Реализация и анализ вычислительных схем МКЭ при моделировании электромагнитных полей в сложных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Рояк, Михаил Эммануилович

• Рояк, Михаил Эммануилович
• доктор технических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор технических наук Рояк, Михаил Эммануилович

Введение.

Глава 1. Вычислительные схемы моделирования двумерных электромагнитных полей. Построение двумерных конечноэлементных сеток. Двумерный препроцессор.

1.1. Математические модели и вариационные постановки в двумерном случае.

1.1.1. Модели двумерных нестационарных электромагнитных процессов.

1.1.2. Модели двумерных гармонических электромагнитных процессов.

1.2. Математическое моделирование электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Вычисление синусоидальной и косинусоидальной компонент потенциала.

1.2.3. Расчёт индуктивности электромагнитного поля кабеля с коррордирующей оболочкой при равномерном распределении тока по поверхностям жилы и оболочки.

1.2.4. Расчёт индуктивности гармонического электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой.

1.3. Пример решения задачи с использованием комбинированной сетки из треугольников и прямоугольников.

1.3.1. Математическая модель процесса диссоциации двух зарядов.

1.3.2. Конечноэлементная аппроксимация.

1.4. Построение двумерных конечноэлементных сеток. Двумерный препроцессор.

1.4.1. Описание расчётной области в двумерном препроцессоре.

1.4.2. Проблемы выделения макроэлементов.

1.4.3. Построение сетки на макроэлементе.

1.5. Выводы.

Глава 2. Вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей с использованием edge-элементов.

2.1. Модель нестационарного электромагнитного поля в виде одного векторного уравнения.

2.2. Вариационная и конечноэлементная постановка для модели с разрывным векторным потенциалом.

2.3. Особенности конечноэлементной аппроксимации на edge-элементах.

2.3.1. Edge-элементы на параллелепипедах.

2.3.2. Edge-элементы на тетраэдрах.

2.3.3. Edge-элементы на призмах.

2.4. Применение векторного МКЭ для анализа электромагнитного поля в согласованных плёночных СВЧ резисторах.

2.4.1. Постановка задачи.

2.4.2. Результаты численного моделирования.

2.5. О решении гармонических задач векторным МКЭ.

2.6. Выводы.

Глава 3. Вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей в технических устройствах с совместным использованием векторных и узловых элементов.

3.1. Модель с совместным использованием вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала магнитного поля.

3.2. Вариационная постановка для модели с разрывным векторным и скалярным потенциалами.

3.3. Конечноэлементная дискретизация для модели с разрывным векторным и скалярным потенциалами.

3.4. Пример решения модельной задачи.

3.5. Выводы.

Глава 4. Вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей с выделением главной части поля.

4.1. Учёт нормального поля в системе уравнений Максвелла.

4.2. Модель в виде уравнений для вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала электрического поля.

4.3. Вариационная постановка и конечноэлементная аппроксимация.

4.4. Учёт условий симметрии в постановке (4.27)-(4.30).

4.5. Модель и вариационная постановка с гармоническим источником поля.

4.6. Выделение поля в модели с одним вектор-потенциалом.

4.7. Выделение поля в модели с совместным использованием векторного и скалярного потенциалов магнитного поля.

4.8. Использование вычислительных схем с выделением поля при решении задач геоэлектроразведки.

4.9. Вычислительная схема численного моделирования электромагнитного зондирования Земли при наличии рельефа.

4.10. Выводы.

Глава 5. Вычислительные схемы моделирования нелинейных задач магнитостатики.

5.1. Математическая модель на основе полного и неполного потенциала и конечноэлементная дискретизация.

5.2. Вычислительная схема с выделением главной части поля.

5.3. Вычислительная схема для моделирования магнитного поля в конструкциях, имеющих хорошее двумерное приближение в декартовых координатах.

5.4. Вычислительная схема для моделирования магитного поля в циклотронах.

5.5. Выводы.

Глава 6. Построение трёхмерных конечноэлементных сеток.

6.1. Построение тетраэдральных сеток с использованием модификации метода тиражируемых сечений.

6.1.1. Формирование конечноэлементной сетки по заданным сечениям.

6.1.2. Построение тетраэдральной сетки по сетке из призм с треугольным основанием.

6.1.3. Формирование информации о конечных элементах и об узлах сетки при проходе по сечениям.

6.1.4. Краевые условия второго и третьего рода.

6.2. Задание положения основных сечений в пространстве, описание их поверхностей и смещений узлов.

6.3. Реализация рассмотренного подхода к построению трехмерных конечноэлементных сеток.

6.4. Выводы.

Глава 7. Алгоритмы, структуры данных и принципы построения конечноэлементного пакета TELMA.

7.1. Особенности объектно-ориентированного конечноэлементного комплекса для моделирования электромагнитных полей.

7.1.1. Необходимость выделения решаемой задачи как основной сущности

7.1.2. Достоинства и недостатки объектно-ориентированного подхода к построению конечноэлементного комплекса.

7.2. Объектно-ориентированная реализация алгоритмов работы с конечноэлементными СЛАУ в комплексе TELMA.

7.2.1. Основные особенности конечноэлементных СЛАУ.

7.2.2. Разреженный строчный формат хранения матрицы СЛАУ.

7.2.3. Блочные форматы хранения. Разреженный строчно-блочный формат

7.3. Алгоритмы работы с конечноэлементными сетками.

7.3.1. Построение портрета конечноэлементной матрицы.

7.3.2. Нумерация глобальных базисных функций.

7.3.3. Подсчёт и нумерация рёбер конечных элементов.

7.3.4. Построение списков граней трёхмерных конечных элементов.

7.4. Сборка глобальной матрицы из шаблонных локальных матриц.

7.4.1. Явные и неявные схемы аппроксимации по времени.

7.4.2. Шаблонные локальные матрицы для различных вариационных постановок.

7.4.3. Сборка конечноэлементной СЛАУ для базового класса решения нестационарной электромагнитной задачи.

7.5. Выводы.

Глава 8. Вычислительные схемы для решения сопряженных задач.

8.1. Постановка задачи и математическая модель.

8.2. Вычислительные схемы.

8.2.1. Вычислительная схема для совместного решения двух сопряженных нелинейных задач.

8.2.2. Сравнение векторных элементов различных типов при решении задач с токами, текущими преимущественно в одном направлении.

8.2.3. Вычислительная схема с несколькими двумерными моделями.

8.3. Результаты численного моделирования. Сравнение с экспериментом.

8.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реализация и анализ вычислительных схем МКЭ при моделировании электромагнитных полей в сложных областях»

Для развития многих современных технологий очень важным является детальный анализ различных физических процессов, описываемых сложными математическими моделями. Изучение этих процессов невозможно без использования высокоточных методов численного моделирования. Для решения такого рода проблем к настоящему времени разработан большой объём программно-математического обеспечения, реализованного в широко известных многофункциональных программных комплексах, таких как ANSYS, NASTRAN, COSMOS, FLUX3D, OPERA3D, FEMLAB и т.д. Успешность этих комплексов определяется, в основном, тем, что в качестве базового метода моделирования в них используется метод конечных элементов (МКЭ) [70, 120, 138, 139, 144, 160, 164, 199, 202, 201, 200, 208]. Тем не менее, на сегодняшний день и с помощью этих комплексов не удаётся получать результаты требуемого качества при решении многих очень важных практических задач.

К таким задачам можно отнести задачи моделирования трёхмерных электромагнитных полей в различных технических устройствах (установках индукционного нагрева и закаливания изделий, электролитических установках, электродвигателях и генераторах, ускорителях элементарных частиц и т.д.), а также задачи восстановления свойств объектов по данным электромагнитных зондирований (задачи дефектоскопии, задачи геоэлектроразведки и т.д.). Действительно, в указанных программных комплексах для моделирования трёхмерных полей заложены, в основном, достаточно простые модели (например, задачи электростатики, описываемые эллиптическим уравнением) и вычислительные схемы. Использование же таких программных комплексов для решения достаточно сложных трёхмерных задач, требующих разработки специализированных вычислительных схем, сторонним пользователем (т.е. без обращения к разработчикам) практически невозможно.

