Эффекты пространственной дисперсии в метаматериалах из резонансных рассеивателей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Горлач, Максим Александрович

• Горлач, Максим Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Горлач, Максим Александрович

Оглавление

Введение

1 Различные методы описания электромагнитных свойств метамате-риалов

1.1 Исследование дисперсионных свойств метаматериала

1.2 Гомогенизация метаматериала в рамках модели дискретных диполей

1.3 Диадная функция Грина метаматериала: модель дискретных диполей

1.4 Вычисление диадной функции Грина структуры по набору собственных мод

1.5 Описание структуры при помощи локальных материальных параметров

2 Пространственная дисперсия

в одноосно поляризуемых средах

2.1 Обсуждение искусственных магнитных свойств

2.2 Неприменимость локальной магнитной проницаемости для описания одноосно поляризуемых сред

2.3 Система локальных материальных параметров

2.4 Дисперсионные свойства

2.5 Интерпретация экспериментов по экстракции материальных параметров одноосно поляризуемых сред

3 Топологический переход в среде из проводов с диэлектрическим покрытием

3.1 Расчет эффективной диэлектрической проницаемости

3.2 Управление режимами дисперсии при помощи температуры

4 Пространственная дисперсия и оптические силы в метаматериалах на основе трехмерных массивов

одноосных резонансных рассеивателей

4.1 Классификация различных режимов дисперсии

и исследование свойств смешанного режима

4.2 О возможностях экспериментального обнаружения смешанного режима дисперсии

4.3 Самонаведенный вращательный момент

4.4 Квазистатическая модель для самонаведенного вращательного момента

4.5 Обсуждение результатов квазистатической модели

4.6 Расчет самонаведенного вращательного момента в рамках модели дискретных диполей

5 Пространственная дисперсия нелинейных восприимчивостей в ме-

таматериале из нелинейных рассеивателей

5.1 Вывод эффективных нелинейных восприимчивостей

5.2 Сравнение с локальной моделью эффективной среды: вывод поправок на локальное поле

5.3 Численный пример для структуры на основе коротких проводов, нагруженных на варакторы

6 Анизотропия метаматерпалов, наведенная пространственной дисперсией

6.1 Теоретическая модель

6.2 Анализ дисперсионной диаграммы

6.3 Изочастотные контуры

6.4 Исследование анизотропии, наведенной пространственной дисперсией, по спектру отражения

6.5 Экспериментальное исследование анизотропии метаматериалов, наведенной пространственной дисперсией

Заключение

Список литературы

133

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты пространственной дисперсии в метаматериалах из резонансных рассеивателей»

Введение

В настоящее время физика метаматериалов является бурно развивающейся отраслью науки, сочетающей в себе междисциплинарные исследования на границе таких областей как оптика, физика конденсированного состояния, электродинамика и материаловедение. Растущий интерес к этому направлению обусловлен возможностью создавать искусственные структуры с необычными, не встречающимися в природе свойствами. Широкий спектр применений метаматериалов охватывает такие направления как реализация отрицательного преломления [1,2], маскировка объектов [3], управление интенсивностью взаимодействия излучения с веществом в гиперболических метаматериалах [4], контроль поляризации спонтанного излучения [5], создание суперлинзы [6] и использование метаматериалов в медицине [7]. Развитие методов нанофабрикации позволило создать разнообразные виды метаматериалов для инфракрасного и оптического диапазонов, включая многослойные структуры на основе чередующихся диэлектрических слоев и материалы типа "сеть" [8,9], среды из плазмонных и диэлектрических стержней [10], а также трехмерные структуры из частиц различной формы [11].

На ранних стадиях развития физики метаматериалов считалось, что электромагнитные свойства искусственных композитных структур могут быть описаны при помощи локальных тензоров диэлектрической ё(ш) и магнитной /¿(о;) проницаемости. Тем не менее экспериментальные исследования показывают, что в ряде метаматериалов, включая метаматериалы для инфракрасного и оптического диапазона, чрезвычайно выражены эффекты пространственной дисперсии [8,9]. Под пространственной дисперсией (нелокальностью) понимается зависимость поляризации физически малого объема среды от полей, существующих в соседних областях пространства. Электромагнитные свойства пространственно дисперсных сред описываются с помощью тензора к), где си — частота волны, а к — волновой вектор.

В отличие от резонансной пространственной дисперсии, наблюдавшейся в природных кристаллах и связанной с возбуждением экситонов [12], нелокальный электромагнитный отклик метаматериалов обусловлен гибридизацией ближних полей сильно взаимодействующих наночастиц или резонаторов. Пространственная дисперсия в метаматериалах может приводить к качественному изменению топологии изочастотных поверхностей, делая возможными, например, изочастотные контуры в виде пары эллипсов, расположенных симметрично относительно начала координат [13]. Такие экзотические электромагнитные свойства искусственных композитных структур открывают ряд интересных перспектив, включая нелокальную трансформационную оптику [13].

Хотя исследование свойств композитных структур имеет давнюю историю [14,15], вопрос о последовательном описании нелокального электромагнитного отклика композитов привлек исследовательское внимание лишь относительно недавно [16]. Последовательным подходом для расчета пространственно дисперсного тензора эффективной диэлектрической проницаемости к) метаматериала по известному отклику составных элементов структуры является процедура нелокальной гомогенизации [17,18]. Данный подход не требует разложения тензора ё(си, к) по степеням волнового вектора. В недавних работах на основе теории нелокальной гомогенизации была выявлена существенная роль нерезонансной пространственной дисперсии в средах из диэлектрических стержней и проводов [19,20].

Однако, поскольку большинство метаматериалов состоит из резонансных включений, представляет интерес исследование проявлений пространственной дисперсии именно в таких резонансных искусственных структурах. Сформулированная задача последовательно решается в рамках настоящей диссертационной работы. В частности, в диссертации теоретически демонстрируется, что широкий класс одноосно поляризуемых метаматериалов не может быть последовательно описан при помощи локальных тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости. Проведено исследование проявлений пространственной диспер-

сии в таких структурах и обсуждаются условия возникновения смешанного режима дисперсии, характеризующегося многосвязными изочастотными контурами, содержащими эллиптические и гиперболические фрагменты. Кроме того, в работе проводится теоретическое и экспериментальное исследование эффекта анизотропии метаматериалов, наведенной пространственной дисперсией, а также анализируется пространственная дисперсия нелинейных восприимчивостей метаматериалов, состоящих из нелинейных резонансных рассеивателей.

