Коразмерности и кохарактеры полиномиальных тождеств и их обобщений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Гордиенко, Алексей Сергеевич

• Гордиенко, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гордиенко, Алексей Сергеевич

Введение

1 Сводка используемых понятий и фактов

1.1 Список обозначений.

1.2 Сведения из теории колец.

1.3 Сведения из теории представлений.

1.4 Сведения из теории полиномиальных тождеств.

2 Полиномиальные тождества, их кохарактеры и их коразмерности

2.1 Гипотеза Регева и кохарактеры ассоциативных алгебр Р1-экспоненты 1 и 2.

2.2 О тождествах в подалгебре алгебры матриц 3x3.

2.3 Графы коммутативности и их алгебры.

2.4 Тождества в алгебрах Клиффорда.

2.5 Коммутатор длины 4.

3 Коразмерности обобщенных полиномиальных тождеств

3.1 Обобщенные полиномиальные тождества и их коразмерности

3.2 Обобщенные коразмерности конечномерных алгебр.

3.3 Доказательство критерия конечности.

3.4 Обобщенные коразмерности алгебры С/Т2(Р).

4 Коразмерности функциональных тождеств

4.1 (Обобщенные) функциональные тождества и их коразмерности

4.2 Асимптотика функциональных коразмерностей.

4.3 Функциональные коразмерности матричных алгебр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коразмерности и кохарактеры полиномиальных тождеств и их обобщений»

Одним из важных аспектов исследования алгебраических систем является изучение тех тождеств, которые выполняются в этих алгебраических системах. «Хотя тождества представляют собой простейшие замкнутые высказывания логического языка, язык тождеств все же достаточно богатый, чтобы на нем можно было выражать многие тонкие свойства систем и их классов» (А.И. Мальцев [46, с. 337]) При исследовании тождеств в алгебрах естественным образом возникают числовые и теоретико-представленческие характеристики: коразмерности и кохарактеры. Коразмерности являются полезным инструментом при решении различных задач, например при доказательстве наличия или отсутствия нетривиальных тождеств [26, 27]. Более того, коразмерности служат своеобразной оценкой количества тождеств, которым удовлетворяет конкретная алгебра. Кохарактеры заключают в себе информацию о структуре представления симметрической группы на факторпространстве пространства полилинейных многочленов по под-' пространству полилинейных тождеств соответствующей степени, являясь таким образом более тонкой характеристикой тождеств, чем коразмерно- * сти. Первые применения представлений симметрической группы в PI-теории 4 следует отнести, по-видимому, к работам А.И. Мальцева [45] и В. Шпех-та [31], опубликованным в 1950 году. Использование кохарактеров является одним из главных инструментов при изучении асимптотики коразмерностей [5, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 29, 33, 34, 54, 55, 57]. Асимптотическое поведение коразмерностей и кохарактеров вызывает дополнительный интерес в связи с тем, что это поведение тесно связано со структурой изучаемой алгебры [18, 33].

В 1984 году А. Регев показал [29], что коразмерности cn(Mk(F)) полиномиальных тождеств алгебры Mk(F) всех матриц к х к над произвольным полем F характеристики 0 имеют следующую асимптотику (здесь и далее f ~ д, если lim £ = 1): к2-1 cn{Mk(F)) ~ акп ~к2п при п -» оо, (1) где ак = (^У"1 (1){к2~1)/2 ■ 1! • 2! ■. • (А; -1)! • к eN фиксировано.

Основываясь на этом результате, С.А. Амицур выдвинул следующую гипотезу:

Гипотеза 1 (С.А. Амицур). Пусть А — PI-алгебра над полем характеристики 0, а Сп(А) — последовательность коразмерностей ее полиномиальных тождеств. Тогда существует lim у/Сп(А) £ Z+. п—>оо

Данная гипотеза была затем уточнена А. Регевом.

