Квантовая геометродинамика космологической модели Бианки IX в расширенном фазовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шестакова, Татьяна Павловна

• Шестакова, Татьяна Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шестакова, Татьяна Павловна

Введение.

Глава 1. Квантовая геометродинамика: современное состояние и проблемы.

1.1. Квантовая геометродинамика Уилера - Де Витта.

1.1.1. Формулировка КГД Уилера - Де Витга.

1.1.2. Оеновныепроблемыт.:.,.,.

1.1.3. Интерпретация.

1.2. Математические методы.

1.2.1. Каноническое квантование.

1.2.2. Интегралы по траекториям и КГД Уилера— Де Витга.

1.2.3. Лагранжев формализм: эффективное действий Фаддеева -Попова.г ■■•

1.2.4. Гамшатонов формализм: эффективное действие Баталина - Фрадкина -Вилковыского.».

1.2.5. Замечание« евклидовом подходе к квантовой гравитации.

1.3. Квантовая космология.

1.3.1. Волновая функция Вселенной, граничные условия и проблема рождения Вселенной.

1.3.2. Третичное квантование.,.

1.3.3. Проблемы квантовой космологии.

1.4. Система отсчета в квантовой теории гравитации.

1.4.1. Роль наблюдателя в квантовой геометроДинамике.

1.4.2. Принцип целостности и калибровочная инвариантность.

1.4.3. Операциональная интерпретация системы отсчета в . замкнутой вселённой.

Глава 2. Квантовая геометродинамика в расширенном фазовом пространстве: постановка задачи и общий анализ уравнений.

2.1. Волновая функция замкнутой вселенной и выбор схемы квантования.

2.2. Расширенная система уравнений Эйнштейна и появление времени в квантовой геомегродинамике.

2.2.1. Откалибровааные уравнения Эйнштейна.

2.2.2. Модификация гамильтоновой связи и появление времени.

Глава X Космологическая модель Бгюнки IX: классическая динамика. —.

3.1. Физическое содержаще модели. Параметризация и кали(5р<?вка.

ЪХ Лагранжева динамика и гамильтонова динамика в ^ФП,. —.

3.2Л. Лагранж«®ы уравнения движения,.

3.2.2, Гамильтонова динамика врасширенномфазовом пространстве.,.

3.2.3, Сопоставление с подходом Баталина - Фрадкина - Вилковыского.

3.2.4, Рольгравитационшговшдумж—.

3,3. Точное решение условно-классических уравнений.

XX1. Точное чшяоерешент,,,, .—^ .~ - - -• - «

3.3.2. Гравитационный вакуумный конденсат как фактор космологической эволюции———.

Глава 4. Квантовая динамика модели Биапки IX,.

4Л. УраюшшвЩроддодя,~—

4.1.1, Вывод уравнения Шредингера. 4.Д.2. Операторный формализм ипробле^^даадочения.——

4.2. Структура общего решения уравнения Шредингера. ских состояний.

4.3.1.Частное решениезравнения ]Щредингер^, сс^тветствурще^ЖД Уилера

Де Вит.

4.3.2.Дроблеш БРСТ-ишарвантносте.

Глава 5. Точное решение уравнения Шредингера.

5Д. Волновой пакет.

5.2. Связь с классическим решением.

5X1. Переход к квазиклассическому пределу.,.~

5.2.2. Время в квазиклассическом режиме.

5.3. Рождение Вселенной из "Ничего" я проблема полного космологического сценария.

Затючемш. . .

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая геометродинамика космологической модели Бианки IX в расширенном фазовом пространстве»

Актуальность темы. Квантовая теория Вселенной в целом должна стать полной и математически непротиворечивой теорией. Едва ли не в каждой работе, посвященной квантовой гравитации, содержится утверждение, что такой теории в настоящее время не существует. Ее создание сегодня является актуальной проблемой теоретической Физики.

Первым кандидатом на роль квантовой теории, описывающей Вселенную в целом, стала квантовая геометродинамика (КГД) Уилера - Де Витга, датой создания которой можно считать опубликование-работы Де Витта [1] в 1967 году. Подавляющее болыпинстворабот по квантовой космологии и в настоящее время основаны на КГД Уилера - Де Витта. Однако специалисты ясно осознают, что квантовойгеометродинамике Уилера - Де Витта внутренне присущ целый ряд проблем, среди которых достаточно назвать проблему времени5проблему гильбертова пространства (введения положительно-определенного скалярного произведения), проблемы выбора параметризации и упорядочения операторов, а также интерпретации волновой функции Вселенной Анализ показывает, что все эти проблем^ взаимосвязаны и характерны именно для квантовой геометродинамики в отличие от обычной квантовой теории поля; возникает впечатление, что найти путь их разрешения в рамках КГД Уилера - Де Витта, без ее существенно* модификации невозможно.

