Динамика солитонов в неоднородных конденсированных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Абдуллаев, Фатхулла Хабибуллаевич

• Абдуллаев, Фатхулла Хабибуллаевич
• доктор физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Абдуллаев, Фатхулла Хабибуллаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДДЯ

СОЛИТОНОВ.

§ I.I. Адиабатическое приближение.

§ 1.2. Статистическое борновское приближение.

§ 1.3. Метод среднего поля.

§ 1.4. Точно решаемые модели.

§ 1.5. Численное моделирование схем размыкания моментов нелинейных стохастических дифференциальных уравнений.

§ 1.6. Математическое моделирование динамики солитонов в случайно - неоднородных средах.

ГЛАВА II. ДИНАМИКА СОЛИТОНОВ В НЕОДНОРОДНЫХ И СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ

КРИСТАЛЛАХ.

§ 2.1. Модель стохастической экситон-фононной-связи.

Гамильтониан и основные уравнения движения

§ 2.2. Уравнение для среднего поля возбуждений и его решение.

§ 2.3. Учет конечности времени корреляции флуктуаций.

§ 2.4. Модель со стохастическим рассогласованием резонансных взаимодействий между молекулами

§ 2.5. Солитоноподобные возбуждения в неупорядоченной системе с недиагональными членами.

§ 2.6. Движение молекулярных солитонов в случайнонеоднородной молекулярной цепи.

ГЛАВА III. СОЛИТОНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ КВАЗИОДНОМЕРНЫХ Стр,

МАГНЕТИКАХ.

§ 3.1. Спин-фононное взаимодействие в ферромагнетиках с анизотропией типа "легкая плоскость"

§ 3.2. Магнитные солитоны в ангармоническом планарном ферромагнетике

§ 3.3. Стохастическая спин-фононная модель

§ 3.4. Динамика солитонов под действием фононных флуктуации в квазиодномерных ферромагнетиках

§ 3.5. Движение солитона в планарном ферромагнетике со случайным магнитным полем.

ГЛАВА 1У. ДОМЕННЫЕ СТЕНКИ И ФОНОНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ

СИСТЕМАХ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ СМЕЩЕНИЯ

§ 4.1. Одномерная модель структурных фазовых переходов смещения. Гамильтониан и уравнения движения.

§ 4.2. Динамика доменных стенок в системе с дефектами типа"случайная критическая темепература"

§ 4.3. Влияние термостата на динамику доменных стенок.

§ 4.4. Движение электрона в одномерной системе со фазовым переходом типа смещения.

§ 4.5. Распространение солитонов в системах нелинейных связанных осцилляторов с флуктуирующими параметрами.

ГЛАВА У. РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СОЛИТОНОВ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

§ 5.1. Движение солитонов нелинейного уравнения

Шредингера в неоднородной среде

§ 5.2. Теория переходного излучения солитона

§ 5.3. Теория переходного рассеяния солитонов в нестационарной среде.

ШВА У1. ДИНАМИЧЕСКАЯ СТОХАСТИЧНОСТЬ СОЛИТОНОВ И СОЛИТОН-НЫХ СИСТЕМ В НЕОДНОРОДНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ

§ 6.1. Броуновское движение солитона в поле волнового пакета.

§ 6.2. Динамический хаос в длинных джозефсоновских контактах.

§ б.З. Динамический хаос в параметрически возбуждаемой классической цепочке Sine-Gordon

§ 6.4. Стохастическая динамика шредингеровского солитона в нестационарной среде

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика солитонов в неоднородных конденсированных средах»

В последнее время наблюдается существенный прогресс в изучении сильно нелинейных классических и квантовых распределенных систем / 1-3 /. Сюда относится в первую очередь исследование нелинейных волновых процессов в квазиодномерных конденсированных средах - развитие теории солитонов в квазиодномерных молекулярных кристаллах и цепочках /4, 5 /, теории солитонов в магнетиках /6, 7 /, теория доменных стенок и других нелинейных возбуждений в системах со структурными фазовыми переходами / 8, 9 /, теории солитонов на поверхности / ДО / и ряд других.

Характерная особенность всех этих рассматриваемых классических и квантовых систем состоит в том, что в них существенную роль играет нелинейное взаимодействие между модами системы. В случае классических систем это соответствует тому, что в волновых уравнениях нелинейные члены оказываются того же порядка, что и линейные. В случае квантовых систем это означает, что нелинейность важна, когда энергия взаимодействия между элементарными возбуждениями (квазичастицами) оказывается того же порядка, что и собственная энергия квазичастиц. Ясно, что тогда становится неприменимой обычная теория возмущений, которая исходила из того, что влияние возмущения сводится к перенормировке параметров исходных мод и их конечному времени жизни и т.д. Весьма эффективными оказались представления о существовании уединенных волн и уединенных коллективных возбуждений - солитонов и /V -солитонных состояний, которые образуют особый класс решений нелинейных волновых уравнений.

В первый период (до конца 70-х годов) основные результаты были получены при изучении проблем теории конденсированного состояния, которые сводятся к изучению вполне интегрируемых нелинейных волновых уравнений / II /. К ним относятся нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), уравнение Кортевега-де-Вриза (ВдВ), уравнение sine-Gordon и многие другие / 12 /. Все эти уравнения поддаются исчерпывающему анализу с помощью метода обратной задачи (МОЗ) / 13 /. В настоящее время этим методом построены N~ -солитонные решения широкого класса нелинейных задач / 14 /, развиты методы исследования асимптотического поведения решений / 15 /.

Хотя изучение идеализированных моделей,сводящихся к вполне интегрируемым волновым уравнениям остается важным направлением в теории конденсированного состояния, в настоящее время все большее внимание привлекает исследование динамики солитонов в реальных системах: изучение взаимодействий солитонов с другими физическими полями, движения солитонов в регулярно-неоднородных и случайно-неоднородных средах, взаимодействие солитонов с дефектами и примесями, изучение влияния термостата на солитоны, термодинамика и статмеханика ансамблей солитонов и многие другие задачи (см. обзоры / 18, 19 /). Следует отметить важные недавние исследования многомерных солитонов в конденсированных средах -динамических и топологических многомерных солитонов в магнитных системах / 20 /, кластерных стенок в многомерных системах со структурными фазовыми переходами / 21 /, ленгмюровских диссипа-тивных солитонов / 22 /.

Для того, чтобы можно было описать динамику солитонов в реальных системах, необходимо развитие соответствующего математического аппарата и в частности теории возмущений для солитонов. В настоящее время построена теория возмущений, позволяющая описать эволюцию солитонов, находящихся под действием слабых регулярных возмущений / 23-28 /. Основная идея этих работ заключается в использовании метода обратной задачи для вычисления медленной эволюции параметров солитонов и N -солитонных комплексов. Развитая техника позволяет найти эволюцию параметров в адиабатическом приближении и построить поправки за счет высших порядков теории возмущений.

Исследование динамики солитонов в неупорядоченных системах и под действием нестационарных флуктуаций требует соединения методов этого типа с теорией случайных процессов, т.е. разработки статистической теории возмущений для солитонов. Однако работы в этой области только начинаются. В основном получены результаты в адиабатическом / 29 / приближении и начато исследование статистического борновского приближения. Так, в работе / 30 / рассмотрено движение джозефсоновского вихря (солитона уравнения sine -Gordon ) в случайно- неоднородной среде. С помощью статистического борновского приближения изучено излучение вихря на случайных неоднородностях. Показано, что электромагнитное излучение носит характер белого шума.

В работах /31, 35 / изучено движение солитонов Кортевега-де-Вриза-Бюргерса в среде с распределенными шумовыми источниками с помощью метода адиабатического приближения и найдено распределение вероятностей для энергии солитона Р (Ь , -Ь ), которое имеет характерное плато, а также в случае КдВ - закон стохастического разгона солитона. В рамках метода среднего поля близкая задача движения солитона КдВ в среде с мелкомасштабными неоднород-ностями рассмотрена в работе / 32 /. Выведено уравнение для среднего поля, однако его решения не были получены. Условия применимости метода среднего поля в нелинейных стохастических волновых задачах обсуждаются в работах / 33, 37 /, где сделан вывод об ограниченности его применимости и указаны границы метода. Следует отметить, что все заключения относятся в основном к модели типа Бюргерса и КдВ.