Целью диссертационной работы является исследование эффектов пространственной дисперсии в метаматериалах на основе периодических массивов резонансных включений.

Научная новизна

Впервые сделан общий вывод о неприменимости локальных тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости для последовательного описания электромагнитных свойств одноосно поляризуемых сред. Для метаматериалов на основе трехмерных массивов одноосных резонансных рассеивателей установлены ранее неизвестные условия существования смешанного режима дисперсии, являющегося переходным между эллиптическим и гиперболическим режимами дисперсии. Впервые предсказано переключение метаматериала на основе массива параллельных проводов с диэлектрическим покрытием из эллиптического режима дисперсии в гиперболический, происходящее при изменении диэлектрической проницаемости покрытия. Разработана теоретическая модель для расчета эффективных нелинейных восприимчивостей метаматериалов на основе трехмерного массива одноосных резонансных рассеивателей с учетом эффектов пространственной дисперсии. Впервые развита теоретическая модель для самонаведенного вращательного момента, действующего на пробный диполь в мета-материале на основе массива одноосных резонансных включений, учитывающая эффекты пространственной дисперсии. Проведен теоретический анализ эффек-

та анизотропии метаматериалов, наведенной пространственной дисперсиеи, и инициированы экспериментальные исследования данного эффекта в метамате-риалах с кубической симметрией.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты, полученные в диссертационной работе, важны с фундаментальной точки зрения для понимания специфики электромагнитного отклика искусственных композитных структур на основе резонансных включений и для описания новых эффектов, возникающих в резонансных метаматериалах вследствие пространственной дисперсии. Практическая значимость работы определяется возможностью использования нелокального электромагнитного отклика метаматериалов для более гибкого управления распространением излучения на наномасштабе, а также возможностью создания нового поколения устройств, основанных на метаматериалах, для медицинских и промышленных применений.

Основные методы исследования

Для решения поставленных задач в ходе исследования использовались аналитические методы, включая модель дискретных диполей и метод диадных функций Грина электромагнитного поля, а также компьютерное моделирование в программных пакетах CST Microwave Studio и Comsol Multiphysics. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением теоретических предсказаний с результатами численного моделирования и с экспериментальными данными.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Для описания обратных волн в метаматериалах на основе анизотропных включений, поляризующихся лишь в одном направлении, необходимо включить в рассмотрение тензор квадрупольной восприимчивости.

2. В среде на основе массива параллельных проводов с диэлектрическим покрытием при изменении диэлектрической проницаемости покрытия происходит переключение из эллиптического режима дисперсии в гиперболический.

3. В метаматериале на основе кубической решетки одноосных резонансных рассеивателей вблизи нулей и полюсов эффективной диэлектрической проницаемости реализуется смешанный режим дисперсии, характеризующийся многосвязными изочастотными контурами, содержащими эллиптические и гиперболические фрагменты. При этом в области полюса диэлектрической проницаемости переход от эллиптического режима дисперсии к гиперболическому через область смешанного режима происходит лишь на частотах и < 0.813 с/а, где а - период решетки.

4. Максимальные значения самонаведенного вращательного момента, действующего на пробный диполь в метаматериале на основе кубической решетки одноосных резонансных рассеивателей, достигаются в смешанном режиме дисперсии.

5. В метаматериале на основе кубической решетки изотропных резонансных включений вблизи резонанса рассеивателей возникает сильная анизотропия, наведенная пространственной дисперсией. Относительная величина анизотропии в области прозрачности метаматериала достигает 10%.

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Университета ИТМО и Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе, Технологического университета Сиднея, Австралийского национального университета, а также на следующих конференциях и школах:

• 1СОЖ)/ЬАТ 2016, Минск, Республика Беларусь, 2016;

• Metamaterials'2016, Chania, Greece, 2016;

• Metanano'2016, Анапа, Россия, 2016;

• Days on Diffraction'2016, Санкт-Петербург, Россия, 2016;

• CUDOS workshop, Central Coast, Australia, 2016;

• Международный научный форум "Наука будущего — наука молодых", Севастополь, Россия, 2015;

• Progress in Electromagnetics Research Symposium, Prague, Czech Republic, 2015;

• Days on Diffraction'2015, Санкт-Петербург, Россия, 2015;

• Конференция "Молодые ученые России", Москва, Россия, 2015;

• 8th Optoelectronics and Photonics Winter School «Topological effects in photonics», Trento, Italy, 2015;

• Зимняя школа по физике полупроводников, Зеленогорск, Россия, 2015;

• Days on Diffraction'2014, Санкт-Петербург, Россия, 2014.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 13 публикациях в журналах, входящих в список изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских диссертаций.

Список публикаций по перечню ВАК:

1. Gorlach М.А., Song М., Slobozhanyuk А.Р., Bogdanov A.A., Belov Р.А. Topological transition in coated wire medium // Phys. Status Solidi RRL. - 2016. - Vol. 10. - pp. 900-904. - 0.32 п.л./0.06 п.л.

2. Gorlach M.A., Glybovski S.B., Hurshkainen A.A., Belov P.A. Giant spatial-dispersion-induced birefringence in metamaterials // Physical Review B. - 2016. - Vol. 93. - P.201115(R). - 0.25 n.ji./0.06 n.ji.

3. Gorlach M.A., Voytova T.A., Lapine M., Kivshar Y.S., Belov P.A. Nonlocal homogenization for nonlinear metamaterials // Physical Review B. -2016. -Vol. 93. - P. 165125. - 0.50 n.ji./0.10 n.ji.

4. Gorlach M.A., Belov P.A. Nonlocality in uniaxially polarizable media // Physical Review B. - 2015. - Vol. 92. - P. 085107. - 0.31 n.ji./0.16 n.ji.

5. Chebykin A.V., Gorlach M.A., Belov P.A. Spatial-dispersion-induced birefringence in metamaterials with cubic symmetry // Physical Review B. -2015. - Vol. 92. - P. 045127.-0.56 n.ji./0.19 n.ji.

6. Gorlach M.A., Belov P.A. Effect of spatial dispersion on the topological transition in metamaterials // Physical Review B. - 2014. - Vol.90. -P. 115136. -0.44 iljl/0.22 n.ji.

7. Gorlach M.A., Poddubny A.N., Belov P.A. Self-induced torque in discrete uniaxial metamaterials // Physical Review B. - 2014. - Vol. 90. - P. 035106. -0.38 iljl/0.13 n.ji.