В этой связи особый интерес представляет анализ тех особенностей квантования Вселенной в целом, которые ведут к указанным проблемам, а также развитие альтернативных вариантов построения квантовой геометродинамики. Разработке такой альтернативной версии КГД, называемой в тт>ш!лшшквантовой геометродипамикой в расширенном фазовом пространстве (РФП), посвящена настоящая диссертация, что определяет актуальность выбранной темы диссертации. - ■ 5

В н&сгоящей работе обращается особое внимание на тот факт, что замкнутая вселенная является системой, в которой, в отличие от систем, обычно рассматриваемых в квантовой теории поля, отсутствуют асимптотические состояния. Насколько известно автору, ранее этот факт не обсуждался подробно в специальной литературе. Между- тем именно учет того, что замкнутая вселенная представляет собой систему без асимптотических состояний, приводит к формулировке квантовой гео-метродинамики, радикально отличающейся от КГД Уилера - Де Витта.

Целые данной работы является исследование возможности построения физически (операционально) интерпретируемой квантовой геометродинамики замкнутой вселенной как системы без асимптотических состояний на примере космологической модели Бианки IX; вывод основного уравнения КГД в расширенном фазовом пространстве (уравнения Шредингера) для волновой функции Вселенной из континуального интеграла без наложения асимптотических граничных условий; анализ и интерпретация общего решения уравнения Шредингера; получение точного решения для упрощенной мод ели^ которое позволяет продемонстрировать адекватность полученных результатов современным космологическим представлениям.

Выбор космологический модели объясняется ее физической содержательностью и математической простотой. Конечное число степеней свободы модели Бианки IX позволяет контролировать правильность используемых методов в ситуации без математических проблем, связанных с расходимостями, типичными для квантово-полевых систем с бесконечным числом степеней свободы. Благодаря этим преимуществам модель Бианки IX часто используется в космологии для проверки теоретических методов (см., например, [2 ~ 6]).

Научная новизна. Впервые поставлен вопрос об особенностях квантования замкнутой вселенной как системы без асимптотических со6 стояний; проанализирована роль предположения об асимптотических состояниях в квантовой теории поля и гравитации; показано,что при от-сутетвии асимптотических состояний утверждение о калибровочной инвариантности квантовой геометродннамики лишено оснований. Впервые предложена модификация квантовой геометродннамики, не опирающаяся на предположение об асимптотических состояниях; показано, что КГД Уилера Де Витта соответствуетчастному решениюуравнений квантовой геометродннамики в РФП Предлагаемая формулировка КГД в расширенном фазовом пространстве применима в тех случаях, когда калибровочно-инвариантный сектор не может быть выделен, т. е, когда физические и калибровочные степени свободны не могут быть разделены глобально, что, по-видимому, имеет место в случае нетривиальной топологии Вселенной. Отказ от предположения об асимптотических состояниях расширяет число космологических сценариев, которые могут быть рассмотрены в рамках выбранной модели. Впервые появляется возможность исследования калибровочно-неинвариантных эффектов в космологии.

Основные научные положения« выносимые на защиту:

1. Амплшуда перехода между двумя состояниями в замкнутой Вселенной определяется через континуальный интеграл с эффективным действием Баталина - Вилковыского ^асимптотических граничных условий; для аппроксимации континуального интеграла используется полная система уравнений, получаемая варьированием эффективного действия Баталина - Вилковыского; вследствие отсутствия асимптотических граничных условий амплитуда перехода с неизбежностью оказывается калибровочно-неинвариантной.

2. Волновая функция Вселенной удовлетворяет уравнению Шре-дингера, которое выводится стандартной (фейнмановской) процедурой из континуального интеграла с эффективным действием Баталина 7

Вилковыского; волновая функщш Вселенной содержит информацию о 1) физическом объекте - геометрии пространства-времени и полях материи; 2) средствах наблюдения - системе отсчета, в которой эта геометрия изучается; 3) корреляциях между свойствами физического объекта и средств наблюдения, шюрые определяют форму эффективного потенциала в уравнении Шредингера.

3. Полная лагранжева система уравнений, получаемая варьированием эффективного действия Баталина - Вилковыского, описывает целостную систему "физический объект + средства наблюдения" и эквивалентна гамильтоновой системе уравнений в расширенном фазовом пространстве; уравнение Шредингера для волновой функции Вселенной может быть выведено как следствие гамильтоновой системы уравнений в РФП в операторной форме.

