Структура низкоэнергетического эффективного действия суперполевых теорий на неантикоммутативном суперпространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Азоркина, Олеся Демидовна

• Азоркина, Олеся Демидовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Азоркина, Олеся Демидовна

Введение

Глава 1. Суперсимметрия, суперполя и деформированное суперпространство

1.114—1 суперсимметрия

1.2 Деформированное суперпространство

1.3 Модифицированное произведение супернолей

1.4 Теория кирального и антикирального суперполей на деформированном суперпространстве

1.5 Неантикоммутативная суперсимметричная модель Янга - Миллса

Глава 2. Общая модель кирального - антикирального суперполей на N=1/2 суперпространстве

2.1 Действие неантикоммутативной общей модели кирального - антикирального суперполей

2.2 Структура компонентного действия

2.3 Полный компонентный лагранжиан

2.4 Компактная форма записи компонентного лагранжиана

2.5 Деформированная суперсимметричная сигма - модель

2.6 Исключение вспомогательных нолей и деформированной теории

Глава 3. Однопетлевой эффективный потенциал в общей модели кирального и антикирального суперполей на N=1/2 пространстве

3.1 Однопетлевое эффективное действие

3.2 Вычисление оператора Я*

3.2.1 Однопстлевая поправка в деформированной теории

3.2.2 Вклад кэлерова потенциала в оператор Я*

3.2.3 Вклад суперпотенциалов в оператор Я*

3.3 Вычисление одноиетлевого эффективного потенциала

Глава 4. Эффективное действие суперсимметричной калибровочной теории

4.1 Свойства * - произведения суперполей и символы операторов, зависящих от антикоммутирующих координат

4.2 Деформированная суперсимметричная теория поля Янга - Миллса с присоединенной киральной материей,

4.3 Метод фонового поля для деформированной теории

4.4 Метод собственного времени и С - функция

4.5 Калибровочно - инвариантное эффективное действие Янга - Миллса индуцированное материей

4.5.1 Вычисление однопетлевой квантовой поправки в фундаментальном представлении

4.5.2 Вычисление тепловых ядер

4.6 Эффективное действие деформированной суперсимметричной теории ноля Янга - Миллса

4.6.1 Однопетлевые вклады калибровочных и духовых полей

4.6.2 Вычисление теплового ядра на постоянно - ковариантном фоне

4.6.3 Эффективное действие 104 Заключение 108 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура низкоэнергетического эффективного действия суперполевых теорий на неантикоммутативном суперпространстве»

Объединение всех фундаментальных взаимодействий на основе небольшого количества общих принципов или даже одного единого общего принципа является ведущей тенденцией современной теоретической физики. Достижения, полученные в физике высоких энергий укрепляют представления о том, что все разнообразие явлений природы обусловлено взаимодействующими элементарными частицами. Эксиеремен-тальные исследования свидетельствуют о существовании четырех типов различных взаимодействий элементарных частиц: - гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного. Данные взаимодействия являются фундаментальными, то есть лежащими в основе всех явлений природы. При этом, все более актуальной становится идея, что существует единое фундаментальное взаимодействие, расщепляющееся при наблюдаемых низких энергиях на четыре известные разновидности. Именно в рамках этой тенденции были достигнуты значительные успехи в построении стандартной модели электро-слабого взаимодействия, квантовой хромодинамики и их обобщений - моделей великого объединения (см., например, [1], [2]). В основе всех таких моделей лежит перенормируемая квантовая теория поля, свободная от аномалий (см., например, [3] - [б]). Объединение гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями в рамках той же системы идей, что привели к единой теории электрослабого и сильного взаимодействий, представляется в настоящее время невозможным в силу неперенормируемости квантовой теории гравитационного ноля.

Современный прогресс в построении объединенных теорий связан с концепцией суперсимметрии (см., например, монографии [7] - [13]) Суперсимметрия представляет собой расширение симметрий специальной теории относительности. Известно, что релятивистская симметрия формулируется в терминах группы Пуанкаре с генераторами пространственно-временных сдвигов Ра и лоренцевских вращений ,Jab (а, Ь — 0,1,2,3), удовлетворяющих коммутационным соотношениям соответствующей алгебры Ли. Суперсимметрия достигается путем расширения алгебры Ли группы Пуанкаре добавлением новых генераторов Qq¿ и Qái (где индексы принимают значения i — 1,2,. ЛГ; а = 1,2, а = 1,2), имеющих фермионную природу и подчиняющихся антикоммутационным соотношениям. При N = 1 суперсимметрия называется простой, а при N > 1 - расширенной. Суперсимметрия обеспечивает естественный механизм объединения бозонов и фермионов. В силу этого представляется, что суперсимметрия должна быть одним из обязательных принципов, лежащих в основе единой теории.

Разработка суперсимметричной теории поля привела к необходимости усовершенствовать математический аппарат, который бы позволял работать с антикоммутиру-ющими переменными. Было развито обобщение дифференциального и интегрального исчисления для таких величин. Потребовалось обобщить понятие группы и алгебры Ли при наличии новых генераторов, подчиняющихся антикоммутационным соотношениям и, следовательно, были сформулированы понятия супергруппы и супералгебры. Это привело к введению понятия суперпространства как пространства на котором реализована эта группа [14]. Оно определяется как расширение обычного пространства Минковского за счет введения антикоммутирующих координат 9 и в, принадлежащих алгебре Грассмана (см., например, [7], [9] и [10]). В работе [14] было введено понятие суперполя как функции на таком суперпространстве (см., также [9], [10], [15], [16]).

