Дифракция звуковых волн на эллиптических цилиндрах и эллипсоидах вращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Родионова, Галина Александровна

• Родионова, Галина Александровна
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Родионова, Галина Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ—

1. О ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛШЗДРАХ И

ЭЛЛИПСОИДАХ ВРАЩЕНИЯ

1.1 Обзор литературы по задачам дифракции звуковых волн

на эллиптических цилиндрах и эллипсоидах вращения

1.2 Основные уравнения и модели, используемые при постановке задач дифракции звуковых волн

1.3 Волновые функции эллиптического цилиндра

1.4 Волновые сфероидальные функции

2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ЦИЛИНДРАХ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

2.1 Колебание эллиптического цилиндра под действием плоской звуковой волны

2.2 Рассеяние плоской звуковой волны движущимся акустически жестким эллиптическим цилиндром

2.3 Рассеяние плоской звуковой волны движущимся акустически мягким эллиптическим цилиндром

3. ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА УПРУГИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ Ц1-ТИНДРАХ

В ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

3.1 Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой теплопроводной жидкости

3.2 Рассеяние коротких звуковых волн упругой эллиптической цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде

4. ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЛИПСОИДАХ

ВРАЩЕНИЯ

4.1 Дифракция плоской звуковой волны на движщемся импедансном сфероиде

4.2 Рассеяние плоской звуковой волны жидким сфероидом, вращающимся в однородной неподвижной жидкости

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифракция звуковых волн на эллиптических цилиндрах и эллипсоидах вращения»

ВВЕДЕНИЕ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Построение математических моделей и создание соответствующего программного обеспечения для исследования волновых полей в присутствии тел сложной геометрической формы являются актуальными для различных областей деятельности человека. Особенно важное значение они имеют в гидроакустике, радиотехнике, сейсмологии и при использовании ультразвука в различных областях техники. К настоящему времени получены решения задач дифракции на телах разнообразной геометрической формы. Классическими являются решения на телах цилиндрической и сферической формы. В последние десятилетия широко рассматриваются задачи на телах более слозкной формы: эллипсоидах вращения и эллиптических цилиндрах. Интерес к задачам дифракции на этих телах объясняется тем, что класс бъек-тов, которые могут быть аппроксимированы телами подобной формы гораздо шире класса объектов, охватываемых сферами и цилиндрами. Особенно большой теоретический и практический интерес представляет решение задач дифракции с учетом реальных свойств содержащей среды (вязкости, теплопроводности) и упругих свойств материала рассеивателя. Такие задачи изучены в гораздо меньшей степени, чем задачи дифракции в идеальных средах. Кроме того, особый интерес для практики представляет исследование дифракции звука на движущихся объектах.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе рассматривается ряд задач теории звука на эллиптических цилиндрах и сфероидах, а именно: рассбяние плоской звуковой волны движущимися акустически жестким и акустически мягким эллиптическими цилиндрами; колебание эллиптического цилиндра под действием плоской звуковой волны; дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой теплопроводной жидкости; рассеяние коротких звуковых волн упругой эллиптической цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде; дифракция плоской звуковой волны на движущемся импе-дансном сфероиде; рассеяние плоской звуковой волны вращающимся жидким сфероидом. Математически каждая из этих задач приводит к нахождению решений дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, удовлетворяющих соответствующим граничным условиям.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является математическая постановка и получение обоснованного решения каждой из вышеперечисленных задач, построение

алгоритмов их численного решения, получение численных результатов при реализации этих алгоритмов на ЭВМ и их качественный анализ с точки зрения происходящих физических процессов. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ - аналитические методы (строгие и приближенные). Ряд задач решен на основе метода разделения переменных. Этот метод позволяет получить точное решение во всем частотном диапазоне и, если размер тела существенно не превосходит длину волны, быстро довести решение задачи рассеяния звуковых волн до численного результата. Кроме того, в работе использовались - метод Блохинцева, метод преобразования координат, метод локального поля. Численные расчеты были выполнены на ЭВМ.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Задачи, рассматриваемые в диссертационной работе, являются по своей постановке новыми и впервые решены автором. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты, полученные в диссертации, представляют собой вклад в развитие теории дифракции акустических волн на сфероидах и эллиптических цилиндрах. Пакеты прикладных программ, реализующие полученные решения на ЭВМ, могут быть использованы для получения численных результатов, необходимых при практическом использовании в гидроакустике, ультразвуковой технологии.

