Конечно-разностные методы решения уравнений мелкой воды на неструктурированных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Друца, Александр Валерьевич

• Друца, Александр Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Друца, Александр Валерьевич

Оглавление

Введение

1 Основные обозначения и определения

1.1 Основные обозначения

1.2 Сеточные функции

1.3 Аппроксимация операторов на сетке

1.4 Свойства сеточных операторов

1.4.1 Согласованность сеточных операторов дивергенции и градиента

1.4.2 Сеточный аналог формулы Гаусса—Остроградского

1.5 Вспомогательные утверждения

1.6 Неструктурированные сетки

1.7 Нерегулярные элементы сетки

1.8 Выводы

2 Линеаризованные уравнения мелкой воды в декартовой системе координат

2.1 Постановка задачи

2.2 Разностная аппроксимация уравнений

2.3 Преобразование сеточной задачи

2.4 Свойства сеточной задачи

2.5 Итерационный процесс

2.6 Устойчивость решения по начальным данным

2.7 Сходимость

2.8 Численные эксперименты

2.8.1 Сравнение с аналитическим решением

2.8.2 Численная оценка порядка сходимости

2.8.3 Сохранение баланса

2.8.4 Сила Кориолиса

2.8.5 Расчёт на реальной географической области

2.9 Выводы

3 Нелинейные уравнения мелкой воды в декартовой системе координат

3.1 Постановка задачи для уравнений мелкой воды в декартовой системе координат с вязкостью и нелинейным членом

3.2 Сеточная задача

3.3 Численные эксперименты

3.3.1 Влияние нелинейности

3.3.2 Тупоугольные треугольники

3.3.3 Многосвязная область

3.3.4 Расчёт на реальной географической области

3.4 Постановка задачи с нелинейным уравнением неразрывности

3.5 Аппроксимация уравнений

3.6 Численные эксперименты

3.6.1 Неравномерное дно

3.6.2 Набегание волны на берег

3.7 Выводы

4 Линеаризованные уравнения мелкой воды в сферической системе координат

4.1 Постановка задачи

4.2 Сеточные функции

4.3 Разностная аппроксимация уравнений

4.4 Преобразование сеточной задачи

4.5 Свойства сеточной задачи

4.6 Устойчивость решения по начальным данным

4.7 Сходимость

4.8 Численный эксперимент для реального географического объекта

4.9 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечно-разностные методы решения уравнений мелкой воды на неструктурированных сетках»

Введение

Одним из важных направлений современной вычислительной математики является моделирование различных процессов, происходящих в окружающей среде и связанных, в частности, с перемещением потоков жидкости в мировом океане. К числу таких процессов можно отнести возникновение приливных волн или цунами, распространение вредных загрязняющих веществ с водными течениями и другие. Математическое моделирование является мощным методом, открывающим возможность прогнозировать масштабы и последствия подобного рода событий для обширных регионов Земли и даже для всего человечества. Необходимость дальнейшей разработки уже имеющихся подходов и создание новых программных продуктов связана с необходимостью учитывать различные факторы, влияющие на исследуемые процессы (рельеф дна и побережья, глубина, вязкость жидкостей, температура).

Динамику приливных волн в океане описывает система уравнений мелкой воды. Результаты работы над данной проблемой могут быть успешно использованы при моделировании различных океанических течений, моделировании распространения волны цунами, расчётах движения приливных волн, прогнозировании распространения вредных примесей при разработке нефтяных месторождений на шельфе, моделировании циркуляции атмосферы. Помимо того, что данная задача имеет важное самостоятельное значения, она является существенной частью общей математической модели динамики океана [6]. В этой модели система уравнений мелкой воды описывает краевые условия на поверхности океана.

Систему уравнений динамики приливов можно получить из уравнений Навье—Стокса при условии, что горизонтальный масштаб много больше вертикального, то есть можно предположить, что продольные скорости постоянны по толщине слоя. Вывод уравнений мелкой воды из уравнений крупно-

масштабной динамики океана в а-системе координат можно найти в работе В.Б. Залесного [6]. Существование решения для крупномасштабной модели динамики океана в «целом» доказана в работах [18, 17].