8. Gorlach M.A., Poddubny A.N., Belov P.A. Splitting of emission-spectrum lines in an anisotropic medium due to self-induced torque // Physical Review A. -2014. -Vol. 89 - P. 032508. - 0.38 iljl/0.13 n.ji.

9. M. Gorlach, P. Belov. Nonlocality in Discrete Nonlinear Metamaterials // Proceedings of the 10th International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics - Metamaterials. - 2016. - pp. 118-120. -0.19 iljl/0.09 n.ji.

10. P. Belov, M. Gorlach. Nonlocality in uniaxially polarizable media and cubic

metamaterials // Proceedings of the 10th International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics - Metamaterials. - 2016. -pp. 58-60. - 0.19 п.л./0.09 п.л.

11. Gorlach M.A., Belov P.A. Nonlocality in discrete metamaterials // Proceedings Progress in Electromagnetics Research Symposium. - 2015. - P. 214 -0.25 п.л./0.13 п.л.

12. Chebykin A.V., Gorlach M.A., Gorlach A.A., Belov P.A. Spatial dispersion in metamaterials based on three-dimensional arrays of spheres and disks // Proceedings Days on Diffraction. - 2015. - P. 70. - 0.31 п.л./ 0.08 п.л.

13. Gorlach M.A., Poddubny A.N., Belov P.A. Microscopic model of the self-induced torque in metamaterials // Proceedings Days on Diffraction. - 2014. -P. 96.-0.31 п.л./О.Ю п.л.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка публикаций автора по теме диссертации и списка используемой литературы. Объем работы составляет 139 страниц, включая 45 рисунков. Список используемой литературы содержит 129 библиографических ссылок.

Первая глава диссертации носит обзорный характер. В этой главе обсуждаются различные теоретические методы описания электромагнитных свойств метаматериалов: диадная функция Грина, набор собственных мод структуры, пространственно дисперсный тензор эффективной диэлектрической проницаемости. На примере трехмерной структуры из резонансных рассеивателей, рассматриваемой в рамках модели дискретных диполей, обсуждается связь между названными способами описания и делается обзор теории нелокальной гомогенизации периодических метаматериалов.

Во второй главе диссертации исследуются эффекты пространственной дисперсии в одноосно поляризуемых средах, т.е. материалах, структурные элементы которых могут поляризоваться только в одном направлении. Приводится доказательство того, что электромагнитные свойства любого материала из указанного класса не могут быть последовательно описаны с помощью локальных (зависящих лишь от частоты) тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости. Демонстрируется разнообразие дисперсионных свойств одноосно поляризуемых метаматериалов и приводятся типичные изочастотные контуры. Обсуждается описание одноосно поляризуемых структур в терминах локальной диэлектрической проницаемости и квадрупольной восприимчивости. В заключении главы приводится интерпретация существующих экспериментальных данных по экстракции материальных параметров одноосно поляризуемых сред.

В третьей главе диссертации общие результаты, полученные для одноосно поляризуемых сред, иллюстрируются на примере конкретной структуры на основе массива параллельных проводов с диэлектрическим покрытием. В рамках теории нелокальной гомогенизации получено выражение для эффективной диэлектрической проницаемости данного композитного материала. Проведенный анализ показывает, что при изменении соотношения между диэлектрической проницаемостью оболочки проводов и окружающей среды, например, за счет температуры, происходит переключение метаматериала из эллиптического режима дисперсии в гиперболический.

Четвертая глава посвящена исследованию дисперсионных свойств другого примера одноосно поляризуемой среды - метаматериала на основе трехмерного массива резонансных одноосных рассеивателей. На основании модели дискретных диполей выводится пространственно дисперсный тензор эффективной диэлектрической проницаемости структуры, а также дисперсионное уравнение. Проводится исследование дисперсионных свойств метаматериала путем построения дисперсионных диаграмм и изочастотных контуров. Анализ показывает, что помимо изочастотных контуров с формой, близкой к эллиптической или ги-

перболической, существуют также многосвязные нзочастотные контуры, содержащие квазиэллиптические и квазигиперболические фрагменты. Такой режим дисперсии, называемый смешанным, является промежуточным между эллиптическим и гиперболическим режимами дисперсии и реализуется вследствие нелокальных эффектов. На основании анализа решений дисперсионного уравнения получена фазовая диаграмма, на которой отмечена область существования смешанного режима. Исследование показывает, что смешанный режим дисперсии возникает либо вблизи нуля, либо вблизи полюса эффективной диэлектрической проницаемости структуры. По этой причине в работе отдельно рассмотрены смешанный режим с малым £ и смешанный режим с высоким е. Также установлено, что смешанный режим с высоким £ реализуется только на достаточно низких частотах и < 0.813 с/а, где а — период решетки структуры.

Далее рассматривается эффект самонаведенного вращательного момента [21], действующего на пробный диполь в метаматериале на основе трехмерного массива резонансных одноосных рассеивателей. Суть эффекта заключается в том, что внесенный в структуру пробный электрический диполь вызывает поляризацию этой структуры. Поляризованный материал создает поле, которое вследствие анизотропии метаматериала оказывается непараллельным дипольно-му моменту пробной частицы. В результате со стороны структуры на внесенный диполь действует вращательный момент. В работе строится теоретическая модель для самонаведенного вращательного момента вначале в рамках локальной модели эффективной среды, а затем - с учетом эффектов пространственной дисперсии в метаматериале. Расчеты, проведенные в работе, демонстрируют, что максимальные значения самонаведенного вращательного момента достигаются в смешанном режиме дисперсии метаматериала. Также обсуждается влияние анизотропного окружения на структуру вращательных подуровней молекулы, помещенной в эту структуру. Продемонстрирован эффект перегруппировки вращательных подуровней за счет влияния анизотропного окружения.

В пятой главе рассматривается пространственная дисперсия нелинейных

восприимчивостей структуры, состоящей из резонансных одноосных рассеи-вателей, расположенных в узлах кубической решетки. Выводятся выражения для эффективных нелинейных восприимчивостей композитного материала через нелинейные поляризуемости рассеивателей и решеточные суммы, характеризующие взаимодействие частиц друг с другом. Демонстрируется, что в предельном случае, когда эффектами пространственной дисперсии можно пренебречь, полученные результаты приводят к известным в нелинейной оптике поправкам на локальное поле. На примере структуры, состоящей из коротких проводов, нагруженных на варакторные диоды, проводится сравнение предсказаний разработанной теоретической модели с локальной моделью эффективной среды. Продемонстрировано, что наибольшие отклонения от результатов локальной модели эффективной среды наблюдаются вблизи резонанса эффективной диэлектрической проницаемости структуры. Также анализируется зависимость эффективных нелинейных восприимчивостей композитной структуры от направления распространения фундаментальной волны по отношению к кристаллографическим осям метаматериала.

