Динамика нелинейных длинных внутренних волн в стратифицированной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Талипова, Татьяна Георгиевна

• Талипова, Татьяна Георгиевна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Талипова, Татьяна Георгиевна

Содержание 2

Введение 4

Глава 1. Нелинейные эволюционные уравнения волновых движений стратифицированной жидкости 14

1.1. Уравнение Кортевега - де Вриза в теории волновых движений стратифицированной жидкости 15

1.2. Расширенное уравнение Кортевега-де Вриза 26

1.3. Обобщенное уравнение Гарднера для внутренних волн в горизонтально неоднородном бассейне 44

1.4. Численная модель эволюции нелинейных внутренних волн, основанная на обобщенном уравнении Гарднера 54

1.5. Выводы 66

Глава 2. Нелинейная динамика уединенных внутренних волн 68

2.1. Свойства солитонов уравнения Гарднера . 70

2.2. Генерация солитонов и бризеров из импульсных возмущений 75

2.3. Затухание солитона внутренней волны 92

2.4. Трансформация солитона в зонах с переменной по знаку квадратичной нелинейностью 107

2.5. Трансформация солитона в зонах с переменной по знаку кубической нелинейностью 128

2.6. Выводы 146

Глава 3. Нелинейная динамика пакетов внутренних волн 149

3.1. Динамика длинноволновых групп в рамках модели Гарднера 150

3.2. Самомодуляция волновых пакетов и генерация бризеров 162

3.3. Динамика «демодуляционных» волновых пакетов 176

3.4. Нелинейная эволюция периодических возмущений 184

3.5. Выводы 189

Глава 4. Трансформация нелинейных внутренних волн в горизонтальнонеоднородном океане 191

4.1. Кинематические характеристики поля внутренних волн в океане 192

4.2. Адиабатическое распространение солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане 201

4.3. Влияние нелинейности и вращения на распространение приливной внутренней волны

4.4. Моделирование и интерпретация натурных экспериментов с внутренними волнами

4.5. Статистические методы оценки повторяемости внутренних волн большой амплитуды

4.6. Выводы

Глава 5. Динамика примесей на водной поверхности в поле волн и течений

5.1. Структура пограничного волнового слоя в жидкости, покрытой пленками поверхностно-активных веществ

5.2. Динамика пленок поверхностно-активных веществ в поле нестационарных течений

5.3. Динамика пленок поверхностно-активных веществ в поле стационарных бегущих волн

5.4. Динамика примесей в поле финитных возмущений и волновых пакетов

5.5. Численное моделирование перераспределения концентрации поверхностных пленок под действием внутренних волн

5.6. Выводы

Глава 6. Генерация короткоживущих импульсов большой амплитуды

6.1. Нелинейно-дисперсионная фокусировка волн (на примере уравнения Кортевега - де Вриза)

6.2. Влияние модуляционной неустойчивости на формирование аномально больших импульсов в рамках нелинейного уравнения

Шредингера

6.3. Формирование аномальных волн в модели модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза

6.4. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика нелинейных длинных внутренних волн в стратифицированной жидкости»

Актуальность темы и цели исследования

Интерес к внутренним волнам в стратифицированной жидкости возник достаточно давно, в начале 20-го века после открытия явления «мертвой воды» (резкое увеличение сопротивления при движении надводных кораблей в море с неглубоким пикноклином). Очень быстро стало понятно, что внутренние волны являются неотъемлемой частью динамики всех естественных водоемов (морей, озер и водохранилищ) вследствие вертикальной стратификации бассейнов по температуре, солености или течению. Внутренние волны влияют на сверхдальнее распространение акустических сигналов, на движение подводных аппаратов, на размывы грунтов под нефтяными и газовыми платформами на шельфе, на продуктивность планктона, на процессы вертикального перемешивания. Многочисленные данные наблюдений внутренних волн в морях и озерах суммированы в ряде книг и обзорах [Краусс, 1968; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин, Коняев, 1991; Imberger, 1998]; здесь же можно найти основы теории распространения, генерации и затухания внутренних волн. Существует также большое количество работ по лабораторному и численному моделированию процессов генерации внутренних волн различными источниками, упомянем здесь только часть работ [Степанянц, Стурова, 1985; Стурова, 2001; Мотыгин, Стурова, 2002; Кистович, Чашечкин, 1990; Арабаджи и др., 1999; Богатырев и др., 1999].

