Волновые и гидродинамические процессы в энергетических установках, включая топливные элементы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, доктор технических наук Гасенко, Владимир Георгиевич

• Гасенко, Владимир Георгиевич
• доктор технических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор технических наук Гасенко, Владимир Георгиевич

Список основных обозначений.

Введение

В1. Современное состояние проблемы.

В2. Краткая характеристика диссертации.

Часть I. ВОЛНОВЫЕ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ДВУХФАЗНЫХ СМЕСЯХ

Глава 1 Динамика одиночных парогазовых полостей.

1.1 Формулировка задачи.

1.2 Решение внешней тепловой задачи.

1.3 Решение внутренней тепловой задачи.

1.4 Уравнение динамики парового пузырька типа Флоршица-Чао.

1.5 Численный анализ динамики паровых пузырьков.

1.6 Модель тепловой релаксации газовых пузырьков.

1.7 Устойчивость сферической формы пузырьков в звуковом поле.

1.8 Выводы.

Глава 2 Нелинейные волны умеренных амплитуд в пузырьковых средах в приближении БКВ.

2.1 Приближение БКВ для газожидкостных смесей.

2.2 Карта решений уравнения БКВ.

2.3 Тепловая релаксация нелинейных волн.

2.4 Приближение БКВ для парожидкостных смесей.

2.5 Нелинейные волны разрежения в парожидкостных средах с переменным газосодержанием.

2.6 Выводы.

Глава 3 Сильные волны в пузырьковых средах.

3.1 Приближение полной системы нелинейных уравнений.

3.2 Солитоны Рэлея.Ill

3.3 Модель двухволнового уравнения для газожидкостных смесей.

3.4Нелинейные модельные волновые уравнения высокого порядка. 123 3.5 Выводы.

Глава 4 Двумерные волны в структурированных газожидкостных смесях.

4.1 Двумерные волны в неограниченной газожидкостной среде.

4.2 Стохастизация двумерных волновых пакетов ударных трубах.

4.3 Дисперсия расслоенных газожидкостных смесей.

4.4 Аномальное затухание нелинейных волн в расслоенных газожидкостных смесях.

4.5 Нелинейные волны в неоднородных газожидкостных смесях с кластерной структурой.

4.6 Выводы.

Глава 5 Нелинейные волны в полидисперсных газожидкостных смесях.

5.1 Гамильтонов формализм описания стационарных волн в полидисперсных газожидкостных средах.

5.2Мультисолитонные уединенные волны в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков.

5.3 Сечение Пуанкаре для стационарных волн.

5.4 Нестационарная динамика нелинейных волн в полидисперсных газожидкостных смесях.

5.5 Приближение трехволнового нелинейного волнового уравнения.

5.6 Стационарные решения ТВУ.

5.7 Выводы.

Глава 6 Гидродинамические течения газо- и парожидкостных смесей.

6.1 Постановка задачи течения газожидкостных смесей с пузырьковой структурой.

6.2 Модель расчета профиля газосодержания для «ламинарных» течений пузырьковых смесей в вертикальном канале.

6.3 Метод Монте-Карло для расчета структуры течений пузырьковых смесей в вертикальном канале.

6.4 Постановка задачи высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод.

6.5 Модель.

6.6 Инженерное решение модели изоэнтальпийного истечения.

6.7 Выводы.

Часть II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОПЛИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛИМЕРНЫМ ЭЛЕКТРОЛИТОМ

Глава 7 Одномерная модель топливного элемента с полимерным электролитом.

7.1 Введение.

7.2 Постановка задачи.

7.3 Математическая модель низкотемпературного ТЭ.

7.4 Аналитические решения модели низкотемпературного ТЭ.

7.5 Результаты численных расчетов по модели ТЭПМ.

7.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волновые и гидродинамические процессы в энергетических установках, включая топливные элементы»

В1. Современное состояние проблемы

Основа современной энергетики - паротурбинные тепловые электростанции, включающие, паровой котел, (см. Рис.В.1) с рядами вертикально расположенных парогенерирующих трубок до 30 метров длиной, по высоте которых последовательно реализуются различные режимы течения двухфазной смеси: пузырьковый режим, пузырьково-снарядный, снарядный, снаряд-но-кольцевой, кольцевой, дисперсно-кольцевой и развитый дисперсный режим течения, как это показано на Рис.В.2. При больших скоростях движения двухфазных смесей, особенно в котлах с принудительной циркуляцией, вырастает роль акустических явлений. Скорость звука в газожидкостных смесях дается формулой Мэллока с0 = ур<р$ с (Бэтчелор, 1968), которая много меньше, чем скорость звука и в жидкости, и в газе, и реальных условиях может опускаться до 50м/с. Зависимость скорости звука от газосодержания показана на Рис.А.2. В парожидкостной смеси, находящейся на линии насыщения, нижний предел скорости звука - скорость звука Ландау еще на порядок меньше с\ = р0Ь / (Т^В^с) и составляет 1-2 м/с. Кроме того, двухфазная смесь с пузырьковой структурой — это сильно нелинейная среда, особенно парожидкостная смесь, в которой колебания паровых пузырьков могут закончиться их полным схлопыванием и кавитационным повышением давления в окрестности пузырька в сотни раз.

Тенденция современной энергетики — это переход на мини и микро па-рогенерирующие каналы, в которых при умеренных числах Нуссельта за счет уменьшения характерного размера можно добиться гигантских значений коэффициентов теплоотдачи, что потребует и увеличения скорости движения смеси. При сравнимых по величине скоростях течения и скоростей звука надо говорить не о гидродинамике, а о газодинамике течения. А это на порядок более трудная задача. Но без ее решения, понимания принципов и создания расчетных моделей невозможно было бы создание и конструирование ракетных двигателей, камер сгорания и сопел, паровых и газовых турбин. Аналогичные проблемы газодинамики двухфазных смесей встают и перед современной большой энергетикой.

Изучение жидкости, содержащей пузырьки газа было начато в начале нашего века Мэллоком (Mallock, 1910) и продолжено Миннаертом (Minnaert, 1933) Вторая мировая война интенсифицировала исследования в этой области. И в эти годы появились серьезные работы (Carstensen, Foldy, 1947), (Campbell, Pitcher, 1958), в которых впервые изучалось распространение звука в жидкости с пузырьками газа, и в эти годы уже были открыты основные закономерности распространения звука в таких системах. Обзор этих работ содержится в (Бэтчелор, 1968), (Венгарден, 1975), (Крайко и др., 1972). Эти исследования основаны на представлении пузырьков как отдельных источ капли дисперсно-кольцевая

- 0 о о о о t О о0 о о О о 0 в 0 Voo«1

О 0 • • в

Л" о о в О во О ООО « о о кольцевая пар ников рассеяния с последующим осреднением по ансамблю. Эта процедура формализовалась и детально изложена в (Иорданский, 1960). Однако, основные результаты в этой проблеме были получены в рамках континуальных теорий, на основе континуальных уравнений сохранения для смеси, которые в дальнейшем будем называть моделями.

Модели среды. Первые модели газожидкостной среды s\ снарядно- были созданы С.С. Кутателадзе (Кутателадзе, 1958) в fS^ 30-ые годы на основе уравнений сохранения для отдельных фаз с учетом межфазных взаимодействий. В снарядная дальнейшем. Эта модель была обобщена (Delahae, 1969) на случай сжимаемой газовой фазы. Особенность этих снарадная°" уравнений состоит в том, что они не требуют уточнения — - структуры среды. Модели пузырьков суспензий были пузырьковая созданы в работах (Zwick, 1958), (Иорданский, 1960), (Когарко, 1961), которые были обобщены в (Гарипов, 1960). В случае наличия тепломассообмена и фазовых переходов в пузырьковой смеси, необходимо пользоваться наиболее полной моделью (Нигматулин, 1970), являющейся развитием идеи взаимопроникающих сред (Рахматуллин, 1956). В этой работе строго выводятся уравнения для двухфазных систем с учетом микромасштабных течений. Достаточно пол-нойи наиболее наглядной является модель Седова-Когарко, (Седов, 1973)., где принимается, что собственными переменными давления являются плотность смеси р и вторая производная плотности по времени р. Эта модель так же определена и термодинамически. Основы построения моделей гетерогенных сред содержатся также в книге (Нигматулин, 1978).

Распространение звука в газожидкостной смеси. Кроме малости величины скорости звука, зависящей от газосодержания (см. Рис.В.2), последняя жидкость

Рис.В.2. Последовательность структур потока в вертикальной испарительной трубе. имеет дисперсию, т.е. зависит от частоты сигнала. В общем случае учета пузырьков всех размеров зависимость фазовой скорости от частоты имеет вид

Вблизи резонансной частоты в случае пузырьков одного размера (и = 1) в недиссипативной постановке = 0) имеется особенность, связанная с невозможностью возбудить прогрессивную волну на резонансной частоте. Разброс по размерам пузырьков, когда вместо суммы в (В.1) берется интеграл по всем размерам пузырьков с нормированной функцией относительного гаv3(p ) ликвидирует эту особенность. Дисперсионная кривая, описывающая зависимость фазовой скорости звука от частоты показана на Рис.2.1а с учетом (кривая 2) и без учета (кривая 1) диссипации при пульсации пузырьков. Эксперименты Фокса Керла и Ларсона (Fox et al, 1955) по определению скорости звука от частоты показали справедливость теоретической кривой (см. Рис.2.16), однако нет единой точки зрения из-за чего отсутствует «окно непрозрачности» - диссипация на пузырьках или разброс по размерам, имеющим место в реальной среде, порождающей затухание (Рютов, 1975), анало

В.1) зосодержания или учет диссипации при пульсации пузырьков

IIiIiL

О 0,1 0,5 0,7

Рис. В.З. Скорость звука в парожидкостной смеси. гичное «затуханию Ландау» (Ландау, 1946). С естественной нормальной функцией распределения a(w0) относительно некоторой средней частоты интеграл от (В. 1) не берется, искусственные же функции распределения, например, a(w0) = а / [(1 - w / wq)2 + <Sj0 ] (Изергин, 1989) дают перекрывающую окно непрозрачности дисперсионную кривую только при разбросе ширины распределения £ > w0, захватывая область отрицательных резонансных частот, что не физично. При другом распределении пузырьков по размерам -равномерном, когда в диапазоне частот wiuaH < w0/ < w0k.oh a(w0i) = const интеграл от (B.l) берется, и как будет показано далее, окно непрозрачности перекрывается полностью при вполне физических условиях наличия большого количества очень мелких пузырьков. Но такое распределение дает очень неожиданные результаты по проявлению диссипации только в селективном диапазоне частот. Частично эти эффекты рассмотрены в главе 5. В случае пузырьков одного размера картина диссипации звука на пузырьках не однозначна. Диссипативные механизмы при пульсации одиночных пузырьков детально рассмотрены в (Devin, 1959), но наиболее полные результаты по затуханию пульсирующих пузырьков получены Р.И. Нигматулиным и его школой в (Губайдуллин и др., 1976), а также в (Дынин, 1974), где показана доминирующая роль тепловой диссипации, а не диссипации за счёт движения пузырьков относительно жидкости, как предполагалось ранее (Noordzij, Van Wijngaarden, 1974). Эти результаты отражены в монографиях: (Руденко, Со-луян, 1975), (Зарембо, Красильников, 1966), (Нигматулин, 1987), (Накоряков и др., 1990).

