Математическое моделирование колебательных процессов на графе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Литвинов Дмитрий Анатольевич

• Литвинов Дмитрий Анатольевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Литвинов Дмитрий Анатольевич

Введение

1 Математическая модель малых деформаций растянутой сетки из струн с локализированными особенностями. Модифицированный метод каскадной декомпозиции

1.1 Определение и описание геометрической сети

1.2 Вариационное обоснование математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн с локализованными особенностями

1.3 Корректность математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн с локализованными особенностями

1.4 функция влияния

1.5 Порядок роста собственных значений

1.6 Каскадная декомпозиция

1.6.1 Построение решения задачи управления на основе метода каскадной декомпозиции

1.6.2 Обратная связь

1.6.3 Нахождение ограничения для компонентов краевых условий, наложенных на функции состояния и управления

2 Математическая модель малых колебаний струны

2.1 Вывод модели

2.2 Единственность решения математической модели вынужденных колебаний струны

2.3 О разложении функций из Е в ряд Фурье по собственным функциям

2.4 Обоснование возможности применения метода Фурье

3 Адаптация метода конечных элементов для математических моделей с негладкими решениями

3.1 Построение алгоритма для математической модели, описывающей малые деформации

3.2 Об оценке погрешности

3.3 Адаптация метода конечных элементов для математической модели, описывающей малые колебания сетки из струн

3.4 Оценка скорости сходимости

4 Комплекс программ для реализации численных экспериментов

4.1 Основные сведения

4.2 Программа для реализации численных экспериментов для динамической системы с заданными краевыми и промежуточными условиями

4.3 Программа для реализации численных экспериментов для начально-краевой задачи, описывающей малые колебания сетки из струн

5 Численные эксперименты

5.1 Первый численный эксперимент

5.2 Второй численный эксперимент

5.2.1 Приближенное решение системы в табличном виде

5.2.2 Графики приближенного решения системы

Заключение

Литература

Приложение

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование колебательных процессов на графе»

Актуальность темы.

В последние десятилетия возрастает актуальность моделирования и исследований процессов в науке и технических приложениях, имеющих характер сетей, прежде всего в тех областях, где такая особенность обусловлена геометрическими свойствами исследуемых объектов. Прежде всего это заметно в бурно развивающихся приложениях нанотехноло-гий, где субатомный характер технологических задач предполагает кардинально новые подходы в моделировании процессов и явлений, проходящих в линейных фрагментах изучаемого объекта. Это только одно из возможных приложений математических моделей, которые используют формализмы эволюционных систем с локализованными особенностями на геометрических графах. Группа математиков, работавших под руководством профессора Ю.В. Покорного, создала качественную теорию краевых задач второго порядка на геометрическом графе. К настоящему времени для уравнений второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами, рассматриваемых на геометрических графах, изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, вопрос о структуре спектра, получен аналог осцилляционной теоремы Штурма, установлен аналог формулы Даламбера, разработаны алгоритмы для численного решения. Начато исследование задач на графе, когда коэффициенты и правая часть не только не являются непрерывными, но и могут иметь особенности типа дельта-функций и их производ-

ных. Здесь можно отметить работы следующих авторов: Ю.В. Покорного [9,17-23,37,38], О.М. Пенкина [16,36], В.Л. Прядиева [27], A.B. Боровских [2], В.В. Провоторова [10,11,15,24-26], В.А. Юрко [28-30], М.Ш. Бурлуцкую, А.П. Хромова [3-8], Ali-Mehmeti F. [31], Belov J. [32], Lagnese J.E. [34], Nicaise S. [33,35], Rannacher R. [39], Roth J.P. [40,41] и других. Актуальность диссертационной работы обусловлена необходимостью развивать имеющиеся и разрабатывать новые подходы для анализа математических моделей малых деформаций и вынужденных колебаний на геометрическом графе, численные методы и алгоритмы определения классических решений.

Цель работы. Разработка и развитие новых качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей сложной физической системы, состоящей из сетки из струн, помещенной во внешнюю среду, реализуемых в виде граничных и начально-граничных задач для дифференциальных уравнений, разработка и обоснование эффективных численных методов и алгоритмов. Реализация цели исследования осуществляется решением следующих задач как теоретического, так и практического характера:вариационное обоснование математических моделей, описывающих малые деформации и малые вынужденные колебания растянутой сетки из струн с локализованными особенностями; вариационное обоснование математической модели, описывающей малые деформации системы, состоящей из сетки из струн, помещённой во внешнюю среду; доказательство корректности рассматриваемых математических моделей; доказательство возможности применения метода Фурье; разработка численных методов для нахождения приближенного решения математических моделей с локализованными особенностями; разработка эффективных алгоритмов решения негладких граничных и начально-граничных задач, разработка комплекса программ для ЭВМ, проведение вычислительных экспериментов на тестовых задачах; решение задач прикладного характера; нахождение при-

ближенного решения математической модели, описывающей малые деформации системы, состоящей из сетки из струн.

Объект исследования. Качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей, реализуемых в виде начально-краевых задач на геометрических графах.

Методы исследования. Разработанные в диссертации методы исследования математических моделей основаны на теории математического моделирования, теории построения и обоснования метода конечных элементов для уравнений с распределенными параметрами на графе, теории графов. Основным методом является адаптированный метод конечных элементов для граничных и начально-краевых задач с локализованными особенностями, его обоснование, полученное с использованием последних разработок вычислительных методов для уравнений с особенностями.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся качественные и численные методы исследования математических моделей, описывающих малые деформации и малые вынужденные колебания растянутой сетки из струн с локализованными особенностями, численные методы и комплексы программ:

1. Вариационное обоснование математических моделей, описывающих малые деформации и малые вынужденные колебания растянутой сетки из струн с локализованными особенностями;

2. Доказательство корректности математических моделей на геометрическом графе;

3. Доказательство возможности применения метода Фурье для математической модели малых вынужденных колебаний сетки из струн с сосредоточенными массами;

4. Разработка эффективных численных методов решения рассматриваемых математических моделей (адаптация метода конечных элемен-

тов для математических моделей и сходимость приближенного решения к точному решению);

5. Разработка программного комплекса для решения задач на геометрическом графе с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

— новые подходы, при анализе математических моделей в которых основополагающим математическим объектом является единое уравнение с производной по мере;

доказательство корректности математических моделей, описывающих малые деформации и малые вынужденные колебания растянутой сетки из струн с локализованными особенностями;

— адаптация метода конечных элементов к рассматриваемым моделям;

доказательство оценки близости приближенного решения, найденного с помощью адаптированного метода конечных элементов, к точному на геометрическом графе;

^комплекс программ для решения задач на геометрическом графе с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.

