Электромагнитные топологические состояния в массивах анизотропных рассеивателей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бобылев Даниил Артурович
Бобылев Даниил Артурович
кандидат наук
2023
- Специальность ВАК РФ00.00.00
- Количество страниц 197
Оглавление диссертации кандидат наук Бобылев Даниил Артурович
Реферат
Synopsis
Introduction
Chapter 1. Bianisotropic and the second order nonlocal response
of cylindrical-based electromagnetic scatterers
1.1 Bianisotropic response of cylindrical-based scatterers with broken mirror symmetry
1.2 Nonlocal response of cylindrical scatterers
Chapter 2. Topological states in 1D arrays of bianisotropic
scatterers
2.1 Theoretical description of a one-dimensional topological array of bianisotropic scatterers
2.2 Designing a dynamically tunable one-dimensional topological array
of bianisotropic scatterers
2.3 Fabrication and experimental study details
Chapter 3. Topological states in a two-dimensional kagome array
of split-ring resonators
3.1 Theoretical description of an orientation-dependent coupling of two split-ring resonators
3.2 Designing a split-ring resonators-based kagome topological array
3.3 Fabrication and experimental study details
Chapter 4. Topological states in a square array of split-ring
resonators
4.1 Numerical simulation of periodic and finite arrays
4.2 Fabrication and experimental study details
Conclusion
References
Acknowledgements
Appendix A. Texts of author's key publications
Реферат
Настоящая работа относится к топологической фотонике [1; 2] -области физики, возникшей на рубеже 2010-х [3; 4] в результате обобщения концепций, первоначально введенных в физике твердого тела [5; 6]. Данные концепции заключаются в привязке краевых эффектов в конечных структурах к объемным свойствам соответствующих им кристаллов. Впервые подобное "объемно-краевое соответствие" [7] позволило связать квантовый эффект Холла [8; 9] с фазой Берри [10] - геометрической фазой, приобретаемой блоховской функцией электрона в периодическом потенциале при полном проходе первой зоны Бриллюэна. Оказалось, что строгое квантование холловской проводимости обусловлено инвариантностью фазы Берри относительно непрерывных деформаций зон, не вызывающих их перекрытия. Иными словами, фаза Берри является топологическим инвариантом, описывающим глобальные свойства соответствующей зоны, как эйлерова характеристика описывает число отверстий в геометрических телах. Структуры с нетривиальной зонной топологией получили название топологических изоляторов [11], т.к. возникающие локализованные на краю состояния появляются внутри запрещенной зоны, как связующее звено топологически нетривиальной системы с топологически тривиальным вакуумом. Дальнейшие исследования показали, что существует целые классы различных топологических изоляторов, характеризуемых другими инвариантами [12-14], однако всех их объединяет существование спектрально защищенных устойчивых к дефектам топологических краевых состояний. Важность перечисленных и смежных открытий была отмечена Нобелевской премией по физике 2016 года.
Однако понятие кристалла применимо к волнам любой природы при условии, что период структуры сопоставим с длинами этих волн. Так, существуют фотонные кристаллы - структуры с периодическим распределением оптических свойств (например, диэлектрической и магнитной проницаемостей) [15]. Как и в случае твердых тел, фотонные кристаллы обладают запрещенными зонами - диапазонами частот, на которых электромагнитные волны не могут распространяться внутри образца, благодаря чему часть света полностью отражается от поверхности.
В природе встречаются неорганические (опал), органические (крылья бабочек-парусников) и гибридные (перламутр) фотонные кристаллы. За счет перестройки постоянной решетки возможно управление зонной структурой кристалла. Однако наибольшей гибкостью обладают искусственно структурированные среды - метаматериалы и метакристаллы. Исторически первыми начали активно исследоваться электромагнитные метаматериалы, т.е. структуры, работающие в глубоко субволновом режиме, когда длина волны много больше характерных периодов структуры. С их помощью были продемонстрированы такие яркие эффекты, как отрицательное преломление [16; 17], микроволновая невидимость [18], преодоление дифракционного предела разрешения [19], однонаправленное рассеяние [20]. С появлением технических возможностей стало возможным создание фотонных кристаллов, например, брэгговских зеркал.
Беспрецедентная устойчивость топологических краевых состояний послужила толчком к их внедрению в фотонные кристаллические системы, открывая широкие возможности для устойчивого к беспорядку распространения и локализации электромагнитного излучения на устойчивой к дефектам частоте. Так появилась топологическая фотоника - раздел физики, изучающий топологически нетривиальные электромагнитные структуры.
Актуальность топологической фотоники обусловлена перспективами ее применения в интегральной [21; 22] и нелинейной оптике [23]. Учитывая общий тренд замещения электронных устройств фотонными за счет скорости, эффективности и безопасности последних, топологическая фотоника предлагает богатый функционал для проектирования топологически защищенных волноводов, переключателей, делителей, фильтров, а также нелинейных устройств, например топологических лазеров.
Проектирование первого электромагнитного топологического изолятора было основано на использовании электромагнитного аналога квантового эффекта Холла [3; 4]. В микроволновой структуре, состоящей из ферритовых стержней во внешнем магнитном поле, за счет магнито-оптического эффекта открывалась тологическая запрещенная зона, содержащая однонаправленное краевое состояние. Однако из-за сложности реализации подобных систем в оптике стали развиваться электромагнитные аналоги квантового спинового эффекта Холла [24] и долинного эффекта Холла [25], не требующие внешних магнитных полей. В них открытие топологической запрещенной зоны
обусловлено геометрическими деформациями элементарной ячейки. Этот же способ лег в основу симметрийно защищенных топологических изоляторов
- структур, в которых топологические свойства обусловлены определенной точечной симметрией кристаллической решетки [14].
Новый витком в топологической физике стало открытие топологических изоляторов высокого порядка [26] - структур, поддерживающих состояния с размерностью на несколько порядков меньше размерности структуры. Иными словами, двумерные структуры могут поддерживать не только одномерные краевые состояния, но и нульмерные угловые состояния, тогда как трехмерные
- состояния на поверхности, ребрах и углах структуры. В контексте фотоники это позволит управлять светом по сложным трехмерным траекториям без обратного рассеяния.
В качестве составных элементов вышеупомянутых структур зачастую используются цилиндрические рассеиватели. Это обусловлено как простотой их теоретического описания, так и удобством в изготовлении, особенно на микро- и наномасштабах. Однако как с теоретической точки зрения, так и с практической, существует ряд принципиальных ограничений. Например, как демонстрируется в настоящей диссертации, локальная дипольная модель, не учитывающая вклады пространственных производных в индуцируемые дипольные моменты, может недостаточно точно воспроизводить количественные закономерности взаимодействия между дипольными рассеивателями. С другой стороны, массивы из цилиндров обладают только одной степенью свободы, контролирующей топологические свойства - расстоянием между рассеивателями. Однако на практике его затруднительно изменять без изготовления новых образцов, т.к. цилиндры либо выращиваются на подложке, либо располагаются в заранее вырезанных пазах. Поэтому как более детальное исследование нелокальности дипольного отклика цилиндрических рассеивателей, так и привнесение новых степеней свободы в массивы, остаются актуальными задачами в оптике.
Актуальность настоящей диссертации состоит в разработке альтернативного подхода к созданию электромагнитных топологических изоляторов за счет введения дополнительной степени свободы - взаимной ориентации рассеивателей, которая появляется при должном понижении их симметрии. Как демонстрируется в работе, это позволяет гибко перестраивать топологические свойства систем в режиме реального времени.
Нарушение зеркальной симметрии рассеивателей приводит к бианизотропии - эффекту, при котором наводящийся электрический дипольный момент определяется не только внешним электрическим, но и магнитным полем, а магнитный дипольный момент - не только магнитным, но и электрическим полем. В работах [27; 28] впервые были использованы бианизотропные рассеиватели для открытия топологической запрещенной зоны, однако топологические свойства по-прежнему определялись геометрией решетки. Напротив, идея настоящей работы состоит в управлении топологическими свойствами посредством чередования бианизотропного отклика в пространстве.
Целью настоящей диссертации является разработка механизма управления топологическими свойствами фотонных кристаллов за счет понижения пространственной симметрии отдельных рассеивателей.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
1. Оценка вклада пространственных производных (нелокальности) внешних полей в возбуждаемые дипольные моменты резонансных цилиндрических рассеивателей, а также сравнение локальной и нелокальной дипольных моделей при описании возбуждения таких рассеивателей.
2. Исследование механизма формирования электромагнитных топологических состояний в одномерных массивах равноотстоящих нецентросимметричных рассеивателей и экспериментальная демонстрация перестройки топологических состояний за счет поворота рассеивателей.
3. Разработка электромагнитных топологических изоляторов высокого порядка на основе двумерных массивов равноотстоящих разомкнутых кольцевых резонаторов, составляющих решетку кагоме и квадратную решетку, а также экспериментальная демонстрация возникновения топологических угловых и краевых состояний.
При этом на защиту выносятся следующие положения:
1. Понижение сферической симметрии Ми-резонансных диэлектрических рассеивателей до О^к приводит к пространственной дисперсии (нелокальности) их дипольного отклика, проявляющейся в зависимости индуцированных дипольных моментов не только от поля в центре частицы, но и от пространственных производных. Учет поправок лишь первого неисчезающего порядка в индуцированных дипольных
моментах качественно улучшает описание отклика одиночных цилиндров на поле падающей волны.
2. Чередование ориентации равноотстоящих бианизотропных мета-атомов на основе цилиндрических рассеивателей с нарушенной зеркальной симметрией в одной из плоскостей в одномерных массивах приводит к возникновению электромагнитных топологических состояний. Существование этих состояний а также длина их локализации контролируются выборочным вращением рассеивателей.
3. В двумерных массивах разомкнутых кольцевых резонаторов, составляющих решетку кагоме, возникают топологические состояния высокого порядка, управляемые ориентацией резонаторов. Вращения разомкнутых кольцевых резонаторов, сохраняющие симметрию решетки (С3), приводят к топологическим переходам в системе.
4. В двумерной структуре, состоящей из внутренней области, содержащей квадратную решетку с базисом из четырех разомкнутых кольцевых резонаторов, ориентированных зазорами наружу, а также внешней области, содержащей квадратную решетку с базисом из четырех разомкнутых кольцевых резонаторов, ориентированных зазорами внутрь, возникают электромагнитные топологические интерфейсные и угловые состояния на границе раздела областей.
В работе используются следующие методы научного исследования:
1. Дипольная модель, учитывающая только дипольный отклик рассеивателей, пренебрегая вкладами высших мультипольных моментов.
2. Модель сильной связи, описывающая собственные дипольные моды массива как моды взаимодействующих между собой резонансных частиц. В ряде случаев учитывается взаимодействие нескольких ближайших соседей.
3. Метод диадных функций Грина, позволяющий вычислять электромагнитные поля, производимые точечными диполями, по величинам их дипольных моментов.
4. Метод симметрийных индексов вычисления топологических инвариантов структур.
5. Метод конечных элементов в оболочке коммерческого программного пакета Сошэо1 МиШрЬувюБ. Позволяет моделировать собственные моды и возбуждение исследуемых структур в частотной области.
6. Метод мультипольного разложения, определяющий вклады различных мультиполей в численно рассчитанное рассеянное поле при оптимизации материальных и геометрических параметров отдельных рассеивателей.
7. Метод ближнепольного сканирования полей, использующийся при проведении экспериментального исследования микроволновых электромагнитных топологических структур.
Научная новизна работы заключается в объяснении нелокальности дипольного отклика цилиндрических рассеивателей и разработки метода создания топологически нетривиальных электромагнитных структур за счет чередования ориентаций бианизотропных рассеивателей. Конкретно:
1. Разработана теоретическая модель, объясняющая зависимость дипольных моментов от вторых производных индуцирующего электромагнитного поля.
2. Разработана теоретическая модель, описывающая зависимость взаимодействия бианизотропных рассеивателей от их взаимной ориентации.