Ударные волны в газожидкостной среде имеют свою специфику. Бездис-сипативная ударная волна в жидкости с пузырьками газа впервые была рассмотрена в (Campbell & Pitcher, 1958), где было получено соотношение типа Гюгонио. В этой работе впервые было доказано существование ударных волн в жидкости с пузырьками газа и получено выражение для скорости ударной волны с интенсивностью по давлению р без учета сжимаемости жидкости:

D = р / pep, где плотность и газосодержание в смеси берутся перед фронтом волны. Влияние сжимаемости жидкости на скорость сильной ударной волны учтено в работе (Ляхов, 1959). Расширенная формула Кэмпбела для скорости ударной волны на случай адиабатического сжатия пузырьков в волне, была получена в (Паркин, Гилмор, Броуд, 1974), где также было оценено влияние диффузии газа в жидкость в ударной волне, и ширина скачка ударного фронта в газожидкостной среде. Эксперименты Хью и Плессета, описанные в (Бэтчелор, 1968), были поставлены с целью доказать изотермичность газовых пузырьков в ударной волне, что неверно. Осциллирующая структура ударных волн в газожидкостных смесях была далеко не очевидным явлением, и в первых работах по ее структуре (Нигматулин,1970) не была обнаружена.

Структура ударных волн с учетом дисперсии впервые рассмотрена в работах (Кедринский, 1968), (Bengamin, 1966), (Wijngaarden, 1966), (Wijngaarden, 1970), (Crespo, 1969). Тщательные эксперименты и расчеты на основе модели (Иорданский, 1960) профиля давления в жидкости с пузырьками газа были сделаны Кедринским (Кедринский, 1968). Начиная с 1966 г. в указанных выше работах Бенжамином, Бэтчелором, Вингардено и Кресло был поднят вопрос о структуре ударной волны. В (Бэтчелор, 1968), исходя из общих результатов нелинейной волновой динамики, была предсказана возможность существования осцилляторной структуры у ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Существование ударных волн с осциллирующей и монотонной структурой, условия перехода одной структуры в другую, и, наконец, экспериментальное доказательство существования ударных волн с осциллирующей и монотонной структурой было сделано практически одновременно в 1971-1972 гг. в работах ИТ СО АН СССР (Накоряков и др., 1972), (Бурдуков и др., 1971), (Кутателадзе и др., 1972), (Бурдуков и др., 1973), и в Голландии - (Noordzij, 1971), (Noordzij, 1973), (Wijngaarden, 1970), (Wijngaarden, 1972). Исследования нелинейных волновых процессов далее было продолжено в целом ряде работ и в других организациях СССР, в частности новосибирской, московской, горьковской школ: (Нигматулин, Хабеев,

Шагапов, 1974), (Нигматулин, Шагапов, 1974), (Нигматулин и др., 1976), (Гельфанд и др., 1973), (Гончаров и др., 1976), (Богуславский, Григорьев, 1977), (Кузнецов и др., 1976), (Кузнецов и др., 1977), (Kuznetsov et al, 1978), (Гасенко и др., 1977), (Гасенко & Накоряков и др., 1979).

Нелинейные волны в диспергирующих средах. Жидкость с пузырьками газа является примером среды с высокой нелинейностью, диссипацией и дисперсией. Изучение нелинейной волновой динамики в диспергирующих средах началось с середины 60-х годов прошлого века, в первую очередь с изучения нелинейных волн в плазме, что существенно продвинуло развитие нелинейной волновой динамики. Со времен лорда Рассела, который скакав на лошади за солитоном (Rüssel, 1844), установил неизменность формы этого нелинейного образования, положив тем самым начало изучению нелинейных волн, прошло около века. Основы нелинейной волновой динамики с дисперсией и диссипацией, изложены в книге и обзоре (Карпман, 1973), (Карпман, Кадомцев, 1971), монографии (Уизем, 1977), лекцяхи Горьковских школ (Обзоры, 1974) и в др. работах, где представлен аппарат и методология исследования нелинейных волновых процессов в средах с дисперсией и диссипацией, которые и лежат в основе исследований волн в газожидкостных средах и парожидкостных средах с пузырьковой структурой.

Жидкость, содержащая газовые включения, является уникальной средой. Обладающей высокой нелинейностью; диссипацией, величину которой можно широко варьировать, изменяя тип газа в пузырьках и, наконец, обладает дисперсией. Высокая нелинейность смеси обеспечивает практически мгновенное проявление всех эффектов. Это важное обстоятельство для постановки экспериментов - на установках небольшой протяженности можно наблюдать эффекты нелинейной среды с дисперсией и диссипацией.

Динамика волн в газожидкостной смеси описывается в общем виде системой, состоящей из четырнадцати уравнений (Крайко и др., 1972), (Нигматулин, 1970). В этой наиболее общей модели используются законы сохранения массы, импульса и энергии, уравнение движения пузырька, учитывающее не только объемные пульсации, но относительное движение пузырьков в жидкости, уравнение сохранения количества пузырьков в смеси. Подобная модель, но в более упрощенном виде предложена в (Рахматулин, 1956), (Нигматулин, 1987).

В литературе не встречается непосредственное решение всех четырнадцати уравнений по причине их громоздкости. В ряде работ, например, (Иорданский, 1960), (Седов, 1973) предложена более простая модель, в которой уравнения сохранения массы и импульса линеаризованы и из них выводится линейное волновое уравнение. Система уравнений замыкается соотношением гомогенности и уравнением Рэлея. В этой модели из всех видов нелинейности, перечисленных выше, учитывается только один - нелинейность объемных пульсаций пузырьков.

Дальнейшее упрощение модели представляет собой сведение системы, описывающей динамику волн в газожидкостной смеси, к одному нелинейному уравнению. Из таких моделей наиболее известны уравнение КдВБ, (Нако-ряков и др., 1972, 1975, 1990), записанные в канонической форме

Щ + с0их + иих - Уэфихх + Риххх = 0 (В-2) двухволновое уравнение (Гасенко, 1978), (Гасенко и др, 1979) ихх + °{)и1 XX - со\ + 2уэ ф(ихх - с\\) + Щ2(ихх - СГ2%)« = 0 (В-3) уравнение Буссинеска, следующее из (В.2) в пренебрежении сжимаемости жидкости С] ->оо и уравнение Кляйна-Гордона (Малых, Огородников, 1977), справедливое на высокочастотной ветви дисперсионной кривой ии -с\ихх + со(и-и2 /с0) = О (В.4)

Эти уравнения в настоящее время подробно изучены. На основе их численных решений было показано, что в газожидкостной смеси могут возникать структуры вида волновых пакетов, солитонов, ударных волн с осциллирующим и монотонным профилем (Кузнецов и др., 1976), а в случае крутых фронтов начального входного сигнала из основного сигнала выделяется высокочастотный предвестник, распространяющийся со скоростью звука ы чистой дижкости и описывающийся уравнением (В.4). Получено качественное соответствие численных решений и экспериментальных данных (Кузнецови др., 1977). Область определения указанных простейших моделей сильно ограничена по амплитуде волн. Так, уравнение Буссинеска можно применять для расчета эволюции волны с амплитудой, не превышающей 0.3 МПа, а во многих случаях и с меньшей амплитудой (Кутателадзе и др., 1972).

Из всех диссипативных механизмов в газожидкостной смеси перечисленные выше модели нелинейных волновых уравнений (В.2) и (В.З) через коэффициент эффективной вязкости Уэф = {чг + \ак) / 2 учитывают только гидродинамическую вязкость Уг = 4//!/З^оА и акустические потери о уак =яосо Iс1 в волне- Однако в (Кутателадзе и др., 1972), (Бурдуков и др., 1971, 1973) экспериментально доказано, что в большинстве случаев основным механизмом затухания волн в газожидкостных смесях является тепловая релаксация, т.е. снижение скорости звука от адиабатической до изотермической. Следовательно, кроме ограничения по амплитуде волн, существенным недостатком указанных моделей является неучет тепловой релаксации. Общий подход к учету релаксационных явлений в волновой динамике заложен в (Руденко, Солуян, 1975). Суть ее в том, что на временах меньших времени выравнивания температуры t «т волновые процессы, описываемые волновым оператором Ьад протекают с замороженной скоростью звука, в нашем случае с адиабатической, а при г»т - с изотермической скоростью звука с волновым оператором Ьиз. Тогда результирующим волновым уравнением будет (Ьади)( + т~х1ши = 0. Для расчетов эволюции волн в газожидкостных смесях с учетом тепловой релаксации необходимо решать в общем случае полную систему уравнений теплообмена пузырька с жидкостью. Задача в такой постановке даже в случае радиальной симметрии тепловых полей внутри и вне каждого пузырька является двумерной. В литературе не встречается решение задачи в такой постановке. Задача теплообмена газовых пузырьков существенно упрощается, если учесть, что во многих случаях температура жидкости меняется незначительно, что позволяет решать только внутреннюю тепловую задачу (Chapman, Plesset, 1971), (Дынин, 1974).

Аналитические модели роста и схлопывания паровых пузырьков в перегретой либо недогретой жидкости, рассмотренные в (Forster, Zuber, 1954), (Plesset, Zwick, 1954), (Zuber, 1961) на основе энергетической тепловой схемы, дают корневую зависимость роста радиуса пузырька от времени R(t) = m^ja^t с константой роста т = 2Ja%/3 / ж , полученная, например, Плессетом и Цвигом в предположении, что пузырек растет только за счет испарения межфазной поверхности и теплопередачи от жидкости при температуре пара, равной температуре насыщения в целом, подтверждается экспериментально (McCann et al, 1982), (Shepherd, Strutevant, 1982), (Лесин и др., 1993). Усложнение модели как за счет учета нелинейностей разного рода, сделанное Зубером, либо кинетики фазовых переходов (Авдеев, Зудин, 2002) меняет величину константы роста, но принципиально не меняет корневую зависимость от времени. Учет инерции присоединенной массы жидкости, сделанный (Флоршютц, Чао, 1965) и (Накоряков и др., 1990) в рамках близких моделей, оказывается существенным только на стадии схлопывания пузырька, а в остальных случаях давал, как и в ранних моделях, монотонные зависимости радиуса пузырька от времени при ступенчатом изменении внешнего давления. В то же время, численные решения полной системы уравнений, проведенные в (Хабеев, 1975), (Lee, Merte, 1996), показали, что при ступенчатом изменении внешнего давления паровой пузырек вначале совершает несколько пульсаций как чисто газовый пузырек с декрементом затухания, существенно зависящим от амплитуды пульсаций, и только затем динамика изменения его радиуса начинает подчиняться корневой зависимости. Очевидно, что пульсации связаны со сжимаемостью пара, которая в указанных моделях не учитывалась. Сжимаемость пара принципиально важна при построении волновых моделей парожидкостных сред с пузырьковой структурой. Именно поэтому в существующих волновых моделях (Nigmatukin, Khabeev, 1988), (Nakoryakov et al, 1989) паровой пузырек рассматривается как чисто газовый, а фазовые переходы только как диссипативный механизм. Модель роста и схлопывания паровых пузырьков типа модели Флоршица-Чао, пригодная для построения волновой модели парожидкостных сред, допускающей полное схлопывание паровых пузырьков и учитывающей не только инерционно-тепловые механизмы, но и сжимаемость пара рассмотрена в первой главе, а волновые модели на ее основе - во второй главе.

