Обобщенное каноническое квантование теории бозонных струн в фоновых полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Тодер, Георгий Борисович

• Тодер, Георгий Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тодер, Георгий Борисович

Содержание

Введение

1 О возможности построения квантовой калибровочно-инвариантной формулировки классической некалибровочной теории

1.1 Постановка задачи

1.2 Стандартная схема БФВ-квантования для классических калибровочных теорий

1.3 Квантовая калибровочно-инвариантная БФВ-формулировка некалибровочной классической теории

1.4 Введение в технику символов операторов

2 БФВ-квантование замкнутой бозонной струны в фоновых полях

2.1 Классическое действие и гамильтониан теории

2.2 Выбор упорядочения операторов

2.3 *-коммутаторы и фундаментальные свёртки

2.4 Конформно-инвариантная квантовая формулировка теории

3 Каноническое квантование открытой бозонной струны в фоновых полях

3.1 Исходная формулировка теории

3.2 Упорядочение канонических операторов

3.3 Регуляризованные фундаментальные свёртки

3.4 Квантовая алгебра операторов Вирасоро и конформно-инвариантная квантовая формулировка теории

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенное каноническое квантование теории бозонных струн в фоновых полях»

Введение

Вторая половина двадцатого века ознаменовалась значительным прогрессом в теоретическом описании элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий. Появилась квантовая теория поля (КТП), физические концепции и формальный аппарат которой представляют собой логически последовательную основу для описания взаимодействий элементарных частиц, основные идеи, методы и результаты КТП изложены, например, в книгах [1] - [5].

Вслед за квантовой электродинамикой (КЭД) построены теория электрослабых взаимодействий (ТЭВ) и квантовая хромодинамика (КХД) — теория сильных взаимодействий — калибровочные теории (теории Янга - Миллса [6]), отвечающие группам внутренней симметрии 5С/(2) х ¿7(1) и 5£/(3) соответственно. Обе теории подтверждаются экспериментально, хотя и в различной степени. Стало реальным объединить указанные выше теории в одну так называемую теорию великого объединения (ТВО), в которой все взаимодействия неразличимы при энергиях выше 1015 Гэв и содержится низкоэнергетическая подгруппа 577(3) х 577(2) х ?7(1).

Энергии объединения ТВО в настоящее время недостижимы, но ещё более далеки от прямой экспериментальной проверки характерные масштабы масс в квантовой гравитации (масса Планка порядка (Тгс/Ог)1/2 « 1019 Гэв), и реальная надежда проверить теорию квантовой гравитации всегда состояла в том, что в процессе её последовательного построения можно понять, как она должна объединяться с другими фундаментальными силами. Единая теория гравитации и других взаимодействий могла бы однажды через свои следствия выйти на эксперимент путём предсказания новых явлений при высоких, но достижимых энер-

гиях. Поэтому, когда выяснилось, что идея Янга и Миллса может быть обобщена на любую компактную группу Ли, и было показано, что на гравитацию можно смотреть как на неабелеву калибровочную теорию, появилась новая возможность единообразного описания материального мира.

Тем не менее, гравитация долго оставалась в стороне: между ней и теориями Янга - Миллса имеется огромная разница: теории Янга -Миллса формулируются на многообразии с заранее заданной топологией и являются перенормируемыми, а ОТО (общая теория относительности) описывает геометродинамику пространства-времени и оказывается неперенормируемой. Трудности усугублялись сложностью выбора симметрии, подходящей для объединения гравитационного взаимодействия с другими: первое основано на пространственно-временной симметрии, тогда как остальные связаны с внутренними калибровочными симметриями. Алгебры симметрии, нетривиальным образом связывающие пространство-время и внутренние пространства, были найдены [7, 8, 9] и названы суперсимметриями. Закон умножения в них включает как коммутаторы, так и антикоммутаторы. Появилась возможность создания калибровочных теорий суперсимметрии, в которых все взаимодействия должны иметь геометрическое происхождение и до нарушения суперсимметрии различия между материальными и калибровочными полями быть не должно. Другими словами, эти фундаментальные составляющие материи должны образовывать неприводимое представление калибровочной группы суперсимметрии. Так как статистика бозонов и фермионов различна, алгебраическая структура должна приводить к преобразованию частиц одного сорта в частицы другого сорта и наоборот.

В качестве калибровочной теории суперсимметрии в 1976 году по-

явилась супергравитация [10, 11] , возродившая мечту о единой полевой теории и осмысленной квантовой гравитации, тем более, что теория N = 1 - супергравитации оказалась перенормируемой.

Было показано, что так называемая N - расширенная супергравитация содержит — 1)/2 векторных полей, то есть столько, сколько нужно для введения калибровочной 50(]V) - симметрии. Поэтому мы приходим к выводу, что, если считать частицы со спинами 0 и 1/2 полями материи, то в супергравитации достигаются две фундаментальные цели: объединение пространственно-временной и внутренних локальных симметрий в единой калибровочной теории и объединение калибровочных и материальных нолей в единое неприводимое представление группы симметрии. Вследствие этого можно рассматривать материальные и калибровочные частицы как различные "поляризации" одной суперчастицы. N = 8 - супергравитация со спонтанно нарушенной симметрией, например, описывает почти всю феноменологию элементарных частиц [12] . (По суперсимметрии и по супергравитации имеются следующие книги [12] - [15].)

Основной качественной чертой супергравитации является инвариантность относительно локальных преобразований суперсимметрии. Аналогами полей Янга - Миллса, отвечающими локализации суперсимметрии, являются поля спина 3/2 — гравитино. Обладая многими другими важными свойствамиг супергравитация является первым примером теории, включающей поля спина 3/2, взаимодействующие с другими полями. Однако, до сих пор приходится ограничиваться моделями супергравитации, не содержащими поля со спином 5/2 и выше. Нетривиальные теории безмассовых полей высших спинов явились бы следующим звеном в цепи уже известных калибровочных теорий спина 1 (теории Янга - Миллса, в том числе ТЭВ и ТВО), спина 2 (гравитация),

спина 3/2 (супергравитация),

Проблема построения непротиворечивой теории полей высших спинов впервые была поднята Дираком [16] как задача обобщения его знаменитого уравнения для поля спина 1/2. В тридцатые годы Фир-цем и Паули [17] развивалась теория массивных частиц высших спинов. Теоретико - групповой подход учёных1 базировался на физических требованиях лоренц - инвариантности и положительности энергии. Введение взаимодействия приводило к изменению числа степеней свободы, и, следовательно, к трудностям, связанным с проблемой несогласованности свободной теории и теории с взаимодействием. Однако, в середине шестидесятых годов началось открытие многочисленных сильновзаимо-действующих резонансных частиц со спинами больше двух, и, кроме того, частицы с высоким спином появлялись в квантовой гравитации. (Подробно о квантовой гравитации см. в книге [20] .) Поэтому необходимость и желание построить непротиворечивую квантовую динамическую теорию полей высших спинов, включающую их взаимодействие, заставили теоретиков вновь заняться этой проблемой.

