Калибровочные теории в искривленном пространстве и метод Фока-Швингера Де Витта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Василевич, Дмитрий Владиславович

• Василевич, Дмитрий Владиславович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Василевич, Дмитрий Владиславович

Оглавление

1 Введение

2 Решение уравнений для фоновых полей

2.1 Введение

2.2 Модели Калуцы-Клейна

2.2.1 Метод решения и основной пример

2.2.2 Обзор решений

2.2.3 Суперсимметрия решений

2.3 Супермембрана

2.3.1 Компактификации супермембраны

2.3.2 Группа диффеоморфизмов

3 Гармонический анализ и асимптотики уравнения теплопроводности на однородных пространствах

3.1 Введение

3.2 Метод

3.2.1 Обзор результатов

3.3 Калибровочные симметрии и неминимальные операторы

3.3.1 Неминимальные операторы на кэлеровых многообразиях

3.3.2 Топологические эффекты на сферах

4 Индуцированная гравитация

4.1 Введение

4.2 Индуцирование Эйнштейновской гравитации

4.3 Проблема конформного фактора

4.4 Некоторые проблемы индуцированной гравитации

4.4.1 Возникновение динамических уравнений

4.4.2 Пятое фундаментальное взаимодействие?

4.4.3 Идуцированный потенциал кротовой норы

4.4.4 Дальнейшее развитие

5 Квантовые калибровочные теории в искривленном

пространстве

5.1 Введение

5.2 Квантовая электродинамика на искривленном фоне 60 5.2.1 БРСТ квантование

5.3 Гравитация на пространстве де Ситтера

5.3.1 Геометрический подход

5.3.2 Гамильтоново квантование

5.3.3 Гравитация Аштекара

5.4 Некоторые ошибочные результаты

5.5 Калибровочная инвариантность вне массовой оболочки

5.5.1 Параметризационная зависимость эффекта нарушения симметрии квантовыми поправками

5.5.2 Калибровочная зависимость в теории Янга-Миллса

Однопетлевое приближение на многообразиях с границей

6.1 Введение

6.2 Коэффициенты Фока-Швингера-ДеВитта

6.3 Калибровочная инвариантность

6.4 Инвариантные граничные условия в гравитации

6.4.1 Гравитация с динамическим кручением в 2-

х измерениях

6.4.2 Гравитация в 4-х измерениях

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Калибровочные теории в искривленном пространстве и метод Фока-Швингера Де Витта»

1 Введение

Метод собственного времени, будучи в принципе эквивалентным обычному диаграммному предеставлению, часто обладает значительными преимуществами. Такая ситуация возникает, если мы интересуемся скорее зависимостью функционального интеграла от внешних полей, чем конкретными амплитудами рассеяния. К подобным задачам относятся:

1. Геометрически или топологически нетривиальные фоновые поля. Особо выделяются задачи квановой гравитации и квантовой теории поля в искривленном пространстве.

2. Перенормировка в теориях с неполиномальным взаимодействием или с калибровочной симметрией сложной структуры. Опять же, хорошим примером являются гравитационные теории.

3. Задачи с искривленными границами или со сложными граничными условиями. Простейший пример - квантовая теория поля в шаре.

4. Метод собственного времени значительно упрощает вычисление аномалий.

Напомним, что для эллиптического дифференциального оператора второго порядка Ь ядром теплопроводности называется

с начальными условиями К(х, у; 0) = 6(х, у). Ядро (1) можно выразить через собственные функции фп и собственные значения Ап оператора Ь:

К(х, у; £) =< х\ ехр(—Ш)\у > . К(х,у^) удовлетворяет уравнению теплопроводности

(д, + Ь)К(х, у; {) = 0

(1)

(2)

К(х, у; 4) = ^ ехр(-<А„)фп(х)фп(у).

(3)

Другой интересный объект - проинтегрированное ядро

К {г) = J К(х,х-,г)йх = Тгехр(-1С) (4)

Существует асимптотическое разложение

п

где d - размерность многообразия. Для оператора типа Лапласа, п целое на многообразиях без границ. На многообразиях с границей п - полуцелое.

Разложение (5) имеет многочисленные приложения в математике и физике. Оно, разумеется, связано с теорией уравнения теплопроводности. Коэффициенты ап играют центральную роль в задаче о том, "как услышать форму барабана" [47]. В квантовой теории поля асимптотика при малых t соответствует ультрафиолетовой области в асимптотиках функций Грина, если L - вторая вариация классического действия.

Напомним следующее представление для функционального детерминанта

Г°° dt

In det L = / -K{t). (6)

Jo t

Из (6) ясно, что первые df 2 коэффициентов ап дают ультрафио-летовае расходимости в однопетлевом эффективном действии.

Математическая теория асимптотик ядра теплопроводности восходит к Адамару. Ее новейшее развитие тесно связано с именами Сили (R. Seeley) и Гилки (P. Gilkey), в честь которых коэффициенты ап часто называют коэффициентами Сили-Гилки. Приоритет в применении представления собственного времени в квантовой физике принадлежит В.А.Фоку [48]. Метод собственного времени получил распространение в теоретической физике благодаря усилиям Швингера и Де Витта.

Если Ь является оператором типа Лапласа, то есть представим в виде

+ (7)

при надлежащем выборе метрики, связности и эндоморфизма Е, известно довольно много членов разложения (5). Для многообразий без границ рекордным долгое время был результат Аврамиди [49], вычислившего Этот результат был недавно улучшен ван де Веном [50]. Для многообразий с границами и граничных условий типа Дирихле и Робина коэффициент аь/2 был вычислен Бренсоном, Гилки и Василевичем [51] при некоторых ограничениях на вид метрики, которые были сняты Кир-стеном [52].

Этих результатов, однако, еще не достаточно для всех практических приложений в квантовой теории поля. Одним из таких приложений являются многомерные модели. Вакуумное состояние в них имеет вид прямого произведения пространства Минковского на компактное внутреннее многообразие. Для исследования квантовых эффектов нужно знать высшие коэффициенты в асимптотике ядра теплопроводности, но достаточно ограничиться многообразиями весьма специального вида, имеющими высокую степень симметрии. Кроме того, желательно знать спектр кинетического оператора, а не только коэффициенты ап.

Наше исследование многомерных теорий, на которые возлагаются большие надежды в связи с объединением всех фундаментальных взаимодействий, начнем с классических решений. Чтобы описывать вакуумное состояние, решение должно иметь геометрию прямого произведения М4 х где М4 - 4-мерное

пространство-время эффективной низкоэнергетической теории, а М°~А ~ компактное внутреннее многообразие. Характерным размером является планковская длина ~ 10 см. Соглас-

но идеологии Калуцы-Клейна, изометрии внутреннего многообразия становятся калибровочными симметриями эффектив-

ной низкоэнергетической теории. Таким образом, группа изо-метрий является важнейшей характеристикой вакуумного решения. Существовавшие методы решения были привязаны к какому-либо анзацу для вакуумных значений напряженностей. Например, в В = 11 супергравитации был популярен анзац, в котором четырехиндексная напряженность абелевого калибровочного поля строилась из ковариантно постоянных спиноров.

