Численное моделирование движения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рейн, Татьяна Сергеевна

• Рейн, Татьяна Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рейн, Татьяна Сергеевна

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СИБСОНА И ЛАПЛАСА НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ

СИСТЕМЕ ТОЧЕК.

§ 1 Алгоритмы построения геометрии расчетной области.

1.1 Построение диаграммы Вороного.

1.2 Расширенная триангуляция Делоне.

1.2.1 Триангуляция области с помощью разбиения Вороного.

1.2.2 Построение расширенной триангуляции Делоне.

1.3 Определение границы расчетной области.

§ 2 Интерполяционные функции Сибсона.

2.1 Ячейки Вороного второго порядка.

2.2 Определение функций формы Сибсона.

2.3 Вычисление функций формы Сибсона.

§ 3 Интерполяция Лапласа.

3.1 Определение.

3.2 Свойства интерполяции Лапласа.

3.3 Вычисление функций формы Лапласа.

3.4 Носитель функций формы Сибсона и Лапласа. Расширенная интерполяция Лапласа.

§ 4 Сравнение интерполяций Сибсона и Лапласа на решении уравнения Пуассона.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Краткое описание метода Галеркина.

4.3 Численные результаты.

ГЛАВА 2.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ.

§ 1 Общая постановка задачи.

1.1 Уравнение движения.

1.2 Начальные и граничные условия.

§ 2 Дискретизация по времени.

2.1 Расщепление уравнения движения.

2.2 Расщепление уравнения неразрывности.

2.3 Выполнение условия несжимаемости.

2.4 Алгоритм движения по времени.

§ 3 Пространственная дискретизация.

3.1 Дискретная форма уравнений.

3.2 Стабилизация условия несжимаемости.

3.2.1 Применение метода конечных приращений к решению системы уравнений Навъе -Стокса.

3.2.2 Характеристическая длина метода FIC.

3.3 Условие совместности ЛББ.

3.4 Вычисление плотности. Закон сохранения массы.

§ 4 Основные этапы метода естественных соседей.

4.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений.

4.2 Вычисление нагрузки.:.

4.3 Вычисление энергетических характеристик.

ГЛАВА 3.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМИ

ДЕФОРМАЦИЯМИ РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ.

§ 1 Тестирование алгоритма движения по времени.

1.1 Безразмерная форма уравнений движения.

1.2 Задача о ламинарном течении в плоском канале.

1.3 Течение жидкости в квадратной каверне с движущейся крышкой.

1.4 Задача о деформации жидкого эллипса.

1.5 Распределение поля давления в покоящейся жидкости.

1.6 Колебания жидкости в прямоугольном бассейне.

1.7 Вычисление гидродинамических нагрузок на твердые стенки.

§ 2 Задача об обрушении столба жидкости.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Численные результаты.

2.3 Вычисление гидродинамических характеристик. Вычисление давления.

2.4 Вычисление гидродинамических характеристик. Вычисление нагрузки.

§ 3 Задача об обрушении плотины при наличии слоя жидкости на основании.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Численные результаты.

3.3 Вычисление гидродинамических характеристик. Вычисление давления.

3.4 Вычисление гидродинамических характеристик. Вычисление нагрузки.

§ 4 Задача о взаимодействии жидкости с горизонтальной поверхностью.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Численные результаты.

4.2 Вычисление нагрузки.

ГЛАВА 4.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТАХ.

§1 Реализация параллельного метода естественных соседей.

1.1 Эффективность и ускорение.

1.2 Схема последовательного алгоритма метода естественных соседей и его распараллеливание.

§2 Решение системы линейных алгебраических уравнений.

2.1 Метод сопряженных градиентов.

2.2 Предобусловливатель матрицы.

2.3 Формат хранения данных.

2.4 Сравнение точных и итерационных методов решения СЛАУ.

2.5 Параллельная реализация метода сопряженных градиентов.

§3 Тестирование параллельного алгоритма метода естественных соседей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование движения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей»

Появление вычислительных машин в 60-х годах прошлого столетия стимулировало развитие вычислительных методов в естественных науках, инженерных дисциплинах и в управлении. Появление персональных компьютеров на рубеже 70-80 годов заметно ускорило процессы разработки новых алгоритмов и математических моделей. Дальнейшее развитие вычислительной техники - создание многопроцессорных компьютеров -позволило успешно решать задачи моделирования сложных физических процессов. В связи с этим разработка новых математических алгоритмов является важной и актуальной задачей.

Применение вычислительных методов оказалось особенно эффективным для задач динамики вязкой жидкости, что позволило получить решения для круга задач, считавшихся ранее неразрешимыми. Трудности численного моделирования вязких течений связаны с тем, что система уравнений Навье-Стокса, описывающая такие течение, обладает рядом специфических особенностей, которые проявляются в численной реализации независимо от формы записи. Одной из существенных особенностей является пространственно-эллиптический характер уравнений, обусловленный влиянием вязкости во всем поле течения [39,47,65]. Также в системе Навье-Стокса имеется малый параметр при производной - коэффициент вязкости, изменению которого соответствует существенное изменение гладкости решения [36,61]. Система уравнений Навье-Стокса нелинейна. Эта нелинейность, типичная для систем гидродинамического типа, приводит при достаточно большой вязкости к образованию весьма сложных пространственно-временных структур.

Дополнительные трудности появляются при численном исследовании течений вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае поле давления является очень «чувствительным» к любым изменениям поля скорости

49,71]. Для моделирования движения несжимаемых вязких жидкостей возможны два подхода. Первый подход состоит в записи системы уравнений Навье-Стокса относительно переменных скорости и давления. Различие методов заключается в обработке уравнения неразрывности. Второй подход состоит в исключении уравнения неразрывности из системы Навье-Стокса и, тем самым, к переменным завихренность — функция тока. Такой подход достаточно эффективен для решения двумерных задач. Обобщение же этого подхода на трехмерное пространство не очевидно, так как в этом случае функция тока не определена. Описание трехмерного течения в переменных завихренность — векторный потенциал приведено в работе [109]. Этот подход не получил широкого распространения вследствие неэкономичности: такое описание течения приводит к большему (шесть) числу зависимых переменных. Также существенного развития не получили подходы, использующие описание течения через завихренность и вектор скорости [156, 75].

Одним из наиболее ранних и получивших широкое распространение методов решения системы уравнений Навье-Стокса является метод конечных разностей (МКР) [25,43,63,81]. С помощью него достаточно точные аппроксимации дифференциальных уравнений можно получить с небольшими затратами вычислительных ресурсов. Но круг задач, решаемых данным методом, ограничивался интегрированием дифференциальных уравнений в областях простой формы. Для областей сложной геометрической формы приходилось находить преобразования координат, переводящие исходную область интегрирования в область стандартную или каноническую. Из-за отсутствия универсальных алгоритмов преобразования координат круг задач, для которых такой подход применим, был достаточно узким.

