Нелокальные исследования бифуркаций для семейств нелинейных эллиптических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Ильясов, Явдат Шавкатович

• Ильясов, Явдат Шавкатович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ильясов, Явдат Шавкатович

Введение - стр.

Глава I. Теорема о существовании семейства периодических основных состояний для полулинейных эллиптических уравнений

1. Предварительные сведения - стр.

2. Тождество Похожаева - стр.

3. Вариационная постановка для краевой задачи (0.1) — (0.4) - стр.

4. Теорема, и существовании решения краевой задачи (0.1)-(0.4) - стр.

5. Дополнение - стр.

Глава 2. Исследование бифуркаций семейства периодических основных состояний полулинейных эллиптических уравнений

2. Определения, некоторые вспомогательные сведения - стр.

3. Доказательство теоремы о существовании ветви основных состояний - стр.

4. Глобальные свойства ветви основных состояний - стр.

5. О бифуркации стационарного основного состояния -стр.

6. О поведение ветви основных состояний при I —»• оо -стр.

Глава 3. Процедура проективного расслоения функционалов

1. Некоторые определения и результаты из теории дифференцируемых многообразий - стр.

2. Процедура сг-процесса для бесконечномерных банаховых пространств - стр.

3. Проективное расслоение функционалов над банаховом пространством - стр.

4. Процедура проективного расслоения для чётных функционалов - стр.

5. Основные состояния - стр.

6. Некоторые общие замечания о процедуре проективного расслоение - стр.

Глава 4. Исследование бифуркаций эллиптических уравнений с индефинитными нелинейностями

1. Проективное расслоение для функционала (0.1) - стр.

2. Исследования характеристических условий - стр.

3. О необходимых условиях существования знакопостоянных критических точек - стр.

4. Существование основных состояний функционала (0.1) -стр.

5. Ветви основных состояний - стр.

6. Исследования поведения ветвей основных состояний в особых точках - стр.

Глава 5. О существовании положительных решений для одного класса краевых задач с критическими показателями нелиней-ностей

1. Определения и обозначения - стр.

2. Вариационная постановка - стр.

3. Исследование ограничений ©^ - стр.

4. Теорема о существовании положительных решений - стр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные исследования бифуркаций для семейств нелинейных эллиптических уравнений»

В диссертации изучаются одно параметрические семейства нелинейных эллиптических краевых задач. Главной целью является исследование проблем разрешимости краевых задач в зависимости от значений учитываемого параметра и анализ регулярности рассматриваемых семейств в целом. Исследования поставленных проблем основываются на развиваемой в диссертации теории нелокального анализа бифуркаций.

Последние несколько десятилетий начиная с работ Бергера М.С. [10], Браудера Ф.Е. [12], Вишика М.И.[11], Похожаева С.И.[9] явились для теории нелинейных эллиптических краевых задач периодом наиболее интенсивного развития. За этот период получены существенные результаты, как в решении конкретных проблем, так и в развитии теории нелинейных эллиптических краевых задач в целом (см. обзоры [13], [14], [15], [16], [17] и библиографии в них). Характерным для этого периода является то, что здесь исключительно большое внимание уделялось исследованию проблем разрешимости. При этом главным образом данные исследования были направлены на изучение индивидуальных объектов.

Изучение семейств, как параметризованных объектов в целом, представляется важным с многих точек зрения. В частности это является особенно важным при обосновании корректности математических моделей, при разрешение вопроса о возможной применимости модели к реальной действительности.

Современное понимание математического обоснования корректности моделей и связанные с этим проблемы классификации, исходящее из идей А. Пуанкаре, A.A. Андронова , являются предметом изучения общей теории бифуркаций (см. [25], [26], [21], [68], [23]).

Исследование проблем обоснования и классификации в теории бифуркаций основывается на использовании понятия общего положения. Формально под принадлежностью объекта к общему положению подразумевают нечувствительность этого объекта к малым изменениям, где точный смысл понятий "малое изменение" и "чувствителен" зависит от контекста изучаемой проблемы (см. [19], [68]). В соответствии с этим, объекты не общего положения не должны встречаться в реальных моделях или ими можно пренебречь при первоначальном анализе.

Точное определение понятия "общее положение" является центральным и особенно важным при обосновании и классификации моделей. Смысл этого понятия зависит от того рассматривается ли индивидуальный объект или же семейство объектов. При этом следует особо подчеркнуть, что исследование параметризованных семейств, определение в этих случаях понятия общего положения и в дальнейшем анализ и классификация этих положений должно сопровождаться указанием соответствующих вырождений (бифуркаций) в данном семействе, для которых рассматриваемое вырождение является неустранимым [21], [68], [23].

На данном этапе основные достижения в анализе и классификации общих положений имеются в конечномерных теориях: в алгебраической геометрии [65], в теории особенностей дифференцируемых отображений [67], в теории гладких конечномерных динамических систем [20], [23] и в ряде других. При этом отметим, что в теории гладких конечномерных динамических систем [20], [23] проблема анализа и классификации общих положений непосредственно редуцируется к проблеме классификации бифуркаций, где основным аппаратом, используемым при подобного рода исследованиях, является локальная теории бифуркаций [20], [23].

В бесконечномерном случае и, в частности, в теории нелинейных эллиптических краевых задач данные проблемы значительно сложнее и таких достижений как в конечномерной теории не имеется.

Традиционно в теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных при обосновании корректности моделей предполагается осуществление следующих этапов. Сначала исследуется вопрос о существовании решений рассматриваемых дифференциальных уравнений, затем доказывается единственность решений я наконец на последнем этапе изучаются задачи устойчивости и тем самым фактически разрешается вопрос о принадлежности моделей к случаям общего положения.

Однако данная программа исследований наталкивается на ряд существенных препятствий, главное из которых заключается в отсутствии достаточно эффективных общих методов и подходов при доказательстве единственности решений. В настоящее время теорема о единственности решений для нелинейных эллиптических уравнений доказана только в отдельных частных случаях [37],[29], [27], [28].

В представленной диссертации используется программа иного плана. Отличительным моментом данного подхода является то, что здесь предлагается осуществлять анализ случаев общего положения уже на начальном этапе исследований, до доказательства теоремы о единственности решений.

Схематично данную программу можно описать следующим образом.

Пусть рассматривается некоторое нелинейное операторное уравнение = 0 в банаховом пространстве с параметром ¡1 6 (а, 6), где (а, 6), например, некоторый открытый интервал в к. Термин бифуркация употребляется применительно к ситуации, когда число и тип решений рассматриваемого уравнения = 0 в любой окрестности некоторого цо, называемого бифуркационным значением, не является одинаковым для всех значений [1. Если при этом можно найти такую точку 6 что в любой окрестности (иМо,/1 о) прямого произведения пространств ]¥х(а, Ь) число решений уравнения = 0 также не является одинаковым для всех значений то (и^, у о) называется бифуркационной точкой. Предлагаемая программа исследований нелинейных эллиптических уравнений состоит из следующих пунктов:

1) Существование и нахождение бифуркационных значений

Мъ /¿2, ••• •

2) Разрешимость уравнения Р(и, (л) = 0 на интервалах (/¿1, /¿2),

3) Доказательство существования ветвей решений иц на интервалах (/хь (/¿2,Дз), ••• •

4) Анализ бифуркаций в бифуркационных значениях дь /¿2, ••••

5) Нахождение точек бифуркаций (и^,^ 1), (и^,/!2),.

По сути пункты 1), 2) данной программы в совокупности входят в традиционно формулируемую в теории дифференциальных уравнений проблему существования решений. На данном этапе полное решение проблем 1), 2), т.е. нахождение всех бифуркационных значений /¿х,/^,--- и исследование существования решений уравнений на всех интервалах (/^,/¿2), (/^2, /¿з)имеется только для отдельных случаев. Отметим, что в настоящее время в нелинейной теории эллиптических уравнений не существует общего подхода для доказательства существования или нахождения бифуркационных значений

1, /¿2, •••• Как правило эти значения угадываются или находятся из некоторых косвенных соображений.

Проблемы 3)-5) изучены в меньшей степени. Частично эти проблемы для нелинейных дифференциальных уравнений решаются используя подходы, основанные на так называемых методах локального анализа бифуркаций. В настоящее время существует ряд хорошо известных подходов, основанных именно на таких методах: метод ветвлений решений Красносельского - Вайнберга- Треногина [76], теорема Красносельского-Рабиновитца о бифуркациях [78], глобальная теорема о бифуркациях Крандала-Рабиновитца [77] и т.д.

Характерным для локального анализа бифуркаций является то, что при использовании этого метода исследование уравнении начикается непосредственно в бифуркационной точке о). При таком подходе, применяя локальный анализ в окрестности этой точки, например, рассматривая линеаризацию оператора д) в до) или используя теорему о неявной функции, анализируется бифуркация и доказывается локальное в IV х (а, Ь) существование, несуществование или кратное существование решений уравнения F(г¿, д) = 0 (см. [76], [77], [78], [17], [7]). Важно подчеркнуть, что при локальном анализе, во-первых, необходимо знание точки бифуркации /¿о), а во-вторых, информация о локальных свойствах оператора ^(и,/^) как, например, свойства линеаризованного оператора должна быть достаточно детальной.

Однако не во всех случаях могут быть применимы методы локального анализа. Эти методы не всегда дают возможность решать выделенные проблемы 1)-5) в целом, например, строить глобальные ветви решений.

Развиваемая в данной диссертации и в работах автора [113] - [128] теория нелокального анализа бифуркаций имеет принципиальное отличие от методов локального анализа, как в глобальной постановке решаемых задач, так и в используемых подходах при исследовании бифуркаций.

Схематично нелокальный поход предполагает следующее. Исследования уравнения = 0 начинается вне особых точек (2г, г — 1,2,. Сначала строятся ветви решений на интервалах (/¿¿, /¿¿+1), г — 1,2,. и анализируется их регулярность. Затем изучается асимптотическое поведение этих ветвей при ¡2 —»• находятся предельные точки и^, г = 1, 2,. и тем самым анализируются бифуркации в (и^,^). При таком подходе не требуется изначального знания бифуркационной точки (и^,/!о), как это необходимо при локальном анализе, при построение ветвей решений не предполагается применения локальных методов, в частности исследования линеаризованного оператора Р [и, ц).

Отметим также следующее. Проблема 5), из ьыше отмененной программы исследований, представляет интерес не только с точки зрения обоснования моделей. В линейной теории понятие бифуркационного значения совпадает с понятием собственного значения оператора, а координата и^ точки бифуркации совпадает с понятием собственной функции. Известно насколько важно изучение этих понятий в линейной теории с точки зрения, например, квантовой механики [82]. Интересно отметить в связи с этим, что с этой точки зрения становиться не столь интересной ситуация, когда все точки бифуркаций (и^, //1), ^2),. нелинейной задачи совпадают с собственными значениями и собственными функциями соответствующей линеаризованной задачи. В этом случае изучение нелинейной задачи, как возмущения линейной, не даёт ничего нового по сравнению с линейной спектральной задачей. В данной диссертации основываясь на нелокальном анализе бифуркаций, будут рассматриваться случаи, когда существуют чисто нелинейные точки бифуркаций, которые не возникают из линейных задач.

1.1 Динамический метод минимизации с ограничением.

Основным аппаратом, используемым в данной диссертации при нелокальном анализе бифуркаций нелинейных эллиптических краевых задач, является динамический метод минимизации с ограничением.

Дадим краткое описания этого метода. В диссертации рассматриваются эллиптические краевые задачи, которые допускают вариационную форму постановки. В этом случаи для краевой задачи сопоставляется Эйлеров функционал 1(и,[1):

I х (а,Ъ) ш, где IV некоторое банахово пространство, —оо < а < Ъ < +оо, /(и,//) 6 С1(\У х (а,6)) такой, что критические (экстремальные) точки пц

Г (ир) =: р) = 0, р е (а, 6), (1.1) этого функционала являются (слабыми) решениями соответствующей краевой задачи и обратно, любые слабые решения и^ краевой задачи являются критическими точками функционала 1(и, р). Так что в этом случае сама по себе краевая задача при ¡1 6 (а, Ь) задаётся в виде

1'(щр) = 0, (1.2) и е IV, (1.з) и она эквивалентна следующей вариационной проблеме

Т(и, р) -» еяЛг, (1.4) иеУУ, (1.5) которая в данном случае понимается как проблема нахождения всех экстремальных точек (1.1).