Гипотеза 2 (А. Регев). Пусть А — PI-алгебра над полем характеристики 0. Тогда существуют такие С > 0, г е Z, d е что сп(А) ~ Cri^d11 при п —> оо. (В случае, когда d = 0, существует такое щ € N, что при всех п ^ по выполняется равенство сп(А) = 0J

Гипотеза С А. Амицура была доказана М.В. Зайцевым и А. Джамбру-но [18] в 1999 году для всех ассоциативных алгебр. Кроме того, в 2002 году М.В. Зайцев [40] доказал аналог гипотезы Амицура для коразмерностей полиномиальных тождеств конечномерных алгебр Ли.

Гипотеза А. Регева была доказана B.C. Дренски для ассоциативных алгебр полиномиального роста [12], М.В. Зайцевым и А. Джамбруно [19] для алгебр блочно-треугольных матриц. В 2008 году вышла работа автора [55], в которой гипотеза Регева доказывается для ассоциативных алгебр с единицей, имеющих Р1-экспоненту 2 (см. параграф 2.1 данной работы). В том же году А. Регев и А. Берел [5, 7] доказали гипотезу Регева в более общем случае всех ассоциативных алгебр с 1.

Как уже было отмечено, большой интерес представляет изучение поведения кратностей неприводимых кохарактеров в разложении кохарактера полиномиальных тождеств. В 1979 году А. Регев [28] доказал теорему о полосе для кохарактеров алгебр, удовлетворяющих тождеству Капелли. В работе [6] А. Регева и А. Берела было показано, что рост кодлин, а отсюда и кратностей неприводимых кохарактеров всякой PI-алгебры ограничен сверху некоторой полиномиальной функцией. Вопросы, связанные с асимптотикой кратностей и кодлин также исследовались в [3, 49]. В работах 2006 и 2008 года А. Берел [4, 5] доказал, что кратности неприводимых кохарактеров произвольных PI-алгебр кусочно-полиномиальны, а кодлины PI-алгебр с единицей асимптотически ведут себя как Спь, где С € М+, t Е Поведение кратностей неприводимых кохарактеров алгебр полиномиального роста изучалось B.C. Дренски [12]. В частности, им было доказано, что последовательность кратностей неприводимых кохарактеров, отвечающих диаграммам Юнга с фиксированными нижними строчками, периодична. В работе автора [55] и параграфе 2.1 настоящей диссертации показано, что эта последовательность, начиная с некоторого места, постоянна, и исследованы кратности собственных кохарактеров алгебр с единицей, имеющих Р1-эксноненту 2.

Несмотря на активную деятельность, которая ведется в этой области, известно сравнительно мало примеров алгебр, в которых можно явно вычислить базис тождеств, коразмерности, кохарактеры и кодлины: базис тождеств алгебры M2(F) был найден Ю.П. Размысловым [48] (позже B.C. Дрен-ски [38] предъявил минимальный базис тождеств этой алгебры), кохарактеры алгебры M2(F) были найдены B.C. Дренски [11] и Е. Форманеком [15], точные значения коразмерностей для этой алгебры —С. Прочези [25]; базис тождеств и коразмерности алгебры Грассмана были вычислены Д. Краковски и А. Регевом [22] (см. также [33, глава 4, теорема 1.8, с. 78]), базис тождеств алгебр UTn(F) верхнетреугольных матриц — Ю.Н. Мальцевым [47]. В 2005 году вышла работа А. Джамбруно и Д. Ла Маттины [17], в которой рассматривалась алгебра { § я) }' Виеира и С.М. Альвес Хорге [32] вычислили базис тождеств, коразмерности, кохарактеры и кодлины алгебры {(§ )}• В настоящей диссертации (параграф 2.2) исследуется алгеб ( о о Ь) } над некотоРым полем F характеристики 0, интерес к которой возник, в частности, в связи с работой С.П. Мищенко и А. Валенти [24]. Два из трех тождеств базиса и собственные кохарактеры этой алгебры приведены в книге [13].