4. В рассмотренной модели подсистема Вселенной, соответствующая средствам наблюдения, характеризуется сочиняющейся величиной - энергией гравитационного вакуумного конденсата Е. Пример точно решаемой модели Бианки IX для простейшей калибровки при "замороженной" одной из двух гравитационно-волновых степеней свободы показывает, что величина Е проявляет себя как фактор космологической эволюции, определяющий выбор космологического сценария.

5. В предлагаемой модификации квантовой геометродинамики волновая функция, удовлетворяющая уравнению Уилера - Де Витга, представляет собой частное решение уравнения Шредингера, соответствующее определенному выбору параметризации и калибровки и нулевому значению величины Е. Учитывая, что выбор параметризации калибровочных переменных и выбор калибровочного условия совместна фиксируют систему отсчета, параметризационно-неинвариантное уравнение Уилера - Де Витга нельзя считать калибровочно-инвариантным в строго математическом смысле. 8

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на X Российской гравитационной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации" (Владимир, 1999 г.), IV международной конференции "Космология. Релятивистская астрофизика. Космомикрофизика" ("КОСМЙОН-99"), посвященной 80-летию й. М. Халатникова (Москва, 1999 г.), семинарах в Институте ядерных исследований РАН (Москва, 1999 г.), Российском Гравитационном Обществе (Москва, !998 г.), Ростовском Государственном Университете.

Личный вклад автора. Выбор темы диссертационной работы принадлежит научному руководителю. Автор принималаучастиев обсуждении математической постановки задач (йыбор схемы квантования, вывод уравнения Шредингера из континуального интеграла без асимптотических граничных условий). Автор провела основные вычисления по выводу уравнения Шредингера методом континуального интегрирования. Другие математические вычисления и анализ результатов проведем ны совместно с соавторами.

Публикации. По теме диссертации подготовлено и опубликовано 1 статей, из них 6 - в международных научных журналах и изданиях трудов конференций, а также тезисы докладов и депонированные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введём ния, пяти глав и заключения. Объем диссертации составляет - Ц6 страниц. Список литературы включает 112 названий. В первой главе дан обзор со-временного состояния квантовой геометродинамики, особое внимание удаляется нерешенным на сегоднящний день проблемам, которые являются побудительным мотивом для поиска новых путей построения квантовой геометродинамики, альтернативных КГД Уилера -Де Витта, основанной на дираковской схеме квантования. Во второй гла9 ве обосновывается выбор схемы квантования и проводится общий (внемодельный) анализ системы уравнений Эйнштейна в операторной форме, модифицированной вследствие введения калибровки; особое внимание уделяется появлению времени в формализме квантовой гео-метродинамики. В третьей главе рассматривается лагранжева динамика космологической модели Бианки IX и гамильтонова динамика модели в РФП, эквивалентная лагранжевой; проводится сравнение с формализмом Баталина - Фрадкина - Вилковыского; обсуждается точное решение от-калиброванной классической системы уравнений для модели Бианки IX. В четвертой главе дан вывод уравнения Шредингера для волновой функции Вселенной и обсуждается структура его общего решения; показано также, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению Уилера - Де Витга, является частным решением уравнения Шредингера, однако это решение не может быть выделено из множества решений уравнения Шредингера с помощью дополнительного требования БРСТ-инвариантности; в связи с этим обсуждается статус КГД Уилера - Де Витта как калибровочно-инвариантной теории. В пятой главе рассматривается точное решение уравнения Шредингера для модели Бианки IX для простейшей калибровки при "замороженной" одной из двух гравитационно-волновых степеней свободы; обсуждаются проблемы рождения Вселенной из "Ничего" и полного космологического сценария. Результата и вывода сформулированы в заключений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шестакова, Татьяна Павловна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кратко сформулируем основные результаты настоящей работы.

1. Проанализирована роль асимптотических состояний в квантовой теории гравитации. Показано, что вследствие отсутствия асимптотических состояний в замкнутой вселенной квантовая геометродинамика замкнутой вселенной не может быть построена калибровочно инвариантным образом.

2. Заключение о калибровочной неинвариантности КГД замкнутой вселенной анализируется, основываясь на копенгагенской интерпретации квантовой теории. Показано, что с точки зрения принципа целостности следует ожидать, что волновая функция Вселенной должна нести информацию не только о геометрии Вселенной, но и о системе отсчета, в которой эта геометрия изучается.

3. Предложена математически последовательная формулировка КГД на примере космологической модели Бианки IX. Предлагаемая версия КГД имеет целью описание целостной системы, включающей физический объект (гравитационные и материальные поля) и средства наблюдения, представленные системой отсчета (так называемый гравитационный вакуумный конденсат). В качестве основного объекта КГД принята амплитуда перехода между двумя состояниями в замкнутой вселенной, определенная через континуальный интеграл с эффективным действием Баталина - Вилковыского без асимптотических граничных условий.