Вышеупомянутые недостатки метода конечных разностей привели к разработке новых, более универсальных алгоритмов. Особенно широкое распространение получили методы конечных элементов (МКЭ) [2,7,29,35,73] и методы контрольных объемов (МКО) [30,49,60]. Данные методы относятся к классу классических лагранжевых методов. Они используют лагранжеву сетку с неизменной топологией и позволяют решать сложные инженерные задачи в реальных областях. Для этих методов характерна достаточно высокая точность, легкость введения граничных условий и достаточно простые для программной реализации алгоритмы. Основным недостатком этих методов является невозможность расчета течений с большими деформациями, так как возникающие в этом случае сильные искажения элементов сетки и перехлест узлов ведут к потере точности и аварийному завершению расчета.

В 60 - 70х годах большое распространение получили методы граничных интегральных уравнений (методы граничных элементов - МГЭ) и комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) [9,18,20,26,69]. МГЭ и КМГЭ. требуют для решения задачи только границы рассматриваемой области. Вместе с тем, если возникает необходимость отыскания решения в любой внутренней точке, то это можно сделать, используя известные значения функций на границе области. В то же время существуют задачи, к которым эти методы не могут быть применены в полной мере. Таким примером является накат разрушающихся волн на пологий берег, когда свободная граница сначала становится многосвязной, а затем вообще не может быть описана гладкой кривой.

В 1967 году для расчета вязких течений Харлоу предложил метод частиц в ячейках [17,79], а для несжимаемых сред - метод маркеров и ячеек. В этом методе используется разнесенная сетка и на каждом шаге по времени решается уравнение Пуассона для определения давления. Сетка строится таким образом, что граница области интегрирования проходит через точки, в которых определяются компоненты скорости. Такой подход делает алгоритм более экономным и простым при реализации. Наиболее существенным недостатком этой группы методов является отсутствие условия консервативности, неустранимое из-за наличия неполных приграничных ячеек.

Описанные выше методы относятся к классу сеточных. Их сущность может быть описана следующим образом. В области изменения независимых переменных вводится сетка - дискретная совокупность узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются конечномерные сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки. Все эти методы обладают одним общим недостатком. На каждом временном шаге сетка, на которой строится решение, не теряет свою узловую связность, что, в свою очередь, при больших деформациях жидкости может быстро приводить к ее вырожденности.

В последнее время стали разрабатываться новые численные методы, которые аппроксимируют уравнения в частных производных, основываясь только на наборе узлов, без знания дополнительной информации о структуре сетки. В таких методах отношение соседства частиц не фиксировано и может со временем изменяться. То есть частицы, бывшие соседями в начальный момент времени, могут со временем расходиться достаточно далеко друг от друга. Данные методы известны как методы частиц или бессеточные методы (БМ) [90,123,125]. Характерными представителями этой группы методов являются метод сглаженных частиц (SPH - Smoothed Particle Hydrodynamics) [128,129], полунеявный метод движущихся частиц (MPS - Moving Particle Semi-implicit) [119,120], метод Лагранжево-Эйлеровых частиц [78], метод точечной интерполяции (Point Interpolation Method) [124].

Метод сглаженных частиц (SPH) впервые был предложен в 1977 году Леоном Льюси и независимо Бобом Джингольдом и Джо Монаганом для решения задач астрофизики. Затем он был адаптирован для решения задач гидродинамики, газодинамики, а также динамики твердого тела. И лишь в 1994 году Джо Монаган применил данный метод к задачам со свободными границами [129]. Основная идея метода состоит в дискретизации сплошной среды конечным набором частиц, движущихся со скоростью потока и допускающих произвольную связность между собой. Все функции, входящие в систему уравнений движения, представляются в виде интегралов по некоторой области течения, называемой областью сглаживания, от этих функций с весовой функцией Дирака. Далее функция Дирака заменяется некоторой финитной функцией (функцией ядра), которая может быть продифференцирована аналитически [110]. Полученная с учетом введенных аппроксимаций система обыкновенных дифференциальных уравнений решается каким-либо численным методом.

Полунеявный метод движущихся частиц (MPS) применяется для расчётов течений вязкой несжимаемой жидкости. Для решения задач используется подход Лагранжа к моделированию динамики сплошной среды [64,76]. Метод разработан профессором Токийского университета Сейчи Кошизукой в 1996 году [120]. Принципы метода MPS схожи с базовыми принципами метода SPH. Его основной идеей является дискретизация сплошной среды набором частиц, аппроксимирующих малый объём жидкости. Интеграл приближается конечной суммой по частицам, а в качестве весовой функции используется функция ядра [128].

Метод частиц, опубликованный в 2001 году A.M. Франком [78], строится на свободно-лагранжевой модели. Метод строится на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса [108] и представляет собой некоторый специальный вариант метода Галеркина. Использование принципа Гаусса дает ряд преимуществ, в частности, получаемая численная схема полностью консервативна и, безусловно, устойчива. С другой стороны, массовые, внутренние и поверхностные силы вычисляются в естественных, то есть эйлеровых координатах. Использование частиц позволяет легко отслеживать границы раздела, причем произвольное изменение связности течения и границ не доставляет никаких дополнительных алгоритмических сложностей.

Метод точечной интерполяции (PIM) был предложен Liu и Gu (1999г.). Этот метод представляет собой разновидность локального метода Петрова-Галеркина [125]. Для формирования дискретной системы уравнений используется метод взвешенных невязок в интегральной форме. Основная идея метода заключается в применении интегральной формы метода взвешенных невязок к малой локальной подобласти, описываемой набором случайно распределенных узлов. Функции формы в методе точечной интерполяции строятся по группе узлов, которые произвольным образом распределяются по области поддержки. Для вычисления интегралов слабой формы исходных дифференциальных уравнений в частных производных используется фоновая сетка.

