Калибровочная зависимость и точные решения в квантовой гравитации с высшими производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Жексенаев, Аскар Гылымбекович

• Жексенаев, Аскар Гылымбекович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жексенаев, Аскар Гылымбекович

Содержание

Введение

1. Калибровочная зависимость эффективного потенциала в квантовой гравитации с высшими производными, взаимодействующей со скалярным полем

1.1. Предворителные сведения и постановка задачи

1.2. Однопетлевое эффективное действие и неминимальная калибровка

1.3. Выражения для однопетлевых контрчленов

1.4. Формула суммирования по внешним индексам

1.5. Вычисление констант перенормировки. Эффективный потенциал в однопет левом приблежении

2. Калибровочная зависимость однопетлевых расхо-димостей и конформная аномалия в вейлевской гравитации

2.1. О причинах возникновения конформной аномалии

в вейлевской гравитации

2.2. Калибровочная зависимость однопетлевых расхо-димостей в вейлевской гравитации

2.3. Калибровочная зависимость однопетлевых контрчленов в квантовой гравитации с высшими производными

2.4. Калибровочная зависимость в индуцированной конформной гравитации

3. Конформные и неконформные решения в квантовой гравитации с высшими производными

3.1. Дилатонная модель с высшими производными в четырехмерном пространстве времени

3.2. Однопетлевые контрчлены

3.3. Конформно инвариантная теория и некоторые точные решения

3.4. Точные неконформные решения

Заключение

Приложение А

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Калибровочная зависимость и точные решения в квантовой гравитации с высшими производными»

Введение

Бурное развитие квантовой теории поля за последние десятилетия во многом связано с прогрессом в понимании основополагающей роли калибровочных полей. Применение калибровочного принципа в различных квантовых моделях, описывающих фундаментальные силы, открывают новые возможности для более последовательного описания взаимоимодействия элементарных частиц в рамках квантовой теории поля.

Одним из подтверждений фундаментальной роли калибровочного принципа явилось создание в 60 - х годах квантополевой теории, объединяющей слабое и электромагнитное взаимодействия ( см., напр. [1, 2, 4, 9] ). Успех квантовой теории электрослабого взаимодействия предопределил дальнейшее направление исследований в квантовой теории поля, которые заключаются в поисках общей квантовой теории четырех взаимодействий: слабого, элетромагнитного, сильного и гравитационного. Дальнейшим этапом в развитии единого квантового описания фундаментальных взаимодействий в физике элементарных частиц явилось построение общей теории электрослабого и сильного взаимодействия, получившего название теории Великого объединения (см., напр. [1, 3, 4, 7] ). Применение основополагающих принципов спе-

циальной теории относительности, квантовой механики и принципа калибровочной инвариантности в теории электрослабых и сильных взаимодействий привело к последовательному описанию природы взаимодействия элементарных частиц. Правильность данного подхода утвердила себя в экспериментальном подтверждении следствий теории электрослабых взаимодействий. Почти не вызывает сомнения верность схемы построения квантовой теории, объединяющей электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия, основанной на тех же принципах, что и теория электрослабых сил. Но полное эксперементальное подтверждение теории Великого объединения сталкивается с трудностями, которые проявляются в том, что модели Великого объединения предсказывают возможность представления электрослабого и сильного взаимодействия с верхней границей порядка 1015 ГЭВ [16], не достижимого в экпериментальных установках на сегодняшний день.

В основе теории электрослабого взаимодействия и теории Великого объединения лежит важное свойство калибровочной симметрии. При расширенном толковании принципа калибровочной инвариантности гравитационное взаимодействие, определяющее структуру пространства - времени, на ряду с известными фундаментальными силами позволяет интерпретировать его как калибровочное поле. Таким образом, калибровочный принцип выступает как важное свойство фундаментальных взаимодействий, на основе которого возможно создание единой квантовой теории. Успехи в описании квантовых свойств электрических, слабых и сильных взаимодействий повлекло за собой стремление получить

непротиворечивую квантовую теорию гравитационных сил. Однако последовательное применение принципа калибровочной симметрии, который ярко проявил себя в теории Великого объединения, и известных методов квантования к общей теории относительности не дал предполагаемого положительного результата. Наличие размерной константы взаимодействия влечет за собой неперенормируемость квантовой модели. Попытки получить квантовую гравитацию в рамках общей модели, соединяющей теорию Великого объединения и общую теорию относительности, так же не привели к непротиворечивой квантовой теории. Предложенный другой общий принцип, который получил название суперсимметрии, позволил объединить пространственно временную и внутреннюю симетрии и послужил развитию целой области исследований как супергравитационные и суперструнные модели ( см., напр. [17] ) . Данное направление хотя и является перспективным, но не решает на настоящий момент всех проблем в получении непротиворечивой квантовой гравитационной теории и объединении всех фундаментальных взаимодействий.

Таким образом в существующей ситуации единственно возможным подходом к квантовой гравитации является построение и исследование различных моделей. В этой связи определенный интерес представляет изучение более простых возможностей включения квантовой гравитации в общую схему единых взаимодействий. В этом смысле привлекает внимание теория, в которой действие гравитационного поля включает на ряду с эйнштейновским и космологическим членами, квадратичных по кривизне. Такая модель является перенормируемой [22, 26] и асимптотичес-

ки свободной [23, 24, 25, 28, 29, 30, 42]. Так же был рассмотрен вопрос канонического квантования данных моделей [121-126]. Надо отметить, что при пертурбативном подходе в рамках данной теории нарушается принцип унитарности. Возможному разрешению этой проблемы посвящены многочисленные попытки найти ответ вне рамок теории возмущения [25, 27, 31, 32, 63, 64]. Кроме того, гравитацию с высшими производными можно рассматривать как низкоэнергитическое приближение в более фундаментальной теории. И это может означать, что проблема унитарности возможно удасться разрешить в рамках более общей теории. Хорошо известно, что квантовая гравитация с высшими производными возникает как низкоэнергитическое приближение в теории суперструн [65]. Кроме того можно предположить, что если некоторую теорию рассматривать как эффективную, возникающую как низкоэнергитическое приближение в более общем подходе, то она не обязательно должна удовлетворять всем требованиям, предъявляемых к фундаментальной квантовой теории поля. В частности, возможно при изучении некоторых конкретных вопросов не обращать внимание на проблему унитарности, считая, что она решена в исходной фундаментальной теории

Определенной проблемой в квантовой гравитации с высшими производными без эйнштейновского члена является нарушение принципа соответствия - отсутствие удовлетворительного приближения к ньютоновскому пределу. Для решения проблемы, получения ньютоновского предела в квантовой гравитации с высшими производными, было предложено рассмотреть гравитацию совместно с некоторыми полями материи (см., напр. [35, 37] ).

Было показано, что при мультипликативной перенормируемости можно получить размерные параметры: для гравитационной константы взаимодействия и космологической постоянной. При таком подходе общая теория относительности возникает как индуцированная низкоэнергитическая теория для квантовой гравитации с высшими производными и полями материи. Причем параметром порядка при фазовом переходе по кривизне является скалярное поле. Недостатком предложенного подхода является то, что значения индуцированных постоянных, как и эффективный потенциал, зависят от выбора калибровочного условия для квантовых полей. На ряду с рассмотрением чисто гравитационных аспектов, в структуре данной теории возможно изучение взаимодействия квантовой гравитации и полей материи, исследование проблемы космологической постоянной, фазовых переходов, асимптотической свободы по различным константам связи.

