Дифракция нестационарных (импульсных) звуковых сигналов на телах в форме сфероидов и эллиптических цилиндров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Елена Ивановна

• Кузнецова, Елена Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Елена Ивановна

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 Дифракция плоской звуковой волны на телах сфероидальной формы, находящихся в свободном пространстве и у границ раздела сред

1.1 Характеристики отражающей способности тел. Граничные условия

1.2 Рассеяние звука идеальными сфероидами (вытянутыми и сжатыми)

в безграничной среде. Преобразование Ватсона

1.3 Рассеяние звука упругими телами сфероидальной формы

1.4 Дифракция стационарного звука на рассеивателе сфероидальной формы, помещенном вблизи границы раздела сред

1.5 Заключение

2 Рассеяние и излучение нестационарного (импульсного) звукового сигнала телами сфероидальной формы

2.1 Рассеяние гармонического импульса идеальными и упругими телами сфероидальной формы, находящимися в жидкой безграничной среде

2.2 Рассеяние частотно-модулированного импульса идеальными и упругими телами сфероидальной формы, находящимися в жидкой безграничной среде

2.3 Рассеяние нестационарного звукового сигнала идеальными полусфероидами, находящимися на границе раздела сред

2.3.1. Падающий гармонический импульс

2.3.2. Падающий частотно-модулированный импульс

2.4 Излучение нестационарного звукового сигнала упругой вытянутой сфероидальной оболочкой

2.4.1. Возбуждающий гармонический импульс

2.4.2. Возбуждающий частотно-модулированный импульс

2.5 Интерференция импульсов, отражённых и излучённых телами сфероидальной формы

2.6 Рассеяние импульсных звуковых сигналов сфероидальным телом,

находящимся в плоском волноводе

2.7 Заключение

3 Дифракция стационарного и нестационарного звука на телах в

форме эллиптического цилиндра

3.1 Волновые функции эллиптического цилиндра и некоторые их свойства

3.1.1. Уравнение Гельмгольца в эллиптических координатах. Волновые функции

эллиптического цилиндра

3.1.2. Функции Матье и некоторые их свойства

3.1.3. Модифицированные функции Матье и некоторые их свойства

3.1.4. Разложение плоской и сферической волн по волновым эллиптическим функциям. Интегральные представления волновых функций

3.1.5. Теоремы сложения для эллиптических волновых функций

3.2 Взволнованная поверхность моря в качестве акустического рассеивателя

3.3 Дифракция плоских звуковых волн на бесконечной решетке из идеально мягких эллиптических цилиндров

3.4 Рассеяние плоских звуковых волн на идеально мягком эллиптическом цилиндре (плоская задача)

3.5 Взаимодействие двух идеально мягких эллиптических цилиндров

3.6 Рассеяние нестационарных (импульсных) звуковых сигналов телом в форме эллиптического цилиндра

3.7 Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифракция нестационарных (импульсных) звуковых сигналов на телах в форме сфероидов и эллиптических цилиндров»

Введение

Задачи дифракции и излучения стационарного и нестационарного звуковых сигналов идеальными и упругими телами различных простых форм (сфера, бесконечный цилиндр, сфероид) всегда вызывали большой интерес. Этим вопросом посвящено очень много исследований. Выделим наиболее важные из них.

С помощью преобразования Ватсона решена задача дифракции стационарного звука на сферических и цилиндрических идеальных [1] и упругих [2] телах для высоких частот. Задача прохождения звука через анизотропные тела исследована в работе [2]. Методы решения задач дифракции электромагнитных и акустических волн на идеальных простых телах (сфера, бесконечный цилиндр, сфероид, бесконечно тонкий диск) и на телах, имеющих ребра, рассмотрены в [3]. Задача рассеяния звуковых пучков на упругих телах сферической и цилиндрической формы решена в [4]. Систематизированные сведения о методах решения задач дифракции и рассеяния звука содержатся в [5]. Дифракция акустических импульсов на упругих телах сферической и цилиндрической форм исследована в [6]. Рассеянию акустических волн на морских организмах посвящена монография [7]. Распространение звука в присутствии пузырных рыб было изучено в [8]. Задача дифракции электромагнитных волн на двух телах (круговых цилиндрах, сферах, сфероидах, дисках, эллиптических цилиндрах) была решена в [9]. В работах [10-12] предложена модель морского волнения в виде решеткииз эллиптических цилиндров. Решение задачи дифракции плоской звуковой волны на решетке идеально мягких эллиптических цилиндров было представлено в статье [13].

