Моделирование и исследование сложных систем, параметризованных геометрическим графом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гайдай, Виктор Александрович

• Гайдай, Виктор Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гайдай, Виктор Александрович

Введение.

1 Модель поперечных деформаций стержневой системы

1.1 Предварительные понятия.

1.2 Модель деформаций стержневой системы.

1.3 Условия корректности модели

1.4 Принцип максимума.

2 Функция Грина и её свойства

2.1 Построение функции Грина. Интегральное представление решения краевой задачи.

2.2 Непрерывность и гладкость функции Грина

2.3 Метод редукции

2.4 Неотрицательность функции Грина.

3 Реализация метода Ритца для краевой задачи на графе

3.1 Минимум функционала энергии.

3.2 Обобщённое решение уравнения.

3.3 Метод Ритца.

3.4 Реализация метода Ритца для краевой задачи на графе с помощью сплайнов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и исследование сложных систем, параметризованных геометрическим графом»

Для описания и исследования процессов в сложных системах нередко используют следующий подход. Сложный объект представляется, составленным из отдельных элементов, приписанных рёбрам некоторого графа. Процессы, происходящие в каждом элементе, описываются дифференциальными уравнениями. Кроме того, можно выделить элементы, взаимодействующие между собой и элементы, взаимодействующими с внешними объектами. Такие взаимодействия можно описывать в виде условий согласования и граничных условий.

Приведем примеры некоторых сложных систем и явлений, позволяющих применить указанный подход.

1. Сетки из струн [37, 47, 62]. Каждая струна может смещаться параллельно некоторой прямой, под действием нагрузки параллельной этой прямой. Движение и смещение описывается уравнениями второго порядка. В узлах сетки задаются условия непрерывности, баланса натяжений, на границе сетка может быть закреплена, что выражается условиями Дирихле.

2. Решетки из стержней [79, 7]. Поперечные смещения решетки из стержней описываются уравнениями четвертого порядка, в узлах сетки задаются условия сочленения стержней. Эти условия более разнообразны, чем для струн.

3. Гидросеть. На рёбрах сети с помощью уравнения Навье - Стокса описывается движение жидкости, в узлах сети задаются условия непрерывности давлений, условия баланса расхода жидкости [18].

4. Электрическая сеть. На рёбрах сети могут рассматриваться потенциалы, токи. В узлах сети задаются условия непрерывности потенциалов и баланса токов. Аналогичные модели используются для описания нейронных сетей [87, 89, 56].

5. Теплопроводность. Здесь на каждом ребре задаются уравнения теплопроводности, а в узлах формируются условия непрерывности температур и баланса тепловых потоков. Аналогичные модели используются при описании процессов диффузии [82, 85, 86, 69, 76, 70, 71, 16].

6. Состояние электронов в молекуле. Стационарная модель описывается спектральной задачей на графе для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с условиями непрерывности и баланса потоков в узлах, а также условиями Неймана на границе [30, 10], для такой задачи рассматривалась и дискретная модель [28, 29].

7. Оператор Лапласа на двумерной области заменяется на локально одномерный на сетке, аппроксимирующей эту область [91, 92, 31, 19]. Предельный переход в таких задачах при шаге сетки стремящемся к нулю и в моделях перфорированных областей [14] имеет общие черты.

8. Бифуркация в модели турбулентных течений в несжимаемой жидкости [60].

9. Нелинейные задачи [63, 58, 55].

10. Системы дифференциальных уравнений на графе [94].

11. Восстановление потенциала по известным спектрам в задаче Штурма - Лиувилля (обратная задача) [68].

12. Модели, в которых отдельные элементы имеют различные размерности и соответственно описываются уравнениями различного типа [32, 33, 88, 84, 64, 65, 27].

Для рассматриваемых систем изучаются как динамические задачи, описываемые уравнениями в частных производных, так и стационарные (статические), описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Применение метода Фурье, как и задача о собственных колебаниях, приводят к спектральным задачам на графах [37, 89, 66, 83, 40, 67, 11, 74, 75, 46, 12] и др.

Помимо этого рассматривались задачи граничной управляемости [79, 63, 75, 78, 73, 81] и др.

Приведем обзор результатов непосредственно предшествующих данной работе.

По дифференциальным уравнениям второго порядка на графах имеются сотни работ (см., например, [37, 44, 62, 66, 83, 40, 67, 11, 74, 75, 46, 91, 92, 31, 19, 58, 55, 34, 47, 39, 35, 36, 43, 48, 49, 51, 17, 12, 52, 50]). Отметим только некоторых ученых и научные группы, которые занимались этими и подобными задачами: Ю.В. Покорный и его ученики, В.В. Жи-ков, Б.С. Павлов, М.Д. Фаддеев, А.Н. Покровский, С.П. Новиков, С.А. Назаров, группа S. Nicaise, J. von Below , G.burner и др.

Основные продвижения сделаны для линейных уравнений второго порядка и задач Штурма -Лиувилля для этих уравнений. Участниками научной школы Ю.В. Покорного изучены условия разрешимости широких классов краевых задач, установлены точные аналоги теорем сравнения Штурма, доказаны существование функции Грина и ее положительность, получены двусторонние оценки функции Грина, обеспечивающие щ - положительность соответствующего интегрального оператора.

В работах Ю.В. Покорного и его учеников [46, 43] построена теория неосцилляции для линейных уравнений второго порядка и получены оценки геометрической кратности собственных значений.