Изучение структуры теории возмущений позволило выявить характерную особенность ряда калибровочных моделей. А именно, теория, изучающая взаимодействие квантовых полей может обладать замечательным свойством так называемой асимптотической свободой по всем константам связи ( см., напр. [4, 13] ). Явление асимптотической свободы открытое [68, 67] для чисто калибровочных полей затем было исследовано для широкого класса теорий, включающих спинорные и скалярные поля. Суть явления заключается в следующем. Эффективные константы связи, определяющие интенсивность квантовых взаимодействий, уменьшаются с ростом энергий взаимодействующих частиц, а в асимптотическом ультрофиолетовом пределе - стремятся к нулю. Таким

образом, при наличии асимптотической свободы взаимодействие полей исчезает и при малых расстояниях динамику полей можно эффективно описать свободными полевыми уравнениями. Это явление исключает таким образом проблему нуль - заряда, которая например возникает в квантовой электродинамике, и позволяет последовательно применять разложение по константе взаимодействия в теории возмущений для вычисления различных параметров физических процессов.

Изучение асимптотической свободы в квантовых теориях поля проводится с помощью метода ренормализационной группы ( см., напр [2, 4, 8, 66] ). Ренормгрупповые свойства подразумевают совпадение наблюдаемых физических величин, вычисленных с помощью первоначальных и ренормированных параметров. Переход от одного способа ведения параметров к другому составляют ренормализационную группу. Данные свойства полезны для изучения асимптотического поведения эффективных зарядов, соответствующих определенным константам связи. Так в теориях калибровочных полей на основе ренормгрупповых свойств [69, 70] было исследовано асимптотическое поведение для векторных и хиггсовых (скалярных) полей. Было показано, что асимптотическая свобода по всем константам связи накладывает целый ряд ограничений на структуру теории. Жесткие ограничения на мультиплетный состав и группу симметрии может например исключить возможность использовать механизм Хиггса.

Исследование влияния взаимодействия квантового гравитационного поля с полями материи на асимптотическое поведе-

ние эффективных констант связи было рассмотрено в работах [40,71-78]. Для конформной версии теории гравитации с высшими производными, лагранжиан которой представляет собой квадрат тензора Вейля, было показано, что ограничения на спинорный состав, ряда моделей, накладываемых условием асимптотической свободы по всем константам связи, смягчается по сравнению с этими же моделями без учета влияния гравитационного взаимодействия. Этот же эффект исследовался и для общего неконформного случая квантовой гравитации с высшими производными [40,74-77]. Была продемонстрированна возможность построения асимптотически свободных моделей теории Великого объединения нового класса, объединяющих стандартные модели единого (сильного, электромагнитного и слабого) взаимодействия с квантовой гравитацией. Модели этого класса расширяют область применимости уже созданных стандартных моделей теории Великого объединения на область планковских масштабов и могут использоваться в космологии и физике высоких энергий. Представленные модели раскрыли основные особенности таких теорий. В частности было показано, что асимптотическая свобода моделей теории Великого объединения не страдает от их унифицирования с квантовой гравитацией, а наоборот, новые ограничения, которые возникают при решении уравнений ренормгруп-пы с учетом гравитации, являются менее жесткими и допускают уменьшение мультиплетного набора спинорных полей теории. В связи с этим важно отметить, что учет квантовой гравитации в моделях, сочетающих сильное, электромагнитное и слабое взаимодействия, улучшает их физическое содержание и не противо-

речит асимптотической свободе теории.

Альтернативой асимптотически свободным теориям, сочетающих теорию Великого объединения и квантовую гравитацию, является асимптотически конечные калибровочные модели [7989,92-101]. В конечных калибровочных моделях отсутствуют как ультрофиолетовые, так и инфракрасные расходимости. В исследованиях такого типа моделей было показано, что для теории общего вида, уже в однопетлевом приближении, для обеспечения равенства нулю ß - функций требуется наложит жесткие ограничения на мультиплетный состав теории и на значения констант связи [80-88].

Конечные модели часто оказываются суперсимметричными. Это сязано с сокращением вкладов в ß - функции полей с различной грассмановой четностью. В то же время, как показано в работе [88] однопетлевая конечность не обязательно связана со свойством суперсимметрии. Существенным является также и то, что многие модели рассматриваемые в рамках теории Великого объединения и квантовой гравитации не являются суперсимметричными. В связи с чем представляет некоторый интерес построение конечных несуперсимметричных калибровочных моделей. Возможно, что данная структура моделей окажется более простой и позволит выявить новые свойства конечных моделей вообще. Требование конечности теории фиксирует, как это уже отмечалось выше, не только мультиплетный состав, но и значения констант связи. Нарушение условий на константы связи ведет к тому, что теория автоматически перестает быть ко-

нечной, но может сохранить мультипликативную перенормируемость. Это дает возможность применить метод ренормализаци-онной группы для изучения асимптотического поведения эффективных зарядов. В этом случае конечной модели отвечает ульт-рофиолетовая фиксированная точка - устойчивая или неустойчивая. В случае устойчивой фиксированной точки можно говорить об асимптотической конечности. Асимптотически конечная теория восстанавливает конечность за счет радиационных поправок [89, 92, 96].

Структура перенормировки конечных моделей теории поля в искривленном пространстве времени изучалась в работах [53, 102]. Необходимо отметить, что во внешнем гравитационном поле конечность теории интересующего нас типа в принципе невозможна. Это связано с появлением расходимости, не имеющей аналогов в плоском пространстве. Такие расходимости можно разделить на два типа: а) вакуумные расходимости; б) расходимости, отвечающие неминимальному взаимодействию полей материи с внешним гравитационным полем. Известно [54, 103], что расходимости последнего типа можно устранить перенормировкой параметров неминимальной связи, которые необходимо ввести в исходное действие скалярных полей. Соответствующая /3 - функция на однопетлевом уровне содержит множитель вида (£ — 1/6), где значение £ = 1/6 отвечает конформной теории. Таким образом, достаточно положить все £ = 1/6, чтобы обеспечить однопетлевую конечность в секторе полей материи.

В условиях асимптотической конформной инвариантности

все поля можно описывать свободными конформно инвариантными полевыми уравнениями. При этом значение параметра £ фиксированно радиационными поправками и равно 1/6 [54, 103]. Такая ситуация может представлять определенный интерес в космологических приложениях квантовой теории поля.

В работах [104, 105, 109] были построены конкретные модели, в которых осуществляется асимптотическая конформная инвариантность [103, 106]. Данные модели представляют собой калибровочные теории с группой SU(2), причем асимптотическая свобода реализуется в этих моделях на особых решениях уравнений ренормализационной группы [110]. В работах [111, 112] были исследованы калибровочные теории с группой SU(N), 5 < N < 10, содержащие одип мультиплет скалярных полей, т мультиплетов спинорных полей. Если спиноры взяты в присоединенном представлении группы SU(N), то в этой теории реализуется асимптотическая конформная инвариантность на особых решениях уравнений ренормгруппы. Если же спинорные поля взяты в фундаментальном представлении, то при некоторых значениях параметров N, т в данной модели осуществляется асимптотическая конформная инвариантность на общих решениях [111, 112]. Необходимо заметить, что асимптотическая конформная инвариантность может накладывать дополнительные, по сравнению с асимптотической свободой, ограничения на мультиплетный состав теории.

