Эффекты взаимодействия солитонов при наличии внешних возмущений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Соловьев, Владислав Владимирович

• Соловьев, Владислав Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соловьев, Владислав Владимирович

1. ВВЕДЕНИЕ.

2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ. ДИНАМИКА ОДИНОЧНОГО ФЛАКСОНА.Ю

2.1. Уравнения адиабатического приближения и поправка к форме солитона.

2.2. Динамика возмущенного солитона с учетом его излучения и искажения формы.

2.3. Взаимодействие флаксона с микрозакороткой.

3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕВОЗМУЩЕННЫХ СОЛИТОНОВ. МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ.

3.1. Двухсолитонные системы НУШ.

3.2. Двухсолитонные системы СГ.

3.3. Связь метода возмущений с методом обратной задачи.

4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩЕННЫХ СОЛИТОНОВ.

4.1. Системы возмущенных солитонов НУШ.

4.2. Системы солитонов двойного СГ.

4.3. Взаимодействие однополярных флаксонов в длинных

ДК. Бунчировка флаксонов.

4.4. Динамика бионов в длинных ДК.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты взаимодействия солитонов при наличии внешних возмущений»

Исследование нелинейных волновых процессов занимает одно из важных мест в современной физике. Это связано, с одной стороны, с тем, что эти процессы весьма распространены в природе и исследование их закономерностей имеет большое фундаментальное и прикладное значение. С другой стороны, открытие и достижения метода точного интегрирования нелинейных уравнений /I/ и создание на его основе теории возмущений /2/ в значительной степени обусловили возможность прогресса в исследовании этих процессов.

В предлагаемой диссертации основное внимание уделяется исследованию волновых процессов, происходящих в длинных джозефсо-новских контактах (ДК). Специфические свойства ДК, предсказанные в /3,4/» определили перспективные и многочисленные применения ДК в науке и технике /5-7/ (физике, биологии, вычислительной технике и т.д.). Укажем, например, на проблему создания СВЧ-генератора и приемника в миллиметровом диапазоне электромагнитных волн /7-12/. Для ее решения помимо ДК пригодны лишь очень немногие устройства, причем, по сравнению с последними ДК имеют ряд значительных преимуществ - низкий уровень шумов, высокая чувствительность и т.д. /12/. Имеется ряд других важных и перспективных применений устройств с ДК, обладающих уже на сегодняшний день рекордными полезными характеристиками /6,7,13-15/ (см. также библиографический указатель /5/).

Джозефсоновекий контакт - это физическая система, реализуемая в лабораторных условиях и имеющая аналитическую /4,16/, численную и аналоговую /17,18/ модели, что обусловливает возможность для всестороннего и глубокого исследования физических процессов в ДК, с большой степенью достоверности получаемых различньши методами результатов. Таким образом, помимо большого прикладного значения, исследование динамики нелинейных волновых процессов в ДК представляет принципиальный теоретический интерес.

Джозефсоновский контакт можно представить в виде двух полосок из сверхпроводника, разделенных тонким изолирующим слоем. Обозначим толщину слоя через с1 , и его эффективную диэлектрическую постоянную через . Эффекты диссипации, обусловленные током нормальных электронов поперек и вдоль контакта, можно учесть вводя поперечную проводимость (Г и продольное сопротивление Ч единицы длины контакта. Тогда волновые процессы в "одномерных" ДК можно описать возмущенным уравнением синус-Гордона (СГ) /16/ ~ ^-^иг^ = гЯ|>], (1.1)

JЬVxxt~/^)S¿nгr- ^ (1.2) где V - - магнитный поток, нормированный на величину кванта магнитного потока =■ Не /Я6 ; ос безразмерные координата и время, нормированные на характерные для ДК масштабы длины Л и времени X : здесь ЧЬ^ - плотность сверхпроводящих электронов, Ы. - С скорость распространения электромагнитных волн вдоль контакта, а " лондоновская глубина проникновения /19/.

Предположение об одномерности ДК оправдано, если ширина ДК << А . Такие ДК реализуются на практике.