Например, в задачах геоэлектроразведки для восстановления проводимости среды по измеренным характеристикам электромагнитного поля необходимо получать решение соответствующих нестационарных трёхмерных задач моделирования электромагнитного поля с погрешностью до нескольких процентов в широком диапазоне времён во всех точках измерения, что не может быть обеспечено ни одним из перечисленных выше программных комплексов, использующих стандартные вычислительные схемы. Для решения таких задач необходимы специальные методы, позволяющие выделять поля влияния трёхмерных неоднородностей, и реализующие эти методы вычислительные схемы [28, 156, 157, 64, 114, 115, 132, 133, 143, 153, 155, 79, 141, 151, 152].

Большую сложность для моделирования представляют также трёхмерные задачи, в которых необходимо достаточно точно учитывать влияние вихревых токов на изучаемый физический процесс (например, индукционный нагрев или паразитные токи в электромеханических устройствах). Предлагаемые в настоящее время для решения таких задач подходы с использованием элементов векторного типа хотя и существенно расширяют класс решаемых задач, но имеют серьёзные проблемы при наличии в трёхмерной расчётной области непроводящих подобластей [150, 154, 153, 187, 198, 205, 206, 52,38,211,240].

Необходимо отметить, что в России моделированию трёхмерных электромагнитных полей в сложных областях уделяется явно недостаточное внимание. Большинство современных работ в области численного моделирования электромагнитных полей направлено на решение либо одно- и двумерных задач (например, работы М.И.Эпова [192, 194, 196, 204, 246, 248, 249], В.С.Могилатова [241, 242, 243, 244, 245, 250, 251], Ю.А.Дашевского [180, 247], и др.), либо достаточно простых трёхмерных задач (например, работы М.И.Эпова [193, 195, 206, 207, 205, 252], Соловьёва С.А. [176], Вабищеви-чаП.Н. [183], В.И.Дмитриева, М.Н.Бердичевского, Л.Л.Ваньяна [253,254, 255, 256]). При этом для решения некоторых (достаточно узких) классов трёхмерных задач разрабатываются быстрые вычислительные схемы, позволяющие приближать решение трёхмерной задачи решениями серии одно- или двумерных задач (например, работы М.И.Эпова [178, 179, 184],

Ю.А.Дашевского [180] ). Программных же комплексов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, разработанных в России, вообще очень мало. Примерами могут служить программа ELCUT, разработанная в НПО ТОР (Санкт-Петербург) и предназначенный для решения двумерных нестационарных задач [182], а также программа MERMAID, разработанная А.Дубровиным в ИЯФ СО РАН и предназначенная для решения двумерных и трёхмерных задач магнитостатики на регулярных сетках. Эти пакеты являются достаточно узконаправленными, реализованные в этих пакетах вычислительные схемы не позволяют, например, моделировать трёхмерные нестационарные электромагнитные поля.

Таким образом, проблема построения эффективных вычислительных схем конечноэлементного моделирования, позволяющих получать численные решения задач моделирования электромагнитных полей в областях со сложной геометрией, и их гибкой настройки на особенности решаемой задачи до сих пор вызывает большой интерес у очень многих исследователей, занимающихся как вопросами разработки вычислительных методов, так и использующих эти методы при решении конкретных практических задач. Этим и определяется актуальность данной диссертационной работы.

Одной из важнейших при решении различных задач с использованием МКЭ является проблема построения конечноэлементных сеток [1-4, 6, 10-16, 22-30, 32-46, 49-58, 60, 61, 65-69, 71-74, 77, 78, 84-86, 88-93, 104-107, 126, 164, 174, 175, 224, 225, 185]. Значительное внимание, уделяемое исследователями этой проблеме, объясняется тем, что очень часто от того, насколько эффективно удается выполнить дискретизацию расчетной области, зависит сама возможность решения конкретной практической задачи с нужной точностью. Поэтому столь велик интерес исследователей к различным процедурам построения двумерных и трехмерных сеток. Этот интерес связан с тем, что именно использование неравномерных неструктурированных сеток часто позволяет при фиксированном числе узлов существенно уменьшить ошибку аппроксимации по сравнению с различными структурированными (например, квазипараллелепипеидальными) сетками. Повышение же точности численного расчета за счет уменьшения ошибок аппроксимации, связанных с дискретизацией исходной задачи, и минимизация вычислительных затрат за счет уменьшения размерности системы аппроксимирующих уравнений (а в МКЭ размерность этой системы напрямую зависит от числа узлов в конечно-элементной сетке) являются важнейшими проблемами при проведении любого численного исследования. Поэтому актуальной является разработка вычислительных схем и алгоритмов, позволяющих использовать и строить как согласованные, так и несогласованные нерегулярные сетки, содержащие как однотипные, так и разнотипные элементы. Кроме того, при замене типа конечных элементов сама вычислительная схема практически не меняется, и поэтому желательно иметь программные инструменты, позволяющие достаточно гибко настраивать программный комплекс как на использование Другой вычислительной схемы без изменения типа конечных элементов, так и на работу той же самой вычислительной схемы с другим типом элементов. Достаточно удобным для этих целей является применение объектно-ориентированного подхода при проектировании программного комплекса.

Развитие объектно-ориентированного программирования и появление достаточно надёжных и мощных компиляторов С++ закономерно привело к появлению объектно-ориентированных программных комплексов конечно-элементного моделирования как в России [95, 96], так и за её пределами [21, 217, 238, 239, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237]. Однако, указывая очевидные преимущества объектно-ориентированных программных комплексов, такие как упрощение отладки и простота расширения пакета открытой структуры (см., например, работу 95), авторы перечисленных работ решают, в основном, актуальную в задачах прочности проблему совместного использования разнотипных элементов, используя, фактически, одну вычислительную схему. При решении же трёхмерных задач электромагнетизма часто требуется одновременное использование нескольких вычислительных схем и вариационных постановок (например, при решении задач с выделением нормального поля [79] одновременно решаются как минимум две связанные задачи: задача расчёта нормального поля и задача расчёта аномального поля, и для решения каждой из этих задач используется свой метод построения конечно-элементной аппроксимации).

В данной работе много внимания будет уделено построению структур данных и алгоритмов, используемых при построении вычислительных схем конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, и анализу их эффективности при решении задач различных типов. Эффективность разработанных схем и их программной реализации будет продемонстрирована на примере решения сложных практических задач из различных областей науки и техники.

Таким образом, основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема разработки и исследования эффективности методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в сложных трехмерных областях.

Цель исследования состоит в разработке новых и повышении эффективности наиболее часто используемых перспективных методов численного моделирования трёхмерных электромагнитных процессов в сложных трёхмерных областях и программных средств, реализующих эти методы.

На защиту выносятся:

1) Методы конечноэлементного моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей с выделением главной части поля с использованием узловых и векторных конечных элементов, а также при совместном их использовании при исследовании электромагнитных процессов в устройствах, состоящих из проводящих и непроводящих электрический ток конструктивных элементов.

2) Методы и средства описания двумерных и трёхмерных расчетных областей со сложными границами и алгоритмы построения двумерных и трёхмерных конечноэлементных сеток, реализованные в препроцессоре комплекса ТЕЬМА.

3) Методы конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных частиц, использующие технологию поэтапного выделения главной части поля.

4) Методы совместного решения нескольких взаимозависимых нелинейных задач электромагнетизма и теплообмена.

5) Объектно-ориентированная реализация библиотеки классов конечно-элементного моделирования в программном комплексе ТЕЬМА.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1) Предложена конечноэлементная постановка с совместным использованием скалярных и векторных конечных элементов, основанная на вариационной постановке с использованием векторного потенциала в проводящих и скалярного в непроводящих подобластях. В отличие от постановок на основе только векторных конечных элементов, предложенная постановка при решении трёхмерных задач моделирования нестационарного электромагнитного поля без учёта токов смещения позволяет получать невырожденную систему линейных алгебраических уравнений даже при наличии в расчётной области непроводящих подобластей.

