Оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего типа и интегральным условием на потенциал тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Карулина, Елена Сергеевна

• Карулина, Елена Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карулина, Елена Сергеевна

Введение

1. Оценки сверху минимального собственного значения для случая симметричных краевых условий

2. Оценки снизу минимального собственного значения для случая симметричных краевых условий

3. Графическая интерпретация полученных результатов для симметричных краевых условий

4. Оценки сверху и снизу минимального собственного значения для случая несимметричных краевых условий

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего типа и интегральным условием на потенциал»

Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений и спектрального анализа.

В диссертации рассматривается задача, основой которой принято считать задачу Лагранжа (см. [8]): найти наиболее прочную колонну, которая является телом вращения плоской кривой вокруг некоторой прямой, расположенной в ее плоскости.

Физическая постановка задачи Лагранжа и исторический обзор результатов ее исследования.

Задача об оптимальной форме эластичной колонны фиксированного объема с шарнирным опиранием на обоих концах была поставлена Ж.-Л. Лагранжем [43] в 1773 г. на основе работ Л. Эйлера и Д. Бернулли [28]: найти форму упругого тела вращения, максимизирующую ее прочность. Решая эту задачу, Ж.-Л. Лагранж пришел к выводу, что оптимальное решение задачи — колонна постоянного сечения (цилиндр). Ошибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя член-корреспондентом С.-Петербургской Академии наук Томасом Клаузеном [29]. Задача Лагранжа может быть сформулирована и следующим образом: при заданной критической силе найти колонну минимального объема. Т. Клаузеном было получено решение этой задачи для граничных условий «жесткая заделка — свободный конец».

Ошибка Лагранжа и решение Клаузена описано в работе известного петербургского механика Е.Л. Николаи [22], опубликованной в 1907 году. Он обобщил решение Клаузена, введя дополнительное ограничение на минимально допустимую толщину колонны. Из отечественных исследований 30-х годов можно отметить статью Н.Г. Ченцова [27], рассмотревшего различные формы поперечного сечения стержня, и дипломную работу А.Ю. Ишлинского (1935г.).

В XX веке интерес к этой задаче вновь возник после появления работ Дж.Б. Келлера [41] и Дж.Б. Келлера, И. Таджбахша [50]. Они нашли оптимальную форму колонны для граничных условий «жесткая заделка — шарнир», «жесткая заделка — свободный конец». Н.В. Баничук [1] рассмотрел случай «свободный конец — упругая заделка».

В 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен [46] обнаружили, что решение, приведенное в [50] для случая жесткой заделки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя линейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). Позже их результаты были подтверждены А.П. Сейраняном [23, 24]) и Е. Мейзуром [44], которые использовали различные численные методы. Задача с условиями «жесткая заделка на обоих концах» так и не была решена. На эту тему было много работ (см. [44], [23], [24], [25], [30], [31]), но существование оптимальной формы не доказано до сих пор. С.Дж. Кокс и МЛ. Овертон доказали в [31] теорему существования с некоторыми дополнительными условиями (П.Г. Кримсер и К.-К. Ху в [42] нашли ошибки в работе [31]).

Попытки исправить доказательство Келлера — Таджбахша привели к потоку статей на тему о необходимых условиях оптимальности собственного значения оператора в том случае, когда оно кратно (см. работы A.C. Братуся [3], A.C. Братуся и А.П. Сейраняна [4], Накамуры [45], Кокса и Овертона [31], Овертона [47], А.П. Сейраняна [24] и другие).

В работе Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева [34] предложено альтернативное доказательство теоремы Келлера — Таджбахша, не зависящее от кратности собственного значения задачи. Из результатов, полученных в этой работе, следует, что форма колонны, найденная в их работе, оптимальна, также как и значение критической нагрузки.

Ю.В. Егоров в своих недавних работах (см. [35] - [39]) предложил новый подход к доказательству существования оптимальной формы колонны и новый алгоритм для поиска оптимальной формы, который может служить математической базой для результатов, полученных численно Н. Ольхоффом и С. Расмуссеном, А.П. Сейраняном и Е. Мейзуром.

Математическая формулировка задачи Лагранжа.

Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемую в работе Дж.Б. Келлера и И. Таджбахша [50] и связанной с ней вариационной задачи (см. также работы [25], [38]).

