Динамика солитонов и процессы их взаимодействия в почти интегрируемых системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Кившарь, Юрий Семенович

• Кившарь, Юрий Семенович
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кившарь, Юрий Семенович

ВВЕДЕНИЕ

I. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СОЛИТОНОВ СИНУС-УРАВНЕНИЯ

ГОРДОНА, ОСНОВАННАЯ НА МЕТОДЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

1.1. Ура.внения теории возмущений с точностью до членов второго порядка малости включительно.

1.2. Эволюция солитона при включении постоянных возмущений

1.3. Эволюция солитона под действием переменных и неоднородных возмущений. Условия применимости уравнений адиабатического приближения

1.4. Радиационные эффекты, вызванные возмущением динамики солитона

1.4.1. Торможение солитона излучением

1.4.2. Возбуждение малоамплитудного биона импульсным возмущением

П. ДИНАМИКА БИ011А ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗМЕЩЕНИЙ. СИНУС-УРАВНЕНИЕ ГОРДОНА

2.1. Распад биона на солитон-антисолитонную пару.

2.2. Радиационное затухание и торможение малоамплитудного биона в дискретной модели.

Ш. ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ НА ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

УЕДИНЕННЫХ ВОЛН.

3.1. Эволюция солитон-антисолитонной пары под действием внешнего поля и диссипации.

3.2. "Миогочастичные" эффекты при взаимодействии солитонов и бионов.

3.2.1. Столкновение солитонов

3.2.2. Рассеяние быстрого солитона на бионе Ш

3.2.3. Столкновение малоамплитудных бионов

3.3. Излучение энергии при столкновении двух быстрых солитонов

1У. СОЛИТОННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАНДАУ-ЛИМЦА В СЛУЧАЕ ФЕРЮМГНЕТИКА С ДВУХОСНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ.

4.1. Схема теории возмущений для уравнения Лан-дау-Лифшица, основанная на методе обратной задачи.

4.2. Динамика доменной границы при наличии внешних возмущений . И

4.2.1. Адиабатические уравнения теории возмущений . И

4.2.2. Примеры анализа уравнений адиабатического приближения.

4.2.3. Переменные и неоднородные возмущения: границы применимости адиабатического приближения.

4.3. Распространение доменной границы в медленно изменяющейся среде

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика солитонов и процессы их взаимодействия в почти интегрируемых системах»

В последние годы в связи со значительными успехами в математической теории нелинейных одномерных эволюционных уравнений наблюдается значительный прогресс в теории нелинейных явлений и эффектов в различных областях физики. Этот прогресс связан, в частности, с коренным пересмотром наших представлений об описании возбужденных физических систем. При изучении многих проблем ангармонизмы, т.е. нелинейность соответствующих уравнений, описывающих физические системы, считались слабыми и учитывались с помощью теории возмущений, ото позволяло интерпретировать результаты в терминах линейной теории, например, на языке квазичастиц. Такой подход, разумеется, справедлив лишь при малой степени возбуждения физической системы. Если же степень возбуждения рассматриваемой системы не мала, начинают проявляться существенно нелинейные явления, которые не описываются линеаризованными уравнениями. Среди многообразия нелинейных эволюционных уравнений, имеющих физические приложения и описывающих динамику сильно нелинейных возбужденных состояний, выделяется особый класс так называемых точно интегрируемых уравнений, для которых получен ряд замечательных результатов Р'^] . Под этим названием объединяют уравнения, для интегрирования которых можно применить специальный математический аппарат - метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), позволяющий найти ряд их точных решений и с достаточной полнотой решить задачу Коши для быстро убывающих начальных условий. Основной результат, полученный с помощью

МОЗР, состоит в том, что любое начальное локализованное воз/ * буждение представляет собой асимптотическую суперпозицию квазилинейных возбуждений ("фононов) и уединенных волн, получивших название солитонов. Эти различные по характеру динамики возбуждения дают аддитивные вклады в полиномиальные интегралы движения системы, записанные в терминах так называемых данных рассеяния. Переход к данным рассеяния для точно интегрируемых уравнений является переходом к переменным типа "действие-угол" и играет роль обобщенного преобразования Фурье для таких нелинейных систем .

При рассмотрении реальных физических ситуаций возникают уравнения, которые, как правило, не являются точно интегрируемыми, поэтому никаких общих утверждений относительно характера эволюции описываемых ими нелинейных возбуждений не существует. Однако в случаях, когда изучаемое уравнение является почти интегрируемым, т.е. отличается малыми слагаемыми от своего точно интегрируемого варианта, допустимо анализировать поведение его решений с помощью соответствующей теории возмущений. При таком описании динамики сильно нелинейных систем солитоны играют ту же роль, что и квазичастицы в слабонелинейных системах.

Разнообразие физически важных почти интегрируемых уравнений, описывающих существенно нелинейные возбуждения, объясняет широкий интерес теоретиков к приближенным методам их исследования. Более того, изучение динамики солитонов и выяснение возможных процессов их взаимодействия в почти интегрируемых системах представляет практический интерес для объяснения поведения экспериментально наблюдаемых уединенных волн в радиофизике , физике плазмы L63 , физике конденсированного состояния Г7-9] и т.д. Таким образом, исследование влияния внешних возмущений различного рода на динамику уединенных волн и процессы их взаимодействия принадлежит к числу актуальных задач физики настоящего времени.

