Нелинейное взаимодействие волн в системах с внутренними резонансами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Войтова Татьяна Андреевна

• Войтова Татьяна Андреевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Войтова Татьяна Андреевна

2.5 Заключение ко 2 главе

3 Влияние нелокальных эффектов на свойства резонансных нелиней-

ных метаматериалов

3.1 Нелокальная гомогенизация нелинейного дискретного метамате-риала

3.2 Сравнение с локальной моделью эффективной среды

3.3 Нелинейные характеристики индивидуального метаатома

3.4 Нелокальные эффекты в системе нагруженных варакторными диодами коротких проводов

3.5 Заключение к 3 главе

Заключение

Список литературы

Введение

Исследование нелинейных оптических эффектов является одной из наиболее динамично развивающихся областей оптики на протяжении последних нескольких десятилетий. Первые эксперименты по генерации гармоник оптического излучения [1] стали мощным толчком к резкому расширению фронта исследований в области нелинейной оптики [2]. В качестве примеров можно назвать работы по созданию эффективных источников высококогерентного излучения -оптических параметрических генераторов. Особенностью этих устройств является возможность перестройки длины волны излучения в широком диапазоне. Еще одним примером можно отметить исследования по генерации оптического суперконтинуума - когерентного излучения с шириной спектра, превышающей октаву. Оптический суперконтинуум нашел широкое применение в телекоммуникационных приложениях, но особенно большое значение создание источников оптического суперконтинуума имело для метрологии при создании сверхвысокоточного стандарта частоты [3].

Современный прогресс в развитии экспериментальной техники сделал доступным для исследований использование сверхмощных источников лазерного излучения с пиковой мощностью, превышающей 1015 Вт. Наряду с этим, дополнительным стимулом к изучению новых нелинейных оптических эффектов стало активное развитие такого направления, как создание новых искусственных материалов, желаемый нелинейно-оптический отклик которых достигается путем надлежащего выбора структурных элементов метаматериала, геометрии их взаимного расположения и способа связи друг с другом. Поскольку нелинейные эффекты быстро растут при увеличении интенсивности поля, то можно ожидать, что наличие резонансов в системе должно способствовать усилению нелинейных взаимодействий. В то же время резонансные эффекты приводят к запаздыванию нелинейного отклика и к более сложной дисперсии волн в среде. Это существенно усложняет теорию нелинейных взаимодействий волн в таких

средах.

С прикладной точки зрения в целях создания устройств для высокоскоростной оптической обработки информации значительный интерес представляет динамическое управление световыми пучками и импульсами при их распространении в нелинейной среде. Исследованию взаимодействия пучков в нелинейных средах различного типа посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ [4,5]. В последнее время огромное внимание приковано к изучению возможности динамического управления лазерными импульсами посредством рассеяния на неоднородности показателя преломления, созданной в нелинейной среде опорным импульсом [6-9]. Однако в случае, когда индуцированная неоднородность обладает резонансными свойствами, характер рассеяния сигнального импульса может существенно измениться. Так, в недавних экспериментах было показано, что при взаимодействии с парой мощных оптических солитонов слабая дисперсионная волна может быть захвачена между ними, испытывая многочисленные отражения [10,11]. Использование периодичности по времени в управляющем сигнале, в свою очередь, дает дополнительные возможности управления оптическими импульсами. Это представляет практический интерес с точки зрения разработки сверхбыстрых полностью оптических переключателей, а также в целях оптимизации процесса генерации оптического суперконтинуума.

Одной из наиболее активных областей исследований в настоящее время является изучение и создание метаматериалов [12-14]. Использование больших нелинейностей, доступных в нелинейных резонансных метаматериалах, открывает ряд уникальных возможностей для создания нового поколения материалов. Недавние исследования показали, что в широком классе линейных метаматери-алов выражены эффекты пространственной дисперсии, для описания которых был предложен ряд оригинальных подходов [15-17]. Однако последовательное теоретическое описание свойств нелинейных метаматериалов с учетом нелокальных эффектов в настоящее время остается открытой проблемой [12].

Таким образом, исследование нелинейно-оптических явлений в структурах, обладающих внутренними резонансами, имеет большое значение с фундаментальной точки зрения для понимания процессов взаимодействия излучения с веществом, а также является стимулом для прикладных разработок в различных областях оптики, лазерной физики, физики метаматериалов.

Целью диссертационной работы является изучение особенностей нелинейного взаимодействия волн в системах, обладающих внутренними резонансами, а именно:

• Развитие теоретической модели и проведение анализа каскадного трехча-стотного взаимодействия оптических импульсов в средах с квадратичной нелинейностью в случае сильной периодически промодулированной накачки;

• Изучение рассеяния слабых дисперсионных волн солитонными ансамблями из двух или нескольких периодически следующих мощных импульсов в кубично-нелинейных средах при учете дисперсии третьего порядка. Проведение анализа зависимости отражения сигнала от периода следования солитонов и начальной частоты излучения;

• Исследование влияния рассеяния слабого дисперсионного излучения на динамику солитонного кластера, составленного из двух мощных оптических импульсов;

• Построение теоретической модели и получение аналитических выражений для эффективных нелинейных восприимчивостей метаматериала, представляющего собой трехмерный массив одноосных рассеивателей, с учетом нелокальных эффектов. Анализ влияния эффектов пространственной дисперсии на нелинейные свойства метаматериала.

Научная новизна исследований, проведенных в диссертационной работе, состоит в следующем:

1. Теоретически предсказаны и продемонстрированы численно новые эффекты при каскадном взаимодействии оптических импульсов в средах с квадратичной нелинейностью. Показана возможность управления сигнальными излучением на выходе из среды в широких пределах параметров;

2. Впервые проведено исследование отражательных характеристик солитон-ного ансамбля, составленного из двух или нескольких периодически следующих мощных оптических импульсов, в среде с кубической нелинейностью при учете третьего порядка дисперсии. Выявлен резонансный характер рассеяния дисперсионной волны ансамблем солитонов, проведена аналогия с отражением от пространственного резонатора Фабри-Перо (в случае 2 солитонов) и брэгговского зеркала (в случае нескольких солито-нов);

3. Проанализировано влияние рассеяния слабых дисперсионных волн на динамику солитонного резонатора, продемонстрирован новый эффект - взаимное притяжение солитонов, приводящее к изменению резонансной частоты и сложной собственной динамике солитонной пары;

4. Впервые проведено последовательное описание свойств нелинейных ме-таматериалов с учетом эффектов пространственной дисперсии. Показано влияние нелокальности на нелинейные характеристики метаматериала.

Основные методы исследования

Для решения поставленных задач в ходе исследования использовались аналитические методы, а также численное компьютерное моделирование. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением теоретических предсказаний с результатами численного моделирования, а также

сравнением результатов моделирования с реальными физическими процессами и явлениями.

Практическая значимость

Результаты, изложенные в диссертации, важны как с фундаментальной точки зрения для понимания нелинейных процессов, происходящих в системах с внутренними резонансами, так и для решения целого ряда практических задач. В частности, выявленные особенности распространения и взаимодействия оптических импульсов в нелинейных средах могут быть использованы для разработки нелинейных систем управления светом с помощью света, высокоскоростных полностью оптических переключателей и разветвителей, контроля скорости распространения и выходного профиля оптических сигналов и многих других задач. Более глубокое понимание свойств нелинейных метаматериалов будет способствовать созданию нового поколения материалов, в том числе на основе нелокальных эффектов, для широкого круга применений в промышленности, медицине и т.д.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Последовательность из двух временных оптических солитонов, распространяющихся в нелинейном волокне с дисперсией высших порядков, представляет из себя релятивистский аналог резонатора Фабри-Перо. Положение резонансных частот в спектре коэффициента отражения дисперсионной волны малой интенсивности от пары солитонов зависит от временной задержки между солитонами, а спектральная ширина резонанса определяется интенсивностью солитонов.

2. Каскадное перерассеяние дисперсионных волн, захваченных резонатором, образованным двумя временными солитонами, распространяющимися в нелинейных оптических волокнах с дисперсией высших порядков, приво-

дит к эффективному межсолитонному взаимодействию (притяжению) при временных интервалах между солитонами, намного превышающих их длительность.