Поскольку суперсимметрия объединяет бозоны и фермионы, то любая модель суперсимметричной теории поля содержит бозонные и фермионные поля, переходящие друг в друга при преобразованиях суперсимметрии. Эти ноля принято называть компонентными полями. Суперсимметричные модели теории поля можно сформулировать двумя эквивалентными способами. Во - первых, это формулировка непосредственно в терминах компонентных полей, где суперсиммстрия не является явной. Такая формулировка называется компонентной и содержит, вообще говоря, достаточно большое число бозонных и фермионных полей, лагранжиан взаимодействия которых имеет специальную структуру, обеспечивающую суиерсимметричность теории. Во многих случаях, в частности в четырехмерном пространстве и при N = 1, все компонентные поля можно объединить в единое суперполе, что ведет к сунерполевой формулировке суперсимметричных моделей. Суперполевая формулировка позволяет существенным образом упростить все вычисления при работе с квантовыми, суперсимметричными моделями из-за ее компактности, так как оперирует целыми мульти-плетами полей в явно ковариантной форме. При этом обычные бозонные и фермионные поля возникают как соответствующие коэффициенты в раложении суперполей по спинорным координатам суперпространства. Достоинствами супериолевого подхода являются не только наличие явной инвариантности относительно преобразований сунерсимметрии, но и значительное упрощение промежуточных расчетов по сравнению с компонентным подходом и автоматическое сокращение некоторых расходимос-тей (уменьшение индекса расходимости и сокращение числа возможных контрчленов, благодаря взаимному уничтожению бозонных и фермионных вкладов, что в конечном итоге ведет к теореме о неперенормировках (см. [8] - [12])).

На данный момент наиболее приемлемый кандидат на роль объединенной "теории всего" является теория суперструн (см. монографии [17] - [22]). В период своего развития теория струн вобрала в себя многие фундаментальные достижения квантовой теории поля, такие как калибровочная инвариантность, сокращение аномалий, квантовая трактовка гравитации и ряд теоретических представлений, которые до этого воспринимались как несколько "надуманные" ( например, старая идея Калуца - Клейна - Фока о многомерном физическом пространстве - времени, в последствии вошедшая в теорию струн как составляющий элемент). Идея рассматривать суперструнную теорию как теорию объединения возникла в работах Дж.Шварца и Дж.Шерка, обратившими внимание, что безмассовая частица спина 2 может быть только гравитоном и, следовательно, возникает естественная возможность включить в объединение и гравитацию. Наличие же высших измерений воспринималось теперь как существенное достоинство, позволяющее учитывать внутренние симметрии теории. Суперсимметрия включена в теорию суперструн как один из основополагающих принципов. Исходя из общих принципов суперсимметрии, что бозоны и фермионы являются суперпартнерами, решается проблема тахиона, в виду отсутствия его суперпартнера. Базовая идея теории суперструн состоит в том, что фундаментальными объектами Природы являются не точечные элементарные частицы, а элементарные кривые - струны с характерными размерами порядка планковской длины ~ 1.6 • 10~33см. При этом элементарная частица понимается как специфическая вибрация струны. В рамках теории суперструн было показано, что условия непротиворечивости на квантовом уровне приводят к десятимерному пространству - времени и фиксированным калибровочным группам Е%хЕ& или ¿'0(32). Кроме того, в модели замкнутой суперструны гравитонная 5 - матрица, вычисляемая по теории возмущений, будет конечной. В низкоэнергетическом пределе эффективное действие теории суперструн эквивалентно классическому действию супергравитации с материей, записанному в десяти - или одиннадцатимерном пространстве - времени (см., например, |17|). Компактификация шести или семи измерений позволяет перейти к различным четырехмерным суперсимметричным полевым теориям. Таким образом, суперсимметричные полевые теории можно естественным образом трактовать как результат некоторой компактификации в теории сунерструн (см., например, [23]-[25]). Теория суперструн предсказывает существование нового типа протяженных объектов, так называемых, £)-бран, причем низкоэнергетическая динамика р- мерных £) - бран описывае тся N = 4 суперсимметричной калибровочной теорией поля в пространстве с размер-ностиью р + 1. Следовательно, исследование сунерсимметричных полевых теорий имеет принципиальное значение как для более глубокого понимания взаимосвязи между суперсимметричной квантовой теорией поля и теорией суперструи, так и для понимания самой теории.

Центральным понятием квантовой теории поля является эффективное действие. Знание эффективного действия теории полностью определяет квантовое поведение полевых моделей вне массовой оболочки и тесно связано с решением таких фундаментальных вопросов квантовой теории поля, как нахождение 5 - матрицы, определение структуры вакуума, нахождение квантовых поправок к классическим уравнениям движения, исследование фазовых переходов, динамического нарушения симметрии и изучение квантовой динамики в сильных фоновых полях. Понятие эффективного действия является чрезвычайно удобным при рассмотрении многих аспектов квантования и перенормировки калибровочных теорий. При этом оказывается, что построение эффективного действия для решения разнообразных задач в различных полевых моделях основывается на использовании ряда общих или аналогичных методов.

