Применение обобщенных степенных рядов в моделировании задач механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Святсков, Виктор Александрович

• Святсков, Виктор Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Святсков, Виктор Александрович

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕОБХОДИМОГО

УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.

§ 1. Построение лагранжиана.

§ 2. Вывод дифференциального уравнения необходимого условия экстремума.

§ 3. Некоторые свойства основного уравнения.

ГЛАВА II. СТРУКТУРА РЕШЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ

§ 1. Действия с обобщенными степенными рядами.

§ 2. Доказательство теоремы о структуре для случая отличных от нуля свободных членов {Кх ф О, М1 ф 0; sgn^1 = sgnMI)

§ 3. Доказательство теоремы о структуре для случая

К{ =0,М{ = 0; у0 ф0, аи ф0, К2 ф0; sgn/1 =-8%пК

§ 4. Доказательство теоремы о структуре для случая Кх = 0,М, =0, (7и =0, Кг= 0;

К1н ф 0, М2 ф 0; sgnK{u = sgnMг

§ 5. Условия сходимости к точному решению.

ГЛАВА III. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА - ЛАГРАНЖА

В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ДЛЯ ЛАГРАНЖИАНА

§ 1. Построение лагранжиана.

§ 2. Уравнение Эйлера-Лагранжа.

§ 3. Интеграл энергии.

§ 4. Интеграл импульса.

§ 5. Интеграл FA~ =

§ 6. Решение задачи Коши для одного ОДУ второго порядка

ГЛАВА IV. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ.

§ 1. Общие сведения по теории движения тела переменной массы.

§ 2. Случай постоянной абсолютной скорости присоединяющихся частиц.

§ 3. Случай равной нулю абсолютной скорости присоединяющихся частиц.

§ 4. Исследование одной задачи о точке переменной массы

§ 5. Общие сведения по теории оптимальных ^ аэродинамических форм.

§ 6. Построение лагранжиана и определение экстремали.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение обобщенных степенных рядов в моделировании задач механики»

Известно, что многие явления природы и техники можно описать средствами математики. Значительную часть таких явлений можно представить через дифференциальные уравнения. Чем точнее математическая модель будет характеризовать реальный объект, тем от большего числа параметров эта модель должна зависеть. Исходя из самого физического явления некоторыми параметрами можно пренебречь и вообще не вводить в математическую модель. Часть параметров, присутствующих в математическом описании, может оказывать незначительное влияние на сам физический процесс.

Моделирование является мощным орудием научного познания и решения практических задач и широко используется как в науке, так и во многих областях производственной деятельности человека.

Одной из характерных черт, как говорится в работе [20], современных исследований стала математизация физического познания, интенсивное применение методов математического моделирования.

Рассмотрим одну задачу динамики точки переменной массы главы IV параграфа 4 настоящей работы. На этой задаче наглядно виден подход, применяемый в предлагаемом исследовании: интегрирование нелинейных ОДУ на основе обобщенных степенных рядов. Выбрана задача, решение которой можно найти и в конечном виде для сравнения двух решений: конечного параметрического и решения в виде обобщенного степенного ряда.

Точка из состояния покоя начинает двигаться вдоль прямой под действием постоянной силы F. Закон нарастания массы точки выражается формулой М= juv , ¡л = const. Абсолютная скорость налипающих частиц q = const. Найти закон движения точки.

Уравнение И.В. Мещерского для этой задачи имеет вид

-[М(у-д)] = Р. (0.1) ш

В соответствии с обозначениями диссертации введем параметры:

М{ = Р,К2~ 6¡л,Кх = -2/щ, а также обозначения: тх = Мх IКх,к2 =К2/КУ Исходя из уравнения (0.1), будем иметь следующую начальную задачу: 1

Кхх + —К2х)х = Мх; (0.2) х(0) = 0, х(0) = 0; бяп^ =8§пМ,; КхфО,К2ФО,Мх ФО,Кх,К2№\ еИ; хеС2 ((ОД], К). Эта задача имеет следующее параметрическое решение:

11т 1 А^л д х =--Т +—-т ,

3 т{ 8 тг

11 2 1 к7 г =--т +--г-х .

2 т1 6 т1

Наглядно просматривается суть физического процесса из решения, полученного в виде обобщенного степенного ряда в окрестности точки (0,0,0) на основе теории ветвления:

1 °° х = (0.3)

1=0 где коэффициенты й1 вычисляются по рекуррентным соотношениям:

Щ =/(«0 »«1 »-»Им) •

В частности, если ограничиться только главным членом разложения, то будем иметь

3/2 I 1 х = (0.4)

Из формулы (0.4) следует sgnJ£1 = sgnM1, что означает sgng = ^¿пР, т.е. в этой задаче частицы движутся навстречу исследуемой материальной точке.

Из формулы (0.4) также следует, что в окрестности точки (0,0,0) закон нарастания массы М = ¿их2 = 2/яи,г близок к линейному, а закон изменения кинетической энергии точки К = ^Мх2 = 2рт212 близок к квадратичному. Численные расчеты и графики, приведенные в приложении, служат иллюстрацией этим фактам.

Заметим, что уравнение (0.2) является частным случаем общего предельного уравнения сингулярно возмущенной задачи главы I; решение (0.3) - частный случай решения, полученного в параграфе 2 главы II. Это решение получено на основе теоремы 2.1 о структуре решений исследуемого основного уравнения диссертации. В обозначениях настоящей работы лагранжиан рассмотренной задачи имеет вид

11

ЬМ,х,х) = М,х+—КЛ +—К7х .

А 6 24

Следующий пример - из теории оптимальных аэродинамических форм (ТОАФ). Более полное изложение этого вопроса содержится в параграфе 7 главы IV. На этом примере показан случай вырождения обобщенного степенного ряда в ряд с одним слагаемым.

Рассмотрим задачу об определении оптимальной формы осесимметричного тела в гиперзвуковом невязком потоке газа при заданном радиусе донного сечения г и объеме тела V.

Лагранжиан исследуемой задачи имеет вид т / • \ и и 2

Ь(и,и) = --г—у + ри , + £ и где р - множитель Лагранжа, а - относительная толщина тела. В соответствии с методом работы в окрестности носовой части ({/,и,ы} = {0,0,0}) лагранжиан приводится к виду и, и) = и м3 + р и2 . Экстремаль определяется как решение задачи Коши

Зиии + и3 -ри = 0 , и(0) = 0,г7(0) = 0.