В ряде статей [54, 102, 103] изучаются асимптотически конечные модели теории поля, взаимодействующие с внешним гра-

витационным полем. В искривленном пространстве, как это уже отмечалось выше, появляются расходимости, связанные с внешними полями. Вакуумные расходимоси нельзя устранить, устанавливая ограничения на мультиплетный состав теории и значения констант связи. Поэтому говоря о асимптотических конечных теориях во внешнем гравитационном поле, обычно понимают, что речь идет о теории, являющейся конечной в плоском пространстве хотя бы в однопетлевом приближении [89, 102]. Устранить же расходимости, связанные с неминимальным взаимодействием, можно, положив параметр неминимальной связи £ = 1/6. Такое значение параметра, как известно, отвечает конформно инвариантной теории.

Изучение квантовых теорий поля, сочетающих в себе наряду с одним из основополагающих принципов - калибровочные свойства, также конформную симметрию, наталкивается при изучении квантовых эффектов на давнюю проблему аномалий. Под аномалией обычно понимается нарушение некоторого закона сохранения, вытекающего из свойств симметрии лагранжиана классической теории, квантовыми поправками, вычисленными на основе того же лагранжиана. Характерным признаком квантовых аномалий является невозможность устранения их путем переопределения величин или параметров, входящих в квантовую модель ( см., напр. [15] ).

Как известно, проблема аномалии имеет относительно старую, но поучительную историю развития. Впервые с проблемой аномалии, в частности с киральной, столкнулись при анализе

распада нейтрального пиона Стейнбергер в 1949 году и Швин-гер в 1951 году. В течение некоторого времени этой проблемой пренебрегали, однако она вновь всплыла на поверхность в работе Сазерленда в 1966 году. Он показал, что применение алгебры токов к распаду дает очень небольшое значение скорости распада нейтрального пиона, что противоречит эксперименту. Позднее Адлер, Белл и Джакив осознали, какую важную роль играет ас-киальная аномалия в парадоксе Сазерленда. Проблема парадокса Сазерленда исчезает, если применить условия сокращения аномалий ( см., напр. [15] ).

Наиболее ярко решение проблемы аномалии проявило себя в квантовой теории Глешоу - Вайнберга - Салама, объединяющей электромагнитные и слабые взаимодействия. Как известно, присутствие в первоначальной модели диаграмм, содержащих "треугольную" замкнутую петлю полей Ферми, не удовлетворяло аксиальным тождествам Уорда, что приводило к так называемой аксиальной, или киральной, или треугольной аномалии. Важное значение этой аномалии связано с тем фактом, что тождество Уорда является существеным элементом при доказательстве перенормируемости калибровочных теорий. Единственным путем к спасению перенормируемости теории состояло в обеспечинии равенства нулю полного вклада треугольных графов, что приводило к сокращению аномалии. Это накладывало условие на фермионное содержание теории. Сокращение аномалии удалось добиться, введя в рассмотрение слабое взаимодействие кварков, которое эффективно проявило себя в наблюдаемом на эксперименте слабом взаимодействии адронов.

Общая проблема аномалий интересна с точки зрения исследования моделей квантовой теории гравитации. А именно, изучение калибровочных моделей квантовой гравитации, обладающих и конформной инвариантностью на классическом уровне может привести, при применении известных способов регуляризации, к нарушению одной из симметрий на квантовом уровне. В данном контексте немаловажным представляется и специфическое проявление калибровочного свойства для гравитационных сил, связанного с пространственно временными преобразованиями, что отражает фудаментальное свойство гравитационного взаимодействия.

Проблеме аномалии в различных моделях квантовой теории поля уделяется достаточно много внимания ( см., напр. [90, 91, 107, 108] ). Интересные результаты были получены в работе Фрадкина Е.С. и Цейтлина A.A. [28], где рассматривалась вейлевская теория гравитации, классическое действие которой представляется квадратом тензора Вейля. При вычислении однопет-левых расходимостей был получен однопетлевой контрчлен aR2 (а - ненулевой числовой коэффициент), нарушающий конформную симметрию. Появление данного однопетлевого контрчлена можно охарактеризовать как конформную аномалию, с вытекающей отсюда неперенормируемостью вейлевской теории гравитации. Сохранение на квантовом уровне калибровочной симметрии и нарушение конформной возможно отнести за счет применения метода фонового поля и процедуры регуляризации. Но с другой стороны, мы не можем принять такого однозначного утверждения, без исследования влияния выбора калибровки на эффектив-

ное действие. Данное изучение вопроса необходимо и следует из ограниченности, применяемого метода фонового поля, а именно сохранение общей ковариантности эффективного действия, но не обязательно других свойств, в том числе исходных симметрий, и выбранного метода регуляризации. С математической точки зрения это представляется как то, что затравочный лагранжиан и выбранное калибровочное условие конформно и калибро-вочно инвариантны по фоновым полям, что нельзя сказать об операторах, возникающих при вычислении расходимостей. Данные операторы сохраняют только общую ковариантность. Как следствие можно предположить, что определенным образом выбранная калибровка исключает появление неконформного члена в квантовой теории. Другими словами коэффициент перед неконформным членом может зависить от калибровочного параметра, определенный выбор которого сохранит на квантовом уровне конформную симметрию. Если предложенная предпосылка не оправдается, только тогда можно утверждать о проблеме конформной аномалии в вейлевской теории гравитации. Поиски ответа на поставленную проблему могут быть связаны с изучением вопроса калибровочой зависимости однопетлевых расходимостей, 7 -функций и эффективного потенциала. Как проверкой правильности вычислений может выступать независимость (3 - функций от калибровочных параметров.

Настоящая диссертация посвящена изучению вопросов, связанных с перенормировкой квантовой гравитации с высшими производными, взаимодействующей со скалярным полем, вейлевской гравитации, классическое действие которого представляет квад-

рат тензора Вейля, четырехмерной дилатонной модели во внешнем гравитационном поле. Проводится проверка метода приведения неминимального оператора к минимальному с увеличением порядка по производной. Предлагается формула суммирования по внешним индексам, приминительна для облегчения вычислений различных расходимостей. С учетом влияния выбора калибровочного условия вычислены ¡3 - функция для скалярной константы связи, 7 - функция скалярного поля и эффективный потенциал, отвечающий самодействию скалярного поля. Исследуется проблема конформной аномалии в вейлевской теории гравитации. Предлагается метод определения явной зависимости одно-петлевых контрчленов и однопетлевого эффективного действия. Представлена к рассмотрению наиболее общая версия дилатонной теории в четырехмерном пространстве времени. Изучается вопрос перенормировки данной теории, где константы связи зависят от безразмерного скалярного поля. Предлагаются решения уравнений на эффективные константы связи. Как частные случаи общей дилатонной теории получено три конечных конформных и три конечных неконформных модели.