Непосредственный эксперимент на длинных электромагнитных линиях для изучения динамики солитонов в средах со случайными параметрами выполнен в работе / 34 /. В условиях, когда задача сводится к исследованию динамики солитонов КдВ в случайно-неоднородной среде, найдено затухание солитонов.

В то же время исследование распространения солитонов в случайно-неоднородных системах в модели нелинейного уравнения Шре-дингера, sine-Gordon , vfw и т.д., важных для приложений в физике твердого тела, практически отсутствует. Кроме того, остается неизученной динамика солитонов под действием сильных случайных возмущений, когда неприменима теория возмущений для солитонов. Решению этих вопросов посвящена первая глава диссертации.

Изложим далее имеющиеся результаты и проблемы по теории солитонов в квазиодномерных конденсированных средах.

Начнем с теории солитонов в одномерных и квазиодномерных молекулярных кристаллах, развитой в работах А.С.Давыдова с сотрудниками/38 - 40, 43 /. Эти работы имеют важное значение в связи с решением ряда проблем переноса энергии и заряда в молекулярных цепях. Оказалось, что в одномерных системах взаимодействие электронов со смещениями атомов стабилизирует его движение - возникает своеобразное явление квазисверхпроводимости. Возможно также появление в бесконечной молекулярной цепи возбуждений, распространяющихся с постоянной скоростью вдоль цепи в виде уединенных волн - солитонов. Как показано в / 38 /, эти возбуждения описывают связанное состояние экситонов и локальной деформации цепочки. Внутренняя энергия возбуждения меньше суммы энергии молекулярного возбуждения и деформации цепочки (см.также / 42 /). Наибольшие отличия в свойствах экситонов и солитонов предсказываются в мягких цепочках.

В дальнейшем было учтено влияние энгармонизма решетки / 43 /. Весьма интересна работа / 40 /, где исследовано влияние тепловых флуктуаций на солитоны в молекулярных цепочках и показано, что солитоны под действием флуктуаций колебаний решетки расплываются. В работах В.К.Маханькова, В.К.Федянина / 44, 45 /, изучен вклад недиагональных малых членов в эволюцию солитоноподобных возбуждений. Оказалось, что результат не сводится к перенормировке параметров возбуждений исходного типа / 38 - 43 /, а возникают новые типы решений. В работе / 39 / исследовано влияние диссипации и различных регулярных возмущений на молекулярные солитоны. Найден закон торможения молекулярных солитонов и перенормировка массы солитона.

Представляется необходимой разработка проблем взаимодействия молекулярных солитонов с различного рода примесями, флуктуациями, учета влияния жидкой среды, в которой обычно находятся молекулярные цепи. Этот круг вопросов изучен во второй главе диссертации.

Следующее направление, которое развивается в диссертации -теория солитонов в квазиодномерных магнетиках. В настоящее время это быстро развивающаяся область теории солитонов и теории магнит оупорядоченных сред. Трудно перечислить все достижения теории магнитных солитонов (МС) (см. обзоры / б /, / 18 /). Здесь мы кратко изложим результаты, которые связаны с темой третьей главы диссертации: Отметим лишь, что динамика МС в одномерных однородных магнитных системах изучалась И.Ахиезером, А.Е.Боровиком / 47 /, В.М.Елеонским с сотрудниками / 48 - 50 /. Трехмерные магнитные солитоны изучались Б.А.Ивановым, А.М.Косевичем / 6, 20 /. Квантовомеханический анализ магнитных солитонов выполнен в / 20

- 51 /, взаимодействие магнитных солитонов с другими типами возбуждений изучено в работах В.Г.Барьяхтара с сотр. в работах / 52-53 /. Представляет большой интерес полученное в / 53 / кинетическое уравнение для кинков при учете влияния термостата.

В работе Микешки / 54 / рассмотрена динамика магнитных солитонов в ферромагнетике с анизотропией типа "легкая плоскость" и изучена равновесная термодинамика газа термически активированных солитонов. Позже в / 55 / была изучена динамика МС в этой модели при учете дискретности решетки, взаимодействие МС с колебаниями решетки не рассматривалось. В экспериментах Стейнра и Кжем-са / 56 / по неупругому рассеянию нейтронов МС были обнаружены. Недавно экспериментально показано, что энергия наложенного переменного магнитного поля может поглощаться солитонов / 57 /.

Принципиальный интерес представляет работа / 58 /, посвященная исследованию динамики МС в неупорядоченных (аморфных) магнетиках типа спинового стекла. В ней на основе решений выведенных А.Ф.Андреевым / 59 / феноменологических уравнений для динамики спиновых стекол найдены новые типы солитонов - линейные топологические солитоны типа дисклинаций, плоские топологические соли-тоны, одномерные и трехмерные динамические солитоны. Другим интересным и перспективным направлением исследований в этой области является перенос идей работы / 60 /, развитых для случая линейных спиновых волн в неупорядоченных магнетиках, на нелинейный случай. Одной из реализаций этих идей посвящена третья глава диссертации.

В работах / 61 - 63 / построены решения классической изотропной модели Гейзенберга. Лаксмананом / 61 / показано, что в длинноволновом пределе система сводится к системе уравнений, которая описывается нелинейным уравнением Шредингера. Тахтаджаном 63 / задача проинтегрирована методом обратной задачи рассеяния. Представляет естественный интерес исследование взаимодействия солитонов в изотропной модели Гейзенберга с другими видами возбуждений, влияние квантовых эффектов и другие вопросы.

В пионерской работе Крумхансла-Шриффера / 8 / предложена и изучена одномерная модель структурных фазовых переходов типа смещения. Оказалось, что выход за рамки теории возмущений по ангармоничности фононов приводит к появлению новых видов возбуждений -кинков (доменных стенок) и бризеров (связанных состояний кинков и антикинков). Представляет интерес систематическое исследование влияния термостата на динамику кинков, исходя из метода Ланжеве-на. Этот вопрос рассмотрен в главе 4 диссертации.

Следующим интересным обобщением результатов работы / 8 / является изучение влияния примесей, дефектов, которые всегда присутствуют в системе. В линейном пределе эта задача для системы sine-Gordon в случайном поле рассмотрена недавно Байерсвиллом и Бишопом / 74, 75 /, которые обнаружили нетривиально богатую структуру динамического формфактора.

Неравновесная термодинамика системы SG с расплавленными примесями рассмотрена недавно в / 76 /.

Как уже отмечалось ранее, взаимодействие электрона с колебаниями решетки приводит к стабилизации колебаний решетки и возникновению явления переноса электроном локализованной волновой деформации решетки / 4 /. В последнее время этот круг вопросов привлекает большое внимание. Как показано в работе Джакива и Ребби / 79 / динамика фермионов в солитонном фоне имеет ряд необычных свойств. Одно из наиболее интересных - появление эффективного дробного заряда и кажущееся нарушение связи спина со статистикой. Обнаруживаются далеко идущие аналогии с теорией конденсированного состояния и в частности с физикой полиацетилена / 80 - 84 /. В связи с этим в диссертации автором рассмотрено движение электрона в одномерной системе с фазовым переходом смещения (гл. 4).

Весьма актуальной проблемой теории солитонов является также проблема распространения, взаимодействия и генерации солитонов в неоднородных стационарных и нестационарных средах.

В работах / 85 , 86 / изучено движение солитонов нелинейного уравнения Шредингера в среде с линейно и квадратично растущей плотностью. С такой задачей мы сталкиваемся при исследовании распространения нелинейных волн в неоднородной плазме

LV + W = tcx) - («*Х, px2) .

С помощью численного моделирования в работе / 87 / исследована параметрическая генерация солитонов НУШ в неоднородной плазме. Представляет интерес изучение движения и генерации солитонов в произвольной сильнонеоднородной среде, а таокже в средах с неоднородной диссипацией и подкачкой энергии, в средах с периодическими неоднородностями для случая солитонов НУШ.

