Эффективные лагранжианы в N=1 и расширенных N=2 суперсимметричных теориях поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Плетнев, Николай Гаврилович

• Плетнев, Николай Гаврилович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Плетнев, Николай Гаврилович

Введение

1 Алгебра ^-произведения на функциях и разложение по производным эффективного действия

1.1 Ретроспектива метода деформационного квантования

1.2 Примеры ^-произведения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективные лагранжианы в N=1 и расширенных N=2 суперсимметричных теориях поля»

В современных работах по физике высоких энергий значительное место занимает изучение формальных и феноменологических аспектов суперсимметричных полевых теорий. Среди причин, обуславливающих интерес к суперсимметричным моделям теории поля, главными считаются:

1. Суперсимметрия [1, 2, 3], как нетривиальное расширение релятивистских симметрий, связывающая пространственно-временные и внутренние симметрии, обеспечивает естественный механизм объединения бозонов и фермионов, улучшает квантовые свойства теории и, следовательно, должна рассматриваться как составной элемент любой теории, претендующей на роль объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Все фундаментальные степени свободы материи должны образовывать неприводимые представления калибровочной группы суперсимметрии.

2. Суперсимметрия решает ряд проблем большого объединения, таких как, например, проблема иерархии, проблема строгого пересечения трех бегущих констант связи в одной точке, проблема времени жизни протона. Особенно важно для будущих проектов и планируемых экспериментов, предсказание большого числа суперпартнеров известных частиц с массами, лежащими выше масштаба электрослабого нарушения. И тогда становится важным вопрос о масштабе и механизмах нарушения суперсимметрии.

3. По современным представлениям суперсимметричные теории поля должны рассматриваться как эффективные теории, справедливые лишь до некоторого масштаба энергии, являющиеся низкоэнергетическим пределом теории суперструн. Все физические эффекты выше этого масштаба могут быть поглощены переопределением параметров эффективного лагранжиана низкоэнергетической теории поля. Таким образом, суперсимметричная квантовая теория поля является необходимым практическим инструментом как для решения феноменологических проблем физики элементарных частиц, так и для изучения сложных вопросов теории струн и квантовой гравитации.

Наиболее естественные и адекватные формулировки jV= 1 и расширенных суперсимметричных моделей теории поля достигаются в терминах суперполей, определенных на соответствующих суперпространствах. Квантовая формулировка, обеспечивающая явную Л/* = 1 суперсимметрию, построена достаточно давно, хорошо освоена и широко используется. Особенно важно, что был развит метод фонового поля для N = 1 суперсимметричной теории поля как аппарат для исследования ренормализационных свойств теории и нахождения эффективного действия (см., например, [2]-[4]). Задача развития новых методов его изучения и их применения в исследовании новых свойств эффективного действия в Af — 1,2 суперсимметричных моделях теории поля и составляет главную тему диссертационной работы.

Исключительное место в моделях квантовой теории поля занимают J\f = 2,4 суперсимметричные теории Янга-Миллса. Опираясь на свойство голоморфности в Л/* = 2 суперпространстве части эффективного действия, Зайберг и Виттен [5]-[8] нашли точные непертурбативные вклады в случае теории с калибровочной группой SU(2), спонтанно нарушенной до С/(1), используя гипотезу дуальности. Эти работы стимулировали интерес к изучению эффективного действия в Я = 2 суперполевых теориях и обобщениях на другие калибровочные группы и теории с материальными гипермультиплетами [9]. Следующая важная задача, которая главным образом рассматривается в диссертации, состоит в построении неголоморфной части эффективного потенциала. Максимально расширенная N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса обладает еще более замечательными свойствами как на классическом, так и на квантовом уровне. Она является ультрафиолетово-конечной, конформно-инвариантной теорией и есть много сильных аргументов в пользу того, что она самодуальна относительно непертурбативных преобразований, переводящих область слабой связи в сильную. В этой теории ведущие квантовые поправки описываются неголоморфным потенциалом и доказано [10, 11], что поправки за счет высших петель и непертурбативных эффектов отсутствуют.

Одна из наиболее сложных и давних проблем физики высоких энергий связана с построением квантовой теории гравитации. Теория суперструн [12] представляет собой единственную на сегодняшний день последовательную и непротиворечивую попытку объединения всех взаимодействий. Особенно важно подчеркнуть, что именно непротиворечивость решения проблемы взаимодействия гравитации с возбуждениями различного спина, имеющимися в спектре струны, является критерием состоятельности теории и, тем самым, критерием выбора модели эффективной теории поля. Спектр низковозбужденных внутренних колебаний одномерно протяженного объекта содержит гравитоны и безмассовые калибровочные поля. К тому же теория суперструн позволяет развить свободную от расходимостей теорию возмущений, нулевой порядок которой при низких энергиях воспроизводит уравнения Эйнштейна в случае замкнутых струн и Янга-Миллса в случае открытых. Решение проблемы ультрафиолетовых рас-ходимостей и построение конечной и свободной от аномалий квантовой гравитации в рамках теории возмущений - существенное достижение теории суперструн [12]. Однако существует, по крайней мере, пять различных состоятельных вариантов теории, не говоря уже о различных способах компактификации. В области слабой связи все они выглядят совершенно не связанными друг с другом и тогда предельно трудно определить какой из вариантов описывает наш реальный мир. Недавнее развитие понимания непертурбативных степеней свободы и поведения суперструн в области сильной связи проливает свет на эти важные вопросы. Стало ясно, что в этой области суперструна содержит в качестве легких степеней свободы много расширенных объектов, так называемых D-бран [13]-[15]. D-браны играют очень важную роль в понимании дуальности между явно различными теориями. Эти дискретные симметрии могут переводить область слабой связи одной теории в область сильной связи другой. Кроме того, при этих преобразованиях обычные струнные возбуждения, их калуца-клейновские моды и солитоноподобные состояния преобразуются друг через друга. Все это приводит к убеждению, что существует некая М-теория в которой все степени свободы равноправны и различные типы суперструн возникают как возмущения неэквивалентных вакуумов М-теории. Низкоэнергетическим пределом М-теории является одиннадцатимерная супергравитация, содержащая гравитон и его суперпартнеров. Она содержит также мембраны и дуальные им пятибраны, несущие электрические и магнитные заряды для тензорных полей, входящих в гравитационный супермультиплет. Как теория поля, супергравитация в одиннадцати измерениях сильно неперенормируема, так что последовательная теория, переходящая в супергравитацию на больших расстояниях, на планковских масштабах должна содержать дополнительные степени свободы, которые сокращают расходимости.

Фундаментальными степенями свободы в М-теории, по-видимому, являются супермембраны в том же смысле, в каком фундаментальными объектами в десятимерной квантовой супергравитации являются суперструны. Dp-браны имеют два различных описания в зависимости от того, с какого расстояния они наблюдаются. На больших расстояниях Dp-браны выглядят как источники гравитационных солитонов, имеющих конечное натяжение (массу на единицу пространственного объема) и несущих RR-заряды, тогда как на малых расстояниях наблюдаются их квантовые флуктуации, которые описываются суперсимметричной теорией Янга-Миллса. Замкнутые струны, имеющие в своем спектре гравитон, в присутствии источника RR-заряда могут размыкаться, превращаясь в открытые струны, жестко связанные с D-браной и дающие векторные возбуждения. Поскольку струны ориентируемы, между двумя любыми Dp-бранами может быть натянуто два типа струн. Безмассовые векторные возбуждения имеют струны, оканчивающиеся обоими концами на одной Dp-бране. Струны, натянутые между разными бранами, дают массивные векторные возбуждения с массами, пропорциональными расстояниям между Dp-бранами. Как обычно, если характерный масштаб задачи много больше планковской длины, точное струнное описание теряет смысл, поскольку бесконечный набор массивных состояний струны дает малый вклад и можно ограничиться только безмассовыми степенями свободы низкоэнергетических возбуждений струн Дирихле, распространяющихся по D-бране. В этом приближении D-брана описывается эффективной теорией поля на своем мировом объеме. Тот факт, что существует замечательная возможность описания флуктуаций плоских D-бран в терминах калибровочных теорий, является сутью соответствия между геометрией и калибровочными теориями, такого как AdS/CFT соответствие. Это дает возможность использовать богатый опыт работы с калибровочными теориями для описания D-бран и обратно есть надежда, что D-браны и струны позволят понять свойства калибровочных теорий в области сильной связи. Так, в рамках а-модельного подхода, в котором рассматривается интегрирование по мировым листам различной топологии струны, взаимодействующей с произвольными фоновыми полями супергравитации, принадлежащими ее собственному спектру, были получены в качестве эффективного действия различные модификации действия Дирака-Борна-Инфельда [16]. Общая форма этого действия для произвольно меняющегося фона остается неясной, но в одном интересном примере показано, что в статическом пределе взаимодействие БЗ-бран описывается лагранжианом Борна-Инфельда и, как предполагается, этот лагранжиан может быть получен как полное эффективное действие квантовой N = 4 теории поля Янга-Миллса, суммирующее все квантовые поправки. Таким образом, значение проблемы построения эффективного действия в расширенных суперсимметричных теориях поля Янга-Миллса принимает особенно важное значение как критерий соответствия между классической супергравитацией и квантовыми теориями Янга-Миллса.

Эффективное действие, включающее квантовые поправки к классическому действию, играет в квантовой теории роль, аналогичную функционалу действия в классической теории [17, 18]. Оно позволяет изучать широкий спектр квантовых свойств теории вне массовой оболочки. Поэтому не удивительно, что эффективное действие является одним из центральных объектов в квантовой теории поля (КТП). Формальный аппарат эффективного действия, представляющий собой логически последовательную основу описания взаимодействия элементарных частиц, физические концепции, методы и результаты КТП изложены, например, в монографиях [17]-[25]. Три важные характеристики, которыми обладает эффективное действие делают его исключительно полезным инструментом в квантовой теории поля: а) Оно генерирует связные одночастично-неприводимые (1PI) корреляционные функции для хорошо определенных локально операторов. б) Когда эффективное действие вычислено на статических конфигурациях, оно имеет физическую интерпретацию минимального среднего гамильтониана в пространстве всех состояний, подчиняющихся некоторым ограничениям. Это свойство оправдывает минимизацию эффективного потенциала, когда интересно найти вакуум, нарушающий симметрию. в) Оно может быть, в принципе, вычислено по теории возмущений суммированием 1PI диаграмм, используя правила Фейнмана, полученные из классического действия. Заметим, что это свойство независимо от свойства а). Все эти свойства непосредственно следуют из определения эффективного действия Т{ф), как преобразования Лежандра производящего функционала W[J] связных функций Грина. Определим производящий функционал e£(wW) = J (1) и эффективное действие

Т[ф] = W[J\ - = ф\ (2)

В этих уравнениях В/хЩ есть обозначение для инвариантной меры на пространстве всех полей фг и Ji источники полей. Отсюда ясно следует, что = — Ji- Вся информация относительно которая содержится в этих уравнениях может быть собрана в одном функциональном дифференциальном уравнении е№==1в1л[ф]еЪШ-0-У)'§Р)т (3)

Для примера, дифференцируя обе части этого уравнения по ф\ мы получим тождество: фг =< фг >j, где среднее значение оператора О в присутствии источника J определяется так О >j= ехр(у Щ) J Бц[ф]0 ехр ^[ф] - (ф* - (4)

В принципе, эффективное действие содержит всю информацию стандартной КТП. Оно определяет элементы диаграммной техники теории возмущений, т.е. полный пропагатор и полную вершинную функцию, которые учитывают все квантовые поправки и поэтому пертурбативную 5-матрицу [17, 19, 21]. С другой стороны эффективное действие дает не только физические амплитуды внешних классических полей, но и описывает все квантовые эффекты во внешних полях (поляризация вакуума квантовыми полями, рождение частиц, и др.). Функционал эффективного действия наиболее удобный инструмент для изучения структуры физического вакуума в различных моделях со спонтанным нарушением симметрии (механизм Хиггса, конденсация глюонов,.). Эффективное действие позволяет также учесть обратное влияние квантовых процессов на классический фон, т.е. получить эффективные уравнения движения для фоновых полей. Различные аспекты использования эффективного действия для анализа физических эффектов в кривом пространстве-времени можно найти в [27]-[30]. Эффективное действие в квантовой гравитации и теориях Калуцы-Клейна рассматривалось в [31]-[42].