В первой главе диссертации проведен общий анализ вычисления 7ф - функции для скалярного поля и - функции скалярной константы связи в однопетлевом приближении в неминимальной калибровке. Рассмотрен метод приведение неминимального, зависящего от произвольного количества калибровочных параметров оператора к минимальному, с учетом калибровочного условия. В рамках данного метода получена формула суммирования по внешним индексам. В неминимальной линейной калибровке

вычислен однопетлевой эффективный потенциал, зависящий от калибровочного параметра. В первом разделе предлагается краткий обзор статей и постановка задач по вопросу вычисления /3 и 7 - функций для квантовой гравитации с высшими производными со скалярным полем в неминимальной калибровке. Во втором разделе рассмотрена теория гравитации с высшими производными со скалярным полем. Для вычислений используется метод фонового поля и обобщенная техника Швингера - Де Витта. Для исследования операторной структуры и определения влияния выбора калибровочного условия на однопетлевые контрчлены выбрана калибровка, которая не нарушает локальности и не вводит раз-мерних параметров. Полученно выражение для оператора в квадратичном разложения, зависящего от калибровочных параметров. Показано, что структура оператора не позволяет непосредственно применить технику универсальных следов для вычисления расходимостей. В третьем разделе приводятся составляющие выражения для универсальных следов. Исходя из утверждения, что произвольный оператор не содержащий фонового поля не дает вклада в однопетлевые контрчлены, соответствующие этому полю, введен дополнительный оператор, который не содержит скалярного фонового поля и удовлетворяет определенному соотношению. В результате умножения исходного квадратичного оператора четвертого порядка и найденого дополнительного получено явное выражения для минимального оператора восьмого порядка и общее выражения для однопетлевых расходимостей следа. Описанный метод возможно обобщить на случай произвольной фоновой метрики. В четвертом разделе представлен вывод фор-

мулы суммирования по внешним индексам. Предлагаемая формула позволяет сразу выписать в предложенном методе дополнительного оператора структурные коэффициенты при свертке по внешним индексам матричных дифференциальных операторов. В пятом разделе получены явные выражения для контрчленов, (3f, 7ф - функций и однопетлевого эффективного потенциала. При этом использовался известный факт, что сокращение членов, зависящих от калибровочных параметров, в - функции может служить контролем правильности вычислений значений ренормгрупповых функций. Полученное выражение для 7ф позволяет установить явную зависимость от калибровочных параметров эффективного потенциала У(ф).

Во второй главе диссертации на основании вейлевской теории проведен анализ причин возникновения конформной аномалии. Получена общая формула зависимости однопетлевого эффективного действия от двух калибровочных параметров. Исследуется калибровочная зависимость однопетлевых расходимостей эффективного действия в индуцированной конформной гравитации. Предлагается конформно инвариантная модель квантовой гравитации с безмассовым скалярным полем. В первом разделе представленный материал связан с изучением вопроса о калибровочной зависимости однопетлевых контрчленов и анализом проблемы аномалии в конформной версии теории квантовой гравитации с высшими производными, которая известна как вейлевская гравитация. Наличие двух, общекоординатной и конформной, симметрий указывает на возможное появление в теории аномалии, нарушающей одну из симметрий на квантовом уровне. В

то же время нет прямого доказательства существования аномалии. Возможно, что источником аномалии является выбранный метод вычисления расходимостей, который требует определенной схемы регуляризации. Последовательное использование метода фонового поля требует, чтобы калибровочное условие сохраняло симметрии по фоновым полям. В случае рассмотренного условия к = 0, где Н = Н^д^ и Л^ - квантовое поле, фоновая конформная инвариантность не нарушается, тем не менее мы не можем ожидать конформно- инвариантного результата из-за появления в вычислениях конформной нековариантности операторов. Таким образом, существуют две конкурирующие причины для появления неконформного члена / с^х^—дВ? в вейлевской гравитации. Здесь предлагается к рассмотрению вторая возможность появления неконформного контрчлена, связанного с нарушением фоновой конформной симметрии дифференциальным оператором. Во втором разделе приведены вычисление и явный вид калибровочной зависимости однопетлевых расходимостей эффективного действия для вейлевской теории гравитации, классическое действие. Используя тождество У орд а, связывающее пропа-гаторы полей и гостов, и тождества Нетер для калибровочного поля, получено выражение для производной однопетлевого эффективного действия по калибровочному параметру. Полученые формулы дают общее выражение для зависимости однопетле-вого эффективного действия от калибровочных параметров с^, где генераторы калибровочных преобразований образуют алгебру Ли. Выводится явная зависимость от калибровки однопетлевых расходимостей в вейлевской гравитации. Делается вывод о

независимости однопетлевого эффективного действия от выбора калибровочного условия. Таким образом, данный результат может служить аргументом против гипотезы о калибровочном происхождении конформно-неинвариантного контрчлена ^—дВ? в вейлевской гравитации. Приведенные вычисления могут быть применены для произвольной мультипликативно перенормируемой теории, где генераторы калибровочных преобразований образуют алгебру Ли. В третьем разделе приводится анализ и вывод выражения, определяющего калибровочную зависимость од-нопетлевых контрчленов. Показано, что данный результат можно получить без специальных вычислений. Хорошо известно, что калибровочная зависимость эффективного действия пропадает на массовой поверхности, и этот факт является основным для понимания проблемы. Из полученного выражения следует, что изменение калибровочного условия в квантовой гравитации с высшими производными эквивалентно конформному сдвигу классического действия. Аналогичные рассуждения можно провести для индуцированной конформной гравитации. В четвертом разделе исследуется калибровочная зависимость однопетлевых расходи-мостей эффективного действия в индуцированной конформной гравитации. Показано, что изменения калибровочного условия соответствует изменению однопетлевого эффективного действия на некоторый конформно - инвариантный функционал. В результате возможные контрчлены, нарушающие конформную инвариантность, не удается сократить определенным выбором калибровочных параметров.

В третьей главе исследуется калибровочная зависимость

однопетлевых расходимостей эффективного действия в индуцированной конформной гравитации. Предложено наиболее общее действие сигма - модельного типа безразмерного скалярного поля в четырехмерном пространстве времени с кривизной. В представленной дилатонной теории с высшими производными получены однопетлевые контрчлены, ренормгрупповые уравнения для констант связи, три конформных и три неконформных конечных в однопетлевом приближении модели дилатонной теории. В первом разделе предлагается общая модель для дилатонной теории. Рас-смотренно действие а - модельного типа, которой соответствует перенормируемая теория. Идея заключается в представлении безразмерного скалярного поля в четырехмерном пространстве-времени с кривизной. Общий размерный анализ теории, представленной безразмерным скалярным и гравитационным полями, приводит к наиболее общему действию сигма - модельного вида. Показано, что все другие возможные четырехмерные структуры, содержащие скалярное поле и не вошедшие в исходное действие, можно получить интегрированием по частям и отличаются от основных выражений на поверхностные члены. Во втором разделе представлено вычисление однопетлевых контрчленов для теории с дилатоном во внешнем гравитационном поле. Для предложенных расчетов расходимостей используются метод фонового поля и обобщенная техника Швингера - Де Витта. Полученные выражения для расходимостей имеют ту же структуру, что исходное действие. Данный результат соответствует общему анализу проведенного на основе подсчета индекса расходимости диаграмм. Представлена явная зависимость эффективных констант

связи от затравочных коэффициентов, зависящих от безразмерного скалярного поля. Показано, что все расходимости могут быть исключены перенормировкой затравочных констант связи по аналогии с двумерными сигма - моделями. Важно отметить, что перенормировка констант связи соответствует свойствам, проявляющимся в произвольной квантовой теории во внешнем гравитационном поле. Все константы связи могут быть разделены на три группы, различающихся по структуре перенормировки. Первую группу образуют функции, перенормировка которых не зависит от других функций и аналогично перенормировке констант связи полей материи в хорошо известных моделях, подобных фА - теории. Вторая группа состоит из функций, перенормировка которых соответствует перенормировке неминимальной константы £ в взаимодействии. Третью группу образуют функции, ана-