Два первых члена справа в (1.2) описывают диссипацию оС,р> > О ), обусловленную током нормальных электронов поперек и вдоль контакта соответственно

Третий член моделирует повышенный ( >0 ) джозефсоновс-кий ток (микрозакоротка), локализованный в окрестности ос-О . (здесь

-дельта-функция Дирака), а последний член в (1.2) - безразмерная плотность стороннего тока, нормированная на максимальную плотность джозефсоновского тока : ^ = . Во многих приложениях считается, что сторонний ток | постоянен, поэтому мы положим = сопхЬ , хотя все изложенные ниже результаты справедливы и при достаточно медленном изменении •

Для реальных ДК значения параметров в (1.2) лежат в следующих пределах /20,21/: о- ±0%{б\ ± , с ±9 что дает возможность применения теории возмущений с малым параметром £. = тале 1^-1)^1.

Эксперименты с длинными ДК /9,10,22/, аналоговые /17/ и численные эксперименты /23-29/ свидетельствуют о том, что уравнение (1.1), (1.2) хорошо описывает ряд физических процессов, происходящих в ДК. Существенную роль в этих процессах играют солитоны, являющиеся в данном случае элементарными возбуждениями магнитного потока и потому называемые флаксонами.

В работах /9,10,22/ экспериментально показано, что характерные особенности спектра микроволнового излучения и вольтамперной характеристики ДК, представляющей собой ряд пиков тока, расположенных примерно на одинаковых интервалах по напряжению, можно объяснить исходя из представления о солитонах, осциллирующих между концами ДК. Именно эти особенности важны для различных приложений ДК, в частности, в СВЧ-генераторах и приемниках /10-12/. Поэтому исследование влияния различных возмущений (диссипации, внешнего тока и т.д.) на динамику флаксонов имеет принципиальный характер.

Если £ = О , то уравнение (I.I) решается методом обратной задачи /I/ и его простейшее и важное решение, соответствующее флаксону, имеет вид

Us = г = f ал) где dx. /olt ~ - постоянная скорость движения флаксона, а (Г — ¿ l характеризует направление магнитного потока в импульсе (полярность флаксона).

Действие диссипации и постоянного стороннего тока приводит к медленной ( d^V/dt^ ~ ) зависимости скорости флаксона d х /d~t от времени, которую можно определить, используя один из вариантов теории возмущений для солитонов /2,30-33/. Кроме того, возмущение искажает форму солитона и вызывает его изучение /2,30,31,34,35/.

Динамика одиночного флаксона с учетом возмущений типа диссипации подробно исследована в работе /33/, где показано, в частности, что действие диссипации и стороннего тока определяет устойчивое движение одиночного флаксона с постоянной скоростью.

Влияние возмущений, приводящих к быстрой зависимости скорости флаксона от времени (например, переменный ток, мелкомасштабные неоднородности ДК и т.д.) исследовано в работе /36/, где получены уравнения, описывающие динамику возмущенного флаксона с учетом его излучения и искажения формы (раздел 2.2)). С помощью этих уравнений исследовано взаимодействие флаксона с микрозакороткой (раздел 2.3), Численным методом в /36/ показано, что при достаточно быстром сближении флаксона с микро-закороткой (теория возмущений неприменима) часть кинетической энергии флаксона трансформируется в рождающейся при этом бион (связанное состояние двух разнополярных флаксонов) (раздел 2.3).

При £ — О в (1.1) взаимодействие солитонов описывается соответствующими многосолитонными формулами /I/. Однако, использование этих формул для описания взаимодействия солитонов при наличии возмущений ( £ ф О ) сопряжено со значительными математическими трудностями: даже в случае двух солитонов соответствующая задача может быть доведена до конкретных результатов лишь при определенных ограничениях. Альтернативный метод теории возмущений, предложенный в /42,43,37,38/ и получивший дальнейшее развитие в /39,40/, позволяет детально и сравнительно легко описывать влияние возмущений на взаимодействие солитонов. Этот подход основан на фундаментальном свойстве солитонов: их взаимодействие во многом аналогично взаимодействию частиц /41/. Если взаимодействующие солитоны всегда находятся достаточно далеко друг от друга, то потенциал их взаимодействия можно аппроксимировать простой функцией. Оказывается, что это ограничение эквивалентно требованию достаточно медленного сближения солитонов, но именно этот случай наиболее интересен т.к. действие малого возмущения проявляется на временах ^ !/£. ">>4. /2/. В работах /39,40/ (раздел 3) проводится детальное сравнение метода обратной задачи, дающего точное описание взаимодействия солитонов, с развиваемым там приближенным методом. Эффективность этого метода демонстрируется при исследовании роли возмущений в формировании и разрушении связанных состояний солитонов нелинейного уравнения Шредин-гера (НУШ) и "двойного" синус-уравнения Гордона (ДСГ) (разделы