3. Продемонстрирована возможность реализации электромагнитных топологических состояний в одномерном массиве равноотстоящих бианизотропных частиц.
4. Численно и экспериментально продемонстрирована перестройка топологических состояний в одномерном массиве равноотстоящих диэлектрических рассеивателей с нарушенной зеркальной симметрией в одной из плоскостей.
5. Разработаны двумерные электромагнитные топологические изоляторы на основе равноотстоящих разомкнутых кольцевых резонаторов с симметриями решетки С3 и С4.
Фундаментальная значимость результатов работы заключается в объяснении и оценке нелокальности дипольного отклика резонансных цилиндрических рассеивателей, а также разработке механизма управления топологическими свойствами фотонных кристаллов за счет бианизотропии составляющих их метаатомов. Данные результаты демонстрируют
фундаментальные пределы применимости локальной дипольной модели, а также позволяют исследовать топологические переходы посредством изменения бианизотропии отдельных рассеивателей за счет их поворота.
Практическая значимость результатов работы обусловлена разработкой способа динамической перестройки электромагнитных топологических состояний за счет вращения рассеивателей с нарушенной зеркальной симметрией в одной из плоскостей. Это позволит создавать электромагнитные топологические изоляторы с возможностью перестройки топологических свойств в режиме реального времени.
Достоверность полученных результатов обеспечивается сравнением теоретических предсказаний, результатов численного моделирования, а также результатов экспериментального исследования.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Отражение и прохождение плоских электромагнитных волн в регулярных структурах бианизотропных рассеивающих центров2003 год, кандидат физико-математических наук Кондратьев, Михаил Сергеевич
Эффекты пространственной дисперсии в метаматериалах из резонансных рассеивателей2017 год, кандидат наук Горлач, Максим Александрович
Разработка и исследование активных и пассивных резонансных электромагнитных структур в микроволновом диапазоне2024 год, доктор наук Филонов Дмитрий Сергеевич
Распространение, локализация и излучение света в наноструктурах и метаматериалах2016 год, доктор наук Поддубный Александр Никитич
Электродинамическая теория объемных и двумерных пространственных структур из бианизотропных частиц2000 год, доктор физико-математических наук Симовский, Константин Руфович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электромагнитные топологические состояния в массивах анизотропных рассеивателей»
Апробация работы
Результаты данной научно-квалификационной работы докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях:
1. International Congress on Artificial Media for Novel Wave Phenomena "Metamaterials 2021"
2. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics "Metanano 2021"
3. Всероссийская Школа-семинар "Волновые явления: физика и применения" имени профессора А.П. Сухорукова ("Волны-2021")
4. Saint Petersburg Open 2020
5. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics "Metanano 2020"
6. Всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (2019)
7. Всероссийская Школа-семинар "Волновые явления: физика и применения" имени профессора А.П. Сухорукова ("Волны-2019")
Также материалы работы обсуждались на семинарах Университета ИТМО и ФТИ Иоффе.
Личный вклад автора
Теоретические модели разработаны либо автором лично, либо при определяющем его участии. Теоретические расчеты, численное моделирование и численная оптимизация прототипов проделаны автором лично. Изготовление структур из разомкнутых кольцевых резонаторов, а также проведение
соответствующих экспериментальных измерений выполнено группой экспериментаторов физического факультета Университета ИТМО в составе Д.В. Жирихина и Д.И. Тихоненко. Изготовление структур из диэлектрических рассеивателей, а также проведение соответствующих экспериментальных измерений выполнено группой экспериментаторов Цзилиньского Университета в составе В.Р. Туза и З. Хе. Ключевая роль автора настоящей работы подтверждается первым авторством в 7 публикациях из 10.
Публикации автора по теме диссертации
Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 публикациях, индексируемых в WoS и Scopus:
1. Bobylev D. A., Smirnova D. A., Gorlach M. A. Nonlocal response of Mie-resonant dielectric particles // Physical Review B. — 2020. — Vol. 102, issue 11. — P. 115110.
2. Bobylev D. A., Smirnova D. A., Gorlach M. A. Photonic Topological States Mediated by Staggered Bianisotropy // Laser & Photonics Reviews. — 2021. — Vol. 15, no. 2. — P. 1900392.
3. Topological Edge and Corner States Designed via Meta-Atoms Orientation / D. A. Bobylev [et al.] // Laser & Photonics Reviews. — 2023. — Vol. 17, no. 1. — P. 2100567.
4. Reconfigurable Topological States in Arrays of Bianisotropic Particles / Z. He [et al.] // ACS Photonics. — 2022. — Vol. 9, no. 7. — P. 2322-2326.
5. Observation of topological corner states in a ^-symmetric square lattice of split-ring resonators / D. A. Bobylev [et al.] // Applied Physics Letters. — 2023. — Vol. 122, no. 16. — P. 163103.
6. Higher-Order Photonic Topological States in Split-Ring Resonators-Based Kagome Lattice / D. Zhirihin [et al.] // Conference on Lasers and Electro-Optics (CLEO). — 2022. — FW5D.7.
7. 2021 Fifteenth International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena (Metamaterials) / D. Bobylev [et al.]. — 2021.
8. Bobylev D., Smirnova D., Gorlach M. Nonlocal dipole response of resonant particles // AIP Conference Proceedings. — 2020. — Vol. 2300, no. 1. — P. 020010.
9. Electromagnetic realization of topological states in one-dimensional arrays of bianisotropic particles / D. A. Bobylev [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. — 2020. — Vol. 1482, no. 1. — P. 012040.
10. Engineering coupling in electromagnetic topological models via staggered bianisotropy / M. A. Gorlach [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. — 2020. — Vol. 1461, no. 1. — P. 012053.
Основное содержание работы
Во введении обозначено место, занимаемое топологической фотоникой в современной физической картине мира, подчеркнута значимость направления в оптике; выполнен обзор терминологии, аппарата и методов топологической фотоники в контексте истории ее возникновения и развития. Приводится анализ современного состояния области исследования, основных направлений, проблем и попыток их решения. Поясняется логика изложения результатов работы. После обосновывается актуальность настоящей работы, обсуждаются потенциальные пути обобщения и развития разработанных концепций, а также применения полученных результатов на практике.
Первая глава посвящена исследованию резонансного дипольного отклика одиночных рассеивателей с различной пространственной симметрией. Обсуждаются теоретические методы описания резонансного рассеяния в электродинамике, рассматривается специфика электромагнитного отклика как центросимметричных, так и нецентросимметричных мета-атомов. В результате разрабатывается теоретическое описание нелокальности дипольного отклика рассеивателей с симметрией а также рассчитываются собственные
гибридные дипольные моды бианизотропного рассеивателя на его основе, составляющие основу разрабатываемых далее топологических структур.
Глава начинается с введения в дипольную модель - приближение, при котором рассеиватель произвольной формы рассматривается как точечный электрический или магнитный диполь, дипольные моменты р, ш которого связаны с полем падающей электромагнитной волны Е, Н посредством соответствующих тензоров поляризуемости:
р = о(е)Е,
т = Ош)Н. (1)
Структура тензоров электрической 0(е) и магнитной 0(т) поляризуемостей определяется пространственной и временной симметриями рассеивателя. При характерных линейных размерах рассеивателя, сопоставимых с длиной волны поля падающей электромагнитной волны, имеет место резонансная зависимость компонент тензоров поляризуемости от частоты.
В случае нарушения симметрии рассеивателя к пространственной инверсии (в частности, зеркальной симметрии) электрический и магнитный дипольные моменты определяются уже не только электрическим и магнитным полями, но и их первыми пространственными производными. В силу уравнений Максвелла первые пространственные производные электрического и магнитного полей сводятся к производным по времени магнитного и электрического поля, соответственно. Таким образом, электрический (магнитный) дипольный момент определяется не только электрическим (магнитным), но и магнитным (электрическим) полем:
р _ ос(ее)Е + а(ет)# ,
(2)
т _ а (те)я + а(тт)#.
Соответствующий эффект известен как бианизотропия или магнито-электрический отклик. Однако в самом общем случае следует также учитывать вклады высших пространственных производных полей в индуцируемые дипольные моменты:
( , а(е) дЕ3 , (е) д2Е] , А
* _ £Ч ^ ] + ^ + ^ « + • ■■ ■ ') , (3)
т- _ а(Щ)Я- + ВИ^ + у(т) д2Нз + Шг _ а П> + дхк + У*к1 дхкдХ1 + ""
В то время как для перестройки топологических свойств массивов резонансных дипольных рассеивателей необходимо нарушить их симметрию вплоть до бианизотропного отклика (2), в данной главе также исследуется нелокальный дипольный отклик второго порядка (3), наблюдающийся у цилиндрических рассеивателей.
В первом разделе производится расчет собственных дипольных мод бианизотропного рассеивателя на основе цилиндра с нарушенной зеркальной симметрией в плоскости ух. В качестве отправной точки рассматривается цилиндрический рассеиватель с симметрией И^к (Рисунок 1(а)), собственные
дипольные моды которого находятся из системы уравнений
-1
О \ ( р О а(тт) / \ га
/о(ее) о \ 7 р \ у О <х(тт)у
-О, (4)
где в силу пространственной симметрии
о (ее,тт) _
а -
/а^е'т) 0 0 ' О а^т) О О О а^У
В предположении полюсной зависимости компонент тензоров поляризуемости
( (е,т) пе,ш // е,ш\\
от частоты (&У|| = у /(ш — ш^ц)) находятся шесть решений: дважды вырожденные моды с собственными частотами ш = ш^ и ш = шШ соответствуют электрическим и магнитным поперечным дипольным модам, а две моды с собственными частотами ш = ш| и ш = шш соответствуют электрической и магнитной аксиальным дипольным модам. Для верификации полученного результата производится численный расчет собственных мод рассеивателя, показанного на Рисунке 1(а), имеющего следующие материальные и геометрические параметры: диэлектрическая проницаемость £ = 24.8, тангенс угла потерь tg Ь = 10—3, радиус г = 4.5 шш и высота 3 шш. Анализ мультипольного состава подтверждает дипольную природу каждой из найденный мод (Рисунок 1(Ь)), что находится в качественном соответствии с теоретической моделью (4).
Рисунок 1 — Собственные дипольные моды цилиндрического рассеивателя
Однако массивы цилиндрических рассеивателей имеют только одну степень свободы - расстояние между соседними рассеивателями. Главная идея работы состоит в управлении топологическими свойствами массивов за счет изменения взаимной ориентации составляющих их рассеивателей. Для этого необходимо нарушить их зеркальную симметрию в одной из плоскостей, что в свою очередь приводит к магнито-электрическому эффекту - бианизотропии, описываемой уравнениями (2).
В качестве бианизотропного рассеивателя рассматривается цилиндр с нарушенной зеркальной симметрии в плоскости ух (Рисунок 2(а)), собственные дипольные моды которого находятся из следующей системы уравнений
Деш)\ 1 / р
,(шш) ' 1 - - - ' 0 ' (6)
/£(ее) £(еш)\ /р\ у £(ше) £(шш)у
где в силу пространственной и временной симметрии
а
(ее,шш) _
Ме,ш) 0
V 0
ос
0
(е, ш)
0 0
0
(е,ш)
а
(еш) _ ( а (ше))+
/
0 0 0 0 0 г Рх
Vo — в2 0 у
В предположении полюсной зависимости компонент тензоров поляризуемости
(
(е, ш)
■х,у,х
_ ^ж'^г/(ш — шж'Ш,.г)) находятся шесть решений с частотами ш®,
,е,ш
-'У,
ш
ш± _
К + шш)
±
сшЭД +
(2)
и ш _
(шш + ш^) 2
±
'С* С^2 + ^^
Здесь ^х,2 - величины, связанные с |3Х,2 и возникающие при обращении общей матрицы, составленной из тензоров поляризуемостей и псевдотензоров бианизотропии, в предположении слабой бианизотропии (вХ,2 << 1) и околорезонансных частот. Моды с частотами ш® и шш содержат только ж-компоненту электрического и магнитного дипольного момента, соответственно, тогда как моды с частотами ш(Х) (ш(2)) являются гибридными имея у (г)-компоненту электрического дипольного момента и ^ (у)-компоненту магнитного дипольного момента одновременно.