3. Отражение дисперсионных волн малой интенсивности от периодической последовательности оптических солитонов, обусловленное резонансным четырехволновым смешением, является временным аналогом брэгговского отражения оптических пучков от сред с пространственной модуляцией показателя преломления. Коэффициент отражения дисперсионной волны от последовательности солитонов является периодической функцией временной задержки между солитонами и частоты падающего излучения.

4. В трехмерном метаматериале, составленном из одноосных рассеивателей, в окрестности резонанса эффективной линейной диэлектрической проницаемости на нелинейные свойства оказывает влияние пространственная дисперсия. Для реалистичных параметров метаматериала, составленного из нагруженных варакторыми диодами коротких проводов, в субволновом режиме, когда отношение длины волны к периоду структуры составляет А/а « 48, в зависимости от направления волнового вектора фундаментальной волны величина эффективной нелинейной восприимчивости второго порядка может изменяться в пределах 1%, величина эффективной нелинейной восприимчивости третьего порядка - в пределах 4%.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейное взаимодействие волн в системах с внутренними резонансами»

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и школах: Международная конференция "Days On Diffraction" (Санкт-Петербург, 2012), Международная конференция "ICONO/LAT" (Москва, 2013), Международная молодежная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2010), Международные чтения по квантовой оптике (Волгоград, 2011), Международный симпозиум

по фотонному эхо и когерентной спектроскопии ФЭКС (Йошкар-Ола, 2013), Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов - 2011" (Москва, 2011), Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика" (Санкт-Петербург, 2011, 2013), Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах" (Московская обл., 2010, 2012, 2014), Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн" (Московская обл., 2011, 2013, 2015). Работа была выполнена при финансовой поддержке прикладных научных исследований Министерством образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.587.21.0020).

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 7 публикациях в российских и зарубежных журналах, входящих в список изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских диссертаций, а также 4 статьях в прочих журналах. Полный список публикаций по теме диссертации:

По перечню ВАК:

1. Voytova T., Oreshnikov I., Yulin A., Driben R. Emulation of Fabry-Perot and Bragg resonators with temporal optical solitons // Optics Letters. - 2016. - Vol. 41. - P. 2442. - 0.25 п.л./0.06 п.л.

2. Gorlach M.A., Voytova T.A., Lapine M., Kivshar Yu.S., Belov P.A. Nonlocal homogenization for nonlinear metamaterials // Physical Review B. - 2016. -Vol. 93. - P. 165125. - 0.50 п.л./0.10 п.л.

3. Voytova T.A., Yulin A.V., Sukhorukov A.P. Interaction of a probe optical signal with a quasi-periodical sequence of high-power pump pulses // Physics of Wave Phenomena. - 2016. - Vol. 24. - P. 26. - 0.31 п.л./0.10 п.л.

4. Voytova T.A., Sukhorukova A.K., Sukhorukov A.P. Reflection of light from an

induced moving lattice // Physics of Wave Phenomena.- 2013.- Т. 21.- С. 16.

- 0.25 п.л./0.08 п.л.

5. Войтова Т.А., Сухоруков А.П. Взаимодействие оптических импульсов с движущейся нелинейно-индуцированной решеткой // Ученые записки Казанского университета. "Физико-математические науки".- 2013.- Т. 155.-С. 36. - 0.44 п.л./0.22 п.л.

6. Sukhorukov A.P., Voytova T.A., Lobanov V.E., Bugai A.N., Sazonov S.V. Nonlinear effects upon collisions of optical pulses: tunneling, blocking, and trapping // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics.- 2012.- Vol. 76.- P. 305. - 0.25 п.л./0.05 п.л.

7. Voytova T.A., Sukhorukov A.P. Discrete dispersion of optical pulses on nonlinear-induced moving lattice // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2010.- Vol. 74.- P. 1704. - 0.25 п.л./0.13 п.л.

Другие публикации:

8. Войтова Т.А., Юлин А.В., Сухоруков А.П. Взаимодействие пробного оптического сигнала с квазипериодической последовательностью мощных импульсов накачки // Ученые Записки Физического Факультета МГУ - 2015.

- №4. - С.154316. - 0.19 п.л./0.06 п.л.

9. Войтова Т.А., Сухоруков А.П. Спектральные характеристики движущейся индуцированной решетки показателя преломления // Ученые Записки Физического Факультета МГУ. - 2014.- №4. - С.144342. - 0.19 п.л./0.09 п.л.

10. Войтова Т.А., Сухоруков А.П. Нестационарная брэгговская дифракция короткого оптического импульса на индуцированной решётке, движущейся со световой скоростью // Ученые Записки Физического Факультета МГУ -2013. - №5. - С.135036. - 0.19 п.л./0.09 п.л.

11. Войтова Т.А., Сухоруков А.П., Трофимов А.В. Отражение и прохождение лазерных импульсов от бегущей индуцированной неоднородности // Материалы X Международного симпозиума по фотонному эхо и когерентной спектроскопии ФЭКС. - Йошкар-Ола, 2013. - С.87. - 0.31 п.л./0.10 п.л.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 оригинальных глав, заключения и списка используемой литературы. В начале каждой главы представлен обзор современного состояния исследований в области, которой посвящена данная глава. Объем работы составляет 114 страниц, включая 41 рисунок. Список используемой литературы содержит 176 библиографических ссылок.

Первая глава диссертации посвящена исследованию управления распространением лазерных импульсов в средах с квадратичной нелинейностью за счет каскадного трехчастотного взаимодействия в поле импульса накачки. Рассмотрены различные режимы управления скоростью распространения и формой профиля сигнального импульса посредством рассеяния на индуцированной неоднородности показателя преломления, наведенной парой опорных импульсов, периодической последовательностью опорных импульсов, а также двумя импульсными решетками различных частот. Продемонстрированы такие эффекты, как: захват сигнального импульса двумя опорными, дискретная дисперсия сигнала в индуцированной решетке, подавление дисперсионного расплывания, расщепление сигнального импульса на последовательность субимпульсов при рассеянии на квазипериодической неоднородности. Выявленные эффекты предоставляют новые возможности при создании полностью оптических переключателей для систем передачи данных.

Во второй главе исследуется взаимодействие слабой дисперсионной волны с солитонным излучением в кубично-нелинейной среде в присутствии дисперсии третьего порядка. Рассматривается рассеяние дисперсионных волн на после-

довательности мощных оптических солитонов, периодически следующих друг за другом с одинаковым временным отставанием. Проведен анализ отражения слабого излучения в зависимости от частоты входного сигнала, длительности и временной отстройки солитонов в ансамбле. Показано, что неоднородность, созданная парой мощных солитонов, является временным аналогом резонатора Фабри-Перо, в то время как неоднородность, наведенная ансамблем из большого числа солитонов, - аналогом брэгговского зеркала. В случае более интенсивного дисперсионного излучения, когда нельзя пренебречь влиянием рассеяния сигнала на динамику солитонного кластера, показана возможность притяжения соли-тонов друг к другу вследствие эффективного захвата дисперсионного излучения между ними. Продемонстрированные эффекты дают возможность управления отражением дисперсионного излучения за счет изменения несущей частоты и периода следования солитонов в ансамбле.

Третья глава посвящена исследованию влияния эффектов пространственной дисперсии на нелинейные свойства объемного метаматериала. В работе рассматривается система, представляющая собой массив расположенных в узлах кубической решетки одноосных нелинейных рассеивателей - коротких проводов, нагруженных варакторными диодами. Построена теория, позволяющая получить в явном виде эффективные нелинейные восприимчивости метаматери-ала по известным свойствам отдельных нелинейных частиц с учетом эффектов пространственной дисперсии. Было продемонстрировано, что нелокальные эффекты оказываются ярко выраженными в окрестностях резонанса эффективной диэлектрической проницаемости. Также была выявлена зависимость нелинейных восприимчивостей от направления распространения фундаментальной волны по отношению к кристаллографическим осям образца. Важно отметить, что при рассматриваемых значениях параметров метаматериал работает в субволновом режиме: отношение длины волны к периоду структуры составляет А/а « 48.

В Заключении обобщены основные результаты работы.

ГЛАВА 1

Каскадное взаимодействие лазерных импульсов в средах с

квадратичной нелинейностью

Развитие современной волновой оптики идет по пути постоянного совершенствования телекоммуникационных устройств, в первую очередь, с точки зрения увеличения скорости обработки данных. Последние достижения в этой области связаны с бурным развитием фотоники, изучающей различные методы управления светом с помощью света [4,9,18,19]. Использование в телекоммуникационных устройствах сверхбыстрого взаимодействия оптических сигналов позволяет получать высокие скорости переключения, а также обладает такими преимуществами, как миниатюрность и перестраиваемость.