Систему уравнений мелкой воды рассматривали во многих работах, в которых для нахождения решения использовали различные подходы: метод конечных разностей [23, 22, 26], метод расщепления [25], схема Годунова [27, 23], поверхностный градиентный метод [28], метод дробных шагов [24] и др. Линеаризованная система уравнений динамики приливов при условии ровного дна может быть решена методами, применяемыми в газовой динамике, как это сделано, например, в работах [16, 15]), поскольку данная задача очень похожа на задачу о движении вязкого слабосжимаемого газа. Другое направление в решении поставленной задачи — применение теории оптимального управления. Данное направление было разработано В.И.Агошковым и Е.А.Ботвиновским [4]. Все вышеперечисленные подходы аппроксимируют уравнения на равномерных структурированных сетках. Однако при моделировании приливных волн на реальных географических объектах часто необходимо строить триангуляцию, которая учитывает наличие большого количества островов разного размера. Например, размеры Охотского моря и островов сильно различаются. Размеры Охотского моря составляют примерно 2200 х 1500 км, а размеры островов в диаметре составляют от одного километра до десятков километров. Например, остров Большой Шантар — 65 х 47 км, а остров Утичий — 2, 5 х 0, 5 км. Помимо небольших островов, в Охотском море присутствуют узкие проливы. Например, ширина Татарского пролива, соединяющего Охотское и Японское моря, между островом Сахалин и материком в самом узком месте составляет 7, 3 км. При построении сетки потребуется, как минимум, два элемента для учёта данного пролива, то есть размер элемента сетки должен быть около 2-3 км. В таких условиях равномерная сетка будет очень мелкой, а количество элементов в ней для всего Охотского моря будет превышать полмиллиона. По этой причине такие области часто аппроксимируют неравномерной сеткой. Неравномерные структурированные сетки рассматривали в работе [19]. Однако, как правило, такие сетки являются неструктурированными. Также стоит отметить, что рассматриваемые области существенно многосвязны, то есть количество внутренних «дырок»

(островов) в них достаточно велико (например, для Охотского моря — до 300 островов).

При работе с неструктурированными сетками аппроксимацию уравнений строят с помощью методов конечных элементов [1] или методов конечных объёмов [20]. Аппроксимация системы динамики мелкой воды при помощи классических конечных элементов сводит задачу к конечномерной, в которой отсутствует сохранение баланса на ячейке (то есть количество втекаемой в ячейку жидкости не соответствует количеству вытекаемой). Это приводит к тому, что через некоторое время получаемое в результате расчёта решение начинает существенным образом отличаться от решения дифференциальной задачи. Очевидно, что требование сохранения баланса должно строго выполняться для каждой ячейки сетки. В работе [21] для аппроксимации были использованы специальные неконформные конечные элементы (элементы Равьяра-Тома), которые обеспечивают сохранение баланса на ячейке. В работе [3] такие элементы были применены для аппроксимации задачи приливных волн. Проведённые численные эксперименты показали эффективность этого подхода для решения рассматриваемой системы уравнений. Однако в этом случае элементы являются разрывными функциями, и вычислительные формулы для них довольно сложны. Учитывая вышеизложенное, в диссертационной работе был выбран метод построения конечномерной задачи уравнений мелкой воды, основанный на конечно-разностной аппроксимации на неструктурированной сетке.

Построение конечно-разностных аппроксимаций на неструктурированных сетках является сложной задачей. Как правило, аппроксимации такого типа принято строить на структурированных сетках. В то же время, известны успешные попытки решения такой задачи. В частности, в работе [5] на примере уравнений Навье-Стокса был продемонстрирован новый метод построения конечно-разностных аппроксимаций на неструктурированных сетках. Единственным ограничением этого метода является использование сеток, построенных на основе триангуляций, состоящих только из остроугольных треугольников (допускаются прямоугольные треугольники, у которых смежные через гипотенузу являются остроугольными). В настоящей работе получено обобщение указанного метода на случай системы уравнений динамики приливов.

Результаты диссертации представлены в четырёх главах. Первая глава посвящена введению основных обозначений, определению сеточных функций, а также неструктурированным сеткам. Вначале идёт подробное описание самой сетки и обозначение всех элементов ячейки, которые будут использованы при построении аппроксимации. Затем рассматриваются аппроксимации основных операторов — оператора градиента, оператора дивергенции, нелинейного оператора, оператора Лапласа. Для оператора дивергенции доказывается сеточный аналог формулы Гаусса-Остроградского. Далее идёт формулировка вспомогательных утверждений, которые будут использованы в настоящей работе. В конце главы приводятся основные алгоритмы построения сеток, содержащих только остроугольные треугольники, и программные продукты, позволяющие строить требуемые сетки. Затем рассмотрен вопрос о наличии в сетке нерегулярных элементов — тупоугольных и прямоугольных треугольников. Рассмотрено два подхода к построению аппроксимации уравнений на таких элементах.

