Резонансное изучение вихрей в джозефсоновских системах с дисперсией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Юлин, Алексей Викторович

• Юлин, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юлин, Алексей Викторович

Оглавление

1 Введение

2 Излучение джозефсоновских вихрей в одномерных системах

с дисперсией

2.1 Введение

2.2 Основные уравнения

2.3 Черенковское излучение солитона, движущегося в линии с дисперсией

2.4 Тормозное излучение солитона, движущегося с переменной скоростью

в линии с дисперсией

2.5 Заключение

3 Черенковское излучение вихрей в периодических структурах

3.1 Введение

3.2 Основные уравнения

3.3 Разностные уравнения и дисперсия линейных волн в системе

3.4 Возбуждение волн в бесконечной системе

3.5 Резонанс в конечных системах

3.6 Нелинейная теория генерации в периодических системах

3.7 Заключение

4 Взаимодействие вихрей с полем излучения. Эффект группировки

4.1 Введение и основные уравнения

4.2 Дисперсия волн в системе

4.3 Конвективная и абсолютная неустойчивость. Усиление и генерация электромагнитных волн

4.4 Нелинейная стадия группировочной неустойчивости

4.5 Заключение

5 Черенковское излучение вихрей в двумерных контактах

5.1 Введение

5.2 Численный анализ двумерных вихревых структур

5.3 Аналитическое рассмотрение черенковского излучения в двумерных кольцевых контактах

5.4 Заключение

6 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансное изучение вихрей в джозефсоновских системах с дисперсией»

1 Введение

Одним из интереснейших эффектов в физике сверхпроводников является открытый в начале шестидесятых годов эффект Джозефсона [1, 2]. Он состоит в том, что если два сверхпроводника разделены тонкой прослойкой диэлектрика или нормального металла (сформирован так называемый джозефсоновский контакт, изображенный на рисунке 1.1), то через нее возможно протекание сверхтока. Этот сверхток связан с когерентным поведением электронного конденсата в верхнем и нижнем электродах. То есть эффект Джозефсона является сугубо квантовым и представляет собой пример, когда квантовомеханическая интерференция волновых функций определяет макроскопические параметры системы.

Различают стационарный и нестационарный эффекты Джозефсона. Первый заключается в протекании через джозефсоновский контакт постоянного тока при отсутствии напряжения на контакте. Нестационарный эффект Джозефсона состоит в том, что если постоянный ток через контакт превышает некоторую пороговую величину, называемую критическим током, то на контакте появляется осцилирующее напряжение. При этом среднее напряжение < V > связано с частотой осцилляций и> фундаментальным соотношением Джозефсона

Тш = 2е < V > .

Хотя впервые эффект Джозефсона был обнаружен в искусственных структурах, впоследствии оказалось, что джозефсоновские контакты могут самопроизвольно возникать в сверхпроводящих материалах (трещины, дефекты структуры) и во многом определять их электродинамические свойства. Например, гранулированные сверхпроводники могут рассматриваться как отдельные гранулы 'хорошего" сверхпроводника с большими критическими токами, соединенные между собой слабыми связями - джозефсоновскими контактами, смотри [3] и ссылки из этой работы. Джозефсоновские контакты могут так же образововаться на дефектах, возникающих, например, при росте ВТСП пленок. Наличие внутри пленок джозефсоновских контактов существенно влияет на их параметры [4]. Кроме того было обнаружено, что некоторые высокотемпературные сверхпроводники, такие как

BiBaCuO и TIBaCuO, фактически представляют собой двумерные сверхпроводящие плоскости, между которыми образуются контакты Джозефсона [5]. Для объяснения свойств таких материалов учет особенностей динамики джозефсоновских контактов совершенно необходим.

Практическое применение джозефсоновские контакты находят в сверхпроводниковой электронике. На их основе делаются самые разнообразные приборы, такие как СКВИДы (SQuID от английского Superconducting Quantum Interference Device), позволяющие производить измерения с точностью до одного кванта, магнитного потока, стандарты вольта, ячейки памяти, цифровые устройства, генераторы и смесители для электромагнитного излучения СВЧ диапазона (до сотен гигагерц). Таким образом, можно заключить, что исследование динамики джозефсоновских контактов представляет как фундаментальный, так и прикладной интерес.

В данной работе рассматриваются резонансные эффекты, возникающие при движении вихрей в длинных джозефсоновских контактах. Поясним, о чем идет речь. Джозефсоновский контакт, как видно из рисунка 1.1, представляет собой своеобразную полосковую линию, в которой ток утечки через диэлектрическую прослойку должен содержать также и сверхпроводящую компоненту, связанную с когерентным поведением электронного конденсата в верхнем и нижнем электродах. В рамках простейшей модели плотность сверхтока js через прослойку может быть выражена через разность фаз ip параметра порядка (сверхпроводящие берега описываются в рамках теории Гинзбурга-Ландау) в двух сверхпроводящих электродах

js = jc sin (р,

где jc - плотность критического тока, являющаяся параметром контакта и зависящая от высоты и ширины тунельного барьера, свойств сверхпроводящих берегов, температуры и т.д. Напряжение на контакте выражается через джозефсоновскую разность фаз <р следующим образом

= П_скр 2е dt'

Тогда для описания джозефсоновского контакта получаем уравнение

ПСд2ч> hG dip h Л

~2e~dlF + 27 т ~ 27LA±íp + JcSm * = Je' (1)

где С = ^ - емкость единицы площади контакта, G - проводимость разделительной прослойки (и тогда есть просто плотность квазичастичного тока через

контакт), L — fijio(h + 2A¡) коэффициент самоиндукции, определяющий выражение двумерной плотности тока Jp в сверхпроводящем электроде через градиент напряжения на контакте ЬЦ*- = W (при вычислении этого коэффициента учитывается конечная глубина проникновения магнитного поля в электроды контакта Л;), Ах - двумерный оператор Лапласа, jcsiri<¿> - компонента тока утечки, связанная с тунелированием куперовских пар, je - плотность внешнего тока, втекающего в контакт. Магнитное поле в контакте выражается через джозефсоновскую разность фаз (р следующим образом: В = Vy. Как

и в случае обычной полосковой линии, уравнение (1) должно быть дополнено граничными условиями на краях контакта.

Уравнение (1) удобно переписать в безразмерных переменных

д2<р dip . , —+ 7—- A^ + smy? =j, (2)

где плотность тока обезразмерена на критическую плотность тока ] = у-, время обезразмерено на плазменную частоту ш2 — а пространственные координаты на джозефсоновскую длину А| = коэффициент 7 = учитывает диссипацию в

контакте.

Джозефсоновская длина Aj является характерным масштабом в уравнении (1). Если размеры джозефсоновского перехода много меньше Aj, то его называют малым контактом. Если же хотя бы один из размеров контакта больше или порядка \j, то говорят о распределенных или длинных джозефсоновских контактах.

Когда длина контакта dy в направлении оси у и характерная частота колебаний электромагнитного поля lo достаточно малы, так, что выполнены условия dy <С Aj, \By\dy < 1 и tody <С 1, то динамика контакта описывается одномерным уравнением

в частных производных

д2<р д2<р

Рассмотрим это уравнение более подробно. При j = 0 отсутствию в контакте среднего магнитного поля отвечает устойчивое состояние равновесия <p0(x,t) — 0. Тогда динамика слабого электромагнитного поля р < 1 описывается линейным уравнением

Vu + Wt - <Рхх + Ч> — 0- (4)

В случае, когда 7 = 0 решением (4) являются линейные волны tpw = Asin(wi — кх + в) имеющие плазменный закон дисперсии и>2 — 1 + к2. Их минимальная фазовая скорость, называемая скоростью Свихарта, равна 1 (wpAj в размерных переменных). Групповая скорость этих волн может лежать в пределах от 0 до 1. Отметим, что в более сложных джозефсоновских системах, например, в контакте, связанном с полосковой линией, дисперсия волн, конечно же, меняется. Структура линейных волн в джозефсоновском контакте показана на рисунке 1.2, где приведены зависимости от координаты джозефсоновской фазы ср, магнитного поля и сверхтока.

Другим типом решения (3) являются солитоны. В этом случае фаза является растущей функцией координаты, и, следовательно, среднее магнитное поле в контакте отлично от нуля. Частным случаем такого решения является односолитонное решение

X + X о — vt) (fis = 4 arctanexpl-. —).

Видно, что скорость движения солитона v определяет его ширину, и что скорость солитона не может превышать скорость Свихарта ( хотя, в принципе, существуют солитонные решения с v > 1, но можно показать, что они неустойчивы ). Каждый солитон соответствует изменению фазы на 2тг. Циркулирующий вокруг центра солитона сверхток создает магнитное поле такое, что каждый солитон соответствует захвату в контакте одного кванта магнитного потока. Поэтому такие нелинейные волны называют джозефсоновскими вихрями или флаксонами. Зависимость фазы,

магнитного поля и сверхтока от координаты для одиночного вихря показаны на рисунке 1.3. Джозефсоновские вихри, как и другие солитоны, под действием слабых возмущений не меняют своей формы, и их часто можно рассматривать как квазичастицы ("собственные моды" нелинейной задачи), и задача о динамике джозефсоновского контакта сводится к рассмотрению самосогласованной системы уравнений, описывающих линейные волны и движение центров солитонов.

Вихри играют важнейшую роль в динамике длинных джозефсоновских контактов. В частности, доказано, что переход таких контактов в резистивное состояние связан с движением в них вихрей. Особенности вольт-амперных характеристик, излучение электромагнитных волн из контакта и другие эффекты не могут быть объяснены без рассмотрения движения вихрей.

Взаимодействие вихрей и линейных (квазилинейных) волн может играть ключевую роль в динамике контактов и, фактически, определять их электрические свойства. Особый интерес вызывают случаи сильного резонансного взаимодействия. Настоящая диссертация посвящена исследованию одного такого, до сих пор мало исследованного, эффекта - эффекта черенковского излучения вихрей в джозефсоновских системах с дисперсией. Для того чтобы резонансное излучение могло возникнуть, необходимо выполнение условия черенковского синхронизма, заключающегося в том, что скорость вихря должна быть равна фазовой скорости линейной волны. Тогда вихрь все время находится в одной и той же фазе волны и эффективно обменивается с ней энергией. Однако, как было замечено выше, в однородном одномерном джозефсоновском контакте, описываемом уравнением Sine-Gordon, скорость вихрей всегда меньше, а фазовая скорость линейных волн всегда больше скорости Свихарта. Поэтому для достижения черенковского синхронизма дисперсионная характеристика контакта должна быть искажена. Это может быть достигнуто изменением геометрии контакта, приводящим к нелокальным эффектам [6, 7], связью с дополнительной волноведущей системой [8, 9, 10, 11], двумерностыо контакта [12], наличием в контакте периодических неоднородностей [13]. Таким образом, эффект черенковского излучения может наблюдаться в самых разнообразных системах, и круг физических задач, имеющих прямое отношение к

этому эффекту, весьма широк.

Ввиду того, что одним из наиболее перспективных применений черенковского излучения вихрей является его использование для генерации СВЧ излучения, кратко рассмотрим основные способы возбуждения электромагнитных волн, используемые в сверхпроводниковой электронике.

Генераторы, использующие в качестве активного элемента джозефсоновские контакты, можно разделить на два класса. К первому относятся различные системы, состоящие из большого числа контактов - различные массивы и решетки контактов. Преимуществом таких устройств является их большая выходная мощность. Однако спектр излучения таких устройств определяется разбросом параметров контактов и может быть очень широк. Поэтому необходимо предпринимать дополнительные усилия для достижения взаимной синхронизации контактов ([14]). Это позволяет не только повысить мощность излучения, но и получить более узкий спектр ([15]).

Ко второму классу генераторов следует отнести генераторы на движении квантов магнитного потока. На их основе уже разработаны компактные источники СВЧ излучения, применямые, например, для накачки смесителей [16]. Принцип работы таких приборов состоит в следующем. В длинном джозефсоновском контакте под действием тока накачки движется вихрь. Когда вихрь достигает края контакта, происходит излучение электромагнитных волн в выходную волноведущую систему. Частота излучения при этом определяется частотой выхода флаксонов на границу контакта и зависит, соответственно, от скорости движения вихрей и от расстояния между солитонами. Принципы работы и первые экспериментальные реализации таких генераторов описаны в работах [17, 18, 19, 20, 21]. Шумы в данных устройствах определяются флуктуацией расстояний между вихрями [22, 23, 24], и для уменьшения уровня шумов необходимо использовать достаточно плотную вихревую цепочку.

Бросающимся в глаза недостатком генератора на движении квантов магнитного потока является то, что вихрь излучает лишь в малой области (порядка размера вихря, ~ 5 микрон) вблизи границы. Движение же вихря внутри контакта (длина ~ 300 микрон) приводит лишь к диссипации энергии. Пользуясь

аналогией с классической теорией поля, можно сказать, что используемые в настоящее время генераторы основаны на эффекте переходного излучения, когда роль неоднородности выполняет граница контакта и приемной волноведущей системы. Использование эффекта черенковского излучения вихря, движущегося в джозефсоновской линии передачи, позволяет организовать взаимодействие между вихрями и излучаемыми волнами во всем объеме контакта. Это позволит, во-первых, существенно увеличить мощность генерации, а во-вторых, поскольку черенковское излучение это резонансный эффект, то можно ожидать также сужения полосы генерации.

Поэтому рассмотрение эффектов черенковского и тормозного излучения джозефсоновских вихрей в различных системах является актуальной проблемой и может служить предметом диссертационной работы. В настоящей диссертации джозефсоновские контакты рассматриваются в рамках наиболее часто используемой резистивной модели. При относительной простоте такая модель качественно, а часто и количественно верно описывает основные явления, происходящие в контактах. Вторая глава диссертации посвящена нахождению поля излучения вихря, движущегося в джозефсоновской линии передачи с дисперсией. Хорошо известно, что в однородном контакте, описываемом уравнением Sine-Gordon, сихронизм между линейными волнами и солитонами невозможен, поскольку скорость движения вихрей всегда меньше скорости линейных волн - скорости Свихарта. При стремлении скорости вихря к критической происходит потеря устойчивости вихря. Однако, если дисперсия системы искажена, например, путем связи джозефсоновского контакта с дополнительной волноведущей системой, то появляется возможность обеспечить требуемый синхронизм. Нами исследована система, состоящая из контакта электродинамически связанного с произвольной внешней линией передачи.

Сформулирована модель, описывающая рассматриваемую схему. Проанализированы дисперсионные свойства такой системы, и найдены условия существования резонансного взаимодействия. Аналитически найдено поле излучения вихря, движущегося в такой джозефсоновской линии передачи. Найдена мгновенная мощность

излучения, и вычислена энергия, запасенная в . радиационном хвосте вихря. Сравнение показало, что эта энергия может существенно превышать собственную электромагнитную энергию вихря. Показано, что частота возбуждаемых волн определяется скоростью движения вихря и дисперсионными свойствами системы и может как возрастать, так и уменьшаться при увеличении скорости солитона.

В последнем разделе второй главы рассмотрено излучение вихрей, движущихся с переменной скоростью. Показано, что осциляции скорости флаксона, приводят к возникновению излучения, аналогичного тормозному излучению электронов. В этом случае условия синхронизма меняются, и резонансное взаимодействие возможно даже, если солитон движется со средней скоростью меньшей скорости линейных волн. Обнаружено, что при синусоидальной модуляции скорости вихря излучение содержит целый ряд гармоник. Удалось показать, что наличие низкочастотных осциляций скорости солитона может приводить к образованию тонкой структуры на ВАХ контакта. Также продемонстрировано, что тормозное излучение приводит к подавлению собственно черепковского излучения.

Рассмотрены радиационные эффекты, возникающие при движении в контакте цепочек вихрей. Найдено стационарное радиационное поле флаксонной цепочки в случае, когда можно пренебречь влиянием поля излучаемых волн на динамику самих солитонов. Показано, что цепочка эффективно возбуждает линейные волны, когда излучение от всех вихрей складывается в фазе. Найдена зависимость мощности излучения от скорости и пространственного периода цепочки. Показано, что при малой диссипации на этой зависимости есть ярко выраженный максимум, соответствующий синфазному излучению всех вихрей.