Недавно в работе / 88 / Мкртчаном и Шмидтом изучено движение солитона sine-Gordon (на примере вихря Джозефсона) в периодически неоднородной среде

-U-fc-t - О^ъ-хк + + ь&ъ У1х — о ,

Показано, что солитон излучает в такой системе и вычислена энергия излучения.

До сих пор мы излагали результаты работ, в которых рассматривается динамика солитонов под действием случайных возмущений.

Как показывает анализ, в результате движение солитона и систем солитонов приобретает случайный характер, происходит излучение случайных волн солитоном и т.д. Однако в последнее время выясняется, что возможно появление случайной динамики в нелинейных волновых системах даже при отсутствии исходных случайных возмущений или случайных начальных условий в системе.

Одной из первых (и пока немногих) работ в этом направлении является работа / 89 /, где рассмотрена нестабильность нелинейных периодических волн в диспергирующих средах, в условиях, когда на волну действует возмущение, возникающее либо в силу неоднородности, либо нестационарности среды. Авторами показано, что возможно появление в плазме для ионно-звуковых нелинейных волн (модель КдВ) нестабильности стохастического типа - скорость волны меняется случайным образом. Вообще следует отметить, что с другой стороны стохастическое поведение обнаруживают солитоны, описываемые неинтегрируемыми волновыми уравнениями / 90 /. С этой проблемой смыкается проблема сильной турбулентности в плазме / 91 /, турбулентность в физике твердого тела / 92, 93, 94 / и ряд других.

В цикле исследований Л.А.Островским с сотрудниками была изучена проблема поведения больших ансамблей солитонов, в частности решеток солитонов, условий стохастизации солитонов, взаимодействия солитонов с волной накачки (внешними периодическими полями / 95, 96 /. Ряд результатов теории подтвержден модельными экспериментами на электромагнитных нелинейных линиях / 97 /. Эти исследования относятся к изучению консервативных систем и только начинаются. Другой интересный класс систем - неконсервативные - совместное действие затухания и внешних регулярных сил. Как показывает численный эксперимент / 98, 99 /, решения НУШ с диссипацией вида обнаруживают случайное волновое движение.

Особенный интерес в связи с этим представляют недавние эксперименты с нелинейными системами, в которых обнаружена генерация шума в случае, когда на солитон действует периодическое внешнее возмущение. Так, в экспериментах / 100 / обнаружен шум необычно высокой температуры в параметрическом генераторе Джозефсона (длинном переходе Джозефсона).

Необычно широкий по спектру шум, генерируемый волной зарядовой плотности, зарегистрирован также в NbSe^ / Ю1 /. Во всех этих случаях задача аналитически сводится к исследованию уравнения sine - Gordon с затуханием и внешней периодической силой

14. — Ux>t olU-^ -Ь SJin.lL = Fdx, -t) .

В работе Эйлбека, Ломдала, Ньювелла / 102 / с помощью моделирования на ЭВМ показано, что существует область параметров для

F(x,-t) и , когда возбуждение бризеров (кинк-антикинковых пар) происходит случайным образом.

Из вышеизложенного анализа следует, что остаются нерешенными или малоисследованными следующие проблемы:

I. Исследование эволюции солитонов и солитонных комплексов под действием широкого класса случайных возмущений (стационарных и нестационарных, крупномасштабных и мелкомасштабных); развитие соответствующей статистической теории возмущений, анализ точно решаемых моделей и т.д.

2т Исследование механизмов динамической стохастичности солитонов и бризеров, вызванной действием периодических неоднород-ностей внешней среды или внешних полей, диссипации.

3. Анализ стохастической динамики солитонов и солитонных систем в конкретных квазиодномерных системах физики твердого тела: молекулярных цепях, магнетиках, системах со структурными фазовыми переходами и др.

Решению этого круга вопросов, образующих актуальное и важное направление - исследование стохастической динамики солитонов в конденсированных средах с регулярными и случайными неоднород-ностями и посвящена данная диссертация.

Изложим вкратце содержание диссертации.

В первой главе рассмотрена статистическая теория возмущений для солитонов в случайно-неоднородных средах и для солитонов, находящихся под действием случайных внешних возмущений.

В разделе I.I. изучено адиабатическое приближение для статистического нелинейного уравнения Шредингера и статистического уравнения sine - Gordon . Получены стохастические интегродиф-ференциальные уравнения первого порядка по времени для медленно меняющихся параметров солитонов НУШ и sine-Gordon - амплитуды, скорости, фазы. Вычислен коэффициент диффузии солитонов и бризеров (связанных состояний солитонов и антисолитонов).

В разделе 1.2. рассмотрено статистическое борновское приближение в задачах динамики солитонов теории под действием слабых случайных возмущений. Найдена поправка первого порядка по малому параметру vp . Найден спектр излученных волн в случае и уравнения ^ . Полученные результаты применены в дальнейшем к изучению влияния примесей на динамику доменных стенок в системах со структурными фазовыми переходами смещения.

В разделе 1.3. исследована динамика солитонов в средах с мелкомасштабными флуктуациями параметров с помощью метода среднего поля. Рассмотрено движение солитона НУШ в случайно-неоднородной среде и выведено замкнутое уравнение для среднего поля. Найдены законы ускорения и затухания солитонов.

В разделе 1.4. предложены и изучены стохастические нелинейные уравнения, которые разрешимы вне рамок теории возмущений -нелинейное уравнение Шредингера с флуктуирующими параметрами. С помощью стохастической замены переменных они сведены к детерминированным уравнениям, решение которых можно получить обычными методами. Найдены средние для произвольных моментов интенсивности волны. Показано, что имеется аналог стохастического ускорения Ферми для солитонов, вычислено затухание солитонов на больших временах (переход солитонов в гауссовские пакеты). Получены границы применимости метода среднего поля в рассмотренных моделях.

В разделе 1.5. выполнено численное моделирование различных схем для расцепления уравнений для моментов нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Рассмотрены метод линеаризации и метод последовательных марковских приближений. Путем сравнения с точными решениями найдены границы применимости приближенных методов.

В разделе 1.6. изучено с помощью моделированию на ЭВМ движение солитонов sine-Gordon в случайно-неоднородных системах. Найдено среднее поле и изменения скорости солитонов для слабых и сильных флуктуаций среды.

Во второй главе рассмотрена теория солитонов в неоднородных и случайно-неоднородных квазиодномерных молекулярных кристаллах и цепочках.

В разделе 2.1. сформулирована модель стохастической экситон-фононной связи, приведен вид гамильтониана и выписаны уравнения движения для экситонной и фононной подсистем.

В разделе 2.2. выведено уравнение среднего поля для внутримолекулярных возбуждений и среднего поля смещений решетки для стохастических возмущений, ^ -коррелированных во времени. Найден закон распада солитоноподобных возбуждений.

В разделе 2.3. выведено и решено уравнение для среднего поля при учете конечности времени корреляций случайного возмущения.

В разделе 2.4. изучена модель со стохастическим рассогласованием резонансных взаимодействий между молекулами, вычислено время жизни солитонов.

В разделе 2.5. рассмотрено влияние на динамику молекулярных солитонов недиагональных членов. Описанию динамики солитонов в цепочках с пространственными (статическими) неоднородностями посвящен раздел 2.6. Исследованы модели со случайными значениями энергии на узлах и случайными обменными интегралами. Найдено распределение эффективной случайной силы и потенциала, затухание солитонов в цепочке.

Глава Ш посвящена исследования магнитных солитонов в неоднородных и случайно-неоднородных квазиодномерных магнетиках.

В разделе 3.1. изучается спин-фононное взаимодействие в ферромагнетике с анизотропией типа "легкая плоскость". Найдено решение системы связанных уравнений для спиновой и упругой подсистемы в виде магнитоакустического солитона.

В разделе 3.2. рассмотрена динамика магнитных солитонов в ангармоническом изотропном ферромагнитном кристалле. Изучено взаимодействие ударных волн с магнитными солитонами.

В разделе 3.3. построена стохастическая спин-фононная модель, описывающая флуктуации в спин-фононной системе и на ее основе рассмотрено затухание элементарных возбуждений квантовой системы взаимодействующей с гауссовским случайным внешним полем.