Во второй главе рассмотрена линеаризованная система уравнений динамики мелкой воды с ровным дном на двумерной области в декартовой системе координат:

ди л д(

^ = -Ли + д^ - Яу + /2,

дС, ди ду дх ду'

где и, V - горизонтальные компоненты скорости, а £ - высота волны. Для этих уравнений записывается полностью неявная схема по времени с использованием сеточных операторов градиента и дивергенции, определённых в первой главе. После сокращения части неизвестных в разностной задаче получается система линейных алгебраических уравнений, для которой доказывается теорема о том, что матрица этой системы является М-матрицей. Из этого следует, что сеточная задача разрешима. Далее доказывается устойчивость решения по начальным данным и теорема о сходимости решения разностной задачи к решению дифференциальной. В конце главы приведены результаты ряда численных экспериментов, а именно: сравнение аналитического решения

с расчётными данными; подтверждение теоремы о сходимости; моделирование распространения волны цунами на реальном географическом объекте.

Третья глава диссертации посвящена нелинейным уравнениям мелкой воды. В первой части главы рассмотрены уравнения мелкой воды с нелинейной частью (и, \7)и, вязким членом иАи и неровным дном. Для этой задачи строится линеаризованная по временным слоям конечно-разностная схема. Для полученной системы проведены численные эксперименты, в которых сравниваются решения в случае нелинейной и линейной задач, моделируется распространение волны на реальном географическом объекте (Индийский океан). Также проводится численный анализ влияния наличия тупоугольных треугольников в сетке. Предложен метод аппроксимации уравнений на тупоугольных треугольниках. Проведённые тестовые расчёты показали, что наличие даже 15% тупоугольных треугольников в сетке существенно не влияет на результат. Во второй части главы рассмотрена предыдущая задача, в которой уравнение неразрывности имеет вид: = сНу(Я + С)и- Таким образом, новая задача позволяет моделировать динамику мелкой воды, в которой отсутствует требование на глубину |£| <С Н. Проводится численное сравнение данной задачи с предыдущими задачами, также приводятся результаты численных экспериментов, в которых влияние модифицированного уравнения неразрывности играет существенную роль.

В четвёртой главе диссертации исследуется линеаризованная задача динамики приливов в сферической системе координат. Строится неявная схема решения данной задачи и доказывается теорема о разрешимости полученной системы линейных алгебраических уравнений при некотором ограничении на минимальный угол ячеек сетки. Доказаны устойчивость по начальным данным для поставленной задачи и теорема о сходимости решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи. В конце главы приведены результаты численного эксперимента на реальной географической области на земной сфере.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на международных конференциях молодых ученых «Ломоносов-2009» и «Ломоносов-2011», на международной конференции «Современные проблемы математического моделирования» в Абрау-Дюрсо (Россия, 2011 г.), на международной

научной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященной памяти академика А.А.Самарского (Москва, 2009 г.). Помимо этого, результаты работы неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, Института вычислительной математики РАН в 2009—2012 годах, Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ имени М.В. Ломоносова, Института прикладной математики имени М.В.Келдыша.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Георгию Михайловичу Кобелькову, за постановку задачи, за помощь и поддержку на протяжении всей научно-исследовательской деятельности, приведшей к получению результатов, изложенных в настоящей диссертации. Автор также выражает глубокую благодарность ведущему научному сотруднику Института прикладной математики имени М.В.Келдыша Игорю Владимировичу Фрязинову за консультации и плодотворные обсуждения аппроксимаций поставленных задач. Кроме того, автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику Института прикладной математики имени М.В.Келдыша Игорю Викторовичу Попову за консультации, обсуждения результатов и помощь в построении расчётных сеток. Помимо этого, автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику Института вычислительной математики РАН Владимиру Борисовичу Залесному за постановку задачи приливных сил в сферической системе координат, плодотворные консультации и обсуждения результатов. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова, в особенности И.О.Арушаняну, О.Б. Арушаняну, К.Ю.Богачёву, В.Д.Валединскому, И.С.Григорьеву, А.А.Корневу, Е.А.Лапшину, М.А.Ольшанскому, А.В.Попову, В.М.Староверову, Е.А.Чижонкову, в прекрасном коллективе которых сформировалось его профессиональное видение проблематики современной науки и методики её преподавания в университете.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Друца, Александр Валерьевич

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

• Для линеаризованной системы уравнений мелкой воды в декартовых координатах построена разностная аппроксимация на неструктурированной сетке, в которой выполнено условие сохранения баланса для каждой ячейки сетки. Доказана положительная определённость конечномерного оператора, полученного в результате аппроксимации исходной задачи. Доказана устойчивость решения разностной задачи по начальным данным и доказана теорема о том, что решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной с порядком 0(т + /г), при условии существования гладкого решения дифференциальной задачи.