Во и

настоящей диссертации предлагается метод, основанный на достаточно "лобовой" классификации инвариантных полей и явном построении геометрических объектов в подходящем базисе. Мы полагаем, что внутреннее многообразие имеет структуру однородного пространства С/Н, и является группой инвариантности решения. При фиксированной размерности пространства все пары (С, Н) могут быть найдены простым перебором. Далее, зная свойства представлений при редукции на Н, мы можем представить все инвариантные поля, включая метрику и напряженности, как конечнопараметричесие семейства. С-инвариантность фактически означает постоянство в некотором базисе. Связности и тензор Римана вычислимы по стандартным формулам дифференциальной геометрии. Действие кова-риантной производной на инвариантные объекты сводится к конечномерному (матричному) оператору. Уравнения движения и тождества Бианки превращаются в конечную систему нелинейных алгебраических уравнений, которая может быть явно решена в подавляющем большинстве случаев. В случае 11-мерной супергравитации этим методом нами были воспроизведены все имевшиеся решения и получены новые, выведен критерий суперсимметрии вакуумного решения. Был также проанализирован ряд 10-мерных моделей, получено большое количество новых решений. В части моделей были получены все возможные С-инвариантные решения.

Следующая классическая теория, исследуемая в настоящей диссертации, это теория супермембран, взаимодействующих

с И = 11 супергравитацией. Ставится задача нахождения решений уравнений движения супермембраны на фоне решений 11-мерной супергрвитации, полученных ранее. На основе теоретико-групповой техники удается построить широкий класс решений. Также удается доказать, что такие решения существуют для всех компактификаций 11-мерной супергравитации. Построенные решения в некоторых случаях имеют структуру 52/Г, где Г - дискретная группа, имеющая фиксированные точки на двумерной сфере З2. Следовательно, имеют место конические сингулярности. Это приводит к необходимости исследования структуры группы диффеоморфизмов, сохраняющих пр-лощадь, для 52/Г. Эта группа, иногда называемая группой специальных диффеоморфизмов, играет в теории мембран столь же важную роль, как и группа Вирасоро в теории струн. Специальные диффеоморфизмы важны также в двумерной гтдроди-намике несжимаемой жидкости. Известно, что для сферы 52 специальные диффеоморфизмы составляют группу 5£7(оо), то есть определенным образом построенный предел Нтдг-^оо 5?7(-/V) [53]. В настоящей диссертации исследуются группы специальных диффеоморфизмов для и представляются в виде пределов классических групп.

Теперь можно приступать к анализу однопетлевых эффектов. Мы начнем с коэффициентов Фока-Швингера-Де Витта на однородных пространствах. Как уже отмечалось выше, аналитические формулы для коэффициентов не удовлетворяют требованиям, выдвигаемым физическими моделями. Во-первых, вплоть до недавнего времени аналитические вычисления значительно отставали от нужд моделей Калуцы-Клейна. Напомним, что контрчлены соответствуют ап с п до [П/2]. Это отставание до сих пор не преодолено полностью. Кроме того, аналитические выражения для высших коэффициентов необычайно громоздки. И наконец, что особенно важно для калибровочных теорий, правильный учет нулевых мод требует в любом случае обращения

к геометрии конкретного многообразия. Замкнутые выражения для ядра теплопроводности, соответствующего скалярному лапласиану, существовали для некоторых простейших многообразий [54]. В работах Аврамиди [55] они были распространены на все симметрические пространства (отметим, что эти работы появились примерно в одно время или позже обсуждаемых здесь работ настоящего автора). Таким образом, перед нами стояла задача разработать метод вычисления коэффициентов Фока-Швингера-Де Витта, пригодный для любых однородных пространств и полей любого спина. Отметим, что трудоемкость вычислений практически не зависела от номера коэффициента (в случае аналитических выражений трудоемкость растет экспоненциально с номером коэффициента). В качестве побочного продукта получается полное гармоническое разложение.

Суть метода состоит в следующем. Вложение Н £ С? индуцирует вложение Н Е 30(<Элт0/Н), которое позволяет сопоставить каждому спину набор представлений группы Н. Затем следует отобрать все представления С, которые дают нужные представления Н после редукции Сг | Н. Эти представления С? и дают вклад в гармоническое разложение. Спектр инвариантных операторов выражается через извесный спектр операторов Казимира и геометрические инварианты, определенные на этапе анализа классических решений. Следующий этап состоит в определении асимптотик числовых рядов по параметру собственного времени, которое осуществляется с помощью преобразования Меллина. Нами был проделан большой объем явных вычислений на разнообразных однородных пространствах. Метод также был модифицирован на локально сферические пространства с коническими сингулярностями. Так как мы получали явные формулы для собственных значений, открывалась возможность вычисления эффективного ренормированного потенциала (такая задача в принципе не допускает решения в виде ананлитических выражений от фоновых полей). Конкретные

вычисления потенциала и его анализ, хотя и опубликованы в совместных работах, принадлежат в большей степени H.H. Шты-кову, а потому не включены в настоящую диссертацию.

Особый интерес представляет включение в изложенную схему калибровочных теории и неминимальных операторов. Полное знание гармонического разложения позволяет получить исчерпывающую информацию о действии ковариантных операторов первого порядка (что значительно сложнее, чем для инвариантных операторов второго порядка). Как один из примеров, мы рассматриваем электродинамику и гравитацию на комплексном проективном пространстве СР2. Проведены явные вычисления коэффициентов ап. Более того, для гравитации удается получить результат в 3-параметрическом семействе калибровок и показать ошибочность работы [56], где утверждалось, что эффективное действие в гравитации калибровочно зависимо на массовой оболочке. Чтобы завершить рассмотрение комплексных многообразий, здесь же исследуются неминимальные операторы на дифференциальных формах на кэлеровых многообразиях. Нам удалось выразить ядро теплопроводности для неминимальных операторов через ядро теплопроводности стандартного лапласиана. Наконец, нами выводятся топологические формулы для коэффициета а^/2 Для теории тензорного поля в нечетной размерности d.

Обратимся теперь к проблеме индуцированной гравитации. В основе этого подхода лежит идея Сахарова и Зельдовича [57, 58], что действие Эйнштейна может быть индуцировано вакуумными флуктуациями полей материи. Индуцированные космологическая и ньютоновская постоянные определяются из конформной аномалии. В 80-х годах подход индуцированной гравитации натолкнулся на трудности, которые казались тогда непреодолимыми. Дело состояло в потере однозначности и положительной определенности индуцированной ньютоновской постоянной. Причина реально состояла в используемых регу-

ляризациях. Согласно нашей идее, функциональный интеграл должен иметь смысл при конечном параметре регуляризации и обладать унитарностью и всеми необходимыми симметриями. Так мы приходим к концепции низкоэнергетической области в функциональном интеграле [59]. Индуцированные константы выражаются через параметры низкоэнергетической области и хорошо определены. Другой проблемой индуцированой гравитации является проблема конформного фактора. Наивно определенная кинетическая энергия конформного фактора, выведенная из действия Эйнштейна, отрицательна [60]. Мы показываем, что если интерпретировать дилатон как составное состояние элементарных полей, участвующих в формировании индуцированных констант, и ответственное за нарушение масштабной симметрии, то действие дилатона порождается конформно неинвариантной частью функционального интеграла и кинетическая энергия положительна. Заметим, что этот результат не имеет жесткой связи с подходом индуцированной гравитации. Внутренняя непротиворечивость пока является единственным тестом квантовых моделей гравитации. Однако, интересно попробовать описать в рамках индуцированной гравитации некоторые интересные явления, пусть даже и не имеющие четкого экспериментального подтверждения. В качестве таких явлений мы рассматриваем кротовые норы и так называемое пятое фундаментальное взаимодействие. В последнем случае гипотеза о формировании взаимодействия за счет вакуумных конденсатов приводит к разумному значению юкавовского радиуса, который крайне трудно получить в других моделях.