Один из методов управления оптическим излучением основан на взаимодействии оптических пучков в нелинейных средах. В таких средах эффекты нелинейного самовоздействия и дифракционного расплывания могут компенсировать друг друга, приводя к образованию устойчивых волновых возмущений, распространяющихся без изменения профиля, т.е. солитонов. При столкновении солитонов друг с другом они также сохраняют свою форму, при этом упругое столкновение приводит только к сдвигу фаз и центра тяжести их огибающей. К настоящему времени подробно изучено взаимодействие векторных, временных и пространственных солитонов, продемонстрированы эффекты неупругого взаимодействия солитонов, сопровождаемого излучением части мощности, и многие другие [20-24].

Для осуществления полностью оптического переключения можно использовать нелинейное отражение лазерных пучков от наведенных неоднородностей [25-27]. Полное отражение оптических пучков можно осуществить посредством трехчастотного неколлинеарного взаимодействия в средах с квадратичной нели-

нейностью, когда мощный опорный пучок вместе с каскадно-возбужденной суммарной волной создает для слабого сигнального пучка эффективную неоднородность показателя преломления [28]. Этот эффект напоминает самовоздействие в кубично-нелинейных кристаллах. Попадая в область неоднородности, траектория сигнала искажается, и при выполнении определенных условий происходит его отражение. В среде с дефокусирующей нелинейностью полное отражение будет наблюдаться в случае падения сигнального пучка под малым углом [29]. Подобные эффекты имеют место также при распространении лазерных пучков в средах с фоторефрактивной нелинейностью [30] и нелокальной тепловой нелинейностью [31].

Особый интерес с точки зрения эффективного управления оптическим излучением представляют среды с периодической модуляцией показателя преломления. При распространении волн в веществе с периодически повторяющимися неоднородностями возможно наблюдение ряда новых эффектов, не проявляющихся при распространении в однородных средах [32]. Рассматривая такие среды в рамках дискретной модели, периодическую неоднородность можно описывать как массив слабо связанных идентичных волноводов. Когда оптическое излучение распространяется в структуре, состоящей из набора волноводов, происходит возбуждение линейной суперпозиции собственных мод. При этом энергетический обмен между отдельными волноводами в структуре обеспечивается за счет перекрытия мод соседних волноводов, что математически выражается во введении коэффициента связи в дискретных уравнениях, описывающих эволюцию поля. Распространение оптических пучков в системе слабо связанных волноводов было изучено как в линейном [33, 34], так и в нелинейном режимах [35-37]. Поданный в один из волноводов решетки пучок стремится про-туннелировать в соседние волноводы, тем самым разделяясь на несколько субпучков. Такое расширяющееся распространение - аналог дифракции в однородных средах. При этом характер дифракционного расплывания будет зависеть от направления распространения пучка, то есть дискретная дифракция проявляет

анизотропные свойства [38]. При достаточно высокой нелинейности самофокусировка может сбалансировать дифракционное уширение, приводя к образованию дискретного пространственного солитона [37]. Особенности распространения оптических пучков в дискретных системах к настоящему времени детально изучены для сред с различными типами нелинейности: квадратичной [39,40], фоторефрактивной [41-43], тепловой [44], ориентационной нелинейностью в жидких кристаллах [45] и др.

Существенным толчком в развитии данного направления стал значительный прогресс последних лет в технологии изготовления неоднородных структур. Во-лоноводные массивы можно создавать, к примеру, в полупроводниках с помощью высокоточной гравировки [46], внедрением другого материала [47], мощными фемтосекундными лазерными импульсами в плавленом кварце [48], с помощью литографии в полимерах [49]. Но параметры таких систем фиксированы, что ограничивает круг их возможных применений. Полностью перестраиваемые периодические структуры в нелинейных средах можно создавать с помощью метода оптической индукции. Наведенные локальные изменения показателя преломления в таком случае будут формировать отдельные волноводы, при этом глубина и период модуляции могут быть регулируемы посредством изменения интенсивности и угла схождения опорных волн, индуцирующих неоднородность. Используя разное количество опорных пучков, можно создавать индуцированные неоднородности синусоидального профиля [50], гексагональные [51], сотовые решетки [52] и другие конфигурации.

Распространение волнового пакета в квазиоптическом приближении описывается параболическим уравнением, математически эквивалентным тому, что описывает распространение волнового пучка в одномерном случае [53]. В силу указанной пространственно-временной аналогии математические выкладки и результаты решения пространственных задач могут быть напрямую сопоставлены с временным случаем и наоборот. При этом поперечная координата будет соответствовать времени, коэффициент дифракции - коэффициенту дисперсии,

угол наклона - расстройке групповых скоростей и т.д. Таким образом, при рассмотрении нелинейного распространения импульсов в диспергирующей среде следует ожидать проявления эффектов, аналогичных нелинейному поведению дифрагирующих пучков. В частности, пространственно-временной аналогией оптического пучка, дифракционное расплывание которого скомпенсировано эффектами нелинейной фазовой самомодуляции, является временной оптический солитон, распространяющийся в нелинейной среде без изменения длительности [54].

Для управления распространением оптических импульсов недавно был предложен новый метод, основанный на трехчастотном каскадном взаимодействии слабого сигнального импульса с мощным опорным импульсом на другой частоте [7]. Из-за эффектов нелинейной фазовой кросс-модуляции импульс накачки создает эффективную движущуюся с релятивистской скоростью неоднородность

ТЛ V-/ __V-/

показателя преломления. В случае, когда расстройка групповых скоростей взаимодействующих импульсов мала (критическое значение расстройки определяется интенсивностью опорного излучения), сигнал может отразиться от наведенной неоднородности, при этом его скорость распространения изменяется. Сигнальный импульс начинает отставать от опорного и на выходе из среды приобретает временную задержку по сравнению с его распространением в однородной среде. Подобный эффект частотного преобразования оптического импульса имеет место при отражении сигнала от ионизованных областей в плазме [55,56], а также неоднородностей, наведенных в средах с быстрой оптической нелинейностью самим импульсом [57] или опорным импульсом, распространяющимся сонаправленно [58] или во встречном направлении [59].

Особый интерес представляет исследование распространения оптических импульсов в нелинейных средах с наведенной периодической модуляцией показателя преломления, распространяющейся с релятивистской скоростью. Это может быть достигнуто с помощью интерференции двух мощных опорных импульсов близких частот в средах с быстрой оптической нелинейностью [60]. Такой под-

ход обладает преимуществом, заключающемся в том, что глубину модуляции показателя преломления можно легко регулировать с помощью изменения параметров опорного излучения.

Управление временем задержки оптического импульса на выходе из среды можно осуществлять за счет дисперсионных свойств волоконных брэгговских решеток [61,62]. При этом отражение сигнала может наблюдаться даже в случае большой расстройки групповых скоростей, а время задержки сигнала будет определяться интенсивностью опорного импульса.

Первая глава диссертации посвящена исследованию каскадного несинхронного взаимодействия коротких оптических импульсов в средах, обладающих квадратичной нелинейностью. В этой главе материал организован следующим образом: в первом параграфе представлена математическая модель, описывающая динамику взаимодействующих импульсов, во втором - показаны основные эффекты, имеющие место при рассеянии сигнала на неоднородности, наведенной одним опорным импульсом. В третьем параграфе представлены результаты численного моделирования захвата сигнального импульса парой импульсов на частоте накачки, рассмотрены случаи распространения опорных импульсов на одинаковых или близких частотах. Особенности дискретной дисперсии оптического импульса в движущейся решетке показателя преломления рассмотрены в четвертом параграфе главы. Дополнительные возможности контроля групповой скорости сигнала за счет распространения вдоль индуцированных структур с неоднородным распределением интенсивности представлены в пятом параграфе главы. Динамика отражения пробного импульса от периодической последовательности опорных импульсов в том случае, когда на входе в среду они поданы с ненулевой временной задержкой, исследована в шестом параграфе. Седьмой параграф содержит результаты численных расчетов рассеяния сигнала квазипериодической неоднородностью, наведенной в нелинейной среде двумя импульсными решетками разных частот. В заключении главы подчеркнуты основные результаты проведенных исследований.