Естественно ожидать, что в суперсимметричных моделях теории поля, сформулированных в терминах суперполей, эффективное действие также может быть сформулировано в терминах суперполей, что обеспечит явную суперсимметрию и определенную универсальность при нахождении квантовых поправок. Обсудим кратко достоинства суперполевого подхода для вычисления эффективного потенциала в суперсимметричных моделях со скалярными полями. В обычной теории поля эффективный потенциал определяется как эффективное действие при постоянных значениях скалярных полей, и его вычисление может быть осуществлено известными методами (см., например, [26]). Если попытаться найти суперсимметричное эффективное действие при постоянных значениях киральных и антикиральиых полей, то очевидно, что оно исчезает вследствие известных свойств интеграла Березина (см., например, [27] и [28]). Следовательно, требуется вычислять суперполевое эффективное действие для скалярных сунсрполей, постоянных в пространстве - времени, но сохраняющих произвольную зависимость от грассмановых координат (см. работы [29] и [30]). Таким образом, возникает необходимость развивать методы нахождения эффективного действия в суперсимметричных моделях, которые позволили бы оперировать непосредственно с суперполями.

Одним из таких методов, имеющих существенное значение при исследовании суперсимметричных калибровочных теорий, является суперполевой метод фонового поля, в основу которого положено разбиение исходных супернолей классического действия на фоновую и квантовую составляющие. Этот метод является обобщением метода фонового поля, развитого ранее в обычных не суперполевых теориях и широко используется для нахождения контрчленов, аномалий и построения приближенных схем в квантовой теории поля Янга - Миллса и квантовой гравитации (см., например, [9], [10], [31]-[42]).

Стандартное вычисление эффективного действия по теории возмущений основывается на процедуре петлевого разложения (см. работы [3] -]6]) и, при наличии калибровочной симметрии, метода фонового поля. В суперполевых теориях эта процедура предполагает задание фонового поля с помощью квантово - фонового расщепления исходных суперполей и последующим разложением классического действия (с учетом калибровки в случае калибровочных теорий) в ряд по степеням квантовых суперполей. В низшем, однопетлевом приближении достаточно ограничиться рассмотрением только квадратичных по квантовым суперполям членам данного разложения.

В методе собственного времени однопетлевое эффективное действие представляется интегралом по параметру, называемому собственным временем от определенной функции, являющейся ядром (швингеровским тепловым ядром ) и удовлетворяющей обобщенному уравнению теплопроводности (см., например, ]42]-[4б[).Суперполевая формулировка метода собственного времени дана в книге [9]. Суперсимметричные полевые модели, вытекающие из теории суперструн в низкоэнергетическом приближении обладают N = 1 суперсимметрией в секторе киральных Ф и антикиральных Ф суперполей, характеризуются кэлеровым потенциалом К(Ф, Ф) и киральным и антикиральным потенциалами И7(Ф) и IV(Ф) соответственно. Такая суперсимметричная теория обычно называется общей моделью кирального суперполя. Квантовые аспекты данной модели исследовались в работах [47] - [51].

Приведенное выше обсуждение суперполевых моделей касалось в основном только N = 1 суперсимметрии. В случае моделей с расширенной суперсимметрией достоинство суперполевых методов уже не столь очевидно. Дело в том, что непосредственное обобщение N = 1 суперпространства и формулировка в нем соответствующих суперсимметричных теорий ведет к необходимости использовать суперполя, удовлетворяющие определенным ограничениям. Такие суперполя нельзя рассматривать как произвольные функциональные аргументы действия, что затрудняет их использование в квантовой теории поля. Проблема формулировки N — 2,3 суперсимметричных теорий в терминах неограниченных суперполей была решена в работах [52| - [55| на основе гармонического суперпространства. Гармоническое супернространство - есть расширение обычного суперпространства путем добавления специальных доиолнительных переменных ( гармоник ). После чего на таком расширенном пространстве выделяют подпространство, с меньшим числом грассмановых координат, инвариантное относительно преобразований суперсимметрии. Данный подход имеет определенные аналогии с выделением в N — 1 суперсимметричных теориях киральных подпространств. При этом расширенная суперсимметрия явно сохраняется на любом этапе производимых вычислений. Эффективное действие N = 2,3 суперсимметричных теорий в гармоническом суперпространстве обсуждалось в статьях [56] - [67].

Низкоэнергетический предел теории суперструн и соответствующая эффективная четырехмерная суперсимметричная теория поля в значительной степени определяется структурой суперструнного вакуума. Как было отмечено Зайбсргом и Виттеном в 1999 году [68] низкоэнергетическим пределом теории струн в антисимметричном тензорном фоновом поле является теория поля, определенная в пространстве с неком-мутирующими пространственно - временными координатами. Модели некоммутативной теории поля можно сформулировать в обычном ( коммутативном ) пространстве Минковского, однако, в лагранжиане обычное произведение полей следует заменить на, так называемое, * - произведение, содержащее размерные параметры деформации (параметры некоммутативности) и обладающее свойством некоммутативности. Формулировка и свойства некоммутативных полевых моделей обсуждаются в обзорах [69] - [711.