В третьей главе рассматривается практически важный случай излучения вихрей в периодических системах. Исследована реализуемая в эксперименте схема, когда контакт связан с периодической системой, состоящей из полосковых линий. Поскольку такая структура является периодической, то дисперсия имеет зонную структуру и черенковский синхронизм существует всегда, однако эффективность возбуждения волн зависит от целого ряда параметров.

Сформулирована модель, позволяющая эффективно описывать линейные и,

при определенных ограничениях, нелинейные волны в исследуемой системе. Получено выражение для дисперсии линейных волн в таких системах, найдена структура собственных волн. Показано, что при слабой связи контакта и линии собственные моды системы можно условно разделить на волны, распространяющиеся в основном в линии передачи (моды линии) и волны, которые, в основном, распространяются в контакте (моды контакта). Вычислены постоянная затухания и коэффициент возбуждения линейных волн движущейся цепочкой вихрей. Получены и решены уравнения для амплитуд возбуждаемых мод. Показано, что при удачном подборе параметров даже в линейном случае поток энергии в моде линии может превышать максимальный поток энергии в моде контакта. Кроме того, поскольку полосковая линия имеет значительно больший импеданс (яа 20 Ом против ~ 1 Ом у контакта), то для моды линии значительно легче обеспечить согласование со внешней электродинамической системой. Это должно упрощать создание эффективной схемы генератора.

Рассмотрено возбуждение стоячих волн в системе конечных размеров. Показано, что в этом случае существуют резонансы двух типов. Резонансы первого типа, исчезающие при увеличении длины системы - это хорошо известные резонансы Фиске. Другие резонансы связаны с черенковским излучением вихрями электромагнитных волн. Такие резонансы одинаково отчетливо выражены в системах любой длины. Проведено сравнение эффективности генерации коротких систем, когда ослабление волны на длине системы незначительно, и систем с большой длиной, когда отраженной от границы системы волной можно пренебречь.

Показано, что, при реальных параметрах, даже для моды линии ограничения на максимальную мощность генерации обусловлены не диссипацией, а наличием нелинейных эффектов. Построена простейшая нелинейная модель, учитывающая подавления источника возбуждаемой волной. Сделаны оценки для реальных устройств и показано, что именно нелинейность ответственна за ограничение мощности. Также именно нелинейность определяет длину системы, на которой реально происходит рост амплитуды моды. Показано, что схемы, используемые в эксперименте, являются длинными, т.е. их длины таковы, что на них происходит

установление стационарной амплитуды. Из полученных результатов можно сделать вывод о наиболее выгодном коэффициенте связи при известных константах диссипации и длине системы.

Эффекты, связанные с воздействием излучения на динамику вихрей, рассмотрены в четвертой главе. Исследована движущаяся цепочка взаимодействующих вихрей. Для анализа использовано, так называемое, квазичастичное приближение в рамках которого каждый вихрь рассматривается как частица и описывается координатой центра вихря. Уравнения для вихрей дополняются самосогласованными уравнениями для полей линейных волн в линии. В результате получается замкнутая система уравнений, которая, при определенных ограничениях, может быть рассмотрена аналитически. Используемая модель является более сложной, чем использованная ранее для нахождения излучения одиночного вихря. В частности, взаимодействие вихрей приводит к наличию в системе акустических волн, которые могут существенно влиять на излучение.

Показано, что если пространственный период резонансной волны не совпадает с периодом вихревой цепочки, то суммарное излучение коллектива вихрей мало, т.к. в этом случае излучение одних вихрей складывается в противофазе с излучением других вихрей. Однако было обнаружено, что при определенных параметрах эквидистантная цепочка вихрей является неустойчивой, и в цепочке может начать развиваться модуляционная неустойчивость, которая приводит к модуляции плотности вихрей. Из-за этого полной компенсации излучения одних вихрей излучением других вихрей не происходит. В результате суммарное излучение не равно нулю и, при определенных параметрах, может быть близко к максимальному. Такому процессу имеется прямая аналогия в вакуумной электронике. Это группировка электронов в приборах типа ламп бегущей волны и обратной волны О-типа. В рассматриваемом случае, как и в вакуумной электронике, в зависимости от дисперсионных свойств системы может развиваться как конвективная, так и абсолютная неустойчивость. Соответственно, возможно создание как усилителя, так и генератора электромагнитных волн. Найдены условия возникновения и инкремент нарастания неустойчивости при различных параметрах. Показано,

что взаимодействие с прямой волной, как и следовало ожидать, приводит к конвективной, а с обратной волной - к абсолютной неустойчивости.

Рассмотрена также простейшая модель нелинейной стадии группировочной неустойчивости. Выведено укороченное уравнение, описывающее динамику амплитуды возбуждаемой волны. Найдена зависимость амплитуды генерации от отстройки скорости цепочки от резонансной. Тем самым определена ширина данного резонанса. Получены достаточно оптимистичные оценки для мощности генерации, которая может быть достигнута в реальных приборах. Исследовано влияние черенковского резонанса на ВАХ контакта. Показано, что в достаточно добротной системе наличие таких резонансов должно приводить к образованию ступенек на зависимости напряжения от тока накачки. В заключении главы кратко сформулированы основные результаты данной части диссертации.

В пятой главе работы рассмотрена динамика джозефсоновских вихрей в двумерных кольцевых контактах. Эта область джозефсоновской динамики к настоящему времени все еще является достаточно мало исследованной. Известны работы по исследованию статических вихревых структур в контактах произвольной формы, когда удается написать укороченные уравнения для плотности вихрей в контакте [25]. Так же существует целый ряд ра,бот, в которых найдены некоторые точные решения или проведено численное моделирование двумерного уравнения Sine-Gordon, смотри [26, 27] и цитированную там литературу. Однако, несмотря на это, достаточного полного (как это сделано для одномерного случая) представления о динамике двумерных контактов пока не существует.

В первом разделе пятой главы сформулирована модель, которая описывает двумерный кольцевой контакт в рамках уравнения Sine-Gordon в кольцевой области. Получены граничные условия для этого уравнения, которые определяются внешним магнитным полем. При этом предполагается, что импеданс внешней области много больше импеданса контакта, и поэтому можно пренебречь излучением из контакта электромагнитных волн.

В следующем разделе главы проведено численное моделирование статического распределения магнитного поля в двумерных контактах. Показано, что если в

контакте захвачен квант магнитного потока, то в точках, расположенных достаточно далеко от центра контакта, магнитное поле локализовано и возникает нелинейное образование, которое можно назвать вихревой струной. В случае контакта малых размеров, как и следовало ожидать, магнитное поле в нем оказывается равномерно распределенным. Исследованно влияние внешнего магнитного поля на форму вихревых струн. Показано, что внешнее поле приводит к изгибу струн, и в контакте образуются спиральные вихри. При отсутствии захваченного магнитного потока достаточно сильное внешнее тангенциальное поле приводит к образованию кольцевых вихрей. Из-за наличия отверстия в центре контакта такие статические кольцевые вихри могут существовать в исследуемой системе даже при отсутствии пининга.

В третьем разделе проведено моделирование динамики вихрей в кольцевых контактах. Показано, что при достижении определенной скорости за вихрем начинает возникать радиационный хвост. При увеличении скорости вихря частота излучения уменьшается, а его амплитуда увеличивается. Обнаруженное поле излучения локализовано около внешней границы и имеет радиальную структуру моды, известной в акустике как мода шепчущей галереи. Показано, что излучение возникает, когда линейная скорость внешнего конца вихревой струны достигает скорости Свихарта. Кардинальным отличием от одномерного случая является то, что двумерный солитон остается при этом устойчивым. Исследовано влияние внешнего магнитного поля на излучение вихря и показано, что наложение поля может приводить к усилению излучения. Очевидно, что в этом случае возникает более эффективная связь между нелинейным источником (вихревой струной) и линейной возбуждаемой модой.

Построена ВАХ двумерного кольцевого перехода, и обнаружено, что, при достаточно большой длине контакта, на ней нет резонансных ступенек. Найдено значение тока, при котором начинается разрушение состояния с движущимися вихрями. Исследован процесс разрушения вихревого состояния. Обнаружено, что при достижении скоростью вихря определенного значения, излучение становится настолько сильным, что происходит рождение пары вихрь-антивихрь. После этого

два вихря движутся в одну сторону, а антивихрь .- в другую. При последующем столкновении первого вихря с антивихрем происходит их аннигиляция. Затем из излучения вихря происходит рождение новой пары вихрь-антивихрь, и процесс повторяется. При дальнейшем увеличении тока рождение пар становится лавинным, и вихревое состояние разрушается.

В следующем разделе главы построена простейшая аналитическая теория черенковского излучения в двумерных кольцевых контактах. Показано, что это излучение возникает из-за черенковского синхронизма между вихрем и линейной модой контакта. Медленные моды кольцевого контакта имеют радиальную структуру, описываемую функцией Бесселя высокого порядка, угловая структура таких мод есть синусоидальнальная функция. Доказано, что резонанс наступает именно с волнами такого типа. Это позволяет говорить, что наблюдается черенковское излучение волн типа мод шепчущей галереи. Аналитически найдено поле излучения (при конечном затухании) и условие его возникновения.

В последнем разделе главы проводится сопоставление результатов прямого численного моделирования и аналитически полученных результатов. Показано, что развитая теория правильно определяет условия возникновения и структуру поля излучения. Здесь же показано, что черенковский синхронизм может приводить к образованию тонкой структуры на В АХ контактов. Проведенное сравнение с экспериментальными результатами [28] позволяет утверждать, что черенковское излучение в двумерных контактах действительно имеет место. В конце этого раздела главы также обсуждается возможность использования обнаруженного эффекта в практических целях.

В заключении приводятся основные результаты проделанной работы.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Рассмотрено движение вихрей в джозефсоновской линии передачи с дисперсией. Показано, что при этом возникает черенковское излучение, если в системе существует волна, фазовая скорость которой равна скорости джозефсо-новских солитонов. Сделанные оценки позволили продемонстрировать, что при реальных параметрах энергия, запасенная в радиационном хвосте, значительно

превышает собственную энергию вихря. Поэтому энергия, которая высвечивается в приемную антенну при достижении вихрем края контакта, оказывается больше в том случае, когда выполнено условие черенковского синхронизма. Таким образом, использование черенковского излучения значительно повышает эффективность генерации. Кроме того, в этом случае проще решается проблема вывода излучения, поскольку гораздо легче осуществить согласование с внешним устройством полосковой линии, чем джозефсоновского контакта.

2. Показано, что осцилляции скорости солитона, возникающие, например, из-за неоднородного тока накачки, приводят к тормозному излучению, содержащему целый ряд гармоник, и к подавлению собственно черенковского излучения. Тормозное излучение вихрей является одним из эффектов, которые приводят к образованию тонкой структуры на ВАХ контактов. Показано, что при движении вихревой цепочки, для достижения максимальной мощности излучения, необходимо выполнение пространственного синхронизма, обеспечивающего когерентное излучение от всех вихрей.

3. Исследованы периодические структуры, позволяющие легко реализовать черенковский синхронизм между джозефсоновскими вихрями и линейными модами. Продемонстрировано, что дисперсионные свойства линейных волн в таких схемах легко меняются подбором параметров полосковых линий. Это позволяет обеспечить требуемое замедление волн в широком диапазоне частот. Поэтому частота излучения генератора, реализованного на периодической системе полосковых линий, может перестраиваться изменением тока накачки и внешнего магнитного поля. Потери в замедляющей системе на основе полосковых линий остаются малыми, что обеспечивает высокую эффективность генерации.

4. Исследован вопрос об оптимальном нагрузочном импедансе. Показано, что он зависит от размеров системы. Найден критерий, позволяющий определить, когда для получения максимальной мощности излучения схема должна быть согласована с внешним устройством, а когда необходимо использовать несогласованную нагрузку. Показано, что реально изготовляемые системы являются длинными в масштабе нарастания волн, и для достижения максимальной мощности их концы

должны быть согласованы с приемным устройством.

5. Проведено исследование нелинейных эффектов и показано, что они могут быть ответственны за ограничение амплитуды излучаемой волны. Эти же эффекты определяют и пространственный масштаб нарастания моды. Выяснено, что при типичных параметрах контакта и полосковых линий выгодно использовать такую систему, когда резонансная волна распространяется, в основном, в полосковой линии. Это позволяет ослабить подавление источника возбуждаемой волной и добиться максимальной мощности излучения. При этом оптимальная связь зависит от дисперсионных свойств системы, ее длины и констант диссипации, существенно различающихся для контакта и полосковой линии.

6. Показано, что существует достаточно широкая область параметров, когда наличие черенковского синхронизма при несовпадающих пространственных периодах резонансной волны и цепочки вихрей приводит к развитию группировочной неустойчивости. Обнаруженный эффект аналогичен эффекту группировки электронов в приборах типа лампы бегущей и обратной волны. Наличие неустойчивости подобного рода может использоваться как для усиления волн (если рабочая мода вблизи точки синхронизма является прямой волной), так и для генерации излучения (если вблизи точки синхронизма рабочая мода является обратной волной, или если в системе есть положительная обратная связь). Мощность, генерируемая системой после выхода всех процессов на стационарный режим, может быть порядка нескольких десятков микроватт, что является достаточно высоким уровнем для приборов данного класса.

7. Исследован процесс формирования вихревых струн в двумерных кольцевых джозефсоновских контактах. Показано, что магнитное поле формируется в струны, если размер контакта велик по сравнению с джозефсоновской длиной. Исследовано влияние внешнего статического магнитного поля на образование в вихрей в двумерном контакте. Обнаружено, что приложение внешнего магнитного поля приводит к изгибу солитонных струн и формированию спиральных вихрей. При отсутствии же захваченного потока, но наличии сильного внешнего тангенциального магнитного поля в джозефсоновский контакт проникают кольцевые вихри.

8. Рассмотрено движение вихревых струн , при постоянном токе накачки. Обнаружено, что, когда ток становится достаточно большим и линейная скорость внешнего участка струны превышает скорость Свихарта, за солитоном возникает радиационный хвост. При этом поле излучаемой волны сосредоточено вблизи внешней границы и имеет структуру моды шепчущей галереи. При дальнейшем росте скорости вихря происходит уменьшение частоты излучения и увеличение его амплитуды. Проанализировано влияние внешнего магнитного поля на излучение вихревой нити. Показано, что оно влияет лишь на амплитуду возбуждаемой волны и на предельный ток накачки, при котором происходит разрушение вихревого состояния. Развита теория, позволяющая объяснить все наблюдаемые в численном эксперименте эффекты. Предсказано образование на ВАХ контакта тонкой структуры, связанной с черенковскими резонансами. Показано, что в кольцевом контакте одним из возможных сценариев разрушения вихревого состояния является постоянное рождение из поля излучения новых пар вихрь-антивихрь. Продемонстрировано, что в кольцевом контакте можно осуществить электронную перестройку частоты генерации, сохранив все достоинства резонансного излучения. Проделанное исследование позволяет утверждать, что использование геометрической дисперсии волн в круглых контактах может позволить создать эффективный генератор электромагнитного излучения СВЧ диапазона с электронной перестройкой частоты.