В данной диссертации предлагается подход, когда понятие ветвь критических точек функционала 1(и, /х) определяется по модулю линии критического уровня вариационного функционала. Мы называем число £ ж критическим уровнем функционала 1(и,/л), если найдется такая экстремальная точка Пц £ У/ этого функционала, что = /х).

Определение 1.1 Пусть (с, (Г) Сши1(и, 11) £ СЧ^хМ)). Будем говорить, что при ц £ (с, в) критические точки {и функционала 1(и: ¡1) образуют ветвь , если отображение

I({«(.)},-) (1.6) является непрерывной функцией на (с, с1).

Здесь, при каждом фиксированном /х е [с, а), {иобозначает множество критических точек им функционала 1(и,ц). Так что, для того чтобы по определению {и^}, д € (с, с?) было ветвью критических точек, необходимо выполнение двух свойств: во-первых, отображение (1.6) должно быть однозначным, т.е. являться функцией, а во-вторых, эта функция должна быть непрерывной. В том случае, когда функция (1.6) дифференцируема по /х £ (с, с1), мы называем данную ветвь критических точек гладкой.

Следует отметить, что в теории нелинейных эллиптических краевых задач сама по себе проблема существования решений при фиксированном /и, даже без вопроса о построения ветвей решений, является сложной и в целом остается открытой. Эта проблема существования решается более просто, если соответствующий вариационный функционал ограничен снизу или сверху. В этом случае критическая точка в (1.4) ( слабое решение (1.2)) может быть найдено путем глобальной минимизации или максимизации функционала. Однако более типичной является ситуация, когда вариационные функционалы не ограничены ни снизу ни сверху.

Поэтому решение задачи (1.4) в целом требует нахождение таких подходов, которые позволяли бы доказывать существование любых типов точек. Например, локальных экстремумов или седловых точек. В последнее время именно в этом направлении, в разработках методов и подходов, позволяющих доказывать существование такого типа точек, велись наиболее интенсивные исследования. Отметим здесь такие известные подходы , как например, метод Амброзетти-Рабиновитца (метод горного перевала) [83], линкин метод [99], методы основанные на глобальном анализе [69], [70] такие как: бесконечномерное обобщение теоремы Брауна-Морса-Сарда [71], теории Смейла [72], Люстерника-Шнирельмана [74], Конли-Морса [73], Красносельского [75] и ряд других [13]. дна ко эти методы и иОдХиды ирИлОЖймЫ Кб ко всем задачам. Более того возникают дополнительные сложности в приложение этих методов, если иметь в виду более общую задачу: построение ветвей решений и анализ их бифуркаций, если ставить цель осуществления в целом выше намеченной программы 1)-5). Главная сложность здесь, как уже было отмечено выше, заключается в не доказанности теоремы о единственности решений. В рамках же нашего подхода, когда ветви решений определяются по модулю критических линий уровня вариационного функционала, основное препятствие связано с тем, что при таких подходах не всегда удается установить необходимую зависимость между критическими точками и соответствующими критическими линиями уровней при разных значениях параметра ц. Действительно, по определению 1.1 важно не только уметь доказывать существование критических точек иц при различных ¡1 € (с, о?), но и в достаточной мере конструктивно определять соответствующие критические уровни. В том качестве в достаточной степени конструктивно определять, чтобы далее иметь возможность сравнивать критические уровни при разных значениях параметра \1 е (с, й).

Такая достаточность имеется, например, для критических уровней соответствующих точкам глобального минимума или максимума функционала, если они существуют. Остановимся на таких случаях более подробно.

Пусть функционал 1(и, ¡л) при ¡1 Е (с, с1) ограничен снизу на и при этом существует решение и^ минимизационной проблемы

Тогда, поскольку уровень минимума функционала определяется единственным способом, то отображение (1.6) однозначно, так что 7({г^},/л) является функцией от переменной /л £ (с, с?). Таким образом, по определению 1.1 для проверки того, что {и¡1 € (с, д) является ветвью, остается доказать непрерывность функции 1(иц,/1).

В наших исследованиях для доказательства данного утверждения и в дальнейшем при нелокальном анализе бифуркаций используется так называемая Лемма о динамических свойствах. Здесь мы можем её привести на примере данной простейший проблемы (1.7).

Лемма 1.2 Пусть 1{и,/л) £ С1(ИЛ х (с, с?)). Предположим, что существуют решения иц £ , ¡1 £ (с, с?) проблемы (1.7). Пусть при этом отображение д1{щу,)1ду\и-и ограничено и знакопостоянно на (с,сГ), т.е. —оо < д1(и, ¡л)/д[1 \и=и^ < О или 0 < д1(и, ц)/д^\и=и < +оо при всех /л £ (с, с?). Тогда функция 1(и(.),•) : (с,(1) —» к является дифференцируемой при почти всех ц £ (с, ¿), а отображение д1(и: /д(х\и-и однозначной функцией на (с, (Г), непрерывной при почти всех ц £ (с,(1). При этом справедливо следующее тождество

II (и^ ц)/(1ц = д1(и, /¿)/д/л|и=и„ при п. в. ¡и £ (с, (1). (1.9) и, /и) —¥ тт, иеУУ.

1.7)

1.8)

Отметим, что в случае не доказанной единственности точек им доставляющих минимум в (1.7), нельзя в априоре утверждать, что отображение д1(и, является однозначным.

Эта лемма, будучи фундаментальной в наших исследованиях, тем не менее имеет довольно простое доказательство. Существенно при этом используется то, что для минимизаци-онной проблемы (1.7) мы имеем следующую возможность для сравнивания линий уровней у) < 1{их, (Л) = 1{их, Л) + (/(иЛ> /I) - /(«А, А)) (1.10) при Л £ (с, д). Далее нами будут рассматриваться и более общие случаи, когда в (1.7) IV является бесконечномерным банаховым многообразием. В этих случаях утверждение Леммы о динамических свойствах по существу остается тем же. Уравнение (1.9) в дальнейшем именуется динамическим тождеством по параметру.

Подчеркнем, что для справедливости (1.10) важно то, что ид является точкой глобального минимума функционала 1(и, ¡л) на IV. Однако, как уже отмечалось, ситуация существования глобального минимума или максимума является исключительной и нехарактерной для рассматриваемых задач. Возникает проблема: Возможно ли использовать те конструктивные качества вариационных задач глобального минимума или максимума (1.7) для доказательства существования и анализа ветвей критических точек в общем случае (1.2)?

В данной диссертации при доказательстве существования ветвей критических точек и дальнейшем их анализе применяется динамический метод минимизации с ограничением. Хорошо известен [13] так называемый метод минимизации с навязанными ограничениями. Обычно под этим методом, в нелинейных эллиптических уравнениях подразумевают прием, при котором некоторым искусственным образом накладывается на множество допустимых функций IV дополнительное ограничение, так чтобы вариационный функционал достигал минимума (максимума) на этом множестве. Далее в силу правила множителей Лагранжа выводится условие стационарности для соответствующей функции Лагранжа. Искусство приема заключается в том, чтобы в конечном итоге полученная функция Лагранжа непосредственно или после некоторой замены переменных совпадала бы с изначально исследуемым Эйлеровым функционалом (см. [13]).

В другой форме, метод минимизации с ограничением можно описать как нахождение определенного преобразования, которое для общей вариационной задачи (1.4) на экстремум сопоставляет некоторую новую задачу на минимум (—> min) или на максимум (—> max)

J(v, ß) —> min(max), (1-H) с ограничением и GM. (1.12) где М некоторое гладкое бесконечномерное функциональное подмногообразие в W, называемое ограничением. При этом J и М таковы, что применимо правило множителей Лагранжа. Преобразование от проблемы (1.4) к задаче (1.11)-(1.12) таково, что каждому решению vц задачи (1.11)-(1.12) сопоставляется решение uß = Ец(уц) задачи (1.4), при некотором

Как и в случае задачи (1.2), при некоторых дополнительных предположениях, здесь доказывается, что решения v^ £ М, ß € (с, d) (1.11)-(1.12) образуют ветвь по модулю функционала J(v, fi) и, что справедлива основная лемма о динамических свойствах.

Отсюда для того чтобы = было ветвью решений задачи (1.4) по модулю I(v, ц) необходимо, чтобы преобразование Eß : М —> W обладало определенными свойствами. Таким образом, здесь возникают дополнительные требования на преобразование Ец : М IV и тем самым на сам метод минимизации с ограничением. Более общая задача построения ветвей решений и анализа бифуркаций накладывает дополнительные ограничения на свойства соответствующей минимизационной задачи с ограничением (1.11)-(1.12).

Данное требование заставляет по новому взглянуть на сам прием, при котором проблема (1.4) существования критических точек эйлерова функционала сводится к минимизационной задаче с ограничениями (1.11)-(1.12). Возникает проблема нахождения общего конструктивного и системного способа перехода от проблем (1.4) к соответствующим задачам (1.11)-(1.12). По существу здесь возникает проблема исследования метода минимизации с ограничением, но уже как теории.

Данная проблема исследования метода минимизации с ограничением является, самостоятельно важной и интересной и представляет одну из основных целей в диссертации. В этих исследованиях мы основываемся на развитии и обобщении метода расслоений Похожаева. Похожаевым в работах [96], [95], [94] было впервые предложено метод конструктивного построения минимизационных задач с ограничением для некоторого класса вариационных проблем (1.4).

Исследования в этом направлении по теории метода минимизации с навязанным ограничением наряду с исследованиями проблем нелокального анализа бифуркаций, проводятся в Главах 3, 4, 5.

В главах же 1 и 2 применяется динамический метод минимизации с ограничением для случаев, когда соответствующие для рассматриваемых там вариационных функционалов ми-нимизационные задачи с ограничением (1.11)-(1.12) находятся неконструктивным способом, исходя из некоторых других соображений.

1.2 Основные результаты.

Перейдём к изложению основных результатов полученных в диссертации. Глава 1.

В главе 1 рассматриваются следующее семейство полулинейных эллиптических краевых задач

-uzz - Ayu(z,y) = g(u(z,y)), (z, у) G (-1,1) x к^(1.13) и e W(-l,l), (1.14) где по переменной 2 € (—1,1) при 0 < / < -foo накладываются условия периодичности и(~1и) = u(Lv). уе/, (1.15)

J сх у . \ / uz(-l,y) = uz(l,y), у £ rn, (1.16)

Q2 Q2

Здесь Ay = (— + .+ —), Uzz = du2/dz2, W(-l,l) :=

W2H—I, I) x rn) - обычное соболевское пространство. Так что предположение и 6 W(—l,l) играет роль нулевых граничных условий на бесконечности. Параметром данного семейства является величина периода 0 < I < +оо.

Предполагается, что N > 2 и, что функция g : к —к является непрерывной, нечётной д(0) = 0 и удовлетворяет следующим трем условиям

-оо < liminf ^ < limsup^ = -т < 0, (1.17)

-оо < liminf< Hmsup^ = 0,where к = ^ + (1.18) s->+oo sk s^+oo S N — 1 существует такое £0 > О так что

Gfa) = / > 0. (1.19) о

Уравнение (1.13) понимается в обобщенном смысле. При заданных условиях (1.14),(1.17)-(1.19) можно доказать, что граничные условия (1.15)-(1.16) также имеют смысл.

Основной целью главы 1 является исследование проблемы разрешимости задачи (1.13)~(1.16) при фиксированных значениях параметра I £ (0, оо) и изучение качественных свойств получаемых при этом решений.

Задачи вида (1.13)-(1.16) возникают в различных областях физики, химической кинетике, теории популяций и т.д. (см. напр. [30], [31],[32], [33], [35] и библиографию в них). Эйлеровы функционалы S(u) (см. ниже) соответствующие данным краевым задачам являются функционалами действий нелинейных евклидовых скалярных полей [100], [82], [38],[36].