Решение этой задачи имеет вид: и =

3/2

3/2

Следующий пример связан с известной задачей о брахистохроне. В первом интеграле уравнения Эйлера - Лагранжа, приведенном в [130], поменяем местами хиу:

2а - х)у2 = х.

Решение задачи Коши при условии у(О)^ 0 для этого уравнения 0 где

2/-1)!! 1 1

Ь, =■

V ; 2 22

Приведенные три задачи объединяет общее: решения этих задач получены из уравнения Эйлера - Лагранжа в качестве экстремалей и имеют вид обобщенного степенного ряда.

Рассмотрим с общих позиций подход, предлагаемый в диссертации от сведения вариационной задачи к сингулярно возмущенному уравнению - до построения решения последнего уравнения в предельном случае в виде обобщенного степенного ряда. Отметим основные этапы исследования.

Одним из необходимых условий экстремума функционала 1

Ф = 0,и(0)Л, о где й = , при некоторых дополнительных ограничениях является удовлетворение экстремалей уравнению Эйлера - Лагранжа или его различным обобщениям.

Пусть на исследуемой экстремали при (0 = О условие Лежандра имеет вид Ьы - а > 0. При а = 0 будем иметь нарушение усиленного условия Лежандра.

Пусть в начальной точке и(0) = и0,й(0) = й0. (0-5)

Если ввести множество допустимых возмущений экстремали и = {и \и еС\А,1Я), А = [0,£], д « 1, и = и - и0 - й^}, (0.6) то уравнение Эйлера - Лагранжа примет вид

Начальные условия для этого уравнения:

0) = 0,ад = 0. (0.8)

Функции gvLa непрерывны вместе со своими частными производными и в начальной точке (0,0,0) равны нулю. Функция Ь(() е С1 ([0,<5],7?) и Ь{0) = /?0. В уравнении (0.7) а играет роль малого параметра.

Уравнение (0.7) - существенно нелинейное. В зависимости от значения параметра сг оно может принадлежать следующим классам задач.

При конечном сг > 0 это уравнение поддается исследованию классическими методами (аналитическими, численными и т.д.)

При 0 < сг«1 это уравнение имеет характер сингулярно возмущенного со следующим свойством : при малом параметре равном нулю порядок уравнения не понижается, само уравнение становится с особой точкой . Уравнение, полученное в этом исследовании по своим свойствам примыкает к классу уравнений С.А.Ломова и его учеников[75, 54].

В настоящей работе исследован случай ст = 0. Исследуемое уравнение и решение начальной задачи для него имеют особую точку. Уравнение существенно нелинейное, т.е. при определенном наборе параметров из него нельзя выделить линейное. Наличие особой точки связано с нарушением усиленного условия Лежандра (УУЛ).

Исследование экстремальных задач со сбоем УУЛ получает все большое распространение. А.В.Арутюновым в работах [13-15] исследуются вырожденные квадратичные формы вариационного исчисления.

В случае особой точки изучаемое уравнение не поддается исследованию классическими численными методами и аналитическими. В окрестности особой точки решение строится в виде обобщенных степенных рядов [28, 72, 82, 110].

Остановимся на двух основных подходах исследования задачи Коши (0.7), (0.8).

Если заранее неизвестно, имеет ли вариационная задача решение, то следует рассмотреть уравнение (0.7) в окрестности особой точки (0,0,0). Вопрос существования решения может быть исследован классическими методами: например, Ляпунова, Брио и Буке и т.д.

Пусть вариационная задача имеет решение. Следовательно, выполнено необходимое условие: есть решение уравнения Эйлера -Лагранжа. В нашем случае это будет решение и уравнения (0.7). Решение предельного сингулярно возмущенного уравнения (0.7) ищется в виде обобщенного степенного ряда со и = 1Р"> £ и1 Г'7" , щ ф 0 . (0.9)

1=0

Начиная с прошлого века систематически начала разрабатываться теория малого параметра. Основы этой теории заложены в работах Пуанкаре. Если рассмотреть обыкновенные дифференциальные уравнения, то только малая часть из них поддается точному решению. Приходится применять численные или асимптотические методы. При применении асимптотического анализа в случае регулярных возмущений главный член асимптотики заменяет точное решение по качественному описанию изучаемого физического процесса.

Рассмотрим метод малого параметра согласно работе [35], не останавливаясь при этом на вопросах сходимости. Дано семейство операторов ¥,. вида

0Л0) причем - область определения оператора - содержится в - области определения оператора Рх Рассматривается решение и£ уравнения

Расщеплению (0.10) отвечает рекуррентный процесс, который получается, если искать приближенное решение уравнения (0.11) в виде многочлена по б : и£ =со0 +есох +.+ епсо{ , (0.12) где е- остаточный член.

Подставляя (0.12) в (0.11) и собирая члены с одинаковыми степенями б , получаем для определения со0 ,а>{, . рекуррентную систему уравнений:

0.13) где со0 есть решение предельного уравнения, получаемого из (0.11) при £-0; далее, при / = 1,2,.,п имеем о С01 = ^ы , + (0-14)

Уравнения (0.14) отличаются лишь правой частью от предельного уравнения (0.13).

Следуя работе [31], перейдем к сингулярно возмущенным задачам. Рассмотрим два уравнения: уравнение А0: Ь]}и = /0; уравнение Ае: + г^и = /0 + . Здесь и заданные операторы, /0 и /, - заданные функции, е -малый числовой параметр, и - искомая функция, зависящая от х (х может быть одномерной и многомерной переменной). Пусть задачи А0 и Ае рассматриваются в области Д т.е. и = и(х),х е О. Решение задачи А0 обозначим через и0 (х), а задачи Ае - через ие (х). Задача Ае называется регулярно возмущенной, если вир К (*) - щ 0)|| 0 при £->0. (0.15) о

В противном случае задача Ае называется сингулярно возмущенной.

В исследуемой задаче (0.7), (0.8) - щ е С2((0,1],Л),ив е С2([0,1],Д). На основании приведенного определения эта задача при 0 < а «1 -сингулярно возмущенная.