4. Проанализирована полная лагранжева система уравнений, получаемая варьированием эффективного действия (включая уравнения для духов и калибровочное условие), которая допускает постановку задачи Коши и поэтому используется для аппроксимации континуального интеграла. Показано, что в рассматриваемом классе калибровок может быть построена гамильтонова динамика в расширенном фазовом цростран

104 пространстве, эквивалентная лагранжевой динамике, причем уравнение связи и калибровочное условие приобретают статус гамильтоновых уравнений в РФП.

5. Проведено сопоставление предложенной формулировки гамиль-тоновой динамики в РФП с формулировкой БФВ. Показано, что две формулировки гамильтоновой динамики неэквивалентны; причина их неэквивалентности заключается в том, что группа калибровочных преоб-. разований теории гравитации не совпадает с группой преобразований, генерируемых гравитационными связями. В каждом из этих подходов можно построить БРСТ-генератор, соответствующий принятой группе преобразований.

6. Найдено точное частное решение лагранжевой системы уравнений для модели Бианки IX с "замороженной" одной из двух гравитационно-волновых степеней свободы» На примере этого решения продемонстрировано, что введение подсистемы, соответствующей средствам наА блюдения, расширяет число возможных космологических сценариев.

7. Уравнение Шредингера для волновой функции Вселенной выведено из континуального интеграла без асимптотических граничных условий стандартной фейнмановской процедурой, причем все полученные математические выражения оказываются хорошо определенными. Показано, что это уравнение Шредингера может быть получено в каноническом подходе как следствие гамильтоновых уравнений в РФП в операторной форме.

8. Установлена структура общего решения уравнения Шредингера для модели Бианки IX. Показано, что волновая функция Вселенной содержит информацию о физическом объекте - геометрии пространства-времени и полях материи, средствах наблюдения - системе отсчета, в которой эта геометрия изучается, и корреляциях между свойствами физического объекта и средств наблюдения, которые определяют форму эффективного потенциала в уравнении Шредингера.

9. Показано, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению Уилера - Де Витта, представляет собой частное решение уравнения Шредингера, соответствующее определенному выбору параметризации и калибровки и нулевому значению гамильтониана. С учетом того, что выбор параметризации и выбор калибровочного условия совместно фиксируют систему отсчета, сам переход к КГД Уилера - Де Витта демонстрирует, что последняя не является калибровочно-инвариантной теорией в строго математическом смысле. С другой стороны, дополнительное требование БРСТ-инвариантносш не позволяет выделить решения уравнения Уилера - Де Витта из множества решений уравнения Шредингера. Ситуация отличается от той, которую мы имеем в схеме БФВ, однако последняя подразумевает наличие асимптотических состояний.

10. Получено точное решение уравнения Шредингера, соответствующее точному классическому решению для модели Бианки IX с одной гравитационно-волновой степенью свободы. На примере этого решения показано, что Подсистема, соответствующая средствам наблюдения (гравитационный вакуумный конденсат), проявляет себя как фактор космологической эволюции через управляющий параметр - его полнур энергию.

11. Предложена новая версия процесса рождения Вселенной как объективной редукции особого сингулярного состояния "Ничего" к одному из альтернативных физических состояний, существующих в калиб-ровочно-неинвариантной КГД в РФП. Показано, что в рамках этой версии имеется возможность численно оценивать относительные вероятности различных физических (нормируемых) начальных состояний (в момент t = t0) квантовой космологической эволюции.

Предложенную версию КГД мы рассматриваем как феноменологическую экстраполяцию методологических принципов и формализма

106 существующей квантовой теории на масштабы замкнутой Вселенной в целом. Очевидно, такая экстраполяция, даже будучи математически корректной, не может быть физически полной. Феноменологичность самой квантовой теории, отсутствие в ней ответа на вопрос о природе квантовой целостности физического объекта и средств наблюдения проявляется в необходимости производить выбор математических процедур, доопределяющих формализм теории, без ясного понимания мотивов этого выбора. Как уже говорилось, в числе нерешенных проблем фигурируют;

1) проблема упорядочения операторов, или математически эквивалентная ей проблема выбора аппроксимации континуального интеграла;

2) проблема неопределенности в выборе параметризации, фиксирующей калибровочные переменные, и самих калибровочных условий, осуществляющих выбор системы отсчета из класса систем отсчета Ландау - Лифшица; физически эта проблема состоит в отсутствии жестких принципов, фиксирующих свойства гравитационного вакуумного конденсата.