Пусть Л — величина нагрузки вдоль оси и и — смещение колонны в ортогональном к оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна

Т = /о1 Е1{х)и"{х)Чх - А / u'(x)2dx, о где 1{х) — момент инерции плоского сечения колонны и Е — модуль Юнга. Критической нагрузкой Ai называется максимальное значение Л, при котором infT = 0. Таким образом, и

Ai = inf Flu], где и{х)еЩ{0,1)

F[u) = Jo EI{x)u"(x)2dx fo u'{x)2dx

Уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала F имеет вид

Q(x)y"(x)Y + А у"{х) = 0, где функция у(х) удовлетворяет следующим условиям

7/(0) = 2/(0) = у( 1) = у'( 1) = 0,

Q{x) = kS2{x), где S(x) — площадь сечения колонны при 0 < х < 1 {к = const > 0). При этом объем колонны фиксирован, т.е. о1 = 1.

В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, если все сечения подобны одному из них. Если колонна неоднородна, то есть составлена из слоев с различными упругими свойствами, и сечения не являются подобными, то условие на функцию Q(x) можно заменить условием

Jo Qa{%)dx = 1, Q{x) > 0, при некотором а € [0,1].

Экстремальные спектральные задачи с интегральным условием на потенциал

Задача Лагранжа послужила источником для различных постановок экстремальных задач на собственные значения, в том числе -для уравнений второго порядка с интегральным условием на потенциал. Эти задачи похожи по постановке, но серьезно отличаются по методам исследования и полученным результатам благодаря разным формам уравнения, значениям параметров краевых условий и формам интегрального условия. При этом самостоятельный интерес представляют как оценки собственных значений, так и изучение свойств функций, на которых эти оценки могут достигаться.

Приведем некоторые постановки таких задач.

Задача Дирихле для уравнения у" + Хд(х)у = 0.

Начало исследованиям положила задача, рассмотренная Ю.В. Егоровым и В.А. Кондратьевым в [34] и [8]. Приведем полностью ее постановку и основные полученные результаты.

Авторами рассматривалась задача у"{х) + м{х)у{х) = 0, у( 0) = у{ 1) = 0, где — неотрицательная ограниченная суммируемая на (0,1) функция, удовлетворяющая условию qP{x)dx = 1, $ ф 0. J о

Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Ai может быть найдено следующим образом: 1 f y'2(x)dx Ai = inf -. y(x)ell¿(0,1) J

J q(x)yz(x)dx о

Оценивались значения mp = inf Ai, Mp — sup Ai, где Rp множество вещественнозначных ограниченных суммируемых на (0,1) функций q с положительными значениями и таких, что /МО.

Были получены оценки минимального собственного значения Ai этой задачи при различных значениях ¡3.

Основным результатом является следующая теорема:

Теорема 0.1. (Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев) Если (3 > 1, то

11 1

2'2 тп.Р =

V ~ ( - -

5(2/5 - I)1//?"

2/3, Мй = оо, где В — бета-функция Эйлера: В(а,Ь) = ха *(1 — х)ъ~1йх. Существуют такие функции и{х) £ #¿(0,1) и е Яр, что у(х)еЩ( 0,1)

Если (3 = 1, тот\ = 4, М\ = оо. Дели 0 <Р<\,тоМр = т^ = 0.

Существуют такие функции и{х) е Яд (0,1) и д(х) е что у(®)еЯ0х(0,1)

Если (3<0,тоМ/з = £ - тр = 0.

Существуют такие функции и(х) Е #¿(0,1) и £ Яр, что у{х)ещ(р,1)

Если \ < (3 < 1, то тр = 0, Мр = оо.

Задача Дирихле для уравнения у" + \Р{х)у — 0 с весовым интегральным условием.

В работе [14] рассматривалась задача у"{х) + Л Р{х)у{х) = 0, 2,(0) = у{ 1) = 0, где Р{х) — измеримая неотрицательная функция, удовлетворяющая условию или

Jх(1 — х)Р{х)<1х < оо 0 1 где 7 е Я, 7 ф 0, а е Я, (3 е Я.

Были получены оценки наименьшего собственного значения Ai этой задачи при различных предположениях относительно Р(х) и значений а, ¡3 и 7.

Задача для уравнения у" + Хр(х) у = 0 с краевыми условиями третьего типа.

О.В. Мурышкиной в [20] и [21] рассматривалась задача Штурма

Лиувилля с краевыми условиями третьего типа: у"(х) + А р(х)у(х) = 0,

Г ?/(0) - к\у{0) = 0, 1 ¡/(I) + к\у( 1) = 0, где р(х) — функция из класса Ла, где Аа при сх > 0 множество неотрицательных ограниченных функций (при а < 0 Аа — множество положительных ограниченных функций), удовлетворяющих условию 1

JfWX = 1, о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи от потенциала р(х) при различных значениях а, к\ и к2-Первое собственное значение Ai может быть найдено следующим образом:

Jy'2{x)dx + k21y2(0) + kly\l)

Ai = inf ----. f p(x)y2(x)dx 0

Оценивались значения ma = inf Ai, Ma = sup Ai. p{x)&Aa p{x)€Aa

В работе [20] рассматривался случай к\ ф а в работе [21] — случай к\ — к\ — к2.

