Некоторые оптимальные оценки собственных значений задач Штурма-Лиувилля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Куралбаева, Карлыгаш Зауытбековна

• Куралбаева, Карлыгаш Зауытбековна
• кандидат физико-математических наук
• 1996

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куралбаева, Карлыгаш Зауытбековна

Введение.

Глава 1. Об оценках первого собственного значения одной задачи

Штурма-Л иувилля.

§ 1. Некоторые свойства решений линейного дифференциального уравнения второго порядка.

§ 2. Об оценках первого собственного значения в одной задаче Штурма-Лиувилля.

§ 3. Достижимость экстремальных значений первого собственного значения краевой задачи.

§ 4. О более общей задаче Штурма-Лиувилля.

§ 5. Достижимость экстремальных значений первого собственного значения в задаче Штурма-Лиувилля.

Глава 2. Об оценках наименьшего собственного значения в задачах Штурма-Лиувилля при особенностях потенциала внутри интервала.

§ 1. Об оценках первого собственного значения в случае потенциала с точечной особенностью.

§ 2. Оценки наименьшего собственного значения в случае финитного потенциала.

§ 3. Связь задачи об оценке первого собственного значения с задачами на устойчивость и колеблемость решений дифференциальных уравнений второго порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые оптимальные оценки собственных значений задач Штурма-Лиувилля»

В работе приводятся оценки наименьшего собственного значения задач Штурма-Лиувилля у"{х) + ХР{х)у(х)=0, (1) у(0) = у( 1) = 0, (2) при различных предположениях относительно функции Р(х). Уравнение вида (1) было предметом изучения многих авторов. Так, задача (1)-(2) рассматривалась Ю.В. Егоровым и В.А. Кондратьевым ([6], [7]) при условии 1

Р(х)> 0, Jp^(x)dx = 1 (3) о

Точные оценки снизу наименьшего собственного значения задачи (1)-(3) при 7=1 были получены также и И.М. Рапопортом ([13]).

Такого типа оценки получил и А.Ю. Левин [11], изучая проблему устойчивости, которая тесно связана с рассматриваемыми здесь задачами.

Подобные оценки первого собственного значения Х\(Р) могут быть получены и для других задач, например для задачи:

P(*)yT + V(*) = o, у(0) = у'(0) = 2/(1) = 2/'(1) = 0, которая была изучена авторами многих статей, например [3], [4], [15], [19], [20]. Эта задача часто встречается в приложениях и известна как задача Лагранжа или задача о наиболее прочной колонне заданного объема.

Интерес представляет также изучение Ai (Р, Q) задачи у"(х) - Q(x)y(x) + ЛР(х)у(х) = О, 2/(0) = ?/(1) = О, где функции Q{x) и Р(х) измеримые неотрицательные и такие, что вы

Одним из первых эту проблему поставил А. Ramm ([24]). Его формулировка задачи дана в случае Q(x) = 1 и а = 1. В этом частном случае задача была решена G. Talenti ([25]) и М. Essen ([22]). В общем случае задача решена J.V. Egorov и S. Кагаа ([21], [23]).

В первой главе диссертации устанавливаются некоторые свойства решений линейных и нелинейных уравнений второго порядка, которые используются в дальнейшем. В первой главе также рассмотрена задача Штурма-Лиувилля и получены оценки первого собственного значения этой задачи.

В § 1 первой главы рассматриваются следующие уравнения второго порядка: полнено

1 1 о о у"{х) + Q(x)y = 0,

4) где Q(x) измеримая неотрицательная функция, такая что 1

5) о и уравнение у"{х) + Р(х)ук{х) = 0

6) где к > 1 и Р(х) — измеримая неотрицательная функция, такая что 1 ixkp(x)ix <<7» о

Приведем некоторые результаты § 1.

Теорема 1. Пусть выполнено (5). Тогда существует единственное на [0,1) решение у(х) уравнения (4), такое что у(0) = 0, у'(0) = 1. При этом j/(x) функция непрерывная на [0,1).

Замечание. Заметим, что в литературе можно найти теорему существования и единственности для уравнения (4) в случае суммируемой Q(x).

Теорема 2. Пусть выполнено (7) и задано (3 > 0. Тогда сушеству-ет единственное на [0,1) решение у(х) уравнения (6), удовлетворяющее условию 2/(0) = 0, у'(0) = /3. При этом функция yf(x) непрерывна на [0,1).