Диссертация выполнена в Институте Физики Микроструктур в период с 1993 по 1998 год. Материалы диссертации докладывались на II международной школе - семинаре "динамические и стохастическме волновые явления" (Dynamical and Stochastic wave phenomena), Нижний Новгород, Россия, 1994; на 4-ой международной конференции "Материалы и Механизмы Сверхпроводимости Высокотемпературных Сверхпроводников" (Materials and Mechanisms of Superconductivity High Temperature Superconductors), Гренобль, Франция, 1994; на Международной Конференции по Прикладной Сверхпроводимости (International Conference on Applied Superconductivity), Бостон, США, 1994; на Международной конференции по Сверхпроводниковой Электронике (International Superconducting Electronic Conference), Нагойа, Япония; на VIII Трехстороннем

Германо - Российско - Украинском Семинаре по высокотемпературной сверхпроводимости, Львов, Украина, 1995; на Международной Конференции Студентов -Физиков, Копенгаген, Дания, 1995; на IX трехстороннем Германо - Российско -Украинском Семинаре по Высокотемпературной Сверхпроводимости (IX Trilateral German - Russian - Ukrainian Seminar on High Temperature Superconductivity), Гебельбах, Германия, 1996; на I Нижегородской Сессии Молодых Ученых, Нижний Новгород, 1996; на II международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, Россия, 1996; на Международной конференции по Сверхпроводниковой Электронике (International Superconducting Electronic Conference), Берлин, Германия, 1997; на II Нижегородской Сессии Молодых Ученых, Нижний Новгород, 1997 и опубликованы в работах [А] - [L].

Я благодарен своему научному руководителю В.В. Курину за постоянный интерес и помощь на всех этапах работы над диссертацией. Считаю своим долгом выразить признательность А.А. Андронову за прочтение рукописи и сделанные полезные замечения, И.А. Шерешевскому и Н.К. Вдовичевой за плодотворное сотрудничество. и большую помощь в оформлении диссертации. Также я хочу поблагодарить сотрудников отдела 120 Института Физики Микроструктур за интересные научные дискуссии и ценные советы.

2 Излучение джозефсоновских вихрей в одномерных системах с дисперсией

2.1 Введение

На возможность черенковского синхронизма между вихрями и линейными волнами в системе электродинамически связанных джозефсоновских контактов было указано в работе [8] еще в конце восьмидесятых годов. В настоящее время в связи с развитием технологии изготовления контактов наблюдается всплеск интереса к этой проблеме. Черенковское излучение, возникающее при движении флаксонов в различных джозефсоновских линиях передачи с дисперсией, обсуждалось в целом ряде экспериментальных и теоретических работ [6, 7, 11, 13]. В частности, в таких системах было обнаружено излучение на частотах, не являющихся гармониками джозефсоновской частоты. Было так же показано, что черенковский синхронизм приводит к образованию резонансных ступенек на вольт-амперных характеристиках контактов. Наличие радиационных эффектов значительно усложняет динамику флаксонов в контактах и, как бутет показано в данной работе, может приводить к эффектам типа группировки вихрей [9]. Возможным же практическим применением черенковского синхронизма является его использование для генерции электромагнитных волн СВЧ диапазона. Все это делает черенковское излучение интересным и перспективным объектом исследований.

Целью данной главы является рассмотрение черенковского излучения отдельного вихря в простейшей системе, состоящей из одномерного джозефсоновского перехода электродинамически связанного с линией передачи. Рассмотрение этого вопроса важно для понимания основных особенностей резонансного излучения солитонов в джозефсоновских системах с дисперсией. Простота модели позволяет получить аналитические результаты для многих параметров излучения. В настоящей главе получены формулы, описывающие радиационное поле солитона, найдены выражения для энергии, запасенной в поле излучения и для мощности радиационных потерь, возникающих при движении вихря. Все полученные результаты имеют ясную физическую интерпретацию, и их совокупность дает

возможность представить полную картину явления..

С другой стороны рассмотренная схема является реализуемой в эксперименте, и все результаты могут быть сопоставлены с реально измеренными вольт-амперными характеристиками и параметрами излучения джозефсоновских контактов.

Отдельно остановимся на том, что исследование джозефсоновских линий передачи с дисперсией преставляет собой и чисто практический интерес. Использование эффекта Джозефсона для генерации электромагнитного излучения уже долгое время привлекает внимание исследователей во всем мире. Одним из перспективных направлений создания джозефсоновского генератора является использование движения магнитных вихрей в длинном джозефсоновском контакте. Генераторы, основанные на этом принципе, так называемые, генераторы на движении квантов магнитного потока (далее генераторы ДКМП) широко изучаются в настоящее время экспериментально и теоретически [16, 29, 30, 31, 51] и уже находят применение в качестве гетеродина в интегральных приемниках [33]. Однако одной из основных проблем при конструировании таких генераторов является проблема повышения их мощности и сужения спектра излучения. Особенно это актуально в области высоких частот ( около 500 ГГц и выше).

Недостатком используемого генератора ДКМП на гладком джозефсоновском переходе является низкая эффективность взаимодействия солитонов и линейных волн, обусловленная видом дисперсии свихартовских мод в джозефсоновском контакте и2 = о;| + у2к2, где - скорость Свихарта и цл, - джозефсоновская плазменная частота. Из-за такого вида дисперсии волн резонансное взаимодействие солитонов и волн в объеме контакта невозможно, так как фазовая скорость волны Урк > а скорость солитона ь301 < и излучение волн происходит только на конце джозефсоновского контакта в месте соединения с пассивной линией передач. Искажение дисперсии позволяет получить взаимодействие между вихрями и волной во всем объеме контакта и добиться большей мощности излучения.

В настоящей главе расмотрено черенковское излучение флаксонов в джо-зефсоновской системе с отличным от плазменного законом дисперсии линейных

волн. В этом случае достижение синхронизма между движущимися вихрями и линейными волнами становится возможным, и возникает эффект черенковского излучения. Этот эффект может быть положен в основу нового типа генератора на движении квантов магнитного потока, в котором реализуется объемный механизм излучения электромагнитных волн. Искажение дисперсионной характеристики линейных мод достигается путем электродинамической связи джозефсоновского контакта с внешней замедляющей волноведущей системой. Примерный внешний вид и дисперсионная характеристика волн в такой конструкции изображены рис. 2.1.1 и 2.1.2.

В этой главе найдены условия черенковского синхронизма и получены аналитические выражения для поля излучения одиночного вихря. Также получены аналитические формулы для таких важнейших характеристик, как энергия, запасенная в излученной линейной моде и мощность потерь, связанных с радиационным трением. Выяснено влияние осциляций скорости вихря на его излучение. Показано, что при осцилляциях скорости возникает тормозное излучение и подавляется собственно черенковское. Получены выражения для мощности излучения периодических разреженных цепочек вихрей. Показано, что для эффективного излучения необходимо сфазированное излучение всех вихрей. Поэтому при движении цепочки вихрей с постоянной плотностью излучение резко возрастает при некоторых скоростях, обеспечивающих требуемую синфазность излучения.

Глава имеет следующую структуру. Во втором разделе получены уравнения, описывающие исследуемую электродинамическую систему в рамках простейшей одномерной резистивной модели. Третий раздел посвящен собственно нахождению полей излучения и его энергетических характеристик. В заключительном четвертом разделе найдено поле излучение вихря, движущегося с переменной скоростью. В этом же разделе найдено радиационное поле цепочек вихрей, и продемонстрирована необходимость синфазного сложения излучения от всех вихрей для получения эффективной генерации.

2.2 Основные уравнения

Рассмотрим простейшую систему, реализующую предложенный принцип и допускающую достаточно подробное аналитическое описание в рамках теории возмущений. Она представляет собой длинный джозефсоновский контакт, электродинамически связанный с полосковой линией, обладающей дисперсией, см. рис. 2.1.1. Дисперсия в линии может быть обусловлена, например, периодически расположенными полосковыми резонаторами. Уравнения, описывающие динамику связанных линий следуют из законов Кирхгофа для эквивалентной схемы (рис. 2.2.1) и имеют вид:

Li1U + Uu = -MI2u (5)

Cif/u + G\U\ + hx = -C(Uu - U2t) - js + 3exU (6)

Uht + U2x = -Mht, (7)

C2U2i+I2x = -C(U2t-U2t), (8)

здесь I\ 2 f/i,2 - токи и напряжения в длинном джозефсоновском контакте и в пассивной линии передачи сответственно, js - линейная плотность сверхтока., ]e,xt - плотность внешнего тока, Li, С] - индуктивность и емкость джозефсоновского контакта на единицу длины, L2,C2 - линейные операторы, определяющие связь между плотностью магнитного потока и током

/•ОО

S2(t) = L2I2= / L{r)I2{t-T)dT J о

и между плотностью заряда и напряжением в дополнительной электродинамической системе

Г ОО

p2(t) = C2U2 = / C2(T)U2(t - T)dr J О

соответственно. По аналогии со случаем без дисперсии будем называть эти операторы операторами индуктивности и емкости [34]. В Фурье представлении эти операторы становятся операторами умножения L2 = L2(co,k) С2 = С2{и^к) и определяют дисперсионное соотношение для линейных волн во внешней электродинамической системе

-C2(w, к)ш2 + L-1(w, к)к2 = 0. 24

В случае гладкой полосковой линии без дисперсии .величины С2 Ь2 не зависят от частоты. Операторы С2 Ь2 связаны с часто употребляемыми операторами импеданса Z и проводимости Y хорошо известными соотношениями

¿=У* f=ó4- <9>

или в представлении Фурье -

Z = -ICOL2, Y = -ILOC2. (10)

Реальные части L2(lo) C2(lo) определяют дисперсию, мнимые - потери в электродинамической системе. Коэффициенты М, С - взаимные индуктивность и емкость соответственно, определяющие силу связи между джозефсоновским переходом и внешней электродинамической системой. Нижние индексы t их обозначают, как обычно, частные производные по времени и координате.

Введем в рассмотрение джозефсоновскую разность фаз ip на переходе и z-компоненту векторного потенциала в пассивной линии - ф, связанные с напряжениями и с линейными плотностями магнитных потоков 5^2 в

джозефсоновском контакте и в линии соотношениями

тт Фо п Ф° / с Фо с Ф° /

= 2тг^' = 2тг = = 2тг ' '

где Ф0 - квант магнитного потока. Далее, используя явное выражение для сверхтока js = je sin <у2, где jc критическая плотность джозефсоновского тока, из (5)-(8) получим систему уравнений для переменных (/?, ф

д ~ 2тг i

(<С, + C)vu + Gm- —(L, - M2L-xY\x + sin =

г\ Г)

- M—iL, - М2Ь?)~1Ь?фх + Сфи + (12)

Ох Ф0

д * М2 , М д <- М2 ,

(с2 + с)фи - - -Ц-ГЧ* = - 77)'+ cv«, (13)

описывающую динамику джозефсоновского контакта, связанного с линейной линией передачи индуктивным и емкостным образом.

В данной главе, надеясь на получение аналитических результатов, мы ограничимся рассмотрением случая слабой связи контакта и электродинамической

системы, и поэтому в дальнейшем будем полагать. С <С С\,С2 и М2 -С ,¿2-Предположение о слабости связи дает возможность пренебречь членами с С и М в левых частях системы (12)-(13) и оставить их только в правых.

Удобно перейти к общепринятым безразмерным времени и координате, введя в качестве масштаба времени величину и>~1, где u>j = (J^-)^ - джозефсоновская плазменная частота и в качестве единичного пространственного масштаба джозеф-соновскую длину Лj = ()'' единица скорости v„ = XjUj - есть скорость Свихарта в джозефсоновском контакте. В этих безразмерных переменных система (12)-(13) приобретает вид

fit - (fixx + sin = -афхх + Рфи+jext - 14>и (14)

Иф = -atpxx + рфи, (15)

где а — ft = - коэффициенты магнитного и электрического взаимодействия джозефсоновского контакта и линии соответственно, 7 = - безразмерный

коэффициент затухания, характеризующий потери в джозефсоновском контакте, оператор

г а?

характеризует дисперсию волн в электродинамической системе. Системы уравнений, аналогичные (14)-(15), описывают динамику целого класса джозефсоновских систем, и их частные случаи широко обсуждались в литературе [30, 35, 36, 37, 38].

Следует заметить, что система (14)-(15), путем исключения ф, может быть записана в виде одного уравнеия

К<р + sin с/? = jext, (16)

имеющего вид уравнения Sine-Gordon, где оператор Д'Аламбера заменен некоторым линейным оператором К, определяющим дисперсионные свойства электродинамической системы с длинным джозефсоновским контактом. Уравнения вида (16) описывают динамику джозефсоновского контакта, связанного с линейной электродинамической системой. Конкретные свойства дополнительной волноведу-щей системы определяют при этом ядро оператора К. Примеры использования

нелокального уравнения типа (16) для описания динамики джозефсоновских контактов можно найти в [6, 38, 39, 40].

В заключение приведем явные выражения для емкостных и индуктивных коэффициентов, входящих в систему (5)-(8) через геометрические размеры полосковых линий, смотри рисунок 2.1.1. В случае слабой связи и при выполнении условия применимости длинноволнового приближения А >> с?, где А - длина волны, а (I - период системы, элементарный расчет дает следующие выражения

„ _ ИЛ _ ш2 ^и/ип^ ееои/з 61 -660 V 62 - еео[ТГ2 + 6 -

Лх + 2Л /¿2 + 2А

11 = ¿2 = (17)

^з (/ц+2А)(А2 + 2А)

М = -Й^Ж-'

где Лх, /¿2, /¿з - толщины диэлектрических прослоек в джозефсоновском контакте, дисперсионной линии и в области перекрытия, И^ - ширины полосковых

линий,И^з - ширина области перекрытия контакта и полосковой линии, <1 - период

структуры, v = ^eeoMw \jh,2+2\ ' скоРость распостранения волн в пассивной электродинамической системе. Сложная зависимость емкости С2 от частоты связана с резонансами в боковых отростках полосковой линии. Если связь между контактом и дисперсионной линией нельзя считать слабой, то при соизмеримости длины волны и периода системы емкостные и индуктивные коэффициенты должны быть определены путем более точного электродинамического расчета. Рассмотрению такого случая посвящена третья глава.

2.3 Черенковское излучение солитона, движущегося в линии с дисперсией

В этом параграфе мы рассмотрим спонтанное черенковское излучение солитона, движущегося в длинном джозефсоновском контакте, который соединен с дисперсионной линией передачи. На возможность существования эффекта черенковского излучения солитонов обращалось внимание и ранее в конкретных случаях связанных джозефсоновских контактов [8, 11], в джозефсоновских контактах с нелокальной электродинамикой [6], дискретных моделях уравнения sin-Gordon [13]. Мы приведем

здесь общее рассмотрение, справедливое для любой электродинамической системы с заданным законом дисперсии.

Рассматривая правые части системы (14)-(15) как возмущения, т.е. считая параметры связи а, /3 и коэффициент затухания 7 малыми, в нулевом приближении имеем два независимых уравнения, одно из которых описывает динамику джозефсоновского контакта, другое - линейные волны в линии с дисперсией. Первое уравнение, называемое уравнением Sin-Gordon, имеет хорошо известное решение, описывающее джозефсоновский вихрь - солитон

х — vt

(PsoiiXjt) = 4arctan ехр(—-¡= ),

VI - v2

где v - безразмерная скорость солитона. Подставив это выражение в правую часть (15), мы получим уравнение, описывающее поле создаваемое движущимся

солитоном в электродинамической системе

= ■ (18)

где € есть эффективный коэффициент связи, е = (а — (3v2).

Для решения этого уравнения выполним преобразование Фурье по координате и преобразование Лапласа по времени, которые будем определять общепринятым образом [34].

Jr 00 г 00

' eiwidt / ф(х^)е~гкЧх. (19)

О J—оо

Считая, что при t — 0 поле в дополнительной электродинамической системе отсутствует, после выполнения преобразований (19) уравнение (18) приобретет следующий вид:

со — kv

где D(u>, к) - образ оператора D, функция f(k) есть Фурье представление магнитного поля в солитоне

Отсюда следует явное выражение для ф(и>, к)

iekf(k)

(со — kv)D{to, к)' 28

и задача о нахождении ф(х,£) сводится к вычислению интегралов, соответствующих обратным преобразованиям Лапласа по ш и Фурье по к.