Теоретическая и практическая значимость. Разработаны эффективные численные методы для программного комплекса, позволяющего найти приближенные решения рассматриваемых математических моделей. Получены оценки близости приближенного решения, найденного с помощью адаптированного метода конечных элементов, к точному на геометрическом графе. Представлены результаты тестирования численных методов на основе тестовых задач.

Область исследования. Область исследования и содержание диссертации соответствует формуле специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-

математические науки), область исследования соответствует п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п. 3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2017,2018 г.), на конференциях "Современные методы теории краевых задач" на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 2016— 20 гг.), на конференции "Актуальные проблемы ПММ" (Воронеж, 2019), на семинарах профессора Баева А. Д. (2019 г.), Каменского М. И. (2018-2019 гг.), доцента Шаброва С. А. (2020-2021 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в следующих работах: [62-81,93,94]. Из них 1 [63] издана в журнале, рекомендованном ВАК РФ, 2 [81,94] в рецензируемом издании, входящем в систему цитирования Scopus. Получено 2 свидетельства [82, 83] о регистрации программ для ЭВМ.

Личный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные автором лично.

Объём и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, библиографического списка из 90 наименований и приложения, в котором приводятся тексты разработанных программ, написанных на Python. Работа изложена на 149 страницах.

Основное содержание работы. Во введении обоснована актуальность работы, формулируется цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных в диссертационной работе результатов.

В работе изучается Г^ геометрическая сеть из Яп, реализованная в виде открытого геометрического графа. Считается, что Г состоит из некоторого набора непересекающихся интервалов

7« = (аг, Ьг) = {х = аг + Л(Ь - а«) : 0 < Л < 1}, (г = 1, 2,..., N),

называемых ребрами и некоторой совокупности их концов. Множество этих концов обозначается далее через I(Г), каждая его точка называется

Г

пых в I(Г) называются граничными или тупиковыми вершинами Г, их множество обозначается через дГ. Объединение всех ребер обозначается через Я(Г). Тем самым, Г = Я(Г) и I(Г). На Г индуцируется топология из Яп. Любое связное открытое подмножество Г будем называть подграфом Г Подграф Г0 С Г имеет внутренние вершины только из I(Г),

Г

Более того, всегда будет считаться, что I(Г0) = I(Г) П Г0. С граничными для Г0 вершинами ситуация другая. Их множество дГ0 может содержать точки, не входящие ни в дГ, ни в I(Г). Это случается тогда, когда точка а Е дГ0 оказывается внутренней для одного из ребер графа Г. Ребра графа Г предполагаются занумерованными произвольно, их набор {7г}1=1 вместе с I(Г) определяет Г. Чтобы выделить из {7«}^ те ребра, которые примыкают к внутренней вершине введем множество Г(а&), обозначая так подграф, состоящий из внутренней вершины и примыкающих к нейориентацию в зависимости от наблюдаемого процесса. Далее мы будем постоянно употреблять слова сеть и граф как синонимы.

В дальнейшем исследовании нам также понадобятся следующие определения.

Скалярной функцией г (х) на графе Г будем называть обычное отображение г : Г ^ Я.

Всюда далее для заданной на Я(Г) функции г(х) ее сужение на ребро 7« обозначим через г«(х).

Для исследования также понадобятся специальные функции д и V, имеющие следующий вид

I 1, если ориентация выбрана от вершины € дГ,

V ) = 4 ,

I 0, если ориентация выбрана к вершине € дГ.

I 1, если ориентация на ребре выбрана к вер шине а, М»(а) = <

I 0, если ориентация на ребре выбрана от вер шины а. Г

(1.1.1)

где производная на графе определяется следующим образом

%(х)ц'(х)) = ( Ши'Ш,* € я(Г), ^Г = | £(—1)Мг(«)рМ^(а), а € I(Г),

I ¿=1

Здесь /(х)^плотность внешнего воздействия в точке ж € Г д(х)— плотность упругой реакции внешней среды в точке х € Г р(ж)— сила натяжения в точке ж € Г и(х)^отклонение точки от положения равновесия, произошедший под воздействием силы /(ж) К)^жесткости

- ^ (р(х) %)+ и(х)д(х) = / (ж), К (Ьш М^) + (-1)" )к €дг = 0,

пружин, установленных в граничных точках € дГ : и = 1,г, где г—количество точек из дГ.

Понятие интеграла на графе определяется как

/ м(х)^Г = ^^ и(а) + ^^ / м^(х)^(х), Г «€/(Г) г=1 ^

где ^^(ж)—^^^^^^^ порождающая меру па ребре 7^. Далее изучается спектральная задача. Доказана

Теорема 1.4.1, Пусть р(ж)^функцпя конечного на Г изменен ия, д(х) и /(ж) суммируемы в смысле меры, определенной па графе, и ограничены на нем, д ^ 0 на Г и т£ р(х) > 0. Более того, пусть {Лп}^собственные

х€Г

значения задачи (1.3.1), причем каждое из них является простым. Тогда ряд

то 1

/ л ч2/3+£ п=1 (Лп)

сходится при любом 6 > 0.

Во второй главе диссертации «Математическая модель малых колебаний стержня и струны» изучается математическая модель

—ш(х)м^(х, £) + (р(х)иХ(х,£))Г — м(х,^)д(х) = 0, К (Ь« )и(Ь« ,*) + (—1)"}р(Ь« )<(Ь« ,*)к Е^г = 0, и(х, 0) = ф0(х), и£(х, 0) = ф^х).

V

Здесь д(х)— плотность упругой реакции внешней среды в точке х Е Г, р(х)— сила натяжения в точке х Е Г и(х, £)—отклонение точки от положения равновесия в заданный момент времени, К(Ь«)^жесткости пру-

жин, установленных в граничных точках Ь« : эд = 1,г, т(х) — функция, равная плотности струны в точке х Е Г\1 (Г) и массе в точке х Е I(Г), ф0(х)^отклонение точки от положения равновесия в начальный момент времени, ф1(х)—начальная скорость точки.

Дается вариационное обоснование избранного подхода.

Доказана единственность решения математической модели в классе ^^множестве функций и(х, £), частная производная |Х(х, £) равномерно непрерывна па множестве (Г и дГ) х [0; Т],частные производные по переменной £ непрерывны до второго порядка па множестве (Г и дГ) х [0; Т].

Показана возможность применения метода Фурье для получения решения, а именно доказана теорема.