Актуальность темы определяется:

Задачи обнаружения объектов в морской среде является крайне важными и во многом на настоящее время не решены: вопросы поиска затонувших объектов, прокладки придонных трасс трубопроводов (газовых и нефтяных), а также задачи дифракции акустических волн на телах неаналитической формы, особенно в диапазоне низких частот с учётом резонансных свойств объектов. Дальнейшее совершенствование методик расчёта рассеяния звука на телах необходимо не только для поиска подводных комплексов, но и для разработки средств акустической защиты. До настоящего времени в технической литературе недостаточно полно рассмотрены вопросы рассеяния звуковых импульсов (нестационарных сигналов) сфероидальными телами. Особо важными являются задачи определения временных и спектральных характеристик сигналов, отраженных от подводных лодок. Знание этих характеристик позволяет совершенствовать алгоритмы обработки эхо-сигналов в приёмных трактах обнаружения. С другой стороны, на основе этих характеристик будут разработаны средства акустической защиты, что обеспечит решение важнейшей задачи повышения скрытности подводных объектов.

Основные положения, выносимые на защиту, цель работы:

1. Результаты численных экспериментов по определению временных и спектральных характеристик отражения импульсных сигналов.

2. Характеристики излучения упругой оболочки сфероидальной формы при точечном импульсном её возбуждении.

3. Метод мнимых источников и мнимых рассеивателей, используемый при решении задачи рассеяния нестационарного сигнала сфероидальным телом, находящимся в плоском волноводе. Результаты численного эксперимента.

4. Угловые и амплитудно-фазовые характеристики рассеяния стационарного звука одиночным эллиптическим цилиндром.

5. Решение задачи о взаимодействии рассеивателей в форме эллиптических цилиндров и расчет угловых и амплитудно-фазовых характеристик взаимодействия двух идеально мягких эллиптических цилиндров, аппроксимирующих две ветровые волны.

Методы исследования

Были использованы расчетно-теоретические методы.

Для расчетов отраженных и излученных импульсов использовался алгоритм быстрого преобразования Фурье, реализованный в Mathcad.

Для вычисления угловых функций Матье 1-го рода, радиальных функций Матье 1-го и 2-го родов, собственных чисел функций Матье и коэффициентов пропорциональности были использованы программы, которые написал на языке программирования С++ Файез Алхарган (Fayez Alhargan), с помощью которых диссертантом были вычислены угловые и амплитудно-фазовые характеристики идеально мягких эллиптических цилиндров. Наряду с этим автору диссертации пришлось решить проблему, связанную с различием нормировки функций Матье у Ф.Алхаргана и нормировки Гольдштейна-Айнса, с использованием которой А. Г. Лейко и В. И. Маяцкий решили задачу рассеяния плоской звуковой волны на решетке идеально мягких эллиптических цилиндров. Используя теорию А. Г. Лейко и В. И. Маяцкого и асимптотики функций Матье, диссертантом был осуществлен переход к частным случаям - задаче рассеяния плоской звуковой волны одиночным эллиптическим цилиндрам и задаче взаимодействия двух эллиптических цилиндров.

Научная новизна

Все выносимые на защиту соискателем результаты являются новыми, их отличие от уже известных результатов, полученных другими авторами, заключается в следующем:

1. До настоящего времени отсутствовали какие-либо результаты по отражению импульсного звукового сигнала телами в форме сфероидов и эллиптических цилиндров. Этот пробел успешно ликвидирован автором, в диссертации приведены в большом объёме расчётные характеристики отражённых и излучённых импульсных сигналов для тел в форме сфероидов и эллиптических цилиндров.