В настоящее арвмя хорошо изучена и имеется обширная литература по проблеме существования локализованных сферически симметричных (радиальных) решений задачи (1.13)-(1.14) при I = +оо (см. напр. [14], [13]). Однако вопрос о существовании нерадиальных решений гораздо менее изучен. За последнее время появилось ряд работ направленных на решение для нелинейных эллиптических уравнений именно такой проблемы (см. напр. [30], [33], [15])- В частности в работах [30], [33], [34] исследуются существования периодических по одной или нескольким переменным и быстро убывающих по остальным решений эллиптических краевых задач таких как (1.13)-(1.16) для специальных случаев нелинейностей д : в —ж. В случае общего класса нелинейностей д : м —> Е удовлетворяющих условиям (1.17)-(1.19) доказательство существования решения задачи (1.13)-(1.1б) получено в работах автора [111] - [ИЗ], [115], [123].

Отличительной особенностью рассматриваемой краевой задачи (1.13)-(1.16) является то, что оно допускает вариационную постановку. Соответствующие семейство при I £ (0, оо] функционалов Эйлера для (1.13)-(1.16) задается следующим образом

1 1

S\u) = -j J \Vyu(z,y)\2dydz -Irn I I

J j G(u(z,y))dydz, при и G 0- (Здесь 0 = {u € ul € I) \u(-l, ?/) = u(Z, ?/)}). Так что любые критические точки и1 Е W(—l, I) этого функционала являются слабыми решениями (1.13)-(1.16). И наоборот, любые слабые решения (1.13)-(1.16) являются критическими точками Sl(u).

Наши исследования в главе 1 и в последующей главе 2 критических точек данного функционала Sl(u) основывается на динамическим методе минимизации с ограничением. Центральным аппаратом в этом методе является следующая мини-мизационная проблема с ограничением: i min{] / |Vyw(z,y)\2dydz : l n

Bl(w) — 0, w^ 0, w G W(—l, I)}.

1.20) где

B\w) = J \Vyu(z,y)?dydz +

-I MN I I о I J \uz(z,y)\2dydz - J f G(u(z,y))dydz,

2-1ж" -1т» и £ Щ-1,1).

Обоснование данной вариационной проблемы и в частности доказательство того, что между решениями (1.20) и критическими точками функционала Б1 (и) имеется соответствие, приводится в п.4 главы 1.

Важно отметить, что решения и1 краевой задачи (1.13)-(1.16), получаемые как решения вариационной проблемы (1.20), обладают отличительной особенностью. Они относятся к так называемому классу основных состояний (ground states) функционала Sl(u), т.е. они удовлетворяет условию минимальности функционала Эйлера:

0 <Sl(ul) <Sl(vl), (1.21) на всех ненулевых критических точках vl G W(—l,l) этого функционала.

Построение и исследование решений типа основных состояний является важным с точки зрения математической физики (см. [100], [38], [37]).

Важным для дальнейшего ( при исследованиях проблем нелокального анализа бифуркаций) является то, что семейство решений типа основных состояний образуют ветви критических точек по модулю значений функционала Эйлера S1. Построение решений типа основных состояний связано с правильным выбором минимизационной проблемы с ограничением (1.20). В данной работе возможность такого выбора для (1.13)-(1.16) является следствием того, что рассматриваемые краевые задачи обладают дополнительной симметрией - решения этих задач удовлетворяют тождеству Похожаева. Соответствующее для (1.13)-(1.16) тождество Похожаева нами доказывается в п.З главы 1. Здесь нами обобщается известное тождество Похожаева [9], [14] на новый класс краевых задач (1.13)-(1.16), когда тождество Похожаева является следствием симметрии по части переменных.

Основным результатом главы 1 является следующая теорема о существовании решений типа основных состояний краевой задачи (1.13)-(1.16).

Теорема 1.3 Пусть N > 2, 0 < Z < оо. Предположим, что g : ж -» ж является непрерывной нечётной функцией д(0) — 0) удовлетворяющей условиям (1.17)-(1Л9). Тогда существует ненулевое решение и1 задачи (1.13)-(1.16). При этом

1)и1 > 0 на (-1,1) х ж^; и) и1 £ С1,а((—1,1) х м^) при некотором 0 < а < 1;

Ш) при каждом z £ [—1,1} функция и1(г,у) является сферически симметричной по у £ жн: и1(г,у) = и1(г,г), где г = \у\, при этом и1(г,г) - стремиться к нулю при г —> оо; м) найдется такое Iо > 0, что при всех I > 1о решение и1 является нетривиальным, т.е. и1г(г,у) ф 0 на (—1,1) х ; и) решение и1, 0 < I < оо является основным состоянием.

Главная особенность изучаемой краевой проблемы с точки зрения проблемы существования решения является неограниченность области О = (—1,1) х ш1*, на которой она рассматривается. В настоящее время гораздо более хорошо изучены краевые задачи (1.13)-(1.16) в случаях, когда область ограниченна. Для таких задач на ограниченных областях проблема существования решений разрешается с помощью вариационного подхода ( см. напр. [83]), или используя Ь°°-априорные оценки ( см. напр. [84]), или путем комбинации этих подходов (см. подробнее обзор [13]). Основной сложностью, в случае неограниченных областей, является отсутствие той компактности, которая имеется в случае ограниченных областей. В случае неограниченной области О, = (—1,1) х к^ отсутствует компактность во вложениях И^1^) С Ьд(£1), где 2 < д < 2(ЛГ + - 1) при N > 2 и 2 < д < оо при N < 2.

В данной диссертации при доказательстве существования решений задач (1.13)-(1.16) данное препятствие, отсутствие компактности вложений пространств, преодолевается переходом к подпространству функций сферически симметричных (радиальных) по части переменных у £ т1*. Аналогичная идея применялась в работе Берестики X., Лионса П-Л [14] (см. также [88], [89]), где осуществляется переход к подпространству функций радиальных по всем переменным (z,y) 6 мЛГ+1. Особенностью подхода развиваемого в данной диссертации, является то, что здесь осуществляется переход к подпространству функций радиальных только по части переменных. В этом случае, в результате такой замены переменных, не возникают обыкновенные дифференциальные уравнения. Отметим, что в [14] существенно используется тот факт, что при радиальной замене переменных по всему пространству Q = rjv+1 уравнение (1.13) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение.

Вторым центральным моментом в преодолении отсутствующий компактности, является правильный выбор для (1.13)-(1.16) минимизационной проблемы с ограничением (1.20). В данной работе нами вводятся вариационные задачи нового типа, для исследования которых применяются другие методы. Отметим также, что в главе 2 при исследовании асимптотики ветвей основных состояний при I —> оо мы также сталкиваемся с проблемой отсутствия компактности. При этом проблема отсутствия компактности преодолевается главным образом благодаря правильному выбору минимизационной проблемы с ограничением (1.20).

Глава 2.

В главе 2 мы продолжаем исследование краевой проблемы (1.13)-(1.16). Основной задачей здесь является исследование семейств основных состояний (ground states)

Mgr = {^г}|о</<+оозадачи (1.13)-(1.16) как объекта в целом.

Целью данной главы является изучение качественной зависимости точек и1 от параметра I G (0, оо), установление взаi s имозависимости между отдельными точками ugr, ugr при разных значениях /, s G (0, оо) и исследование локального и глобального характера существующей здесь связи. В этой главе доказывается, что семейство основных состояний Мдт образует ветвь решений и, что у этой ветви существует так называемая бифуркация стационарного состояния. В заключение этой главы исследуется асимптотическое поведение ветви основных состояний {^г}|о<к+оо при I оо.

Результаты, излагаемые в данной главе, получены в работах автора [114], [116]-[121], [124], [128], [129].

Приведём основные результаты полученные в главе 2.

Пункты 2 и 3 данной главы направлены на исследование локальных свойств семейства Мдг. Основным результатом здесь является доказательство того, что семейство Мдг образует локальную по / Е (0, оо) ветвь. По определению это означает, что выполняются следующие два условия:

1) отображение S^'\u(-)gr) : (0, сю) -> ж при ulgr G Мдг является функцией, т.е. однозначными отображениями;

2) функция S(l) =: Sl{ulgr) является непрерывной.

При доказательстве этого утверждения и при дальнейшем исследовании свойств ветви решений Мдг рассматриваются наряду с функционалом Эйлера S1 и функционал энергии

1 ^ 1 ' = ö// \uz(z,y)\2dydz - - I j \Vyu{z,y)\2dydz

-imN -Irn i J f G{u(z,y))dydz, где и e W(-l, l), 0 < l < +oo.

Введём в соответствие с Мдг отображения S : —> к и Е : ж+ ж положив для каждого I > О,

S(l) = ^Sl{wl), wl <Е Mgr, (1.22)

E(l) = jE(wl), wl € Mgr. (1.23) I

По аналогии с механикой [24] мы называем 8(1) функцией действия , а Е(1) функцией энергии соответствующими М.дг.

Отметим, что в априори отображения 8(1), Е(1) не обязательно являются функциями, т.е. однозначными отображениями —> м. Действительно, для рассматриваемых семейств решений Л4дг не известно соответствует ли фиксированному значению I € (0, оо] единственное решение и1 £ М.дг краевой задачи (1.13)-(1.16).

Однако, если рассматриваются семейства основных состояний, то однозначность отображения 8(1) вытекает непосредственно из определения основного состояния. Так что в этом случае 8(1) является функцией. Вопросы же об однозначности Е(1) и непрерывности 5(1) не являются столь простыми.

Первым основным результатом ь главе 2 является теорема о существовании ветви основных состояний, в которой доказывается, что Мдг является ветвью в вышеопределенном смысле. При этом в этой теореме выводятся и некоторые более тонкие свойства отображений 5(£), Е(1), нежели свойства 1) и 2) определения ветви решений. Эти свойства дают дополнительную характеризацию ветви решений Л4дг.

Теорема 1.4 Пусть N > 3 , функция д является непрерывной, нечетной (д(0) = 0) и удовлетворяет условиям (1.17)-(1.19). Тогда

1) Функция 5(-) : (0,+оо) —> к является непрерывной (8(-) € С(ш+)) и почти всюду на (0,+оо) непрерывно - дифференцируемой.

2) Отображение Е : (0, +оо) —> м при почти всех I € (0, +оо) однозначно, т.е. является функцией при п.в. I Е (0, +оо). При этом почти всюду на (0, +оо) эта функция непрерывна.

3) Функции 8(1), Е(1) связаны следующим дифференциальным соотношением

5(0 = -Е(1)(И, (1.24) при почти всех I G (0, +оо).

Подчеркнем, что с точки зрения общей теории бифуркаций (см. выше ) результаты данной теоремы следует отнести к локальному по параметру I G (0, оо) обоснованию корректности краевой задачи (1.13)-(1.16).

Отметим следующее наблюдение: результат 2) данной теоремы означает также, что здесь для решений типа основных состояний и1дг задачи (1.13)-(1.16) при почти всех I 6 (О, оо) выполняется одно из необходимых условий единственности этих решений. Далее в следующей основной теореме нами усиливается этот результат.

Отдельно выделим результат 3) данной теоремы. Полученное здесь тождество (1.24) играет важную роль в дальнейших глобальных исследованиях свойств ветви основных состояний Мдг. Однако представляется важным отметить это тождество и в связи со следующей динамической интерпретацией рассматриваемой краевой задачей (1.13)-(1.16).

Уравнение (1.13) можно рассматривать как следующую формальную гамильтонову систему uz = v, vz = -Ayu-g(u), (1.25) с гамильтонианом

H(u,v) = / (\v2-kVyu\2+G(u))dy, и е w}(rn),v е L2(rn). rn

1.26)

Введём при и е W^^) следующий функционал

S°(u) = ^ J \Vxu(x)\2dcc - J G(u(x))dx. rn E.n

Пусть основное состояние данного функционала S°(u), т.е. такая критическая точка этого функционала, которая удовлетворяет условию минимальности функционала Эйлера: 0 <

S°(u^r) < S°(v) на всех ненулевых критических точках v этого функционала. Доказательство существования такой точки вытекает из результатов работы [14].