В теории полиномиальных тождеств можно выделить два философских подхода. При одном подходе отправной точкой служат фиксированные алгебры, каждая из которых задает Г-идеал в свободной алгебре, состоящий из ее полиномиальных тождеств. При другом подходе изначально рассматривается набор тождеств, задающий многообразие тех алгебр, которые этому набору тождеств удовлетворяют. Результаты параграфа 2.5 можно отнести ко второму подходу, так как он посвящен исследованию конкретного тождества— коммутатора длины 4. Данное тождество является естественным обобщением соотношения [a;i, х2, жз], которое образует базис тождеств бесконечно порожденной алгебры Грассмана [22]. Коммутатор длины 4 изучался в работе В.Н. Латышева [44]. В 1978 году И.Б. Воличенко [37] вычислил комбинаторными методами его коразмерности. В параграфе 2.5 строится конечномерная супералгебра, базис тождеств грассмановой оболочки которой состоит из коммутатора длины 4. Благодаря этому мы получаем новый способ вычислить коразмерности данного тождества. Существование конечномерной супералгебры, Т-идеал полиномиальных тождеств грассма-новой оболочки которой совпадает с заданным, было доказано А.Р. Кеме-ром [21, 41] в случае произвольного поля характеристики 0. Однако вид этой супералгебры в конкретном случае неизвестен.

Во многих областях математики и теоретической физики применяются алгебры Клиффорда [14, 20]. Так, например, в 1997 году вышла книга A.A. Кецариса [42], в которой он предложил свой вариант единой теории взаимодействия. Действие стало векторной величиной — элементом алгебры действия. Далее определялась волновая функция элементарной частицы, ее импульс и из законов умножения в алгебре действия путем дифференцирования выводились основные уравнения квантовой механики—уравнения Шредингера и Дирака. Кроме того, была введена структура алгебры на пространстве-времени. В качестве алгебр действия и пространства-времени для электронов и других лептонов были предложены алгебры Клиффорда. Отсюда большой интерес вызывают тождества в алгебрах Клиффорда, так как зная их, можно было бы получить другие уравнения квантовой механики и попытаться их проинтерпретировать в рамках создаваемых теорий. До этого были исследованы тождества в алгебре Грассмана [22], которая является алгеброй Клиффорда нулевой квадратичной формы, и алгебрах Клиффорда полного ранга (в более общем случае конечномерных полунро-стых алгебр) [11, 15, 25, 29].

Кроме обычных тождеств, важную роль в теории колец играют их различные обобщения. Изучение обобщенных полиномиальных тождеств в примитивных кольцах началось в 1965 году в работе С.А. Амицура [1]. Затем У. Мартиндейлом [23] были получены условия наличия нетривиальных обобщенных полиномиальных тождеств в первичных кольцах. Впоследствии результаты GPI-теории были обобщены К.И. Бейдаром и A.B. Михалевым [2] на случай полупервичных колец. Функциональные и обобщенные функциональные тождества были введены в 1995 году словеиским математиком М. Брешаром [8] и были затем использованы К.И. Бейдаром, A.B. Михалевым и М.А. Чеботарем [35, 36] в решении ряда открытых проблем теории колец. В частности, при помощи функциональных тождеств были описаны отображения л невского типа, что позволило получить ответы на вопросы, сформулированные в известных проблемах Херстейна. В связи с тем, что для обобщенных полиномиальных, функциональных и обобщенных функциональных тождеств естественным образом вводятся их коразмерности, возникает вопрос о справедливости для таких коразмерностей аналогов гипотез Амицура и Регева. Этому вопросу посвящены главы 3 и 4 настоящей диссертации.