Аналитические методы изучения динамики нелинейных волн в почти интегрируемых системах развивались в ряде работ JI0-I9j ^ Значительный интерес вызывает изучение влияния возмущений на эволюцию отдельного солитона, а также аналитическое описание неупругих процессов взаимодействия уединенных волн при наличии внешних возмущений. При анализе подобных задач используются как "прямые" приближенные методы , так и методы, опирающиеся на технику обратной задачи рассеяния в к Числу прямых методов мы относим также метод, использующий преобразования Хироты исходного точно интегрируемого уравнения а также методы, основанные на модифицированных законах сохранения (см., например, 1^4). Преимущества и недостатки обоих приближенных подходов хорошо известны Р' следует однако отметить, что в ряде задач более предпочтительным является использование теории возмущений, основанной на МОЗР, которая позволяет, во-первых, расширить класс задач, поддающихся приближенному анализу, во-вторых, существенно упростить процесс получения ряда окончательных результатов и, в-третьих, достаточно просто интерпретировать результаты на языке данных рассеяния. Все перечисленные достоинства обусловили использование в диссертации в качестве основного метода исследований теории возмущений, . основанной на технике обратной задачи.

Цель диссертации состоит в теоретическом изучении влияния возмущений на эволюцию отдельных уединенных волн (топологических солитонов и бионов) в рамках двух известных нелинейных уравнений: синус-уравнение Гордона и уравнение Ландау-Лифшица для неизотропного ферромагнетика. Рассмотрены также неупругие процессы взаимодействия солитонов, обусловленные как консервативными, так и диссипативными возмущениями.

В работе с помощью теории возмущений, основанной на МОЗР, последовательно изучена эволюция солитона синус-уравнения Гордона и описан ряд радиационных эффектов, генерируемых малыми возмущениями. Указаны условия применимости адиабатического описания динамики солитона. Подробно рассмотрена динамика биона под действием постоянного поля и диссипации, приводящих к распаду биона на пару свободных солитон и антисолитон. Изучены и количественно описаны неупругие и "многочастачные" эффекты при столкновении уединенных волн, в принципе отсутствующие в точно интегрируемых системах. Построена теория возмущений для солитонных возбуждений в неизотропном ферромагнетике, описываемом уравнением Ландау-Лифшица. Перечисленные результаты получены впервые и определяют научную новизну настоящей работы.

Полученные результаты позволяют описать в рамках единого подхода динамику существенно нелинейных возбуждений квазиодномерных физических систем, допускающих описание с помощью синусоидального уравнения Гордона (слабые ферромагнетики, джозефсоновские контакты и т.п.), а также низкоразмерных неизотропных ферромагнетиках и могут быть использованы при анализе и планировании экспериментов в низкоразмерных системах.

Основное оригинальное содержание диссертации изложено в четырех главах.

В первой главе диссертации представлен общий формализм теории возмущений, основанной на методе обратной задачи рассеяния, и получены уравнения для данных рассеяния, позволяющие описать эволюцию отдельного солитона синус-уравнения Гордона с точностью до членов второго порядка малости включительно. С помощью полученных уравнений и соотношений исследована динамика солитона при наличии (или включении) возмущений различного типа, в том числе и переменных. Для возмущений, .коэффициенты которых зависят явно от координаты и времени, указаны критерии применимости уравнений адиабатического приближения и выяснен их физический смысл. В частности, объяснено нарушение ньютоновского характера эволюции солитона в поле постоянной внешней силы на начальном этапе его движения. Описан также ряд радиационных эффектов, связанных с возмущенной динамикой солитона, например, торможение солитона излучением в периодической структуре примесных атомов, приводящее к конечной длине пробега солитона. Показано, что импульсное возмущение (например, импульсное воздействие внешнего поля), воздействующее на движущийся со-литон, может приводить к возбуждению малоамплитудного био-на во втором порядке теории возмущений.

Во второй главе диссертации солитонная теория возмущений применяется для анализа динамики биона синус-уравнения Гордона при наличии возмущений. Изучен процесс распада биона на солитон-антисолитонную пару при наличии постоянного внешнего магнитного поля и диссипации. Определены критерии такого распада. В этой же главе исследуется динамика биона малой амплитуды под действием добавок, отражающих учет дискретности в исходной модели. Продемонстрировано наличие у биона конечного времени жизни в дискретной модели и получены уравнения, описывающие радиационное затухание и радиационное торможение малоамплитудного биона. В третьей главе диссертации рассмотрены процессы взаимодействия уединенных волн различного типа в синус-уравнении Гордона при наличии как консервативных, так и диссипативных возмущений. Исследовано рассеяние солитон-антисолитонной пары под действием постоянного магнитного поля и диссипации и указаны области начальных значений параметров пары, соответствующие: а) обычному рассеянию, б) аннигиляции солитона и антисолитона путем образования их связанного состояния и в) отражению солитона от антисолитона. В этой же главе аналитически изучены неупругие и "многочастичные" эффекты,сопровождающие столкновение уединенных волн в консервативно возмущенном синус-уравнении Гордона. Рассмотрены следующие процессы: столкновение трех солитонов, рассеяние быстрого солитона на бионе и столкновение трех малоамплитудных бионов. Для этих процессов взаимодействий вычислены величины переданных энергий и импульсов в результате столкновения уединенных волн, которые существенно зависят от степени перекрытия солитонов в момент их взаимодействия. Найдена полная излученная энергия и ее спектральная плотность при рассеянии двух быстрых солитонов и доказана ее асимптотическая независимость от топологических зарядов взаимодействующих уединенных волн.