К настоящему моменту описано уже достаточно много бессеточных методов и для их построения были использованы различные подходы. Тем не менее, можно выделить общие черты, отличающие бессеточные методы от аналогичных им сеточных методов [90,123]:

- отсутствие сетки: в бессеточных методах связность узлов определяется в процессе счета; не требуется построения сетки перед началом расчета, также не требуется перестроения сетки в процессе вычислений;

- непрерывность функций формы: в бессеточных методах можно легко построить функции формы, имеющие нужный порядок непрерывности;

- сходимость: численные эксперименты подтверждают, что бессеточные методы зачастую сходятся лучше, чем сеточные. Тем не менее, на сегодняшний день нет теоретических оценок, подтверждающих лучшую сходимость бессеточных методов;

- вычислительные затраты: для получения необходимой точности, бессеточные методы, как правило, требуют больших временных затрат, чем их сеточные аналоги;

- функции формы большинства бессеточных методов не удовлетворяют условию символа Кронекера (не представляют собой разложение единицы), в то время как сеточные методы часто обладают этим свойством, поэтому введение главных граничных условий требует особого внимания и может ухудшить сходимость используемого бессеточного метода.

Таким образом, к общим недостаткам бессеточных методов можно отнести сравнительно невысокую точность и трудность введения граничных условий. В стандартных бессеточных методах для построения интерполяционных функций дополнительно требуется обеспечить узловую связность.

В связи с этим стали разрабатываться методы, сочетающие в себе сеточный и бессеточный подходы и использующие преимущества каждой из методологий. Характерными представителями этой группы методов являются бессеточный метод конечных элементов (Meshless Finite Element Method) и метод естественных соседей (Natural Element Method) [102,130,144]. Методы MFEM и NEM сохраняют преимущества классического метода конечных элементов, такие как простота функции формы в области определения, непрерывность между элементами, простота введения граничных условий. При этом эти методы имеют все преимущества бессеточных методов в силу того, что функции формы MFEM и NEM зависят только от положения узловых точек. В основе метода естественных соседей и бессеточного метода конечных элементов лежит метод Галеркина в слабой форме. Для интерполяции неизвестных функций используются соответственно функции формы Сибсона и Лапласа, базирующиеся на понятии естественных соседей.

В вычислительной геометрии понятие естественных соседей узловой точки области связано с понятием ячеек Вороного первого или второго порядков. Среди многочисленных свойств этих ячеек можно отметить единственность разбиения и выпуклость всех ее элементов. Так дискретизация области ячейками Вороного существенно снижает временные затраты, необходимые для построения интерполирующих функций. Скорость выполнения этого шага является критичной для методов, использующих интерполяции Сибсона или Лапласа, так как данные методы требуют вычисления функций формы для каждой точки при численном интегрировании по расчетной области задачи. Соответственно, скорость работы таких методов, как метод естественных соседей и бессеточный метод конечных элементов, зависит от эффективности алгоритма, реализующего разбиение области ячейками Вороного. Таким образом, при численном моделировании задач механики жидкости со свободными границами построение сеток, адаптирующихся к особенностям численного метода и геометрии течения, а также разработка методов поиска естественных соседей на основе информации о смежных узлах являются актуальными проблемами вычислительной математики.

Ниже проследим развитие сибсоновской и несибсоновской интерполяции. Интерполяция естественных соседей впервые была введена Сибсоном в 1980 году как средство моделирования и сглаживания данных [141,142]. При этом для определения множества соседей для произвольной точки л;0, введенной в разбиение, Сибсон использовал теорию ячеек Вороного второго порядка и тем самым ввел понятия естественных соседей и соседних узлов. В 1989 году на основе сибсоновских функций формы были предложены многопараметрические интерполяционные схемы для дифференциальных уравнений с тремя и более переменными для нерегулярного разбиения расчетной области [87]. В 1987 году авторами

152] с помощью критерия пустой окружности Делоне [67] был описан носитель сибсоновской функции формы как геометрическое место точек, принадлежащих пересечению окружностей Делоне. Позднее в работах [153,154] была введена классификация алгоритмов интерполяции, основанных на интерполяции естественных соседей, для N- мерной сферы и предложен алгоритм построения сибсоновских функций формы. Впервые функции формы Сибсона нашли свое приложение в GIS технологиях для приближения неизвестных функций на поверхности [135]. Через несколько лет интерполяция естественных соседей в работах [94,96] была адаптирована к решению задач геофизики. В задачах гидродинамики сибсоновские функции формы для интерполяции значений неизвестных функций на элементах расчетной области впервые были выбраны в 1993 году авторами [136] для моделирования уравнений мелкой воды. А в 1994 году в работе [148] координаты естественных соседей легли в основу метода, который позднее получил название метода естественных соседей. Впервые метод NEM был использован в работах [149] для решения задач теории пластичности. В 1998 году в работе [144] метод естественных соседей применялся к численному моделированию задач механики твердых тел. В это же время авторами [106,137] были доказаны основные свойства сибсоновской интерполяции.

Второй виток развития интерполяция естественных соседей получила в работах [92,115], где сибсоновские функции формы использовались для приближения данных в задачах геофизики и вычислительной геометрии. Тогда же применению метода естественных соседей к решению задач теории упругости была посвящена диссертация [145], в которой подробно описывались алгоритмы построения интерполяционных функций формы Сибсона для двумерного и трехмерного случаев. Обзор приложений сибсоновских функций формы приведен в работах [155].

В 1997 году в работе [15] был построен новый, отличный от известного метода Сибсона, метод интерполяции первого порядка значений функции на системе точек в конечномерном евклидовом пространстве Е"; доказан ряд свойств этого метода; приведены результаты его применения и сравнения с интерполяцией Сибсона и интерполяцией, основанной на триангуляции Делоне. Свое развитие метод несибсоновской интерполяции получил как более простой и экономичный способ приближения данных по сравнению с интерполяцией Сибсона. В 2000 году предложенный в [15] метод несибсоновской интерполяции был опубликован на английском языке в работе [89].

Независимо в 1999 году несибсоновский метод интерполяции был описан авторами [113, 114, 143] как метод приближения данных, основанный на ячейках Вороного. В этих работах несибсоновский подход к интерполяции получил название интерполяции Лапласа.

В 2001 году несибсоновские функции формы были положены в основу бессеточного метода Галеркина [146], а в 2003 году - бессеточного метода конечных элементов [102]. При этом в бессеточном методе Галеркина для построения интерполяционных функций использовался набор соседей, найденный с помощью критерия описанной окружности Делоне. В методе MFEM в качестве носителей функции формы были выбраны элементы расширенной триангуляции Делоне [111,137], что существенно облегчило реализацию метода и сократило временные затраты построения интерполяции. Так были выделены два вида несибсоновской интерполяции, отличающиеся между собой методами выбора соседей для некоторой точки xQ, введенной в первоначальное разбиение узлов. Сравнение сибсоновского и несибсоновского подходов к интерполяции значений неизвестных приводится в работах [15,101].