2) Разработаны новые средства описания сложной трехмерной геометрии и построения тетраэдральной конечноэлементной сетки с возможностями сгущения и разрежения её узлов. Эти средства позволяют при моделировании электромагнитных полей в наиболее высокотехнологичных ускорителях заряженных частиц максимально точно учитывать конфигурацию фасок и шимм тем самым существенно улучшить качество получаемых результатов.

3) На основе конечноэлементных постановок с использованием векторных конечных элементов разработаны и реализованы вычислительные схемы с выделением главной части поля, позволяющие существенно повысить эффективность численного моделирования нестационарных электромагнитных полей в технических устройствах.

4) Впервые предложен и обоснован метод конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей с выделением главной части поля. На его основе предложены и реализованы вычислительные схемы с поэтапным выделением главной части поля, позволяющие на порядок и более повысить точность численного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных частиц.

5) Предложена и реализована объектно-ориентированная технология разработки программного комплекса конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, обеспечивающая гибкость его настройки на используемые математические модели и вычислительные схемы с учётом особенностей решаемой задачи. На основе этой технологии были, например, решены взаимозависимые нелинейные задачи электромагнетизма и теплообмена при моделировании электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе ТЕЬМА и широко применялись для решения многих сложных практических задач из различных областей прикладных исследований: теплофизики, геофизики, электрофизики, а также при разработке и оптимизации различных электротехнических устройств. В диссертационной работе приводятся несколько примеров решения практических задач:

• моделирование гармонического электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой;

• расчёт характеристик процесса диссоциации двух зарядов с использованием комбинированной сетки;

• анализ электромагнитного поля в согласованных плёночных СВЧ резисторах;

• моделирование становления поля от вертикальной электрической линии в слоистых средах с трёхмерными объектами;

• моделирование становления поля от петлевого источника в слоистых средах с трёхмерными объектами с учётом рельефа местности;

• высокоточное моделирование магнитного поля в циклотроне

• моделирование электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Результаты диссертационной работы использовались при выполнении более чем 20 научно-исследовательских работ (как госбюджетных, так и хоздоговорных), из них в последние годы при выполнении тематических планов

НИР НГТУ:

• НГТУ. 1.4.99 «Исследование волновых моделей диагностики мест нарушения однородности в кабельных сетях среднего и высокого напряжения», 1999-2001;

• НГТУ. 1.2.04 «Математическое моделирование электромагнитных процессов», 2004-2005; а также хоздоговорных работ (за последние пять лет):

• х/д ПМт-2-00 «Конечноэлементное моделирование геоэлектрических объектов» (2000г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-3-00 «Расчёты электромагнитных полей при гальваническом возбуждении для сложных геоэлектрических условий Сибири» (2000г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-1-01 «Решение прямой и обратной задачи геотермии в условиях седиментации» (2001г., ГП Дальинформгеоцентр);

• х/д ПМт-2-01 «Конечноэлементные расчёты трёхмерных магнитных полей» (2001г., НИУ ИЯФ СО РАН);

• х/д ПМт-5-01 «Реализация учёта изменения палеоплотности и мощности слоев во времени при решении задачи геотермии в условиях седиментации» (2001г., ГП Дальинформгеоцентр);

• х/д ПМт-2-03 «Оценка глубинности и оптимизация основных параметров моноимпульсного электромагнитного зонда» (2003г., ГФУП СНИИГ-ГиМС);

• х/д ПМт-2-04 «Разработка и исследование технологии широкополосного импульсного зондирования» (2004г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-2-05 «Проведение трехмерного конечноэлементного моделирования для технологии поиска золотосодержащих кварцевых жил методом вызванной поляризации» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-3-05 «Расчёт параметров датчика ускорения» (2005г., ООО «Сенсор Текнолоджис»);

• х/д ПМт-5-05 «Математическое моделирование электромагнитных полей при проведении аэроназемных поисково-оценочных исследований в условиях Восточной Сибири и Якутии» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-6-05 «Проведение региональных геофизических работ в зоне сочленения Сибирской платформы, Западно-Сибирской плиты и Енисей-Хатангского прогиба с целью подготовки новых зон нефтегазонакопле-ния» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-14-06 «конечноэлементные исследования трёхмерных магнитных полей дипольных магнитов» (2006г., ИЯФ СО РАН);

Кроме того, исследования были частично поддержаны грантами РФФИ:

• 01-02-16932-а «Новый механизм поверхностной проводимости и появления зарядов в жидких диэлектриках»

• 03-02-16214-а «Экспериментальные исследования нового механизма появления зарядов на границе жидкого и твердого диэлектриков»

Достоверность результатов подтверждается как решением модельных задач и сравнением результатов решения некоторых частных задач с результатами других авторов, так и сравнением результатов численного моделирования с экспериментальными данными.

Личный вклад. Автором предложена и обоснована конечноэлементная постановка с совместным использованием узловых и векторных конечных элементов для модели электромагнитного поля с использованием разрывного векторного потенциала в проводящих и скалярного магнитного потенциала в непроводящих электрический ток конструктивных элементах, и на основе этой постановки разработана вычислительная схема с выделением главной части поля, описываемого двумерной (осесимметричной) задачей.

Автором предложены и реализованы в препроцессоре комплекса ТЕЬМА методы и средства описания двумерных и трёхмерных расчетных областей со сложными границами и алгоритмы построения двумерных и трёхмерных конечноэлементных сеток

Автором разработаны и реализованы вычислительные схемы для решения задачи моделирования электромагнитных процессов в кабеле с корродирующей оболочкой и задачи моделирования процесса диссоциации для двух зарядов.

Автором предложены и разработаны методы конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных, использующие технологию поэтапного выделения главной части поля

Автором разработаны и реализованы вычислительные схемы совместного решения нескольких взаимозависимых нелинейных задач электромагнетизма и теплообмена.

Автором выполнено численное моделирование трёхмерных нелинейных магнитных полей для циклотрона А1С-144, нестационарных электромагнитных полей с учётом рельефа местности при обработке данных зондирований на хребте «Безымянный», нестационарного трёхмерного электромагнитного поля согласованного плёночного СВЧ-резистора, электромагнитных и тепловых полей при решении задачи электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Автором предложена объектно-ориентированная технология разработки программного комплекса конечноэлементного моделирования электромагнитных полей и реализована в виде библиотеки классов конечноэлементного моделирования в программном комплексе ТЕЬМА.

Автором выполнены все реализации рассмотренных в работе вычислительных схем и алгоритмов. Все исследования эффективности вычислительных схем и их реализаций, результаты которых приведены в диссертационной работе, также выполнены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: Всесоюзной конференции по методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики (Арзамас-16, 1991); Международной геофизической конференции и выставке по разведочной геофизике SEG-EAGO (Москва, 1993); Международном совещании-семинаре по механике реагирующих сред и экологии (Томск, 1994); First Asian Computational Fluid Dinamics Conference (Hong Kong, 1995); Particle Accelerator Conference and International Conference on High-Energy Accelerators (Dallas, 1995); Международной конференции PaCT-95 (Санкт-Петербург, 1995); Международной геофизической конференции и выставке Санкт-Петербург'95; Международной конференции "неклассическая геоэлектрика" (Саратов, 1995); Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); Научно-техническом совещании "Геофизические методы при разведке недр и экологических исследованиях" (Томск, 1996); Международной геофизической конференции "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками" (С.-Петербург, 1996); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева, 1998г; Международной геофизической конференции «300 лет горногеологической службе России», Санкт-Петербург, 2000г.; 63 и 65 Международной конференции EAGE Conference & Technical Exhibition, (Amsterdam, 11-15 June 2001, Stavanger, Norway, 2-5 June 2003); международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004; Шестой международной конференции «On UNCONVENTIONAL ELECTROMECHANICAL AND ELECTRIACAL SYSTEMS», 2004г.; Международной конференции «International Symposium On Heating by Electromagnetic Sources», Padua, June 22-25,

2004г.; Третьей, четвёртой, седьмой и восьмой международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-96, АПЭП-98, АПЭП-2004, АПЭП-2006; Третьей и восьмой Российско-Корейской международной конференции (КО!Ш8'99, К01Ш8-2004); а также на семинарах ВЦ СО РАН, ИВТ СО РАН, ИТПМ СО РАН, ИЯФ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН (г.Новосибирск), ОИЯИ (г.Дубна). Результаты автора включались в отчеты по НИР НГТУ, заключительные отчеты СНИИГГиМС.