В четвертой, заключительной, главе диссертации построена теория возмущений для уравнения Ландау-Лифшица в случае неизотропного ферромагнетика, основанная на технике обратной задачи рассеяния, использующей матричную задачу Римана на торе. Получены уравнения теории возмущений и построена итерационная процедура нахождения решения и адиабатических уравнений с заданной точностью. Подробно исследована динамика доменной границы при наличии внешних возмущений и рассмотрен ряд физически интересных примеров, в которых проявляется качественное отличие характера вынужденной динамики доменной границы и топологического солитона синус-уравнения Гордона.

В заключении суммируются основные результаты диссертации.

Приложения содержат необходимые доказательства используемых в основном тексте утверждений, а также некоторые вспомогательные результаты.

Результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Проанализирована эволюция солитона синус-уравнения Гордона под действием возмущений различного типа, в том числе и переменных. На ряде примеров изучена неадиабатическая динамика солитона и указаны границы применимости уравнений адиабатического приближения. Рассмотрены некоторые эффекты, обусловленные взаимодействием солитона с излучением.

2. Показано, что при наличии постоянного поля и диссипации бион с малой энергией связи может распадаться на со-литон-антисолитонную пару. Исследована динамика такого распада и определены его критерии.

3. На. примере почти интегрируемого синус-уравнения Гордона продемонстрирован неупругий и "многочастичный" характер процессов столкновения уединенных волн (солитонов, антисо-литонов и бионов), обусловленный наличием малых возмущений.

4. Построена теория возмущений для доменных границ и магнитных бионов, описываемых уравнением Ландау-Лифшица в случае ферромагнетика с двухосной анизотропией и рассмотрены некоторые ее приложения.

I. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СОЛИТОНОВ СИНУС-УРАВНЕНИЯ ГОРДОНА, ОСНОВАННАЯ НА МЕТОДЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Теория возмущений, основанная на технике обратной задачи рассеяния, была предложена Карпманом и Масловым Н , а также Каупом

23] для интегрирования уравнений, отличающихся малыми добавочными слагаемыми от точно интегрируемых. Исходные уравнения теории возмущений, а также некоторые результаты, относящиеся к описанию эволюции отдельного солито-на, были вначале получены для хорошо известного уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ), описывающего нелинейные волны на мелкой воде [I] . Затем общая схема теории возмущений была перенесена Карпманом и Масловым [241 а позже - Каупом и Ньюэллом Р-9,25] ^ на нек0Т0рые другие эволюционные нелинейные уравнения, отличающиеся малыми слагаемыми от своих точно интегрируемых вариантов, т.е. нелинейное уравнение Шре-дингера (НШ), модифицированное уравнение КдВ (МКдВ), а также синус-уравнение Гордона ( sine-Gordon equation

SG ) как в обычных, так и в "конусных" переменных. В рамках перечисленных уравнений был рассмотрен ряд задач, позволяющих использовать для их решения развиваемую теорию возмущений. Успехи применения теории возмущений, основанной на МОЗР, в этот период отражены в обзорах М.

В данной главе рассматривается динамика солитонных возбуждений при наличии внешних возмущений в рамках синус-уравнения Гордона вида:

- + и = 6^,-t) RM, (Ы) где в - малый параметр, а

ЯМ

- оператор (вообще говоря, нелинейный) характеризующий возмущение, явная зависимость которого от координаты сс и времени ~Ь вынесена в виде множителя ffeif). Общая схема теории возмущений для (I.I) существенно не отличается от общеизвестной В следующем разделе получены уравнения теории возмущений с точностью до членов второго порядка малости включительно, с помощью которых в последующих разделах рассмотрено влияние ряда конкретных возмущений на динамику отдельного солитона.

I.I. Уравнения теории возмущений с точностью до членов второго порядка малости включительно

Для изложения общей схемы солитонной теории возмущений применительно к уравнению (I.I) кратко приведем,прежде всего, результаты использования техники обратной задачи для интегрирования уравнения SG , т.е. уравнения (I.I) при

6=0 L1-26].

Использование МОЗР возможно тогда, когда исходное нелинейное уравнение представимо в виде условия коммутативности двух линейных операторов ( L~А пары). В случае уравнения S6 эти операторы имеют вид И:

L = Ъс- , (1.2)

А + $ (4r«t)], <ьз) где б^ - матрицы Паули, а Я - спектральный параметр.

Действительно, коммутатор будет равен нулю тогда,когда функция itfa-ty удовлетворяет уравнению (I.I) при 6=0.

Зададим граничные условия: H^cfi U±(x{h) 0 при ос ± оо и рассмотрим задачу рассеяния для оператора L при условии, что функции и ^fei0) достаточно быстро стремятся к своим пределам. В этом случае можно определить два фундаментальных набора собственных функций (

Ы% =0):

6сД) = £*f> [ £ к(х) эс~]

ОС ± С*=> I и и, J где fc(x) = Я—//4Я • Нормированные фундаментальные решения задачи рассеяния принято называть функциями Йоста.