Шестая глава диссертации посвящена исследованию эффекта анизотропии метаматериалов, наведенной пространственной дисперсией. Хорошо известно, что кубический кристалл, состоящий из изотропных частиц, изотропен с точки зрения локальной модели эффективной среды. С другой стороны, известно также, что эффекты пространственной дисперсии могут нарушать изотропию кристалла [12]. Величину анизотропии, наведенной пространственной дисперсией, принято характеризовать величиной Ап = пц0 — пооь Для природных кристаллов с кубической симметрией величина эффекта достаточно мала, так что |А^тах| ~ 5 • 10~5. Представляет интерес исследование аналогичного эффекта в метаматериалах, состоящих из резонансных высокодобротных изотропных частиц, поляризуемостью которых можно сравнительно легко управлять. В рамках диссертационной работы построена теоретическая модель для расчета эффекта на основе модели дискретных диполей, проведено исследование дисперсион-

ных свойств структуры. Предсказания аналитического подхода сопоставлены с результатами моделирования в пакете CST Microwave Studio.

Также инициирована экспериментальная проверка сделанных предсказаний путем измерения коэффициентов отражения и прохождения для метаматериала с границей, параллельной кристаллографической плоскости (1,1,0), для двух взаимно ортогональных поляризаций падающей волны. По спектру отражения структуры рассчитан эффективный показатель преломления для обеих поляризаций падающей волны. В области прозрачности метаматериала зафиксирована анизотропия, наведенная пространственной дисперсией, на уровне An = —0.13, что соответствует относительной величине анизотропии около 10%. Эта величина по крайней мере на три порядка превосходит аналогичный эффект, наблюдавшийся для природных кристаллов.

В Заключении обобщены основные результаты диссертационной работы.

ГЛАВА 1

Различные методы описания электромагнитных свойств

метаматериалов

Основными способами описания электромагнитных свойств линейных периодических метаматериалов являются следующие:

• Набор собственных мод структуры, найденных в результате решения дисперсионного уравнения.

• Пространственно дисперсный тензор эффективной диэлектрической проницаемости структуры. Процедура расчета эффективной диэлектрической проницаемости называется гомогенизацией. Общий подход к гомогенизации периодических метаматериалов, учитывающий в том числе и возможные нелокальные эффекты, был предложен в работах [17,18].

• Диадная функция Грина [22]. Функция Грина структуры определяет поле, создаваемое в произвольной точке пространства пробным точечным диполем, внесенным в эту структуру, с учетом поляризации материала.

Отметим, что все три метода описания являются равносильными, и выбор конкретного способа описания диктуется спецификой решаемой задачи.

Удобным теоретическим методом для описания массивов резонансных рас-сеивателей является модель дискретных диполей [23-28], в рамках которой поле отдельного мета-атома моделируется как поле электрического диполя, а характеристикой свойств частицы выступает тензор электрической поляризуемости. В рамках модели дискретных диполей оказывается возможным получить аналитически дисперсионное уравнение для структуры [25-27], тензор эффективной диэлектрической проницаемости метаматериала [29] и диадную функцию Грина структуры [30].

В данной главе различные способы описания свойств метаматериалов обсуждаются на примере трехмерного массива из резонансных рассеивателей (рисунок 1.1), рассматриваемого в рамках модели дискретных диполей. Во всех рассуждениях диссертационной работы используется система единиц СГС и предполагается зависимость монохроматических полей от времени вида е .

2

Рисунок 1.1: Рассматриваемая трехмерная структура из дипольных рассеивателей в узлах кубической решетки.

1.1 Исследование дисперсионных свойств метаматериала

Рассмотрим дискретную структуру из частиц, расположенных в узлах кубической решетки с периодом а (рисунок 1.1). Пусть а — тензор электрической поляризуемости отдельной частицы. Получим дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в структуре в рамках модели дискретных диполей. С этой целью рассмотрим распространение собственной моды.

3, = а Ё1ос ,

Е ^ ^ 1"rn.nl) сЬтп1 .

(т,п,1)=£( 0,0,0)

Первое из уравнений системы (1.1) описывает поляризацию частицы в начале координат в локальном поле ЁЪс, созданном остальными частицами структуры. Второе из уравнений (1.1) есть выражение локального поля через дипольные моменты остальных частиц метаматериала, расположенных в точках

гтп1 = таёх + паёу + 1аёг , (1.2)

где т, п, I — целые числа, а также диадную функцию Грина электромагнитного поля С (г) [22]. Отметим, что в наших обозначениях диадная функция Грина в вакууме определена как

С{д]г) = (V® У + д2/)

еЩГ

Г

(1.3)

где д = и/с, & I - единичный тензор. Отметим далее, что в силу периодичности рассматриваемого метаматериала имеет место теорема Блоха. Рассмотрим собственную моду с определенным значением квазиволнового вектора к. В таком случае распределение дипольных моментов частиц структуры будет определяться выражением

Атп1 = АёГк^ . (1.4)

Подставляя (1.4) в (1.1), получаем следующую систему линейных уравнений относительно амплитуды дипольного момента (Т.

а'1 — (1 = 0 , (1.5)

где введено обозначение решеточной суммы

Е Гтги) е~г1г-1 (1.6)

(т,п,0Л0Д0)

В случае распространения собственной моды система линейных уравений (1.5) должна иметь нетривиальные решения относительно неизвестного вектора характеризующего амплитуду собственной моды. Следовательно, должно выполняться условие [25,28]

а 1 - СА^к)

= 0. (1.7)

Как легко убедиться, данное условие играет роль дисперсионного уравнения для собственных волн в структуре, т.к. (1.7) связывает частоту волны и значения волнового вектора. В четвертой главе решения этого уравнения подробно анализируются для случая структуры, состоящей из одноосных электрических дипольных рассеивателей. Как будет показано ниже, для действительных со и к и рассеивателя без потерь матрица системы (1.5) является действительной. Следовательно, собственные моды структуры из частиц с электрической поляризуемостью имеют линейную поляризацию.