Диссертационная работа связана с планом основных научных ра-oor TyjibCKCi'O государственного ^нгтоер^^тет?. p-biiioлн п ji-j*.* jъ в соот— ветствии с планом госбюджетной работы "Некоторые вопросы прикладной математики и механики" (N гос. per. 01860084679 и N гос. per. 01910046438) и в соответствии с планом хоздоговорной работы "Ргз-работка математического и программного обеспечения идентификации характеристик динамического взаимодействия злементов сложных динамических систем" (N гос.per. 01890036767) кафедры "Прикладная математика и информатика".

Ряд полученных в диссертации теоретических результатов использованы для построения математических моделей и создания соответствующего программного обеспечения,которые переданы НПО "Сплав" и внедрены там ( см. Приложение ).

АПРОБАЦИЯ. Материалы диссертационной работы докладывались на Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Секция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Тула, 1988г.), на 26-35 научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ

(Тула,1986-1996г.)

ПУБЛИКАЦИИ . Основные результаты диссертации опубликованы в работах/1-7 /.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 95 наименований; содержит 122 стр. машинописного текста в том числе 19 рисунков, 3 таблицы, приложение на Iстраницу.

СОДЕРЖАЩЕ ДИССЕРТАЦИИ. Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней содержится обзор литературы по задачам дифракции звуковых воля на эллиптических цилиндрах и сфероидах. Кроме того, приведены уравнения и модели, используемые при постановке задач дифракции акустических волн.

Во второй главе рассматриваются задачи дифракции звуковых волн на движущихся эллиптических цилиндрах в идеальной жидкости.

В разделе 2.1 рассмотрена задача рассеяния плоской звуковой волны на бесконечном акустически жестком эллиптическом цилиндре, взвешенном в идеальной жидкости. Определена амплитуда колебаний цилиндра и найдено выражение для давления рассеянной волны. При нахождении указанных величин, используется разложение в ряды по функциям Матье. Неизвестные коэффициенты в разложении находятся как решение бесконечных систем линейных уравнений . Показывается, что эти бесконечные системы могут быть решены методом усечения. Представлены графики, с помощью которых проведен анализ влияния на амплитуду колебаний различных параметров падающей волны.

В разделе 2.2 рассматривается задача рассеяния плоской звуковой волны на акустически жестком бесконечном эллиптическом цилиндре, движущемся с постоянной скоростью, много меньшей скорости звука. Решение задачи сводится к решению уравнения Гельмгольца в системе координат, связанной с приемником. При этом используется метод Влохинцева. Получено выражение для определения характеристик акустического поля рассеянного движущимся цилиндром. По результатам численных расчетов построены диаграммы распределения давления на поверхности эллиптического цилиндра. Анализируется зависимость этого распределения от скорости движения (числа Маха) и волнового размера.

В разделе 2.3 рассматривается задача о рассеянии плоской звуковой волны на движущемся с дозвуковой скоростью, акустически мягком эллиптическом цилиндре. Получено аналитическое решение задачи

с использованием преобразований, приводящих волновое уравнение в подвижной системе координат к уравнению Гельмгольца. Решение найдено в виде разложений по функциям Матье.

При рассмотрении дифракционных задач иногда необходимо учитывать реальные свойства жидкостей и материала рассеивателя.

В третьей главе данной работы рассматривается задача дифракции плоской звуковой волны на бесконечном упругом эллиптическом цилиндре, помещенном в вязкую теплопроводную жидкость.

В разделе 3.1 получено строгое аналитическое решение данной задачи. При решении использовался метод разделения переменных и разложение искомых функций в ряд по функциям Матье. Однако это решение удобно для численных расчетов лишь в диапазоне небольших значений волнового размера. Проведены расчеты и выполнен анализ вклада каждой из мод разложения.

В разделе 3.2 найдено решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны упругой эллиптической цилиндрической оболочкой в случае коротких волн. Для его получения использовался метод локального поля. Проведены численные расчеты.

Четвертая глава посвящена получению решений задач дифракции на движущихся сфероидах.

В разделе 4.1 находится решение задачи дифракции звуковой волны на сфероиде, движущемся в пространстве с постоянной скоростью У0, много меньшей скорости звука. Проницаемость сфероида учитывается предположением, что известно значение удельного акустического импеданса для сфероида. При получении решения используется метод Блохинцева.

В разделе 4.2 решена задача рассеяния плоской звуковой волны жидким сфероидом, вращающимся с постоянной угловой скоростью внутри неподвижной однородной жидкости. Найдено акустическое поле внутри и вне сфероида. Проведен анализ полученных результатов.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ :

1. Решение задачи о колебании эллиптического цилиндра под действием плоской звуковой волны.