Волновые уравнения, описывающие свободные массивные частицы со спином больше двух, рассматривались многими авторами (например, [21] - [23], см. также [24] и имеющиеся там ссылки; современная точка зрения на проблемы, связанные с построением непротиворечивой теории полей высших спинов, высказывается в книге [1]). Однако, в связи с достижениями калибровочных теорий и созданием супергравитации, более актуальным стало изучение безмассовых частиц произвольного спина (свободные уравнения, описывающие их, были получены в работах [22, 23] , некоторые безмассовые поля рассматривались также в [5]).

Фигнер [Щ и Баргман и Внгпер [19] показали, что поля элементарных частиц отвечают неприводимым представлениям группы-Пуанкаре.

Попытки введения гравитационного взаимодействия безмассовых полей высших спинов (см., например, [25], [26]), последовавшие вскоре после открытия супергравитации, столкнулись с трудностями, суть которых в том, что стандартное введение калибровочного взаимодействия разрушает калибровочные симметрии высших спинов. Но гравитационное взаимодействие присуще любой материи, поэтому авторы работ [27], [28] пришли к выводу, что при решении проблемы построения непротиворечивого гравитационного взаимодействия безмассовых полей высших спинов должны играть роль следующие два обстоятельства: 1) любая непротиворечивая теория, включающая в рамках гравитации хотя бы одно безмассовое поле спина больше двух, содержит бесконечное число полей с неограниченно возрастающими спинами; 2) взаимодействие полей высших спинов неаналитично по кривизне фонового пространства (отсутствует плоская контракция неабелевой симметрии высших спинов). Однако, оба свойства не противоречат возможности разумной физической интерпретации обладающих ими теорий. В частности, второе свойство относится к фазе с ненарушенными симметриями высших спинов, а не к реальному миру, в котором, так же , как и обычная локальная суперсимметрия в суперг.равитации, симметрии полей высших спинов должны быть нарушены. Одновременно с этим нарушением изменит своё значение космологическая постоянная, а поля высших спинов приобретут массу.

В работе [27] построена теория, описывающая взаимодействие полей высших спинов с гравитацией и обладающая расширенной суперсимметрией, найдены бесконечномерные глобальные супералгебры высших спинов в пространстве де Ситтера, разработан формализм для калибровочных полей высших спинов, который в случае свободных полей оказался полностью эквивалентен теории, представленной в [22, 23].

Основываясь на этих результатах, авторы предположили, что полные уравнения для безмассовых ж вспомогательных полей имеют структуру, характерную для свободных дифференциальных алгебр. В работе [28] выяснялась конкретная структура действия теории и её истинная локальная симметрия (см. также [29] - [33]).

Теории суперчастиц произвольного спина строились на многообразиях различной размерности. Вообще, в поисках единой теории поля физики неоднократно приходили к конструкциям в пространстве размерности И > 4. В настоящее время предполагается (например, в струнных теориях), что наблюдаемый мир является лишь низкоэнергетическим приближением реального, а остальные размерности компактифицированы и имеют характерные размеры порядка планковского масштаба (механизм компактификации не найден, но его различные варианты разбирались во многих работах, например, в [34] - [36], о компактификации многообразий в рамках М - теории см., например, обзор [37]).

Впервые теория с дополнительными измерениями рассматривалась ещё Калуцей и Клейном [38, 39] (позже её анализ проводили Эйнштейн и Баргман [34]), как способ объединения гравитации и электромагнетизма. Неабелево обобщение теории Калуцы - Клейна впервые было упомянуто в книге [4].

В современных теориях N - расширенной супергравитации одним из способов ликвидации трудностей, связанных с незамкнутостью групповой супералгебры, является размерная редукция2, идея котой состоит в следующем: в пространстве £>(> 4) измерений3 формулируется супер-

20 размерной редукции в КТП см., например, в [2], в супергравитации — в [20].

3Хорошо известно [40], что в О > 4 - мерном пространстве-времени неприводимое представление группы Пуанкаре характеризуется не двумя числами — спином и массой, как в четырехмерна, а большим их количеством. Представление задаётся так называемым старшим весом. Поэтому необходимо всякий раз оговаривать, что понимается под спином в каждом рассматриваемом случае (см. также

гравитация? а затем дополнительные координаты устраняются путём некоторой редукции и получается N - расширенная супергравитация в пространстве Минковского М(3; 1). В связи с этим возникает необходимость изучать различные свойства расширенных моделей, анализируя их в пространстве В > 4 измерений (см., например, [12]).

Таким образом, с современной точки зрения, для создания единой теории наличие литттних измерений является преимуществом, а не недостатком. Кроме того, совершенно ясно, что должна существовать простая и эффективная геометрическая формулировка теории, наделённой свойствами супергравитации, включающей поля высших спинов и являющейся динамической теорией: некоторого суперпространства.

В настоящее время единственным реальным претендентом на роль единой теории, является теория суперструн, обладающая описанными

выше свойствами. (Этой теме посвящены, например, монографии [42], [«]•)

Струнные модели появились в физике на рубеже шестидесятых -семидесятых годов [44] при попытках описания механизма сильных взаимодействий. Струны представляют собой одномерные объекты с длиной порядка Ю-35 м, ненаблюдаемой в настоящее время. Их динамика разворачивается на двумерной поверхности — мировом листе — в фоновом многообразии (П - мерном пространстве-времени) и описывается геометрическим образом. Бозонные модели имеют смысл в двадцати шести, а фермионные и суперструнные — в десяти измерениях. В струнном спектре имеются безмассовые частицы и массивные частицы различного спина. В частности, в секторе замкнутых струн появляется безмассовая частица спина 2, чьё взаимодействие аналогично взаимодействию в ОТО, поэтому её можно интерпретировать как гравитон. Безмассо-

работу [41]).