1.1 Математическая модель

Распространение электромагнитных волн в однородной немагнитной среде в отсутствие свободных электрических зарядов и токов описывается в рамках классической электродинамики уравнениями Максвелла:

rot Ё (P,t) = - , (1.1)

c dt

rot H (P,t) = , (1.2)

c dt

div D (r, t) = 0, (1.3)

div B (P,t) = 0, (1.4)

где Ё и H - векторы напряженности электрического и магнитного полей, D и B - векторы электрической и магнитной индукции. Эти величины связаны между собой материальными уравнениями: D = Ё + 4пР и B = H, где Р - поляризация среды. Решая совместно уравнения (1.1)-(1.4) и материальные уравнения, можно получить волновые уравнения, описывающие эволюцию электрического и магнитного полей по отдельности. Волновое уравнение для напряженности электрического поля будет выглядеть следующим образом:

Л , Ё 1 д2E(r,t) 4пд2P(r,t)

АЁ(P,t) - graddiv Ё - С2= ^. (1.5)

Связь поляризации среды Р с напряженностью поля Ё можно записать в следующем виде:

р = р(М + p(nonun) = Х(1)Ё + х(2)ЕЁ + х(3)ЁЕЁ + ..., (1.6)

где - тензор оптической восприимчивости к-го порядка. В подавляющем большинстве практически важных случаев основной вклад в поляризацию вно-

сят первые несколько членов разложения, нелинейности более высокого порядка быстро убывают с ростом к. Далее в этой главе будем рассматривать распространение оптического излучения в средах с квадратичной нелинейностью, принимая во внимание в разложении (1.6) только первые два слагаемых.

Электромагнитное поле лазерного импульса будем искать в виде квазимоно-хроматичнской волны, волновой вектор которой направлен вдоль оси г. Считая излучение линейно поляризованным вдоль оси х, представим поле в виде:

Е (г,г) = 1 А(х,г)е1Ы—к{-Шо)х) + .., (1.7)

2

где ыо - несущая частота, к(ыо) - постоянная распространения, А(г, г) - медленно меняющаяся амплитуда поля. В случае распространения квазимонохроматического волнового пакета (Аы ^ ыо) в пределах спектральной линии излучения можно описать зависимость волнового числа от частоты, разложив его в ряд в окрестности несущей частоты ыо:

т / \ 7 дк

к(ыо) = ко + ды

(ы — ыо) + -

1 д 2к

,, 2 ды2

(ы — ыо)2 + .... (1.8)

^0

Далее в работе будем ограничиваться первыми тремя членами в разложении (1.8), а также будем учитывать, что огибающая импульса является медленно меняющейся функцией в пространстве и во времени, т.е. || ^ |кА| и |§|<< ы|А|.

В рамках сделанных выше предположений рассмотрим трехчастотное взаимодействие волн в среде с квадратичной нелинейностью. Зададим мощный опорный импульс с огибающей А1 на частоте ыь а также сигнальный импульс малой интенсивности с огибающей А2 на частоте ы2. Вследствие нелинейности в среде возбуждается холостая волна на суммарной частоте ы3 = ы1 + ы2. Принимая во внимание выражения (1.6) и (1.8), получим уравнения для медленно

п = _ 1 д2к±

П = 2 дш2

меняющихся амплитуд взаимодействиующих импульсов в следующем виде:

-А + г01 д2^ = — гЪАА\ (1.9)

дг дт2

дА2 + дА2 + п д2А2 . . . „

"ТТ" + V2-7Т— + «П^—— = -27 2А3А1 , (1.10)

дг дт дт2

дА дА д2А

-А + vз^ + 2П3 ^ = -273А1А2 + 2АкАз. (1.11)

дг дт дт2

Здесь распространение рассматривается в движущейся системе координат, привязанной к групповой сторости опорного импульса и1; т = г — г/и1 - бегущее время; Vj = 1 /и — 1/и1 - расстройка обратных групповых скоростей;

- коэффициент дисперсии второго порядка; Yj = 2пх(2)ыу/cnj -

коэффициент нелинейности; х(2) - нелинейная воприимчивость второго порядка; пу - показатель преломления; с - скорость света; А к = к(ы1) + к(ы2) — к(ы3) - расстройка волновых векторов вдоль оси г.

Будем считать, что интенсивность импульса на опорной частоте на несколько порядков выше интенсивности сигнального импульса и импульса на суммарной

т-ч V-/ V-/

частоте. В этом случае влияние сигнальной и суммарной волн на опорное излучение можно не учитывать. Следовательно, пренебрежем слагаемым в правой части уравнения (1.9).

При большой дисперсионной расстройке волновых векторов взаимодействие между накачкой и пробной волной носит нерезонансный характер. В этом случае в уравнениях для медленно меняющихся амплитуд волн на суммарной частоте можно пренебречь членами с пространственной и временными производными и свести уравнение к алгебраическому. Решение этого уравнения дает выражение для амплитуды волны на суммарной частоте как функцию амплитуд пробной волны и волны накачки:

А3 = А|А1(т,г)А2. (1.12)

Подставляя (1.12) в (1.9)-(1.11), получаем уравнение для огибающей пробной

волны в следующем виде:

+ + = гк2Пп1 (т,г )А2, (1.13)

где ип1 (т, г) = — [к2^] | Ахт)|2 - неоднородность показателя преломления, индуцированная импульсом накачки для пробного сигнала. Отметим, что форма профиля индуцированной неоднородности при таком взаимодействии повторяет распределение интенсивности импульса накачки, причем модуляция эффективного показателя преломления создается динамически, что выражается в том, что ип1 является функцией времени и координаты. Особенностью формирования индуцированной неоднородности в данном случае является тот факт, что она проявляется в нелинейной среде только при наличии сигнальной волны. Это объясняется каскадным механизмом генерации: сначала возбуждается волна на суммарной частоте, и только затем суммарная волна вместе с волной накачки изменяют показатель преломления на сигнальной частоте.

Далее в этой главе результаты будут представлены в безразмерных переменных: и = А2/А2о(г = 0); их = Ах/Аю(г = 0); 5 = г/Ьп, где Ьв = то2/В2 - длина дисперсионного расплывания сигнального импульса длительностью т0; 5 = т/т0; 5 = т0/В2; 5 = — ^Ц3Ьр|А1012. Для краткости далее в тексте знак тильды опущен. Таким образом, в безразмерных переменных уравнение для огибающей сигнального импульса принимает вид:

ди ди д2и 2

дг + р2дТ + = г7и|их| . (1.14)

Отметим, что задачу об эволюции импульса удобно анализировать, приняв во внимание формальную аналогию с квантовой механикой. В этом случае уравнение (1.13) соответствует одномерному уравнению Шрёдингера для волнового пакета, испытывающего рассеяние на потенциале [63]. При этом характер рассеяния определяется знаком произведения ип1 к2 в засисимости от кристалла и

типа синхронизма: в случае < 0 имеем аналог потенциального барьера для квантовомеханической частицы, а в случае пп1 к2 > 0 - аналог потенциальной ямы. При взаимодействии с таким индуцированным потенциалом, сигнальный импульс может испытывать искривление траектории, изменение длительности и формы профиля, перестройку частоты.

В последующих параграфах главы рассмотрим в деталях, как происходит взаимодействие оптического сигнала с наведенной неоднородностью показателя преломления, созданной парой или периодической последовательностью мощных опорных импульсов.

1.2 Отражение, туннелирование и пленение сигнального импульса одиночным импульсом накачки

Анализ каскадного взаимодействия оптических импульсов в среде с квадратичной нелинейностью начнем с расчетов рассеяния слабого сигнального импульса неоднородностью, индуцированной одним опорным импульсом. С точки зрения пространственно-временной аналогии [53] данная задача является математическим эквивалентом задачи отражения лазерного пучка от пространственной неоднородности, наведенной пучком накачки. Полное отражение лазерного пучка от неоднородности будет наблюдаться в случае, когда угол падения сигнала по отношению к пучку накачки не превышает критического значения [64]. Для случая же распространения лазерного импульса, отражение будет происходить в среде с дефокусирующей нелинейностью и аномальной дисперсией групповых скоростей на частоте сигнального импульса (либо в случае нормальной дисперсии и фокусирующей нелинейности), если начальная расстройка групповых скоростей взаимодействующих импульсов меньше, чем критическое значение, определенное пиковой интенсивностью накачки [31]. В результате такого взаимодействия знак расстройки обратных групповых скоростей и частота сигнала изменяются. Пробный импульс уже не может обогнать опорный и будет

двигаться с задержкой по сравнению с подобным, распространяющимся в линейной среде.