Независимо в 2004 году коллективом авторов [116] была предложена модификация MFEM - точечный метод конечных элементов (Particle Finite Element Method). Для приближения значений неизвестных в нем также использовались интерполяционные функции Лапласа, а в качестве носителя были выбраны элементы расширенной триангуляции Делоне. Основное его отличие от бессеточного метода конечных элементов заключается в использовании так называемой стабилизирующей процедуры класса методов конечных приращений (Finite Increment Calculus), устраняющей нефизичные осцилляции функции давления.

Разработка эффективных вычислительных методов привела к новому подходу в исследовании задач гидродинамики со свободными границами, требующих для своего решения значительных вычислительных ресурсов. Повышенные требования к производительности и объему памяти обусловлены сложными нелинейными моделями среды, описываемыми большим числом уравнений, пространственным характером задачи и нестационарностью протекающих процессов [8,9,10,23,70]. Многим из таких процессов требуется высокое быстродействие, а также необходима обработка и хранение большого объема информации, что предъявляет повышенные требования к вычислительным системам.

В 70-80-х годах в России велись исследования, направленные на создание параллельных вычислительных систем. Примерами таких систем являются PHOENIX [1], ПС-2000 [22], а также многопроцессорные вычислительные комплексы Эльбрус [1]. Принципы, заложенные в основу структурной организации упомянутых машин, находят свое применение и в настоящее время. Одновременно с разработкой параллельных вычислительных систем учеными велись работы по распараллеливанию алгоритмов сложных задач, например, работы [21,22,23,46] посвящены общим вопросам распараллеливания алгоритмов, а особенно распараллеливанию численных методов линейной алгебры.

В последнее время особым интересом у разработчиков высокопроизводительных вычислительных компьютеров пользуются системы с распределенной кластерной структурой. В основе параллельного компьютера лежит идея использования для решения одной конкретной задачи нескольких процессоров, работающих сообща. Так вычислительные системы (кластеры) представляют собой мультикомпьютеры, состоящие из множества отдельных компьютеров или рабочих станций общего назначения (узлов), связанных между собой единой коммуникационной системой. Каждый узел имеет свою локальную оперативную память. Для вычислительных кластеров вместе со специальными средствами поддержки параллельного программирования и распределения нагрузки используются, как правило, стандартные для рабочих станций операционные системы, чаще всего свободно распространяемые - Linux/FreeBSD. Программирование выполняется на основе модели передачи сообщений (MPI) [3,6,10]. Таким образом, при создании параллельного алгоритма, реализующего некоторую математическую модель в виде кода программы, программисту необходимо извлечь максимальную пользу из наличия нескольких процессоров и сократить время на передаче данных между ними до минимума. Эффективность использования вычислительных кластеров для решения задач гидродинамики со свободными границами рассматривается в работах [9,23].

О предмете диссертации.

Диссертация посвящена численному моделированию двумерных нестационарных течений ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей.

Целью диссертационного исследования является адаптация и развитие метода естественных соседей для решения задач механики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, с сильными деформациями расчетной области.

Основные задачи диссертационного исследования состоят в следующем:

- разработка алгоритма построения расширенной триангуляции Делоне на основе разбиения расчетной области ячейками Вороного первого порядка;

- проведение . сравнительного анализа интерполяций Сибсона и Лапласа в областях с различной геометрией и различным числом точек интегрирования;

- разработка алгоритма обобщенного метода естественных соседей к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами;

- сравнение численных результатов, полученных обобщенным методом естественных соседей, с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов;

- проведение численных экспериментов по расчету двумерных задач с обрушениями вязкой несжимаемой жидкости обобщенным методом естественных соседей, сопровождающиеся большими деформациями границ расчетной области и определение значений гидродинамических нагрузок на твердых стенках области;

- разработка параллельной реализации обобщенного метода естественных соседей.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

- предложена модификация метода естественных соседей — обобщенный метод естественных соседей, позволяющий моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, сопровождающиеся большими деформациями расчетной области, а также вычислять гидродинамические нагрузки на твердых границах расчетной области;

- разработан алгоритм численного решения плоских нелинейных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей;

- проведены в полной нелинейной постановке численные эксперименты по расчету задач об обрушении плотины в зависимости от варьируемых параметров;

- разработана параллельная реализация обобщенного метода естественных соседей.

Практическая значимость исследования заключается в следующем:

Обобщенный метод естественных соседей, построенный на вариационном принципе Галеркина, дает возможность исследовать задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, сопровождающиеся сильной деформацией расчетной области, а также получать картину давления на каждом временном слое и определять гидродинамические нагрузки на твердых стенках области, что выгодно отличает его от известных бессеточных методов.

Отдельные части диссертационной работы выполнялись в рамках проектов:

- Проект № 4829 «Численное моделирование течений жидкости со свободными границами современными численными методами на многопроцессорных вычислительных системах» (2005г.) по ведомственной научной программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы»;

- Проект № 4256 «Создание типового информационно-вычислительного портала для организации учебной и научной деятельности ВУЗа» по ведомственной научной целевой программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» (2006 - 2007 годы);

- Интеграционный проект фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008) по теме «Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом», Блок 2: «Нестационарное взаимодействие нелинейных поверхностных волн с плавающими и закрепленными упругими конструкциями», Пункт 1. «Развитие методов расчета гидродинамических нагрузок при резко нестационарном воздействии волн с большими деформациями области течения».

Достоверность полученных результатов следует из корректной математической постановки задачи, а также подтверждается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на пяти конференциях, в том числе одной региональной, трех всероссийских и двух международных, а также на международной летней школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование», г. Кемерово; Российско-Германской школе по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах, г. Новосибирск; на объединенном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика РАН Шокина Ю.И., профессора КовениВ.М.; на научном семинаре института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН «Прикладная гидродинамика» под руководством чл.-кор. РАН Пухначева В.В., а также на научном семинаре «Информационные технологии и математическое моделирование» под руководством д.ф.-м.н., проф. Афанасьева К.Е.:

- региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященная 10-летию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк 2005 г.);

- всероссийская научно-практическая конференция «Информационные недра Кузбасса» (Кемерово 2004-2007гг.);

- международная научная конференция «Наука и образование» (Белово 2006 г.);

- международная конференция "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование" (Кемерово 2006г.);

- Российско-Германская школа по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах (Новосибирск 2005,2006гг.);

- всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск 2006г.);

- международная конференция "Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии» (Томск 2007);

- научный семинар «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» (Новосибирск, декабрь 2007г.);

- научный семинар института Гидродинамики им. Академика М.А. Лаврентьева СО РАН «Прикладная гидродинамика» (Новосибирск, февраль 2008);

- научный семинар «Информационные технологии и численное моделирование» (Кемерово, 2004-2008гг.);

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в девяти работах, в том числе в двух журналах из списка ВАК [5,54].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Объем диссертации - 181 страниц, в том числе 169 страниц основного текста с рисунками и 11 страниц приложений. Список цитируемой литературы содержит 156 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рейн, Татьяна Сергеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ниже приводятся основные результаты, полученные в диссертации:

- Рассмотрены способы дискретизации расчетной области. Отмечено, что разбиение области ячейками Вороного существенно снижает временные затраты, необходимые для построения интерполяционных функций Сибсона и Лапласа. Предложен алгоритм представления области элементами расширенной триангуляции Делоне на основе диаграммы Вороного.

