Единое эффективное действие теории квантовой гравитации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Толченова (Шевченко), Ирина Николаевна

• Толченова (Шевченко), Ирина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Толченова (Шевченко), Ирина Николаевна

Введение

Глава 1. Эффективное действие в квантовой теории поля

§1.1. Стандартное эффективное действие в теории поля

§1.2. Параметризационно-инвариантное определение эффективного

действия

§1.3. Единое эффективное действие в калибровочных теориях

Глава 2. Единое эффективное действие в квантовой гравитации

§2.1. Однопетлевое разложение эффективного действия

§2.2. Единое эффективное действие в многомерной В2 - гравитации

действия квантовой гравитации со скалярным полем

§2.4. Связность для квантовой гравитации со скалярным полем

§2.5. Вычисление поправки Вилковыского

§2.6. Единый эффективный потенциал для квантовой гравитации

со скалярным полем

§2.7. Единый эффективный потенциал для эйнштейновской

гравитации, теории Бранса - Дикке

Глава 3. Единое эффективное действие в двумерной квантовой

гравитации с нелокальным действием

§3.1. Изучение калибровочной зависимости эффективного

действия

§3.2. Вычисление поправки Вилковыского

§3.3. Единое эффективное действие и его зависимость

от метрики конфигурационного пространства

Заключение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Единое эффективное действие теории квантовой гравитации»

ВВЕДЕНИЕ.

С тех пор как общая теория относительности и квантовая механика изменили наши представления о мире, центральной задачей теоретической физики стало построение обьединенной теории фундаментальных сил природы. В последние несколько десятилетий было достигнуто значительное продвижение на этом пути. Квантовая теория поля [1-6], калибровочный подход [ напр. 7, 12, 13] позволили объединить электромагнитные и слабые взаимодействия [8-10] ( модель Вайнберга, Глэшоу, Салама ), основанная на калибровочной группе 311(2) х 17(1); построить квантовую хромодинамику - калибровочную теорию сильных взаимодействий; обьебдинить модели сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий ( теории большого объединения) (см. напр. [11-13]).

Однако описать все фундаментальные взаимодействия на единой теоретической основе пока не удалось из-за нерешенных ключевых проблем, связанных с особенностями гравитации. Квантовая гравитация изучает квантовые особенности гравитации. Хотя теория квантовой гравитации еще далека от завершения , вероятно, только последовательный учет квантово-гравитационных явлений может позволить завершить процесс построения единой теории всех взаимодействий и устранить основные трудности, присущие квантовой теории поля ( например, избавиться от "бесконечностей"). Поскольку константа гравитационного взаимодействия довольно мала, эффекты квантовой гравитации могут оказаться существенными или на малых пространственно-временных расстояниях (порядка планковской длины Ьр = уС?/г./с3 « 10~33см и планковского времени Тр = УС/г/с5 « 10~44сек, где С - фундаментальная гравитационная постоянная, к - постоянная Планка, с - скорость света), или в сильных гравитационных

полях. Расстояниям порядка ~ Ю-33 см соответствуют энергии взаимодействующих частиц ~ 1028 эВ (т.е. планковской энергии Ер = /С ~ 1019 ГэВ). Известно, что теория, основанная на группе локальной симметрии ££7(3) х 51/(2) х £7(1), описывает электромагнитные, сильные и слабые взаимодействия ( в прямом произведении каждой из калибровочных групп соответствует своя калибровочная константа связи). Было показано, что все три калибровочные константы связи сливаются при энергиях порядка 1015 ГэВ. Следовательно, можно ожидать , что при высоких энергиях ( порядка Ю15 ГэВ) все негравитационные взаимодействия становятся неотличимыми друг от друга и описываются единой теорией большого объединения, которая основывается на калибровочной группе 517(5), £(6), 50(10) и т.п., в которых группа 5£/(3) х 5£7(2) х [7(1) является подгруппой.

Квантово-гравитационные эффекты могут быть значительными и в сильных гравитационных полях, возникающих естественным образом на ранних этапах эволюции Вселенной и при образовании черных дыр. Черные дыры являются компактным массивным объектом, сильное гравитационное поле которых удерживает вещество и свет и препятствует тем самым выходу наружу любой информации. При изучении строения пространства-времени в рамках классической гравитациии было показано, что возникновение сильных гравитационных полей неизбежно связано с образованием сингулярностей, т.е. неустранимых особенностей в пространстве-времени , в окрестностях которых классическая теория гравитации оказывается недостаточной и перестает работать. В космологии эта сингулярность присутствовала ( в рамках классического описания ) в начальный момент расширения Вселенной. В черных дырах сингулярность развивается как результат сжатия (коллапса) вещества. Исследование космологической сингулярности оказывается необходимым, поскольку, именно ха-

рактер процессов, происходящих около нее, может существенным образом определять дальнейшую эволюцию Вселенной. В рамках квантовой гравитации можно будет понять характер квантовых явлений в подобных экстремальных условиях. В конкретных исследованиях в этой области имеются серьезные трудности, связанные, например, с тем, что с ростом величины спина частиц теория сильно усложняется [11]. Кроме того, в классической гравитации стандартные схемы квантования не приводят к удовлетворительной квантовой теории.

Сформулируем кратко ряд проблем и вопросов, исследование которых представляется наиболее актуальным и важным для понимания как самой квантовой гравитации, так и ее космологических приложений и остановимся на тех новых результатах, которые были достигнуты при изучении этих проблем.

Известно, что теории большого объединения и гравитация связаны с различными типами калибровочных симметрий (в гравитации - пространственно - временные, в теории большого обьединения - внутренние). Возможность унификации внутренних симметрий с геометрическими представлена фундаментальным принципом, названным суперсимметрией [16-18]. Преобразования суперсимметрии переводят друг в друга фермионы и бозоны . Фермионные и бозонные петли имеют противоположные знаки. Поэтому в суперсимметричных теориях удается компенсировать нежелательные квантово-полевые расходимости ( в отличие от суперсимметричных ) [напр. 19]. В математическом аппарате квантовой теории поля суперсимметрия раскрыла глубокие связи между различными типами преобразований. Переходя от глобальной суперсимметрии к локальной, было получено обобщение общей теории относительности - супергравитация [напр. 20], обьединившая суперсимметрию и гравитацию, была развита расширенная

супергравитация. Но несмотря на уже достигнутые многообещающие результаты , построить последовательную квантовую гравитацию в рамках супергравитационных моделей не удалось.

Большой интерес вызывают теории с дополнительными пространственными измерениями. Особенно это относится к известной в принципе давно модели Калузы-Клейна [21-31]. Эта модель была объектом большого числа исследований еще в тридцатые годы, затем забыта, а в восьмидесятые годы возрождена на совершенно новой основе. В подходе Калузы-Клейна исходят из того, что все физические поля имеют единое происхождение и обусловлены геометрией многомерного пространства-времени. Ненаблюдаемость дополнительных ( с? — 4 ) измерений объясняется с помощью механизма спонтанной компактификации, в котором "лишние" (с точки зрения видимого нам 4-мерного мира) измерения имеют размеры порядка планковских (Ьр ~ Ю-33 см), что соответствует очень высоким энергиям, недоступным в настоящее время и характерным для ранней Вселенной. Следовательно, исследования спонтанной компактификации [20-31] в различных многомерных моделях должно дополнятся анализом квантово-гравитационных аспектов теории.

В последние несколько лет появилась новая теория, вызвавшая целый поток статей - теория суперструн. Теория суперструн обьединяет идеи локальной суперсимметрии и Калузы-Клейна. С квантово-полевой точки зрения теория одной суперструны является теорией бесконечно большого числа квантовых полей. Спектр частиц, описываемых суперструной, обладает суперсимметрией. Минимальная размерность пространства-времени, в котором можно построить непротиворечивую теорию суперструны, равна 10, что соответствует одной временной координате и девяти пространственным. Тогда считают, что при компактификации 10-мерного пространства

шесть пространственных измерений образуют компактное многообразие с характерными размерами порядка 1/тр , а оставшиеся четыре измерения соответствуют обычному пространству Минковского. Теория суперструн имеет привлекательные стороны из-за ее конечности, сокращения аномалий, непротиворечивости на квантовом уровне и т.д. Но более-менее приемлемое описание этой теории, по-видимому, еще отсутствует, и надежды на эту теорию, как на последовательную квантовую гравитацию пока не оправдались.