4.1 и 4.2). Получены явные асимптотические решения ДСГ. Как НУШ так и ДСГ имеет ряд важных применений в физике /44-47/.

В работах /34,24,25/ предложена теория эффекта бунчировки однополярных флаксонов (раздел 4.3), обнаруженного в аналоговых /17/ и численных /16,23/ экспериментах, а затем и в реальных ДК /22/, и состоящего в том, что отталкивающиеся при £ = о од-нополярные флаксоны под действием диссипации и стороннего тока могут образовать импульс, содержащий несколько движущихся с одной скоростью флаксонов. Теория /34,24,25/ находится в хорошем согласии с результатами аналоговых /17/и численных /23-29/, а также лабораторных экспериментов /22/ в которых наблюдались импульсы ИЗ бунчированных флаксонов (bunched fluxon configurations /22/).

Из нее следует, в частности, что эффект бунчировки существует вне зависимости от учета члена с третьей производной в (1.2), который описывает (как и первый член в (1.2)) диссипацию и не меняет качественной картины этого эффекта при достаточно малых уь ( р> <, ¿.О ). Численным методом в /24,25/ продемонстрирована устойчивость импульсов, состоящих из бунчированных флаксонов при отражении их от открытых концов ДК (раздел 4.3).

Затем, метод, основанный на приближенном описании взаимодействия солитонов, был применен для исследования воздействия стороннего тока и диссипации на систему разнополярных флаксонов, в том числе бион, образованный слабосвязанными флаксонами /48/. Если сторонний ток не превышает критической величины

4 С/у- » которая однозначно определяется энергией связи флак-сона и антифлаксона в бионе, то энергия диссипирующего биона трансформируется в малые затухающие колебания. В противном случае бион распадается на несвязанные флаксон и антифлаксон /48/.

В работе /4-8/ предсказывается, что при наличии возмущения (1.2) взаимодействие биона с открытой границей ДК может привести к его трансформации в бунчированную пару однополярных флаксонов. Численным методом в работах /49,50/ этот процесс трансформации был продемонстрирован и исследован (раздел 4.4). Показано, в частности, хорошее согласие значений -¡-от следующих из теории /48/ с полученными из численного эксперимента /49,50/.

Дальнейшее исследование влияния возмущений на бион с произвольной энергией связи флаксона и антифлаксона, основанное на методе обратной задачи, проведено в работе /51/. (раздел 4.4). Здесь получены общие эволюционные уравнения для параметров возмущенного биона. С помощью этих уравнений в /51/ детально исследовано влияние возмущения (1.2) на бион как при мгновенном, так и при плавном включении стороннего тока. Получены соответствующие уравнения для значений (раздел 4.4). Кроме того, с помощью усредненных уравнений для параметров возмущенного биона, полученных в /51/, показано, что у диссипирующего биона скорость хотя и убывает со временем, тем не менее стремится к предельной скорости, сравнимой с начальной (раздел 4.4). Соответствующие результаты работы /51/ хорошо согласуются с результатами предыдущих работ /48-50/.

Таким образом, результаты работ /24,25,36,48-51/ дают достаточно полную картину динамики систем флаксонов при наличии возмущения (1.2), учитывающего основные особенности ДК (диссипация, сторонний ток). Развитый при этом метод имеет достаточно общий характер и может быть использован при исследовании влияния возмущений ЕрчГ^! другого вида на взаимодействующие солитоны.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Соловьев, Владислав Владимирович

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации изложены результаты исследований влияния возмущений на системы взаимодействующих солитонов. Основное внимание уделено динамике флаксонов в длинных джозефсоновских контактах с учетом основных факторов-внешнего тока, диссипации и неоднородности ДК. При этом получены следующие результаты.