2. Решение задачи рассеяния плоской звуковой волны движущимся акустически жестким эллиптическим цилиндром.

3. Решение задачи рассеяния плоской звуковой волны движущимся акустически мягким эллиптическим цилиндром.

4« Решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой теплопроводной жидкости.

5. Решение задачи рассеяния коротких звуковых волн упругой эллиптической цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде,

6. Решение задачи дифракции плоской звуковой волны на движущемся импедансном сфероиде.

7. Решение задачи рассеяния плоской звуковой волны жидким сфероидом, вращающимся внутри неподвижной однородной жидкости.

1 . О ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ И ЭЛЛИПСОИДАХ ВРАЩЕНИЯ

1.1. Обзор литературы по задачам дифракции звуковых волн на эллиптических цилиндрах и эллипсоидах вращения

Рассмотрению задач дифракции звуковых волн на эллиптических цилиндрах и эллипсоидах вращения посвящен целый ряд работ. В работе / 8 / изучено рассеяние звуковых волн на акустически жестком и акустически мягком эллиптических цилиндрах. Решение получено с использованием разложений по функциям Матье. В работах /9-11/, рассмотрена задача рассеяния звуковых волн проницаемыми эллиптическими цилиндрами, В работе /10/ , найдено точное решение для низких частот и проведены расчеты для этого случая, при решении также использовались функции Матье. В работе /11 / решение данной задачи сводится к решению интегральных уравнений. Рассматривается случай, когда длина волны большая по сравнению с межфокусным расстоянием эллиптического цилиндра. Получены аппроксимирующие выражения для внешнего и внутреннего поля. Проведены расчеты амплитуды рассеяния в дальней зоне. В работе /12/ ,была рассмотрена задача рассеяния звуковых волн акустически жестким и упругим эллиптическими цилиндрами. При решении этих задач использовался метод Т-матриц. Были выполнены численные расчсты для акустичсс^и. жесткого и алюминиевого эллиптических цилиндров. В работах /13/, /14/ решены задачи рассеяния звука эллиптическим цилиндром при граничных условиях специального вида: часть граничной поверхности акустически жесткая, часть - акустически мягкая. При решении использовались разложения в ряды по функциям Матье. Некоторые работы посвящены рассмотрению задач дифракции звука на нескольких эллиптических цилиндрах /15/,/16/. При решении используются теоремы сложения для функций эллиптического цилиндра /17/. Во всех выше перечисленных работах полагают, что среда, в которую помещен объект, идеальная.

Гораздо большее число работ посвящено исследованию задач дифракции звуковых волн на эллипсоидах вращения (сфероидах). В работе /18/ рассмотрено рассеяние звука вытянутым жестким сфе-

роидом, а в /19/ акустически мягким сфероидом. Решения получены в виде бесконечного ряда по волновым сфероидальным функциям. В работах /20-2-5/ приведены результаты расчетов характеристик рассеяния звука абсолютно жесткими , а также мягкими сфероидами в различных диапазонах изменения волновых размеров, конфигурации и ориентации их в поле падающей волны. Значительное число работ посвящено дифракции коротких звуковых волн на телах сфероидальной формы .например, работы /26-30/ . Работа /31/ посвящена исследованию дифракции звуковых волн на сфероиде со смешанными граничными условиями. В /32/ решена задача дифракции акустических волн на жидком сфероиде. Приближенное решение данной задачи в случае низких частот получено в /33/. Рассеянию плоских волн на жестком вытянутом сфероиде, окруженном конфокальной оболочкой из проницаемого акустического материала посвящена работа /34/. Теоретическое исследование рассеяния плоской звуковой волны импедансным сфероидом при произвольном угле падения проводилось в работе. /35/. Ряд работ посвящены рассмотрению рассеяния звуковых волн упругими сфероидами так, например, в /36-38/ приведены результаты численного исследования данной задачи. Звуковое поле, рассеянное неоднородным эллипсоидом вращения при произвольном распределении плотности рассеивателя , исследуется в работе /39/. В работах / 40-42/ произведено исследование рассеяния звуковых волн телами сфероидальной формы с учетом реальных свойств содержащей .жидкости (вязкости и теплопроводности). В настоящее время для решения задач дифракции на сфероидах широкое распространение получил метод Т-матриц /43/. В работе /44/ выводится представление Т-матриц в сфероидальных координатах и приводится доказательство сходимости метода. В работе /45/, используя этот метод производится анализ задачи рассеяния звука упругими сфероидами и приводятся частотные характеристики сигнала отраженного от сфероидов из различных материалов.