Автор благодарит своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора Михаила Владимировича Зайцева за постановку задач и внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности. Автор глубоко признателен профессору Александру Васильевичу Михалеву и профессору Виктору Николаевичу Латышеву за интерес, проявленный к работе. Александр Васильевич обратил внимание автора на задачи, связанные с алгебрами Клиффорда, обобщенными полиномиальными и функциональными тождествами. Автор искренне благодарен профессору Ю.А. Бахтурину и члену-корреспонденту Болгарской АН, профессору B.C. Дренски за внимание к работе. Автор благодарит участников семинара «Избранные вопросы алгебры» и всех сотрудников кафедры за обсуждение результатов диссертации и творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Автор посвящает работу своим родителям.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Гордиенко, Алексей Сергеевич

Заключение

Таким образом, в работе были рассмотрены задачи, связанные с коразмерностями и кохарактерами полиномиальных тождеств и их обобщений. Данные исследования могут получить следующее развитие.

Во-первых, большой интерес представляет поведение коразмерностей целочисленных полилинейных тождеств, которые можно рассматривать для произвольных ассоциативных и неассоциативных колец. При этом каждая из таких коразмерностей будет заключать в себе информацию о разложении факторгруппы группы целочисленных многочленов соответствующей степени по подгруппе тождеств в прямую сумму свободных и примарпых циклических подгрупп. Вопрос об асимптотическом поведении коразмерностей для алгебр над полями положительной характеристики также остается открытым.

Во-вторых, можно ввести понятие кохарактера обобщенных полиномиальных тождеств и исследовать кратности неприводимых слагаемых в его разложении.

В-третьих, представляет интерес справедливость аналога гипотезы А. Ре-гева для коразмерностей полиномиальных тождеств алгебр Ли и йордано-вых алгебр и аналогов гипотез С.А. Амицура и А. Регева для обобщенных полиномиальных тождеств таких алгебр.

В-четвертых, не лишено интереса изучение коразмерностей и кохаракте-ров тождеств, представляющих собой гибрид функциональных и обобщенных полиномиальных тождеств.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гордиенко, Алексей Сергеевич, 2009 год

1. Amitsur S.A.: Generalized polynomial identities and pivotal monomials, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 9, pp. 635-642 (1958).

2. Beidar K.I., Martindale W.S. 3rd, Mikhalev A.V.: Rings with generalized polynomial identities, Marcel Dekker, Inc., New York, 1996, xiv+522 pp.

3. Benanti F., Giambruno A., Sviridova I.: Asymptotics for the multiplicities in the cocharacters of some Pi-algebras, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 132, pp. 669-679 (2004).

4. Berele A.: Applications of Belov's theorem to the cocharacter sequence of p.i. algebras, J. Algebra, vol. 298, pp. 208-214 (2006).

5. Berele A.: Properties of hook Schur functions with applications to p.i. algebras, Advances in Applied Math., vol. 41, no. 1, pp. 52-75 (2008).

6. Berele A., Regev A.: Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras, J. Algebra, vol. 82, pp. 559-567 (1983).

7. Berele A., Regev A.: Asymptotic behaviour of codimensions of p.v. algebras satisfying Capelli identities, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 360, pp. 51555172 (2008).

8. Bresar M.: Functional identities of degree two, J. Algebra, vol. 172, pp. 690720 (1995).

9. Chevalley C.: The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 1997, 214 pp.

10. Delanghe R.: On the center and the radical of a Clifford algebra, Simon Stevin, vol. 42, pp. 123-131 (1968/69).

11. Drensky V.S.: Codimensions of T-ideals and Hilbert series of relatively free algebras, J. Algebra, vol. 91, no. 1, pp. 1-17 (1984).

12. Drensky V.S.: Relations for the cocharacter sequences of T-ideals, Contemp. Math, Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, vol. 131 (Part 2), pp. 285-300 (1992).

13. Drensky V.S.: Free algebras and Pi-algebras: graduate course in algebra, Springer-Verlag, Singapore, 2000, 270 pp.

14. Fauser B.: Clifford-algebraische Formulierung und Regularität der Quantenfeldtheorie. Dissertation zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften. Der Fakultät für Physik der Eberhard-KarlsUniversität zu Tübingen, 1996.