Существование этих проблем оставляет открытым вопрос о количественных характеристиках квантовых корреляций между свойствами физического объекта и средств наблюдения; общим источником этих проблем является недостаточно полное понимание того, что представляет л собой процесс измерения в квантовой гравитации. Для решения этих проблем необходима самосогласованная теория, которая изначально давала бы описание целостной системы, включающей средства наблюдения, и содержала в качестве составной части квантовую теорию измерений.

Мы предполагаем, что в будущей теории решение вышеупомянутых проблем будет получено на основе унификации геометрической и квантовой концепций целостности. В существующей же феноменологи

107 ческой квантовой теории, которая для замкнутой Вселенной принципиально является калибровочно-неинварйантной, мы вынуждены процедуру квантования замкнутой Вселенной привязывать к конкретному классу калибровок, а процедуру решения уравнений - к конкретной калибровке. В этой ситуации необходимо иметь аргументацию выбора калибровки, которая у нас состоит в следующем:

1) возможность сопоставления с каноническим операторным формализмом;

2) возможность непосредственно интерпретировать систему отсчета Ландау - Лифшица;

3) наличие волновых свойств у возбуждений гравитационного вакуумного конденсата.

Последнее фиксирует представителя из Класса калибровок. От будущей теории, вероятно, следует ожидать более глубоких критериев выбора калибровки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шестакова, Татьяна Павловна, 2001 год

1. В. S. DeWitt, Quantum theory of gravity. L The (canonical theory // PhysRev. -1967 -i v. 160-p. 1113,

2. M. J, Duncan, Quantum Geomeirodymmics // Preprint UMH-T1I-916/90.i 3. S. Chakraborty, Classical and quantum aspects of Bianchi type IX cosmological model // Int. J. Theor. Phys. -1991 v. 30 - p. 849.

3. D. Marolf, Observables and a Hilbert space for Bianchi IX // Class. Quant. Grav. 1995 -v. 12-p. 1441.

4. J, Louko, Chern Simons functional and the no-boundary proposal in Bianchi type IX f quantum cosmology // Phys. Rev. D - 1995 - v. 51 - p. 586.

5. R Paternoga, R. Graham, Exact quantum states for the diagonal Bianchi type IX model 1 with negative cosmologicalconstant // Phys. Rev. D -1996 v. 54 - p. 4805.

6. Дж. А. Уилер, Предвидение Эйнштейна // Москва "Мир" 1970.t 8. P. А. М. Dirac, Generalized Hamiltonian dynamics//Proc. Roy. Soc. A 1958 - v. 246 -p. 326.129.

7. П. A. M. Дирак, Лекции по квантовой механике // Москва "Мир" -1968.

8. Д. М. Гетман, И. В. Тютин, Каноническое квантование полей Со связями // Москва "Наука" 1986.

9. J. В. Hartle, Quantum cosmology:problems for the 21st century // Proceed, of the 10th Yukawa-Nishinomiya Symposium, Japan, November 1996.

10. A. Vilenkin, Boundary conditions in quantum cosmology // Phys. Rev. D 1986 - v. 33 -p. 3560.

11. M. Castagnino. Probabilistic time in quantum gravity /¿Phys, Rev,JD 1989 - v, 39 -jp. 2216.

12. M. Castagnino, The appearance of time in quantum gravity // Proceed, of the Fourth Moscow Seminar on Quantum Gravity (eds. M. A. Markov, V. A. Berezin, V. P. Frolov) W. Scientific, Singapore - 1988.

13. M. Castagnino, C. P'Negri, On the interpretation of quantum^avity^// Proceed, of the Friedmann Centenary Conference (eds. M. A Markov, V. A. Berezin, V. F. Mukhanov) W. Scientific, Singapore - 1990.

14. M. Castagnino, The mathematical structure of superspace as a consequence of time109asymmetry//Phys. Rev. D 1998 -v. 51- p. 750.

15. T. Fukuyama, M. Morikawa, Two-dimensional quantum cosmology: directions of dynamical thermodynamic arrows of time // Phys. Rev. D 1989 - v. 3 9 - p. 462.

16. W. G. Unruh, Time and quantumjravity Л Int. J. Theor. Phys. 1989-v. 28-p. 1181.

17. W.G. Unruh, Time,gravityand quantum mechanics I I Time's .arrows todays recent physical and philosophical workonthe directionoftimej(ed. S. К Savitt) Cambridge University Press - 1995. .

18. W. G Unruh, Unimodular theory of canonical quantum^gravity // Phys. Rev.J> 1989 -v. 40 - p. 1048.

19. J. Butterfield, C. Isham, On the emergence of time mquantumjjravity // The arguments of time (ed. J. Butterfield) Oxford University Press - 1999.

20. К. V. Kuchar, Canonical quantum gravity // gr-qc/9304012.