Некоторые работы посвящены изучению рассеяния звуковых волн на движущихся сфероидах.

В работе /46/ решалась задача дифракции плоских звуковых на колеблющимся сфероиде. Было получено точное решение задачи в случае произвольного колебания поверхности сфероида. На основании точных формул получены приближенные выражения для случая тонкого сфероида. В работах /47,48/ решалась задача рассеяния плоской звуковой

волны на движущемся прямолинейно с постоянной скоростью акустически жестком сфероиде. При решении использовался метод Блохин-цева /49/. В /50/ рассмотрена задача рассеяния звуковой волны на движущемся акустически мягком сфероиде. Решение получено с помощью преобразования системы координат. Задача о рассеянии звука жестким вытянутым сфероидом, движущимся в присутствии идеальной плоскости рассмотрена в /51/. Получено решение, из которого следует , что подстилающая поверхность , а также скорость движения приемника оказывают существенное влияние на распределение акустического давления на поверхности сфероида. Следует отметить , что во всех работах рассматривается движение идеального сфероида.

1.2. Основные уравнения и модели, используемые

При постановке задач дифракции звуковых волн на объектах различной формы, полагают, что скорости частиц жидкости и скорости смещения частиц упругого материала - малые величины. Из гидродинамики вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости известно, что полная система линеаризованных уравнений для малых возмущений имеет вид /52.-55/:

гщк постановке задач дифракции звуковых волн

я у

¿•Д7 - («!'-

11

(1Л)

г

о

-нИУ(У) = О

(1.2)

(1.3)

(1.4)

2

- Р /Р

О '

7-1 = а-р

(1.5)

с

где

V - скорость смещения частиц жидкости;

jj, , \i' - первый и второй коэффициенты вязкости; у - коэффициент температуропроводности; 7 - отношение удельных теплоемкостей; с - скорость звука среды при отсутствии вязкости; Ро , р - давление и плотность среды в невозмущенном состоянии ;

Р , р - давление и плотность среды; а , р - коэффициенты пропорциональности; Т - температура среды. Представим вектор скорости частиц жидкости в виде :

V = grad ф + rot Ф , (1.6)

где <р - скалярный потенциал скоростей продольных волн; Ф - векторный потенциал скоростей вязких волн, причем dlv Ф = 0. Тогда система уравнений (I.I) -(1.5) , будет иметь вид / 54 /:

*

х -ААф + - - ткйл + = 0 ; а.?)

Ло ^ ^ П йа I FT са д t3

д Ф ГТ

\Ф = 0 , (1.8)

где

г* - v + %-v ; v = ^ ; v =

о р р

V , V - первый и второй кинематические коэффициенты вязкости

среды.

Для установившегося режима движения с временным множителем ехр(-1оЛ), система уравнений (1.7)-(1.8) приводится к системе уравнений Гельмгольца :

АФ, + ■ф1 =. О ; (1.9)

Аф, + = 0 ' <1Л0>

АФ + к^-ф = 0 , (1.11)

11

и Г

1 2

корни уравнения

А - в-к - с-к" 1 1

здесь

А

п -

ш

п

•7

- О.

о =

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Родионова, Галина Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Определен закон колебания эллиптического цилиндра под действием плоской звуковой волны. Показано, что движение цилиндра обуславливается рассеянием на нем нечетных оставляющих падающей волны. Для нахождения решения задачи необходимо решить бесконечную систему линейных уравнений. Доказано, что полученная система единственным образом разрешима.

2. Методом Влохинцева найдено приближенное решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны на абсолютно жестком эллиптическом цилиндре, движущемся в пространстве со скоростью много меньшей скорости звука. При решении задачи использовалось разложение по функциям Матье.

3. Решена задача о рассеянии плоской звуковой волны на движущемся в пространстве с дозвуковой скоростью абсолютно мягком эллиптическом цилиндре. Решение задачи сведено к отысканию акустического поля, рассеянного неподвижным цилиндром, деформированным по отношению к исходному.

4. Решена задача о рассеянии плоской звуковой волны .упругим эллиптическим цилиндром, помещенным в вязкую теплопроводную жидкость. Решение получено с использованием разложений по функциям Матье от комплексного параметра.