2. Хорошо известны многочисленные исследования по рассеянию гармонического звукового сигнала, телами, находящимися в плоском волноводе. Эти исследования опираются на применение метода нормальных волн (мод).

Автором показано, что при переходе к импульсным сигналам модель, основанная на методе нормальных волн, неприемлема. Используя другую модель (метод мнимых источников и мнимых рассеивателей), были вычислены импульсы, отражённые сфероидальным рассеивателем, помещённым в плоский волновод.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в разработке метода вычисления отражённых импульсных сигналов для тел в форме сфероидов (вытянутых и сжатых) и эллиптических цилиндров. На основе этого метода были вычислены временные и спектральные характеристики (в широком диапазоне частот) сфероидальных рассеивателей, аппроксимирующих подводные объекты различного назначения, и рассеивателей в форме эллиптических цилиндров, аппроксимирующих взволнованную морскую поверхность.

Практическая значимость исследований, проводимых в рамках диссертации, была замечена и оценена вручением автору двух грантов:

1) от американского акустического общества;

2) в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно - педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» автору был вручён грант по конкурсу № НК-755 П «Проведение поисковых научно - исследовательских работ по направлению «Судостроение»». На основании этого гранта был заключён Государственный контракт П 242 от 23 апреля 2010 года на выполнение поисковых научно - исследовательских работ по направлению «Разработка методов обнаружения подводных объектов сфероидальной формы, находящихся в свободной среде и у границ раздела сред, с помощью гидролокатора». Исследования в рамках гранта успешно завершены в октябре 2011 года.

Достоверность результатов достигается: • использованием корректных моделей и методик расчёта;

• сравнением полученных результатов с результатами других авторов;

• хорошим согласованием полученных результатов с теоретическими и экспериментальными

данными, опубликованными в литературе.

Личный вклад автора

1. Впервые выполнен расчет импульсов с гармоническим и частотно-модулированным заполнениями и прямоугольной огибающей, отраженных идеальными и упругими телами сфероидальной формы, находящимися в свободной среде и у границы раздела сред.

2. Впервые выполнен расчет импульсов, излученных упругой оболочкой сфероидальной формы при точечном импульсном её возбуждении.

3. Предложен метод мнимых источников и мнимых рассеивателей, позволяющий исследовать отражение импульсного сигнала сфероидальным телом, находящимся в волноводе.

4. Выполнен расчет угловых и амплитудно-фазовых характеристик рассеяния стационарного звука одиночным эллиптическим цилиндром.

5. Решена задача о взаимодействии рассеивателей в форме эллиптических цилиндров и выполнен расчет угловых и амплитудно-фазовых характеристик взаимодействия двух идеально мягких эллиптических цилиндров.

Краткое содержание работы

Первая глава

Кратко изложены методы решение трехмерной задачи рассеяния и дифракции стационарного звукового сигнала для идеальных и упругих сфероидальных тел. Приведены характеристики рассеяния стационарного звука идеальными и упругими телами сфероидальной формы, находящихся в свободном пространстве и у границ раздела сред.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Кузнецова, Елена Ивановна

Результаты работы используются в хоздоговорной НИР № Х-726 "Охта-У" при определении характеристик отражения сложных подводных конструкций в диапазоне низких частот.

В результате выполнения работы получены новые амплитудно-фазовые характеристики импульсных сигналов, отраженных и излучённых упругими телами сфероидальной формы и отражённых эллиптическим цилиндром, позволяющие моделировать и исследовать временные и спектральные характеристики отражения эхо-сигналов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации автором было сделано:

1. Используя быстрое преобразование Фурье и уже имеющиеся амплитудно-фазовые характеристики рассеяния плоской звуковой волны сфероидальными телами, выполнен расчет временных и спектральных характеристик рассеяния нестационарных (импульсных) сигналов с гармоническим и частотно-модулированным заполнением и прямоугольной огибающей.

2. На основе теоремы взаимности выполнен расчет импульсов, излученных упругой оболочкой сфероидальной формы при точечном импульсном её возбуждении.