логичных параметрам вакуумного действия для материальных полей. Кроме того, безразмерные константы не зависят от размерных констант, что согласуется с известной теоремой. Таким образом, данная теория соответствует всем стандартным свойствам модели, рассматриваемой на классическом искривленном фоне. Отличительной чертой данной теории является представление взаимодействия, которое произвольным образом зависит от безразмерных полей что можно интерпретировать как наличие в модели неограниченного набора констант связи. В третьем разделе рассмотрена наиболее общая конформно инвариантная версия дилатонной теории. Воспользовавшись формулами приведения, были получены расходимости исходной конформной теории. В результате решения уравнений на эффективные констан-

ты связи были получены в явном виде три конечные, конформно инвариантные модели безмассового скалярного поля. В четвертом разделе рассмотрены точные решения общей теории, с соответствующими однопетлевыми константами связи. Получены системы нелинейных дифференциальных уравнений. Но эти уравнения обладают некоторыми однородными свойствами, что позволяет искать решения в экспотенциальной форме и в виде степенной функции. В результате решения уравнений было получено три решения, которые соответствуют трем конечным неконформным версиям теории.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

В диссертации используется релятивистская система единиц % = с = 1 и обозначения, применяемые в книгах [5, 6].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Жексенаев, Аскар Гылымбекович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43, 50, 97, 113, 116, 117]

В заключении считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность моим научным руководителям - доктору физико - математических наук, профессору И.Л.Бухбиндеру за общее руководство, помощь в подготовке текста диссертации и разъяснении различных вопросов квантовой теории поля и доктору физико - математических наук, профессору И.Л.Шапиро за постановку задач, проведение совместных исследований и сотрудничество. Я благодарен доктору физико - математических наук, профессору П.М.Лаврову за плодотворное обсуждение результатов диссертации. Я признателен всем сотрудникам кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета за предоставленные условия работы и внимание к проводимым исследованиям.

Заключение.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. В квантовой теории гравитации с высшими производными и скалярным полем исследована проблема вычислений 7 -функции для скалярного поля и (3 - функции константы скалярной связи в однопетлевом приближении с учетом зависимости от калибровочных параметров. Развита техника вычисления однопетлевых расходимостей в неминимальных калибровках, получены соотношения необходимые для приведения неминимального оператора к минимальному. Найдены выражения для однопетлевых расходимостей эффективного действия, содержащие зависимость от калибровочных параметров.

2. Получены однопетлевые контрчлены в модели квантовой гравитации с высшими производными, связанной со скалярным полем в калибровках, зависящих от двух параметров. Продемонстрировано на основе прямых вычислений, что хотя однопетлевые контрчлены зависят от калибровки в явном виде, соответствующая (3 - функция от калибровочных параметров не зависит. Данный результат подтверждает: а) правильность метода вычисления однопетлевых расходимос-тей; б) правильность вычисления 7 и (3 функций скалярного поля. Получено выражение, которое показывает явную зависимость эффективного потенциала скалярного поля от двух калибровочных параметров.

3. В вейлевской теории гравитации проведен анализ возможных причин нарушения конформной симметрии на однопет-левом уровне: а) появление конформной аномалии как результат применения метода вычисления расходимостей, который требует определенной схемы регуляризации; б) нарушение конформной инвариантности в однопетлевом эффективном действии для вейлевской гравитации, связанное с возникновением конформно - нековариантного оператора в калибровочном секторе. Получена общая формула зависимости однопетлевого эффективного действия от двух калибровочных параметров. Показано, что появление конформно неинвариантного контрчлена в вейлевской гравитации не связано с выбором калибровочного условия.

4. В квантовой теории гравитации с высшими производными получена общая формула зависимости однопетлевого эффективного действия от двух калибровочных параметров. Этот результат позволяет найти изменение однопетлевого эффективного действия при изменении калибровочных параметров. Это означает, что если известно эффективное действие при одних фиксированных значениях этих параметров, то можно найти эффективное действие при других значениях в явном виде. Из полученного соотношения для однопетлевого эффективного действия, зависящего от двух калибровочных параметров следует, что изменение калибровочного условия в квантовой гравитации с высшими производными эквивалентно конформному сдвигу классического действия.

5. Исследуется калибровочная зависимость однопет левых рас-ходимостей эффективного действия в индуцированной конформной гравитации. Предлагается конформно инвариантная модель квантовой гравитации с безмассовым скалярным полем. Показано, что изменения калибровочных параметров в линейном калибровочном условии соответствует изменению однопет левого эффективного действия на некоторый конформно инвариантный функционал, что указывает на невозможность устранения неконформных однопетлевых расходи-мостей выбором определенной калибровки.

6. Предложено наиболее общее действие сигма - модельного типа для скалярного поля в искривленном четырехмерном пространстве времени. Проведен размерный анализ и показано, что теория является перенормируемой в обобщенном смысле.

7. В предложенной дилатонной теории с высшими производными получены однопетлевые контрчлены с использованием метода фонового поля и обобщенной техники Швинге-ра - Де Витта. Проведен анализ структуры перенормировки констант связи. Показано, что константы связи можно разделить на три группы, отражающие структуру перенормировки. Получены ренормгрупповые уравнения для констант связи.

8. Рассмотрена наиболее общая конформно инвариантная версия дилатонной теории. Вычислены однопетлевые контрчлены конформной теории. В результате решения уравнений для эффективных констант связи получено три конформных и три неконформных конечных в однопетлевом приближении версии общей дилатонной теории.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жексенаев, Аскар Гылымбекович, 1998 год

Список литературы

[1] Ченг Т.П., Ли Л.Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. //М.: Мир, 1987, -624с.

[2] Славнов A.A., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. //М.: Наука, -1988, -267с.

[3] Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. -М.: Наука, 1981, -303с.

[4] Ахиезер А.И., Пелетминский C.B. Поля и фундаментальные взаимодействия. // Киев: Наукова думка, -1986, -551с.

[5] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. //М.: ГРФМЛ, -1973, -504с.

[6] Боголюбов Н.Н, Ширков Д.В. Введение в теорию квантовых полей. // М.: Наука, -1976, -480с.

[7] Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц. -М.: Наука, 1989, -224с.

[8] Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс. //М.: Мир, -1984, -332с.

[9] Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. //М.: Наука, -1978, -т.1-2.

[10] Ициксон К., Зюбер Ж.Б. Квантовая теория поля. //М.: Мир, -1984, -т.1-2.

[11] Волошин М.Б., Тер - Мартиросян К.А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. //М.: Энерго-атомиздат, -1984, -296с.

[12] Green М.В., Schwarz J.H., Witen Е. Superstring theory. -(Cambridge: Cambridge University Press). -1987.

[13] Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L. Effective action in quantum gravity. //Brictol, Philadelphia: IOP Publisching Ltd. -1992, 413p.

[14] Де Витт Б.С. Динамическая теория групп и полей. //М.: Наука, -1987.

[15] Райдер J1. Квантовая теория поля. -М.: "Мир", 1987, -с.432 - 442.

[16] Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Квантовые поля. -М.: Наука, 1993, -259с.

