Численные схемы на основе конечно-объёмных/конечно-элементных аппроксимаций для решения задач длинноволновой гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Стыврин, Андрей Вадимович

• Стыврин, Андрей Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стыврин, Андрей Вадимович

Условные обозначения

Введение

1. Методы пространственной аппроксимации задач волновой гидродинамики

1.1. Модель мелкой воды

1.2. Краевые условия.

1.3. Методы численного решения уравнений мелкой воды.

1.4. Пространственная аппроксимация.

2. Модифицированный метод конечных объёмов

2.1. Основные принципы построения МКС).

2.2. ММКО для задач волновой гидродинамики.

2.3. Интегральные формулы МКО.

3. ММКО-аппроксимация волнового уравнения

3.1. Постановка задачи.

3.2. Дискретизация по времени.

3.3. Интегральная форма законов сохранения

3.4. ММКО на линейных базисных функциях

3.4.1. Способ построения двойственной сетки.

3.4.2. Аппроксимация волнового уравнения.

3.4.3. Учет краевых условий.

3.4.4. Сборка глобальных матриц.

3.5. ММКО на квадратичных базисных функциях.

3.5.1. Особенности построения двойственной сетки.

3.5.2. Аппроксимация волнового уравнения.

3.5.3. Учет краевых условий.

3.5.4. Сборка глобальных матриц.

4. ММКО-аппроксимация уравнений мелкой йоды

4.1. Постановка задачи.

4.2. Дискретизация по времени.

4.3. Способ построения двойственной сетки.

4.4. Интегральная форма уравнений мелкой воды.

4.5. Аппроксимация уравнения неразрывности.

4.6. Аппроксимация уравнений движения.

4.7. Учет краевых условий.

4.8. Сборка глобальных матриц.

5. Описание программного комплекса

5.1. Основные модули пакетов

5.2. Организация входных и выходных данных пакетов.

6. Численные эксперименты

6.1. Моделирование плоской волны в канале.

6.2. Проверка адекватности "открытых" краеных условий.

6.3. Взаимодействие уединённой волны с коническим островом

6.4. Моделирование цунами 1940 года в Японском море.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные схемы на основе конечно-объёмных/конечно-элементных аппроксимаций для решения задач длинноволновой гидродинамики»

В последнее время численное моделирование играет всё бол ее значительную роль в исследовании реальных явлений. Совместное проведение вычислительных и физических экспериментов при анализе какого-либо явления позволяет как уменьшить количество реальных измерений, так и произвести верификацию и усовершенствование математических моделей. Кроме того, существуют такие глобальные задачи, которые в силу очевидных причин невозможно моделировать экспериментальным образом. Одной из таких важных задач является задача распространения волн цунами п водных бассейнах, имеющих сложную структуру береговой линии и распределения глубин.

Поэтому используемые для моделирования такой задачи вычислительные методы должны предоставлять возможность наиболее точного описания геометрии расчётной области. Это возможно при использовании неортогональных и неструктурированных сеток. Использование неструктурированных сеток позволяет описывать с любой степенью точности многосвязную расчётную область с произвольной конфигурацией границы, а также даёт возможность реализовать локальные сгущения и адаптировать сетки в зависимости от поведения решения, либо распределения глубин. Однако для расчёта на неструктурированных сетках необходимо использование более сложных в реализации методов, чем конечноразностныр методы, например методы конечных объёмов или методы конечных элементов. Создание таких технологий для данных классов задач, использующих неструктурированные сетки, представляется актуальной темой исследования.

Несмотря на широкое применение для пространственной дискретизации па неструктурированных сетках метода конечных элементов (МКЭ), метод конечных объёмов (МКО) может оказаться предпочтительней для задач волновой гидродинамики вследствие локальной консервативности дискретных схем, большей простоты и наглядности, возможности естественного учета условий второго рода. Поэтому диссертационная работа посвящена разработке технологий МКС) на неструктурированных сетках для задач волновой гидродинамики, описываемых в рамках теории мелкой воды и созданию комплексов программ для проведения численных экспериментов в рамках разработанных технологий. В данной работе рассматривается класс модифицированных методов конечных объёмов (ММКО) на финитных базисных функциях первого и второго порядков. Расчёт неизвестных производится в узлах конечноэлементной сетки, т.е. в узлах триангуляции для кусочно-линейных базисных функций и в узлах триангуляции и центрах рёбер для кусочно-квадратичных базисных функций.

Итак, целью настоящей работы является разработка и применение технологии ММКО построения дискретных аналогов задач волновой гидродинамики. Дня достижения заданной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

1. Разработка новой технологии ММКО-апироксимации для уравнений н четных производных первого и второго порядка с использованием кусочно-квадратичных базисных функций;

2. Разработка технологии смешанной ММКО-апироксимации для решения системы уравнений нелинейной теории мелкой воды;

3. Создание на основе разработанных технологий комплексов программ, позволяющие адекватно моделировать распространение длинных волн в водном бассейне с геометрически сложными границами.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчёты на последовательности сгущающихся конечноэлементных разбиений, с последующим анализом сходимости к экспериментальным данным.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложена технология учёта кусочно-полиномиального представления решения и коэффициентов при пространственной аппроксимации волнового уравнения, системы начинейных уравнений мелкой воды методом конечных объёмов. Технология основана на использовании разложения по базису ко-нечноэлементных пространств в терминах барицентрических симплициаль-ных координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов. В рамках предложенной технологии впервые использован ММКО на квадратичных базисных функциях, для чего получены соответствующие интегральные формулы.