Публикации. Результаты исследований изложены в 56 печатных работах (32 статьях и 24 трудах российских и международных конференций), среди которых 20 статей опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка использованных источников (269 наименований) и приложения. Работа изложена на 319 страницах, включая 47 рисунков и 5 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рояк, Михаил Эммануилович

8.4. Выводы

1.В данной главе предложены и проанализированы вычислительные схемы для совместного решения сопряженных нелинейных задач. Реализация именно таких вычислительных схем наиболее полно раскрывает преимущества гибкости настройки объектно-ориентированного программного комплекса на решаемую задачу.

2. Для решения электромагнитной задачи с токами, текущими преимущественно в одном направлении, проведено сравнение векторных элементов различных типов, и выявлены недостатки тетраэдральных векторных элементов. На примере решения модельной задачи показано, что для тетраэдральных векторных элементов с одной базисной функцией на каждом ребре для аппроксимации решения требуется существенное дробление сетки вдоль направления тока, в отличие от призматических конечных элементов или тетраэдральных элементов с двумя векторными базисными функциями, ассоциированными с каждым ребром.

3. Приведены результаты численного моделирования процесса электроконтактного нагрева трубчатого изделия с использованием разработанной и реализованной средствами программного комплекса ТЕЬМА вычислительной схемы совместного решения сопряженных нелинейных задач и продемонстрировано хорошее совпадение полученных результатов с данными физических измерений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемой диссертационной работе рассматривались проблемы создания и реализации вычислительных схем конечноэлементного моделирования электромагнитных полей. Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. Разработаны методы описания двумерных и трёхмерных расчетных областей, позволяющие задавать геометрию практически произвольной сложности и эффективно управлять сгущением и разрежением сетки. Созданы методы автоматического и полуавтоматического построения двумерных и трёхмерных сеток в областях со сложной геометрией. Предложенные методы и алгоритмы реализованы в препроцессоре пакета ТЕЬМА и использовались при решении значительного числа практических задач.

2. Разработаны и реализованы вычислительные схемы двумерного конечноэлементного моделирования с использованием комбинированных сеток. Приведены результаты решения практических задач расчёта гармонического электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой и расчёта характеристик процесса диссоциации двух зарядов, для выполнения конечноэлементной аппроксимации которых использованы разработанные в диссертационной работе средства. Продемонстрированы преимущества использования комбинированных сеток.

3. Предложена и реализована вычислительная схема решения трёхмерных нестационарных задач электромагнетизма с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов. Обоснованы преимущества использования этой вычислительной схемы для моделирования электромагнитных полей в технических устройствах, содержащих как подобласти с высокой проводимостью, так и непроводящие подобласти. Показано, что в большинстве случаев конечноэлементная постановка с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов, в отличие от постановок, использующих только векторные элементы, позволяет получить СЛАУ с невырожденной матрицей даже при наличии непроводящих подобластей и пренебрежимо малых токах смещения.

4. На основе метода выделения главной части поля разработаны и реализованы вычислительные схемы, основанные на использовании конечноэле-ментных постановок с векторными и скалярными базисными функциями. Высокая точность и эффективность этих вычислительных схем, базирующаяся на том, что главная части поля определяется из решения более простых (двумерных) задач с высокой точностью, продемонстрирована на примере решения задач электромагнитного зондирования Земли. Проведен сравнительный анализ использования разработанных методов при использовании их для решения задач геоэлектрики. Разработана и использована при решении практических задач вычислительная схема для конечноэлементного моделирования электромагнитного зондирования Земли с использованием петлевого источника и профильно-площадной системы наблюдений с учётом рельефа местности и трёхмерного расположения петли.

5. На основе поэтапного выделения главной части поля разработаны и реализованы вычислительные схемы для высокоточного численного моделирования магнитных полей в ускорителях заряженных частиц. Эффективность разработанных схем продемонстрирована при моделировании магнитных полей циклотрона.

6. Предложены технологии создания программного комплекса конечно-элементного моделирования электромагнитных полей, основанные на объектно-ориентированном подходе с использованием множественного наследования. Продемонстрирована возможность использования одних и тех же абстрактных алгоритмов для реализации вычислительных схем, основанных на различных вариационных и конечноэлементных постановках. Использование предложенных технологий при разработке программного комплекса ТЕЬМА позволяет использовать его не только для решения практических задач, но и как инструмент для исследования свойств новых вариационных и конечно-элементных постановок, а также обеспечивает необходимую гибкость настройки программного комплекса на особенности решаемых задач.

284

7. Разработаны и реализованы вычислительные схемы, допускающие совместное решение нескольких взаимосвязанных нелинейных задач. Для одной из задач электроконтактного нагрева, в которой электромагнитное поле имеет хорошее двумерное приближение, предложена вычислительная схема, в которой нелинейное трёхмерное электромагнитное поле аппроксимируется путём решения нескольких двумерных нелинейных задач в декартовых и цилиндрических координатах, соответствующих нескольким пространственным сечениям изучаемого изделия. Высокая эффективность разработанных вычислительных схем продемонстрирована на примере решения задачи электроконтактного нагрева, для которой получено хорошее совпадение результатов численного моделирования с данными физических измерений.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Рояк, Михаил Эммануилович, 2006 год

1. Adamiak К. Adaptive approach to finite element modelling of corona fields // IEEE Transactions on Industry Applications. Vol.30, '2, 1994, - P.387-393.

2. Anderson W.K. A Grid Generation and Flow Solution Method for the Euler Equations on Unstructured Grids // Journal of Computational Physics. -Vol.110, 4,1994.-P.23-38

3. Babushka I., Aziz A.K. On the angle condition in the finite element method // SIAM J.Numer.Anal. Vol.13,12,1976. - P.214-226.

4. Baker TJ. Automatic mesh generation for complex three-dimensional regions using a constrained Delaunay triangulation. // Engnrg. Computers. Vol.5, 1989. - P.161-175

5. Bernardi C. Optimal Finite-Element Interpolation on Curved Domains // SIAM J. Numer. Anal. Vol.26, !5, 1989. - P.1212-1240

6. Boender E., Bronsvoort W.F., Post F.H. Finite-element mesh generation from constructive solid geometry models // Computer Aided Design. Vol:26, '5, 1994. - P.379-392

7. Bonet J., Peraire J. An alternating digital tree (ADT) algorithm for 3D geometric searching and intersection problems// Int. J. Num. Meth. Engrg. -Vol.31, 1991.-P.l-17.

8. Bossavit A. Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements. Academic Press (Boston), 1998

9. Braaten M.E. and Connell S.D. Three-dimensional Unstructured Adaptive Multigrid Scheme for the Navier-Stokes Equations// AIAA Journal/ Vol. 34,1 2, 1996. - P.281-290

10. Cavendish J.C., Field D.A., and Frey W.H. An approach to automatic three-dimensional finite element mesh generation. // Int. J. Num. Meth. Engrg. -Vol.21, 1985. -P.329-347

11. Chellamuthu K.C., Ida N. 'A Posteriory' Element by Element Local Error Estimation Technique and 2D&3D Adaptive Finite Element Mesh Refinement. // IEEE Transactions on Magnetics. Vol.30, !5, 1994. - P.3527-3530

12. Chellamuthu K.C., Ida N. Algorithms and data structures for 2D and 3D adaptive finite element mesh refinement. // Finite Elements in Analysis and Design. 47, 1994. - P.205-229.

13. Connell S.D. and Braaten M.E. Semistructured Mesh Generation for Tree-Dimensional Navier-Stokes Calculations. // AIAA Journal. Vol.33, 1 6, 1995. -P.1017-1024.

