Зависимость от калибровки в БВ и Sp(2)-ковариантном методах квантования и локальное суперполевое лагранжево БРСТ квантование тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Решетняк, Александр Александрович

• Решетняк, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Решетняк, Александр Александрович

Введение

1. Составные поля в лагранжевых методах квантования калибровочных теорий общего вида

1.1. Бр(2)-ковариантное лагранжево квантование

1.2. Составные поля. Тождества Уорда

1.3. Зависимость от калибровки производящих функционалов функций Грина с составными полями в 8р(2)-ковариантном квантовании

1.4. Калибровочная зависимость эффективного действия с составными полями в методе БВ квантования

2. Зависимость от калибровки в эйнштейновской гравитации в классе специальных линейных бэкграундовских калибровок

2.1. Общий вид зависимости эффективного действия от калибровки в калибровочных теориях

2.2. Однопетлевое эффективное действие в эйнштейновской гравитации

3. Локальное лагранжево суперполевое БРСТ квантование в неабелевых гиперкалибровках

3.1. Нечетная лагранжева формулировка локальной супер полевой модели

3.2. Нечетная гамильтонова формулировка локальной суперполевой модели

3.3. Локальное суперполевое квантование с неприводимыми гиперкалибровками

3.3.1. Суперполевое квантовое действие в исходных координатах

3.3.2. Дуальность между суперполевыми величинами БВ и БФВ методов

3.3.3. Правила локального суперполевого квантования

3.4. Взаимосвязь лагранжевых методов БРСТ квантования

3.4.1. Компонентная формулировка и ее отношение к методам Баталина-Вилковыского, Баталина-Тютина и суперполевой схеме квантования

3.4.2. Суперполевое функциональное квантование в общих координатах

3.5. Локальное суперполевое квантование с приводимыми гиперкалибровками

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Зависимость от калибровки в БВ и Sp(2)-ковариантном методах квантования и локальное суперполевое лагранжево БРСТ квантование»

Задача построения теоретико-полевых моделей реализующих описание известных в настоящий момент фундаментальных взаимодействий между элементарными частицами в рамках единого взаимодействия по-прежнему является основной в теоретической физике высоких энергий. Результаты, полученные в этом направлении в течение последних 30-35 лет хорошо известны [1-7]. Они существенно используют математический аппарат теории калибровочных полей.

Принцип локальной калибровочной инвариантности, впервые введенный Г.Вейлем [8] в связи с попытками построить единую геометрическую электрогравитационную теорию и в современном понимании сформулированный Янгом и Миллсом [9] для описания сильных взаимодействий, подразумевает существование калибровочных полей. В настоящий момент в семейство калибровочных полей вместе с электромагнитным и гравитационным включены неабелевые калибровочные поля Янга-Миллса.

Противоречия (например, неунитарность S-матрицы), указанные Фейнманом [10] в связи с попытками применения при квантовании неа-белевых калибровочных теорий методов, используемых ранее для теории электромагнитного поля, положили начало систематическому исследованию общих правил квантования таких теорий. Непротиворечивые правила квантования теорий с калибровочной группой в ковариантном (ла-гранжевом) формализме известные сейчас как правила Фаддеева-Попова были сформулированы в работах Фаддеева и Попова [11], Девитта [12], Манделстама [13], Фрадкина и Тютина [14].

Обобщенные тождества У орда, полученные Славновым [15] и Тейлором [16], стали важным моментом в развитии квантовой теории калибровочных полей, первоначально представляя основу для доказательства калибровочно-инвариантной перенормируемости теории безмассовых калибровочных полей.

Спонтанное нарушение калибровочной симметрии у частиц, описываемых калибровочными полями, с возможностью генерации массы без нарушения свойства перенормируемости такой модели, обоснованное т'Хуфтом [17], привело к реальному применению теории калибровочных полей в физике элементарных частиц, в том числе к различным вариантам построения единых теорий сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий (см., например, [18-21]). К тому же преимущество неа-белевых калибровочных теорий отразилось в построении моделей [22, 23] в которых отсутствует проблема "нуля-заряда" [24, 25], присущая всем ранее известным теориям.

Современное становление теории калибровочных полей было инициировано работами Бекки, Руэ, Стора [26, 27] и Тютина [28]. В них калибровочная инвариантность первоначальной классической теории достраивается до специальной глобальной суперсимметрии (БРСТ-симметрии) квантового действия, построенного по правилам Фаддеева— Попова. БРСТ-инвариантность привела к возможности переформулировки Зинн-Жустином [29] правил Фаддеева-Попова для теорий Янга-Миллса в виде инвариантном для всех калибровочных теорий, способствующим более простому проведению общих расссуждений. А именно, введя дополнительные источники к БРСТ-преобразованиям, он представил содержание калибровочной теории в виде квадратичного уравнения для расширенного действия без явного упоминания об исходной калибровочной группе.

Наличие БРСТ-инвариантности позволило проводить анализ унитарности теории непосредственно в ковариантном методе квантования, опираясь на формализм, открытый Куго и Оджимой [30]. Нетеровский нильпотентный БРСТ-заряд, соответствующий БРСТ-инвариантности, являясь основной величиной данного формализма, позволяет корректно выделить подпространство физических состояний и проанализировать проблему унитарности физической S-матрицы.