Сравнительно недавно (в 2005 году) Зайбергом [72] было отмечено, что низкоэнергетический предел теории суперструны в фоновом ноле, отвечающей постоянной гравифотонной напряженности (см., например, [73[ и [74]), соответствует Б — 4 суперсимметричная теория ноля в деформированном суперпространстве, в котором нарушена строгая антикоммутативность грассмановых координат. Данная деформация носит совершенно специфический характер, в силу того, что координаты пространства Минковского оказываются некоммутирующими, но бозонные координаты в киральном секторе коммутируют. Таким образом, введенная неантикоммутативная деформация нарушает половину всех суперсимметрий теории и поэтому соответствующее суперпространство естественно называть N — | деформированным неантиком-мутативным суперпространством. Анализ полевых теорий на таком деформированном суперпространстве приводит к необходимости замены обычного умножения суперполей на, так называемое, модифицированное * - произведение, являющегося фермионным вариантом произведения Мойяла и содержащее в своем определение структуру соответствующей деформации. Это позволяет использовать стандартное N = 1 суперпространство при рассмотрении неантикоммутативной суперсимметричной нолевой теории, где параметр деформации включается в ★ - произведение суперполей.

Изучение различных свойств таких N — | суперсимметричных моделей рассматривалось многими авторами (см., например, [75]-[84] для £) = 4 моделей, а также [85] - [88] для И = 2 моделей и [89] - [93] для расширенных суперсимметричных моделей в деформированном гармоническом суперпространстве). Для интерпретации N — | суперсимметричных теорий как стандартных полевых моделей и для выяснения особенностей их динамики необходимо иметь компонентную форму этих моделей. Нахождение компонентной структуры неантикоммутативной теории является достаточно нетривиальной технической проблемой из-за более сложной структуры суперпространства по сравнению с N — 1 случаем и, следовательно, требует специального анализа. Компонентный вид действия для деформированной теории в дополнение к стандартным членам действия будем обязательно содержать члены, зависящие от параметра деформации суперпространства. Поскольку половина суперсимметрий нарушена, то симметрия между киральным и антикиральным пространственными координатами отсутствует и, следовательно, некоторые компонентные ноля могут войти в действие в очень громоздких комбинациях. В работе [72] было изучена компонентная структура И — 4, N — \ суперсимметричной модели Весса - Зумино и теории Янга - Миллса. Для этих случаев было показано, что деформированная теория будет перенормируема (см. [7б]-[84] и [94]), несмотря на присутствие в лагранжиане слагаемых высокой массовой размерности и сохраняет локальность (точнее перенормируемость может быть восстановлена во всех порядках теории возмущений после введения в классическое действие дополнительных членов, зависящих от деформации). Однако общая Б — 4, N = \ суперсимметричная кирально - антикираль-ная теория, которая формулируется в терминах произвольного кэлерова потенциала К(Ф, Ф) и произвольных кирального И^(Ф) и антикирального Й^Ф) суперпотенциалов в литературе не рассматривалась. Не исследовались и квантовые свойства такой модели (проблемы перенормировки и построения эффективного действия). Причем, общая киральная суперполевая модель (с N — 1 суперсимметрией), возникает в низкоэнергетическом пределе теории суперструн и широко используется в феноменологии (см., например, [49], [50] и [95]-[97]). Еще одна важная, ранее не рассматриваемая задача - исследование эффективного действия калибровочно - инвариантных суперсимметричных теорий, сформулированных на N = \ сунерпространстве на основе суперполевых методов. Таким образом, рассмотрение различных аспектов суперполевых моделей на деформированном N = | суперпространстве является актуальным, бурно развивающимся научным направлением тесно связанным с низкоэнергетическим пределом теории струн и заслуживает специального изучения.

Именно исследованию этих задач посвящена данная диссертационная работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Азоркина, Олеся Демидовна

Основные результаты данной работы опубликованы в статьях [119], [136], |137] и [138].

В заключении хочу выразить глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико - математических наук, профессору И. Л. Бухбиндеру за постановку задач и помощь в работе. Автор также признателен кандидатам физико - математических наук Н. Г. Плетневу и А. Т. Ванину за плодотворное сотрудничество.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы, выносимые на защиту.

1. Рассмотрена обобщенная четырехмерная структура неантикоммутативной суперполевой модели кирального - антикирального суперполей на деформированном сунериространстве. Произведен анализ компонентной структуры этой модели после перехода от модифицированного произведения суперполей к их обычному умножению и получена явная форма компонентного лагранжиана теории со всеми вспомогательными полями. Произведено переопределение компонент модели и построена компактная форма лагранжиан. Из компонентного лагранжиана общей кирально - антики-ральной модели устранены вспомогательные поля и получена пертурбативная поправка первого порядка по А для эффективного скалярного потенциала.

2. Исследованы квантовые аспекты общей модели кирального и антикирального суперполей на деформированном суперпространстве. Получены однопетлевые вклады в кэлеров потенциал и суперпотенциалы. Развита процедура вычисления эффективного действия, обладающая * - инвариантностью и сохраняющая структуру модифицированного произведения суперполей на всех этапах квантового анализа.

3. Найдены расходящаяся и конечная части эффективного потенциала при постоянных значениях фоновых суперполей и показано, что зависимость однопетлевой поправки в секторе кэлерова потенциала от параметра деформации обусловлена только модифицированным произведением суперполей. Показали, что на деформированном суперпространстве кроме стандартных расходимостей в секторе ведущего потенциала появляется новая расходящаяся структура, явно включающая неан гиком-мутативный параметр.

4. Развита техника построения калибровочного инвариантного одноиетлевого эффективного действия для суперсимметричных калибровочных теорий, заданных на N — ^ суперпространстве. При вычислениях используются явно ковариантные методы (фонового поля и собственного времени), сформулированные на неантикоммутати-вном супериространстве.