14. Dannelongue H.H., Tanguy P.A. Efficient data structures for adaptive remeshing with the FEM // J. Comput. Physics. Vol.91, 1990. - P.94-109

15. Dobkin D.P., Laszlo M.J. Primitives for the manipulation of three-dimensional subdivisions // Algorithmica. Vol.4, 1989. - P.3-32

16. Eppstein D. Approximating the minimum weight triangulation // Proceedings of the Third Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. -New York, USA, 1992. P.48-57

17. Ewing D.J.F., Fawkes A.J., Griffiths J.R. Rules governing the number of nodes and elements in a finite element mesh. // Int. J. Num. Meth. Engrg. Vol.2, 1970. - P.597-601

18. F.T. McKenna Object-Oriented Finite Element Programming: Frameworks for Analysis, Algorithms and Parallel Computing // Ph.D. dissertation, University of California, Berkeley, 1997.

19. Field D.A., Smith W.D. Graded tetrahedral finite element meshes // Int. J. Num. Meth. Engng.- Vol.31, 1991.- P.413-495

20. Forsman K., Kettunen L. Tetrahedral mesh generation in convex primitives by maximizing solid angles. // IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 30, J5, 1994. - P.3535-3538

21. Frey W.H. Selective refinement: A new strategy for automatic node placement in graded triangular meshes // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.24, 1987.-P.2183-2200

22. Frey W.H., Field D.A. Mesh relaxation: A new technique for improving triangulations // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.31, 1991. - P.l 121-1133

23. Frykestig J. Advancing front mesh generation techniques with application to the finite element method. Goteborg, 1994. - 197p.

24. Geiben M. Numerical simulation of three-dimensional nonstationary compressible flow in complex geometries // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. Vol. 74, *5, 1994. - P.421-422

25. Hewett C.J.M.; Bull J.W. A review of mesh generation methods // Proceedings of conference "Developments in Computational Engineering Mechanics". Edinburgh, UK, 1993. - P.55-62

26. Jin H., Tanner R.I. Generation of unstructured tetrahedral meshes by advancing front technique // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.36, 1993. - P.1805-1823

27. Jin H., Wiberg N.-E. Two dimensional mesh generation, adaptive remeshing and refinement // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.29, 1990. - P. 15011526

28. Jin-Fa Lee and Raj Mittra. A note on the application of edge-elements for modelling three-dimensional inhomogeneously-filled cavities // IEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT-40, 1992. pp. 1767-1773

29. Joe B. Delaunay triangular meshes in convex polygons // SIAM J. Sci. Stat. Comput. Vol.7, !2, 1986. - P.514-53 9

30. Joe B. Delaunay Versus max-min solid angle triangulations for three-dimensional mesh generation // Int. J. Num. Meth. Engrg. Vol.31, 1991. - P.987-997

31. Johnston B.P., Sullivan J.M. Fully automatic mesh generation using normal offsetting // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.36, 1993. - P.1717-1734

32. Kallinderis Y., Khawaga A., McMorris H. Hybrid Prismatic/Tetrahedral Grid Generation for Viscous Flows Around Complex Geometries // AIAA Journal. -Vol. 34, 1 2, 1996. -P.291-298

33. Kanaganathan S., Goldstein N.B. Comparison of four point adding algorithms for Delaunay type three dimensional mesh generators // IEEE Transaction on Magnetics. Vol. 27, x3, 1991. - P.3444-3451

34. Krizek M. On the maximum angle condition for linear tetrahedral elements // SIAM J. Num. Anal. Vol.29,12, 1992. - P.513-520

35. Lee C.F., McCartin B.J., Shin R.T., Kong J.A. A triangular-grid finite-difference time-domain method for electromagnetic scattering problems // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. Vol.8, '4, 1994. - P.449-470.

36. Lee D.T., Schachter B.J. Two algorithms for constructing a Delaunay triangulation // Int. J. Comp. Inf. Science. Vol.9, 13, 1980. - P.219-242.

37. Liseikin V.D. On some interpretations of smoothness functional used in constructing regular and adaptive grids // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. Vol.8, '6,1993. - P.507-518

38. Lo S.H., Lee C.K. Generation of gradation meshes by the background grid technique // Computers and Structures. Vol.50, 4, 1994. - P.21-32

39. Lohner R., Parikh P. Generation of three-dimensional unstructured grids by the advancing-front method II Int. J. Num. Meth. Fluids — Vol.8, 1988. -P.1135-1149

40. Marcum D.L., Weatherill N. Unstructured Grid Generation Using Iterative Point Insertion and Local Reconnection. // AIAA Journal. Vol. 33, 1 9, 1995. -P.1619-1625

41. Mavriplis D.J. An Advancing Front Delaunay Triangulation Algorithm Designed for Robustness. // Journal of Computational Physics. Vol. 117, ll, 1995. - P.90-101

42. Mohammed S. Tharf and George I. Costache. Finite element method solutions of field distributions in large cavities // International Journal Of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, Vol.7, 1994. -pp.343-355

43. Moller P.W. Procedures in adaptive finite element analysis. Goteborg, 1994.-121p.

44. Nackman L.R., Srinivasan V. Point Placement Algorithms for Delaunay Triangulation of Polygonal Domains // Algorithmica. 42, 1994. - P. 1-17

45. Parthasarathy V. and Kallinderis Y. New Multigrid Approach for Three-Dimensional Unstructured, Adaptive Grids // AIAA Journal. Vol.32, 1 5, 1994. - P.956-963.

46. Parthasarathy V.N., Graichen C.M., Hathaway A.F. A comparison of tetrahedron quality measures // Finite Elements in Analysis and Design. Vol. 15, *3, 1994. -P.255-261

47. Pelletier D., Hetu J.-F., Llinca F. Adaptive Finite Element Method for Thermal Flow Problems // AIAA Journal. Vol.32,1 4, 1994. - P.741-747.

48. Pirzadeh Sh. Three-dimensional Unstructured Viscous Grids by the Ad-vancing-Layer Method // AIAA Journal. Vol.34,1 1, 1996. - P.43-49

49. Press K. Checking the topological consistency of a finite element mesh // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol. 14,112, 1979. - P; 1805-1812

50. Rebay S. Efficient Unstructured Mesh Generation by Means of Delaunay Triangulation and Bowyer-Watson Algorithm // Journal of Computational Physics. -Vol.106,1l, 1993. -P.125-138

51. Rojak M., Shurina E., Soloveichik Yu. and Malyshkin V. Parallelization of Computer Code MASTAC Three-Dimensional Finite Elements Method Implemeriting // Proceedings of PaCT-95 Lecture Notes in Computer Science. Germany: Springer, 1995. -P.304-313.

52. Russo G., Strain J.A. Fast Triangulated Vortex Methods for the 2D Euler Equations // Journal of Computational Physics. Vol.111, 1994. - P.291-323

53. S M Korobeynikov, A V Melekhov, Yu G Soloveitchik, M E Royak, D P Agoris and E Pyrgioti. Surface conductivity at the interface between ceramics and transformer oil // Journal Of Physics D: Applied Physics, 38 (2005). pp. 915-921

54. Santini E. Minimum Input Automatic Mesh Generator//Advances in Electric Engineering Software: Proceedings of the First International Conference on Electrical Engineering Analysis and Design (ed. P.P.Silvester).-Lowell,Massachusetts,USA,1990.-P.109-122.

55. Sapidis N., Peruccho R. Combining recursive spatial decomposition and domain Delaunay tetrahedrization for meshing arbitrary shaped curved solid models // Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg. Vol.108, 1993. - P.281-302

56. Sapidis N., Peruccho R. Solid/solid classification operations for recursive spatial decomposition and domain triangulation of solid models//Computer Aided Design.-Vol.24,110,1992. P.517-529.

57. Schatz A.H., Thomee V., Wendland W.L. Mathematical theory of finite and boundary elements methods. Basel, Boston, Berlin: Birkhaeuser, 1990. -276p.