Затухание солитонов, которое возникает при учете фононных флуктуаций, изучено для изотропной модели Гейзенберга в разделе 3.4. Выполнено сравнение с результатами решения уравнений Ландау -Лифшица с затуханием в форме Гильберта. Рассмотрено влияние фононных флуктуаций на динамику магнитных солитонов в ферромагнетике с анизотропией типа "легкая плоскость". Выведено уравнение Фоккера-Планка для распределения скорости солитонов Р (УЛ) и вычислен коэффициент диффузии солитонов.

В разделе 3.5. исследована динамика солитонов в неупорядоченных квазиоднодномерных магнетиках. Рассмотрены модели со случайными магнитными полями и случайной анизотропией. Выполнено моделирование на ЭВМ движения солитона в планарном ферромагнетике со случайным магнитным полем.

В главе 1У изучается динамика доменных стенок и солитонов в неоднородных и случайно-неоднородных системах с фазовым переходом типа смещения и системах связанных нелинейных осцилляторов.

В разделе 4.1. описана одномерная модель структурных фазовых переходов смещения, выписаны гамильтониан системы и уравнения движения для поля смещения.

В разделе 4.2. изучена динамика доменной стенки в системе с дефектами, примесями типа "случайная критическая температура". Выведено уравнение среднего поля для доменной стенки. Для случая "расплавленных" примесей вычислена усредненная статсумма и вычислены эффективные потенциалы. Рассмотрена также система с неоднородностью типа "случайное поле".

В разделе 4.3. исследовано влияние термостата на доменные стенки и параметры центрального пика. Найдены стационарная и нестационарная плотность вероятностей скоростей стенок Рс.т. (ЛО и , вычислен коэффициент диффузии стенок Ъ(У) и ширина центрального пика.

В разделе 4.4. рассмотрено движение солитонов в системах нелинейных связанных осцилляторов со случайными параметрами. В длинноволновом пределе задача сводится к изучению статистического уравнения КдВ с мелкомасштабными флуктуациями. Найден закон стохастического разгона солитона на системе случайных неоднород-ностей. Исследовано также стохастическое уравнение КдВ-Бюргерса, соответствующее учету флуктуаций плотности кристалла.

Глава У посвящена рассмотрению процессов распространения и излучения солитонов в неоднородных средах.

В разделе 5.1. изучено распространение солитона НУШ в сильно-неоднородной среде, а также средах с неоднородной диссипацией и подкачкой энергии,

В разделе 5.2. построена теория переходного излучения солитона при пересечении границы раздела двух сред. Вычислена спектральная плотность энергии, излученной вперед и назад.

В разделе 5.3. построена теория переходного излучения солитона в нестационарной среде. Результаты применены к излучению спиновых волн магнитным солитоном в планарном ферромагнетике под действием переменных внешних полей.

В главе У1 исследованы механизмы появления динамической сто-хастичности солитонов и солитонных систем в неоднородных и нестационарных средах.

В разделе 6.1. изучено движение солитонов в поле регулярного волнового пакета. Показано, что возможно броуновское движение солитонов НУШ sine-Gordon в поле волнового пакета.

В разделе 6.2. рассмотрена эволюция бризера и вихревой нити в длинном джозефсоновском контакте с периодическим сторонним током и диссипацией. Найден критерий стохастизации бризеров, согласующийся с результатами численного моделирования.

В разделе 6.3. рассмотрена нелинейная динамика намагниченности в планарных ферромагнетиках под действием высокочастотных полей и вычислен порог появления спиновой турбулентности.

Критерий возникновения хаоса и бифуркаций удвоения периода в задаче распространения мощного электромагнитного пучка в периодически неоднородных волноводах найдены в разделе 6.4.

В заключении сформулировано научное направление диссертации - теория солитонов в регулярно и случайно-неоднородных конденсированных средах и приведены вкратце основные результаты, полученные в диссертации.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах / ИЗ - 140, 166, 176 /.

- 21

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Абдуллаев, Фатхулла Хабибуллаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развивается научное направление - теория солитонов в неоднородных и случайно-неоднородный конденсированных средах.

Приведем вкратце основные результаты, полученные в диссертации.

I. Развита статистическая теория возмущений для солитонов в случайно-неоднородных системах и для солитонов, находящихся под действием случайных внешних возмущений. Рассмотрены случаи адиабатического приближения для статистических уравнений Кор-тевега-де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения sine-Gordon . Изучена эволюция связанных состояний солитонов и антисолитонов - бризеров в поле случайных нестационарных сил. Найден закон стохастического ускорения солитонов и бризеров. Показано, что ускорение бризеров имеет осцилляционный характер.

Исследовано статистическое борновское приближение для соч литонов sine-Gordon , и уравнения . Вычислена неисчезающая вторая поправка к кинку, найдено излучение кинка на слуЧ чайных неоднородностях в случае солитона теории f , проанаЧ лизировано влияние термостата в случае уравнения ,

Выведено уравнение среднего поля для случая статистического НУШ с мелкомасштабными по сравнению с шириной солитона флуктуациями. Найден закон затухания солитона НУШ Предложены точно решаемые нелинейные волновые стохастические уравнения НУШ. С помощью анализа точных средних найдены границы применимости метода среднего поля и борновского приближения.

- 238

Выполнено численное моделирование схем расцепления уравнений для моментов нелинейных стохастических дифференциальных уравнений и найдены условия применимости метода линеаризации и метода последовательных марковских приближений.

Выполнено численное моделирование на ЭВМ процессов распространения и взаимодействия солитонов в случайно-неоднородных средах. Изучены случаи динамики солитонов sine-Gordon " в средах с флуктуирующими линейными и нелинейными членами, случай сильных флуктуаций.

2. Построена теория эволюции солитонов в неоднородных и случайно-неоднородных молекулярных кристаллах. Построена теория релаксации солитонов под действием гауссовских нестационарных флуктуаций. Найден закон затухания солитоноподобных возбуждений. Выведено уравнение среднего поля возбуждений для случая случайных возмущений с конечным временем корреляций. Исследован характер движения солекулярных солитонов в квазиодномерных молекулярных кристаллах с пространственными мелкомасштабными неодно-родностями. Рассмотрены случаи неоднородностей типа случайного потенциала и случайных обменных интегралов. Найдено распределение вероятностей эффективной случайной силы, зацепляющей молекулярные солитоны, закон затухания солитонов. Выполнено численное моделирование на ЭВМ динамики молекулярных солитонов в неоднородных кристаллах.

3. Развита теория магнитных солитонов в неоднородных и случайно-неоднородных квазиодномерных магнетиках, теория магнитных солитонов в ангармонических квазиодномерных ферромагнетиках. Найдены магнетоупругие солитоны в деформируемых ферромагнетиках, с анизотропией типа "легкая плоскость", изучено влияние ангармоничности решетки на магнетные солитоны, найдена

- 239 акустического солитона, вычислен динамический структурный форм-фактор. Рассмотрена динамика солитонов в 2-х связанных ферромагнитных цепочках. Предложена стохастическая спин-фононная модель, в рамках которой изучено влияние фононных флуктуаций на магнитные солитоны. Показано, что учет фононных флуктуаций в изотропной деформируемой модели Гейзенберга приводит к затуханию магнитных солитонов. Полученные результаты совпадают с решением уравнений Ландау-Лифшица с затуханием в форме Гильберта. В случае ферромагнетика с анизотропией типа " легкая плоскость" выведено уравнение типа Фоккера-Планка для распределения скоростей P(y,-t) и получено стационарное и нестационарное решение. Изучена динамика магнитных солитонов в случайно-неоднородных ферромагнетиках. Рассмотрены случаи неоднородно ст ей типа случайное магнитное поле, случайная- константа анизотропии, случайные обменные взаимодействия между спинами. Выведено уравнение для среднего поля и показано, что эффективное уравнение имеет вид двойного синусоидального уравнения Гордана. Проведено моделирование на ЭВМ движения магнитного солитона через неупорядоченный магнетик. Показано, что существует "окно" скоростей, когда происходит интенсивное излучение спиновых волн.