вые состояния открытых струн соответствуют векторным полям Янга - Миллса. Таким образом, струны включают все известные взаимодействия.

Динамика струн описывается двумерной перенормируемой квантовой теорией. Именно факт перенормируемости выделяет одномерные струны по сравнению с их аналогами большей размерности ( которые называются р - бранами, где р — размерность объекта). Квантовая теория возмущений для струн может быть сформулирована на языке функциональных интегралов с суммированием по всем возможным топологиям мирового листа, п - петлевая фейнмановская диаграмма для струны представляется замкнутой двумерной поверхностью с п ручками. Она содержит фактор , где — константа связи, соответствующая взаимодействию струн (см., например, [42]). В каждом порядке ряда теории возмущений имеется: только одна диаграмма, представляющая собой конечномерный интеграл, не содержащий ультрафиолетовых расхо-димостей, что приводит к возможности непротиворечивого включения квантовой гравитации в рамках пертурбативной теории струн.

Первая непротиворечивая модель струны, включающая бозоны и фермионы и реализующая суперсимметрию, была построена в работах Рамона [45] и Невё и Шварца [46, 47]. На мировом листе такой суперструны имеются различные суперполя, в том числе, описывающие грассма-новы степени свободы, которые связаны с суперсимметрией и калибровочными симметриями. Шерк и Шварц [48] предложили рассматривать такие суперструнные модели как единую теорию поля. Было показано, что из теории могут устраняться тахионы (состояния с отрицательным квадратом массы), а также, что в фоновом многобразии размерности В = 10 число фермионныхи бозонных степеней свободы становится равным, если потребовать, чтобы фермионы удовлетворяли одновременно

вейлевскому и майорановскому условиям. Суперсимметрия новой теории была окончательно доказана в работе [49].

В настоящее время известно пять самосогласованных пертурба-тивных теорий суперструн, "живущих" в десятимерном пространстве с девятью пространственными и одним временным измерениями. Это суперструны типов I, НА, ПВ (см., например, [42], [43]) и гетеротические Е% х -Е<8 и ЗО(32) модели суперструн, предложенные впервые в работе [50] (см. также [42], [43]).

Благодаря недавним открытиям новых нетривиальных симме-трий, названных 5 - и Т - дуальностями [51] - [53], [54], было показано, что все пять теорий суперструн могут быть объединены в рамках одной теории, описывающей динамику струн и объектов большей размерности (р - бран). Это так называемая М - теория, которая формулируется в одиннадцатимерном пространстве с десятью пространственными и одним временным измерениями, обладает очень богатой внутренней структурой, включающей, что очень важно, непертурбативные явления (см., например, обзоры [37, 55]). р-мерные мембраны могут существовать только в определённым образом компактифицированных пространствах строго определённых размерностей. В частности, 1-браны (струны), "живущие" в десятимерном пространстве- времени, возникают в результате компактификации одиннадцатого пространственного измерения за счёт особой формы 2-бран, динамика которых развивается в одиннадцатимерии (подробнее см., например, [37]).

Кроме того, считается, что в М - теории имеется некоторое число вакуумных состояний. Различные типы суперструн отвечают возмущениям неэквивалентных вакуумов, а соответствующие теории переводятся одна в другую нетривиальными преобразованиями, которые изменяют специальным образом либо способ компактификации одиннадцато-

го (пространственного) измерения, либо размер компактифицированного измерения (Т - дуальность), либо значение константы связи теории (5 - дуальность). Интересно отметить также, что разрешённые механизмы компактификации оставшихся шести "лишних"4 пространственных измерений для всех пяти типов теорий различаются между собой [37].

Прогресс М - теории5, значительно расширяющей рамки теории струн, связан, прежде всего, с тем, что, благодаря наличию дуальности, теории, допускающие пертурбативные методы анализа, и теории, в принципе непертурбативные, взаимосвязаны и дополняют друг друга: в них исследуются различные аспекты (например, пертурбативные и непертурбативные) одних и тех же явлений. Поэтому в настоящее время имеется надежда на то, что М - теория позволит решить фундаментальные проблемы теории струн, а именно, описать геометрию фонового пространства и построить теорию взаимодействующих струн как единую теорию, описывающую все виды частиц и фундаментальных взаимодействий.

Несмотря на значительные успехи и прогресс теории суперструн, до сих пор не существует последовательной схемы, описывающей силь-новзаимодействующие струны (хотя в последние 3-4 года наметилось продвижение в понимании непертурбативных свойств этой теории). Поэтому для изучения взаимодействия струн используются различные низ-

4с точки зрения наблюдателя, живущего в четырёхмерном пространстве-времени

5В настоящее время теория струн и р-бран нагила применение в исследованиях свойств чёрных дыр (см., например, работы [55], [56]). В частности, в рамках М-теории с помощью техники /9-бран [57] - [59] методами квантовой статистической физики впервые вычислена энтропия чёрной дыры

[60]. Также на базе м -теории рассматриваются непертурбативные модели, в которых теория с гравитацией на многообразии эквивалентна теории без гравитации на границе границе многообразия

[61] - [63]. (Последнее может означать, что ОТО не является фундаментальной теорией, и, следовательно, не обязана быть перенормируемой.) Некоторые аспекты таких моделей могут пролить свет на конфайнмент кварков [64].

коэнергетические приближения. Одним из наиболее разработанных пер-турбативных методов анализа струнных теорий является сг-модельный подход [65] - [70], в котором изучаются струны, взаимодействующие с фоновыми полями, принадлежащими их собственному спектру. Фундаментальное достижение, полученное в рамках этого подхода состоит в том, что условия квантовой конформной инвариантности теории ведут к эффективным уравнениям движения для фоновых полей.

Теории струн с безмассовыми фоновыми полями (за исключением дилатона) классически конформно-инвариантны, то есть источником эффективных уравнений является условие сокращения квантовой конформной аномалии. Однако, если в действие включены дилатон, тахион и любое массивное фоновое поле высших уровней, теория струн не обладает конформной инвариантностью на классическом уровне, поэтому требование квантовой конформной инвариантности означает, по существу, что некалибровочная классическая теория, зависящая от системы параметров, используется для построения квантовой теории, являющейся калибровочно - инвариантной при некоторых специальных значениях этих параметров. Следовательно, возникает общая проблема квантования физических систем, в которых подобное явление может иметь место.