Общий метод квантования калибровочных теорий известен уже давно [61, 62, 63] и не вызывает сомнений. Однако, его конкретное применение к калибровочным теориям в искривленном пространстве-времени привело к целой серии противоречивых результатов. Так, например, существовало несколько различных значений для однопетлевого скейлингового поведения гра-

витационного поля на пространстве де Ситтера (подробную библиографию см. в Главе 5). Расхождения были отмечены как между ковариантным и гамильтоновам подходами, так и внутри ковариантного подхода. В качестве наиболее радикального объяснения было предложено, что гравитация не может быть одновременно унитарна и ковариантна. Будь такое объяснение верным, гравитацию следовало бы признать неизлечимо патологической, даже если не вдаваться в проблему перенормируемости. Не лучше дело обстояло и с электродинамикой на искривленном фоне. Целью Главы 5 диссертации является демонстрация того факта, что деффект кроется не в самих фундаментальных подходах, а в их конкретном применении. Так в гамильтоновом подходе необходимо учитывать нетривиальную меру в функциональном интеграле, проявляющуюся в структуре скобок Пуассона. В рамках ковариантного подхода необходим тщательный учет нулевых мод. В случае квантовой гравитации наибольшие хлопоты доставляют конформные вектора Киллинга. Когда все необходимые ингредиенты приняты во внимание, разлиные подходы приводят к совпадающим результатам. Мы также убеждаемся, что разработанные методы работают в рамках БРСТ квантования и для гравитации Аш-текара.

Здесь же рассматриваются некотрые эффекты вне массовой оболочки. При попытке построения динамической компактифи-кации многомерной гравитации за счет однопетлевых эффектов было выяснено, что наличие или отсутствие экстремалей зависит от выбранной калибровки. Предполагалось, что подобное поведение каким-то образом обусловлено неперенормируе-мостью квантовой гравитации. Здесь мы показываем, что точно такая же ситуация возникает в перенормируемой теории взаимодействующих скалярных и спинорных полей, где вместо калибровочной мы получаем параметризационную зависимость. Мы также рассматриваем эффективное действие вне массовой

оболочки в неоднородных калибровках. Напомним, что рассмотрение неоднородных калибровок является промежуточным шагом при введениии члена, фиксирующего калибровку в действии. Построение эффективного действия несколько отличается от стандартного пути, так как ни на каком этапе вычислений мы не имеем права полагать, что вакуумное среднее квантовых флуктуаций, удовлетворяющих неоднородному калибровочному условию, равно нулю. Оказывается, что вклад неоднородности сокращается по крайней мере в однопетлевом порядке даже вне массовой оболочке. Любопытно, что "правильный" результат всякий раз совпадает с калибровочно и параметризационно независимым эффективным действием Вилковыского-Де Витта.

В случае многообразий с границами, которым посвящена последняя глава диссертации, ситуация с квантовыми калибровочными теориями во многом напоминает случай искривленного пространства-времени. Снова можно отметить противоречия мажду гамильтоновым и ковариантным подходами, а также разнобой в результатах внутри ковариантного подхода. В га-мильтоновом подходе опять необходим учет правильной меры в функциональном интеграле. Квантование в терминах физических степеней свободы, постулирующее тривиальную меру приводит к нековариантным результатам. Во многих отношениях схема рассмотрения калибровочных теорий предыдыущей главы переносится на случай многообразий с границами ценой лишь небольших усложнений. Есть, однако, два аспекта, в которых рассмотрение разнится существенным образом.

Первое отличие обусловлено тем, что калибровочные теории, как и все теории полей ненулевого спина, порождают смешанные граничные условия, при которых часть компонент удовлетворяет условию Дирихле, а часть - условию Неймана. Для всех задач со смешанными граничными условиями прямые вычисления коэффициентов Фока-Швингера-Де Витта методом суммирования по спектру давали уже в простейшем случае ша-

ра отличия от аналитических формул Бренсона и Гилки (см., например, [64]). Поэтому первой задачей являлось пересмотреть технику вычисления асимптотик ядра теплопроводности. Был рассмотрен лапласиан, действующий на антисимметричные тензорные поля в шаре. Задача была сведена к скалярным операторам Лапласа с чистыми граничными условиями вместо смешанных. Полученный результат давал основания предположить, что ошибка кроется в аналитических формулах. Эта ошибка была исправлена, что, как показали позднее Мосс и По-летти [65], устранило все имевшиеся противоречия между прямыми и аналитическими методами.

Вторая особенность относится к квантовой гравитации на многообразиях с границей. Легко показать, что если граница не является вполне геодезическим подмногообразием и граничные условия инвариантны относительно действия группы диффеоморфизмов, то такие граничные условия должны содержать касательные производные. Этот факт значительно усложняет исследование квантовой гравитации. Инвариантные граничные условия для гравитона были предложены несколько лет тому назад Барвинским [66]. Единственность условий Барвинского и однозначность предсказаний квантовой гравитации до сих по не доказана. Поэтому, представляется весьма важным исследовать возможные альтернативы. Так мы предлагаем граничные условия для двумерной гравитации с динамической связностью, обладающие инвариантностью относительно диффеоморфизмов. В случае гравитации в более высоком числе измерений предлагается класс инвариантных граничных условий и исследуется эрмитовость оператора Лапласа.

Более подробную библиографию по затронутым здесь вопросам можно найти в тексте соответствующих глав. Однако, по понятным причинам, она и там не является исчерпывающей. Где это возможно, мы приводим ссылки на обзоры или монографии. Здесь необходимо добавить три монографии, рассматри-

вающие общие вопросы, затронутые в диссертации [67, 68, 69].

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Сформулирован метод отыскания решений уравнений движения, обладающих некоторой группой глобальной инвариантности, в моделях типа Калуцы-ГСлейна и теориях протяженных объектов. Проведено исследование и найдены новые решения в ряде многомерных моделей. В теории супермембран в 11-мерии решения построены для любой компак-тификации И = 11 супергравитации.

2. Группы специальных диффеоморфизмов для поверхностей типа 52/Г, где Г - дискретная группа, представлены в виде пределов классических групп.