2. Предложен способ построения сметанного модифицированного метода конечных объёмов на совмещённых симплициалъных сетках, удовлетворяющего условиям Ладыженской-Бабушки-Бреззи (ЛББ).

3. С использованием предложенных технологий аппроксимаций задач волновой гидродинамики в рамках линейной и нелинейной теории мелкой воды созданы комплексы программ для моделирования процессов распространения волн и проведён ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность построенных схем.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 117 страниц, включая 41 рисунок и 2 таблицы. Список литературы содержит Со наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Стыврин, Андрей Вадимович

Заключение

Настоящая работа посвящена созданию вычислительных технологий, соответствующих ММКО-аппроксимациям задач волновой гидродинамики, описываемых вол-нововым уравнением и системой уравнений нелинейной теории мелкой воды. Характерной особенностью разработанных алгоритмов является использование неструктурированных симплициальных разбиений расчётной области, а также использование конечноэлементных пространств и барицентрических разбиений в качестве двойственных. В диссертационной работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Предложена технология кусочно-полиномиального представления решения задач волновой гидродинамики методами конечных объёмов. Технология основана на разложении по базису конечноэлементных пространств в терминах барицентрических координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов.

2. Разработан и реализован вычислительный алгоритм на базе модифицированного метода конечных объёмов с использованием локальных базисных функций второго порядка, что позволяет удовлетворить условиям ЛББ для системы уравнений нелинейной теории мелкой воды.

3. Разработан и реализован алгоритм для решения нестационарной задачи волновой гидродинамики с использованием технологии метода Тейлора Галёркина с параметром, управляющим вносимой диссипативностью схемы.

4. На основании разработанных вычислительных схем созданы комплексы программ для моделирования распространения волн для волнового уравнения на интерполяционных полиномах для свободной поверхности первого и второго порядков; и для системы уравнений мелкой воды на кусочно-линейных интерполяционных полиномах для полной глубины и кусочно-квадратичных интерполяционных полиномах для поля скоростей.

5. Выполнено тестирование разработанных вычислительных схем на задачах, имеющих аналитическое решение; проведены серии расчётов для задач, для которых имеются результаты моделирования других авторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стыврин, Андрей Вадимович, 2004 год

1. Ильин В. П., туракулов А. А. Об интегро-балансных аппроксимациях трехмерных краевых задач. Препринт ВЦ СО РАН, N986, 1993.

2. Препарата Ф., ШЕЙМОС М. Вычислительная геометрия: Введение. Мир, Москва, 1989.

3. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. Мир, Москва, 1981.

4. Шурина Э. П., Войтович Т. В. Анализ алгоритмов методов конечных алементов и конечного объёма на неструктурированных сетках при решении уравнений Навье-Стокса. Вычислительные технологии 2, N4, 1997, 84-104.

5. Шурина Э. П., Солоненко О. П., Войтович Т. В. Новая технология метода конечных объёмов на симплициальных сетках для задач конвективно-диффузионного типа. Препринт ИТПМ СО РАН, N8, 1999.

6. Шурина Э. П., Солоненко О. П., Клименко О. М. Анализ алгоритмов построения симплициальных сеток при моделировании процессов взаимодействия капля расплава-основа. препринт ИТПМ СО РАН, N6, 2000.

7. Amdrossi D., Quartapelle L. A Taylor-Galerkin method for simulating nonlinear dispersive water waves. J. of Computational Physics 146, 1998, 546-569.

8. Babushka F. Error bounds for finite element methods. Numer. Math. 16, 1971, 322-333.

9. Massox C., Saabas H. I., Baliga B. R. Co-located equal-order control-volume finite element method for two- dimensional axisyrnmetric incompressible fluid flow. Int. J. Numer. Meth. in Fluids 18, 1994, 1-26.

10. Boore D. M. Finite difference methods for seismic wave propagation in heterogeneous material. Methods of Сотр. Physics (Seismology) 11, 1972, 1-37.

11. Brebbia C. A., Partridge P. W. Finite element models for circulation studies. Mathematical Models for Enviromental Problems. 1976.

12. Brebbia C. A., Partridge P. W. Finite element simulation of water circulation in the North Sea. Appl. Math. Modeling 1(2), 1976.

13. Briggs M. J., Synolakis С. E., Harkins G. S., Green D. R. Runup of solitary waves on a circular island. Long-Wave Runup Models. International Workshop on Long-Wave Runup Models, September 12-16, 1995, Friday Harbor, San Juan Island, Washington, USA.