Наиболее сильное влияние на перечисленные выше процессы оказывают внутренние волны большой амплитуды, достигающие порой 100 м. Особый интерес здесь вызывают одиночные волны — солитоны или группы солитонов (солиборы), которые могут распространяться на большие расстояния без потери энергии. Они повсеместно наблюдаются в прибрежной зоне морей, так что ответ на поставленный в 1989 году вопрос «существуют ли внутренние солитоны в океане?» [Ostrovsky, Stepanyants, 1989] к настоящему моменту стал утвердительным. Для детальных исследований свойств сильнонелинейных волн и их влияния на разнообразные процессы в океане в течение последних 10 лет были организованы специальные международные экспедиции и проведено несколько специализированных симпозиумов [Apel et al, 1985; Jeans, 1995; Duda and Farmer, 1999; Warn-Varnas et al, 2003; Small et al, 1999a,Ь]. За последние годы выполнен большой объем лабораторных исследований свойств нелинейных внутренних волн в стратифицированных бассейнах (см., например, [Michalet, Barthélémy, 1998; Maderich et al., 2001; Grue et al., 1999, 2000]). Отсюда становится ясным актуальность развития гидродинамической теории для описания динамики внутренних волн большой амплитуды.

Наибольшую популярность в теории внутренних волн получило уравнение Кортевега - де Вриза, выведенное в приближении слабой нелинейности и дисперсии еще в 1966 году [Benney, 1966]. Подчеркнем, что уравнение Кортевега -де Вриза, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости (одна из горизонтальных и вертикальная координаты). Трехмерность волновых движений приводит к модификации уравнения Кортевега - де Вриза - так называемому уравнению Кадомцева - Петвиашвили, впервые выведенному для внутренних волн в работе [Леонов, 1976]. Затем был проведен учет Кориолисовой силы, обусловленной вращением водного бассейна [Островский, 1978; Grimshaw et al, 1998]. Обобщение уравнения Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины сделано в 1978 году [Djordjevich and Redekopp, 1978]. По существу, основные идеи здесь были взяты из теории поверхностных гравитационных волн в однородной жидкости, где уравнение Кортевега — де Вриза было получено еще в 1895 году [Korteweg, de Vries, 1895]. Однако в отличие от поверхностных волн, ситуация для внутренних волн оказалась существенно более сложной. Так, еще в 1975 году в работе [Kakutani, Yamasaki, 1978] для случая внутренних волн в двухслойной жидкости было получено, что коэффициент квадратичной нелинейности обращается в нуль, если толщины слоев оказываются близкими. В этом случае необходимо выйти за первое приближение в асимптотической процедуре и выводить обобщения уравнения Кортевега - де Вриза. Такие обобщения были сделаны только для двухслойной жидкости [Koop, Butler, 1981]. Учитывая, что в естественных водоемах стратификация не сводится к двухслойной, необходимость получения расширенных уравнений Кортевега — де Вриза для жидкости с произвольной непрерывной и/или многослойной стратификацией становится актуальной. Такие работы начали выполняться только за последние 10 лет, в том числе и с участием автора [Lamb, Yan, 1996; Пелиновский и др., 2000; Grimshaw et al., 2002; Т31, Т34].

Другим важным направлением в теории внутренних волн является исследование стационарных уединенных волн — солитонов произвольной амплитуды без использования приближения слабой нелинейности. Первая работа здесь, основанная на нелинейной краевой задаче для функции тока, была еще сделана до войны [Dubriel-Jacotin, 1932] и эта идея затем была развита в работах Лонга [Long, 1956, 1972]. В случае жидкости с почти экспоненциальной стратификацией нелинейная волна может содержать замкнутый вихрь [Derzho, Grimshaw, 1997]. Аналитические результаты получены для сильно нелинейных внутренних волн в двухслойной жидкости [Choi, Camassa, 1999], в частности было доказано существование «столообразных» солитонов предельных амплитуд (в приближении Буссинеска вершина солитона находится на половине полной глубины). Недавно эта работа была обобщена для так называемой 2.5 стратификации, когда скачок плотности разделяет две жидкости с экспоненциальными стратификациями [Voronovich, 2002]. Следует, однако, сказать, что во всех перечисленных работах рассматриваются только установившиеся движения. Совсем недавно феноменологически выведено эволюционное уравнение для описания сильно нелинейных внутренних волн в двухслойной жидкости [Ostrovsky, Grue, 2003].