Рассмотрим подробнее описанное выше взаимодействие и получим условие отражения оптических импульсов. Будем считать, что 02пп1 < 0, то есть индуцированная неоднородность является для сигнального импульса аналогом потенциального барьера для квантовой частицы. Зададим на входе в среду следующие начальные условия:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Войтова Татьяна Андреевна, 2016 год

Литература

[1] Generation of oprical harmonics / P. Franken, A. Hill, C. Peters, G. Weinrech // Physical Review Letters. - 1961,-Vol. 7. - P. 118.

[2 [3

[4 [5

[6

[7

[8 [9 10 11 12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ, 1964.

Фемтосекундные оптические часы / С.Н. Багаев, В.И. Денисов, В.Ф. Захарьяш и др. // Квантовая электроника. — 2004. — Vol. 12. — P. 1096.

Gibbs H. Optical bistability: Controlling light by light. — Orlando, Acad. Press., 1985.

Kivshar Yu.S., Agrawal G.P. Optical Solitons. From fibers to photonic crystals. — Academic Press, 2003.

Розанов Н., Высотина Н., Шацев А. Попутное отражение света от движущейся неоднородности // Письма в ЖЭТФ. — 2011. — Vol. 93. — P. 341.

Лобанов В.Е, Сухоруков А.П. Изменение скорости и частоты оптического сигнала при каскадном параметрическом взаимодействии с мощным опорным импульсом. // Известия РАН. Серия физическая. — 2009. — Vol. 73. — P. 1680.

Skryabin D.V., Gorbach A.V. Looking at a soliton through the prism of optical supercontinuum. // Reviews of Modern Physics. — 2010. — Vol. 82. — P. 1287.

Demircan A., Amiranashvili Sh., Steinmeyer G. Controlling light by light with an optical event horizon // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 106. — P. 163901.

Bouncing of a dispersive wave in a solitonic cage/ S.F. Wang, A. Mussot, M. Conforti et al. // Optics Letters. — 2015. — Vol. 40. — P. 3320.

Soliton interaction mediated by cascaded four wave mixing with dispersive waves / A.V. Yulin, R. Driben, B.A. Malomed, D.V. Skryabin // Optics Express. — 2013. — Vol. 21. — P. 14481.

Lapine M, Shadrivov I.V., Kivshar Yu.S. Nonlinear metamaterials. // Reviews of Modern Physics. — 2014. — Vol. 86. — P. 1093.

Predicting nonlinear properties of metamaterials from the linear response / K. O'Brien, H. Su-chowski, J.Rho, A. Salandrino et al. // Nature Materials. — 2015. — Vol. 14. — P. 379.

Continuous control of the nonlinearity phase for harmonic generations / G. Li, S. Chen, N. Pholchai et al. // Nature Materials — 2015. — Vol. 14. — P. 607.

Engineered optical nonlocality in nanostructured metamaterials / A.A. Orlov, P.M. Voroshilov, P.A. Belov, Yu.S. Kivshar // Physical Review B. — 2011. — Vol. 84. — P. 045424.

Experimental demonstration of effective medium approximation breakdown in deeply subwave-length all-dielectric multilayers / S. Zhukovsky, A. Andryieuski, O. Takayama et al. // Physical Review Letters. — 2015. — Vol. 115. —P. 177402.

Gorlach M.A., Belov P.A. Nonlocality in uniaxially polarizable media. // Physical Review B. — 2015. —Vol. 92. —P. 085107.

Yariv A. Soliton-driven photonics. — Eds. NATO Science series, Dordrecht, Boston, London, Kluwer Academic Publishers, 2001.

Miller D. Are optical transistors the logical next step? // Nature Photonics. — 2010. — Vol. 4. — P. 3.

Ахмедиев Н.Н., Анкевич А. Солитоны. — М.: Физмат-лит, 2003.

[21] Collisions of solitary waves in media with a second order nonlinearity / C. Etrich, U. Peschel, F. Lederer, B. Malomed // Physical Review B. — 1995. - Vol. 52. - P. 3444.

[22] Cao X.-D. Propagation of Ultrashort optical pulses in nonlinear media and their applications. — University of Rochester Rochester, New York, 1994.

[23] Stegeman G.I., Christoulides D.N., Segev M. Optical spatial solitons: historical perspectives. // IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics. — 2000. — Vol. 6. — P. 1419.

[24] Сухорукова A.K., Сухорукое А.П. Динамика соударений нескольких квадратичных пространственных солитонов. // Известия РАН. Серия физическая.— 2003.— Vol. 12.— P. 1737.

[25] S. Mingaleev, Yu. Kivshar Nonlinear photonic crystals. // Optics and Photonics News. — 2002. — Vol. 7. —P. 48.

[26] Kivshar Yu.S., Stegeman G.I. Spatial optical solitons guiding light for future technologies. // Optics and Photonics News. — 2002. — Vol. 13. — P. 59.

[27] Pertsch T, Peschel U, Lederer F. All-optical switching in quadratically nonlinear waveguide arrays. // Optics Letters. — 2003. — Vol. 28. — P. 102.

[28] Stegeman G. x(2) cascading phenomena and their applications to all-optical signal processing, mode-locking, pulse compression and solitons. // Optical and Quantum Electronics. — 1996. — Vol. 28. —P. 1691.

[29] Lobanov V.E., Sukhorukov A.P. Repulsion and total reflection with mismatched three-wave interaction of noncollinear optical beams in quadratic media. // Physical Review A. — 2011. — Vol. 84. —P. 023821.

[30] Кабакова И.В., Сухорукое А.П. Пространственное переключение оптического сигнала в дефокусирующем фоторефрактивном кристалле. // Известия РАН. Серия физическая..— 2008. —Vol. 72. —P. 8.

[31] Nonlinear reflection of optical beams in the media with a thermal nonlinearity / V.E. Lobanov, A.A. Kalinovich, A.P. Sukhorukov et al. // Laser Physics. — 2009. — Vol. 19. — P. 1112.

[32] Denz C, Flach S., Kivshar Yu. Nonlinearities in periodic structures and metamaterials.— Springer, Verlag Berlin Heidelberg, 2010.

[33] Jones A.L. Coupling of optical fibers and scattering in fibers. // Journal of the Optical Society of America. — 1965. — Vol. 55. — P. 261.

[34] Channel optical waveguide directional couplers / S. Somekh, E. Garmire, A. Yariv et al. // Applied Physics Letters. — 1973. — Vol. 22. — P. 46.

[35] Christodoulides D.N., Joseph R.I. Discrete self-focusing in nonlinear arrays of coupled waveguides. // Optics Letters. — 1988. — Vol. 13. — P. 794.

[36] Discrete self-trapping, soliton interactions, and beam steering in nonlinear waveguide arrays / A.B. Aceves, C. De Angelis, T. Peschel et al. // Physical Review E. — 1996. — Vol. 53. — P. 1172.

[37] Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays / H.S. Eisenberg, Y Silberberg, R. Moran-dotti et al.. // Physical Review Letters. — 1998. — Vol. 81. — P. 3383.

[38] Diffraction management / H.S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, J.S. Aitchison // Physical Review Letters. — 2000. — Vol. 85. — P. 1863.

[39] Peschel T., Peschel U., Lederer F. Discrete bright solitary waves in quadratically nonlinear media. // Physical Review E. - 1998. - Vol. 57. - P. 1127.

[40] Observation of discrete quadratic solitons / R. Iwanow, R. Schiek, G.I. Stegeman et al. // Physical Review Letters. - 2004. - Vol. 93. - P. 113902.

[41] Discrete solitons in photorefractive optically induced photonic lattices / N.K. Efremidis, S. Sears, D.N. Christodoulides et al. // Physical Review E. - 2002. - Vol. 66. - P. 046602.

[42] Observation of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear photonic lattices / J.W. Fleischer, M. Segev, N.K. Efremidis, D.N. Christodoulides // Nature.- 2003.- Vol. 422. - P. 147.