14. CAl Z. On the finite volume element method. Numer. Math. 58, 1991, 713- 735.24. cal Z., Mandel J., McCormick S. The finite volume element method for diffusion equation on general triangulations. SIAM J. Numer. Anal. 28, 1991, 392402.

15. Antunes Do Carmo J. S., Sebra-Santos F. J., Barthelemy E. Surface wave propogation in shallow water: A finite element model, Int. ./. Numer. Meth. in Fluids 16, 1993, 447-459.

16. Cockburn В., Coquel F., Lefloch P. G. Convergence of finite volume method for multidimensional conservation laws. SIAM J. Numcr. Anal. 32, 1995, 687-705.

17. Donea J. A Taylor-Galerkin method for convective transport problem. Inteniat. J. Numer. Meth. Engrg. 20, 1984, 101.

18. Eisenberg M. A., Malvern L. E. On finite element integration in natural coordinates. Int. J. Numer. Methods Eng. 7, 1973, 574 575.

19. Eluis Т., Suxdstrom A. Computationally efficient schemes and boundary conditions for fine-mesh barotropic model based on the shallow-water equations. Tellus 25,1973,132-156.

20. EXGQUIST В., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves. Mathematics of Computation 31, N139, 1977, 629 654.

21. Fedotova Z. I., Shokin Yu. I., elnarsson Bo. Comparative Analysis of Wave Hydrodynamics Approximate Models Using Experimental and Analytical Data. International Journal of Computational Fluid Dynamics 141 14, N1, 2000, 55-73.

22. Felcmax J., Feistauer M. Triangular, dual and baricentric Finite Volumes in Fluid Dynamics. Proc. of Second Intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 July, 1999, Duisburg, Germany, HERMES Science Publications, Paris, 1999.

23. Giraldo F. X. Lagrange-Galerkin methods on spherical geodesic grids: the shallow water equations. .7. of Computational Physics 160, 2000, 336 368.

24. HACKBUSH W. On first and second order box schemes. Computing 41, 1989, 277-296.

25. Harlow F. H., Welch Л. E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. Phys. Fluids 8, 1965, 2182-2189.

26. HiGDON R. L. Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multi-dimensional wave equation. Mathematics of Computation 47, N176,1986, 437-459.

27. Kato S., Anju A., Kawahara M. A finite element study of solitary wave by Boussinesq equation, Computationsl Methods in Water Resources X, 1994, 1067.

28. KELLER Л. B. The solitary wave and periodic waves in shallow water. Comm. Pure Appl. Math. 1, 1948, 323 339.

29. King I. P., Norton W. R., Iceman K. R. A finite element solution for two-dimensional stratified flow problem. Finite Elements in Fluids. 7, 1975.

30. Kosloff R., Kosloff D. Absorbing boundaries for the wave propagation problem. ./. of Computational Physics 63, 1986, 363-376.

31. Kwak S., Pozrikidis C. Adaptive triangulation of evolving, closed, or open surfaces be the advancing-front method. J. of Computational Physics 145, 1998, 61 88.

32. Luo H., Baum J. D., Lohner R. A fast, matrix-free implicit method for compressible flows on unstructured grids. J. of Computational Physics 146, 1998, 664690.

33. Lynch D. R., Gray W. G. A wave equation model for finite element tidal computations. Computers and Fluids 7, 1979, 207-228.

34. Muzaferija S., Gosmax D. Finite-volume CFD procedure and adaptive error control strategy for grids of arbitrary topology. J. of Computational Physics 138, 1997, 766 -787.

35. Peraire J., Zienkiewicz О. C., Morgan K. Shallow water problems: a general explicit formulation. Int. J. for Numer. Meth. in En<jr. 22, 1986, 547-574.

36. Provatas N., Goldenfeld N\, Dantzig J. Adaptive mesh refinement computation of solidification microstructures using dynamic data structures. J. of Computational Physics 148, 2000, 265-290.

37. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M. A staggered control volume scheme for unstructured triangular grids. Int. J. for Numer. Neth. in Fluids. 25, 1997, 697-717.

38. Romate Л. E. Absorbing boundary condition for free surface waves. .7. of Computational Physics 99, 1992, 135-145.

39. Saad J. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1996.

40. Sommerfeld A. Partial differential equations in physics. Academic Press, New York, 1949.

41. Stywrix A.V. Modified finite volume method for calculation of oceanic waves on unstructured grids. Russian-german advanced research workshop on computational science and high performance computing, Novosibirsk, Russia, September 29 October 3, 2003.

42. Styvvrin a. v., Shurixa e. P., Chubarov L. 13. a feature of fvm/rem-approach for modeling surface waves on water. Proc. of the International Conference on Computational Mathematics ICCM-2002, Novosibirsk, Russia, 24 28 July, 2002, 711-716.

43. G2. Tayi.or С., Hood P. A numerical solution of the Navier-Stokes equations using the finite element technique. Computer and Fluids 1, 1973, 73 100.

44. Treftethex L. N., Halperx L. Well-posedness of one-way wave equations and absorbing boundary conditions. Mathematics of Computation 47, N176, 1986, 421 435.