Естественно, что аналитические решения волновых задач механики стратифицированной жидкости в рамках исходных уравнений Эйлера или Навье - Стокса существуют только в нескольких идеализированных случаях. Благодаря растущим возможностям вычислительной техники в последние двадцать лет начали развиваться численные модели, основанные на прямом решении двумерных исходных уравнений гидродинамики (см., например, [Lamb, 1994; Vlasenko et al, 2003; Grue, et al, 1997; Канарская, 2004]). По существу, созданы численные лотки, в которых можно исследовать генерацию и распространение внутренних волн в бассейнах с произвольной стратификацией. Важно подчеркнуть, что в численных моделях сейчас учитывается переменность только глубины бассейна, а не ее стратификации по горизонтали. Следует отметить, что пока практические расчеты по этим моделям весьма трудоемки (недели непрерывного счета).

В теории внутренних волн стратификация жидкости обычно предполагается неизменной по горизонтали, что справедливо только для относительно малых экспериментальных лотков. Океанология и лимнология дает нам много примеров переменности температуры, солености и течений по горизонтали (и в диссертации частично приводятся такие данные). Их структура в теории описывается трехмерными уравнениями циркуляции океана и атмосферы, в которых внутренние волны игнорируются. «Включение» внутренних волн в такие модели пока еще дело будущего. Именно поэтому первой основной целью диссертации выбрана разработка приближенных моделей нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородной жидкости. Как будет показано далее, эта цель достигается при использовании обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза. Второй основной целью диссертации является исследование динамики внутренних волн «большой» амплитуды, когда необходимо учитывать в асимптотических разложениях члены высших порядков по нелинейности.

Научная новизна работы и основные результаты

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Выведено уравнение Гарднера (расширенное уравнение Кортевега - де Вриза) с переменными коэффициентами для описания трансформации нелинейных двумерных внутренних волн в устойчиво стратифицированной жидкости переменной глубины с учетом плавной горизонтальной неоднородности полей плотности и течений. В общем случае трехмерных внутренних волн развит лучевой метод, включающий последовательность более простых задач: расчет лучевых траекторий в горизонтальной плоскости и решение обобщенного уравнения Гарднера вдоль лучей. Предложена численная реализация этой модели.

2. Доказано, что коэффициент кубической нелинейности в уравнении Гарднера может быть любого знака, а также равен нулю (ранее предполагалось, что он отрицателен). Приведен ряд аналитических моделей плотностной стратификации жидкости, в которых удалось рассчитать величину коэффициента кубической нелинейности в явном виде. Тем самым доказана возможность распространения в стратифицированной жидкости солитонов обеих полярностей, алгебраических солитонов и бризеров -нелинейных осцилляторных пакетов, не меняющих свои параметры при распространении.

3. Исследована начальная задача (задача Коши) генерации волн для уравнения Гарднера с положительным значением коэффициента нелинейности как с помощью метода обратной задачи рассеяния, так и с помощью прямого численного моделирования. Для трех выбранных типов начальных условий (потенциалов) различной топологии описано рождение только солитонов, рождение только бризеров, и рождение стационарных импульсов обоих классов, а также дисперсионного волнового цуга, соответствующего непрерывному спектру.