5. Разнит метод нахождения эффективных действий в моделях киральных суперполей в фундаментальном и нроисоединенном представлениях калибровочной группы, взаимодействующих с фоновым калибровочным суперполей и в модели неабелева векторного мультиплета. Получено точное низкоэнергетическое эффективное действие суперсимметричной теории поля Янга - Миллса с калибровочной группой 5[/(2) на постоянном ковариантном абеловом фоне.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Азоркина, Олеся Демидовна, 2006 год

1. Окунь А.Б. Физика элементарных частиц. Москва: Наука, - 1984, - 224сс.

2. Клейн Г. Современная физика элементарных частиц. Москва: Мир, - 1990, -358сс.

3. Ициксон Н., Зюбер Ж.- Б. Квантовая теория поля. Москва: Мир, - 1984, т.1,- 448сс., т.2, 400сс.

4. Райдер JI. Квантовая теория поля. Москва: Мир, - 1987, - 512сс.

5. Коллинз Дж. Перенормировка. Москва: Мир, - 1988, - 446сс.

6. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Москва: РХД,- 2001,-783сс.

7. Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супер гравитация. Москва: Мир,- 1986, -180сс.

8. Gates S.J., Grisary M.T., Rocek M., Siegel W. Superspace or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry. Benjamin Cummings, Reading, M.A. - 1983,- 548pp.

9. Mohapatra R.N. Unification and Supersymmetry. Springer, - 1996, - 405pp.

10. Galperin A.S., Ivanov E.A., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace.- Cambridge University Press, 2001, - 303pp.

11. Dress M., Godbole R., Roy P. Theory and Phenomenology of Superparticles.- World Scientific, 2004, - 555pp.

12. Salarri A., Strathdee J. Supergauge transformations. // Nuclear Physics B, 1974,- Vol.76, -N.2, p. 477 - 482.

13. Salam A., Strathdee J. Supersyrrirrietry and superfields. // Fortshr. Phys. B,- 1978, Vol.26, - N.3, - p.057 - 124.

14. Fayet P., Ferrara S. Supersymmetry. // Physical Review, 1977, - Vol.32, - N.5,- p.249 334.

15. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Москва: Мир, - 1990,- т.1, 518сс.; - т.2, - 656сс.

16. Бринк JL, Энно М. Принципы теории сунерструн. Москва: Мир, - 1991,- 296сс.

17. Каку М. Введение в теорию суперструн. Москва: Мир, - 1999, - 624сс.

18. Polchinski J. String Theory. Cambridge University Press, - 1998, -Vol.1, - 402pp.;- Vol.2, 531pp.

19. Johnson C.V. D branes. - Cambridge University Press, - 2003, - 548pp.

20. Zwiebach B. A First Course in String Theory. Cambridge University Press,- 2004,- 558pp.

21. Taylor W. Lectures On D Branes Gauge Theory and M(atrices). // High Enerhy Physics and Cosmology: Summer School Lectures. Trieste 1997, 02 June - 04 Jule.- p. 192 271.

22. Petersen J.L. Introduction to the Maldacena Conjecture on AdS/CFT. // Int. J. Modern Physics A, Vol.14, - p.3597 - 3672.

23. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. // Physical Review D, 1973, - Vol.7, - N.6, - p.1888 - 1910.

24. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. Москва: Наука, - 1986, - 318сс.

25. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными.- Москва: Изд во МГУ, - 1983, - 208сс.

26. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Yarovskaya J. Supersymmetric effective potential: superfield approach. // Nuclear Physics B, 1994, - Vol.411, - p.665 - 692.

27. Бухбиндер И.Л., Кузенко С.М., Яревская Ж.В. Суперсимметричный эффективный потенциал: суперполевой подход. // Ядерная Физика, 1993, - т.56,- выи.5, с.201 - 216.

28. Де Витт Б.С. Динамическая теория групп и полей. Москва: Наука, - 1987,- 288сс.

29. De Witt В. Quantum theory of gravity II. The manifestly covariant theory. // Physical Review, 1967, - Vol.162, - p.1195 - 1239.

30. Siegel W. Fields. 1999, - 796pp.

31. De Witt B. Quantum theory of gravity III. The application of covariant theory. // Physical Review, 1967, - Vol.162, - p.1239 - 1256.

32. Попов B.H. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. Москва: Атомиздат, - 1976, - 256се.

33. Попов В.Н. Квантовая теория калибровочных нолей. // Под редакцией Коно-илевой Н.П. Москва: Мир, - 1977, - 432сс.

34. Abbot L.F. The background field method beyond one loop. // Nuclear Physics B,- 1981, Vol.185, - p. 189 - 203.

35. Ichinose S., Omote M. Renormalization using the background field method. // Nuclear Physics B, 1982, - Vol.203, - p.221 - 267.

36. Jack I., Osborn H. Background field calculations in curved space time (I). General formalism and application to scalar fields. // Nuclear Physics B, - 1984, - Vol.234,- p.331 364.

37. Vilkovisky G.A. The Gospel according to De Witt. / Quantum Gravity. Ed. Christensen S. Bristol: Hilger, - 1983, - p. 169 - 209.

38. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory. // Nuclear Physics B, 1984, - Vol.234, - p.125 - 137.

39. Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L. Effective Action and Quantum Gravity. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, - 1992, - 413pp.

40. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля. Москва: Наука, - 1980,- 320сс.