- Проведен сравнительный анализ интерполяций Сибсона и Лапласа на решении уравнения Пуассона в сложных областях с различным числом точек интегрирования с использованием расширенной триангуляции Делоне. Показано, что расширенная интерполяция Лапласа занимает промежуточный результат между сибсоновскими и несибсоновскими интерполяционными функциями. Можно сделать вывод о том, что при одинаковом числе узлов области несибсоновская интерполяция требует меньше времени, чем интерполяция естественных соседей и расширенная интерполяция Лапласа. Однако алгоритм решения задачи, использующий для аппроксимации неизвестных функции формы Сибсона и расширенной интерполяции Лапласа, дает более точные результаты.

- Представлен и реализован обобщенный метод естественных соседей для решения задач динамики вязкой жидкости со свободными границами, принадлежащий классу условно-бессеточных и основанный на методах естественных соседей и конечных элементов. Для получения устойчивого решения дискретных уравнений системы Навье-Стокса рассмотрен метод конечных приращений. Обоснован выбор конечно-элементных пространств для скорости и давления, который приводит к удовлетворению условий Ладыженской-Бабушки-Бреззи о совместной аппроксимации и гарантирует невырожденность решения системы уравнений Навье-Стокса.

- Разработан алгоритм численного решения плоских нелинейных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей.

- На ряде тестовых задач показана эффективность предложенного алгоритма для решения нелинейных задач движения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами. Проведено сравнение результатов численных расчетов, полученных обобщенным методом естественных соседей, с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

- Проведены в полной нелинейной постановке численные эксперименты по расчету задач об обрушении плотины в зависимости от варьируемых параметров. Определены значения гидродинамических нагрузок на вертикальные стенки бассейна в зависимости от размеров бассейна и высоты слоя жидкости при основании плотины. Установлены режимы максимального наката волны, формирующейся при обрушении плотины, на горизонтальный уступ, расположенный над основанием плотины. Для различных значений расстояния от уступа до поверхности жидкости определены нагрузки на вертикальную и горизонтальную стенки уступа.

- Разработана параллельная реализация обобщенного метода естественных соседей.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность д.ф.-м.н., профессору К.Е. Афанасьеву за постоянное внимание, многочисленные обсуждения и ценные замечания, способствовавшие успешному выполнению данной работы, а также за помощь и поддержку в процессе выполнения диссертационной работы.

Автор выражает благодарность всем преподавателям и аспирантам кафедры ЮНЕСКО по НИТ КемГУ, а также всем сотрудникам Центра Новых Информационных Технологий КемГУ за поддержку в процессе написания диссертационной работы.

Автор выражает глубокую благодарность мужу Рейну Алексею Владимировичу, родителям Бакушкину Сергею Петровичу и Бакушкиной Ирине Анатольевне, а также сестре Елене за помощь в проведении расчетов и оформлении диссертационной работы, постоянную поддержку, терпение и понимание.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рейн, Татьяна Сергеевна, 2008 год

1. Аксенов, В. П. Структура и характеристики высокопроизводительных ЭВМ и систем текст. / В. П. Аксенов, С. В. Бочков, А. А. Мошков // Зарубежная радиоэлектроника. - 1982. - Ч. 1, № 3. - С. 3553; Ч. 1., №4.-С. 33-57

2. Афанасьев, К. Е. Решение нелинейных задач гидродинамики идеальной жидкости со свободными границами методами конечных и граничных элементов: автореф. дис. д-ра. физ.-мат. наук. -Кемерово, 1997. 17с.

3. Афанасьев, К. Е. Анализ динамических характеристик при взаимодействии уединенной волны с препятствием текст. / К. Е. Афанасьев, Е.Н. Березин // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9, № 3. - С. 22-37.

4. Афанасьев, К. Е. Организация доступа к удаленным кластерным установкам текст. / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов, А. В. Демидов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: матер. II Междунар. науч.-практ. семинара.

5. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2002. С. 351-353.

6. Афанасьев, К. Е. Информационные технологии в численных расчетах: учеб. пособие текст. / К. Е. Афанасьев, А. М. Гудов. -Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. 204 с.

7. Афанасьев, К. Е. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах: учеб. пособие текст. / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001.-206 с.

8. Ю.Афанасьев, К. Е. Многопроцессорные вычислительные системы и параллельное программирование: учеб. пособие текст. / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2003. - 182 с.

9. П.Афанасьев, К. Е. Устойчивость и монотонность решения задач нестационарной теплопроводности методами конечных элементов и конечных разностей текст. / К. Е. Афанасьев, А. Г.Цицин, М.: Вопросы атомной науки и техники, 1978. - Т.З.- С. 46-49.

10. Баландин, М. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности текст. / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - 70 с.

11. Бартеньев, О. В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL текст. / О. В. Бартеньев, М.: Диалог-МИФИ, 2001.- 368 с.

12. Бахвалов, Н. С. Численные методы текст. / Н. С. Бахвалов, М.: Наука, 1975. - 600 с.

13. Белоцерковский, О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред текст. / О. М. Белоцерковский, — М.: Наука, 1984. — 520 с.

14. Белоцерковский, О. М. Методы крупных частиц в газовой динамике / О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов, М.: Наука, 1974. - 400 с.

15. Бенерджи, П. Методы граничных элементов в прикладных науках текст. / П. Бенерджи, Р. Баггерфилд, М.: Мир, 1984. - 494 с.

16. Березин, Е. Н. Численное моделирование задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами методом граничных элементов: автореф. дис. к-та. физ.-мат. наук., -Кемерово, 2006. 17с.

17. Бребия, К. Методы граничных элементов текст. / К. Бребия, Ж. Теллес, Л. Вроубел, -М.: Мир, 1987. 524 с.

18. Валях, Е. Последовательно-параллельные вычисления: пер. с англ. текст. / Е.Валях, М.: Мир, 1985. - 456 с.

19. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления текст. / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин, СПб. : БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

20. Волков, К. Н. Применение средств параллельного программ-мирования для решения задач механики жидкости и газа на многопроцессорных вычислительных системах текст. / К. Н. Волков // Вычислительные методы и программирование. 2006. - Т. 7 - С. 69-84.