Будем называть фазовым пространством следующее множество

Мдг = {{u^r,0)t(u,(z),u'1{z)),ze[-l,l},0<l<(x, (ь™(г),ь»?(г)),ге [-00,00]}

Как легко видеть, в этом случае Мдг является инвариантным многообразием, а (и^.,0) стационарной точкой для гамильто-новой системы (1.15). Отметим в [30] при N = 1, д(и) = — u+us = 2/chy), линеаризуя (1.15) в окрестности (и^.,0) качественно установлено существование двумерного локального инвариантного гладкого многообразия для гамильтоновой системы (1.25). При этом в [30] показано, что (и^г, 0) является стационарной точкой, а решения и1дт описывают периодические движения спроектированной на Мдг системы (1.25). В некотором смысле здесь наблюдается аналогия с поведением периодических решений уравнения Дюффинга и" = —и + и3 (см. [4]) вблизи стационарной точки и = 1. Можно выдвинуть следующую динамическую гипотезу.

МдГ является конечномерным гладким многообразием, проекции гамильтониана Н\мдг соответствует конечномерная динамическая система.

Полное доказательство данной динамической гипотезы в данный момент представляется трудноразрешимой задачей. И в данных исследованиях нами не ставится такой цели. Однако из предположения о справедливости данной динамической гипотезы необходимо вытекают ряд следствий о качественных свойствах (динамических свойствах), которыми должно обладать рассматриваемое семейство основных состояний Mgr. В частности, такое соответствие с динамической гипотезой имеет полученное тождество (1.24) в теореме (1.35). Действительно, аналогичное тождество справедливо для конечномерных гамильтоновых систем ( см. [22], [24]).

Мы считаем, что динамические свойства являются свойствами общего положения, характерными как для уравнения в частных производных (1.13) так и для обыкновенных дифференциальных уравнений таких как, например, уравнение Дюф-финга и" = — -и + и3. Отметим также, что доказательство данных свойств означает также и выполнение необходимых условий выполнения данной динамической гипотезы.

В п. 4 главы 2 исследуются глобальные свойства ветви основных состояний краевых задач (1.13)-(1.16). Основным результатом здесь является следующая теорема.

Теорема 1.5 Пусть N > 3 , функция д является непрерывной, нечетной (д(0) = 0) и удовлетворяет условиям (1.17)-(1.19). Тогда 1) при всех I (Е (0, +оо)

Отметим, что из пункта 1) данной теоремы вытекает следующее важное следствие, характеризующее семейство основных состояний Л4дг как находящееся в общем положении

Следствие 1.6 Функционал действия S(l) является монотонно возрастающей функцией при I Е (0,+оо).

Отметим, что данное утверждение 1) и следствие 1.6 из теоремы согласуются с выше приведенной динамической гипотезой. Действительно, если рассматривать (1.13)-(1.16) как гамильтонову систему на фазовом пространстве Mgr, то функционал S°(u) на МдГ будет играть роль потенциала, а функция

-5°«) < Е{1) < 0,

1.27)

2) при всех Iо (Е (0, +оо) liminf E(l) <

1->-1о

1.28)

Е{1) уровень энергии. И в этом случае из закона сохранения энергии для гамильтоновых систем ( см. [22], [24]) будет вытекать необходимо (1.27).

Из данной теоремы 1.5 вытекает следующее утверждение дополнительно характеризующее радиальную симметрию рассматриваемых решений

Следствие 1.7 При всех I € (0,+оо)

Из теоремы 1.5 вытекает следующая лемма о глобальной ограниченности ветви основных состояний Л4дг вой задачи (1.13)-(1.16) равномерно ограничена в W(—IJ): где 0 < С < оо не зависит от I £ (0, +оо).

Этот результат является важным и с точки зрения его доказательства. По сути здесь нами предлагается новый метод в получении равномерных по параметру оценок решений уравнений, основанный на дифференциальном тождестве (1.24).

Утверждение 2) теоремы 1.5 является важным для дальнейших исследований. Однако здесь стоит отметить, что это утверждение даёт и дополнительную информацию к вопросу о единственности решения типа основного состояния краевой задачи (1.13)-(1.16). Действительно по теореме 1.4 отображение Е(Г) при почти всех I 6 (0, -Ьоо) однозначно, тем самым выполняется одно из необходимых условий единственности основного состояния и1. Из результата же 2) данной теоремы вытекает, что если и существуют точки ¿о £ (0, +оо), где отображение Е(1) неоднозначно, то это могут быть только точки

Т1ф1) < Ы^).

1.29)

Икн,о < ° < 00>

1.30) ее разрыва и причем разрыва вверх liminf £?(/) < limsup£(/).

Следующим основным результатом главы 2 является теорема о бифуркации стационарного основного состояния краевой задачи (1.13)-(1.16).

Теорема 1.9 Пусть N > 3 , функция g является непрерывной и нечетной ( д(0) = 0), удовлетворяет условиям (1.17),(1.19) и условию (1.18) при k = (N+l)/(N-l). Тогда ветвь основных состояний ЛЛдг — {и1, 0 < I < +оо} функционала Эйлера Sl(u) обладает бифуркационным значением Lq > 0; со следующими свойствами

1) При всех I G (0, L(>) точки °J(z,x) еетеи основных состояний Л4дг тривиальны по z G [—1,1], ni.е. ulz(z) = 0 при z G (—1,1). При этом эти точки совпадают с основным состоянием и^г функционала Эйлера <9°(и), т.е. ul(z, х) = u^r(x), z G [—1, l], l G (0, Lo).

2) При всех l G (Lq, oo) основные состояния ul(z, х) ветви Л4дг являются нетривиальными, т.е. ulz(z) ф 0 при z G

H, О

По динамической гипотезе (см. выше), основное состояние функционала Эйлера S°(u) должно является стационарной точкой для формальной гамильтоновой системы (1.25). Доказанная теорема означает, что данная функция является при 1 G (0, Lo) также и основным состоянием функционала Sl(u), т.е. содержится в семействе Aigr. В связи с этими замечаниями мы называем эту функцию стационарным основным состоянием функционала S1 (и), а такое, как описано в данной теореме качественное изменение типа решения и1 при переходе через параметр Lq, называем бифуркацией стационарного основного состояния. Отметим, что аналогичная бифуркация наблюдается и для конечномерных систем (см. [68] стр. 22).

В следующем результате главы 2 нами исследуется поведение ветви основных состояний А4дг функционала Эйлера Б1 (и) при I оо, где доказывается сходимость этой ветви к при I -> оо.

Отметим сначала, что не любая последовательность из основных состояний {г^} будет сходиться в Ьр((—К, К) х е^), р Е [2,2*] при фиксированных К Е (0, сю) к Действительно, рассмотрим периодическое по переменной г продолжение и1 на к х (для которого сохраним то же обозначение). Тогда при любом г > 0 очевидно, что проекция функции и1 (г + т,у) на (—1,1) х м-^ будет также основным состоянием Б1 (и). Так что при каждом I Е (0,оо) существует континуум основных состояний функционала 5г(м). Отсюда, если предположить, что для некоторой выбранной последовательности и1п имеется сходимость и1п к и^г+1 при 1п оо , то можно подобрать такую последовательность тп, что на каждой полосе (—К, К) х м^ фиксированной ширины, последовательность и1п(г + тп, у) будет сходиться (скажем в Ь2((—К,К) х к^)) к нулю.

Таким образом, предполагаемая сходимость может быть справедлива только для основных состояний и1, которые центрированы особым образом, путем выбора соответствующих сдвигов по оси ^ при каждом I Е (0, оо). Такая центрированность достигается, если во-первых мы будем рассматривать только чётных по 2 Е (—1,1) основные состояния и1 (г, у), а во-вторых, если мы потребуем У1/2(и[), (1.31) где и[(г,у)=и\г,у), г € [-1/2,1/2], у Е к") и10(г,у)=и1(г-1,у), г е [-1/2,1/2], Уежы). (1.32)

Доказывается, что такие основные состояния, являющиеся чётными по г £ (—1,1) и удовлетворяющие условию (1.32), существуют.

Следующая теорема в данной диссертации является основным результатом об асимптотическом поведение ветви основных состояний при I —сю .

Теорема 1.10 Пусть N > 3 , функция д является непрерывной нечетной д(0) = 0 и удовлетворяет условиям (1.17)-(1.19). Пусть й1п произвольная последовательность основных состояний функционала Эйлера в1, где 1п -» оо при п -» оо7 удовлетворяющих условию (1.31) и являющихся чётными по г £ (—1,1). Тогда найдется такая подпоследовательность (снова обозначаемая й1п) и предельное основное состояние й^г+1 функционала Эйлера в00 (и) так, что при любом К £ (0, оо) будет иметь место сходимость п - <+1|\m-KjC) 0, при п^ оо. (1.33)

Из данной теоремы и теорем 1.4, 1.5 вытекает

Следствие 1.11 Пусть N > 3 , функция д является непрерывной, нечетной д(0) = 0 и удовлетворяет условиям (1.17)-(1.19). Тогда функция действия Б(1) соответствующая ветви основных состояний Л4дг монотонно возрастает и при I -» оо сходиться к где йдГ+1 основное состояние функционала Эйлера 500 (и).

Глава 3.

В главе 3 вводится и обосновывается процедура проективного расслоения. Суть этой процедуры заключается в конструктивном построении по заданным функционалу 1(и) на банаховом пространстве (ТУ, Ц-Ц^у) и мультипликативному действию на этом пространстве однопараметрической группы Ли (7 = (м\0, х) кратных динамических минимизационных задач с ограничением. Идея введения данной процедуры основывается на развитие метода расслоения Похожаева (см.[95], [94], [93]) и на обобщении а - процесса (см. [90], [68]) применительно к бесконечномерным банаховым пространствам.

Результаты, излагаемые в данной главе, следуют работам автора [126], [127], [130].

Приведём общее описание вводимой нами процедуры проективного расслоения и сформулируем основные результаты.

На первом этапе данной процедуры нами обобщается преобразование сг - процесса на случаи бесконечномерных банаховых пространств

Сначала вводится главное расслоение V над проективным пространством Р(У>V) со структурной группой Ли (е \ 0, х). Затем обосновывается существование замыкания Т'оо расслоения ?ив заключение доказывается, что это замыкание также является локально- тривиальным расслоением, именуемым сг-расслоением. Замена переменных заключающиеся в переходе от И^ к Роо и является преобразованием а - процесса (сг - процессом) .

Основным результатом здесь является следующая теорема.

Теорема 1.12 Пусть (IV, банахово пространство над вещественным полем ж, где норма ||-|| принадлежит классу Сг (г > 1) дифференцируемых функционалов на\¥\ 0; (к \ 0, х) однопараметрическая группа Ли действующая на \¥ \ 0 как умножение элементов из V/ \ 0 на t 6 к \ 0: Щи — t х и, и Е Ж\0. Тогда

1) Замыкание Г1 = Г и (0 X Р(\У)) в]¥х Р(У/) графика Г канонической проекции р : IV \ 0 —> Р(Ш) является подмногообразием класса Сг.

2) Тоо = (Гх, Р(\¥),рт1) является расслоением, где ртх -ограничение на Гх естественной проекциирг2 : (\¥)хР(\¥) Р(\У). При этом слоем Рг^СО 6 каждой точке £ 6 Р(Ш) является прямая в У/ проходящая через ноль.

3) V = (Г, Р(\¥), (е \ 0, х),рг); где рт = ргх|г является главным расслоением.

На следующем шаге для функционалов заданных на банаховом пространстве обосновывается процедура проективного расслоения функционалов, конструктивного построения кратных динамических задач минимизаций с ограничением.

Приведём схематичное описание процедуры проективного расслоения функционалов.

Пусть задан некоторый функционал 1{и) на ]¥. Будем предполагать, что I Е С1{уУ).