Несмотря на то, что, так определенное, эффективное действие хорошо применимо для большого числа физических приложений оно, тем не менее, не является физической величиной вне массовой поверхности. Наиболее ясно это видно в калибровочных теориях, где эффективное действие явно зависит условия фиксирующего калибровку, которое необходимо использовать для "регуляризации"функционального интегрирования по нефизическим степеням свободы. Для того чтобы квантовать калибровочные теории и определить в них функции Грина необходимо нарушить калибровочную инвариантность теории, посредством обычной процедуры фиксации калибровки, даже на классическом уровне. Вилковыский показал, что эта зависимость от фиксации калибровки связана с тем фактом, что функциональная форма эффективного действия зависит от того как поля фг параметризованы. Верно также, что вне массовой оболочки эффективное действие некалибровочно инвариантная функция своих аргументов. Источником параметрической зависимости обычного эффективного действия является нековариантность выражения связи источника с полем ехр / f J^ в определении производящего функционала. Здесь важно подчеркнуть, что зависимость от фиксации калибровки и калибровочная неинвариантность две различные проблемы. От последней можно изящно избавиться в рамках, так называемого, "метода фонового поля"[17, 18]. Но зависимость от фиксации калибровки остается и в эффективном действии фонового поля. Можно, конечно, возразить, что зависимость от параметризации и фиксации калибровки обычного эффективного действия не является проблемой, поскольку аккуратные вычисления физических величин всегда должны давать калибровочно независимые результаты. Кроме того, исчезновение калибровочной зависимости из окончательных ответов является полезной проверкой справедливости вычислений. Поэтому есть мнение, что эффективное действие просто вычислительный инструмент и формализм обычного эффективного действия не требует модификации. Тем не менее, в некоторых ситуациях полезно определить эффективное действие, учитывающее вне массовой оболочки все симметрии классического действия и независимое от способа фиксации калибровки. Как показано в [43, 45], для конструкции такого эффективного действия необходимо рассмотреть геометрическую структуру пространства полей и ввести на нем аффиную структуру (связность). Более интересно, что такую связность можно найти и для калибровочных теорий и построить, независимое от способа фиксации калибровки, калибровочно инвариантное и параметрически независимое эффективное действие. Оригинальная конструкция Вилковыского не давала 1PI корреляционных функций и была поправлена Де Виттом внесением метода фонового поля в формализм [43, 45]. Эта модифицированная конструкция дает бесконечное семейство, независимых от фиксации калибровки, калибровочно инвариантных эффективных действий.

Применение геометрического метода фонового поля Вилковыского-Де Витта стало общепринятым в различных моделях, включая теории Янга -Миллса , квантовую гравитацию, нелинейные сигма модели [46]-[49]. Поэтому различные примеры явного вычисления эффективного действия представляют большой интерес, как с точки зрения общего формализма, так и конкретных приложений. Как уже сказано, зависимость от способа фиксации калибровки не дает вкладов в физические величины и, в частности, она исчезает на массовой оболочке. Однако, часто не ясно или даже невозможно перейти на массовую оболочку и именно эффективное действие вне массовой оболочки используется для анализа задач квантовой хромодинамики, спонтанного нарушения симметрии, или квантовой гравитации (динамическая компактификация). Как правило, и особенно в суперсимметричных теориях, дополнительно к "правильному"вакуумному состоянию с минимальной энергией есть еще один или несколько метастабильных "фальшивых "вакуумов, которые могут распадаться в правильный вакуум через зарождение "пузырей"стабильного вакуума. В теориях с радиационным нарушением симметрии наличие инфракрасных сингулярностей портит согласованность вычислений, удерживающих только члены низшего порядка, поскольку для ее устранения необходимо учитывать процессы с испусканием произвольного числа мягких частиц. Вычисление степени распада фальшивого вакуума требует включения членов высших порядков в разложении по производным эффективного действия, которые калибровочно зависимы [54]. Калибровочная зависимость эффективного потенциала (впервые определенного в работе [50]) была замечена Джакивом [55, 56]. Он поставил вопрос о физической значимости эффективного потенциала. Он же пришел к заключению, что только предельная унитарная калибровка дает осмысленный результат для спонтанного нарушения симметрии. В более поздних работах эффективный потенциал вычислялся в широком наборе Щ калибровок. Для пояснения этой трудности Нильсон [57]-[59] обратил внимание на известное [19] простое тождество, характеризующее зависимость эффективного потенциала от среднего поля и параметра фиксации калибровки а-^ + С(Ф,а)-^ЩФ,а)=0, (5) где а параметр, возникающий в члене фиксации калибровки Lgf = ^(д^А^)2, и функция С(Ф, а) может быть вычислена по теории возмущений. Тождество Нильсона является специальным случаем достаточно общих тождеств Уорда [47]-[49]. Это тождество означает, что локальные экстремали V для различных а расположены вдоль некоторой характеристической кривой на (Ф, о;) плоскости, которая удовлетворяет набору дифференциальных уравнений da/а = с?Ф/С(а, Ф) и, что полная производная эффективного потенциала по калибровочному параметру а исчезает, если учесть соответствующий сдвиг ожидаемого значения квантового поля. Поэтому все ковариантные калибровки с различными а одинаково пригодны для вычисления эффективного потенциала. Как было показано многими авторами (смотри, например, [60]), спонтанное нарушение симметрии радиационными поправками, если оно существует, является независимым от фиксации калибровки явлением, хотя и описывается зависимым от фиксации калибровки эффективным потенциалом из которого оно определяется. Тождество (5) может быть использовано, чтобы показать, что массы независимы от фиксации калибровки, если вычислять аккуратно. Для этой цели необходимо пересуммирование бесконечного числа диаграмм, чтобы получить правильный ответ в ведущем порядке по константе связи и в итоге калибровочно независимость восстанавливается из вкладов высших петель [47]-[49].

Познее Вилковыский и Де Витт заметили, что проблема калибровочной инвариантности и независимости является частью более общего проявления неединственности эффективного действия, связанного с зависимостью от выбора параметризации квантовых полей [43, 45]. Они показали, что, в то время как, классическое действие является скаляром по отношению к репараметризациям и локальным калибровочным преобразованиям классических полей обычное эффективное действие е№ = = J [Оф^ММ*-*)*^) (6) неинвариантно относительно них. Параметризационная зависимость эффективного действия возникает потому, что разность1 rf = Ф1 — фг, не является вектором в конфигурационном пространстве полей. Средство для лечения этого изъяна состоит в замене rf двухточечной функцией сгг(Ф,ф), которая в точке Ф есть касательная к геодезической, связывающей ф с началом Ф. Параметрическая зависимость эффективного действия и его разложения по петлям может быть исключена после внедрения явной зависимости от выбора метрической структуры в члене с источником. Точная форма аг зависит от подходящей аффиной связности на конфигурационном пространстве: где Г некоторая симметричная калибровочно инвариантная связность

Fjk — {)к} + Tjk

Часть есть символ Кристоффеля на конфигурационном пространстве полей, который естественно определяется выбором нетривиальной метрики в конфигурационном пространстве. Физическое пространство полей в калибровочных теориях отличается от наивного пространства полей, поскольку присутствует локальная калибровочная

1Далее мы всегда имеем в виду, что Ф фоновое и ф квантовые поля симметрия (смотри работы [47, 43]). Другая часть 7$ величина, имеющая отношение к генераторам калибровочных преобразований т;к = -2 вр^ + д^^вщ, вГ = где Na/3 обратная к Nap = jМатрица Nap должна быть невырожденной. Здесь дга генераторы калибровочных преобразований. С этими постановлениями единое эффективное действие становится полностью нечувствительным к процедуре фиксации калибровки, которая необходима для ограничения меры интегрирования на фактор-пространстве калибровочных орбит. Репараметризационно инвариантный производящий функционал может быть теперь определен посредством J эд^) е№Ф]-*°ч*,Ф))ш (7)

В этом случае

SW с преобразованием Лежандра: t(vi^) = W(Ji^)-Jivi.

Результирующее эффективное действие Г(г/, Ф) разделяет много желательных свойств обычного эффективного действия. Оно имеет энергетическую интерпретацию и генерирует 1PI корреляционные функции операторов сгг(Ф, ф). "Единое"эффективное действие Вилковыского-Де Витта определяется как Гуди'(Ф) = Г(У, Ф)|„.-0. Однопетлевое эффективное действие может быть вычислено из (7) с заменами квантовых флуктуаций rf на аг

Г(Ф) = 5(Ф) - у lnDet(T) + ^InDet^1), (8) где S(Ф) древесное эффективное действие; второй член возникает из меры на функциональном пространстве и rfc SS 6фг6фз 4 5 ф' есть модифицированный обратный пропагатор. rfe (9)

V KAiKrkl ЯАк v >

Единое эффективное действие было вычислено в различных калибровках и различных параметризациях полей во многих теориях (см.,например,[18, 61]). Все результаты находятся в согласии с другими методами. Но, интеграл по путям сильно упрощается в одной специальной калибровке, так называемой, калибровке Ландау-Де Витта:

0гаЪ-(* - ФУ = 0. (10)

Как было показано во всех порядках теории возмущений для скалярной КЭД и ЯМ теорий, что единое эффективное действие точно совпадает с калибровочно инвариантным обычным эффективным действием, вычисленным в калибровке Ландау-Де Витта [64, 65]. Преимущество в выполнении вычислений в этой калибровке состоит в том, что структура TJk исчезает. После того как был отмечен этот факт, было рассмотрено много примеров воспроизводящих результаты, полученные в калибровочно независимом формализме единого эффективного действия и обычного эффективного действия в калибровке Ландау-Де Витта в широком классе различных моделей. Однако для корректности, надо заметить, что нет примеров самосогласованных вычислений физических величин в которых единое эффективное действие для калибровочных моделей было бы исключительно необходимо. Кроме того, конструкция Вилковыского -Де Витта имеет, среди других проблем, зависимость от выбранной точки отсчета в пространстве полей и, что очень важно, выбора метрики на конфигурационном пространстве. Теперь конструкция единого эффективного действия смотрится скорее как "placebo", чем "panacea"[49], в том смысле, что определение Вилковыского-Де Витта не есть в действительности решение проблемы зависимости от фиксации калибровки. Краеугольным камнем доказательства калибровочной независимости и калибровочной ковариантности ведущих вкладов в вершинные функции является существование достаточно общих тождеств полностью аналогичных (5), которые управляют калибровочной зависимостью эффективного действия и п-точечными функциями в калибровочных теориях [67]-[69] Е cknTiih.,k{Ф]^+1„Л)[Ф], гх*[Ф] = -<£(Ф)С£(Ф)***(Ф)). (11) к=0

Эти тождества полезны всякий раз, когда необходимо явно проверить калибровочную независимость окончательных физических величин, полученных в рамках методов с внутренне присущей калибровочной зависимостью. Эта зависимость такова, что выбор любого калибровочного условия эквивалентен переопределению полей в эффективном действии в каждом порядке разложения по петлям [67]. К сожалению, чтобы получить калибровочно независимые результаты совершенно необходимо вычисление петель высших порядков и нетривиальных функций Грина.