Теорема 2.4.1. Пусть р(х)^функция конечного на Г изменения, д(х) и ](х) суммируемы в смысле меры, определенной па графе, и ограничены на нем, д ^ 0 на Г и т£ р(х) > 0, пусть ф« — абсолютно непрерывны на

хЕГ

Г и дГ производиые ф« имеют конечное па Г и дГ изменение, (рф«) — Г-абсолютпо непрерывна на Г и дГ функцпн (1т°)(х) непрерывны на Г и дГ,

"< ( X )

ее производная абсолютно непрерывна; (/¿^0)(Ь)|Ъбдг = 0 bGdr =

0 (/¿(Ь^0))(6)|ъедг = 0. Тогда функция

u(x,t) = > ^k (x)(Ak cos

(\Akt) + -7= si^y^t)), (0.0.1) k=i ^Ak

где ^k(x)— нормированная амплитудная функция, отвечающая соб-

Ak

Ak = J m(x)^k(x)^o(x)dr, Bk = J m(x)^k(x)^i(x)dr

г г

является решением математической модели (2.4.1), причем, ряд (2.4.8) можно дифференцировать по t дважды: сначала трижды по x, потом по Г; на Г U дГ дважды: поипо Г; полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно на множестве (Г U дГ) х [0; T],

Третья глава «Адаптация метода конечных элементов для разнопорядковых математических моделей с негладкими решениями» посвящена адаптации метода конечных элементов для нахождения приближенного решения изучаемых математических моделей.

Каждое из ребер графа Г мы разобьем на N равных частей, где г—

номер ребра, точки разбиения мы обозначим через х) : ] = 0, N. Тогда

хдлЯ х е х)],

для х е [х); х)+1], (3.1.2)

Ч>\ (x) = <

j+1

0 для остальных x, j = 1, N — 1,

для x G [x0; x1],

x) = { x0—x1 L o; 1J' (3.1.3)

0 x,

. „ VNi-1 дл я x £ [x N 1; xN ], (x)H XNi—xNi-^ [ Ni—1; Ni (3.1.4)

0 для остальных x.

Приближенное решение им (x) математической модели

—df (P(x)f) + u(x)q(x) = f(x), K (bw )u(bw) + (—1)v }p(bw )uX(bw )к€дг = 0

,

1

будем искать в виде

м

Пи (ж) = ^ ^<£г(ж),

¿=1

N

где М = XXN — 1) + |1 (Г)| + |дГ|^обгцее количество базисных функ-

¿=1

ций, V—значения функции в узлов ой точке, ^¿(ж) — базисные функции, определенные выше и занумерованные некоторым образом. Доказана теорема.

Теорема 3.2.1. Пусть и(ж) — точное решение математической модели (3.1.1). -и(ж) — приближенное решение, найденное с помощью адаптированного метода конечных элементов при разбиении г—го ребра на Тогда, справедлива оценка

а(и — V, и — V) ^ С • к,

где к = тах{N} С те зависит от к, а а(и, и)^энергетнческая норма:

а(и,и)^У р(ж)и'(ж)2^ж + J и2(ж)д(ж)^Г + ^^ К )и2(Ьад).

Г Г и>=1

Приближенное решение им(ж,£) математической модели

, д2и ^ ди

т(ж) = ^ (рМ © — иМ^

К (Ьш )и(Ьш ,*) + (—1)^ )<(ЬШ ,*)к сдг = 0,

,

и(ж, 0) = ф0(ж), и£(ж, 0) = ф1(ж)

V

будем искать в виде

м

им (ж, = ^ «¿(¿)^(ж), (3.3.2),

¿=1

где а^(£)—неизвестные дважды непрерывно дифференцируемые функции, ^¿(ж)^базисные функции, определенные выше. Доказана, теорема.

Теорема 3.4.1. Пусть p(x)—функция конечного на Г изменения, q(x) и f (x) суммируемы в смысле меры, определенной на графе, и ограничены на нем, q ^ 0 на Г и inf p(x) > 0 и начальные условия таковы, что математическая модель

m(x)du = dr (P(x)fx) - u^x^ K (bw )u(bw ,t) + (-1)v (6w }p(bw )<(bw ,t)|bw €dF = 0, u(x, 0) = ^o(x), (x, 0) = ^i(x)

имеет единственное решение в классе : u(x, t) и v(x, t)^T04H0e и приближенное, найденное с помощью адаптированного метода конечных элементов. Тогда справедливо неравенство

max{(w(-, t); w(-, t)) + t); t)]}1 < ^c • \fh,

г

[(£, = / p(x)^X(x)^X(x)dx+ / ^(x)^(x)q(x)dr+^ K(bwMbw)^(bw).

г Г w=i

(3.4.2).

Здесь r—количество точек из дГ. Проведены численные эксперименты с помощью комплекса программ,написанных языке программирования Python.

Дано описание алгоритма, комплекса программ. В заключении излагаются основные результаты диссертации.

Гл яв ^^

Математическая модель малых деформаций растянутой сетки из струн с локализированными особенностями. Модифицированный метод каскадной декомпозиции

В этой главе приводятся основные понятия, используемые в работе и вариационное обоснование математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн с пружинами, установленными на границах сетки, доказана корректность рассматриваемой математической модели на геометрическом графе. На протяжении всего изложения будем пользоваться терминологией и обозначениями из [12,13,17,18,22].

1.1 Определение и описание геометрической сети

Пусть Г^ геометрическая сеть из Яп, реализованная в виде открытого геометрического графа. Если ребра сети допускают достаточно гладкую параметризацию и не имеют самопересечений, можно считать их прямолинейными интервалами (не включая в них внутренние узлы). Тем

Г

ющихся интервалов

7г = (а*, Ъ) = {ж = аг + А(Ъ — аг) : 0 < Л < 1}, (г = 1, 2,..., N),

называемых ребрами и некоторой совокупности их концов. Множество этих концов обозначим через I(Г), а каждую его точку назовем внутренней вершиной графа Г Концы интервалов те включенные в I(Г), назовем граничными вершинами, их множество обозначим через дГ, т.е. д Г = {Ъад, эд = 1, 2,..., г}. Объединение всех ребер обозначим через Я (Г). Тем самым, Г = Я(Г) и I(Г).

Г

Г

Подграф Г0 С Г имеет внутренние вершины только из I(Г), т.е. любая

Г

всегда будет считаться, что I(Г0) = I(Г) П Г0. С граничными для Г0 вершинами ситуация другая. Их множество дГ0 может содержать точки, не входящие ни в дГ, ни в I(Г) Это случается тогда, когда точка а € дГ0

ГГ

предполагаются занумерованными произвольно, их набор {7г}^=1 вместе с I(Г) определяет Г Чтобы выделить из {т«}^=1 те ребра, которые примыкают к внутренней вершине а, введем множество Г(а), обозначая так

а

ребер.