Гораздо менее изучены обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого порядка на графе. Здесь следует отметить работы [7, 53, 54, 61, 75, 73, 74, 80, 79, 21, 42]. В этих работах рассматриваются разные системы стержней с условиями шарнирного и упруго - шарнирного закрепления. Такие модели оказываются весьма трудными для анализа. Например, изучение асимптотики спектра в [75] сделано лишь в предположении постоянства коэффициентов. Первые результаты для цепочки стержней [42] были также получены в предположении постоянства части коэффициентов. Имеются результаты и в задачах граничного управления [79, 81], с помощью методов, которые фактически не используют особенности структуры графа. В работах [7, 53, 54, 45] изучена разрешимость некоторых краевых задач, доказано существование и положительность функции Грина.

В некоторых работах проводится исследование разнопорядковых краевых задач на графах, для которых на различных ребрах рассматриваются уравнения различных порядков. В этом направлении получены результаты Ю.В. Покорного, К.П. Лазарева для растянутой цепочки из струн и стержней [42, 21] и Ю.В. Покорного, E.H. Провоторовой для пучка из одинаковых струн и одинаковых стержней [50, 57]. В работах Ю.В. Покорного, Т.В.Белоглазовой, К.П. Лазарева, Т.В.Перловской [5, 6, 22] исследовались различные модели стунно-стержневых систем, изучена разрешимость соответствующих краевых задач, доказано существование функции Грина и её неотрицательность.

Целью и основной задачей дайной работы являются исследование корректности математических моделей для стержневых систем, разработка и реализация приближённых методов нахождения решений соответствующих задач.

Диссертация посвящена изз^чению краевой задачи для дифференциального уравнения четвертого порядка на графе, моделирующей поперечные смещения стержневой системы. В работе исследован вопрос о разрешимости задачи для общего графа, построена функция влияния (функция Грина), исследована гладкость функции Грина, разработан приближённый метод решения краевой задачи.

Основные результаты работы:

- получены необходимые и достаточные условия невырожденности краевой задачи для стержневой модели с упруго-шарнирными и шарнирными соединениями стержней. Выполнение этих свойств обеспечивают однозначную разрешимость краевой задачи при произвольных правых частях.

- осуществлено построение функции Грина.

- изучены регулярные свойства функции Грина (непрерывность и гладкость).

- показана неотрицательность функции Грина.

- разработан приближённый метод решения краевой задачи на основе метода Ритца, реализованного на сплайнах на графе.

- создан комплекс программ, реализующих поиск приближённого решения краевой задачи для произвольного графа.

Перейдем к описанию конкретных результатов диссертации, которая состоит из трёх глав, разбитых на параграфы.

I. В первой главе проводится описание стационарных моделей малых поперечных деформаций стержневых систем, вывод краевой задачи для описанных моделей, исследование условий вырожденности и невырожденности краевой задачи, доказываются два варианта принципа максимума для решения однородного уравнения.

В п. 1.1 приводятся предварительные понятия из теории краевых задач на графе. Мы используем далее терминологию семинара Ю.В. Покорного (см. [Т, 45]).

Считается заданным геометрический граф Г из М3, его ребра обозначаются через 7г-, г — 1, г, совокупность его внутренних вершин обозначается через J{T), а граничных вершин через <9Г. Обозначим объединение точек всех ребер - Г°. Тогда Г = Г° и J(Г). Для каждой а е <7(Г) и дГ введем множество Г(а) состоящее из а и всех примыкающих к а ребер.

Топология на Г индуцирована из К3. Сужение функции и : Г —> Е на множество и обозначается иы(х).

На каждом ребре ^ считается введенной натуральная параметризация х = <£>¿(2). Производной функции и{х) на графе называется функция, определяемая как ¡^(^¿ОО). Аналогично определяются производные высших порядков и^к\х) = При формулировании условий согласования в вершине а будем использовать ориентацию "от вершины" а и записывать производные в виде 4-).

Через СП(Г°) обозначим множество определенных на Г° функций, для которых иъ равномерно непрерывны на вместе с производными до порядка п для каждого ребра 7; £ Г°. Через Сп(Г) обозначим множество равномерно непрерывных на Г функций, для которых сужение на Г° принадлежит СП(Г°).

В п. 1.2 описана стержневая модель и для нее вариационным методом получена краевая задача.

Рассматривается механическая система, состоящая из г стержней, положение равновесия которой совпадает с графом Г.

Отклонение и(-) : С(Г°) —> М. точек системы от положения равновесия определяется изгибной жесткостью стержней, жёсткостью пружин и плотностью внешних сил.

Предполагается, что деформация стержней вызвана только лишь чистым изгибом в главной изгибающей плоскости, т.е. считаем, что сдвигом, кручением и растяжением стержней можно пренебречь.

Пусть функция р(х) описывает жесткость стержней в точках х € Г°. Считаем, что п^ {р(ж)} > 0, р(-) € С2(Г).

Функция /(•) € С(Г°) задает плотность внешней нагрузки, действующей на систему.

Будем предполагать, что отклонение и(-) принадлежит классу функций С02(Г) - € С2(Г), = 0}.