Значительный шаг в расширении представления о калибровочной теории был осуществлен в связи с открытием суперсимметрии [31-36] и ее локальным вариантом, реализованным в теориях супергравитации [37-39]1. Главные отличия суперсимметричных теорий от янг-миллсовских отражаются как в зависимости структурных функций алгебры генераторов локальной суперсимметрии от полей, так и разомкнутости ее самой слагаемыми, пропорциональными уравнениям движения (открытые алгебры).

Работа Фрадкина и Васильева [43], посвященная квантованию супергравитации, указала на необходимость изменения правил Фаддеева-Попова. Для простой N = 1 супергравитации модифицированные правила ковариантного квантования были даны в работах Нильсена [44] и Каллош [45, 46]. Лагранжево квантование произвольных калибровочных теорий с открытой алгеброй было предложено де Вит и ван Хольтеном [47]. Работы Баталина и Вилковыского [48, 49] придали современный и окончательный вид методу квантования произвольных калибровочных теорий в лагранжевом формализме (БВ-метод).

Одновременно с ковариантным развивался и гамильтонов (канонический) метод квантования динамических систем (калибровочных теорий), характеризующихся обязательным наличием связей первого рода (разделение связей на первый и второй род предложено Дираком [50]). В работе Фаддеева [51] была построена каноническая S-матрица для динамических систем с бозонными связями первого рода в канонических калибровках. Фрадкин [52] получил выражение для производящего функ

1 Последовательное изложение теорий суперсимметрии и супергравитации смотри также в [40-42]. ционала функций Грина и канонической S-матрицы для динамических систем со связями первого и второго рода произвольной грассмановской четности в канонических калибровках.

Квантование динамических систем с бозонными связями первого рода в релятивистских калибровках было выполнено Фрадкиным и Вил-ковыским [53] и расширено на случай произвольной грассмановской четности Баталиным и Вилковыским [54]. Наконец, Фрадкин и Фрадкина [55] проанализировали случай динамических систем с бозонными и фермион-ными связями первого и второго рода, а Баталин и Фрадкин обобщили его для систем с приводимыми (в случае невозможности ковариантного выделения независимых связей среди избыточных) связями первого [56] и второго [57] родов. Квантование по правилам [53-57] сейчас носит название обобщенного канонического формализма или БФВ- (Баталин-Фрадкин-Вилковыский) метода (см. также обзор Энно [58]). Важным применением этого метода стало, например, последовательное каноническое квантование эйнштейновской гравитации [59] и супергравитации [43].

БФВ-метод основывается на принципе специальной суперсимметрии аналогичной БРСТ-симметрии в ковариантном формализме. Понятие "БРСТ-симметрия" сейчас традиционно относится к обеим инвари-антностям.

Отметим, что успехи достигнутые в рамках глобально-суперсимметричных теорий, связанные с сокращением расходимостей (см., например, модели работ [60-62] с N = 4 расширенной суперсимметричной теорией Янга-Миллса и [63] с двумерными суперсимметричными сигма-моделями), все же не обеспечили конечность во всех порядках теории возмущения теорий супергравитаций несмотря на возможность 1 < N < 8 [64-66]. Следовательно, использование только принципов суперсимметрии оказалось не достаточным для построения квантовой теории гравитации. Современные представления об унификации взаимодействий подразумевают возможность вывода последовательной квантовой теории гравитации в качестве некоторого (низкоэнергетического) предела более фундаментальной эффективной теории.

Работы Ионеи, Невё, Шерка и Дж.Шварца [67-73], а далее Грина, Дж.Шварца, Виттена, Гросса, Харви, Мартеника и Рома [74-79] предложили в качестве таковой теорию суперструн (протяженных геометрических объектов малых размеров). К настоящему моменту известно пять различных формулировок суперструны [80] (для обзора теории (су-пер)струн см. [80, 81]), являющимися составными частями единой 11-мерной М-теории (см., например/[82-85]).

Одно из направлений для последовательного описания процессов рассеяния частиц на очень малых, так называемых планковских расстояниях, например, в окрестности космологической сингулярности и при гравитационном коллапсе, реализуется в рамках теории р-адических струн, введенных Волович в [86] (для обзора см. [87, 88]). Рассмотрение р-адических струн обусловлено флуктуациями на планковских масштабах метрики и топологии пространственно-временного многообразия, а также нарушением архимедовости числового поля.

Расширение многообразия элементарных частиц, помимо теорий (супер)струн предположительно позволяющее в новом виде разрешить проблему объединения всех фундаментальных взаимодействий, также связывается с задачей построения последовательной формулировки классического и квантового описания так называемых (супер)полей высших (при s > 2) (супер)спинов, включая нахождение ковариантной формы классических действий и их калибровочных симметрий. Характерной чертой подобных теорий как в случае бозонных, так и фермионных полей высших спинов является впервые реализованная, например, в безмассовом случае Фронсдалом и Фэнгом в [89, 90] особенность включения уже на свободном уровне полей разных спинов. Успехи и трудности на пути создания непротиворечивой теории взаимодействующих полей высших спинов, существенно различающихся в случае пространств Минковского и (анти-)де-Ситтера разной размерности, известны (см. работу Васильева и Фрадкина [91], а для обзора [92-94]). Среди методов, содержащих рецепты построения классических действий и уравнений движения для полей высших спинов, выделяются так называемый "развернутый" ("unfolded") формализм [95, 96] и метод, основанный на нахождении БРСТ-заряда для связей, определенных структурой неприводимого представления соответствующего спина группы Пуанкаре [97, 98]2. Их применением стало соответственно построение, например, Васильевым и Лопатиным теорий как свободных, так и взаимодействующих с (анти-)де-Ситтеровским фоном полей высших спинов [100, 101] и, например, Бухбиндером, Крыхтином, Пашневым моделей фермионных безмассовых полей высших спинов [102], лагранжевые действия которых обладают приводимыми калибровочными симметриями.