В [6] рассматривалась задача y"{x) + Xq(x)y(x) -0,

I у'(0) - к1у(0) = 0, I 2/(1) + М1) = 0, где 1

7 (ж) >0, J д{х)в,х = 1. о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения А1 этой задачи от значений параметров ^ и

Оценивались значения Ш1 = т£ Ль М\ = вир Ль где А\ — множество функций, удовлетворяющих интегральному условию.

Задача для уравнения у" + М(х)у = 0 со смешанным граничным условием.

В работе [5] рассматривалась задача Штурма — Лиувилля у"{х) + \д{х)у{х) = 0,

Г 2/(0) - 0, у'(1) + ку(1) = 0, где д(х) > 0 — суммируемая на [0,1] функция такая, что 1

J др{х)(1х = 1, 0^0. о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения Лх этой задачи от к при различных /?.

Задача Дирихле для уравнения у" + д(х)у + Лу = 0. В.А. Винокуровым и В.А. Садовничим в [7] рассматривалась задача у"{х) + (Л - д{х))у{х) = 0, у{0) = 2/(0 = 0, где д{х) — вещественнозначная суммируемая по Лебегу на (0, /) функция.

Исследовался вопрос: насколько сильно можно изменить (увеличить или уменьшить) собственное значение, если д(х) меняется в пределах некоторого подмножества

Q = Up[t} = {q 6 LP(0,0, IMk < t}, t > 0, p e [1,+оо]. в работе получены оценки снизу и сверху минимального собственного значения данной задачи при р > 1, доказана достижимость оценок при р > 1. Достижимость оценок при р — 1 доказана в работе [11].

С.С. Ежак в [И] и [12] рассматривалась следующая задача Штурма — Лиувилля:

У"{х) + aQ{x)y{x) + \у{х) = 0,

1/(0) = 2/(1) = 0, где а = ±1, £?(#) — неотрицательная ограниченная на [0,1] функция, удовлетворяющая условию: 1 jQa(x)dx = 1, а т^О. о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи от потенциала при различных значениях а. Рассматривался функционал

1 1 / y'2{x)dx — erf Q{x)y2{x)dx

ЩЯ, У) = -- ° f y2(x)dx 0

Согласно вариационному принципу

Ai= inf Д[д,2/]. 2,(Ж)е//с}(0,1)

Оценивались значения rna = inf Ai, Ма = sup Ai, где Аа — множество неотрицательных ограниченных на [0,1] i функций таких, что / Qa{x)dx — 1.

Приведем основные результаты работы [11].

Теорема 0.2. Пусть о = — 1. Если а > 1, то та = 7Г2, Л/а = const < оо, причем существуют такие функции и(х) € #¿(0,1) и Q{x) е Аа, что inf R[Q,y] = R[Q,u] = Ma. у(*)€Я01(0,1)

Если а = 1, то ni\ = 7Г2, М\ — у + 1 + §л/тг2 + 4, причем существуют такие функции и{х) £ Hq(0, 1) и Q(x) G Аа, что inf R[Q,y] = R[Q,u] = M1. у(х)еЩ(0,1)

Если 0 < а < I, то гпа = 7Г2, Ма = оо.

Если а < 0, то та = const > и2, Ма = оо, причем существуют такие функции и(х) G #¿(0,1) и Q(x) € Ла, что inf R{Q, у] = R[Q, и) = та. у(х)еЩ{0,1)

В работе [12] были получены оценки для та и Ма при <7 = 1.

Задача, рассматриваемая в диссертации.

В диссертации рассматривается следующая задача Штурма — Лиувилля: у"{х) - q{x)y{x) 4- \у{х) = 0, (1)

Г 2/(0) - fc2y(0) = 0, \ г/(1) + А&(1) = 0, где q(x) принадлежит множеству Л7 (7 Ф 0) неотрицательных ограниченных суммируемых функций на [0,1], для которых выполняется условие 1

J q1{x)dx = 1, 7^0. (3) о

Будем считать, что к\ > 0, к% > 0.

Оценивается минимальное собственное значение Ai этой задачи при различных значениях 7 и к^

Собственным значением задачи (1), (2) называется значение параметра А, при котором эта задача имеет нетривиальное решение.