[43] Dark and bright blocker soliton interaction in defocusing waveguide arrays / E. Smirnov, C.E. Ruter, M. Stepic et al. // Optics Express. - 2006. - Vol. 14. - P. 11448.

[44] Optical Bloch oscillations in temperature tuned waveguide arrays / T. Pertsch, P. Dannberg, W. Elflein et al. // Physical Review Letters. - 1999. - Vol. 83. - P. 4752.

[45] Discrete propagation and spatial solitons in nematic liquid crystals / A. Fratalocchi, G. Assanto, K.A. Brzdakiewicz, M.A. Karpierz // Optics Letters. - 2004. - Vol. 29. - P. 1530.

[46] Nonlinear waveguide arrays in AlGaAs / P. Millar, J.S. Aitchison, J.U. Kang et al. // Journal of the Optical Society of America. - 1997. - Vol. 14. - P. 3224.

[47] Crossover from self-defocusing to discrete trapping in nonlinear waveguide arrays / M. Ma-tuszewski, C.R. Rusberg, D.N. Neshev et al. // Optics Express. - 2006. - Vol. 14. - P. 254.

[48] Discrete nonlinear localization in femtosecond laser written waveguides in fused silica / A. Sza-meit, D. Blomer, J. Burghoff et al. // Optics Express. - 2005. - Vol. 13. - P. 10552.

[49] Anomalous refraction and diffraction in discrete optical systems / T. Pertsch, T. Zentgraf, U. Peschel et al. // Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 88. - P. 093901.

[50] Observation of discrete solitons in optically induced real time waveguide arrays / J.W. Fleischer, T. Carmon, M. Segev et al. // Physical Review Letters. - 2003. - Vol. 90. - P. 023902.

[51] Shchesnovich V.S., Desyatnikov A.S., Kivshar Yu.S. Interband resonant transitions in two-dimensional hexagonal lattices: Rabi oscillations, zener tunnelling, and tunnelling of phase dislocations. // Optics Express. - 2008. - Vol. 16. - P. 14076.

[52] Light tunneling inhibition and anisotropic diffraction engineering in two-dimensional waveguide arrays / Y.V. Kartashov, A. Szameit, V.A. Vysloukh, L. Torner // Optics Letters. - 2009. - Vol. 19.-P. 2906.

[53] Сухорукое А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. - Москва, Наука, 1988.

[54] Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers. // Physicsl Review Letters. - 1980. - Vol. 45. - P. 1095.

[55] Kulagin V.V., Cherepenin V.A., SukH. Generation of relativistic electron mirrors and frequency upconversion in laser-plasma interactions. // Applied Physics Letters. - 2004. - Vol. 85. -P. 3322.

[56] Релятивистские зеркала в плазме - новые результаты и перспективы / С.И. Буланое, Т.Ж. Есиркепое, М. Кандо и др. // Успехи Физических Наук. - 2013. - Vol. 183. - P. 449.

[57] Rozanov N.N., Kiselev Al.S., Kiselev An.S. The Doppler frequency shift caused by the inhomo-geneities of a medium induced by pulses of intense laser radiation. // Microwave and Optical Technology Letters. — 2008. — Vol. 105. — P. 268.

[58] Rozanov N.N. Transformation of electromagnetic radiation at moving inhomogeneities of a medium. // JETP Letters. — 2008. — Vol. 88. — P. 501.

[59] Vysotina N.V., Rozanov N.N., Shatsev A.N. Transformation of radiation upon its interaction with overtaking inhomogeneity in a medium with dispersion. // Optics and spectroscopy. — 2012. — Vol. 112. —P. 294.

[60] Vysotina N.V., Rozanov N.N., Shatsev A.N. Light reflection from a moving bragg lattice formed by a train of pulses in a nonlinear medium. // Optics and spectroscopy. — 2012. — Vol. 112. — P. 291.

[61] Spectral shift of femtosecond pulses in nonlinear quadratic PPSLT crystals / F Baronio, C. De Angelis, M. Marangoni et al. // Optics Express. — 2006. — Vol. 14. — P. 4774.

[62] All-optical tunable group-velocity control of femtosecond pulse by quadratic nonlinear cascading interactions / W. Lu, Y. Chen, L. Miu et al. // Optics Express. — 2008. — Vol. 16. — P. 355.

[63] Нелинейные эффекты при столкновении оптических импульсов: туннелирование, блокирование, пленение / А.П. Сухоруков, Т.А. Войтова, В.Е. Лобанов и др. // Известия РАН. Серия Физическая. — 2012. — Vol. 768. — P. 390.

[64] Лобанов В.Е., Сухорукова А.К., Сухоруков А.П. Параметрическое отражение при каскадном взаимодействии сфокусированных оптических пучков. // Квантовая Электроника. — 2008. —Vol. 38. —P. 951.

[65] Taylor H.F., Yariv A. Guided wave optics. // Proceedings of the IEEE.— 1974.— Vol. 62.— P. 1044.

[66] Yariv A. Optical electronics. — Saunders College Publishing, Philadelphia, 1991.

[67] Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. — Москва, Наука, 1979.

[68] Hasegawa A., Trappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. // Applied Physics Letters. — 1973. — Vol. 23. — P. 142.

[69] Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers. // Physical Review Letters. — 1980. — Vol. 45. — P. 1095.

[70] Agrawal G.P. Nonlinear fiber optics. — Academic, 2007.

[71] Hasegawa A., Kodama Y Solitons in optical communications. — Oxford University Press, New York, 1995.

[72] Haus H.A., Wong W.S. Solitons in optical communications. // Reviews of Modern Physics. — 1996. —Vol. 68. —P. 423.

[73] Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.C. Solitons and nonlinear wave equation.— Academic, New York, 1982.

[74] Mollenauer L., Gordon J. Solitons in optical fibers: Fundamentals and application. — Academic Press, New York, 2006.

[75] Dudley J.M., Genty G., Coen S. Supercontinuum generation in photonic crystal fiber. // Reviews of Modern Physics. — 2006. — Vol. 78. — P. 1135.

[76] Knight J.C., Skryabin D.V. Nonlinear waveguide optics and photonic crystal fibers. // Journal of Lightwave Technology. — 2007. — Vol. 15. — P. 15365.

[77] Optical spectral broadening and supercontinuum generation in telecom applications / S.V. Smirnov, J.D. Ania-Castanon, T.J. Ellingham el al. // Optical Fiber Technology. — 2006. — Vol. 12. —P. 122.

[78] Ranka J.K., Windeler R.S., Stentz A.J. Visible continuum generation in air-silica microstructure optical fibers with anomalous dispersion at 800 nm. // Optics Letters. — 2000. — Vol. 25. — P. 25.

[79] Supercontinuum generation in photonic crystal fibers and optical fiber tapers: a novel light source / W.J. Wadsworth, A. Ortigosa-Blanch, J.C. Knight et al. // Journal of the Optical Society of America. — 2002. — Vol. 19. — P. 2148.

[80] Experimental studies of the coherence of microstructure-fiber supercontinuum / X. Gu, M. Kim-mel, A.P. Shreenath et al. // Optics Express. — 2003. — Vol. 11. — P. 2697.

[81] Russell P.S.J. Photonic-crystal fibers. // Journal of Lightwave Technology. — 2006. — Vol. 24. — P. 4729.

[82] Dudley J.M., Taylor J.R. Ten years of nonlinear optics in photonic crystal fibre. // Nature Photonics. — 2009. — Vol. 3. — P. 85.

[83] Желтиков А.М. Да будет белый свет: генерация суперконтинуума сверхкороткими лазерными импульсами. // Успехи Физических Наук. — 2006. — Vol. 176. — P. 623.

[84] Nonlinear pulse propagation in the neighborhood of the zero-dispersion wavelength of monomode optical fibers / P.K.A. Wai, C.R. Menyuk, Y.C. Lee, H.H. Chen // Optics Letters. — 1986. —Vol. 11. —P. 464.

[85] Soliton self-frequency shift cancellation in photonic crystal fibers / D.V. Skryabin, F. Luan, J.C. Knight, P.St.J. Russel // Science. — 2003. — Vol. 301. — P. 1705.

[86] Driben R., Mitschke F., Zhavoronkov N. Cascaded interactions between Raman induced solitons and dispersive waves in photonic crystal fibers at the advanced stage of supercontinuum generation. // Optics Express. — 2010. — Vol. 18. — P. 25993.