Во § 2 настоящей главы рассматривается следующая задача Штурма-Лиувилля у"(х) + А Р(х)у{х) = 0

8)

2/(0) = 1/(1) = 0, где Р(х) —- измеримая неотрицательная функция, такая что 1 х{1 - х)Р(х) dx < +оо (9) о и I

J P^xadx = 1, (Ю) о где 7 G К, 7 Ф 0, се Е R.

В работе доказывается, что при выполнении условия (9) существует Ах(Р) > 0 собственное значение задачи (8), которому соответствует поло

И если ¡1 другое собственное значение задачи (8), то Х\(Р) < ¡л.

Условие (9) оказывается минимальным достаточным условием на функцию Р(х), при которой выполняется вариационный принцип. В работе построен пример, показывающий, что вариационный принцип может не иметь места, если не выполнено (9).

Заметим, что при Р(х) суммируемой это есть классический результат.

Множество функций Р(ж), удовлетворяющих условиям (9) и (10), обозначим через TQ)7. Тогда верна

Теорема 3. Если 7 < 0, а < — 1, то множество Та?7 пусто, в остальных случаях оно непусто.

Обозначим через где функция Р(х) Е TQj7.

Teopeivfa 4. 1. Если у > 1, а < 27 — 1, то mQ)7 > 0, иначе ша>7 = 0. 2. Если 7 < a > — 1, то Ма/У < +00, иначе MQj7 = +00.

Результат теоремы 4 легко описать на плоскости с координатами а, 7. уелч од) гаа>7 — infAi(P), Ma ,7 = sup Ai(P) p

4 <-■ I uy.

Hl ( ( С t f I (l tut iL L(A

TT

В § 3 настоящей главы рассматривается вопрос о достижимости экстремальных значений \\(Р) краевой задачи (8)-(10). Приведем некоторые результаты этого параграфа.

Теорема 5. Пусть 7 > 1, а < 27 — 1 1 f У'2 dx к = Ы —-5-^ (11)

Тогда:

1°. к достигается на некоторой функции и(х) Е 1). Функция и(х) положительная на (0,1), удовлетворяет ур¿ишемию и"{х) + киу^х1^ = О и условию 1

Г -е- ,

I и-*-1 х ах — 1. о

Такая функция и(х) единственная.

2°. Существует единственная функция Р(х) Е Та/У, такая что inf J[P, у] = J[P, u] ~ rn(y у = h. У€НЦ од)

Теорема 6. Если 7 = 1, a = 1, то ra^i = 1 и не существует функции Р{х) Е Taj7, такой что Ai(P) = Ш1д.

В случае а = 0 удается найти точные значения для т7 и М7:

Теорема 7. Если 7 > 1, тогда где В — Бета-функция Эйлера: В(а, Ь) = / ха1(1 — х)6"^1 оЬ. о

Если 7 = 1, тогда Ш! = 4, М1 — оо. Если 0 < 7 < ^, тогда

1-7)1+^2Л 1 7(1-27)± \2' 27 В2 -,— и т7 = 0.

Если 7 < 0, тогда

1 п

7(1-27)* V2 2 7

Если | < 7 < 1, тогда гп1 = 0 и М1 — оо.

Необходимо отметить, что различные функционалы типа (11) часто встречаются в литературе. Так, в работе А.П. Буслаева ([5]) рассматриваются функционалы Релея: ч N«(«4») ,, „ / Р<ОС

-' ВДе = 1

11 »'рС^г1) шах |ж(£)|, р—оо

V ¿€[0,1] ' 1

В § 4 первой главы рассматривается краевая задача (8), (9) при условии, что Р(х) удовлетворяет 1 о где 7 ф 0, 7 Е R, a Е R, ß Е BL Множество функций Р(ж), удовлетворяющих условиям (9) и (12), обозначим через

Теорема 8. Если а < 2-у - 1, /3 Е К, 7 < 0 и а Е К, (3 < 2^ - 1, 7 < О, то множество пусто, в остальных случаях — непусто.

Обозначим где Р(ж) Е Та|/3|7.

Теорема 9. 1. Если 7 > 1, а < 27 - 1, ¡3 < 27 - 1, то > 0, в остальных случаях = 0.

2. Если 7 < 1, а > 27 - 1, /3 > 27 - 1, то Ма)/3?7 > 0, в остальных случаях = 0.

Теорема 10. Если 7 = 1, а = [3 = 1, то Шхдд = 1 и не существует функции Р(х) Е Та>/такой что Ах(Р) = тхдд.

В § 5 рассматривается вопрос о достижимости экстремальных значений Ах(Р) краевой задачи (8), (9), (12). Приведем один из результатов этого параграфа.