3. Применен метод мнимых источников и мнимых рассеивателей, позволивший решить задачу об отражении импульсных сигналов сфероидальным телом, находящимся в волноводе, и выполнить расчеты отраженных этим телом импульсов от идеально мягкого вытянутого сфероида, находящегося в плоском волноводе.

4. Выполнен расчет угловых и амплитудно-фазовых характеристик рассеяния стационарного звука одиночным эллиптическим цилиндром.

5. Решена задача о взаимодействии рассеивателей в форме эллиптических цилиндров и выполнен расчет угловых и амплитудно-фазовых характеристик взаимодействия двух идеально мягких эллиптических цилиндров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Елена Ивановна, 2012 год

Литература

1. Шендеров E.JI. Волновые задачи гидроакустики. - JL: Судостроение, 1972.

2. Шендеров E.JI. Излучение и рассеяние звука. - Л.: Судостроение, 1989.

3. Хенл X., Мауэ А., Вестпфоль К. Теория дифракции. - М.: Мир, 1964.

4. Подстригач Я.С., Поддубняк А.П. Рассеяние звуковых пучков на упругих телах сферической и цилиндрической формы. - Киев: Наукова думка, 1986.

5. Клещёв А.А. Гидроакустические рассеиватели. СПб.: Судостроение, 1992.

6. Метсавеер Я.А., Векслер Н.Д., Стулов А.С. Дифракция акустических импульсов на упругих телах. - М.: Наука, 1979.

7. Андреева И.Б., Самоволькин В.Г. Рассеяние акустических волн на морских организмах. - М.: Агропромиздат, 1986.

8. Вестон Д. Распространение звука в присутствии пузырных рыб // Подводная акустика. Т. 2. -М.: Мир, 1970. С. 87-130.

9. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника,1968.

10. Twerski V. On the Nonspecular reflection of electromagnetic waves // J. Appl. Phys. 1951. V. 22. № 6. P. 825-835.

11. Twerski V. Certain transmission and reflection theorems // J. Appl. Phys. 1954. V. 25. № 7. P. 859862.

12. Burke J.E., Twerski V. Scattering and reflection by elliptically striated surfaces // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. V. 40. № 4. P. 883-895.

13. Лейко А.Г., Маяцкий В.И. Дифракция плоских звуковых волн на бесконечной решетке из идеально податливых эллиптических цилиндров // Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 3. С. 420-425.

14. Alhargan F. A complete method for the computations of Mathieu characteristic numbers of integer orders. SIAM Review 38,1996, 239-255.

15. Fayez A. Alhargan: Algorithm 804: subroutines for the computation of Mathieu functions of integer orders. ACM Trans. Math. Soft. w. 26(3): 408-414 (2000).

16. Fayez A. Alhargan: Algorithms for the computation of all Mathieu functions of integer orders. ACM Trans. Math. Soft. w. 26(3): 390-407 (2000).

17. Fayez A. Alhargan: Algorithm 855: Subroutines for the computation of Mathieu characteristic numbers and their general orders. ACM Trans. Math. Softw. 32(3): 472-484 (2006).

18. Клещёв A.A., Кузнецова Е.И. Дифракция нестационарного звукового сигнала на телах сфероидальной формы. Сб. тр. 19-ой сессии РАО. М.: ГЕОС, 2007. Т. 1. с. 208-211.

19. Клещёв A.A., Кузнецова Е.И. Рассеяние нестационарного звукового сигнала упругими телами сфероидальной формы. Сб. тр. 20-ой сессии РАО. М.: ГЕОС, 2008. Т. 1. с. 200-203.

20. Клещёв A.A., Кузнецова Е.И. Излучение нестационарного звукового сигнала упругой вытянутой сфероидальной оболочкой. Сб. тр. 20-ой сессии РАО. М.: ГЕОС, 2008. Т. 1. с. 203-206.

21. Клещёв A.A., Ковалёв Н.В., Кузнецова Е.И., Чайка Д.М. Рассеяние и излучение нестационарного (импульсного) частотно-модулированного звукового сигнала Сб. тр. 21-ой сессии РАО. М.: ГЕОС, 2009. с. 172-175.