Потенциальную энергию этой системы на (Г) можно представить в виде функционала Е / (т<2 - ах + Е ^ги» + « те^(Г) ^ се7(Г)

Е Е абУ(Г) -геЕ(а) где все коэффициенты (3(а) при всех а 6 </(Г) и а7(а) при всех а € К(Г), 7 € Е(а) неотрицательны.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1 Пусть функция и(-) даёт, минимальное значение функционалу F(-) на Cq(Г). Тогда и(-) Е С4(Г) и выполнены условия сри")" = f(x), х е Г°, (2)

-р7(а)и^(а+) + а7(а)и7(а+) = 0, о G У (Г), 7 <Е (3)

3(а)«(а)+ ]Г (р7и^)'(а+) = О, а 6 J (Г) (4)

7б-Б(а) и7(а) =0, а ед Г, 7 е £(а). (5)

Задача является однородной, если уравнение (2) имеет вид ри'У = 0. (6)

Под решением уравнения (2) понимается функция и(-), для которой на каждом ребре 7 £ -Б(Г) и7 £ С4(7) и при всех а: €Е 7 выполнено равенство (p7г¿^)//(a;) = f<y(x).

Решением задачи (2) - (5) называем решение w(-) уравнения (2), для которого -¿¿(-) 6 С(Г) и выполнены условия (3) - (5).

Задача (2) - (5) называется невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение в С4(Г).

В п. 1.3 рассматриваются условия корректности модели.

Пусть подмножество Ф графа Г образовано теми ребрами 7 = (а, Ь) из -Е'(Г), для которых выполнены условия (3) при а7(а) = a7(b) = 0. Покажем, что вырожденность или невырожденность задачи на графе определяется расположением компонент множества О = Г \ Ф.

Следующие вспомогательные утверждения характеризуют структуру множества £2 и поведение решения однородного уравнения на некоторых подмножествах графа.

Лемма 1 Пусть П ф 0.

1° Множество П замкнуто в Г и состоит из внутренних вершин графа и рёбер графа, не вошедших в Ф.

2° Компонентами множества П могут быть одно и только одно из следующих множеств: 1) одно ребро графа, у которого обе примыкающие вершины граничные:, 2) одна внутренняя вершина графа, к которой примыкают, только рёбра из Ф, 3) объединение точек всех простых цепей 1 ненулевой длины в О, с концевой вершиной, совпадающей с фиксированной внутренней вершиной.

3° Каждая компонента множества является замкнутым линейно связным2 подмножеством графа Г.

Лемма 2 Решение и(-) уравнения (6) линейно на ребрах графа, входящих в Ф.

Лемма 3 Если решение уравнения (6), удовлетворяющее условиям (3), имеет экстремум во внутренней точке ребра, то оно постоянно на этом ребре.

Для каждой компоненты ш множества П обозначим Мш = зири(х), Ши) = т£ и{х). Через дсо обозначим подмножество граничных вершин графа, примыкающих к рёбрам графа, включённым в и. Если дш ф 0 (дио = 0), то будем говорить, что и) примыкает (не примыкает) к границе графа 5Г. Разобъём множество Г2 следующим образом: ко множеству отнесём компоненты, которые не примыкают к и не содержат вершины а, для которых в условии (1.2.4) коэффициент /?(а) > 0, ко множеству 0,2 отнесём компоненты, которые не примыкают к дГ и содержат вершины а, для которых в условии (4) коэффициент /?(а) > 0, ко множеству Оз отнесём компоненты, которые примыкают к дГ и не содержат вершин а, для которых в условии (4) коэффициент (3(а) > 0, ко множеству Г24

1 Пусть к £ К, Ьо, Ь^, Ь-2, . ■ ■, Ьк — вершины графа Г, причём &1,., Ьк-1 — внутренние вершины и Ьф Ь]+1, j = Q,k-l, (Ь0, Ьг), (61,62), • • •, (Ьк-1,Ьк) — рёбра графа. Открытой цепью (ЬоМг . Ьк), соединяющей вершины Ьо и Ьк, называется множество (и^Гд^Ь^х)) иО-1*"*-^}). Наряду с открытой цепью будем рассматривать полуоткрытые цепи [Ь0Ь\. Ьк) = (6061. 6/с) и {&о} при Ьо € «/(Г), (&0&1 • • • м = (6061 • • • Ьл:)и{ЬА:} при Ьк 6 ./(Г), и замкнутую цепь [Ь0Ьг .Ьк} = [6061 • • • ¿>/ь)и{&&} при Ь0,Ьк е J(Г).

Цепь называется составной, если в ней повторяется хотя бы одно ребро, сложной, если повторяется хотя бы одна вершина, и простой - в противном случае.

2Подмножество называется линейно связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой из точек этого подмножества. отнесём компоненты, которые примыкают к <9Г и содержат вершины а, для которых в условии (4) коэффициент ß(a) >0.

Лемма 4 Пусть и(-) G С (Г) — решение уравнения (1.3.1), удовлетворяющее условиям (1.2.3), (1.2.4) и и — компонента множества П. Тогда если

1) ш С fii, то иш — постоянная,

2) ш С Г2].1Шз urriu, или Мш достигается на ито иш — постоянная,

3) и С Г2з, то тш и Мш достигаются либо на ш и на дси,3 либо только на да

4) ш С U Q4 и Ми достигается на ито Мы ^ 0,

5) си С Q.2 U Q4 и тш достигается на то ти ^ 0,

6) и С U П4, mw и Мш достигаются на lo, то иш(х) = 0,

7) и С U и Мш > 0, то lü С П4 и Мш достигается на дш,

8) ш С U П4 и mw < 0, то wC^« mw достигается на дш.

Основной результат первой главы.

Теорема 2 1° При = 0 задача (2) - (5) невырождена. 2° Др« Oi ф 0 задача (2) - (5) вырождена и размерность решений однородной задачи равна числу компонент множества Qi.

В п. 1.4 доказаны два варианта принципа максимума для решений однородного уравнения.