Рисунок 2 — Собственные дипольные моды бианизотропного рассеивателя на основе цилиндра с вырезом, нарушающим зеркальную симметрию в плоскости
ух
Для верификации полученного результата производится численное моделирование собственных мод рассеивателя на основе цилиндра с вырезом (Рисунок 2(а)), изготовленного из керамики высокой диэлектрической проницаемости (е _ 24.8, tg 6 _ 10—3) радиуса г _ 4.5 мм, высоты 3 мм и радиусом выреза гси1 _ 1.25 мм. Результаты извлечения мультипольных моментов для каждой из найденных мод приведены на Рисунке 2(Ь) под осью частот (МЭ^ЕЭу, и т.д.). Так, низкочастотная мода имеет |ру|/|тг| ~ 0.86, что свидетельствует о существенной гибридизации электрического и магнитного дипольных резонансов.
2
Помимо бианизотропии, представляющей собой нелокальный эффект первого порядка, существуют также нелокальные эффекты более высокого порядка. Поэтому во втором разделе изучается нелокальный дипольный отклик второго порядка резонансного дипольного рассеивателя с симметрией D^h. Анализ структуры тензоров поляризуемости и нелокальности в купе с (3) приводит к выражениям, связывающим индуцируемые дипольные моменты с полем падающей монохроматической плоской электромагнитной волны
Pi = £о { aij Ej + у ijiт Ejkiкт} ,
тг = a(m) Н3 + Y(mmHj h km ,
где
OLi j = + a2niUj , Yijlm = YlbijUl nm + У2(Пг Щ bjm + Щ ПтЬц + Uj Щ bm + UiUmbj/) +
+Y3ЩП3Щnm + YAbijblm + Y5(bilbjm + bmbjl) + YO^i^'blm •
Здесь b ^ - символ Кронекера, ni - компоненты единичного вектора, сонаправленного с осью цилиндра (в данном случае п = z).
Затем рассматриваются две независимые конфигурации возбуждения рассеивателя плоской электромагнитной волной (Рисунок 3). В случае TE конфигурации дипольные моменты даются выражениями
РУ = (+ Yi&o cos2 6) £о Ео ,
тх = - { ( a1"; - 2y^>ко
(m)
+ y1 +
(m) 1
(m)
(m) 2
cos 6
2Y2m)) к02 cos3 б} Но ,
(8)
=
{[«im) + (Ylm) + 2Y2m) + Y3^ %
- (Ylm) + 2Y^2m) + Y3m)) *0 sin3 6} H0 ,
sin 6
а в случае TM -
my =
4m) + Ylm) k$ cos2 6 ) Н{
о
+ Y i
Рх = {(ai - 2y2&o) cos 6 + (Yi + 2Y2) k20 cos3 6} £о Ео , pz = {- [ay + (Yi + 2Y2 + Y3) sin 6 + (Yi + 2Y2 + Y3) $ sin3 6} £о Ео .
где ai = ai + Y4&o и ay = ai + a2 + Y6 k
о
2
(а) ТЕ
(б) ТМ
Рисунок 3 — Конфигурации возбуждения цилиндрического рассеивателя плоской волной для исследования нелокальности его дипольного отклика
Для оценки нелокальности производится численное моделирование рассеянния плоской электромагнитной волны фиксированной частоты вблизи дипольного резонанса (/ = 2.44 ГГц) на диэлектрическом цилиндре. В качестве последнего рассматривается керамический диск радиуса г0 = 14.55 мм, высоты = 11.61 мм и диэлектрической проницаемости £ = 39 + 0.078 (^ = 1). Затем производится извлечение дипольных моментов (Рисунок 4), зависимость которых от угла падения аппроксимируется выражениями (8),(9). Это дает численные значения локальных и нелокальных поляризуемостей.
Для демонстрации вклада извлеченных нелокальных поправок исследуется возбуждение цилиндрического рассеивателя точечным осциллирующим дипольным источником (Рисунок 5^)). В отличие от возбуждения плоской монохроматической электромагнитной волной, содержащей только одну распространяющуюся Фурье-компоненту, поле точечного осциллирующего электрического диполя
содержит эванесцентные волны в ближнепольном спектре. Они имеют сильный пространственный градиент, который может вносить существенный вклад в возбуждаемые дипольные моменты в рамках нелокальной дипольной модели:
Е
1£- {^2(п х р) х п^ + [3(п ■ Р)п - р] (1 - е^} ,
Рисунок 4 — Дипольные моменты рассматриваемого рассеивателя, индуцируемые полем падающей монохроматической плоской электромагнитной
волны для различных углов ее падения
Локальная модель получается из этого выражения исключением слагаемых с множителями у^. Затем производится численное моделирование возбуждения исследуемого цилиндра точечным электрическим диполем на частоте f = 2.44 ГГц для различных расстояний между источником и рассеивателем L. Сравнение результатов моделирования с локальной и нелокальной дипольными моделями, в которых используются извлеченные ранее поляризуемости, приведены на Рисунке 5(b). Из полученных зависимостей видно, что нелокальная модель не только количественно, но и качественно улучшает воспроизводимость полученных результатов.
10 L (cm)
Рисунок 5 — Возбуждение цилиндрического рассеивателя точечным осциллирующим электрическим диполем. (a) Конфигурация возбуждения. (b) Сравнение зависимостей индуцированного в рассеивателе электрического дипольного момента, полученного численно, с локальной и нелокальной
дипольными моделями
В конце главы формулируется первое положение и приводятся ее основные результаты - разработана теоретическая модель, описывающая нелокальность дипольного отклика рассеивателей с симметрией а также
проанализирована структура собственных дипольных мод соответствующего бианизотропного рассеивателя.
Во второй главе исследуются топологические свойства одномерных массивов равноотстоящих бианизотропных частиц. В качестве последних рассматриваются цилиндрические резонансные дипольные рассеиватели с нарушенной зеркальной симметрией в одной из плоскостей. Они располагаются таким образом, чтобы ближайшие соседи любого случайно выбранного рассеивателя имели различную ориентацию (Рисунок 6). Разрабатывается теоретическая модель в рамках приближения сильной связи, предсказывающая возникновение топологических состояний. Извлекается топологический инвариант, численно демонстрируется возникновение краевых и топологических мод. Затем оптимизируется аналогичная система с практически более удобным нарушением зеркальной симметрии рассеивателей. Численно и экспериментально демонстрируется возбуждение топологических интерфейсных состояний и их перестройка при вращении определенных рассеивателей в режиме реального времени.
Глава начинается с краткого обзора модели Су-Шриффера-Хигера -простейшей одномерной топологически нетривиальной системы, являющейся основой качественного описания разрабатываемой структуры. Данная модель описывает одномерный массив одинаковых резонансных элементов с собственной частотой ш0, каждые соседние элементы которого связаны чередующимися эффективными константами взаимодействия и 32. В рамках приближения взаимодействия только ближайших соседей находятся собственные моды периодической структуры.
Рисунок 6 — Схема расположения бианизотропных рассеивателей в
исследуемом одномерном массиве
Далее вводится топологический инвариант - фаза Зака, которую можно рассчитать как
у = 0(г) - е(х), (10)
где 0 - фаза, описывающая поведение блоховской функции в точках высокой симметрии первой зоны Бриллюэна при пространственной инверсии или отражении: Р ) = 0 ). В случае модели Су-Шриффера-Хиггера двухчастичная элементарная ячейка может быть выбрана двумя способами -с сильной или слабой связью внутри. Если связь внутри элементарной ячейки сильная, то четность блоховских функций для каждой из зон в центре и на краю первой зоны Бриллюэна оказывается одинаковой, т.е. у = 0. Если же связь внутри элементарной ячейки слабая, то четность блоховских функций для каждой из зон в центре и на краю зоны Бриллюэна будет различной, что дает у = п. Данный результат проявляется при рассмотрении полубесконечной или конечной структур: на краю со слабой связью возникает локализованное состояние с частотой внутри запрещенной зоны.
Далее обсуждаются различные реализации модели Су-Шриффера-Хиггера в электромагнетизме. Основным способом чередования эффективных констант взаимодействия таких систем является изменение геометрии решетки, однако на практике это затрудняет динамическую перестройку топологических свойств. Поэтому введение новой степени свободы - взаимной ориентации бианизотропных рассеивателей - является решением актуальной проблемы.
В первом разделе разрабатывается теоретическая модель, описывающая собственные дипольные моды одномерного массива резонансных бианизотропных частиц. Частицы располагаются таким образом, чтобы бианизотропия двух соседних частиц была различна для каждой случайно выбранной частицы (Рисунок 6). Это достигается чередованием ориентаций частиц на основе цилиндров с нарушенной зеркальной симметрией в плоскости ху в элементарной ячейке по схеме "вверх-вверх-вниз-вниз". Дипольный отклик п-го рассеивателя дается выражениями:
рп = аееЕп + <х7Я"п ,
тп = ате^п + <хтшЯп , ( )
где тензоры поляризуемости и псевдоензоры бианизотропии имеют следующий явный вид:
0 0 \
/ ос
а
ее,шш
ее,шш
ОС
ее,шш
0
ее,шш I
V )
аГ = ( аше)* =
0
00
I 0 ±гв 0\ Т в 0 0.
V 0 0 0/
Знак параметра бианизотропии в определяется ориентацией рассеивателя ("вверх"/"вниз"). В рамках учета взаимодействия только ближайших соседей поля Еп, Нп создаются соседними диполями:
Еп = ^
1=п±1
нп = ^
ше
(п - гп) Р1 + 6(еш) (п - гп) т^ , (Г1 - гп) Р1 + 6(шш) (Г1 - гп) т^ .
(12)
- Гп) Р1 + 6^>(Г1 - ГП)
1=п±1
причем в качестве диадных функций Грина берутся квазистатические выражения:
/2/8 3 0 0
6 (ее,шш)(Г/ - Гп) = 0 -1/ 3 0
0 0 -1/ 3
, 6(еш,ше)(Г1 - гп) = 0 ,
где в = |г/ - гп|.
В предположении полюсной зависимости компонент поляризуемостей от частоты (( а(ее))-1 = ( а(шш))-1 = 1/(£ - £0)), решается задача на собственные поперечные дипольные моды периодической структуры:
( а(+))-1 6а 0 е~гка6
6а ( а(+))-1 6а 0
0 6а ( а(-))-1 6
е гка6 0 6а ( а(-))-1
=0
(13)
где
( а(±))-1 =
( а(ее))-1 (а(еш))-1 (а(ше))-1 (а(шш))-1
)
V
£ - £о 0 0 0 £ - £0
0 £ - £0
0 0
ТIV ^ 0 6а
£ - £о!
С =
(
с ( с (
те)
С(ет) \
^ (тт) I
\
2/й3 0 0 0
0 -1/53 0 0
0 0 2/з3 0
0 0 0 -1/з
/
В результате получается дисперсия е(&), изображенная на Рисунке 7. За счет выбора элементарной ячейки можно избавиться от вырождения на краях зоны Бриллюэна четырехчастичной элементарной ячейки, после чего получается извлечь топологический инвариант - фазу Зака. В случае, когда двухчастичная элементарная ячейка содержит одинаково ориентированные частицы, фаза Зака оказывается ненулевой: у = п. В случае же элементарной ячейки с противоположно ориентированными частицами у = 0.