Это решение называется собственной функцией данной задачи, соответствующей данному собственному значению.

Собственные значения и собственные функции задачи (1), (2) обладают следующими свойствами ( см., напр., [34], [13], [15], [19]).

1. Все собственные значения задачи (1), (2) действительны.

2. Собственные функции задачи (1), (2), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

3. Собственные функции задачи (1), (2), соответствующие одному собственному значению, линейно зависимы.

4. Существует неограниченно возрастающая последовательность собственных значений Ао, Ль-., Хп, ■ ■ ■ задачи (1), (2), причем До > 0. При этом собственная функция у(х,\п), соответствующая собственному значению Ап, имеет ровно п нулей в интервале 0 < х < 1.

Согласно вариационному принципу,

1 1 у'2{х)(1х + / д(х)у2(х)г!х + Щу2{0) + Щу2{1) ш = и* ^-^—:-. уеЯ1(0,1)\{0}

Jy2(x)dx о

Положим т1 = inf Ai (q), М7 = sup Ai (q). q{x)£A7 q(x)€A7

В первой и второй главах рассматривается задача Штурма — Лиувилля для уравнения (1) с симметричными краевыми условиями

I у'(0) - к2у(0) = 0, ш

I У'{ 1) + к2у( 1) = 0, l4j

В первой главе получены оценки для М7 при различных значениях параметров 7 и к.

Доказаны следующие результаты. Теорема 1.

1. Если 7 е (—оо, 0) U (0,1), то М1 = +оо.

2. Если 7 = 1, то М\ = где — решение уравнения к2 «е-1 arcts7T vT' причем существуют такие функции у^(х) ^ //i(0,1) и q*{x) е Ау> что Мг = R(q„,y^).

3. Если 7 е (1,+оо), то 1 < М7 < min (l + 2k2, тт2 + 2), и существуют такие функции и{х) G Н\{0,1) и q*(x) 6 А1; что R(q*,u) = М7, причем при к = О имеем М1 — 1 = i?(l, с), где с — произвольная константа.

Во второй главе получены оценки для т7 при различных значениях параметров 7 и к.

Доказаны следующие результаты.

Теорема 2.

1. Если 7 е (0, +оо)7 то 7г2 > т7 > 7г2 — ^ + О при к —>• оо. При этом

• если 7 € (1, +оо), то т7 = А®, где А® — первое собственное значение задачи у" + Ху ~ 0 с условиями (4);

• если 7 = 1, то € [1/4; 7Г2] при всех к, т\ € [1/4; 1) при к = 0;

• ео/ш 7 Е (0,1), то т7 € [1/4; 7г2] при всех к, т1 £ [1/4; 1] при к = 0. Если 7 € (—1,0), то ш7 > 1/4 при всех к, т7 е [1/4; 1] при к = 0.

3. Если 7 6 (—со, — 1], то т7 > 1/4, и существуют такие функции и(х) € #1(0,1) uq*(x), удовлетворяющая условию (3), что R(q*,u) = т1.

В третьей главе дается графическая и табличная интерпретация полученных результатов для симметричных краевых условий.

В четвертой главе рассматривается задача Штурма — Лиувилля (1)-(2)-(3) с несимметричными краевыми условиями. Доказаны следующие результаты.

Теорема 3. Пусть к\ ф къ, тогда для М1 верны следующие утвероюдения.

1. Если 7 е (-оо, 0) и (0,1), то М1 = +оо.

2. Если 7 = 1, то

• 1 < М\ < шт (1 + к\ + 7г2 + 2) при всех к\, кч]

• при кг = 0, к] Ф 0, где г ф у имеем М\ = где — Щ решение уравнения агс^ = —-=-, причем существуют такие функции у^(х) € #1(0,1) и д*(х) € Л7, что Мх =

3. Если 7 € (1,+оо), то 1 < М1 < тт (1 4- к\ 4- Щ, тг2 + 2), и существуют такие функции и(х) Е #1(0,1) и 6 А17 что Я{д*,и) = М1.

Теорема 4. Пусть к\ Ф кч, тогда для т7 верны следующие утвероюдения.

1. Если 7 € (0, +оо), то

• т7 € [1/4; 7г2] при всех к\, к2, причем т7 7г2 при к\ —у оо, —^ сх), т7 -4 7г2/4 при кг —> 0, ^ —> оо; гс?е г ф у,

• т7 £ [1/4; 7г2/4] при ^ = 0, ^ ф 0, где % Ф причем т7 —у 7г2/4 при кг = 0, к$ оо, где г Ф

• при этом, если 7 £ (1,+оо), то т7 = где Л? — первое собственное значение задачи у" + \у = 0 с условиями (2).