Отметим, что эффективный алгоритм расчета диагональных компонент тензора С ¿(у, к) был разработан в статье [27]. Техника расчета недиагональных компонент тензора к) изложена в работе [31].

Если в материале частиц структуры нет потерь, то для действительной частоты и, не лежащей в запрещенной зоне кристалла, дисперсионное уравнение (1.7) должно иметь действительные решения относительно волнового вектора, описывающие распространяющиеся волны. Известно, однако, что решеточная сумма 6'/;(с/: к) содержит мнимую часть, равную — 2с/:! 7/3 [27]. С другой стороны, поляризуемость дипольного излучателя также содержит мнимую поправку, описывающую потери энергии на излучение. Рассмотрим расчет радиационной поправки к поляризуемости дипольного излучателя, следуя работам [22,32,33].

Будем исходить из следующей связи дипольного момента частицы с электрическим полем:

3=а0Ёш, (1.8)

где Ёш = Ё + Ё3 есть полное поле, действующее на рассеиватель, представля-

ющее собой суперпозицию поля падающей волны Е и поля, соответствующего силе радиационного трения Ё8 = 2г1д3<Л(си)/3 [34]. Если в материале рассеива-теля нет потерь, то тензор «о является чисто действительным. Уравнение (1.8) можно переписать в виде

а =

<1 = аЕ, (1.9)

(1.10)

а^1 - 2^3//3'

где тензор поляризуемости а определен обычным образом и характеризует отклик частицы на падающее поле. Следовательно,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Горлач, Максим Александрович, 2017 год

Литература

[1] Eleftheriades G. V., Balmain К. G. Negative-refraction metamaterials. — New Jersey: IEEE Press, 2005.

[2] Агранович В. M., Гартштейн Ю. Н. Пространственная дисперсия и отрицательное преломление света // УФН. - 2006. - Vol. 176, по. 10. - Pp. 1051-1068.

[3] Килъдишев А. В., Шалаев В. М. Трансформационная оптика и метаматериалы // УФН. — 2011,-Vol. 181, no. 1.-Р. 59.

[4] Hyperbolic metamaterials / A. Poddubny, I. Iorsh, P. Belov, Y. Kivshar // Nature Photonics. — 2013,-Vol. 7.-P. 958.

[5] Polarization control of quantum dot emission by chiral photonic crystal slabs / S. V. Lobanov, T. Weiss, N. A. Gippius et al. // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40, no. 7. - Pp. 1528-1531.

[6] Pendry J. B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens // Phys. Rev. Lett. — 2000.— Vol. 85, no. 18.-Pp. 3966-3969.

[7] Enhancement of magnetic resonance imaging with metasurfaces / A. P. Slobozhanyuk, A. N. Poddubny, A. J. E. Raaijmakers et al. // Advanced Materials.— 2016.— Vol. 28.— P. 1832.

[8] Experimental demonstration of effective medium approximation breakdown in deeply subwave-length all-dielectric multilayers / S. V. Zhukovsky, A. Andryieuski, O. Takayama et al. // Physical Review Letters.- 2015.- Vol. 115.-P. 177402.

[9] Magnetic hyperbolic optical metamaterials / S. S. Kruk, Z. J. Wong, E. Pshenay-Severin et al. // Nature Communications. — 2016. — Vol. 7. — P. 11329.

[10] Plasmonic nanorod metamaterials for biosensing / A. V. Kabashin, P. Evans, S. Pastkovsky, A. V. Zayats // Nature Materials. - 2009. - Vol. 8, no. 1. - Pp. 867-871.

[11] Three-dimensional photonic metamaterials at optical frequencies / N. Liu, H. Guo, L. Fu, M. Wegener // Nature Materials. - 2008. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 31-37.

[12] Агранович В. M., Гинзбург В. Л. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов,— М.: Наука, 2-е изд., 1979.

[13] Ultratransparent Media and Transformation Optics with Shifted Spatial Dispersions / J. Luo, Y. Yang, Z. Yao, Y. Lai // Physical Review Letters. - 2016. - Vol. 117. - P. 223901.

[14] Garnett J. С. M. Colours in metal glasses and in metallic films 11 Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. — 1904. - Vol. 203. - Pp. 385-420.

[15] Rytov S. M. Electromagnetic properties of a finely stratified medium 11 Soviet Physics JETP. — 1956. - Vol. 2, no. 3. - Pp. 466-475.

[16] Agranovich V. M., Gartstein Y. N. Electrodynamics of metamaterials and the Landau-Lifshitz approach to the magnetic permeability 11 Metamaterials. — 2009. — Vol. 3. — P. 1.

[17] Silveirinha M. G. Metamaterial homogenization approach with application to the characterization of microstructured composites with negative parameters 11 Physical Review B. — 2007. — Vol. 75.-P. 115104.

[ 18] Alu A. First-principles homogenization theory for periodic metamaterials // Physical Review B. — 2011,-Vol. 84.-P. 075153.

[19] Silveirinha M. Nonlocal homogenization model for a periodic array of < -negative rods // Physical Review E. - 2006. - Vol. 73. - P. 046612.

[20] Wire metamaterials: Physics and applications / C. Simovski, P. Belov, A. Atrashchenko, Y. Kivshar // Advanced Materials. - 2012. - Vol. 24. - Pp. 4229-4248.

[21] Self-induced torque in hyperbolic metamaterials / P. Ginzburg, A. V. Krasavin, A. N. Poddubny et al. // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 111.

[22] Novotny L., Hecht B. Principles of Nano-Optics. — Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

[23] PurcellE., Pennypacker C. Scattering and absorption of litght by nonspherical dielectric grains 11 The Astrophysical Journal. - 1973. - Vol. 186. - Pp. 706-714.

[24] Draine B. The discrete dipole approximation and its application to interstellar graphite grains 11 The Astrophysical Journal. - 1988. - Vol. 333. - Pp. 848-872.

[25] Photonic band structure of atomic lattices / D. van Coevorden, R. Sprik, A. Tip, A. Lagendijk // Physical Review Letters. - 1996. - Vol. 77, no. 12. - Pp. 2412-2415.

[26] de Vries P., van Coevorden D., Lagendijk A. Point scatterers for classical waves 11 Reviews of Modern Physics. - 1998. - Vol. 70, no. 2. - Pp. 447-466.

[27] Belov P., Simovski C. Homogenization of electromagnetic crystals formed by uniaxial resonant scatterers // Physical Review E. - 2005. - Vol. 72. - P. 036615.