3. Построено гармоническое разложение и вычислены коэффициенты Фока-Швингера-Де Витта для широкого класса однородных пространств.

4. Теоретико групповой метод исследования спектра распространен на ковариантные операторы первого порядка. Это позволило провести вычисления спектра и асимптотик ядра теплопроводности для калибровочных теории в широких классах калибровок, исправить ошибки предшествующих вычислений. Ядро теплопроводности для неминимальных операторов на Кэлеровых многообразиях выражено через ту же величину для оператора Лапласа. Найдена топологическая формула для а¿/2 в нечетном числе измерений с? для оператора Лапласа, действующего на дифференциальных формах.

5. Предложен подход к индуцированной гравитации, решающий проблемы потери однозначности и положительной

определености индуцированной константы Ньютона. Показана положительность кинетической энергии дилатона. Исследованы некоторые эффекты индуцированной гравитации в приложении к "пятому взаимодействию" и физике кротовых нор.

6. Разработана процедура построения гамильтонова функционального интеграла для калибровочных теорий в искривленном пространстве и на многообразиях с искривленными границами, снимающая имевшиеся ранее противоречия с ковариантными подходами.

7. Проанализирована структура нулевых мод в электродинамике и гравитации на пространстве де Ситтера. Вычислена однопетлевая конформная аномалия. Показано, что после устранения ошибок все подходы к квантованию калибровочных теорий на пространстве де Ситтера приводят к идентичному результату.

8. Показано, что наличие или отсутствие минимума эффективного потенциала в теории взаимодействующих скалярных и спинорного полей может зависеть от параметризации. Проанализирована калибровочная зависимость эффективного действия в неоднородных калибровках.

9. Для тензорных полей в шаре спектральная задача со смешанными граничными условиями сведена к скалярным задачам с чистыми граничными условиями. Исправлены аналитические формулы для (12 в случае смешанных граничных условий, что привело к устранению противоречий между прямыми и аналитическими методами вычислений коэффициентов Фока-Швингера-Де Витта для полей ненулевого спина.

Результаты дисертации опубликованы в работах [1]-[46].

2 Решение уравнений для фоновых полей

2.1 Введение

В этом разделе мы предлагаем метод нахождения решений уравнений движения, обладающих некоторой группой глобальной симметрии. В следующем разделе рассмотрены вакуумные решения моделей Калуцы-Клейна. В третьем разделе исследуются решения для уравнений супермембраны и анализируются группы диффеоморфизмов, сохраняющих объем. Основные результаты опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 7, 12, 15, 24].

2.2 Модели Калуцы—Клейна

2.2.1 Метод решения и основной пример

Рассмотрим ^-мерную теорию (с? > 4), описывающую гравитацию и некоторые поля материи. Анзац Калуцы-Клейна предполагает, что геометрия вакуума имеет вид прямого произведения М.л — М4 х где Л44 - пространство-время, а М.л~4 - ком-

пактное внутреннее многообразие. Поскольку группа симметрии внутреннего монгообразия превращается после редукции в калибровочную группу низкоэнергетической эффективной теории, логично считать, что Л4с1"4 - однородное пространство некоторых компактных групп О и Н.

Как правило, напряженности калибровочных полей, имеющие компоненты во внутренних измерениях, либо полагались равными нулю [70], либо конструировались специальным образом через ковариантно постоянные спиноры [71] или кэлеровы формы [72]. Разумеется, это ограничивало возможные решения. Помня, что единственным физическим требованием является группа инвариантности, мы предлагаем искать решения уравнений движения в виде произвольных С-инвариантных полей на неко-

тором (тоже достаточно произвольном) однородном пространстве G/H. При таком анзаце уравнения движения превращаются в конечную систему алгебраических уравнений. Основные черты метода будут ясны из следующего примера.

Рассмотрим 11-мерную супергравитацию. Уравнения движения имеют вид [73]:

9MNR — RMN = ^[FMPQRFNPQR - ~FpQRsFPQRSgMN] (8)

V7 rpMPQR _ ...MsPQRjp rp /Q\

— ^24)2 -t1M1...M4J^M5...M8i (У;

M,N,P,Q,R = 0,1,..., 10

Здесь F - напряженность калибровочного поля. Далее а, 6, с, d (i,j,k,l) , будут обозначать касательные (мировые) индексы, отвечающие внутренним измерениям и изменяющиеся от 1 до 7.

Пусть внутреннее многообразие М1 представляет из себя многообразие Штифеля V^p = 50(5)/£0(3).

Прежде всего нам необходимо построить разложение присоединенного представления

AcLSO(5) | 50(3) - AdS0(3) ф (3) ф (3) ф (1). (10)

Представления в правой части (10), за вычетом присоединенного представления, определяют действие SO(3) на касательном пространстве и позволяю вычислить действие SO(3) на любых тензорных полях.

Выберем генераторы алгебры so(5): sq,tq,tq,to так, чтобы генераторы sq составляли базис в so(3) и выполнялись коммутационные соотношения:

[tqi tp] = Cb [^g? ^р] = ^р] = = ^pqrsr (Ч)

Теперь можно приступить к построению 50(5)-инвариантных полей на V^. Инвариантная метрика задается ее значением в

начале координат. Без потери общности можно положить

#оо(0) = т^2, дчд(0) = Ш22, <^(0) = т^2. (12)

Суммирования по повторяющимся индексам нет. параметры размерности массы. Тензор Римана и связность можно вычислить по стандартным формулам дифференциальной геометрии [74]. Для тензора Риччи мы получим:

2 2 \

г> ~ | о ""3 I Ш2т3 \ ЛОО = — 7Г | ^--9--¡Н--2~ 1

о

га|

2- ш| _ Шо —- 49 ' щ

ч ' 2 2 т^тХ 2 т3

2! 0 т\

_ 1/т|т| т| т? .

^ - - 2 [-Ц- ~

Инвариантные тензорные поля - это 50(3)-инварианты, имеющие постоянные компоненты в каноническом касательном базисе. Для полей ЕаЬсс1 получаем 5-параметрическое семейство:

Етг = гщЬёМ1'\ Е°Мг = Ш!/4€^г, ГрМ = Ш1/5, (14)

где /ь ..., /5 - произвольные безразмерные константы.

4-мерная Лоренц-инвариантность позволяет быть отличными от нуля также полю Е со всеми пространственно-временными компонентами. Метрика на Л44 должна быть максимально симметричной. Таким образом, оставшиеся поля задаются соотношениями:

Е^ = КгщеДм„ = (15)

Уравнения движения (8), (9) и тождества Бианки для Е сводятся к системе (весьма громоздких) алгебраических уравнений. Эта система имеет следующие решения:

т\ = т\ = Зш?/2, К = ±9/4, Л4 =

о

/! = ... = /б = 0

(16)

т1 = т1 = Зт?/2, К = 3/2, Л4 =

Л = ~/4, Ь = -/з, /? + /I = = 9/16 Ш2 = Шз = Зш?, К = 3/2, Л4 = 9Ш1, Л = -/4, /2 = -/з, /? + /I = 9/4

А К

(17)

(18)

Решения (16), (17), приводящие к Эйнштейновской метрике на внутреннем многообразии, были известны ранее [75]. Предположение о существовании решений тетьего типа также высказывалось, но явно они были построено только в работе автора

2.2.2 Обзор решений

Изложенным выше методом можно построить все решения 11-мерной супегравитации, имеющие однородное пространство в качестве внутреннего многообразия. К сожалению, кроме описанного выше, новых решений нет. Таким образом, доказана полнота имеющегося набора решений (см. обзоры [76, 77]).