Другим перспективным направлением, служащим для эквивалентного описания эффективного перенормированного действия, содержащего высшие, в сравнении с затравочным классическим действием калибровочной теории, калибровочно-инвариантные члены взаимодействия, стала некоммутативная теория калибровочных полей. Предложенная в рамках теории струн Сайбергом и Виттеном связь между некоммутативным и коммутативным описанием калибровочной теории [103] основана на введении параметра некоммутативности и осуществляется посредством так называемого отображения Сайберга-Виттена. Анализ этого отображения, согласованно деформирующего исходные действие и калибровочные преобразования классической модели в некоммутативную теорию с деформированным действием инвариантным относительно деформированных калибровочных преобразований, изучался для янг-миллсовских и черн-саймоновских теорий с использованием техники БРСТ-симметрии в рамках метода Фаддеева-Попова в работах [104-106], а в рамках БВ-метода в [107].

2 Эти подходы рассмотрены с единой точки зрения Барнихом, Григорьевым, Семихатовым и Типу-ниным в [99].

Дополнительно к БРСТ-симметрии квантовый лагранжиан теории, полученный по правилам Фаддеева-Попова, инвариантен относительно открытой в работах [108-110] "анти-БРСТ-симметрии". Ныне общепринятым термином является "расширенная БРСТ-симметрия", объединя ющая БРСТ- и анти-БРСТ-симметрии. Разнообразному использованию расширенной БРСТ-симметрии в калибровочных теориях посвящено достаточное число работ. Например, перенормируемость и калибровочная инвариантность в теориях с замкнутой алгеброй в лагранжевом формализме исследовались в [111, 112].

Одна из геометрических реализаций (БРСТ) расширенной БРСТ-симметрии была предложена Бонорой, Пасти, Тониным [113, 114] за счет расширения пространства Минковского (одной) двумя антикоммутиру-ющими координатами так, что сами (БРСТ) расширенные БРСТ-пре-образования представлялись сдвигами вдоль этих координат. Подобная формулировка обеих БРСТ-симметрий использовалась для построения лагранжевых действий для теорий Янга-Миллса [115-117], гравитации [118], простой N = 1 супергравитации [119].

В рамках БФВ-метода [53-57] расширенная БРСТ-симметрия была впервые проанализирована в работе Хванга [120] для динамических систем со связями первого рода в специальных калибровках. Для произвольных калибровок в работе [121], при постоянных структурных функциях в соотношениях инволюции был предложен унитаризующий гамильтониан [53] инвариантный относительно расширенных БРСТ-преобразований.

Принцип расширенной БРСТ-симметрии в наиболее последовательном виде был реализован Баталиным, Лавровым и Тютиным в рамках правил гамильтонова [122-124] и лагранжева [125-127] Sp(2)-ковариантных квантований калибровочных теорий. Эти методы обеспечивают эквивалентность (продемонстрированную в работах [122, 125]) результатов канонического и лагранжева квантований калибровочной модели на основе стандартной и расширенной версий БРСТ-симметрии.

Исследования по применению расширенной БРСТ-симметрии развивались также группой Энно (см., например, [128-131]), в работах Нер-сесяна, Дамгаарда, Де Джонга, Беринга и Татару [132-135]. В частности, решения производящих уравнений 8р(2)-ковариантных методов квантования для неприводимых калибровочных теорий с точностью до третьего порядка по полям и координатам вспомогательного сектора в лагранже-вой и гамильтоновой версиях соответственно были найдены в работах [136-138].

В целом правила квантования на основе стандартного [48,49, 53-58] и расширенного [122-127] вариантов реализации БРСТ-симметрии являются сейчас наиболее общим методом исследования квантовых свойств калибровочных теорий таких как анализ условий унитарности [30, 139, 140], изучение перенормировки, зависимости от калибровки [127, 141145], совместно с выводом тождеств Уорда [122, 125].

Ингридиенты БВ-метода, рассмотренные с точки зрения теории супермногообразий [146], нашли четкую классификационную градацию в работах А.Шварца [147, 148] (см. также [149]), представляя собой более сложный аналог симплектической геометрии. Само лагранже-во квантование [48, 49] усовершенствовалось в направлении введения так называемых неабелевых, при вычислении относительно антискобки, калибровочных условий (гиперкалибровок) Баталиным и Тютиным в работах [150-152]. Эти условия применимы в случае произвольного антисимплектического многообразия и позволяют определить более широкий класс функционалов, содержащих результирующее квантовое действие, соответствующее исходной калибровочной теории и получающееся в результате интегрирования в функциональном интеграле по той половине специальных неантиканонически сопряженных координат указанного многообразия (из координат Дарбу), относительно которых гиперкалибровки разрешимы. 8р(2)-ковариантное лагранже-во квантование также совершенствовалось в виде обобщения до Sp(2)симметричного метода [153], сформулированного Баталиным и Марне-лиусом (см. также [133, 134]), затем Баталиным, Марнелиусом, Семи-хатовым до триплектического [154, 159] и Гейером, Гитманом, Лавровым до модифицированного триплектического [155, 156] методов (в связи с концепцией супермногообразий Федосова [157, 158]). Соответствующая этим методам геометрия была развита в работах [159-163].