• Построена конечно-разностная аппроксимация уравнений мелкой воды с нелинейными членами и вязкостью на неструктурированной сетке и проведены численные эксперименты для сеточной задачи. Построена конечно-разностная аппроксимация нелинейных уравнений мелкой воды с нелинейным уравнением неразрывности на неструктурированной сетке. Численно исследовано влияние нелинейности и вязких членов.

• Проведён численный анализ методов решения задачи при наличии тупоугольных треугольников в сетке, который показал, что рассмотренные в диссертационной работе методы работают даже при наличии в сетке до 15% тупоугольных элементов.

• Для линеаризованной системы уравнений мелкой воды в сферической системе координат построена разностная аппроксимация на неструктурированной сетке. Доказана положительная определённость полученной в результате аппроксимации системы линейных уравнений при некотором ограничении на минимальный угол ячейки сетки. Доказана устойчивость решения разностной задачи по начальным данным. Доказано, что решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной с порядком О (г + /г), при условии существования гладкого решения дифференциальной задачи.

• Проведён ряд численных экспериментов на реальных географических объектах, демонстрирующих применимость предложенного подхода.

Заключение

Решение уравнений динамики приливов имеет существенное значение для моделирования распространения волн цунами и прогноза погоды. Данную задачу необходимо решать на сложных областях с большим количеством «дырок». Для таких областей используют, как правило, неравномерные неструктурированные сетки. При этом возникает проблема построения конечно-разностной аппроксимации исходной задачи с требуемыми свойствами. Преодоление этой проблемы и составило основную часть диссертации. Кроме того, существует проблема, связанная с аппроксимацией уравнений на «плохих» элементах сетки. Современные генераторы сеток не гарантируют, что в построенной ими сетке будут полностью отсутствовать тупоугольные треугольники. В этой связи существенной становится проблема модификации аппроксимации уравнений в таких ячейках. Эта проблема также была решена в настоящей работе.

В диссертационной работе удалось найти новый подход к математическому моделированию динамики движения приливных волн на реальных достаточно сложных объектах. Особенностью предлагаемого метода является использование неструктурированных сеток для анализа конкретных географических объектов с многочисленными неоднородными элементами (острова, проливы), при этом учитываются дополнительные факторы неопределенности (вязкость, глубина). Это открывает новые возможности для более точного прогнозирования природных явлений, а также их последствий. С использованием нового математического аппарата проведены серии численных экспериментов, описывающих динамику поведения волн в акваториях морей и океанов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Друца, Александр Валерьевич, 2012 год

Литература

[1] Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков, Численные методы, "Бином. Лаборатория знаний Москва, 2003.

[2] Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы. — JL: Гидрометеоиздат, 1977.

[3] Bogachev K.Yu., Kobelkov G.M. Numerical solution of a tidal wave problem. — in Proceedings of "Parallel Computational Fluid Dynamics v.2, 2004, 163173, J.-Wiley Press

[4] Agoshkov V.I., Botvinovsky E.A. Numerical solution of a hyperbolic-parabolic system by splitting methods and optimal control approaches. — Сотр. Methods in Appl. Mathematics, v. 7, No. 3, 2007, 193-207.

[5] Popov I.V., Fryazinov I.V., Stanichenko M.Yu., Taimanov A.V. Construction of a difference scheme for Navier-Stokes equations on unstructured grids. — Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2009, v.23, No. 5, 487-503.

[6] Zalesny V.B., Mathematical model of sea dynamics in a a-coordinate system, Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2005, V. 20, N. 1, pp. 97-113.

[7] В.Б. Сухов. О решении некоторых задач моделирования крупномасштабной динамики океана. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 2009. 113 с.

[8] Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems (2nd ed.), 2003, SIAM.

[9] J.G. Hey wood, Rannacher R. Finite-element approximation of the nonstationary Navier- Stokes problem Part IV: Error analysis for second-order time discretization, SIAM J. Numer. Anal., 1990., Vol. 27., No. 2., pp. 353-384.