В ковариантном подходе к теории струн с использованием функционального интеграла эта задача решается следующим образом [71]. Динамическими переменными считаются только координаты струны в объемлющем В - мерном пространстве-времени, а компоненты двумерной метрики считаются фоновыми полями, и функциональное интегрирование по ним не ведётся. На результат интегрирования накладывается требование вейлевской инвариантности, которое приводит к конечномерному интегралу по струнным мировым листам различной топологии и к эффективным уравнениям для фоновых полей.

Канонический подход является наиболее естественным методом квантования, поэтому возникает проблема описания механизма, имеющего место в ковариантном подходе, на языке канонического квантования. Наиболее общей реализацией процедуры канонического квантования классических калибровочных теорий является метод Батали-на - Фрадкина - Вилковыского (БФВ-метод) [72] - [74], согласно которому сначала строится гамильтонова формулировка классической теории, в частности определяются все связи и их алгебра, строятся фер-мионный производящий функционал О и гамильтониан Н. Требования нильпотентности и сохранения во времени оператора О приводят к калибровочно-инвариантной квантовой теории.

Теории струн, взаимодействующих с массивными полями, тахионом и дилатоном, не являются калибровочными на классическом уровне (см., например, [75] - [77]), следовательно невозможно построить функционал по стандартному рецепту и требуется специальная схема, позволяющая развивать квантовую калибровочную теорию струн в фоновых полях в рамках БФВ-метода.

Диссертация посвящена проблеме построения общей схемы, позволяющей формулировать в рамках БФВ-квантования калибровочно-инвариантную квантовую теорию по классической теории, не обладающей этой инвариантностью, ж применению этой схемы к задаче получения эффективных уравнений движения для массивных фоновых полей из спектра бозонных струн.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении сделан литературный и исторический обзор, обоснована актуальность и описана структура диссертации.

В первой главе кратко изложена стандартная процедура БФВ-квантования. Представлен рецепт, позволяющий в рамках БФВ-подхода сформулировать квантовую калибровочно-инвариантную теорию по некалибровочной классической модели, зависящей от параметров. Получен общий вид уравнений, которым должны удовлетворять параметры, чтобы квантовая калибровочная теория имела место. В этой же главе обсуждается проблема упорядочения операторов в квантовой теории и дано краткое описание техники символов операторов.

Во второй главе изучается теория замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с собственными фоновыми полями трёх низших уровней: основного (тахионного), безмассового и первого массивного. Представленная в первой главе схема квантования применена к рассматриваемой теории. Предложен общий подход к проблеме выбора упорядочения операторов о теориях взаимодействующих струн, позволивший получить ограничения на тип упорядочения операторов осцилляторных мод разложений струнных переменных, следующие из требования согласованности со свободной теорией, и найти семейство допустимых способов упорядочения. При расчётах использовано упорядочение, принадлежащее этому семейству. Вычисления производились в терминах символов операторов. Для этого определены фундаментальные свёртки операторов динамических переменных, регуляризированные предложенным в работе методом. Построена квантовая конформно - инвариантная формулировка теории. Получены эффективные уравнения для фоновых полей и условие независимости конформного фактора двумерной метрики от координат мирового листа струны, которые выступают как условия существования такой формулировки.

В третьей главе исследуется теория открытой бозонной струны, взаимодействующей с собственными фоновыми полями трёх низших

уровней: основного (тахионного), безмассового и первого массивного. Обсуждается структура уравнений движения и граничных условий для струнных координат, а также возможные способы определения канонически сопряжённых импульсов для теории с взаимодействием на границе мирового листа. Найдено согласованное со свободным случаем семейство упорядочения операторов динамических переменных и вычислены регуляризированные фундаментальные свёртки, соответствующие выбранному упорядочению. Предложенным в первой главе методом проведено квантование теории и построена её конформно-инвариантная формулировка. Получены эффективные уравнения для фоновых полей и условие независимости конформного фактора двумерной метрики от координат мирового листа струны. Показано, что квантовая калибровоч-но - инвариантная теория имеет место, только если поля и конформный фактор удовлетворяют найденным уравнениям.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Тодер, Георгий Борисович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [142] - [150].

В заключение автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям: доктору физико-математических наук И.Л. Бухбиндеру и кандидату физико-математических наук В.Д. Пер-шину за постановку задач, плодотворное сотрудничество и поддержку в работе.

Автор благодарен также A.A. Печерицыну, С.Н. Юрченко за помощь в решении организационных вопросов.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы, выносимые на защиту.

1. В рамках расширенного канонического формализма предложена схема, позволяющая в принципе, не расширяя исходное фазовое пространство динамических переменных, строить по классической некалибровочной теории, зависящей от параметров, квантовую калибровочно-инвариантную теорию. Получены общие уравнения, которым должны удовлетворять параметры, обеспечивающие квантовую калибровочную инвариантность.

2. Предложенная схема применена к теориям замкнутой и открытой бозонных струн, взаимодействующих с фоновыми полями низших уровней, построены квантовые конформно-инвариантные формулировки этих теорий.

3. Предложен общий подход к проблеме выбора упорядочения, позволивший найти семейство способов упорядочения операторов струнных мод, допускаемых свободными моделями бозонных струн. Найден явный вид ограничений на параметры упорядочения. Развита техника регуляризации свёрток операторов динамических переменных. Определены регуляризованные свёртки, соответствующие упорядочению операторов мод струнных переменных, согласованному со свободными теориями.

4. В терминах символов операторов с использованием найденных свёрток вычислены квантовые калибровочные алгебры операторов Ви-расоро рассмотренных теорий с точностью до членов, линейных по фоновым полям.

5. Построен фермнонный производящий оператор алгебры. Из требований нильпотентности и сохранения во времени этого оператора получены уравнения для фоновых полей — тахиона, безмассовых полей и полей первого массивного уровня. Уравнения оказываются согласованными со структурой спектра соответствующих струнных теорий. Тем самым продемонстрировано, что а - модельный подход приводит к корректным эффективным уравнениям для фоновых полей, включая условия поперечности и бесследовости. Также показано, что возникает дополнительное условие независимости конформного фактора двумерной метрики от координат мирового листа струны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тодер, Георгий Борисович, 1998 год

Список литературы

[1] Weinberg S. The Quantum Theory of Fields - Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1996. Vol.1 - 610 pp., Vol.2 - 490 pp.