Определение 1.1.2. Скалярной функцией г (ж) на графе Г будем, называть обычное отображение г : Г ^ Я.

Всюду далее для заданной на Я(Г) функции г (ж) ее сужение на ребро обозначим через г^(ж). Г

—^ (Р(ж)Э + и(ж)д(ж) = /(ж), К (Ъш )и(Ъад) + (—1)* )<(ЪШ )к €дг = 0.

А.

с!Г

(1.1.1)

Данная модель описывает деформации растянутой сетки из струн, где

V (6™) = <

М/(а) = <

в точках 6™ Е дГ : и = 1, г установлены пружины с жесткостями К(6™), где V(6™)— число, заданное следующим образом:

1, если ориентация на ребре 7/ выбрана "от"граничной вершине 6™, 0, если ориентация на ребре 7/ выбрана "к"граничной вершины 6™,

Г

%(хК(х)) _ ( «жК(ж))/, Х Е ^(Г),

^ = | £(—1)^(а)р(аК(а), а Е I(Г),

I /=1

где д/(а) определяется следующим образом:

1, если ориентация на ребре 7/

выбрана к вершине а, 0, если ориентация на ребре 7/ выбрана от вершины а.

Если функция р(ж) дифференцируема внутри каждого ребра 7/ графа Г т0 на каждом ребре уравнение — ^Г (р(ж)+ и(ж)д(ж) = /(ж) эквивалентно классическому уравнению Штурма-Лиувилля

— (р/(ж)м/(ж))/ + д/(ж)и/(ж) = //(ж),

где и (ж), ^(ж), /(ж)—сужение функций м(ж), #(ж), /(ж) на г-ое ребро.

ГГ

Пусть на каждом ребре 7/ задана строго возрастающая в смысле ориентации этого ребра функция аДж), порождающая меру н а ребре 7/. Кроме того каждой внутренней вершине графа припишем некую неотрицательную меру, возможно нулевую. Сумму вида

N

У^ и(а) + ^^ / и/(ж)б?а/(ж)

аЕ/(Г) /=1 I

мы будем обозначать / и(ж)^Г и называть интегралом по мере а.

г

Для всякой точки £, расположенной на ребре 7г, в которой у математической модели наблюдается особенность: разрыв р или локальная особенность типа пружины для ^ или сосредоточенной силы для /¿, справедливо следующее равенство

—Д(рги'г)(£)+ и(£)ДФ(£ ) = Д/*(£),

где Дг(£) = г(£ + 0) — г(£ — 0) Здесь /¿(ж)^плотность внешнего воздействия в точке ж € 7г, где 7— г-ое ребро графа, ^¿(ж)— плотность упругой реакции внешней среды в точке ж € 7^ р^(ж)— сила натяжения в точке

ж € 7г.

Пусть $(аг) — множество точек разрыва функции аг(ж), которая порождает на каждом ребре 7^ меру аг. На 7^ введем метрику р(ж, у) = |аг(ж) - аг(у)|. Очевидно, что (7^, р) неполное метрическое пространство. Стандартное пополнение приводит к множеству, в котором каждая точка разрыва £ € $ (а) заменяется на тройку собственных элементов {£ — 0; £; £ + 0} прнчем £ — 0 и £ + 0 ранее были предельными.

В рассматриваемой математической модели (1.1.1) будем предполагать, что функция р(ж) ограниченной на Г вариации, функции д(ж) и ](ж) суммируемы в смысле меры Г, равномерно ограничены на каждом

ребре графа, причем т£ р(ж) > 0. Пусть, более того, функция д(ж) ^ 0

д(г)

на каждом ребре.

Решение рассматриваемой модели (1.1.1) будем искать в классе — абсолютно-непрерывных па Г функций и(ж), производная которых и'(ж) является на каждом ребре функцией ограниченной вариации.

Определение 1.1.3. Рассмотрим разбиение ребра, = (аг, Ъг) графа Г точками аг = ж0 < ж1 < ... < жП = Ъг, (г = 1, 2, ... N). Будем, говорить, что функция г (ж) имеет ограниченную вариацию на ребре 7^ если: 1) функция г (ж) имеет конечные пределы в вершинах а^ Ъг?

2) найдется константа С такая, что для произвольного разбиения

щ — 1

ребра сумма ^ |г^(ж*+1) — ¿¿(ж*)| ограничена константой С. ¿=0

Точную верхнюю грань значений таких сумм будем называть вариацией г (ж) на ребре 7^ и обозначать \/(г) •

ъ

Определение 1.1.4. Функцию г (ж) будем, называть функцией ограниченной вариацией на графе Г7 если:

1) функция имеет конечные пределы во всех внутренних вершинах I(Г) графа,

2) г (ж) имеет ограниченную вариацию на каждом ребре 7^ графа Г.

Сумму всех вариаций на ребрах 7^ дополненную суммой абсолютных величин всевозможных скачков во внутренних вершинах, будем называть вариацией г (ж) на графе Г и обозначать \/(г)-

г

Определение 1.1.5. Функцию г (ж) будем, называть абсолютно непре-Г

1) г (ж) является абсолют,но непрерывной на каждом ребре 7^ графа

Г

2) функция г (ж) непрерывной во всех внутренних вершинах графа

I (Г).

Определение 1.1.6. Функцию г (ж) будем, назыв ать а-абсолютно непрерывной на ребре графа Г, если для любого е > 0 существует такое 5 > 07 что какова бы ни была конечная, система попарно

непересекающихся интервалов {(а*, в)}П= 1 на ребре 7^ такая что

ni ni

XXa"«(в) — ^(а)) < ó, выполнено неравенсmeo ^ ) — z¿(üj)| < j=i j=i Функцию z(x) будем назыв ать a-абсолютно непрерывной на графе Г7

если z(x) является a-абсолютно непрерывной на каждом ребре Yí-

1.2 Вариационное обоснование математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн с локализованными особенностями

Приведем вариационное обоснование математической модели, т.е. покажем, что рассматриваемая модель возникает из задачи о минимизации квадратичного функционала (потенциальной энергии)

Ф(и) = I р(х);;(х)2 ¿т+у ^ и(х)/к (ьш) ^^.