Как следует из монографии [74], в случае сингулярно возмущенной задачи область определения предельного оператора Q(F0) (¿- = ()) шире, чем Q(F,). Хотя чаще всего внешним признаком сингулярно возмущенной задачи для дифференциальных уравнений является наличие малого параметра при старшей производной. В принятой терминологии слово «сингулярный» выступает синонимом слова «нерегулярный». Здесь же отметим, ссылаясь на статью [35], что решение и0 предельного уравнения часто оказывается менее гладким, чем решение иЕ уравнения более высокого порядка. Сингулярно возмущенные задачи характерны для многих областей человеческих знаний. Подобные задачи возникают в нелинейной механике, теории нелинейных колебаний [116], при описании таких явлений физики, как разрывы, быстрые переходы, краевые эффекты [74], в химии, в биологии [31], теории оптимальных аэродинамических форм [111].

Одними из первых работ по сингулярно возмущенным уравнениям были статьи А.Н.Тихонова [113-115]. В этих работах доказаны теоремы о предельном переходе от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю. В частности, работа 1948 года посвящена изучению решения y(t,ju) уравнения ju—= F(t,у,——j С">0) , (0.16) dt" dt дГх дку{ 0) п л определяемого условиями -т— = уq , {к -1,., п -1) при dt ju->0. Здесь сохранены обозначения работы [113]. Вслед за этими работами появились многочисленные публикации, посвященные разработке асимптотических методов решения сингулярно возмущенных уравнений. Обзоры основных из этих работ содержатся в книгах [30, 31, 74], ставших классическими по сингулярно возмущенным задачам.

В сингулярно возмущенных задачах наблюдается явление пограничного слоя. Пограничные члены вносят весомый вклад в решение задачи в области погранслоя и быстро убывают при удалении от области пограничного слоя.

Термин «пограничный слой» заимствован из механики жидкости и газа. Одним из характерных уравнений являются уравнения Навье-Стокса [58, 73]. Этими уравнениями можно описать течение вязкого газа. Уравнения Навье-Стокса - это система квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка для стационарных течений и параболического типа - для нестационарных. Принципиальной особенностью уравнений Навье-Стокса является наличие в них малого параметра при старших производных. Этот параметр связан с динамическим коэффициентом вязкости. В области течения существуют зоны, в которых газодинамические параметры изменяются крайне неравномерно. В этих зонах вводят понятие пограничного слоя. Пограничный слой может быть например, ламинарным, турбулентным [73]. Большое количество задач связано с такой разновидностью пограничного слоя, как ударная волна, которая образуется при переходе дозвукового потока в сверхзвуковой [60, 88, 91, 128]. Решение таких задач связано с большими математическими трудностями, так как приходится рассматривать сингулярно возмущенные системы. Весьма актуальной задачей является в известных физических моделях при переходе к математическим моделям умение учитывать сингулярности и находить решения в пограничном слое. В качестве примера приведем модель гиперзвукового обтекания тела по модели Ньютона. В известных работах, ставших классическими [111, 128, 134, 137], сингулярная часть отбрасывается. Обоснование этому -незначительный вклад этой части в общую картину обтекания [111]. Для более точного расчета формы тела в окрестности носовой части следует учесть вклад погранслойного решения.

По поводу проведенного исследования в настоящей работе можно сделать следующий вывод: окрестность особой точки формирует пограничный слой. В этом пограничном слое решение задачи представимо в виде обобщенного степенного ряда.

Здесь уместно привести следующее высказывание, приведенное в работе [76]: «. .в качественной теории дифференциальных уравнений и в математике вообще, не разработано общих методов описания решений в окрестности особых точек и именно по этой причине математическая теория пограничного слоя развивается крайне медленно».

Прежде чем найти решение задачи при 0 < а «1 надо исследовать задачу при малом параметре равном нулю. Исследованию этого предельного случая и посвящена настоящая работа.

Как следует из обзора работы [22] линейные скалярные обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями возникают во многих физических задачах и издавна привлекали внимание математиков. Такие уравнения первоначально рассматривались в пространстве аналитических функций ( Эйлер, Фукс и др.), и только во второй половине нашего века были получены результаты, относящиеся к сингулярным уравнениям в пространствах дифференцируемых функций, а также в различных весовых пространствах (И.Т.Кигурадзе, Л.Д.Кудрявцев, В.П.Глушко,

Д.Е^сЬпег). Задачи с сингулярными точками внутри отрезка, на котором изучается обыкновенное дифференциальное уравнение, рассматривались в работах \¥.КЕуегШ;, А^еШ, В.П.Глушко, 1.Е1зсЬпег и др. Спектральные многоточечные задачи для сингулярного обыкновенного дифференциального уравнения рассмотрены Ю.В.Покорным и его учениками.

Сложнее обстоит дело с нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для таких уравнений с особыми точками нет единой классификации как для самих уравнений, так и для решений этих уравнений. Один из видов классификации особых точек решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка приведены в работе [57].

В настоящей работе получено и исследуется существенно нелинейное ОДУ второго порядка, которое при параметре а- О, имеет особую точку. Для этого уравнения характерно, что из него, как частный случай, при определенном наборе параметров нельзя выделить линейное ОДУ. Особая точка уравнения определяет особенность решения. Окрестность особой точки формирует пограничный слой. В этом пограничном слое решение начальной задачи исследуемого уравнения при нулевых начальных условиях представимо в виде обобщенного степенного ряда.

Следуя книге [72], остановимся на понятии обобщенного степенного ряда. Точку а, принадлежащую области существования аналитической функции или ее границе, мы будем называть особой точкой функции /(г), если в ней нарушается аналитичность хотя бы одной ветви функции /(г).

Точка а называется изолированной особой точкой функции /(г), если существует такая окрестность 0 < I г - а I < Я, что /(г) продолжаема вдоль любой цепочки областей, принадлежащих этой окрестности.