Гораздо больше новых решений оказывается в 10-мерных моделях. Различные варианты моделей были рассмотрены в работах автора [1, 3, 7]. Наиболее богатой структурой обладает модель Калуцы-Клейна с 3-индексной напряженностью калибровочного поля [78, 79]:

где а - некоторая константа. Для этой модели удалось пл-строить все вакуумные решения с однородным внутренним пространством.

Второй важный пример - полевой предел суперструны в ва-

И-

Я

(19)

рианте Арефьевой и Воловича. Лагранжиан имеет вид:

£ = + ае-^НММРНММР - ¡ЗР^зММ + у(\7ф)2) (20)

Здесь ф - поле дилатона, а, /3, 7 - константы, 5 - калибровочный индекс. Было построено новое вакуумное решение с симметрией Би{2) х 5£7(2) и групповым многообразием 311(2) х 311(2) в качестве внутреннего многообразия.

Были также полечены новые решения для частного вида действия (20) и полный набор решений для стандартной 10-мерной модели Калуцы-Клейна в с1 — 10 с космологической константой.

2.2.3 Суперсимметрия решений

Из всех известных компактификаций 11-мерной супергравитации только решения типа Френда-Рубина, характеризуемые свойством

раьы = о^ обладают суперсиметрией. В этом разделе будет доказано, что другие компактификации не обладают суперсимметрией.

32-компонентный спинор е(х, у) на Л44 х М1 можно представить в виде тезорного произведения 4-х и 8-и компонентных спиноров:

е(х,у) = ф{х,у) ®т](х,у). (21)

Мы не предполагаем, как это делается обычно, что первый спинор зависит только от координаты х на .М4, а второй - только от координаты у на М1.

В 11 измерениях гамма-матрицы имеют вид: {Гм} = {7/л ® 1,75®Гг}. Необходимым условием N суперсимметрий является [73]:

% = - Ш(ГГСЙ + «Г^б^юМх, у) = 0 (22)

при вакумных значениях полей для 4-/У независимых функций е (ф(х, у) в каждой точке составляют базис в пространстве 421

компонентных спиноров). Г с п идексами обозначает анти-симметризованное произведение п гамма-матриц. Учитывая Лоренц-инвариантность, как это делалось в предыдущих разделах, получим

(V, + тЪЪ + <8> Г= 0 (23)

Здесь т - масштабный параметр, Р^1/р(Т = Згае^0". Из теории деформаций супералгебр Ли, описывающих многомерные модели, известно [80], что

<Я = т757А,<Э, (24)

где Р- генератор 4-мерных трансляций, т - параметр деформации, ф - генератор суперпреобразований. Генераторы трансляций можно отождествить с канонической ковариантной производной уН на пространстве-времени анти-де Ситтера. В свою очередь совпадает с римановой ковариантной производной. Поэтому из (24) получим

У^е = ^757^, (25)

что дает

(т + т)ЪЪф 0 7] + ^Ъф ® Г^Р^и = 0. (26)

Ввиду независимости УцУьф и 7^ф заключаем: т = т. Обобщенные тождества Якоби однозначно фиксируют [80]:

= (27)

где МцР - генератор преодразований Лоренца. Это фиксирует кривизну Айв:

= 48т2 = 48т2. (28)

В то же время уравнения Эйнштейна для 11-мерной сепергра-витации дают

^ = + (29)

что и дает требуемое утверждение = 0.

2.3 Супермембрана

2.3.1 Компактификации супермембраны

Теория супермембраны [81] может рассматриваться как кандидатура на объединение фундаментальных взаимодействий (см. обзор [82]). «-симметрия Зигеля требует, чтобы фоновые поля 11-мерной супергравитации удовлетворяли своим уравнениям движения. Поэтому мы будем рассматривать уравнения супермембраны на фоне компактификаций 11-мерной супергравитации. Большинство имевшихся решений имели сферическую или тороидальную геометрию. Здесь будет получен широкий класс новых компактификаций, включающий геометрии иных типов.

Мы рассмотрим статический анзац, в котром мировое время мембраны совпадает с временной координатой на пространстве AdS, а по двум пространственным измерениям мембрана вложена во внутреннее однородное пространство. Фермионные координаты супермембраны естественно полагаются равными нулю. Поскольку только компактификации Френда-Рубина обладают суперсиметрией, мы ограничимся фоновыми конфигурациями этого типа. В этом случае уравнения движения супермембраны эквивалентны условию минимальности 2-мерного подмногообразия (<ji,<7'2) в A47:

diiVhWdjX'gab) - ^^д^%ХсдадсЬ = О,

а,Ь,с= 1,..., 7; г, j = 1,2 (30)

кц = diXadjXbgab (31)

Здесь даь - метрика на Л47.

Напомним известное свойство композиции минимальных вложений [83]. Если Лf минимально вложено в "Р, а V - вполне геодезическое подмногообразие в Л4, то N минимально вложено в

М.

Как можно показать простым перебором, на любом много-

образииТИ7 = G/H, фигурирующем в компактификациях Френда-Рубина, реализуется по крайней мере одна из следующих возможностей:

I. На М1 существует вполне геодезическое подмногообразие Т2 или S2. Это немедленно приводит к существованию соответствующей компактификации супермембраны.

II. Существуют 3 ортонормированных генератора t2, h в касательном пространстве G/H и генератор s в алгебре Ли группы Н, подчиняющиеся соотношениям

*з] = s + оЛ2 а е R [s + at2, h] = t3. (32)

Эти генераторы образуют алгебру su(2) ф и( 1). Соответствующая подгруппа SU(2) х 11(1) группы G действует свободно правым умножением на G/H. Следовательно, орбита единицы, а именно SU(2) х U(l)/U(l) является вполне геодезическим подмногообразием в G/H.

Соотношения (32) описывают однородные пространства SU(2)х U(l)/U(l) с различными вложениями U(l) —> SU(2) х ¿7(1). При любом значении а эти пространства допускают Эйнштейновскую метрику положительной кривизны (явная конструкция приведена в [3]). Поэтому [84] такие многообразия топологически эквивалентны 53/Г с некоторой дискретной группой Г. Введем параметризацию на SU(2) х U(l)/U(l).