В свою очередь, наличие ^-градуированных дифференциальных структур и величин на супермногообразиях привело к обобщению концепции (обыкновенных) дифференциальных уравнений посредством введения Шандером в [164] так называемого супервремени % = (£, в), включающему дополнительно к четной переменной t £ R нильпотентный параметр в.

Упомянутая ранее реализация БРСТ (расширенной БРСТ) симметрии в виде трансляций вдоль переменных в (в, в), расширяющих пространство Минковского R1'-0-1 [113-117], стимулировала появление первых работ по суперполевому обобщению лагранжева БРСТ-квантования [165, 166] и 8р(2)-ковариантного [167]. Развитие суперполевого метода [165, 166] для случая введения более широкого класса абелевых гиперкалибровок в сравнении с рассматриваемыми в БВ-методе с помощью бозонного функционала фиксирующего калибровку (впервые предложенного в [168]) было рассмотрено Гейером, Лавровым и Мошиным [169,170]. Указанный функционал удовлетворяет тому же уравнению, что и квантовое действие, если в уравнении для квантового действия заменить нильпотентный оператор первого порядка V на нильпотентный оператор U [169, 170]. Сами операторы V, U являются существенными ингридиентал ми в [165, 166] и [169, 170] с точки зрения суперполевой интерпретации БРСТ-преобразований.

В гамильтоновом формализме Баталиным, Берингом и Дамгаар-дом [171, 172] также была предложена версия суперполевого квантования как в рамках метода функционального интеграла, так и в операторной формулировке с ее обобщением на случай произвольного фазового пространства. В данной версии особенностью получения лагранжева суперполевого вакуумного функционала [171] является его воспроизведение из гамильтонова интегрированием по так называемым пфаффиановским гостам и импульсам в функциональном интеграле. При этом в отличие от ковариантного формализма реализация принципа БРСТ-симметрии основана на нетривиальном зацеплении переменных t ив, представленном фермионным оператором Т> = д$ + Odt ({D,T>]+ = 2dt), что позволяет унифицированно описывать динамику и калибровочные симметрии.

Исследования по суперполевому квантованию тесно коррелируют-ся с методами построения обобщенных пуассоновских сигма-моделей [173, 174], с геометрической суперполевой точки зрения разработанных впервые Александровым, Заборонским, Концевичем и А.Шварцем в [175] и алгоритмически развитых Баталиным и Марнелиусом [176, 177] (см. также [178]). Геометрия D — 2 суперсимметричных сигма-моделей [179] с произвольным, N > 1, числом грассмановских координат была применена для классического и квантового описания D = 1 сигма-моделей Халлом [180] и независимо для построения вакуумного функционала (статистической суммы) при N = 2 Гоззи, Деотто, Рейтером, Такке-ром [181-183]. Квантование с одним фермионным суперзарядом Q(t,в), содержащим операторы БРСТ-заряда и унитаризующего гамильтониана [171], было недавно обобщено Баталиным и Дамгаардом для N = 2 (не пространственно-временных) суперсимметрий [184], а затем Баталиным и Берингом и на случай произвольного числа суперзарядов Qk{t,в1, .,6N), к = l,.,iV, зависящих от грассмановских переменных вк [185]. Предложенная Григорьевым и Дамгаардом [186] модификация квантования [171, 172] выявила тесную взаимосвязь между квантовым действием БВ- и БРСТ-зарядом БФВ-методов. Наконец, следует отметить об использовании суперполевого подхода Баталиным и Марнелиусом в [187] при описании динамических систем со связями второго рода в качестве калибровочных моделей, а также Барнихом и Григорьевым в [188] при вторичном квантовании калибровочных теорий.

В формализме работ [165, 166, 169, 170] осуществлен сравнительно полный анализ свойств суперполевого квантования (БРСТ-инвариантность, калибровочная независимость S-матрицы). Указанный анализ основан на структуре решений производящих уравнений (мастер-уравнений для квантового действия и действия фиксации калибровки). Однако детального соответствия между этими решениями и определением самой калибровочной модели указано не было. Представляется естественным снабдить метод [165, 166, 169, 170] явным суперполевым описанием структурных функций калибровочной алгебры, определяющих данную модель теории поля [196, 197].