Подводя итоги приведенному краткому обзору современного состояния физики высоких энергий, можно заключить, что удовлетворительная квантовая теория гравитации еще не построена. Поэтому единственной возможностью получить информацию о квантовых свойствах гравитационного взаимодействия (по крайней мере, на качественном уровне) остается изучение различных моделей квантовой гравитации.

Одним из наиболее важных объектов в квантовой теории поля является эффективное действие [34, 35]. Эффективное действие - это функционал, представляющий обобщение классического действия, в котором учитываются квантовые поправки. Используя такую конструкцию (классическое действие + все квантовые поправки), можно определить все квантовые свойства теории. Обычно в качестве эффективного действия выбирается производящий функционал вершинных функций Грина. После введения эффективного действия Швингером, этот формализм оказался чрезвычайно полезным в исследовании различных аспектов теории квантовых полей, таких как : анализ структуры расходимостей и перенормировки теории поля, определение вакуумного состояния, изучение динамического нарушения симметрии и фазовых переходов, вычисление квантовых поправок к классическим уравнениям движения (эффективные уравнения), постро-

ение квантовых космологических моделей и др. Концепция эффективного действия оказалась очень полезной также и в теории (супер)струн. Однако применение этого формализма к калибровочным теориям обнаруживает две проблемы. Во-первых, при квантовании вводятся члены, фиксирующие калибровку, в результате эффективное действие теряет калибровочную инвариантность. Эта проблема решается с помощью метода фонового поля [14]. При этом рассматриваемые поля разлагаются на фоновую и квантовую части. Калибровка фонового поля выбирается так, чтобы калибровка квантового поля фиксировалась, в то время как калибровочная инвариантность эффективного действия относительно фонового поля еще сохраняется.

Во-вторых, даже если эффективное действие, благодаря методу фонового поля является калибровочно-инвариантным, оно еще будет зависеть от выбора калибровочного условия. Как отмечалось в работе [40], этот факт обусловлен зависимостью эффективного действия от перепараметризации полей. При этом 5-матрица не зависит от выбора калибровочного условия и параметризации квантового поля [40]. Физические величины, определяемые с помощью эффективного действия, как правило, не зависят от выбора калибровочного условия. Однако, как указывалось в работах [41-43], радиус спонтанной компактификации зависит от выбора калибровочного условия. От выбора параметризации квантового поля зависит критическая температура и т.д.

Возможный вариант решения этой проблемы был предложен в работе [40]. Был определен новый функционал, который является уже кали-бровочно - и параметризационно - инвариантным вне массовой оболочки. Для этого автором работы [40] была введена связность в пространстве полей, что дало возможность построить параметризационно - инвариантное

эффективное действие. Затем эта связность была реализована для калибровочных теорий и гравитации, что позволило получить калибровочно-и параметризационно - инвариантное эффективное действие [40]. Позже было получено простое эффективное действие, которое совпадает с описанным выше вариантом в однопетлевом приближении [50]. Для теорий Янга-Миллса эти два эффективных действия сравнимы до двухпетлевого уровня [51]. Было найдено, что новое эффективное действие сохраняет перенормируемость. Основываясь на результатах [ 40,50] было обнаружено, что существует бесконечное множество калибровочно- и параметризационно - инвариантных эффективных действий вне массовой оболочки. На массовой оболочке все эти эффективные действия совпадают со стандартным эффективным действием.

Большое число работ было посвящено изучению возможностей формализма, предложенного Вилковыским и Де Виттом [ см. напр. 51-56, 60,62, 75-88]. Применяя единое эффективное действие , удалось рассмотреть ряд вопросов, а именно: физическая интерпретация эффективного действия [39]; вычисление однопетлевого эффективного действия Вилковыского и Вилковыского-Де Витта в квантовой гравитации [52-54], теориях Янга-Миллса [51,54], многомерной эйнштейновской гравитации [55,57], многомерной R2 -гравитации [56, 57, 62,104], многомерной супергравитации [ 6671]; приложения к теории (супер)струн [ 63-65], квантовой хромодинамике при ненулевой температуре [ 72,75]; эффективный потенциал Коулмена-Вейнберга [ 106] и возможность спонтанного нарушения в конечных теориях [ 105 ]; эффективные уравнения в квантовой гравитации с материей [79, 98-101 ]; динамическое нарушение локальной суперсимметрии в N — 1 супергравитации [86, 101-103], квантовая спонтанная компактификация в многомерной R2 -гравитации [104] и d = 5 калибровочной супергравитации

[69]. Было также доказано, что ¿"-матрица, определяемая эффективным действием Вилковыского-Де Витта, эквивалентна стандартной 5-матрице [73]. В целом ряде работ были изучены квантовые аспекты теории Калузы-Клейна и применения эффективного действия Вилковыского-Де Витта в этих теориях [55, 56, 60, 87-89,91]. В обзорных работах [ 14, 77 ] была детально исследована геометрическая структура калибровочно- и параметриза-ционно - инвариантных эффективных действий с физическими приложениями. Исследование эффективного действия составных полей оказалось удобным при решении многих проблем (при построении космологических моделей ранней Вселенной, динамическое нарушение симметрии в квантовой хромодинамике и сильно взаимодействующей квантовой электродинамике и др.) [ 92-94].

Таким образом, эффективное действие, действительно, является "эффективным" в решении различных проблем моделей квантовой гравитации.

Данная диссертация посвящена дальнейшему исследованию единого эффективного действия в различных моделях квантовой гравитации на од-нопетлевом уровне.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.

Глава первая посвящена рассмотрению общих принципов формализма калибровочно- и параметризационно-инвариантного действия действия в квантовой теории поля [ 39, 40, 50, 74].

В первом разделе данной главы были рассмотрены свойства эффективного действия, определенного стандартным образом.

Во втором разделе показано, как обычно строится параметризационно-инвариантное эффективное действие для некалибровочных теорий. На про-

странстве полей (рг , обладающей связностью Т^к[<р], вводится двухточечный функционал стг((р(з), <р(0)) [ 34 ], где 5-параметр, который, как показано в [40, 50], можно разложить в функциональный ряд Тейлора в окрестности точки ср\ .Тогда производящий функционал 9?*] определяется следующим образом

ехрг/ТП^«/, р*] = ! Б- ^(7г((р*,(р))

в котором подинтегральное выражение очевидно, скаляр относительно преобразований квантового поля. Выполняя преобразования Лежандра для И^У, ,получили уравнение для Г, определяющее бесконечное множество эффективных действий, нумеруемых различными точками . Все эти эффективные действия являются параметризационно- инвариантными. В этом разделе выписаны тождества Уорда, управляющие зависимостью Г от ср1 . Как отмечалось в работе [74], удобно иметь одного из характерных представителей бесконечного семейства параметризационно-инвариантных эффективных действий. В этом качестве были рассмотрены, как это и делается обычно, эффективное действие Вилковыского [ 40] и эффективное действие Вилковыского-Де Витта [50]. Найдено одно-петлевое единое эффективное действие (Вилковыского). В однопетлевом приближении эффективное действие Вилковыского-Де Витта совпадает с единым.

Во втором разделе первой главы рассмотрено обобщение конструкций этих эффективных действий на случай калибровочных теорий. В случае калибровочных теорий определение связности становится гораздо сложнее в силу наличия калибровочной симметрии в пространстве полей. Теперь связность является суммой символов Кристоффеля и слагаемого, учитывающего калибровочные преобразования единого эффективного действия

в калибровочной теории.