д(фь фъ фъ) = ехр(фз^з) ехр(<£2*2) ехр(</Mi) (33)

Проверим, что минимальная поверхность задается уравнениями

Ф1 = сги ф2 = сг2, Фз = 0 (34)

Ясно, что метрика индуцированная вложением SU(2)xU(l)/U(1) —М1 является SU(2) х ?7(1)-инвариантной. Поэтому ее можно построить с использованием общей схемы: еа = (g~ldg)a, даЬ(ф) = е%(ф)еъ(ф)В^, где Baß постоянная £7(1)-инвариантная

симметричная матрица. С точночтью до масштабного можи-теля можно положить В\2 = 0, Вц — 1?зз = 1, В22 = Ь. После некоторых вычислений имеем:

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Василевич, Дмитрий Владиславович, 1998 год

Список литературы

[1] Василевич Д.В., Вакуумные решения модели Калуцы-Клейна в d = 10, Вестник ЛГУ, сер. 4 (1986) вып.4, 77-79.

[2] Василевич Д.В., Новая компактификация 11-мерной супергравитации, Ядерная Физика 45 (1987), 1, 282-286.

[3] Василевич Д.В., Компактификация 10-мерной модели Калуцы-Клейна и суперструны, Теор. Мат. Физика 72 (1987) 1, 89-96.

[4] Василевич Д.В., Суперсимметрия вакуумного состояния в d = 11 супергравитации, Ядерная Физика 46 (1987) 5, 15951596.

[5] Василевич Д.В., Новожилов Ю.В., Бозонизация конформной аномалии и индуцированная гравитация, Теор. Мат. Физика 73 (1987) 2, 308-310.

[6] Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., Bosonization and induced gravity, in Proc. IV Semin. on Quantum Gravity, eds. M.A.Markov et al (World Scientific, Singapore, 1988) p. 240-251.

[7] Василевич Д.В., Решения d = 10 супергравитации с транзитивной группой внутренней симметрии, Вестник ЛГУ, сер. 4 (1988) вып. 1, 72-73.

[8] Василевич Д.В., Новожилов Ю.В., Взаимодействие слабее гравитационного в индуцировнной квантовой гравитации, Письма в ЖЭТФ 48 (1988) 9, 472-473.

[9] Василевич Д.В., Штыков H.H., Конформная аномалия и компактификация моделей Калуцы-Клейна, Ядерная Физика 48 (1988) 4, 1165-1170.

[10] Василевич Д.В., Штыков Н.Н., Однопетлевые уравнения Эйнштейна в моделях Калуцы-Клейна, Ядерная Физика 50 (1989) 8, 556-561.

[11] Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., Induced quantum conformal gravity, Phys. Lett. B220 (1989) N1,2, 36-41.

[12] Lyakhovsky V.D. and Vassilevich D.V., Algebraic approach to Kaluza-Klein models, Lett. Math. Phys. 17 (1989) 109-115.

[13] Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., Induced quantum gravity, supplementary degrees of freedom and the force weaker than gravity, in Proc. A.A.Friedmann centenary conference, eds. M.A.Markov et al (World Scientific, Singapore, 1990) p. 296-311.

[14] Василевич Д.В., Ляховский В.Д., Штыков Н.Н., Коэффициенты ДеВитта-Швингера для проективных и грассмановых многообразий, Теор. Мат. Физика 83 (1990) 1, 3-13.

[15] Vassilevich D.V., A new class of compactification of the 11-dimensional supermembrane, Class. Quantum Grav. 7 (1990) 4, L83-L87.

[16] Василевич Д.В., Индуцированный потенциал кротовой норы, Вестник ЛГУ, сер. 4 (1990) вып. 3, 88-91.

[17] Василевич Д.В., Штыков Н.Н., Конформная аномалия в моделях Калуцы-Клейна с несимметрическими однородными пространствами, Ядерная Физика 53 (1991) 3, 869-875.

[18] Lyakhovsky V.D., Shtykov N.N. and Vassilevich D.V., DeWitt-Schwinger expansion for projective and Grassmann spaces, Lett. Math. Phys. 21 (1991) 89-95.

[19] Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., Induced clasical gravity, Lett. Math. Phys. 21 (1991) 253-271.

[20] Василевич Д.В., Новожилов Ю.В., Эйнштейнизация искривленного фонового пространства в индуцированной квантовой гравитации, Вестник ЛГУ, сер. 4 (1991) вып. 2, 76-78.

[21] Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., Remarks on the conformal factor probelem in gravity, Int. J. Mod. Phys. A6 (1991) 19, 33473353.

[22] Vassilevich D.V., On the Hamiltonian QED in curved space, Nuovo Cimento A104 (1991) 5, 743-754.

[23] Novozhilov Yu.V. and Vassilevich D.V., On the conformal factor problem in quantum gravity, in Proc. V Semin. on Quantum Gravity, eds. M.A.Markov et al (World Scientific, Singapore, 1991) p. 144-153.

[24] Vassilevich D.V., Topologically non-trivial supermembranes, Class. Quamtum Grav. 8 (1991) 12, 2163-2168.

[25] Василевич Д.В., Штыков Н.Н., Геометрия, топология и вакуумная энергия, Теор. Мат. Физика 90 (1992) 1, 12-20.

[26] Vassilevich D.V., Path integral measure for Hamiltonian QED in curved space, Nuovo Cimento A105 (1992) 5, 649-653.

[27] Vassilevich D.V., Remarks on gauge-dependence of off-shell effective action, Nuovo Cimento A105 (1992) 1133-1143.

[28] Vassilevich D.V., Comment on validity of the Faddeev-Popov trick for temporal gauge, Nuovo Cimento A105 (1992) 1693-1697.

[29] Vassilevich D.V., Abelian gauge theories on homogenious spaces, Lett. Math. Phys. 26 (1992) 147-152.

[30] Vassilevich D.V., One-loop quantum gravity on de Sitter space, Int. J. Mod. Phys. A8 (1993) 9, 1637-1652.

[31] Vassilevich D.V., Quantum Gravity on CP2, Int. J. Mod. Phys. D2 (1993) 135-147.

[32] Grigeiitch I.P. and Vassilevich D.V., Batalin-Fradkin-Vilkovisky quantization of electrodynamics in curved space-time, Nuovo Cimento A107 (1994) 2, 227-234.

[33] Vassilevich D.V., Comment on gauge choices and physical variables in QED, Nuovo Cimento A108 (1995) 123-126.

[34] Shtykov N. and Vassilevich D.V., The heat kernel for deformed spheres, J. Phys. A28 (1995) 1, L37-L43.

[35] Vassilevich D.V., Heat kernel for antisymmetric tensor field on a disk, Phys. Lett. B348 (1995) 1, 39-43.

[36] Vassilevich D.V., Vector fields on a disk with mixed boundary conditions, J. Math. Phys. 36 (1995) 6, 3174-3182.

[37] Shtykov N. and Vassilevich D.V., The Casimir energy for two-dimensional deformed sphere, Mod. Phys. Lett. A10 (1995) 9, 755760.

[38] Vassilevich D.V., QED on a curved background and on manifolds with boundaries: Unitarity versus covariance, Phys. Rev. D52 (1995) 2, 999-1010.

[39] Василевич Д.В., Параметризационая зависимость эффекта нарушения симметрии квантовыми поправками, Ядерная Физика 58 (1995) 7, 1327-1332.