1. Получены уравнения теории возмущений, описывающие движение "центра массы" возмущенного флаксона с учетом его взаимодействия с излучением и искажения формы /36/ (раздел 2.2).

2. Исследовано взаимодействие флаксона с микрозакороткой с учетом искажения его формы. Показано, что применимость теории возмущений ограничена как величиной неоднородности так и величиной скорости сближения флаксона с микрозакороткой. Показано хорошее количественное согласие результатов теории возмущений с результатами численных экспериментов /36/ (раздел 2.3). Численным методом показано также, что за пределами применимости теории возмущений существенны процессы излучения (трансформация части энергии флаксона в рождающийся бион) /36/ (раздел 2.3).

3. Развит метод возмущений, позволяющий аналитически детально исследовать влияние возмущений на взаимодействующие солитоны. Пот» казаны его корректность и эффективность /39,40/ (разделы 3.14.2).

4. Дано аналитическое описание эффекта бунчировки флаксонов под действием стороннего тока и диссипации. Показано хорошее количественное согласие аналитических результатов с результатами численных экспериментов /24,25,34/ (раздел 4.3).

5. Методом теории возмущений исследовано влияние стороннего тока и диссипации на бион (систему связанных разнополярных флаксонов). Получены уравнения для величины критического тока при котором бион распадается на несвязанные флаксон и антифлаксон. Если ток меньше критического, то бион диссипирует, но его скорость (в отличие от амплитуды) стремится к предельной скорости, сравнимой с начальной /51/ (раздел 4.4), Показано хорошее количественное согласие аналитических результатов с результатами численных экспериментов /49,50/ (раздел 4.4),

6. Численным методом продемонстрирован процесс трансформации биона в бунчированную пару однополярных флаксонов /49,50/ (раздел 4.4),

Выражаю глубокую благодарность проф. В.й.Карпману за научное руководство работой, полезные советы и ценные замечания.

Искренне признателен Н.А.Рябовой и Е.М.Маслову за плодотворное сотрудничество.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соловьев, Владислав Владимирович, 1984 год

1. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, 320с.

2. Karpman V.I. Soliton evolution in the presence of perturbation.» Phys.Scripta, 1979, v.20, No 3/4, p.462-478.

3. Josephson B.D. Possible new effects in superconductive tunneling. Phys.Lett., 1962, v.1, No7, p.251-253.

4. Josephson B.D. Supercurrents through barriers.-Adv. Phys., 1965, v.14, No 56, p. 419-451.

5. Головашкин А.И., Еленский В.Г., Лихарев К.К. Эффект Джозефсо-на и его применение. М.: Наука, 1983, с.218-221.

6. Schwartz В.В., Forner S. (eds.) Superconductor applications: SQVIDS and machines. Plenum, New York, 1977, 737p.

7. Лихарев К.К., Ульрих Б.Т. Системы с джозефсоновскими контактами. М: Изд-во МГУ, 1978, 447с.

8. Grims С.С., Richards P.L., Shapiro S. Par-infrared response of point contact Josephson junctions.-Phys.Rev.Lett.,1966,v.17, No 8, p.431-433.

9. Pulton T.A.,Dynes R.C. Single vortex propagation in Josephson tunnel junction.-Solid State Comm.,1973,v.12,No1,p.57-61.

10. Лихарев К.К., Мигулин В.В. Приемники миллиметрового диапазона на основе эффекта Джозефсона.-Радиотехника и Электроника, 1980, т.25, № 6, с. 1121-1142.

11. Кулик И.О., Янсон И.К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. М.: Наука, 1970, с.239-250.

12. Фултон Т.А., Дайне Р.С., Андерсон П. Переключатель потока-сдвиговый регистр на джозефсоновском переходе.-ТИИЭР, 1973, т. 61, Ш I, с.34-43.

13. Лихарев К.К. Эффект Джозефсона в вычислительной технике.-Радио, 1982, Ш 2, с.15-17.

14. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Советское радио, 1977, с. 187.

15. Uakajima К., Yamashita Т., Onodera Y. Mechanical analogue of active Josephson transmition line. J. Appl. Phys., 1974, v. 45, No 7, p.3141-3145.

16. Pulton T.A. Equivalent circuits and analogs of the Josephson effects. -In: Superconductor applications; SQVIDS and machines, eds.B.B.Schwartz,S.Porner,Plenum,Hew York,1977,p.125-187.

17. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Статистическая физика, часть 2. М.: Наука, 1978, с. 242-256.

18. Парментье Р.Д. Флаксоны в распределенных джозефсоновских контактах. В кн.: Солитоны в действии, ред. К. Лонгрен, Э. Скотт. М.: Мир, 1981, с. 185-209.

19. Salerno М., Scott А.С. Linewidth for fluxon oscillators. -Phys. Rev., 1982, v.26B, No 5, p.2474-2481.

20. Dueholm В., Levring O.A., Mygind J., Pedersen N.F.,Soerensen O.H., Cirillo M. Maltisoliton excitations in long Josephson junctions.-Phys. Rev. Lett.,1981, v.46,No 19, p.1299-1302.

21. Uakajima K., Onodera Y., Nakamura Т., Sato R. numerical analysis of vortex motion of Josephson structures.-J.Appl.Phys., 1974, v. 45, Ho9, p.4095-4099.

22. Карпман В.И., Рябова Н.А., Соловьев В.В. Взаимодействие флак-сонов в длинных джозефсоновских контактах. ЖЭТФ, 1981,т. 81, в. 4, с. 1327-1336.

23. Karpman V.I.»Ryahova Ж.A., Solov'ev V.V. Fluxon interaction in a long Josephson ¿unction.-Phys.Lett.,1981,v.85A, Uo 4, p.251-254.

24. Erne S.jKT. , Parmentier R.D. Fluxon propagation, zero-fild steps, and microwave radiation in very long Josephson tunnel junctions.-J.Appl.Phys.,1981,v.52, Uo2, p.1091-1097.

25. Erne S.N., Parmentier R.D. Loading effects on Josephson junction fluxon oscillators.-J.Appl.Phys.,1981,v.52, ПоЗ, p. 1608-1609.

26. Christiansen P.L., Lomdahl P.S.,Scott A.C., Soerensen O.H. Internal dynamics of long Josephson junction oscillation.-Appl. Phys. Lett., 1981, v.39, Ho1, p.108-110.

27. Lomdahl P.S., Soerensen O.H., Christiansen P.L. Soliton excitation in Josephson tunnel junctions.-Phys. Rev.,1982, v.25B, No 9, p.5737-5748.

28. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов. -ЖЭТФ, 1977, т. 73, в.2, с. 537-559.

29. Карпман В.И., Маслов Е.М. Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны. ЖЭТФ, 1978, т.75, в. 2, с. 504-517•

30. Gorshkov К.A., Ostrovsky L.A., Interactions of solitons in nonintegrable system: direct perturbation method and applications. -Physica, 1981, v.3D, No1+2, p.428-438.

31. Mclaughlin D.W., Scott A.C. Perturbation analysis of fluxon dynamics.-Phys.Rev.,1978, v.18A, No4, p. 1652-1680.

32. Karpman V.I., Solov'ev V.V. The influence of external perturbations on solitons in Josephson junctions.- Preprint of IZMIRAN No 25 (294), 1980, 23p.

33. Karpman 7.1., Solov'ev V.V. The influence of perturbations on the shape of a sine-Gordon soliton. Phys. Lett., 1981, v. 84A, No 2, p. 39-41.

34. Соловьев В.В. Взаимодействие флаксона с микрозакороткой. -Препринт ИЗМИРАН Ш 43 (454), 1983, 19с.

35. Karpman V.I. Interacting solitons under perturbation. Oscillatory shocks.-Phys.Lett.,1979, v.71A,No ,р.1бЗ

36. Карпман В.И. Система взаимодействующих солитонов под действием возмущений. Осцилляторные ударные волны.- ЖЭТФ, 1979,т.77, в.1, с. II4-I23.