Определение 1 Пусть <9Г ф 0. Будем говорить, что для задачи (2)

- (5) выполнен принцип максимума, если для любого решения и(-) G

С4(Г) однородного уравнения (6), удовлетворяющего условиям (3) - (4),

Mr = supti(a:) и тг = inf и(х) достигаются на дГ, то есть найдутся хег хеГ вершины а,Ь £ дТ такие, что Мр = lim ti(a;) и mp = lim и(х). х—*а х—>Ь

3Это означает, что Мш — lim щ(х) для ребра 7, примыкающего к вершине а € ди и 7 С и.

Определение 2 Пусть дТ ф 0. Будем говорить, что для задачи (2) - (5) выполнен слабый принцип максимулш, если для любого нетривиального решения и{-) £ С4(Г) однородного уравнения (6), удовлетворяющего условиям (3) - (4), и(-) не может достигать положительного супремума и отрицательного инфимума внутри графа. То есть если и(-) принимает положительные значения, то положительный супремум достигается только на дГ, и еслии(-) принимает отрицательные значения, то отрицательный инфимум достигается только на <9Г.

Теорема 3 Пусть Г - связный граф, и(-) € С4(Г) — решение однородного уравнения (6), удовлетворяющего условиям (3) - (4) и ¡3(a) = О на J (Г). Тогда

1° и(х) = const является решением однородного уравнения,

2° если дГ = 0 и 1 состоит из одной компоненты, то других решений однородное уравнение не имеет,

3° если дТ ф 0 и Oi = 0, mo выполнен принцип максимума.

Теорема 4 Пусть Г - связный граф, и(-) е С4(Г) — решение однородного уравнения (6), удовлетворяющего условиям (3) - (4) и ¡5(a) > О для некоторой вершины а €Е J (Г). Тогда 1° если дТ = 0 и i2i = 0, то и(х) = О,

2° если <9Г ф 0 и Пх = 0, то выполнен слабый принцип максимума.

II. Во второй главе для рассматриваемой модели строится функции Грина и изучаются её свойства.

В п. 2.1 строится функция Грина.

Мы следуем общей схеме построения и исследования функции Грина, изложенной в [45].

Для и G. С4(Г°) определим дифференциальный оператор Lu = (ри")".

Условия непрерывности и(-) во внутренних вершинах a £ J(Г), к которым примыкает не менее двух рёбер, можно записать в виде и7(а) — Ufi(a) = 0, 7 £ Е(а) фиксировано,^ £ Е(а), цф -у, (7)

Введём функционалы ¿1(11), г = 1,4г на С4(Г°), определяемые левыми частями равенств (7), (3), (4), (5).

Рассмотрим в С4(Г°) неоднородную задачу

Условие однозначной разрешимости этой задачи даётся в следующем утверждении.

Теорема 5 При ¡Г^х = 0 задача (8) - (9) имеет единственное решение в С4(Г°) при любых f £ С(Г°) и кг еМ, г = 1~4г.

Функцию Грина на Г° х Г° ищем в виде где Уу(-) - фундаментальная система решений однородного уравнения, а П(х, в) - фундаментальное решение уравнения Ьи — f. Функция Н(х, в) может быть построена из любых фундаментальных решений сужения уравнения на отдельные ребра г=1,ги,в частности, из функций Грина двухточечных задач на ребрах 7*. Таким образом, функцию Н(х, я) на Г° х Г° можно определить формулой /еС(г°),

8) (9)

4 (и) = кг е К, г = 1,4г.

4г

10)

И)

Функция Грина имеет вид о = 4

Я(ж,в) VI(ж) у2(х) •■• у4г(х) ищ-18))г2{у1)£2ы *2Ы

12) где А — это определитель матрицы Если же системы и {г^} биортогональны (т.е. ¿¿(тл,-) = 5^), то ¿¿(а) = —в)) и

4г

8) = Н(х, *) - £ (13) 1

Справедливы следующие представления решений невырожденной краевой задачи.

Теорема 6

Решение невырожденной задачи (8)-(9) может быть представлено в виде где ъ^(-) е С4(Г°) - фундаментальная система решений однородного уравнения Ьи = 0, биортогоналъная системе функционалов г = 1,4г, С?(ж, з) - функция Грина, определённая формулами (11), (12) или (13).

Следствие. Для = 0 задача (2) - (5) при любых f е С(Г°) имеет единственное решение вида и(х) = J в(х)з)${з)дз, (15) г° где Ох, в) - функция Грина, определённая формулами (11), (12) или (13).

Для Пх = 0 из формулы (15) и доказанной ниже непрерывности функции Грина следует непрерывная зависимость решения задачи (2) - (5) от /(•), то есть в этом случае рассматриваемая модель корректна.

В п. 2.2 изучаются свойства непрерывности функции Грина и её гладкость.

Доказаны следующие характеристические свойства функции Грина.

Теорема 7

1° функция С(х,з) вместе со своими производными по х до порядка 4 равномерно непрерывна по совокупности переменных на каждом

7г х 7j (г ф j) и на каждом из симплексов, на которые разбивает 7г х диагональ х = s,

2° при каждом фиксированном s, являющемся внутренней точкой некоторого ребра 'jj, G(x,s) по х удовлетворяет однородному уравнению (6) всюду на тi ("fj ф тj) и на 7г- = 7j всюду, кроме точки s,

3° G(x,s) по х удовлетворяет однородным условиям (9),

4° на диагонали множества Г° х Г° ч 1 dmG(x, s) а) G(x, s) и производные —~Q~7n— т ^ непрерывны, б) квазипроизводная D3G = —имеет, единичный скачок, то есть

DlG{s,s) + DlvG{s,s) = 1 (16) здесь при s Е 7j = (<2, b) производные взяты в точке х = s по направлению векторов ь> и —г/, одинаково направленных с (s, b) и (5, а) соответственно ),

5° функция G(x, 5) условиями 2° - 4° определяется однозначно.