4. Исследовано затухание солитонов в рамках уравнения Гарднера с различными знаками коэффициента кубической нелинейности и различными аппроксимациями диссипативных механизмов внутренних волн (горизонтальная диффузия, линейное и квадратичное придонное трение, а также интегральная диссипация в ламинарном пограничном слое). Получено, что при отрицательном знаке коэффициента кубической нелинейности затухание «столообразных» солитонов существенно зависит от типа диссипации. При положительном знаке кубической нелинейности и диссипации любого типа солитоны «положительной» полярности (совпадающие по знаку со знаком коэффициента квадратичной нелинейности) затухают, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза, а солитоны «отрицательной» полярности разрушаются, образуя затухающий бризер.

5. Рассмотрена трансформация солитонов в рамках уравнения Гарднера с проходящим через ноль коэффициентом квадратичной нелинейности. В отличие от трансформации солитона Кортевега - де Вриза показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности «столообразный» солитон одной полярности, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в столообразный солитон противоположной полярности. Если коэффициент кубической нелинейности положительный, то существуют три возможных сценария. Волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую точку практически без изменения своей формы. Солитон средней амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега - де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона вблизи критической точки, преобразуется в бризер. Солитоны малой амплитуды трансформируются, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза. Аналогичные режимы исследованы для изменяющейся по знаку кубической нелинейности.

6. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для волновых групп в рамках модели Гарднера для длинных внутренних волн. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. В области, где кубический нелинейный коэффициент уравнения Шредингера близок к нулю, то есть на границе области самомодуляционной неустойчивости, получено модифицированное уравнение Шредингера с точностью до следующего порядка, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих.

7. Ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи, выведена с помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для «фокусирующего» уравнения Гарднера. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера показано, как решением обратной задачи, так и прямым численным моделированием исходных уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой.

8. Динамика демодуляционных волновых пакетов рассмотрена как для уравнения Гарднера, так и для уравнения Кортевега - де Вриза. Показан существенно нелинейный характер трансформации волнового пакета: генерация свободных и вынужденных обертонов, среднего течения модулированным пакетом в воде, что сильно деформирует волновую группу, приводя к ее асимметрии и перекосу. При этом движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием. Эти исследования (в рамках пространственной версии уравнения Кортевега — де Вриза) подтверждены результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн в бассейне.

9. Создан атлас кинематических характеристик внутренних волн для Мирового океана, с помощью которого можно оценить горизонтальную изменчивость поля внутренних волн. Показано, что параметры линейной скорости распространения и дисперсии хорошо коррелируют с глубиной бассейна, в то время для параметров нелинейности такая корреляция отсутствует. Показано, что наличие сдвиговых течений может существенно изменять как линейные, так и нелинейные кинематические характеристики внутренних волн.

10. Исследован вклад нелинейности до второго порядка, вращения Земли и диссипации на распространение приливной внутренней волны на океанском шельфе. Результаты проведенных исследований показывают сопоставимую роль перечисленных выше эффектов на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега - де Вриза к моделям типа Гарднера.

11. Исследовано влияние горизонтально неоднородной океанической стратификации на «время жизни» солитонов внутренних волн. Показано, что на каждом из исследуемых шельфов существуют участки, где возможна адиабатическая трансформация солитонов; длина этих участков составляет от 6 км до 140 км, а время «адиабатической жизни» солитонов - от 1.5 часа до нескольких суток. Тем самым, подтверждается гипотеза об эволюционном характере солитоноподобных импульсов, часто наблюдаемых на снимках морской поверхности из космоса. Выполнены расчеты трансформации внутренних волн на полигоне, хорошо обеспеченном натурными данными, и получено хорошее согласие между расчетными и наблюдаемыми данными.

12. Рассмотрена структура пограничного вязкого слоя, покрытого пленкой поверхностно -активных веществ, у поверхности раздела вода — воздух в поле внутренней волны. Показано, что предположение о том, что поверхностно - активная пленка не влияет на структуру поля скорости внутренних волн и может рассматриваться как пассивная примесь, справедливо только для натурных условий, когда скорости распространения внутренних волн достаточно велики, а упругость натурных пленок невелика. В условиях лабораторных лотков и бассейнов, поверхность которых обычно бывает покрыта пленкой с большим модулем упругости, а скорость распространения внутренних волн мала, поверхностно - активная пленка меняет поле течений внутренней волны в вязком погранслое, вплоть до изменения знака поверхностного течения.