41. Fock V.A. The proper time in classical and quantum mechanics. // Izvestiya of USSR Academy of Sciences, Physics, 1937, - N.4, 5, - p.554 - 568.

42. Schwinger J.S. On gauge invariance and vacuum polarization. // Physical Review,- 1951, Vol.82, - N.5, - p.664 -679.

43. Schwinger J.S. The theory of quantized fields V. // Physical Review, 1954,- Vol.93, N.3, - p.615 - 628.

44. Brignole A. One loop Kahler potential in non - renormalizable theories. // Nuclear Physics B, - 2000, - Vol.579, - p.101 - 116.

45. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu. Holomorphic effective potential in general chiral superfield model. // Physics Letters B, 1999, - Vol.461, - p.209 - 217.

46. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu., Cvetic M. One loop effective potential in N--1 supersymmetric theories and decoupling effects. // Nuclear Physics, - 2000,- Vol.571, p.358 - 418.

47. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu., Cvetic M. Implications of decoupling effects for one loop corrected effective actions from superstring theory. / / Modern Physics Letters A, - 2000, - Vol.15, - p.783 - 790.

48. Nibberlink S.G., Nyawelo T.S. Two loop effective Kahler potential of (Non)- renormalizable Supersymmetric Models. // Journal of High Energy, Physics,- 2006, Vol.0601, - p.034 - .

49. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrainedoff shell N - 3 supersymmetric Yang - Mills theory. / / Classic and Quantum Gravitty, - 1985, - Vol.2, - N.l, - p.155 - 166.

50. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic supergraphs: Greenfunctions. // Classic and Quantum Gravitty, 1985, - Vol.2, - p.601 - 616.

51. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic supergraphs: Feyn-man rules and examples. // Classic and Quantum Gravitty, 1985, - Vol.2, - p.617- 630.

52. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained

53. N=2 matter, Yang Mills and supergravity Theories in harmonic Superspace. // Classic and Quantum Gravitty, - 1984, - Vol.1, - p.469 - 498.

54. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Ivanov E.A., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. Effec tive Action of the N~2 Maxwell Multiplet in Harmonic Superspace. // Physics Letters B, 1997, - Vol.412, - p.309 - 319.

55. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Comments on the Background Field Method in Harmonic Superspace: Nonholomorphic Corrections in N—■4 Super Yang Mills. // Modern Physics Letters A, - 1998, - Vol.13, - p.1623 - 1636.

56. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Ivanov E.A., Kuzenko S.M. Central Charge as the Origin of Holomorphic Effective Action in N—2 Gauge Theory. // Modern Physics Letters A, 1998, -Vol.13, - p. 1071 - 1082.

57. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Kuzenko S.M. Non holomorphic effective potential in N-4 SU(n) Super Yang - Mills. // Physics Letters B, - 1999, - Vol.446,- p.216 223.

58. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. On the D-4, N-2 Non Renormal-ization Theorem. // Physics Letters B, - 1998, - Vol.443, - p.335 - 345.

59. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. The Background Field Method for N—2 Super Yang Mills Theories in Harmonic Superspace.

60. Physics Letters B, 1998, -Vol.417, - p.061 - 071.

61. Бухбиндер И.Л., Бухбиндер Е.И., Иванов E.A., Кузенко С.М., Оврут B.A.

62. Низкоэнергетическое эффективное действие в N=2 суперсимметричных теориях поля. // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2001, - т.32, - вып.5,- с. 1222 1290.

63. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Tseytlin A.A. On low energy effective actions, in N—2, N=4 superconformal theories in four - dimensions. // Physical Review D, - 2000, -Vol.62, - p.045001 - 045019.

64. Buchbinder I.L., Ivanov E.A. Complete N=4 structure of low energy effective action in N-4 Super Yang - Mills theories. // Physics Letters B, - 2002, -Vol.524,- p.208 216.

65. Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Petrov A.Yu. Complete Low Energy Effective action in N—■4 Super Yang - Mills: a Direct N=2 Supergraph Calculation.

66. Nuclear Physics B, 2003, -Vol.653, - p.64 - 84.

67. Buchbinder I.L., Pletnev N.G. // Journal of High Energy, Physics, 2005,- Vol.0509, p.073 - .

68. Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Samsonov I.В., Zupnic B.M. Scale Invariant, Low- Energy Effective Action in Super Yang Mills Theory. // Nuclear Physics B,- 2004, Vol.689, - p.108 - 126.

69. Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry. // Journal of High Energy, Physics, 1999, - Vol.9909, - p.032 - 132.

70. Douglass M.R., Nekrasov N.A. Noncommutative Field Theory. // Reviews of Modern Physics, 2002, -Vol.73, - p.0977 - 1029.

71. Arefeva I.Ya., Belov D.M., Giryavets A.A., Koshelev A.S., Medvedev P.B. Noncommutative field theories and (super)string field Theories. // Workshop "Non-commutative Geometry, Strings and Renormalization", Leipzig, Germany, September, 2001, - 160pp.

72. Ooguri H., Vafa C. The C Deformation of Gluino and Non - planar Diagrams. // Advances in Theoretical and Mathematical Physics, - 2003, - Vol.7, - p.53 - 85.

73. De Boer J., Grassi P.A. and van Nieuwenhuizen P. Non commutative superspace from string theory. // Physics Letters B, - 2003, - Vol.574, - p.098 - 104.