21. G. Fulop, D. M. Gitman, I. V. Tyutin, Reparametrization invariance as gauge symmetry //Int. J. Theor. Phys. 1999 - v. 38 - p. 1941.

22. S. W. Hawking, D. N. Page, Operator ordering and the flatness of the Universe // Nucl. Phys. В 1986 - v. 264 - p. 185.

23. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теория поля // Москва "Наука" 1988.

24. С. Хокинг, Интегралы по траекториям в приложении к квантовойгравитации IJ Общая теория относительности (под ред. С. Хокинга, В. Израэля) Москва "Мир"- 1983.

25. S. W. Hawking, Gravitational entropy, лекции можно найти в Интернете: bttp://www.hawking.org.uk/lectures/entropy.html,

26. J. B. Hartle, S. W. Hawking, Wave ftmctionofthe Universe // Phys. Rev. В 1983 - v. 28 - p. 2960.

27. A. Vilenkin, Quantum cosmology and the initial state of the Universe // Phys, Rev. D -1988-v. 37- p. 888.

28. A. Vilenkin, Interpretation of the wave function of the Universe // Phys. Rev. D 1989 -v. 39 - p. 1116.

29. H, Everett, 'Relative state' formulation of quantum mechanics // Rev. Mod. Phys, 1957- v. 29 p. 454.110

30. J. A. Wheeler, Assessment of Everett's 'Relative state' formulation of quantum mechanics I I ibid., p.463.

31. V. F. Mukhanov, On the many-worlds interpretation of quantum theory I I Proceed, of the Third Moscow Seminar on Quantum Gravity (eds. M. A. Markov, V. A. Berezin, V. P. Frolov) W. Scientific, Singapore - 1985.

32. А. О. Барвинский, В. H. Пономарев, Каноническое квантование гравитации и квантовая геометродинамика // Изв, вузов. Физика. 1986 N3 - с. 37.

33. Б. Л. Альтщулер, А. О. Барвинский, Квантовая космология и физика переходов с изменением сигнатуры пространства-времени // УФН 1996 - т. 166 - с, 459.

34. A. Ashtekar, New variables for classical and quantum gravity // Phys. Rev. Lett. 1986 -v. 57-j^244.

35. A. Ashtekar, New Hamiltonian formulation ofgeneral relativity // Phys. Rev. D 1987 -v. 36-p. 1587.

36. J. D. Brown, К. V. Kuchar, Dust as a standard of space and time in canonical quantum gravity // Phys. Rev. D 1995 - v. 51 - p. 5600.

37. К. V. Kuchar, J. D> Romano, Gravitational constraints whichgenerate a Lie algebra // Phys. Rev. D 1995 - v.51 - p. 5579.

38. J. Bicak, К. V. Kuchar, Null dust in canonical gravity // Phys. Rev. D 1997 - v. 56 -p. 4878.

39. S. W. Hawking, Quantum cosmology // 300 years ofgravitation (eds. S. W. Hawking, W. Israel) Cambridge University Press - 1987.

40. D. N. Page, The quantum state of the Cosmos // Proceed, of the Fourth Moscow Seminar on Quantum Gravity (eds. M, A. Markov, V. A. Berezin, V. P. Frolov) W. Scientific, Singapore 1988.

41. J. J. Halliwell, J. Louko, Steepest-descent contours in the path-integral approach to quantum cosmology. I. The de Sitter minisuperspace model // Phys. Rev. D 1989 - v.39

42. A. Vilenkin, Approaches to quantum cosmology // Phys. Rev. D 1994 - v. 50 - p. 2581.

43. W.-M. Suen, K. Young, Wave function of the Universe as a leaking system // Phys. Rev.1.l1. D 1989 - v. 39-p. 2201.

44. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей // Москва "Наука" 1988L

45. Н. П. Коноплева, В. Н. Попов, Калибровочные поля // Москва "Атомиздат" -1980.

46. J. I Halliwell, Derivation of the Wheeler DeWitt equation from apath integral for minisuperspace models // Phys. Rev. D - 1988 - v. 38 - p. 2468.

47. E. S. Fradkin, G. A. Vilkovisky, Quantization of relativistic systems with constraints // Phys. Lett. В 1975 - v. 55 - p. 224.

48. A. Batalin, G. A. Vilkovisky, Relativistic S-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints // Phys. Lett. В 1977 - v, 69 - p. 309.

49. E. S. Fradkin, Т. E. Fradkina, Quantization of relativistic systems with boson and fennion first- and second-class constraints // Phys. Lett. В 1978 - v. 72 - p. 343.

50. M. Hennaux, Hamilton form of the path integral for theories with a ^gauge freedom // Phys. Rep. 1985 - v. 126 - p. 1.