[2] Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей - М., Наука, 1984 - 600 сс.

[3] Идиксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. - М., Мир, 1984, Т.1 - 448 е., Т.2 - 400 сс.

[4] Девитт Б.С. Динамическая теория групп и полей.- М., Наука, 1987.- 288 сс.

[5] Швингер.Ю. Частицы, источники, поля. Т.1 - М., Мир, 1973. -480 сс.

[6] Yang C.N., Mills R.L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. // Phys. Rev., 96, P. 191-195, 1954.

[7] Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности. // Письма в ЖЭТФ., Т. 13, N 8., С. 452-455, 1971.

[8] Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино. // Письма в ЖЭТФ., N 11, С. 621-624, 1972.

[9] Wess J., Zumino В. Supergauge transformations in four dimensions. // Nucl. Phys.B, Vol. 70, N1, P. 9-50, 1974.

[10] Freedman D.Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress toward a theory of supergravity. // Phys. Rev. D, Vol. 13, P. 3214-3218, 1976.

[11] Deser S., Zumino B. Consistent Supergravity. // Phys. Lett.B, Vol. 62, P. 335-337, 1976.

[12] 1.1.Buchbinder, S.M.Kuzenko. Ideas and methods of Supersymmetry and Supergravity or a Walk Through Superspace. - IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1995. - 607 pp.

[13] Gates S.J., Grisary M., Rocek M., Siegel W. Superspace or Thousand and One Lessons in Supersymmetry. - Benjamin/Cummings, 1983. -548 pp.

[14] Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация.- М., Мир, 1986. - 184 сс.

[15] Уэст. П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. -М.,Мир, 1989 - 250 сс.

[16] Dirac Р.А.М. Relativistic wave equations. // Proc. Roy. Soc., A155, P. 447-459, 1936.

[17] M.Fierz, Pauli W. On relativisti wave equations for particles of arbitrary spin in electromagnetic field. // Proc. Roy. Soc., A173, P. 211-232, 1939.

[18] Wigner E. Unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group. // Ann. Math., Vol. 40, N 1., P. 149-204, 1939.

[19] Bargmann V., Wigner E.P. Group theoretical discussion of relativistic wave equation. // Proc. Nat. Acad. Sciences (USA), 34, P. 211-221, 1948.

[20] Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L. Effective Action in Quantum Gravity. - IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1992. - 413 pp.

[21] Singh L.P.S., Hagen C.R. Lagrangian formulation for arbitrary spin I. The boson case. // Phys. Rev. D., Vol. 9, N 4, P. 898-909, 1974.

[22] C.Fronsdal Massless fields with integer spin. // Phys. Rev. D, Vol 18, P. 3624-3629, 1978.

[23] J.Fang, C.Fronsdal Massless fields with half integral spin. // Phys. Rev. D, Vol. 18, P. 3630-3633, 1978.

[24] Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. - М., Наука, 1990. - 390 се.

[25] Berends F.A., G.J.H. Burgers, van Dam H. On the theoretical problems in constructing interactios involving higher spin massless particles. // Nucl. Phys. B, Vol. 260, P. 295-322, 1985.

[26] Васильев M.A. "Калибровочная" форма описания безмассовых полей произвольного спина. // ЯФ, Т. 32, вып. 3(9), С. 855-861, 1980.

[27] Fradkin E.S., Vasiliev M.A. Cubic interaction in extended theories of massless higher-spin fields. // Nucl. Phys. B, Vol. 291, P. 141-171, 1987.

[28] Fradkin E.S., Vasiliev M.A. On the gravitational interaction of masless higher-spin fields. // Phys. Lett. B, Vol. 189, N 1-2, P. 89-95, 1987.

[29] Vasiliev M.A. Dynamics of massless higher spins in the second order in curvatures. // Phys. Lett. B, Vol. 238, P.305-314, 1990.

[30] Fradkin E.S., Linetsky V.Ya. Conformal superalgebras of Higher Spins. // Ann. Phys.,Vol. 198, P. 252-292, 1990.

[31] Vasiliev M.A. Consistent equations for interacting massless fields of all spins in the first order in curvatures. // Ann. Phys. (USA), Vol. 190, P. 59-106, 1989.

[32] Buchbinder I.L., Shvartsman Sh.M. Derivation of the actions for the relativistic particles with arbitrary spins. // Int. J. Mod. Phys. A, Vol.8, P.683-703, 1993.

[33] Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Sibiryakov A.S. Quantization of Higher Spin Superfields in the Anti-de Sitter Superspace. // Phys. Lett. B, Vol. 352, P.29-36, 1995.

[34] Einstein A., Bergmann P. On a generalization of Kaluza's theory of electricity. // Ann. Math, 39, 683, 1938.

[35] Duff M.J., Nilsson B.E.W., Pope C.N. Kaluza-Klein supergravity. // Phys. Rept. Vol. 130, N 1-2, P. 1-142, 1986.

[36] Ходос А. Теории Калуцы-Клейна: общий обзор. // Успехи физ. наук Т.146, вып. 4, С. 647-654, 1985.

[37] Sen A. An Introduction to Nonperturbative String Theory. - hep-th/9802056, 129 pp, 1998.

[38] Kaluza.Th.//On the problem of unity in physics. // Sits. Press. Akad. Wiss, Kl, P. 966-981, 1921.

[39] Klein O. Quantentheorie und fudimensionale Relativistatstheorie. // Z. Phys, 37, P. 895-906, 1926.

[40] Хамермеш M. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. - М., Мир, 1966. - 587 сс.

[41] Тодер Г.Б. Каноническая формулировка теории свободного массивного поля произвольного целого спина. // Известия Вузов. Физика. N 2, С. 100-105, 1995.

[42] Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. - М., Мир, 1990. Т.1 - 518 сс.; Т. 2 - 656 сс.

[43] Бринк Л., Энно М. Принципы теории струн. - М., Мир, 1991. -296 сс.

[44] Veneziano G. Construction of a crossing-symmetric, Regge-behaved amplitude for linearly rising trajectories. // Nuovo Cim. A., Vol. 57, N 1, P. 190-197, 1968.