[17] I.L.Buchbinder, S.M.Kuzenko. Ideas and Methods of supersymmetry and supergravity. //ЮР Publishing, Bristol and Philadelphia, 1998, -656p.

[18] Barvinsky A.O., Vilkovisky G.A. The generalised Schwinger De Witt technique in gauge theories and quantum gravity. //Phys. Repts. Ser. C. -1985, -v.119, -p.l - 74.

[19] Бухбиндер И.Jl., Шапиро И.Л. О влиянии гравитационного взаимодействия на поведении эффективных констант юкав-

ской и скалярной связей. //ЯФ. -1986, -т.44, вып.10, -с.1033

- 1042.

[20] Бухбиндер И. Л., Вологодский В.Б., Вольфенгаут Ю.Ю., Калашников O.K., Шапиро И.Л. Поведение эффективных констант связи в конформной квантовой гравитации с материей. Гравитация и фундаментальные взаимодействия.// Сб. трудов. -М: Дружба народов (Университет). -1988, -с.41

- 42.

[21] Шапиро И.Л. Асимптотическое поведение эффективных констант юкавской связи в квантовой R2 - гравитации с материей. //ЯФ. -1989, -т.50, вып.1, -с.257 - 261.

[22] Stelle K.S. Renormalization of higher - derivate quantum gravity. //Phys. Rev. Ser. D. -1977, -v. 16, 4, -p.953 - 969.

[23] Tomboulis E.T. 1/N expansiion and renormalization in quantum gravity. //Phys. Lett. Ser. B. -1977, -v.70, 3, -p.361

- 364.

[24] Julve J., Tonin M. Quantum gravity with higher derivative terms. //Nuovo Cim. -1978, -v.46B, 1, -p.137 - 152.

[25] Tomboulis S. Renormalizability and asymptotical freedom in quantum gravity. //Phys. Lett. Ser. B. -1980, -v.97, 1, -p.77 -80.

[26] Воронов Б.Л., Тютин И.В. О перенормировки R2 - гравитации. //ЯФ. -1984, -т.39, вып.4, -с.998 - 1010.

[27] Salam A., Strathdee Y. Remarks on high - energy stability and renormalizability of gravity theory. //Phys. Rev. Ser. D. -1978, -v.18, 12, -p.4480 - 4485.

[28] Fradkin E.S., Tseytlin A.A. Renormalizable asymptotically free quantum theory of gravity. //Nucl. Phys. Ser. B. -1982, -v.201, -p.469 - 491.

[29] Avramidy I.G., Barvinsky A.O. Asymptotic freedom in higher -derivative quantum gravity. //Phys. Lett. Ser. B. -1985, -v.159, 4 - 6, -p.269 - 274.

[30] Аврамиди И.Г., Асимтотическая свобода в квантовой гравитации с высшими производными. //ЯФ. -1986, -т.44, -с.255-260.

[31] Antonidias I., Tomboulis Е.Т. Gauge invariance and unitarity in higher derivative quantum gravity. //Phys. Rev. Ser. D. -1986, -v.33, 10, -p.2756 - 2779.

[32] Johnston D.A. Secondary ghost poles in higher - derivative gravity. //Nucl. Phys. Ser. B. -1988, -v.297, -p.721 - 732.

[33] Adler S.L. Einstein gravity as a symmetry - breaking effect in quantum field theory. //Red. Mod. Phys. -1982, -v.54, 3, -p.729 - 766.

[34] Бухбиндер И.JI., Одинцов С.Д. Эффективный потенциал и фазовые переходы, индуцированные кривизной в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле. //ЯФ. -1985, -т.42, вып.5 (11), -с.1268 - 1277.

[35] Бухбиндер И.JI. О механизме индуцирования эйнштейновской гравитации. //Изв. ВУЗов.Физ. -1986, -т.29, 3, -с.77 -81.

[36] Одинцов С.Д., Шапиро И.Л. Фазовый переход по кривизне в квантовой R2 - гравитации и индуцирование эйнштейновской гравитации. //ТМФ. -1992, -т.90, 1, -с. 148 - 159.

[37] Odintsov S.D., Shapiro I.L. General relativity as the low -energy limit in higher derivative quantum gravity. //Class. Quant. Grav. -1992, -v.9, -p.873 -882.

[38] Воронов Б.Л., Тютин И.В. Модели асимптотически свободных массивных полей. //ЯФ. -1974, -т.23, вып.З, -с.664 - 675.

[39] Buchbinder I.L., Kalashnikov O.V., Shapiro I.L., Vologodsky V.B., Wolfengaut Yu.Yu. The stability of asymptotic freedom in Grand Unified models coupled to R2 - gravity. //Phys. Lett. Ser. B. -1989, -v.216, 1 - 2, -p.127 - 132.

[40] Бухбиндер И.Л., Вологодский В.Б., Вольфенгаут Ю.Ю., Калашников О.В., Шапиро И.Л. Асимптотически свободные модели Великого Объединения с квантовой R2 - гравитацией. //ЯФ. -1989, -т.49, вып.З, -с.876 - 885.

[41] Shapiro I.L. Asymptotical behaviour of effective Yukawa coupling constants in quantum R2 - gravity with matter. //Class. Quant. Grav. -1989, -v.6, -p.1197 - 1201.

[42] Осетрин К.E., Шапиро И.Л. Асимптотическая свобода в теории скалярного поля, взаимодействующего с квантовой R2

- гравитацией. //Изв. ВУЗов. Физ. -1991, -т.34, 11, -с.112 -116.

[43] Elizalde Е., Jacksenaev A.G., Odintsov S.D., Shapiro I.L. One

- loop renormalization and asymptotic behavior of a higher -derivative scalar theory in curved spacetime. //Phys. Lett. B. -1995, -v.328, -p.297 - 306.

[44] Elizalde E., Odintsov S.D., Shapiro I.L., Asymptotic regimes in quantum gravity at large distances and running Newtonian and cosmological constants. //Class. Quant. Grav. -1994, -v.11, -p.1607 - 1613.

[45] Antoniadis I., Mottola E. Four - dimensional gravity in the conformal sektor. //Phys. Rev. Ser. D. -1992, -v.45, 6, -p.2013

- 2025.

[46] Elizalde E., Odintsov S.D. Renormalization - group improved effective potential for gauge theories in curved spacetime. -Barcelona University, -1993. (preprint /UB - ECM - PF 93/2).

[47] Shapiro I.L., Cognola G. Interaction of Low - Energy Induced Gravity with Quantized Matter and Phase Transition Indused by Curvature. -KEK, -1994, -p.33. (preprint /КЕК - TH - 397).

[48] Reigert R.Y. A non - local action of the trace anomaly. //Phys. Lett. Ser. B. -1984, -v.134, 1 - 2, -p.56 - 60.

[49] Fradkin E.S., Tseytlin A.A. Conformal anomaly in Weyl theory and anomaly free superconformal theory. //Phys. Lett. Ser. B. -1984, -v.134, 3 - 4, -p.187 - 193.

[50] I.L.Shapiro, A.G.Jacksenaev . Gauge dependence in higher derivative quantum gravity and the conformai anomaly problem. // Physics Letter B, -1994, -v.324, -N2, p.286-292.

[51] Odintsov S.D., Shapiro I.L. Perturbative approach to induced quantum gravity. //Class. Quant. Grav. -1991, -v.8, -p.157 -160.