[28] Campione S., Sinclair M., Capolino F. Effective medium representation and complex modes in 3d periodic metamaterials made of cubic resonators with large permittivity at mid-infrared frequencies // Photonics and Nanostructures - Fundamentals and Applications.— 2013. — Vol. 11.-Pp. 423-435.

[29] Silveirinha M. G. Generalized Lorentz-Lorenz formulas for microstructured materials 11 Physical Review B. - 2007. - Vol. 76. - P. 245117.

[30] Microscopic model of Purcell enhancement in hyperbolic metamaterials / A. N. Poddubny, P. A. Belov, P. Ginzburg et al. // Physical Review B. - 2012. - Vol. 86. - P. 035148.

[31] Chebykin A. V., Gorlach M. A., Belov P. A. Spatial-dispersion-induced birefringence in metamaterials with cubic symmetry // Physical Review B. — 2015. — Vol. 92. — P. 045127.

[32] Sipe J., van Kranendonk J. Macroscopic electromagnetic theory of resonant dielectrics 11 Physical Review A. - 1974. - Vol. 9, no. 5. - Pp. 1806-1822.

[33] Об одном условии, налагаемом на электромагнитную поляризуемость бианизотропного рассеивателя без потерь / Белов П. А., Масловский С. И., Симовский К. Р., Третьяков С. А. // Письма в ЖТФ. - 2003. - Vol. 29, по. 17. - Р. 36.

[34] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — 7 edition. — М.: Наука, 1988.

[35] Collin R. Field Theory of Guided Waves. — IEEE Press, New York, Piscataway, NJ, 1991.

[36] Борн, M., Вольф, Э. Основы оптики, — M.: Наука, 1973.

[37] Silveirinha М., Belov P. Spatial dispersion in lattices of split ring resonators with permeability near zero 11 Physical Review B. - 2008. - Vol. 77. - P. 233104.

[38] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.

[39] Федоров Ф. И. Теория гиротропии. — Минск: Наука и техника, 1976.

[40] Vinogradov A., Skidanov I. On the problem of constitutive parameter of composite materials // Proceedings of the Bianisotropics. — 2000. — Pp. 17-22.

[41] Negative index of refraction in optical metamaterials / V. Shalaev, W. Cai, U. K. Chettiar et al. // Optics Letters. - 2005. - Vol. 30, no. 24. - Pp. 3356-3358.

[42] Cut-wire pairs and plate pairs as magnetic atoms for optical metamaterials / G. Dolling, C. Enkrich, M.Wegener et al. // Optics Letters. - 2005. - Vol. 30, no. 23. - Pp. 3198-3200.

[43] Guven K., Caliskan M., Ozbay E. Experimental observation of left-handed transmission in a bilayer metamaterial under normal-to-plane propagation 11 Optics Express. — 2006.— Vol. 14, no. 19.-Pp. 8685-8693.

[44] Negative index materials using simple short wire pairs / J. Zhou, L. Zhang, G. Tuttle et al. // Physical Review B. - 2006. - Vol. 73. - P. 041101.

[45] A negative permeability material at red light / H. Yuan, U. Chettiar, W. Cai et al. // Optics Express. - 2007. - Vol. 15, no. 3. - Pp. 1076-1083.

[46] Panina L., Grigorenko A., Makhnovskiy D. Optomagnetic composite medium with conducting nanoelements // Physical Review B. — 2002. — Vol. 66. — P. 155411.

[47] Multipole approach to metamaterials / J. Petschulat, C. Menzel, A. Chipouline et al. // Physcial Review A. — 2008. — Vol. 78. - P. 043811.

[48] Optical properties of metamaterials based on asymmetric double-wire structures / E. Pshenay-Severin, A. Chipouline, J. Petschulat et al. // Optics Express.— 2011.— Vol. 19, no. 7.— Pp. 6269-6283.

[49] Metamaterial composed of wire pairs exhibiting dual band negative refraction / C. Huang, Z. Zhao, Q. Feng et al. // Applied Physics B. - 2010. - Vol. 98. - Pp. 365-370.

[50] Shalaev V. Optical negative-index metamaterials 11 Nature Photonics.— 2007.— Vol. 1.— Pp. 41-48.

[51] Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit / P. Belov, R. Marques, S. Maslovski et al. // Phys.Rev.B. - 2003. - Vol. 67. - P. 113103.

[52] Simovski C., Tretyakov S. On effective electromagnetic parameters of artificial nanostruc-tured magnetic materials // Photonics and Nanostructures - Fundamentals and Applications. — 2010. - Vol. 8. - Pp. 254-263.

[53] Costa J., Silveirinha M., Maslovski S. Finite-difference frequency-domain method for the extraction of effective parameters of metamaterials // Phys.Rev.B. — 2009. — Vol. 80. — P. 235124.

[54] Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Статистическая физика. Часть 1, — 3 edition.— M.: Наука, 1976.

[55] Jones H. Groups, Representations and Physics. — IOP Publishing, Bristol, UK, 1998.

[56] Smith D., Shurig D. Electromagnetic wave propagation in media with indefinite permittivity and permeability tensors 11 Physical Review Letters. — 2003. — Vol. 90, no. 7. — P. 077405.

[57] Strong Purcell effect in anisotropic epsilon-near-zero metamaterials / A. V. Chebykin, A. A. Orlov, A. S. Shalin et al. // Physical Review B. - 2015. - Vol. 91. - P. 205126.

[58] Felsen L. В., Marcuvitz N. Radiation and Scattering of Waves. — Wiley Interscience, 2003.

[59] Belov P., Tretyakov S., Viitanen A. Dispersion and reflection properties of artificial media formed by regular lattices of ideally conducting wires 11 Journal of Electromagnetic Waves and Applications.- 2002,- Vol. 16, no. 8.-Pp. 1153-1170.

[60] Tyukhtin A., Doilnitsina E. Effective permittivity of a metamaterial from coated wires 11 Journal of Physics D: Applied Physics. - 2011. - Vol. 44. - P. 265401.

[61] Low loss microwave ferroelectric ceramics for high power tunable devices / E. A. Nenasheva, N. F. Kartenko, I. M. Gaidamaka, O. N. Trutisyna // Journal of the European Ceramic Society. — 2010. - Vol. 30. - Pp. 395-400.

[62] Ellison W. J. Permittivity of Pure Water, at Standard Atmospheric Pressure, over the Frequency Range 0-25 THz and the Temperature Range 0-100 C // Journal of Physical and Chemical Reference Data. - 2007. - Vol. 36, no. 1. - Pp. 1-18.