58. Tl.Schroeder W.J. Geometry-based fully automatic mesh generation and the Delaunay triangulation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.26, 1988. - P.2503-2515

59. Schroeder W.J., Shephard M.S. A combined octree/Delaunay method for fully automatic 3D mesh generation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.29, 1990. -P.37-55

60. Shephard M.S., Georges M.K. Automatic three-dimensional mesh generation by the finite octree technique // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.32, 1991. - P.709-749

61. Shokin Yu.I., Sleptsov A.G. Grid-projection method with small angles in the cells // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. -Vol.10,15, 1995.- P.449-462

62. Shurina E.P., Soloveitchik J.G., Royak M.E. Three-dimensional Fields Modeling on Irregular Mesh Using Finite Elements Method // Proceedings of the First Asian Computational Fluid Dynamics Conference 16-19 January. V.3, Hong Kong, 1995. - P. 1225-1226

63. Sleptsov A.G. Grid projection solution of an elliptic problem for an irregular grid // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. -Vol.8,16, 1993.-P.519-543

64. Smith R.J., Johnston L.J. Automatic Grid Generation and Flow Solution for Complex Geometries // AIAA Journal. Vol.34,1 6, 1996. - P.l 120-1124

65. Tanaka K., Kato H., Ciampolini P., Pierantoni A., Baccarani G. Adaptive mesh generation in three dimensional device simulation// International Workshop on Numerical Modeling of Processes and Devices for Integrated Circuits-New York,USA, 1994. P.163-166

66. Uler F.G., Mohammed O.A. A 3-D Finite Element Mesh Generator for Complex Volumes // IEEE Transactions on Magnetics. Vol.30, *5, 1994. -P.3539-3542

67. Uler F.G., Mohammed O.A. An efficient 3-D finite element mesh generator for electromagnetic analysis in complex volumes // 9th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetic: Conference Proceedings.- Tuscaloosa, USA, 1993.-P.696-703

68. Watson D.F. Computing the n-dimensional Delaunay Tesselation with Application to Voronoi Polytopes. // Computer Journal. Vol.24, % 1981 -P.167-172

69. Weatherill N.P., Hassan О. Efficient three-dimensional Delaunay triangulation with automatic point creation and imposed boundary constrained // Int. J. Num. Meth. Engng. -Vol.37, 1994. -P.2005-2039

70. Wolfgang Bangerth. Using Modern Features of С++ for Adaptive Finite Element Methods: Dimension-Independent Programming in Deal II // Proceedings of the 16th IMACS World Congress 2000, Lausanne, Switzerland, 2000.

71. Wright J.P., Jack A.G. Aspects of three-dimensional constrained Delaunay triangulation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.37, 1994. - P.1841-1861

72. Yeker C., Zeid I. Automatic Three-Dimensional Finite Element Mesh Generation via Modified Ray Casting // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.38, 1995. - P.2573-2601

73. Yuanxian Gu, Gengdong Cheng, Haiyan Zhang, Dongxu Zhang. Finite element mesh generation and interface with geometric modeling. //Proceedings of the Third International Conference on CAD and Computer Graphics. Vol.2, Beijing, China, 1993,-P.705-709.

74. Yuen M.M., Tan S.T., Hung K.Y. A hierarchical approach to automatic finite element mesh generation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.32, 1991. -P.501-525

75. Басакер P., Саати Т. Конечные графы и сети. М.:Наука, 1973.368с.

76. В.Н.Бакулин, В.О.Каледин, Вл.О. Каледин, Е.В.Кузнецова, В.В.Репинский. Объектно-ориентированная реализация метода конечных элементов //Математическое моделирование, т. 15, №2, 2003г. -с.77-82

77. В.Н.Рычков, И.В. Красноперов, С.П.Копысов. Объектно-ориентированная параллельная распределённая система для конечно-элементного анализа // Математическое моделирование, т.14, №9, 2002г. — с.81-86

78. Голубева JI.A., Новиков В.П. Входной язык АИДА для описания трехмерных краевых задач. // Технология моделирования задач математической физики / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новосибирск:ВЦ СОР АН, 1989. - С.40-51

79. ЮО.Иванов И.А., Рояк М.Э., Никулин A.C. О разработке пользовательского интерфейса для систем численного моделирования // Сборник научных трудов НГТУ Новосибирск, 2004, №1. - С.61-66.

80. Ю1.Инкин А.И., Кадомская К.П., Рояк М.Э., Сахно В.В., Соловейчик Ю.Г. Методика определения волнового сопротивления участка кабельной линии при коррозии металлической оболочки // "Электричество", №9, 2002г. -стр. 16-21

81. Карчов Д.С., Соловейчик Ю.Г., Васьковский Ю.Н. Математическое моделирование трехмерного электромагнитного поля с помощью пакета программ РЭМПСО // Техническая электродинамика. №6, 1990. - С.32-38

82. Коробейников С.М., Мелехов A.B., Посух В.Г., Антонов В.М., Рояк М.Э. Экспериментальное исследование поведения пузырьков в воде под действием сильных электрических полей // Теплофизика Высоких Температур, 2001, том 39, №2, с.181-186.

83. Кузнецов А.Ю. О некоторых подходах к реализации алгоритмов в ШШ РАМЗЕС-З // Технология моделирования задач математической физики / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новосибирск :ВЦ СОР АН, 1990. - С.89-97

84. Кузнецов А.Ю. Построение динамических триангуляции Делоне // Вариационные методы в задачах численного анализа. / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новосибирск:ВЦ СОРАН, 1991.-е. 76-83

85. Кузнецов А.Ю., Руссков A.B. Моделирование двумерных электростатических полей на IBM PC // Вычислительный эксперимент в задачах математической физики / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новоси-бирск:ВЦ СОРАН, 1990.- С.99-106

86. Кузнецов Ю.А. Алгоритм построения сетки метода конечных элементов для расчета стационарных полей в трехмерных областях // Пакеты программ для задач математической физики. Новосибирск, ВЦ СОАН СССР, 1985.-С.67-81

87. Ю8.Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике: Пер. с франц. -М.: Мир, 1988. -208с.

88. Лециус Р. Методы конечных элементов решения эллиптических уравнений при первом краевом условии. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург, 1995 г.

89. ПО.Лисейкин В.Д. Методы конструирования адаптивных сеток: Автореферат диссертации . докт. физ.-мат. Наук. Новосибирск, 1992г.

90. Ш.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.-608с.

91. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416с.

92. Моисеев B.C., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Математическое моделирование процессов вызванной поляризации в сложных средах для токовойлинии с заземленными электродами. // Сибирский журнал индустриальной математики. 1999г. - т.2, №1. - С.79-93.

93. Моисеев B.C., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Токарева М.Г. Математическое моделирование при разработке технологий для метода вызванной поляризации // Сибирский журнал индустриальной математики. 1999г.-т.2, №2(4).-С. 135-146.

94. Моисеев B.C., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Математическое моделирование сложнопостроенных сред // Сборник рефератов №2 Международной геофизической конференции и выставки по разведочной геофизике SEG-EAGO.-М., 1993.-С.15

95. Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наук, думка, 1989. - 272с.

96. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304с.122.0бэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир, 1977.-383с.

97. Петренко И.И., Пуртов C.B., Федосеев А.И. Решение больших задач МКЭ многосеточным методом в областях сложной формы. / Препринт №364 ИПМ АН СССР, Москва, 1988.

98. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир, 1989.-272с.

99. Разработка технологии площадных работ с многоканальной аппаратурой при поисках залежей углеводородов в Сибири. Заключительный отчет. / Отв. исполнитель Моисеев B.C. Новосибирск, СНИИГГиМС, 1996г. -145с.

100. Рояк М.Э., Адаманова С.Т., Коробейников С.М. Моделирование электромагнитного поля в оригинальном кабеле // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II. Новосибирск, Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004 - С.620-624

101. Рояк М.Э., Иванов И.А. Построение нерегулярных тетраэдральных сеток в областях со сложной разномасштабной геометрией // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II. -Новосибирск, Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. С.625-630

102. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток. // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 1996г., №2(4). - с.39-46

103. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Иванов И.А., Рояк С.Х. Построение нерегулярных сеток в областях со сложной геометрией // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2004. - №1 (16) - С.81-92

104. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Разинкин В.П. Конечно-элементное моделирование тепловых полей в СВЧ-резисторах, выполненных по плёночной технологии //Научный вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2003. - №1 (14) - С.31-36

105. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 190с.

106. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392с.

107. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков М.: Мир, 1986. - 229с.

108. Соловейчик Ю.Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: Автореферат дис. . докт. техн. наук. Новосибирск, НГТУ, 1997г.