Пусть Г = Г U <9Г - замыкание графа.

Теорема 8 Пусть Г2х = 0. Тогда функцию Грина G(x, 5) можно доопределить до непрерывной на Г х Г функции.

В п. 2.3 приведён метод редукции (см. [45, стр. 203]), который сводит изучение рассмотренной краевой задачи на графе с правой частью, отличной от нуля только на подграфе, образованном одним ребром, к задаче на этом ребре со специальными краевыми условиями.

В п. 2.4 доказана неотрицательность функции Грина.

Теорема 9 Пусть fii = 0. Тогда функция Грина G(x, s) неотрицательна внутри Г х Г при этом G(x,x) > 0 для всех х € Г.

III. В третьей главе рассмотрена реализация метода Ритца в простейшей краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка на геометрическом графе с помощью сплайнов. Здесь использован подход, развитый в монографиях С. Г. Михлина [25, 26].

В п. 3.1 краевая задача записана в виде уравнения для положительно определённого оператора с плотной областью определения в гильбертовом пространстве. Показано, что существование решения этого уравнения эквивалентно наличию минимума у функционала энергии.

Краевую задачу (2) - (5) запишем в операторном виде Аи = /.

Обозначим через И а множество функций и <Е С4 (Г), удовлетворяющих условиям (3)-(5). Очевидно, что И а плотно в гильбертовом пространстве Н = 1/2 (Г)- Определим на В а оператор А формулой

Аи = Сри")". (17)

Теорема 10 1° А является симметричным оператором в Н.

2° Пусть все коэффициенты а7(а) и ¡3(а) в условиях (3) и (4) положительны и т£ р(х) = ро > 0, тогда А является положительно жег0 определённым оператором в Н.

Рассмотрим при фиксированном / £ Н функционал энергии на И а

Р(и) = (Ащи)-2а,и). (18)

Справедливо следующее утверждение (см., например, [25]).

Теорема 11 Пусть А симметричный положительный оператор. Для того, чтобы щ Е О а сообщал минимальное значение функционалу Р(') на И а необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял уравнению

Аи = /, (19) причём такой элемент единственный.

В п. 3.2 построено энергетическое пространство оператора и показано, что в этом пространстве существует обобщённое решение операторного уравнения.

Стандартным образом строится энергетическое пространство На- Для этого определим на И а новое скалярное произведение и новую норму и, у]а — {Ли, г>), и, v е БА (20) и\\А = [и,и]А, иеВА. (21)

Пополнение в Н линеала Да по норме (21) образует пространство На-Скалярное произведение [-, -]а и норма || • щ продолжаются на На, при этом НА является гильбертовым пространством.

Функционал определённый формулой (2) на Х)^, продолжается на На по формуле

Р(и) = [и,и]А-2а,и). (22)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 12 Пусть А симметричный полооюителъно определённый оператор и НА — его энергетическое пространство. Тогда при любом фиксированном f £ Н существует один и только один элемент щ £ На, на котором функционал (22) достигает минимального значения.

Определение 3 Элемент щ, доставляющий минимум в На функционалу (22), называется обобщённым решением уравнения Аи = /.

Лемма 5 Для обобщённого решения уравнения Аи = / справедливо неравенство

23)

Следствие. Пусть щ и и2 обобщённые решения уравнений Аи = /1 и Аи = /2 соответственно. Тогда

Л~/211. (24)

Замечание. Неравенство (24) означает непрерывную зависимость обобщённого решения от правой части уравнения.

В п. 3.3 приведена абстрактная схема метода Ритца для нахождения приближения к обобщённому решению операторного уравнения.

При каждом п € N зададим элементы </?П)г, г = 1 , п, каждый из которых принадлежит пространству На- Обозначим, через Нп линейную оболочку элементов <£>П)г, г = 1 , п.

Будем считать, что выполнены следующие условия:

1) при каждом п £ N элементы г — 1,гс линейно независимы,

2) последовательность подпространств {Нп} предельно плотна в На, то есть для любого V € На существуют такие элементы уп е Нп, п 6 что

- г»п||л = ||и -у)\\а ^ ф,п), (25) где п) — оценка аппроксимации и е(г>, п) 0 при п —» оо.

Будем искать приближение к обобщённому решению г^о уравнения Аи = / при каждом п в виде п (26) ¿=1

Коэффициенты аг- определим из условия минимальности функции п пеп ременных Ф(аь • ■ •, о-п) — А£¥,п,г)> ГДе ^ ~ функционал (22). 1

9Ф .

Приравняв к нулю частные производные ——, г = 1, тг, получаем си

0(1{ стему линейных уравнений для определения ах, аг, •., ап с положительно определённой матрицей. Отсюда следует, что система Ритца всегда разрешима. Решение этой системы (а®, а®,., а°) даёт минимум функции Ф в стационарной точке. п

Элемент ип = X} Т^М будем называть приближенным решением г=1 уравнения (19) по Ритцу.

Теорема 13 Из последовательности приближённых решений уравнения (19) по Ритцу можно выделить минимизирующую подпоследовательность для функционала (22), которая сходится по норме пространства На, и, следовательно, по норме Н к обобщённому решению щ уравнения (19).

Замечание. Если подпространства Нп обладают свойством Нт с Нт+1 при всех га € М, то сама последовательность ип будет минимизирующей и сходящейся к щ.