[40] Grigentch I. and Vassilevich D.V., Reduced phase space quantization of Ashtekar's gravity on de Sitter background, Int. J. Mod. Phys. D4 (1995) 581-588.

[41] Vassilevich D.V., On gauge-invariant boundary conditions for 2d gravity with dynamical torsion, Mod. Phys. Lett. A10 (1995) 22392244.

[42] Vassilevich D.V., On gauge independence in quantum gravity, Nucl. Phys. В 454 (1995) 685-700.

[43] Marachevsky V.N. and Vassilevich D.V., Diffeomorphism invariant eigenvalue problem for metric perturbations in a bounded region, Class. Quantum Grav. 13 (1996) 645-652.

[44] Alexandrov S. and Vassilevich D.V., Heat kernel for non-minimal operators on a Kahler manifold, J. Math. Phys. 37 (1996) 37153718.

[45] Elizalde E., Lygren M. and Vassilevich D.V., Antisymmteric tensor fields on spheres: functional determinants and non-local counterterms, J. Math. Phys. 37 (1996) 3105-3117.

[46] Elizalde E., Lygren M. and Vassilevich D.V., Zeta function for the Laplace operator acting on forms in a ball with gauge boundary conditions, Commun. Math. Phys. 183 (1997) 645-660.

[47] Kac M., Amer. Math. Monthly 73 (1966) 1.

[48] Фок В.А., Известия АН СССР. Физика, 4-5 (1937) 551.

[49] Avramidi I.G., Nucl. Phys. В 355 (1991) 712.

[50] van de Ven A., Index-free heat kernel coefficients, preprint DESY 97-162 (1997).

[51] Branson T, Gilkey P. and Vassilevich D., Boll. Unione Mat. Italiana, 11B (1997) Suppl. fasc.2, 39.

[52] Kirsten K., The a5 heat kernel coefficient on a manifold with boundary, Leipzig University preprint (1997).

[53] Hoppe J., Int. J. Mod. Phys. A4 (1989) 5235.

[54] Харт H., Геометрическое квантование в действии, Москва, Мир, 1985.

[55] Avramidi I.G. Phys. Lett. В 336 (1994) 171.

[56] Ichinose S., Nucl. Phys. B395 (1993) 433.

[57] Зельдович Я.Б. Письма в ЖЭТФ 6 (1967) 883.

[58] Сахаров А.Д., ДАН 117 (1967) 70; Теор. Мат. Физ. 23 (1975) 178.

[59] Андрианов А.А., Новожилов Ю.В., Теор. Мат. Физ. 67 (1986) 198.

[60] Gibbons G.W., Hawking S.W. and Perry M.J., Nucl. Phys. B138 (1978) 1.

[61] Faddeev L.D., Popov V.N., Phys. Lett. 25 В (1967) 29.

[62] Фаддеев Л.Д., ТМФ 1 (1969) 3.

[63] Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М., Наука, 1988.

[64] Esposito G., Quantum gravity, quantum cosmology and Lorentzian geometries, Springer, Berlin, 1992.

[65] Moss I.G. and Poletti S., Phys. Lett. В 333 (1994) 326.

[66] Barvinsky A.O., Phys. Lett. B195 (1987) 344.

[67] Де Витт B.C., Динамическая теория групп и полей, М., Наука, 1987.

[68] Биррелл Н., Девис П., Квантованные поля в искривленном пространстве-времени, М., Мир, 1984.

[69] Gilkey P.B., Invariance Theory, the Heat Equation and the Atiyah-Singer Index Theorem, Boca-Raton, CRC Press, 1995.

[70] Freund P.G.O. and Rubin M.A., Phys. Lett. 97B (1980) 233.

[71] Englert F., Phys. Lett. 119B (1982) 339.

[72] Pope C.N. and Warner N.P., Phys. Lett. 150B (1985) 352.

[73] Duff M.J., Nilsson B.E.V. and Pope C.N., Phys. Rep. 130 (1986) 1.

[74] Кобаяси HI., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, т. 2, М.: Наука, 1981.

[75] Biran В. and Spindel P., Nucl. Phys. В 271 (1986) 603.

[76] Волков Д.В., Сорокин Д.П., Ткач В.И., ЭЧАЯ

[77] Арефьева И.Я., Волович И.В., УФН 146 (1985) 655.

[78] Aref'eva I.Ya. and Volovich I.V., Phys. Lett. В 158 (1985) 31.

[79] Арефьева И.Я., Волович И.В., ТМФ 64 (1985) 329.

[80] Василевич Д.В., Ляховский В.Д., ТМФ 66 (1986) 206.

[81] Bergshoeff Е., Sezgin Е. and Townsend Р. К., Phys. Lett. 189В (1986) 75.

[82] Duff M. J., Class. Quantum Grav. 6 (1989) 1577.

[83] Eells J. and Sampson J. H., Am. J. Math. 86 (1964) 109.

[84] Wolf J. Spaces of Constant Curvature (Publish or Perish, Boston, 1974).

[85] Pope C.N. and Romans L.J., Class. Quantum Grav. 7 (1990) 97.

[86] Желобенко Д.П., Штерн А.И., Представления групп Ли (Москва, Наука, 1983).

[87 [88 [89

[90 [91 [92 [93 [94

[95

Deser S., Ann. Inst. H. Poincare A7 (1967) 149; Jork J.W., J. Math. Phys. 14 (1973) 456.

Gilkey P.B., Branson T.P. and Fulling S.A., J. Math. Phys. 32 (1991) 2089.

Endo R., Progr. Theor. Phys. 71 (1984) 1366 .

Parker L. and Toms D.J., Phys. Rev. D 29 (1984) 1584.

Barvinsky A.O. and Vilkovisky G.A., Phys. Rep. 119 (1985) 1.

Fradkin E.S. and Tseytlin A.A., Nucl. Phys. B 201 (1982) 469.

Gusynin V.P., Gorbar E.V. and Romanko V.V., Nucl. Phys. B 362 (1991) 449.

Guendelman E.I., Leonidov A., Nechitailo V. and Owen D.A., Phys. Lett. B 324 (1995) 160.

[96] H.T. Cho and R. Kantowski, Phys. Rev. D 52, 4588 (1995).

[97] Iwasaki I. and Katase K., Proc. Japan Acad. Sei. 55A (1979) 141.

[98] Beers B.L. and Millman R.S., Amer. J. Math. 99 (1977) 801.

[99] Ikeda A. and Taniguchi Y., Osaka J. Math. 15 (1978) 515.

[100] Adler S.L., Rev. Mod. Phys. 54 (1982) 729.

[101] Khuri N.N., Phys. Rev. D26 (1982);

[102] Denardo G. and Spallucci E., Nuovo Cimento 71A (1982) 397;

[103] Sailer H., Nuovo Cimento 71A (1982) 17;

[104] Amati D. and Veneziano G., Nucl. Phys. B204 (1982) 451;

[105] D'Adda A., Phys. Lett. 119B (1982) 334; 152B (1985) 63;

[106] Fujii Y., Phys. Rev. D26 (1982) 2580;

[107] Terazawa H., Proc. III Semin on Quantum Gravity, ed. M.A.Markov (World Scientific, 1985).