Теорема 11. Пусть 7 <0, а > 0, /3 >0

Ша,/?,7 Ах(Р), Ма^7 = вир Ах (Р),

У Р Р 1 У'2 г = Ш о 1

1 •

Тогда

1°. к достигается на некоторой функции у(х) Е Ях(0, 1), положитель ной на (0,1), и такой что г;"(я) + Ли**-* ^1-7 (1 - 1-7 = 0, и 1

2 ^ ^ уу-1 х—(1 — :г) '-т (1х — 1. О

2°. Существует функция (¿(х) Е Та?/зл, такая что

Ш у] = Дф, V] - = Л. уеячод)

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи Штурма-Лиу-вилля при других предположениях на функцию Р(х). Так, в § 1 второй главы диссертации рассматривается задача (8), (9) при условии, что 1

-«Г*-!, где 7 е К, 7 ф 0, а Е К, 0 < с < 1.

Основной результат этого параграфа.

Теорема 12. 1. Если 7>1, а<7 — 1и7 = 1, а<0, то ша?7 > О, иначе ша>7 = 0.

2. Если 7 < а > 7 — 17 то Ма>7 < +оо, иначе Ма>7 = +оо.

В § 2 задича (8), (9) рассматривается в случае финитного потенциала: ь

РМ.о, *е[о,«], р„)5., ,61М], /р-И*-, а где 0 < а < Ь < 1.

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 13. 1. Если 7 < 1, то М7 < +оо, иначе М7 = +оо.

2. Если 7 > 17 то га7 > 0, иначе т7 = О.

В § 3 второй главы устанавливается связь результатов оценок первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с задачами на устойчивость и колеблемость решений дифференциальных уравнений второго порядка.

Приведем некоторые результаты § 3.

Рассмотрим уравнение где Р(х) непрерывная на [0,1], неотрицательная функция. Из классической теоремы Штурма о чередовании нулей решения уравнения (13) следует, что если первое собственное значение А}(Р) краевой задачи больше 1, то любое нетривиальное решение уравнения (13) может иметь самое большее один нуль на [0,1]. Наоборот, если А^Р) < 1, то всякое решение уравнения (13) имеет нуль на [0,1] и существует решение (13), имеющее больше одного нуля на [0,1]. Исходя из этого можно получить достаточные условия колеблемости или неколеблемости решений уравнения (13).

Например, справедлива

Теорема 14. Пусть у > 1, тогда если у"(х)+Р(х)у(х) = 0,

13) у" + А р(х)у = 0 у(0) - 1/(1) - О то любое решение (14) имеет не больше одного нуля на [0, оо).

Замечание. Если в (14) перейти к пределу при 7 —> оо, то получим известный результат Кнезера ([16]): если, начиная с некоторого х, имеем

О < Р(х) < 1

Ах2' то решение уравнения (14) имеет не больше одного нуля на (0,оо).

Теперь установим связь оценок собственных значений задачи Штур-ма-Лиувилля с задачей на устойчивость решения дифференциального уравнения второго порядка. Рассмотрим уравнение: у"{х) + Р(х)у = 0, (15) где Р(х) непрерывная, неотрицательная, периодическая функция:

Р(х + 1) = Р(х), -оо < х < со.

Если первое собственное значение Х\{Р) краевой задачи у" + \Р(х)у = О,

16)

2/(0) = 2/(1) - 0 больше 1, то нулевое решение уравнения (15) устойчиво по Ляпунову. Таким образом, можно утверждать, что оценки снизу Ai(P) краевой задачи (16) приводят к критериям устойчивости. Теперь несколько общих замечаний.

Очевидно, что изучение задач Штурма-Лиувилля на отрезке [0,1] не является существенным ограничением, ибо можно от х Е [а, Ь] перейти заменой t = f^f к t Е [0,1]. Также не является существенным то, что в равенствах, например (10) и (12), стоит в правой части 1. Если вместо единицы стоит некоторая константа А > 0, то заменой Q = можно

Л 7 нормировать равенства (10) и (12).

Список обозначений

1. у(х) € АС[а,1] — функция у(х) абсолютно непрерывная на отрезке М

2. у(х) Е Нх(О,1) — Н1(0,1) — это замыкание пространства С°°(0,1) г 2 \1/2 по метрике ЦуЦн1 = [] У' ¿х) 0

3. С°°(0,1) — это пространство бесконечно дифференцируемых на [0,1] функций, равных нулю в окрестности 0 и 1.