Найдем сначала ф(1,к), дающуюся интегралом

М м Г " ^ ** (21)

где контур интегрирования С в комплексной плоскости ш идет вдоль действительной оси выше всех особенностей подинтегрального выражения. Для Ь > 0 мы можем замкнуть контур по бесконечной полуокружности в нижней полуплоскости со и вычислить интеграл как сумму вычетов в полюсах подинтегрального выражения, находящихся в точках и = ку и ш = и){(к), которые определяются нулями знаменателя подинтегрального выражения по переменной ш, где со^к) = ±ш[(к) — ¿Г{(й) - комплексные собственные частоты волн в электродинамической системе, определяемые из решения уравнения к) = 0. Взятие интеграла (21) с помощью вычетов дает

Iке{(к)е~1Ш е-щ{к)1 Ф^ к) = Б(ш - Ь к) + 1ке1{к) ^ ( (1А Ъ -'

где сумма берется по всем ветвям дисперсионной характеристики. Теперь для определения ф(1,,х) необходимо вычислить интеграл

г Як

= (22)

где путь интегрирования С в комплексной плоскости к идет вдоль действительной оси.

Вклады в интеграл (22) определяются особенностями подинтегрального выражения в комплексной области к, которые можно разбить на два класса. Особенности первого класса связаны с полюсами функции f(k), расположенными в точках кп = Ко второму классу отнесем особенности, связанные с нулями

выражений Б {и — кь,к) и и>\(к) — кь. Особенности первого класса лежат на мнимой оси и дают вклады, быстро спадающие при х —> ±оо. Эти поля, которые будем называть локальными ^¡ос, жестко связаны с солитоном и определяют его деформацию при движении. Вклады же от особенностей второго типа, если

они существуют, имеют качественно другую природу и определяют интенсивность черенковского излучения линейных волн.

Найдем этот вклад, полагая затухание собственных волн достаточно малым. Пусть прямая и> = кь пересекает какую либо дисперсионную ветвь Яеи>(к) в точке т.е. кс является решением уравнения Кеиц(кс) = укс. В дальнейшем будем опускать индекс /, имея в виду, что излучается только одна мода. Тогда уравнения В(из = ку,к) = 0 и ц = Ь могут быть легко решены и дают общий для обоих уравнений корень к = кс + , определяющий положение интересующей

нас особенности подинтегрального выражения. Здесь Т(к) = 1тсо\{к) ~ скорость затухания волны и уд(к) = ^¡^\к=кс ~ ее групповая скорость.

Для вычисления вклада от этой особенности разложим = кп,к), к)

в окрестности кс в ряд Тейлора и, ограничиваясь первыми членами, получим выражение для поля излучения

где х = к — кс. Вычисляя интеграл с помощью теории вычетов, получаем окончательный результат для поля излучения

11 I\ | Г(.т-»1)

к еНк )е с( )+«-«»<*=> ФгаЛх, I) = ~1дщХ) -¡7-~ ^ ~ в{-Х ~ + с"с- (23)

Появление комплексносопряженного вклада связано с тем, что уравнение, определяющее наличие черенковского резонанса = ку,к) = 0, имеет два решения.

Таким образом, мы получили, что поле создаваемое солитонами в электродинамической системе имеет вид

Ф - Ф1ос + Фта<1,

качественная зависимость которого от координат для случая V > ьд(кс) приведена на рисунке 2.3.1. Поле излучения отлично от нуля в области ид(кс)1 < х < При вычислении мы пренебрегали членами типа дрг, поэтому полученное выражение для поля излучения справедливо на временах ъ <С 1—/2а, , при которых можно

В к2

пренебречь дисперсионным расплыванием пакета. Для получения поля излучения

на больших временах необходимо удерживать в разложении высшие производные

дпш Экп '

Зная выражение для поля излучения, можно вычислить энергию, содержащуюся в поле излучения в любой момент времени и мощность излучения солитона. Используем известное выражение для плотности энергии квазимонохроматической электромагнитной волны IV [34]

где и и / - комплексные амплитуды напряжения и тока в волне, С2 и Ь2 -зависящие от частоты емкость и индуктивность электродинамической системы (12),(13). Вспоминая соотношения (9), (10) и (11), получаем для энергии Е поля излучения

=/Г ^ - - +^

(25)

где значения всех функций взяты в точках со(кс) и кс. Мощность Р излучения солитоном линейных волн может быть легко найдена из выражения для энергии как

¿Е с' тХК 2Эи,С2 2дшЬ2

Р = = 1ём(' "лг + ^ -аг)- (26)

Обратим внимание на важное обстоятельство, что, несмотря на малость коэффициента связи, энергия, содержащаяся в поле излучения, может быть существенно больше, чем энергия, содержащаяся в солитоне

/• + 00 09? СР2 8

Е*о1 = у + у + (1 " «*¥>)<** = (27)

Таким образом, мы показали, что солитон движущийся в длинном джо-зефсоновском контакте, соединенном с дисперсионной линией передачи, может непрерывно генерировать линейную волну из-за эффекта черенковского излучения. Энергия излученной волны ограничивается только затуханием и конечной длиной электродинамической системы.

Если в переходе движется не один, а много вихрей, то суммарное поле излучения есть суперпозиция полей излучения отдельных вихрей, и мощность излучения

коллектива вихрей зависит от их взаимного расположения. Максимальная мощность излучения, пропорциональная квадрату числа солитонов, достигается, когда все вихри излучают когерентно, т.е. когда расстояниие между флаксонами кратно длине волны их излучения. В четвертой главе мы покажем, что когерентизация излучения коллектива вихрей происходит автоматически, из-за взаимодействия солитонов через поле излучения, что приводит к их группировки в оптимальной фазе коллективно излучаемой волны.

2.4 Тормозное излучение солитона, движущегося с переменной скоростью в линии с дисперсией.

В предыдущем разделе был расмотрен случай черенковского излучения флаксона, равномерно движущегося в однородном джозефсоновском контакте. Наличие же в переходе каких-либо неоднородностей должно приводить к рассеянию на них вихрей и к возникновению, в следствии этого, дополнительного излучения [41]. Неравномерность скорости движения солитонов (так же как ускоренное движение обычных заряженных частиц), в свою очередь тоже вызывает излучение. По аналогии с классической теорией поля такое излучение может быть названо тормозным излучением джозефсоновских вихрей. Рассмотрению тормозного излучения джозефсоновских солитонов и посвящен настоящий раздел.

К осциляциям скорости солитона может приводить, например, наличие неоднородностей, неравномерная плотность тока накачки, зависимость внешнего магнитного поля или тока смещения от времени. Отметим, что для эффекта тормозного излучения непринципиально что именно вызывает осциляции скорости солитонов. Для определенности рассмотрим ситуацию, когда неравномерное движение вихрей обусловлено неоднородным током накачки. Такое смещение контакта постоянным током может быть реализовано следующим образом. В верхний электрод ток втекает равномерно, а в нижний электрод ток смещения инжектируется еще и в периодически расположенных точках (рис. 2.4.1). В этом случае выражение для тока смещения приобретает вид ] = ]е + — гас?), и

уравнения, описывающие динамику системы, можно записать следующим образом <Ptt - 4>хх + sine/? = -афхх 4- (Зфи - + je + jQS(x - nd), (28)

п

Иф = -архх + /3(ри. (29)

Будем считать связь, накачку и диссипацию слабыми, такими, что их можно учитывать по теории возмущений. Более того, в этой части предположим, что также можно пренебречь влиянием излучения на динамику вихрей. Тогда на первом этапе наша задача сведется к исследованию динамики вихря в уединенном длинном джозефсоновском контакте с неоднородной плотностью тока накачки. Для решения этой задачи воспользуемся квазичастичным методом описания вихря и будем искать решение в виде

<p = ip, + F. (30)

1 °° jo

Здесь F = je + y -f I2 e%klXi = - вынужденное решение уравнения

Q^ip д2ср

+ = + ^Jo6(x ~ nd

В свою очередь' ips - точное односолитонное решение уравнения

d<ps dps

dt2 дх2

+ sin ips — О,

которое может быть записано в виде <р3 = 4аг^апехр(У(ж — где 2 = VI -координата центра солитона, а У~1 — — Ъ - его ширина. Теперь в соответствии с идеологией квазичастичного подхода будем считать скорость движения солитона 2 медленно меняющейся функцией времени и из условия ненарастания поправки к решению, записанному в форме (30), найдем уравнения, описывающие динамику центра солитона. В результате получаем уравнение для импульса Р = У 2

р + 7р= Г р(х,ф-со5(<ра))Щ^-<1х.

J — oo ОХ

Подставляя сюда ранее найденное Р, перепишем это уравнение в виде

7Г 1 00 ег/с,г

Р + + (31)

( Г ¡Л ( \\д<Р>(Х>*) —iki(x—Z) J гч где/! = / ( 1 — cosi(psj)---е (V 'ах. Это уравнение совпадает с уравнением

J-oo дх

движения релятивистской частицы во внешнем потенциале.

Для решения уравнения (31) тоже применим метод возмущений, предполагая,

что модуляция скорости мала. Тогда для постоянной составляющей скорости v0

имеем из уравнения (31)

K{jed + j0) = =.

yjl б72^2 + 7x\jed + Jo)2

Аналогично для первой гармоники скорости vosc получаем следующее выражение vosc = ¿(1 ^ elki^z° ^ + с.с.. Поскольку без ограничения общности можно выбрать любую начальную фазу колебаний, то выражение для осцилирующей части скорости можно записать в более удобном виде vosc = vx cos(uj0t), где coQ = kiVot

- частота осцилляции скорости, a vx = —---—/ - амплитуда модуляции

скорости. Тогда для полной скорости вихря имеем v = vq + Wi cos{ujot). Интегрируя выражение для скорости получаем закон изменения координаты вихря

Z = vQt + — sin(woi). (32)

LO0

Теперь нам известно все о движении солитона, и, в соответствии с нашим планом,

мы должны найти его излучение.

Для этого необходимо решить уравнение (29), которое можно записать в форме

Z

дш{х — vot — ^ sinfwoi))

= --дх? (33)

где через е — а — обозначен коэффициент возбуждения линии передачи вихрем, движущимся со средней скорстью vq. Влиянием осциляций скорости на коэффициент связи пренебрежено в силу их малости. Сделаем преобразование Фурье по координате в уравнении (33) и получим уравнение для функции ф в к-представлении:

£(МЖМ) = -iekf(kyk{v0t+^s'm{iv0t)). (34)

Правую часть этого уравнения можно представить в виде ряда Фурье

оо

eiasmuJl = ^ Jk{a)elkujt где Jk - функции Бесселя к-го порядка. После этого

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Юлин, Алексей Викторович

Основные результаты главы состоят в следующем. Были выведены уравнения, описывающие в первом приближении совместную динамику вихрей и линейных электромагнитных волн в самом контакте и в дополнительной электродинамической системе. Для описания солитонов использовался квазичастичный подход и каждый флаксон характеризовался координатой и скоростью его центра масс.

Было показано, что из-за наличия взаимодействия (отталкивания) в цепочке конечной плотности могут распространяться акустические волны. В пределе малых амплитуд для этих волн получено обыкновенное волновое уравнение с дискретным пространственным оператором. Из-за этого дисперсия линейных акустических волн в рассматриваемой системе имеет зонную структуру, положение края зоны Бриллюена определяется средним расстоянием между вихрями и меняется при изменении внешнего магнитного поля.

Рассмотрено взаимодействие между акустическими волнами в цепочке солитонов и линейными модами контакта и линии передачи. Показано, что это взаимодействие может иметь резонансный характер, если фазовая скорость волн в связанной с контактом волноведущей системе меньше скорости вихрей в джозефсоновском переходе.

Было получено дисперсионное уравнение, описывающее волны в контакте и линии передачи при наличии взаимодействия между ними. Удалось показать, что, при наличии резонансного взаимодействия между медленной волной в движущейся цепочке вихрей и волной в дополнительной электродинамической системе возможно развитие неустойчивости, приводящей в результате к группировки вихрей. Найдены условия возникновения этой неустойчивости. Тип возникающей неустойчивости определяется тем прямой или обратной являлась волна в линии передачи при резонансных к (при к вблизи точки пересечения невозмущенных дисперсионных характеристик акустической волны в цепочке вихрей и моды волноведущей системы).

Рассмотрен случай конвективной неустойчивости. Такая неустойчивость может быть использована для усиления попутной высокочастотной волны. Найден инкремент ее нарастания и показано, что для получения нужного коэффициета усиления, система должна быть достаточно длинной, поскольку коэффициент усиления определяется произведением мнимой части волнового вектора волны (который определяется электродинамическими свойствами контакта и линии передачи) и длины системы. Так как это произведение стоит в показателе экспоненты, то зависимость коэффициента усиления от длины очень сильная. По сути дела, рассмотренная схема является аналогом электронной лампы бегущей волны с той лишь разницей, что роль электронов выполняют джозефсоновские вихри.

Исследована ситуация, когда неустойчивость имеет абсолютный характер. Для развития абсолютной неустойчивости необходимо, чтобы в районе пересечения дисперсионных характеристик медленной акустической волны в цепочке солитонов и волны в линии передачи последняя была бы обратной волной. Найдено условие при котором начинается возбуждение электромагнитного излучения и система становится генератором. Это условие содержит в качестве параметра длину системы и, при стремлении длины к бесконечности, совпадает с условием возбуждения, полученным из анализа дисперсионного соотношения. Для системы конечной длины условие развития неустойчивости является значительно более строгим и трудновыполнимым. Это легко понять, если принять во внимание, что в данном случае потери излучения определяются джоулевыми потерями внутри схемы и высвечиванием излучения с краев. Накачка же имеет место только внутри системы. Естественно, что в случае короткой системы, определяющими являются радиационные потери, которые и усложняют достижение порога генерации. В случае же очень длинной системы потерями на высвечивание волн можно пренебречь и условие возникновения неустойчивости такое же, как и полученное из дисперсионного соотношения.

Пользуясь аналогиями из области вакуумной электроники, логично назвать приборы, в которых используется рассмотренная группировка солитонов, вихревыми лампами бегущей или обратной волны. Однако, надо заметить, что использование абсолютной неустойчивости не является единственно возможным способом генерации СВЧ излучения. Генерация может быть осуществлена и при конвективной неустойчивости, путем введения положительной обратной связи. Одим из перспективных способов является использование кольцевой схемы. Кроме того, что в ней легче достичь порога генерации, другим ее преимуществом является то, что поскольку в этом случае вихри все время находятся в пространстве взаимодействия, после группировки солитонов цепочка оказывается промоделированной во всем контакте. В то время как в линейной системе вихревая цепочка на входе однородная и практически не излучает. Из-за этого эффективность кольцевой схемы оказывается выше. Отвод энергии из кольцевой линии передачи не является проблемой и может быть решен подсоединением к ней антенны в виде полосковой линии.

Исследована нелинейная стадия группировочной неустойчивости. Получены уравнения, описывающие нелинейную стадию группировки солитонов, и проведены оценки мощности черенковского излучения. Показано, что генератор, использующий эффект черенковского излучения должен обладать очень высокими энергетическими характеристиками. Оценки мощности излучения для реальных параметров оказываются очень оптимистичными (до нескольких десятков микроватт), что объясняется объемным характером взаимодействия между вихрями и волнами, позволяющим осуществить эффективную перекачку энергии от вихрей в излучаемую волну.

Показано, что излучение имеет резонансный характер и сопровождается появлением ступенек на вольт-амперной характеристике контакта. Резонансная природа эффекта черенковского излучения и тот факт, что взаимодействие осуществляется во всем объеме контакта позволяет надеятся, что предложенный генератор будет обладать узкой полосой излучения и может быть использован для практических целей.

5 Черенковское излучение вихрей в двумерных контактах

5.1 Введение

Современные достижения технологии изготовления джозефсоновских контактов стимулировали всплеск интереса к кольцевым джозефсоновским переходам [11, 42, 52, 53]. Оказалось, что существует целый ряд особенностей, связанных с геометрией таких контактов. В частности, кольцевые системы являются очень интересными с точки зрения динамики джозефсоновских солитонов и их взаимодействия с линейными модами контакта. Дело в том, что в этом случае можно полностью избежать поверхностных эффектов, связанных с краями контактов (например отражений флаксонов, резонансов Фиске и т.д.) Поэтому, излучение вихрей в кольцевом контакте может иметь только объемный характер и не связано с рассеянием на границах. Это делает кольцевые системы очень удобными для исследования черенковского излучения.