Рассмотрим цепочку, составленную из областей Д (к = 0, ± 1, ± 2,.), представляющих собой кольца 0 < | г - а | < Я, разрезанные вдоль некоторого радиуса, например &rg(z - а) = 0. Пусть /0(г) - ветвь /{г), однозначная и аналитическая в каком-либо кольце Д с разрезом у{). Если значения /0 (г) на обоих берегах у0 совпадают, то мы будем говорить, что а - особая точка однозначного характера для данной ветви (в этом случае по теореме единственности аналитические продолжения ветви /0 (г) в другие кольца Д совпадают с /0(г)).

Если же значения /0 (г) на берегах разреза не совпадают, то а называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления. Здесь возможны два случая:

1. Существует цепочка Д , Д,., Вп{ колец, соединенных последовательно, например против часовой стрелки (т.е. нижний берег разреза на И0 соединяется с верхним берегом разреза на £),, нижний на Д - с верхним на Д и т.д.), такая, что на оставшихся свободных берегах разрезов Д и Д, (верхний берег на Д и нижний Д,) значения /0 (г) и /пЛ (г) совпадают. Тогда по теореме единственности /„(*) = /<,(*), /й+1 (г) = /,(г), . , (г) = /„,(г), и вообще значения /к{г) при к, изменяющемся от -оо до оо, переодически повторяют значения /0(г), /¡(г),., В этом случае мы будем говорить, что а — точка ветвления конечного порядка п-1 [82, 110].

Если в рассматриваемом случае все ветви /к(г) при г->а стремится к одному конечному или бесконечному пределу, то говорят, что а является алгебраической точкой ветвления. Таковы, например, точки г = 0 и г = оо для функции /(г) = или г) = \/л[Т. Если же предел /к(г) при z—не существует, то а называют трансцендентной точкой ветвления. Такова, например, точка г = 0 для функции /(г) = (г = со является для нее алгебраической точкой ветвления).

2. Во всех кольцах Ик цепочки значения функций различны. В этом случае а называют логарифмической точкой ветвления. Таковы, например, точки г = 0 и г = оо для многозначной функции ¿y = Lnz. Логарифмические точки ветвления относят к числу трансцендентных.

В окрестности точки ветвления а конечного порядка п — 1 функция /(г) допускает разложение в обобщенный степенной ряд, или ряд Пюизё [82]: оо ^с^г-аУ" . (0.17) к=-х>

В самом деле, положим г - а = С,п; тогда цепочке областей Д, (у = 0,1,.,и-1)в плоскости С, будет соответствовать цепочка смежных секторов А„ кольца 0 < | С, | < р = с центральными углами 2п1п. Рассмотрим сложную функцию = /{а + £п), причем в каждом секторе Ау мы выбираем соответствующую ветвь /1; функции / Функция (р(£), очевидно, непрерывно продолжается из А0 в А, , А2,., Аи, и значения ее на свободных берегах разрезов А0 и Аи ., совпадают. Поэтому точка С, = 0 является для этой функции изолированной особой точкой однозначного характера и, следовательно, (р{£,) представляется в окрестности ¿Г = 0 рядом Лорана оо р(С)= X скС ■ (0.18) к=-оо

Подставляя сюда £ = (г - а)11п, получим искомое разложение (О Л 7).

В случае алгебраической точки аф оо разложение (О Л 7) содержит конечное число с отрицательным к (быть может, эти члены и вовсе отсутствуют), а в случае трансцендентной точки -бесконечное.

Из общей теории ОДУ известно, что в некоторых случаях ОДУ можно свести-'алгебраическому. В настоящей работе исследована такая возможность. Решение в этом случае в диссертации определяется на основе диаграммной техники Ньютона [28].

Ньютон, по-видимому, впервые исследовал вопрос об отыскании неявных функций, когда частная производная может обращаться в нуль. В одной из своих работ он рассматривает уравнение

Р(х,у) = 0 (0.19) между вещественными переменными х и у, предполагая, что .Р(х0,-у0) = 0 и что Р(х,у) разлагается ряд по целым положительным степеням (х-х0) и (у - у(}) без требования того, что (х0, у0) Ф 0. Решение уравнения (0.19) он ищет в виде ряда

У = У о + Ух (* " *о Г + У 2(х - х0)а2+■■■ , (0.20) где ах , а2 , . - возрастающая последовательность рациональных чисел. Для нахождения возможных значений ах , ух , а2, у2 , . Ньютон дал геометрический прием, получивший название диаграммы Ньютона (или многоугольника Ньютона, или параллелограмма Ньютона). Развитие метода и его роль в современном развитии математики трудно переоценить. Результаты Ньютона были получены для уравнения (0.19) и в случае комплексных х, у и Е(х,у). При этом было установлено, что никаких других решений, кроме тех, которые были указаны Ньютоном, нет.

Нас, однако, будут интересовать лишь малые решения уравнения (0.19), т.е. непрерывные решения у = у{х), удовлетворяющие условию у(0) = 0. Итак, рассмотрим уравнение (0.21) В этом уравнении функция Р(у,х) имеет вид

ПУ,х) = 1^(х)у' , (0.22) 0 где функции ^(х) ряды Пюизё: со

Р,(х) = хр^^1хг/с' , д<=М ; (0.23) г=0 где - комплексные числа; у,х - комплексные переменные, р1 -неотрицательные рациональные числа; (х) Ф 0, Еп (х) ^ 0. Из допущения о представлении функции (х) вытекает, что если (х) * 0, то можно считать Ф 0. Следовательно, без ограничения общности можно считать Ь\){) ^ 0 и Ф 0.

Решение уравнения (0.21) относительно у будем искать в виде ряда

У = УаХа+Уа1Ха1+Уа2*а1+- > (0"24) где а <а1 <а2 <., уаФ 0, или кратко, у = уаха+¥, (0.25) где V = о(ха ) при х —> 0.

Для нахождения возможных значений а и уа мы подставим (0.25) в (0.21), соберем члены с одинаковыми степенями х и приравняем нулю коэффициенты при этих степенях. Начнем с члена наинизшей степени. Пока а не определено, мы не знаем, какие из полученных членов имеют наинизший порядок по х. Можно лишь утверждать, что низшие члены находятся среди следующих:

Я4» Р гРо Р V хРх+а Р V2 гР2+2а Р л>" хр"+па а) Р0,0Х > Л),1 Уах > Л),2 Уа Х >—> Р0,п Уа Х > если все ^ 0 (г = 0,п);

5Л р> хРо р ук Рк+ка т? п р„+па

-<0,0 Л ' •••' Г0,к Уа Х ' Г0,п Уа Л '

0.26) где к такие, что (х) Ф 0.