(а)
1_Г
п_п
-(р2е
(*> -1 -<рге
П
Фг
Ф1
■<р{е
-<р
1+)„1к
20
15 10
с 5
1 0
-5
-10
-15
-20
(Ь)
.1
■1
о
2к
\и
1
1 1 1 1 —________
1 1 1 1 |___ _ 1 1 1 1
- 1 1 1 1 1 1 1 1 — 1 1 1 1 1 1 1 1
- 1 1 1 1 1 1 1 ____^ — 1 1 1 1 1 1 1 1 „'ТЧг -
1 1 1 1 -------1 1 1 1 1
I 1 -- ------- 1 ! 1
Рисунок 7 — Зонная структура рассматриваемого массива бианизотропных
рассеивателей
Далее рассчитываются собственные моды конечного массива, состоящего из N = 11 частиц. В таком случае края получаются различными, что позволяет сопоставить извлеченный топологический инвариант с краем, на котором возникает топологическое состояние. На Рисунке 8^) приведены результаты
расчетов, которые демонстрируют возникновение состояний, локализованных на крае с одинаково ориентированными частицами, что находится в полном соответствии с результатами извлечения топологических инвариантов.
Рисунок 8 — Спектры поперечных дипольных мод конечной структуры. Слева представлен результат теоретического расчета, а справа - численного моделирования. Распределение ближнего поля (нижняя панель) соответствует моде с частотой, выделенной красным на спектре
Для верификации теоретических предсказаний производится численное моделирование собственных мод конечного массива, состоящего из N = 11 цилиндров с нарушенной зеркальной симметрией в плоскости ху, имеющих диэлектрическую проницаемость £ = 39, радиус г0 = 14.55 мм, выстоту к0 = 11.61 мм, радиус выреза гси = 0.5г0 и глубину выреза =
0.25^0. В результате получается спектр, изображенный на Рисунке 8(Ь), в запрещенной зоне которого есть состояние, локализованное на крае с одинаково ориентированными бианизотропными цилиндрами (Рисунок 8(с)).
Во втором разделе рассматривается аналогичная по свойствам структура, состоящая из бианизотропных цилиндров из первой главы. Выбранная форма удобнее с практической точки зрения - помещенные в пазы диски удобно вращать для перестройки топологических свойств в режиме реального времени (Рисунок 9).
Для определения рабочего частотного диапазона вначале моделируются собственная гибридная дипольная мода одиночного рассеивателя (Рисунок 10(а))
Рисунок 9 — Фото изготовленного экспериментального образца
и расщепление собственной моды при взаимодействии двух рассеивателей в зависимости от их взаимной ориентации (Рисунок 10(Ь, е)). Первая величина играет роль центральной частоты, на которой возникает топологическое состояние; вторая величина характеризует ширины запрещенной и разрешенных зон. Далее моделируются собственные моды периодической структуры (Рисунок 10^)), в результате чего получается зонная структура Рисунок 10(е).
-1 —0.5 0 0.5 '2 Arrio/тг
Рисунок 10 — Результаты численного моделирования собственных мод одиночного бианизотропного рассеивателя (a), пары взаимодействующих бианизотропных рассеивателей (b,c) и периодической структуры (e),
определяемой элементарной ячейкой (d)
После изготавливается экспериментальный образец, представляющий собой бианизотропные керамические диски, вставленные в пазы из пенопласта (е = 1.01). Затем производится возбуждение конечного массива плоской электромагнитной волной для различных углов поворота некоторых дисков (Рисунок 11), что сравнивается с соответствующим численным моделированием. Посредством поворота определенных дисков удается перестраивать длину локализации топологического интерфейсного состояния в режиме реального времени.
а = 180° а=150° а = о" Щ
9.0 9.2 9,4 9,6 9,8 10.0 9,0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 9.0 9.2 9.4 9.6 9,8 !0,0 Частота (ГГц) Частота (ГГц) Частота (ГТц)
Рисунок 11 — Численные и экспериментальные результаты возбуждения изготовленной структуры для трех случаев поворота бианизотропных
рассеивателей [29]
В конце главы формулируется второе положение и подводятся ее итоги -разработан новый способ создания динамически перестраиваемых одномерных электромагнитных топологических изоляторов на основе бианизотропных рассеивателей.
Третья глава посвящена разработке двумерного электромагнитного топологического изолятора на основе разомкнутых кольцевых резонаторов, составляющих решетку кагоме (Рисунок 12^)). В рассматриваемой структуре разомкнутые кольцевые резонаторы ориентируются таким образом, чтобы элементарная ячейка обладала симметрией С3, порождая защищенные соответстующей симметрией краевые и угловые топологические
состояния. Разрабатывается теоретическая модель, описывающая
ориентационно-зависимое взаимодействие разомкнутых кольцевых резонаторов, производится численное моделирование собственных мод периодических массивов, а также численное моделирование возбуждения топологических краевого и углового состояний точечным дипольным источником с измерением эффективности их возбуждения (локальной плотности состояний). Затем проводится экспериментальное исследование изготовленного прототипа.
Глава начинается с краткого обзора топологических свойств массивов на основе решетки кагоме. Решетка кагоме представляет собой кристаллическую структуру, состоящую из трехатомного базиса в узлах треугольной решетки Браве. Свое название она получила из-за схожести с традиционным японским узором лозоплетения. Топологический инвариант х(3), характеризующий рассматриваемую запрещенную зону, дается выражением
Х(3) = (#^3) - #Г3), - #Г3)) (14)
где символами #Побозначено число зон ниже рассматриваемой запрещенной зоны, собственный вектор которых в точке высокой симметрии П первой зоны Бриллюэна при повороте на 2п/п домножается на фазовый множитель ехр(2т(р — 1 )/п). Если взаимодействие между соседними мета-атомами внутри элементарной ячейки характеризуется константой взаимодействия 3\, а взаимодействие с соседними мета-атомами из других элементарных ячеек характеризуется константой взаимодействия 32, то по аналогии с моделью Су-Шриффера-Хигера топологический инвариант оказывается ненулевым в случае 3\ < 32 и нулевым в случае 3\ > 32. Тогда на границе раздела топологически нетривиальной и тривиальной областей возникают краевые и угловые состояния с частотой внутри запрещенной зоны.
Далее упоминаются существующие электромагнитные реализации топологических структур на основе решетки кагоме. Их отличительной чертой является дальнодействующий характер взаимодействия между составляющими структуру мета-атомами, за счет чего приближение взаимодействия только ближайших соседей при их описании теряет свою силу. Так, при учете взаимодействия только следующих за ближайшими соседей помимо обычных угловых состояний появляются угловые состояния второго типа, локализованные на следующих за угловыми мета-атомами, что было продемонстрировано в микроволновом диапазоне длин волн.
Похожие диссертационные работы по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Устойчивость резонансных состояний в диэлектрических структурах при изменении параметров2023 год, кандидат наук Маслова Екатерина Эдуардовна
Исследование фотонных топологических изоляторов на основе диэлектрических структур в микроволновом частотном диапазоне2020 год, кандидат наук Жирихин Дмитрий Васильевич
Локализованные оптические состояния непрерывного спектра в одномерных и двумерных фотонных диэлектрических структурах2019 год, кандидат наук Садриева Зарина Фаильевна
Магнитооптические эффекты в магнитных и плазмонных наноструктурах2016 год, доктор наук Барышев Александр Валерьевич
Электромагнитный отклик метаплёнок2014 год, кандидат наук Терехов, Юрий Евгеньевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бобылев Даниил Артурович, 2023 год
£ - £о!
С =
(
с ( с (
те)
С(ет) \
^ (тт) I
\
2/й3 0 0 0
0 -1/53 0 0
0 0 2/з3 0
0 0 0 -1/з
/
В результате получается дисперсия е(&), изображенная на Рисунке 7. За счет выбора элементарной ячейки можно избавиться от вырождения на краях зоны Бриллюэна четырехчастичной элементарной ячейки, после чего получается извлечь топологический инвариант - фазу Зака. В случае, когда двухчастичная элементарная ячейка содержит одинаково ориентированные частицы, фаза Зака оказывается ненулевой: у = п. В случае же элементарной ячейки с противоположно ориентированными частицами у = 0.
(а)
1_Г
п_п
-(р2е
(*> -1 -<рге
П
Фг
Ф1
■<р{е
-<р
1+)„1к
20
15 10
с 5
1 0
-5
-10
-15
-20
(Ь)
.1
■1
о
2к
\и
1
1 1 1 1 —________
1 1 1 1 |___ _ 1 1 1 1
- 1 1 1 1 1 1 1 1 — 1 1 1 1 1 1 1 1
- 1 1 1 1 1 1 1 ____^ — 1 1 1 1 1 1 1 1 „'ТЧг -
1 1 1 1 -------1 1 1 1 1
I 1 -- ------- 1 ! 1
Рисунок 7 — Зонная структура рассматриваемого массива бианизотропных
рассеивателей
Далее рассчитываются собственные моды конечного массива, состоящего из N = 11 частиц. В таком случае края получаются различными, что позволяет сопоставить извлеченный топологический инвариант с краем, на котором возникает топологическое состояние. На Рисунке 8^) приведены результаты
расчетов, которые демонстрируют возникновение состояний, локализованных на крае с одинаково ориентированными частицами, что находится в полном соответствии с результатами извлечения топологических инвариантов.
Рисунок 8 — Спектры поперечных дипольных мод конечной структуры. Слева представлен результат теоретического расчета, а справа - численного моделирования. Распределение ближнего поля (нижняя панель) соответствует моде с частотой, выделенной красным на спектре
Для верификации теоретических предсказаний производится численное моделирование собственных мод конечного массива, состоящего из N = 11 цилиндров с нарушенной зеркальной симметрией в плоскости ху, имеющих диэлектрическую проницаемость £ = 39, радиус г0 = 14.55 мм, выстоту к0 = 11.61 мм, радиус выреза гси = 0.5г0 и глубину выреза =
0.25^0. В результате получается спектр, изображенный на Рисунке 8(Ь), в запрещенной зоне которого есть состояние, локализованное на крае с одинаково ориентированными бианизотропными цилиндрами (Рисунок 8(с)).
Во втором разделе рассматривается аналогичная по свойствам структура, состоящая из бианизотропных цилиндров из первой главы. Выбранная форма удобнее с практической точки зрения - помещенные в пазы диски удобно вращать для перестройки топологических свойств в режиме реального времени (Рисунок 9).
Для определения рабочего частотного диапазона вначале моделируются собственная гибридная дипольная мода одиночного рассеивателя (Рисунок 10(а))
Рисунок 9 — Фото изготовленного экспериментального образца
и расщепление собственной моды при взаимодействии двух рассеивателей в зависимости от их взаимной ориентации (Рисунок 10(Ь, е)). Первая величина играет роль центральной частоты, на которой возникает топологическое состояние; вторая величина характеризует ширины запрещенной и разрешенных зон. Далее моделируются собственные моды периодической структуры (Рисунок 10^)), в результате чего получается зонная структура Рисунок 10(е).
-1 —0.5 0 0.5 '2 Arrio/тг
Рисунок 10 — Результаты численного моделирования собственных мод одиночного бианизотропного рассеивателя (a), пары взаимодействующих бианизотропных рассеивателей (b,c) и периодической структуры (e),
определяемой элементарной ячейкой (d)
После изготавливается экспериментальный образец, представляющий собой бианизотропные керамические диски, вставленные в пазы из пенопласта (е = 1.01). Затем производится возбуждение конечного массива плоской электромагнитной волной для различных углов поворота некоторых дисков (Рисунок 11), что сравнивается с соответствующим численным моделированием. Посредством поворота определенных дисков удается перестраивать длину локализации топологического интерфейсного состояния в режиме реального времени.
а = 180° а=150° а = о" Щ
9.0 9.2 9,4 9,6 9,8 10.0 9,0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 9.0 9.2 9.4 9.6 9,8 !0,0 Частота (ГГц) Частота (ГГц) Частота (ГТц)
Рисунок 11 — Численные и экспериментальные результаты возбуждения изготовленной структуры для трех случаев поворота бианизотропных
рассеивателей [29]
В конце главы формулируется второе положение и подводятся ее итоги -разработан новый способ создания динамически перестраиваемых одномерных электромагнитных топологических изоляторов на основе бианизотропных рассеивателей.