В главе второй проведены явные вычисления однопетлевого эффективного действия в многомерной Я2 -гравитации и в квантовой гравитации со скалярным полем. Ранее подобные вычисления были сделаны в многомерной квантовой гравитации на пространстве с нетривиальной топологией [55,90,62,57-60,80], й = 4 гравитации на пространстве Де Ситтера [54] и плоском пространстве [88].

В первом параграфе приводится общая схема последовательности вычислений в используемых в дальнейшем обозначениях.

Во втором разделе вычислена поправка Вилковыского и получено в однопетлевом приближении единое эффективное действие в многомерной Я2 -гравитации. При этом параметр конфигурационной метрики считался произвольным, в отличие от работы [40]. Явный вид зависимости эффективного действия в многомерной Я2 -гравитации от метрики конфигурационного пространства, можно численно проанализировать условия спонтанной компактификации.

Во третьем разделе второй главы вычисляется стандартный эффективный потенциал в квантовой гравитации со скалярным полем. При этом использовался стандартный метод фонового поля. Очевидно, что он оказывается зависящим от калибровки.Остальная часть второй главы посвящена нахождению эффективного потенциала, отвечающего единому эффективному действию. Для этого была введена метрика на пространстве полей, зависящая от числового параметра а , который в квантовой гравитации однозначно может быть фиксирован, только если принять дополнительное условие совпадения метрики с матрицей перед высшими производными в классическом действии (см. [40]). Данное условие не является необходимым, и в данной работе параметр считается произвольным.

Четвертый раздел второй главы посвящен нахождению явного вида ненулевых компонент символов Кристоффеля и величин Г* ■ на фоновых скалярных (р и гравитационных д^ полях, т.к. компоненты связности являются существенными объектами при пострении поправки Вилковыского к стандартному эффективному действию.

В пятом разделе выписан явный вид поправки Вилковыского с учетом найденных компонент связности. Это позволяет в следующем , шестом, разделе найти единый эффективный потенциал, не зависящий от выбора калибровки, но зависящий от выбора параметра метрики. Полученное выражение для единого эффектвного действия является достаточно общим. Можно рассмотреть некоторые частные случаи. В седьмом разделе приводится явный вид эффективного потенциала для эйнштейновской гравитации и теории Бранса-Дикке; исследуется проблема зависимости от выбора метрики конфигурационного пространства.

Открытие БЬ(2, К) токовой алгебры Каца-Муди как объединяющей симметрии двумерной индуцированной гравитации в калибровке светового конуса инициировало резкий рост исследований в области двумерной квантовой гравитации. Было показано, что двумерная индуцированная квантовая гравитация точно решаема; построены модели некритических струн. Однако эти результаты были получены в нековариантной калибровке (светового конуса). В этой связи представляется важным понять, в какой степени двумерная квантовая гравитация зависит от калибровки, и переформулировать полученные результаты в рамках обычной теории возмущений в ковариантных калибровках.

В третьей главе изучается эффективное действие в с1 = 2 индуцированной гравитации с нелокальным действием на плоском фоне.

В первом разделе данной главы обсуждается калибровочная зависи-

мость эффективного действия. Получено эффективное действие в однопе-тлевом приближении, которое явно зависит от калибровки.

Во втором разделе в рамках формализма эффективного действия [40, 50 ] вычислены компоненты связности и модифицирующая поправка Вил-ковыского.

В третьем разделе данной главы получено единое эффективное действие рассматриваемой двумерной квантовой гравитации и обсуждены проблемы зависимости от конфигурационной метрики.

В заключении приводятся основные результаты, приведенные в диссертации.

Глава 1. Эффективное действие в квантовой теории поля.

Данная глава носит реферативный характер и посвящена описанию основных принципов концепции эффективного действия. Центральная роль в квантовой теории поля, которую в настоящее время играет эффективное действие, является причиной большого числа работ в этом направлении. Возможности самого формализма позволили решить многочисленные прикладные задачи. В введении был сделан небольшой обзор этих работ.

В этой главе после введения стандартного эффективного действия в первом параграфе и построения параметризационно-инвариантного эффективного действия, мы показываем как обобщить исходное действие, предложенное Вилковыским, так, чтобы калибровочная инвариантность и независимость от произвольных калибровочных условий, была подтверждена явно (т.е. построим единое эффективное действие). При этом мы будем руководствоваться обзорами [51 и 77] и использовать обозначения, принятые в этих работах. Известно, что эффективное действие представляет функционал от классических полей, который суммирует всю информацию о квантовых полях. В теории возмущений эффективное действие разлагается в степенные ряды по константе Планка Н, коэффициентами которого являются так называемые диаграммы Фейнмана. Эффективное действие действует как обобщающий функционал одно-частичных неприводимых вершинных функций, которые заменяют вершины классической теории.

Однако стандартное определение эффективного действия содержит некоторую двусмысленность, особенно в калибровочных теориях. Для того, чтобы разложения по теории возмущений были возможны, необходимо нарушить калибровочную инвариантность квантованных полей, но это

обычно приводит к тому, что эффективное действие также теряет калибровочную инвариантность. Эта проблема, вообще говоря, может быть устранена, например, с помощью однородной осевой калибровки в теориях Янга-Миллса или в более общем случае линейной калибровочной инвариантности методом калибровки фонового или среднего поля. При этом эффективное действие калибровочных теорий в любом случае зависит от используемого условия калибровки. Поэтому существует бесконечное множество различных эффективных действий, соответствующих одному классическому действию. Проблема решается тем, что физические величины (т. е. б'-матрица) не зависят от калибровки. Однако часто не легко и даже невозможно перейти на "массовую оболочку", и в анализе, например КХД, СНС, квантовой гравитации или космологии используется эффективное действие вне массовой оболочки.

Как было указано Вилковыским, калибровочная зависимость эффективного действия - не единственная проблема в этом формализме. Более общей слабостью стандартного определения эффективного действия есть его зависимость от перепараметризации классических полей. Несмотря на то, что классическое действие есть скаляр относительно перепараметризаций, эффективное действие не инвариантно при этом. Перепараметризации есть аналог диффеоморфизмов на пространстве всех конфигураций поля. Это конфигурационное пространство имеет очевидное значение в построении фейнмановсих континуальных интегралов. Используя геометрические методы относительно этого бесконечно-размерного пространства, в работе [40] было предложено параметризационно - инвариантное определение эффективного действия, которое даже после фиксирования калибровки дает калибровочно - инвариантный функционал, полностью независимый от тех калибровочных условий, которые накладывались на квантовые поля.

Более того это остается справедливым даже тогда, когда фоновая калибровочная инвариантность является нелинейной.

В работе [50] Де Витт, основываясь на подходе Вилковыского, представил более сложное построение параметризационно - инвариантного эффективного действия, отличное от действия Вилковыского.

Обе схемы, исходная Вилковыского и последующая Де Витта, обеспечивают калибровочную независимость эффективных действий.

§1.1. Стандартное эффективное действие в теории поля.

В данном параграфе мы напомним определение стандартного эффективного действия.

Мы будем использовать компактные обозначения Де Витта [34], где р>г — это все физические поля теории, индекс г объединяет как дискретные, так и непрерывные параметры. Тогда под суммированием по индексу i подразумевается суммирование по дискретным и интегрирование по непрерывным параметрам. Производные по первому аргументу функционала обозначены запятой и последующими индексами, а в других случаях выписаны явно. Для того, чтобы не пришлось различать левые и правые производные и быть осторожными со знаками из-за некоммутирующих классических полей, мы ограничиваем себя случаем всех полей которые являются бозонами.