Так как в (0.26) все коэффициенты ^ Ф 0, то для сокращения членов низшего порядка необходимо, чтобы по крайней мере два из показателей

Л)> Рк+ка> Рп+па (0-27) совпали, а остальные были бы не меньше их. Приравнивая показатели, мы определим все возможные значения а, а затем подберем значения уа так, чтобы сумма коэффициентов членов (0.27), имеющих равные показатели, была равна нулю. Таким образом, а должно быть корнем одного из линейных уравнений р3 + БСС = РХ+1(Х (sФi, р5(х)ф 0, ^.(х)^о), (0.28) причем, из всех корней только те дают решение задачи, подстановка которых в остальные выражения (0.26) дает не меньшее значение, чем р8 + я а.

В заключение описание этого метода приведем свойства решений (0.24), следуя монографии [28].

1. Получаемое методом диаграммы Ньютона разложение (0.24) расположено по возрастающим степеням х , т.е. а < ах < а2 <. .

2. В разложении у = уаха + уа[ха[ + уа1ха2 +. показатели а , ах , а2, . являются дробями с конечным общим знаменателем.

3. (Теорема Пюизё) Получаемые методом диаграммы Ньютона ряды сходятся в некоторой окрестности точки х = 0, за исключением самой точки х = 0, если а < 0.

Для нахождения этих значений используется следующий геометрический прием, принадлежащий Ньютону и носящий название диаграммы Ньютона.

Выберем в плоскости прямоугольную систему координат и построим точки (0,р0), (к,рк), (<п,рп), где к принимает те же значения, что и в (0.26).

Проведем через точку (0,ро) прямую, совпадающую с осью ординат, и станем ее вращать вокруг точки (0,/>0) против часовой стрелки до тех пор, пока она не заденет какую-нибудь из других построенных точек, например (1,р;). Тангенс угла, составляемого прямой Ь, проходящей через точки (0,р0) и (/,р7), с отрицательным направлением оси абсцисс, равен одному из возможных значений а, так как, во-первых, для этого а имеем р0 - р1 =1а, т. е. р0=р!+1а, и, во-вторых, если через точки (к,рк), которые не оказались на этой прямой (по построению эти точки лежат выше), провести прямые параллельно Ь, то они пересекут ось оу выше - в точке с ординатой ке + рк, а потому рк+ка > р,+ 1а = р0 .

При этом может оказаться, что на прямую Ь попало несколько из нанесенных точек. Пусть (я,/^) - точка на Ь с наибольшей абсциссой. Будем теперь вращать прямую Ь против часовой стрелки вокруг точки (л , /9?), пока она не попадет на другую из нанесенных точек, скажем (/,/?,), у которой абсцисса t >5 . Обозначим через V прямую, проходящую через точки и (/,/?,). Рассуждая так же, как раньше, мы придем к выводу, что тангенс угла, составляемого V с отрицательным направлением оси абсцисс, дает еще одно из возможных значений а. Пусть (и,ри) - точка на V с наибольшей абсциссой. Вращая V вокруг (и,ри) и продолжая предыдущий процесс, мы получим выпуклую ломаную, соединяющую точки

0,/?0), (и,ри),. , называемую диаграммой Ньютона (рис. 1

0.5).

Работа состоит из четырех глав, настоящего введения, заключения, приведенного списка литературы, приложения. Основное содержание входит в главы 1-1У.

Первая глава включает в себя три параграфа. В первом параграфе излагается постановка задачи.

Рассматривается подинтегральная функция Ь = Ь(и,у) двух переменных функционала 1

Ф=\Ь{и{г),й^))(И , (0.29) о с1и где у-и- —. Л

Описаны ограничения, накладываемые на функцию Ь в некоторой окрестности начальной точки (м0,у0). Приводится определение особой точки лагранжиана. Вводится множество допустимых возмущений экстремали формулой (0.6).

Если ввести обозначения у-й, V = и и в лагранжиане Ь перейти от переменных и, V к и , V, то в окрестности точки t0 для Ь будет справедливо представление +LA(t,й,v) + r4(Au,Av) ■ (0.30) 4 1 где Ь° =Д>0,у0), = йГ£(и0,у0), г4(Ди,Ду)

1 п\ остаточный член.

Дальнейшее исследование в этом параграфе связано с изучением свойств лагранжиана

Второй параграф этой главы посвящен выводу дифференциального уравнения необходимого условия экстремума. В начале параграфа ставится экстремальная задача на основе лагранжиана формулы (0.30):

4>д = щщ (/, и (0, и , (0.31) не о где множество V описывается формулой (0.6).

Преобразуя уравнение Эйлера - Лагранжа задачи (0.31):

0.32) получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка ст + ух 1 + у2 +с(/,м,1?)]у = . (0.33)

В последней формуле коэффициент сг = Ь°2, постоянные коэффициенты у{ , у2, функции с, а, £ известны и определяются через исходный для задачи (0.31) лагранжиан ЬА. Если в первоначальной задаче нарушено усиленное условие Лежандра, то <7 = 0. Полученные результаты оформлены в виде теоремы.

В третьем параграфе этой главы излагаются свойства функций с, а, Ь. Функции с и а - нелинейные, при ¿ = 0 с = 0 и о = 0. Следует обратить внимание на то, что из уравнения (0.33), как частный случай, нельзя получить линейное уравнение. Уравнение (0.33) имеет достаточно общий характер. Из него можно получить решения различных задач математики и механики особой точкой. Если это уравнение привести к нормальной форме, то задача Коши для него будет иметь вид м=/(*,м,и) , (0.34) и(0) = 0 , и(0) = 0) . (0.35)

Начальные условия (0.35) следуют из выражения (0.6).

В начале первого параграфа второй главы на основе свойств степенных рядов доказывается лемма о перемножении двух абсолютно сходящихся обобщенных степенных рядов вида со />о . (о.зб)

1=0

В этом же параграфе исследуется возможность представления решения задачи (0.34), (0.35) в виде формального ряда

СО щфо .