Учет двумерности приводит к возникновению новых эффектов. Например, даже при исследовании квазиодномерных контактов было обнаружено, что эффективный радиус не равен среднему радиусу контакта и вихрь движется быстрее, чем следует из одномерной теории [54]. Полного объяснения этому эффекту до сих пор не получено. В двумерных контактах ситуация становится еще более сложной.

Настоящая глава диссертации посвящена исследованию радиационных эффектов, возникающих при движения солитонов в двумерных кольцевых джозефсоновских контактах. Были исследованы вихревые конфигурации, которые могут возникать в таких переходах. Показано, что при пропускании через контакт постоянного тока, вихри начинают двигатся и на переходе возникает напряжение. Оказалось, что движение солитонных струн в кольцевых переходах со скоростью, большей некоторой критической величины, сопровождается черенковским излучением [12]. Такой эффект впервые обнаружен в системе, описываемой однородным локальным уравнением Sine-Gordon. Особенности черенковского излучения в двумерных системах делают двумерные системы перспективными с точки зрения их возможного использования для генерации СВЧ излучения.

В предыдущих главах было рассмотрено черепковское излучение в одномерных системах, когда наличие медленных волн было обусловлено наличием какой-либо дополнительной волноведущей системы. Двумерная задача существенно отличается от одномерной тем, что теперь скорость моды опеределяется ее поперечной структурой и можно найти такую геометрию, когда часть волн окажутся медленными. Одним из примеров двумерной системы в которой существуют медленные волны и где, следовательно, возможно черенковское излучение является однородный кольцевой контакт.

Упрощенное объяснение черенковского излучения в кольцевых системах может быть следующим. Представим, что вихревая струна, начинающаяся на одной границе кольцевого контакта и кончающаяся на другой, движется как единое целое с угловой скоростью ш. При этом естественно, что точка, в которой вихревая струна выходит на поверхность, движется с линейной скоростью ?;е = ыге, где ге внешний радиус кольца, а точка, в которой струна выходит на внутреннюю поверхность со скоростью = шг,-, где г,- внутренний радиус контакта. Таким образом линейная скорость вихревой струны на внешних радиусах больше, чем на внутренних. Можно показать, что когда линейная скорость движения внешнего конца струны превышает скорость света в данной системе, то начинается излучение волн. При этом внутренняя часть струны движется с досветовой скоростью и поэтому не разрушается. Таким образом можно ожидать, что в кольцевой геометрии возможно черенковское излучение солитона при сохранении последним устойчивости. Хотя, конечно, надо признать, что вопрос об условии сохранения солитоноподобного решения достаточно сложный и нам не удалось аналитически получить критерий устойчивости. Однако результаты численного счета показывают, что действительно существует диапазон скоростей, когда происходит черенковское излучение движущимися вихревыми струнами. Наличие таких интересных эффектов и обусловило наше внимание к двумерным кольцевым контактам.

Вихревая динамика и черенковское излучение в однородном двумерном кольцевом контакте (схематически изображенном на рис. 5.1.1) является предметом настоящей главы.

Для дальнешего нам понадобятся уравнения, описывающие двумерный кольцевой джозефсоновский контакт. Для их вывода воспользуемся простейшей резистивной моделью в рамках которой плотность сверхтока J, выражается через джозефсоновскую разность фаз ф и критическую плотность тока данного контакта Jc соотношением Js = Jc sin ф. Для описания кольцевого контакта введем переменную if = ф — riQ, где п целое число, определяющее изменение джозефсо-новской разности фаз Аф при обходе по замкнутому контуру вокруг отверстия в центре контакта Дй> = 2ттп. Физический смысл параметра п - это количество захваченных в контакте квантов потока магнитного поля. Произведя стандартное обезразмеривание переменных [55], получим для tp двумерное уравнение Sine-Gordon

9'V dip 1 д dip 1 d2ip

W + гд?* sm(^ + n0) = J (130)

В этом уравнении 7 определяет диссипацию в контакте, a j плотность тока втекающего извне в область контакта. Напомним, что напряжение на контакте пропорционально ^f, а компоненты безразмерного магнитного поля выражаются через <р следующим образом: Вт = и Вг — + п). Уравнение (130) должно быть дополнено граничными условиями д^р r=rtJre Вт i,ei (131) где Вт{1е ~ тангенциальные компоненты магнитного поля на внутренней и внешней границах соответственно. Следуюшие разделы этой главы будут посвящены численному и аналитическому исследованию уравнения (130) с граничными условиями (131).

Глава имеет следующую структуру. Во второй части путем численного моделирования исследованы образующиеся в контакте статические конфигурации магнитного поля. Исследованы случаи, когда оба радиуса контакта много меньше джозефсоновской длины, когда только внутренний радиус много меньше джозефсо-новской длины и когда внутренний радиус много больше джозефсоновской длины.

Показано, что при наличии захваченного магнитного потока в контакте образуются вихревые струны, начинающиеся на одной и кончающиеся на другой границе контакта. Выяснено влияние внешнего тангенциального магнитного поля на форму солитонных струн. Обнаружены спиральные и кольцевые вихри, возникающие при помещении контакта в достаточно сильное поле. Показано, что кольцевые вихри остаются устойчивыми (не схлопываются) даже при отсутствии пининга.

В этом же разделе исследована динамика вихревых нитей. Обнаружено, что, как и следовало ожидать, наличие постоянного тока накачки вызывает движение вихревых нитей. Было показано, что действительно при превышении вихрями критической скорости происходит резонансное возбуждение линейных бегущих волн. Найдена критическая скорость вихрей и структура поля излучения. Построена вольт-амперная характеристика такого контакта. Исследовано влияние внешнего магнитного поля на амплитуду излучения и на вольт-амперную характеристику контакта. Обнаружено, что наличие внешнего поля может приводить к существенному возрастанию амплитуды излучения, но не влияет на критическую скорость вихревой нити при которой начинается излучение.

Третья часть главы посвящена теоретическому исследованию черенковского излучения в двумерных контактах. Аналитически показано, что в основе данного эффекта лежит черенковский синхронизм между линейными волнами типа мода шепчущей галереи и движущимися вихрями. Найдены собственные моды кольцевого контакта и показано, что моды с большим угловым индексом являются медленными. В акустике такие моды, поле которых в основном сосредоточено вблизи внешней границы, известны под названием мод шепчушей галереи [56](их поперечная структура описывается функциями Бесселя высокого порядка, а продольная - синусоидальными функциями). Моды шепчущей галереи могут находиться в резонансе с вихревой нитью, внешний конец которой двигается со "сверх-", а внутренний с "досветовой" скоростью. Излучение вихря, наблюдаемое в численном эксперименте, имеет структуру моды шепчущей галереи и его параметры находятся в хорошем соответствии с параметрами, полученными путем анализа простой линейной модели.

В заключительном разделе проведено сравнение результатов численного счета с предсказаниями развитой теории. Все полученные аналитические оценки хорошо согласуются с данными численного эксперимента, что позволяет утверждать, что обнаруженный эффект - это действительно черенковское излучение джозефсоновскими вихрями волн типа мод шепчущей галереи. В заключении главы обсуждается возможность использования эффекта черенковского излучения в кольцевых системах для генерации микроволнового излучения.

5.2 Численный анализ двумерных вихревых структур

Этот раздел посвящен численному моделированию двумерных джозефсоновских контактов. Начнем со статических конфигураций магнитного поля в таких системах. Когда в одномерном кольцевом контакте захвачен квант магнитного потока то, если длина контакта много больше джозефсоновской длины, в контакте происходит формирование вихря и локализация магнитного поля. Если же контакт двумерный, то ситуация более сложная и возможно несколько различных сценариев образования вихревого состояния контакта.

Сначала обсудим ситуацию, когда в контакте захвачен один квант магнитного потока п = 1, а внешнее тангенциальное магнитное поле равно нулю

132)

Ог

С помощью численного моделирования было проведено исследование уравнения (130) при разных значениях внутреннего и внешнего радиусов контакта. Сдела,нные расчеты позволили установить следующие закономерности образования вихрей в двумерных кольцевых контактах.

Когда внешний радиус меньше джозефсоновской глубины проникновения магнитного поля в контакт (меньше 1 в безразмерных переменных), то получается естественный результат, что магнитное поле в контакте однородно.

Ситуация меняется, когда внутренний радиус много меньше, а внешний больше или порядка джозефсоновской длины. Тогда вблизи внутренней границы поле практически однородно, а вблизи внешней происходит образование вихревой струны и магнитное поле локализовано. В качестве примера на рис. 5.2.1 показаны силовые линий магнитного поля при следующих параметрах контакта Г{ = 0.03, ге = 3. Зависимость радиальной компоненты магнитного поля от угла на внутреннем радиусе показана на рис. 5.2.2, а на внешнем на рис. 5.2.3. На этих рисунках штриховыми линиями показаны те же зависимости для одномерных кольцевых контактов с радиусами гг- и ге соответственно.

При увеличении размеров контакта, когда внутренний радиус становится достаточно большим, вихревая струна формируется во всем контакте, смотри рис. 5.2.4, 5.2.5 и 5.2.6, где показаны соответственно силовые линии и зависимость радиальной компоненты магнитного поля от угловой переменной 0 при г,- = 3, Ге = 15.

Интересно отметить, что, по сравнению с одномерным случаем, солитон на внутренней границе несколько поджат, а на внешней - растянут. Это можно объяснить следующим образом. Силовые линии магнитного поля в солитоне в глубине контакта параллельны друг другу и распределение поля в сечении вихревой струны совпадает с распределением поля в одномерном вихре. Однако из граничных условий следует, что линии магнитного поля должны выходить на границу контакта под прямым углом. Следовательно, там линии магнитного поля параллельны радиусам и направлены под углом друг к другу. Из простых геометрических соображений следует, что это должно приводить к дополнительному сжатию солитона на внутренней границе и к расширению на внешней. Этот эффект и наблюдается в численном счете. Если кривизна границы мала так, что около нее на масштабе солитона силовые линии магнитного поля можно считать практически паралельными радиусам, то взаимодействие с границей не приводит к изменению формы солитона. Из приведенных рисунков видно, что при внешнем радиусе контакта ге = 15 дополнительного сжатия вихревой нити на внешней границе практически не происходит.

Теперь рассмотрим двумерный кольцевой контакт в присутствии тангенциального магнитного поля. Тогда уравнение (130) надо интегрировать с граничными условиями (131), когда отлично от нуля. В случае осесимметричного поля, которое может быть создано, например, пропусканием тока по проводу, проходящему через отверстие в контакте, тангенциальное магнитное поле на внешнем радиусе выражается через поле на внутреннем следующим образом Вт с = Таким образом в данном случае параметром задачи является либо тангенциальная компонента магнитного поля на внутреннем либо на внешнем радиусе. Для определенности будем считать параметром поле на внутреннем радиусе В{ = Вге. Тогда граничные условия для уравнения (130) принимают вид ГМ, % = а. (1зз)

ОТ ге ог

Результаты численного счета, показывают, что если в контакте захвачен квант магнитного потока, то, как уже было сказано выше, наличие внешнего магнитного поля приводит к изгибу вихревой струны и к формированию спирального вихря. Примеры таких изогнутых солитонных струн показаны на рис. 5.2.7 для параметров перехода Д- = 10, г,- = 0.03, ге = 3 и на рис. 5.2.8 для параметров В{ = 1, гг = -3, ге = 15 ( соответственно на рис. 5.2.7 проиллюстрирован случай, когда вихревая струна сформирована только у внешней границы, а на рис. 5.2.8 случай, когда вихрь существует во всем объеме контакта ).

Изгиб вихревых струн очень просто объяснить, если вспомнить, что наложение внешнего магнитного поля эквивалентно инжекции тока в края перехода. Далее можно рассуждать на языке токов. Тогда получим, что если ток, инжектируемый во внешний край перехода, "тянет" вихревую струну по часовой стрелке, то ток, инжектируемый во внутреннюю границу, "тянет" струну против часовой стрелки. Эти силы таковы, что уравновешивают друг друга и вихрь остается неподвижным (постоянное магнитное поле не может приводить к движению солитона). Наличие же двух противоположно направленных сил, приложенных к вихревой струне, изгибают ее.

Показано, что в двумерном контакте возможно так же образование кольцевых вихрей. Для этого в контакте не должно быть захваченных квантов магнитного потока. В этом случае решения являются осесимметричными (численное решение уравнения (130) показывает, что в рассматриваемом случае спонтанного нарушения симметрии не происходит и не существует статических неосесимметричных решений). Тогда зависимость от угла исчезает и уравнение (130) в статическом случае может быть записано в виде

I д ду

-—г— = эт (/>. г ог ог

Граничные условия по прежнему имеют вид (133). Обнаружено, что достаточно сильное магнитное поле проникает в контакт в виде кольцевых вихрей. Поскольку поле на малых радиусах больше, то вихри начинают проникать в контакт с внутренней границы. Свободная энергия вихря увеличивается с увеличением его радиуса и поэтому кольцевые вихри в основном локализованы около внутренней границы контакта. Поперечное сечение кольцевого вихря показано на рис. 5.2.9, где изображена зависимость тангенциальной компоненты магнитного поля от радиуса. На этом рисунке видно, что поле в основном сосредоточено вблизи внутренней границы. Конечно, в том случае, когда выполнены соотношения 7>-~г' <С 1, г,- 1, т.е. ширина кольца много меньше его внутреннего радиуса и внутренний радиус много больше джозефсоновской длины, то статическое уравнение для поля внутри контакта принимает такой же вид, как и для одномерного контакта д\ . э? = 8т(р> с граничными условиями |^|г=г.ге = Ве. Тогда, естественно, вихри распределены равномерно.

И, наконец, были обнаружены и исследованы многосолитонные решения, когда в контакте захвачено сразу несколько квантов потока. Одно такое решение показано на рис 5.2.10 для параметров п — 3 {п - число вихрей в контакте), г,- = 3, ге = 15, Вг = 1. В этом случае все сказанное выше остается в силе с той лишь разницей, что теперь в контакте должно убираться п вихрей и, следовательно, размеры контакта нужно сравнивать не с одной, ас п джозефсоновскими длинами.

Теперь рассмотрим динамику вихрей в кольцевых джозефсоновских контактах. Если в контакте есть захваченный магнитный поток, то, при отсутствии пининга, критический ток равен нулю и пропускание постоянного тока накачки приводит к вращению вихревых струн. В силу того, что при движении с постоянной угловой скоростью линейная скорость элемента вихря зависит от радиуса, внешняя часть струны движется с большей скоростью, чем внутренняя. Следовательно и диссипация энергии больше при больших радиусах. Поэтому при равномерно распределенном токе накачки внутренняя часть вихря "тянет" внешнюю и появляется изгиб струны. Этот эффект и был обнаружен при численном моделировании. В случае если поток не захвачен, но контакт помещен в достаточно сильное магнитное поле, то возникновение резистивного состояния связано с движением кольцевых вихрей. В этом случае всегда существует краевой пининг, и критический ток отличен от нуля.

Интересным эффектом, возникающим при движении вихрей, является возникновение за вихревой струной радиационного хвоста. Это явление может интерпретироваться как черенковское излучение вихревых струн.

Было проведено численное моделирование динамики двумерного кольцевого джозефсоновского контакта при различных внешнем ге и внутреннем г,- радиусах, константах диссипации 7, внешнем магнитном поле и токе накачки. В настоящей диссертации обсудим результаты расчета для контакта с параметрами ге = 3, ?-г = 0.6, 7 = 0.02. С точки зрения эксперимента наиболее реалистичной является ситуация, когда сверхпроводниковые электроды имеют толщину много больше лондоновской глубины проникновения. Это приводит к тому, что при отсутствии внешнего магнитного поля ток втекает в контакт только с внешней границы. Если контакт помещен во внешнее осесимметричное магнитное поле, то ток может втекать в контакт как с внешней, так и с внутренней границы. Поэтому при достаточно толстых электродах имеем ^ = 0 везде внутри контакта, а внешний ток учитывается граничными условиями, принимающими вид

7Г~|г=г, = —Bi + -~-\г, = Д-, (134) ог ' ге ге о г где 1еХ1 - текущий через переход ток.