г г г ^—1

Согласно вариационным принципам естествознания реальное состояние и(ж) системы минимизирует Ф(и) на множестве всех виртуальных (т.е. возможных) состояний. Поэтому для любой допустимой функции Л(ж) должно быть выполнено

т£ Ф(и + АЛ) = Ф(и),

Л

т.е. скалярная функция ^(А) = Ф(и + АЛ) минимизируется значением А = 0. Так как эта функция дифференцируема по А, и

гг

— [ Л(ж)/(ж)^Г + к(6^)«(6Ш)Л(6Ш),

Г ад—1

то равенство нулю этого выражения при любой допустимой Л (ж) и должно определять истинное значение и(ж)

р(ж)и'(ж)Л'(ж)^ж + J и(ж)Л(ж)д(ж)^Г — J Л(ж)/(ж)^Г+

гг

г

+ ^ к(6Ш)«(6Ш)Л(6Ш) = 0. (1.2.1)

ад—1

В дальнейшем нам понадобятся следующие результаты, доказанные в [61]. Для удобства читателей приведем их формулировки.

Теорема 1.2.1. Пусть Г — произвольный ориентированный граф, г — количество граничны,х вершин графа Г, то есть дГ = {61, 62, ..., Ьг}.

Пусть на графе Г задана абсолютно непрерывная функция и(х) и функция ограниченной вариации у(х), причем произ в о дная и'х (х) является абсолютно-непрерывной на Г, ау'Г(х) ^функцией ограниченной ваГ

У V(х)иХ(х)^х = ^Г(-1)^}и(6адМ6Ш) ^ У и(х)^Г,

Г и>=1 р

г<?е V(6ад) —число, заданное следующим образом:

\ 1, если ориентация выбрана от вершины 6^ Е дГ, V (6^) = <

[ 0, если ориентация выбрана к вершине 6^ Е дГ.

Теперь вернемся к вариационному обоснованию рассматриваемой математической модели.

Применив теорему 1.2.1 к первому интегралу в правой части равенства (1.2.1) будем иметь

I р(х)и/(х)^/(х)^х = Г (-1)'(ь- )р(6ш )и/(6ад )Л(6Ш )-

р ад=1

^ ^(х)(ри/(х))Г¿Г. (1.2.2) г

Для интеграла (1.2.2) справедливо покомпонентное представление - J ^(х)(р(х)и/(х))Г^Г = - Г У ^г(х)(рг(х)и'г(х))^.¿аг(х)-

р 7*

N

- Г Г (-1)Мг(а)МаМ«К(а). (1.2.3)

¿=1 аЕ/(Г)

Второй и третий интегралы в равенстве (1.2.1) также имеют покомпонентное представление:

j и(ж)Л(ж)д(ж)^Г = ^^у м/(ж)Л/(ж)д/(ж)^а/(ж)+

г г=17г

+ ^ и(а)Л(а)д(а) (1.2.4)

ае/(г)

и

ж

/ Л(ж)/(ж)^Г = ^ / Л/(ж)/(ж)^/(ж) + ^ Л(а)/(а). (1.2.5)

г /= { ае/(Г)

Здесь через д(а) обозначается мера точки а, которая предполагается неотрицательной и совпадает с упругостью опоры, сосредоточенной в этой точке, а /(а)-мера точкп а, равная внешней силе, сосредоточенной а

уравнение (1.2.1), получаем

^ Л(а) ( ^(-1^(а) (-р/(а)и/(а)) + и(а)?(а) - /(а) ] +

ае/(Г) \/=1 /

г = 1 7г

+ (-1)^Ж^) + ¿) К(^М^Ж^) = 0. (1.2.6)

и>=1 и>=1

Равенство (1.2.6) справедливо для всех Л, в частности для всех Л, равных 0 везде, кроме г-го ребра. Получим

J Л/(ж) (-(р/(ж)м/(ж));г. + М/(ж)^/(ж) - //(ж)) V г = 1,Ж.

и

Тогда на основе Леммы Лагранжа получаем

-(Р/(жК(ж))а, + и/(ж)^/(ж) - //(ж) = 0,

Тогда равенство (1.2.6) принимает вид

£ Л(а) ( £(—(а) (—р(аК(а)) + и(а)?(а) - /(а) ] +

а€/(Г) \г=1 /

+ £ (—ЫЬ« У(Ь« ЖЬ«) + £ К (6« )«(Ь« ЖЬ«) = 0.

«=1 «=1

Так как предыдущее равенство верно при всех Л, в частности для тех, для которых выполнено Л(а) = 0 : а € I(Г) и ) = 1, ) = 0 : эд =

1,г, = ^ получим

(—1)^'^(6,)м/(6^) + К«(6,) = 0, ; = 1,г, (1.2.7)

а также

£ Л(а) (£(—1)"(а) (—р(аХ(а)) + «(а)?(а) — /(а)^ = 0.

а€/(Г) \г=1 /

Тогда, так как предыдущее равенство верно при всех Л, в частности для тех, для которых для некоторого произвольного с € I(Г) выполнено Л(с) = 1 и Л(а) = 0; Уа € I(Г); с = а получим

N

£( —1Г(с) (— Р(сК(с)) + «(с)?(с) — /(с) = 0.

¿=1

Из предыдущих равенств очевидно, что «(ж)—решение математической модели (1.1.1).

1.3 Корректность математической модели малых деформаций растянутой сетки из струн с локализованными особенностями

В этом параграфе покажем корректность математической модели (1.1.1).

Определение 1.3.1. Математическую модель (1.1.1) будем называть невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Литвинов Дмитрий Анатольевич, 2022 год

Литература

[1] О единственности классического решения математической модели вынужденных колебаний стержневой системы с особенностями / А. Д. Баев, С. А. Шабров, Ф. В. Голованева, Меач Мон //Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математики. 2014. Л'° 2.— С. 57-63.

[2] Об одном классе дифференциальных уравнений на пространственной сети / А. В. Боровских, Р. Мустафокулов, К. П. Лазарев, Ю. В. Покорный //Доклады РАН. 1995. Т. 345, № 6. С. 730 732.

[3] Бурлуцкая, М. Ш. Резольвентный подход в методе Фурье / М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов // Доклады РАН. — 2014. — Т. 458, ..V" 2. С. 138.

[4] Бурлуцкая, М. Ш. Смешанная задача для простейшего гиперболического уравнения первого порядка с инволюцией / М. Ш. Бурлуцкая,

A. П. Хромов // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. — 2014. — Т. 14, Л" 1. С. 10-20.

[5] Бурлуцкая, М. Ш. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями / М. Ш. Бурлуцкая,

B. В. Корнев, А. П. Хромов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 9. С. 1621.

[6] Бурлуцкая, М. Ш. Метод Фурье в смешанной задаче для волнового уравнения на графе / М. Ш. Бурлуцкая // Доклады Академии наук. - 2015. - Т. 465, № 5. - С. 519.