51. Б. С. Де Витт, Квантовая гравитация: новый синтез // Общая теория относительности (под ред. С. Хокинга, В. Израэля) Москва "Мир" - 1983.

52. A Batalin, G. A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization // Phys. Lett. В 1981 -v. 102 - p. 27.

53. A Batalin, I. V Tyutin, On the perturbative equivalence between the Hamiltonian and Lagrangian quantizations // Int. J. Mod. Phys.A 1990 - v. 11 - p. 1353.

54. S. W. Hawking, Euclidean quantum gravity // Recent developments inj»ravitation (eds. M. Levy, S. Deser) Plenum Press - 1979.

55. G. Esposito, Quantum gravity, quantum cosmology and Lorentian jjeometries // Springer-Verlag- 1992.

56. S. W.Hawking, Space-time foam // NucLPhys. В 1978 - v. 114 -p. 349.

57. J. B. Hartle, Simplicial quantum gravityJ Proceed, of the Third Moscow Seminar on Quantum Gravity (eds. M. A. Markov, V. A. Berezin, V P. Frolov) W. Scientific, Singapore- 1985.

58. S. W. Hawking, Quantum coherence down the wormhole//Phys. Lett. В 1987 - v. 195 - p. 337.

59. S. W. Hawking, Wormholes in spacetime U Phys. Rev. D 1988 - v. 37-p. 904.

60. S. W. Hawking, Baby universes //Mod. Phys. Lett. A 1990 - v. 5 - p. 453.

61. S. Coleman, Why there is nothing rather than something: a theory of the cosmological constant/Шис1. Phys. В -1988 v. 310 -j). 643.

62. W. G. Unruh, Quantum coherence, wormholes, and the cosmological constant // Phys. Rev. D 1989 - v. 40 - p. 1053.

63. S. W. Hawking, N. Turok, Open inflation without false vacua // Phys. Lett. В 1998 - у. 425 - p. 25.

64. A. Linde, Quantum creation of ад open inflationary universe // Phys. Rev. D 1998 -x. 58-083514.

65. S W. Hawking, N. Turok, Comment on 'Quantum Creation of an Open Universe', by

66. Andrei Linde // gr-qc/9802062. 74.S. W. Hawking, N. Turok, Open inflation the four form and the cosmological constant JJ Phys. Lett. В 1998 - v. 432 - p. 271.

67. А. Д. Линде, Физика элементарных частиц и инфляционная космология // Москва "Наука" 1990.

68. V. G. Gurzadyan, A. A. Kocharyan, The topology of created universe // Proceed, of the Fourth Moscow Seminar on Quantum Gravity (eds. M. A. Markov, V. A. Berezin, V. P. Frolov) W. Scientific, Singapore - 1988.

69. L. P. Grishchuk, Ya. В. Zeldovich, Полные космологические теории // Квантовая гравитация (под ред. М. А. Маркова,В. А. Березина, В. П. Фролова) Москва1. Изд. ШЙ АН СССР 1982.

70. А. Vilenkin, Birth of inflationary universes // Phys. Rev. D 1983 - v. 27-p. 2848.

71. T. Vachaspati, A. Vilenkin, Uniqueness of the tunneling wave function of the Universe // Phys. Rev. D 1988 - v. 37 - p. 898.

72. S. W, Hawking, H. S. Reall, Inflation, singular instantons and eleven dimensional cosmology// Phys. Rev. D 1998 -v. 59- 023502L

73. A. Vilenkin, Singular instantons and creation of open universes //Phys. Rev. D 1998v. 57 7069.

74. W. G. Unruh, On the Hawking Turok solution to the open universe wave function // gr-qc/9803050.

75. A. Vilenkin, Open universe, inflation and the anthropic principle /7 Int. J. Theor. Phys.1999-v. 38-p. 3135.

76. A. Vilenkin, The quantum cosmology debate, contribution to the debate on quantum cosmology at the COSMO-98 meeting// gr-qc/9812027.

77. R. Bousso, A. Linde, Quantum creation of a universe with singular and nonsingular instantons // Phys. Rev. D 1998 - v. 58 - 083503.

78. R. Penrose, Foundation of Quantum Theory and its Relevant to the Early Universe, report of Texas Symposium on Relativistic Astrophysics, Munchen, December 1994,

79. L. P. Grishchuk, Yu. V. Sidorov, Boundary conditions and the wave function of the Universe // Proceed, of the Fourth Moscow Seminar on Quantum Gravity (eds. M. A. Markov, V, A. Berezin, Y. P. Frolov) W. Scientific, Singapore -1988.

80. G. W. Gibbons,L. P. Grishchuk, What is a typical wave function for the Universe? // Nucl. Phys JB 1989 - y. - 313 -p. 736.