74. Klemm D., Penati S., Tamassia L. Non(anti)commutative superspace. // Classic and Quantum Gravity, 2003, - Vol.20, - p.2905 - 2916.

75. Grisaru M., Penati S., Romagnoni A. Two loop Renormalization for Non-anticommutative N=1/2 Supersymmetric WZ Model. // Journal of High Energy, Physics, - 2003, - Vol.0308, - p.003 - 039.

76. Roinagnoni A. Renormalizability of N—1/2 Wess Zumino model in superspace. // Journal of High Energy, Physics, - 2003, - Vol.0310, - p.016 - 023.

77. Berenstein D., Rey S.J. Wilsonian Proof for Renormalizability of N=1/2 Super-symmetric Field Theories. // Physics Review D, 2003, - Vol.68, - p.121701 -121711.

78. Britto R., Feng B., Rey S.J. Deformed Superspace, N—1/2 Supersymmetry and (Non)Renormalization Theorems. // Journal of High Energy, Physics, 2003,- Vol.0307, p.068 - 088.

79. Britto R., Feng B. N=1/2 Wess Zumino model is renormalizable. // Physics Review Letters, - 2003, - Vol.91, - p.201601 - 201609.

80. Banin A., Buchbinder I., Pletnev N. Chiral effective potential in N—1/2 non -commutative Wess -Zumino model. // Journal of High Energy, Physics, 2004,- Vol.0407, p.011 - 043.

81. Lunin O., Rey S. Renormalizability of Non(anti)commutat,ive Gauge Theories with N—1/2 Supersymmetry. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0309,- p.045 066.

82. Chandrasekhar B., Kumar A. D—2, N—2 Supersymmetric theories on Non(anti) commutative Superspace. // Journal of High Energy, Physics, 2004, - Vol.0403,- p.013 045.

83. Chandrasekhar B. D-2, N=2 Supersymmetric sigma models on Non(anti) commutative Superspace. // Physics Review D, 2004, - Vol.70. - p.125003125041.

84. Luis Alvarez Gaume, Miguel A. Vazquer - Mozo. On nonanticommutative N-2 sigma - model in two dimensions. // Journal of High Energy, Physics, - 2005.- Vol.0504, p.007 - 036.

85. Chandrasekhar B. N—2 sigma model Action on Non(anti)commutative Superspace. // Physics Letters B, - 2005, - Vol.614, - p.207 - 215.

86. Ivanov E., Lechtenfeld O., Zupnik B. Nilpotent deformations of N=2 superspace. // Journal of High Energy, Physics, 2004, - Vol.0402, - p.012 - 029.

87. Fcrrara S., Ivanov E., Lechtenfeld O., Sokatchev E., Zupnik B. Non anticom-mutative chiral singlet deformation of N=(1,1) gauge theory. // Nucliar Physics B, - 2005, - Vol.704, - p.154 - 180.

88. Ferrara S., Sokatchev E. Non anticommutative N=2 Super - Yang - Mills theory with singlet deformation. // Physics Letters B, - 2004, - Vol.579, - p.226 - 234.

89. Araki T., Ito K., Ohtsuka A. N=2 Supersymmetric U(l) Gauge Theory in Non -commutative Harmonic Superspace. // Journal of High Energy, Physics, 2004,- Vol.0401, p.046 - 088.

90. Araki T., Ito K., Ohtsuka A. Deformed Supersymmetry in Non(anti)commutativc N-2 Supersymmetric U(l) Gauge Theory. // Physics Letters B, 2005, - Vol.606,- p.202 210.

91. Terashirna S., Yee J.T. Comments on Noncommutativc Superspace. // Journal of

92. High Energy, Physics, 2003, - Vol.0312, - p.053 - 072.

93. Clever G., Cvetic M., Espinosa J.R., Everett L., Langacker P. Classification of flat directions in perturbative heterotic superstring vacua with anomalous U(l).

94. Nuclear Physics B, 1998, - Vol.525, - p.03 - 26.

95. Clever G., Cvetic M., Espinosa J.R., Everett L., Langacker P. // Physical Review D, -1999, -Vol.59, -p.55

96. Cvetic M., Everett L., Wang J. Effects of heavy states on the effective N-l supersymmetric action. // Nuclear Physics B, 1999, - Vol.538, - p.52 - 66.

97. Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Расширение генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р инвариантности. // Письма в ЖЭТФ, - 1971, -т.13, - вып.8,- с.452 455.

98. Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном фундаментальном взаимодействии нейтрино. // Письма в ЖЭТФ, 1972, т.16, - вып.11, - с.621 - 624.

99. Wess J., Zumino В. Supergauge transformations in four dimensions. // Nuclear Physics B, 1974, - Vol.70, - N.l, - p.39 - 50.

100. P. van Nieuwenhuizen. Supergravity. // Physical Reports B, 1981, -Vol.68, N.4,- p.189 398.

101. Огиевецкий В.П., Мезинческу Л. Симметрия между бозонами и фермионами и суперполя. // УФН. 1975, - т.117, - вып.4, - с.637 - 683.

102. Konechny A., Schwarz A. Introduction to M(atrix) theory and noncoinmutative geometry. // Physical Reports. 2002, - Vol.360, - p.353 - 465.

103. Березин Ф.А., Шубин M.A. Уравнение Шредингера. Москва: Изд - во МГУ,- 1983, 392сс.