[63] Water: Promising opportunities for tunable all-dielectric electromagnetic metamaterials / A. Andryieuski, S. M. Kuznetsova, S. V. Zhukovsky et al. // Scientific Reports.— 2015. — Vol. 5.-P. 13535.

[64] O'Bryan H. M., Thomson J., Plourde J. K. A New Ba0-Ti02 Compound with Temperature-Stable High Permittivity and Low Microwave Loss 11 Journal of the American Ceramic Society. - 1974. - Vol. 57, no. 10. - P. 450.

[65] Vendik O. G., Zubko S. P. Modeling the dielectric response of incipient ferroelectrics 11 Journal of Applied Physics. - 1997. - Vol. 82. - P. 4475.

[66] Poddubny A. N., Belov P. A., Kivshar Y. S. Purcell effect in wire metamaterials // Physical Review B. -2013. -Vol. 87.-P. 035136.

[67] Mirmoosa M. S., Kosulnikov S. Y, Simovski C. R. Unbounded spatial spectrum of propagating modes in a polaritonic wire medium 11 Physical Review B. — 2015. — Vol. 92. — P. 075139.

[68] Mirmoosa M. S., Kosulnikov S. Y, Simovski C. R. Double resonant wideband purcell effect in wire metamaterials 11 Journal of Optics. — 2016. — Vol. 16. — P. 095101.

[69] Magnetic purcell factor in wire metamaterials / A. P. Slobozhanyuk, A. N. Poddubny, A. E. Kras-nok, P. A. Belov // Applied Physics Letters. - 2014. - Vol. 104. - P. 161105.

[70] Topological transitions in metamaterials / H. Krishnamoorthy, Z. Jacob, E. Narimanov et al. // Science. - 2012. - Vol. 336. - Pp. 205-210.

[71] Magnetic topological transition in transmission line metamaterials / A. V. Shchelokova, D. S. Filonov, P. V. Kapitanova, P. A. Belov // Physical Review B.- 2014,- Vol. 90.-P 115155.

[72] Gomez-Diaz J. S., Tymchenko M., Alu A. Hyperbolic plasmons and topological transitions over uniaxial metasurfaces // Physical Review Letters. — 2015. — Vol. 114. — P. 233901.

[73] Hybrid waves localized at hyperbolic metasurfaces / O. A. Yermakov, A. I. Ovcharenko, M. Song et al. // Physical Review B. — 2015. — Vol. 91. — P. 235423.

[74] Mirmoosa M. S., Kosulnikov S. Y, Simovski C. R. Magnetic hyperbolic metamaterial of highindex nanowires 11 Physical Review B. — 2016. — Vol. 94. — P. 075138.

[75] Engineered optical nonlocality in nanostructured metamaterials / A. Orlov, P. Voroshilov, P. Belov, Y. Kivshar // Phys.Rev.B. - 2011. - Vol. 84. - P. 045424.

[76] Photonic Crystals: Molding the Flow of Light / J. Joannopoulos, S. Johnson, J. Winn, R. Meade. — Princeton University Press, 2008.

[77] Belov P. A., Simovski C. R. Boundary conditions for interfaces of electromagnetic crystals and the generalized Ewald-Oseen extinction principle 11 Physical Review В. — 2006.— Vol. 73.— P. 045102.

[78] Purcell E. M. Spontaneous emission probabilities at radio frequencies 11 Physical Review. — 1946,-Vol. 69.-P. 681.

[79] Microcavities / A. Kavokin, J. J. Baumberg, G. Malpuech, F. P. Laussy. — Oxford: Clarendon Press, 2006.

[80] Фактор Парселла в малых металлических полостях / Глазов М. М., Ивченко Е. Л., Поддубный А. Н., Хитрова Г. // Физика твердого тела. — 2011. — Vol. 53, по. 9. — Р. 1665.

[81] Yablonovitch Е. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics 11 Physical Review Letters. - 1987. - Vol. 58, no. 20. - Pp. 2059-2062.

[82] Jacob Z., Shalaev V. Plasmonics Goes Quantum 11 Science. — 2011. — Vol. 334. — Pp. 463-.

[83] Poddubny A. N., Belov P. A., Kivshar Y. S. Purcell effect in wire metamaterials // Physical Review B. -2013. -Vol. 87.-P. 035136.

[84] Бахшиев H. Г. Введение в молекулярную спектроскопию. — Л.: ЛГУ, 1987.

[85] Anisotropic media effect on the dipole moment of some coumarin dyes / M. Zakerhamidi, A. Ghanadzadeh, M. Moghadam, H. Tajalli // Spectrochimica Acta, Part A: Molecular and Biomolecular Spectroscopy. — 2010. — Vol. 77. — Pp. 767-772.

[86] Jackson J. Classical electrodynamics. — John Wiley & Sons, 1962.

[87] Тихонов A. H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — 5 edition. — M.: Наука, 1977.

[88] Clemmov P. The theory of electromagnetic waves in a simple anisotropic medium 11 Proceedings of the IEEE. - 1963,-Vol. 110.-P. 101.

[89] Cherepanov A., Sihvola A. Internal electric field of anisotropic and bianisotropic spheres // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. — 1996. —Vol. 10, no. 1. —Pp. 79-91.

[90] Ying-Le L., Ming-Jun W. Electric fields inside and outside an anisotropic dielectric sphere // Chinese Physics B. - 2009. - Vol. 18, no. 6. - Pp. 2420-2425.

[91] Rayleigh scattering for an electromagnetic anisotropic medium sphere / L. Ying-Le, W. Ming-Jun, D. Qun-Feng, T. Gao-Feng // Chin. Phys. Lett. — 2010. — Vol. 27, no. 5.

[92] Sihvola A. On the dielectric problem of isotropic sphere in anisotropic medium 11 Electromagnetics. - 1997. - Vol. 17. - Pp. 69-74.

[93] Савченко А. О., Савченко О. Я. Электромагнитное поле диполя в анизотропной среде // Журнал технической физики. — 2005. — Vol. 75, по. 10. — Р. 118.

[94] Green function for hyperbolic media / A. Potemkin, A. Poddubny, P. Belov, Y. Kivshar // Phys. Rev A.- 2012,- Vol. 86.

[95] Мищенко К.П., Равделъ А. А. Краткий справочник физико-химических величин. — 7 edition. — Л: Химия, 1974.