Определение производящего функционала функций Грина Z[Ф*] в [165, 166], а также вакуумного функционала Z работ [169, 170] включает, в общем, зависимость калибровочного фермиона Ф[Ф] и квантового действия 5[Ф, Ф*] (для Z более чем линейную зависимость действия фиксирующего калибровку, Х[Ф, Ф*]), от полей ХА - компонент суперполя ФА(0) в мультиплете (ФА, Ф^)(0) = (фА + Хлв, ф*А - 6JA)Z. Это приводит к отличию функционалов Z[Ф*] и Z от производящего функционала функций Грина БВ-метода и вакуумного функционала "первого уровня" [150] соответственно. 4

Суперполевое квантование, использованное в [165, 166, 169,170], основано на построении производящего функционала функций Грина, а задача построения в суперполевой форме производящего функционала вершинных функций Грина (эффективного действия) в этих работах не рассматривалась. В связи с этим следует отметить, что определение производящих функционалов функций Грина, включая эффективное действие, не рассматривалось и в методе квантования с неабелевыми гиперкалибровками [150-152].

3Набор переменных фА, ф*л, Хл, Jд соответствует полям, вспомогательным полям, вводящим калибровку, антиполям и источникам к полям фл, составляя полный набор переменных БВ-метода [48, 49].

Кроме того интересной представляется формулировка правил ла-гранжева квантования, в том числе суперполевого, при условии, что калибровочная модель изначально задается квантовым действием - функционалом на антисимплектическом многообразии полей и антиполей так, что для задания производящих функционалов функций Грина невозможно без нарушения ковариантности и локальности наложить независимые гиперкалибровки. Следовательно, возникает задача описания правил квантования с приводимыми гиперкалибровками, чей набор полон, т.е. содержит необходимое подмножество независимых гиперкалибровочных функций.

В свою очередь, правила квантования [165, 166, 169, 170], предложенные для специального случая^ координат Дарбу, включающие классические поля исходного конфигурационного пространства, естественно сформулировать в рамках общих координат на произвольном антисимплектическом многообразии для выявления геометрического содержания объектов суперполевого квантования.

Разрешению вопросов, связанных с вышеуказанной проблематикой, а также приложениям, основанным на изучении формы калибровочной зависимости различных физических величин в рамках БВ и Sp(2)-KO-вариантного лагранжевых методов квантования калибровочных теорий и посвящается настоящая диссертация, чем и обусловлена ее актуальность.

Основными задачами диссертации являлись следующие:

- доказательство независимости от малой вариации калибровки эффективного действия с составными полями на массовой оболочке в рамках 8р(2)-ковариантного лагранжевого квантования; представление формы зависимости от калибровки эффективного действия с составными полями в методе БВ-квантования с помощью квантового генератора БРСТ-преобразований с составными полями;

- изучение зависимости от калибровочного параметра в специальной однопараметрической бэкграундовской калибровке однопетлевого эффективного действия в эйнштейновской гравитации;

- построение и изучение свойств нечетных лагранжевой и гамиль0 тоновой формулировок произвольной приводимой в-локальной суперполевой модели (JICM) как естественного расширения обычной модели калибровочной теории классических полей в лагранжевом формализме;

- построение в-локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках для приводимой калибровочной модели, специально выделенной из общей суперполевой модели; определение и изучение свойств 0-локальных производящих функционалов функций Грина, включая суперполевое эффективное действие;

- решение задачи дуального описания4 калибровочной теории конечной L-стадии приводимости в ковариантной формулировке в терминах БРСТ-заряда формальной динамической системы со связями 1 рода (L + 1)-стадии приводимости;

- построение суперполевого лагранжева квантования в произволь ных координатах на антисимплектическом многообразии;

- построение 0-локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования для произвольной калибровочной модели в неабелевых зависимых гиперкалибровках конечной if-стадии приводимости.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Решетняк, Александр Александрович

Заключение

Перечислим основные результаты выносимые на защиту.

1. В рамках метода 8р(2)-ковариантного лагранжева квантования калибровочных теорий общего вида с составными полями получены тождества Уорда для производящих функционалов функций Грина с составными полями. Показано, что вариация эффективного действия с составными полями представляется как в виде действия коммутатора квантовых генераторов расширенных БРСТ-преобразований с составными полями на функционал, соответствующий вариации калибровочного условия, так и в форме пропорциональной своим экстремалям и антиполям ф*Аа. Доказана независимость от калибровки перенормированного эффективного действия с составными полями для неаномальных калибровочных теорий на массовой оболочке, определяемой экстремалями и гиперповерхностью ф*Ла = 0.

2. Представлена новая форма калибровочной зависимости эффективного действия с составными полями в методе БВ квантования в терминах нильпотентного квантового генератора БРСТ-преобразований с составными полями и в виде варйации эффективного действия, которая оказывается пропорциональной своим экстремалям.

3. Вычислено однопетлевое эффективное действие в эйнштейновской гравитации в специальной однопараметрической бэкграундовской калибровке с точностью до линейных членов в разложении по параметру калибровки. Показано, что на массовой оболочке эффективное действие не зависит от калибровочного параметра.

4. Предложено описание произвольной приводимой 0-локальной суперполевой модели как естественного расширения обычной модели калибровочной теории поля, определенной на конфигурационном пространстве классических полей, до локальной суперполевой модели в так называемых нечетных лагранжевой и гамильтоновой формулировках, заданных соотвественно на расширенных нечетных касательном и кокасательном расслоениях, база которых параметризована обобщенными классическими суперполями. Показано, что сохранение при формальной эволюции вдоль переменной в, определяемой лагранжевой и гамильтоновой системами как суперполевыми обобщениями обычных экстремалей, скалярного 0-локального аналога энергии, эквивалентного в гамильтоновой формулировке гамильтонову действию, соответствует в силу первой теоремы Нетер выполнению лагранжева и гамильтонова мастер-уравнений.