Б. Методом-' локального поля получено решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны упругой эллиптической цилиндрической оболочкой для случая, когда длина волны много меньше размера эллиптического сечения .

6. Решена задача о рассеянии плоской звуковой волны им-педансным сфероидом, движущимся в пространстве со скоростью много меньшей скорости звука. При решении использовался метод Влохинцева. Определено акустическое давление на поверхности сфероида.

7. Решена задача о рассеянии плоской звуковой волны вращающимся жидким сфероидом в случае, когда скорость вращения много меньше отношения волнового размера сфероида к скорости звука.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Родионова, Галина Александровна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Толоконников Л.А. , Родионова Г.А. Рассеяние звука эллиптическим цилиндром движущимся со скоростью много меньшей скорости звука,/ ТПМ - Тула,1986.- 15 с.-

Деп. в ВМШТИ 18.06.86 J* 4472-В86.

2. Толоконников Л.А. , Родионова Г.А. Колебание эллиптического цилиндра , помещенного в жидкость под действием плоской звуковой волны. / ТПИ - Тула,1986.- 2 с.-

Деп. в ВМШТИ 18.06.86 » 447I-B86.

3. Толоконников Л.А. , Родионова Г.А. Рассеяние плоской звуковой волны движущимся акустически мягким эллиптическим цилиндром .// Механика и прикладная математика.

Труды Всесоюзной конференции "Современные проблемы нформатики, вычислительной техники и автоматизации"* Секция " Проблемы теоретической и прикладной математики, 17-19 апреля 1988г.-Тула,1988. - С. 124 -130.

4. Толоконников Л.А., Родионова Г.А. Рассеяние звуковых волн упругим эллиптическим цилиндром, помещенным в вязкую жидкость. / ТПИ - ТулаЛ988.- 16с.- Деп. в ВИНИТИ 24.11.88 » 8296-В90.

5. Родионова Г.А. Рассеяние коротких звуковых волн на упругой эллиптическом цилиндре в вязкой теплопроводной жидкости.

// Известия ТулГУ,Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ - I997.-T.3.- ВыпЛ.Математика.Механика.-

, . i .•• т i : г

6. Родионова Г.А. Рассеяние плоской звуковой волны движущимся

импедансным сфероидом . /./ Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ - 1995.-T.I.- Вып.2, Механика.- С.130-134

7. Родионова Г.А. , Толоконников Л.А. Рассеяние звука вращающимся сфероидом. // Акуст, ж. - 1989. - Т.35. - Вып.5. -С.895 - 899.

8. Barakat R. Diffraction of Plane Waves by on Elliptic Cylinder. // J. Acoust. Soc. Am. - 1963. -v 35. - Л 12.-p. 1990 - -1996.

9. Burke J.E. Low-Frequency Approximation for Scattering by

penetrable Elliptic Cylinders. // J. Acoust. Soc. Am. -1964. -y 36. - # 11 .- p.2059 -

10. Yeh C. The diffraction'of waves by penetrable ribbon . // J. Math. Phis. - 1963. -v 4. - p.65 - 71

11. Goel G.C. , Jain D.L. Scattering of plane waves by a penetrable elliptic cylinder . // J. Acoust. Soc. Am. -1981 . -v 69. - J* 2.- p.371 - 379.

12. Pillay T.A.K. , varadan V.V. , Varadan V.K. Sound scattering by rigid and elastic infinite elliptical cylinders in water. // J. Acoust. Soc. Am. - 1982. -v 72. - JS 31.-p.1032 - 1037.

13. Андебура В.A. , Силеикий C.M. Рассеяние звука эллиптическим цилиндром со смешанными граничными условиями.

/7 Акуст. ж. - 1973 - J6 6. - С.897 - 901.

14. Лейко А.Г. , мяцкий В.М. Акустическое поле бесконечного эллиптического цилиндрического излучателя при смешанных граничных условиях /7 Акуст. ж. - 1971 - № 3.- С.476-478.

15. Лейко А.Г. » Омельченко А.В. Акустическое поле акустически проницаемых эллиптических цилиндров. // Акуст. ж. - 1976 -№ I. - С. 140 - 143.

16. Лейко А.Г. , Омельченко А.В. Дифракция плоской звуковой волны на акустически жестких эллиптических цилиндрах.

// Акуст. ж. - 1976 - $ I.- С. 171 - 173.

17. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. - Минск: Наука и техника, 1968. - 474с.

18. Spence R.D.,Granger S. The scattering sound from a prolate spheroid // Acoust. Soc. Amer. - 1951.-v.23.-* 6.- P.701-706.