2. Если 7 е (—1,0), то т7 > 1/4.

Если 7 £ (—оо, —1], то т7 > 1/4, и существуют такие функции и(х) € #1(0,1) ид*(х), удовлетворяющая условию (3), что 11(д*,и) = т7.

Результаты, полученные для несимметричных краевых условий, представлены также в виде таблицы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карулина, Елена Сергеевна, 2011 год

1. Баничук Н.В. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1974. -N 4. - С. 150-154.

2. Буттаццо Дж., Джаквинта М., Гильдебрандт С. Одномерные вариационные задачи. Введение // Новосибирск: Научная книга. 2002.

3. Братусь A.C. Кратные собственные значения в задачах оптимизации, спектральные свойства систем с конечным числом степеней свободы // Журн. вычислит, матем. и матем. физ. -1986. Т. 26. - С. 1-7.

4. Братусь A.C., Сейранян А.П. Бимодальные решения в задачах оптимизации собственного значения // Прикл. матем. мех. -1983. Т. 47. - С. 451-457.

5. Браун С.А. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма—Лиувилля со смешанным граничным условием // Дифференциальные уравнения. 2007. - Т. 43. -N 6. - С. 854.

6. Браун С.А. Об оценке собственных значений одной задачи Штурма—Лиувилля // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы конференции. — Воронеж: Воронежская государственная академия. 2005 - С. 39.

7. Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала // Доклады Академии наук. 2003. - Т. 392. - N 5. - С. 592-597.

8. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля // УМН. -1996. Т. 51. - Вып. 3 (309). - С. 73-144.

9. Егоров Ю.В. О задаче Лагранжа об оптимальной форме колонны. // Докл. РАН. 2003. - Т. 392 - N 5. - С. 598-602.

10. Егоров Ю.В. О задаче Лагранжа об оптимальной форме круговых колонн // Современная математика и ее приложения.- 2003. N 10. - С. 57-76.

11. Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма—Лиувилля с интегральным условием / / Современная математика и ее приложения. 2005. - Т. 36. -С. 56-69.

12. Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения одной задачи Штурма — Лиувилля // Дифференц. уравнения.- 2005. Т. 41. - N И. - С. 1577-1578.

13. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы) // М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1979. - 400 с.

14. Куралбаева К.З. Об оценке первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля / / Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. - N 6. - С. 852-853.

15. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 и 2 // М.: Гостехиздат. 1951.

16. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения // М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. -304 с.

17. Люстериик Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа // М.: Наука. 1965.

18. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных // М.: Наука. 1983.

19. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике // М.: Наука. 1970.

20. Мурышкина О.В. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с несимметричными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37.- N 6. С. 854.

21. Мурышкина O.B. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма—Лиувилля с симметричными краевыми условиями // Вестник молодых ученых. 3'2005. Серия: Прикладная математика и механика. - 1'2005. - С. 36-52.

22. Николаи ЕЛ. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн // Изв. С.-Петербургского политехи, института. 1907.- T. VIII, вып. 1. С. 255-288.

23. Сейранян А.П. Об одном решении задачи Лагранжа // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 271. - N 2. - С. 337-340.

24. Сейранян А.П. Об одной задаче Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. - N 2. - С. 101-111.

25. Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Институт механики МГУ им. Ломоносова. -Препринт N 60. 2000. - 64 с.

26. Филиновский A.B. Асимптотическое поведение первого собственного значения задачи Робена // Дифференциальные уравнения. 2011. - Т. 47. - N И. - С. 1659.

27. Ченцов Н.Г. Стойки наименьшего веса // Тр. ЦАГИ. 1936. -вып. 265. - 48 с.

28. Эйлер Л. Об упругих кривых. В кн.: Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле // М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры. 1934. - С. 447-572.

29. Clausen Т. Uber die form architektonischer Säulen // Bull. cl. physico-math. Acad. St.-Petersbourg. 1851. - T. IX. - P. 371380.

30. Cox S. J. The shape of the ideal column // The Math. Intelligencer.- 1992. V. 14. - N 1. - P. 16-24.

31. Cox S.J., Overton M. L. On the optimal design of columns against bucking // SIAM J. Math. Anal. 1992. - V. 23. - P. 287-325.

32. Egnell H. Extremal properties of the first eigenvalue of a class of elliptic eigenvalue problems // Annal. Sculntern. Series of Numerical Mathematics. 1984. - V. 71. - P. 341-350.33