Поскольку ни ток накачки ни внешнее поле не зависят от угла, то, в данной ситуации, не возникает рассеяния солитонов на неоднородностях. Поэтому можно быть уверенным, что наблюдаемое излучение имеет черенковскую природу. Заметим так же, что рассматриваемые джозефсоновские переходы могут быть изготовлены и исследованы экспериментально. Это дает возможность сравнить результаты численного счета с данными прямых измерений реальных контактов.

В численном эксперименте было обнаружено, что когда угловая скорость вихревой нити превышала некоторую критическую величину близкую к сот йз у — | вихрь начинал излучать. Силовые линии магнитного поля при скорости вихря со больше критической показаны на рис. 5.2.11 для случая, когда внешнее тангенциальное магнитное поле Д- было равно нулю (тогда при токе Ьх1 = 0.8 скорость солитона со = 0.396) . На этом рисунке за вихрем вблизи внешней границы контакта ясно виден осцилирующий хвост. При этом было обнаружено, что, в целом, устойчивость вихря сохраняется. С увеличением скорости частота излучения уменьшалась, а пространственный период увеличивался. Поле излучения было локализовано вблизи внешней границы контакта и его радиальная структура, показанная на рис. 5.2.12 хорошо аппроксимировалась функциями Бесселя высокого порядка. Угловая структура излучаемой волны была близка к синусоидальной, смотри рис. 5.2.13. В следующем разделе будет показано, что наблюдаемое излучение есть возбуждение в контакте электродинамической моды, аналогичной известной в акустике [56] моды шепчущей галереи. При наложении внешнего магнитного поля условия возникновения излучения оставались прежними, но амплитуда волны незначительно изменялась. На рисунке 5.2.14 изображено распределение силовых линий магнитного поля в переходе помещенном в магнитном поле В{ = — ^ при токе накачки 1етЛ = 0.84 (такой ток приводит к движению флаксонной струны со скоростью и> = 0.396). Заметим, что если выполнено соотношение Вг = — ^г1 то транспортный ток втекает в контакт только с внутренней границы.

При достаточно больших скоростях наблюдалось разрушение вихревого состояния джозефсоновского контакта. Был исследован механизм этого процесса и обнаружено, что в кольцевом контакте одним из сценариев разрушения вихревого состояния является рождение пар "вихрь-антивихрь" из черенковского излучения исходного вихря. При незначительном превышении порога имеет место следующий периодический процесс. Из излучения вихря рождается вихревая струна начало и конец которой лежат на внешней границе контакта. Затем эта струна начинает удлиняться, пока не достигает внутренней границы контакта. После этого на внутренней границе происходит разрыв струны и в контакте возникают две "вихревые нити", движущиеся по часовой стрелке, и одна "антивихревая нить", движущаяся против часовой стрелки. Это аналогично процессу рождения пары "вихрь-антивихрь" в одномерном контакте. Через некоторое время "вихревая нить" сталкивается и аннигилирует с "антивихревой нитью". Далее процесс повторяется. При дальнейшем росте скорости процесс рождения пар становится непрерывным и вихревое состояние разрушается.

Вольт-амперная характеристика исследованного контакта, помещенного в нулевое магнитное поле, показала на рис. 5.2.15. Единственный скачок на этой зависимости связан с разрушением вихревого состояния. Интересно отметить, что несмотря на резонансную природу эффекта черенковского излучения и достаточно малую константу диссипации, на вольт-амперной характеристике отсутствуют какие бы то ни было ступеньки, характерные для других резонансных эффектов, например для резонансов Фиске в одномерных контактах.

Оказалось, что обнаруженные интересные эффекты излучения движущимися вихревыми струнами могут быть хорошо объяснены в рамках простого аналитического подхода. Развитию подобной теории и посвящен следующий раздел настоящей главы.

5.3 Аналитическое рассмотрение черенковского излучения в двумерных кольцевых контактах

Для того, чтобы доказать, что наблюдаемый в численном счете эффект есть возбуждение движущимся вихрем резонансных линейных волн, проведем простой анализ. Исследуем двумерный кольцевой контакт, описываемый уравнением (130) в случае, когда тангенциальная составляющая внешнего магнитного поля на границах контакта равна нулю и граничные условия имеют вид dip,

Uwe = 0. (135)

Согласно результатам численного счета при скорости вихря близкой к критической радиационное поле солитона мало. Рассмотрим случай, когда скорость вихревой нити незначительно превышает критическую и амплитуда излучения мала. Найденное при этом условии выражение для поля излучения показывает, что при малой надкритичности вихрь возбуждает волны с малой амплитудой и, поэтому сделанное предположение о малости радиационной поправки справедливо.

Малость амплитуды излучения позволяет применить метод возмущений для исследования уравнения (130). Представим решение этого уравнения в виде ср — (р3+ф—д. Здесь ips это некоторое солитонное решение, которое при малой кривизне вихревой струны может быть записано в виде ips = 4arctan ехр( , ), где 0s(r) - функция, описывающая форму вихревой нити. Через ф мы обозначили малую поправку, описывающую изменение формы солитона и его излучение, а 9 = 2(r.-r,) ((r ~ - (г - 2ге)^]г=г1) - это функция, добавленная для того, чтобы иметь для ф граничные условия (132) такие же как и для (р. В принципе пользуясь методом [46], можно получить уравнение для ©s, описывающее динамику самой вихревой нити. Однако, в данном случае нам не важен конкретный вид функции 0S, достаточно лишь, чтобы коэффициент возбуждения линейных волн, куда входит 0S, не был тождественно равен нулю.

Уравнение же для малой поправки ф принимает вид / , 1 9 дф 1 дЧ , ч

Ьф = Фи + 7ф1 - -Q-/-Q; - -ÏQQ2 + фcosч>> = U(r,0), ( 136) где U(r, 0) = - ld[lpg~3) + 5f ~ + gcosips + jo есть равномерно движущийся источник.

Решение уравнения (136) представимо в виде разложения по собственным функциям Фks оператора L с граничными условиями (132) ф = J2ks Cks(t)^ks- Точное нахождение функций Фь достаточно трудная задача, но можно приближенно найти собственные функции с большим угловым индексом к 1. В этом случае в операторе Ь можно пренебречь членом совсрц по сравнению с и тогда для

Фь получаем выражение

Фь = (Л(Аьг) + /Зк$Мк(Хквг))ем, (137) где Л/ся - собственные числа, Зк и Л^ функции Бесселя первого и второго рода, /Зк- действительная константа, необходимая для одновременного удовлетворения обоих граничных условий. Поскольку в численном счете наблюдалось возбуждение высоких угловых мод, то при анализе этого эффекта можно пользоваться разложением поля излучения по приближенно найденным функциям Ф^, (1-37). В результате для коэффициентов разложения имеем уравнение ск, + 7Сь + А 1,Ска = икае>кш\ (138) где 1)к,е{кш1 = /02х /;; [/(г, 0, ¿)Фь(г, 0)бЫ0/£ ФЦг, 0)^0 - соответствующая гармоника в разложении источника, причем Цкя не зависит от времени и плавно убывает с ростом к.

Уравнение (138) - это уравнение гармонического осцилятора с затуханием и внешней гармонической силой. Это уравнение может быть легко решено и получено следующее выражение для стационарной амплитуды излучения

С*.| = Ш' -■ (139) уЧРи^-А^ + т2^2

Видно, что при слабом затухании |Сь| имеет ярко выраженный максимум, положение которого может быть найдено по формуле кш = Аь. (140)

Отсюда находится индекс наиболее эффективно возбуждаемой моды. Фактически это есть условие пересечения дисперсионной характеристики вихревой нити Хкв — кш (напомним, что в данной главе и> это угловая скорость вихревой нити, а не частота гармоники, обозначаемая здесь как А) с дисперсией моды кольцевого контакта А = Аь, смотри рис. 5.3.1.

При больших к собственную функцию = {Зк{\кзг) + /ЗкзМк(\квг))егкв можно заменить на Фь ~ ^(А^г^е^6, поскольку Д, мало. В этом случае можно приближенно найти дисперсию волн в контакте воспользовавшись ассимптотической зависимостью положения 5-го нуля производной функции Бесселя от ее порядка [57]. Таким образом получаем дисперсионную характеристику 5-ой моды

Аь = —{к + а,к*), (141) где <Уз - известные константы. Условие же резонанса (140) при больших к приобретает вид кш= —(к + а3к*). (142) е

Отсюда можно легко найти минимальную угловую скорость вихревой нити необходимую для резонансного возбуждения моды шепчущей галереи с нулевым радиальным индексом = Видно, что при этой угловой скорости, линейная скорость внешнего конца нити достигает скорости света в контакте. Также отсюда следует, что сначала возникает резонанс с модами с большим угловым индексом. С увеличением же скорости вихря угловой индекс, а значит и частота излучения уменьшается ( поскольку зависимость Х^ - растущая функция).

Поскольку ав возрастает с ростом в, то из уравнения (142) следует, что чем выше радиальный индекс резонансной моды, тем больше должен быть ее угловой индекс, коэффициент же связи между модами и вихрем Сд^ экспоненциально убывает с ростом к. Поэтому вблизи пороговой скорости возбуждением высоких радиальных мод можно пренебречь.

Тогда, при достаточно большом затухании (точный критерий указан ниже), когда полем излучения перед солитоном можно пренебречь, найдем аналитическое выражение, описывающее излучение солитонной нити.

Для этого используем метод, которым мы пользовались для нахождения радиационной поправки, возникающей при движении одномерных вихрей. Поскольку движущиеся вихри возбуждают высокочастотные волны, то можно использовать разложение радиационного поля по приближенно найденным функциям фкз- Тогда излучение представимо в виде ряда где зависимость коэффициентов Ск„ от времени определяется уравнением (138). Далее решим уравнение (138) с нулевыми начальными условиями, воспользовавшись преобразованием Лапласа по времени. оо eiXtCks(t)dt

-оо и получим для Cks(X) следующее выражение

А - кш)(\%а + г^Х - А2)

Г dX

Теперь необходимо сделать обратное преобразование Скз = / Сь-(А)е~г;и —. с 27г

При вычислении этого интеграла путь интегрирования С должен лежать в комплексной плоскости А вдоль действительной оси выше всех особенностей подинтегрального выражения. При £ > 0 можно замкнуть путь интегрирования по бесконечной полуокружности в нижней части комплексной плоскости. При этом вычисленйе интеграла сведется к вычислению суммы вычетов. Полюса подинтегрального выражения лежат в точках А = ки> и А = '"^vу После интегрирования получаем выражение для Cks(t) в следующем виде

Н-.лЛА? -72 , ч Ukae~ikut Ukse-V2 «

Cks(t)

XI + г1кш - kW fi+y/ЩР?

72

7+,v Ukse- 2

145)

Для того, чтобы получить выражение для поля в координатном представлении, надо в формуле (143) произвести суммирование по к и л. В сумме по 5 можно оставить только первое слагаемое с з = 0 поскольку, как отмечалось выше, гармоники с большими 5 возбуждаются слабо. В случае необходимости, однако не составляет труда вычислить выражение для нескольких первых гармоник. Вычисление же суммы по к совершенно необходимо для нахождения поля излучения.

Вычисление суммы по угловому индексу к может быть упрощено, если воспользоваться тем обстоятельством, что возбуждаются моды с большими к.

Предположив, кроме того, что затухание достаточно сильное и поле излучения спадает практически до нуля при изменении угловой переменной 0 на 27т можно заменить сумму по к на интеграл по к. Действительно, после сделанных предположений, угловой спектр излучения можно считать плавной на масштабах порядка единицы функцией и тогда в формуле (143) возможна замена суммирования по к на интегрирование.

В результате для приближенного нахождения поля излучения получаем формулу

Требуемый интеграл тоже может быть вычислен с помощью теории вычетов. Интеграл (146) есть интеграл в комплексной плоскости, когда путь интегрирования идет вдоль действительной оси. В этом случае путь интегрирования может быть замкнут бесконечной полуокружностью, лежащей в верхней полуплоскости. Тогда вклады в интеграл (146) даются особенностями подинтегрального выражения, лежащими в верхней полуплоскости. Как отмечалось во второй главе при анализе подобного интеграла радиационное поле определяется полюсами, связанными с обращением в ноль функций А^ -+- iku — к2ш2) —1--ки> и гу+л/4А -2- + ки.

Заметим, что первая функция равна нулю тогда и только тогда, когда или вторая или третья функции равны нулю.

Вычислим интеграл (146) предположив, что затухание мало в том смысле, что частота излучения А много больше постоянной затухания 7. Тогда можно пренебречь влиянием диссипации на дисперсионные свойства волн в системе. Пусть волновой вектор /сс0, определяющий длину волны излучения, есть решение уравнения (140) при 5 = 0. Тогда положение особенности в комплексной плоскости можно приближенно найти в следующем виде к = кс0 + 2{ш1~ш) ■> где шя = 1м1\к=кс - угловая групповая скорость моды излучения. Теперь можно разложить в ряд Тейлора выражение (145) для в окрестности точки кс. После этого, с использованием данного разложения интеграл (146) можно переписать в виде

146)

4еоЛе0(гУМ^) гоо ¿х(в-шг)

72 ф =

147) где введена новая переменная х — к — Ко- После вычисления интеграла в формуле (147) получим окончательное выражение для поля излучения тг т / Ч ikc(e-wt) + Z(e-ut\ IJun Ii. (г)е ' ф = -—(6(0 - ut) - е(в - u>gt)) + С.С., (148) где 0 есть тета-функция. Полученное выражение применимо при углах в, лежащих в интервале u>t < в < ut + 2тг.

Проанализируем получившиеся результаты. В первую очередь заметим, что при сделанных предположениях можно пользоваться ассимптотическим разложением (141) для Аь- Тогда групповая скорость сод находится легко и равна и>д — + С другой стороны скорость движения вихревой нити связана с волновым числом излучаемой моды следующим образом и = ^-(1 авк~з). Поэтому разность угловой скорости нити и групповой скорости излучаемой волны Да; = со — ид = и всегда положительна. Согласно формуле (148) это означает, что излучение возникает не впереди а сзади вихря. Выразив А'ио через угловую скорость и> получим До; = . Таким образом мы доказали, что Aw есть растущая функция от угловой скорости вихря ш. Из формулы (148) следует, что длина, на которой за вихрем затухает излучение определяется параметром

W — Wq Лй) 2(тгШ— 1) „ — = gr 7 ' и при увеличении ш всегда возрастает.

Таким образом нам удалось не только аналитически получить условие возникновения черенковского излучения, но и найти точное выражение для поля излучения. Сравнению численных и аналитических результатов посвящен следующий раздел данной главы. Там же будут сделаны основные выводы и рассмотрена возможность применения обнаруженного эффекта для генерации СВЧ излучения.

6 Заключение

В заключении сформулируем основные результаты, вошедшие в настоящую диссертацию.

Рассмотрен эффект черенковского излучения вихрей, движущихся в джо-зефсоновской линии передачи с дисперсией. Показано, что для существования этого эффекта необходимо, чтобы в системе существовали волны с фазовой скоростью, равной скорости движения вихрей. Поэтому черепковское излучение не имеет места в одномерном однородном джозефсоновском контакте, описываемом уравнением Sine-Gordon, так как в этом случае скорость вихрей всегда меньше скорости линейных волн. При усложнении системы дисперсия меняется и возможно появление медленных волн для которых уже могут быть выполнены условия черенковского синхронизма. В данной работе рассмотрен случай, когда наличие медленных волн обеспечивается дополнительной линейной волноведущей системой, электродинамически связанной с джозефсоновским контактом.