37. Karpman V.I., Solov'ev V.V. A perturbational approach to the two—soliton systems, Preprints of IZMIRAN No 34 (262),1. No 35 (263), 1979, 42p.

38. Лаке П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны. Математика, 1969, т. 13:5, с. 128-150.

39. Горшков К.А., Островский Л.А., Папко В.В. Взаимодействие и связанные состояния солитонов как классических частиц.-ЖЭТФ, 1976, т. 71, в. 2, с. 586-593.

40. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973, с. III.

41. Bullough R.K., Caudrey P.J. The multiple sine-Gordon equati3ons in non-linear optics and in liquid^He. In: Nonlinear evolution equations solvable by the spectral transform. F. Calogero (ed), Pitman, 1978, p. 180-224.

42. Звездин А.К. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках. Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, в. 10, с. 605-610.

43. Mikeska H.J. Solitons in one-dimensional magnets, J. Appl. Phys., 1981, v.52, No 3, p. 1950-1955.

44. Karpman V.I. Breather decay into fluxon-antifluxon pair and its fransformation into bunched fluxons in a long Josephson junction. Phys. Lett., 1982, v.88A, No 4, p. 207-210.

45. Karpman V.I., Ryabova N.A., Solov'ev V.V. Breather decay into fluxon-antifluxon pair and its transformation in a long Josephson junction.—Preprint of IZMIRAN No 52a, 1981, 25p.

46. Karpman V.I.¿ Ryabova N.A., Solov'ev V.V. Numerical investigations of the fluxon-antifluxon system in a long Josephson junction.-Phys. Lett., 1982, v.92A, No 5, p. 255-257.

47. Карпман В.И., Маслов Е.М., Соловьев В.В. Динамика бионов в длинных джозефсоновских контактах. 1ЭТФ, 1983, т.84, вД, с. 289-300.

48. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. I. М.: ГИТТЛ, 1951, с. 172.

49. Karpman V.I., Solov'ev V.Y. The connection between the two forms of perturbed sine-Gordon equations.- Phys. Lett., 1981, v. 82A, No 5, p. 205-206.

50. Карпман В.И. Модифицированные законы сохранения для нелинейных волн. Письма в 1ЭТФ, 1977, т.25, в.6, с.296-299.

51. Karpman V.I., Maslov Е.М. Soliton propagation in slowly varying media.-Phys. Fluids, 1982, v.25, No 9, p. 1686-1688.

52. Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. -ЖЭТФ, 1971, т. 61, в.1, с. II8-I34.

53. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде. ЖЭТФ, 1973, т.64, в.5, с. 1627-1639.

54. Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории поля. М.:1. Наука, 1975, с. 114.

55. Pereira N.R., Chu Y.F. Damped double solitons in the nonlinear Schrodinger equation.-Phys.Fluids, 1979, v. 22, No 5, p. 874-879.

56. Newell A.C. Synchronized solitons.-J.Math. Phys., 1977, v.18, No 5, p. 922-926.6je Mason A.L. Perturbation theory for the double sine-Gordonequation.-In: Nonlinear equations in physics and mathematics. A.O.Barut (ed), Holland, 1978, p. 205-218.

57. Буллаф Р., Кодри Ф., Гиббс Г. Двойное уравнение sine-Gordon: система, имеющая физические приложения.- В кн: Солитоны.

58. Р.Буллаф, Ф.Кодри (ред.), М.: Мир, 1983, с. 130.

59. Christiansen P.L., Olsen О.Н. Reflection of fluxons on a Josephson line cavity.-Physica, 1980, v.1D, No4,p.412-419.

60. Каир D.J., Newell A.C. Solitons as particle, oscillators and in slowly changing media: a singular perturbation theory. -Proc. R. Soc. London, 1978, v.361A, No , p.413-446.

61. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, с. I33-I4I.

62. Inoue М. Bion dissociation in sine-Gordon system.-J.Phys. Soc. of Jap., 1979, v.47, No 5, p.1723-1731.

63. Olsen O.H., Samuelsen M.R. Reflection of sine-Gordon brea -there.- J.Appl. Phys., 1981, v. 52, No 4, p.2913-2917.