Третья глава посвящена разработке двумерного электромагнитного топологического изолятора на основе разомкнутых кольцевых резонаторов, составляющих решетку кагоме (Рисунок 12^)). В рассматриваемой структуре разомкнутые кольцевые резонаторы ориентируются таким образом, чтобы элементарная ячейка обладала симметрией С3, порождая защищенные соответстующей симметрией краевые и угловые топологические
состояния. Разрабатывается теоретическая модель, описывающая
ориентационно-зависимое взаимодействие разомкнутых кольцевых резонаторов, производится численное моделирование собственных мод периодических массивов, а также численное моделирование возбуждения топологических краевого и углового состояний точечным дипольным источником с измерением эффективности их возбуждения (локальной плотности состояний). Затем проводится экспериментальное исследование изготовленного прототипа.
Глава начинается с краткого обзора топологических свойств массивов на основе решетки кагоме. Решетка кагоме представляет собой кристаллическую структуру, состоящую из трехатомного базиса в узлах треугольной решетки Браве. Свое название она получила из-за схожести с традиционным японским узором лозоплетения. Топологический инвариант х(3), характеризующий рассматриваемую запрещенную зону, дается выражением
Х(3) = (#^3) - #Г3), - #Г3)) (14)
где символами #Побозначено число зон ниже рассматриваемой запрещенной зоны, собственный вектор которых в точке высокой симметрии П первой зоны Бриллюэна при повороте на 2п/п домножается на фазовый множитель ехр(2т(р — 1 )/п). Если взаимодействие между соседними мета-атомами внутри элементарной ячейки характеризуется константой взаимодействия 3\, а взаимодействие с соседними мета-атомами из других элементарных ячеек характеризуется константой взаимодействия 32, то по аналогии с моделью Су-Шриффера-Хигера топологический инвариант оказывается ненулевым в случае 3\ < 32 и нулевым в случае 3\ > 32. Тогда на границе раздела топологически нетривиальной и тривиальной областей возникают краевые и угловые состояния с частотой внутри запрещенной зоны.
Далее упоминаются существующие электромагнитные реализации топологических структур на основе решетки кагоме. Их отличительной чертой является дальнодействующий характер взаимодействия между составляющими структуру мета-атомами, за счет чего приближение взаимодействия только ближайших соседей при их описании теряет свою силу. Так, при учете взаимодействия только следующих за ближайшими соседей помимо обычных угловых состояний появляются угловые состояния второго типа, локализованные на следующих за угловыми мета-атомами, что было продемонстрировано в микроволновом диапазоне длин волн.
Однако как и в случае одномерных электромагнитных топологических систем, основным способом управления взаимодействием между мета-атомами являлось чередование расстояний между ними. В настоящей работе для управления взаимодействием между мета-атомами используется степень свободы, связанная со взаимной ориентацией бианизотропных рассеивателей.
В первом разделе разрабатывается теоретическая модель, описывающая зависимость взаимодействия двух разомкнутых кольцевых резонаторов от их взаимной ориентации (Рисунок 12^)). Собственные дипольные моды одиночного разомкнутого кольцевого резонатора могут быть найдены из системы уравнений (6). Как показано в первой главе, решение данной системы в предположении полюсной зависимости компонент тензоров поляризуемости приводит к набору собственных мод, некоторые из которых оказываются гибридными, т.е. содержат электрический и магнитный дипольные моменты одновременно. Здесь и далее рассматривается низкочастотная гибридная мода, содержащая у-компоненту электрического и ^-компоненту магнитного дипольных моментов.
При повороте разомкнутого кольцевого резонатора на угол 6 вокруг оси ^ тензоры поляризуемости и псевдо-тензоры бианизотропии преобразуются:
( ^(ее,ет,те,тт)_¿/(6) ^(ее'ет'те,тт) ]У-1(6)
(15)
где
/ сое 6
бШ
60
а(6)_
— вт 6 сое 6 0
(16)
0 0 V
Собственные моды пары взаимодействующих разомкнутых кольцевых резонаторов, повернутых на углы 61 и 62, могут быть найдены из системы уравнений
/(61) ¿(62)
Сее(Г1 - Г2) Сет(Г1 - Г2)
Сте(г1 - г2) Стт(г1 - г2)
Сее(г2 - Г1) Сет(г2 - Г1)
Сте(г2 - г1) Стт(г2 - г1 )
где
¿(61,2) _
(
а1
(ее)
а(61,2)а(ет)/-1 (61,2)
и (61,2)/(те)/-1 (61,2)
а
(тт)
)
1
а Gee'mm и Gem'me обозначают диадные функции Грина. Первая пара функций Грина описывает электрическое и магнитное поле, создаваемое электрическим и магнитным диполем, соответственно, тогда как вторая пара описывает перекрестные поля, т.е. электрическое и магнитное поле, создаваемое магнитным и электрическим диполем, соответственно. В результате взаимодействия рассматриваемая гибридная мода расщепляется на симметричную и антисимметричную моды димера, причем модель приводит к следующему выражению этого расщепления:
Д(01, 62) = А + В (cos 01 - cos 02) + С (cos 0х cos 02 - 2 sin 0i sin 02). (18)
Таким образом, взаимодействие пары рассеивателей с бианизотропией омега-типа зависит от их взаимной ориентации, что в рамках приближения взаимодействия ближайших соседей может быть использовано при конструировании топологически нетривиальных систем.
(а) (б) Теория (в) Моделирование
о а, Г)
Рисунок 12 — Расщепление гибридной дипольной моды за счет взаимодействия
Для верификации разработанной теоретической модели производится численное модедирование собственных мод пары разомкнутых кольцевых резонаторов для различных углов их поворота (Рисунок 12(с)). Аппроксимация численных результатов полученным аналитическим выражением демонстрирует возможность описания ориентационно-зависимого взаимодействия бианизотропных рассеивателей в рамках разработанной теоретической модели.
Во втором разделе приведены результаты численного моделирования собственных мод периодических массивов. Сначала рассчитываются собственные моды элементарных ячеек, внутри которых разомкнутые кольцевые резонаторы ориентированы либо зазорами внутрь, либо наружу. Данные элементарные ячейки порождают одну и ту же периодическую структуру, поэтому полученные в результате моделирования зонные структуры оказываются идентичными (Рисунок 13(Ь)). Однако в зависимости
от выбора элементарной ячейки симметрийные свойства собственных векторов, составленных из комплексных значений аксиальных компонент магнитного поля в центрах разомкнутых кольцевых резонаторов, оказываются различными. Далее вводится угол 6, описывающий вращение разомкнутых кольцевых резонаторов, сохраняющее симметрию элементарной ячейки С3. В таком случае рассмотренные элементарные ячейки соответствуют 6 = 0° (зазоры внутрь) и 6 = 180° (зазоры наружу). Расчет топологических инвариантов приводит к выводу, что структура претерпевает ряд топологических переходов с изменением угла 6 (Рисунок 13(c)). В частности структура с элементарной ячейкой, в которой разомкнутые кольцевые резонаторы ориентированы зазорами наружу, является топологической, а структура с элементарной ячейкой, в которой резонаторы ориентированы ориентированы зазорами внутрь, тривиальна.
Затем исследуются собственные моды интерфейса, составленного из тривиальной области (6 = 0°) и области с переменным углом вращения (Рисунок 14(a)). В результате для края первой зоны Бриллюэна получается зависимость спектра от угла, представленная на Рисунке 14(b). Внутри запрещенной зоны наблюдаются состояния, поле которых локализовано на границах раздела областей (Рисунок 14(c)). Топологические переходы соответствуют результатам вычисления топологических инвариантов.
В третьем разделе обсуждаются детали изготовления прототипа и результаты его экспериментального исследования, которые сопоставляются с результатами соответствующего численного моделирования (Рисунок 15).
В конце главы формулируется третье положение и приводится основной ее результат - разработан двумерный электромагнитный топологический изолятор на основе разомкнутых кольцевых резонаторов, составляющих решетку кагоме.
Четвертая глава посвящена разработке двумерного электромагнитного топологического изолятора на основе квадратной решетки Браве и базиса из четырех разомкнутых кольцевых резонаторов, составляющих элементарную ячейку с симметрией D4 (Рисунок 16(a)). Производится численное моделирование собственных мод периодической структуры с последующим извлечением топологического инварианта, а также собственных мод конечной структуры, состоящей из границы раздела топологической и тривиальной областей. Производится численное моделирование возбуждения топологических краевого и углового состояний точечным дипольным
TRIVIAL
ЗООТ) jo
о оу
OOOOY ООО
—-Intra се 11 (к) — intercell {J) —analytical
в = 0°/180°
"OPOLOGICAI
(e) —rronopole (A,) =dipole
43 90 137 180
0 43 90 137 180
Рисунок 13 — Рассматриваемая структура. (a) Фото экспериментального образца на основе медных разомкнутых кольцевых резонаторов на печатной плате. Темным выделена тривиальная область, желтым обозначено угловое состояние. (b) Зонная структура, полученная в результате численного моделирования собственных мод периодического массива, когда все разомкнутые кольцевые резонаторы в элементарной ячейке ориентированы зазорами наружу. (с) Зависимость частот в ^-точке первой зоны Бриллюэна от углов поворота разомкнутых кольцевых резонаторов. Внутри цветной области приведены значения топологических инвариантов
источником с измерением эффективности их возбуждения (локальной плотности состояний). После проводится экспериментальное исследование изготовленного прототипа.
Глава начинается с краткого обзора топологических свойств массивов на основе квадратной решетки Браве. В этом случае топологический инвариант х(4), характеризующий рассматриваемую запрещенную зону, дается выражением
X
(4) = (#х'2) - #Г<2), #м'4» - #Г<4), #М<4) - #Г<4>),
(19)
где символами #ПрП) обозначено число зон ниже рассматриваемой запрещенной зоны, собственный вектор которых в точке высокой симметрии П первой зоны Бриллюэна при повороте на 2п/п домножается на фазовый множитель ехр(2га(р — 1)/п). Вначале обсуждается двумерное обобщение модели Су-Шриффера-Хигера, представляющее собой квадратную решетку Браве, в узлах которой располагаются по четыре мета-атома, составляющие элементарную ячейку с симметрией Взаимодействие между соседними
мета-атомами внутри элементарной ячейки характеризуется константой
Рисунок 14 — Топологические интерфейсные состояния. (а) Схематическое изображение интерфейса. Внутри красной области происходит вращение разомкнутых кольцевых резонаторов, тогда как внутри синей области они зафиксированы в положении зазорами внутрь. (Ь) Собственные моды интерфейса, соответствующие краю первой зоны Бриллюэна. Цветом выделены топологические интерфейсные состояния. (с) Пространственные распределения ^-компоненты магнитного поля, соотвествтующие
топологическим интерфейсным состояниям
взаимодействия , тогда как взаимодействие с соседними мета-атомами из других элементарных ячеек характеризуется константой взаимодействия В отличие от одномерной модели Су-Шриффера-Хигера, двумерный аналог не имеет топологической запрещенной зоны. Для ее открытия необходимо либо ввести отрицательные константы взаимодействия, либо учесть взаимодействие следующих ближайших соседей. Первый случай соответствует квадрупольному топологическому изолятору, который был разработан в инфракрасном диапазоне длин волн. Однако в настоящей работе используется второй подход, т.к. взаимодействие составляющих массив дипольных рассеивателей выходит далеко за рамки приближения взаимодействия только ближайших соседей. Однако в отличие от уже реализованных за счет чередования расстояний систем, разрабатываемый в настоящей работе топологический изолятор основан на чередовании ориентаций разомкнутых кольцевых резонаторов.