Текущая ситуация в суперсимметричных (SUSY) теориях поля, драматически повторяет, описанную выше, картину. Одним из основных подходов к конкретному вычислению эффективного действия является разложение по производным, где эффективное действие представлено в форме ряда по степеням производных его функциональных аргументов. Удерживая нижние члены в таком разложении, получим то, что называют низкоэнергетическим эффективным потенциалом, который представлен локальными лагранжианами, получившими название кэлерова потенциала, кирального эффективного потенциала и потенциала вспомогательных полей. Особый интерес связан с эффективным потенциалом суперполевых теорий, который представляет явно суперсимметричное обобщение стандартного эффективного потенциала и дает информацию о кинетических членах и скалярном потенциале эффективной теории [108]-[114]. Полные однопетлевые поправки к кэлеровому потенциалу были найдены с использованием различных техник как в модели Весса-Зумино [179]-[182], так и в более общих ренор-мируемых моделях [117]. В последних вычисления проводились в суперсимметричных калибровках Ферми-Фейнмана и Ландау и, фактически главный результат состоит в том, что результаты зависят от выбора калибровки. В связи с этим фактом уместно протянуть историческую аналогию между этими результатами и непрекращающейся дискуссией после работ [50, 55]. В результате многолетних обсуждений были построены конструкция Вилковыского-Де Витта и обобщенные тождества Нильсона без ограничений на выбор калибровочных параметров и разделения их на "плохие "и "хорошие". К сожалению, подходящего обобщения формализма Вилковыского-Де Витта для суперполевых теорий не существует и мы не знаем даже, как выбрать метрику и аффиную связность в пространстве суперполей. Однако, была высказана догадка, что теорема Фрадкина-Цейтлина [64], которая устанавливает точную связь между калибровочно инвариантным и калибровочно независимым "единым"эффективным действием и обычным эффективным действием, когда последнее вычислено в некоторой специальной калибровке (суперсимметричной форме калибровки Ландау-Де Витта) справедлива и для суперполевых теорий. В частности, в работах [117] и [115]обсуждалась калибровочная зависимость однопетлевого кэлерова потенциала, дающего начало неголоморфным поправкам в эффективное действие для Я = 2 теории Янга-Миллса для общей калибровочной группы. Но утверждение, что ".эффективное действие в калибровке Ландау эквивалентно калибровочно независимому эффективному действию Вилковыского-Де Витта.", данное в работе [115] некорректно в свете того обсуждения, что приведено выше, так как даже суперполевая фиксация калибровки Ландау-Де Витта не была построена. Кроме этого, справедливость теоремы существенно связана с возможностью выбора билинейной метрики на конфигурационном пространстве полей и ее распространение для теорий с неполиномиальными лагранжианами неуместно. Выбор члена, фиксирующего калибровку в спонтанно нарушенных неабелевых калибровочных теориях очень важен по техническим причинам. Так, введение Щ класса калибровок было существенно полезным для доказательства, что квантовые теории Янга-Миллса унитарны, калибровочно независимы и ренормируемы. В частности, ^-калибровка ведет к исключению нежелательных членов смешивания между массивными калибровочными бозонами и нефизическими скалярными Хиггсами и является частным случаем многопараметрического класса функций, фиксирующих калибровку, содержащую также и калибровку Ландау-Де Витта.

К сожалению, не существует прямых способов вычисления нелокальной величины эффективного действия в интересных физических теориях. Наиболее плодотворным подходом в этой задаче является метод фонового поля Де Витта. Этот метод является обобщением метода производящих функционалов в КТП для случая неисчезаю-щих фоновых полей. Основным объектом в методе фонового поля является функционал эффективного действия. На практике, для вычисления эффективного действия используется петлевое пертурбативное разложение. Для этого все поля расщепляются на фоновые классические поля и их квантовые возмущения, распространяющиеся на этом фоне. Квадратичная по квантовым полям часть действия определяет пропагатор квантовых полей во внешнем поле, а более высокие порядки разложения воспроизводят вершины теории возмущений. Для вычисления эффективного действия прежде всего необходимо найти функции Грина квантовых полей во внешнем фоне классических полей различной природы. Функции Грина во внешнем поле являются центральным объектом во многих квантовых задачах и поэтому они изучались в огромном количестве работ в разных аспектах. Фок [73] предложил метод для решения волнового уравнения во внешнем электромагнитном полях, использующий интегральное преобразование с параметром собственного времени. Позднее Швингер [72] обобщил метод собственного времени и применил его к вычислению однопетлевого эффективного действия. Де Витт [22] переформулировал метод собственного времени в терминах геометрических понятий и применил его к случаю внешнего гравитационного поля. В полевых теориях наработано много полезных приемов непертурбативного вычисления, той или иной части, эффективного действия, позволяющих в одном шаге суммировать бесконечный набор определенных диаграмм Фейнмана. Но в суперполевых теориях, несмотря на несомненную востребованность в аналогичных инструментах, не так много наработанных приемов вычисления, той или иной части, квантовополевого эффективного действия калибровочных теорий. Практически все результаты были получены либо в компонентном подходе, либо связаны с применением техники суперграфов и относятся к вычислению кэлерова потенциала в приближении постоянных полей и затем уже, привлекаются косвенные рассуждения о свойствах функционала для построения следующих членов разложения. Расширенные суперсимметрии и некоторые другие ограничения (киральность, конформность, дуальность) серьёзно ограничивают форму функционала эффективного действия.

В квантовой статистической физике, где наблюдая экспериментально спектр физических систем можно судить об их геометрических свойствах, были изучены аналогичные вопросы асимптотического разложения для некоторых эллиптических операторов [74]-[78] и получено несколько красивых и глубоких результатов и теорем о связи изучаемой асимптотики с группой симметрии и геометрией физической системы. Эти асимптотики доставляют естественную связь между классической и квантовой механикой физической системы, последняя рассматривается как часть спектральной геометрии. Проще говоря, спектральная геометрия рассматривает компактное риманово многообразие (М, д) и оператор Лапласа Л на нем со спектром Ап. Основная постановка вопроса спектральной геометрии — можно ли восстановить дифференциально-геометрические свойства (М,д) (т.е. размерность М, его объем, скалярную и другие кривизны), зная спектр Ап? Объектом изучения является обобщенное уравнение теплопроводности и функция распределения р{0,х,у) = "£ехр(-\п13)Уп(х)Фп(у). (12)

Для любого неотрицательного самосопряженного эллиптического дифференциального оператора Я, действующего в гильбертовом пространстве И, все собственные подпространства Е\ = (Ф € % | ЯФ = ЛФ) конечномерны и отличны от нуля лишь для дискретного множества неотрицательных Л. Можно показать, что функция распределения Z(0) = dim Е\ задается сходящимся рядом при всех > 0. Принцип соответствия в квантовой статистической механике утверждает, что в высокотемпературном пределе квантовомеханическая функция распределения должна совпадать с классической функцией распределения. Ряд, задающий матрицу плотности, сходится равномерно к фундаментальному решению для оператора {д/д/З) - Я, причем справедливо важное для нас равенство trp(/3) = J p(J3; х, х) = £е/ЗЛ. Кроме того, справедливо разложение р(/3-х, х) = (4тг/?)-^2(1 + J8Kl + . + >в"к„(х)) + (13) при /?—>0, где Kj — гладкие функции на М. В частности, ведущий член в этом разложении дает для trp(/3) = J р(/3;х,х) = (4irP)-d/2Vol(M) + 0(^~dl2). (14)

Принято говорить, что это отражает тот факт, что объем и размерность многообразия М можно "услышать"по спектру А„. Коэффициенты Kj, в приведенном выше разложении, получаются ограничением на диагональ функций Грина теплового уравнения Блоха, в котором роль гамильтониана играет оператор Бельтрами-Лапласа. Если предположить, , что в гильбертовом пространстве, где задан наш гамильтониан, действует группа симметрии конфигурационного пространства G, сохраняющая гамильтониан, то простые соображения из гармонического анализа на компактных группах Ли показывают, что функция р, инвариантная относительно внутренних автоморфизмов группы G, допускает разложение Фурье Pg{P,9) = Ea€G°aXa(^), где ха —характер неприводимого представления А группы G ,имеющего размерность d{А). Доказано, что а\ = d(А)ехр(—/?А), где А-собственное значение оператора Я в пространстве матричных элементов неприводимого представления группы G. Таким образом, спектр и функция распределения полностью определяются соответствующим представлением группы, что позволяет получать явное выражение для высокотемпературного асимптотического разложения статистической суммы. Итогом развития спектральной геометрии является формула следа Сельберга, которая плодотворно соединяет теорию представлений и геометрию квантовой теории в одной формуле [26].

Объекты, изучаемые в квантовой теории поля, формально аналогичны объектам в квантовой статистической механике и имеют вид обобщенных матриц плотности [24]: Z = trp = / dgdipexp(il(g,(p)), где dg-мера, в "пространстве метрик"и е^-мера в "пространстве полей". Общее полуклассическое разложение для эффективного действия начинается с однопетлевых вкладов, которые даются гауссовым интегралом по траекториям ехр(-Г[Ф(аО]) = / Dtpex J dxy/g<p(x)F(V, Ф(х))ф)). (15)

Оператор F(V, Ф(ж)) определяет распространение слабых возбуждений ip(x) на заданном фоне полей Ф(х). Для естественно определенной меры, гауссов интеграл может быть формально вычислен и представлен

Г = ^ In (Д Хп) = А„ = ^Тг In F, (16) где Лп собственные значения оператора, соответствующие надлежаще нормированным собственным функциям <pn(x): f dxy/g'<pn(x)ipm(x) = 5пт. След Тг не зависит от выбора базиса в функциональном пространстве возбуждений у и поэтому в выбранном представлении сводится к интегралу по пространственным координатам х диагонального элемента ядра оператора. Это однопетлевое эффективное действие, конечно, имеет ультрафиолетовые расходимости и должно быть регуляризованно с последующей интерпретацией выделенных расходимостей в терминах перенормировок констант связи теории. Смысл этих расходимостей хорошо понят и они являются по классификации Джакива [81] полезными. Можно сказать, что вся новая физика задается квантовоме-ханическими аномалиями, которые приводят к конечным, нарушающим классическую симметрию, наблюдаемым эффектам. Наличие расходимостей другого сорта ведет к фатальным последствиям и требование их отсутствия является дополнительным ограничением на выбор состоятельных моделей. Кроме того, имеются интересные конечные нелокальные вклады в однопетлевое эффективное действие. Эти вклады зависят от инфракрасных свойств теории и содержат нетривиальную информацию о различных физических эффектах.