22. Клещёв A.A., Кузнецова Е.И. О взаимодействии рассеивателей. // Сб. трудов XXII сессии РАО. 2010-М.: ГЕОС.Т. 1. С. 267 - 270.

23. Кузнецова Е.И. Интерференция импульсов, отраженных и излученных телами сфероидальной формы. // Судовая и промышленная акустика: Сборник докладов конференции молодых ученых и специалистов / ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. СПб., 2010. С. 87 - 100.

24. Кузнецова Е.И. Взаимодействие двух идеально мягких эллиптических цилиндров при облучении их плоской звуковой волной. Наука и технологии. Том 2. — Краткие сообщения XXX Российской школы, посвященной 65-летию Победы. - Екатеринбург: УрО РАН, 2010. С.26 - 28.

25. Кузнецова Е.И. Рассеяние нестационарных (импульсных) звуковых сигналов телом в форме эллиптического цилиндра. // Доклады XIII школы-семинара им. акад. JIM. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XXIII сессией РАО. 2011-М.: ГЕОС. С. 135 - 138.

26. Клещёв A.A., Кузнецова Е.И. Интерференция импульсов, отраженных и излученных телами сфероидальной формы. // Доклады XIII школы-семинара им. акад. JI.M. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XXIII сессией РАО. 2011-М.: ГЕОС. С. 131 - 134.

27. Клещёв A.A., Кузнецова Е.И. Рассеяние импульсных звуковых сигналов сфероидальным телом, находящимся в плоском волноводе. // Сб. трудов XXIV сессии РАО. 2011- М.: ГЕОС. Т. 1. С. 198-201.

28

29

30

31.

32,

33,

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

Клещёв A.A., Кузнецова Е.И. К вопросу о взаимодействии акустических рассеивателей // Акуст. Журн., 2011, том 57, № 4, с. 495-500.

Kleshchev A.A., Kuznetsova E.I. Interaction of Acoustic Scatterers. Acoustical Physics, 2011, Vol. 57, No. 4, pp. 58 - 63. © Pleiades Publishing, Ltd., 2011.

Клещёв A.A., Юпокин И.И. Основы гидроакустики. - JL: Судостроение, 1987. Толстой И., Клей К.С. Акустика океана. - М.: Мир. 1969.

Кинг Р., У Тай Цзунь. Рассеяние и дифракция электромагнитных волн. - М.: ИЛ, 1962. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973.

Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. - М.: Сов. радио, 1970.

Харкевич A.A. Спектры и анализ. - М.: Физматгиз, 1952.

Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций. - М.: ВЦ АН СССР. 1962.

Морз Ф. Фершбах Г. Методы теоретической физики. - М.: ИЛ, 1958. Т. 1.1960. Т. 2.

Клещёв A.A., Ростовцев Д.М. Рассеяние звука упругой и жидкой эллипсоидальными оболочками вращения. // Акуст. Журн. 1968. Т. 32. № 5. С. 691-694.

Meixner J., Schäfke F.W. Mathieshe Funktionen and Sphäroidfunktionen. Berlin, 1954.

Клещёв A.A. Рассеяние звука идеальными сфероидами в предельном случае высоких частот. // Акуст. журн. 1973. Т. 19. № 5. С. 699 - 704.

Клещев A.A., Юпокин И.И. Спектральные характеристики рассеяния звука телом, помещенным в звуковой канал // Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 3. С. 470-473.

Клещев A.A., Ростовцев Д.М. Рассеяние звука упругой и жидкой эллипсоидальными оболочками вращения//Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 5. С. 691—694.

Oguchi Т. Eigenvalues of spheroidal wave functions and their branch points for complex values of propagation constants / Radio Science. 1970. V. 5. № 8, 9. P. 1207-1214.

Клещев A.A. Угловые корреляционные функции рассеяния звука случайно ориентированным идеальным сфероидальным телом // Тр. ЛКИ. 1977. № 117. С. 32-35.

Клещев A.A. Резонансные эффекты в характеристиках рассеяния звука упругими телами сфероидальной формы// Тр. ЛКИ: Судовая акустика. 1989. С. 21-28.