104. Weyl Н. Quantum mechanics and group theory. // Zeitschrift fur Physik. -1927,- Vol.46, p.001 - 262.

105. Wigner E.P.Quantum corrections for thermodynamics equilibrium. // Physics Review, 1932, - Vol.40, - p.749 - 756.

106. Moyal J.E. Quantum mechanics as a statistical theory. // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1949, - Vol.45, - p.099 - 124.

107. Berkovits N., Seiberg N. Superstring in Graviphoton Background and N—1/2 I 3/2 Supersymmetry. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0307,- p.010 .

108. Ferrara S., Lledo M.A., Macia O. Supersymmetry in noncommutative superspace. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0309, - p. 068 - 091.

109. Hatanaka Т., Ketov S.V., Sasaki S. Summing up Non anti - commutative Kachler potential. // Physics Letteers B, - 2005, - Vol.619, - p.352 - 358.

110. Zumino B. Supersymmetry and Kahler manifold. // Physics Letters B, 1979,- Vol.87, p.203 - 206.

111. Hatanaka Т., Ketov S., Kobayashi Y., Sasaki S. Non anticommutative Deformation of Effective Potentials in Supersymmetric Gauge Theories. // Nuclear Physical B, - 2005, - Vol.716, - p.088 - 104.

112. Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of gauge systems. Prinston University Press, - 1992, - 540pp.

113. Zinn Justin J. Quantum field theory and critical phenomen. - Clarendon Press, Oxford, - 1994, - 914pp.

114. Weinberg S. The quantum theory of fields. // Modern applications, Cambridge University Press, Vol.2, - 1996, - 359pp.

115. Bertlmann R.A. Anomalies in quantum field theory. Clarendon Press, Oxford,- 1996,- 566pp.

116. Pletnev N.G., Banin A.T. Covariant technique of derivative expansion of one -loop effective action. // Physics Review D, 1999, - Vol.60, - p.105017 - 105037.

117. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Petrov A.Yu. Superfield chiral effective potential. // Physics Letters B, 1994, - Vol.321, - p.372 - 377.

118. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Construction of the effective action in nonanticommutative supersymmetric field theories. // Physics Letters B, 2006, - Vol.633, - p.389 - 396.

119. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.

120. Gargett T.D., McArthur I.N. A "Gaussian"Approach to Computing Supersymmetric Effective Actions. // Nuclear Physics B, 1997, - Vol.497, - p.525 - 540.

121. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Low energy effective action of N 2 gauge multiplet induced by hypermultiplet matter. // Nuclear Physics B, - 2001,- Vol.598, p.371 - 399.

122. B.de Witt., Grisaru M.T., Rocek M. Nonholomorphic corrections to the one -loop N=2 super Yang Mills action. // Physics Letters B, - 1996, - Vol.374,- p.297 303.

123. Pickering A., West P. The One Loop effective Super Potential and Non -Holomorphicity. // Physics Letters B, - 1996, - Vol.383, - p.54 - 62.

124. Grisaru M.T., Rocek M., R. von Unge. Effective Kahler Potentials. // Physics Letters B, 1996, - Vol.383, - p.415 - 421.

125. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. On low energy effective action in N=2 super Yang - Mills theories on nonabelian background. // Physics Review D, - 2002, - Vol.66, - p.045021 - 045034.

126. Dijkgraaf R., Grisary M.T., Lam G.S., Vafa C., Zanon D. Perturbative Computation of Glueball Superpotentials. // Physics Letters B, 2003, - Vol.573, - p.138- 146.

127. Seiberg N. Naturalness Versus Supersyinmetric Non renormalization Theorems. // Physics Letters B, - 1993, - Vol.318, - p.469 - 475.

128. Britto R., Feng B., Rey S.J. Non(anti)commutative Superspace, UV/IR Mixing, Open Wilson Lines. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0308, - p.001- 021.

129. Vassilevich D.V. Non commutative heat kernel. // Lett. Math. Phys. - 2004,- Vol.67, p.185 - 194.

130. Vassilevich D.V. Heat kernel, effective action and anomalies in noncommutative theories. // Journal of High Energy, Physics, 2005, - Vol.0508, - p.085 - 106.

131. Araki T., Ito K., Ohtsuka A. Supersymmetric Gauge Theories on Non commutative Superspace. // Physics Letters B, - 2003, - Vol.573, - p.209 - 216.

132. B.de Witt B.S. Relavity, Group and Topology II. B.S.De Witt and R.Stora (Eds.), Elsevier, Amsterdam, 1984, - 381pp.

133. Kuzenko S.M., McArthur I.N. On the Background Field Method Beyond One Loop: A manifestly covariant derivative expansion in super Yang Mills theories. // Journal of High Energy, Physics, - 2003, - Vol.0305, - p.015 - 047.

134. Kuzenko S.M., McArthur I.N. Low energy dynamics in N—2 super QED: Two- loop approximation. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0310,- p.029 056.

135. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Generic chiral superfield model on nonanticommutative N=1/2 superspace. // Modern Physics Letters A. 2005, - Vol.20, - p. 1423 - 1436.

136. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. One -loop effectivepotential in N—1/2 generic chiral superfield model. // Physics Letters B, 2006,- Vol.635, p.50 - 55.

137. Азоркина О.Д. Классические и квантовые аспекты общей модели киралыюго- антикирального суперполец на деформированном суперпространстве.

138. Вестник ТГПУ, 2006, - серия: естественные и точные науки, - вып. 6(57),- с.39 45.