5. Построена в-локальная суперполевая формулировка лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках калибровочной модели L-стадии приводимости, выделенной из общей локальной суперполевой модели условиями явной ^-независимости лагранжева и гамильтонова действий и занулением гостовскосо числа для действий и обобщенных классических суперполей. Предложен суперполевой алгоритм построения квантового действия на основе интерпретации соотношений приводимости модели в виде специальных калибровочных преобразований гостов, преобразованных в единую интегрируемую нечетную гамильтонову систему. Построены производящие функционалы функций Грина, включая эффективное действие. Для них выведены тождества Уорда и доказана калибровочная независимость S-матрицы. Суперполевые БРСТ-преобразования представлены 0-сдвигами суперполей вдоль векторного поля, эквивалентно определяемого двумя гамильтоново-подобными системами уравнений. Эти системы заданы соответственно в терминах 0-локальной антискобки, произвольной бозонной функции, квантового и ка-либровочно-фиксирующего действий и посредством четной скобки Пуассона с линейной комбинацией фермионных функционалов, "дуальных" указанным действиям и бозонной функции. Установлено совпадение вакуумного функционала "первого" уровня формализма Баталина-Тютина с вакуумной функцией локального квантования при в = 0 и выключенных антиполях. Для абелевой гиперкалибровки установлено совпадение производящих функционалов функций Грина БВ-метода и локального квантования при в = 0, и что производные по в от них, вычисленные на функционально усредненных решениях построенной по квантовому действию гамильтоновой системы, пропорциональны тождествам Уорда, выявляя тем самым их геометрический смысл.

6. Решена задача "дуального" описания произвольной калибровочной теории L-стадии приводимости, описываемой в лагранжевом формализме квантовым действием и классическим 0-локальным мастер-уравнением, в терминах построенного по предписаниям БФВ-метода нильпо-тентного относительно суперполевой функциональной скобки Пуассона БРСТ-заряда формальной динамической системы со связями первого рода (1/+1)-стадии приводимости. Показано, что эта задача является частным случаем задачи описания вложения калибровочной алгебры приводимой калибровочной модели специального типа в калибровочную алгебру общей калибровочной модели той л^е стадии приводимости. ■

7. Предложено обобщение на случай произвольного антисимплекти-ческого многообразия функционального суперполевого лагранжева БРСТ квантования в общих координатах. Требование антикоммутирования определенных через функциональную антискобку нильпотентных операторов второго и первого порядков U", Vм представлено в виде систем уравнений на формальные гамильтонианы, определяющие операторы

Vм. Суперполевые БРСТ-преобразования описаны 0-сдвигами суперполей вдоль решений гамильтоново-подобной системы уравнений, построенной по разности квантового и калибровочно-фиксирующего действий и произвольному бозонному функционалу, чей конкретный выбор позволяет установить калибровочную независимость S-матрицы. Показано, что совпадение вакуумного функционала и вакуумной функции локального квантования при в = 0 и выключенных антиполях обеспечивается только в случае абелевых гиперкалибровок и тривиального выбора дополнительных гиперкалибровочных условий, определяющих в функциональном суперполевом методе меру интегрирования.

8. Построена локальная суперполевая формулировка лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках конечной К-стадии приводимости для произвольной калибровочной модели. Показано, что она является обобщением формализма "первого" уровня Баталина-Тютина и метода локального квантования С неприводимыми гиперкалибровками 0 на случай фиксации калибровки для квантового действия посредством калибровочно-фиксирующего действия, кодирующего калибровочную алгебру приводимых гиперкалибровок.

В заключении я хочу выразить искреннюю благодарность научному руководителю профессору Лаврову Петру Михайловичу за всестороннюю помощь в работе, важные многочисленные обсуждения и советы.

Я глубоко признателен профессору Тютину Игорю Викторовичу за советы и полезные обсуждения результатов первой и второй глав.

Я благодарю своего соавтора, профессора Гитмана Дмитрия Максимовича, за сотрудничество при получении результатов третьей главы.

Я также признателен своему, соавтору, профессору Одинцову Сергею Дмитриевичу за интерес к работе.

Я благодарю своего коллегу и соавтора, доцента Мошина Павла Юрьевича, за сотрудничество при получении результатов третьей главы, за многочисленные дискуссии и интерес к работе.

Я признателен профессору Багрову Владиславу Гавриловичу за создание благоприятных для выполнения работы условий.

Я признателен профессору Бухбиндеру Иосифу Львовичу за проявленный интерес и обсуждение результатов третьей главы, а также за содействие в предоставлении возможности выступлений на семинарах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Решетняк, Александр Александрович, 2005 год

1. Вайнберг С. Идейные основы единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий // УФН, 132, Вып. 2, 201-218, 1980.

2. Глэшоу Ш. На пути к объединенной теории — нити в гобелене // УФН, 132, Вып. 2, 219-228, 1980.

3. Салам А. Калибровочное объединение фундаментальных взаимодействий // УФН, 132, Вып. 2, 229-254, 1980.

4. Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля. М.: Атомиздат, 238с., 1980.

5. Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц. М.: Наука, 272с., 1988.