46. Клещев А.А. Гидроупругие характеристики сфероидальных оболочек// Тр. VI национального конгресса по теоретической и прикладной механике. НРБ. Варна: Стоян Добрев-Стренджата, 1989. С. 464.

47. Werby M.F., Green L.H. Correspondence between acoustical scattering from spherical and end - on incident spheroidal shells //JASA. 1987. V. 81. № 3. P. 783-787.

48. Клещев А.А. Дифракция звукового пучка на упругой сфероидальной оболочке, помещенной в плоский волновод и взаимодействующей с границами // Тр. Всесоюзного симпозиума; Взаимодействие акустических волн с упругими телами. Таллинн, 1989. С. 103-106.

49. Клещев А.А. Рассеяние звука сфероидальным телом, находящимся у границы раздела сред // Акуст. журн. 1979. Т. 25. № 1. С. 143-145.

50. Клещёв А.А. Рассеяние звука сфероидальными телами, находящимися у границы раздела сред. // Акуст. журн. 1977. Т. 23. № 3. С. 404-410.

51. Клещёв А.А. Дифракция звукового пучка на упругой сфероидальной оболочке, помещенной в плоский волновод и взаимодействующей с границами. // Тр. Всесоюзного симпозиума: Взаимодействие акустических волн с упругими телами. Таллинн. 1989. С. 103-105.

52. Клещёв А.А. Рассеяние звука сфероидальным телом, находящемся у границы раздела сред. // Акуст. журн. 1979. Т. 25. № 1. С. 143-145.

53. Клещев А.А. Дифракция, излучение и распространение упругих волн. С.-Пб.: Профпринт, 2006. 160 с.

54. Лямшев JI.M. К вопросу о принципе взаимности в акустике.// ДАН СССР. 1959. Т. 125. №6. С. 1231 - 1234.

55. Ильменков СЛ., Клещев А.А. Излучение упругими телами сфероидальной формы и связь его с дифракцией звука на них.// Тр. ЛКИ: Судовая акустика. 1989. С. 15-21.

56. Ильменков СЛ., Клещев А.А., Юпокин И. И., Румянцев С. Б. Излучение упругого сфероида под действием точечного источника.// Тр. ЛКИ: Общесудовые системы. 1989. С. 100 -104.

57. Клещёв А.А. Физическая модель рассеяния звука косяком рыб, находящимся у границы раздела сред. // Акуст. журн. 2004. Т.50. № 4. С. 512 - 515.

58. Bostrom A. The Т - matrix method for scattering by an obstacle in a wavequide. In col. artic. / Ed. by Varadan V.K., Varadan V.V. Acoustic, electromagnetic and elastic wave scattering - focus on the T - matrix approach. - N. - Y.: Pergamon press. 1980. P. 211 - 224.

59. Кравцов Ю.А., Кузькин В.М., Петников В.Г. Приближённый подход к задаче о дифракции волн в волноводах с плавно меняющимися параметрами. // Изв. вузов. Радиофизика. 1983. Т. 26. № 4. С. 440 - 446.

60. Кравцов Ю.А., Кузькин В.М., Петников В.Г. Дифракция волн на регулярных рассеивателях в многомодовых волноводах. // Акуст. журн. 1984. Т. 30. № 3. С. 339 -343.

61. Квятковский С.О. Дифракция звуковых волн на рассеивателе в волноводе. // Акуст. журн. 1988. Т. 34. №6. С. 743-745.

62. Квятковский С.О. Сходимость метода Т - матриц и гипотеза Рэлея. // Изв. вузов. Радиофизика. 1987. Т. 30. № 11. С. 1408 - 1410.

63. Гринблат Г.А., Клещёв А.А. Рассеяние и излучение звука телами, помещёнными в плоский волновод. // Техн. акуст. 1993. Т. 2. № 3. С. 3 - 5.

64. Клещёв А.А., Шейба J1.C. Рассеяние звуковой волны идеальными вытянутыми сфероидами. // Акуст. журн. 1970. Т. 16. № 2. С. 264 - 268.

65. Е.Т. Уиттекер, Г.Н. Ватсон. Курс современного анализа, ч., 2. М., Физматгиз, 1963.