Методы интегрирования нелинейных волновых уравнений проанализируем вначале на примере КдВ, которое вместо (В.2) при \эф - 0 запишем в традиционной для такого анализа форме щ + 6иих + иххх = 0, (В.5)

У решений КдВ с нулевыми граничными условиями на бесконечности существует бесконечное число законов сохранения, следующие при его представлении в дивергентной форме Р{+()х = 0. Вывод всех законов сохранения, найденный в (Мшга, 1968), следует из замены

2 2 и = М> + 1£М>х+ Б Ж , (В.6) приводящей к уравнению для также с нулевыми граничными условиями щ +6(Ы + £2М>2)М?х+™ххх=0 (А. 7) и очевидным законом сохранения Р = м?. Выражая м>(и) по степеням е, о

М?ц(и) + £М>Х (и) + Б М>2(и) + . (В.8) приходим к системе с общим законом сохранения Рп = м>п. При четных индексах получаем бесконечное число законов сохранения для КдВ: ~ихх ~ и 2

В.9)

2 2W2 P0=U, P2=U2, P4=up6 = u4-2иих+-^,

2 45 (B.10)

PR=u5 + 5u2u2 + uu2 - ^^

О А ЛЛ ^ J и т.д., причем только первые два закона имеют очевидный физический смысл сохранения импульса и энергии. Наличие бесконечного числа законов сохранения в гамильтоновой системе, к которым относится и уравнение КдВ, означает, что эта система интегрируема. Интеграл КдВ, найденный в работе (Gardner et al, 1967), имеет квантомеханическую интерпретацию. Заменой в

А. 7) w = щ/х / еу/ -1 / 2s последнее приводится к виду, хх+{и + Е)у/ = 0 , (В.11) в котором время входит как параметр, а само уравнение совпадает со стационарным уравнением Шредингера с потенциалом V = -u{x,t) и энергией 2

Е = 1 / 4s . Оператор Шредингера является эрмитовым, поэтому собственные 2 значения Еп = кп непрерывного (Е > 0 ) и дискретного (Еп < 0) спектра задачи (А. 10) не зависят от времени, и, найденные при t = 0 на потенциале V0 = -и(х,0), позволяют записать асимптотическое решение для (B.l 1) в виде падающей, прошедшей и отраженной сквозь потенциал волны i//~e~ikx+R(k,t)eikx, x —» оо; р ~ T(k,t)e~ihc, х^-оо, (В. 12) где R,T соответственно коэффициенты отражения и прохождения. По найденному виду (В. 12) восстанавливается рассеивающий волну потенциал u(x,t), поэтому сам метод получил название метод ОЗТР (обратной задачи теории рассеяния). Собственные значения и само решение для безотражательного (R = 0) потенциала и(х,0) = Л cosh" (х/ L) находятся аналитически

2 2 2 кп = [s{A,L)-n\ /L , n<s и представляют собой п-солитонный распад начального распределения без образования волнового пакета. Обычный соли-тон получается при 5 = 1,^ = 0, двухсолитонное решение - при s = 2, п = 0,1.

Например, распад начального распределения и(х, 0) = сЬ х на два солитона с амплитудами 4=1/3 и = 4/3 дается аналитической формулой u(x,t) = 2

3 + 4ch(2x-2^/9) + ch(4x -\6t/9)

3ch(x -7t /9) + ch(3x - t)f

B.13)

Средствами компьютерной символьной математики Maple можно найти аналитические, но очень громоздкие п -солитонные решения для любого п.

Обобщение метода ОЗТР найдено в (Lax, 1968). Если исходное нелинейное волновое уравнение можно представить в виде коммутатора двух операторов, названного уравнением Лакса: Lt = [A,L], как функций и и оператора D = d / дх, где L - эрмитов оператор, то исходное нелинейное уравнение эквивалентно системе двух линейных уравнений на собственные значения Я Lif/= Яцу, y/t = Ay/ (В.14)

Поскольку Я не зависит от времени, решение линейной задачи (В. 14) решает исходную нелинейную задачу. В общем случае задача (В. 14) не имеет никакого отношения к квантовой механике, за исключением частного случая КдВ, для которого пара Лакса имеет вид

Лаксом найден целый класс операторов А,Ь и соответствующий им класс нелинейных волновых уравнений. Вот одно из них, следующее в ряду за КдВ

Уравнение (В. 16) и более сложные, в принципе, разрешаются аналитически, но ввиду сложности отвечающей им задачи на собственные значения (В. 14), уравнения более высоких, чем КдВ порядков из ряда Лакса так никогда и не были разрешены. Поэтому КдВ долгое время считалось курьезом, исключением, пока (Захаров, Шабат, 1971) не нашли свою пару Лакса и не решили

Л ¡|( задачу на собственные значения для оператора Ь = -Б +и и, и соответствующего оператора А, записанных в матричном виде, для которых уравне

L = -D - и, А = -4D - Зих - 6uD + Const

В. 15)

1 О 1

Ut Л--iuxxxx + $их + Юиихх + Юи )х = 0

В. 16) ниее Лакса - это нелинейне уравнение Шредингера (НУШ) для комплексной функции и

1 | |2 щ + —ихх±]и| и = О (В. 17)

Работа Захарова и Шабата явилась мощным стимулом развития методов решения нелинейных волновых уравнений. Вершиной в методах интегрирования нелинейных уравнений является работа (АЬ1о\укг е1 а1, 1974), где рас— —2 смотрен наиболее общий матричный 2x2 эрмитов оператор Ь = -£) + щ, который в паре с оператором (), как функции д(х^),г(х^) и их производных по х в матричной форме записи задачи (В. 13) на собственные значения приводил к обобщенному волновому уравнению на функции д, г

Рщ = у/Х, = ъ ^ Ц-йх+[Р,0\ = О (В-18) где Р - производный от Ь оператор, включающий г,д,Л. Бесконечная последовательность интегрируемых уравнений, как частных случаев уравнения (В. 18), включает известные уравнения КдВ, НУШ, 8т-Гордона их{=$лпи, (В. 19) модифицированного уравнению КдВ (мКдВ) с кубической нелинейностью

Щ±ви2их+иххх=0, (В.20) и уравнения Буссинеска.

Более общим методом поиска п -солитонных решений, чем ОЗТР, является метод (№го1а, 1972), аналогичный методу Коула-Хопфа для уравнения Бюргерса. Используя замену и = 2(1п/)хх и вводя оператор Хироты х/8 = /хё-/§х, (В.21)

Уравнение КдВ и его п -солитонное решение принимают вид

ДД +44)/2 = 1 + 2У* + £ а^, в^х-кЬ (В.22)

1 ¿=п+1 где к{, г = \,.,п определяют производный набор солитонов, а коэффициенты а{ находятся из достаточно громоздких, но все же на порядок более простых, чем в ОЗТР процедур. Двухсолитонное решение (В.22) имеет простой вид = 1 + S + е^ + а^, а3=(к}- к2)2 / {кх +к2)2, (В.23) и определяет динамику двух произвольных по амплитуде солитонов (к12 > О

- произвольные величины), а не привязанных к собственным значениям начального распределения, как в ОЗТР, т.е. (В. 14) является частным случаем (В.23).

Методом Хироты находятся солитонные решения и других интегрируемых уравнений. Например, для уравнения мКдВ (Хирота, 1983) замена и = g / / с тем же оператором Хироты дает односолитонное решение и = &sech(#) и двухсолитонное решение с той же величиной как и в (В.23)

Решение (В.24) гораздо более многообразно, чем (В.23), поскольку солитоны мКдВ не только могут иметь разную полярность, при этом к\ 2 вещественны и разного знака, но и комплексно сопряженными. В этом случае решение (А. 24) представляет собой бризер (от английского breath - дышать) - нестационарное волновое образование со взаимодействующими разнополярным солитонами, распространяющийся с постоянной скоростью. Бризеры, открытые цепочках молекул и в кристаллах, (Sievers &Takeno, 1988) в настоящее время интенсивно изучаются (Aurby, 2006). Бризерные решения имеют уравнения НУШ, и Sin-Гордона, где существуют разнополярные солитоны.

Еще один способ нахождения многосолитонных решений дает преобразование Бэклунда (Lamb, 1974). Для уравнения Sin-Гордона преобразование Бэклунда - это соотношения между двумя солитонными решениями и и й уравнения (В. 19), позволяющее по известному решению находить новое и + и)с . (и-йЛ (и-г7)т 1 . (и + и

---C-L. —с it —sin 2 к

В.25)

Здесь к - параметр. Пусть, например, й = 0 - тривиальное решение, тогда интегрируя (В.25) получаем односолитонное решение (В.23) и = 4ак^(ехр ,9), 3 = к% + т1 к (В.26)

Положительные к отвечают кинкам, отрицательные - антикинкам. Последующее решение (В.25) описывающее взаимодействие двух солитонов щ = 4аг^

В.27) к1-к25Ъ[^+32)/2]

Если кх 2 - одного знака, это взаимодействие двух кинков или двух антикинков, разного знака - взаимодействие кинка и антикинка. Решение (В.27) допускает комплексные значения собственных значений к\2 =кг± гк1, тогда

В.27) представляет собой бризер и = 4агх^ кг ^[к^-^т 1{к2г + к2)+

В.28) к{ сЬ[кг£ + кгт/(к2 + к?) + 5г] где 6Г г - произвольные константы. Применение преобразования Бэклунда к уравнениям КдВ и мКдВ рассмотрено в ^аЫцшБ! & ЕБ1аЬгоок, 1975).

Разнополярные солитоны или бризеры, как новый тип нелинейных волн, имеют прямое отношение к газо- и парожидкостным смесям. Разнополярные нелинейные волновые образования в виде пары солитонов, связанных отчетливой волной разрежения, наблюдались в г/ж смесях экспериментально (Донцов и др., 2002) и долго не находили объяснения. Поскольку ни одно из уравнений мКдВ, НУШ и Бт-Гордона к г/ж смесям отношения не имеет, в главе 2 рассмотрена модель образования разнополярных волновых структур в рамках паро- и газожидкостных смесей с переменных газосодержанием, но эти структуры, как следует из численных расчетов нестационарных волн приведенных в этой главе, свойством бризеров «дышать» не обладают.

Одно из рассмотренных выше условий образования бризеров - существование разнополярных солитонов, в газожидкостных смесях из известных моделей возможно в рамках уравнения регуляризованных длинных волн

РДВ), рассмотренного в (Benjamin et al, 1972), а применительно к г/ж смесям в (Накоряков и др., 1990) ut + с0их + шх ~ auxxt = а = с0 1 2w0 ' —? S = 2^a(3c0/A + l), 0<А<-Зс0

В.29) сЬ ^ / 5

В отношении бризерных решений уравнение РДВ не изучено, но ввиду разнонаправленного распространения разнополярных солитонов, бризеры в рамках РДВ образовываться не должны.