В первом разделе приведены результаты численного моделирования собственных мод исследуемых массивов. Сначала рассчитываются собственные моды периодического массива, в результате чего получается зонная структура, изображенная на Рисунке 16^). В зависимости от выбора элементарной ячейки симметрийные свойства собственных векторов, составленных из комплексных значений аксиальных компонент магнитного поля в центрах разомкнутых кольцевых резонаторов, оказываются различными. Расчет топологических
(а) Моделирование
(б) (в)
Рисунок 15 — Возбуждение конечной структуры дипольным источником, расположенным в верхнем углу топологической области. (а) Спектр эффективности возбуждения состояний (локальной плотности состояний), определенной как сумма квадратов модулей полей в точках, соответствующих объему, границе и углам топологической области. (Ь,е) Пространственное распределение модуля ^-компоненты магнитного поля \НХ |, полученное численно (Ь), и модуля коэффициента прохождения \б12\, полученное экспериментально (с), на частоте возбуждения, соответствующей краевому состоянию. (¿,е) Пространственное распределение модуля ^-компоненты магнитного поля \НХ\, полученное численно и модуля коэффициента
прохождения \312\, полученное экспериментально (е), на частоте возбуждения,
соответствующей угловому состоянию [30]
инвариантов приводит к выводу, что структура с элементарной ячейкой, в которой разомкнутые кольцевые резонаторы ориентированы зазорами наружу, является топологической, а структура с элементарной ячейкой, в которой резонаторы ориентированы ориентированы зазорами внутрь, тривиальна.
Во втором разделе приведены результаты численного моделирования собственных мод конечной структуры (Рисунок 4.5(а)), состоящей из внутренней топологической и внешней тривиальной областей. Сопостановка полученного спектра (Рисунок 4.5(Ь)) с зонной структурой периодического массива приводит к заключению, что в интервале частот, соответствующем запрещенной зоне, возникают моды, локализованные на границах областей
Г X м Г
Рисунок 16 — Рассматриваемая периодическая структура. (а) Схематическое изображение рассматриваемой структуры на основе квадратной решетки Браве и элементарной ячейки симметрии И4 из четырех разомкнутых кольцевых резонаторов. (Ь,с) Элементарные ячейки, порождающие тривиальный и топологический массив, соответственно. (^ Зонная структура, полученная в результате численного моделирования собственных мод периодической структуры (она одинакова для топологической и тривиальной элементарных
ячеек)
(Рисунок 4.5 (с^)). Они и являются топологическими краевыми и угловыми состояниями.
Отличительной чертой топологических состояний является их устойчивость к определенному роду возмущений. Чтобы оценить устойчивость обнаруженных топологических состояний, производится численной моделирование собственных мод исследуемой конечной структуры с геометрическим беспорядком в расстояниях между разомкнутыми кольцевыми
Рисунок 17 структуры. структуры. нетривиальной
20 40 60 Modo Number
— Результаты моделирования собственных мод конечной (a) Схематическое изображение рассматриваемой конечной Красной линией обозначена граница между топологически и тривиальной областями. Разомкнутые кольцевые
резонаторы моделирутся как идеально проводящие поверхностные включения на диэлектрической подложке. (Ь) Спектр, полученный в результате численного моделирования собственных мод вблизи низкочастотной гибридной моды одиночного разомкнутого кольцевого резонатора. (с,^) Примеры пространственного распределения модуля магнитного поля, соответствующих
краевому (с) и угловому состояниям
резонаторами и углах их поворота. Беспорядок вводится как случайные равномерно распределенные отклонения от первоначальных значений. Результаты численного моделирования приводят к следующему заключению: в
случае 60% технически реализуемого беспорядка в расстояниях, разброс частот угловых состояний составляет всего 8% ширины запрещенной зоны.
Моделирование Эксперимент
Частота (ГГц)
Рисунок 18 — Возбуждение конечной структуры дипольным источником, расположенным в левом верхнем углу топологической области. (а,Ь) Пространственное распределение модуля ^-компоненты магнитного поля \НХ|, полученное численно (а), и модуля коэффициента прохождения \б12\, полученное экспериментально (Ь), на частоте возбуждения, соответствующей краевому состоянию. (е^) Пространственное распределение модуля 2-компоненты магнитного поля \НХ\, полученное численно (а), и модуля коэффициента прохождения \б12\, полученное экспериментально (Ь), на частоте возбуждения, соответствующей угловому состоянию. (е) Спектр эффективности возбуждения состояний (локальной плотности состояний), определенной как сумма квадратов модулей полей в точках, соответствующих объему, границе и углам топологической области [31]
В третьем разделе обсуждаются детали изготовления прототипа и результаты его экспериментального исследования, которые сопоставляются с результатами соответствующего численного моделирования (Рисунок 18).
В конце главы формулируется четвертое положение и приводится основной ее результат - разработан двумерный электромагнитный топологический изолятор на основе квадратной решетки Браве и базиса из четырех разомкнутых кольцевых резонаторов, составляющих элементарную ячейку с симметрией
В заключении приведены основные результаты работы:
1. Разработана теоретическая модель, описывающая зависимость индуцированных дипольных моментов от пространственных производных внешнего поля в случае резонансного цилиндрического рассеивателя с линейными размерами, сравнимыми с длиной волны. Путем аппроксимации данных полноволнового численного моделирования рассеяния плоской волны цилиндром для различных конфигураций облучения (ТЕ, ТМ) полученными аналитическими выражениями, извлечены локальные и нелокальные компоненты тензоров поляризуемости на частотах вблизи поперечного электрического дипольного резонанса. С использованием полученных компонент тензоров рассматривается возбуждение цилиндра осциллирующим точечным электрическим диполем. Наведенный электрический дипольный момент рассчитывается с помощью локальной и нелокальной дипольных моделей в зависимости от расстояния между дипольным источником и рассеивателем и сравнивается
с соответствующими результатами численного полноволнового моделирования. Сравнения показывают, что нелокальная дипольная модель значительно улучшает наблюдаемый электромагнитный отклик цилиндрических рассеивателей.
2. Разработана теоретическая модель, описывающая возникновение нетривиальной зонной топологии в одномерном массиве равноотстоящих резонансных бианизотропных частиц, основанная на модели дискретных диполей, квазистатическом приближении и приближений взаимодействия только ближайших соседей. В этой модели частицы образуют чередующуюся пространственную картину бианизотропии омега-типа, где каждая пара соседних частиц имеет либо одинаковые, либо противоположные знаки магнитоэлектрических псевдотензоров. Рассчитана фаза Зака для различных выборов элементарной ячейки. Рассчитан спектр конечной структуры; продемонстрировано возникновение топологических краевых состояний на краю с одинаково ориентированными частицами. Установлено соотсветствие разработанной модели с моделью Су-Шриффера-Хигера посредством теории возмущений с вырождением по малому параметру обратной бианизотропии. Численно показано возникновение топологических краевых мод в системе рассеивателей с нарушенной
зеркальной симметрией. Изготовлена система керамических дисков с высокой диэлектрической проницаемостью и малыми потерями с нарушенной зеркальной симметрией. Выполнено возбуждение топологического интерфейсного состояния плоской волной численно и экспериментально. Показана динамическая перестройка топологического интерфейсного состояния путем вращения определенных рассеивателей.
3. Разработан двумерный электромагнитный топологический изолятор на основе разомкнутых кольцевых резонаторов, составляющих решетку кагоме. Разработана теоретическая модель, описывающая зависимую от ориентации эффективную связь между двумя бианизотропными рассеивателями омега-типа. Получены зонные структуры посредством полноволнового численного моделирования собственных мод элементарных ячеек, содержащих три разомкнутых кольцевых резонатора с зазорами, ориентированными внутрь или наружу от центра элементарной ячейки. Извлечены топологические индексы. Получена дисперсия топологических интерфейсных состояний. Структура, состоящая из топологических и тривиальных доменов, изготовлена по технологии печатных плат. Численно и экспериментально исследовано возбуждение топологических краевых и угловых состояний точечной дипольной антенной.
4. Разработан двумерный электромагнитный топологический изолятор на основе разрезных кольцевых резонаторов, содержащих квадратную решетку. Зонные структуры и связанные с ними топологические индексы получены из полноволнового численного моделирования собственных мод элементарных ячеек, содержащих четыре разомкнутых кольцевых резонатора с зазорами, ориентированными внутрь или наружу от центра элементарной ячейки. Численно получен спектр конечного массива, состоящего из тривиальной и топологической областей. Структура, состоящая из тривиальной и топологической областей, изготовлена с использованием технологии печатных плат. Численно и экспериментально исследовано возбуждение топологических краевых и угловых состояний точечной дипольной антенной.
Synopsis
This work is related to topological photonics [1; 2] - a field of research which emerged at the turn of 2010s [3; 4] as generalization of concepts originally proposed in solid state physics [5; 6]. These concepts link the boundary effects in finite structures to bulk properties of the corresponding crystals. For the first time, such a "bulk-boundary correspondence" [7] explained the quantum Hall effect [8; 9] in terms of the Berry phase [10] - a geometric phase acquired by an electronic Bloch function after the passage of the first Brillouin zone. The exact quantization of the Hall conductance was linked to the Berry phase invariance under the continuous band deformations which do not cause their overlap. In other words, the Berry phase is a topological invariant describing global properties of the corresponding band as the Euler characteristic describes the number of holes in geometric bodies. Structures with non-trivial band topology were termed topological insulators [11], since the localized states energies lie within the structure's band gap linking the topologically nontrivial system with the topologically trivial vacuum. Further research showed that there are entire classes of different topological insulators characterized by different topological invariants [12-14], but all of them support spectrally protected robust topological edge states. The importance of these and related discoveries was marked by the 2016 Nobel Prize in Physics.
However, the concept of a crystal is applicable to waves of any nature, provided the structure period is comparable to the operation wavelengths of these waves. Thus, there exist photonic crystals - the structures with periodic distribution of electromagnetic properties (e.g., dielectric permittivity and magnetic permeability) [15]. As in the case of solids, photonic crystals have band gaps - the frequencies at which electromagnetic waves cannot propagate in the bulk of a sample, so the wave is completely reflected from the sample surface. In nature, there are inorganic (opal), organic (wings of swallowtail butterflies) and hybrid (nacre) photonic crystals. By tuning the lattice constant, it is possible to control the band structure of a crystal. However, artificially structured media - metamaterials and metacrystals - have the greatest flexibility. Historically, electromagnetic metamaterials - the structures operating in a deep subwavelength regime, i.e. when the operation wavelength is much greater than the characteristic period of a structure, - were the first actively studied. Based on them, such striking effects as negative refraction [16; 17], microwave invisi-
bility [18], overcoming the diffraction limit [19], and unidirectional transmission [20] have been demonstrated. With the advancements in nanofabrication, artificial photonic crystals operating in the visible frequency range emerged.
The unprecedented robustness of topological edge states led to the integration of topological concepts into photonic systems, thereby uncovering vast opportunities for backscattering-immune propagation and localization of electromagnetic radiation at stable frequency. Thus, topological photonics emerged - a branch of physics that studies topologically non-trivial electromagnetic structures.
The relevance of topological photonics is related to the prospects of its application in integrated [21; 22] and nonlinear optics [23]. Accounting for the general trend of electronic devices replacement with photonic ones due to speed, efficiency and safety of the latter, topological photonics offers rich functionality for the topologically protected waveguides, switches, dividers, filters, as well as nonlinear devices, such as topological lasers engineering.
The first electromagnetic topological insulator was based on the electromagnetic analog of the quantum Hall effect [3; 4]. In this design, a microwave structure consisting of ferrite rods is subjected to an external magnetic field. Due to the magneto-optical effect, a topologically nontrivial band gap opens, leading to the emergence of a unidirectional edge state in the case of a finite sample. However, engineering of such systems in optics is challenging, so the electromagnetic analogs of the quantum spin Hall effect [24] as well as the Valley Hall effect [25] were developed, which do not require external magnetic fields. In these cases, a topological band gap opens when the structure unit cell is geometrically deformed. The same method forms the basis of symmetry protected topological insulators - the structures which topological properties are determined by a certain point symmetry of the underlying lattice [14].
A new milestone in topological physics was the discovery of higher-order topological insulators [26] supporting topological states of dimensionality several orders less than the dimensionality of the structure. In other words, a two-dimensional structure supports not only one-dimensional edge states, but also zero-dimensional corner states, while a three-dimensional structure supports states on the surfaces, edges, and corners of the structure. In the context of photonics, this allows for light propagation control along complex three-dimensional trajectories without backscat-tering.