Нетрудно проверить, что собственные функции обладают симметрией поэтому могут быть представлены в виде

C-q>,Cf) * гДе введены два вектор-столбца ij7 и Ср , а также определена операция инволюции (знак (*") означает комплексное сопряжение):

Ш - + • Cf

Функции Йоста, определенные на плюс и минус бесконечности, являются линейно зависимыми и связаны унимодулярной матрицей перехода Tfi) :

Для системы с оператором (1.2), обладающей указанной симметрией, матрицу перехода можно ввести в виде

Т(я) = f ^' ^ (^fr , aft тогда ffa Я) . d(x) + ^(л) 1). (1.4)

Для компонент функций Йоста справедливы соотношения нормировки

1 -J^Mf+l^^l. (1.6)

Из вещественности следуют дополнительные условия симметрии № ~ Я^гЯ) , = (ь6б)

О^-Я), -6(50=-(1-6в)

Функции ^(эс, X) , Cjf^A) и допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость X При комплексных X задача рассеяния может, вообще говоря,иметь решения, убывающие экспоненциально при осн**"0. Такие значения 'А. называют точками дискретного спектра. При DflX > О дискретный спектр совпадает с нулями Я^ ( Уь -целое) функции

CLQ) . В нулях

CfCx,\)= ^ч/'бе.ЯО • (1.7)

Коэффициент Йоста и дискретный спектр ^ называют данными рассеяния. Зависимость их от времени для не возмущенно го уравнения SG легко определить

8) с помощью уравнений (1.3), что дает М: aft о) tfaqUholexpl-LCbfo-t-]. где CofozXrl/ft'

Восстановление потенциала /1С(х14г) по данным рассеяния и функциям Йоста задачи (1.2) осуществляется путем решения так называемых уравнений обратной задачи. Система этих уравнений приведена в Приложении А (уравнения (A.I), (А.2)1 Потенциал непосредственно восстанавливается с помощью решений (A.I), (А.2) согласно'формуле И: ,, , 4 с , as»-* j 71 ^ k I - и [<-Z *+* }«■«

Таким образом, обратная задача для вспомогательной системы линейных уравнений позволяет восстановить по начальному распределению dt(x{6) решение при > О , т.е. решить задачу Коши для нелинейного уравнения путем сведения ее к последовательности линейных задач. Перейдем теперь к вопросу о влиянии возмущений, т.е. рассмотрим (I.I) при £ / 0. Согласно общей схеме теории возмущений, основанной на МОЗР [ЗЛ8Д9,22^| ^ с уравнение f слабо отличающимся от точно интегрируемого, связывают прежнюю задачу рассеяния, однако зависимость данных рассеяния от времени существенным образом меняется. Используя хорошо известные выражения для вариационных производных Т-матрицыРЗ, запишем эти уравнения в виде - - 'f Тлеед wet, , (i.« вдwmt), 11.10) d%i i.n)

L Jt / — -UfcA -^RWW6i,<fi4t'),«-к) где применено стандартное обозначение определителя Вронского любой пары решений системы (1.2), WOf'i^f)' ^Цг" tyfpl ? и обозначено ^и а ^f , ^и с ] ^^ .

Хотя уравнения (I.9)-(I.I2) являются точными, они бесполезны для конкретных вычислений, т.к. содержат неизвестное решение возмущенного уравнения и соответствующие ему функции Йоста. Однако с помощью этих уравнений легко построить процедуру получения решения -iLfa-G) методом последовательных приближений, считая параметр 6 малым . Если искать решение уравнения (I.I) в виде ряда

И = 4А® н- + Л^ + . , , (I.I3) где АХ некоторая близкая к невозмущенному часть решения (так называемое адиабатическое приближение) и произвести аналогичные разложения функций Йоста. х,Я) + A) +- (1.14) fp (х, Я) = А) + (pw£tt А) + .,, (1.15) то из (1.9) и С1.10) можно непосредственно получить данные рассеяния в следующем виде: оф. O^V + ; = .(X.I6)

Подстановка функций нулевого (адиабатического) приближения в уравнения (I.II), (I.12) приводит к замкнутой системе уравнений, определяющей изменение параметров дискретного спектра задачи рассеяния, т.е. параметров Я^ и , в следующем приближении теории возмущений. Зная полный набор данных рассеяния с точностью до С , нетрудно из (1.8) определить поправку UjzrУ) . Подстановка разложений данных рассеяния в систему уравнений (A.I) - (А.4) (Приложение}? ) позволяет определить с требуемой точностью поправки к собственным функциям задачи рассеяния, т.е. например, из (А.2) найти ip а затем из (A.I) определить функцию с точностью до в , а уже по ней из системы (I.II), (I.12) получить уравнения более высокого порядка по малому параметру. Повторяя эту процедуру необходимое число раз, можно получать характеристики задачи рассеяния, а вместе с тем уравнения для солитонных параметров и поправки к решению с требуемой точностью. В указанном подходе не содержатся существенные ограничения на выбор решения нулевого приближения, поэтому с помощью указанного метода можно изучать эволюцию и бессолитонных начальных импульсов, если проведено достаточно полное исследование задачи Коши невозмущенного уравнения с данным начальным условием .