[7] Бурлуцкая, М. Ш. Классическое решение смешанной задачи с инволюцией на графе / М. Ш. Бурлуцкая, И. В. Колесникова, Е. А. Шай-на // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математики. 2018. Л'° 1. С. 60-68.

[8] Белова, Д. В. О смешанной задаче для волнового уравнения на графе / Д. В. Белова, М. Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы : Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 28 января - 02 2021 года.Воронеж: Издательский дом В ГУ. 2021. С. 52-54.

[9] Жабко, А. П. Устойчивость слабого решения параболической системы с распределенными параметрами на графе / А. П. Жабко, В. В. Провоторов // XIII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2019 : Сборник трудов XIII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ-2019, Москва, 17-20 июня 2019 года / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. - Москва: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. - 2019. - С. 57-61.

[10] Волкова, А. С. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе / А. С. Волкова, В. В. Провоторов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2014. Л" 3. С. 3-18.

[11] Гнилицкая, Ю. А. Управление системами с распределенными параметрами на геометрическом графе / Ю. А. Гнилицкая, В. В. Прово-

торов // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. 2013. Т. 18, № 5-2. — С. 2483-2485.

[12] Давыдова, М. Б. О краевых задачах с негладкими и разрывными решениями / М. Б. Давыдова, С. А. Шабров. Саарбрюкен. 2012. — 92 с.

[13] Зверева, М. Б. Задача граничного управления дифференциальной системой с нелинейным условием / М. Б. Зверева // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2013. Л'° 2. С. 182 191.

[14] Лутц, Марк Программирование на Р\^1юп Марк Лу ги Пер. с англ. ИЗд_ —Спб.: Символ-Плюс. 2011. Т. 1. 992 с.

[15] Махинова, О. А. Разностные схемы граничных задач для дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на графе / О. А. Махинова, В. В. Провоторов, Л. Н. Баркова // Актуальные проблемы математики и информатики. Труды математического факультета. 2010. Л'° 1, — С. 63-89.

[16] Пенкин, О. М. О краевой задаче на графе / О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 4. С. 701 703.

[17] Дифференциальные уравнения на геометрических графах/ Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев и др.^М.: Физматлит. — 2004. — 272 с.

[18] Дифференциал Стилтьеса в импульсных задачах с разрывными решениями / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров, М. Б. Давыдова // Доклады РАН. 2005. Т. 428, № 5. С. 595597.

[19] Об интегрировании в вариационных неравенствах на пространственных сетях / Ю. В. Покорный, И. Ю. Покорная, В. Л. Прядиев, Н. Н. Рябцева // Математические заметки. 2007. Т. 81, № 0. С. 904-911.

[20] Покорный, Ю. В. Об уравнениях на пространственных сетях /Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев // Успехи матем. наук. - 1994. - Т. 49, Л" 4. О. 140.

[21] Покорный, Ю. В. О дифференциалах Стилтьеса на геометрических графах / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, Ж. И. Бахтина // Доклады РАН.—2008. — Т. 423, № 4. О. 452-454.

[22] Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах / Ю. В. Покорный, Ж. И. Бахтина, М. Б. Зверева, С. А. Шабров^ М. : Физматлит. — 2009. — 192 с.

[23] Покорный, Ю. В. Метод дифференциала Стилтьеса в моделировании нерегулярной системы на геометрическом графе / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, Ж. И. Бахтина // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 8. — С. 1117-1125.

[24] Провоторов, В.В. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе / В. В. Провоторов, А. С. Волкова. ^Воронеж: Научная книга. — 2014. — 187 с.

[25] Zhabko, А. P. Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph / A. P. Zhabko, V. V. Provotorov, O. R. Balaban // Vestnik of saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. — 2019. — Vol. 15, No 2. P. 187-198.

[26] Zhabko, A. P. Uniqueness solution to the inverse spectral problem with distributed parameters on the graph-star / A. P. Zhabko, К. B.

Nurtazina, V. V. Provotorov // Vestnik of saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. — 2020. — Vol. 16, No 2. — P. 129-143.

[27] Прядиев, В. Л. Рекуррентная формула для размерности пространства решений задачи Штурма Лиувилля на геометрическом графе / В. Л. Прядиев // Научные ведомости Белгород, гос. ун-та. Сер. Математика. Физика —2011. — Т. 24, № 17. С. 141-149.

[28] Юрко, В. А. О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков на компактных графах / В. А. Юрко // Доклады РАН. - 2013. - Т. 419, Л'" 5. С. 604-608.

[29] Yurko, V. Inverse Spectral Problems for Differential Pencils on Arbitrary Compact Graphs / V. Yurko // Differential Equations. — 2019. — Vol. 55, No 1. P. 24-33.

[30] Юрко, В. А. Обратные спектральные задачи для дифференциальных пучков на произвольных компактных графах / В. А. Юрко // Дифференциальные уравнения. 2019. Т. 55, № 1. С. 25-33.

[31] Ali-Mehmeti, F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Math, research. — 1994. — V. 80. — P. 279-280.

[32] Belov, J. Classical solvability of linear parabolic equations on networks. Journal of differential equation.^ 1988. — V. 72.^ P. 316-337.

[33] Dekoninck, B. The eigenvalue problem for networks of beams / B. Dekoninck, S. Nicaise // Linear Algebra and its Applications.^ 2000. V. 314, № 1 3. P. 165-189.

[34] Lagnese, J. E. Modelling analysis and control of dynamic elastic multilink structures / J. E. Lagnese, G. Leugering , E. J. P. G. Schmidt // Boston: Birkhauser. - 1994. - 390 p.

[35] Nicaise, S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams / S. Nicaise, O. Penkin // Math. Meeh. AppLM ООО.-V. 23.^ P. 1389-1399.

[36] Диаб, А. Т. О кратности собственных значений в задаче Штур-ма-Лиувилля на графах / А. Т. Диаб, Б. К. Калдыбекова, О. М. Пеп-кин // Математические заметки. — 2016. — Т. 99, № 4. — С. 489-501.

[37] An Irregular Extension of the Oscillation Theory of the Sturm-Liouville Spectral Problem / Yu. V. Pokornyi, M. B. Zvereva, S. A. Shabrov, A. S. Ishenko // Mathematical Notes. 2007. V. 82, № 3 4. P. 518521.