Cylindrical scatterers with symmetry are often used as constituent elements of the aforementioned structures. This is due to both the simplicity of their
theoretical description and the convenience of fabrication, especially at micro- and nanoscales. However, both from theoretical and practical points of view, there are a number of fundamental limitations. For example, as demonstrated in this dissertation, the local dipole model which does not account for the contributions of spatial derivatives of the external fields to the induced dipole moments may not accurately reproduce the excitation of such dipole scatterers. On the other hand, arrays of cylinders have only one degree of freedom which controls the topological properties - the distance between the scatterers. However, it is difficult to change the distance in practice without making new samples, because the cylinders are either grown on a substrate or placed in the pre-cut grooves. Therefore, a detailed study of the dipole response nonlocality of cylindrical scatterers as well as the creation of new degrees of freedom into arrays are relevant problems in optics.
The relevance of this dissertation is related to the development of an alternative approach to engineer electromagnetic topological insulators by introducing an additional degree of freedom - the mutual orientation of scatterers, which appears when their symmetry is properly reduced. As shown in this work, this allows one to flexibly tune the topological properties in real time.
Breaking the mirror symmetry of a scatterer leads to bianisotropy - an effect when the induced electric dipole moment is determined not only by the external electric field, but also by the external magnetic field, and the magnetic dipole moment is determined not only by the magnetic field, but also by the electric field. In papers [27; 28], bianisotropic scatterers were first introduced to open the topological band gap, but the topological properties were still determined by the lattice geometry. On the contrary, the idea of this work is to control the topological properties by alternating the bianisotropic response in space.
The thesis goal is to develop a mechanism for controlling the topological properties of photonic crystals by reducing the spatial symmetry of the constituent scatterers.
To achieve this goal, the following tasks are solved:
1. Estimation of the external fields spatial derivatives contribution to the induced dipole moments of resonant scatterers with symmetry D^h, as well as local and nonlocal dipole models comparison in the description of excitation of such scatterers.
2. Investigation of the electromagnetic topological states formation mechanisms in one-dimensional arrays of equally spaced scatterers with broken
mirror symmetry as well as the experimental demonstration of topological states tuning accompanied by the scatterers' selective rotation.
3. Designing the higher-order electromagnetic topological insulators based on two-dimensional arrays of equidistant split-ring resonators constituting kagome and square lattices, as well as the topological corner and edge states emergence experimental demonstration.
The statements are:
1. Second spatial derivatives of driving fields contribute to the dipole moments of DTOh-symmetric resonant dipole scatterers, improving their excitation description.
2. Alternating the orientations of equally spaced scatterers with broken mirror symmetry in one-dimensional arrays leads to the emergence of electromagnetic topological states. The existence of such states as well as their localization length are controlled by selective rotations of the scatterers.
3. In two-dimensional arrays of split-ring resonators comprising kagome lattice the higher-order topological states emerge, controlled by the orientations of the split-ring resonators. Rotations of the resonators, preserving the 03-symmetry of the unit cell lead to the topological transitions.
4. In a two-dimensional structure consisting of an inner region containing a square lattice with a basis of four split-ring resonators oriented with gaps outward, as well as an outer region containing a square lattice with a basis of four split-ring resonators oriented with gaps inward, electromagnetic topological interface and corner states at the interface between the regions appear.
The following methods of scientific research are used:
1. Dipole model accounting for the dipole response of scatterers, neglecting the contributions of higher order multipole moments.
2. Tight-binding model describing array's eigenmodes as the modes of resonant particles interacting with each other. In some cases, the interaction of the several nearest neighbors is taken into account.
3. Method of Green's dyadics, which allows one to calculate the electromagnetic fields produced by point dipoles via their dipole moments.
4. Symmetry indices method of topological invariants evaluation.
5. Finite element method in the shell of the commercial software package Comsol Multiphysics used to simulate eigenmodes and excitation of the structures under study.
6. Multipole expansion method that determines the contributions of multi-poles to the numerically calculated scattered field.
7. The method of near-field scanning used in experimental measurements of the electromagnetic topological structures properties in the microwave frequency range.
The scientific novelty of this work consists in explaining the dipole response nonlocality of cylindrical scatterers and developing a method for the electromagnetic topological structures engineering by alternating the orientations of bianisotropic scatterers. Specifically:
1. A theoretical model explaining the dependence of dipole moments on the second derivatives of the inducing electromagnetic field is developed.
2. A theoretical model describing the interaction of bianisotropic scatterers dependence on their mutual orientation is developed.
3. The possibility of realizing electromagnetic topological states in a one-dimensional array of equidistant bianisotropic particles is demonstrated.
4. The topological states tuning in a one-dimensional array of equally spaced dielectric scatterers with broken mirror symmetry in one of the planes is demonstrated numerically and experimentally.
5. Two-dimensional electromagnetic topological insulators based on equidistant open ring resonators with C3 and C4 lattice symmetries are developed.
Fundamental significance of the results of the work is related to the explanation and evaluation of the dipole response nonlocality of resonant cylindrical scatterers, as well as development of the mechanism for controlling the topolog-ical properties of photonic crystals due to the bianisotropy of their constituent meta-atoms. These results demonstrate the fundamental limits of the local dipole model applicability and opens the way to realize the topological transitions by changing the bianisotropy of individual scatterers via their rotation.
Practical significance of the results of this work is related to development of a method for dynamic tuning of electromagnetic topological states due to the rotation of scatterers with broken mirror symmetry.
The validity of the obtained results is provided by comparison of theoretical predictions, results of numerical simulations, and the results of experimental research.
Approbation
The main results of the work were reported at the following All-Russian and international conferences:
1. International Congress on Artificial Media for Novel Wave Phenomena "Metamaterials 2021"
2. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics "Metanano 2021"
3. All-Russian School-seminar "Wave Phenomena: Physics and Applications" named after Professor A.P. Sukhorukov ("Waves-2021")
4. Saint Petersburg Open 2020
5. International Conference on Metamaterials and Nanophotonics "Metanano 2020"
6. All-Russian Youth Conference on Physics of Semiconductors and Nanos-tructures, Semiconductor Opto- and Nanoelectronics (2019)
7. All-Russian School-seminar "Wave Phenomena: Physics and Applications" named after Professor A.P. Sukhorukov ("Waves-2019")
Also, the materials of the work were discussed at the seminars of ITMO University and Ioffe Institute.
Author's contribution
Theoretical models were developed by the author. Theoretical calculations, numerical simulation and numerical optimization of the prototypes were done by the author personally. The fabrication of split-ring resonators-based structures, as well as the corresponding experimental measurements, were carried out by a group of experimenters from the Faculty of Physics at ITMO University, consisting of D.V. Zhirikhin and D.I. Tikhonenko. The fabrication of structures from dielectric scatterers, as well as the corresponding experimental measurements, were carried out by a group of experimenters at Jilin University (V.R. Tuz and Z. He). The key role of the author of this work is confirmed by the first authorship in 7 publications out of 10.
Publications.
Key results of research are described in 10 publications indexed in Scopus:
1. Bobylev D. A., Smirnova D. A., Gorlach M. A. Nonlocal response of Mie-resonant dielectric particles // Physical Review B. — 2020. — Vol. 102, issue 11. — P. 115110.
2. Bobylev D. A., Smirnova D. A., Gorlach M. A. Photonic Topological States Mediated by Staggered Bianisotropy // Laser & Photonics Reviews. — 2021. — Vol. 15, no. 2. — P. 1900392.
3. Topological Edge and Corner States Designed via Meta-Atoms Orientation / D. A. Bobylev [et al.] // Laser & Photonics Reviews. — 2023. — Vol. 17, no. 1. — P. 2100567.
4. Reconfigurable Topological States in Arrays of Bianisotropic Particles / Z. He [et al.] // ACS Photonics. — 2022. — Vol. 9, no. 7. — P. 2322-2326.
5. Observation of topological corner states in a ^-symmetric square lattice of split-ring resonators / D. A. Bobylev [et al.] // Applied Physics Letters. — 2023. — Vol. 122, no. 16. — P. 163103.
6. Higher-Order Photonic Topological States in Split-Ring Resonators-Based Kagome Lattice / D. Zhirihin [et al.] // Conference on Lasers and Electro-Optics (CLEO). — 2022. — FW5D.7.
7. 2021 Fifteenth International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena (Metamaterials) / D. Bobylev [et al.]. — 2021.
8. Bobylev D., Smirnova D., Gorlach M. Nonlocal dipole response of resonant particles // AIP Conference Proceedings. — 2020. — Vol. 2300, no. 1. — P. 020010.
9. Electromagnetic realization of topological states in one-dimensional arrays of bianisotropic particles / D. A. Bobylev [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. — 2020. — Vol. 1482, no. 1. — P. 012040.
10. Engineering coupling in electromagnetic topological models via staggered bianisotropy / M. A. Gorlach [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. — 2020. — Vol. 1461, no. 1. — P. 012053.
Main content of the work
The introduction marks the place occupied by topological photonics in modern physical picture of the world and indicates its significance in optics. Terminology, apparatus and methods of topological photonics are overviewed in the context of its history and development. Current state of the field, the main research directions, problems and attempts to solve them are discussed. The order of presenting the results is explained. Finally, the relevance of this work is discussed and potential ways of generalizing the developed concepts, as well as applying the obtained results are discussed.
The first chapter is devoted to the study of resonant dipole response of single scatterers with different spatial symmetries. Theoretical methods for the description of resonant scattering in electrodynamics are discussed, the properties of both centrosymmetric and noncentrosymmetric meta-atoms electromagnetic response are considered. Theoretical description of dipole response nonlocality in the case of scatterers with symmetry is developed. Hybrid dipole modes of bianisotropic scatterers based on the considered DTOh-symmetric scatterers are calculated.
The chapter begins with an introduction to the dipole model - an approximation when a scatterer of arbitrary shape is considered as a point electric or magnetic dipole, the dipole moments p, ra of which are related to the field of the incident electromagnetic wave E, H via the corresponding polarizability tensors:
p = o¿e)E, ra = a (m)H
The structure of the electric a(e) and magnetic a(m) polarizability tensors is determined by spatial and temporal symmetries of the scatterer. When the characteristic linear dimensions of a scatterer are comparable to the incident electromagnetic wave wavelength, the polarizability tensors components exhibit resonant frequency dependence.
In the case of breaking the spatial inversion symmetry of a scatterer (in particular, the mirror symmetry), the induced electric and magnetic dipole moments of a scatterer beside the usual dependence on the electric and magnetic fields in the scat-terer's center, may also depend on the fields' first spatial derivatives. Accounting for Maxwell's equations, the first spatial derivatives of electric and magnetic fields
(20)
can be reduced to the time derivatives of magnetic and electric fields, respectively. Therefore, the induced electric and magnetic dipole moments depend not only on electric and magnetic fields, but also on magnetic and electric fields, respectively:
p = 6(ee)E + 6(em)# ,, m = 6(me)£ + a(mm)H ,.
(21)
The corresponding effect is referred to as bianisotropy or magneto-electric response. However, in the most general case, one should also take into account the contributions of higher-order spatial derivatives of the inducing fields to the induced dipole moments:
p,_£j + ß'e» dE>
%jk pxk tjkl dxkdxi
(e)
d 2E,
+
(m) TT I r> (m)
m.i _ oL )Hj + ß^ ) '
+ gamma
(m)
d 2H,
+....
(22)
%jk dxk %jkl dxk dxi
In order to reconfigure the topological properties of arrays consisting of resonant dipole scatterers it is necessary to break their symmetry up to the bianisotropic response (21). However, in this chapter the second-order nonlocal dipole response (??) in the case of cylindrical (A^-symmetric) scatterers is also investigated.