21. Геворкян, Р. Г. Курс общей физики: учеб. пособие текст. / Р. Г. Геворкян, М.: Высшая школа, 1979. - 656 с.

22. Годунов, С.К. Разностные схемы текст. / С.К. Годунов, B.C. Рябенький, М.: Наука, 1973. - 400 с.

23. Громадка, Т. Комплексный метод граничных элементов текст. / Т. Громадка, Ч. Лей, -М.: Мир, 1990. 304 с.

24. Давыдов, Ю. М. Дифференциальные приближения и представления разностных схем текст. / Ю. М. Давыдов, М.: Наука, 1981. -С. 131

25. Джордж, А. Численное решение больших разреженных систем уравнений текст. / А. Джордж, Д. Лю, М.: Мир, 1984. - 333 с.

26. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация текст. / О. Зенкевич, К. Морган, М.: Мир, 1986. - 317 с.

27. Ильин, В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений текст. / В.П. Ильин, Новосибирск: изд. инст. мат-ки, 2000. - 345 с.

28. Ковеня, В.М. Об одном алгоритме решения уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости текст. / В.М. Ковеня // ИВТ СО РАН, Новосибирск. 2006. Т.11. - №2. - С. 39 - 51.

29. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа (4-е изд.) текст. / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, М.: Наука, 1976.

30. Коннор, Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости текст. / Дж. Коннор, К. Бреббия, JL: Судостроение, 1979. - 264 с.

31. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели текст. / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, М.: Наука, 1977. -407 с.

32. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости текст. / О. А. Ладыженская, М.: Наука, 1961.-С. 206.

33. Ландау, Л.Д. Статистическая физика, 4.1 текст. / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц / / М. Наука 1976. 620 С.

34. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа текст. / Л.Г. Лойцянский, М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 840 с.

35. Магомедов, К. М. О расчете искомых поверхностей в пространственных методах характеристик текст. / К. М. Магомедов, ДАН СССР, 1966. - Т.6 - С. 1297-1300.

36. Манойлин, С. В. Некоторые экспериментально-теоретические методы определения воздействия волн цунами на гидротехнические сооружения и акватории морских портов: препринт / С. В. Манойлин, Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1989. - 50 с.

37. Марчук, Г. И. Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач математической физики текст. / Г. И. Марчук, Н. Н. Яненко // Докл. на Всесоюзн. конф. по вычисл. матем., М., февраль 1965. Докл. на конгр. ИФИП, Нью-Йорк, май 1965.

38. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики текст. / Г.И. Марчук, М.: Наука, 1980. - 536 с.

39. Патрашев, А. Н. Гидромеханика текст. / А. Н. Патрашев, — М.: Военно-морское издательство военно-морского министерства Союза ССР, 1953.-720 с.

40. Пасконов, В. М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена текст. / В. М. Пасконов, Л. А. Чудов, В.И. Полежаев, -М.: Наука, 1984.-288 с.

41. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости текст. / С. Патанкар, М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

42. Пейре, Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости текст. / Р. Пейре, Т. Тейлор // Гидрометеоиздат, Ленинград. 1986. -352 С.

43. Попонин, В. С. Разработка технологии высокоточных вычислений на базе спектрального метода конечных элементов: автореф. дис. к-та. физ.-мат. наук., Томск, 2007. - 19 с.

44. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия: введение текст. / Ф. Препарата, М. Шеймос, М.: Мир, 1989. - 450 с.

45. Рейн Т.С. Метод естественных соседей для решения задач вязкой несжимаемой жидкости текст./К.Е. Афанасьев, Т.С. Рейн //Вестник Новосибирского государственного университета (Серия <Математика, механика, информатика>). 2008. - Т.8, вып. 2. С.31-38.

46. Рейн, Т.С. Решение модельных задач гидродинамики методом естественных соседей текст. /Т.С. Рейн, С.Н. Карабцев // Недра Кузбасса. Инновации: труды VI Всероссийской научно-практической конференции. Кемерово: ИНТ. - 2007. — 275 с.

47. Рейн, Т.С. Реализация эффективного алгоритма построения диаграмм Вороного на плоскости текст. / С.Н. Карабцев, Т.С. Рейн, С.В. Стуколов // Недра Кузбасса. Инновации: труды V Всероссийской научно-практической конференции. Кемерово: ИНТ. -2006.-252 с.

48. Рождественский, Б. Jl. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике текст. / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко, М.: Наука, 1978. - 688 с.

49. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика: пер. с англ. текст. / П. Роуч, М.: Мир, 1980. - 616 с.

50. Самарский, А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент текст. / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, М.: ИММ РАН, 2000. - 409 с.

51. Самарский, А. А. Численные методы: учеб. пособие для вузов текст. / А. А. Самарский, А. В. Гулин, М., 1989. - 432 с.

52. Седов, Л. И. Механика сплошной среды текст. / Л. И. Седов, — М.: Наука, 1973.-Т.1.-528 с.

53. Седов, Л. И. Механика сплошной среды текст. / Л. И. Седов, — М.: Наука, 1973.-Т.2.-560 с.

54. Симуни, Л. М. Численное решение задачи о неизотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе текст. / Л. М. Симуни // Инж. журнал. 1966. - Т. 10, № 1. - С. 86-91.

55. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и ее применение текст. / А. В. Скворцов, Томск: ТГУ, 2002. - 128 с.

56. Сретенский, Л. Н. Теория волновых движений жидкости текст. / Л. Н. Сретенский, М.: Наука, 1977. - 816 с.

57. Стуколов, С. В. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методомграничных элементов: автореф. дисс. канд. физ. мат. наук текст. / С. В. Стуколов, - Кемерово, 1999. - 24 с.

58. Стуколов, С. В. Вопросы построения и производительности кластеров на базе ПК текст. / С. В. Стуколов // Новые информационные технологии в университетском образовании: тез. докл. Новосибирск: Изд-во СГУПС и ИДМИ, 2001. - 46 с.

59. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ текст. / Р. Темам, М.: Мир, 1981.-408 с.

60. Терентьев, А. Г. Численные исследования в гидродинамике текст. / А. Г. Терентьев // Известия АН Республика Чувашия. 1994. - Вып. 1,Т. 2.-С. 61-84.

61. Терентьев, А. Г. Численные методы в гидродинамике: учеб. пособие текст. / А. Г. Терентьев, К. Е. Афанасьев; Чуваш, ун-т. им. И.Н. Ульянова,- Чебоксары: ЧТУ, 1987. 94 с.