В п. 3.4 метод Ритца для краевой задачи на графе реализован на подпространствах сплайнов степени 3 дефекта 1.

Введём на замыкании каждого ребра = [0,21-1, а2{](г = 1,г) упорядоченный набор точек {#г-о, хг±,., ХгЩ}, образующий сетку причём ХгО = 0>2г—1> %гпг = а2{. Сетка Д на графе есть объединение всех сеток 5{. Пусть /¿д = шах — Х{ ?-|| — максимальный шаг сетки.

Определение 4 Сплайном на графе Г степени т дефекта к (0 ^ к ^ т) с узлами на сетке Д называется непрерывная функция в : Г —» М, сужение которой на каждое ребро у} является сплайном на отрезке [<22^-1, &2г] степени т дефекта к с узлами на сетке Дг-.

Множество всех сплайнов на графе степени т дефекта к с узлами на сетке А обозначил1 ¿^(Д).

На графе Г берется последовательность сеток Дп (п Е М). В качестве подпространств для нахождения приближения к обобщённому решению уравнения (19) в работе использованы множества сплайнов Нп = 53,2(Дп). В качестве линейно независимых элементов, порождающих Нп, выбирается произвольный базис (рп,и г = 1 , п.

Справедливо следующее утверждение о сходимости приближенных решений уравнения (19) по Ритцу.

Теорема 14 Пусть Н = ¿2(Г), А - оператор, определённый формулой (17) и На — его энергетическое подпространство. Тогда если Дп (п € М) последовательность сеток, для которых /гдп —> 0 при п —со и Ап С Д7г+1 Щи всех п, то

1° Нп — ^зд(Дп) образует последовательность подпространств предельно плотную в На,

2° последовательность приближённых решений уравнения (19) по п

Ритцу ип — ^ <^п,г> а® решение системы Ритца, является миниг=1 мизирующей для функционала (22) и сходится по норме пространства На, и, следовательно, по норме Н к обобщённому решению щ уравнения (19).

В подпространствах Нт выбираются сплайны с минимальными носителями — аналоги В—сплайнов на отрезке. Это обеспечивает хорошую разреженность матрицы линейной системы при нахождении приближенного решения.

Создан комплекс программ, реализующих поиск приближённого решения краевой задачи для уравнения четвёртого порядка на произвольном графе.

Численные расчёты показали хорошее качество приближения уже при небольшом количестве узлов сетки.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 2008, 2009 гг., на конференции Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики 2009 г., на семинаре по качественному анализу краевых задач проф. Ю.В. Покорного, на семинарах проф. А.И. Шашкина, проф. И.Я. Новикова.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах [1, 2, 3]. Из совместных работ [2, 3] в диссертацию включены результаты, полученные лично диссертантом. Списку ВАК соответствует работа [3].

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Шашкину А.И. за постановку задачи, постоянное внимание к работе, важные советы и замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гайдай, Виктор Александрович, 2009 год

1. Гайдай В.А. Функция влияния для стержневой модели // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XX": дополнительный выпуск. - Воронеж, 2009. С. 4-5.

2. Гайдай В.А., Лазарев К.П. Условия корректности модели деформаций стержневой системы // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. 4.1 Воронеж, 2009. С. 119-120.

3. Гайдай В.А., Лазарев К.П., Покорный Ю.В. Краевые задачи для моделей стержневой системы // Вестник Воронеж, гос. техн. ун-та. 2009. Т.5. № 8. С. 119-127.

4. Белоглазова Т. В. О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах : Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2003. — 128 с.

5. Белоглазова Т.В. Об одном классе разнопорядковых обыкновенных дифференциальных уравнений на графе /Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, К.П. Лазарев // Математические заметки. 2003. - Т.73, №3. - С. 469-470.

6. Белоглазова Т.В. О функции Грина для локально взаимодействующей системы обыкновенных уравнений разного порядка /Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, Е.В. Дикарева, Т.В. Перловская // Математические заметки, 2003. Т.74, №1. - С. 146-149.

7. Боровских A.B. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / A.B. Боровских, Р. Му-стафокулов, К.П. Лазарев, Ю.В. Покорный // Доклады РАН. 1995. - Т. 345, N 6.- С. 730-732.

8. Боровских A.B. О ядрах Келлога в разрывных задачах /A.B. Боровских, К.П. Лазарев, Ю.В. Покорный // Труды Матем. ин-та РАН. 1995. Т.211, -С.102-120.

9. Боровских A.B. Системы Чебышева-Хаара в теории разрывных ядер Келлога / A.B. Боровских, Ю.В. Покорный // Успехи математических наук. -1994. -Т.49, вып.3(297), С.3-42.

10. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе / М.Г. Завгородний // Доклады РАН. 1994. -Т. 335, N 3. - С. 281-283.

11. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко // М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.- 352 с.

12. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости / В.В. Жиков // Матем. сборник. 1996. - Т. 187, N 8. - С. 3-40.

13. Калафати П.Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1940. Т. 26, N 6. С. 535-539.

14. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М.Пенкин, Ю.В. Покорный // Доклады РАН. 1999. - Т. 368, N 2, - С. 157-159.

15. Карелина И.Г. О функции Грина краевой задачи на графе / И.Г. Карелина, Ю.В. Покорный // Дифференц.уравнения. 1994. - Т. 30, N 1. - С. 41-47.