Эволюция отдельного солитона: уравнения теории возмущений

На примере отдельного солитона синус-уравнения Гордона рассмотрим реализацию изложенной выше общей схемы для получения уравнений теории возмущений и поправок к солитон-ной форме с точностью до членов второго порядка малости включительно. В качестве гс выберем односолитонное решение уравнения

Sfr : usOO * Wj^, > (1Л7) где параметры и V зависят при наличии возмущения от времени и подлежат определению, а б* ( б"» id.) - топологический заряд солитона (кинк или антикинк). Для того чтобы V и определяли главный член разложения (I.I3), в уравнениях обратной задачи и формуле (1.8) будем полагать .г * где

CI.19)

Как показано Масловым на примере иных уравнений, введенные таким образом данные рассеяния исключают появление секулярных членов в последующих разложениях Р®] . В справедливости этого утверждения в нашем случае нетрудно убедиться непосредственно.

Потенциалу ^соответствуют функции Йоста: и данные рассеяния

- (Х'^Я^^)1, -^(Д) = О • (1.22)

V* „.и, что позволяет определить главные члены в разложениях (I.I4)

I.16). Для получения следующих членов разложения представим уравнения теории возмущений (I.9)-(I.I2) в виде рядов по степеням малости. Например, для уравнения (1.9) имеем

1-24) где Д определяется с помощью функций основного приближения, а поправки Я , . выражаются через соответствующие поправки к потенциалу и собственным функциям, например,

Л® -i рх Ш СШ& - ^ )

- схз

- ipx к*) яы «v ic- rf- (I.25) где F?* Rfa+U^l-'RfeJ. Уравнения (I.I0)-(I.I2) также представляем в виде (1.24).

Для того, чтобы указать явный вид уравнений теории возмущений, описывающих динамику отдельного солитона уравнения (I.I), воспользуемся функциями Йоста первого приближения, полученными в Приложении А. С помощью (А.б) непосредственно из (I.II) получаем уравнение, определяющее с точностью до членов порядка £ эволюцию собственного значения Я1= ъд , из которого, воспользовавшись связью (I.I9), имеем уравнение для солитонного параметра 1У :

Аъ^ г'у dc-г^ (Х*1^2 ' (i.26)

Вычисляя Л из (1.25) с помощью (А.II), (А.12), получим уравнение для коэффициента Йоста с указанной выше точностью ( IwA>0)

Первый член в этом выражении является временной производной от ftjC^fk) » в т0 вРемя как второй член в правой части (1.27) имеет порядок в2". Этот результат является отражением того

О/ч факта, что поправка первого порядка CL (Л) равна нулю. Аналогично из (1.10) в том же приближении имеем:

1.28)

Для получения уравнения, определяющего эволюцию соли-тонного параметра ^ под действием возмущений, поступим по аналогии с работой Маслова D^J, впервые построившего второе приближение для уравнений КдВ, МКдВ. А именно, выразим из (I.I8) и продифференцируем по времени. Затем, вычисляя A^/Jk с точностью до в2 , найдем из (1.12) уравнение, определяющее изменение скорости адиабатического солито е-9

V, cAz

4*1 I- Л) ^''-ЯЛХ (1е* г о.7, г, , ппТ/ *U\il гг-т

1.29)

Уравнения (1.26) и (1.29) позволяют изучать изменение солитонных параметров при наличии возмущений в рамках так называемого адиабатического приближения. Смысл адиабатических уравнений и критерии их применимости для различных случаев выяснены в последующих разделах данной главы.

Поправки второго порядка, как видно из (1.26), (1.29), выражаются непосредственно через характеристики непрерывного спектра задачи рассеяния и описывают, например, "эффект отдачи", т.е. изменение скорости солитона за счет взаимодействия с излучением.

Для нахождения поправок к форме солитона, воспользуемся формулой (1.8). В нулевом, т.е. "безотражательном", приближении получим, разумеется, , а последующие разложения дадут

Ц № -я ух е ? (Ь30)

• * ж* ml -Л*

-О®

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Кившарь, Юрий Семенович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы.

1. С помощью теории возмущений, основанной на методе обратной задачи рассеяния, изучена динамика отдельного солитона синус-уравнения Гордона под действием малых возмущений различного вида, в том числе и переменных. Получены уравнения теории возмущений, описывающие эволюцию параметров солитона с точностью до членов второго порядка малости включительно и позволяющие учитывать взаимодействие солитона с излучением.

2. Указаны границы применимости уравнений адиабатического приближения для описания возмущенной динамики солитона синус-уравнения Гордона (а также доменной границы, описываемой уравнением Ландау-Лифшица) при наличии возмущений, коэффициенты которых зависят явно от координаты или времени. В частности, объяснено нарушение ньютоновского характера эволюции солитона на начальном этапе его движения при включении постоянной внешней силы.

3. Количественно изучены некоторые радиационные эффекты, вызванные возмущением динамики солитона: торможение солитона излучением и возбуждение малоамплитудного биона внешним импульсным возмущением. Определена длина пробега солитона при радиационном торможении в периодической структуре примесей.

4. Изучена динамика распада биона синус-уравнения Гордона на пару свободных солитон и антисолитон при наличии постоянного (магнитного) поля и диссшации и определены критерии такого распада.