109. Соловейчик Ю.Г. Математические модели трехмерных электромагнитных полей в электротехнических устройствах. // Оптимальное проектирование, планирование экспериментов и моделирование многофакторных объектов.-Новосибирск, НЭТИ, 1989г. С.119-125

110. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Представление данных при описании краевых задач в пакете ЧИПСОСГ-3. // Оптимальное проектирование, планирование экспериментов и моделирование многофакторных объектов. Новосибирск, НЭТИ, 1989г. - С.76-81.

111. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Программный комплекс TELMA // УНЦ моделирования, автоматизации и оптимизации наукоёмких технологий.- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000 С.47-50.

112. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Расчет трехмерного нестационарного электромагнитного поля с учетом вихревых токов // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 1996г., №3(5). - с.71-80.

113. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Корытный Е.Б., Разинкин В.П. Применение векторного метода конечных элементов для анализа электромагнитного поля в согласованных пленочных СВЧ-резисторах //Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. - Вып. 3. -С.71-79.

114. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Васильев A.B. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №9, 1997. - с.67-71.

115. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. -№10, 1998.- С.78-83

116. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Рояк С.Х., Тригубович Г.М. Применение МКЭ для расчета трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах каротажа и аэроразведкиполезных ископаемых // Научный вестник НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 1998г., №1 - С. 146-160

117. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Тригубович Г.М., Чернышев A.B. Разработка системы интерпретации электромагнитных полей в задачах индукционной геоэлектроразведки // Доклады СО АН ВШ, №1(5), 2002г. стр. 105-114

118. Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М., Чернышев A.B., Рояк М.Э. Об одном подходе к решению трехмерной обратной задачи электромагнитного зондирования Земли становлением поля // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003.-Т.6, №1(13)-С. 138-153.

119. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-350с.

120. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980.-512 с.

121. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. -М.: Мир, 1981.-408с.

122. Хван Гван Ук. Некоторые вопросы применения метода конечных элементов. Автореферат диссертации . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1992 г.

123. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.-288с.

124. Шурина Э.П., Карчов Д.С., Соловейчик Ю.Г. Моделирование теплового состояния трехмерного составного объекта. Модели и алгоритмы // Численные методы и оптимизация. Таллинн, АН Эстонии, 1990. - С.86-93.

125. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях // Вычислительные технологии. Новосибирск, Институт вычислительных технологий СО РАН, 1993, Т.2, №6 - с.48-53.

126. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Математическое моделирование физических полей, обусловленных локальными возмущения-ми.//Вычислительные технологии. Т.З, №8, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1994.- С .143-147

127. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Моделирование физических полей в трехмерных объектах. // Сопряженные задачи физической механики и экология: Тезисы докладов международной конференции. Томск, 1994.

128. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях. // Вычислительные технологии. Т.2, №6, Новосибирск, Институт вычислительных технологий СО РАН, 1993. - С.48-53.

129. Шурина ЭЛ., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Особенности моделирования нелинейных физических процессов в трехмерных областях//Вопросы атомной науки и техники. Серия:Математическое моделирование физических процессов.-Вып.З, М.Д992.-С.86-87

130. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Решение трехмерных нелинейных магнитостатических задач с использованием двух потенциалов. -Новосибирск. 1996. 28с. (Препринт/ РАН, Сиб. отд-ние. ВЦ; № 1070).

131. J. Schôberl. NETGEN An advancing front 2D/3D-mesh generator based on abstract rules. Compnt. Visual.Sci, 1:41-52, 1997.

132. Соловьёв С.А. О численном решении трёхмерной комплексной задачи расчёта электрических и тепловых полей // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003г. - т.6, №2. - С.126-136.

133. Соппа М.С. Использование соотношений двойственности для Е- и //-поляризаций в обратных задачах рассеяния на импедансных поверхностях // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004г. - т.7, №2. -С.111-116.

134. Федоров А.И., Эпов М.И. Определение элементов тензора электропроводности пород по данным электромагнитного каротажа // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005г. - т,8, №1. - С.143-152.

135. Федоров А.И., Эпов М.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде. // Сибирский журнал индустриальной математики. -2000г.-Т.4, №4.-С. 119-131.

136. Дашевский Ю.А., Суродина И.В., Дашевский О.Ю., Соколов В.П. Прямые и обратные задачи геоэлектрики в неразрушающих методах контроля свайных фундаментов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005г. - т.8, №2. - С.57-69.

137. Соппа М.С. Восстановление формы импедансного рассеивателя в случае ^-поляризованной электромагнитной волны // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005г. - т.8, №2. - С. 152-158,

138. ELCUT. Комплекс программ моделирования двумерных физических полей с помощью метода конечных элементов. НПКК «ТОР», Санкт-Петербург, 1994.

139. Вабищевич П.Н. Операторно-разностные схемы для нестационарных задач электродинамики // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. I. Новосибирск, Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004 - С.426-431

140. В.Н. Глинских, М.И. Эпов. Численный анализ сигналов малоглубинных электромагнитных зондирований для решения задач геоэкологии и инженерной геофизики // Геология и геофизика, № 8, т. 46, 2005г. -с. 779-788.

141. С. Н. Боровиков, И. Е. Иванов, И. А. Крюков. Тетраэдризация Делоне для тел с криволинейной границей // ЖВМ и МФ, т. 45, № 8, 2005

142. Андреев А.Б., Тодоров Т.Д. Сверхсходимость градиента для кубических треугольных конечных элементов (на английском) // Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 8, 2005, с. 89-100.

143. Шурина Э.П., Гельбер М.А. О векторном методе конечных элементов для решения задач электромагнетизма // Сибирский журнал вычислительной математики, т.7, 2004, с.79-95.

144. Гилева JI.B., Шайдуров В.В. Два многосеточных итерационных алгоритма для дискретного аналога бигармонического уравнения // Сибирский журнал вычислительной математики, Т.7, 2004, с. 213-228.

145. Бубякин A.A., Лаевский Ю.М. Об одном подходе к построению схем повышенного порядка точности в методе конечных элементов // Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 7, 2004, с. 287-300.

146. М.И. Эпов, Г.М. Морозова, Е.Ю. Антонов, C.B. Шатров Определение параметров ферромагнитного проводящего цилиндрического слоя по данным метода становления электромагнитного поля // Геология и геофизика, 2004, № И, т. 45, с. 1358-1368 .

147. Н.И. Горбенко, Я. Л. Гурьева, В.П. Ильин, Е.А. Ицкович, М.И. Эпов. Моделирование постоянного электрического поля в проводящей среде с горизонтальной скважиной // Геология и геофизика, 2004, № 12, т. 45, -с. 1471-1477

148. М.И. Эпов, В.Н. Глинских Линеаризация относительных характеристик высокочастотного магнитного поля в двумерных проводящих средах // Геология и геофизика, 2004, № 2, т. 45, с. 266-274

149. М.И. Эпов, Е.Ю. Антонов, Е.В. Павлов Связь частотной дисперсии электромагнитных параметров и пространственной неоднородности среды с высоким разрешением в электроразведке // Геология и геофизика, 2004, № 6, т. 45, с. 742-751

150. Нечаев О.В., Шурина Э.П., Федорук МЛ. Использование векторного метода конечных элементов для численного решения квазистационарных уравнений Максвелла // Вычислительные Технологии, Том 9, № 5, 2004 -с. 73-81

151. А. Б. Каплун, Е. М. Морозов, М. А. Олферьева. ANSYS в руках инженера, издательство "Эдиториал УРСС" , 2004 - 272 стр.

152. Алямовский A.A. SolidWorks/COSMOSWorks. Инженерный анализ методом конечных элементов. М.: ДМК Пресс, 2004. - 432 с.

153. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.:ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

154. Рычков С.П. MSC.visual NASTRAN для Windows. издательство "НТ Пресс" 2004 - 552 стр. Кулаев Ю.В., Курбатов П.А. Программный комплекс JUMP для моделирования электромагнитных процессов. - Электротехника, 2002, № 2, стр. 52-55.

155. Эпов М.И., Глинских В.Н. Быстрое двумерное моделирование высокочастотного электромагнитного поля для задач каротажа // Геол. и гео-физ., 2003, №9, стр.942-952.