Вводится "поднятия" 7 на Г функционала 1{и):

Т(,.,\ — ,., а Г

- ) \Г' ))■> ~ • где рг\ : х Р(уУ) —)■ естественная проекция. Используя локальную тривиальность расслоения V, обосновывается продолжаем ость этого функционала на все многообразие Г1. При этом доказывается, что I является функционалом класса С1 на Г1 и, что критические точки функционалов 1{и) на IV \ 0 и I на Г находятся во взаимнооднозначном соответствие, а все критические точки / на 0 х Р(\¥) проектируются в одну нулевую функционала 1(и) . Так что переход от функционала 1(и) на IV к представлению поднятия I на пространстве а - расслоения Г1 является эквивалентным на IV \ 0 и Г и обобщающим на V/ и Г1.

Далее вводятся ограничивающие подмногообразия в Гх- Суть этого шага заключается в специальном выборе, на основе локальной тривиальность расслоения (Г, Р(\У), (м\0х),рг) разделяющейся локальной замены переменных на Гх, что в свою очередь даёт возможность локального выделения необходимого ограничивающего подмногообразия.

Локальная тривиальность расслоения (Гх, Р{]¥),рг1) означает, что каждая точка х Е Р(\У) обладает окрестностью V для которой определен С1- диффеоморфизмом фи у : p^U — х U. При этом для всякого (¿, £) £ (®) х U. Здесь V некоторая окрестность в S1 = {ги|||ги|| = 1}. Так что справедлива локальная замена переменных в к х U

J(f,о - 0), (U) е 1X и. (1.34)

Обозначим через i(t,u) следующее отображение г : (t, и) —> I(Rtu), t G к, и G ИЛ Введём дополнительное допущение о действие группы Ли (м \ 0, х) по отношению к функционалу Г.

RD. При каждом и G W функция i(t, и) дифференцируема по t на ж \ 0, и при этом : (ж) X W -)> 1 ot есть отображение класса

С1.

В силу этого допущения локально в каждой области p^iU) определены следующие функционалы

Q{u) ЕЕ Q(t,0 = (U) ешхи, (1.35) о 2

М = ¿(U) = —/(t, е), (*,<£) е ® X i/. (1.36) где w = Фиу^Л)

Отсюда однозначно выделяются в Гi следующие подмножества

S1 = {ш G r|Q(w) = 0, Ь(ш) < 0}, (1.37) Е2 = {w G r|Q(w) = 0, Ь(ш) > 0}. (1.38)

Справедлива следующая основная лемма

Лемма 1.13 Подмножества EJ", j = 1, 2 являются С1 тгод-многообразиями в Ti локально диффеоморфными проективному пространству P(W).

На заключительном этапе процедуры проективного расслоения ставятся следующие две минимизационные задачи с ограничениями

Р = inf{I(uj)\uj е Ё7'}, j = 1, 2. (1.39) где Е-7, j = 1,2 замыкания в Ti множеств Е-7, j = 1,2. Здесь по определению +оо, если EJ' = 0, j = 1, 2. (1.40)

Определение 1.14 Пусть \Р\ < оо . Точку uj0 6Е Е7 доставляющую минимум в (1.39): Р = 1(со0) будем называть решением (1.39).

Основным результатом в обоснование процедуры проективного расслоения является

Теорема 1.15 Пусть точка и0 решение (1.39) при j = 1 (j = 2), при этом ш0 6 Е1 (ш0 6 Е2). Тогда pri(<jJ0) G W \ 0 является критической точкой функционала 1(и).

Подчеркнем, что введённая процедура проективного расслоения является методом построения кратных (двух разных) критических точек (ветвей) функционала L Отметим в связи с этим работы [91], [93], [18], [55], [56], [59], где исследуются проблема существования кратных решений для конкретных (функционалов) нелинейных уравнений в частных производных.

Отметим, что метод расслоения предложенный Похожае-вым в [95], [94], [93] для построения критических точек функционалов основывается на использовании тривиального расслоения ((к \ 0) х S1, S1,pr2). Предлагаемая в данной диссертации реализация идеи Похожаева в случае тривиального расслоения отличается от вводимых в [95], [94], [93].

Отличительной особенностью вводимой процедуры проективного расслоения является её конструктивность, что позволяет не только строить кратные решения уравнений в частных производных, но и даёт возможность для комплексного подхода к проблемам нелокального анализа бифуркаций, разрешать весь спектр намеченной выше программы исследований 1)- 5) нелинейных уравнений. Получаемые в результате этой процедуры минимизационные проблемы с ограничениями (1.39) являются достаточными в конструктивном смысле (см. выше), с точки зрения динамического метода минимизации с ограничениями, что даёт возможность изучения параметризованных семейств, построения и анализа ветвей решений в точках бифуркаций.

Общность процедуры проективного расслоения заключается и в том, что критические точки получаемые при этом являются структуироваными (упорядоченными) по линиям уровней функционала /.

Определение 1.16 Критическая точка иа 6 W называется основным состоянием функционала I (ground state, см. [100]), если

-00 < /(О < I(w). (1.41) для любой другой критической точки w этого функционала.

Рассмотрим наряду с задачами (1.39) также следующую ми-нимизационную проблему

I = inf{I{u) \<JJ Е s1 и S2}. (1.42)

Справедлива следующая лемма об основных состояниях.

Лемма 1.17 Пусть существует решение ш0 задачи (1-42), так что I = I(üj0). Предположим, что функция щ = pri(u)0) является критической для функционала 1{и). Тогда эта точка uq является основным состоянием функционала 1(и).

Мы называем критическую точку и ф 0 функционала 1{и) критической точкой типа (0) (критической точкой типа (-1)), если Vi 6 е \ 0 выполняется д2

I,(Rtu)\>0(< 0).

Определение 1.18 Основным состоянием функционала I типа (0) ( основным состоянием типа (-1) ) по проективной процедуре ( по отношению действия однопараллетпрнчр.с.кой группы Ли (®\0, х) на W\0j называется такая критическая точка и2г ф 0 ф 0) типа (0) (типа (-1)) функционала I, что (ср. ¡100])

-ос < I(u2gr) < I(w) (-00 < /«) < I(w)) для любой другой критической точки w типа (0) (типа (-1)).

Основным результатом об основных состояниях типа (0), (-1) является

Лемма 1.19 Пусть u2gr £ Е2 \ ({0} х P{W)), Цг £ Е1 \ ({0} х P(W))) решение задачи (1.39) j = 2 (j = 1). Тогда точка u2r = pr\uj2r £ W \ 0 (ulgr = priuj^ ф 0) является основным состоянием функционала I типа (0) ( основным состоянием функционала I типа (-1) ).

Новым в теории минимизационных задач с ограничениями (ср. [13], [93], [95], [94], [18]) является то, что минимизацион-ные задачи (1.39) рассматриваются с ограничениями именно на замыканиях EJ в Ti, а не на открытых областях Е-7, j = 1, 2.

Включение в ограничения граничных точек дТ? ,.7 = 1,2 даёт возможность исследовать минимизационные задачи в случаях вырожденных ограничений, когда ограничения таковы, что при стандартном подходе [93], [95], [94], [18] становится затруднительным определить, является ли решение миними-зационной задачи с таким ограничением критической точкой рассматриваемого функционала.

При таком подходе множество граничных точек 0{Е'?}, 3 = 1, 2 является отдельным и первоначальным объектом исследований, важным, как при построение критических точек, так и в дальнейшем при нелокальном анализе бифуркаций.

Представляется самостоятельно важным вводимые нами в главе 3 для параметризованных семейств функционалов, так называемые, характеристические условия - аналог характеристических уравнений в линейной теории. Разрешение этих условий позволяет выделять особые, априорные бифуркацион-не точки.

Переход от семейств функционалов на У/ к их поднятию на Гх даёт возможность рассматривать в обобщенном смысле единым образом, как сам функционал так и его "линеаризацию" Нм по отношению к рассматриваемому расслоения. При этом, если существуют собственные значения и собственные функции фг данной линеаризации (которые, как обычно, являются объектами исследования локальной теории бифуркации), то они естественным образом включаются во вводимые на основе проективной процедуры расслоения характеристические условия.

Глава 4.

В главе 4 на основе проективной процедуры расслоения исследуются семейства функционалов Эйлера следующего вида

ЛМ = -/-х-/М*- ± / /{х)\и\\ и е и^), Р Р 7 (1.43) здесь О - ограниченная область в с гладкой границей дО,; / обозначает интегрирование по О, V/ = Wl,p{Q,) - обычное соболевское пространство функций, / € С (О), -Ш- \{ ю <п 1 < р < 7 < где р* = \ п-Р ' (1.44) +00 II р > п.

Параметром данного семейства является Л (Е ж.

Функционалу (1.43) соответствует следующая краевая задача Дирихле

-Ари - Х\и\р~2и = ¡(х)\ир~2и, в П (1.45) и = 0 на дП, (1.46) где А.ри=сИу(\^7и\р~2'Чи) - р-Лапласиан, р > 1, и € IV.

Так что критические точки (1-43) являются слабыми решениями (1.45), (1.46) и наоборот слабым решениям эллиптических краевых задач (1.45), (1.46) соответствуют критические точки (1.43) .

Основной целью исследований в данной главе являются нахождение бифуркационных значений для критических точек семейства вариационных функционалов (1.43), доказательство существования кратных знакопостоянных (положительных и отрицательных) ветвей критических точек функционала (1-43) и анализ поведения этих ветвей в точках бифуркаций.

Результаты излагаемые в данной главе получены в работах автора [120], [122],[125], [127], [131].

Особенностью рассматриваемых вариационных функционалов (1.43) является индефинитность присутствующих здесь нелинейностей, т.е. то, что функция / в (1.43) ( (1-45)) может быть знакопеременной. Такие функционалы характеризуются более сложной, по сравнению с функционалами с знако-определенными нелинейностями, зависимостью от параметра Л. Здесь возможно существование при одних значениях параметра Л двух знакопостоянных решений, при других одного и, наконец, при третьих отсутствие таких решений. Наличие р-Лапласиана, накладывает дополнительные сложности, задача становиться по существу нелинейной, трудноразрешимой локальными методами бифуркаций. При этом отметим, что оператор р-Лапласиана Ар является вырождающимся.

Проблема разрешимости эллиптических краевых задачах (1.45), (1.46) с индефинитными нелинейностями и с р-Лапласианом, как индивидуальных объектов (при фиксированных значениях Л), являются самостоятельно важной (без относительно проблем нелокального анализа семейств) и во многих вопросах до сих пор являются открытой. Введём следующие константы

Л: = ггг/{Л £ Зг> € 51г #А(?;) - 0}, (1.47)

А* = т/{А (Е к| Зи е Нх(и) - 0, ^(и) > 0}. (1.48)

Достигаемым минимумом 0 < Ах < оо в (1.47) является первое собственное значение оператора — Ар в Г2 с граничными условиями Дирихле:

-Арф1 = Х1\ф1\р-2<к, (1.49)

Ф1\дп = 0. (1.50)

В (1.48) также достигается минимум 0 < Х\ < А£ < оо на некотором ф\ € IV \ 0. В лемме 3.1 главы 4 при некоторых дополнительных условиях доказывается, что = тф\ будет являться слабым решением (1.45), (1.46) при некотором т > 0,

Основным результатом в диссертации о разрешимости эллиптических краевых задачах (1.45), (1.46) является следующая теорема.

Теорема 1.20 Предположим, что f е С(Г2) и справедливо Ш

1) Пусть Г(ф1) > 0. Тогда a) При каждом Л < Ai существует основное состояние и\ типа (—1) функционала (1.43). При этом и\ 6 С1,а(0) для некоторого а € (0,1). b) Для каждого А < Ai во множестве основных состояний типа (—1) {и\} можно выделить два подмножества: положительных Мд ^ > О и отрицательных и1^ ^ < О функций,

1 i,H так что их=—и^

2) Пусть F((j>i) < О и QJ ф 0. Тогда a) При каждом А € (Ai, Л^] существует основное состояние и\ типа (0) функционала (1-43). При этом и][ 6 С1'" (С) для некоторого а 6 (0,1). b) Для каждого А € (Ai, А^] во множестве основных состояний типа (0) {u^} можно выделить два подмножест

2 ( + ) 2'—л ва: положительных >0 и отрицательных ' < О функций, так что

3) Пусть F((/>i) < 0 и /+ ф 0. Тогда a) При каждом А < А| существует основное состояние и\ типа (—1) функционала (1-43). При этом и\ 6 С1'"(13) для некоторого а 6 (0,1). b) Для каждого А < AJ во множестве основных состояний типа (—1) {и\} можно выделить два подмножества: положительных гхд ^ > 0 и отрицательных и1^^ < 0 функций,

1 i,H так что Ux=—u^ .