Двуполярные солитоны существуют и в рамках нелинейного уравнения Кляйна -Гордона, но в газожидкостных смесях нелинейный член в (В.4) ничтожно мал и, следовательно, солитоны на высокочастотной ветви в г/ж смеси не существуют, что хорошо согласуется с экспериментом. Уравнение типа КдВ для п/ж смесей (Накоряков и др., 1990) ut + п lf ut'dt' с0их + иих + ßuxxx = -т

В.30) т27Г \т2л w(k) = cQk - увк? - i—---im-jffj—---icQk - ißk3

2 V 4 имеет вначале положительную «паровую» дисперсию, а затем с ростом к отрицательную, «газожидкостную» (см. Рис.В.4). Это обстоятельство послужило основанием для построения первой волновой модели КдВ для парожидко-стной смеси (Накоряков, Шрейбер, 1979) с положительной дисперсией, ос-2 2=5 ? нованной на скорости звука Ландау, в

Рис.В.4. Реальная (кривая 1) и мнимая (кривая 2) части фазовой скорости (В.30) и уравнения КдВ (кривая 3) при с0 =1, р = .01, т = .05 которой солитоны были отрицательными. Непосредственно уравнение (В.30) своим пределом при к —> 0 имеет нулевую скорость, а не сА. К тому же, при к-*0 в рамках (В.ЗО) очень велики диссипативные потери. Волновое уравнение типа (В.ЗО), но с более сложным интегралом Дюамеля, основанное на ячеистой модели теплообмена отдельного пузырька, имеющая своим пределом скорость звука Ландау при к -> 0, рассмотрена в главе 2, но ввиду его сложности стационарные решения и условия одновременного существования разнополярных солитонов не изучались. Вариант учета более сильной, чем квадратичная нелинейности в г/ж смесях рассмотрен в главе 3, где наряду с квадратичной нелинейностью учтен следующий, кубический член разложения пузырьковой нелинейности и получено уравнение типа мКдВ (В.20), в котором, квадратичный член нельзя исключать принципиально. Солитонные решения такого уравнения КдВ с добавленной кубической нелинейностью ближе отвечают солитонам Рэлея, но разнополярных солитонов, как в чистом мКдВ (В.20) оно не имеет.

Тем не менее, «дышащие» волновые структуры обнаружены в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков на год ранее, чем классические бризеры и были названы в работах (Гасенко, 1987) и (Га-сенко, Изергин, 1987) динамическими мультисолитонами. Подробно это явление изложено в главе 5. Суть обнаруженного явления заключается в следующем. Дисперсионному уравнению (В.1) соответствует полная система уравнений (2.5), (2.6) для давления в полидисперсной г/ж смеси и объема пузырьков каждого размера (Кедринский, 1968). Поиск стационарных солитон-ных решений этой системы показал, что они представляют собой многогор-бые структуры, названные мультисолитонами с модой (т,п), в которых большой пузырек совершает т, а маленький п колебаний. Причем, значения скорости их распространения V, при которой существовали мультисолито-ны, были дискретными. Поиск нестационарных решений этой системы показал, что начальный сигнал всегда распадается на последовательность мульти-солитонов очень похожих на стационарные, но все его вершины колеблются, «дышат», а сам мультисолитон может распространяться с произвольной скоростью. Но если скорость приближается к найденной дискретной в стационарной постановке, то колебания прекращаются, и сама волновая структура становится чисто стационарной. Такие «дышащие» мультисолитоны, были названые динамическими мультисолитонами. По своей сути это и есть бри-зеры, «дышалки», но однополярные. При больших амплитудах образование мультисолитонов носило резонансный характер, т.е. мода (т,п) означала, что резонансные частоты пузырьков относятся близко к т/ п. Но при малых амплитудах единственной существовали только моды (3,2) или (2,1), представляющая собой два связанных солитона (см. Рис.5.3) при любом соотношения резонансных частот.

Анализ стационарных и нестационарных мультисолитонов в полидисперсной г/ж смеси с двумя размерами пузырьков проводился также в рамках трехволнового уравнения ТНВ, учитывающего только квадратичную нелинейность (Накоряков, Гасенко, 2007). Если учесть только квадратичную нелинейность по давлению в линеаризованных уравнениях Рэлея

У ^ Л;

Сп ¿Я и; (В.31) д V,- ^ м/, ( у + \ Л

2 гу 1 + ;=--

Эг2 7 ] у р V

2Г

2 2 2 где □= А -Су д - волновой оператор для чистой жидкости, то уравнения Рэлея элементарно разрешаются относительно V,- как неоднородные и дают интегральную форму нелинейного волнового уравнения п 1 1 пи= Р = -ии-Аи2, и = ^—р (В.32)

0У=1 со 2У

Исключением интегральных членов последовательным дифференцированием правой части (В.32) приходим от интегральной к дифференциальной форме гс + 2-го порядка. При п = 0 получаем чистую жидкость без пузырьков пи = 0, при п = 1 - двухволновое уравнение пи - ^ + м\2иии = 0, при п = 2 -трехволновое пи - ^ + (Д пи - ¿>]Р)([ + р2иим = коэффициенты которого в точности совпадают с приведенными в главе 5, и т.д. При нормальном распределении пузырьков по размерам а(ч>) = ехф[-(м>-м>{))2/81]/54л: с шириной 8 относительно и>0, интегрируя вместо суммы в (В.32), получаем 8гГ пи 1 о

У0 БШ +-СОБ

В.ЗЗ)

Дисперсионное уравнение для (В.34) принимает вид Г 1 А + Л у/я

7 2 2 к с\ с0

В = —

А ■^/Л

А = I-XV

28 2 м'+и'о ^

5 >

28 Ч? + И>0 Л г л2 и^+н'о

Г Л2

М>0, и>0е \2 \V-Wq е erf

Г \2

В.34) а(ы) =

Табулирование (В.34), для фазовой скорости приведенное на Рис.В.5, показывает перекрытие окна непрозрачности при физических значениях <5 = 0,7. При прямоугольной функции распределения пузырьков по размерам г\/28, <м><м?2

0, > М? > М>2 совпадающий конечный результат для дисперсионного уравнения можно получить интегрированием и (В.1), и (В.32), но в последнем случае мы получаем и нелинейное интегральное волновое уравнение, учитывающее прямоугольное распределение пузырьков по резонансным частотам пи I о зт иу - Бт м?^ соб И^ - СОБ Ш2 2д>?

В.36) и отвечающее ему дисперсионное уравнение ЧрЪ 1

В.37) л

И I С] ^ 1п(м; +^1X^-^2) с^ 48 ("ил-м^Х™-^)

Табулирование (В.37) приведено на Рис.В.6. Здесь те же параметры дисперсии распределения, что и в случае нормального распределения окно непрозрачности не перекрывают.

Аналогичное интегральное представление на основе системы (В.31) запишется и для полидисперсного уравнения КдВ,

N х /=1 О

В.38) со V Акоторое в Фурье представлении и{х) = принимает самый общий и простой вид

1 п а;

В.39)

1=1 со ~р1к где фазовая скорость может быть выражена как суммой, так и интегралом аналогично представленному в (В.34) и в (В.37). Для стационарных решений 2

2. 2

В.39) принимает вид V = V / 2{У - с обязательным полюсом на кгех, который исключается при V {кгез) = 0, что возможно только для некоторого дискретного ряда У1. Причем в этом случае у(кгез) может принимать конечную, причем значительную величину. Отметим также, что дифференциаль

1 Щ 2

1 Щ 2

Рис.В.5 Вещественная (слева) и мнимая (справа) части фазовой скорости (В.34) при

1.5, с,2 / со = 0.6 : кривые: 1-£ = 0.2,2-£ = 0.7,3-£ = 1,4-£ = 0. Пунктирная кривая - нормальное распределение при 8 = 0.2 . ная форма полидисперсного КдВ (В.39) при п = 2 имеет вид близкий к (В. 16) щ + с^их + иих + (Д + /?2КХ + + + М.„5х = О, (В.40) с0

2 2 пределенияпри м^д =1.5, с^ /с0 = 0.6,кривые: 1 - <5 = 0.2,2 - 3 = 0.7 ,3-5 = 1, 4-5 = 0. Пунктирная кривая - прямоугольное распределение при 6 = 0.2 .

В2. Краткая характеристика диссертации

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью развития теории волновой динамики и гидродинамики течения пузырьковых сред, расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в первую очередь в области больших амплитуд волн и в сложно структурированных газо- и парожидкостных смесях, реализующихся в современных конструкциях энергетических установок и требующих для их расчетов применения двух и трехмерных расчетных моделей.

Целью работы является разработка и апробация по результатам экспериментальных данных расчетных теплофизических моделей волновых и гидродинамических течений в реальных конструкциях энергетических установок, включая топливные элементы с полимерными мембранами, с учетом тепломассообмена, фазовых переходов и химических реакций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: • полным согласием полученных результатов в предельных случаях с известными и апробированными результатами в виде уравнений и их решений;

• совпадением полученных решений и качественно и во многих случаях количественных с достоверными экспериментальными данными;

• использованием проверенных методик численного и аналитического решения задач тепло- массообмена и волнового течения двухфазных смесей;

• публикацией результатов в жестко рецензируемых журналах.

Научная новизна:

• Исследованы теплофизические свойства парожидкостной смеси и ее уравнение состояния в гомогенном приближении на основе ячеистой модели теплообмена отдельного пузырька с прилегающей жидкостью и на основе нового интегро-дифференциальное уравнения типа Флоршица-Чао (паровой Рэлей).

• Предложен новый подход в изучении динамики возмущений давления малых и умеренных амплитуд в паро- и газожидкостных смесях на основе известного приближения Бюргерса-Кортевега-де-Вриза и на основе новых многоволновых модельных уравнений, учитывающих как тепловую релаксацию скорости звука от адиабатической до изотермической, так и существование нелинейных возмущений с двумя и тремя разными скоростями звука.

• Численными методами исследованы солитоны Рэлея большой амплитуды от 3 до 50 бар и показано соответствие расчетной модели экспериментам.

• Исследованы двумерные линейные и нелинейные волны в расслоенных газожидкостных смесях в вертикальных трубах и дано объяснение аномальному затуханию волн, наблюдаемому экспериментально, уносом энергии от основной волны высокоскоростными, но низкочастотными предвестниками, существующими в акустических волноводах как высшие волновые моды.

• Предложен новый метод расчета прохождения ударной волны через газожидкостный кластер на основе модели динамических граничных условий и образования переизлученного и многократно усиленного вторичного импульса давления, реально наблюдаемого экспериментально.

• Исследована динамика стационарных и нестационарных волн в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков на основе полной системы уравнений и на основе трехволнового уравнения. Обнаружены новые формы стационарных волн — мультисолитоны, обладающие свойством распространяться в области окна непрозрачности.

• Разработан метод пробных пузырьков для расчета гидродинамических течений пузырьковых смесей в вертикальных каналах в области умеренных чисел Рейнольдса, а также инженерные методы расчета высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод.

• Разработана методика расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей в топливных элементах с полимерными мембранами, найдены решения и аналитически рассчитаны значения эмпирических констант, использующиеся в инженерных формулах, позволяющие минимизировать транспортные и поляризационные потери.

Практическая ценность полученных в работе результатов заключается в возможности использовать построенные модели и развитые алгоритмы расчетов промышленных процессов и технологий. В частности, решенная в работе на новом уровне задача динамики парогазовой полости используется:

• Для разработки нового метода получения газогидратов на основе физического взрыва в воде криогенной жидкости.

• В технологии получения нанопорошков при взрыве проволочки соответствующего металла в воде мощным импульсом тока, где особенно важна динамика развития по времени получающейся при этом парогазовой полости.

• В теории физического взрыва образующейся огромной кавитационной полости в водных бассейнах под ядерными реакторами при их аварии и сте-кании расплавленного урана в воду.

• Для построения систем защиты гидротехнических агрегатов и лопаток гидротурбин при явлениях кавитации, разрушающих прилегающие поверхности.

Модели гидродинамического и волнового течения двухфазных смесей, развитые в работе, использовались для расчета конкретной системы аварийного сброса избыточного пара Бушерской АЭС с околокритическими параметрами по полученным инженерным формулам.

На защиту выносятся:

1. Результаты расчета теплофизических свойств и уравнения состояния паро-и газожидкостных смесей в гомогенном приближении на основе решенных задач динамики и теплообмена отдельной парогазовой полости.