Найдено аналитическое выражение для поля излучения вихря в такой системе. Вычислена энергия, запасенная в "радиационном хвосте", образующимся за солитоном и показано, что эта энергия может значительно превышать собственную энергию вихря. Это означает, что связь между контактом и дополнительной линией передачи приводит к сильному увеличению мощности излучаемых из системы электромагнитных волн (поскольку мощность излучения Р при согласованной нагрузке есть Р = (g-°+gr)t' где энергия солитона, v - его скорость, d - расстояние между вихрями и Ет - энергия радиационного поля флаксона.). Дополнительным преимуществом такого способа генерации является то, что в рассматриваемой системе излучение в основном распространяется не в самом контакте, а в дополнительной волноведущей системе, которая может быть выполнена в виде полосковой линии. Таким образом, во-первых, значительно облегчается проблема вывода излучения, поскольку гораздо легче согласовать с внешним устройством полосковую линию, чем джозефсоновский контакт. Во-вторых, даже достаточно мощное излучение, но распространяющееся в основном в линии передачи, не приводит к разрушению солитонов в контакте. Это позволяет увеличить мощность генерации и обеспечить сохранение режима течения магнитного потока в контакте.

Рассмотрено влияние осциляций скорости вихрей на их излучение. Получено аналитическое выражение для радиационного поля. Показано, что в данном случае возникает тормозное излучение, содержащее целый ряд гармоник. При этом собственно черенковское излучение подавляется. Надо отметить, что тормозное излучение может иметь место и в случае, когда скорость движения вихрей меньше скорости линейных волн. Из-за наличия в спектре тормозного излучения большого числа гармоник с близкими частотами на вольт-амперной характеристике контакта может наблюдаться тонкая структура.

Показано, что при движении в контакте цепочки вихрей общее поле излучения определяется фазовыми соотношениями между излучениями отдельных вихрей. Если период синхронной волны не кратен периоду вихревой цепочки, то излучение одних вихрей складывается в противофазе с излучением других вихрей и суммарное радиационное поле практически отсутствует. Чтобы достичь максимальной мощности излучения необходимо обеспечить синфазное излучение всех вихрей в системе. Для этого необходимо точное совпадение (или кратность) периода цепочки и периода возбуждаемой волны.

Рассмотрено излучение джозефсоновских вихрей в периодических структурах. Такие системы имеют зонную дисперсию и в них всегда может быть обеспечен требуемый синхронизм между вихрями и линейными модами системы. Построена дисперсия системы, состоящей из джозефсоновского контакта и полосковой линии, соединенных между собой отрезками полосковых линий. Показано, что условие черенковского синхронизма может быть выполнено в широкой области частот внутри одной зоны Бриллюена. Получено аналитической выражение для поля излучения в таких системах.

Показано, что в периодических схемах с плохо согласованными концами к увеличению мощности излучения могут приводить как эффекты типа резонансов Фиске, так и эффект черенковского излучения. При увеличении длины системы ступеньки Фиске исчезают. В то же время резонансы, связанные с черенковским синхронизмом, остаются одинаково ярко выраженными в системах любой длины.

Найден критерий, позволяющий определить, какая система, с согласованными или с несогласованными концами, обеспечивает максимальную мощность излучения. Показано, что реальные схемы являются длинными в масштабе нарастания волн и для достижения оптимальных условий излучения их концы должны быть согласованы.

Продемонстрировано, что когда мощность излучения становится значительной, то возникает необходимость учета нелинейных эффектов. Оценки показывают, что в экспериментальных образцах нелинейные эффекты могут быть существенны и что именно они определяют и мощность и пространственный масштаб выхода излучения на стационарный уровень. Использование в качестве рабочей моды волны, распространяющейся в основном в полосковой линии позволяет ослабить нелинейное подавление источника и повысить мощность излучения. Отсюда следует, что необходимо учитывать нелинейные эффекты как при выборе рабочей моды, так и при при расчете оптимальной связи между полосковой линией и джозефсоновским контактом. Величина оптимальной связи зависит от параметров контакта, линии передачи и связывающих их отрезков полосковых линий. Сделаны оценки мощности излучения таких систем. Эти оценки предсказывают уровень мощности порядка нескольких десятков микроват и являются весьма обнадеживающими.

Рассмотрено движение в джозефсоновской линии передачи цепочки вихрей с периодом, отличным от периода резонансной волны. Показало, что в цепочке конечной жесткости (учитывается взаимодействие между вихрями) могут распространятся акустические волны плотности. Это приводит к расщеплению дисперсионой характеристики вихревой цепочки на две ветви: на ветвь быстрых волн с положительной энергией и на ветвь медленных волн с отрицательной энергией. Если выполнено условие черепковского синхронизма, то есть существует пересечение дисперсионной характеристики медленных волн с дисперсией линейных электромагнитных волн в системе, то в системе происходит развитие неустойчивости. В результате возбуждаются две волны - волна плотности в вихревой цепочке и линейная мода линии передачи. Данный процесс аналогичен процессу возбуждения волн во время группировки электронов в вакуумных приборах типа ламп бегущей и обратной волны.

Найдены условия возникновения группировочной неустойчивости и инкремент ее нарастания. Показано, что если резонансная волна прямая, то неустойчивость носит конвективный характер. Если же синхронная волна является обратной, то развивается абсолютная неустойчивость. Группировочная неустойчивость может использоваться как для усиления, так и для генерации электромагнитных волн.

Рассмотрено черенковкое излучение цепочки на нелинейной стадии процесса группировки. Показано, что возникающее излучение носит резонансный характер и сопровождается появлением ступенек на вольт-амперной характеристике контакта. Найдена стационарная амплитуда излучаемой волны и сделаны оценки для мощности при типичных параметрах джозефсоновского контакта и линии передачи. Полученные оценки позволяют сделать вывод о том, что рассматриваемый принцип генерации электромагнитных волн может быть использован в практических целях.

Исследовано образование вихревых струн в двумерных кольцевых джозефсо-новских переходах. При наличии захваченного в контакте магнитного потока в такой системе существуют вихри, начинающиеся на одной границе джозефсоновского контакта и кончающиеся на другой. Вихревая струна формируется в контакте, если его внутренний радиус достаточно велик. Если же внутренний радиус контакта мал, то фактически, о вихре можно говорить только вблизи внешней границы контакта. Если же и внешний радиус мал в сравнении с джозефсоновской длиной, то магнитное поле в контакте практически однородно. Наложение внешнего тангенциального магнитного поля приводит к формированию спиральных вихрей. В зависимости от количества квантов захваченного магнитного потока возможно образование как одно- так и мультисолитонных структур.

При отсутствии захваченного магнитного потока, но наличии достаточно сильного внешнего тангенциального магнитного поля в контакт могут проникать замкнутые кольцевые джозефсоновские вихри. Поскольку свободная энергия кольцевой вихревой струны растет с увеличением ее диаметра, то такие вихри группируются вблизи внутренней границы контакта.

Внешний ток смещения приводит к движению вихревых струн. Рассмотрена задача о движении в контакте одной вихревой струны, начинающейся на внешней, а кончающейся на внутренней границе контакта (в контакте захвачен один квант магнитного потока). При достижении скоростью нити определенной критической величины за вихрем возникает излучение, имеющее структуру моды шепчущей галереи. Приложение внешнего магнитного поля меняет амплитуду, но не условие возникновения излучения. Была построена вольт-амперная характеристика контакта. При использованных параметрах на вольт-амперной характеристике не наблюдалось никаких резонансных ступенек.

Развита теория, позволяющая объяснить все наблюдаемые эффекты и рассчитать критическую скорость, при которой возникает излучение, угловой период и масштаб локализации радиационного поля, а так же его радиальную структуру. Доказано, что обнаруженный эффект есть черенковское излучение вихрем волны типа моды шепчущей галереи. Показано, что в данном случае наличие медленных волн обусловлено геометрической дисперсией волн в кольцевом контакте. Продемонстрировано, что черенковское излучение может приводить к образованию тонкой структуры на ВАХ двумерных кольцевых контактов.

Показано, что эффект черенковского излучения джозефсоновскими вихревыми струнами мод шепчущей галереи может быть использован в генераторах СВЧ излучения с электронной перестройкой частоты.

Рассмотрен механизм разрушения вихревого состояния в кольцевом контакте. Продемонстрировано, что при достаточно большой скорости вихря поле излучения становится настолько сильным, что происходит рождение из излучения пар вихрь-антивихрь. Затем эта пара аннигилирует и число вихрей в среднем не увеличивается. Однако при еще большей скорости процесс рождения вихрей и антивихрей приобретает лавинный характер и их число начинает неограниченно возрастать. В результате происходит разрушение режима течения потока в контакте и срыв на квазичастичную ветвь вольт-амперной характеристики

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юлин, Алексей Викторович, 1998 год

Литература

[1] J.D. Josephson, Phys. Lett., 1(7), 251, 1962

[2] J.R. Anderson and J.M. Rowell, Phys. Rev. Lett., 10, 230, 1963

[3] R. De Luca and T. Di Matteo, Phys. Rev. B, 57, 1173, 1998

[4] M.A. Hein, M. Strupp, and H. Piel, A.M. Portis, R. Gross, J. Apll. Phys. 75, 4581, 1994

[5] R. Kleiner, F. Steinmeyer, G. Kinkel, and P. Mueller, Phys. Rev. Lett. 68, 2394, 1992; R. Kleiner and P. Mueller, Phys. Rev. В 49, 1327, 1994

[6] R.G. Mints and I.B. Snapiro, Phys. Rev. B, 52, 9691, 1995

[7] V.V. Kurin, A. Chiginev, submitted for Phys. Rev. В

[8] Yu.S. Kivshar, B.A. Malomed, Phys. Rev. B, 37, 9325, 1988

[9] V.V. Kurin, A.V. Yulin, Phys. Rev. B, 55, 11659, 1997

[10] G. Hechtfisher, R. Kleiner, A.V. Ustinov, and P. Mueller, Phys. Rev. Lett., 79, 1365, 1997

[11] E. Goldobin, A. Wall raff, N. Thyssen, A.V. Ustinov, Phys. Rev. B, 57 130, 1998

[12] V.V. Kurin, A.V. Yulin, I.A. Shereshevskii, and N.K. Vdovicheva, Phys. Rev. Lett., 80, 3372, 1998

[13] H.S.J, van der Zant and T.P. Orlando, J. Appl. Phys., 76, 7606, 1994; H.S.J, van der Zant and T.P. Orlando, Sh. Watanabe and H. Strognatz, Phys. Rev. Lett., 74, 174, 1995.

[14] D.R. Tylley, Phys. Lett., 33A, 205, 1970

[15] K. Wan, A.K. Jain, and J.E. Lukens, Appl. Phys. Lett. 54, 1805, 1989; S. Han, B. Bi, W. Chang, and J.E. Lukens, Appl. Phys. Lett., 64, 1424, 1994

[16] J. Mygind, V.P. Koshelets, A.V. Shchukin, S.V. Shitov, and L.V. Fillipenko, Superconductivity and Superconducting Materials Technologies, P. Vincenzini (Editor), Techna Sri, 735, 1995

[17 [18 [19 [20 [21 [22

[23 [24 [25

[26 [27 [28

[29

[30 [31 [32

S.N. Erne, R.D. Parmentier, J. Appl. Phys., 51, 5025, 1980 S.N. Erne, R.D. Parmentier, J. Appl. Phys., 52, 1091, 1981 S.N. Erne, R.D. Parmentier, J. Appl. Phys., 52, 1608, 1981 K. Yoshida and F. Irie, Appl. Phys. Lett., 27, 469, 1975

T. Nagatsuma, K. Epuku and F. Irie, K. Yoshida, J. Appl. Phys., 54, 3302, 1983

E. Jorgensen, V.P. Koshelets, R. Monaco, J. Mygind, M.R. Samuelsen, and M. Salerno, Phys. Rev. Lett., 49, 1093, 1982

A.A. Golubov, B.A. Malomed, and A.V. Ustinov, Phys. Rev B, 54, 3047, 1996

A.P. Betenev and V.V. Kurin, Phys. Rev. B, 56, 13, 7855, 1997

Вабищевич П.Н., Васенко С.А., Лихарев К.К., Семенов В.К., ЖЭТФ, 86, 1132, 1984

B.G. Konopelchenko, W. Schief and С. Rogers, Physics Letters A, 172, 39, 1992 P.L. Christiansen and P.S. Lomdahl, Physica 2D, 482, 1981

A. WallfafF and A.V. Ustinov, presented at the 1998 Spring Meeting of the German Physical Society in Regensburg

T. Hoist, J.B. Hansen, N. Gronbech-Jensen, and J.A. Blackburn, Phys. Rev. B, 42, p. 127, 1990.

N. Gronbech-Jensen, and J.A. Blackburn, Phys. Rev. Lett., 70, 9, p. 1251, 1993. Y.M. Chang, D. Winkler, and T Claeson, Appl. Phys. Lett., 62, 24, p. 3195, 1993. A.V. Ustinov, H. Kohlstedt, and C. Heiden Appl. Phys. Lett., 65, 11, p. 1457, 1994.

[33] A.V. Shchukin, V.P. Koshelets, S.V. Shitov, L..P. Fillipenko, and J. Mygind, Proceedings of 5th international Superconductive Electronics Conference (ISEC'95), September 18-21, 1995, Nagoya, Japan, p. 416, 1995.

[34] Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, М.: Наука, 1982

[35] N. Gronbech-Jensen and M.R. Samuelsen, P.S. Lomdahl, J.A. Blackburn, Phys. Rev. B, 42, 7, p. 3976, 1990.

[36] L.N. Bulaevskii, N. Zamora and D. Baeriswyl, H. Beck, J.R. Clem, Phys. Rev. B, 50, 17, p. 12831, 1994.

[37] S. Sakai, A.V. Ustinov and Kohlstedt, A. Pedragila and N.F. Pedersen, Phys. Rev. B, 50, 17, p. 12905, 1994.

[38] N. Gronbech-Jensen, M.R. Samuelsen, Phys. Rev. Lett., 74, 1, p. 170, 1995.

[39] A. Gurevich, Phys. Rev. B, 46, p. 3187, 1992.

[40] R.G. Mints and I.B. Snapiro, Physica A, 200, p 426, 1993.

[41] А.А. Голубое, И.Л. Серпученко, А.В. Устинов, ЖЭТФ, 94, 6, стр. 297, (1988)

[42] Martucciello, J.Mygind, V. Koshelets, Shchukin, Fillipenko, and Monaco, Phys. Rev. B, 57, 5, (1998)

[43] B.B. Курин, А.В. Юлин, Изв. ВУЗов Радиофизика, XXXVI, 8, стр. 801, (1993)

[44] A. Shirman and Z. Hermon, A.V. Ustinov, B.A. Malomed, E. Ben-Jacob, Phys. Rev. B, 50, 17, p. 12793, (1994)

[45] V.P. Koshelets, S.V. Shitov, A.V. Shchukin, and L.V. Filipperiko, J Mygind, A.V. Ustinov, Phys. Rev. B, 56, 9, p. 5572, 1997.

[46] K.A. Gorshkov, L.A. Ostrovsky Physica 3D, 1&2, 428, 1981.

[47] D.W. McLaughlin, A.C. Scott, Phys. Rev. A, 18, 4, p. 1652, 1978.

[48] J.R. Pierce, Travelling wave tube, D. van Nosterand Co., NY, 1950.

[49] W. Kleen, К. Poechl, Introduction in microwave Electronics, Hizzel Verlag, Stutgart, 1958.

[50] E.M. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Физическая Кинетика, М.: Наука, 1979

[51] A.V. Ustinov, Н. Kohlstedt, and С. Heiden Appl. Phys. Lett., 65, 11, p. 1457, 1994.

[52] N. Martucciello, R. Monaco, Phys. Rev. B, 53 3471, 1996

[53] N. Martucciello, R. Monaco, Phys. Rev. B, 54 9050, 1996

[54] A. Wallraff, D. Bolkhovsky, V. Kurin, N. Thyssen, and A.V. Ustinov, Inst. Phys. Conf. Ser. No. 158, 531, 1997

[55] А. Бароне, Дж. Патерно, Эффект Джозефсона, М.: Мир, 1984

[56] Rayleigh (Lord), Phyl. Mag., 27, 100 (1914).