62. Том, А. Числовые расчеты полей в технике и физике текст. / А. Том, К. Эйплт, М.: Энергия, 1964. - 208 с.

63. Утегенов, К. У. Метод фиктивных областей для уравнений гидродинамики в переменных «скорость-завихренность» в многосвязных областях текст. / К. У. Утегенов // Труды международной конференции, посвященной 80-летию академика Н.Н.Яненко. Новосибирск, 2001.

64. Фабер, Т. Е. Гидроаэродинамика текст. / Т. Е. Фабер, М.: Постмаркет, 2001. - 559с.

65. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений: пер. с. англ. текст. / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер,- М.: Мир, 1980.-280 с.

66. Франк, А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости текст. / А. М. Франк, М.: Физматлит, 2001. - 208 с.

67. Харлоу, Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики текст. / Ф. X. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике, М.: Мир, 1967. - С. 316-342.

68. Чубаров, JI. Б. Численное моделирование волн цунами: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук текст. / JI. Б. Чубаров, Новосибирск, 2000. -С. 30.

69. Чудов, JI. А. Некоторые применения разностных методов в механике жидкостей и газа: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук текст. / Л. А. Чудов, М., 1967. - С.28.

70. Шокин, Ю. И. О связи корректности первых дифференциальных приближений и устойчивости разностных схем для гиперболических систем уравнений текст. / Ю. А. Шокин, Н. Н. Яненко, — «Матем. заметки», 1968. Т.4, №5. - С. 493-502.

71. Шокин, Ю. И. Метод дифференциального приближения текст. / Ю. И. Шокин, Новосибирск: Наука, 1979. 224 с.

72. Шокин, Ю. И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике текст. / Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко, Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985. — 168с.

73. Шокин, Ю. И. Введение в метод дифференциального приближения: учебн. пособие текст. / Ю. И. Шокин, Г. С. Хакимзянов, -Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-т, 1997. 144 с.

74. Яненко, Н. Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) / Н. Н. Яненко // Докл. АН СССР, 1960. Т. 134.-5 с.

75. Alfeld, P. Scattered data interpolation in three or more variables текст. / P. Alfeld. In T. Lyche, L.L. Schumaker (eds.) // Mathematical methods in computer aided geometric design. Academic Press: San Diego. 1989. -P. 1-34.

76. Barrett, R. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods. Second edition текст. / Richard Barrett,

77. Michael Berry, Tony F. Chan, James Demmel, June M. Donato, Jack Dongarra, Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine, Henk Van der Vorst // www.ed.siam.org/books, august, 2006.

78. Belikov, V.V. Non-Sibsonian interpolation on arbitrary system of points in Euclidian space and adaptive isolines generation текст. / V.V. Belikov, A.Yu. Semenov // Applied numerical mathematics. 2000. — Vol. 32.-P. 371-387.

79. Belytschko, T Meshless Methods: An Overview and Recent Developments текст. / Т. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, P. Krysl // Сотр. Methods Appl. Mech. Engrg. 1996. - Vol. 139. - P. 3-47.

80. Berg, M Computational Geometry. Algorithms and Applications. Second, Revised Edition текст. / M. Berg, M. Van Kreveld. Berlin: Springer-Verlag, 2000. - 367 p.

81. Boissonnat, J.-D. Natural neighbour coordinates of points on a surface текст. / J.-D. Boissonnat and F. Cazals // Computational Geometry: Theory and Applications. 2001. - P. 155-173.

82. Bowyer, A Computing Dirichlet tessellations текст. / A. Bowyer // Computer journal. 1981. - Vol.24. - P. 162-166.

83. Braun, J. Geophysical parametrization and interpolation of irregular data using natural neighbors текст. / J. Braun., M. Sambridge, H. McQueen // Geophysical journal international. 1995. - Vol. 122. - P. 837-857.

84. Braun, J. A numerical method for solving partial differential equations on highly irregular evolving grids текст. / J. Braun, M. Sambridge // Nature. 1995. -Vol. 376. - P. 655-660.

85. Brown, J.L. Natural neighbor interpolation on sphere текст. / J.L. Brown. In P.J. Laurent, A.L. Mehaute, L.L. Schumaker (eds.) // Wavelets, Image and surface fitting. Wellesley, M.A., 1994. P. 67-74.

86. Cazals, F. Conformal Alpha Shapes текст. / F. Cazals, J. Giesen, M. Pauly, A. Zomorodian // Eurographics Symposium on Point-Based Graphics, 2005.

87. Chorin, A. Numerical solution of the Navier-Stokes equations текст. / A. Chorin // Math. Сотр. 1968. - Vol. 22. - P. 745-762.

88. Chorin, A.J. A mathematical introduction to fluid mechanics. Third edition текст. / A.J. Chorin, J.E. Marsden. New York: Springer-Verlag, Inc., 1993.- 182 p.

89. Crespo, J. S. Effect of wet bottom on dam break evolution текст. / J. S. Crespo // SPH European research interest community SIG, 2007. -№6. 3 p.

90. Cueto, E. Overview and Recent Advances in Natural Neighbour Galerkin Methods текст. / E. Cueto, N. Sukumar // Arch. Comput. Meth. Engng. 2003. - Vol. 10, № 4. - P. 307-384.

91. Dunavant, D. A. High Degree Efficient Symmetrical Gaussian Quadrature Rules for the Triangle текст. / D.A. Dunavant // International journal of numeric methods and engineering. 1985. - Vol. 21.-P. 1129-1148.

92. Edelsbrunner, H. On the shape of a set of points in the plane текст. / H. Edelsbrunner, D. G. Kirkpatrick, R. Seidel // IEEE Transactions on Information Theory. IT. 1983. - Vol. 29, № 4. - P. 551-559.

93. Eijkhout, V. LAPACK working note 50: Distributed sparse data structures for linear algebra operations текст. / V. Eijkhout // Tech. Rep. CS 92-169, Computer Science Department, University of Tennessee, Knoxville, TN, 1992.

94. Farin, G. Surfaces over Dirichlet tessellations текст. / G. Farin // Computer Aided Geometric Design. 1990. - Vol.7. - P. 281-292.

95. Fortune, S. J. A sweepline algorithm for Voronoi diagrams / S.J. Fortune //Journal Algorithmica. 1987. - №2. - P. 153-174.

96. Frank, A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film текст. / A.M. Frank // European Journal of Mechanics. 2003. - Vol.22. - P. 445-471.

97. Fox, R. Introduction to fluid mechanics. Fourth edition текст. / R. Fox, A. McDonald // John Wiley & Sons, Inc, 1994.

