А*> *) (3-118)

и

1 Г2п 1

д(г) = - у (5/2 - Ьз2)М = -(Яг, z) (3.119)

(дифференцирование в (3.118^ — (3.119) осуществляется по Интегралы от сплайна Б (ад; $) и его производных вычисляются с помощью системы МАРЬЕ 13. Используя условие несжимаемости (3.116), запишем

= — / ад(^)^ = / ./о ./о

Для численного интегрирования по формуле трапеций находим

= ^ ¿К-1 + = \ ¿(^--1 + (3.120)

у=1 у=1

причем, из условия периодичности можно положить -и0 = 0, уп = г>о-Решение задачи нелинейного программирования

Ограничения (3.111) (3.113) (3.114) образуют конус, определяемый линейными неравенствами

(а,х) < 0, ; е М1 и М2, (3.121)

Если ^ е М1? то ограничения (3.121) записываются в виде ху < 0. Если же ] е М2, то коэффициенты линейной формы (3.121) определяются следующим образом: ф(х) = р* — ру. Полагаем = 1, е М2, ху = 0, при ^ = к. Тогда ак = ф(х) — ф(0). Обозначим через Г конус, определяемый неравенствами (3.121), и рассмотрим задачу нелинейного программирования

при ограничениях

= (3.123)

(a,z) < 0, j G Ml и M2. (3.124)

Пусть z* - решение задачи (3.122^ — (3.123).

Тогда по теореме Куна-Таккера найдутся множители Лагранжа Л* и ßj, j G M1 U M2, такие, что

Az — + ^^ ßj öj = 0. (3.125)

j gmium2

Рис. 3.13: Способ подкрепления: при Ы\ = 0 и М2 = 0 (слева), при Ы\ = 0 и М2 = 0 (справа).

> 0, и выполнены условия дополняющей нежесткости

(а?, г*) = 0. (3.126)

Умножая скалярно (3.125) на г*, находим ](г*) — А*д(г*) = 0, ||г*|| > 0. Так как г* - решение (3.122^ — (3.124), то, очевидно, для всех А < А* квадратичная форма

± г)-А± £№,*)>()

для всех г € Г, то есть является условно положительно определенной на конусе Г. Таким образом, множитель Лагранжа А* есть значение безразмерного параметра

р#

В

критической нагрузки. Задача (3.122) - (3.124) является задачей невыпуклого математического программирования. Для ее решения можно предложить метод последовательных приближений, описанный формулами (2.15) - (2.18). Данный алгоритм является локальным, то есть он сходится к решению задачи (3.122) -(3.124) при удачном выборе начального приближения г0. Обсуждение результатов

Результаты вычислений представлены в таблицах: таблица 5 случай центральной нагрузки, таблица 6 случай нормальной нагрузки. Для множества М\ нити прикрепляются в вершинах правильного т-угольника, для множества М2

Таблица 5. Случай центральной нагрузки

т 5 7 10 14 20 25

М2 = 0 7.73 10.84 13.16 15.34 17.99 18.71

М\ = 0 4.92 9.12 13.89 17.98 32.98 43.41

и м2 7.73 12.30 20.31 32.65 53.24 84.96

(3. 84)

мерного критического параметра в случае непрерывного распределения цен-

( М2 = 0 )

Р * = 18.72.

Значение критической нагрузки для кольца без подкреплений

Р* = 4.5.

Таблица 6 , Случай нормальной нагрузки

т 5 7 10 14 20 25

М2 = 0 4.90 5.63 7.19 7.20 7.73 8.001

М1 = 0 3.18 7.20 10.07 14.76 31.03 41.06

и м2 5.41 9.21 17.59 29.30 48.40 79.58

( М2 = 0 )

да кольца точное значение критической нагрузки (п.3.3.1)

Р* = 8.0.

По результатам численных экспериментов при подкреплении кольца центральными нитями для т > 25, нити можно считать непрерывно распределенными по ободу кольца. Значение критической нагрузки для кольца без подкреплений

Р* = 3.0.

Таким образом, при малых т подкрепление нитями вдоль сторон правильного многоугольника влияет на значение критической силы. При возрастании т

Таким образом, показано, что значение критической силы значительно воз-

т—

М1 М2

(т = 20)

силы возрастает в почти в 3 раза в случае центральной нагрузки и почти в 7 раз при нормальной нагрузке.

3.4 Устойчивость прямоугольных пластин при односторонних

ограничениях на перемещения

Постановка задачи

Пусть прямоугольная пластина нагружена по краям х = 0, х = а; 0 < у < Ь нормальными усилиями а.