19. Einspruch N.G.,Barlow C.A. Scattering of a congressional wave by a prolate spheroid // Quart. J. Appl. Math. - 1961.-v.19.

- J* 3. - P. 253-258.

20. Senior T.B.A. The scattering from acoustically hard and soft prolate spheroids for axial incidence // Can. J. Phys.

- 1966. - v.44.-J&3. -P. 657 -667.

21. Клешев А.А., Шейба Л.С. Рассеяние звуковой волны идеальными вытянутыми сфероидами // Акуст. журн. - 1970. - Т. 16. -Ш.-Сс264-268.

22. Клещев А.А., Клюкин И. И. ,Шейба Л. С. Рассеяние звуковой волны идеальными вытянутыми сфероидами // Всес. акуст. конф. по физ. и техн. акустике : Тез. докл. - Л. - 1973. С.II9-122.

23. Андебура В.А., Осташевский А.П. Рассеяние звука жесткими вынутыми сфероидами // Акуст. журн. -1974. -Т.20. -Ш. -

С.179-183.

24. Клещев А.А. Информативность характеристик отражения звука идеальными рассеивателями //Тр. ин-та /Ленингр. кораблестр. ин-Т т.- 1975. -Вып.97.-С.31-37.

25. Конюхова Н.Б., Пак Т.В. Дифракция плоской звуковой волны на жестком вытянутом сферооиде.- М.:ВЦ АН СССРЛ985.-61с.

26. Kaz.arinoff N.D., RItt R.K. On the theory of scalar diffraction and application to the prolate spheroids // Ann.Phys.-1959. - 7.6. 3. -P.277-299.

27. Goodrich R.F., Kazarinoff N.D. Scalar diffraction by prolate spheroids whose eccentricities are almost one // Proc. Cambridge. Phil.Soc. - 1963.- Jfc 59. - P.167-183.

28. Sleeman B.D. Integral representations associated with high frequency non-symmetric scattering by prolate spheroids

// Quart.J.Mech. and Appl.Math. -1969. -v.22. -P.405-426.

29. Sleeman B.D. On diffraction at short wavelenghts by a prolate spheroid // J.Inst.Math, and Appl. -1969. - v.5. 4.

-P.432-442.

30. Клещев А.А. Рассеяние звука идеальными сфероидами в предельном случае высоких частот /У Акуст. гсурн. -¿те. -Т. 19. -Ф 5.

- С.699-704.

31. Рождественский К.Н., Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на сфероиде со смешанными граничными условиями

// Акуст. ж. - I988.-T.34.-N 5. - С. 925-928.

32. Yeh С. Scattering of acoustic waves by a penetrable prolate spheroid. 1. Liquid prolate spheroid // J. Acoust. Soc. Amer.

- 1967.-7.42.-Jft 2.- P.518-521.

33. Burke J.E. Scattering by a penetrable spheroid // J. Acoust. Soc. Amer. - 1968.-v. 43.-JG 4.- P.871-875.

34. Yeh C. Scattering by liquid-coated prolate spheroids

// J. Acoust. Soc. Amer. - 1969.-v.46.-* 3.- P.797-801.

35. Sllbiger A. Scattering of sound by an elastic prolate spheroid /7 J. Acoust. Soc. Amer. - 196T.-v.42.-Jfe 2.- P.518-521.

36. Клещев А. А. Рассеяние звука упругой сжатой сфероидальной оболочкой // Акуст. журн. -1973. -T.I9. -I 5. - С.699-704. .

37. Клещев А.А. Характеристики рассеяния звука упругими телами сфероидальной формы /7 Тр. ин-та /Ленингр. кораблестр. инТ.- 1978. -С.43-48.

38. Клещев А.А. , Ростовцев Д.М. Рассеяние звука упругой жидкой эллипсоидальными оболочками вращения // Акуст. журн. -1986. -Т.32. -Jfe 5. - С.691-694. .

39. Толоконников Л.А., Дружков A.M. Рассеяние плоской звуковой •волны на неоднородном эллипсоиде вращения // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула,1986. - С.93-100.

40. Пой П.И. , Толоконников Л. А. Рассеяние коротких звуковых волн эллипсоидом вращения в вязкой среде /7 Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. -Тула,1980. - С.113-117.

41. Толоконников Л.А., Новикова М.В. О рассеянии коротких звуковых волн на сфероиде в вязкой теплопроводной среде. -Тула,1985. -25с. Деп. в ВИНИТИ 30.10.85, Jfe 7578-В.