4. Построена теория движения доменных стенок в системах со структурным фазовым переходом смещения при наличии дефектов и примесей типа "случайная критическая температура". Изучена равновесная термодинамика газа свободных квазисолитонов в таких системах, вычислены статическая и динамическая корреляционные функции. Исследовано влияние термостата на динамику доменных стенок. С помощью метода Ланжевена выведено уравнение

- 240

Фоккера-Планка для плотности вероятностей скорости доменной стенки и вычислен коэффициент диффузии D(V) . Получены стационарное и нестационарное распределение вероятностей.

Рассмотрено движение электрона в системах с фазовым переходом типа смещения. Показано, что существует связанное состояние электрона с доменной стенкой, которое распространяется вдоль цепочки без изменения формы. Найдены значения скорости и константы связи, при которых связанное состояние энергетически выгодно. Изучено обратное влияние электрона на доменную стенку. Исследовано движение солитонов в системах нелинейных осцилляторов со ' случайными значениями параметров. В длинноволновом пределе выведено уравнение среднего поля и построены его решения. Показано, что имеются режимы стохастического ускорения солитонов и затухания. Проанализирована структура "хвостов" солитонов, образающихся при их распространении в случайно-неоднородных средах.

5. Изучено распространение солитонов НУШ в сильно-неоднородных средах и в средах с неоднородной диссипацией и подкачкой энергии. Показано, с помощью численного моделирования, что при движении в сильнонеоднородной среде происходит торможение солитона НУШ и генерация отраженной волны. Последний факт не вытекает из обычной теории возмущений для солитонов. Получены формулы для изменения амплитуды в средах с неоднородной дисси-пацеий и притоком энергии. Построена теория распространения оптических солитонов в оптических волокнах с флуктуирующими параметрами. Построена теория переходного излучения и рассеяния солитонов в неоднородных и нестационарных средах. В случае пересечения солитоном границы раздела двух сред найдены спект

- 241 ральная плотность излученной энергии,эффективная энергия,излученная вперед и назад. Рассмотрено переходное рассеяние солитона в нестационарной среде для случаев,когда характеристическая частота среды меняется по различным временным законам ( типа скачка, слоя Эпштейна и гармонического сигнала ). Найдено излучение солитона и обсуждены приложения к генерации спиновых волн магнитным солитоном в периодических полях.

Исследованы механизмы появления стохастичности в динамике солитонов и солитонных систем под действием регулярных возмущений Динамический хаос обнаружен в задаче движения солитона синусоидального уравнения Гордона и НУШ в поле волнового пакета,колебаний бризеров в длинных джозефсоновских контактах с периодическ им сторонним током,в параметрически возбуждаемой нелинейной цепочке. Показано,что стохастическое движение возможно для солито на НУШ в поле периодически нестационарной среды.

Автор признателен чл.корр.АН СССР П.К.Хабибуллаеву за постоянное внимание и поддержку в работе,д.ф.м.н. Б.М.Болотовскому,Г.М. Заславскому,В.А.Загребнову,Ю.А.Кравцову,0.С.Мергеляну,В.Г.Махань-кову,Л.А.Островскому,Н.М.Плакиде,В.Б.Приезжеву,М.И.Рабиновичу, А.А.Собянину,В.К.Федянину за полезные обсуждения и ценные советы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Абдуллаев, Фатхулла Хабибуллаевич, 1984 год

1. .Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложениях к электронике. - М.: 1977, Советское радио.

2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Map, 1977.

3. Solitons in Action Ed. K.Longren, A,Scott Academic Ereos, ff.Y., 1978.

4. Давыдов А.С. Нелинейные колебательные явления в биологии. -В сб. "Нелинейные волны", М.: 1981, с.

5. Su W.P., et al. Solitons in polyacetylene. Phys.Rev. 1980, B22. p.2099-2109»

6. Kosevich A.M., Ivanov B.A., Kovalev A.S. Dynamical and Topological Solitons in Ferromagnet. Physica 3D.1-2.p.363

7. Mikeska H.J. Solitons in Ferromagnet with Easy Plane Anysotropy. J.Phys., 1978, 011.'N.15. p.L29-L32.

8. Krumhansl J.A., Schrieffer J.R. Dynamics and statistical mechanics of a one-dimensional model Hamiltonian for structural phase transition. Phys.Rev., 1975, B11. N.11,p.3535-3551*

9. Schneider Т., Stoll E. Classical Statistical Mechanics of Soliton Bearing Systems. - "Physics in One Dimension" 1981, Springer-Verlag, p.78-86.

10. Talapov A.L. Soliton croesing in incommensurate two-dimensional solids. Phys.Rev., 1981, B24, N.11, p.6703-6707.

11. Solitons in Condensed Matter Physics /Ed. T.Schneider, E.Stoll/ Springer-Verlag, Berlin, 1978.

12. Захаров B.E., Манатов С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П.

13. Теория солитонов. М.: Наука, 1980.

14. Ablowitz M.J. Lectures on Inverse Scattering Method, -SIAM, 1980, 52, p.1-75.

15. Захаров B.E. Метод обратной задачи. 5 гл. в кн. Кунин Л. Теория упругих сред с микроструктурой, М.: Наука, 1975.

16. Захаров В.Е., Манаков С.В. Асимптотическое поведение нелинейных систем, интегрируемых методом обратной задачи. -ЖЭТШ, 1976, 71, с.203-215.

17. Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме. Сб.Вопросы теории плазмы, вып.4. Атом-издат, 1964.

18. Scott А.С. Dynamics of Davydov's solitons. Phys.Rev., 1982, В 25. N. 2 , p. 578-595.

19. Bishop A.R., Krumhansl J.A., Trullinger S.E. Solitons

20. Condensed Matter: A Paradigm. Physica 1980, 1D,p.1-44.

21. Bishop A.R. Solitons and Physical Perturbations. In "Solitons in Action", 1978, N.Y.: p.72-102.

22. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности в ферромагнетиках. В кн. Нелинейные волны. - М.: Наука, 1979, с.45-61.

23. Schneider Т., Stoll Е. Nonlinear Lattice Dynamics: Molecular Dynamics Studies. In "Solitons in Condensed Matter Physics", 1978, Springer-Verlag, p.135-150.

24. Петвиашвили В.И., Цвелодуб О.Ю. Диссипативный ленгмюров-ский солитон. Шизика плазмы, 1980, 6, вып.2, с.467-469.

25. Кар ман В.И., Маслов Е.П. Теория возмущений для солитонов. -ЖЭТш, 1978, 75, с.504-519.

26. Каир D.J., Newell A.S. Solitons as particles, oscillators, and in slowly changing media: a singular perturbation theory. Proc.Roy.Soc., 1978, A361. p.413-446.

27. Keener J.P., McLaughlin D.W. Solitons under perturbations. Phys.Rev., 1977, A16, p.777-790,

28. Kodama Y,, Ablowitz M.J. Perturbations of Solitons and Solitary Waves. SIAM, 1981, 6£, p.225-245.

29. McLaughlin D,W,, Scott A. A multisoliton Perturbation Theory, In "Solitons in Action", Academic Press, 1978, N.Y.i p.201-256,

30. Karpman V.I., Solov'ev V.V. The Influence of Perturbation on the shape of the Sine-Gordon Soliton. Phys.Lett., 1981, 82A, p.205-209.

31. Островский JI.А. Ударные волны и солитоны. Изв.ВУЗов -Радиофизика, 1976, 15, № 5-6, с.154-170.

32. Минеев М.Б., Фейгельман М.А., Шмидт В.В. Движение дхозеф-соновского вихря в поле случайного потенциала. ЖЭТФ, 1981, 81, № 7, с.290-298.

33. Меерсон Б.И. О распространении солитонов в средах с распределенными шумовыми источниками. В сб. "Волны и дифракция", т.З, 1981, с.126-129.

34. Заславский Г.М. Распространение нелинейной волны в случайной среде. ЖЭТФ, 1974, 66, с.1632-1639.

35. Гурбатов А.Н., Пелиновский Е.Н., Саичев А.И. К проблеме замыкания управнения для средних полей в нелинейных средах с хаотическими неоднородностями. Изв. ВУЗов - Радиофизика, 1978, 21, № 10, с.1485-1492.