[52] Shapiro I.L., Jacksenaev A.G. Gauge dependence in higher

- derivative quantum gravity and the conformai anomaly problem. //Phys. Lett. B. -1994, -v.324, -p.286 - 292.

[53] Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L. Renormalization group approach to quantum field theory in curved space - time. //Rev. Nuovo Cim. -1989, -v.12, 10, -p.l - 112.

[54] Бухбиндер И.JI. Об уравнениях ранормализационной группы в искривленном пространстве - времени. //ТМФ. -1984, -т.61, 3, -с.135 - 153.

[55] Odintsov S.D., Shapiro I.L. One - loop renormalization of two

- dimensional induced quantum gravity. //Phys. Lett. Ser. B. -1991, -v.263, 2, -p.183 - 189.

[56] Polyakov A.M. Quantum gravity in two dimensions. //Mod. Phys. Lett. Ser. A. -1987, -v.2,11, -p.893 - 898.

[57] Englert F., Truffin C., Gastmans R. Conformai invariance in quantum gravity. //Nucl. Phys. -1976, -v.117B, -p.407 - 432.

[58] Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Conformal of mass - shell extensiion and elemination of conformal anomalies in quantum gravity. //Phys. Lett. Ser. B. -1978, -v.73, 2, -p.209 - 213.

[59] Strominger A., Nair V.P., Regularization scheme. //Phys. Rev. D. -1984, -v.30, -p.2528 - 2532.

[60] David F., Strominger A., Regularization scheme in quantum theory. //Phys. Lett. B. -1984, -v.143, -p.125 - 132.

[61] Морозов А. Проблема аномалии в квантовой теории элементарных частиц. //УФН. -т.150, -1986, -с.337 - 361.

[62] Duff M.J., Anomaly trace of the energy - momentum tensor. //Nucl. Phys. B. -1977, -v.125, -p.334 - 343.

[63] Tomboulis E. Unitarity in higher - derivative quantum gravity. //Phys. Rev. Lett. -1984, -v.52, N14, -p.1173 - 1176.

[64] Howking S.W. Who's afraid of (higher derivative) ghosts? - in Fradkin's birthday volume. -1989, -p.129 - 139.

[65] Schwarz J.N. Superstring theory.//Phys Rep. -1982, -v.89, -p.223.

[66] Владимиров А.А., Ширков Д.В. Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики. //УНФ. -1979, -т.129, N3, -с.407 - 441.

[67] Gross D.J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of non - Abelian gauge theories. //Phys. Rev. Lett. -1973, -v.30, N26, -p.1343 -1349.

[68] Politzer H.D. Reliable perturbative results for strong interactions? //Phys. Rev. Lett. -1973, -v.30, N26, -p.1346 -1349.

[69] Cheng T.P., Eichten E., Lil.F. Higgs phenomena in asymptotically free gauge theories. //Phys. Rev. -1974, -v.9D, N8, -p.2259 - 2273.

[70] Kalaschnikov O.K. On coexistence of the Higgs mechanism with the asymptotic freedom. //J.Phys. -1981, -v.14A, N7, -p. 1771 - 1779.

[71] Бухбиндер И.Jl., Шапиро И.Л. О влиянии гравитационного взаимодействия на поведение эффективных констант юкав-ской и скалярной связей. //ЯФ. -1986, -т.44, -с.ЮЗЗ - 1038.

[72] Бухбиндер И.Л., Вологодский В.Б., Вольфенгаут Ю.Ю., Калашников O.K., Шапиро И.Л. Асимптотическое поведение констант связи материи в конформной квантовой гравитации. -Москва, 1987. -37с. -(Препринт -ФИАН, N37).

[73] Бухбиндер И.Л., Вологодский В.Б., Вольфенгаут Ю.Ю., Калашников O.K., Шапиро И.Л. Влияние гравитационного поля на асимптотическое поведение констант связи в моделях единой теории. //Кратк. сообщ. по физике, -1987, -N10, -с.46 - 48.

[74] Buchbinder I.L., Kalaschnikov O.K., Shapiro I.L., Vologodsky V.B., Wolfengaut Yu.Yu. Asymptotic freedom in quantum R2 - gravity with matter. -Moscow, 1988. -36p. (preprint -FIAN, N123).

[75] Вольфенгаут Ю.Ю., Шапиро И. Л., Ягунов Е.Г. Асимптотическая свобода в калибровочных теориях и квантовая гравитация. //ИЗВ. ВУЗов, Физ. -1990, -N1, -с.Зб - 41.

[76] Шапиро И.Л., Вольфенгаут Ю.Ю., Ягунов Е.Г. Проблема особых решений для эффективных констант связи в квантовой R2 - гравитации с материей. //ЯФ. -1990, -вып.6, -т.51, -с.1791 - 1795.

[77] Buchbinder I.L., Kalaschnikov O.K., Shapiro I.L., Vologods-ky V.B., Wolfengaut Yu.Yu. The stability of asymptotic in freedom in grand unified models couplet to R2 - gravity. //Phys. Lett.B. -1989, -v.216, N1 - 2, -p.127 - 132.

[78] De Witt B.S. Quantum theory of gravity. The manifestly covariant theory. //Phys. Rev. -1967, -v.162 D, N5, -p.1195

- 1238.

[79] Конштейн C.E., Фрадкин E.C. Новый тип суперсимметричных теорий. //Кратк. сообщ. по физике. -ФИАН, -1986, -N12, -с.28 - 29.

[80] Вайнштейн А. И., Захаров В.И., Шифман М.А. Суперсимметричные неабелевы калибровочные модели: точная ¡3 -функция из одной петли теории возмущений. //ЯФ. -1986, -т.43, N6, -с.1596 - 1605.

[81] Hamidi S., Patera J., Schwarz J.N. Chiral two loop - finite supersymmetric theories. //Phys.Lett. -1984, -v.B141, -p. 349

- 352.

[82] Ermushev A.V., Kazakov D.I., Tarasov O.V. Finite N = 1 supersymmetric grand unified theories. //Nucl. Phys. -1987, -V.B281, N1 - 2, -p.72 - 84.

[83] Parkes A.J., West P.C. Three - loop results in two - loop finite supersymmetric gauge theories. //Nucl. Phys. -1985, -v.B256, N2, -p.340 - 352.

[84] Jones D.R.T., Mezincesky L. The (3 - function in supersymmetric Yang - Mills theory. //Phys. Lett. -1984, -v.136B, N1, -p.242 - 249.

[85] Rajpoot S., Taylor J.G. On finite quantum field theories. //Phys. Lett. -1984, -v.147B, N1, -p.91 98.

[86] Derendinger J.P., Ferrara S., Masiero A. Exceptional ultraviolet finite Yang - Mills theories. //Phys. Lett. -1984, -v.143B, N1, -p.133 - 145.

[87] Howe P.S., Stelle K.S., West P.C. A class of finite four -dimensional supersymmetric field theories. //Phys. Lett. -1983, -v.124B, N1, -p.55 - 67.

[88] Bohm M., Denner A. Features of finite quantum field theories. //Nucl Phys. -1987, -v.B282, N1, -p.206 - 234.

[89] Одинцов С.Д., Шапиро И.JI. Асимптотическая конечность и суперсимметрия в квантовой теории поля. //Письма в ЖЭТФ. -1989, -т.49, N3, -с.125 - 127.

[90] Fujiwara Т., Igarashi Y., Koseki M., Kuriki R., Tabei T. New insight into BRST anomalies in superstring theory / / Nucl. Phys. B. -1994, -v.425, -p.289.