5. Продемонстрировано, что учет дискретности исходной модели SG приводит к тому, что бионы обладают конечным временем жизни и конечной длиной пробега за счет радиационных потерь.

6. Рассмотрены некоторые процессы взаимодействия уединенных волн в почти интегрируемом синус-уравнении Гордона. Изучено неупругое взаимодействие солитон-антисолитонной пары при наличии постоянного поля и диссипации и определена область параметров, соответствующая аннигиляции солитона и антисолитона путем образования их связанного состояния. Аналитически описаны "многочастичные" эффекты, генерируемые малыми консервативными возмущениями при столкновении солитонов и бионов. Подробно рассмотрены следующие процессы: столкновение трех солитонов, рассеяние быстрого солитона на малоамплитудном бионе или био-не с малой энергией связи, столкновение трех малоамплитудных бионов (эквивалентных солитонам нелинейного уравнения Шредин-гера). Для всех перечисленных столкновений вычислены величины переданных энергий и импульсов, существенно зависящие от степени перекрытия солитонов в момент их взаимодействия.

7. Найдена полная излученная энергия и ее спектральная плотность для столкновения двух быстрых солитонов в консервативно возмущенном синус-уравнении Гордона и доказана ее асимптотическая независимость от топологических зарядов сталкивающихся уединенных волн, отот результат позволил определить изменение относительной скорости солитонов в результате их столкновения.

8. Построена теория возмущений для доменных границ и магнитных бионов, описываемых уравнением Ландау-Лифшица в слу-'чае неизотропного ферромагнетика. Ъта теория основана на технике обратной задачи рассеяния, использующей матричную задачу Ри-мана на торе. Получены уравнения, определяющие изменение данных рассеяния и, соответственно, параметров уединенных волн при наличии малых возмущений, нарушающих точную интегрируемость исходного уравнения.

9. Подробно исследована динамика доменной границы при наличии внешних возмущений и рассмотрен ряд физически интересных примеров, в которых проявляется качественное различие вынужденной динамики доменной границы и топологического солитона синус-уравнения Гордона.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах 33,35,42,50^ ^ а такж0 докладывались и обсуждались на Второй международной конференции по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1983), Первом всесоюзном совещании "Уравнение Ландау-Лифшица" (Киев, 1984), Всесоюзном семинаре по спиновым волнам (Ленинград, 1984), на конференциях молодых ученых и исследователей ФГИНТ АН УССР (Харьков, 1982,1983,1984) и теоретических семинарах ФТИНТ АН УССР, Wd АН УССР и ХГУ им. А.М.Горького.

Некоторые результаты диссертации, опубликованные в работе И , вошли в монографию А.С.Давыдова И.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Арнольду Марковичу Косевичу за постоянное внимание к работе, заботу и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кившарь, Юрий Семенович, 1985 год

1. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.11. Теория солитонов. Метод обратной задачи.- г/1.: Наука,1980.-320с.

2. Солитоны: Пер.с англ./Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри.- М.:Мир, 1983.- 408с.

3. Ньюэлл А. Обратное преобразование рассеяния.- В кн.: Солитоны /Пер. с англ.: Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри.-М.: Мир, 1983.- 408с.

4. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде.- УШ, 1967 , 93, вып. I, с. 19-70.

5. Нелинейные электромагнитные волны: Пер. с англ./Под ред. П.Усленги.- М.:Мир, 1983.- 312с.

6. Shukla Р.К., Rahman H.U., Spatschek К.Н. Nonlinear convec-tive motion in plasmas.- Physics Reports, 1984, 10 5 ,1. No. 4+5, p. 227-328.

7. Kjems J.K., Steiner M. Evidence for soliton modes in the one- dimentional ferromagnet CsNiF^.- Phys. Rev. Lett., 1978, 41, N 16, p.1137-1140.

8. Калинико© Б.А., Ковшиков Н.Г., Савин A.H. Наблюдение спин-волновых солитонов в ферромагнитных пленках.- Письма в ЖВТШ, 1933, 38, вып.7, с.343-347.

9. Горнаков B.C., Дедух Л.М., Ништенко В.И. Нелинейные возбуждения в квазидвумерной системе спинов, локализованных в блоховской стенке.- Письма в ЖЬТФ, 1984, 39, вып. 5, с.199-202.

10. Пелиновский Е.Н., Об эволюции солитона в неоднородной среде. Прикл.мат. и техн.физ. 197I, № 6, с.80-85.

11. Косе-вич A.ivl., Ковалев А.С. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке.- ЖЬТФ, 1974, 64, вып. 5 (II), с.1793-1804.

12. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообраз-ные решения уравнений с малой дисперсией.- МН, 1981, 36, № 3(219), с. 63-126.

13. Вакуленко С.А. Действие возмущений на солитоны некоторых нелинейных уравнений.- Записки ЛОМИ; 1979, 89, с.91-96.

14. Fogel М.В., Trullinger S.E., Bishop A.R., Krumhansl J.А. Dynamics of sine-Gordon solitons in the presence of perturbations.- Phys.Rev.B, 1977, 15, N 3, p.1578-1592.