81. L. P. Grishchuk, Quantum cosmology: from the space of classical solutions to the space of wave functions // Proceed, of the Friedmann Centenary Conference J: eds. M. A. Markov, V. A. Berezin, V. F. Mukhanov) W. Scientific, Singapore -1990.

82. A. Hosoya, M. Morikawa, Quantum field theory of the Universe // Phys. Rev JD 1989 -v. 39-p, 1123.

83. M. McGuigan, Universe ^creation from the third-quantized vacuum // Phys. ReyJD -1989 v. 39 - p. 2229.

84. A. A. Starobinsky, How to determine an effective potential for a variable cosmologica! term // JEPT Lett. 1998 - v. 68 - p. 757 Письма в ЖЭТФ - 1998 - т. 68 - С. 721.2000 -v. 61-061501,2000-v. 61 -083502.

85. S. Weinberg, The cosmologieal constant problem// Rev. Mod. Phys. 1989 - v. 61 - p. 1.

86. P. Пенроуз, Сингулярности и асимметрия во времени Я Общая теория относительности (под ред. С, Хокинга, В. Израэля) Москва "Мир" - 1983.

87. Б. С. Де Витт, Динамическая теория групп и полей // Москва "Наука" 1987.

88. Дж. У шхер, Квант и Вселенная // Астрофизика, кванты и теория относительнотсти Москва "Мир" - 1982. 1Q4.H. Бор, Атомы и человеческое познание // Н. Бор, Избранные научные труды - т.

89. Москва "Наука" -1971 - с. 504. 105 .Н. Бор, Квантовая физика и философия // там же, с. 526.

90. К. Kuchar, С. Torre, Gaussian reference fluid and the interpretation of geometrodynamics // Phys. Rev. D -1991 v. 43 - p. 419. 107J. D. Brown, D. Marolf, On relativistic material reference systems // Phys. Rev. D -1996 - v. 53 - p. 1835.

91. S. N. Mayburov, Quantum space-time and reference frames in ADM canonical gravity, talk at the conference "Quantum field theory under external conditiohs", Leipzig, September 1998 // gr-qc/9904069.

92. R P. Feynman, Space-time approach to nonrelativistic quantum electrodynamics // Rev. Mod. Phys. 1948 - v. 20 - p. 367.

93. P. Фейнман, А. Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям // Москва "Мир" 1968.

94. К. S. Cheng, Quantization of a general dynamical system by Feynman's path integration formulation//J. Math. Phys. 1972 - v. 13 - p. 1723.

95. V. N. (jribov, Quantization of non-Abelian gauge theories // Nucl. Phys, В 1978 - v. 139-p. 1.

96. Работы автора по теме диссертации

97. V. A. Savchenko, Т. P. Shestakova and G. М. Vereshkov, Quantum Geometrodynamics in extended phase space -1. Physical problems of interpretation and mathematical problems of gauge invariance // Gravitation & Cosmology 2001.

98. V. A. Savchenko, T. P. Shestakova and G. M. Vereshkov, Quantum Geometrodynamics in extended phase space П. The Bianchi IX model // Gravitation & Cosmology - 2001.

99. T. P. Shestakova, The status of the Lambda term in Quantum Geometrodynamics in extended phase space, talk given at IV International Conference "COSMION-99" (Moscow, 1999) // Gravitation & Cosmology 2000 - v. 6, Supplement - p. 47 - 50.

100. V. A. Savchenko, T. P. Shestakova and G. M. Vereshkov, The exact eosmological solution to the dynamical equations for the Bianchi IX model // Int. J. Mod. Phys. A 2000 -v. 15 - p. 3207 - 3220.

101. T. P. Shestakova, Grounds for Quantum Geometrodynamics in an extended phase space and its cosmological consequences, talk given at X Russian Gravitational Conference (Vladimir, 1999) // Gravitation & Cosmology 1999 - v. 5 - p. 297 - 300.

102. V. A. Savchenko, T. P. Shestakova and G. M. Vereshkov, Quantum Geometrodynamics of the Bianchi IX model in extended phase space // Int. J. Mod. Phys. A 1999 - v.14 -p. 4473 - 4490.

103. Г. M. Верешков, В; А. Савченко, Т. П. Шестакова, Квантовая геометродинамика модели Бианки IX в расширенном фазовом пространстве // Известия вузов. Северо-Кавказский Регион. Ест. Науки -1998 N2.

104. Г. М. Верешков, В. А Савченко, Т. П. Шестакова, Проблема совместного описания физического объекта и средств наблюдения в квантовой теории гравитации // Деп. ВИНИТИ J& 1773-В94 1994.

105. Г. М. Верешков, В. А. Савченко, Т. П. Шестакова, Совместное описание физиче