16. Колдоба A.B. Математическое моделирование течения жидкости в разветвленных гидравлических системах / A.B. Колдоба, Ю.А. По-вещенко, П.П.Матус, М.М.Чуйко // Матем. моделирование.- 1992. -Т. 4, № 6. С. 643-650.

17. Комаров A.B. О спектре равномерной сетки из струн / A.B. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Известия вузов. 2000. - Т. 463, N 4. - С. 23-27.

18. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М. А. Красносельский, Е. А. Лифшиц, A.B. Соболев // М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.- 256 с.

19. Лазарев К.П. О спектре некоторых негладких многоточечных задач: диссертация . канд.физ.- мат. наук. / К.П. Лазарев Воронеж, 1988. - 105с.

20. Лазарев К.П., Белоглазова Т.В. Разрешимость краевых задач для разнопорядковых дифференциальных уравнений на геометрическом графе //Математические заметки. 2006. Т.80. №1. С. 60-68.

21. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ 4- pi(t)x^n' -D+ ----f-Pn(t)x = 0 // Успехи мат. наук. 1969. Т. 24, N 2. С. 43-96.

22. Левин А.Ю., Степанов Г.Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака // Сиб.мат. журн. 1976. Т. 17, N 3. С. 606-625; N 4. С. 813-830.

23. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / М.:Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры. 1957. - 476 с.

24. Михлин С. Г. Курс математической физики / М.:Наука. 1968. - 576 с.

25. Назаров С.А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1995. Вып. 18. - С. 3-78.

26. Новиков С.П. Дискретный оператор Шредингера / С.П. Новиков// Труды Математического ин-та им. В.А.Стеклова. Москва, 1999. -Т. 224, - С. 275-290.

27. Новиков С.П. Уравнение Шредингера и симплектическая геометрия / С.П. Новиков // Студенческие чтения МК НМУ. С. 210-217.

28. Павлов B.C. Модель свободных электронов и задача рассеяния / B.C. Павлов , М.Д. Фаддеев // ТМФ. 1983. - Т. 55, N 2. - С. 257269.

29. Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. / О.М. Пенкин. Воронеж, 1988. - 88 с.

30. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин// Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, N 10. - С. 1404-1409.

31. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин// Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, N 10. - С. 1433-1434.

32. Пенкин О.М. О краевой задаче на графе /О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Дифференциальные уравнения. 1988. - Т. 24, N 4. - С. 701-703.

33. Пенкин О.М. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Известия вузов. Математика. 1996. N 11. - С. 57-64.

34. Пенкин О.М. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Матем.заметки. 1997. - Т. 59, N 5. - С. 777-780.

35. Пенкин О.М. Об одной векторной краевой задаче / О.М.Пенкин, Ю.В. Покорный, E.H. Провоторова // Краевые задачи. Пермь, 1983. С. 64-70.

36. Перловская Т. В. О позитивной обратимости одной разнопорядковой краевой задачи на графе : Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2004. — 103 с.

37. Покорный Ю.В. О неосцилляции на графах / Ю.В. Покорный // Докл. расшир. засед. семинара Ин-та прикл. математики им. И.Н.Векуа. 1988. Т.З, N 3. С. 139-142.

38. Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах /Ю.В. Покорный// Успехи мат.наук. 1987. - Т. 42, N 4. - С. 128-129.

39. Покорный Ю. В. О теории Келлогадля разрывных функций Грина / Ю. В. Покорный, A.B. Боровских // Матем. заметки. 1993. Т.53, вып. 1, С. 151-153.

40. Покорный Ю.В. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач / Ю.В. Покорный, К.П. Лазарев // Дифференц. уравн.- 1987. Т.23, N 4. -С. 658-670.

41. Покорный Ю.В. О неосцилляции обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств на пространственных сетях /Ю.В. Покорный// Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37, N 5. - С. 661-672.

42. Покорный Ю.В. Теоремы Штурма для уравнений на графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин // ДАН СССР. 1989. - Т.309, N6,- С. 13061308.

43. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских A.B., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 272с. ISBN 5-9221-0425-Х.

44. Покорный Ю.В. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи на графе / Ю.В. Покорный, В.Л. Прядиев, А. Аль-Обейд // Матем.заметки. 1996. - Т. 60. - С. 468-469.

45. Покорный Ю.В. О теоремах сравнения для уравнений на графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин// Дифференц.уравнения. 1989. - Т. 25, N 7. - С. 1141-1150.

46. Покорный Ю.В. Нелинейные теоремы сравнения на графах / Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // Матем. заметки. 1991. - Т. 50, N 2. -С. 149-151.

47. Покорный Ю.В. О функции Грина задачи Дирихле на графе /Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // ДАН СССР. 1991. - Т. 318, N 3. - С. 942-944.

48. Покорный Ю.В. О спектре некоторых краевых задач / Ю.В. Покорный, E.H. Провоторова, О.М. Пенкин // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1988. - С. 109113.

49. Покорный Ю.В. Нелинейные теоремы сравнения на графах / Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // Украинский мат.журнал. 1991. - Т. 43, N 4. - С. 525-529.

50. Покорный Ю.В. О распределении нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на пространственной сети / Ю.В. Покорный, В.Л. Прядиев // Докл. РАН. 1999. - Т. 364, N 3, - С. 316-318.

51. Покорный Ю.В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнений четвертого порядка /Ю.В. Покорный, Р. Муста-фокулов // Дифференциальные уравнения. 1997. - Т. 33, N 10. - С. 1358-1365.

52. Покорный Ю.В. О положительности функции Грина линейных краевых задач для уравнений четвертого порядка на графе /Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов // Известия вузов. Математика. 1999. -Т 441, N 2. - С. 75-82.