6. Волошин М.Б., Тер-Мартиросян К.А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. М.: Энергоатомиздат, 296с., 1984.

7. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. Cambridge, 1996.

8. Weyl H. Gravitation and Electricity // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1918, 465, 1918. (английский перевод в O'Raifeartaigh L. The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press, 1997).

9. Yang C.N., Mills R.L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // Phys. Rev. 96, № 1, 191-195, 1954.

10. Feynman R.P. Quantum theory of gravitation // Acta Phys. Polon. 24, № 6, 697-722, 1963.

11. Faddeev L.D., Popov V.N. Feynman diagrams for the Yang-Mills field // Phys. Lett. B25, 29-30, 1967.

12. De Witt B.S. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory // Phys. Rev. 162, 1195-1239, 1967.

13. Mandelstam S. Feynmam rules for electromagnetic and Yang-Mills fields from the gauge-independent field-theoretic formalism // Phys. Rev. 175, 1580-1603, 1968.

14. Fradkin E.S., Tyutin I.V. S-matrix for Yang-Mills and gravitational fields // Phys. Rev. D2, 2841-2857, 1970.

15. Славнов A.A. Тождества Уорда в калибровочных теориях // ТМФ. 10, № 2, 153-161, 1972.

16. Taylor J.C. Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field // Nucl. Phys. B33, № 2, 436-444, 1971.17. t'Hooft G. Renormalizable lagrangians for massive Yang-Mills fields // Nucl. Phys. B35, 167-188, 1971.

17. Fradkin E.S., Tyutin I.V. Renormalizable theory of massive vector particles // Riv. Nuovo Cim. 4, № 1, 1-78, 1974.

18. Матинян С.Г. На пути объединения слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий: su(5) // УФН. 130, Вып. 1, 3-38, 1980.

19. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Шифман М.А. Хиггсовские частицы // УФН. 131, Вып. 4, 537-576, 1980.

20. Ross G.G. Unified field theories // Rep. Progr. Phys. 44, № 3, 655-718, 1981.

21. Gross D.J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories // Phys. Rev. Lett. 30, 1343-1346, 1973.

22. Politzer H.D. Reliable perturbative results for strong interactions // Phys. Rev. Lett. B30, № 26, 1346-1349, 1973.

23. Фрадкин E.C. Об асимптотическом поведении функций Грина в квантовой электродинамике // ЖЭТФ. 28, 750-752, 1955.

24. Ландау Л.Д., Померанчук И.Я. О точечном взаимодействии в квантовой электродинамике // ДАН СССР. 102, 489-492, 1955.

25. Becchi С., Rouet A., Stora R. The Abelian Higgs-Kibble model, unitarity of the S-operator // Phys. Lett. B52, 344-346, 1974.

26. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of the Abelian Higgs-Kibble model // Commun. Math. Phys. 42, № 2, 127-162, 1975.

27. Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторной формулировке. Препринт ФИАН СССР № 39. М.: ФИАН СССР, 1975.

28. Zinn-Justin J. Renormalization of gauge theories // Lect. Notes. Phys. 37, 2-39, 1975.

29. Kugo Т., Ojima I. Local covariant operator formalism of non-Abeliangauge theories and quark confinement problem // Prog. Theor. Phys.1. Suppl. 66, 1-130, 1979.

30. Гольфанд А.Ю., Лихтман Е-.П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // Письма в ЖЭТФ. 13, 452-455, 1971.

31. Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино // Письма в ЖЭТФ. 16, 621-624, 1972.

32. Wess J., Zumino B. A lagrangian model invariant under supergauge transformations I j Phys. Lett. B49, № 1, 52-54, 1974.

33. Wess J., Zumino B. Supergauge transformations in four dimensions // Nucl. Phys. B70, № 1, 39-50, 1974.

34. Wess J., Zumino B. Supergauge invariant extension of quantum electrodynamics // Nucl. Phys. B78, № 1, 1-13. 1974.

35. Wess J., Zumino B. Supergauge invariant Yang-Mills theories // Nucl. Phys. B79, № 3, 413-421, 1974.

36. Freedman D.Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress towards a theory of supergravity // Phys. Rev. D13, № 12, 3214-3218, 1976.

37. Freedman D.Z., van Nieuwenhuizen P. Properties of supergravity theory // Phys. Rev. D14, № 4, 912-516, 1976.

38. Deser S., Zumino B. Consistent supergravity // Phys. Lett. B62, № 3, 335-337, 1976.

39. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity. Bristol & Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 640p., 1995.

40. Wess J., Bagger J. Supersymmetry and supergravity. Princeton: Princeton Univ. Press, 178p., 1983. (Русский перевод: Весс Ю., Бег-гер Д. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 184с., 1986)

41. West Р.С. Introduction to supersymmetry and supergravity. Singaporee.a.: World Scientific, 289p., 1986.t

42. Fradkin E.S., Vasiliev M.A. Hamiltonian formalism, quantization and S-matrix for supergravity // Phys. Lett. B72, № 1, 70-74, 1977.

43. Nielsen N.K. Ghost counting in supergravity // Nucl. Phys. B140, № 2, 499-509, 1978.

44. Каллош Р.Э. О калибровочной инвариантности в супергравитации // Письма в ЖЭТФ. 26, № 7, 575-578, 1977.