Аналитические вычислительные схемы для Г основаны, как правило, на следующем интегральном представлении функционального следа F:

ГОО /7О

TrlnF = - / —Tre~sF. (17)

Jo s

Ядро K{s\x,y) = е sFS(x, у), очевидно удовлетворяет тепловому уравнению :

-K(s\x,y) = -FK(s\x,y) с начальным условием К(0\х,у) = 5(х,у) при s = 0. Вспомогательный параметр s называют собственным временем. Тогда вычисление эффективного действия может быть сведено к решению задачи Коши для K(s\x, у) и рассмотрению предела совпадения, поскольку нам в действительности необходимы только диагональные элементы К по пространственным координатам х

Ясно, что успех в вычислении Г зависит главным образом от возможности найти аналитическое решение теплового уравнения и выполнения интегрирования по собственному времени. Очевидно, интеграл расходится, когда s —> 0 и, как уже говорилось, эти расходимости могут быть ясно интерпретированы в терминах локальных ультрафиолетовых свойств теории. Поведение интеграла на бесконечности (s —> оо) определяет инфракрасные свойства теории. Если поля имеют большие положительные массы, проблем в вычислении сходящегося интеграла не возникает и эффективное действие может быть представлено асимптотическим рядом Швингера-Де Витта. Метод собственного времени позволяет получать функции Грина в окрестности точек светового конуса. Поэтому он является наиболее подходящим инструментом для изучения ультрафиолетовых рас-ходимостей (вычисление контрчленов, бета-функции и аномалий). Метод собственного времени обладает явной ковариантностью, что позволяет использовать различные методы ковариантных перенормировок. Наиболее популярными являются аналитическая регуляризация и регуляризация с помощью дзета-функции. Большое количество работ посвящено как обоснованию, так и использованию этих регуляризаций [70]. Однако в случае безмассовых полей ситуация становится менее тривиальной. Инфракрасная сходимость существенно зависит от схемы приближения, используемой для вычисления теплового ядра, и не ясно какие свойства, физические или схемы приближения, передает построенное эффективное действие. Во многих случаях достаточно ограничиться однопетлевым приближением, но метод собственного времени может быть с успехом применен также и для вычисления высших петель. Одним из наиболее важных результатов, полученных с помощью метода Швингера-Де Витта, является описание явления

18) поляризации вакуума массивными квантовыми полями во внешних фоновых полях. Когда комптоновская длина волны А = соответствующая полю массы т, много меньше характерного масштаба L на котором меняется фоновое поле, метод собственного времени дает разложение эффективного действия по малому параметру (A/L)2. Коэффициенты этого разложения, называемые коэффициентами Де Витта (также Адамара - Минакшисундарама - Де Витта - Силли ), есть локальные инварианты, построенные из внешних полей и их ковариантных производных. Общая структура разложения эффективного действия Швингера - Де Витта обсуждалась в контексте различных физических задач в громадном количестве работ. Но когда т = 0 было показано [51] , что здесь необходимо идти далее предела локального разложения, посредством суммирования ведущих производных внешних полей в этом разложении. В работах [51],[79], основанных на некоторых дополнительных предположениях, обеспечивающих сходимость рядов и интегралов для безмассовых квантовых полей, суммируются ведущие производные в нелокальное выражение для эффективного действия фоновых полей. Интерес к развитию эффективных, явно ковариантных методов для вычисления эффективного действия на произвольном фоне не ослабевает. Наоборот, браны и струны [82]-[88] поставляют различные важные приложения эффективного действия в фундаментальной теории струн. Все важные примеры вычисления эффективного действия, как правило, выполнены для случая специальных модельных фоновых полей (постоянные поля, однородные пространства и т.п.). Поэтому развитие общих методов ковариантного вычисления эффективного действия в квантовых калибровочных (супер)теориях и (супер) гравитации имеет важное значение. В настоящей работе развивается явно ковари-антная методика и эффективная техника для вычисления коэффициентов Де Витта и суммирования некоторых ведущих производных в широком классе теорий.

В теоретико-полевых моделях, обладающих некоторыми глобальными или калибровочными симметриями на классическом уровне, точное эффективное действие содержит всю информацию относительно того сохраняются или нарушаются эти симметрии в квантовой теории. Однако в калибровочных моделях, не все глобальные симметрии классического действия сохраняются явно в процессе квантования, даже в отсутствии аномалий. Было показано [89], что решение проблемы явного сохранения глобальной симметрии на квантовом уровне состоит в том, можно или нет выбрать ковариантные соотношения, фиксирующие калибровку. В классе локальных калибровочных условий это не всегда достижимо. Наличие симметрий накладывает жесткие ограничения на структуру эффективного действия и позволяет в некоторых случаях очень существенно фиксировать его форму в терминах функционалов, инвариантных относительно этих симметрий. Много примеров таких моделей имеется в расширенных суперсимметричных теориях поля. В последнее время особое внимание привлекает проблема обеспечения конформной симметрией квантовых теорий Янга-Миллса с исчезающей бета-функцией [90].

Одним из главных подходов к практическому вычислению нелокального эффективного действия является разложение по петлям и производным фоновых полей, где эффективное действие представляется в форме рядов по степеням h и производных его функциональных аргументов. Каждый член этого ряда уже является локальной величиной, и рассматривается как новое взаимодействие в наблюдаемом спектре, индуциро- ! ванное квантовыми эффектами и тяжелыми степенями свободы. (Удерживая нижние члены этого разложения мы получаем то, что собственно называется низкоэнергетическим эффективным действием). Другим важным подходом является разложение по петлям, в котором ведущие однопетлевые вклады представлены в виде функционального детерминанта некоторого псевдодифференциального оператора (см. определение [92]), а следующие строятся с использованием точных функций Грина. Оба этих приближения вместе позволяют получать информацию о квантовых явлениях и спектре теории, имеющихся выше некоторого порога наблюдения.

Диссертация состоит из Введения, четырех Глав и Заключения. В первой Главе представлен обзор идеи деформационного квантования и проблем обобщения некоммутативного ассоциативного произведения Мойала на общем пуассоновом многообразии. Проблема существования и классификации, с точностью до эквивалентности, формальных деформаций алгебры гладких функций, содержащих всю существенную информацию о квантовой системе, фундаментальная для предложения о дуальности свойств компактных многообразий с алгеброй ограниченных функций на них. Точками некоммутативного пространства является спектр алгебры. Это наблюдение ведет к естественному доказательству различных теорем о индексе псевдодифференциальных операторов. Главное направление, в котором имеется в итоге простая геометрическая конструкция, основанная на расслоении алгебр Вейля, состоит в наблюдении, что каждое касательное пространство симплектического многообразия есть симплекти

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Плетнев, Николай Гаврилович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [312, 313, 314, 315].

В заключение автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук И.Л. Бухбиндеру и А.Т. Банину за плодотворное сотрудничество и поддержку в работе.

Заключение:

Сформулируем основные результаты работы, выносимые на защиту.

1. Предложен новый ковариантный метод разложения по производным эффективного действия, использующий понятие символа оператора. Для вычисления функционального следа сложных операторных выражений развиваются приемы вычисления цепочки * - произведении. .

2. Показана непротиворечивость результатов вычисления с известными результатами в стандартных моделях теории поля и суперсимметричной модели Весса-Зумино.

3. Найдены однопетлевые вклады киральных и векторных Af = 1 мультиплетов в эффективное действие Гейзенберга-Эйлера в приближении постоянных компонентных полей.

WA =

WA =

4. Развивается техника собственного времени и (^-регуляризации в сочетании с представлением теплового ядра на фазовом суперпространстве являющиеся наиболее мощным способом ковариантных вычислений эффективного действия. Построено калибровочно и суперконформно инвариантное эффективное действие в модели гипермульти-плетов, связанных с внешним N = 2 векторным мультиплетом. Поскольку классическое действие гипермультиплетов квадратично, полученный однопетлевой результат является точным.

5. Рассмотрена проблема калибровочной зависимости эффективного действия в неабе-левых J\f = 2 теориях супер Янга-Миллса. Вводится новый многопараметрический класс функций, ковариантных относительно преобразований фоновых суперполей, фиксирующих калибровку.

Специальный случай суперсимметричной калибровки Ландау-Де Витта рассматривается более детально. Неголоморфный потенциал в этом случае может быть точно найден в терминах дилогарифмов Эйлера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плетнев, Николай Гаврилович, 2002 год

1. Весе Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и еупергравитация.- М., Мир, 1986 184 сс.

2. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or a Walk Through Superspace.- IOP Publ., Bristol and Philadelphia, 1995.- 607 pp.

3. Gates S. J., Grisaru M., Rocek M. and Siegel W. Superspace or Thousand and One Lessons in Supersymmetry Benjamin/Cummings, Reading, MA, 1983.- 548 pp.

4. Siegel W. Fields. // hep-th/9912205, 731pp, 1999.

5. Seiberg N. and Witten E. Monopole Condensation, And Confinement In N=2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Nucl. Phys.B, Vol.426, P.19-52, 1994; Erratum-ibid.B, Vol.430, P.485-486, 1994.

6. Seiberg N. and Witten E. Monopoles, Duality and Chiral Symmetry Breaking in N=2 Supersymmetric QCD. // Nucl. Phys.B, Vol.431, P.484-550, 1994.

7. Seiberg N. The Power of Duality Exact Results in 4D SUSY Field Theory. // Int.J.Mod.Phys.A, Vol.16, P.4365-4376, 2001. "

8. Seiberg N. The Power of Holomorphy Exact Results in 4D SUSY Field Theories. // Preprint, RU-94-64, IASSNS-HEP-94/57, 13pp. hep-th/9408013.

9. D'Hoker E., Phong D.H. Lectures on Supersymmetric Yang-Mills Theory and Integrable Systems. // hep-th/9912271, 124pp.

10. Dine M., Seiberg N. Comments on higher derivative operators in some SUSY field theories. // Phys.Lett.B, Vol.409, P.239-244, 1997.

11. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. and Ovrut B.A. On the D = 4, N = 2 Non-Renormalization Theorem. // Phys. Lett.B, Vol.433, P.335-345, 1998.

12. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн.- М., Мир, 1990. Т:1- 518 сс.; Т.2- 656 сс.

13. Polchinski J. String Theory.- Cambridge, Cambridge Univ.Press, 1998.

14. Polchinski J. TASI lectures on D-branes. NSE-TTP-96-145, hep-th/9611050.

15. Taylor W.I. Lectures on D-branes, gauge theory and M(atrices). // Lectures presented at Trieste summer school on particle physics and cosmology, 80pp, 1997.

16. Tseytlin A.A. Born-Infeld action, supersymmetry and string theory. // contribution to Yuri Golfand memorial volume, ed. Shifman M.-World Scientific, 2000.- P.417-454,

17. Де Витт B.C. Динамическая теория групп и полей,- М., Наука, 1987.- 288 сс.

18. I.L. Buchbinder, S.D. Odintsov and I.L. Shapiro, Effective Action in Quantum Gravity, IOP Publishing Ltd., Bristol, 1992.

19. De Witt B. Quantum theory of gravity.l. The canonical theory. // Phys.Rev., Vol.160, P.1113-1148, 1967.

20. De Witt B. Quantum theory of gravity.II. The manifestly covariant theory. // Phys.Rev., Vol.162, P.1195-1239,1967.

21. De Witt B. Relavity, Group and Topology II, B.S. DeWitt and R. Stora (Eds.), Elsevier, Amsterdam, 1984, 381pp.

22. Де Витт B.C. Квантовая гравитация: новый синтез,- в сборнике: Общая теория относительности,- М., Мир, 1983, с.296-362.

23. Биррелл II., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве.- М., Мир, 1984,- 356 сс.

24. Хокинг С. Интегралы по траекториям в приложении к квантовой гравитации в сборнике Общая теория относительности.-М., Мир, 1983, с.362-406.

25. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля.- М.,Мир, 1984, Т.1-448 сс., Т.2-400 сс.

26. Бухбиндер И.Л., Гусынин В.Н., Фомин П.Н. Функциональные детерминанты и эффективное действие для конформных скалярного и спинорного полей во внешнем гравитационном поле. // ЯФ, Т.44, вып. 3(9), С.828-838, 1988.

27. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Asymptotical behaviour of the effective potential in an external gravitational field. // Lett, al Nuovi Cim., Vol.44, No8, P.601-606, 1985.

28. Buchbinder I.L., Wolfengaut Yu.Yu., Renormalization group equations and effective action in curved spacetime. // Class.Quant.Grav., Vol.5, P.1127-1136, 1988.

29. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Спонтанное нарушение суперсимметрии и эффективное действие в суперсимметричных теориях Калуцы-Клейна. // ЯФ, Т.48, вып.4(10), С.1155-1164, 1988.

30. Buchbinder I.L., Lavrov P.M., Odintsov S.D. Unique Effective Action in Kaluza-Klein Quantum Theories and Spontaneous Compactification. // Nucl.Phys.B, Vol.308, P.191-202, 1988.

31. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Эффективное действие в многомерных супергравитациях и индуцирование эйнштейновской гравитации. // ЯФ, Т.46, вып.4(10), С. 1233-1238, 1987.

32. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Единое эффективное действие в теориях типа Калуца-Клейна и спонтанная компактификация. // ЯФ, Т.47, вып. 2, С.598-601, 1988.

33. Бухбиндер И.Л., Кириллова Е.Н., Одинцов С.Д. Эффективное действие Вилковыского в четномерных теориях квантовой гравитации. // ЯФ, Т. 50, вып. 1(7), С.269-277, 1989.

34. Бухбиндер И.Л., Дергалев В.П., Одинцов С.Д. Эффективное действие Вилковыского- Де Витта и антипериодические граничные условия. // Теор. и-мат. физ., Т.80, No 1, С.150-159, 1989.

35. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д., Фонарев О.А. Двухпетлевой эффективный потенциал в квантовой гравитации. // ЯФ, Т.52, вып. 6(12), С.1752-1762, 1990.

36. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Spontaneous supersymmetry breaking and effective action in supersymmetric Kaluza-Klein theories and strings. // Int. J. Mod.Phys.A, Vol.4, P.4337-4351, 1989.

37. Buchbinder I.L., Kirillova E.N., Odintsov S.D. The Vilkovisky effective action in the even-dimensional quantum gravity. // Mod.Phys.Lett.A, Vol.4, P.633-644, 1989.

38. Buchinder I.L., Odintsov S.D., Fonarev O.A. Two-loop effective action in quantum garvity. // Phys.Lett.B, Vol.245, P.365-369, 1990.

39. Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Fonarev O.A. Two-loop approach to the effective action in quantum gravity. // Int. J. Mod.Phys.A, Vol.7, P.3203-3233, 1992.

40. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Effective action in multidimensional (super)gravities and spontaneous compactification (quantum aspects of Kaluza-Klein theories). // Fortschr. der Physik, Vol.37, P.225-259, 1989.

41. Vilkovisky G.A. The Gospel according to DeWitt. // in "Quantum theory of gravity",ed. S.M, Christensen (A.Hilger, Bristol, 1984) p.169.

42. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantumfield theory. //Nucl.Phys.B, Vol.234, P.125-137, 1984.

43. DeWitt B.S. The effective action. // in "Quantum Field Theory and Quantum Statistics", ed. I.A. Batalin, C.J. Isham and G.A. Vilkovisky (Adam Hilger, Bristol, 1987).

44. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. The parametrization and gauge invariant effective action for composite fields. // Phys.Lett.B, Vol.228, P.104-109, 1989.

45. Kunstatter G. The patch integral for gauge theories: A geometrical approach. // . Class.Quant.Grav., Vol.9, P.157-168, 1992. .

46. Kobes R., Kunstatter G. and Rebhan A. Gauge dependence identities and their application at finite temperature. // Nucl.Phys.B, Vol.355, P.1-37, 1991.

47. Kobes R., Kunstatter G., Toms D.J. The Vilkovisky-De Witt effective action: PANACEA OR PLACEBO?. // Print-88-0745 (WINNIPEG), Jun 1988. 37pp.

48. Coleman S. and Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. // Phys.Rev.D, Vol.7, P.1888-1910, 1973.

49. Barvinsky A.O. and Vilkovisky G.A. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity. // Phys. Rep.C, Vol.119, P.l-74, 1985.

50. Barvinsky A.O. and Vilkovisky G.A. Beyond the Schwinger-DeWitt technique: Converting loops into trees and in-in currents. // Nucl.Phys.B, Vol.282, P.163-188,1987.

51. Barvinsky A.O. and Vilkovisky G.A. Covariant perturbation theory. 2: Second order in the curvature. General algorithms. // Nucl.Phys.B, Vol.333, P.471-511, 1990.

52. Metaxas D., Weinberg E.J. Gauge independence of the buble nucleation rate in theories with radiative symmetry breaking. // Phys.Rev.D, Vol.53, P.836-843, 1996.

53. Jackiw R. Functional evaluation of the effective potential. // Phys.Rev.D, Vol.9, P.1686-1705, 1974.

54. Dolan L., Jackiw R. Gauge invariant signal for gauge symmetry breaking. // Phys.Rev.D, Vol.9, P.2904-2921, 1974.

55. Nielsen N.K. On the gauge dependence of spontaneous symmetry breaking in gauge theories. // Nucl.Phys.B, Vol.101, P.173-176, 1975.

56. Aitchison I.J.R., Fraser C.M. Gauge invariance and the effective potential. // Ann.Phys., Vol.156, P.1-65, 1984.

57. Fukuda R., Kugo T. Gauge invariance in the effective action and potential. // Phys.Rev.D, Vol.13, P.3469-3509, 1976.

58. Del Cima O.M., Franco D.H.T. and Piguet 0. Gauge independence of the effective potential revisited. // Nucl.Phys.B, Vol.551, P.813-825, 1999.

59. Lin G.-L., Chyi T.-K. Vilkovisky-DeWitt Effective potential and the Higgs-Mass Bound. //hep-ph/9811319, 14pp.

60. Cho H.T., Kantowski R. Zeta functions for nonminimal operators. // Phys.Rev.D, Vol.52, P.4588-4599, 1995.

61. Odintsov S.D. Does the Vilkovisky-De Witt effective action in quantum gravity depend on the configuration space metric? // Phys.Lett.B, Vol.262, P.394-397, 1992.

62. Fradkin E.S., Tseytlin A.A. On the new definition of off-shelleffective action. // Nucl.Phys.B, Vol.234, P.509-528, 1984.

63. Rebhan A. The Vilkovisky-De Witt effective action and its application to Yang-Mills theories. // Nucl.Phys.B, Vol.288, P.832-864, 1987.

64. Rebhan A. Feynman rules and S matrix equivalence of the Vilkovisky-De Witt effective action. // Nucl.Phys.B, Vol.298, P.726-746, 1988.

65. Лавров П.М., Тютин И.В. О структуре перенормировок в калибровочных теориях. // Яф, Т.34, вып.1(7), С. 277-284, 1981.

66. Лавров П.М., Тютин И.В. О производящем функционвле вершинных функций в Янг-Миллсовских теориях. // Яф, Т.34, вып.3(9), С. 850-852, 1981.

67. Воронов Б.Л., Лавров П.М., Тютин И.В. Канонические преобразования и зависимость от калибровки в калибровочных теориях общего вида. // Яф, Т.36, вып.2(8), С. 498-508, 1982.

68. Elizalde Е., Odintsov S.D., Romeo A., Bytsenko А.А. and Zerbini S. Zeta Regularization Techniques with Applications.- World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1994. -319 pp.

69. Ball R.D. Chiral gauge theory. // Phys.Rep., Vol.182, P.l-263, 1989.

70. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization. // Phys.Rev., Vol.82, P.664-679, 1951.

71. Fock V.A. The proper time in classical and quantum mechanics. // Izvestiya of USSR Akademy of Scienes, Physics, No 4,5, P.551-569, 1937.

72. Atiyah M.F., Bott R., Patodi V.K. On the heat equation and the index theorem. // Invert.Math., Vol.19, P.279-330, 1973.

73. Minakshisundaram S. Eigen functions on Riemannian manifold. // J.Indian Math. Soc., Vol.17, P.159-165, 1953.

74. Seeley R.T. Complex powers of an elleptic operator. // Proc.Symp.Pure Math., Vol.10, P.288-307, 1967.

75. Gilkey P.B. The spectral geometry of a Riemannian manifold. // J.Diff.Geom., Vol.110, P.601-618, 1975.

76. Selberg A. Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. // J.Indian Math. Soc., Vol.20, P.47-84, 1956.

77. Avramidi I.G. The covariant technicue for calculation of one loop effective action. // Nucl.Phys.B, Vol.355, P.712-754, 1991.

78. Avramidi I.G. A new algebraic approach for calculating the heat kernel in gauge theories. // Phys.Lett.B, Vol.305, P.27-34, 1993.

79. Jackiw R. What good are quantum fiel theory infinities? // hep-th/9911071, 15pp.

80. Ахмедов Э.Т. Соответствие между суперсиммтричной теорией Янга-Миллса и супергравитацией. // УФН, Т.171, 2001, С.1005-1024.

81. Зарембо К.Л., Макеенко Ю.М. Введение в матричные модели суперструн. // УФН, Т. 168, 1998, С.3-27.

82. Гуков С.Г. Введение в струнные дуальности. // УФН, Т.168, 1998, С.705-717.

83. Polyakov A.M. Gauge Fields and Strings Heidelberg, Springer-Verlag, 1987.

84. Randall L., Sundrum R. An alternative to compactification. // Phys.Rev.Lett., Vol.83,1. P.4690-4693, 1999. .

85. Barvinsky A.O. Brane world effective action and origin of inflation. // Phys.Rev.D, Vol.65, P.062003-1-062003-10, 2002. . "

86. Рубаков B.A. Большие и бесконечные дополнительные измерения. // УФН, Т.171, 2001, С.913.89. van Holten J.W. Rigin symmetries and BRST invariance in gauge theories. // Phys.Lett.B, Vol.200, P.507-510, 1988.

87. Kuzenko S.M., McArthur I.N. Quantum metamorphosis of conformal symmetry in N = 4 super Yang-Mills theory. // hep-th/0203236.

88. Kuzenko S.M., McArthur I.N. On quantum deformation of conformal symmetry: Gauge dependence via field redefinitions. // hep-th/0206234.

89. M.A. Шубин, Псевдодифферёнциальные операторы и спектральная теория.- М., Наука, 1978.- 350сс.

90. Fradkin E.S., Gitman D.M., Shvartsman S.M. Quantum Electrodynamics with unstable vacuum. // Nauka, Moscow, 1990.

91. Nielsen H.B. and Rorlich A. A path integral to quantize spin. // Nucl.Phys.B, Vol.299, P.471-510, 1998.

92. Balachandran A.P., Marmo G., Skagerstam B.S., Stern A. Gauge symmetry and fibre bundles. // Lect. notes in Phys. v.188, Springer-Verlag, Berlin, 1983.

93. Bern Z., Kosower D.A. Efficient calculation of one loop QCD amplitudes. // Phys.Rev.Lett., Vol.66, P.1669-1672, 1991.

94. Bern Z., Kosower D.A. The computation of loop amplitudes in gauge theories. // Nucl.Phys.B, Vol.379, P.451-561, 1992.

95. Strassler M.J. Field theory without Feynman diagragrams:one loop effective actions. // Nucl.Phys.B, Vol.385, P.145-184, 1992.

96. Reuter M., Schmidt M.G. and Schubert C. Constant External Fields in Gauge Theory and the Spin 0, 1/2, 1 Path Integrals. // Ann. Phys., Vol.259, P.313-365, 1997;

97. West P. A comment on the nonrenormalization theorem in supersymmetric theories. // Phys. Lett.B, Vol.258, P.375-381, 1991.

98. Jack I., Jones P.R.T. and West P., Not the no-renormalization theorem?. // Phys. Lett.B, Vol.258, P.382-385, 1991.

99. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. and Petrov A.Yu. Superfield chiral effective potential. // Phys. Lett.B, Vol.321, P.372-377, 1994.

100. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М., Мир, 1989. 250 сс.

101. Grisaru М.Т., Riva F. and Zanon D. The one loop effective potential in superspace. // Nucl.Phys.B, Vol.214, P.465-470, 1983.

102. D'Adda A., Davis A.C., Di Vecchia P. and Salomonson P. An effective action for the supersymmetric CP**(N-1) model. // Nucl.Phys.B, Vol.222, P.45-54, 1983.

103. Бухбиндер И.Л., Кузенко C.M. О структуре функции Грина кирального суперполя во внешнем поле супергравитации. // ЯФ, Т.41, вып.6, С.1671-1677, 1985.

104. Бухбиндер И.Л., Кузенко С.М. Вещественное скалярное суперполе в суперпро-стрпнстве простой супергравитации. Функции Грина и эффективное действие. // ЯФ, Т.43, вып.2, С.450-458, 1986.

105. Бухбиндер И.Л., Кузенко С.М. Суперконформные аномалии в суперпространстве простой супергравитации. // ЯФ, Т.43, вып.З, С.724- 735, 1986.

106. Buchibnder I.L., Kuzenko S.M. Matter superfields in external supergarvity: Green functions, effective action and superconformal anomalies. // Nucl.Phys.B, Vol.274, P.653-684, 1986.

107. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Quantization of the classically equivalent theories in the superspace of simple supergarvity and quantum equivalence^ // Nucl.Phys.B, Vol.308, P. 162-190, 1988.

108. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Nonlocal action for supertrace anomalies in superspace of N=1 supergravity. // Phys.Lett.B, Vol.202, P.233-237, 1988.

109. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Soloviev O.A. One-loop counterterms of Wess-Zumino model in the N=1 non-minimal supergravity background. // Nucl.Phys.B, Vol.322, P.277-300, 1989.

110. Grisaru M.T., Rocek M. and von Unge R. Effective Kahler Potentials. // Phys. Lett.B, Vol.383, P.415-421, 1996.

111. De Giovanni A., Grisaru M.T., Rocek M., von Unge R., Zannon D. The N=2 Super Yang-Mills Low-Energy Effective Action at Two Loops. // Phys. Lett.B, Vol.409, P.251-256,1997.

112. Pickering A. and West P. The One Loop Effective Super-Potential and Non-Holomorphicity. // Phys. Lett.B, Vol.383, P.54-62, 1996.

113. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V. and Sokatchev E. Unconstrained N=2 matter, Yang-Mills and supergravity theories in harmonic superspace. // Class. Quant. Grav., Vol.1, P.469-480, 1984.

114. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V. and Sokatchev E. Harmonic supergraphs. Green functions. //Class.Quant.Grav., Vol.2, P.601-610, 1985.

115. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V. and Sokatchev E. Harmonic supergraphs. Feynman rules and examples. // Class.Quant.Grav., Vol.2, P.617-629, 1985.

116. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V. and Sokatchev E. Harmonic Superspace.-Cambridge. Cambridge Univ. Press, 2001. 305 pp.

117. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Ivanov E.A., Kuzenko S.M. and Ovrut B.A. Effective Action of the N = 2 Maxwell Multiplet in Harmonic Superspace. / / Phys. Lett.B, Vol.412, P.309-319, 1997.

118. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. The Background Field Method for N = 2 Super Yang-Mills Theories in Harmonic Superspace. // Phys. Lett.B, Vol.417, P.61-71, 1998.

119. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Kuzenko S.M. Central Charge as the Origin of Holomorphic Effective Action in N=2 Gauge Theory Authors. // Mod.Phys.Lett.A, Vol.13, P.1071-1082, 1998.

120. Buchbinder I.L., Samsonov I.B. Gn Holomorphic Effective Actions of Hypermultiplets Coupled to External Gauge Superfieids. // Mod.Phys.Lett.A, Vol.14, P.2537-2544,1999.

121. Eremin S., Ivanov E. Holomorphic Effective Action of N=2 SYM Theory from Harmonic Superspace with Central Charges. // Mod.Phys.Lett.A, Vol.15, P.1859-1878, 2000:

122. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. and Ovrut B.A. Covariant harmonic supergraphity for Af — 2 Super Yang-Mills Theories. //In Dubna 1997, Supersymmetry and quantum symmetries, 17pp.

123. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. Low-energy effective action in JV = 2 supersymmetric field theories. // Physics of Particles and Nuclei, Vol.32, P.641-, 2001.

124. Alvarez-Gaume L., Distler J., Kounnas C. and Marino M. Softly broken N=2 QCD. // Int.J.Mod.Phys.A, Vol.11, P.4745-4777, 1996.

125. Chan L-H., Effective action expansion in perturbation theory. // Phys. Rev. Lett., Vol.54, P.1222-1225, 1985.

126. L-H. Chan, Derivative expansion for the one-loop effective actions with internal symmetry, CTP 41345 (1986).

127. Cheyette O. Derivative expansion of the effective action. // Phys.Rev. Lett., Vol.55, P.2394-2401, 1985.133. -Fraser C.M. Calculation of higher derivative terms in the one loop effective lagrangian. // Z.Phys.C, Vol.28, P.101-130, 1985.

128. Chan L.-H. Derivative expansion for the loop effective actions with internal symmetry. //Phys. Rev. Xe.tt., Vol.57, P. 1199-1206, 1986.

129. Gaillard M. The effective one loop lagrangian with derivative couplings. // Nucl. Phys.B, Vol.268, P.669-699, 1986.

130. Jain V. and Kotchev A. A Super Covariant Derivative Expansion of the Effective Action. // Preprint LAPP-TH-285/90.

131. Weyl H. Quantum mechanics and group theory. //■ Z.Phys., Vol.46, P.l, 1927.

132. Wigner E.P. Quantum corrections for thermodynamics equilibrium.// Phys. Rev., Vol. 40, P.749-756, 1932.

133. J.E. Moyal, Proc. Camb. Soc. 45 (1949) 99.

134. Sternheimer D. Deformation quantization: Twenty years after. // math.QA/9809056, 1998, 38pp.

135. Bayen F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerovich A. and Sternheimer D. Deformation theory and quantization.!. Deformations of symplectic structures.; Deformation theory and quantization. 2. Physical applications. // Ann. Phys., Vol.111, P.61,111, 1978.

136. De Wilde M., Lecomte P. Existence of star-products and of formal deformaions of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds. // Lett.Math.Phys., Vol.7, P.487-496, 1983.

137. Omori H., Maeda Y. and Yoshioka A. Weyl manifolds and deformation quantization. // Adv. Math., Vol.85, P.224-255, 1991 .

138. Fedosov B. Deformation Quantization and Index Theorem.- Mathematical Topics 9, Akademie Verlag, Berlin, 1996.

139. Березин Ф.А., Шубин M.A. Уравнение Шредингера. M., МГУ, 1983. - 392 сс.

140. Berezin F.A. and Shubin M.A. Symbols of operators and quantization. // in: Hilbert space operators and operator algebras, Proc. Int. Conf., Tihany, 1970.

141. Березин Ф.А. Квантование.-Изв. АН СССР, т.38, 1974, с.1116-1175.

142. Березин Ф.А. Общая концепция квантования.- Успехи матем. наук, т.29, 1974, с.200-201.

143. Berezin F.A. arid Marinov M.S. Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics. // Ann.Phis., Vol.104, P.336-387, 1977.

144. Osborn T.A., Molzahn F.H. Moyal quantum mechanics: the semiclassical Heisenberg dynamics. // Ann.Phys., Vol.241, P.79-121, 1995.

145. Arratia 0., Martn M. and del Olmo M. Deformation in Phase space. // math-ph/9805016, 29pp.

146. Bordemann M., Neumaier N., Waldmann S., Homogeneous Fedosov star products on cotangent bundles I, II. // q-alg/9707030, 31pp.; q-alg/9711016, 29pp.

147. Karasev M.V., Osborn T.A. Symplectic areas, quantization and dynamics in electromagnetic fields. // quant-ph/0002041, 39pp.

148. Muller M. Product rule for gauge invariant Weyl symbols and its application to the semiclassical description of guiding center motions. // Phys. A, Vol.32, P. 1053-1064,1999.

149. Ochs S., Heinz U. Wigner functions in covariant and single time formulations. // Ann.Phys., Vol.266, P.351-416, 1998.

150. C. Emmrich and A. Weinstein, The differential geometry of Fedosov's quantization. // hep-th/9311094, 20pp.

151. Ping Xu, Fedosov ""-products and quantum momentum maps. // Comm.Math.Phys., Vol.197, P. 167-197, 1998.

152. Gelfand I., Retakh V., Shubin M. Fedosov Manifolds. // dg-ga/9707024, 32pp.

153. Konechny A., Schwarz A. Introduction to m(trix) theory and noncommutative geometry. // Phys Rept., Vol.360, P.353-465, 2002.

154. Gracia-Bondia J., Varilly J. and Figueroa H. Elements of noncommutative geometry .-Birkhaeuser, Boston, 2001.

155. Douglas M., Nekrasov N. Noncommutative Field theory. // Rev.Mod.Phys., Vol.73, P.977-1029, 2001.-162. Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry. // JHEP,. Vol.9909, P 032, 1999.

156. Connes A.; Douglas M.R. and Schwarz A. Noncommutative Geometry and Matrix Theoryxompactification on Tori. // JHEP, Vol.9802, P.003, 1998.

157. Kontsevitch M. Deformation Quantization of Poisson Manifolds, I. // q-alg/9709040.

158. Cattaneo A.A., Felder G. A Path Integral Approach to the Kontsevich Quantization formula. // Commun.Math.Phys., Vol.212,'P.591-611, 2000.

159. Antonsen F. Zeta function and star products. // quant-ph/9802031, 1998, 10pp.

160. N.P. Landsman, Strict deformation quantization of a particle in external gravitetional and Yang-Mills fields. // J. Geom. Phys., Vol.12, P.93-132, 1993.

161. Robson M.A. Geometric quantization of the phase space of a particle in a Yang-Mills field. // hep-th/9406041, 1994, 50pp.

162. Стратонович P.Jl. Калибровочно-инвариантный аналог распределения Вигнера. // Доклады АН СССР, Т.1'09, С. 72-75.

163. Batalin I.A., Tyutin I.V. Quantum geometry of symbols and operators. // Nucl. Phys.В, Vol.345, P.645-658, 1990.

164. Novikov V.A., Schifman M.A., Vainstein A.I., Zakharov V.I. Calculations in external fields in quantum chromodynamics: Technical reviev (Abstract operator method, Fock-Schwinger gauge). // Fortsch. Phys., Vol.32, P.585-659, 1985.

165. Fliegner D., Schmidt M.G. and Schubert C. The higher derivative expansion of the effective action by the string inspired method. Part 1. // Z. Phys.C, Vol.64, P.111-116,1994. ■ '.

166. Dyson F.J. Divergence of perturbation theory in Quantum electrodynamics. // Phys.Rev., Vol.85, P.631, 1952.

167. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainshtein A.I. and Zakharov V.I. ABC of instantons. //.in M. Shifman, ITEP Lectures in Particle Physics and Fiel Theory, Vol.1, p.201, World Scientific, Singapore, 1999.

168. Огиевецкий В.И. О возможной интерпретации рядов теории возмущений в квантовой теории поля. // ДАН СССР, Т.109, С.919-922, 1956.

169. Dunne G.V. Perturbative-nonperturbative connection in quantum mechanics and field theory. // hep-th/0207046, 17pp.

170. Bilal A. Higher-derivative corrections to the non-abelian Born-Infeld action. // Nucl.Phys.B, Vol.618, P.21-49, 2001.