[45] Ramond P., Dual theory for free fermions. // Phys. Rev. D., Vol. 3., P. 2415-2418, 1971.

[46] Neveu A., Schwarz J.H. Factorizable dual model of pions. // Nucl. Phys. В., Vol. 31, P. 86-112, 1971.

[47] Neveu A., Schwarz J.H. Quark model of dual pions. // Phys. Rev. D., Vol. 4, P. 1109-1111, 1971.

[48] Scherk J., Schwarz J.H. Dual models for non-hadrons. // Nucl. Phys. В., Vol. 81., P. 118-144, 1974.

[49] Green M.B., Schwarz J.H. Supersymmetrical dual string theory. // Nucl. Phys. В., Vol. 181, P. 502-530, 1981.

[50] Gross D.J., Harvey J.A., Martinec E., Rohm R. The Heterotic String. Phys. Rev. Lett., 54, 502-505, 1985.

[51] Witten E. String Theory Dynamics in variuos Dimensions. // Nucl. Phys. B, Vol. 443, 85-126, 1995.

[52] Townsend P.K. The eleven Dimensional Supermembrane revisited. //Phys. Lett. B, Vol. 350, 184-187, 1995.

[53] Horava P., Witten E. Heterotic and Type I Strings Dynamics from eleven Dimensions. // Nucl. Phys. B, Vol. 460, 506-524, 1996.

[54] Giveon A., Poratti M., Rabinovici E. Target Space Duality in String Theory. // Phys. Rept., Vol. 224, 77-202, 1994.

[55] Peet A.W. The Bekenstein Formula and String Theory (N - brane Theory). //CI. Quant. Grav., 15, P. 3291-3338, 1998.

[56] Maldacena J. Black Holes in String Theory, Ph. D. Thesis. - Princeton Univ., UMI-96-27605. hep-th/9607235. -102 pp.

[57] Dai J., Leigh R., Polchinski J. New Connections between String Theories. // Mod. Phys. Lett. A4, 2073-2083, 1989.

[58] Polchinski J. Dirichlet - Branes and Ramond - Ramon Charge. // Phys. Rev. Lett. 75, 4724-4727, 1995.

[59] Polchinski J. TASI Lectures on D - Branes. NSE - TTP - 96 - 145, hep-th/9611050, 1990. - 63 pp.

[60] Strominger A., Vafa C. Microscopic origin of the Bekenstein - Hawking entropy. // Phys. Lett. B379, 99-104, 1996.

[61] Maldacena J.M. The large N limit of superconformal field theories and supergravity. // Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231-252, 1998.

[62] Gubser S.S., Klebanov I.K., Polyakov M.A. Gauge theory correlators from noncritical string theory. // Phys. Lett. B428, 105-114, 1998.

[63] Witten E. Anti-de Sitter Space and Hologrphy. // Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253-291, 1998.

[64] Witten E. Anti-de Sitter space, thermal phase transition and confinment in gauge theories. // Adv. Theor. Math. Phys. 2, 505-532, 1998.

[65] Lovelace C. Strings in curved space. // Phys. Lett. B, Vol. 135, N 1-3, P. 75-77, 1984.

[66] Fradkin E.S., Tseytlin A.A. Effectife action approach to superstring theory. // Phys. Lett. B, Vol. 160., P. 69-76, 1985.

[67] Fradkin E.S., Tseytlin A.A. Quantum sring theory effective action. // Nucl. Phys. B, Vol. 261, P. 1-27, 1985.

[68] Callan C., Friedan D., Martinec E., Perry M. Strings in background fields. // Nucl. Phys. B, Vol. 262, P. 593-609, 1985.

[69] Sen A. Heterotic string in an arbitrary background field. // Phys. Rev. D, Vol. 32, N 8, P. 2102-2112, 1985.

[70] Sen A. Equations of motion for the heterotic string theory from the conformal invariance of the sigma model. // Phys. Rev. Lett. Vol. 55, N 18, P. 1846-1849, 1985.

[71] Polyakov A.M. Quantum geometry of the bosonic strings. // Phys. Lett. B, Vol. 103, N 2, P. 207-211, 1981.

[72] Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Quantization of relativistic systems with constraints. // Phys. Lett. B, Vol. 55, N 2, P. 224-226, 1975.

[73] Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Relativistic ^-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints. // Phys. Lett. B, Vol. 69, N 3, P. 309-312, 1987.

[74] Fradkin E.S., Fradkina Т.Е. Quantization of relativistic systems with boson and fermion first- and second-class constraints. // Phys. Lett. B, Vol. 72, N 3, P. 343-348, 1978.

[75] Бухбиндер И.JI., Ляхович С.Л., Першин В.Д., Фрадкин Е.С. Операторная формулировка теории бозонной струны в фоновых полях - препринт 45 Томского нучного центра СО АН СССР, 1989, 31 сс.

[76] Buchbinder I.L., Fradkin E.S., Lyakhovich S.L., Pershin V.D. Generalized canonical quantization of bosonic string in background fields. // Int. J. Mod. Phys. A, Vol. 6, N 7, P. 1211-1231, 1991.

[77] Buchbinder I.L., Fradkin E.S., Lyakhovich S.L., Pershin V.D. Higher spins dynamics in the closed string theory. // Phys. Lett. B, Vol. 304, NN 3-4, P. 239-248, 1993.

[78] Kugo Т., Ojima I. Local covariant operator formalism of non-Abelian gauge theories and quark confinement problem. // Prog. Theor. Phys. Suppl., 66, 1-130, 1979.

[79] Batalin I.A., Lavrov P.M., Tyutin I.V. Extended BRST quantization of gauge theories in generalized canonical formalism. //J. Math. Phys. 31, N1, 6-13, 1990.

[80] Batalin I.A., Lavrov P.M., Tyutin I.V. An SP(2) covariant version of generalized canonical quantization of dynamical system with linearly dependent constraints. // J. Math. Phys. 31, N11, 2708-2717, 1990.

[81] Batalin I.A., Lavrov P.M., Tyutin I.V. An SP(2) covariant formalism of generalized canonical quantization of system with second - class constraints. // Int. J. Mod. Phys. A, Vol. 6, N20, 3599-3612, 1991.