[38] Pokornyi, Yu. V. Toward a Sturm-Liouville Theory for an Equation with Generalized Coefficients / Yu. V. Pokornyi, S. A. Shabrov // Journal of Mathematical Sciences. 2004. Y. 119, № 6. — P. 769-787.

[39] Rannacher, R. Methods for numerical flow simulation. Institute of Applied Mathematics, University of Heidelberg, Germany, 2007. — P. 158.

[40] Roth, J. P. Spectre du laplacien sur un graphe / J. P. Roth // C. R. Acad. Sc. Paris. 1983. Y. 296. — P. 783-795.

[41] Roth, J. P. Le spectre du laplacien sur un graphe / J. P. Roth // Leet. Notes Math. Springer-Ver lag. — 1984. — P. 521-539.

[42] Sweigart, A. Core Python Applications Programming / A. Sweigart. — Third Edition, 2012.^888 p.

[43] Бугакова, H. И. Об адаптации метода конечных элементов для разнопорядковой математической модели, описывающей малые вынужденные колебания струнно-стержневой системы / Н. И. Бугакова // Международная конференция, посвященная 100 летию со дня рож-

дения Селима Григорьевича Крейна, 13-19 ноября 2017 г.-2017,-С. 57-60.

[44] Гантмахер, Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Креин. М. -Л. : Гос. изд-во техн. теорет литературы, 1950. С. 359.

[45] Головко, Н. И. О корректности одной разнопорядковой математической модели / Н. И. Головко // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практики. Т. 2. 2014. С. 2729.

[46] Головко. Н. И. Корректность разнопорядковой математической модели с негладкими решениями / Н. И. Головко // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. — Т. 3.-2015.-С. 22-26.

[47] Головко, Н. И. О применении метода Фурье к разнопорядковой математической модели / Н. И. Головко // Современные методы теории краевых задач. Материалы Международной конференции. Воронежская весенняя математическая школа. — 2017. — С. 185-187.

[48] Головко. Н. И. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. — Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ.-№ 201761960060. 01. 09. 2017.-2017.

[49] Головко. Н. И. Корректность одной разнопорядковой математической модели / Н. И. Головко, С. А. Шабров // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Международной конференции. - 2015. - С. 37-39.

[50] Иванникова, Т. А. О необходимом условии минимума квадратичного функционала с интервалом Стильтьеса и нулевым коэффициентом при старшей производной на части интервала / Т. А. Иванникова,

Е. В. Тимашова, С. А. Шабров // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. — Т. 2, № 1. С. 3-8.

[51] Левин, Б. Я. Распределение корней целых функций /Б. Я. Левин. — М. : Гос. изд. тех-теор. лит-ры. 1950. С. 632.

[52] Ловитт, У. В. Линейные интегральные уравнения / У. В. Ловитт. — М. : Гос. изд-во техн.-теорет литературы. 1957. 267 с.

[53] Малашип, А. А. Вынужденные продольные колебания гибких деформируемых предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний / А. А. Малашин // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 416, № 1. — С. 54-56.

[54] О возможности применения метода Фурье к разнопорядковой математической модели / Н. И. Головко, Ф. В. Голованева, М. Б. Зверева, С. А. Шабров // Вести. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. - 2017. 1. С. 91-98.

[55] Покорный, Ю. В. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63, № 1 (379). — С. 98141.

[56] Титчмарш, Е. Теория функций / Е. Титчмарш. — М. : Наука, 1980. — 464 с.

[57] Шабров, С. А. Адаптация метода конечных элементов для математической модели с негладкими решениями / С. А. Шабров // Вести. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, магемитики. 2016. Л'° 2.— С. 153-164.

[58] Шабров, С. А. Адаптация метода конечных элементов для разнопорядковой математической модели / С. А. Шабров, Н. И. Бугакова,

Ф. В. Голованева // Вести. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. - 2017. - № 4. - С. 120-129.

[59] Шабров, С. А. О скорости роста собственных значений одной разнопорядковой спектральной задачи с производными по мере / С. А. Шабров, Н. И. Головко // Вести. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математики. 2015. Л'° 3. — С. 186-195.

[60] Шабров, С. А. Функция влияния разнопорядковой математической модели с производными по мере. / С. А. Шабров, О. М. Родионова // Современные методы теории краевых задач. Материалы Международной конференции. — 2015. — С. 219-220.

[61] Лылов, Е. В. Математическое моделирование процессов с локализованными особенностями на геометрическом графе: Дисс. . . кандидата наук / Воронеж, гос. ун-т ; науч, рук. А. Д. Баев. — 2015г. — 140. с.

[62] Зубова, С. П. Построение управления с краевыми условиями и частичным ограничением для линейной стационарной динамической системы / С. П. Зубова , Д. А. Литвинов // Вестник ИЖГТУ им. М. Т. Калашникова. — 2016. — Вып. 2.-С. 116-118.

[63] Литвинов, Д. А. О построении обратной связи в задачах управления линейными динамическими системами. // Вестник БГТУ им. В. Г. Шухова. 2017. Л" 5.-С. 164-170.

[64] Литвинов, Д. А. Об автоматизации решения задач управления для линейной стационарной динамической системы / Д. А. Литвинов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XXV». - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга". - 2014. - С. 41-42.

[65] Литвинов, Д. А. Об ограниченности функции управления, являющейся решением линейной стационарной динамической системы. / Д. А. Литвинов // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции «Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения» 2015 г. ...V0 5,часть 2. Воронеж: Издательско-полпграфический центр "Научная книга", — 2015. — С. 27-28.

[66] Литвинов, Д. А. Поиск матрицы обратной связи для линейных динамических систем / Д. А. Литвинов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы- Воронеж, Издательский дом ВГУ. 2017. С. 112-113.

[67] Литвинов, Д. А. Численное нахождение матрицы обратной связи для линейных динамических систем / Д. А. Литвинов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы международной конференции Воронежская зимняя математическая школа - Воронеж, Издательский дом ВГУ. 2017. С. 140-141.

[68] Литвинов, Д. А. Построение линейной обратной связи для задач управления / Д. А. Литвинов // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. -ООО ИПЦ «Научная книга» , Воронеж. 2017 г. Т. 5, № 7-2 — С. 58-60.

[69] Литвинов, Д. А. Об ограниченности нормы управления для линейной стационарной динамической системы / Д. А. Литвинов // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. ООО ИПЦ «Научная книга» , Воронеж. — 2017 г.— Т. 5, Л" 8-1. — С. 257-259.

[70] Литвинов, Д. А. Нахождение минимального ограничения для нормы функции управления. / Д. А. Литвинов // Материалы между-

народной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна - 2018» -ООО ИПЦ «Научная книга», Воронеж. — 2018 г.-С. 268-269.