Обозначим через и>(х,у), 0 < х < а, 0 < у < Ь прогиб пластины.Тогда в соответствии с допущениями теории Кирхгофа потенциальная энергия деформации пластины имеет вид [15]:

а pb

1де

U{w) = ^~ I I ({Aw)2-{1-v)L{w,w)) dxdy, (3.127)

2 Jo Jo

d2w d2w

Aw = + "T"^' dx2 dy2

\ Эх2 <9у2 \ <9ж<9у у у Работа внешних сил может быть вычислена по формуле [15]

а b 2

v(u,)=21гШ1Ыу- (ЗЛ28)

Задача об устойчивости пластины сводится к отысканию сил а таких, что вариационная проблема

U - V ^ min (3.129)

w

имеет нетривиальное решение.

Предположим теперь, что прогиб пластины может быть ограничен жесткими препятствиями так, что

w(x, yi) < 0, приж G [0, а] , w(x,y2) > 0, приж G [0,а] ,

где yi5 y2 - фиксированные точки из (0, b).

Функцию w будем аппроксимировать сплайнами [29

n+2 m+2

w(x,y)^E wi3Bi (x) Bj (y), (3.131)

i=0 3=0

где

х Е [О, /1 , I = а, к = —, Жг = ¿/г,

п

1 1 2

В(Ж) = (бЖ+ " 3 (Ж " + (Ж " 2/1)+ " (ж -3/1)^ + ^ (ж -4Л)®)

Б0(ж) = 1 + ^ ( - + I {х - к)3, -

1 ' 1 3,5,

в^х) = ж + + (3.132)

2 1 \

- - (а; - 2Л)® ч- +- (ж - ЗЛ)® ),

1 2 1 / 11 3 1/ ,ч3

Во{х) = -ат + т ( - —х\ + - {х - К)+ -

2 Н\ 36 + 2

Вп(х) = В2 (/ — х), Вп+х(х) = Вх (/ — х),

Д?+2(ж) = Во (I — х), = та,х{0, ж} = + х).

2

Меняя в определении сплайнов х на у, п на т и полагая I = 6, получим

В? (у).

Подставляя (3.131) в (3.127) и (3.128) получим две квадратичные формы соответственно

) = у У^ У^ "''./"'/■•>• (3.133)

/)() "''./"'/.•>• (3.134)

Квадратичная функция /('у) аппроксимирует упругую энергию пластины, ) - работу внешних сил. Коэффициенты д^кв? гесть интегралы по площади пластины от произведений В^ и их производных, в частности

па пЪ

Пуке = В'г (х)Вк(х)^х / Ву (У)В*

ио Jo

Все эти интегралы могут быть вычислены аналитически с использованием системы МАРЬЕ. Обозначим через /('у) = 1/Л/(шу) и д('у) = 1/ад(и>у).

Если положить

= 0, ^ = 0, = 0, и)п+2,3 =0, 3 е [1 : т] ,

то при х = 0 х = а будут выполнены граничные условия шарнирного опирания:

Ц°,у) = щ(а,у)=0, ^^

Щхх(0, у) = Щхх(а, у) = 0, 0 < у < Ь.

Если же положить

= 0, = 0, = 0, Щп+2,^ = 0, 3 е [1 : т]

х = 0 х = а

щ(0'У) = щ(а'У) = 0 (3_13б)

щж(0, у) = Щх(а, у) = 0, 0 < у < Ь.

Будем предполагать, что при у = 0; Ь выполнены граничные условия свободного края:

д2 го (х,у) , , 1д2ги(х,у)

д3ги(х,у) /0 , д д3ги(х,у) _ - - - - (3.137)

__i _ д

<9.г'2 ду2 '

Т5-" + (2 - = 0, о < .г- < о,

Граничным условиям свободного края специально удовлетворять не надо, так как коэффициенты Щц, Щ;,т+2, Щ«,т, Щ«,т+1 находятся в ре-

зультате решения задачи оптимизации.

Граничные условия свободного края являются "неудобными11 в вычислительном отношении, так как они содержат производные третьих) порядка.

Потребуем выполнение неравенств (3.130) в конечном числе точек:

/

,у1) < 0, ,у2) < 0,

< Х\ = \а, Хо = хз = |а, (3.138)

, 2/1 = ^Ь, у2 = \Ь.

Подставляя (3.131^ в (3.138) получим систему линейных неравенств, которым должны удовлетворять коэффициенты Запишем эти неравенства в виде

6 k=1

Обозначим через Г конус, определяемый неравенствами (3.139). Таким образом, вместо (3.129) - (3.13°) получаем задачу отыскания минимального числа Л*, такого, что задача нелинейного программирования

f (wij) - X*g(wij) ^ min (3.140)

wij er

имеет нетривиальное решение. Она сводится к проблеме идентификации условной положительной определенности квадратичных форм на конусах. Обсуждение результатов

n,m в формуле (3.131) выбирались путем численных экспериментов. При n = m = 4° и n = m = 5° результаты численных экспериментов совпадали с точностью до двух значащих цифр.