42. Пой П.И. , Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны сфероидом, взвешенным в вязкой среде // Некоторые вопросы

дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. - Тула, 1984. - С.67-72. ^эЛэгтап P.O. New FoimO at ion of аеоияШ; »oatteeing /7 J. Acoust. Soc. Amer. - 1969.-v.45.-$ 6.- P.1417-1429.

44. Hackman R.H. The transition matrix for acoustic and elastic wave scattering in prolate spheroidal coordinates

//J. Acoust. Soc. Amer. - 1984.-v.75.-Jfe 1.- P.35-45.

45. Hackman R.H., Sammelman G., Williams K., Trivett D. A reanalyzes of the acoustic scattering from elastic spheroids //J. Acoust. Soc. Amer. - 1988.-v.83.-Jfe 4.- P.1255-1266.

¿6. Ной П.И. , Толоконников Л.А. О колебании сфероида, помещенного в жидкость под действием плоской звуковой волны . <7 Сб.науч.тр.каф.высш.мат.- Тула.- ТулПИ. - 1975.-Вып.3.-С, 63 -67.

47. Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны на движущемся сфероиде .// Сб. Прикладная математика .- Тула.

- ТулГШ. - 1975.-Вып.2.- С. 50 -53

48. Цой П.И. , Толоконников Л.А. О рассеянии плоской звуковой волны на движущемся абсолютно жестком сфероиде.-/ ТПМ.-Тула,1979.-12с.- Деп. в ВИНИТИ 28.09.79 № 3407-79.

49. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды.-2-е изд. - М:Наука, 1981. - 206с..

50. Толоконников Л.А. О рассеянии плоской звуковой волны на движущемся акустически мягком сфероиде .// Сб. Прикладная математика Тула. - ТулПИ. - 1976.-Вып.I.- С. 10 -14.

51. Толоконников Л.А. .Рождественский К.Н. Рассеяние звука на сфероидальном объекте, движущемся в полупространстве.

// Механика и прикладная математика. Тез.докл.Всесоюзн. конф. ,17 апреля 1988.-ТулаЛ988,- С.71-77.

52. Кочин Н.Е. , Кибель И.А. , Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. - 4-е изд.,перераб. и дополн. - М:Физматгиз, 1963.- Т.2. - 728с.

53. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. -2-е изд.

- М:Гостехиздат,1954. - 794с.

54. Цой П.И. Дифракция цилиндрических и плоских стационарных звуковых волн на цилиндре в вязкой теплопроводной среде. // Мех. жидк. и газа. - 1972. - № 3. - с. 147 - 152.

55. Коненков Ю.К. О волнах в вязкой жидкости. // Акуст. ж. -1362 - » 3. - С. 320 - 324.

56. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. - М:йзд. МГУ, 1971.-246с.

57. Тихонов А.И. , Самарский A.A. Уравнения математической физики. - М:Наука Л966. - 796с.

58. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. - М:Мностр.литер.Л950.

59. Уиттекер З.Т., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа.

- 2-е изд. - М:Наука Л963.-Т.2. - 516с.

60. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнитизма. - М:Гостехиздат, 1948. - 540с.

61. Таблицы для вычислений функций Матье. - М: ВЦ АН СССР,

1967. - 280с.

62. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. -М:Мностр.литер.,I953. - 476с.

63. Бейтмен Г. .Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. - М:Наука,1967.- 300с.

64. Blanch G., Clemm В. Mathieu's equation for complex parameters . Table of characteristic value.- Washingtone : Gov.print.off.,- 1969.-273p.

65. Meixner J, Schafke F.M.,Wolf G. Mathieu functions and spheroidal functions and their mathematical foundations.-Berlin:Springer,1980.-126p.

66. Справочник по специальным функциям. /Под ред. М.Абрамовича, И.Стигана. - М:Наука,1979.-832с.

67. Meixner J. , Schafke F.W. , Wolf G. Mathieu funktionen und Shparoidfunctionen. - Berlin: Springer Verlay, 1954.

68. Морс Ф.М. , Фешбах Г. Методы теоретической физики. - М: Мностр. литер., 1958. - T.I. - 930с.

69. Фламмер К. Таблицы сфероидальных волновых функций .М: ВЦ АН СССР, 1962. - 258с.

70. Censor D. Propogation and Scattering of Sound Waves in Moving Media. // Israel .journal of technology, -

1971 . - V.9. - Jf№ 1-2. - P. 7 -17.