36. Богатырев Ю.К., шайнштейн С.М. Изв. Вузов - Радиофизика1975,18,1^6, с. 888-895.- 2 45

37. Филоненко Н.Н. О стохастическом "нагреве" нелинейной волны. ДАН СССР, 1970, 189, с.1208-1211.

38. Buttikker М. Spatial Fluctuations of the Sine-Gordon Chains, Phys.Lett., 1981, 81A. p.391-394.

39. Пелиновский E.H. Теория борновского приближения для нелинейных волн в случайных средах. Мат. УШ Всесоюзной акуст. конференции, М., 1973, секция М, с.24-27.

40. Давыдов А.С., Кислуха Н.Н. Солитоны в одномерных молекулярных цепях. ШЭТФ, 1976, 71, № 9, с.1090-1098.

41. Давыдов А.С. Еремко А.А. Торможение солитонов в молекулярных цепях. ТМФ, 1980, 43, № 3, с.367-373.

42. Давыдов А.С. Движение солитона в одномерной молекулярной решетке с учетом тепловых- флуктуаций. ЖЭТФ, 1980, 78, № 2, с.789-796.

43. Ablowitz M.J,, Kruskal M.D., Ladik J.F. Solitary waves collisions. SIAM J.Appl.Math. 1979, p.428-447.

44. Косевич A.M. Нелинейная механика кристаллов. 1975, Препринт ИФМ, Свердловск.

45. Davydov A.S. The role of sojitons in the energy and electron transfer in one-dimensional molecular systems. -Preprint ITP, 1979, Kiev, 141E, p.1-25.

46. Fedyanin V.K., Makhankov V.G., Yakushevich L.V. Exiton-phonon interactions in long-wave approximation. Phys. Lett., 1977, 61A, p.256-259.

47. Маханьков В.Г., Федянин В.К. Новый вид частицеподобных воз-булодений в одномерных системах с резонансным взаимодействием. Ж, 1979, 39, с.381-390.

48. Боголюбов Н.Н., Митропольский Д. Асимптотические методы в нелинейной механике. 1976, М.: Наука.

49. Ахиезер И.А., Боровик А.Е. К теории спиновых волн конечной амплитуды. ЖЭТШ, 1967, 52, вып.2, с.508-513.

50. Елеонский В.М., Кирова Н.Н., Кулагин Н.Е. О скорости движения доменных границ. ЖЭТШ, 1976, 71, вып.6, с.2349--2355.

51. Елеонский В.М., Кирова Н.Н., Кулагин Н.Е. О магнитных со-литонах, распространяющихся вдоль оси анизотропии. Письма в ЖЭТШ, 1979, 29, вып.10, с.601-605.

52. Mermin N.D. Classical equations for two functions of spins, J.Math.Phys,, 1967, 8, p,106l-1068,

53. Schneider T, Solitons and magnon bound states in ferromagnetic Heisenberg chains, Phys,Rev,, 1981, B24. H.9,p.5327-5338,

54. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сукотанский А.Л. Фононное торможение доменной границы в редкоземельном ортоферрите. ЖЭТш, 1978, 75, № б, с.2183-2195.

55. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сук станский А.Л. Неравновесная статмеханика солитонов. В сб. "Труды П Международного симпозиума по статмеханике", 1982, Дубна, с.342-351.

56. Mikeska H.J, Solitons in One-Dimensional Magnets with Various Symmetries, "Solitons in One Dimension", ed, Springer-Verlag, 1981, p.153-156,

57. A,R,Bishop, P.Kumar. Soliton Dynamics on a ferromagnetic chain. J.Phys., 1982, C1j>, L337-L345.

58. Steiner M., Dynamics of One-Dimensional Magnets; Neutron Scattering Studies. In "Physics in One Dimension", ed. Springer-Verlag, 1981, p.140-151#- 2:47

59. De Jough L.J. et al. Energy absorption from an oscillating magnetic driven field by soliton motion, Phys.Rev.Lett., 1981, ££, pj1672-1675.

60. Ivanov B.A. Dysclinations and solitons in amorphous magnets. Soli St.Comm. 1980, 21* P.437-439.

61. Андреев А.Ф., Марченко В.И. Симметрия и микроскопическая динамика магнетиков УФН, 1980, 130, в. I, с.39-63.

62. Игнатченко В.А., Исхаков Р.С. Спиновые волны в случайно-неоднородной анизотропной среде. ЖЭТФ, 1977, 72, с. c.IGOo-1016.

63. Lakshmanan М. Continuum spin system as an exactly solvable dynamical system. Phys.Lett. 1977, 61A. H.1, p.53-54.

64. Tachtadjan L.A. Integration of the Continuous Heisenberg Spin Chain Through the Inverse Scattering Method. Phys. Lett., 1977, 6£A» P.235-236.

65. Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1975.

66. Riste Т., Sanauelsen E.J., Othes К., Peder J.

67. Solid St.Comm. 1971, p.1955-1959.65eMuller K.A., Berlinger W. Intrinsic and Extrinsic Central Peal Properties Near Structural Phase Transitions. Phys. Rev.Lett., 1971, 26, p.13-17.

68. Bruce A.D. The theory of Structural Phase Transitions: Cluster Walls and Phonons. In "Solitons in Condensed Matter Physics", Springer-Verlag, 1978, p.116-134.

69. Schneider Т., Stoll E. Molecular Dynamics Studies of a Nonlinear 1-d Systems. Phys.Rev.Lett.,1975,35,p.296-300.- 248

70. Schneider 0?., Stoll E. Molecular-dynamics study of a three-dimensional nonlinear lattice model. Phys.Rev. 1978, B17. p.1302-1322.

71. Аксенов В.Л., Дидык А.Ю., Юшанхай В.Ю. Динамика одномерной модели фазового перехода смещения. Препринт ОИЯИ, 1981, PI7-81-445, Дубна, c.I-II.

72. Гинзбург В.Л., Цытович В.Н. Некоторые вопросы теории переходного излучения и переходного рассеяния. УФН, 1978, 126, вып.4, с.553-608.

73. Wada У., Schrieffer J.R. Brownian motion of a domain wall and the diffusion constants. Phys.Rev., 1978, B18.p.3897-3912.

74. Дороговцев C.H., Ктиторов С.А. Пиннинг виртуальных доменных стенок и центральный пик. ФТТ, 1978, 20, № 6, с.1882--1885.

75. Theodorakopoulos Я., Hanna S., Klein R. Behavior of a tf> kink in the Presence of an Inhomogeneous Perturbations.1. "Solitons in Condensed Matter Physics", Springer-Verlag, 1978, p.158-162.

76. Bayeriswyl D., Bishop A.R, Phase fluctuations disorder and nonlinearity in one dimension: I. The linear limit. J.Phys.C: Solid St.Phys., 1980, 1Д, p.1403-1418.

77. Kerr W.C., Bayeriswyl D., Bishop A.R. Equilibrium dynamics of the Sine-Gordon chain. A molecular dynamics study, Phys.Rev., 1981, B24. U.11, p.6566-6579.

78. Guyer R.A., Miller M.D. Conductivity of the randomly disordered sine-Gordon chain. Phys.Rev., 1981, B23.p.3573-3576.

79. Muller К,A. Intrinsic and Extrinsic Central-Peak Properties Hear Structural Phase Transitions. In "Dynamical Critical Phenomena and Related Topics",1979,Barselona,p.210

80. Buttiker M., Landauer R. Multistable Driven Systems In "Physics in One Dimension", 1981, Springer-Verlag H.Y.,p.1 -12.

81. Jackiw R, Quantum meaning of classical field theory. Rev. Mod.Phys., 1977, Ц, N.3, P-681-706.

82. Jackiw R. Fermion Fractionization in Physics. Preprint Massach.Inst. of Technology,1981, CTP-949, p.1-16.

83. Fleming R.M. Electric-field Defining of charge-density waves in UbSe, Phys.Rev., 1981, B23. p.5606-5613.

84. Jackiw R., Schrieffer J. Solitons with fermionic number in condensed matter and relativistic field theories.-Uucl.Phys. 1981, B190, p.253-268.