[71] Литвинов, Д. А. Построение минимально возможного ограничения для евклидовой нормы функции управления с помощью метода каскадной декомпозиции. / Д. А. Литвинов // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции, посвященной 90 летию Владимира Александровича Ильина(2-6 мая 2018 г. ) -Москва:МАКС Пресс. - 2018. - С. 147-148,

[72] Литвинов, Д. А. Различные способы поиска матрицы обратной связи для линейной динамической системы. Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий, Воронеж. — 2018. ..V" 3-С. 56-62.

[73] Литвинов, Д. А. Построение решения задачи управления на основе метода каскадной декомпозиции / Д. А. Литвинов, С. П. Зубова, Ю. В. Бугаев // Актуальные проблемы прикладной математики информатики и механики. Сборник трудов Международной научной конференции. Воронеж. 11-13 ноября 2019 г.— С. 827-834.

[74] Литвинов, Д. А. Построение функции управления, ограниченной по норме заданным числом / Д. А. Литвинов // Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения-ХХХ. — 2019 — С. 182-184.

[75] Использование метода каскадной декомпозиции для нахождения ограниченного непрерывного управления / Д. А. Литвинов // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2019), Сборник трудов XII Международной конференции. — 2019. — С. 203-204.

[76] Литвинов, Д. А. Построение общей формулы для функций состояния и управления методом каскадной декомпозиции / Д. А. Литвинов // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2019), Сборник трудов XII Международной конференции. — 2019. — С. 204-206.

[77] Литвинов, Д. А. Поиск матрицы обратной связи параметрическим методом / Д. А. Литвинов // Моделирование энергоинформационных процессов, Сборник материалов VII национальной научно-практической конференции с международным участием. 2019 С. 74-77.

[78] Литвинов, Д. А. Способы нахождения матрицы обратной связи в задачах управления линейными динамическими системами / Д. А. Литвинов // Моделирование энергоинформационных процессов, Сборник материалов VII национальной научно-практической конференции с международным участием. — 2019 — С. 78-84.

[79] Литвинов, Д. А. Поиск решения динамической системы модифицированным методом каскадной декомпозиции / Д. А. Литвинов // VIII Международная научно-практическая интернет конференция «Моделирование энергоинформационных процессов», Воронеж. гос. ун-т инж. технол.^2020 г.— С. 67-70.

[80] Литвинов, Д. А. О корректности одной математической задачи на графе. / Д. А. Литвинов, С. А. Шабров // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции, посвященной 80-летию Юлия Витальевича Покорного (3-9 мая 2020 г. ). Воронеж: АНО «Наука-Юнипресс». — 2020. — С. 219-220.

[81] Bugaev, Yu. V Development of solution for control problem based on cascade decomposition method / Yu. V. Bugaev, D. A Litvinov //

ЮР Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series vol 1479 012024, doi:10.1088/1742-6596/1479/1/012024, — 2020

[82] Литвинов, Д. А. Автоматизация решения задачи управления модифицированным методом каскадной декомпозиции с использованием языка программирования Python / Литвинов Д. А., В. Г Козлов., С. П. Зубова, А. А. Скрыпников, В. В. Денисенко, Р. В. Мо-гутнов , П. В. Тихомиров // Номер регистрации (свидетельства): 2020611098 Дата регистрации: 24. 01. 2020 Номер и дата поступления заявки: 2019663938 05. И. 2019, Дата публикации и номер бюллетеня: 24. 01. 2020 Бюл. № 2 1,72 Мб.

[83] Литвинов, Д. А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2021667414 Российская Федерация. Поиск решения краевой задачи на геометрическом графе: 2021665963 : заявл. 12.10.2021 : опубл. 28.10.2021 / Д. А. Литвинов, С. В. Шахов; // заявитель Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный университет инженерных технологий».

[84] Зубова, С. П. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления / С. П. Зубова, Е. В. Раецкая, Ле Хай Чунг. // АиТ. 2008. Л" 11. С. 41-47.

[85] Зубова, С. П. Решение обратных задач для линейных динамических систем каскадным методом / С. П. Зубова // Докл. АН, —2012,— Т. 447, № 6.-С. 599-602.

[86] Зубова, С. П. Инвариантность нестационарной системы наблюдения относительно возмущений определенного вида / С. П. Зубова , Е. В. Раецкая // Пробл. мат. анализа. — 2012. — Вып. 67. — С. 41-48.

[87] Зубова, С. П. О критериях полной управляемости дескрипторной системы. Полиномиальное решение задачи управления при наличии

контрольных точек / С. П. Зубова // Автоматика и телемеханика. — 2011. — Вып. 1. С. 27-41.

[88] Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления./ В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов — М.: Высшая школа. — 1989. ^448 с.

[89] Зубова, С. П. Алгоритм решения линейных многоточечных задач управления методом каскадной декомпозиции / С. П. Зубова, Е. В. Раецкая // Автоматика и телемеханики. 2017. Л'° 7.— С. 22-38.

[90] Zubova, S. P. On polynomial solutions of the linear stationary control system / S. P. Zubova, E. V. Raetskaya and Le Hai Trung. // Automation and Remote Control. - 2008. - Vol. 69, No. 11. - Pp. 18521858.

[91] Фихтенгольц, Г. M. Основы математического анализа. / Г. М. Фих-тенгольц //Том 2. — М. :Науки. 1968. 464 с.

[92] Шабров, С. А. Математическое моделирование и качественные методы анализа граничных задач с производными по мере / С. А. Шабров //: Дисс. доктора физ. мат наук Воронеж, гос. . ун-т : 2017. — 412. с

[93] Шабров, С. А. Об адаптации метода конечных элементов для математической модели на геометрическом графе / С. А. Шабров, Д. А. Литвинов // Современные методы теории функций и смежные проблемы : Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 28 января - 02 2021 года. - Воронеж: Издательский дом В Г У. 2021. С. 304-308.

[94] Shabrov, S. A Adaptation of the finite element method for a mathematical model on a geometric graph / S. A. Shabrov, D. A Litvinov

// ЮР Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series vol 1902 012087, doi:10.1088/1742-6596/1902/1/012087, — 2021

[95] Меач, Мои. Математическое моделирование колебаний струнных и стержневых систем с локализованными особенностями / Мон. Меач //: Дисс. канд. физ. мат наук Воронеж, гос. . ун-т •— 2014. —135. с

Приложение

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ

ЕЮЖАЖ ФВДИРДЩШШ

•)Ж(Ш1

СВИДЕТЕЛЬСТВО