0.37) о

В заключение этого параграфа приводится теорема, в которой указаны те случаи отличных от нуля коэффициентов лагранжиана ЬА, определенного формулой (0.30), при которых формальное решение задачи (0.34), (0.35) можно представить в виде ряда (0.37).

Во втором параграфе этой главы ищется формальное решение задачи (0.34), (0.35) в случае Кхф 0, Мхф 0, для которых приняты обозначения: = , М:=Ь°и-у0 . и М, и М, - свободные члены соответственно левой и правой частей уравнения (0.33). Рассматриваются два случая: у0 ф 0, у0 = 0.

В третьем параграфе этой главы исследуется возможность представления формального решения задачи (0.34), (0.35) в виде функционального ряда (0.37) при следующих ограничениях на коэффициенты функции ЬА: коэффициенты исходного лагранжиана ЬА.

Четвертый параграф посвящен исследованию задачи (0.34), (0.35) в случае

В пятом параграфе указаны условия при которых решение (0.30) сходится к точному. Полученные результаты сформулированы в виде теорем.

Третья глава посвящена обобщению результатов на случай лагранжиана Ь - . В первом параграфе на основе формулы

К{=0 и М, = 0 ; у0 *0, сгиФ0, К2ф0 , где

0.38) выводится вид лагранжиана в пограничном слое. Формула для функции получена в первой главе. Основные результаты в этом

параграфе сформулированы в виде теоремы 3.1. Во втором параграфе строится уравнение Эйлера-Лагранжа для интегранта .

Основные результаты оформлены в виде теоремы 3.2. Следующие три параграфа посвящены первым интегралам уравнения Эйлера-Лагранжа.

В шестом параграфе этой главы исследуется задача Коши для одного дифференциального уравнения второго порядка. Решение этого уравнения получено как частный случай результатов четвертого параграфа второй главы.

Четвертая глава посвящена моделированию задач механики. В первых четырех параграфах рассмотрено движение тела переменной массы, в следующих двух параграфах - моделирование задач теории оптимальных аэродинамических форм.

В работе содержатся следующие новые научные результаты, выносимые на защиту.

1. Сформулирована задача определения экстремалей из уравнения Эйлера - Лагранжа с особой точкой. Предложен метод приведения уравнения Эйлера - Лагранжа с особой точкой к сингулярно возмущенному уравнению.

2. Получены условия существования решения задачи Коши для уравнения Эйлера - Лагранжа с особой точкой в виде обобщенного степенного ряда. Доказана теорема о структуре решений предельной сингулярно возмущенной задачи.

3. В качестве приложения предложенным методом получено решение одной известной задачи определения оптимальной формы тела, имеющего минимальное волновое сопротивление в гиперзвуковом невязком потоке при заданных радиусе донного сечения и объеме тела. 4. Сформулированы условия совпадения исследуемого уравнения с уравнением тела переменной массы. Решена новая задача о точке переменной массы с нулевыми начальными условиями.

Основное содержание диссертации отражено в работах [5, 7, 98-109].

Результаты настоящей работы докладывались на международной научной конференции «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах» (г.Тверь, 1996 г.), на IV международной научной конференции «Математика. Компьютер. Образование.» (г.Пущино, 1997 г.), Всероссийской научно-практической конференции «Новые информационные технологии» (г.Воронеж, 1997 г.), международной научной конференции «Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции.» (г.Самара, 1997 г.), V и VI международных научных конференциях «Математика. Образование. Экономика.» (г.Ростов-на-Дону, 1997 г., г.Чебоксары, 1998 г.), международной научной конференции «Современные проблемы математики» (г.Черновцы, 1998 г.), III и IV международных научных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Саранск, 1998, 2000 гг.); на городском научном семинаре по дифференциальным уравнениям (г.Чебоксары, 1996-1998 гг.), научном семинаре кафедры математического моделирования математического факультета Чувашского государственного университета (г.Чебоксары, 1998 г.), научном семинаре кафедры

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Святсков, Виктор Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками является весьма актуальной задачей. В настоящее время нет общей теории определения решений таких уравнений. Поэтому анализ проводится для отдельных классов уравнений. В диссертации рассматривается уравнение, имеющее характер сингулярно возмущенного. В предельном случае это уравнение имеет особую точку, в которой нарушено усиленное условие Лежандра. Окрестность такой особой точки формирует пограничный слой.

В работе получена общая формула представления лагранжиана в пограничном слое. На основании этой формулы получено обыкновенное дифференциальное уравнение с особой точкой, в работе названное основным. Это уравнение - нелинейное, второго порядка. Характерной особенностью этого уравнения является то, что из него нельзя выделить линейный случай. При малом параметре равном нулю порядок уравнения не понижается. Поэтому при поиске решений таких сингулярно возмущенных уравнений возникают значительные трудности. На начальном этапе исследования основного уравнения стоит задача определения решения при малом параметре равном нулю. В работе исследовалась возможность представления решения основного уравнения в виде обобщенного степенного ряда сю ¡=0

В работе указаны три основных случая представления формального решения в виде такого ряда. Для этих случаев построены рекуррентные формулы определения формального решения. Если основное уравнение имеет первый интеграл, то определены формальные решения в виде рекуррентных соотношений и для первых интегралов. Указаны условия сходимости приближенного решения к точному.

Фактом заслуживающего внимания, является то, что существуют задачи механики, математики, решения которых - это частные случаи полученных формул.

В работе проведено моделирование некоторых задач механики и математики с особыми точками. Решения некоторых задач теории оптимальных аэродинамических форм содержатся в настоящем исследовании. Показано применение построенного лагранжиана в пограничном слое и основного уравнения в исследовании задач о теле переменной массы. В качестве примера показано, как можно определить решение одной задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с особой точкой в виде исследуемого ряда.

Элементы работы использовались в учебном процессе: при чтении курса численных методов студентам физико-математического факультета Чувашского государственного педагогического университета, а также в курсовых и дипломных работах студентов. Результаты работы использовались автором при написании учебно-методического пособия «Практикум по численным методам» и учебного пособия «Лекции по численным методам».

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Святсков, Виктор Александрович, 2000 год

1. Аввакумов С.H. Об общем члене обращенного степенного ряда // Понтрягинские чтения. - Воронеж, 1997. - С. 166.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференцированных уравнений. М.: Наука, 1991.-277 с.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 429 с.

4. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.: Наука, 1984. - 288 с.

5. Алексеева Н.Р., Бабушкина Н.Р., Волгина О.В. , Святсков В.А. Моделирование экстремальных задач механики с особыми точками // IV межд. конф. женщин-математиков. «Математика. Образование. Экономика». Чебоксары, 25-30 мая 1998. С.79-80.

6. Алексеева Н.Р. Исследование сингулярно возмущеной задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Деп. В ВИНИТИ. 08.07.96; 2209-И96.

7. Алексеева Н.Р., Святсков В.А. Параметрическое решение первого интеграла уравнения Эйлера-Лагранжа с особой точкой // Сучасш проблеми математики: Матер1али м1жн. I. наук. конф. Частина 3. Кшв: 1н-т математики HAH Украши, 1998. - С.6-9.

8. Алешков Ю.З. Математическое моделирование гидроатмосферных процессов. // Вестн. С.-Петербург. Ун-та. Сер. 1. 1992. - Вып. 1 (№ 1 ). - С.7-11.

9. Алешков Ю.З. Течение и волны в океане. СПб: Изд-во СПб унта, 1996.-228 с.

10. Ю.Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

11. П.Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1984.-271 с.

12. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. - 383 с.

13. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факерман, 1997.

14. Арутюнов A.B. О вырожденных квадратичных формах вариационного исчисления // ДАН 1993. - Т.ЗЗЗ. - №3 - С.277-281.

15. Арутюнов A.B. К теории вырожденных квадратичных форм классического вариационного исчисления // Изв. АН. Серия матем. -1994. Т.58. - №6. - С.З - 50.

16. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.:1. Гостехиздат, 1955. 248 с.

17. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954. - 216 с.

18. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. -400 с.

19. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968. 183 с.

20. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. -519 с.

21. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950.-347 с.

22. Бравый Е.И. Линейные функционально-дифференцированные уравнения с внутренними сингулярностями. Автореф. дис. на соиск. уч. ст. к.ф.-м. Н. Пермь, 1996. - 17 с.

23. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. - 544 с.

24. Брюно Д.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

25. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965.-607 с.

26. Буслаев B.C. Вариационное исчисление. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. -288 с.

27. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. 4.2. -М.: Наука, 1966.-332 с.

28. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 527 с.

29. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.-400 с.

30. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.-272 с.

31. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. - 208с.

32. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // УМН 1963. -Т.18. -Вып. З.-С. 15-86.

33. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. О методе пограничных функций // ДУ 1985. - Т. 21. - № 10. - С.1662-1669.

34. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике. М.: Наука, 1991. - 225 с.

35. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравненийс малым параметром // УМН 1957. - Т. 12. - Вып.5. - С.3-122.

36. Воробьев H.H. Теория рядов. М.: Наука, 1986. - 408 с.

37. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. -Саранск: Изд-во Сарат.ун-та; Саран.фил., 1990. 224 с.

38. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 204 с.

39. Гелъфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: ГИФМЛ, 1961.-228 с.

40. Гелъфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: ГИФМЛ, 1961.-400 с.

41. Гильман O.A. Оптимизация тонких тел вращения при лучистом нагреве в гиперзвуковом потоке // Гидродинамика и оптимальное проектирование транспортных средств. -Горький: Изд-во ГПИ, 1985. -С.85-99.

42. Деев A.A., Левин В.А., Пилюгин H.H. О форме тела с мнимальным полным потоком лучистой энергии к его поверхности // АН СССР, МЖГ. 1976. - № 4. - С. 84-89.

43. Деев A.A., Левин В.А., Пилюгин H.H. Форма тела, оптимальная по условиям радиационной теплопередачи // Научные труды Института механики МГУ. М., 1976. - № 44. - С. 16-20.

44. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. М.: Наука, 1973.-352 с.

45. Зигель Лекции по небесной механике

46. Зубов В.И. Устойчивость движения: (Методы Ляпунова и их применение). М.: Высш.шк.,1984. -232 с.

47. Ильин A.M. Согласование асимптотических решений краевых задач. М.: Наука, 1989. - 334 с.

48. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.-480 с.

49. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений. / Воскресенский Е.В., Артемьева E.H., Белоглазов В.А., Мурюмин С.М. /- Саранск, 1988. 188 с.

50. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уранениям. М.: Наука, 1965. - 703 с.

51. Карагодин В.М. Теоретические основы механики тела переменного состава. -М.: Оборонгиз, 1963. 178 с.

52. Кильчевский H.A. Курс теоретической механики. Т.П. М.: Наука, 1977. - 543 с.

53. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. — 280 с.

54. Копсон Э. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966. - 159 с.

55. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. - 831 с.

56. Костин А. В. О вещественных особых точках решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // ДУ- 1970.-Т.6.-№9.-С.1713-1715.

57. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. И. М.: ГИФМЛ, 1963. - 727 с.

58. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высш. шк., 1983. — 279 с.

59. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979.-447 с.

60. Крайко А.Н. Головная часть заданного объема, оптимальные по волновому сопротивлению в приближении закона сопротивления Ньютона // ПММ. 1991. - Т.55. - Вып.З. - С.382-388.

61. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1973. - 191 с.

62. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 446 с.

63. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. М.: Высш. шк., 1988.-576 с.

64. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.З. М.: Высш. шк., 1989.-352 с.

65. Кудрявцев Л.Д. О вариационном методе отыскания обобщенных решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах со степенным весом // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19. - № 10. - С. 1723-1740.

66. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.-830 с.

67. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М.: Наука, 1970. - 671 с.

68. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.1. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. 476 с.

69. Лаврентьев М.А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 296 с.

70. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы вариационного исчисления. Т.1. Ч.П. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1935.-400 с.

71. Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Теория функций комплексного переменного. М., 1958. - 678 с.

72. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. -736 с.

73. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. - 398 с.

74. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением // ИАН СССР. сер. матем. 1966. -Т.ЗО. -№ 3. - С. 525-572.

75. Ломов С.А. Критерий «правильности» описания погранслоя. // Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач: Тез. Докл. Всесоюз.конф., г.Бишкек, 10-12 сент. 1991. Бишкек: Илим, 1991.-С.95.

76. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. - 824 с.

77. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.-471 с.

78. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. T.II. М.: Наука, 1968. - 624 с.

79. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1967. - 564 с.

80. Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. М.: Наука, 1987.-306 с.

81. Математическая энциклопедия. Т.1. - М.: Советская энциклопедия, 1977.- 1151 с.

82. Математическая энциклопедия. Т.5. - М.: Советская энциклопедия, 1985. - 1246 с.

83. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. -М.: ГИТТЛ, 1952.-208 с.

84. Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы. М.: Наука, 1986. - 176 с.

85. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 239 с.

86. Новоселов B.C. Аналитическая механика систем с переменными массами. Л.: ЛГУ, 1969. - 240 с.

87. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.-368 с.

88. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. М.: Энергия, 1977. - 280 с.

89. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. - 232 с.

90. Пилюгин H.H., Тирский Г. А. Основы динамики излучающегогаза. M.: Изд-во МГУ, 1979. - 140 с.

91. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.-384 с.

92. Решетняк C.B. Асимптотические решения одной задачи оптимизации тела вращения в гиперзвуковом потоке // Гидродинамика и оптимальное проектирование транспортных средств. Горький: Изд-во ГПИ, 1985. - С.99-107.

93. Салехов Г.С., Муратов JIM., Поспеев В.Е. Вычисление рядов и несобственных интегралов. Казань: Изд-во КГУ, 1973. - 169 с.

94. Савелов A.A. Плоские кривые. М.: ГИФМЛ, 1969. - 293 с.

95. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. T.I. -М.:ИЛ, 1953.-346 с.

96. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т.П. -М.: ИЛ. 1954.-416 с.

97. Святсков В.А., Алексеева Н.Р. Решение уравнения Эйлера с особой точкой // «Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции». Тез.докл. Самара, 1997. -С.74.

98. Святсков В.А., Алексеева Н.Р. Дифференциальные уравнения некоторых плоских кривых вблизи точки возврата // V межд.конф. женщин-математиков. «Математика. Экономика». -Ростов-на-Дону, 25-30 мая 1997. С.3-4.

99. Святсков В.А. Исследование уравнение Якоби для лагранжианов специального вида // Известия вузов. Математика.- 1996. -№ 4. С.81-83.

100. Святсков В.А., Алексеева Н.Р. Параметрическое решение уравнения ЭйлераЛагранжа в пограничном слое в случае отличного от нуля свободного члена // Труды III межд.конф. Дифференциальные уравнения и их приложения. Саранск, 1921 мая 1998.-С.230-231.

101. Святсков В.А. Первые интегралы уравнения Эйлера-Лагранжа в пограничном слое // Математическое моделирование. Т.12№3. 2000. - С.25.

102. Святсков В.А. Лекции по численным методам // Учебное пособие. Чебоксары: ЧГПУ, 1999. - 160 с.

103. Святсков В.А. Практикум по численным методам . — Чебоксары: ЧГПУ, 1999. 53 с.

104. Святсков В. А. Представление уравнения Эйлера-Лагранжа в пограничном слое // Вестник Чувашского госпедуниверситета им.И.Я.Яковлева. Вып. 6(7). - 1999. -С.47-51.

105. Святсков В. А. Моделирование движения тела переменной массы на основе уравнений Эйлера-Лагранжа в пограничном слое // Вестник Чувашского госпедуниверситета им.И.Я.Яковлева. Вып.1. - 2000. - С.93-97.

106. Святсков В.А., Алексеева Н.Р. Представление уравнения экстремалей в пограничном слое // Труды IV межд. конф. «Математика, компьютер, образование». Пущино, 29 янв.-З февр. 1997 г. М., 1997. - С.244-247.

107. Смирнов В.И. Курс высшей математики. T.III. 4.2. М.: Haya, 1974.-672 с.

108. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под. ред. А.Миеле. / М.: Мир, 1969. - 508 с.

109. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей, 1989. - 86 с.

110. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Мат. сб. -1948. Т.22. - № 2. - С. 193-204.

111. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Мат. сб. 1950. - Т.27. - № 1. - С. 147156.

112. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Мат. сб. -1952. Т.31. -№ 3. С.575-583.

113. Тихонов А.Н. Методы малого параметра и их применение // ДУ. 1985. -Т.21. -№ 10. - С.1659-1661.

114. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. - 231 с.

115. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. - 287 с.

116. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. -М.: ИЛ, 1987.-443 с.

117. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. 4.1. Основные операции анализа. М.: ГИФМЛ, 1963. - 344 с.

118. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1985.-447 с.

119. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.Н. М.: Наука, 1970. - 800 с.

120. Фомин В.И. Малые возмущения векторного уравнения Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами // Понтрягинские чтения. Воронеж, 1997. -С.156.

121. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: ГИФМЛ, 1962. - 420 с.

122. Хайрер Э. И др. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. -М.: Мир, 1990. 512 с.

123. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Высш. шк., 1967. 564 с.

124. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. - 175 с.

125. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. - 424 с.

126. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. М.-Л.: ОНТИ, 1936.-352 с.

127. Эльсгольц Я.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. - 424 с.

128. Эрдейи. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962.- 127 с.

129. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. - 488 с.

130. Ярошевский В.А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов. М.: Наука, 1988. - 335 с.

131. Eggers A.J., Resnikoff М.М., Dennis D.H. Bodies of revolution having minimum drag at high supersonic speeds // NACA.- Report № 1306.-1957.

132. Gift S.J.G. Contributions to the calculus of variations // J. Optimiz. Theory and Appl. 1987. - V.52. - № 1. - pp.25-51.

133. Hiroyki Usami. On positive decaying solutions of singular Emden Fowler - type equations // Nonlinear Analysys, Theory, Methods & Applications. - Great Britain. - 1991. - V. 16. - № 9. -pp.795-803.

134. Miele A. Slender shapes of minimum drag in Newtonian flow // ZFW. 1963. - № 11.

135. Luning C.D., Perry W.L. Iterative solution of negative exponent Emden Fowler problems // Internal. J. Math. & Math. Sci.- 1990. V.13. -№ 1.-pp. 159-164.