[82] Batalin I.A., Fradkin E.S. Operatorial quantization of dynamical systems subject to constraints. A further study of the construction. // Ann. Inst. Henri Poincare, Vol. 49, N 2, P. 145-214, 1988.

[83] Batalin I.A., Fradkin E.S. Operator Quantization and Abelization of Dynamical Systems Subject to First-class Constraints. // Riv. Nuovo Cim. Vol. 9, N 10, P. 1-48, 1986.

[84] Henneaux M. Hamiltonian form of the path integral for theories with a gauge freedom. // Phys. Rept. Vol. 126, N 1, P. 1-66, 1985.

[85] Henneaux M., Teitelboim C., Quantization of Gauge System. -Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1992. - 520 pp.

[86] Friedan D. Nonlinear sigma models in 2 -1-е dimensions. // Ann. Phys. (USA) Vol. 163, N 2, P. 318-419, 1985.

[87] Alvarez-Gaume L., Freedman D.Z., Mukhi S. The background field method and the ultraviolet structure of the supersymmetric non-linear fr-model. // Ann. Phys. (USA) Vol. 134, N 1, P. 85-109, 1981.

[88] Tseytlin A.A. Sigma model approach to string theory. // Int. J. Mod. Phys. A., Vol. 4, N 6,- P. 1257-1318, 1989.

[89] Becchi C., Rouet A., Stora R. The Abelian Higgs Kibble models, unitarity of the S-operator. // Phys. Lett. B, Vol. 52., P. 344-346, 1974.

[90] Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторной формулировке. - Препр. ФИ АН N 39, 1975. - 56 сс.

[91] Marnelius R. Canonical quantization of Polyakov's string in arbitrary dimensions. // Nucl. Phys. B, Vol. 211, P. 14-38, 1983.

[92] Hwang S. Covariant quantization of the string in dimensions D < 26 using a Becchi-Rouet-Stora formulation. // Phys. Rev. D, Vol. 28, N 10, P. 2614-2620, 1983.

[93] Kato M., Ogawa K. Covariant quantization of string based on BRS invariance. // Nucl. Phys. B, Vol. 212, P. 443-460, 1983.

[94] Tseytlin A.A. Sigma-model Weyl invariance conditions and string equations of motion. // Nucl. Phys. B, Vol. 294, P. 383-411, 1987.

[95] Osborn H. Renormalization and composite operators in non-linear amodels. // Nucl. Phys. B, Vol. 294, P. 595-620, 1987.

[96] Buchbinder I.L., Shapiro I.L., Sibiryakov S.G. On Weyl invariance condition in string theory coupled with two - dimensional gravity. // Nucl. Phys. B, Vol. 445, P. 109-128, 1995.

[97] Buchbinder I.L., Krykhtin V.A., Pershin V.D. Massive field dynamics in open bosonic string theory. // Phys. Lett. B, Vol. 348, P. 63-69,

1995.

[98] И.Л.Бухбиндер, В.А.Крыхтин, В.Д.Першин. Открытая бозонная струна в массивных фоновых полях. // ЯФ, Т59, N2, С. 352-359,

1996.

[99] Dirac P.A.M. Generalized hamiltonian dynamics. // Canad. J. Math. Vol. 2, N 2, P. 129-148, 1950.

[100] Дирак П. Лекции по квантовой механике. Принципы квантовой механики. - М., Наука, 1979. - 480 сс.

[101] Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями. - М.,Лаука, 1986. - 216 сс.___

[102] Buchbinder I.L., Mistchuk B.R., Pershin V.D. BRST-BFV analisys of anomalies in bosonic string theory interacting with background gravitational field. // Phys. Lett. B, Vol. 353, P. 457-462, 1995.

[103] Бухбиндер И.Л., Бухбиндер Е.И., Мищук Б.P., Першин В.Д. Структура аномалии при каноническом квантовании бозонной струны в фоновых полях. // ТМФ Т. 108, N 2, С. 294-305, 1996.

[104] Бухбиндер Е.И., Мищук Б.Р. Вирасоровская аномалия в модели струны, взаимодействующей с фоновыми полями. // Известия ВУ-Зов.Физика. N 9, С. 223-226, 1996.

[105] Бухбиндер И.Л., Мищук Б.Р., Першин В.Д. Канонический анализ квантовой теории бозонной струны в безмассовых фоновых полях. // ЯФ, Т. 60, N 10, С. 1880-1887, 1997.

[106] Faddev L.D., Popov V.N. Feynman diagrams for the Yang - Mills field. // Phys. Let. B, Vol 25, P. 29-30, 1967.

[107] Marnelius R. Anomalous BRST quantization. // Nucl. Phys. B, Vol. 294, P. 685-699, 1987.

[108] Fubini S., Maharana J., Roncadelli M., Veneziano G. Quantum constraint algebra for an interacting superstring. // Nucl. Phys. B, Vol. 316, P. 36-58, 1989.

[109] Березин Ф.А., Шубин M.A. Уравнение Шредингера. - M., МГУ, 1983.- 392 сс.

[110] Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. - Л., ЛГУ, 1976. - 294 сс.

[111] Tseytlin A.A. Conformal anomaly in a two-dimensional sigma model on a curved background and strings. // Phys. Lett. B, Vol. 178, N 1, P. 34-40, 1986.

[112] Osborn H. General bosonic a models and string effective actions. // Ann. Phys. (USA) Vol. 200, P. 1-48, 1990.

[113] Osborn H. Weyl consistency conditions and a local renormalization group equation for general renormalisable field theories. // Nucl. Phys. B, Vol. 363, P. 486-526, 1991.

[114] Tseytlin A.A. String Cosmology and Dilaton. - Proc. of Int. Workshop on String Quantum Gravity and Physics at the Planck Energy Scale, Erice, Italy, 1992, ed. N.Sanches. - World Scientific, 1993. - 29 pp.

[115] Das S.R., Sathiapalan B. String propagation in a tachyon background. // Phys. Rev. Lett. Vol. 56, N 25, P. 2664-2667, 1986.

[116] Itoi C., Watabiki Y. Nonperturbative Effect in the Beta functions and the Equatios of Motion for String. // Phys. Lett. B, Vol. 198, P. 486498, 1987.

[117] Brustein R., Nemeschansky D., Yankielowicz S. Beta functions and S-matrix in string theory. // Nucl. Phys. B, Vol. 301, P. 224-246, 1988.