13. Получены точные и приближенные аналитические решения уравнения баланса примеси в поле нестационарных течений и волн. Показано, что учет нестационарных эффектов приводит к иной картине распределения поверхностной пленки в поле волновых возмущений (даже если последние представляют собой стационарно движущиеся волны), чем в стационарном случае, а выход на стационарное состояние могут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Получено, что прохождение дисперсионного пакета внутренних волн сопровождается долгоживущим длинноволновым «следом» в поле поверхностной концентрации.

14. Предложен механизм образования волн аномально большой амплитуды вследствие дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках аналитических и численных решений основных эволюционных уравнений теории внутренних волн. Показано, что экстремальная волна в рамках этого механизма почти линейная, несмотря на ее большую амплитуду. Механизм нелинейно -дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальные волны могут генерироваться и на фоне «случайных» возмущений. Выполнено сопоставление эффективности механизмов модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов на генерацию аномальных волн. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из пакетов слабой интенсивности - группы экстремальных волн.

Практическая значимость результатов работы

Практическая значимость проведенного исследования заключается в первую очередь в создании модели трансформации внутренних волн в морях и озерах с учетом реальной горизонтальной изменчивости гидрофизических полей. Предложенная модель использовалась в следующих исследовательских проектах, выполненных под научным руководством автора диссертации:

• «Исследование трансформации внутренних волн полусуточного приливного периода на Северо-Западном шельфе Австралии» - (двухсторонняя Программа сотрудничества в области науки и техники между Австралией и Россией) 1995 - 1997г.

• «Трансформация нелинейных внутренних волн в прибрежной зоне» - (РФФИ, № 96 -05 - 64108, № 00 - 05 - 64223), 1996 - 1998, 2000 - 2002, г.;

• «Численное моделирование динамики поверхностно-активных пленок в поле неоднородных и нестационарных течений» - (МНТЦ, № 1775р), 2000 - 2001г.;

• «Extreme waves» - (INTAS-99-1637), 2000 - 2002г.;

• «Impact of waves and currents on oil and other surfactants transport in coastal areas» -(INTAS -01 - 0330), 2002 - 2004r.; а также в следующих проектах, выполняемых в настоящее время

• «Нелинейная динамика стратифицированной прибрежной зоны» - (РФФИ, № 03-0564978), 2003 -2005г.,

• «Разработка рекомендаций по прогнозированию поля внутренних волн в Северном Ледовитом Океане и его морях на базе усовершенствованных математических моделей стратифицированной среды» - (подпрограмма «Исследование природы Мирового океана» федеральной целевой программы «Мировой океан»), 2003-2007г.;

• «Large amplitude Alfen waves in magnetic plasma» - (Royal Society, UK), 2003 - 2004r.;

• «Strongly nonlinear internal waves in lakes: generation, transformation and meromixis» -проект INTAS - 03-51-3728, 2004 - 2006r.;

Результаты, полученные в диссертационной работе, также использовались при составлении серии международных учебных пособий в рамках образовательского проекта TEMPUS - TASIS № JEP-10460-98: «Физическое и численное моделирование в инженерной экологии», «Контроль и прогнозирование загрязняющих веществ в реках», «Разработка сценариев экологических катастроф» [TI 1, Т52, Т61].

Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Т4-Т8, Т10-Т20, Т22-Т27, Т29 - Т67] и докладывались на следующих международных конференциях: ежегодные сессии Научного Совета РАН по нелинейной динамике, Москва, Россия, 1994 — 2003; 18-й Международный конгресс по теоретической и прикладной механике (ШТАМ), Хайфа, Израиль, 1992; Международная рабочая группа "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане», Москва, Россия, 1993; международный симпозиум "Взаимодействие океана и атмосферы", Марсель, Франция, 1993; вторая Европейская конференция по механике жидкости, Варшава, Польша, 1994; международная конференция "Динамика атмосферы и океана", Москва, Россия, 1995; международная конференция по прибрежной динамике' 95, Гданьск, Польша, 1995; конференция по динамике жидкости, Мельбурн, Австралия, 1995; Генеральная Ассамблея Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1996; Вена, Австрия, 1997; Ницца, Франция, 2000 - 2004); международная конференция «Методы вычислений и их приложение» (СТАС97), Аделаида, Австралия, 1997; ЮА1188'97, Сингапур, 1997; Евромех: «Поверхностные слики и мониторинг взаимодействия между океаном и атмосферой», Ворвик, Великобритания, 1998; Генеральная ассамблея ИЮв, (Мельбурн, Австралия, 1997; Бирмингем, Великобритания, 1999); международное совещание «Солитоны внутренних волн: физика и приложение в акустике, биологии и геологии», Сидней, Канада, 1998; международное совещание «Акустика и океанография на Малин шельфе», Великобритания, 1998; 43 ежегодная конференция австралийского математического общества, 1999 (Мельбурн, Австралия); международное совещание по моделированию Северного и Средиземного морей (ГОЫЗМСЮ), Тулон, Франция, 2000; международная конференция по поверхностным волнам в жидкости (Ньютоновский Математический институт), Кембридж, Великобритания, 2001; девятый международный симпозиум по природным и техногенным катастрофам, Анталья, Турция, 2002; международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Нижний Новгород, Россия, 2003; международная конференция «Рубежи нелинейной науки», Нижний Новгород, Россия, 2001, 2004;

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах ИПФ РАН, Нижегородского государственного технического университета, научных школ академика РАН В.И, Таланова и член-корреспондента РАН Б.В. Левина, Института океанологии РАН, Арктического и Антарктического института, Монашевском университете и Университете Нью Саус Вейлс (Австралия), университетах Лафборо и Шеффильда (Англия). Они также докладывались на семинарах в Институте теплофизики СО РАН,

Институте водных проблем (Польша), Океанском университете (Китай), Институте неравновесных физических систем и Университете Гваделупы (Франция), Национальном Сеульском университете (Корея), Тель-авивском университете (Израиль).

Автор выражает благодарность, прежде всего, научному консультанту профессору, лауреату Государственной премии России Ефиму Наумовичу Пелиновскому за большую помощь и безграничное терпение, проявленные им при обсуждении настоящей диссертации. Также автор выражает благодарность своим соавторам, профессору университета Лафборо Р. Гримшоу, совместно с которым было решено много интересных задач по динамике солитонов и волновых групп, д-ру К. Лэмбу, благодаря работе с которым была прояснена ситуация с неоднозначностью форм асимпотических уравнений следующих порядков, группе молодых исследователей: к.ф.-м.н. A.B. Слюняеву, к.ф.-м.н. O.E. Полухиной, Н.В. Полухину, A.B. Кокориной и A.A. Красилыцикову, без которых не были бы написаны многие работы, д.ф.-м.н. Ю.А.Степанянцу, стоявшему у истоков развиваемой модели, к.ф.-м.н. Куркину A.A. за большой вклад в вычислительную работу, профессору Средиземноморского университета г. Марселя К. Харифу, совместно с которым были сделаны работы по генерации волн аномальной амплитуды, а также написаны учебные пособия, зам. директора Морского гидрофизического института Украины профессору Иванову В.А., благодаря которому автор принимал участие в двух океанских экспедициях, посвященных исследованию внутренних волн, д.ф.-м.н. И.В. Лавренову, благодаря которому арктические моря вошли в круг интересов автора, д.ф.-м.н. Е.Г. Морозову, совместно с которым была сделана работа по статистике внутренних волн, д-рам Дж. Смоллу и Дж. Скотту, а также д-ру Т. Шервину, благодаря работе с которыми была поведена верификация модели по натурным данным, д-ру Н. Заибо, благодаря сотрудничеству с которым автор вышел на новый круг проблем. Я не могу не вспомнить своего друга, соавтора многих научных работ, рано ушедшего из жизни д-ра Питера Холловея, совместно с которым было проведено первое моделирование реальной океанской ситуации по развиваемой модели.