15. McLaughlin D.W., Scott A.C. Perturbation analysis of flu-xon dynamics.- Phys.Rev. A, 1978, 18, N 4, p.1652-1680.

16. Boundeson S., Lisak M., Anderson D. Soliton perturbations: a variational principles for the soliton parameters.-Phys. Scripta, 1979, 20, N 3+4, p. 479-485.

17. Gorshkov K.A., Ostrovsky L.A. Interaction of solitons in nonintegrable systems: direct perturbation method and its applications.- Physica D, 1983, 3, N 1+2, p. 428-438.

18. Karpman V.I,,Soliton evolution in the presence of perturbations.- Phys. Scripta, 1979, 20, N 3+4, p.462-478.

19. Каир D, J., Newell A.C. Solitons as particles and oscillators.- Proc. Roy. Soc.,1978, Ser.A, 361, N 2, p.413-446.

20. Yajima Ж, Application of Hirota's method to a perturbed systems.- J.Phys.Soc. Japan,1982, 51, N 4, p.1298-1302.

21. Watanabe S.,Miyakava M., Yajima N. Method of conservation laws for solving nonlinear Schrodinger equation.

22. J.Phys,Soс. Japan, 1979, 46, N 5, p.1653-1659.

23. Карпман В.И., Маслов Ш.М. Теория возмущений для солитонов.-ЖЭТФ, 1977, 73, вып. 2(8), с. 537-559.

24. Каир D. J, A perturbation expansion for the Zakharov-Shabat inverse scattering transformation.- SIAM J.Appl.Math., 1976, 21, N 1, p.121-133.

25. Карпман В. И., тело в lil.M. Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны.ЖФТФ,1978, 75,вып.2, с.504-517.

26. Каир D.J.,, Newell А. С. Theory of nonlinear oscillating dipolar excitations in one-dimensional condensates.- Phys. Rev. B, 1978, 18, N 10, p. 5162-5167.

27. Каир D.J,., Method for solving the sine-Gordon equation in laborato3?y coordinates.- Stud.Appl.Math, 1975, N 2, p.l65.

28. Кившарь Ю.С. К теории возмущений для солитонов: уравнение sine-Gordon . Харьков,1984.- 60с- (Препринт/®ТИНГ АН УССР, № 21-84).

29. Маслов iii.M. К теории возмущений для солитонов во втором приближении.- ТМФ, 1980, 42, вып. 3, с.362-373.

30. Маломед Б.А. Теория возмущений для нелинейного уравнения Шредингера в бессолитонном секторе.- ТМФ, 1982, 51, № I, с.34-43.

31. Fernandez J.С.,Gambaudo J.M., Gauthier S.,Reinisch G. Sine-Gordon solitons do not behave like newtonian particles.-Phys.Rev.Lett., 1981, 46, N12, p.753-756.

32. Reinisch G., Fernandez J.C. Specific sine-Gordon soliton dynamics in the presence of external driving forces,-Phys.Rev. B, 1981, 24, N 2, p.835-844.

33. Reinisch G., Fernandez J.C. Wave mechanics of sine-Gordon solitons.- Phys.Rev.B, 1982, 25, N 12, p.7352-7364.

34. Кившарь Ю.С., Косевич A.M. Об особенностях эволюции солитона под действием малых возмущений.- Письма в ЖЗТФ, 1983,37, вып.II, с.542-545.

35. Dash Р.С. Sine-Gordon 1-cink dynamics in the presence of external fields.-Phys.Lett.A, 1984,104, N6+7,p.309-311.

36. Kosevich A.M., Kivshar Yu.S. Explanation of specific sine-Gordon soliton dynamics in the presence of external perturbations.- Phys.Lett. A, 1983, 98, N 5+6, p.237-239.

37. Karpman V.I., Solov'ev V.V. The influence of perturbations on the shape of a sine-Gordon soliton.- Phys. Lett. A, 1981, 84, N 2, p.39-41.

38. Karpman V. I. , Solov'ev V. V. The connection between the two forms of perturbed SG equation.-Phys.Lett,A,1981,82,N5,p.205.3b. Karpman V.I. The velocities and shapes of solitons in near-integrable systems.- Phys.Lett.A,1984,103,N3, p.89-92.

39. Kosevich A.M., Kovalev A.S. The supersonic motion of a cro-wdion.The one-dimensional model with nonlinear interaction between the nearest neighbours.- Sol. St. Comm., 1973,12, N 8, p. 763-765.

40. Минеев М.Б., Шмидт В.В. Излучение вихря в длинном джозеф-соновском переходе, помещенном в переменное электромагнитное поле.- }аЬТШ, 1980, 79, вып.3(9), с.893-905.

41. Lee K.S., Trullinger S.E. Generalized susceptibility of asolitary wave.- J.Math.Phys., 197У, 20,N6, p.1093-1098.

42. Kosevich A.M., Kivshar Yu.S. Perturbed siliton evolution under conditions when the adiabatic approximation is not valid.- In : nonlinear and turbulent processes. Ed. by

43. R.Z.Sagdeev. Vol.Ill, Gordon and Breach-Harwood Academic Publishers, Ы.У., 1984, p. 1401-1410.

44. Mkrtchyan G.S., Shmidt V.V. On the radiation from inhomo-geneous Josepson junction.-SoLSt .Comm. ,1979,30,N12,p.791-793.

45. Соловьев В.В. Взаимодействие флаксона с микрозакороткой.-Москва, 1982.- 19с.- (Препринт/ИЗМИРАН АН СССР, № 43/454).