[10] И. В. Попов, С. В. Поляков, "Построение адаптивных нерегулярных треугольных сеток для двумерных многосвязных невыпуклых областей", Матем. моделирование, 2002, том 14, № б, стр. 25-35

[11] Yu.Vassilevski and K.Lipnikov, An adaptive algorithm for quasi-optimal mesh generation, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1999, Vol. 39, No.9, pp. 1468-1486.

[12] J. R. Shewchuk, Triangle: Engineering a 2D Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator, Applied Computational Geometry: Towards Geometric Engineering, 1996, Vol. 1148 of Lecture Notes in Computer Science, pp. 203-222.

[13] J. Ruppert, A Delaunay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimensional Mesh Generation, Journal of Algorithms, 1995, Vol. 18, No. 3, pp. 548-585

[14] C. Geuzaine, J.-F. Remacle, Gmsh: a three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2009, Vol. 79, No. 11, pp. 1309-1331.

[15] Самарский А.А., Попов Ю.П, Разностные методы решения задач газовой динамики. - М.: Наука, 1992.

[16] Жуков К.А., Попов А.В., Исследование экономичной разностной схемы для нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа, Ж. вы-числ. матем. и матем. физ., 2005, Том 45, № 4, стр. 701-717

[17] A.V. Drutsa, Existence 'in large' of a solution to primitive equations in a domain with uneven bottom. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2009, vol.24, No.6, pp. 515-542.

[18] Г.М. Кобельков, Существование решения «в целом» для уравнений динамики океана, ДАН, 2006, т.407, 4, с.457-459.

[19] N.P. Weather ill, В.К. Soni, J.F. Thompson. Handbook of Grid Generation, CRC Press, 1998.

[20] R. Eymard, Т. Gallou§t,R. Herbin. The finite volume method. Handbook of Numerical Analysis, 2000, Vol. VII, pp. 713-1020.

[21] P. A. Raviart, J. M. Thomas. A Mixed Finite Element Method for Second Order Elliptic Problems. Lecture Notes in Mathematics, 1977, Vol. 606, pp. 292-315.

[22] О. В. Булатов, Т. Г. Елизарова. Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного моделирования течений в неглубоких водоемах . Журнал вычислительной математки и математической физики, 2011, Том 51, № 1, с. 170-184

[23] А. С. Петросян. Дополнительные главы гидродинамики тяжёлой жидкости со свободной границей. ИКИ РАН, 2010.

[24] Marchuk G.I., Gordeev R.G., Rivkind V.Y., Kagan В.A. A numerical method for the solution of tidal dynamics equations and the results of its application. Journal of Computational Physics, 1973, Vol. 13, №1, pp. 15-34.

[25] Богомолов С.В., Е.В.Захаров, С.В.Зеркаль. Моделирование волн на мелкой воде методом частиц. Математическое моделирование, 2002, Том 14, №3, стр. 103-116

[26] P. Garcia-Navarro, P. Brufau, J. Burguete, J. Murillo. The shallow water equations: An example of hyperbolic system. Monografias de la Real Academia de Ciencias de Zaragoza, 2008, Vol. 31, pp. 89-119.

[27] T. Gallo^t, J.-M. Herard, N. Seguin. Some approximate Godunov schemes to compute shallow-water equations with topography. Computers and Fluids, 2003, Vol. 32, pp. 479-513.

[28] J. G. Zhou, D. M. Causon, D. M. Ingram, C. G. Mingham. Numerical solutions of the shallow water equations with discontinuous bed topography. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 2002, Vol. 38, pp.769-788.

[29] A. Bermon, R.J. Plemmons. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1994.

Работы автора по теме диссертации

[30] Арушанян И.О., Друца A.B., Кобельков Г.М. Метод конечных разностей для решения системы уравнений динамики приливов. — Дифференциальные уравнения, 2009, том 45, № 7, стр. 965-972.

[31] Kobelkov G.M., Drutsa A.V., Finite difference approximation of tidal wave equations on unstructured grid in spherical coordinates. — Russ. J. Numer. Math, and Math. Model., 2010, том 25, № 6, стр. 535-544.

[32] Друца A.B., Конечно-разностный метод для решения нелинейной системы уравнений динамики мелкой воды на неструктурированной сетке. Вычислительные методы и программирование, 2012, том 13, № 2, стр.

[33] Арушанян И.О., Друца A.B., Кобельков Г.М. Метод конечных разностей для решения системы уравнений мелкой воды на неструктурированной сетке. Сборник лекций, прочитанных для участников молодёжной школы-конференции, проводимой в рамках Восьмой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», по-свящённой 80-летию со дня рождения А.Д. Ляшко,- Казань, стр. 50-68,

511-516.

2010.