2. Результаты численных и аналитических исследований волновой динамики возмущений давления малых и умеренных амплитуд в паро- и газожидкостных смесях на основе приближения Бюргерса-Кортевега-де Вриза и на основе новых многоволновых модельных уравнений, учитывающих как тепловую релаксацию скорости звука от адиабатической до изотермической, так и наличие нелинейных возмущений с двумя и тремя разными скоростями звука.

3. Результаты расчетов волновой модели на основе системы уравнений нестационарных и стационарных волн - солитонов Рэлея большой амплитуды от 3 до 50 бар и сравнения расчетов с экспериментальными данными.

4. Результаты исследований двумерных линейных и нелинейных волн в расслоенных газожидкостных смесях в вертикальных трубах; объяснение аномального затухания нелинейных волн в таких смесях, наблюдаемом экспериментально как унос энергии от основной волны низкочастотными предвестниками, распространяющимися по слою чистой жидкости и существующими в акустических волноводах в виде высших волновых модх.

5. Новый метод расчета прохождения ударной волны через газожидкостный кластер на основе модели динамических граничных условий и образования переизлученного и многократно усиленного вторичного импульса давления, реально наблюдаемого экспериментально.

6. Результаты исследования динамики стационарных и нестационарных волн в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков на основе полной системы уравнений и на основе трехволнового уравнения, а также обнаруженные новые формы стационарных волн — мульти-солитоны, обладающие свойством распространяться в области окна непрозрачности.

7. Разработка метода пробных пузырьков для расчета гидродинамических течений пузырьковых смесей в вертикальных каналах в области умеренных чисел Рейнольдса;

8. Инженерный метод расчета высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод.

9. Методика расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей в топливных элементах с полимерными мембранами и аналитический расчет значений эмпирических констант в инженерной формуле вольт-амперной характеристике, позволяющий минимизировать транспортные и поляризационные потери и увеличить кпд прямого преобразования энергии холодного горения водорода в электрическую энергию.

Личный вклад автора заключается в постановке задач математического моделирования процессов тепло- и массообмена в паро- и газожидкостных смесях и в топливных элементах с полимерными мембранами, в разработке новых теплофизических моделей волновых течений двухфазных смесей с пузырьковой структурой, в выборе методов численного и аналитического решения поставленных задач, в проведении всех численных расчетов, верификации численных методик расчета на результатах экспериментальных данных по волновым процессам на ударных трубах, в подготовке научных статей и докладов конференций.

Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях: Международный семинар «Transaction Phenomenon in Multiphase Flow» (Du-brovnik, 1987), XI международный симпозиум «Nonlinear Acoustics» ,( Novosibirsk, 1987), VIII Всесоюзной конференции «Двухфазный поток в энергетических машинах и аппаратах» (Ленинград, ЦКТИ, 1990), международные конференции «KORUS I—III» (Korea, Ulsan University, 1999, Novosibirsk, NSTU 1999), 2-nd Biot conference on Poromechanics (Grenoble-France, 2002), IV Korean-Russian International Symposium (Novosibirsk, Russia, 2002), XXVI-XXVIII Сибирские Теплофизические Семинары (Новосибирск, ИТФ, 20022005), VIII Международный семинар по акустике неоднородных сред (Новосибирск, ИГД, 2004), IX Акустическая конференция (Новосибирск, ИГД, 2006), 3-я Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых (Новосибирск, ИТФ, 2008. 3-я и 4-я Всероссийские конференции «Задачи со свободными границами» (Бийск, 2008, 2011), «The 10th International Conference on the Mathematical and Numerical Aspects of Waves», (Vancouver, 2011), Всесоюзной конференции «Нелинейные волны», Новосибирск 2011.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 46 работах (в автореферате приведен список 32 основных работ), в том числе 14 работ опубликовано в изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации материалов докторских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка основных обозначений, 7 глав, разбитых на две части, 6 первых глав отнесены к первой части, а 7 глава выделена во вторую часть, заключения и списка литературы из 218 наименований. Основной текст диссертации содержит 248 страниц, включая 129 рисунков и 3 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Гасенко, Владимир Георгиевич

7.6. Выводы

1. Предложена аналитически разрешимая модель ТЭПМ с учетом капиллярных сил в не смачиваемых порах пористого катода, заполненных жидкостью на глубину, найденную через функцию Леверетта и представляющую дополнительную вододиффузионную преграду при диффузии кислорода к месту реакции.

2. Выяснено, что вододиффузионная область определяет главные транспортные потери и завал ВАХ ТЭПМ при больших плотностях тока.

3. Найдена величина активационных потерь в форме нелинейного закона Тафеля и величины эмпирических констант А, В, jmax и jex в инженерной формуле для ВАХ.

4. Найдено объяснение экспериментально наблюдаемому двойному наклону ВАХ в логарифмическом масштабе, названной "double slope" проблемой, не дефицитом протонов в каталитической области, а дефицитом кислорода.

5. Найдено объяснение высокой величины плотности тока обмена, который в рамках линейного закона Тафеля, который оказывается на несколько порядков ниже наблюдаемого в эксперименте.

Заключение

Выделим в приведенной работе основные новые результаты и сделаем на их основе выводы, частично приведенные в конце каждой главы.

В части I, относящейся к волновой динамике паро- и газожидкостных смесей, исследованы теплофизические свойства парожидкостной смеси и ее уравнение состояния в гомогенном приближении на основе решения сопряженной тепловой задачи для сферического парового пузырька в ячеистой постановке. Показано, что в пределе низких частот равновесный тепловой поток в ячейке, приводит к появлению в парожидкостной смеси сверхнизкой скорости звука Ландау. Получено новое нелинейное интегро-дифференциальное уравнение типа Флоршица-Чао (паровой Рэлей), протестированное точными численными решениями динамики парового пузырька.

Получено уравнение энергии для газа в пузырьке в новой релаксационной форме для логарифмов предельных состояний газа, скорректированное константами интегрирования по конечной величине радиуса пузырька и протестированное точными численными решениями.

Решена задача устойчивости сферической формы пузырька в звуковом поле для сжимаемой жидкости в линейной и в нелинейной постановке, позволяющая оценить гантелеобразное изменение формы пузырька и тенденцию его распада на два пузырька.

На основе большого числа численных решений модельных волновых уравнений БКВ и РБКВ для газожидкостных смесей с учетом тепловой релаксации показано их полное соответствие экспериментальным данным для «коротких» и «длинных» волн, включая явление «выполаживания» ударных волн.

Построена модель уравнения КВУ для парожидкостных смесей, согласующаяся с известным уравнением «парового» БКВ с интегралом Дюамеля, но допускающее произвольное изменение радиуса пузырьков при фазовых переходах, вплоть до полного коллапса пузырьков и перехода КВУ в волновое уравнение для чистой жидкости. Показано, что при учете эффекта сильного изменения равновесной скорости звука, уравнение КВУ описывает образование сложных волновых структур в виде связанных волной разрежения солитонных пар, реально наблюдаемых экспериментально.

На основе анализа полной системы гидродинамических уравнений в ла-гранжевых координатах показано, что учет гидродинамической нелинейности для газожидкостных сред проявляется в форме существования предельной амплитуды солитонов только при амлитудах волн давления свыше нескольких сотен бар, и для описания реальных волн достаточно акустического приближения.

Рассчитаны и проанализированы стационарные решения полной системы уравнений для г/ж смесей в акустическом приближении в виде солитонов Рэлея, которые принципиально отличаются от солитонов КдВ вдвое меньшей шириной и острой вершиной. Показано, что солитоны Рэлея отвечают экспериментально наблюдаемым волнам с амплитудой больше 5-ти бар.

Предложена модель двухволнового уравнений ДНВ, и на основе сравнения расчетов с экспериментальными данными показана его эффективность для описания волн умеренных амплитуд в г/ж смесях.

Рассмотрены численные решения обобщенных моделей волновых уравнений типа ОКдВ, учитывающие дисперсию и диссипацию высоких порядков. Показано, что ОКдВ в общем случае описывают распад начальных сигналов на последовательность разных типов солитонов, в том числе пленочных солитонов и «горбатых» солитонов.

Проведены расчеты двумерных волн в безграничной г/ж смеси на основе полной системы уравнений. Для пространственно-неоднородной г/ж смеси получено уравнение близкое к уравнению УПК и найдены численно его решения в виде двумерных солитонов, содержащих знакопеременную по давлению область.

При расчетах двумерных волн в ударной трубе обнаружена стохастиза-ция волновых пакетов.

Рассчитана дисперсия двумерных волн в расслоенных г/ж смесях. Показано, что в широких каналах в низкочастотной области появляются новые высокоскоростные дисперсионные ветви, ответственные за стохастизацию волновых пакетов и появление мощных предвестников.

Объяснено и рассчитано аномальное затухание нелинейных волн в расслоенных г/ж смесях.

Предложена и протестирована модель динамических граничных условий, и на ее основе рассчитано прохождение ударной волны через конический г/ж кластер, качественно и количественно совпадающее с экспериментальными данными.

Найден гамильтониан системы стационарных волн в полидисперсной г/ж смеси с произвольным числом размеров пузырьков.

Найдены стационарные мультисолитонные решения полной системы уравнений при учете двух размеров пузырьков, имеющие дискретный спектр скорости и характеризующиеся двухиндексной модой.

Проведены численные расчеты по динамике мультисолитонов. Показано полное соответствие расчетных и экспериментальных данных по эволюции нелинейных волн в полидисперсной г/ж смеси.

Методом сечений Пуанкаре проведен анализ гамильтоновой системы в 4-х мерном фазовом пространстве. Показано, что г/ж смесь, эквивалентная системе двух связанных нелинейных осцилляторов, и с ростом нелинейности проходит стадии от полной интегрируемости, до полного хаоса, а при некоторых дискретных значениях параметров (дискретном спектре солитонов) от хаоса переходит к детерминированной системе.

Построена модель трехволнового уравнения ТНУ с квадратичной нелинейностью для полидисперсной г/ж смеси с двумя размерами пузырьков. Показано, что в низкочастотной области вне окна непрозрачности ТНУ имеет стационарные решения в виде обычных солитонов, а в области окна непрозрачности - с олитонные пары с дискретным спектром скорости. Найдено объяснение дискретности спектра и механизма преодоления затухания Ландау связанной солитонной парой при их распространении в пределах окна непрозрачности.

В части I, относящейся к гидродинамике течения двухфазных смесей, решена задача о стационарном распределении газосодержания при течениях газожидкостных смесей с пузырьковой структурой в вертикальном канале с использованием модели пути смешения Прандтля для тензора турбулентных напряжений в осредненных уравнениях сохранения импульса для газожидкостных смесей, объясняющая образование пиков газосодержания у стенки канала в подъемном течении.

Предложен и протестирован аналог метода Монте-Карло или метод пробных пузырьков для описания стационарных течений пузырьковых смесей, в котором осреднённые характеристики двухфазного потока получаются из траекторий движения отдельных пробных пузырьков, а две компоненты тензора турбулентных напряжений вычисляются в процессе итераций по величине газосодержания через балансные интегралы.

Решена задача нестационарного истечения и конденсации насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод в системах аварийного газоудаления атомных и тепловых электростанций, сведенная к простым инженерным формулам. Расчетная модель основана на приближенных методах решения точных уравнений гидродинамики и теплообмена, основанных на слабой зависимости скорости звука в парожидкостной смеси на линии насыщения от температуры при весовых паросодержаниях, близких к единице.