4. Р(х) 6 — измеримая неотрицательная функция, такая 1 1 что / Рх(1 - х) йх < +оо и / Р7ха( 1 - х)^ ¿Я = 1.

0 о

5. Р(х) 6 5а>7 — Р(х) измеримая неотрицательная функция, такая

1 1 что / Рх{ 1 — ж) ¿X < +00 и / Р7|х — с\а йх = 1. о о

6. к оо — последовательность функций ^(ж) равномерно сходится к ?/(ж).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куралбаева, Карлыгаш Зауытбековна, 1996 год

1. Р. Беллман. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М. И.Л., 1954.

2. О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский. Интегральное представление функций и теоремы вложения. М. Наука, 1975.

3. A.C. Братусь. // Кратные собственные значения в задачах оптимизации. Спектральные свойства систем с конечным числом степеней свободы. Журнал Вычисл. Матем. и Мат. Физики 1986. Т. 26, с. 1-7.

4. A.C. Братусь, А.П. Сейранян. // Бимодальные решения в задачах оптимизации собственного значения. Прикл. Мат. Мех. 1983, Т. 47, с. 451-457.

5. А.П. Буслаев.// О некоторых свойствах спектра нелинейных уравнений штурм-лиувиллевского типа. Матем. сбор. 1993, т. 184, № 9, с. 3-20.

6. Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев. // Об оценках первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля. Успехи матем. наук. 1984, Т.39, вып. 2, с. 151-152.

7. Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев. //Об оценке главного собственного значения оператора Штурма-Лиувилля. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Матем. Мех., 1991, № 6, с. 5-11.

8. Н.Е. Жуковский. // Условие конечности интегралов уравнения 0 + Р(х)у(х) = 0. Матем. сборник, 1892. Т. 16, вып. 3, с. 582-591.

9. А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука, 1972.

10. А. Куфнер, С. Фучик. Нелинейные дифференциальные уравнения. М. Наука, 1988.

11. А.Ю. Левин // Неосцилляция решений уравнения х^ + ^-----\~Pn(t)x = 0. Успехи матем. наук. 1969, т. 24, № 2, с. 43-96.

12. М.А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. М. Наука, 1969.

13. И.М. Рапопорт. //Об одной вариационной задаче в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Докл. АН СССР 1950, Т. 73, № 5, с. 889-890.

14. Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. И. Мир, 1979.

15. А.П. Сейранян. // Об одной задаче Лагранжа. Инж. Журнал, Механика твердого тела. 1984. Т. 19, с. 101-111.

16. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. И. ФИЗМАТ. Л. 1958.

17. Г.Г. Харди, Д.Е. Литтлвуд, Г. Полиа. Неравенства. М. И.Л., 1948.

18. G. Borg. //On a Liapounoff criterion of stability. Amer. J. Math. 71(1949), p. 67-70.

19. S.J. Cox. // The shape of ideal column. The Mathematical Intelligencer. 1992. v. 14, p. 16-24.

20. S.J. Cox, M.L. Overton. // On optimal design of columns against buckling. SIAM J. Math. Anal. 1992. Vol. 23, p. 287-325.

21. J.V. Egorov, S. Karaa. // Optimization of the first eigenvalue of Sturm-Lioville operator. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 319. Serie I, 1994, p. 793-798.

22. M. Essen. // On estimating eigenvalues of a second order linear difer-ential operator, ISNM, 80, Birkhauser, 1987, p. 347-366.

23. S. Karaa. // Extremal Eigenvalues in some Strum-Liouville problems. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 321, Serie I, 1995, p. 265-270.

24. A.G. Ramm. // Question 5 (Part 2). Notices Amer. Math. Soc., 29, 1982, p. 328-329.

25. G. Talenti. // Estimates for eigenvalues of Sturm-Liouville problems. General inequalities, 4, in W. Walter ed., Birkhauser, Boston, 1984, p. 341-350.

26. К.З. Куралбаева. //Об оценке первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля. Тезисы докладов. Дифференц. уравнен, и их приложения. Самара, 1995.

27. К.З. Куралбаева. //Об оценке первого собственного значения в одной задаче Штурма-Лиувилля. Тезисы докладов. Дифференц. уравнен, и их приложения. Самара, 1996.

28. К.З. Куралбаева. //Об оценке наименьшего собственного значения задачи Штурма-Лиувилля. Москва, МГУ, 1996, 17 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 22.05.96, N-1658-B96).

29. К.З. Куралбаева. //Об оценке первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля. Диффер. уравнения. 1996. Т. 32, № 6. с. 852-853.