[118] Tseytlin A.A. On the renormalization group approach to string equations of motion. // Int. J. Mod. Phys. A, Vol. 4, N 16, P. 42494278, 1989.

[119] Ellwanger U., Fuchs J. String field equations and the dual S-matrix from the exact renormalization group. // Nucl. Phys. B, Vol. 312, P. 95-124, 1989.

[120] Hughes J., Liu J., Polchinski J. Virasoro-Shapiro from Wilson. // Nucl. Phys. B, Vol. 316, P. 15-41, 1989.

[121] Labastida J.M.F., Vozmediano M.A.H. Bosonic strings in background massive fields. // Nucl. Phys. B, Vol. 312, P. 308-340, 1989.

[122] Lee J.-C., Ovrut B.A. Zero-norm states and enlarged gauge symmetries of the closed bosonic string with massive background fields. // Nucl. Phys. B, Vol. 336, P. 222-244, 1989.

[123] Jain S., Jevicki A. String field theory from Weyl invariance. // Phys. Lett. B, Vol. 220, N 3, P. 379-386, 1989.

[124] Forste S. Generalized conformal invariance conditions on a sigma model of the open bosonic string including the first massive mode. // Ann. Physik. Vol. 1, P. 98-105, 1992.

[125] Akhoury R., Okada Y. Conformal Symmetry, Unitarity and the Equations of motion for Strings in background fields. // Nucl. Phys. B, Vol. 318, P. 176-210, 1989.

[126] Das A., Roy S. Nilpotency of Qbrst and background field equations. // Z. Phys. C, Vol. 36, P. 317-322, 1987.

[127] Maharana J., Veneziano G. Strings in a background: A BRS hamilto-nian approach. // Nucl. Phys. B, Vol. 283, P. 126-140, 1987.

[128] Das A., Maharana J., Roy S. BRST quantization of the superstring in background fields. // Phys. Rev. D, Vol. 40, N 12, P. 4037-4046, 1989.

[129] Alam S. Becchi - Rouet - Stora - Tyutin quantization of closed type - II superstring in curved background with torsion. // Phys. Rev. D, Vol. 40, P. 4047-4055, 1989.

[130] Wilkins A. Massive Fields and the 2-String. //Mod. phys. Lett. A, Vol. 13, 1289-1308, 1998.

[131] Buchbinder I.L. Towards string theory in massive background fields. // Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.), Vol. 49, 133-138, 1996.

[132] Luckock H. Quantum geometry of strings with boundaries. // Ann.Phys. Vol. 194, P. 113-147, 1989.

[133] Fradkin E.S., Tseytlin A.A. Nonlinear electrodynamics from quantized strings. // Phys. Lett. B, Vol. 163, P. 123-135, 1985.

[134] Tseytlin A.A. Vector field effective action in the open superstring theory. // Nucl. Phys. B, Vol. 276, P. 391-332, 1986.

[135] Abouelsaood A., Callan C.G., Nappi C.R., Yost S.A. Open strings in background gauge fields. // Nucl. Phys. B, Vol. 280, P. 599-624, 1987.

[136] Dorn H., Otto H.-J. Open bosonic strings in general background fields. // Z. Phys. C, Vol. 32, P. 599-607, 1986.

[137] McAvity D.M., Osborn H. Quantum field theories on manifolds with curved boundaries: scalar fields. // Nucl. Phys. B, Vol. 394, P. 728-788, 1993.

[138] McAvity D.M., Osborn H. Conformal field theories near a boundary in general dimensions. // Nucl. Phys. B, Vol. 455, P. 522-576, 1995.

[139] Dorn H., Preufi V. Operator product expantion of the energy momentum-tensor in 2D conformal field theories on manifolds with boundary. // Phys. Lett. B, Vol. 321, P. 355-360, 1994.

[140] Leigh R.G. Dirac - Born - Infeld Action from <r-model. // Mod. Phys. Lett. A, Vol. 4, N 28, 2767-2772, 1989.

[141] Hawking S.W., Horowitz G.T. The Gravitation Hamiltonian, Action, Entropy and Surface Terms. // Class. Q. Grav. N 13, 1487-1498, 1996.

[142] Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. On a possibility to construct a gauge invariant quantum formulation for non-gauge classical theory. - Preprint Humboldt - Universität zu Berlin, Institut für Physik, HUB-EP-95/24., Berlin, 1995. - 19 pp. hep-th/9510113

[143] Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. On gauge invariant quantum formulation for non-gauge classical theory. // Mod. Phys. Lett. A., Vol.11, N19, P.1589-1595, 1996.

[144] Бухбиндер И.Л., Першин В.Д., Тодер Г.Б. Канонический анализ квантовой аномалии в теории бозонной струны в массивных фоновых полях. В сб. "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации". Тезисы докладов 9 Российской гравитационной конференции, Новгород, 24-30 июня 1996 г. - Москва, 1996, часть II, С. 141.

[145] Бухбиндер И.Л., Першин В.Д., Тодер Г.Б. Построение конформно инвариантной квантовой теории бозонной струны, взаимодействующей с фоновым тахионом. В сб. "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации". Тезисы докладов 9 Российской гравитационной конференции, Новгород, 24-30 июня 1996 г. -Москва, 1996, часть II, С. 142.

[146] Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. On a Canonical Formulation of String Theory in Massive Background Fields. Proceedings of Second International Sakharov Conference on Physics. Edited by I.M. Dremin and A.M. Semikhatov. - World Scientific, 1997. - P. 382-385.

[147] Бухбиндер И.Л., Першин В.Д., Тодер Г.Б. О возможности построения калибровочно-инвариантной квантовой формулировки для некалибровочной классической теории. // Известия ВУЗов. Физика. N 6, С. 18-24, 1997.

[148] Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. Canonical Approach to String Theory in Massive Background Fields. // Classical and Quantum Gravity. Vol. 14, N 3, P. 589-602, 1997.

[149] Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.B. Generalized canonical quantization of bosonic string model in massive background fields. // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.), Vol. 57,- P. 280-283, 1997.

[150] Pershin V.D., Toder G.B. On a Canonical Formulation of String Theory in Massive Background Fields. // Proceedings of Second International Conference "Quantum Field Theory and Gravity". Ed. I.L. Buchbinder and K.E. Osetrin., Tomsk State Pedagogical University, 1998. - P. 153-158.