156. R.N. Rieben, G.H. Rodrigue, D.A. White. A high order mixed vector finite element method for solving the time dependent Maxwell equations on unstructured grids // Journal of Computational Physics vol.204 (2005) pp.490-519

157. Hong Luo, Joseph D. Baum, Rainald LoEhner. A p-multigrid discontinuous Galerkin method for the Euler equations on unstructured grids // Journal of Computational Physics, Vol. 211 (2006) pp.767-783 .

158. J. David Brown, Lisa L. Lowe. Multigrid elliptic equation solver with adaptive mesh refinement // Journal of Computational Physics Vol. 209 (2005) pp.582-598

159. J.J. Heys, T.A. Manteuffel, S.F. McCormick, L.N. Olson. Algebraic multigrid for higher-order finite elements // Journal of Computational Physics Vol.204 (2005) pp.520-532

160. Hongwei Cheng, Jingfang Huang, Terry Jo Leiterman. An adaptive fast solver for the modified Helmholtz equation in two dimensions // Journal of Computational Physics Vol. 211 (2006) pp. 616-637

161. D. Zupan, M. Saje. On "A proposed standard set of problems to test finite element accuracy": the twisted beam // Finite Elements in Analysis and Design Vol. 40 (2004) pp. 1445-1451

162. V. Kromera, F. Dufosse, M. Gueurya. On the implementation of object-oriented philosophy for the design of a finite element code dedicated to multibody systems // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.41 (2005) pp.493-520

163. S. Rodriguez-Mattalia, L. Nuno, L. Jodar, J. V. Balbastre. An Improvement of the Finite-Element Method for Computing the Electric Field of Waveguides with Complex Geometry // Mathematical and Computer Modelling Vol.41 (2005) pp.791-805

164. P. Cavin, A. Gravouil, A.A. Lubrecht, A. Combescure Efficient FEM calculation with predefined precision through automatic grid refinement // Finite Elements in Analysis and Design Vol.41 (2005) pp. 1043-1055

165. Yan Xu, Chi-Wang Shu. Local discontinuous Galerkin methods for nonlinear Schrodinger equations //Journal of Computational Physics Vol. 205 (2005) pp. 72-9 7

166. Meizhong Dai, David P. Schmidt. Adaptive tetrahedral meshing in free-surface flow // Journal of Computational Physics Vol. 208 (2005) pp.228-252

167. Prapot Kunthong, Lonny L. Thompson. An efficient solver for the high-order accurate time-discontinuous Galerkin (TDG) method for second-order hyperbolic systems // Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 41 (2005), pp.729-762

168. F. Collino, T. Fouquet, P. Joly. Conservative space-time mesh refinement methods for the FDTD solution of Maxwell's equations // Journal of Computational Physics, Vol. 211 (2006) pp.9-35

169. Igor Zagorodnov, Thomas Weiland. TE/TM scheme for computation of electromagnetic fields in accelerators // Journal of Computational Physics, Vol. 207 (2005), pp.69-91

170. H.A. Rahimi Bondarabady, A. Kaveh. Nodal ordering using graph theory and a genetic algorithm // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.40, (2004), pp. 1271-1280

171. P. Donescu and T.A. Laursen, A generalized object-oriented approach to solving ordinary and partial differential equations using finite elements. //Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 22 (1996), pp. 93-107.

172. Y. Dubois-Pelerin and P. Pegon, Linear constraints in object-oriented finite element programming. // Comput Meth Appl Mech Eng Vol.154 (1998), pp. 31-39

173. D. Eyheramendy, An object-oriented hybrid symbolic/numerical approach for the development of finite element codes // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.36 (2000), pp. 315-334

174. D. Eyheramendy and T. Zimmermann, Object-oriented finite element programming: an interactive environment for symbolic derivations, application to an initial boundary value problem. // Adv Eng Software Vol. 27(1996), pp. 3-10

175. R.I. Mackie, An object-oriented approach to fully interactive finite element software // Adv Eng Software, Vol. 29 (1998), pp. 139-149

176. R.I. Mackie. Using objects to handle calculation control in finite element modelling. // Comput Struct, Vol. 80 (2002), pp. 2001-2009

177. B. Patzak and Z. Bittnar. Design of object oriented finite element code. // Adv Eng Software, Vol. 32 (2001), pp. 759-767

178. M. Bastian and B.Q. Li, An efficient automatic mesh generator for quadrilateral elements implemented using С++ // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.39 (2003), pp. 905-930

179. R. Niekamp and E. Stein, An object-oriented approach for parallel two-and three-dimensional adaptive finite element computations. // Comput Struct Vol.80 (2002), pp. 317-328

180. Борисов Г. А., Могилатов В. С. Электромагнитное возбуждение цилиндрически-слоистой среды различными источниками // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. - Т.5, №3(11) - С.53-66.

181. Могилатов B.C. Вторичные источники и линеаризация в задачах геоэлектрики // Геология и геофизика, 1999, № 7, С. 1102-1108.

182. Могилатов B.C. Индуктивный, смешанный и гальванический источники в электроразведке становлением поля // Изв. РАН. Сер.: Физика Земли. 1997.-№ 12. - С.42-51.

183. Могилатов B.C., Эпов М.И. Томографический подход к интерпретации данных геоэлектромагнитных зондирований // Изв. РАН. Сер.: Физика Земли, 2000, № 1, С. 78-86.

184. Могилатов B.C., Эпов М.И., Исаев И.О. Томографическая инверсия данных зондирований становлением // Геология и геофизика, 1999, № 4, С.637-644.

185. Эпов М.И., Сухорукова К.В., Никитенко М.Н., Антонов Ю.Н. Особенности высокочастотных индукционных зондирований в скважинах с горизонтальным завершением // Геология и геофизика. 1998. - Т.39, №5. -С.649-656.

186. Дашевский Ю.А. Математическое моделирование и численный анализ новых возможностей стационарной геоэлектрики: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2001, 36с.

187. Ельцов И.Н., Кашеваров A.A., Эпов М.И. Обобщение формулы Арчи и типы радиального распределения УЭС в прискважинной зоне // Геофизический вестник, 2004, № 7, с. 9-14.

188. Ельцов И.Н., Эпов М.И., Кашеваров A.A. Комплексная геоэлектрическая и гидродинамическая модель зоны проникновения // Геофизический вестник, 2004, № 4, с. 13-19.

189. Федоров А.И., Эпов М.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде // Сибирский журнал индустриальной математики, 2003, т. 6, № 4 (16), с. 119-131.

190. Дмитриев В.И., Бердичевский М.Н. Обобщённая модель импеданса // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №10, 2002. - с. 106-112.

191. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Голубцова Н.С., Мерщико-ваН.А., Пущкарёв П.Ю. Магнитовариационное зондирование: новые возможности // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №9, 2003. - с.3-30.

192. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И. Обратные задачи магнитотел-лурики в современной постановке // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №4, 2004.-с. 12-29

193. Бердичевский М.Н., Ваньян Л.Л., Кошурников A.B. Магнитотеллу-рические зондирования в байкальской рифтовой зоне // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №10, 1999. - с.3-25

194. МатвеевА.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие. М.: Высш. школа, 1983. - 463 с.

195. Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеи-дальных сетках // Вестник ИрГТУ. Иркутск. 2004 г. - № 1. - 45-60.

196. J.C.Nedelec. Mixed finite elements in IR3 //Numer. Math. №35, 1980 -pp.315-341q

197. J.C.Nedelec. A new family of mixed finite elements in M // Numer. Math. №50, 1986- pp.57-81

198. Рояк C.X. Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей. Автореферат диссертации . канд. техн. наук. Новосибирск, 2000 г.

199. Рояк М.Э. Построение согласованных неструктурированных треугольных и тетраэдральных сеток для конечноэлементного моделирования электромагнитных и тепловых полей в областях со сложной геометрией. Диссертация . канд. техн. наук. Новосибирск, 1997 г.

200. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. Математическое моделирование процесса становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии // Сибирский журнал индустриальной математики. -2003. -Т.6. -№2(14) с. 107-125.

201. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тракимус Ю.В. Использование векторного МКЭ для расчёта становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии // Доклады АН ВШ №1(2), 2004 С. 76-86.