15. Formanek E.: Invariants and the ring of generic matrices, J. Algebra, vol. 89, no. 1, pp. 178-223 (1984).

16. Fulton W., Harris J.: Representation theory: a first course, Springer-Verlag: New York Berlin - Heidelberg, 1991, 551 pp.

17. Giambruno A., La Mattina D.: Pi-algebras with slow codimension growth, J. Algebra, vol. 284, pp. 371-391 (2005).

18. Giambruno A., Zaicev M.: Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate, Adv. Math., vol. 142, no. 2, pp. 221-243 (1999).

19. Giambruno A.,,Zaicev M.: Minimal varieties of algebras of exponential growth, Electronic Research Announcements of the AMS, vol. 6, pp. 4044 (2000).

20. Hestenes D.: Space-time algebra, Gordon Sz Breach, N.Y., 1966.

21. Kemer A.: Ideals of identities of associative algebras, Translations of Mathematical Monographs, vol. 87, AMS, Providence, RI, 1991.

22. Krakowski D., Regev A.: The polynomial identities of the Grassmann algebra, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 181, pp. 429-438 (1973).

23. Martindale W.S. 3rd: Prime rings satisfying a generalized polynomial identity, J. Algebra, vol. 12, pp. 576-584 (1969).

24. Mishchenko S.P., Valenti A.: A star-variety with almost polynomial growth, J. Algebra, vol. 223, no. 1, pp. 66-84 (2000).

25. Procesi C.: Computing with 2x2 matrices, J. Algebra, vol. 87, no. 2, pp. 342359 (1984).

26. Regev A.: Existence of identities in A®B, Israel J. Math, vol. 11, pp. 131152 (1972).

27. Regev A.: The representation of Sn and explicit identities for P.I. algebras, J. Algebra, vol. 51, pp. 25-40 (1978).

28. Regev A.: Algebras satisfying a Capelli identity, Israel J. Math, vol. 33, pp. 149-154 (1979).

29. Regev A.: Codimensions and trace codimensions of matrices are asymptotically equal, Israel J. Math., vol. 48, no. 2-3, pp. 246-250 (1984).

30. Rosset S.: A new proof of the Amitsur-Levitski identity, Israel J. Math, vol. 23, no. 2, pp. 187-188 (1976).

31. Specht W.: Gesetze in Ringen. I, Math. Z., vol. 52, pp. 557-589 (1950).

32. Vieira A.C., Alves Jorge S.M.: On minimal varieties of quadratic growth, Linear Algebra and its Applications, vol. 418, pp. 925-938 (2006).

33. Zaicev M.V., Giambruno A.: Polynomial identities and asymptotic methods, AMS Mathematical Surveys and Monographs Vol. 122, Providence, R.I., 2005, 352 pp.

34. Бахтурин Ю.А.: Тождества в алгебрах Ли, М.: Наука, 1985, 448 с.

35. Бейдар К.И., Михалев А.В., Чеботарь М.А.: Тождества в кольцах, Тула: Издательство ТулГУ, 2003, 122 с.

36. Бейдар К.И., Михалев А.В., Чеботарь М.А.: Функциональные тождества в кольцах и их приложения, Успехи мат. наук, том 59, вып. 3, стр. 3-30 (2004).

37. Воличеико И.Б.: Т-идеал, порожденный элементом жх, х2, х^, препринт №22, Минск: Институт математики АН Белорусской ССР, 1978, 13 с.

38. Дренски B.C.: Минимальный базис тождеств алгебры матриц второго порядка над полем характеристики 0, Алгебра и логика, том 20, стр. 282-290 (1981).

39. Дрозд Ю.А., Кириченко В.В.: Конечномерные алгебры, Киев: Вища школа, 1980, 192 с.