В части II, относящейся к моделированию топливных элементов с полимерными мембранами (ТЭПМ), разработана методика расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей, на основе которой предложена аналитически разрешимая модель ТЭПМ с учетом капиллярных сил в не смачиваемых порах пористого катода, заполненных жидкостью на глубину, найденную через функцию Леверетта и представляющую дополнительную вододиффузионную преграду при диффузии кислорода к месту реакции.

Выяснено, что вододиффузионная область определяет главные транспортные потери и завал ВАХ ТЭПМ при больших плотностях тока.

Найдена величина активационных потерь в форме нелинейного закона Тафеля и величины эмпирических констант A,B,jmax и jex в инженерной формуле для ВАХ.

Найдено объяснение экспериментально наблюдаемому наклону ВАХ как "double slope" проблеме не дефицитом протонов в каталитической области, а дефицитом кислорода.

В рамках полученного нелинейного закона Тафеля найдено объяснение высокой величины плотности тока обмена, который в рамках линейного закона Тафеля оказывается на несколько порядков ниже наблюдаемого в эксперименте.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Гасенко, Владимир Георгиевич, 2011 год

1. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н. (1974). The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Stud. Appl. Math. 1974. Vol. 53. P. 249-315.

2. Archard J.L., Cartellier A. (1985). Local characteristics of upward laminar bubbly flow. // Int. J. Phys. Chem. Ну dr. V.6. P. 841-846.

3. Aurby S. (2006). Discrete Breathers: localization and transfer of energy in discrete Hamiltonian nonlinear systems // PhysicaD. 2006. V.216. P.l.

4. Benjamin T.B. (1966). Proc. 6th Symp. Naval Hydrodyn. (ed R.D. Cooper & S.W. Doroff). P. 121. Washington: Office Naval Res.

5. Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. (1972). Model equation for long waves in nonlinear dispersive systems // Phyl. Trans. Roy. Soc., 1972, A272, 47.

6. Benton K.E. (1967). Solution illustrating the decay of dissipation layer in Burger's nonlinear diffusion equation. // Phys. Fluids. 1967. V.10. № 10.

7. Bernardi D.M., Verbrugge M.W. (1991). Mathematical model of gas diffusion electrode bonded to a polymer electrode // AIChE Journal. 1991. V.37. N8. P.l 151-1163.

8. Beyerlein S.W., Cossnann R.K., Richter H.J. (1985). Prediction of bubble concentration profiles in vertical turbulent two-phase flow. // Int. J. Multiphase Flow. V.ll.P. 625-632.

9. Campbell I.J., Pitcher A.S. (1958). Shock waves in a liquid containing gas bubbles // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1958. Vol. 243. P. 534-545.

10. Carstensen E.L., Foldy L.L (1947). Propagation of sound through a liquid containing bubbles // J. Acoust. Soc. Amer. 1947. N0 19. P. 481-501.

11. Chapman R.B., Plesset M.S. (1971). Thermal effects in the free oscillations of gas bubbles // Trans ASME, Ser. D. J. Basic Eng. V. 93. N.3.

12. Constamagna P., Srinivasan S. (2000).Quantum jump in PENFC science and technology from 1960s to the year 2000 // J. Power Sci. P I, II. 2001. V. 102. P.242-269.

13. Crespo A. (1969). Sound and shock waves in liquids containings bubbles // "Phys. Fluids".V.12. № 12. C.

14. Delahae T.M. (1969). Application de la thermodynamique des systems en non-equilibre aux ecoulemets diphasiques liquide vaper avec changement de phase. - Rapport CEA-R-3903, CEN Sacley. France. 1969.

15. Derzho O.G., Malykh N.V. (1990). Formation of strong pressure pulses reflected from water-bubbles layers // Arch. Mech. 1990. V.42. P.463-479.

16. Devin Ch. (1959). Survey of thermal radiation and viscous damping of pulsating air bubbles in water // J. Acoust. Soc. Amer. V. 31. N. 12.

17. Dontsov V.E., Nakoryakov V.E. (2000). Solitary waves in a liquid with gas bubbles of two different sizes // Russian J. Eng. Thermophysics. 2000. V.10. N4. P.263-276.

18. Dontsov V.E., Nakoryakov V.E. (2007). The pressure wave propagation in three-phase medium of cluster structure // J. Eng. Thermophysics.-2007.-V. 16, N1. P. 26-35.

19. Drew D.A., Lahey R.T. (1982). Phase distribution mechanisms in turbulent low-quality two-phase flow in circular pipe. // J. Fluid Mech. V.117. P. 91-107. (Drew, Lahey, 1982)

20. Eikerling M., Kornyshev A. A. (1990). Modelling the performance of the cathode catalyst layer of polymer electrolyte fuel cells //J. of Electroanalitical Chemistry. 1998. V.453.P.89-106.

21. Finch R.D., Neppiras E.A. (1975). Vapour bubbles dynamics // J. Acoust. Soc. America. V.53. № 5. P. 1169-1175.

22. Flynn H.G. (1964). Physics of acoustic cavitarion in liquids. // Physical Acoustics. New-York-London. Ser. B. V. 1. Pt. 13.

23. Forster H.K., Zuber N. (1954). Growth of a vapor bubble in a superheated liquid // Journal of Applied Physics. 1954. V. 25. P. 474.

24. Fox F., Curley S., Larson G. (1955). Phase velocity and absorption measurement in a water, containing air bubbles // J. Acoust. Soc. Amer. 1955. Vol. 27. N. 3. P.534.

25. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. (1967). Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19, № 19. P. 1095-1097. (Gardner et al, 1967)

26. Gardner C.S., Greene J.K., Kruskal M.D., Niura R.M. (1967). Method for solving the Korteveg-Vries equation. // Phys. Rev. Letters. 1967. V. 19. № 19. P. 10951097.

27. Gasenko V.G. (1987). Multisolitons in polydispersive gas-liquid mixture // Proceedings of International Conference «Transaction Phenomenon in Multiphase Flow», Dubrovnik, Yugoslavia, May 24-30, 1987.

28. Gasenko V.G., Dragunov Yu.G., Nakoryakov V.E. (2008). Engineering Computation Method for the High-Velocity Flow and Condensation of Saturated Steam in a Cold Pipeline // J. Eng. Thermophys. 2008. - Vol. 17, N. 3. - P. 151-157.

29. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E. (2007). The Effect of Capillary Forces in a Porous Electrode on Output Current Voltage Characteristics of Fuel Cell with Polymer Proton Exchange Membrane. // J. Porous Media, 2007, v. 10, N8, pp. 739-750.

30. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E. (2008). Nonlinear Three-Wave Equation for a Polydispersiv Gas-Liquid Mixture // J. Eng. Thermophys. 2008. - Vol. 17, N. 3.-P. 158- 165.

31. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E., Iliyn V.P. (2010). Numerical analysis of the dynamics of vapor bubbles // J. Eng. Thermophys. 2010. - Vol. 19, N. 4

32. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E., Shreyber I.R. (1981). Moderate-Strength Waves in Liquid Containing Gas Bubbles. // J. Fluid Mechanics Soviet Research, 1981, v.10, №2, p.

33. Gasenko, V.G. and Izergin, V.L. (1987). Nonlinear waves stochastization in a polydispersive gas liquid mixture. In: Proc. 11th Int. Symp. on Nonlinear Acoustics, Novosibirsk, Russia, v2, p. 23-25.

34. Grad H., Ku P.N. (1967). Unified shock profile in a plasma. // Phys. Fluids. 1967. V.10. № 12.

35. Hirota R. (1972). Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons // Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 27. P. 1192-1194.

36. Ho B.P., Leal L.G. (1974). Inertial migration of rigid spheres in two-dimentional unidirectional flows. // J. Fluid Mech. V.65. P. 365-380.

37. Hopf E. (1950). Communs Pure. Appl. Math. 1950. V. 3. P. 201.1.hii M. (1975). Thermo-fluid dynamic theory two-phase flow. // Paris: Fyrolles. 320 p.

38. Kakutani T., Ono H. (1969). Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision free plasma. // J. Phys. Sos. Japan. V. 26. P. 1305.

39. Kawahara T. (1972). Oscillatory solitary waves in dispersive media. // // J. Phys. Sos. Japan. V. 33. P. 260.

40. Kedrinsky V.K. (2008). Dynamics and radiation of single cavity in an abnormal compressible bubbly media // Proceedings of "Acoustics'08 Paris, June 29 -July 4, 2008. P.3573- 3577.

41. Korteveg D.J., G. de Vries. (1895). // Phil. Mag. 1895. V.39. P.442.

42. Kuramoto Y., Tsuzuki T. (1976). Persistent propogation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium. // Prog. Theor. Phys. 1976. V. 55. № 2 P. 570-583.

43. Mallock A. (1910). The damping of sound by frothy liquids // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. Vol. 84. P. 391-395.

44. Malykh N.V. (1994). Wave form of short shock wave reflected from bubble layers in water//J. de Physique. 1994. V.4. P. C5.1121-C5.1124.

45. Malykh N.V., Ogorodnikov J. A. (1979). Structure of pressure pulses in liquid with gas bubbles // J. de Physique. 1979. V.40. P.8.300-8.305.

46. McCann H., Clarke L.J., Masters A.P. (1989). An experimental study of vapor growth at the superheat limit temperature // Int. J. Heat Mass Transfer. 1989. V. 32. P. 1077-1093.

47. Minnaert M. (1933). On Musical air bubbler and the soundof running water // Phil. Mag/ 1933. Vol. 16. N. 7.

48. Miura R.M. (1968). Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation // J. Math. Phys. 1968. Vol. 9, № 8. P. 1202-1204.

49. Najjari M., Nasrallah S.B. (2005). Numerical study of the effects of Geometric dimension on liquid-vapor phase change and free convection in a rectangular porous cavity, J. Porous Media, vol.8, pp.1-12, 2005.

50. Nakoryakov V.E., Pokusaev B.G., Pribaturin N.A., Leznin S.I., Vasserman E.S. (1989). Nonstationary wave processes in boiling media // In: Adiabatic waves in liquid-vapor media, Gottingen, Germany. 1989, P. 381-391.

51. Newman J. (1973). Electrochemical systems. Englewood Cliffs (NJ): Prentice-Hall, 1973.

52. Nigmatulin R.I., Khabeev N.S., Zuong Ngok Hai. (1988). Waves in liquids with vapor bubbles // J. Fluid Mech. 1988. V. 186. N. 3. P. 523-530.

53. Noordzij L. (1971). Shock waves in bubble-liquids and bubbles. // Communs. 1971. V. 3.№ 1.

54. Noordzij L. (1973). Shock waves in bubble-liquid mixture. Неустановившиеся течения воды с большими скоростями. М.: Наука, 1973, с.369.

55. Noordzij L., Wijngaarden L. (1974). Relaxation effects coused by relative motion on shock waves in gas-bubble liquid mixtures. // J. Fluid Mech. 1974. V. 66. No. 1.

56. Ott E., Sudan R.N. (1970). Damping of solitary waves. // Phys. Fluids. 1970. V.13. №6.

57. Plesset M.S. (1954). On the stability of flows with spherical symmetry. // J. Appl. Phys. V. 25. № 1

58. Plesset M.S., Mitchell T.P. (1956). On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a sound field // Quart. Appl. Mathem. V. 13. No.4.

59. Plesset M.S., Zwick S.A. (1954). The growth of vapor bubble in superheated liquids // Journal of Applied Physics. 1954. V. 25. P. 493.

60. Russel J. Scott (1844). Report on waves. Rept. Fourteenth Meeting of the British Association for the Advanced of Science. John Murray, London, р.311-390.