66. Н.В. Мак-Лахлан. Теория и приложения функций Матье. М., ИЛ, 1953.

67. Ж. Кампе де Ферье, Р. Кампбелл, Г. Петьо. Т. Фогель. Функции математической физики (справочное руководство). М., Физмгтгиз, 1963.

68. М. Стретт. Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и технике. Харьков - Киев. ОНТИ Украины, 1935.

69. J.A. Stratton, P.M. Morse, L. J. Chu, R. A, Hutner. Elliptic Cylinder and Spheroidal Wave Functions. New York, 1941.

70. R. Campbell. Théorie de l'équation de Mathieu fonttions. Paris, 1955.

71. Tables relating to Mathieu functions. Characteristic values coefficients and Joining factors. Cambridge Univ. Press. New. York, 1951.

72. E.T. Kirkpatrik. Tables of Values of the Modified Mathieu Functions. Math. Comput., 14, № 70, 118,1960.

73. E.L. Ince. Tables of the elliptical cylinder functions. Proc. Roy. Soc. Edinburg, 52, 355,1932.

74. Таблицы для вычисления функций Матье (б-ка математических таблиц, вып. 42). М., ВЦ АН СССР, 1967.

75,

76.

77,

78,

79,

80,

81.

82.

83,

84.

85.

86.

87.

88.

L. Robin. Diffraction d'une onde électromagnétique plane par un cylindre elliptique partaitement conducteur. Étude de convergence des séries obtenues. C. R. Acad. Se. Paris, 259, 4517,1964.

L. Robin. Diffraction d'une onde électromagnétique plane par un cylindre elliptique parfaitement conducteur. Cas ou la longueur d'oncle est petite par rapport a la distance focale de l'ellipse de section droite. C. R. Acad. Se. Paris, 260, 435,1965.

L. Robin. Diffraction d'une onde électromagnétique plane par un cylindre elliptique parfaitement conducteur. Cas ou la longueur d'oncle est petite par rapport â la largeur de la bande ou de la fente. C. R. Acad. Se. Paris, 260, 811,1965.

L. Robin. Diffraction d'une onde électromagnétique plane par un cylindre elliptique d'axe parallele â l'onde Extension à une bande plane et â une fente â bord parallèles dans un plan. Ann. Inst. Henri Poincare, 3, № 2, sec. A, 183,1965.

K. Germey. The Diffraction of Plane Electromagnetic Wave by Two Parallel, Infinitelly Long, Ideal Cylinders of Elliptical Cross Section. Ann. Phys., 13, № 5-6, 237,1964.

Клещёв A.A. Высокочастотная асимптотика флуктуаций рассеянной на модели ветрового волнения звуковой волны в глубоком море. // Сб.трудов 19-ой сессии РАО.Т. 1 .М.:ГЕОС.2007.С.205-208.

Клещёв А.А. Дифракция звука на упругом рассеивателе неаналитической формы. // Сб.трудов 16-ой сессии РАО.Т. 1 ,М.:ГЕОС.2005.С.240-243.

Г.З. Айзенберг. Антенны ультракоротких волн. М., Связьиздат, 1957.

JLA Вайнштейн. Теория дифракции и метод факторизации. М., «Сов. радио».

В.Д. Шестопалов. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Изд. Харьковск. гос. ун-та, 1971.

E.J1. Шендеров. Прохождение звуковой волны сквозь тонкую пластину с промежуточными опорами. Акуст. ж., 1963: 9, 3, 359-367.

Клещёв А.А. Рассеяние звука полутелами, находящимися на границе раздела двух сред // Сб. научн. тр. ЛКИ. 1975. Вып. 97. С. 24 - 30.

Клещёв А.А. Низкочастотное рассеяние импульсного звукового сигнала упругими цилиндрическими оболочками // Акуст. журн. 2011. Т. 57. № 2. С. 381-386.

Кузнецова Е.И. О взаимодей-ствии рассеивателей. XIV Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков: Тез. Докл. - СПб.: Изд. «Соло», 2010. С.57 - 59.