Пусть S[<£>] - классическое действие теории поля. Тогда действие кова-риантно квантованной теории может быть получено из обобщенного функционала связанных функций Грина, представленных с помощью континуального интеграла

exp{iW[J,cp*]} = J D(f(j,[ip] exp i/h{S[<p] + - <p[))

(1.1.1)

D<p = N 11 dcp, i

где N - нормировочная постоянная, ц - соответствующая мера интегрирования и предполагается, что источник Jj, взаимодействует с флуктуация-

ми квантового поля (р относительно произвольного фиксированного фона

<р*•

Тогда эффективное действие есть преобразование Лежандра для производящего функционала (р*]:

= (1.1.2)

где

Эффективное действие Г[</?], действующее как производящий функционал для одночастичных неприводимых вершинных функций в теории возмущений, дается как решение функционального интегрально-дифференциального уравнения

ехрг'/ПГ^;^] = / Яуу^] ехр ¿/7г%] - (^ - ¿¿)) (1.1.3)

■> д(р'1

Дифференцируя уравнение (1.1.3) по (р1, получим тождество

с — = 0, 0<р*

из которого видно, что эффективное действие не зависит от произвольного фонового поля Выбирая р>\ = 0 в выражениях (1.1.1 - 1.1.3) мы получаем наиболее распространенную формулировку стандартного эффективного действия. Далее будет рассматриваться именно этот случай.

В калибровочных теориях инвариантность относительно калибровки выражается бесконечным набором условий

ЕЕ 0, (1.1.4)

что делает кинетическое ядро 3^[(р] вырожденным.

Здесь мы ограничим себя случаем, когда калибровочные генераторы -^аМ образуют замкнутую калибровочную алгебру

ад? - = (1.1.5)

то есть не существует членов, пропорциональных уравнениям поля в правой стороне выражения (1.1.5). Однако Ога[(р] не обязательно является линейным, и структура коэффициентов С^д может зависеть от (р.

Далее для того, чтобы разложить эффективное действие (1.1.3) в ряд по теории возмущений, необходимо включить в действие члены, фиксирующие калибровку :

ЗД %] + ^ПН^М - *гг1о8-ед, (1.1.6)

где Ра[р] есть условие калибровки, выбранное так, чтобы ядро Фаддеева-Попова

ЯШ = (1.1.7)

было несингулярным, и иар - симметричный независимый полевой оператор.

В отсутствие источника, мера и подинтегральное выражение в континуальном интеграле (1.1.1) были бы еще независимыми от фиксирования калибровки, введеного формулой (1.1.6), вследствие изменения калибровочного условия с соответствующим (нелокальным) калибровочным преобразованием, а именно

ч?—

где

/ШЦИ = О = С^ (1.1.9)

есть достаточное требование. Однако член с источником нарушает эту инвариантность. Это является причиной того, что эффективное действие

(1.1.8)

(1.1.3) при подстановке (1.1.6) является не только калибровочно независимым, но и неинвариантным при калибровочных преобразованиях среднего поля.

Если калибровочные генераторы являются линейными, т.е. Вга -к ~ О, калибровочная инвариантность может быть сохранена с помощью метода "среднего поля" или "калибровок фонового поля". В этом методе выбираются калибровочные условия, зависящие параметрически от поля ф

так, чтобы член, фиксирующий калибровку и член Фаддеева-Попова были инвариантны при одновременных калибровочных преобразованиях (риф. Соответственно Г удовлетворяет тождеству

Это позволяет нам определить калибровочно - инвариантное эффективное

г 1

ехр{гГ[ф; ф}} = ] ехрг(%] + ф)

(1.1.10)

(1.1.11)

действие:

(1.1.12)

Однако зависимость от калибровочного условия Га сохраняется

Таким образом, здесь мы дали стандартное определение эффективного действия, в котором источник <7; взаимодействует с флуктуациями квантового поля ср относительно произвольного фиксированного фона <р* .

Было показано, что эффективное действие не зависит от этого фона и при выборе = 0, можно перейти к наиболее распространенной формулировке стандартного действия.

Затем было рассмотрено эффективное действие калибровочных теорий в стандартном определении. Было доказано, что в присутствии источника эффективное действие не является калибровочно-независимым и вообще не инвариантно при калибровочных преобразованиях среднего поля ( при этом вообще говоря не предполагалось, что генераторы П1а являются линейными).

Было явно показано, что в случае, когда Вга линейны, можно спасти калибровочную инвариантность действия. Однако зависимость от калибровочного условия сохраняется из-за недостатков определения эффективного действия стандартным образом.

Было отмечено, что эффективное действие не инвариантно относительно перепараметризации переменных поля ср. Следовательно, необходимо построить эффективное действие так, чтобы оно было параметризационно-инвариантным . Это является предметом обсуждения в следующем параграфе.

§1.2. Параметризационно-инвариантное определение эффективного действия.

В этом параграфе будет рассмотрена некалибровочная теория и построено параметризационно-инвариантное эффективное действие.

В работе [40] Вилковыского было показано, что параметризационно-инвариантное эффективное действие может быть получено, если вызывающую проблему разность (<р — ср)г в (1.1.3) заменить двухточечным функционалом, который при перепараметризации преобразуется как вектор относительно (р и как скаляр относительно (р. Если конфигурационное пространство ф может быть наделено естественной аффинной связностью Г^, такой геометрический объект дается аг[(р,р)]^ тангенциальным вектором в (р к геодезической, определяемой Г^, и связывает <р и (р. Нормированная аффинным параметром, эта величина является решением уравнения

¿[ФМеУ&М = ЛФМ^АфМ

(1.2.1)

с граничными условиями

= (1.2.2) М&И = _ гг

6(рЗ

Разложение аг[<£>,</?] по степеням (ср — р) имеет следующий вид :

со 1

-а\(рМ = у* - ф1 + £ - ...(<?- (1-2.3)

п=2

где коэффициенты могут быть вычислены рекурентно из

1 71=2

п р=2

Гг' = Гг- • • 4- Г*- • Р-? -+-

1\..Лп у1\..Лп — \,1п

( \

п ■ ( ■ • ;

рг I рг , рг р; _ рг

1 (н..лр \ 1 гр+1..лп),к 1" 1 г +1...г„) 1 гр+1..лп),к

\ 'Р )

1.2.4)

Здесь по индексам в круглых скобках идет симметризация, исключая индексы в вертикальных линиях.

Чтобы параметризовать ф, вместо (ф — р)г может быть использован сгг[с^,<^], по крайней мере локально, т.е. до тех пор пока не встретятся неприятности типа

а*

V

Принимая во внимание итерационную процедуру нахождения эффективного действия в теории возмущений, мы упоминаем тот важный факт, что связность на ф допускает ковариантные разложения в ряд Тейлора :

т = е ^А.м..Лп[ФУЛФ^\---*1п[ФМ, (1.2.5)

п=0 п-

если А[р\ есть скалярное поле на ф.

Исходное предложение Вилковыского [40] состоит в простой замене (ф — (р)г двухточечной функцией аг[ф,р] в (1.1.3), после того как связность , соответствующая рассматриваемой теории поля, построена. Тем не менее, можно возразить, что аг[ф,р] не является единственно возможным

двухточечным векторно-скалярным функционалом, делающим определение эффективного действия параметризационно-инвариантным.

Впоследствии Де Витт представил другой вариант эффективного действия Вилковыского. Он потребовал, чтобы новое определение совпадало со стандартным в предпочтительной координатной системе определенной Г^ , а именно в гауссовых нормальных координатах. Аналогично процедуре построения калибровочно-инвариантного эффективного действия (1.1.10 - 1.1.12), поле, которое служит началом отсчета гауссовых нормальных координат, отождествляется со средним полем только после того, как функциональное интегрально-дифференциальное уравнение относительно Г[ср] решено.