[87] Driben R., Yulin A.V., Efimov A. Resonant radiation from oscillating higher order solitons. // Optics Express. — 2015. — Vol. 23. — P. 19112.

[88] Dynamics of cascaded resonant radiations in a dispersion-varying optical fiber / A. Bendahmane, F. Braud., M. Conforti et al. // Optica. — 2014. — Vol. 1. — P. 243.

[89] Parametric excitation of multiple resonant radiations from localized wavepackets / M. Conforti, S. Trillo, A. Mussot, A. Kuldinski // Scientific Reports. — 2015. — Vol. 5. — P. 9433.

[90] Mitschke F.M., Mollenauer L.F. Discovery of the soliton self-frequency shift. // Optics Letters. — 1986. —Vol. 11. —P. 659.

[91] Diffraction-arrested soliton self-frequency shift of few-cycle laser pulses in a photonic-crystal fiber / E.E. Serebryannikov, A.M. Zheltikov, S. Kohler et al. // Physical Review E. — 2006. — Vol. 73. —P. 066617.

[92] Polarization instability of solitons in photonic crystal fibers / F. Luan, A.V. Yulin, J.C. Knight, D.V. Skryabin // Optics Express. — 2006. — Vol. 14. — P. 6550.

[93] Bound soliton pairs in photonic crystal fiber / A. Podlipensky, P. Szarniak, N.Y. Joly et al. // Optics Express. — 2007. — Vol. 15. — P. 1653.

[94] Tunable light source for coherent anti-Stokes Raman scattering microspectroscopy based on the soliton self-frequency shift / E.R. Andresen, V. Birkedal, J. Thogersen, S.R. Keiding // Optics Letters. - 2006. - Vol. 31. - P. 1328.

[95] Optical event horizons from the collision of a soliton and its own dispersive wave / S.F. Wang, A. Mussot, M. Conforti et al. // Physical Review A. - 2015. - Vol. 92. - P. 023837.

[96] Fiber-optical analog of the event horizon / T.G. Philibin, C. Kuklewicz, S. Robertson et al. // Science. - 2008. - Vol. 319. - P. 1367.

[97] Observation of an optical event horizon in a silicon-on-insulator photonic wire waveguide / C. Ciret, F. Leo, B. Kuyken et al. // Optics Express. - 2016. - Vol. 24. - P. 114.

[98] Robertson S., Leonhardt U. Frequency shifting at fiberoptical event horizons: The effect of the Raman deceleration. // Physical Review A. - 2010. - Vol. 81. - P. 063835.

[99] Nonlinear optics of fibre event horizons / K.E. Webb, M. Erkintalo, Y Xu et al. // Nature Communications. - 2014. - Vol. 5. - P. 4969.

[100] Yulin A.V., Skryabin D.V., Russel P.St.J. Four-wave mixing of linear waves and solitons in fibers with higher-order dispersion. // Optics Letters. - 2004. - Vol. 29. - P. 2411.

[101] Skryabin D.V., Yulin A.V. Theory of generation of new frequencies by mixing of solitons and dispersive waves in optical fibers. // Physical Review E. - 2005. - Vol. 72. - P. 016619.

[102] Interaction of an optical soliton with a dispersive wave / A. Efimov, A.V. Yulin, D.V. Skryabin et al. // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 95. - P. 213902.

[103] Phase-sensitive scattering of a continuous wave on a soliton / A. Efimov, A.J. Taylor, A.V. Yulin et al. // Optics Letters. - 2006. - Vol. 31. - P. 1624.

[104] Observation of the stepwise blue shift of a dispersive wave preceding its trapping by a soliton / A. Bendahmane, A. Mussot, M. Conforti, A. Kuldinski . // Optics Express. - 2015. - Vol. 23. -P. 16595.

[105] Four-wave mixing of solitons with radiation and quasi-nondispersive wave packets at the short-wavelength edge of a supercontinuum / A.V. Gorbach, D.V. Skryabin, J.M. Stone, J.C. Knight // Optics Express. - 2006. - Vol. 14. - P. 9854.

[106] Oreshnikov I., Driben R., Yulin A.V. Interaction of high-order solitons with external dispersive waves. // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40. - P. 5554.

[107] Afanasjev V.V., Kivshar Yu.S. Effect of third-order dispersion on dark solitons. // Optics Letters. -1996.-Vol. 21.-P. 1975.

[108] Milian C., Skryabin D.V., Ferrano A. Continuum generation by dark solitons. // Optics Letters. -2009. - Vol. 34. - P. 2096.

[109] Karpman V.I. Stationary and radiating dark solitons of the 3rd-order nonlinear Schrodinger-equation. // Physics Letters A. - 1993. - Vol. 181. - P. 211.

[110] Oreshnikov I., Driben R., Yulin A.V. Weak and strong interactions between dark solitons and dispersive waves. // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40. - P. 4871.

[111] Trapping of light in solitonic cavities and its role in the supercontinuum generation / R. Driben, A.V. Yulin, A. Efimov, B.A. Malomed // Optics Express. - 2013. - Vol. 21. - P. 19091.

113

114

115

116

117

118

119

120 121 122

123

124

125

126

127

128

129

130

Compressible octave spanning supercontinuum generation by two-pulse collisions / A. Demir-can, S. Amiranaashvili, C. Bree, G. Steinmeyer // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 110. — P. 233901.

Tartara L. Soliton control by a weak dispersive pulse. // Journal of the Optical Society of America B. — 2015. — Vol. 32. — P. 395.

Experimental evidence for supercontinuum generation by fission of higher-order solitons in photonic fibers / G. Herrmann, U. Griebner, N. Zhavoronkov et al. // Physical Review Letters. — 2002. —Vol. 88. —P. 173901.

Transformation and control of ultra-short pulses in dispersion-engineered photonic crystal fibres / W.H. Reeves, D.V. Skryabin, F. Biancalana et al. // Nature. — 2003. — Vol. 424. — P. 511.

Newton's cradles in optics: From N-soliton fission to soliton chains / R. Driben, B.A. Malomed, A.V. Yulin, D.V. Skryabin // Physical Review A. — 2013. — Vol. 87. — P. 063808.

Raman-free nonlinear optical effects in high pressure gas-filled hollow core PCF / M. Azhar, G.K.L. Wong, W. Chang et al. // Optics Express. — 2013. — Vol. 21. — P. 4405.

Gordon J.P. Interaction forces among solitons in optical fibers. // Optics Letters. — 1983. — Vol. 8. — P. 596.

Mitschke F.M., Mollenauer L.F. Experimental observation of interaction forces between solitons in optical fibers. // Optics Letters. — 1987. — Vol. 12. — P. 355.

Essiambre R.J., Agrawal G.P. Soliton interaction in a fiber ring laser . // Electronics Letters. — 1995. —Vol. 31. —P. 1464.

Kodama Y, Romagnoli M., Wabnitz S. Soliton stability and interaction in fiber lasers. // Electronics Letters. — 1992. — Vol. 28. — P. 1981.

Casimir H. On the attraction between two perfectly conducting plates. // Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen.— 1948. —Vol. 51. —P. 793.

Noise-mediated Casimir-like pulse interaction mechanism in lasers / R. Weill, A. Bekker, V. Smu-lakovsky et al. // Optica. — 2016. — Vol. 3. — P. 189.

Zheludev N.I. What diffraction limit? // Nature Materials. — 2008. — Vol. 7. — P. 420.

Zheludev N.I., Kivshar Y.S. From metamaterials to metadevices. // Nature Photonics. — 2012. — Vol. 11. —P. 917.

Experimental demonstration of a unidirectional reflectionless parity-time metamaterial at optical frequencies / L. Feng, Y.-L. Xu, W.S. Fegadolli et al. // Nature Materials. — 2013. — Vol. 12. — P. 108.

Hyperbolic metamaterials / A. Poddubny, I. Iorsh, P. Belov, Y. Kivshar // Nature Photonics. — 2013. —Vol. 7. —P. 958.

Soukoulis C., Wegener M. Optical metamaterials: More bulky and less lossy. // Science.— 2010. —Vol. 330. —P. 1633.

Soukoulis C.M., Wegener M. Past achievements and future challenges in the development of three-dimensional photonic metamaterials. // Nature Photonics. — 2011. — Vol. 5. — P. 523.

Shalaev V. Optical negative-index metamaterials. // Nature Photonics. — 2007. — Vol. 1. — P. 41.