Здесь Q" = {х е f(x) < 0}, = {х 6 Щ f(x) > 0}, Q+ = Q \ СГ и П0 = Q \ (СГ U Q+).

Из этой теоремы вытекает следующий результат о кратном существовании знакопостоянных решений (и\ > 0 или ид < 0).

Следствие 1.21 Предположим, что / € C(Q) и справедливо (1-44)- Пусть F((j)i) < 0 и /+ ф 0. Тогда краевая задача (1-45), (1-46) при каждом А 6 (Ai,A|] имеет два отличных положительных решения и\ > 0, и\ > 0, € С1,а(С) для некоторого а 6 (0,1), j = 1, 2.

Существование кратных знакопостоянных решений эллиптических краевых задачах с индефинитными нелинейностями для обычных Лапласианов (р = 2) были получены в работах [18], [42], [41], [92] и на компактных многообразиях в [55], [56]. В работах [45], [44] изучались (1.45), (1.46) при предположении /+ = 0. В случае р-Лапласиана данная задача рассматривалась в [93], где было доказано существование кратных решений локально вблизи точки Ах > 0.

Существенным в теореме 1.20 является не только то, что здесь получены новые результаты о разрешимости (1.45), (1.46), но и предлагаемый в диссертации для этого способ доказательства.

Доказательство данной теоремы основано на использовании процедуры проективного расслоения для функционала (1-43) над банаховым пространством У/ = И^'-^ГУ), т.е. существование кратных критических точек функционала (1.43) выводиться путем построения решений для соответствующих данному случаю минимизационных задач с ограничениями (1.39) на пространстве расслоения Гх.

Существенным в предлагаемом подходе является то, что минимизационные задачи (1.39) рассматриваются с ограничениями именно на замыканиях Е"7 в Гх, а не на открытых областях у = 1, 2. В этом случае предварительно анализируются характеристические условия. Этот анализ используется не только для нахождения критических точек (1.43), но и является важной составной частью нелокального анализа семейства функционалов (1.43) в целом. В частности, уже на этом этапе - анализе характеристических условий, конструктивно находятся особые точки Ах, А}, доказываемые впоследствии как бифуркационные. При построении же решений для индивидуальных функционалов (1.43) (при фиксированных значениях А) такой предварительный анализ позволяет: во-первых, технически более просто (по сравнению с традиционными подходами (см. напр. [18], [42], [45], [93])) доказывать существование решений минимизационных задач, а во-вторых выделить, как собственные, проблемы присущие именно задаче построения решений минимизационных постановок (1.39).

Новыми результатом и методом его получения в теореме 1.20 является доказательство существования критической точки функционала (1.43) при Л = А^. При традиционном подходе доказательства теоремы о существовании решений методом минимизации с ограничением (см. напр. [18], [42], [13], [45], [93]) случай Л = А^ для (1.43) является вырожденным при приложении метода множителей Лагранжа.

Следующим направлением исследований в главе 4 является нахождение необходимых и достаточных условий существования знакопостоянных решений краевой задачи (1.45), (1-46) и определения верхней границы по параметру А такого существования.

Основной леммой о необходимых условиях существования знакопостоянных решений краевой задачи (1.45), (1.46) является

Лемма 1.22 Предположим, что / Е С(Г2) и справедливо (1-44)-Пусть В открытая подобласть в О, с гладкой границей дО, Ах (в) и 01 (©) первое собственное значение и собственная функция оператора ~АР в О с граничными условиями Дирихле на д&. Предположим, что при А > Ах (В) существует неотрицательное слабое решение их Е И/01'р\ 0 задачи (1-45), (1.46). Тогда ^(<М©)) <

Введем следующую константу А;* = т£{А1(©)|есЙ, д&еС\ [Лх)\и\Чх>0]. (1.51)

У 0

Из леммы 1.22 выводиться следующая основная теорема о верхней границе существования знакопостоянных решений.

Теорема 1.23 Предположим, что / 6 С(£7) и справедливо (1.44), ^Г < 00 • Тогда при А > А£* не существует знакопостоянных решений краевой задачи (1-45), (1-46).

Основной теоремой, вытекающей из леммы 1.22 и теоремы 1.20, о необходимом и достаточном условии существования знакопостоянных решений при Л > Л1 является

Теорема 1.24 Предположим, что / 6 С (£2) и справедливо (1.44). Тогда условие Р[ф\) < 0 является необходимым и достаточным для существования знакопостоянных критических точек функционала (1-43) при А е (А^А^].

В случае обычных Лапласианов (р = 2) результат о наличие верхней гря.нитты А существования знакопостоянных решений краевой задачи (1.45), (1-46) доказан в работах [18], [42]. Вопрос о существовании такой границе при 1 < р < у < р* впервые был решен в работах автора [129]. Оценка А^* полученная нами в теореме 1.23, если рассматривать случай р = 2, является более точной, чем получено в [18], [42]: А£* < А.

Следующим направлением исследований в главе 4 является построение ветвей решений и исследование их асимптотического поведения в бифуркационных точках.

Основным результатом о существование ветвей критических точек функционала (1.43) является следующая

Теорема 1.25 Пусть / е С(£2) и справедливо (1.44)■

1) Предположим, что Р(ф{) > 0. Тогда при А < Ах существует ветвь основных состояний типа (—1) по проективной процедуре {г^}. Функция = : А 1\(и\) является положительной при всех А е (—оо, А1) и монотонно убывает при возрастании А. При этом для почти всех А Е (0, А1) выполняется динамическое тождество

1.52)

2) Предположим, что Р(ф\) < О, Г2+ ф 0. Тогда при А е (Ах, Л^) существует ветвь основных состояний типа (0) по проективной процедуре {«д}. Функция = /(.)(«2. : Л !->• 1\(и\) является отрицательной и конечной при всех А е (Лх, Л^); —оо < 1\(и2х) < 0 и монотонно убывает при возрастании А. При этом для почти всех А € (Ах, А£) выполняется динамическое тождество = (1-Й)

3) Предположим, что Р(ф\) < 0, /+ ф 0. Тогда при А < А^ существует ветвь основных состояний типа (—1) по проективной процедуре {^д}. Функция = Ц.)(и: А н-^ 1х(и{) является положительной при всех А < А* и „монотонно убывает при возрастании А. При этом для почти всех А е (0, А£) выполняется динамическое тождество (1.53).

Здесь "ветвь по проективной процедуре" - понятие более сильное, чем понятие ветвь по модулю значений функционала Эйлера (см. главу 4, п. 6).

Поскольку для (1.45), (1.46) не доказана теорема о единственности решений, то здесь при фиксированных А, вообще говоря, {^д} и {и2х} обозначают множество решений. Поэтому, здесь нельзя утверждать в каждом из случаев 1)-3) теоремы 1.25 существование двух разных знакопостоянных ветвей. В данной работе существование двух раздельных ветвей доказывается в теореме 4.7.4 локально в окрестности точки Ах. При этом существенно используется процедура проективного расслоения.

Из чётности функционала (1.43) и в силу результатов 1Ь), 2Ь) теоремы 1.20 разделение ветвей получаемых по теореме 1.25 возможно, если рассматривать подмножества знакопостоянных критических точек. Соответствующий результат приведён в Теореме 4.6.11.

Заключительная часть главы 4 направлена на анализ бифуркаций в точках А], АЦ, а именно на исследование асимптотического поведение ветвей при А —» Ах, А -> А*.

Такой анализ нами проводится в представлении "поднятия" функционала (1.43) на соответствующем пространстве а - расслоения Г1.

Приведём основной результат о по парном рождении и уничтожении ветвей критических точек в точке Ах. Выделим в 0 х Р(Ш) С Гх следующую точку и;\р(ф1))) = (0,р(ф1))еГ1. (1.54)

Здесь р :]¥\0 Р(\¥) отображение канонической проекции, фх собственная функция (1.50)-(1.49).

Отметим, что точка а;°(р(0х))) есть критическая для функционала 1\(ш), но ф\ не является критической для 1\.

Теорема 1.26 Пусть / £ С (О) и справедливо (1-44) ■

I) Предположим, что Р(ф\) > 0. Тогда две ветви основных состояний типа (—1) по проективной процедуре : положительная {(¿д^'1} и отрицательная {о;^ при А —> Ах соединяются в точке а;°(р(0х))) следующим образом:

1) существует предел /д(и;д+-)'1) = Д^"^'1) —0,

2) имеет место сходимость в Гх:

-к-°(р(Л))) (1-55)

II) Предположим, что Р(ф\) < 0; ф 0. Тогда две ветви основных состояний типа (0) по проективной процедуре : положительная и отрицательная {шд соединятся при А | Ах в точке ш°(р(ф\))) следующем образом 1г1\ 2 — /^ 2

1) существует предел ) = ) Т 0/

2) имеет место сильная сходимость в Гх.' й+'-2> -+ ^шт <- я-)'2}. (1.56)

Здесь мы называем точку = (щ,р(щ)) Е Г С (Ш \ 0) х Р(у/) положительной (отрицательной), если щ = рп(^о) > 0 (щ =рп(ио) < 0).

Аналогичный результат при ф 0 и /+ = 0 о по парном рождении и уничтожении ветвей критических точек выполняется в точке А^. Приведём этот результат.

Рассмотрим одноточечное бикомпактное расширение }¥ = ТУ и сю по Александрову [66] топологического пространства

Выделим следующую точку а/»(р(Я(ОД)) = (осАр(ФЖ))}) € ТМоохР(\¥)). (1.57) где ф*(Пд) решение задачи (1.48) при ф 0 и /+ = 0. Отметим ф*1(П+) = 0,х£П\П+.

Теорема 1.2Т Пусть f е С(Щ и справедливо (1.44)- Предположим, что Р(ф{) < 0; Ф 0 и /+ = 0. Тогда две ветви основных состояний типа (0): положительная {аД } > 0 и 2 отрицательная } < 0 при А ^ соединяются в точке ш°°{р(ф1))) следующем образом: | л 2 — 2

1) существует предел ) = -Ы^а )

2) имеет место сходимость в IV

Й+)'2} «~(р(МП?)})) {а,«'2}. (1.58)

Обозначим

И;}=№11(«еГ1. (1.59)

Данные точки являются критическими для функционала д.

Справедлива следующая теорема о непрерывном продолжение ветвей основных состояний в точку А^.

Теорема 1.28 Пусть f Е С(Г2) и справедливо (1-44) ■

I) Предположим, что F(</>x) < 0 м/+ ^¿0. Тогда ветвь основных состояний типа (0) {^д} непрерывно продолжается в точку А^ так что

1) существует предел /а(о>д) ~~^

2) имеет место сходимость в Гх-'

Я} (4). (1.61)

II) Предположим, что Р^фг) < 0, ф 0. Тогда ветвь основных состояний типа (0) {^д} непрерывно продолжается в точку так что при А —У А|

1) существует предел /\}(<^д*) = 0, имеет место сходимость в Гх-'

1.62)

Данная теорема не означают, что в рассматриваемых случаях на многообразии Гх происходит соединение ветвей в особой точке Отсюда из соображений общего положения можно предположить, что ветви критических точек {шд}, {оД} должны допускать продолжение выше точки А > А]\

Следующая теорема подтверждает эту гипотезу.

Теорема 1.29 Предположим, что Р(ф{) < 0 и f + ф 0. Пусть А^ константа определяемая в силу (1-48). Тогда найдется такое е > 0, что при А Е (Ах, + е) существует ветвь основных состояний и\ Е Ж типа (0) . При этом и\ Е С1,а(Г2); аб (0,1).

В заключение главы 4 нами вводится понятие бифуркационной точки и доказывается в основных леммах 4.7.13, 4.7.14, что точки (Ах, (^0(р(ф\))): (А£, Мг}) действительно являются бифуркационными.