45. Kallosh R.E. Modified Feynman rules in supergravity // Nucl. Phys. B141, № 1, 141-152, 1978.47. de Wit В., van Holten J.W. Covariant quantization of gauge theories with open gauge algebra // Phys. Lett. B79, № 4,5, 389-393, 1978.

46. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Gauge algebra and quantization // Phys. Lett. B102, № 1, 27-31, 1981.'

47. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators // Phys. Rev. D28, № 10, 2567-2582, 1983.

48. Дирак П. Лекции по квантовой механике. М.: Мир, 1968 (Dirac Р.А.М. Lectures on Quantum Mechanics, Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University, New York, 1964).

49. Фаддеев Л.Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов // ТМФ 1, N° 1, 3-17, 1969. "

50. Fradkin E.S. Hamiltonian formalism in covariant gauge and the measure in quantum gravity // Acta Univ. Wratis. 207, 93-115, 1973.

51. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Quantization of relativistic systems with constraints // Phys. Lett. B55, № 1, 224-226, 1975.

52. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Relativistic S-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints // Phys. Lett. B69, № 3, 309-312, 1977.

53. Fradkin E.S., Fradkina Т.Е. Quantization of relativistic systems with boson and fermion first- and second-class constraints // Phys. Lett. B72, № 3, 343-348, 1978.0

54. Batalin I.A., Fradkin E.S. A generalized canonical formalism and quantization of reducible gauge theories // Phys. Lett. B122, № 1, 157-164, 1983.

55. Batalin I.A., Fradkin E.S. Quantization of dynamical systems subject to reducible second-class constraints // Lett. Nuovo Cim. 38, № 11, 393-401, 1983.

56. Henneaux M. Hamiltonian form of the path integral for theories with a gauge freedom // Phys. Reports. 126, № 1, 1-66, 1985.

57. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Unitarity in quantum gravidynamics and general covariance in quantum domain // Lett. Nuovo Cim. 13, 187192, 1975.

58. Brink L., Schwarz J.H., Scherk J. Supersymmetric Yang-Mills theories // Nucl. Phys. B121, № 1, 77-92, 1977.

59. Brink L., Lindgren O., Nilsson B.E.W. The ultraviolet finiteness of the N=4 Yang-Mills theory // Phys. Lett. B123, № 4, 323-327, 1983.

60. Stelle K.S. Extended supercurrents and the ultraviolet finiteness of N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory. Paris, 46, 1981, (Preprint / LPTENS-24).

61. Alvarez-Gaume L., Freedmaa D.Z. Geometrical structure and the ultraviolet finiteness in the supersymmetric cr-models // Commun. Math. Phys. 80, № 2, 443-451, 1981.

62. Deser S., Kay J. Three-loop counterterms for extended supergravity // Phys. Lett. B76, № 4, 400-403, 1978.

63. Kallosh R.E. Counterterms in extended supergravities // Phys. Lett. B99, № 2, 122-127, 1981.

64. Howe P.S., Lindstrom U. Higher order invariants in extended supergravity // Nucl. Phys. B181, № 3, 487-502, 1981.

65. Neveu A., Scherk J. Connection between Yang-Mills fields and dual models // Nucl. Phys. B36, № 1, 155-169, 1972.

66. Scherk J., Schwarz J.H. Dual models and geometry of space-time // Phys. Lett. B52, № 3, 347-350, 1974.

67. Scherk J., Schwarz J.H. Dual models for non-hadrons // Nucl. Phys. B81, № 1, 118-144, 1974.

68. Yoneya T. Connection of dual models to electrodynamics and gravidynamics // Progr. Theor. Phys. 51, № 11, 1907-1920, 1974.

69. Scherk J., Schwarz J.H. Dual model approach to a renormalizable theory of gravitation. Pasadena, California, 5,1975. (Preprint / CALT-58-488).

70. Scherk J., Schwarz J.H. Dual field theory of quarks and gluons // Phys. Lett. B57, № 4-6, 463-466, 19^5.

71. Schwarz J.H. Spinning string theory from a modern perspective // New Frontiers in High Energy Physics: Proc. Orbis Sci., 1978, N.Y., Plenum Press, 431-446, 1978.

72. Green M.B., Schwarz J.H. Anomaly cancellations in supersymmetric d = 10 gauge theory and superstring theory // Phys. Lett. B149, № 2, 117-127, 1984.

73. Green M.B., Schwarz J.H. Infinity cancellations in SO(32) superstring theory // Phys. Lett. B151, № 1, 21-25, 1985.

74. Green M.B., Schwarz J.H. The hexagon gauge anomaly in type Isuperstring theory // Nucl. Phys. B255, № 1, 93-114, 1985.

75. Witten E. Some properties of 0(32) superstrings // Phys. Lett. B149, № 4-5, 351-356, 1984. ;

76. Gross D.J., Harvey J.A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string theory (I). The free heterotic string // Nucl. Phys. B256, № 2, 253-284, 1985.

77. Gross D.J., Harvey J.A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string theory (II). The interacting heterotic string // Nucl. Phys. B267, № 1, 75-124, 1986.

78. Грин M., Шварц Дж., Виттец Э. Теория суперструн: В 2-х т., М.: Мир, Т. 1: 518 е.; Т. 2: 656 с>, 1990.81 8283