Также автор благодарит коллектив отдела 230 Института прикладной физики РАН, академика РАН В.И. Таланова, д.ф.-м.н. А.Г.Лучинина, д.ф.-м.н. Ю.И.Троицкую, И.А. Соустову, к.ф.-м.н. А.И. Малеханова, В.Н. Ильину, Т.Г. Звереву за создание благожелательной, творческой атмосферы в отделе и отделении Гидрофизики ИПФ РАН, позволившей автору закончить диссертацию.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Талипова, Татьяна Георгиевна

6.3. Выводы

В данной главе получены следующие основные результаты:

1. Предложен механизм образования волн аномально большой амплитуды вследствие дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках точных и численных решений уравнения Кортевега - де Вриза. Показано, что экстремальная волна в рамках этого эволюционного уравнения почти линейная, несмотря на большую амплитуду. Механизм нелинейно - дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальная волна генерируется из пакетов специальной формы, однако условия неоптимальности достаточно широкие. Показывается, что аномальные волны могут генерироваться на фоне и «случайных» возмущений.

2. В рамках нелинейного уравнения Шредингера рассмотрено совместное действие модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов. Показано, что в этом случае усиление волны может быть почти неограниченным за счет практически линейной стадии дисперсионного схлопывания. На больших временах нелинейность разрушает фазовые соотношения, и механизм дисперсионного сжатия становится не таким эффективным.

3. Исследован процесс возникновения аномально высоких волн в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза в случае модуляционно неустойчивого волнового поля. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из слабо интенсивных пакетов - группы экстремальных волн. Влияние нелинейности сказывается сильно на динамику коротко живущих аномально больших импульсов.

Заключение

В диссертации представлены следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Разработана модель слабонелинейных и слабодисперсионных волновых движений в стратифицированной жидкости, основанная на эволюционном уравнении Гарднера (расширенном уравнении Кортевега-де Вриза). Даны аналитические формулы для коэффициентов этого уравнения для произвольной стратификации жидкости по плотности и течению. Они рассчитаны в явном виде для некоторых типов стратификаций, а также сделаны численные расчеты для измеренных стратификаций природных водоемов. Модель включает медленно меняющуюся глубину бассейна и плавную горизонтальную неоднородность вертикальных распределений полей плотности и сдвиговых течений. В модели также учтены эффекты, связанные с вращением бассейна.

2. Полученные аналитические, асимптотические и численные решения уравнения Гарднера использованы для описания разнообразных режимов динамики солитонов. Найдены условия рождения только солитонов, только бризеров и стационарных импульсов обоих классов, а также дисперсионного волнового цуга, соответствующего непрерывному спектру. Показано, что при отрицательном знаке коэффициента кубической нелинейности затухание «столообразных» солитонов существенно зависит от типа диссипации (нелинейное трение, горизонтальная диффузия). При положительном знаке кубической нелинейности и диссипации любого типа солитоны «положительной» полярности (совпадающие по знаку со знаком коэффициента квадратичной нелинейности) затухают, как и солитоны уравнения Кортевега — де Вриза, а солитоны «отрицательной» полярности разрушаются, образуя затухающий бризер. Если коэффициент квадратичной нелинейности проходит через ноль, то показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности «столообразный» солитон, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в столообразный солитон противоположной полярности. При положительном коэффициенте кубической нелинейности найдены три возможных сценария: волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую точку адиабатически, солитон средней или малой амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега-де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон средней амплитуды «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона вблизи критической точки, преобразуется в бризер. Аналогичные режимы адиабатической и неадиабатической трансформации солитонов получены для изменяющейся по знаку кубической нелинейности.

Выведено нелинейное уравнение Шредингера для групп внутренних волн в рамках модели Гарднера. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. На границе области самомодуляционной неустойчивости, получено модифицированное уравнение Шредингера с точностью до следующего порядка, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих. Ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи теории рассеяния, выведена с помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для «фокусирующего» уравнения Гарднера. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера показано как решением спектральной задачи, так и прямым численным моделированием исходных уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой. В динамике демодуляционных волновых пакетов показан существенно нелинейный характер трансформации волнового пакета. Движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием. Эти исследования (в рамках пространственной версии уравнения Кортевега-де Вриза) подтверждены результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн.