53. Покорный Ю.В. О нелинейной краевой задаче на графе / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, B.JI. Прядиев // Дифференц. уравнения. -1998. Т. 34, N 5. - С. 629-637.

54. Покровский А.Н. Процессы управления в нервных клетках/ А.Н. Покровский // JL: Изд-во Лениградского ун-та. 1987. - С.85.

55. Провоторова Е.Н. О векторных краевых задачах, порождаемых скалярным дифференциальным оператором / Е.Н. Провоторова // Дифференц.уравн.- 1987. Т.23, N10.- С. 1711-1715.

56. Прядиев B.JI. О структуре спектра одного класса нелинейных краевых задач второго порядка / B.JI. Прядиев// Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, N 11. - С. 1575.

57. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 590 с.

58. Шафаревич А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие локализованные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса и вытянутые вихри в несжимаемой жидкости / А.И. Шафаревич// Препринт N 604 Ин-та проблем механики РАН. 1997. - С. 1-41.

59. Ali-Mehmeti F. Regular solutions of transmission and interaction problems for wave equation/ F. Ali-Mehmeti // Math. Methods Appl. Sci.-1989. V. 11. P. 665-685.

60. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti// Mathematical Research, 1994. V. 80.

61. Ali-Mehmeti F. Some realizations of interaction problems. / F. Ali-Mehmeti, S. Nicaise// Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 1991. V. 135, - P. 15-27.

62. Borvskikh A.V. Fourth order defferential equations on geometric graphs / A.V. Borvskikh, K.P. Lazarev // Journal of Mathematical Sciences. Vol. 119. No. 6. 2004. P. 719-739.

63. Dekoninck B. Control of network of Euler-Bernoulli beams / B. Deko-ninck, S. Nicaise // ESAIM-COCV. 1999. V. 4. - P. 57-82.

64. Dekoninck B. Spectre des réseaux de poutres / B. Dekoninck, S. Nicaise// C.R. Acad. Sci. Paris, 1998. - T. 326, Série 1. - P. 1249-1254.

65. Dekoninck B. The eigenvalue problem for networks of beams / B. Dekoninck , S. Nicaise // Generalized Functions, Operator Theory and Dym-namical Systems, Chapman and Hall Research in Math. 1999. - P. 335-344.

66. Gaveau B. Explicit heat kernels on graphs and spectral analysis: Several complex variables./ B. Gaveau, M. Okada, T. Okada// Princeton Univ. Press. Math. Notes, 1993. - V. 38. - P. 360-384.

67. Hartman P. On disconjugacy criteria // Proc. Amer. Math.Soc. 1970. V. 24, N 2. P. 374-381.

68. Lagnese J.E. Modelling and controlability of Plate-Beam systems / J.E. Lagnese// J. Math. Systems, Estimation and Control. 1995. V. 5. - P. 141-187.

69. Lagnese J.E. Control of planar networks of Timoshenko beams / J.E. Lagnese, G. Leugering, E.J.P.G. Schmidt // SIAM J. Control Optim. -1993. V. 31. P. 780-811.

70. Lagnese J.E. Modelling of dynamic networks of thin thermoelastic beams / J.E. Lagnese, G. Leugering, E.J.P.G. Schmidt// Math. Meth. Appl. Sci. 1993. V. 16. - P. 327-358.

71. Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. Modelling, analysis and control of dynamic elastic multi-link structures. / J.E. Lagnese, G. Leugering, E.J.P.G. Schmidt // Birkh "auser, Boston, 1994.

72. Lumer G. Connecting of local operators and evolution equations on network / G. Lumer// Lect. Notes Math. 1980. V. 787. Springer, Berlin. -P. 219-234.

73. Nicaise S. Estimées du spectre du laplasien sur un réseau topologique fini / S. Nicaise // C.R.Acad.Sc.Paris. 1986. - T. 303, série 1. N 8.- P. 343-346.

74. Nicaise S. Le laplacien sur les reseaux deux-dimensionnels polygonaux topologiques / S. Nicaise // J.-Math.-Pures-Appl. (9). 67 1988. №. 2, - P. 93-113.

75. Nicaise S. Diffusion sur les espaces ramifiés / S. Nicaise// Thesis. Université de Mons, 1986. fini // C.R.Acad.Sc.Paris. 1986. t. 303, série 1. N 8. P. 343-346.

76. Nicaise S. Approche spectrale des problèmes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise// Lecture Notes in Math., 1987. V. 1235, P. 120-140.

77. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve impuis transmission / S. Nicaise// Lect.Notes Math. N 1771. SpringerVerlag, 1985. P. 532-541.

78. Polya G. On the mean-value theorem corresponding to a given homogeneous differential equation // Trans. Amer. Math. Soc. 1922. V. 24. P. 312-324.

79. Roth J.-P. Spectre du laplacien sur un graph / J.-P. Roth // C.R.Acad. Sc. Paris. 1983. - T. 296, - P. 783-795.

80. Roth J.-P. Le spectre du laplasien sur un graphe / J.-P. Roth // Lect. Notes Math. Springer-Verlag, 1984. - P. 521-539.

81. Schmidt E.J.P.G. On the modelling and exact controlability of networks of vibrating strings / E.J.P.G. Schmidt // SIAM J. Control Optim. -1992. V. 30. P.229-245.

82. Tautz J. Transmission of vibration accross honeycombs and its detection by bee leg receptors / J. Tautz, M. Lindauer, D.C. Sandeman //J. Experimental Biology, 1999, V. 199. - P. 2585-2594.