171. Gusynin V.P. and Shovkovy I.A. Derivative expansion for the one loop effective lagrangian in QED. // Can. J. Phys., Vol.74, P.282-289, 1998.

172. Buchbinder I., Kuzenko S. and Yarevskaya J. Superfield effective action in N=1, D = 4 supersymmetric gauge theories. // Yad.Fiz., Vol.56, P.193-200, 1993.

173. Buchbinder I.L., Kuzenko S., Yarevskaya J. Supersymmtric effective potential: Superfield approach. // Nucl. Phys.B, Vol.411, P.665-692, 1994.

174. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Petrov A.Yu. and Yarevskaya J.V. Superfield effective potential. // hep-th/9501047, 1995, 8pp.

175. Buchbinder I.L., Cvetic M., Petrov A.Yu. Implications of decoupling effects for one-loop corrected effective actions from superstring theory. // Mod.Phys.Lett.A, Vol.15, P.783-790, 2000

176. Buchbinder I.L., Cvetic M., Petrov A.Yu. One-loop effective potential of N=1 supersymmetric theory and decoupling effects. // Nucl.Phyis.B, Vol.571, P.358-418, 2000.

177. Shizuya K. and Yasui Y. Construction of effective actionsin superspace. // Phys. Rev.D, Vol.29, P.l 160-1173, 1984.

178. Ohrndorf Th. The Schwinger-Fock gauge in superspace. // Nucl. Phys. B, Vol.268, P.654-674, 1986.

179. Ohrndorf Th. An example of an explicitly calculable supersymmetric low-energy effective lagrangian: The Heisenberg-Euler lagrangian of supersymmetric QED. // Nucl.Phys.B, Vol.273, P.165-197, 1986.

180. Ohrndorf Th. The effective lagrangian of-supersymmetric Yang-Mills theory. // Phys. Lett.B, Vol.176, P.421-433, 1986.

181. Fradkin E.S., Gitman D.M. Path integral representation for the relativistic particle propagators and BFV quantization. // Phys.Rev.D, Vol.44, P.3230-3236, 1991.

182. McKeon D.G.C., Rebhan A. Loop diagrams without gamma matrices,// Phys.Rev.D, Vol.48, P.2891-2896, !993.

183. D'Hoker E., Gagne D.G. Worldline Path Integrals for Fermions with Scalar, Pseudoscalar and Vector Couplings. // Nucl.Phys.B, Vol.467, P.272-296, 1996.

184. D'Hoker E., Gagne D.G. Worldline Path Integrals for Fermions with General Couplings. // Nucl.Phys.B, Vol.467, P.297-312, 1996.

185. Mondragon M., Nellen L., Schmidt M.G. and Schubert C. Yukawa Couplings f or the Spinning Particle and the World Line Formalism. // Phys.Lett.B, Vol.351, P.200-205, 1995

186. Mondragon M., Nellen L., Schmidt M.G. and Schubert C. Axial Couplings on the World-Line. // Phys.Lett.B, Vol.366, P.212-219, 1996.

187. McKeon D.G.C., Schubert C.S.A New Approach to Axial Vector Model Calculations. // Phys.Lett.B, Vol.440, P.101-107, 1998.

188. Salcedo L,L., Ruiz Arriola E. Wigner transformation for the determinant of Dirac operators. //Ann.Phys., Vol.250, P.1-50, 1996.

189. Hauknes J. An effective action for a variable electromagnetic field. // Ann.Phys., ; Vol.156, P.303-330, 1984.

190. Lee H.W., Рас P.Y. and Shin H.K. Derivative expansions in quantum electrodynamics. // Phys.Rev.D, Vol.40, P.4202-4205, 1989.

191. Cangemi D., D'Hoker E. and Dunne G. Derivative Expansion of the Effective Action and Vacuum-Instability for QED in 2+1 Dimensions. // Phys.Rev.D, Vol.51, P.2513-2516, 1995.

192. McKeon D.G.C. The derivative expansion of the effective action in Yang-Mills theory. // Phys.Rev.D, Vol.55, P.7989-7992, 1997.

193. McArthur I.N., Gargett T.D. A "Gaussian" Approach to Computing Supersymmetric Effective Actions // Nucl.Phys.B, Vol.497, P.525-540, 1997;

194. McArthur I.N., Gargett T.D. Derivative expansion of one loop effective actions for Yang-Mills fields. // J.Math.Phys., Vol.39, P.4430-4448, 1998.

195. Lee R.N., Milstein A.I., Strakhovenko V.A. High-energy photon splitting in a strong Coulomb field. // hep-ph/9704230, 20pp.

196. Ginzburg I.F., Kotkin G.L., Polityko S.I. On the possibility to observe the E+ E- pairs produced by photon in the field of the intensive electromagnetic wave. // Sov.J.Nucl.Phys., Vol.37, P.222-235, 1983.

197. Kotkin G.L., Serbo V.G. Variation in polarization of high-energy gamma quanta traversing a bunch of polarized laser photons. // Phys.LettB, Vol.413, P.122-129, 1997.

198. Ritus V.I. The Lagrangian Function of an intense Electromagnetic Field and Quantum Electrodynamics at short Distan cas. //in Issues in Intense Field Quantum Electrodynamics. Proc. of the Lebedev, Phys. Inst., Vol.168, New York, 1987, 153pp.

199. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика, Теория поля.- М., Наука, 1973.- 504СС.

200. Shifman М.А., Vainshtein A.I. On holomorphic dependence and infrared effects in supersymmetric gauge theories. // Nucl.Phys.B, Vol.359, P.571-580, 1991.

201. De Vecchia P., Musto R., Nikodemi F., Pettorino R. The anomaly term in the N=2 supersymmetric gauge theory. // Nucl.Phys.B, Vol.252, P.635-679, 1984.

202. Seiberg N. Supersymmetry and nonperturbative beta functions.// Phys.Lett.B, Vol.206, P.75-87, 1998.

203. Grimm R., Sohnius M. and Wess J. Extended sypersymmetry and gauge theories. // Nucl.Phys.B, Vol.133, P.275-280, 1978 .

204. Fayet P. Fermi-Bose hypersymmetry. // Nucl.Phys.B, Vol.113, P.135-172, A976.

205. Sohnius M. Supersymmetry and central charges. // Nucl.Phys.B, Vol.138, P.109-121, 1978.

206. Gonzalez-Rey F., Rocek M,, Wiles S., Lindstrom U. and von Unge R. Feynman Rules in N=2 Projective Superspace I: Massless hypermultiplets. // Nucl.Phys.B, Vol.516, P.426-448, 1998.

207. Gonzalez-Rey F., von Unge R. Feynman rules in N=2 projective Superspace II: Massive hypermultiplets. // Nucl.Phys.B, Vol.516, P.449-466, 1998.

208. Gonzalez-Rey F. Feynman Rules in N=2 projective superspace III: Yang-Mills multiplet. // hep-th/9712128, 20pp.

209. Kuzenko S.M. Projective Superspace as a Double-Punctured Harmonic Superspace. // Int.J.Mod.Phys.A, Vol.14, P.1737-1758, 1999.

210. Gates S.J.,Jr., Kuzenko S.M. The CNM-Hypermultiplet Nexus. // Nucl.Phys.B, Vol.543, P.122-140, 1999.

211. Henningson M. Extended superspace, higher derivatives and SL(2, Z) duality. // Nucl.Phys.B, Vol.458, P.445-455, 1996.

212. Matone M. Modular Invariance and Structure of the Exact Wilsonian Action of N=2 SYM.//Phys.Rev-.Lett., Vol.78, P.1412-1415, 1997. ~

213. Yung A. Instanton-induced Effective Lagrangian in the Seiberg-Witten Model. // Nucl.Phys.B, Vol.485, P.38-62, 1997. .■

214. Yung A. Higher Derivative Terms in the Effective Action of N=2 SUSY QCD from Instantons. // Nucl.Phys.B, Vol.512, P.79-102, 1998.

215. Bellisai D., Fucito F., Matone M., Travaglini G. Non-holomorphic terms in N=2 SUSY- Wilsonian actions and RG equation. // Phys.RevrD, Vol.56, P.5218-5232, 1997.

216. Dorey N., Khoze V.V., Mattis M.P., Slater J.Instantons, Higher-Derivative Terms, and Nonrenormalization.Theorems in Supersymmetric Gauge Theories. // Phys.Lett.B, Vol.408, P.213-221, 1997.

217. Chaichian M., Chen W.F., Montonen C. On the low-energy effective action of N=2 supersymmetric Yang-Mills theory. // Nucl.Phys.B, Vol.537, P.161-189, 1999.

218. Chaichian M., Chen W.F., Montonen С. A Down to Earth Attempts Determining the Low Energy effective Action of N 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. 11 hep-th/9906145, 39pp.

219. Ketov S. On the next-to leading order correction to the effective action in N=2 gauge theories. // Phys.Rev.D, Vol.57, P.1277-1283, 1998.

220. Periwal V., von Unge R. Accelerating D-branes. // Phys. Lett.B, Vol.430, P.71-76, 1998.

221. Gonzalez-Rey F., Rocek M. Nonholomorphic N=2 terms in N=4 SYM: 1-Loop Calculation in N=2 superspace. // Phys. Lett.B, Vol.434, P.303-311, 1998.

222. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Comments on the Background Field Method in Harmonic Superspace: Non-holomorphic Corrections in N=4 SYM. // Mod.Phys.Lett.A, Vol.13, P.1629-1636, 1998.

223. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L. and Kuzenko S.M. Non-holomorphic effective potential in N = 4 SU(n) SYM. // Phys.Lett.B, Vol.446, P.216-223, 1999.

224. Chepelev I., Tseytlin A.A. Interactions of type IIB D-branes from D instanton matrix model.//Nucl.Phys.B, Vol.511, P.629-646, 1998.

225. Chepelev I., Tseytlin A.A. Long-distance "interactions of branes: correspondence between supergravity and super Yang-Mills descriptions. // Nucl.Phys.B, Vol.515, P.73-113, 1998.

226. Lowe D.A., von Unge R. Constraints on Higher Derivative Operators in Maximally Supersymmetric Gauge Theory. // JHEP, Vol.9811, P.014, 1998.

227. Becker K., Becker M., Polchinski J., Tseytlin A. Higher order graviton scattering in -M(atrix) theory.//Phys.Rev.D, Vol.56, P.3174-3178, 1997.

228. Grisaru M.T., Santambrogio A. and Zanon D. Quantizing N=2 matter supergravity systems. // Nucl. Phys.B, Vol,487, ,P. 174-190, 1997.

229. Elizalde E. On the concept of determinant for the differential operators of quantum physics. // JHEP, Vol.9907, P.015, 1999.

230. Hove P.S., Stelle K.S. and Townsend P.K. Miraculous ultraviolet cancellations in supersymmetry made manifest.// Nucl.Phys.B, Vol.236, P.125-183, 1984.

231. Klemm A., Lerche W., Theisen S. and Yankielowich S. Simple singularities and N=2 supersymmetric Yang-Mills theory. // Phys.Lett.B, Vol.344, P.169-175, 1995.

232. Argyres P.C., Faraggi A.E. The vacuum structure and spectrum of N=2 supersymmetric SU(N) gauge theory. // Phys.Rev.Lett., Vol.74, P.3931-3934, 1995.

233. Klemm A., Lerche W. and Theisen S. Nonperturbative effective actions of N=2 supersymmetric gauge theories. // Int.J.Mod.Phys.A, Vol.11, P.1929-1974,1996.

234. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Tseytlin A.A. On low-energy effective actions in N=2, N=4 superconformal theories in four-dimensions. // Phys.Rev.D, Vol.62, P.045001-1-045001-16, 2000.

235. Kuzenko S.M., Theisen S. Nonlinear self-duality and supersymmetry. // Forsch.Phys., Vol.49, P.273-309, 2001.

236. Dine M., Gray J. Nonrenormalization theorems for operators with arbitrary numbers of derivatives in N=4 Yang-Mills Theory. // Phys.Lett.B, Vol.481, P.427-435, 2000.

237. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu. N=4 super Yang-Mills low-energy effective action at ч; three and four loops. // Phys.Lett.B, Vol.482, P.429-439, 2000. ■ / :

238. Argyres P.C., Douglas M.R. New phenomena in SU(3) supersymmetric gauge theory. // Nucl.Phys.B, Vol.448, P.93-126, 1995.

239. Argyres P.C., Plesser V.R. and Seiberg N. The moduli space of vacua of N=2 SUSY QCD and duality in N=1 SUSY QCD. // Nucl.Phys.B, Vol.471, P.159-194, 1996.

240. Bilal A., Ferrari F. Curves of marginal stability, and weak and strong coupling BPS spectra in N=2 supersymmetric QCD. // Nucl.Phys.B, Vol.480, P.589-622, 1996.

241. Bilal A., Ferrari F. The strong coupling spectrum of the Seiberg-Witten Theory. // Nucl.Phys.B, Vol.469, P.387-402, 1996. "

242. Bilal A., Ferrari F. The BPS spectra and superconformal points in massive N=2 supersymmetric QCD. // Nucl.Phys.B, Vol.516, P.175-228, 1998.

243. Argyres P.C., Narayan К. String webs and the decay of supersymmetric particles. //; Int.J.Mod.Phys.A, V0I.I6SIC, P.962-966, 2001.

244. Ritz A., Shifman M.A., Vainshtein A.I., Voloshin M.B. Marginal stability and the metamorphosis of BPS states. // Phys.Rev.D, Vol.63, P.065018-1-065018-53, 2001.

245. Kuzenko S.M., McArthur I.N. Effective action of N=4 super Yang-Mills: N=2 superspace approach. // Phys.Lett.B, Vol.506, P.140-146, 2001.

246. Kuzenko S.M., McArthur I.N. Hypermultiplet effective action: N = 2 superspace approach. // Phys.Lett.B, Vol.513, P.213-222, 2001.

247. Hanany A., Witten E. Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics. // Nucl.Phys.B, Vol.492, P. 152-190, 1997.

248. Witten E. Solutions of four- dimensional field theories via M theory. // Nucl.Phys.B, Vol.500, P.3-42, 1997.

249. Sen A. F theory and orientifolds. // Nucl.Phys.B, Vol.475, P.562-578, 1996.

250. Howe P.S., Lambert N.D. and West P.C, Classical M-five-brane dynamics and quantum N=2 Yang-Mills. // Phys.Lett., Vol.B418, P.85-90, 1998.

251. Tseytlin A.A. On nonabelian generalization of Born-Infeld action in string theory. //-Nucl: Phys.B, Vol.501, P.41-52, 1997. " /

252. Tseytlin A.A. Interactions Between Branes and Matrix Theories. // Nucl.Phys.Proc.Suppl., V0I68, P.99-110, 1998.

253. Chepelev Т., Tseytlin A.A. Long distance interactions of branes: correspondence between supergravity and super Yang-Mills descriptions. // NucI.Phys.B, Vol.515, P.73-113,1998.

254. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu, Tseytlin A.A. Two loop N=4 Super Yang-Mills effective action and interaction beetween D3-branes. // NucI.Phys.B, Vol.621, P.179-207, 2002.

255. Гальперин A.C., Иванов E.A., Огиевецкий В.И. Суперполевая анатомия мульти-плета Файе-Сониуса. // ЯФ, Т.35, С.790-800, 1982.

256. Gates S.J.,Jr. Superspace formulation of new nonlinear sigma models. // Nucl. Phys.B, Vol.238, P.349-379, 1984.

257. Ovrut B.A., Wess J. Supersymmetric R(XI) gauge and radiative symmetry breaking. // Phys.Rev.D, Vol.25, P.409-431, 1982.

258. Binitruy P., Sorba P. and Stora R. Supersymmetric S covariant R(XI) gauge. // Phys.Lett.В, Vol.129, P.85-91, 1983.

259. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions.- Mc Graw-Hill Book, Co, 1953. vol.1.

260. Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М., Физ.-Мат. лит., 1963.-1100 сс.

261. Van Der Waerden B.L. Algebra.- Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971.

262. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions.- Mc Graw-Hill Book Co, 1955. vol.3.

263. Берестецкий В.В., Лившиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика.-М., Наука, 1989.-725 сс.|274. Heisenberg W. and Euler Н. Folgerungen alts der Diracschen therie des pozitrons. // Z. Phys., Vol.98, P.714-720, 1936.

264. Weisskopf V. Uber die Elektrodynamik des Vakuums auf Grund der quantentheorie des Elektrons. // Kong.Dans.Vid.Selsk. Math-fys. Medd XIV No.6, 1936, reprinted in Quantum Elektrodynamics, J. Schwinger (Ed.), Dover, New York, 1958.

265. Dittrich W., Reuter M. Effective Lagrangians in Quantum Electrodynamics.- Springer, 1985.

266. Ferrara S., Lledo M.A. and Zaffaroni A. Born-Infeld corrections to D3-brane action in ADS(5) X S(5) and N=4, D = 4 primary superfields. // Phys.Rev.D, Vol.58, P.105029-1-15, 1998.

267. Eden В., Howe P.S., Schubert C., Sokatchev E. and West P.C. Four point functions in N=4 supersymmetric Yang-Mills theory at two loops. // Nucl.Phys.B, Vol.557, P.335-379, 1999.

268. Eden В., Howe P.S., Schubert C., Sokatchev E. and West P.C. Simplifications of four point functions in N=4 supersymmetric Yang-Mills theory at two loops. // Phys.Lett.B, Vol.466, P.20-26, 1999.

269. Buchbinder I.L., Ivanov E.A. Complete N=4 structure of low-energy effective action in N=4 super Yang-Mills theories. // Phys.Lett.B, Vol.524, P.208-216, 2002.

270. Argyres P.S., Plesser M.R., Seiberg N. and Witten E. New N=2 superconformal field theories in four-dimensions. // Nucl, Phys.B, Vol.461, P.71-84, 1996.

271. Gonzalez-Rey F., Lindstrom U., Rocek M. and von Unge R. On N=2 low-energy effective actions. // Phys.Lett.B, Vol.388, P.581-587, 1995.

272. Giveon A., Rocek M. Effective actions and gauge field stability. // Phys.Lett.B, Vol.363, P. 173-179, 1995.

273. Chalmers G., Rocek M., von Unge R. Quantum Corrections to Monopoles. // hep-th/9801043; Monopoles in Quantum Corrected Я = 2 Super Yang-Mills Theory. // hep-th/9612195.

274. Lindstrom U., Rocek M., A note the Seiberg-Witten solution of N=2super Yang-Mills theory. //Phys.Lett.B, Vol.355, P.492-493, 1995.

275. Maldacena J. The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity. // Adv.Theor.Math.Phys., Vol.2, P.231-252, 1998.

276. Di Vecchia P. An introduction to ADS / CFT correspondence. // Fortsch.Phys., Vol.48, P.87-92, 2000.

277. Gubser S.S., Klebanov I., Polyakov A. Gauge theoty correlators from noncritical string theory.//Phys.lett.B, Vol.428, P.105-114, 1998.

278. Aharony 0., Fayyazuddin A. and Maldacena J. The large N limit of N=2, N=1 field theories from three-branes in F theory. // JHEP, Vol.9807, P.013, 1998.

279. Gonzalez-Rey F., Kulik В., Park I.Y. and Rocek M. Selfdual effective action of N=4 super Yang-Mills. // Nucl.Phys.B, Vol.544, P.218-242, 1999.

280. Bilal A., Chu C.-S. D3 brane(s) in AdS5 x S5 and Af = 4,2,1 SYM. // Nucl.Phys.B, Vol.547, P.179-200, 1999.

281. Maldacena J., Nunez C. Supergravity description of field theories on curved manifolds and a no go theorem. // Int.J.Mod.Phys.A, Vol.16, P.822-855, 2001.

282. Maldacena J., Nunez C. Towers the large N limit of pure N=1 super Yang-Mills. // Phys.Rev.Lett., Vol.86, P.588-591, 2001. ■

283. Maldacena -J., Nastase H. The supergravity dual of a theory with dynamical supersymmetry breaking. // JHEP, Vol.0109, P.024, 2001.

284. Gauntlett J.P., Kim N., Martelli D. and Waldram D. Wrapped five-branes and N=2 super Yang-Mills theory. // Phys.Rev.D, Vol.64, P.106008-1-17, 2001.

285. Pilch К., Warner N.P. N=2 supersymmetric RG flows and the IIB dilaton. /-/ Nucl.Phys.B, Vol.594, P.209-228, 2001.

286. Buchel A., Peet A.W., Polchinsky J. Gauge dual and noncommutative extension of an N=2 supergravity solution. // Phys.Rev.D. Vol.63, P.044009-1-15, 2001.

287. Johnson C., Peet A.W., Polchinski J. Gauge theory and the excision of repulson singularities. // Phys.Rev.D, Vol.61, P.086001-1-16, 2000.

288. Polchinsky J., N=2 gauge / gravity duals. // Int.J.Mod.Phys.A, Vol.16, P.707-718, 2001.

289. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainshtein A.I. and Zakharov V.I. Exact Gell-Mann-Low function of supersymmetric Yang-Mills theories from instanton calculus. // Nucl.Phys.B, Vol.229, P.381-404, 1983.

290. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainshtein A.I. and Zakharov V.I. -Exact Gell-Mann-Low function in supersymmetric electrodynamics. // Phys.LettB, Vol.166, P.334-342, 1986.

291. Arkami-Hamed N., H.Murayama H. Renormalization group invariance of exact results in supersymmetric gauge theories. // Phys.Rev.D, Vol.57, P.6638-6648, 1998.

292. Ivanov E.A., Ketov S.V. and Zupnik B.M. Induced hypermultiplet self-interactions in N=2 gauge theories. // Nucl.Phys.B, Vol.509, P.53-82, 1998.

293. Ketov S.V. Analytic tools to brane technology in N=2 gauge theories with matter. // Forsch.Phys., Vol.47, P.643-703, 1999.

294. Fre P., Lectures on special Kahler geometry and electric-magnetic

295. Grisaru M.T., Siegel W. and Rocek M. Improved methods for supergrapha. // Nucl.Phys.B,'Vol.159, P.429-442, 1979.

296. Hayashi Т., Ohshima Y., Okuyama K. and Suzuki H. Invariant regularization of supersymmetric chiral gauge theory. // Proc.Theor.Phys., Vol.100, P.627-625, 1998.

297. Pletnev N.G., Banin A.T. Covariant technique of derivative expansion of one loop effective action. 1. // Phys.Rev.D, Vol.60, P.105017-1-20, 1999.

298. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Low-energy effective action of N=2 gauge multiplet induced by hypermultiplet matter. // NucI.Phys.B, Vol.598, P.371-399, 2001.

299. Banin A.T., Pletnev N.G. Application of symbol operator technique for effective action computation. // Int.J.Mod.Phys.A, Vol.17, P.825-828, 2002.

300. A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev. On low-energy effective action in N=2 super Yang-Mills theories on nonabelian background. // Phys.Rev. D66, No4, 045021-113, 2002. e-Print Archive: hep-th/0205034