[108] Adler S.L., Phys. Lett. B95 (1980) 241.

[109] Zee A., Phys. Rev.D23 (1981) 858.

[110] David F., Phys. Lett. 138B (1984) 338.

[111] Fujikawa K., Phys. Rev. D21 (1980) 2848.

[112] Andrianov A.A. and Bonora L., Nucl. Phys. B233 (1984) 232.

[113] Synge J.L., Proc. London. Math. Soc. 32 (1931) 241.

[114] Ball R.D., Phys. Rep. 182 (1989) 1.

[115] Andrianov A.A., Andrianov V.A., Novozhilov V.Yu. and Novozhilov Yu.V., Phys. Lett. B186 (1987) 401.

[116] Mazur P.O and Mottola E., Nucl. Phys. B341 (1990) 187.

[117] Fradkin E.S. and Vilkovisky G.A., Phys. Lett. 73B (1978) 209.

[118] Schleich К., Phys. Rev. D36 (1987) 2342.

[119] Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Квантовые эффекты в сильных внешних полях, М., Атомиздат, 1980.

[120] Andrianov A.A., Andrianov V.A., Novozhilov V.Yu. and Novozhilov Yu.V., Lett. Math. Phys. 11 (1986) 217.

[121] Fischbach E., Sudarsky D., Talmadge C. and Aronson S.H., Ann. Phys. 182 (1988) 1.

122] Nieto M.M. and Goldman Т., Phys. Rep. 205 (1991) 221.

123] De Sabbata V., Melnikov V.N. and Pronin P.I., Prog. Theor. Phys. 88 (1992) 623.

124] Лаврелашвили Г.В., Рубаков В.А., Тиняков П.Г., Письма в ЖЭТФ 46 (1987) 167.

125] Hawking S.W., Phys. Lett. 195В (1987) 337; Phys. Rev. D37 (1988) 904.

126] Giddings S.B. and Strominger A., Nucl. Phys. B307 (1988) 854.

127] Coleman S., Nucl. Phys. B307 (1988) 867.

128] Frolov V.P. and Fursaev D.V., Plenty of nothing: Black hole entropy in induced gravity, preprint hep-th/9705207.

129] Chamseddine A.H. and Connes A., Commun. Math. Phys. 186 (1997) 731.

130] Griffin P.A., Kosower D.A., Phys. Lett. B233 (1989) 295.

131] Gibbons G.W. and Perry M.J., Nucl. Phys. B146 (1978) 90.

132] Cristensen S.M. and Duff M.J., Nucl. Phys. B170 (1980) 480.

133] Taylor T.R. and Veneziano G., Nucl. Phys. B345 (1990) 210.

134] Mazur P.O. and Mottola E., Absence of phase in the sum over spheres, Univ. of Florida preprint, 1989.

135] Fradkin E.S. and Tseytlin A.A., Nucl. Phys. B234 (1984) 472.

136] Shore G., Ann. Phys. (NY) 117 (1979) 121.

137] Birmingham D., Phys. Rev. D 36 (1987) 3037.

[138] Barvinsky А.О. and Kamenshchik A.Yu., Class. Quantum Grav. 7 (1990) L181.

139] Fradkin E.S. and Vilkovisky G.A., Phys. Lett. В 55 (1975) 224.

140] Batalin I.A. and Vilkovisky G.A., Phys. Lett. В 69 (1977) 309.

141] Henneaux M., Phys. Rep. 126 (1985) 1.

142] Kunstatter G., Class. Quantum Grav. 9, 1469 (1992).

143] Louko J., Phys. Rev. D38, 478 (1988).

144] Allen В., Phys. Rev. D34 (1986) 3670.

145] Mazur P.O. and Mottola E., Nucl. Phys. B341 (1990) 187.

146] Mottola E., J. Math. Phys. 36 (1995) 2470.

147] Arnowitt R., Deser S. and Misner C.W., Phys. Rev. 116 (1959) 1322.

148] Фок В.А., Теория пространства, времени и тяготения, Москва, Наука, 1961.

149] Фаддеев Л.Д., Успехи Физ. Наук 136 (1982) 435.

150] Teitelboim С., Phys. Rev. D28 (1983) 297.

151] Ashtekar A., Phys. Rev. Lett. 57 (1986) 2244.

152] Lavelle M., McMullan D., Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 219.

153] Lavelle M., McMullan D., Phys. Lett. B316 (1993) 172.

154] Jackiw R., Phys. Rev. D9 (1974) 1686;

Dolan L. and Jackiw R., Phys. Rev. D9 (1974) 2904; 2930.

[155] Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L., Effective action in quantum gravity, Bristol, IOP Pub., 1992.

[156] Kunstatter G. and Leivo H.P., Phys. Lett. B183 (1987) 75.

[157] Tiothh H.B., 35 (1982) 222.

[158] Randjbar-Daemi S. and Sarmadi M.H., Phys. Lett. 151B (1985) 343.

[159] Sarmadi M.H., Nucl. Phys. B263 (1986) 187.

[160] Kunstatter G. and Leivo H.P., Phys. Lett. 166B (1986) 321; Nucl. Phys. B279 (1987) 641.

[161] Lavrov P.M., Odintsov S.D. and Tyutin I.V., Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 1273; 46 (1987) 1533.

[162] Kunstatter G., Prerpint LPTHE Orsay 90/43, 1990.

[163] Nielsen N.K., Nucl. Phys. B 35 (1971) 167.

[164] Vilkovisky G.A., Nucl. Phys. B 234 (1984) 125.

[165] DeWitt B.S., in Quantum Field Theory and Statistics, ed. I. Batalin (Hilger, Bristol, 1987).

[166] Alfaro J. and Damgaard P.H., Ann. Phys. 220 (1992) 188.

[167] Gilkey P.B., Invariance theory, the heat equation and the Atiyah Singer theorem (CRC press, 1994), 2nd edition.

[168] Barvinsky A.O., Phys. Rep. 230 (1993) 237.

[169] Esposito G., Kamenshchik A.Yu., Mishakov I.V. and Pollifrone G., Class. Quantum Grav. 11 (1994) 2939.

[170] Moss I.G. and Poletti S., Nucl. Phys. B341 (1990) 155 (1990).

[171] Branson T.P. and Gilkey P.B., Commun. Part. Diff. Eqs 15 (1990) 245.

[172] Branson T, Gilkey P. and Vassilevich D.V., Vacuum expectation value asymptotics for second order differential operators on manifolds with boundary, preprint hep-th/9702178, to appear in J. Math. Phys.

[173] Hartle J.B., Phys. Rev. D29 (1984) 2730.

[174] Louko J., Phys. Rev. D38 (1988) 478.

[175] Esposito G., Kamenshchik A.Yu. and Pollifrone G., Euclidean quantum gravity on manifolds with boundary, Kluwer, 1997.

[176] Luckock H., J. Math. Phys. 32 (1991) 1755.

[177] Katanaev M.O. and Volovich I.V., Phys. Lett. 175B (1986) 413.