Если есть произвольная точка начала отсчета, то гауссовы нормальные координаты определяются так :

ф* = -а'[<р*,<р]. (1.2.6)

Тогда параметризационно-инвариантное эффективное действие, зависящее от , запишем следующим образом :

ехр{^,^]} - /+ (1.2.7)

Пусть

Г[ф,(р*] = Г[ф,(р>], (1.2.8)

с (р , которое определяется соотношением

ф[ф,<р*\ = -сг\<р*,(р}. (1.2.9)

Далее параметризационно-инвариантное эффективное действие, уже независимое от выбора начала отсчета гауссовой координатной системы, окончательно находится :

Т[0\=Т[ф-,ф]. (1.2.10)

Эту модифицированную конструкцию во многих работах называют эффективное действие Вилковыского-Де Витта, в отличие от исходного варианта эффективного действия Вилковыского.

Можно показать, что альтернативное параметризационно-инвариантное эффективное действие определяется следующей парой связанных функциональных уравнений

ехр = / ехр + Г И), (1-2.11)

ф] = (а*№М)- (1-2-12)

Чтобы получить разложение в ряд необходимо

И = ~ ^кМ^М И + • • •

(1.2.13)

туг _ рг рг , рг рт рг лт

11 зЫ — 1 Ы,з 1 кз,1 1 тз1 1к ~ 1 т/ Д

Сформулируем кратко итоги этого параграфа :

1. Построено параметризационно-инвариантное эффективное действие, введя двухточечный функционал вида <7г [</?*, р], который является вектором по аргументу и скаляром по р.

2. Было отмечено,что полученное эффективное действие, которое является уже скаляром по отношению к <р зависит от выбора <р\ . Это означает, что такое эффективное действие является в действительности бесконечно-параметрическим семейством параметризационно-инвариантных эффективных действий, нумеруемых различными точками (р1.

3. Следуя работе Де Витта [ 50 ], мы переопределили эффективное действие в версии Вилковыского, или иначе говоря, выбрали из этого бесконечного семейства то эффективное действие, для которого = (рг . В параграфе было показано, как перестраивается тогда исходная конструкция. Было указано, что новое эффективное действие выглядит предпочтительнее в некоторых теориях, например в теориях Янга-Миллса, где оно не приводит к нелокальным расходимостям.

§1.3. Единое эффективное действие в калибровочных теориях.

Для того, чтобы использовать определение единого эффективного действия (1.2.И - 1.2.12) в калибровочных теориях, требуется связность, которая была бы приведена в соответствие калибровочной структуры на ф. Параметризация </>, которая отображает эту калибровочную-структуру, есть нумерация калибровочных орбит с помощью инвариантов СА[р] с

срга = 0. (1.3.1)

Координаты на орбитах могут быть введены с помощью произвольных инвариантов

^ = Ц = (1-3.2)

Уравнение (1.3.2) является локально интегрируемым и обеспечивает параметризацию (рг <—> по крайней мере в определенной близости от конфигурации (р1 .

Корректные требования, которым должна удовлетворять связность, оказываются такие, что в координатной системе (Сл,Га) все компоненты связности должны исчезать, за исключением которые кроме то-

го могут зависеть только от этих инвариантов.

Если такая связность может быть построена, эти условия приводят к следующим важным следствиям для функционала аг[(р.(р] , полученного из связности Г^ :

= (1-3-3)

г

<р] = -п^г^щгш (1.3.4)

Если эти положения будут выполнены, эффективное действие Вилковыскогс Де Витта (1.2.11) становится совершенно нечувствительным к процедуре фиксирования калибровки, необходимой, чтобы ограничить меру континуального интегрирования упоминаемым пространством" калибровочных орбит, которая осуществляется заменой :

5М %] + Ь

(1.3.5)

в (1.2.11), где мы допускаем, что фиксирующий калибровку функционал зависит также от среднего поля. Третий член в правой стороне выражения (1.3.5) служит для того, чтобы вычесть член, фиксирующий калибровку, из Г[<^], так, чтобы в более низком порядке Г[ср] = . В дальнейшем мы будем считать ( без потери общности ), что всегда Га[(р,(р] = 0. Для простоты мы также игнорируем возможность зависимости от среднего поля операторов ,которая приводила бы к тому, что в правой стороне выражения (1.3.5) появлялся в дальнейшем бы член — \гТг к^ уар[Ф\

Соотношения (1.3.2) и (1.3.4) являются достаточными для того, чтобы гарантировать калибровочную инвариантность и калибровочную независимость Г[<^], и исходной схемы Вилковыского и модификации Де Витта, в чем легко убедится. Сначала мы отметим, что непосредственным следствием (1.3.3) есть то, что С^[(р] удовлетворяют

сГ'^м = (1.3.6)

В исходной схеме Вилковыского Cjl%[(p\ заменить просто с помощью тождества Sj .

Инфинитезимальные калибровочные преобразования

8<? = D^m* (1-3.7)

в

1 Г 1 1

ехр -Г[ф] J Dipfi[(p) exp + -vai3Fa[ip, <p]F^[(p,

(1.3.8)

гТг log Q°0[<p, ф] + ГAv^Wfa <Р])

действует среди других членов, фиксирующих калибровку. Это может быть скомпенсировано частично преобразованием переменных (р континуального интегрирования :

Sv^DMQ^SFOfav] (1.3.9)

где

SF13

Следовательно :

т,щвгм = тмсти[ф] {(¿k[vM)Dka[<p])-

(1.3.10)

Используя соотношения (1.3.3), (1.3.5) и (1.3.6), мы получаем следующее г.и^м^-^и^но^7^]^1^)^^] = 0. (1.341)

31

Приемлемость калибровочных условий Fa (используемых в континуальном интеграле) и Fa (используемых в (1.3.2)) выражается регулярностью по Q и Z также, как и

Ш <*»

Поэтому формально эти операторы могут быть исключены из выражения (1.3.11). Отсюда следует калибровочная инвариантность

г, ,-ИОД] = о.

(1.3.12

Однако в случае исходной схемы Вилковыского (<7Z[<¿>, tp\) не исчезает, и

пропорционально (Cj[cp] — Sj) = 0(%)\ тогда правая сторона (1.3.11) дит следующим образом

выгля-

>T.jk[(p]Dke[(p].

Инвариантная связность обеспечивает

Г ]jkDke = 0

1.3.13)

если

Г ¿DÍ = 0

Поскольку

(1.3.14)

[¿[ФМ) = 0{П), (1.3.15)

калибровочная инвариантность Г[<^] вплоть до п порядка теории возму-

щений подразумевает калибровочную инвариантность до порядка (п + 1 . Для более низкого порядка Г[<^] = следовательно на этот раз калибровочная инвариантность эффективного действия может быть выведена по индукции.

Калибровочная независимость (1.3.8) может быть получена довольно простым образом, варьируя

и, в то же время, выполняя калибровочное преобразование переменной континуального интегрирования ср по аналогии с (1.1.8):

явд = -г =

(1.3.16)

откуда калибровочная независимость есть непосредственное следствие калибровочной инвариантности для параметризационно-инвариантного эффективного действия.

Следует заметить, что калибровочные условия действительно произвольны и ковариантность калибровки среднего поля не учитывается.

В противоположность методу калибровки среднего поля (1.1.10) - (1.1.12) для стандартно определенного эффективного действия, эти свойства теперь справедливы также для нелинейных калибровочных инвариантов ф 0, если выполнены (1.1.9).

Связность на ф, необходимая в соотношениях (1.3.3) и (1.3.4) была явно построена Вилковыским для калибровочных теорий с такой метрикой 7у[</?] на ф , что ее векторы Киллинга являются калибровочными генераторами Вга[ф\ 5 т-е-

= (1.3.17)

что действительно является случаем для гравитации и теорий Янга-Миллса.

Допустим такая метрика определяется инвариантным образом ортогонально к калибровочным орбитам, что приводит к метрике на пространстве орбит. Последующее есть стартовая точка пострения Вилковыским связности, удовлетворяющей требованиям, указанным выше. Здесь мы только приводим результат. Обозначая Ггтоп[9] - риманову связность, соответствующую и точками ковариантную производную, связанную с Т1тп[(р] , конечная аффинная связность Г^^] на ф определяется следующим образом

рг _ рг _ о г)г г\к ЛТ-1се(3,

1 тп ~ х тп 1п)к^"т"

(1.3.18)

где

Нф = Вга1гзВ^. (1.3.19)

В то время как риманова связность Г^^] , принадлежащая "начальной метрике" щ уже не обладает требуемыми свойствами (1.3.3) и (1.3.4), тем не менее 7^ является единственным выходом при построении (1.3.18).