Глава 5.

Пусть (Мп,д) - гладкое компактное риманово многообразие с краем дМп размерности та и с римановой метрикой д

В главе 5 рассматривается следующий класс нелинейных краевых задач Неймана

-Ади = Хк(х)и - К(х)\и\1~2и, х е Мп, (1.63)

7/ Шх)и - В(х)\и\(1-\ х € дМп. (1.64)

ОПд О

Здесь Ад - оператор Лапласа-Бельтрами, а производная по направлению внешней нормали п границы дМ определенные в соответствие с метрикой д;

2 < 7 < 2*, 2* = 2п/(п - 2) при 2 < п;

2* = +оо при 2 > щ (1.65) 2 < Я < Я*, Я* = 2(п - 1)/(та - 2) при 2 < п ; д* = +оо при 2 > п. (1.66)

Предполагается, что А, ц € ж,

•), ВД е Ьоо(М)] ¿(-), В(.) € 1оо(<9М) (1.67) при этом

2 < д < 7 < 2*, £(ж) > 0 на <9М, (1.68) при этом здесь включается и случай 5 (ж) = 0 на ОМ.

Рассматриваемые нелинейные краевые задачи (1.63)-(1.64) связаны со следующей геометрической проблемой:

Пусть к(х) - скалярная кривизна многообразия Мп и Ь(х) - средняя кривизна границы дМп согласованные с данной римановой метрикой д. Рассматривается следующая проблема о существовании конформно-эквивалентной метрики:

Ya 1.1 Даны произвольные функции К(х) на М и В(х) на дМ. При каких условиях существует риманова метрика G конформно эквивалентная g и такая, что скалярная кривизна многообразия Мп по этой метрики совпадает с К(х), а средняя кривизна границы дМп совпадает с В(х)?

При п = 2 ответ на данную проблему дается известной Теоремой Римана о конформных отображениях. Однако при п > 2 данная проблема не имеет столь полного решения. В случае многообразия без края данная проблема именуется проблемой Ямабе [62].

Известно [50, 51], что данная задача при п > 2 эквивалентна вопросу о существовании положительного решения для краевой задачи (1.63)-(1.64). Так что, если существует гладкое положительное решение и задачи (1.63)-(1.64, то метрика G = ( по определению конформно-эквивалентная д) обладает, как это требуется, скалярной кривизной К{х) многообразия М и средней кривизной В{х) границы дМ.

Данная проблема для случаев, когда нелинейности присутствуют, либо только в уравнение (В{х) = 0), либо только в граничном условии (К(х) = 0) исследована Эскобаром [50, 51, 52]. При этом в [50, 51] предполагается, что коэффициенты при нелинейностях являются константами К(х) = const , В(х) = const соответственно. А в [52] затрагиваются также случаи, когда В(х) может быть переменной функцией при условии, что К(х) = 0. В работах [86], [43], [58] рассматривалась данная проблема для случаев многообразий без края ( проблема Ямабы [1]) дМп = 0.

Отметим, что степени нелинейностей в уравнение и в краевом условие 2* = 2п/{п — 2), q* = 2(п — 1)/(гг. — 2) равны критическим показателям Соболева для вложений W21(M") ^ Lp(Mn), W}(Mn) Lq(dMn), 2 < р < 2*, 2 < q < q* соответственно. Такого типа проблемы называются краевыми нелинейными задачами с критическими показателями [13] и в настоящей момент интенсивно исследуются (см. напр. [54], [57], [86], [85] [43], [87]). Основная трудность здесь связана с отсутствием компактности вложений И^(М™) Ь\(Мп), И^(М12) ^ Ь*(дМп), или иными словами с невыполнением для таких проблем условия Пале-Смейла [13]. При этом проблема Уа1.1, когда одновременно показатели нелинейностей критические, а коэффициенты К(х), В(х) при этих нелиней-ностях переменные функции (не константы) являются дополнительно сложными и разрешены только в отдельных случаях [52], [54], [57].

Когда коэффициенты К(х), В(х) неотрицательны, задача (1.63)-(1.64) является коэрцитивной и представляется более простой для исследования (см. [¿З]). Б случае, когда коэффициенты К(х), В(х) являются функциями переменного знака краевая задача (1.63)-(1.64) именуется проблемой с индефинитными (неопределенными) нелинейностями [42, 18]).

Основной целью в данной главе является исследование проблемы существования положительных решений для (1.63)-(1.64) в случаях, когда нелинейности присутствуют как в уравнение (1.63), так и в краевом условие (1.64), являются индефинитными и имеют критические показатели.

Результаты данной главы получены в работах автора [126], [130].

Наши исследования данной проблемы для (1.63)-(1.64) основаны на использование процедуры проективного расслоения (см. главу 3). Особенностью приложения этой процедуры к (1.63)-(1.64), в отличии от рассматриваемого в главе 4, является то, что здесь нами рассматривается случаи не точно разрешимой процедуры проективного расслоения.

Отметим, что выше отмеченные результаты о существовании конформно-эквивалентных метрик [50, 51, 52] относятся к случаям точно разрешимой процедуры проективного расслоения.

Приведём основные результаты полученные в главе 5.

Доказательство существования решений краевой задачи (1.13)-(1.14) основывается на нахождение критических точек соответствующего функционала Эйлера

Л;» = \нхм + + « е w. (1.69)

Так что существование слабого решения задачи (1.13)-(1.14) эквивалентно существованию критической точки функционала Эйлера Ix]t(u) и наоборот, существование критической точки функционала Эйлера /д^(гл) эквивалентно существованию слабого решения задачи (1.13)-(1.14).

Основные результаты получаемые в главе 5 симметричны по отношению к параметрам Л £ м и у Е ж. Приведём, как на примере, основные результаты для семейство функционалов I/j =: If7 при варьироваемом параметре ¿л Е ми фиксированном Л < 0.

В этом случае исследования ведутся при следующих предположениях

Ъ+(х) ф 0 на аМ, и к{х) > 0 на М. (1.70)

Первым основным результатом в главе 5 является построение методом тривиального расслоения над многообразием S1 = {v £ W\ = 1} (см. главу 3) минимизационных проблем с ограничениями соответствующих функционалу (1.69).

С этой целью вводится следующий функционал "поднятия" Цв, v) на х 5i ^(sv) = \s2h»(v) + +^sqB{v) + (s, v) £ ®+ x Si, (1.71) и задаются подмногообразия е£ = {(в,«) е М+ X - 0, 1^8,V) < 0},

2 = {(3,у) е к+ х 54^(5, V) = 0, Ь^8,у) > 0}, где при 5 > 0, V Е 51 8^~1К(у) + 8*-1В(у) + (1.72) и

1,(8, V) = (7 - 1)^-2КМ + (д- 1 )з*-2В(у) + Нц(у). (1.73)

Отсюда вводятся следующие основные минимизационные проблемы с ограничениями = тЛ1,(8,у)\(8,у)е }, (1.74)

1 = т1{Ц8,у)\(8,у)е ВЦ (1.75) где по определению

1^1 = +оо, если ©¿ = 0,^ = 1,2. (1.76)

Справедлива следующая основная лемма

Лемма 1.30 Пусть точка (в^,г^) 6 [л 6 к решение задачи (1.74), (1-75) при] = 1,2 соответственно. Тогда

К = зХеШ\0 (1.77) является критической точкой функционала 1ц(и).

Далее исследуется только проблема (1-75) при у = 2. При фиксированном А < 0 рассматривается следующее значение м \Чи\2дтд - А к (и), щ 1

Ъ(и)> 0, ие]¥\ 0}. (1.78)

Известно, что 0 < < оо и вариационная проблема (1.78) имеет единственное решение ф\ .

Пусть К(ф\) > О, Л < 0. Вводится следующее крайнее значение для параметра ¡1

1м \Уи\2(1тд - Хк(и). щ 1

Ъ(и) > 0, К (и) <0,ибИ/\0}, (1.79) где ¡л** = +оо, если множество {и £ \¥\К(и) < 0} пусто.

Основным результатом главы 5 является следующая теорема о существовании положительного решения и^ краевой задачи (1.13)-(1.14)

Теорема 1.31 Пусть А < 0, 2 < 7 < Т и 2 < # < д* и справедливы предположения (1.67), (1.68), (1.70) и К(ф1) > 0. Тогда при любом р, 6 (//1,//**) существует слабое решение и^ краевой задачи (1.13)-(1.Ц)- При этом и^ > 0, на М и и11 £ ^(М) П С^(М) для некоторого а Е (0,1).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ильясов, Явдат Шавкатович, 2000 год

1. Browder F.E. Non linear elliptic boundary value problems,// Bull. Amer. Math. Soc., 1963, 69, p.862-874.

2. M. Struwe, Variational Methods, Application to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New-York, 1996.

3. H. Berestycki, P-L. Lions, Nonlinear scalar field equations. I. Existence of ground state,// Arch. Rat. Mech. Anal. 1983, 82, p. 313-345.

4. Kuzin I., Pohozaev, Entire Solutions of Seminlinear Elliptic Equations., S.Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Вirkhauser-Boston, 1997. p. 256.

5. S.N. Chow, J.K. Hale, Methods of bifurcation theory. Grundlehern, 251, Springer, New-York-Heidelberg-Berlin, 1982.

6. E. Ziedler, Nonliner functional analysis and its applications I-IV. Springer, New-York-Heidelberg-Berlin (1988-1990).

7. Berestycki H. , Capuzzo-Dolcetta, I., Nirenberg, L. Variational methods for indefinite super linear homogeneous elliptic problems.// No DEA, V. 2, No. 4 1995, p. 553-572.

8. Berestycki H. , Capuzzo-Dolcetta, I., Nirenberg, L. Superlinear indefinite elliptic problems and nonlinear liouville theorems.// Top. Meth. in Nonl. Anal., V.4, 1994, p.59-78.

9. Аносов Д.В. Общее положение, Математ. энциклоп. Т.З, 1982, с. 1144-1145.

10. Андронов А.А., Понтрягин Л.С., Грубые системы. В.кн.-.Андронов А.А., Собр. тр. М.: Изд-во АН СССР, 1956, 183-187.

11. Андронов А.А., Математические проблемы теории автоколебаний. Доклад на I Всес. конф. по колебаниям, 1931. В кн.: Андронов А.А., Собр. тр. М.: Изд-во АН СССР, 1956, 85-124.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Т.1. М.: Наука, 1988.

13. В.И. Арнольд, Современные проблемы математики, Т.5, 1986.

14. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики М.: Наука, 1989.

15. Poincaré H., Sur les propriétés des fonctions definies par les équations aux différences partielles. Thèse. Paris.: Gautier-Villars, 1879, 93 p.

16. Poincaré H., Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. Paris.: Gautier-Villars, 1882, 385 p. (Пер. Пуанкаре A.б Избр. тр. M.: Наука, 1971, I, 326 с.

17. Peletier L.A., Serrin J., Uniqness of positive solution of semilinear equations.// Arch. Rational Mech. Anal. V. 81, 1983, p. 181-197.

18. Leod L.A., Serrin J., Uniqness of positive solution of semilinear equations.// Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 78, 1981, p. 6592-6595.

19. Gidas, В., Wei-Ming, Ni, Nirenberg L., Symmtry and related properties via the maximum principle.// Comm. Math. Phys. V. 68, 1979, p. 209-243.

20. Alfimov G.I., V.M. Eleonsky, N.E. Kulagin, L.M.Lehrmann & V.P. Silin, On existence of nontrivial solutions for the equation Au-u + u3 = 0,// Phys D 44, 1990, 168-177.

21. Anderson D., & G.Derrick, Stability of time dependent particle like solutions in nonlinear field theories.// J. Math. Phys. 11, 1970, p. 1336-1346 & 12, 1971, p. 945-952.

22. Petviashvili V.I. Sz V.V.Jan'kov, Solutions and turbulence, in: The Questions of Plasma Theory, No 14 (Energoatomizdat, Moscow, 1985, in Russian) 3-56.