[131] Boltasseva A., Atwater H.A. Low-loss plasmonic metamaterials. // Science.— 2011.— Vol. 331.-P. 290.

[132] Controlling light with metamaterial-based nonlinear photonic crystals / N. Segal, S. Keren-Zur, N. Hendler, T. Ellenbogen // Nature Photonics. — 2015. — Vol. 9. — P. 180.

[133] Pendry J. Negative refraction makes a perfect lens. // Physical Review Letters. — 2000. — Vol. 85. —P. 3966.

[134] Metamaterial electromagnetic concentrators with arbitrary geometries / J. Yang, M. Huang, C. Yang et al. // Optics Express. — 2009. — Vol. 17. — P. 19656.

[135] Designs for optical cloaking with high-order transformations / W. Cai, U. Chettiar, A. Kildishev, V. Shalaev // Optics Express. — 2008. — Vol. 16. — P. 5444.

[136] Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies / D. Schurig, J.J. Mock, B.J. Justice et al. // Science. — 2006. — Vol. 314. — P. 977.

[137] Capolino F. Application of metamaterials. — CRC Press, 2009.

[138] Scattering of electromagnetic waves in metamaterial superlattices / I.V. Shadrivov, D.A. Powell, S.K. Morrison et al. // Applied Physics Letters. — 2007. — Vol. 90. — P. 201919.

[139] Structural tunability in metamaterials / M. Lapine, D. Powell, M. Gorkunov et al. // Applied Physics Letters. — 2009. — Vol. 95. — P. 084105.

[140] Zharov A.A., Shadrivov I.V., Kivshar Yu.S. Nonlinear properties of left-handed metamaterials. // Physical Review Letters. — 2003. — Vol. 91. — P. 037401.

[141] Experimental verification and simulation of negative index of refraction using Snell's law / C.G. Parazzoli, R.B. Greegor, K. Li et al. // Physical Review Letters. — 2003.— Vol. 90.— P. 107401.

[142] Engheta N, Ziolkowski R.W. Electromagnetic metamaterials: Physics and engineering explorations. — Wiley and Sons, Inc., 2006.

[143] Experimental verification of negative refractive index of a metamaterial composed of Omegalike metal patterns / J. Huangfu, L.X. Ran, H.S. Chen et al. // Applied Physics Letters. — 2004. — Vol. 84. —P. 1537.

[144] Shadrivov I.V., Morrison S.K., Kivshar Yu.S. Tunable split-ring resonators for nonlinear negativeindex metamaterials. // Optics Express. — 2006. — Vol. 14. — P. 9344.

[145] Self-tuning mechanisms of nonlinear split-ring resonators / D.A. Powell, I.V. Shadrivov, Yu.S. Kivshar, M.V. Gorkunov // Applied Physics Letters. — 2007. — Vol. 91. — P. 144107.

[146] Nonlinear properties of split-ring resonators / B. Wang, J. Zhou, T. Koschy, C.M. Soukoulis // Optics Express. — 2008. — Vol. 16. — P. 16058.

[147] Soljacic M., Joannopoulos J.D. Enhancement of nonlinear effects using photonic crystals. // Nature Materials. — 2004. — Vol. 3. — P. 211.

[148] Magnetoelastic metamaterials / M. Lapine, I.V. Shadrivov, D.A. Powell, Yu.S. Kivshar // Nature Materials. — 2011. — Vol. 11. — P. 30.

[149] Flexible helices for nonlinear metamaterials / A.P. Slobozhanyuk, M. Lapine, D.A. Powell et al. // Advanced Materials. — 2013. — Vol. 25. — P. 3409.

[150] Linear and nonlinear wave propagation in negative refraction metamaterials / V.M. Agranovich, Y.R. Shen, R.H. Baughman, A.A. Zakhidov // Physical Review B. — 2004. - Vol. 69. - P. 165112.

[151] Shadrivov I.V., Lapine M., Kivshar Yu.S.. Nonlinear, tunable and active metamaterials.— Springer, New York, 2015.

[152] Functional and nonlinear optical metasurfaces / A.E. Minovich, A.E. Miroshnichenko, A.Y. Bykov et al. // Laser and Photonics Reviews. — 2015. — Vol. 9. — P. 195.

[153] BoydR.W. Nonlinear optics. — Academic Press, 2003.

[154] Sipe J.E., Boyd R.W. Nonlinear susceptibility of composite optical materials in the Maxwell Garnett model. // Physical Review A. — 1992. — Vol. 46. — P. 1614.

[155] Lapine M., Gorkunov M., Ringhofer K.H. Nonlinearity of a metamaterial arising from diode insertions into resonant conductive elements. // Physical Review E. — 2003.— Vol. 67.— P. 065601.

[156] Giordano S., Roccha W. Shape-dependent effects of dielectrically nonlinear inclusions in heterogeneous media. // Journal of Applied Physics. — 2005. — Vol. 98. — P. 104101.

[157] Nonlinear magnetoelectric metamaterials: Analysis and homogenization via a microscopic coupled-mode theory / A. Rose, S. Larouche, E. Poutrina, D.R. Smith // Physical Review A.— 2012. —Vol. 86. —P. 033816.

[158] Silverinha M.G. Effective medium response of metallic nanowire arrays with a Kerr-type dielectric host. // Physical Review B. — 2013. — Vol. 87. — P. 165127.

[159] Kalinin V.A., Shtykov V.V. On a possibility of phase front conjugation of radio waves in artificial non-linear media. // Radiotechnika i Elektronika.— 1990.— Vol. 11.— P. 2275. (Journal of Communications Technology and Electronics — 1991. — Vol. 36. — P. 96.)

[160] Simovski C.R. Material parameters of metamaterials. // Optics and Spectroscopy. — 2009. — Vol. 107. —P. 726.

[161] Silverinha M.G. Metamaterial homogenization approach with application to the characterization of microstructured composites with negative parameters. // Physical Review B. — 2007. — Vol. 75. —P. 115104.

[162] Silverinha M.G. Generalized Lorentz-Lorenz formulas for microstructured materials. // Physical Review B. — 2007. — Vol. 76. — P. 245117.

[163] Alu A. First-principles homogenization theory for periodic metamaterials. // Physical Review B. — 2011. —Vol. 84. —P. 075153.

[164] Purcell E., Pennypacker C. Scattering and absorption of light by non-spherical dielectric grains. // The Astrophysical Journal. — 1973. —Vol. 186.— P. 706.

[165] Belov P.A., Simovski C.R. Homogenization of electromagnetic crystals formed by uniaxial resonant scatterers. // Physical Review E. — 2005. — Vol. 72. — P. 026615.

[166] Novotny L., Hecht B. Principles of nano-optics. //— Cambridge University Press, 2012.

[167] Photonic band structure of atomic lattices / D. Coevorden, R. Sprik, A. Tip, A. Lagendijk // Physical Review Letters. — 1996. — Vol. 77. — P. 2412.

[168] Gorlach M.A., Belov P.A. Effect of spatial dispersion on the topological transition in metamaterials. // Physical Review B. — 2014. — Vol. 90. — P. 115136.

[169] Collin R. Field theory of guided waves. //- IEEE Press, New York, Piscataway, 1991.

[170] Tretyakov S.A., Maslovski S., Belov P.A. An analytical model of metamaterials based on loaded wire dipoles. // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2003. - Vol. 51. - P. 2652.

[171] Shelkunoff S.A., Friis H.T. Antennas: Theory and practice. //- Whiley, New York, 1952.

[172] Skyworks 2012 SMV 123x series: hyperabrupt junction tuning varactors (Data sheet). //-2012.

[173] Chebykin A.V., Gorlach M.A., Belov P.A. Spatial-dispersion-induced birefringence in metamaterials with cubic symmetry. // Physical Review B. - 2015. - Vol. 92. - P. 045127.

[174] Gorkunov M.V., Ryazanov M.I. The role of spatial dispersion near zero points of the dielectric function of cubic and uniaxial crystals. // Laser Physics. - 1998. - Vol. 8. - P. 502.

[175] Landau L.D., Lifshitz E.M. Classical theory of fields. //- Butterworth Heinemann, 1994.

[176] Sakoda K., Ohtaka K. Sum-frequency generation in a two-dimensional photonic lattice. // Physical Review B. - 1996. - Vol. 54. - P. 5742.