[96] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивисткая теория. — 3 edition. — М.: Наука, 1989.

[97] Agrawal G. P. Nonlinear Fiber Optics. — 3 edition. — Academic Press, 2001.

[98] Nonlinear transient dynamics of photoexcited silicon nanoantenna for ultrafast all-optical signal processing / D. G. Baranov, S. V. Makarov, V. A. Milichko et al. // arXiv: 1603.04397. - 2016.

[99] Self-tuning mechanisms of nonlinear split-ring resonators / D. A. Powell, I. V. Shadrivov, Y. S. Kivshar, M. V. Gorkunov // Applied Physics Letters. - 2007. - Vol. 91. - P. 144107.

1001 Rose A., Huang D., Smith D. R. Demonstration of nonlinear magnetoelectric coupling in metamaterials // Applied Physics Letters. - 2012. - Vol. 101. - P. 051103.

1011 Poutrina E., Huang D., Smith D. R. Analysisof nonlinear electromagnetic metamaterials // New Journal of Physics. - 2010. - Vol. 12. - P. 093010.

1021 Lapine M., Shadrivov I. V., Kivshar Y. S. Colloquium: Nonlinear metamaterials 11 Reviews of Modern Physics. - 2014. - Vol. 86. - P. 1093.

103] Shadrivov I. V., Lapine M., Kivshar Y. S. Nonlinear, Tunable and Active Metamaterials.— Springer, 2015.

104] Zheludev N. I., Kivshar Y. S. From metamaterials to metadevices 11 Nature Materials. — 2012. — Vol. 11, no. 11,-Pp. 917-924.

1051 Functional and nonlinear optical metasurfaces / A. E. Minovich, A. E. Miroshnichenko, A. Y. Bykov et al. // Laser & Photonics Reviews. - 2015. - Vol. 9, no. 2. - Pp. 195-213.

1061 Soljacic M., Joannopoulos J. D. Enhancement of nonlinear effects using photonic crystals 11 Nature Materials. - 2004. - Vol. 3. - Pp. 211-219.

1071 Magnetoelastic metamaterials / M. Lapine, I. V. Shadrivov, D. A. Powell, Y. S. Kivshar // Nature Materials. - 2011. - Vol. 11. - P. 30.

1081 Flexible helices for nonlinear metamaterials / A. P. Slobozhanyuk, M. Lapine, D. A. Powell et al. // Advanced Materials. - 2013. - Vol. 25. - P. 3409.

1091 Sipe J. E., Boyd R. W. Nonlinear susceptibility of composite optical materials in the maxwell garnett model 11 Physical Review A. - 1992. - Vol. 46, no. 3. - P. 1614.

1101 Lapine M., Gorkunov M., Ringhofer K. H. Nonlinearity of metamaterial arising from diode insertions into resonant conductive elements 11 Physical Review E. — 2003. — Vol. 67. — P. 065601.

1111 Giordano S., Rocchia W. Shape-dependent effects of dielectrically nonlinear inclusions in heterogeneous media 11 Journal of Applied Physics. — 2005. — Vol. 98. — P. 104101.

1121 Nonlinear magnetoelectric metamaterials: analysis and homogenization via a microscopic coupled-mode theory / A. Rose, S. Larouche, E. Poutrina, D. R. Smith // Physical Review A. - 2012. - Vol. 86. - P. 033816.

1131 Silveirinha M. G. Effective medium response of metallic nanowire arrays with a kerr-type dielectric host 11 Physical Review B. - 2013. - Vol. 87. - P. 165127.

114] Simovski C. R. Material parameters of metamaterials (a review) 11 Optics and Spectroscopy. — 2009. - Vol. 107, no. 5. - P. 726.

115] Boyd R. W. Nonlinear Optics. — 2 edition. — San Diego, USA: Academic Press, 2003.

116] Skyworks II Skyworks 2012 SMV 123x series: hyper abrupt junction tuning var actors (Data sheet).- 2012.

[117] Schelkunoff S. A., Friis H. T. Antennas: Theory and Practice. — Wiley, New York, 1952.

[118] Sakoda К., Ohtaka К. Sum-frequency generation in a two-dimensional photonic lattice // Physical Review B. - 1996. - Vol. 54, no. 8. - P. 5742.

[119] Lorentz H. A. // Verh. K. Akad. Wet. Amsterdam, Afd. Natuurkd. — 1878. — Vol. 18.

[120] Alu A., Engheta N. Three-dimensional nanotransmission lines at optical frequencies: a recipe for broadband negative-refraction optical metamaterials // Physical Review B. — 2007. — Vol. 75. — P. 024304.

[121] Гинзбург В. JI. Об электромагнитных волнах в изотропных и кристаллических средах при учете пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1958. — Vol. 34, по. 6. — Pp. 1593-1604.

[122] Electrically resonant terahertz metamaterials: Theoretical and experimental investigations / W. J. Padilla, M. T. Aronsson, C. Highstrete et al. // Physical Review B. - 2007. - Vol. 75. -P. 041102.

[123] Thz near-field Faraday imaging in hybrid metamaterials / N. Kumar, A. C. Strikwerda, K. Fan et al. // Optics Express. - 2012. - Vol. 20, no. 10. - Pp. 11277-11287.

[124] Extinction cross section measurements / C. Larsson, C. Sohl, M. Gustafsson, G. Kristensson // Nordic Conference on Radio Science and Communications. — 2008. — Pp. 127-129.

[125] Aspnes D. E., Studna A. A. Anisotropies in the Above-Band-Gap Optical Spectra of Cubic Semiconductors // Physical Review Letters. — 1985. —Vol. 54, no. 17. —Pp. 1956-1959.

[126] Spatial-dispersion induced birefringence in cubic crystals CuBr and Cul / J. L. Deiss, A. Daunois, A. Chouiyakh, O. Gogolin // Solid State Communications.— 1985.— Vol. 53, no. l.-Pp. 79-81.

[127] Meseguer F., Cardona M. Birefringence induced by spatial dispersion in KI// Solid State Communications. - 1984. - Vol. 50, no. 4. - Pp. 371-373.

[128] Zaldo C., Lopez C., Meseguer F. Natural birefringence in alkali halide single crystals // Physical Review B. - 1986. - Vol. 33, no. 6. - Pp. 4283-4288.

[129] Burnett J. II., Levine Z. II, Shirley E. L. Intrinsic birefringence in calcium fluoride and barium fluoride // Physical Review B. - 2001. - Vol. 64. - P. 241102(R).