Развитая модель применена для описания трансформации внутренних волн в горизонтально-неоднородном океане. В частности, создан атлас кинематических характеристик внутренних волн для Мирового океана, демонстрирующий горизонтальную изменчивость кинематических характеристик внутренних волн. Показано, что параметры линейной скорости распространения и дисперсии хорошо коррелируют с глубиной океана, в то время для параметров нелинейности такая корреляция отсутствует, а наличие сдвиговых течений существенно изменяет кинематические характеристики внутренних волн. Расчеты для реальных стратификаций показали сопоставимую роль квадратичной и кубической нелинейностей на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега-де Вриза к моделям типа Гарднера. Рассчитано «время жизни» солитонов внутренних волн, связанное с горизонтальной неоднородностью плотностной стратификации. Показано, что на каждом из исследуемых шельфов существуют участки, где возможна адиабатическая трансформация солитонов; длина этих участков составляет от 6 км до 140 км, а время «адиабатической жизни» солитонов - от 1.5 часа до нескольких суток. Тем самым, подтверждается гипотеза об эволюционном характере солитоноподобных импульсов, часто наблюдаемых на снимках морской поверхности из космоса. Выполнены расчеты трансформации внутренних волн на полигоне, хорошо обеспеченном натурными данными, и получено хорошее согласие между расчетными и наблюдаемыми данными.

Аналитически исследована структура пограничного вязкого слоя, покрытого пленкой поверхностно — активных веществ, у поверхности раздела вода — воздух в поле внутренней волны. Показано, что поверхностно — активная пленка не влияет на структуру поля скорости внутренних волн только в натурных условиях, когда скорости распространения внутренних волн большие, а упругость натурных пленок невелика. В условиях лабораторных лотков и бассейнов, где существует обратная ситуация, поверхностно - активная пленка меняет поле течений внутренней волны в вязком погранслое, вплоть до изменения знака поверхностного течения. Таким образом, существуют ограничения на моделирование волновых течений в приповерхностном слое в малых стратифицированных лотках. Полученные точные, приближенные и численные решения уравнения баланса примеси в поле нестационарных течений и волн подтвердили, что учет нестационарных эффектов приводит к сложной нестационарной картине распределения поверхностной пленки в поле волновых возмущений, а выход на стационарное состояние мо1ут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Получено, что прохождение дисперсионного пакета внутренних волн сопровождается долгоживущим длинноволновым «следом» в поле поверхностной концентрации.

Предложены механизмы образования внутренних волн аномально большой амплитуды в рамках модели Гарднера. Детально исследован механизм дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках аналитических и численных решений основных эволюционных уравнений теории внутренних волн. Показано, что экстремальная волна в рамках этого эволюционного уравнения почти линейная, несмотря на большую амплитуду. Механизм нелинейно-дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальная волна генерируется из пакетов специальной формы, однако условия неоптимальности достаточно широкие. Доказывается, что аномальные волны могут генерироваться на фоне и «случайных» возмущений. Выполнено сопоставление эффективности механизмов модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов на генерацию аномальных волн. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из пакетов слабой интенсивности - группы экстремальных волн.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Талипова, Татьяна Георгиевна, 2004 год

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, 480 с.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотическая теория коротких волн. М.: Наука, 1972.

3. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. 1997, Магадан, Изд-во СВНЦ ДВО РАН, 162с.

4. Березин Ю.А. Численные исследования нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск: Наука, 1977.

5. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука, 1982.

6. Богатырев С.Д. и др. Принципы построения лабораторной модели стратифицированного океана. Препринт ИПФ АН СССР. № 26. 1981. 38 с.

7. Буренков В.И., Васильков А.П. О влиянии материкового стока на пространственное распределение гидрологических характеристик Карского моря. Океанология, 1994,34, №5, 652-661.

8. Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский E.H. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. Л.: Гидрометеоиздат. 1989.

9. Горшков К.А., Соустова И.А. Взаимодействие солитонов как составных структур в модели Гарднера. Изв. ВУЗов Радиофизика, 2001, 44, 502-514.12.1516,17,1821