46. Френкель Я.И. Атомная одномерная модель движущейся дислокации (по Френкелю и Конторовой).- В кн.: Введение в теориюметаллов. М.:Наука, 1972, ч.У, гл.ХХП, § 3, с.344-351.

47. Malomed В.A. Emission from a small-amplitude sine-Gordon Dreather under the action of a conservative perturbations.-Phys. Lett.A, 1984, 102, N 3, p.83-84.

48. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров).- М.:Наука, 1977.- 832с.

49. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны.-Киев: Наукова думка, 1983.- 192с.

50. Wright J. Soliton production amd solutions of perturbed Korteveg- de Vries equation.- Phys. Rev. A, 1980, 21, N 1, p. 335-338.

51. Косевич A.M., Кившарь Ю.С. Ьволюция солитон-антисолитонной пары под действием возмущений в системе,описываемой синус-уравнением Гордона.- ШТ,1982,8,№ 12,с.1270-1284.

52. Звездин А.К. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках.- Письма в ЖЬТФ, 1979, 29,вып. 10,с.605-610.

53. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сукстанский А.Л. Нелинейные волны и динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках.-ЖЭТФ, I960, 79, вып.4, с.1509-1523.

54. Буллаф Р, Кодри Ф., Гиббс Г. Двойное уравнение sine

55. Gordon : система,имеющая физические приложения.- В кн.: Солитоны/ Пер. с англ.: Под ред Р.Буллафа, Ф.Кодри.- М.:Мир, 1983.- 408с.

56. Карпман В.И., Маслов Е.М., Соловьев В.В. Динамика бионов в длинных джозефсоновских контактах.- ЖЭТФ, 1983, 84, вып. I, с.289-300.

57. Bullough R.K. Solitons: Inverse scattering theory and its applications.- Copenhagen,1979.-54 p. (Nordita, N 79/34).

58. Inoue M., Chung S.G. Bion dissiciation in the sine-Gordon system.-J.Phys.Soc.Japan, 1979, 46, N 5, p.1594-1601.

59. Maloraed B.A, Inelastic interactions of solitons due to dissi-pative perturbations. In: Nonlenear and turbulent processes, Ed.by R.Z.Sagdeev,Vol.II, Gordon and Breech-Harwood Academic Publishers, N.Y., 1984, p. 1481-1485.

60. Nozaki K. Stochastic instability of sine-Gordon solitons.-Phys. Rev. Lett.,1982, 49, N 26, p.1883-1885.

61. Newell A.C. Nonlinear tunnelling.- J.Math. Phys., 1978, 19, N 5, p. 1126-1133.

62. Ю. Ishimori Y„, Munakata T. Kink dynamics in the discrete sine-Gordon equation. A perturbation approach,- J.Phys.Soc.Japan, 1982, 51, N 10, p.3367-3371.

63. Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных кристаллах. Киев: Науко-ва думка.- 1984.- 242с.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. К теории дисперсии магнитной восприимчивости ферромагнитных тел.- В кн.: Ландау Л.Д. Собр. трудов в двух томах.- М.: Наука,1969,т.I, с.128-143.

65. Sklyanin Е.К. On complite integrability of the Landau-Li f shit z equation.- Leningrad, 1979.- 32 p. (Preprint / Leningrad Department Steklov Math. Institute; E-3 ).

66. Боровик А,Е.,Робук B.H. Линейные "псевдопотенциалы" и законы сохранения для уравнения Ландау-Лифшица, описывающего нелинейную динамику ферромагнетика с одноосной анизотропией.- ТЖ',1981, 46, № 3, с.371-381.

67. Mikhailcv A.V.The Landau-Liftshitz equation and the Rieman boundary problem on torus.-Phys,Lett.A,1982,92,N2,p.51-55.

68. Rodin Yu.L. The Rieman boundary problem on a torus and the inverse scattering problem for the Landau-Lifshitz equation. -Physica D, 1984, 11, N 1+2, p. 90-108.

69. Бобенко А.И. Уравнение Ландау-Лифшица.Процедура "одевания". Элементарные возбуждения.- Записки научн.семинаров ЛОМИ, 1933, т.123, с.58-66.

70. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах.-М.: Мир, 1977.- 306с.

71. Малоземов А., Слончевски Дк. Доменные стенки в материалахс цилиндрическими магнитными доменами.- М.:Мир,1982.-384с.

72. Slonczewski J.С. Dynamics of magnetic domain walls.-Int.J.Magn,, 1972, 2, N 3, p.85-97.

73. Borovik A.E., Klama S., Kulinich S.I. Domain wall pinning on the point defects in ferromagnetic crystals.- J.Magn.and Magn. Mat., 1984, 44> N 2, p.187-194.

74. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А., Методы и приемы качественного исследования уравнений на фазовой плоскости.М.: Наука, 1976.- 312с.

75. Bullough R.K.,Fordy А.P., Manakov S.V. Adiabatic invariants theory of near-integrable systems with damping.

76. Phys. Lett. A, 1982, 91, N 3, P. 98-100.

77. Karpman V.I., Maslov E.M. On the soliton propagation on slowly varying media.- Phys. Fluids, 1982, 25> N 9» p. 532—333.