85. Goldstone J., Wilezek P. Fractionally Charged Solitons, -Phys.Rev.Lett., 1981, £7, p.968-972.

86. Makhankov V.G. Dynamics of Classical Solitons (in noninteg-rable systems). Phys.Rep., 1978, 21* P*1-128.

87. Chen H.H., Lin C.S. The effects of Gradual Field Gradients on a Langmuir Solitons. Phys.Rev.Lett., 1976, 21»p.693-697*

88. Ко К., Kuehl H.H. Korteweg-de Tries Soliton in a Slowly Varying Medium. Phys.Rev.Lett., 1978, 40, p.233-237.

89. Бражник В.А.,Гришаев В.И. Генерация солитонов в неоднородной магнитоактивной плазме. Физика плазмы,1981,7,с.163-172.- 250

90. Mkrtchyan G.S., Schmidt V.V. On the Radiation from Inhomo-geneous Josephson junction Sol.St.Comm., 1979, 3Q.1. P.791-793.

91. Заславский Г.М., Филоненко H.H. Нестабильность нелинейных периодических волн в диспергирующей среде. ЖЭТФ, 1969, 56, № 3, с.I064-1074.

92. Pikovsky A.S., Rabinovich M.I., Stochastic oscillations in dissipative systems. Physica, 1981, 2D, N.1, p.8-24.

93. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P. Experimental obseravtion pf picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers. Phys.Rev.Lett.,1980,££,N.13, p. 1095-1098.

94. Huberman B.A. Noise Phenomena in Josephson Junctions. -Appl.Phys.Lett., £2» 1S80. 37. N.8, p.750-754.

95. Huberman B.A., Crutchfield J.P. Chaotic States of Anharmo-nic Systems in Periodic Fields. Phys.Rev;Iett., 1979,1. N.23, p.1743-1747.

96. Pelinovsky E.N., Shavratsky S.Kh, Breaking of Stationary Waves in Nonlinear Dispersive Media. Physica 1980. D1. N.2, p.317-328.

97. Горшков К.А., Островский Л.А., Папко В.В. Турбулентность солитонов в системе со слабой дисперсией. ДАН СССР, 1977, 235, № I, с.70-73.

98. Горшков К.А., Островский Л.А., Папко В.В. Взаимодействияи связанные состояния солитонов как классических частиц. -ЖЭТФ, 1976, в.2(8), с.585-593.

99. Пелиновский Е.Н. Об эволюции солитона в неоднородной среде. Приклад.мат. и техн.физ., 1971, № 6, с.80-85.

100. Kuramoto Y.,, Yamada Т. Turbulent State in Chemical Reactions. Prog.Theor.Phys,, 1976, £6, p.679-681.- 2 5199. Заславский Г.М., Рачков Х.-Р.Я. Особенности перехода к турбулентному движению. ЖЭТФ, 1980, 80, с.

101. Pedersen N.F,, Davidson A. Chaos and Uoise rise in Joseph-son junctions, IBM Center Reports, 1981,(7/8/81),p.1-12,

102. Gruner et al, Nonlinear Conductivity and Noise due to Charge-Density-Wave Depinning in NbSe^ Phys, Rev,Lett,, 1981, 46, p.511-515.

103. Ю2. Eilberk J,C,, Lomdahl P.S., Newell A.C. Chaos in the In-homogeneous ly Driven Sine-Gordon Equation, Phys,Lett,, 1981, 87A, N,1,2, p.1-4.

104. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Советское Радио, 1961.

105. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.:Наука ,1976.

106. Овчинников А.А., Эрихман Н.С. Вычисление подвижности частиц при высокой температуре. ЖЭТш, 1978, 75, № 6(12), с.2220-2228.

107. Быков В.П. Моделирование случайных процессов на ЭВМ. "Сов. Радио", М., 1973.

108. Агранович В.М., Галанин М.Д. Перенос энергии электронного возбуждения в конденсированных средах. М.: Наука, 1978, с.184-189.

109. ПО.Маслов В.П.,0мельянов F.A. Асимптотические решения.-УМН, 1981,36, с.63-126.

110. Ш.Федянин В.К. ,Юшанхай В.Ю. Вклад солитонной моды в динамический структурный фактор одноосного магнетика.-ФНТ, 7,№2

111. Выслоух В.А. Эксперименты с оптическими солитонами.- УФН, 1982,136, Ш, с. 519-531.

112. Абдуллаев Ф.Х. О движении солитонов и бризеров под действием случайных сил.- Краткие сообщения по физике,ФИАН,1982, №10,с.3-8.

113. Абдуллаев Ф.Х.,Амирханов И.А. Численное моделирование схем расцеплений моментов нелинейных стохастических уравнений. -Препринт ОИЯИ,1980,Дубна,PI1-80-269,с.I-9.

114. Абдуллаев Ф.Х. Распространение сильно нелинейной волны в среде с флуктуирующим градиентом диэлектрической проницаемости .- Изв.ВУЗов-Радиофизика,1982,25,№6,с.756-758.

115. Абдуллаев Ф.Х.,Хикматов Н.А.Движение солитона sine-Gordon в случайно-неоднородной системе.- Изв.ВУЗов-Радиофизика, 1983,26,№3, с.295-299.

116. Абдуллаев Ф.Х.,Абдумаликов А.А.,Рахматов А.С. Солитоны в стохастических молекулярных цепях.- Изв.ВУЗов-Физика,1981, № 12, с.21-26.

117. Abdullaev F.Kh., Abdumalikov A.A., Rakhmatov A.S, Solitons in irregular molecular crystals. Phys.St.Solidi (b), 1981, 112. F.1, p.K5-K9*

118. Abdullaev F.ICh. , Abdumalikov A. A., Stamenkovich S. Influцence of the thermostat on kink dynamics in the model. -Phys. St. Solidi (Ъ), 1983, 120, p.33-37.

119. Абдуллаев Ф.Х., Рахматов А.С. Учет конечности радиуса кор реляций в задаче распространения нелинейных волн в случайной среде.- ДАН УзССР, 1980, №6, с.31-34.

120. Абдуллаев Ф.Х. Солитоноподобные коллективные возбуждения в стохастических молекулярных кристаллах.- ТМФ, 1982, 51, ЖЗ, с.454-459.

121. Абдуллаев Ф.Х. О движении солитонов в случайно-неоднородной молекулярной цепочке.-УФЖ, 1983, 28, №6, с.815-819.

122. Абдуллаев Ф.Х., Абдумаликов А.А. Солитоны в деформируемой ферромагнитной цепочке Гейзенберга.- Препринт ИЯФ АН УзССР 1982, Известия БУЗов-Физика,1983,М1,с.30-35.

123. Абдуллаев Ф.Х., Хабибуллаев П.К. Магнитоакустические солитоны В' квазиодномерных магнетиках.-Изв.АН УзССР, 1984,М

124. Абдуллаев Ф.Х. Движение магнитного солитона в ферромгнети-ке со случайным магнитным полем.-ФММ,1983,56,14, с.1228-1232

125. Абдуллаев Ф.Х. Динамика магнитных солитонов под действием фононных флуктуаций в квазиодномерных магнетиках.- ШШ, 1984, 57,№3, с. 450-456.

126. Abdullaev F.Kh., Abdumalikov A.A. Dynamics of Magnetic Solitons in a Planar Perromagnets with the Random Anisotropy. Phys. St. Solidi (b), 1984, 122, Ж2, p. К I4I-I47,

127. Абдуллаев Ф.Х. Теория распространения солитонов в средахс мелкомасштабными флуктуациями,- ФТТ, 1981, 23, №11, с.3418-3421.

128. Абдуллаев Ф.Х. Влияние флуктуаций на динамику солитонов в модели фазовых переходов смещения,- ФТТ, 1984, 26, Ш

129. Абдуллаев Ф.Х. Движение электрона в одномерной системе с фазовым переходом смещения,- ТМФ, 1983, 56, №I, с.54-59.

130. Abdullaev P. Kh., Abdumalikov A.A. The motion of solitons in a random chain of nonlinear ascillators.- Phys, St. Solidi (b), 1982, ПЗ, 1J2, p. 685-689.