40. Зайцев М.В.: Целочисленность экспонент роста mooicdecme конечномерных алгебр Ли, Изв. РАН, сер. матем., том 66, вып. 3, стр. 23-48 (2002).

41. Кемер А.Р.: Представимость приведенно-свободных алгебр, Алгебра и логика, том 27, вып. 3, стр. 274-294 (1988).

42. Кецарис A.A.: Алгебраические основы физики. Пространство-время и действие как универсальные алгебры, М.: Эдиториал УРСС, 2004, 278 с.

43. Кэртис Ч., Райнер И.: Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, М.: Наука, 1969, 668 с.

44. Латышев В.Н.: О конечной порожденности Т-идеала с элементом xi, X2i хз, £4], Сибирский математический журнал, том VI, вып. 6, стр. 1432-1434 (1965).

45. Мальцев А.И.: Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями, Матем. сборник, том 26, стр. 19-33 (1950).

46. Мальцев А.И.: Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 392 с.

47. Мальцев Ю.Н.: Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц, Алгебра и логика, том 10, вып. 4, стр. 393-400 (1971).

48. Размыслов Ю.П.: О конечной базирумости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль, Алгебра и логика, том 12, стр. 83-113 (1973).

49. Свиридова И.Ю.: О верхней оценке степени кратностей кохарактеров PI-алгебр, Фунд. и прикл. матем., том 10, вып. 4, стр. 207-223 (2004).

50. Фултон У.: Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии, М.: МЦНМО, 2006, 328 с.

51. Херстейи И.: Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972, 192 с.

52. Публикации автора по теме диссертации в журналах из перечня ВАК

53. Гордиенко A.C.: Коразмерность и кодлина одной пятимерной алгебры, Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1, Математика. Механика, вып. 4, стр. 18-25 (2006).

54. Перевод: Gordienko A.S.: Codimension and colength of a five-dimensional algebra, Mose. Univ. Math. Bull., vol. 61, no. 4, pp. 19-25 (2006).

55. Гордиенко А.С.: Коразмерности коммутатора длины 4, Успехи мат. наук, том 62, вып. 1, стр. 191-192 (2007).

56. Перевод: Gordienko A.S.: Codimensions of commutator of length 4, Russian Mathematical Surveys, vol. 62, no. 1, pp. 187-188 (2007).

57. Гордиенко А.С.: О тождествах в алгебрах Клиффорда, Сибирский математический журнал, том 49, вып. 1, стр. 61-66 (2008).

58. Перевод: Gordienko A.S.: Identities on Clifford algebras, Siberian Mathematical Journal, vol. 49, no. 1, pp. 48-52 (2008).

59. Гордиенко А.С.: Гипотеза Регева и кохарактеры тождеств ассоциативных алгебр PI-экспоненты 1 и 2, Матем. заметки, том 83, вып. 6, стр. 815-824 (2008).

60. Перевод: Gordienko A.S.: The Regev conjecture and cocharacters for identities of associative algebras of Pi-exponent 1 and 2, Mathematical Notes, vol. 83, no. 6, pp. 744-752 (2008).

61. Гордиенко А.С.: Коразмерности функциональных тождеств, Успехи мат. наук, том 64, вып. 1, стр. 141-142 (2009).

62. Перевод: Gordienko A.S.: Codimensions of functional identities, Russian Mathematical Surveys, vol. 64, no. 1, pp. 148-149 (2009).

63. Публикации автора по теме диссертации в изданиях, не входящих в перечень ВАК

64. Гордиенко А.С.: Гипотезы Амицура и Регева для коразмерностей обобщённых полиномиальных тождеств, Фундамент, и ирикл. математика, том 14, вып. 7, стр. 53-62 (2008).

65. Гордиенко А.С.: Асимптотика коразмерностей обобщенных полиномиальных тождеств, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, тезисы докладов, Москва, 2008, стр. 73-74.