[91] Brandt F., Paris J. On determination of anomalis in supersymmetric theories // Phys. Rev. D. -1997, -v.55, -p.2398.

[92] Odintsov S.D., Shapiro I.L., Toms D.J. Asymptotic freedom versys asymptotic finitness. -NCL -1989, -p.l - 8. (preprint Univ. Newcastle. TP -21).

[93] Lucha W., Neufeld H. Finite quantum field theories. //Phys. Rev. -1986, -v.D34, N4, -p.1089 - 1099.

[94] Hamidi S., Schwarz J.N. A realistic finite unified theory? //Phys. Lett. -1984, -v.B147, N4 - 5, -p.303 - 306.

[95] Bjorkman J.E., Jones D.R.T., Raby S. Low - energy predictions of a two - loop - finite supersymmetric SU(5) theory. //Nucl. Phys. -1985, -v.B259, N2 - 3, -p.503 - 532.

[96] Одинцов С.Д., Шапиро И.JI. Асимптотическая конечность в квантовой теории поля. //УЖФ. -1989, -т.43, -с.1611 - 1614.

[97] E.Elizalde, A.G.Jacksenaev, S.D.Odintsov, I.L.Shapiro.

A four - dimensional theory for quantum gravity with conformal and nonconformal explicit solutions. // Classical and Quantum Gravity, -1995, -v.12, -N4, p.1385 - 1400.

[98] Одинцов С.Д., Шапиро И.Л. Асимптотическое поведение эффективных зарядов в конечных теориях и квантовая гравитация. -1988, 19с. (Препринт ТФ СО АН СССР, N28).

[99] Jones D.R.T., Parkes A.J. Search for a three - loop - finite chiraltheory. //Phys. Lett. -1985, -v.B160, N5 -5, -p.267 - 270.

[100] Parkes A.J. Three - loop finitness conditions in N = 1 super Yand - Mills. //Phys. Lett. -1985, -v.B156, N1 - 2, -p.73 - 79.

[101] Leon J., Perez - Mercader J. Finitness conditions for a general softly broken gauge theory. //Phys. Lett. -1985, -v.B164, N1 -2, -p.95 - 98.

[102] Бухбиндер И.JI., Одинцов С.Д., Лихтциер И.М. Поведение эффективных зарядов в "конечных" теориях в искривленном пространстве - времени. //ТМФ. -1989, -т.79, N2, -с.314 - 320.

[103] Buchbinder I.L. Renormalization of quantum field theory in curved space - time and renormalization group equations. //Forschr. Phys. -1986, -v.34, N9, -p.605 - 628.

[104] Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Асимптотические свойства неабелевых калибровочных теорий во внешнем гравитационном поле. //ЯФ. -1984, -т.40, вып.5, -с.1338 - 1343.

[105] Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Асимптотическая свобода и асимптотическая конформная инвариантность в искривленном пространстве - времени. //Изв. ВУЗов СССР. Физика. -1983, N12, -с.108 - 109.

[106] Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д., Шапиро И.Л. Уравнение ре-нормализационной группы и асимптотическая конформная инвариантность во внешнем гравитационном поле. Теоре-

тико - групповые методы в физике. Труды третьего семинара. -М.: Наука, 1986, -т.1, -с.115 - 121.

[107] Green М.В., Schwarz J.H. The hexagon gauge anomaly in type I superstring theory // Nucl. Phys. B. -1985, -v.255, -p.93-114.

[108] Wess J., Zumino B. Consecuences of anomalous Ward identities // Phys. Lett. B. -1971, -v.37, -p.95.

[109] Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Asymptotical behaviour of the effective potential in an external gravitational field. //Lett. Nuovo. Cim. -1985, -v.44, N8, -p.601 - 606.

[110] Fradkin E.S., Kalaschnikov O.K. Asymptotically free SU(5) model of unified interactions. //Phys. Lett. -1976, -v.64B, N2, -p. 177 - 180.

[111] Бухбиндер И.JI., Шапиро И.Л., Ягунов Е.Г. Асимптотически свободные и асимптотически конформно инвариантные модели квантовой теории поля в искривленном пространстве - времени. -1989, 23с. (Препринт ТФ СО АН СССР, N35).

[112] Buchbinder I.L., Shapiro I.L., Yagunov E.G. The asymptotically free and asymptotically conformally invariant grand unification theories in curved space - time. //Mod. Phys. Lett. -1990, -v.5, N20, -p.1599 - 1604.

[113] A.G.Jacksenaev, I.L.Shapiro. Gauge fixing dependence of the one-loop divergences in higher-derivative quantum gravity with

scalar field and the effective potential. // Classicall and Quantum Gravity, -1994, -v.ll, -N5, p.1677-1685.

[114] И.Л.Бухбиндер, С.В.Кетов. Однопетлевой контрчлен для 4-мерной сигма - модели с высшими производными. //ТМФ, -1988, -т.77, -N1, с.42-50.

[115] I.L.Buchbinder, S.V.Ketov. The Fourth - Order Non - linear Sigma - Models and Asymptotic Freedom in Four Dimensions. //Fortschitte der Physik, -1991, -39, -Nl, pl-20.

[116] И.Л.Шапиро, А.Г. Жексенаев. Калибровочная зависимость эффективного потенциала в квантовой R2 -гравитации со скалярним полем. // Ядерная Физика, -1993, -т.56, -N10, с.238-246.

[117] А.Г.Жексенаев, И.Л.Шапиро. Калибровочная зависимость в квантовой гравитации с высшими производними: явное вычисление. //Ядерная Физика, -1994, -т.57, -N11, с.2103-2104.

[118] Tseytlin A.A. Conformal anomaly in two-dimentional sigma model on a curved background and strings // Phys. Lett. B.-1986.- Vol. 178.- P. 34-40.

[119] Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения матеметической физики.- M.: Наука, 1972,- 735с.

[120] Квантовая теория калибровочных полей: сб. статей/ Под ред. Н.П.Коноплёвой.- М.: Мир, 1977.- 436 с.

[121] Гитман Д.М., Ляхович С.Л., Тютин И.В. Гамильтонова формулировка теории с высшими производными // Изв. ВУЗов. Физика.- 1983.- Т. 26, N 8.- с. 61-66.

[122] Buchbinder I.L., Lyakhovich S.L. Canonical quantization and local measure of R2 gravity // Class. Quant. Grav.- 1987.- Vol. 4.- P. 1487-1501.

[123] Бухбиндер И.Л., Ляхович С.Л. Замечание о гамильтоновой формулирровке теорий с высшими производными // Изв. ВУЗов, Физика.- 1985.- Т. 28, N 9, с. 65-69.

[124] Бухбиндер И.Л., Ляхович С.Л. Каноническое квантование теории гравитации с высшими производными // Изв. ВУЗов. Физика.- 1985.- Т. 28, N 12.- с. 3-9.

[125] Бухбиндер И.Л., Каратаева И.Ю., Ляхович С.Л. Каноническое квантование D-мерной Д2-гравитации // Теор. Мат. Физ.- 1991.- Т. 87, N 1.- с. 141-153.

[126] Бухбиндер И.Л., Ляхович С.Л. Каноническое квантование теорий с высшими производными. Квантование R2-гравитации // Теор. Мат. Физ.- 1987.- Т. 72, N 2.- с. 204-218.