Резюмируя приведенные в этом параграфе результаты, заметим следующее :

1. для формулировки единого эффективного действия в калибровочных теориях, требуется так определить связность, чтобы она отвечала калибровочной структуре на пространстве полей ф\

2. в параграфе были обсуждены условия, которым должна удовлетворять связность в калибровочных теориях ;

3. для тех калибровочных теорий, в которых векторы Киллинга метрики являются калибровочными операторами ( например, гравитация, теория Янга-Миллса ) приведен результат для соответствующей связности (1.3.18).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Толченова (Шевченко), Ирина Николаевна

Заключение

Подводя итог предпринятому в данной диссертации исследованию единого эффективного действия, напомним кратко полученные результаты:

1. Проведено вычисление однопетлевого эффективного действия в квантовой гравитации со скалярным полем на плоском фоне. При этом для вычислений применялся известный метод фонового поля. Показано, что стандартный эффективный потенциал, полученный таким образом, зависит от калибровки. Изучив однопараметрическое семейство калибровочно - инвариантных эффективных действий и выбрав в качестве их представителя единое эффективное действие, получено на однопетлевом уровне его явное выражение для рассматриваемой теории. Результат является инвариантным относительно выбора калибровки, но зависящим от метрики конфигурационного пространства.

2. Найдены стандартное и единое эффективные действия для теории Бранса - Дикке. Исследована калибровочная зависимость эффективного действия, определенного стандартным образом. Продемонстрировано, что единое эффективное действие зависит от выбора конфигурационной метрики.

3. Высичлено однопетлевое единое эффективное действие в многомерной В2 - гравитации на фоне Нл х Т\Рассмотрена возникающая зависимость от конфигурационной метрики.

4. Исследована калибровочная зависимость однопетлевого эффективного действия в двумерной квантовой гравитации с нелокальным действием. Построен эффективный потенциал, отвечающий единому эффективному действию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Толченова (Шевченко), Ирина Николаевна, 1997 год

Литература

1. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. - М.: Наука, 1976. - 479 с.

2. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля .- М.: Наука, 1980. -319 с.

3. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. - М.: Мир, 1984. -Т.1. - 448 с.

4. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. - М.: Мир, 1984. -Т.2. - 400 с.

5. Райдер JI. Квантовая теория поля. - М.: Мир, 1987. - 512 с.

6. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика.- М.: Наука, 1969. - 623 с.

7. Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей,- М.: Наука, 1978. - 239 с.

8. Салам А. Калибровочное объединение фундаментальных сил. Нобелевская лекция по физике 1979 года // УФН. - 1980.- Т.132, вып.2 - С. 229-254.

9. Вайнберг С. Идейные основы теории слабых и электромагнитных взаимодействий. Нобелевская лекция по физике 1979 года // УФН. -1980,- Т.132, вып.2 - С. 201-218.

10. Глэшоу Ш. На пути к обьединенной теории - нити в гобелене. Нобелевская лекция по физике 1979 года // УФН. - 1980.- Т.132, вып.2 - С. 219-228.

И. Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц. - М.: Наука, 1984. - 294 с.

12. Волошин М.Б., Тер-Мартиросян К.А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. - М.: Энергоатомиздат.- 1984.- 294 с.

13. Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. - М.: Мир - 1987. - 624 с.

14. Toms D.J. The effective Action : A Geometrical Approach to Quantum Field Theory : in Proceedings of Second Canadian Conference on General Relativity and Relativistic Astrophysics at the University of Toronto, May 1987.

15. Де Витт B.C. Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени // Черные дыры - М.: Мир - 1978 . - С. 66-168.

16. Гольфанд А.Ю., Лихтман Е.П. расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // Письма в ЖЭТФ. -1971. - Т.13. - N 8. - С.452-455.

17. Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино. // Письма в ЖЭТФ. - 1972. - Т.16. - N И. - С.621-624.

18. Wess I., Zumino В. A lagrangian model invariant under super-gauge transformation. // Phys.Lett. - 1974 - V.49B, N 1 - P.52-55.

19. Bohm M., Denner A. Features of finite quantum field theories. // Nucl. Phys. - 1987. - V.B282, N1 - P.206-234.

20. Креммер E. Размерная редукция в теории поля и скрытые симметрии в расширенной супергравитации. В сб. Введение в супергравитацию.-М.: Мир - 1985.

21. Salam A., Strathdee J. On Kaluza-Klein theory. // Ann.Phys.(N.Y.) -

1982. - V.141, N 2 - P.316-352.

22. Арефьева И.Я., Волович И.В. Суперсимметрия: теория Калузы-Клейна, аномалии, суперструны. // УФН. - 1985. - Т.145. - вып. 4. - С. 655-681.

23. Duff M.J., Nilsson B.E.W., Pope C.N. Kaluza-Klein supergravity. // Phys. Repts. - 1986. - V.130, N 1-2. - P.l-142.

24. Сорокин Д.П., Ткач В.И. Спонтанная компактификация подпространств в теориях Калузы-Клейна. // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1987. - Т.18. - вып.5,- С.1035-1079.

25. Волков Д.В., Сорокин Д.П., Ткач В.И. Калибровочные поля в механизмах спонтанной компактификации подпространства // ТМФ.-

1983.- Т.56. - N 2. - С. 171-179.

26. Волков Д.В., Ткач В.И. Спонтанная компактификация подпространства // ТМФ. - 1982. - Т.51. - N 2 - С. 171-180.

27. Волков Д.В., Сорокин Д.П., Ткач В.И. Спонтанная компактификация в симметрические пространства с непростой группой голономии. // ТМФ. - 1984. - Т.61. - N 2 - С. 241-253.

28. Волков Д.В., Сорокин Д.П., Ткач В.И. Спонтанная компактификация подпространств в супергравитации с d = 10,11. // ЯФ. - 1984. - Т.39. -вып.5. - С. 1300-1314.

29. Bailin D., Love A. Kaluza-Klein theories. // Rep.Progr.Phys. - 1987. -V.50, N 9. - P.1087-1170.

30. Rubakov V.A., Shaposhnikov M.E. Extra space-time dimensions: towards a solution to the cosmological constant problem. // Phys.Lett. - 1983. -V.125B, N 2,3. - P.139-143.

31. Арефьева И.Я., Волович И.В. Многообразия постоянной отрицательной кривизны как вакуумные решения в теории Калузы-Клейна и суперструнах. // ТМФ. - 1985. - Т. 64. - N 2. - С.329-336.

32. Polchinski J. Evfalution of the one-loop string path integral. // Comm. Math. Phys. - 1986. - V.104, N 1. - P.37-47.

33. Bergshoeff E., Sezgin е., Townsend P.K. Properties of the eleven-dimensional supermembrane theory. // Ann.Phys. (N.Y.) - 1988.- V. 185, N 2. - P.330-368.

34. De Witt B.S. Dynamical Theory of Groups and Fields, Gordon and Breach, N.Y, 1965.

35. Фрадкин E.C. Метод функций Грина в теории квантованных полей и квантовой статистике. // труды Физ. ин-та АН СССР. - 1965. - Т.29. -С.7-138.

36. Loveloce С. // Phys.Lett. - 1984. - Vol.B135. - Р.75.

37. Fradkin E.S, Tseytlin A.A. // Nucl. Phys. - 1985. - V.B261. - P.l.

38. Callan C.G, Friedan D, Martinec E, Perry M.J. // Nucl.Phys. - 1986. -V. B278. -

39. Burgess C.P, Kunstatter G. On the physical interpretation of the Vilkovisky-De Witt effective action. // Nucl.Phys. - 1988. - V. B298, N 3. - P.726-740.

40. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory. // Nucl.Phys. - 1984. - V. B234, N 1. - P.125-137.

41. Ranjbar-Daemi S, Sarmadi M.H. Graviton induced compactification in the light cone gauge. // Phys.Lett. - 1985. - V. 151B, N 5, 6. - P.343-346.

42. Kunstatter G, Leivo H.P. Gauge-dependence of self-consistent dimensional reduction. // Nucl.Phys. - 1987. - V. B279, N 2. - P.641-658.

43. Bagrov V.G, Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Effective action and spontaneous compactification in Kaluza-Klein quantum R2 -gravity. // Phys.Lett. - 1987. - V. 184 B, N 2, 3. - P.202-208.

44. Chodos A, Myers E. Gravitational contribution to the Casimir energy in Kaluza-Klein theories. // Ann.Phys. (N.Y.).- 1984. - - V. 156, N 2. -P.412-441.

45. Sarmadi M.H. Spontaneous compactification in quantum Kaluza-Klein theories. // Nucl.Phys. - 1986.- V. B241, N 1. - P.155-172.

46. Huggins S.R, Toms D.J. Self-consistent dimensional reduction in five-dimensional gravity. // Phys.Lett. - 1985. - V. 153 B, N 4, 5. - P.247-250.

47. Ordonez C.R., Rubin M.A. Graviton dominance in quantum Kaluza- Klein theory.// Nucl.Phys. - 1985.- V. B 260, N 2. - P.456-496.

48. Hieu Ngugen van Spontaneous compactification of extra dimensions in eleven-dimensional quantum gravity. // Fortschr.der Physik. - 1986. - V. 34, N 7. - P.441-455.

49. Ishizuka W., Kikuchi J. Gravitational instability in the higher-derivative Kaluza-Klein theory. // Phys.Lett. - 1984,- V.139 B, N 1, 2. - P.35-38.

50. De Witt В.S. The effective action. // Quantum Field theory and Quantum Statistics / eds. I.A.Batalin, C.J.Isham and G.A.Vilkovisky. - Bristol : A. Hilger ltd , 1987. - P.

51. Rebhan A. The Vilkovisky-De Witt effective action and its application to Yang-Mills theories.// Nucl.Phys. - 1987.- V.B 288, N 3\ - P.832-857.

52. Barvinsky A.O., Vilkovisky G.A. The generalized Schwinger-De Witt technique in gauge theories ancl quantum gravity. // Phys.Reports. - 1985. -V. 119, N 1. - P.l-74.

53. Avramidy I.G., Barvinsky A.O. Asymptotic freedom in higher- derivative quantum gravity. // Phys.Lett. - 1985. - V.159 B, N 4,5,6. - P.269-274.

54. Fradkin E.S., Tseytlin A.A. On the new definition of off-shell effective action. // Nucl.Phys. - 1984,- V.B 234, N 2. - P.509-523.

55. Бухбиндер И.Д., Одинцов С.Д. Единое эффективное действие в теориях типа Калузы-Клейна и спонтанная компактификация. // ЯФ. -1988. - Т.47. - вып.2,- С.598-601.

56. Buchbinder I.L., Lavrov P.M.,Odintsov S.D. Unique effective action in Kaluza-Klein quantum theories and spontaneous compactification // Nucl.Phys. - 1988. - V.B 308, N 1. - P.191-202.

57. Лавров П.M., Одинцов С.Д., Тютин И.В. Эффективные действия в теориях квантовой гравитации. // ЯФ. - 1987. - Т.46. - вып.5(11). - С. 1583-1591.

58. Huggins S.R., Kunstatter G., Leivo H.P., Toms D.J. The Vilko- visky-De Witt effective action for quantum gravity. // Nucl.Phys. - 1988. - V.B 301, N 3. - P.627-649.

59. Бухбиндер И.Л, Дергалев В.П, Одинцов С.Д. Эффективное действие вилковыского-Де Витта в многомерной квантовой гравитации и антипериодические граничные условия. // ТМФ. - 1989. - Т.80. - N 1. -С.150-159.

60. Huggins S.R, Kunstatter G, Leivo H.P, Toms D.J. Unique effective action in five-dimensional Kaluza-Klein theory.// Phys. Rev.Lett. - 1987. - V.58, N 4. - P.296-298.

61. Дергалев В.П, Одинцов С.Д. Единое эффективное действие в многомерной квантовой гравитации с ненулевой температурой. // УФЖ. -1988. - Т.ЗЗ. - N 10. - С. 1445-1448.

62. Odintsov S.D. The Vilkovisky-De Witt effective action in multidimensional higher derivative gravity.// Phys.Lett. - 1988. - V.B 215, N 3. - P. 483-488.

63. Бухбиндер И.Л, Одинцов С.Д. Спонтанное нарушение суперсимметрии и эффективное действие в суперсимметричных теориях Калузы-Клейна и струнах. - Томск. - 1988. - 27с. (Препринт /АН СССР. Сиб. отд. Томский филиал, N 29).

64. Green М. В, Schwarz J, Witten Е. Superstring theory. - V.l and 2. -Cambrige: Cambrige Univ. Press, 1987.

65. Бухбиндер И.Л, Одинцов С.Д. Спонтанное нарушение симметрии и эффективное действие в суперсимметричных теориях Калузы - Клейна и струнах. // ЯФ. - 1988. - Т.48, вып. 4(10). - С.1155-1164.

66. Бухбиндер И.Л, Одинцов С.Д. Эффективное действие в многомерных теориях супергравитации и индуцирование эйнштейновской гравитации // ЯФ. - 1987. - Т.46, вып.4(10). - С.1233-1239.

67. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Effective action in multidimentional (super) gravities // Czechosl. J. Phys. - 1988. - V.B38, N6. - P.585-590.

68. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Effective action in multidimentional super-gravities and induced Einstein gravity // Int. Journ. Mod. Phys. - 1988. -V.A3, N8. - P.1859-1870.

69. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Spontaneous supersymmetry breaking and effective action in suupersymmetrical Kaluza - Klein theories and strings // Int. Journ. Mod. Phys. - 1989. - V.A4, N17. - P.4337-4359.

70. Odintsov S.D. Gauge dependence of the ffective action in multidimentional supergravities // Phys. Lett. - 1988. - V.214B, N3. - P.387-392.

71. Одинцов С.Д. О зависимости от калибровки эффективного действия в многомерных теориях супергравитации // Изв. ВУЗов, физика. - 1989. - Т.32, N5. - С.53-59.

72. Hansson Т.Н., Zahed I. Plasmons from a gauge invariant effective action for hot gluons // Nucl. Phys. - 1987. - V.B292, N3. - P.725-744.

73. Rebhan A. Feynman rules and S- matrix equivalence of the Vilkovisky -De Witt effective action // Nucl. Phys. - 1988. - V.B298, N3. - P.726-740.

74. Rebhan A. Gauge independent perturbation theory for Jang - Mills theories // Tev Physics / eds S. Kovesi - Domokos - Singapore: World Sientific, 1988. - P.lll-126.

75. Kobes R., Kunstatter G. Stability of plasma oscillations in hot gluons matter // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V.61, N4. - P.392-395.

76. Lavrov P.M., Odintsov S.D., Tyutin I.V. On the unique effective action in field theory // Mod. Phys. Lett. - 1988. - V.A3, N13. - P.1273-1276.

77. Одинцов С.Д. Параметризационно - и калибровочно - инвариантные эффективные действия в квантовой теории поля. - Томск, 1989. - 43 с. - (Препринт / АН СССР. - Сиб. отделение. Томский научный центр, N14).

78. Buchbinder I.L, Kirillova E.N, Odintsov S.D. The Vilkovisky effective action in the even - dimentional quantum gravity // Mod. Phys. Lett. -1989. - V.4, N7. - P.633-644.