71. .Толоконников Л.А. Рассеяние звуковой волны на движущемся цилиндре */ ТПИ - Тула,1984»- с. 11

Деп, в ВИНИТИ 14.08.84 № 5329-84

72. Кожин В.А. Излучение и рассеяние звука цилиндром в вязкой среде // Акуст. ж. -1970.-2.-Т.16.-С.269-279.

73. Канторович Л.В. , Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа .М:Наука, 1962.-708с.

74. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 5-е изд.,пере-раб. - М:Наука,1978. - 736с.

75. Ollendorf P. Versuch einer relativischen Schalltheorie bewegler Korper . // Acustica. - 1982. - V. 50 - Jfc 2.-

n r\ fyl

.o. a d - :Ъ.

76. Иванов E.A. , Марневская Л.А. Рассеяние звуковой волны

на сфере» движущейся в пространстве с дозвуковой скоростью. /7 Докл. АН БССР. - 1972.-Т.16. - Я I. - С. 5-7.

77. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. - М. : Наука, 1981.- 287с.

78. Uberall Н. Surface waves In Acoustics.

In Physical Acoustics, edited by W.P.Mason and R.N.Thurston. V.10. - New York : Academic, 1973.- P.1-60.

79. Dickey J.N., Uberall H. Acoustic high-frequency scattering by elastic cylinders /7 J.Acoust.Soc.Amer. - 1979.-V.66.-P.275-283.

80. Flax L. Dragonette L.R., Uberall H. Theory of elastic resonance excitation by sound scattering //J.Acoust.Soc.Amer. - 1978.-V.63.- P.723-731.

81. Plax L. Gaunard G.G., Uberall H. .Theory of resonance scattering . In Physical Acoustics, edited by W.P.Mason and R.N.Thurston. V.I5. - New York : Academic, 1981.- P.191-294.

82. Marston P.L. GTD for backscattering from elastic spheres and cylinders in water and the coupling of surface elastic waves with the acoustic field .//J.Acoust.Soc.Amer. - 1988. -V.83.-N1. - P.25-37

83. Flax L. e.a. Resonant scattering of elastic waves from SDherical solid inclusions.//J.Acoust.Soc.Amer. - 1980. -V.67.-N5.-P.I 432-1442..

84. Peterson E.,Varadan V.'•/.,Yaradan 7.K.

Scattering of acoustic waves by layered elastic and viscoe-lastic obstacles in water .//' J.Acoust.Soc.Amer. - 1980. -V.68(2). - P.673-685.

85. Пой П.И. ,Толоконников Л.А. Рассеяние коротких звуковых волн эллипсоидом вращения в вязкой среде. / Сб. Некото, рые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. - Тула. - TIM. - 1980.

86. Физическая акустика./ Под ред. Мэзона.- М.:Мир,1969.~ Т .2,часть Б. - 420с.

87. Константинов В.П. О прохождении звуковых волн при отражении от твердой границы л/ Ж.тех. физики - !939.-Т.9- N3.

88. Савельев А.Я. Эффект Константинова в некоторых задачах акустики. // Акуст. ж. - 1973. - Т.21. - Вып.2. -

С.231 - 239.

89. Марневская Л.А. Рассеяние звуковой волны на шаре .движущемся в пространстве с дозвуковой скоростью.

.// Акуст. ж. - 1974. - Т.20. - Вып.5. - С.796 - 799.

90. Алексеев В.Н. Рассеяние низкочастотного звука сферой, движущейся в идеальной жидкости /7 Акуст. ж. - 1995. - Т.41. -Вып.З. - С.375 - 380.

91. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на движущемся неоднородном шаре //' Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Информатика. Тула: ТулГУ, -1995.-Т.I.-Вып.2.-С.I5I-I57.

92. Censor D. , Aboudi J. Scattering of sound waves by rotating cylindrs and spheres. // J. Sound and Yibr. -1971. - V.19. - J* 4. - P. 437 - 444.

93. Pekeris C.L. Studies in reverberation. II. Scattering of sound by a cylindrical vortex embedded in a fluid at rest. /7 J. Acoust. Soc. Am. - 1982. -v 71. - $ 5.-p.1106 - 1108.

94. Morse P.M. , Ingard K.U. Theoretical acoustics. -New York: Mc Graw-Hill, 1968. - 927p.

95. Хенл X. , May эр A. , Вестпфаль К. Теория дифракций. М:Мир,I964.- 427с.