61. Sato Т., Honda Т., Sarunatary S., Sekoguchi K. (1973). Air bubble velocity in wathter streams in a vertical duct. // Preprint. 10 Symp. Heat Transfer Society of. Japan. V.5-8.

62. Sekoguchi K., Sato Т., Honda T. (1974). Two-phase bubble flow. // Trans. Japan. Soc. Mech. Engin. V. 40. P. 1395-1402.

63. Serizava A. (1974a). Fluid-dynamic characteristics of two-phase flow. // Ph. D. Thesis. Kyoto University. Japan.

64. Serizava A. (1974b) Turbulent structure of air-water flow 2. local properties. // Int. J. Multiphase. V. 2. P. 235-246.

65. Serizava A., Kataoka I. (1987). Phase distribution in two-phase flow. Invited lecture. // Int. seminar on transient phenomena in multiphase flow. Dubrovnik. Yugoslavia. May 24-30.

66. Shepherd J.E., Strutevant B. (1982). Rapid evaporation at the superheat limit // J/ Fluid Mech. 1982. V. 121. P. 379-402

67. Sievers A.J., Takeno S. (1988). Intrinsic localized models in anharmonic crytals // Phys. Lett. 1988. V.61. P.970.

68. Ticianelli E.A., Derouin C.R., Srinivasan S. (1988). Localization of platinum in low catalyst loading electrodes to attain high power densities in SPE fuel cells // J. Electroanal. Chem. 1988. V.251. N.2. P.275-295.

69. Verbrugge M.W., Hill R.F. (1990). Ion and solvent transport in ion-exchange membrane // J.Electrochem. Soc. 1990. Vol.137. P.886

70. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. (1975). Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys. 1975. Vol. 16, № 1. P. 1-7.

71. Wijngaarden L. (1968). On the equation of motion for mixtures of liquid and gas bubbles. // J. Fluid Mech. 1968. V.33. P. 3. P. 465-474.

72. Wijngaarden L. (1970). On the structure of shock waves in liquid-bubble mixtures // Appl. Sci. Res. 1970. N.5. P.336-381.

73. Wijngaarden L. (1972). Propagation of shock waves in bubble-liquid mixtures // Progress in Heat and Mass Transfer. 1972. Vol. 6. P. 834.

74. Zabusky H.J. (1968). Solution and bound states of the time-independent Schrod-inger equation. // Phys. Rev. 1968. V. 168. P. 124.

75. Zuber N. (1961). The dynamics of vapor bubbles in nonuniform temperature field // Int. J. Heat Mass Transfer. 1961, V. 2. P. 83.

76. Zwicks A. (1958). Behaviour of small permanent gas bubbles in a liquid // J. Math. And Phys. 1958. Vol. 37. N. 3.

77. Авдеев A.A., Зудин Ю.Б. (2002). Рост парового пузыря в околоспинодальной области в рамках обобщенной инерционно-тепловой схемы // ТВТ. 2002. Т. 40. С. 971-978.

78. Александров А.А., Григорьев Б.А. (1999). Таблицы теплофизических свойств воды и водяного пара, — М.: Издательство МЭИ. 1999, 168с.

79. Алексеенко С.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. (1979). Волны на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости. // Препринт ИТ АН СССР . Новосибирск. № 36-79. 51 с.

80. Балдина О.М., Локшин В.А., Петерсон Д.Ф. (1978). В кн. Гидравлический расчет котельных агрегатов: (Нормативный метод) под ред. В.А.Локшина и др. — М.: Энергия, 1978,-256с.

81. Баттерворс Д., Хьитт Г. (1974). Теплопередача в двухфазном потоке, М.: Энергия, 1974.

82. Березин Ю.А. (1973). О численных решениях уравнения Кортевега-де-Вриза. // В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. Т.4. № 2. С. 20-31.

83. Березин Ю.А. (1974). О численных методах уравнения Кортевега-де-Вриза. // Тем. сб. Численные методы механики сплошной среды. № 5.

84. Боголюбский И.Л. (1976). Модифицированное уравнение нелинейной струны и неупругое взаимодействие солитонов. // Письма в ЖЭТФ. Т. 23. № 4. С.

85. Богуславский Ю.Я. (1977). О поглощении и дисперсии звуковых волн в двухфазной среде. // В кн.: Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, ИТ СО АН СССР. С. 54-61.

86. Богуславский Ю.Я., Григорьев С.Б. (1977). Ударная волна в жидкости с пузырьками // Акуст. Журн. 1977. Т.23 №4. С.636.

87. Бурдуков А.П., В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Соболев В.В., Шрейбер И.Р. (1971). Некоторые вопросы газодинамики гомогенной модели двухфазной среды // Численные методы механики сплошной среды. 1971. Т.2. №5.

88. Бурдуков А.П., Кузнецов В.В., Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1973). Ударная волна в газожидкостной среде. // ПМТФ. № 3. С. 65-69. 1973.

89. Бэтчелор Г.К. (1968). Волны сжатия в суспензии газовых пузырьков в жидкости. // Механика. 1968. № 3. С. 109.

90. Ван Вейнгарден Л. (1975). Одномерные течения жидкости с пузырьками газа. // В сб.: реология суспензий. М.: Мир. С. 68-103.

91. Воротников М.И., Солоухин Р.И. (1964). Расчет пульсаций газовых пузырьков в несжимаемой жидкости под действием периодически меняющегося давления. // Акустический журнал. Т. 10. Вып.1. С.34.

92. Вукалович М.П. (1967). Теплофизические свойства воды и водяного пара. — М.: Машиностроение, 1967, -160с

93. Гарипов P.M. (1960). Замкнутые уравнения движения жидкости с пузырьками//ПМТФ. 1960. №3.

94. Гасенко В.Г. (1976). Карта решений уравнений Кортевега -де-Вриза- Бюр-герса. — «Исследования по гидродинамике и теплообмену». Новосибирск. ИТФ. 1976, с.81-87.

95. Гасенко В.Г. (1977). Структура стационарных ударных волн в газожидкостной среде с тепловой релаксацией. — « Теплофизические исследования». Новосибирск. ИТФ. 1977, с.42-46.

96. Гасенко В.Г. (1978). Волновая динамика газожидкостных смесей в приближении двухскоростного нелинейного волнового уравнения. — «Физическая гидродинамика и теплообмен». Новосибирск. ИТФ, 1978, с.22-29.

97. Гасенко В.Г. (1990). О моделях расчета распределения газосодержания при течениях двухфазных смесей в вертикальном канале. — «Газожидкостные течения». Новосибирск. ИТФ, 1990, с.3-19.

98. Гасенко В.Г., Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. (1987). Осциллирующие уединенные волны в жидкости с пузырьками газа. // Изв. СОАН Сер. Тех. 1987, т.21,№6.

99. Гасенко В.Г., Донцов В.Е., Накоряков В.Е. (2005). Нелинейные волны в газожидкостных смесях неоднородной структуры. // Динамика сплошной среды, 2005, вып. 123, с.48-55.

100. Гасенко В.Г., Иванский А.П. (1979). Динамика осциллирующих солитонов. — «Физическая гидродинамика и тепловые процессы». ИТФ, 1979, с.44-47.

101. Гасенко В.Г., Иванский А.П. (1980). Уединенные волны в активной среде с дисперсией и диссипацией. Волны на вертикальной пленке жидкости. — «Физическая гидродинамика и тепловые процессы». Новосибирск. ИТФ. 1980, с.95-101.

102. Гасенко В.Г., Колесников JI.E., Соболев В.В. (1973). Исследование устойчивости сферической кавитационной полости в звуковом поле // ПМТФ, №6 , с. 109-114.

103. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. (2005). Математическая модель катодного узла топливного элемента с твердым электролитом // ПМТФ, т.46, №5, 2005, с. 27-37.

104. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. (2006а). Аналитически разрешимая модель модель топливного элемента с твердополимерным электролитом. // Uzbek Journal of Physics. 2006. v.8, N4-5, pp. 185-200.

105. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. (2006b). Влиянии капиллярных сил в пористых электродах на вольт-амперную характеристику топливных элементов с полимерной мембраной // ТОХТ. 2006. -Т.40, №2, с. 1—11.

106. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. (2006с). Модель диффузии многокомпонентного газа в пористом электроде топливного элемента. // Электрохимия. -2006. т. 42, - №4, с. 390-400.

107. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Оренбах З.М., Шрейбер И.Р. (1983). Распространение возмущений в жидкости с пузырьками пара. // ПМТФ, 1983, №3, с.86-90.

108. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1977). Приближение Бюргерса-Кортевега-де-Вриза в волновой динамике газожидкостных систем. — «Волновые процессы в двухфахных средах». Новосибирск. ИТФ, 1977, с. 17-31.

109. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1979а). Нелинейные волны в жидкости с пузырьками // Акустический журнал. 1979. № 5. С. 681-686.

110. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1979b). Двухволновая модель распространения возмущений в жидкости с пузырьками газа. // ПМТФ, 1979, №6, с.119-127.

111. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1980). Усиление ударной волны в жидкости с пузырьками газа. // ДАН СССР, 1980, т.235, №6, с.1330-1332.

112. Гасенко В.Г., Оренбах З.М. (1983). Затухание нелинейных волн в парожидко-стных смесях. — «Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах». Новосибирск. ИТФ. 1983, с.21-27.

113. Гасенко В.Г., Соболев B.B. (1975). Поведение сферической кавитационной полости в звуковом поле, — «Волновые процессы в двухфазных системах». Новосибирск. ИТФ, 1975, с.207-258.

114. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко Б.С., Когарко С.М. (1973). Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками газа // ДАН СССР. 1973. Т.213. №5. С.1043-1046.

115. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко С.М., Тимофеев Е.И. (1974). Прохождение ударных волн через границу раздела в даухфазных газожидкостных средах. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, №6, с.58-65.

116. Гончаров В.В„ Наугольных К.А., Рыбак С.А. (1976). Стационарные возмущения в жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1976. №6. С.90-95.

117. Горшков К.А., Островский JT.A., Папко В.В. (1976). Взаимодействие солито-нов, как классических частиц. // ЖЭТФ. Т. 71. С.585.

118. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И (1976). Нестационарные волны в жидкости с пузырьками газа // ДАН СССР. 1976. Т. 226. №6. С. 1299-1302.

119. Держо О.Г., Малых Н.В. (1988). Влияние динамики пузырьков и локальных характеристик пузырькового слоя на структуру отраженного от него слоя. — Новосибирск. 1988. С.83-97.

120. Диткин В.А., Прудников А.П. (1965). Справочник по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1965. -466с.

121. Донцов В.Е. (2005). Распространение волн давления в газожидкостной среде кластерной структуры // ЖПМТФ. 2005. Т. 46. № 3. С. 50-60.

122. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. (1985). Ударные волны умеренной амплитуды в двухфазной среде // Акуст. журн. 1985. Т.31. № 2. С. 193196.

123. Донцов В.Е., Накоряков В.Е. (2003). Волны давления в газожидкостной среде с расслоенной структурой жидкость — пузырьковая смесь // ПМТФ. 2003. Т.44, № 4. -С. 102-108.

124. Зарембо JI.K., Красильников В.А. (1966). Введение в нелинейную акустику, -М.: Наука, 1966.

125. Заславский Г.М. (1984). Стохастичность динамических систем.— М.: Наука, 1984. 272с.

126. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. (1989). Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентного хаоса. — М.: Наука. 1989. 768с.