23. Kaptsov O.V., New solutions of two-dimensional steady-state Euler equations. // Prikl.Math.Mech. (in Russian) V.54, (3), 1990, p. 409-416.

24. Rabinowitz P.H. A note on a semilinear elliptic equation on uN. A tribute in honour of Giovanni Prodi. Pisa: Scuola Normalc Superiore, Quaderni. Universita di Pisa. 1991, 307317 .

25. Жиков В.В. Об усреднении нелинейных вариационных задач в перфорированных областях. //Докл РАН, т. 345, № 2, (1995) с. 156-160.

26. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Усреднение дифференциальных операторов, М.: Наука, 1993.

27. Nehary Z. On a nonlinear differential equation arising in nuclear physics,// Proc. Roy. Irish Acad., V. 62, 1963, 117135.

28. Berger M.S. On the existence and structure of stationary states for a nonlinear Klein-Gordon equation,// J. Funct. Anal, V. 9, 1972, 249-261.

29. Coffman C.V. Uniqueness of the ground state solution for Au — и -f uz = 0 and variational characterization of other solutions,// Arch. Rat. Mech. Anal. V.46, 1972, 61-85.

30. Strauss W.A. Existence of solitary waves in higher dimensions,// Comm. Math. Phys. V.55, 1979, 149-162.

31. Brothers J., W. Ziemer, Minimal rearranggement of Sobolev Functions,// Jour. Riene Angew. Math. V. 384, 1988, p. 153179.

32. Brezis H., Kato T., Remarks on the Schrodinger operator with singular complex potentials.// J. Math. Pures Appl. V. 58, 1979, p.137-151.

33. Egorov Y.V., Kondratiev V.V. On asymptotic behavior in an infinite cylinder of solutions to an elliptic equation of second order.// Appl. Anal. 71, No 1-4, 1999, p. 25-39.

34. Kondratiev V.V., Olejnik O.A. On the behavior at infinite of solutions of elliptic systems with a finite energy integral.// Arch. Ration. Mech. Anal., V. 99, 1987, p.75-89.

35. Alama S., Tarantello G., 1 On semilinear elliptic problems with indefinite nonlinearities.// Calculus Var. and Partial Differential Equations, Y. 1, 1993, p.439-475.

36. Alama S., Tarantello G., Elliptic problems with nonlinearities indefinite in sign.// J- Funct. Anal. V. 141, 1996, 159-215.

37. Aubin, T., Equations différentielles nonlinéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire. //J. Math. Pures Appl., Y. 55, 1976,p. 269-296.

38. Del Pino, M., Positive solutions of a semilinear elliptic equation on a compact manifold.// Nonlinear Anal., V. 22, 1994, p.1423-1430.

39. Diaz, J.I., Nonlinear Partial Differential Equations and Free Boundaries vol. I: Elliptic Equations.// Research Notes in Mathematics, V. 106, Pitman, London, 1985.

40. Drâbek, P., Pohozaev, S.I., Positive solution for the p-Laplacian: application of the fibering method.// Proc. Royal Soc. Math. Edinb. Sect. A , V. 127, 1999, p.703-726.

41. Dràbek, P., Kufner, A., Nicolosi, F., Nonlinear Elliptic Equations. Singular and Degenerate Case. University of West Bohemia in Pilsen, 1996.

42. Dunford, N.? Schwartz, J.T., Linear opoerators I. Interscience, New York, 1958.

43. Escobar, J., The Yamabe problem on manifolds with boundary.// J. Diff. Geom. V. 35, 1992, p.21-84.

44. Escobar. J. Conformai deformation of Riemannian metric to a scalar flat metric with constant mean curvature on the boundary.// Annal Math., V. 136. 1992, p. 1-50.

45. Escobar, J., Conformai metric with prescribed mean curvature on the boundary.// Calculus Var. and Partial Differential Equations, V. 4, 1996, p. 559-592.

46. Maz'ya V.G., Sobolev Spaces. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1980.

47. Ni, W.-M., On the elliptic equation Au K(x)u<Jl+2')^n~2\ its generalizations, and applications in geometry.// Indiana Univ. Math. J., V. 31, 1982, 493-529.

48. Ouyang, T.C., On the positive solutions of semilinear equations Au + Au — hup = 0 on the compact manifolds.// Trans. Amer. Math. Soc., V. 331, 1992, 503-527.

49. В.И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

50. Иллс Дж. Основания глобального анализа,// Успехи мат. наук, Т. 24, вып. 3(147), 1969, с. 157-210.

51. Deimiling К., Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New-York, 1985.

52. Sard A. Hausdorf measure of critical images on Banach manifolds,// Amer. Journ. Math., 87, 1965, p. 158-174.

53. Smale S. An infinite dimentional version of Sard's theorem,// Amer. Journ. Math. 87, 1965, p. 861-866.

54. Conley, C., Isolated invariant sets and the Morse index.// CBMS 38, Amer. Math. Soc., Providence (1978).

55. Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г., Топологические методы в вариационных задачах, М., 1930; Успехи мат. наук, (17), 1947, с. 166.

56. Красносельский М. А., Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, М., Гостехиздат, 1956.

57. Вайнберг М.М., Треногин В. А., Теория ветвлений решений нелинейных уравнений, М., Гостехиздат, 1969.

58. Треногин В. А., Возмущение собственных значений и собственных элементов линейных операторов.// Докл РАН, т. 167, 1966, с.519-522.

59. Crandall M.G., Rabinowitz P. Bifurcation from simple eigenvalues.// J. Funct. Anal., V. 8, 321-340 (1971).

60. S. Coleman, V. Glazer, A. Martin Action minima among solution to a class of Euclidean scalar field equations.// Comm. Math. Phys.V. 58 , 2 ,211-221, 1978.

61. Mazur S. Uber schwache Konvergenz in den Räumen (Lp), //Studia Math. V. 4, 1933.

62. Anane, A. Simplicité et isolation de la premiere value du p-Laplacien avec poids. //C. R. Acad. Sei., Paris, Ser. I, V. 305, 1987, p.725-728.

63. P. Lindvist, On the equation divflVup^Vu) + À|u\p~2u = 0,// Proc. Amer. Math. Society, V. 109, No.l 1990, p.157-164.

64. Liberman G. Boundary regularity for solutions of degenerate elliptic equations,// Nonlinear Anal. V.12, V.U. 1988, p. 1203-1219.

65. Kreith K. Picone's identety and generalizations. //Rendiconti di Mathematica, V. 8, 1975, p.251-262.

66. Trudinger, N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations.// Comm. Pure Appl. Math. V. 20, 1967, p.721-747.

67. Tolksdorf, P. Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations.// J. Diff. Eq., V. 51, 1984, p.126-150.

68. Tolksdorf, P. On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with conical boundary points, // Comm. Part.Diff. Eq., V. 8, V.7, 1988, p. 773-817.

69. Vazquez, J. L. A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations,// Appl. Math. Optim., V. 12, 1984, p. 191-202.

70. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, М., Наука, 1981.

71. G. Polya, h G. Szego, Izoperimetric inequalities in mathematical physics.// Ann. Math.Studies V. 27, Princeton Univ. Press, Princeton 1951.

72. E.H. Lieb, Existence and uniqueness of the minimizing solution of Choquard's non-linear equation, Stud. Appl. Math. V. 57,1977, p. 93-105.

73. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

74. V. Guillemin, S. Strenberg, Geometric asymptotics, AMS Providence, Rhode Island, 1977.

75. Moser J. K. , Regularizaron of Kepler's problem and the averaging method on a manifold Comm. Pure Applied Math. Ser.I, V. 23, 4 ,1970, p. 609-636.

76. Ильясов Я.Ш., О существовании периодических решений полулинейных эллиптических уравнений.// Мат. Сборник. Т.184. № 6, 1993, 67-84.

77. Ильясов Я.Ш. Существование периодических неотрицательных решений нелинейных эллиптических уравнений.// Докл. Российской Акад. Наук. Т. 332.№ 2, 1993.

78. Ильясов Я.Ш. О периодических решениях нелинейных эллиптических уравнений.// Успехи. Маг. Наук. Т.48, № 4(292), 1993, с.181.

79. Ильясов Я.Ш. О некоторой аппроксимация решений типа "ground state" уравнений —Аи = д(и). // Диф. Уравн. Т.ЗО, № 2, 1994. с. 621-629.

80. Ильясов Я.Ш. О решениях типа ground states нелинейных эллиптических уравнений, в кн.: Фундамент. Пробл. Мат. Мех., МГУ, 1994 , с. 185-187.

81. Ильясов Я.Ш. О сходимости периодических решений типа ground states полулинейных эллиптических уравнений.// Успехи. Мат. Наук. Т.49, № 4(298), 1994, с. 117.

82. Ильясов Я.Ш. О периодических нетривиальных решениях эллиптических уравнений — Аи = д(и) в к^"1"1.// Изв. Акад. Наук, сер. Мат. Т.59, № 1, 1995, с. 103-120.

83. Ильясов Я.Ш. О многообразии решений типа ground state полулинейных эллиптических уравнений.// Докл. Российской Акад. Наук. Т.342.Р 4, 1995, с. 452-454.

84. Ильясов Я.Ш. Об одном уравнении, возникающем при исследовании " основных решений" полулинейных эллиптических уравнений.// Матем. Заметки Т.58, № 3, 1995, с. 461-464.

85. Ильясов Я.Ш. О функции действия на многообразии основных состояний.// Теор. Мат. Физика, Т. 105, Jf2 3, 1995, с. 438-449.

86. Il'yasov Y, On existence and non-existence of periodic solutions for the equations —Аи = g{u) in rn+1.// Dynamical Syst. And Applicat. Vol. 4, no. 4, 1995, p. 529548.

87. Ильясов Я.Ш. Об одном бесконечномерном нелинейном маятнике.// Успехи. Мат. Наук. Т.49, № 4, 1994, с. 117. Успехи. Мат. Наук. Т.50, № 4(304), 1995 с.83.

88. Ильясов Я.Ш. Функционал Эйлера для уравнений с Р-Лапласианом как функция спектрального параметра.// Труды Инст. им. Стеклова, Т. 214, 1996, с. 182-193.

89. Ильясов Я.Ш. О многообразии решений полулинейных эллиптических уравнений обладающих тождеством По-хожаева, I.// Диф. Уравн. Т.32, № 8, 1996, с. 1063-1071.

90. Ильясов Я.Ш. О многообразии решений полулинейных эллиптических уравнений обладающих тождеством По-хожаева, И.// Диф. Уравн. Т.ЗЗ, № 12, 1997, с. 1-6.

91. Ильясов Я.Ш. Об асимптотике решений полулинейных эллиптических уравнений вблизи первого собственного значения невозмущенной задачи,// Матем. Заметки Т.64, № 4, 1998, с. 543-549.

92. Ильясов Я.Ш. О существовании конформно-эквивалентных метрик для римановых многообразий с краем.// Диф. Уравн. Т.35, № 3 1999, с. 334-340.

93. Ильясов Я.Ш. Теорема об отсутствии положительных решений для полулинейных эллиптических уравнений.// Докл. Российской Акад. Наук, Т. 364. №1, 1999, с. 7-11.

94. Il'yasov Y., Action as function of period for ground state solutions of semilinear elliptic equations.// Nonlinear Diff. Equations and Applications (NoDEA), V. 7, 2000, p.113-131.

95. Ильясов Я.Ш. Исследования по параметру периода для полулинейных эллиптических уравнений обладающих тождеством Похожаева. В кн.: Компл. анализ, дифф.урав., числ. мет. и прилож. III. Дифф. Уравн. Инст. ма-тем. с вычисл. центром РАН. Уфа. 1996, с. 76-83.

96. Ильясов Я.Ш. Конструктивный метод построения кратных минимизационных задач с ограничениями. В кн.: Компл. анализ, дифф. урав., смежн. вопросы II. Дифф. Уравн. Инст. матем. с ВЦ РАН. Уфа. 2000, с.83.

97. Ильясов Я.Ш. Об одном необходимом условии существования положительных решений для класса уравнений с р-Лапласом.// Матем. заметки, Т. 66. №2, 1999, с. 312314.