[57] E. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш, Специальные функции, М.: Наука, 1964

Список публикаций автора

[A] V.V. Kurin, A.V. Yulin, I.A. Shereshevskii and N.K. Vdovicheva, Phys. Rev. Lett., 80, 3372, 1998

[B] V.V. Kurin, A.V. Yulin, Phys. Rev. B, 55, 11659, 1997

[C] А. Юлин, Труды второй нижегородской сессии молодых ученых, Нижний Новгород, апрель, 1997, стр. 47

[D] V.V. Kurin, A.V. Yulin, in Proceedings of IX trilateral German-Russian-Ukrainian seminar on high temperature superconductivity, Gabelbach, Germany, September 22-25, 1996

[E] V.V. Kurin, A.V. Yulin, I.A. Shereshevskii and N.K. Vdovicheva, in Proceedings of IX trilateral German-Russian-Ukrainian seminar on high temperature superconductivity, Gabelbach, Germany, September 22-25, 1996

[F] B.B. Курин, А.В. Юлин, И.А. Шерешевский, H.K. Вдовичева, в трудах международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, Россия, сентябрь 1996, стр. 50

[G] В.В. Курин, Д.А. Рындык, М.Ю. Левичев, Р.К. Белов, В.А. Маркелов, А.В. Юлин, Сборник отчетов по научным проектам МНТП России "Физика Микроволн", том 2, стр. 324, 1996

[H] В.В. Курин, А.В. Юлин, Изв. ВУЗов Радиофизика, XXXVIII, 3-4, стр. 287, 1995 [J] V.V. Kurin, A.V. Yulin, Physica С, 235-240, p. 3331, 1994

[К] V.V. Kurin, A.V. Yulin, Abstracts of the second School-Seminar "Dynamical and Stochastic wave phenomena", Nizhny Novgorod, 1994, p. 83

[L] B.B. Курин, А.В. Юлин, Изв. ВУЗов Радиофизика, XXXVI, 8, стр. 805, 1993

Рис. 1.1

Джозефсоновский контакт, состоящий из сверхпроводниковых электродов Э1 и Б2 разделенных прослойкой диэлектрика или нормального металла I. Показано перекрытие параметров порядка '!//, и 1р2, описывающих электронный конденсат в верхнем и нижнем электродах.

Рис. 1.2

Зависимость фазы, магнитного поля и текущего через контакт сверхтока от координаты. Показанное решение соответствует линейным волнам в джозефсоновском переходе.

8, - ->- ЛЕХ,

I js/ <-

Рис. 1.3

Зависимость фазы, магнитного поля и текущего через контакт сверхтока от координаты. Данное решение соответствует одному солитону в контакте. Сверху показана структура вихря где серым цветом закрашены области сверхпроводниковых электродов, куда проникает магнитное поле и где, соответственно, текут сверхтоки.

Рис. 2.1.1

Джозефсоновская линия передачи с дисперсией, состоящая из контакта, электродинамически связанного с полосковой линией.

Рис. 2.1.2

Дисперсионная характеристика рассматриваемой системы, состоящей из джозефсоновского контакта связанного с линией передачи с дисперсией. Кривая 1 соответствует линейным волнам в джозефсоновском контакте, кривые 2 и 3 соответствуют двум первым модам линии передачи с дисперсией.

и

л

с

\/ /ч

/ч

У

/Ч

т

М

Рис. 2.2.1

Эквивалентная схема электродинамической системы, показанной на рисунке 2.1.1.

Рис. 2.3.1

Магнитное поле в линии передачи.

верхний электрод

запитку

Рис. 2.4.1

Показана возможная запитка контакта пространственно неоднородным током накачки. На рисунке стрелками показаны направления протекания токов смещения.

Рис. 2.4.2

Показана зависимсть плотности энергии возбужденной волны от расстояния между вихрями при фиксированном токе накачки и, следовательно, при постоянной скорости движения цепочки вихрей. Зависимость плотности энергии возбужденной волны от тока накачки при фиксированном расстоянии между вихрями в цепочки качественно имеет такой же вид с ярко выраженными максимумами, соответствующими сфазированномуизлучению всех вихрей.

Рис. 3.1.1

Показан внешний вид двухслойной периодической системы. Схема состоит из джозефсоновского контакта 1, линии передачи 2 и набора отрезков полосковых линий 3 обеспечивающих связь между контактом и линией передачи. Черными линиями на рисунке обозначены диэлектрические прослойки в контакте и полосковых линиях.

Рис. 3.1.2

Вид сверху на периодическую джозефсоновскую линию передачи. Указаны следующие необходимые геометрические размеры: ширины контакта и полосковых линий, длины контакта и линии передачи между отрезками полосковых линий, связывающих контакт с линией, а так же длина этих отрезков. На рисунке, кроме того, показаны точки, токами и напряжениями в которых, описывается в нашем подходе данная схема.

Рис. 3.3.1

Дисперсионная характеристика системы. Показаны три нижние ветви в одной зоне Бриллюена.

1.20

Рис. 3.3.2

Безразмерное напряжение на линии передачи (кривая 1) и на джозефсоновском контакте (кривая 2) для моды, описываемой первой ветвью дисперсионной характеристики.

2ЛЮ^ 4Л)0

Рис. 3.3.3

Безразмерные токи в линии передачи (кривые 1) и в джозефсоновском контакте (кривые 2 ) для моды, описываемой первой ветвью дисперсионной характеристики. Зависимости от ц реальных частей токов показаны сплошными, а мнимых частей - пунктирными линиями.

8.00

Рис. 3.3.4

Безразмерное напряжение на линии передачи (кривая 1) и на джозефсоновском контакте (кривая 2) для моды, описываемой второй ветвью дисперсионной характеристики.

1

С — __ / 2 Д

^—,

I 1 1 1 qd2 1 ' 1

-4 00

-71

-2.00 -яА

0.00

2.00

тс

4.00

Рис. 3.3.5

Безразмерные токи в линии передачи (кривые 1) и в джозефсоновском контакте ( кривые 2 ) для моды, описываемой второй ветвью дисперсионной характеристики. Зависимости от q реальных частей токов показаны сплошными, а мнимых частей - пунктирными линиями.

Рис. 3.3.6

Отношение потока энергии через сечение полосковой линии Р, к полному потоку, состоящему из суммы потоков энергии через сечение линии и через сечение джозефсоновского контакта Р].

Рис. 3.4.1

Зависимость от волнового вектора характерного пространственного масштаба затухания волн, описываемых второй ветвью дисперсионной характеристики при следующих значениях постоянных затухания у=0.1, Г, =0.0002, Г5 =0.0002.

Рис. 3.4.2

Пространственная зависимость амплитуды волны, описываемой второй ветвью дисперсионной характеристики при нерезонансном взаимодействии с флаксонной цепочкой, q= 13.866, к = 13.666. Активный участок лежит в пределах 0<п<150. Волна является прямой и распространяется слева направо.

1.00

Рис. 3.4.3

Пространственная зависимость амплитуды волны, описываемой второй ветвью дисперсионной характеристики при резонансном взаимодействии с флаксонной цепочкой. Резонанс лежит в третьей зоне Бриллюена, q = к = 13.866. Активный участок лежит в пределах 0<п<150. Волна прямая и распространяется слева направо.

0.80

Рис. 3.4.4

Пространственная зависимость амплитуды волны, описываемой второй ветвью дисперсионной характеристики при нерезонансном взаимодействии с флаксонной цепочкой, q= 11.266, к = 11.400. Активный участок лежит в пределах 0<п<150. Волна является обратной и распространяется справа налево.

0.80

Рз

0.60

0.40

0.20

о.оо

Зтг

_/

' I

п 13.866 5я

Рис. 3.4.5

Зависимость от волнового числа стационарного потока энергии в моде, описывоемой второй ветвью дисперсионной характеристики. Внешнее магнитное поле постоянно. Показан случай, когда взаимодействие происходит с третьей пространственной гармоникой ( резонанс лежит в третьей зоне Бриллюена). Параметер к, определяющий пространственный период цепочки флаксонов Ь5=2тсё2/к при вычислениях брался равным к= 13.866. Видно, что при резонансе, когда мощность излучения резко возрастает.

1.20

1 | . г~ 1 ^ г

Зк 4л 5к

Рис. 3.4.6

Зависимость от волнового числа максимальной мощности излученной волны, описывемой второй ветвью дисперсионной характеристики когда взаимодействие происходит с третьей пространственной гармоникой (волновой вектор лежит в третьей зоне Бриллюена). Для каждого q подбирается оптимальное магнитное поле, обеспечивающее максимальную мощность излучения.

ю.оо

Рис. 3.6.1

Зависимость от волнового числа стационарного потока энергии в в волне, описываемой второй ветвью дисперсионной характеристики. Внешнее магнитное поле постоянно. Взаимодействие происходит со второй пространственной гармоникой (резонанс лежит во второй зоне Бриллюена). Параметр к, определяющий пространственный период цепочки флаксонов Ь5=2т1<12/к при вычислениях брался равным к=5.3. Видно, что при резонансе когда ц^к мощность излучения резко возрастает.

20.00

Рис. 3.6.2

Зависимость от волнового числа максимальной мощности излученной волны при учете нелинейного подавления источника. Возбуждаемая волна описывется второй ветвью дисперсионной характеристики. Взаимодействие происходит со второй пространственной гармоникой (резонанс лежит во второй зоне Бриллюена). Для каждого q подбирается оптимальное магнитное поле, обеспечивающее максимальную мощность излучения. Пунктиром показана максимальная мощность излучения рассчитанная в линейном приближении. При некоторых ц линейное приближение дает в несколько раз завышенную мощность излучения.

40.00

Рис. 3.6.3

Зависимость от волнового вектора характерного пространственного масштаба установления стационарной амплитуды волн, описываемых второй ветвью дисперсионной характеристики при наличии нелинейного подавления источника для случая, когда взаимодействие происходит со второй пространственной гармоникой. Показана вторая зона Бриллюена. Линейные потери по прежнему характеризуются константами затухания у =0.1,

Г, =0.0002, Г5 =0.0002.

Рис. 4.2.1

Дисперсионная характеристика системы вблизи точки синхронизма акустических волн в цепочке вихрей с модой линии передачи. Показан случай, когда вблизи точки синхронизма волны в линии являются прямыми. Кривые 1 и 2 относятся соответственно к быстрой и медленной акустическим волнам, а кривая 3 - к волне в линии.

Рис. 4.2.2

Дисперсионная характеристика системы вблизи точки синхронизма акустических волн в цепочке вихрей с модой линии передачи. Показан случай, когда вблизи точки синхронизма волны в линии являются обратными. Кривые 1 и 2 относятся соответственно к быстрой и медленной акустическим волнам, а кривая 3 - к волне в линии.

Рис. 4.3.1

Вольт-амперная характеристика джозефсоновского контакта связанного с линией передачи с дисперсией. Отклонение вольт-амперной характеристики от прямой и образование ступеньки связано с наличием черенковского синхронизма вихрей с собственной модой контакта. Пунктирной линией показана неустойчивая часть вольт-амперной характеристики.

Рис. 5.1.1

Внешний вид двумерного кольцевого джозефсоновского контакта.

Рис. 5.2.1

Силовые линии магнитного поля в кольцевом джозефсоновсковском контакте с одним захваченным квантом потока. Внешнего тангенциального магнитного поля нет В=0. Внутренний радиус контакта г, =0.03 много меньше, а внешний - ге=3 больше джозефсоновской длины.

40.00

20.00

10.00

Г:©.

0.00

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

Рис. 5.2.2

Зависимость радиальной компоненты магнитного поля от угла на внутреннем радиусе =0.03 двумерного кольцевого контакта (внешний радиус ге =3). В контакте захвачен один квант потока, внешнее тангенциальное магнитное поле равно нулю Bi = 0. Штриховой линией показана зависимость магнитного поля от угла для одномерного кольцевого контакта с радиусом г = 0.03, джозефсоновская длина для обоих контактов одинакова.

2.00

Рис. 5.2.3

Зависимость радиальной компоненты магнитного поля от угла на внешнем радиусе г е = 3 двумерного кольцевого контакта (внутренний радиус = 0.03 ). В контакте захвачен один квант потока, внешнее тангенциальное магнитное поле равно нулю В;=0. Штриховой линией показана зависимость магнитного поля от угла для одномерного кольцевого контакта с радиусом г = 3, джозефсоновская длина для обоих контактов одинакова.

Рис. 5.2.4

Силовые линии магнитного поля в кольцевом джозефсоновсковском контакте с одним захваченным квантом потока. Внешнего тангенциального магнитного поля нет, В^ 0. Внутренний г,=3 и внешний ге=15 радиусы контакта значительно больше джозефсоновской длины.

3.00

Рис. 5.2.5

Зависимость радиальной компоненты магнитного поля от угла на внутреннем радиусе г; =3 двумерного кольцевого контакта (внешний радиус ге =15). В контакте захвачен один квант потока, внешнее тангенциальное магнитное поле равно нулю В( = 0. Штриховой линией показана зависимость магнитного поля от угла для одномерного кольцевого контакта с радиусом г = 3, джозефсоновская длина для обоих контактов одинакова.

2.00 В.

1.00

0.00

0.

00

г©

20.00 40.00 60.00 80.00

юб.оо

Рис. 5.2.6

Зависимость радиальной компоненты магнитного поля от угла на внешнем радиусе г е = 15 двумерного кольцевого контакта (внутренний радиус г; =3). В контакте захвачен один квант потока, внешнее тангенциальное магнитное поле равно нулю В; = 0. Штриховой линией показана зависимость магнитного поля от угла для одномерного кольцевого контакта с радиусом г = 15, джозефсоновская длина для обоих контактов одинакова.

Рис. 5.2.7

Силовые линии магнитного поля в кольцевом джозефсоновсковском контакте с одним захваченным квантом потока. Приложено внешнее тангенциальное магнитное поле В; = 10. Внутренний радиус контакта г; =0.03 много меньше, а внешний - ге=3 больше джозефсоновской длины.

Рис. 5.2.8

Силовые линии магнитного поля в кольцевом джозефсоновсковском контакте с одним захваченным квантом потока. Приложено внешнее тангенциальное магнитное поле 0.2. Внутренний г, =3 и внешний ге= 15 радиусы контакта значительно больше джозефсоновской длины.

Рис. 5.2.9

Зависимость угловой компоненты магнитного поля от радиуса в двумерном кольцевом контакте с внутренним радиусом Г; =3 и внешним ге =15. Контакт помещен во внешнее магнитное поле тангенциальная компонента которого на внутреннем радиусе Г; =3 равна В1 = 3.5.

Рис. 5.2.10

Силовые линии магнитного поля в кольцевом джозефсоновсковском контакте с тремя захваченными квантами потока. Приложено внешнее тангенциальное магнитное поле 0.2. Внутренний г; =3 и внешний ге= 15 радиусы контакта значительно больше джозефсоновской длины.

Рис. 5.2.11

Силовые линии магнитного поля в контакте при скорости вихря больше критической. Видно образование радиационного хвоста за движущимся вихрем.

Radius

Рис. 5.2.12

Радиальная структура поля излучения. Сплошной линией показан результат численного счета, а пунктирной линией изображена аналитически полученная структура моды.

100 200 300 Апд!е (с!едгее)

Рис. 5.2.13

Угловая структура поля излучения. Сплошной линией показан результат численного счета. Пунктирной линией показана аналитически полученная огибающая для угловой структуры излучаемой моды.

Рис. 5.2.14

Силовые линии магнитного поля в контакте при скорости вихря больше критической. Контакт с одним захваченным квантом потока находится во внешнем тангенциальном магнитном поле В,= -1.4.

0.1 0.2 0.3 Сиггепу|-

Рис. 5.2.15

Вольт - амперная характеристика двумерного кольцевого джозефсоновского контакта, помещенного в нулевое внешнее магнитное поле.

Рис. 5.3.1

Дисперсия Л (к) (к -угловой индекс) линейных волн с разной поперечной структурой (характеризуемой радиальным индексом в) в двумерном кольцевом джозефсоновском контакте. Показана область больших к. Тонкая сплошная линия это дисперсионная кривая вихревой нити, движущейся со скоростью большей критической.