In the first section, the eigenmodes of a bianisotropic scatterer based on a cylinder of symmetry with broken mirror symmetry in the yz plane are calculated. As a starting point, we consider a fully DTOh-symmetric cylindrical scatterer (Figure 19(a)) whose eigenmodes are found from the system of equations
/à(ee) 0 \ 7p\
y 0 à(mm)y \mJ
_ 0
(23)
where due to spatial symmetry
i a^ 0 0
à (ee,mm) _ à = 0 (e,m) ay 7 0 . (24)
0 0 (e,m) all
Assuming the pole dependence of the polarizability tensors components on frequency (a^'im = CJJ'™ /(œ — œj')) the following six solutions are found: doubly degenerate modes with eigenfrequencies œ = œ^ and œ = œ' corresponding to the electric and magnetic transverse dipole modes, and two modes with eigenfrequencies œ = and œ = œ™ corresponding to the electric and magnetic axial dipole
parallel
modes. To verify the obtained result, a full-wave numerical eigenmodes simulation of the scatterer shown in Figure 19(a) is performed. The scatterer has the following material and geometric parameters: permittivity £ = 24.8, loss tangent tg 5 = 10-3, radius r = 4.5 mm and height 3 mm. Analysis of the multipole composition confirms the dipole nature of each of the found modes (Figure 19(b)), which is in qualitative agreement with the theoretical model (23).
Figure 19 — Dipole modes of a cylindrical scatterer
However, arrays of cylindrical scatterers have only one degree of freedom - the distance between the adjacent scatterers. The main idea of this work is to control the topological properties of arrays by changing the mutual orientation of their constituent scatterers. To do this, it is necessary to break their mirror symmetry in one of the planes, which in turn leads to the magnetoelectric effect - bianisotropy, described by the equations (21).
As a bianisotropic scatterer, we consider a cylinder with broken mirror symmetry in the yz plane (Figure 20(a)), whose eigenmodes are found from the following system of equations
(
<x(ee) <x(em)
) Ι)
= 0,
(25)
where, due to spatial and temporal symmetry,
Me'm) 0 0 0 0 0
^(ee,mm) _ 0 a (e,m) Uiy 0 , <x(em) _ ( â(me))f 0 0 i Pi
0 0 aie'm) ) 0 -i p2 0
(26)
Assuming the pole frequency dependence of the polarizability tensor components (ai^1" = C^'"/(^ — )) the following six solutions with frequencies wex,
'' K + o''
œ
=
±
' me^,2 î z y U1 +
(
2
œf-œ^2 , (2)
and ϱ =
(œm + œez )
±
—\ 2
z 2 M are found. Here are the quantities associated with |3i,2
2
2
and arising from the inversion of the general matrix composed of polarizability tensors and bianisotropy pseudotensors under the assumption of weak bianisotropy (ll 2 << 1) and near-resonant frequencies. Modes with frequencies wex and contain only the x component of the electric and magnetic dipole moment, respectively, while modes with frequencies (w±2)) are hybrid having a y (z) component of the electric dipole moment and z (y)-component of the magnetic dipole moment simultaneously.
Figure 20 — Dipole modes of a bianisotropic scatterer based on a cylindrical scatterer with symmetry with a notch that breaks its mirror symmetry in the yz plane
To verify the obtained result, a full-wave numerical eigenmodes simulation of a scatterer Figure 20(a) made of high-permittivity low-loss ceramics (£ = 24.8, tg 5 = 10—3) with radius r = 4.5 mm, height 3 mm and cut radius rcut = 1.25 mm is performed. The results of extracting the multipole moments for each of the found modes are shown in Figure 20(b) under the frequency axis (MDZEDy, etc.). Thus, the low-frequency mode has |py|/|mz| « 0.86, which indicates a significant hybridization of the electric and magnetic dipole resonances.
In addition to bianisotropy, which is a first order nonlocal effect, there are also higher-order nonlocal effects. Therefore, in the second section, the second-order nonlocal dipole response is explored on the example of a resonant scatterer with symmetry. Based on the symmetry analysis and (22), the following expressions are derived that relate the induced dipole moments to the field of the incident plane wave
Pi = £o {aij Ej + "Yijim Ejkikm} , rnt = a(m) Hj + -y^lHj ki km ,
where
= + a2niUj,
Ytjim = Yi6y ni nm + Y2(n, m 5jm + nj n,m5ll + n3 m 5vm + nln,m53l) + +Y3nln]mnm + y^&ij5im + Y5(5u5jm + 5im5]l) + YWinj&im . Here 5ij is the Kronecker symbol, ni are the components of the unit vector codirec-tional with the axis of the cylinder (in this case, n = z).
Then two independent configurations of excitation of the scatterer by a plane electromagnetic wave are considered (Figure 21). In the case of the TE configuration, the dipole moments are given by
i i (m) i
+ Yi +
=
{[ «r + (y
a(m) + ÎYim) + 2Y2m) + Y^) 14
Py = (a± + cos2 0) Eo Ef,, mx = — {(«J"1' — 2Y.2n)fc02) cos 9 2Y2m)) fcf cos3 e} Ho ,
+ y3
— (Yim) + 2y2™) + *g sin3 9} Ho ,
and in the case of TM configuration
my = (a^ + YÎm) fcg cos2 9) H, ,
Px = {(aj — 2Y2^0) cos 9 + (Yi + 2Y2) kf2 cos3 9} £0 Eo , pz = {— [ay + (Yi + 2Y2 + Y3) &0] sin 9 + (Yi + 2Y2 + Y3) $ sin3 9} £0 Eo .
where aL = ai + y4^0 H ay = aL + a2 + Y6
sin 9
(27)
(28)
Figure 21 — Configurations of a plane electromagnetic wave excitation of a cylindrical scatterer with Dœh symmetry for studying the nonlocality of its dipole response
To estimate the nonlocality, full-wave numerical simulation of a plane electromagnetic wave scattering at the fixed frequency near the dipole resonance (f = 2.44 GHz) off the cylinder is performed. The cylinder has radius r0 = 14.55 mm, height h0 = 11.61 mm, and dielectric constant £ = 39 + 0.078f (^ = 1). Then
(a) xlO-18 (d) x 10
0,00 0.25 0,50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
sin 0 sin H
Figure 22 — The induced dipole moment components of the considered A^-symmetric scatterer depending on the angle of a monochromatic plane electromagnetic wave incidence for TE(a-c) and TM(d-f) excitation configurations
dipole moments are extracted (Figure 22), the dependence of which on the angle of incidence is approximated by the expressions (27),(28). This gives numerical values for local and nonlocal polarizabilities.
To demonstrate the contribution of the extracted nonlocal corrections, we study the excitation of a cylindrical scatterer by a point oscillating dipole source (Figure 23(a)). In contrast to excitation by a plane monochromatic electromagnetic wave containing only one propagating Fourier component, the field of a point
oscillating electric dipole
1 i\2, , e %kr , n /1 i k
o
E = ^ {k2(n x p)x n v + [3<n • p)n - (i - $)e'kr} •
H = ^(n x p) ^ (1 - 1
4n r \ i kr J
contains evanescent waves in the near-field spectrum. They have a strong spatial gradient, which can make a significant contribution to the excited dipole moments in the framework of the nonlocal dipole model:
( w ^ d 2Ev o ^
py = e^a±Ev + Yi-^ - 2Y2.
The local model is obtained from this expression by eliminating the terms with factors Yi. Then, numerical simulation of the excitation of the investigated cylinder by a point electric dipole at a frequency of f = 2.44 GHz is performed for various distances between the source and the scatterer L. Comparison of the simulation results with local and non-local dipole models, which use previously extracted polarizabili-ties, is shown in Figure 23(b). It can be seen that nonlocal dipole model improves the description of the scatterer excitation not only quantitatively but also qualitatively.
At the end of the chapter, the first statement is formulated and the main results are presented - a theoretical model describing the nonlocality of dipole response of scatterers with symmetry is developed; the structure of dipole eigenmodes of the corresponding bianisotropic scatterer is analyzed.
In the second chapter the topological properties of one-dimensional arrays of equidistant bianisotropic particles are studied. Cylindrical resonant dipole scat-terers with broken mirror symmetry in one of the planes are considered as the latter. They are arranged in such a way that the nearest neighbors of any randomly selected scatterer have different orientations (Figure 24). A theoretical model is developed within the framework of the nearest neighbors approximation, which predicts the emergence of topological states. The topological invariant is extracted, and the emergence of topological modes is numerically demonstrated. Then, a similar system is optimized with a practically more convenient way of the mirror symmetry breaking. The topological interface states excitation and their localization length tuning due to selective rotation of the constituent scatterers are demonstrated numerically and experimentally.
The chapter begins with a brief review of the Su-Schrieffer-Heeger model, the simplest one-dimensional topologically non-trivial system, which is the basis for a
I (cm)
Figure 23 — Excitation of the considered scatterer by a point oscillating electric dipole: (a) excitation configuration; (b,c) real (b) and imaginary (c) parts of the induced electric dipole moment versus the distance between the scatterer and the source obtained numerically and via local and nonlocal anayltical models
qualitative description of the developed structure. This model describes a one-dimensional array of identical resonant elements with eigenfrequency each neighboring elements of which are connected by alternating effective coupling constants J\ and J2. The eigenmodes of the periodic structure are found within the approximation of interaction of only nearest neighbors.
Next, a topological invariant is introduced - the Zack phase, which can be calculated as
Y = 9(r) - 6(X) , (29)
where 6 is the phase describing the behavior of the Bloch function at the high symmetry points of the first Brillouin zone under spatial inversion or reflection: P luk) = el6 luk). In the case of the Su-Schrieffer-Higger model, the two-particle unit cell can be chosen in two ways - with strong or weak coupling inside. If the coupling inside the unit cell is strong, then the parity of the Bloch functions for each of the zones in the center and at the edge of the first Brillouin zone turns out to be the same, i.e. y = 0. If the coupling inside the unit cell is weak, then the parity of the Bloch functions for each of the zones in the center and at the edge of the Brillouin zone will be different, which gives y = n. This result manifests itself when considering semi-infinite or finite structures: a localized state with a frequency inside the band gap arises at the edge with weak coupling.
Next, various implementations of Su-Schrieffer-Higger model in electromag-netism are discussed. The main way of alternating the effective interaction constants of such systems is to change the geometry of the lattice, but in practice this complicates the dynamic tuning of the topological properties. Therefore, the introduction of a new degree of freedom - the mutual orientation of bianisotropic scatterers - is a solution to a relevant problem.
In the first section, a theoretical model is developed that describes dipole modes of a one-dimensional array of resonant bianisotropic particles. The particles are arranged in such a way that the bianisotropy of two adjacent particles is different
Figure 24 — Layout of bianisotropic scatterers in the studied one-dimensional array
for each randomly selected particle (Figure 24). This is achieved by alternating particle orientations based on cylinders with broken mirror symmetry in the xy plane in the unit cell according to the "up-up-down-down" scheme. The dipole response of the n scatterer is given by
pn = aee En + oCHn , mn = a™ En + a mmHr,
(30)
where the polarizability tensors and bianisotropy pseudoensors have the following explicit form:
0 0 \
a
/ oc
\
ee,mm _L
0 0
a
ee, mm
0
0
ee,mm I
V /
anm = ( ame)T =
I 0 ±i |3 0^
Ti | 0 0
\ 0 0 0/
The sign of the bianisotropy parameter | is determined by the orientation of the scatterer ("up"/"down"). In the framework of taking into account the interaction of only nearest neighbors, the fields En, Hn are created by neighboring dipoles:
En =
l=n±l
Hn
me
l=n± 1
(n - rn) Pi + G(em)(n - rn) mt} , (ri - rn) Pi + G(mm)(ri - rn) mi} .
(31)
where the quasi-static expressions are taken as dyadic Green's functions:
h/s 3 0 0
G(ee,mm)(ri - rn) = 0 -i/ 3 0 , G(em,me)(n - rn) = 0,
0 0 -i/ 3
where s = |r/ - rn |.
Assuming the pole frequency dependence of the polarizability components (( a(ee))-1 = ( a( mathrmmm))-1 = i/(£ - £q)), the following eigenvalue problem for the transverse dipole modes of the periodic structure is solved:
( a(+))-1 G 0 e~tkaG G (a(+))-1 G 0 0 G (a(-))-1 G
-*kaG 0 G (a(-))-1
=0
(32)
where
(±)W =
(Ä (±))
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.