131. Абдуллаев Ф.Х., Ниязов Б.А. Движение солитонов нелинейного уравнения Шредингера в неоднородных средах.- ЖГФ, 1982, 52, вып.12, с.2631-2633.

132. Абдуллаев Ф.Х., Джангирян Р.Г. К теории переходного излучения солитона.- ЖТФ, 1983, 53, вып.12, с.2307-2312.

133. Абдуллаев Ф.Х. Броуновское движение солитона в поле регулярного волнового пакета.- Краткие сообщения по физике ФИАН, 1983, №1, с.52-56.

134. Abdullaev P. Kh., Abdumalikov A. A. On the damping of an elementary excitation of the quantum system interacting v/ith a gaussian random field.- Physica, 1984,123A, p.625-631.

135. Абдуллаев Ф.Х., Ваклев И., Гердт В.Г. Роль нелинейностив модели странного аттрактора.- Препринт ОИШ, 1980, Дубна, Р4-80-446, с.1-7.

136. Абдуллаев Ф.Х., Абдумаликов А.А., Рахматов А.С. 0 решении нелинейного стохастического параболического уравнения.-Изв. АН УзССР, сер. физ.мат. наук, 1980, Ш, с.88-90.- 255

137. Абдуллаев Ф.Х. 0 затухании солитонов в оптических волокнах с флуктуирующими параметрами. Письма в ЖТФ, 1983, 9, №5, с.301-306.

138. Заславский Г.М. Статистическая необратимость нелинейных динамических еиетемт М.: Наука, 1971.

139. Chirikov В. V. Universal Instabilities of Nonlinear Oscillator Systems.Phys.Rep., 1979, v.52, N5, p.278-339.

140. Del Guidice E., Si Doglia. Solitons in biological systems at low temperature.Physica Scripta,1981,v.23,p.307-310.

141. Lomdahl P.S., MacNeil L., Scott A. C. An assignment to internal soliton vibrations of laser-raman lines from living cells.- Phys. Lett., 1981, 92A, p.207-210.

142. Scott J. C., Zimm C.B. , Sarhangi A. Weak ferromagnetism and domain wall motion in a linear magnetic polymer.- J. Appl. Phys., 1982, 53, N3, p.2768-2770.

143. Барьяхтар И.В., Иванов Б.А., Сукстанский АЛ. Возбуждение ударных волн при движении доменной границы в магнетиках.-Письма ЖЭТФ, 1980, 6, вып.24, с.1497-1500.

144. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Ким П.Д., Сукстанский АЛ., Хван Д. Нелинейное движение доменной границы слабого ферромагнетика в колебательном режиме.- Письма ЖЭТФ, 1983, 37, №11, с.35-38.

145. Градштейн М., Рыжик Н. Таблицы сумм, рядов, произведений.-М.: Наука, 1975.

146. Хепп К. Results and Problems in Irreversible Statistical Mechanics of Open Systems- Lect. Notes in Math., 1975, 39, p.138-150.

147. Fernandez J. C., Reinish G. Wave mechanics of sine-Gordon solitons.- Phys. Rev., 1982, B25, N12, p.7352-7364.

148. Зубарев Д.Н. Двувременные функции Грина. УФН, 1961, 71.- т с.71- 121.

149. Петраковекий Г.А. Аморфные магнетики,- УФН.1981,134,№2 с.305 331.

150. Медведев М.В., Садовский М.С. Локализация спиновых возбуждений в ферромагнетике с хаотической анизотропией типа "легкая ось". ФТТ, 1981, № 7, с.1943-1947.

151. Riseborough P.S. et al. Noncovariant corrections to magnetic solitons in CSMF3. J.Fhys., 1981 ,CU,p. 1109-1119.

152. Bishop A.R. Nonlinear mode phenomenology for Sine-Gordon breather excitations. J.Phys.,1981, A14. p.1417-1430.

153. Almond D.P., Rayne J.A. A review of the ultrasonic attenuation in the one-dimensional antiferromagnet CNiClQ.1. B J

154. Phys.Lett., 1980, A72, p.341-346.

155. Kazumi Maki Solitons in the one-dimensional antiferromagnet in a magnetic field. J.Low Temp.Physics, 1980, 41« P.327-338.

156. Wada Ishiuchi H. Brownian motion of a kink in Sine-Gordon System and Diffusion Constant. Preprint Univ.Tokyo, 1982, p.1-18.

157. Труды Ш Школы по нелинейным колебаниям и волнам в распределенных системах. Изв.ВУЗов, - радиофизика, 1976, 19, 3 5-6.

158. Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982,

159. Болотовский Б.М. Давыдов В.А., Рок В.Е. Излучение электромагнитных волнпри плавном изменении параметров излучающей системы. УФН, 1982, 136, в.З, с.377-501.

160. Арансон И.С., Горшков К.А., Рабинович М.И. Стохастическое движение солитона в периодическом поле.- Препринт ИПФАН, СССР, 1982, №51, с.1-22.

161. Nozaki К., Bekki N. Chaos in a perturbed nonlinear Schro-dinger equation.- Phys. Rev. Lett., 1983, 50, N17,p.1226-1230.

162. Bishop A.R., Fesser K., Lomdahe P.S. , Kerr W. C., Williams M.B., Trullinger S.E. Coherent Spatial Structure Versus Time Chaos in a Perturbed Sine-Gordon System.- Phys. Rev. Lett., 1983, 50, N15, p.1095-1098.

163. Karpman V.I. Breather decay into fluxon-autfluxon pair. -Phys. Lett., 1982, 88A, N4, p.207-210.

164. Абдуллаев Ф.Х., Джангирян P.Г. К теории переходного излучения солитона в нестационарной среде.- Изв.ВУЗов-Радиофи-зика, 1984, 27, г; $9,с.985-990.

165. Careri G.,Buontempo U., Carta P. Infrared absorption in acetanilide by solitons.- Phys, Rev. Lett., 1983, 51, N4, p.304-307.

166. Bergman D.J., Ben-Jacob E., Imry У. , Maki K. Sine-Gordon chain solitons.- Phys. Rev., 1983, A27, p.3345-3348.

167. Peyard M., Aubry S. Critical Behavior at the transition by bearing of analicity in the discrete Prenkel-Kontorova model.- J. Phys., 1983, C16, N9, p.1597-1608.

168. Nozaki K. Stochastic Instability of Sine-Gordon Solitons.-Phys. Rev. Lett., 1983, 49. N26, p.1883-1885.- 258

169. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических возмущениях во времени. Труды Московского мат. об-ва, 1963, № 12, с.3-51.

170. Nozaki К., Bekki N. Pattern selection and Spatitemporal Transition to chaos in the Ginzburg-Landau Equation.-Phys. Rev. Lett., 1983, jjl* N 24, p.2171-2174.

171. Абдуллаев Ф.Х., Джумаев M.P., Умаров Б.А. Хаос и бифуркации удвоения периода в динамике электрона и солитонов в поле сильной волны. Материалы советско-финского симпозиума по теоретическим вопросам квантовой электроники. 1984, Новосибирск.

172. Губанков В.Н. и др. Стохастические колебания в туннельных джозефсоновских контактах. ЖЭТФ, 1984, 86, № I, с. 343-351.

173. Абдуллаев Ф.Х., Дарманян С.А., Умаров Б.А. Динамическая стохастичность солитонов и бризеров в квазиодномерных конденсированных средах. Тезисы Ш Международного симпозиума по статистической механике, 1984, Дубна.

174. Кившарь Ю.С., Косевич A.M. Об особенности эволюции солитона под действием малых возмущений. Письма ЖЭТФ, 1983, 37, № II, с.542-545.

175. Лэм Д.Н. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983.

176. Каир D.J. Comment on "Specific sine-Gordon soliton dynamics in the presence of external driving forces".- Phys. Rev., 1984, 29B, N2, p.1072-1074.

177. Mollenauer L.P., Stolen R.H. Soliton laser.- Opt. Lett., 1984, % N1, p.13-15.

178. Арансон И.С., Горшков К.А., Рабинович М.И. Возникновение стохаотичности при взаимодействии солитона модуляции с периодическими волнами. ЖЭТФ, 1984, 86, № 3, с.929-936.

179. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.