79. Одинцов С.Д. Единое эффективное действие в квантовой гравитации с материей. - Томск, 1988. - 26 с. (Препринт / АН СССР. - Сиб. отделение. Томский филиал, N 64).

80. Бухбиндер И.Л, Кириллова Е.Н, Одинцов С.Д. Эффективное действие Вилковыского в четномерных теориях квантовой гравитации // ЯФ. - 1989. - Т.50, вып. 1. - С.269-277.

81. Kobes R, Kunstatter G, Toms D.J. The Vilkovisky - De Witt effective action: panacea or placebo? - Newcastle upon Tyne, 1988. - 37p. (Preprint / Newcastle Univ.).

82. Odintsov S.D. The paramrtrization invariant and gauge invariant effective action in quantum field theory // Fortshcr. der Physik. - 1990. - V.38, N?. - P.???

83. Odintsov S.D. The Vilkovisky effective action in quantum gravity with SU(5) Grand Unification theory // Europhys. Lett. - 1989. - V.10, N4. -P.287-292.

84. Odintsov S.D. The unique effective action in scalar QED with quantum gravity // In Abstracts of contributed papers of 12th Intern. Conferenceon

General Relativity and Gravitation. V.2. - Boulder Univ. 1989. - P.738.

85. Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Kirillova E.N. The unique effective action in multidimential quantum gravity //In Abstracts of contribuuted papers of 12th Intern. Conference on General Relativity and Gravitation, V.2. -Boulder Univ. 1989. - R724.

86. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. On the one mechanizm of of supersymme-try breaking in N = 1 supergravity //In Abstracts of contributed papers of 12th Intern. Conference on General Relativity and Gravitation, V.2. -Boulder Univ., 1989. - P.723.

87. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Is the dynamical supersymmetry breaking possible in N = 1 supergravity? // Class. Quant. Grav. - 1989. V.6, N6. -P.1955-1959.

88. Cho H.T. Vilkovisky - De Witt effective potential for Einstein gravity coupled to scalar. - Norman, 1989. - 21p. (Preprint / Oklahoma Univ.).

89. Багров В.Г., Бухбиндер И.Jl., Одинцов С.Д. Квантовое эффективное действие в теориях Калузы - Клейна // В кн. Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной. - Казань: КГПИ, 1988. - С.161-169.

90. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Effective action in multidimentional (su-per)gravities and spontaneous compactification (Quantum aspects of Kaluza -Klein theories) // Fortschr. der Physik. - 1989. - V.37, N4. - P.225-259.

91. Toms D.J. Induced Einstein - Maxwell action in Kaluza - Klein theory // Phys. Lett. - 1983. - V.129B, N1,2. - P.31-35.

92. Cornwall J.M, Jackiw R, Tomboulis E. Effective action for composite operators // Phys. Rev. D: Part, and Fields. - 1974. - V.10, N8. - P.2428-2445.

93. Fomin P.J, Gusynin V.P, Miransky V.A, Sitenko Yu.A. Dynamical symmetry breaking and particle mass generation in gauge'field theories // Rivista Nuovo Cim. - 1983. - V.6, N5. - P.l-90.

94. Buchbinder I.L, Odintsov S.D. The parametrization and gauge invariant effective action of composite fields // Phys. Lett. - 1989. - V.228B, N1. -P.104-110.

95. Odintsov S.D. The effective action of composite bosons fields in O(N) -model in curved space-time // Europhys. Lett. - 1988. - V.7, N1. - P.l-5.

96. Одинцов С.Д. Шильнов Ю.И. Эффективный потенциал в O(N)- модели в пространствах с нетривиальной топологией // Материалы VII Всесоюзной конференции "Современные теоритические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации". - Ереван: ЕГУ, 1988. - С.322-323.

97. Одинцов С.Д. Шильнов Ю.И. Эффективный потенциал в O(N)- модели в пространствах с нетривиальной топологией // УФЖ. - 1989. -Т.34, N11. - С.1607-1610.

98. Shore G.M. Radiativeli induced spontaneous symmetry breaking and phase transitions in curved space-time // Ann. Phys. (N.J.) - 1980. - V.128, N8. - P.376-424.

99. Allen B. Phase transitions in de Sitter Space // Nucl. Phys. - 1983. -V.B226, N1. - P.228-252.

100. Fradkin E.S. Tseytlin A.A. One-loop effection potential in gauged 0(4) supergravity and the problem of the A - term. // Nucl. Phys. - 1984. -V.B234, N2. - P.472-508.

101. Одинцов С.Д. Эффективное действие Вилковыского в квантовой гравитации с материей // ТМФ. - 1990. - Т.82, N1. - С.66^74.

102. Yasinschi R.S, Smith A.W. Effective potential in N = 1, D = 4 supergravity coupled to the Volkov - Akulov field // Phys. Lett. - 1986. - V.174B, N2. - P.183-185.

103. Odintsov S.D. Effective potetial m N = 1 supergravity De Sitter Space // Phys. Lett. - 1988. - V.213B, N1. - P.7-10.

104. Одинцов С.Д. Эффективное действие Вилковыскогго - Де Витта в многомерной R2 - гравитации // Изв. ВУЗов, физика. - 1989. - Т.32, N10. - С.106-111.

105. Coleman S, Weinberg Е. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking // Phys. Rev. D: Part, and Fields. - 1973. - V.7, N6. -P.1888-1909.

106. Бухбиндер И.JI, Одинцов С.Д, Шапиро И.Л. Уравнения ренормали-зационной группы и асимптотическая конформная инвариантность во внешнем гравитационном поле // В кн. Теоретико - групповые методы в физике. М: Наука, 1986. - Т.1. - С.115-123.

107. Одинцов С.Д, Шевченко И.Н. О зависимости единого эффективного действия в многомерной R2 гравитации от метрики конфигурационного пространства // Изв. ВУЗов, физика. - 1991. - Т. N7. - С.74-76.

108. Одинцов С.Д., Шевченко И.П. Проблемы с калибровочно- инвариантным эффективным действием, не зависящим от выбора калибровки // ЯФ. - 1992. - Т.55, вып.2. - С.553-562.

109. Одинцов С.Д., Шевченко И.Н. О зависимости единого эффективного действия в многомерной R2 -гравитации от метрики -конфигурационного пространства // Известия ВУЗов. Физика. - 1991. - N 7. - С.74-76.

110. Одинцов С.Д., Шевченко И.Н. Проблемы с калибровочно-инвариант-ным эффективным действием, не зависящим от выбора калибровки // Ядерная физика - т.55. - вып.4. - 1992. - С.1136-1145.

111. Одинцов С.Д., Шевченко И.Н. Единое эффективное действие в двумерной квантовой гравитации с нелокальным действием // Известия ВУЗов. Физика. - 1992. - N 1. - С.97-100.

112. Odintsov S.D., Shevchenko I.N. Gauge-invariant and gauge-fixing independent effective action in one-loop quantum gravity. Препринт HUPD-9112. - Оклахома. - июль 1991.

113. Odintsov S.D., Shevchenko I.N. Unique effective action in two dimentional induced quantum gravity. // Препринт FTUAM-91-30. - Мадрид. - 1991.

114. Odintsov S.D., Shevchenko I.N. Unique effective action in two-dimentional induced quantum gravity. // Z.Phys.C: Particles and Fields. - 1992. - v.56.

115. Odintsov S.D., Shevchenko I.N. Gauge - Invariant and Guage - Fixing Independent Effective Action in One - Loop Quantum Gravity // Fortschr. Phys.- 1993. - v.41. - pp. 719 - 736.

116. Толченова (Шевченко) И.Н. Единое эффективное действие в квантовой гравитации со скалярным полем. Труды международной конфе-

ренции "Квантовая теория поля и гравитация". - Томск: - 28 июня - 2 августа 1997. - Издательство Томского педагогического университета.