127. Захаров В.Е., Шабат А.Б. (1971). Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61, № 1. С. 118-134. (Захаров, Шабат, 1971)

128. Иорданский C.B. (1960). Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа. . // ПМТФ. № 3.

129. Исаченко В.П. (1977). Теплообмен при конденсации. М.: Энергия, 1977, -240с.

130. Карпман В.И. (1973). Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Мир, 1973, 176 с.

131. Карпман В.И., Кадомцев Б.Б. (1971). Нелинейные волны. // УФН. 1971. Т. 103. Вып. 2. С. 193-232.

132. Кашинский О.Н., Горелик P.C., Рандин В.В. (1975). Скорости фаз в пузырьковом газожидкостном течении. // Инж.-физ. журнал. № 1. С. 12-15.

133. Кедринский В.К. (1967). Особенности динамики сферического газового пузырька в жидкости // ЖПМТФ, 1967. №3. С.27-29.

134. Кедринский В.К. (1968). Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки газа. // ПМТФ, № 4.

135. Кедринский В.К. (2000). Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. — Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000, -435с.

136. Кедринский В.К., Шокин Ю.И., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Лазарева Г.Г. (2001). Генерация ударных волн в жидкости сферическим пузырьковыми кластерами // Докл. РАН, 2001, т. 381, №6, с.773-776.

137. Когарко Б.С. (1961). Об одной модели кавитирующей жидкости. // ДАН СССР Т.137.

138. Коллинз P.E. (1964).Течения жидкостей через пористые материалы, М.: Мир, 1964.

139. Корабельников A.B., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1981). Динамика паровых пузырьков в поле волны давления. // ТВТ. № 4.4. 1. С. 887-890.

140. Коул Р. (1950). Подводные взрывы. М.: Иностр. лит., 1950.

141. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин JI.E. (1972). Механика многофазных сред. Итоги науки и техники. Сер. Гидромеханика. 1972. Т. 6.

142. Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1976). Жидкость с пузырьками газа, как пример среды Кортевега-де-Вриза- Бюргерса // Письма ЖЭТФ. 1976. Т.23. С. 14.

143. Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1977). Распространение возмущений в газожидкостных смесях. // Акустический журнал. 1977. Т. 23. Вып.2. С.273.

144. Кунин И.А. (1975). Теория сред с микроструктурой. М.: Наука.

145. Кутателадзе С.С. (1979). Основы теории теплообмена. — М.: Атомиздат, 1979, -46с.

146. Кутателадзе С.С., Бурдуков А.П., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1972). О структуре слабой ударной волны в газожидкостной среде. // ДАН СССР. Т.207. № 2.

147. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. (1984). Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах. —Новосибирск: Наука. 1984. -217с.

148. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е., Соболев В.В. Шрейбер И.Р. (1974). Динамика ударных волн в жидкости, содержащей пузырьки газа. // ПМТФ. 1974. № 5.

149. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. (1958). Гидравлика газожидкостных систем. Энергия. М. 1958.

150. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. (1976). Гидродинамика газожидкостных систем. — М.: Энергия, 1976, -296с

151. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В.(1973). Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. -736с

152. Ландау Л.Д. (1946). О колебаниях электронной плазмы // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. В. 9. С. 574.

153. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1953). Механика сплошных сред. М.: Гостехиз-дат. 765 с.

154. Лежнин С.И. (1979). Эволюционное уравнение для возмущений при расслоенном режиме течения // Гидродинамика и теплообмен в одно- и двухфазных средах: Сб. научн. тр. Новосибирск, 1979, с. 102-107.

155. Лежнин С.И. (1980). Волны конечной амплитуды при расслоенном режиме течения парожидкостной среды // Изв. СО АН СССР, 1980. №3. Сер. Техн. Наук. Вып. 1. С. 30-34.

156. Лежнин С.И. (1985). Волновая динамика жидкости, содержащей газожидкостные кластеры // Материалы Всесоюз. конф. молодых исследователей, март 1985. Новосибирск, 1985. С.87-93.

157. Лесин С., Барон А., Брановер Г., Мерчук И. (1993). Экспериментальное исследование кипения при прямом контакте сред в случае предельного перегрева//ТВТ. 1993. Т.31. С. 941-961

158. Ляхов Г.М. (1959). Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. АН СССР. Сер. Техн. Наук. 1959. №1. С.46-49.

159. Малых Н.В. (1990). Нелинейное отражение сильных импульсов давления от пузырьковых слоев,— Лабораторное моделирование динамических процессов в океане: Новосибирск, ИТ СО АН, 1990. С. 46-54.

160. Накоряков В.Е., Горин A.B. (1994). Тепломассоперенос в двухфазных системах,— Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 1994, -431с.

161. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. (2001). Мультисолитоны в жидкости с пузырьками газа двух разных размеров // ДАН. Т.378. №4. С. 1-4.

162. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. (2002). Волны давления в расслоенной среде жидкость- газожидкостная смесь //ДАН. 2002. Т. 386. № 1. С. 48-50.

163. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. (2003). Взаимодействие ударной волны со сферическим пузырьковым кластером в жидкости// ДАН. 2003. Т. 391. № 2. С. 199- 202.

164. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. (2004). Эволюция ударной волны в газожидкостной среде кластерной структуры // ДАН. Т.394. N4. 2004. С. 480- 483.

165. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р (1990). Волновая динамика газо- и парожидкостных сред, М.: Энергоатомиздат, 1990. 248 с.

166. Накоряков В.Е., Соболев В.В., Шрейбер И.Р. (1972). Длинноволновые возмущения в газожидкостной смеси. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. № 5. С.71-76.

167. Накоряков В.Е., Соболев В.В., Шрейбер И.Р. (1975). Волны конечной амплитуды в двухфазных системах. // В сб. Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, 1975.

168. Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1974). Распространение малых возмущений в парожидкостной смеси. // В кн.: Проблемы теплофизики и физической гидродинамики. Новосибирск: Наука. С. 161-166.

169. Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1979). Модель распространения возмущений в парожидкостной смеси. // ТВТ. Т. 17. № 4. С. 798-803.

170. Немищенко Ю.Л., Суворов Л.Я. (1976). Скачок плотности и термическая релаксация на фронте ударной волны в воде спузырьками газа. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, №4, с.146-149.

171. Нигматулин Р.И. (1970). Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей //ПММ. 1970. Т. 34. №3.

172. Нигматулин Р.И. (1978). Основы динамики гетерогенных сред. М.: Наука,1973.

173. Нигматулин Р.И. (1987). Динамика многофазных сред. 4.1 и Ч. II, М.: Наука, 1987. 464 с. и 360с.

174. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин A.A. (1976). Численное моделирование нестационарных волновых процессов в двухфазных дисперсных средах. // Труды III Всесоюзного семинара по моделям механики сплошной среды. Новосибирск. С. 140-146.

175. Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С., Шагапов В.Ш. (1974). Об ударных волнах в жидкости с пузырьками газа // ДАН СССР. 1974. Т.214. №4. С.779-782.

176. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш. (1974). Структура ударных волн в жидкости с пузырьками газа. // Изв. АН СССР, МЖГ. № 6.

177. Обзоры и тематические статьи Горьковской школы по нелинейным колебаниям. (1974). // Известия Вузов. Радиофизика. T.XVII, №4.

178. Огородников И.А. (1983). Резонансное формирование уединенных волн в среде со структурой.— Новосибирск, 1983. С.25. Препринт ИТ СО АН СССР №90-83.

179. Паркин Б.Р., Гилмор Ф.Р. Броуд X.JI. (1974). Ударные волны в воде с пузырьками воздуха. В кн. Подводные и подземные взрывы, М.: Наука,1974. С.152-258.

180. Пелиновский E.H. (1971). О поглощении нелинейных волн в диспергирующих средах. // ПМТФ. № 2. 1971.

181. Пелиновский E.H. (1976). Некоторые точные методы нелинейных волн. // Изв. ВУЗов. Радиофизика. Т. 19. № 6. 1976.

182. Петвиашвили В.И. (1976). Об уравнении необыкновенного солитона // Физика плазмы. — 1976. Т.2. №3. С.469-472

183. Рабинович М.И., Фабрикант A.JI. (1976). Нелинейные волны в неравновесных средах. // Изв. Вузов. Радиофизика. Т. 19. № 5-6. С. 720-765.

184. Рахматуллин Х.А. (1956). Основы газодинамики взаимно проникающих движений сжимаемых сред // ПММ. 1956. Т. 20. №3.

185. Ривкин C.JL, Александров А.А„ Кременевская A.A. (1977). Термодинамические производные для воды и водяного пара. — М.: Энергия, 1977, -264с.

186. Руденко О.В., Солуян С.Н. (1975). Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975.

187. Рютов Д.Д. (1975). Аналог затухания Ландау в задаче о распространении звуковой волны в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ, 1975, Т. 22, вып.9, С.446-449.

188. Сагдеев Р.З. (1964). Коллективные процессы и ударные волны в разрешенной плазме. // В кн. Вопросы теории плазмы. Вып. 4. М.: Атомиздат. 1964.

189. Седов Л.И. (1973). Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973.

190. Сиротюк М.Г. (1962). Экспериментальное исследование процесса развития ультразвуковой кавитации на частоте 500 кГц. // Акустический журнал. Т. 8. Вып.2. С.216.

191. Сиротюк М.Г. (1967). Об энергетике в кавитационной области. // Акустический журнал. Т. 13. Вып.2. С.265.

192. Сычев В.В. (1961). Скорость звука в воде и водяном паре на линии насыщения // ИФЖ, 1961. Т.4. №6. С.64-69.

193. Tay С.А. (1977). Линейные волны в средах с дисперсией // В кн.: Нелинейные волны, под ред. С. Лейбовича и А. Сибаса. М.: Мир.

194. Уизем Дж. (1977). Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. (Уизем, 1977).

195. Уоллис Г. (1972). Одномерные двухфазные течения. —М.: Мир, 1972, -440с.

196. Флоршютц Л., Чао Б. (1965). Механизм разрушения пузырьков пара // Теплопередача, 1965. Т. 87. №3. С. 353-356

197. Франк-Каменецкий Д.А. (1967). Диффузия и теплопередача в химической кинетике. —М.: Наука, 1967.

198. Хабеев Н.С. (1975). Эффекты теплообмена и фазовых переходов при колебаниях паровых пузырьков // Акуст. журн. 1975. Т. 21. №5. С. 815-821.

199. Хапель Дж., Бреннер Г. (1976). Гидродинамика при малых числах Рейнольд-са. М.: Мир. 630 с.

200. Хирота Р. (1983). Прямые методы в теории солитонов. В кн.: «Солитоны» / Под ред. Р. Буллафа и П. Кодри. М.: Мир, 1983. С. 175-192.

201. Хьюитт Д., Холл-Тейлор Н. (1974). Кольцевые двухфазные потоки, — М.: Энергия, 1974.

202. Цвелодуб О.Ю. (1977). Стационарные плоские волны на стекающей пленке жидкости. // В кн.: Теплофизические исследования. Новосибирск. ИТ АН СССР. С.20-22.

203. Черных Е.М. (1967). О неустойчивости сферического газового пузыря в поле переменного давления. // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. №1.

204. Шрейбер И.Р., Штивельман Б.Я. (1975). Структура и динамика сигнала в гидравлической линии. // В кн.: Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1975, с. 259-269.

205. Штивельман Б.Я. (1978). Задача Холмбоу-Руло и теория гидравлического удара. // В кн.: теплофизика и физическая гидродинамика. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1978, с. 108-118

206. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. (1964). Специальные функции. —М.: Наука, 1964. -344 с.