98. Gingold, R.A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars текст./ R.A. Gingold, J.J. Monaghan // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1977. P. 375-389.

99. Gold, C.M. Surface interpolation, spatial adjacency and GIS текст. / C.M. Gold // Three dimensional applications in geophysical informational systems. London: Taylor and Francis, 1989. - P. 21-35.

100. Hammer, P.S. Numerical integration over simplexes and cones текст. / P.S. Hammer, O.J. Marlowe, A.H. Stroud // Math. Tables Other aids computes. 1956.-P. 130-139.

101. Hiyoshi, H. Two generalization of an interpolant based on Voronoi diagrams текст. / H. Hiyoshi, K. Sugihara // International journal of shape modeling. 1999. - Vol. 5, № 2. - P. 219-231.

102. Hiyoshi, H. Voronoi-based interpolation with higher continuity текст. / H. Hiyoshi, K. Sugihara // In proceedings of the 16 annual ACM symposium on computational geometry, 2000. P. 242-250.

103. Hiyoshi, H. Improving continuity of Voronoi-based interpolation over Delaunay spheres текст. / H. Hiyoshi, K. Sugihara // Computational Geometry. 2002. - Vol. 22. - P. 167-183.

104. Idelsohn, S.R. The particle finite element method. An overview текст. / S.R. Idelsohn, E. Onate, F. Del Pin, R. Aurby // International Journal of Computational Methods. 2004. - Vol.1, № 2. - P. 267-307.

105. Jarvis, R.A. Computing the shape hull of points in the plane текст. / R. A. Jarvis // In Proceedings of the IEEE Computing Society Conference on Pattern Recognition and Image Processing, 1977. P. 231-241.

106. Koshizuka, S. A particle method for incompressible viscous low with fluid fragmentation текст. / S. Koshizuka, H. Tamako, Y. Oka // Computational Fluid Dynamics Journal. 1995. -Vol. 4, №1. - P. 29-46.

107. Koshizuka, S. Numerical analysis of breaking waves using the moving particle semi-implicit method текст. / S. Koshizuka, A. Nobe, Y. Oka // International Journal for Numerical Methods in Fluid. 1998. - Vol. 26. -P. 751-769.

108. Lasserre, B. An analytical expression and an algorithm for the volume of a convex polyhedron текст./ В. Lasserre // Journal of Optimization Theory and Applications. 1983. - Vol. 39, № 3. - P. 363-377.

109. Laszlo, M J. Computational Geometry and Computer Graphics in С++ текст. / M J. Laszlo, -Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996.

110. Li, S. Meshfree and particle methods and their applications текст. / S. Li, W.K. Liu // Appl. Mech. Rev. 2002. - Vol. 55. - P. 1 - 34.

111. Liu, G.R. A point interpolation method текст. / G.R. Liu, Y.T. Gu // In Proc. 4th Asia-Pacific Conference on Computational Mechanics, December, Singapure, 1999.-P 1009-1014.

112. Liu, G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method текст. / G.R. Liu -London: CRC Press, 2003. 693 p.

113. Manteuffel, T. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems текст. / Т. Manteuffel // Mathematics of Computation. 1980. - Vol. 34. - P. 473^*97.

114. Meijerink, J. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix текст. / J. Meijerink, H. V. Vorst//Mathematics of Computation. 1977. - Vol. 31. - P. 148-162.

115. Monaghan, J. Smoothed particle hydrodynamics текст. / J. Monaghan // Ann. Rev. Astron and Astrophysics. 1992. - Vol. 30. -P. 543-574.

116. Monaghan, J.J. Simulation of free surface flows with SPH текст. / J.J. Monaghan, M.C. Thompson, K. Hourigan // Journal of computational physics. 1994. - Vol. 110. - P. 399-406.

117. Onate, E. Derivation of stabilized equations for numerical solution of advective-diffusive transport and fluid flow problems текст. / E. Onate // Comput meth. in engrg. 1998. - Vol. 151. - P. 233-365.

118. Onate, E. A stabilized finite element method for incompressible viscous flows using a finite increment calculus formulation текст. / E. Onate // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2000. - Vol. 182, №1-2. -P. 355-370.

119. Onate, E. . Multiscale computational analysis in mechanics: an introduction текст. / E. Onate // Comput meth. Appl. Mech. in Engrg. -2003. Vol. 192. - P. 3043-3059.

120. Onate, E. Possibilities of finite calculus in computational mechanics текст. / E. Onate // International journal for numerical methods in engineering. 2004. - Vol. 60. - P. 255-281.

121. Owens, S.J. An implementation of natural neighbor interpolation in three dimensions текст. / S.J. Owens // Master's thesis. Brigham Young University, 1992.- 118 p.

122. Piper, P. Properties of local coordinates based on Dirichlet tessellations текст. / P. Piper. In G. Farin, H. Hagen, and H. Noltemeier, editors // Geometric Modelling. -Wien New York: Springer-Verlag, 1993.-Vol. 8.-P. 227-239.

123. Robinson, J.A. Image coding with range and valley primitives текст. / J.A. Robinson // IEEE Transactions and communications. 1995. - Vol. 43, №6.-P. 2095-2102.

124. Rogers, S. E. Upwind Differencing Scheme for the Incompressible Navier-Stokes Equations текст. / S. E. Rogers, D. A. Kwak // Applied Numerical Mathematics.- 1991.- Vol. 8.-P. 43-64.

125. Saad, Y. A basic tool kit for sparse matrix computation текст./ Y. Saad // Tech. Rep. CSRD, University of Illinois, Urbana, IL., 1990. -218 p.

126. Sibson, R. A brief description a natural neighbor interpolation текст. / R. Sibson. In V. Barnett (ed.) // Interpret multivariate data. -Chichester: John Wiley, 1981. P. 21-36.

127. Sibson, R. A vector identity for Dirichlet tessellation текст. / R. Sibson // Mathematical proceeding of the Cambridge philosophical society, 1980.-Vol. 87.-P. 151-155.

128. Sugihara, K. Surface interpolation based on new local coordinates текст. / К. Sugihara// Computer-aided design. 1999. - Vol. 13, № 1. -P. 51-58.

129. Sukumar, N. The natural element method in solid mechanics текст. / N. Sukumar, B. Moran, T. Belytschko// International journal of numerical methods in engineering. 1998. - Vol. 43, №5. - P. 839-887.

130. Sukumar, N. The natural element method in solid mechanics текст. / N. Sukumar // Ph. D. thesis, theoretical and applied mechanics, Northwestern university, Evanston, Illinois, U.S.A, 1998. 206 p.

131. Sukumar, N. Natural neighbour Galerkin methods текст./ N. Sukumar, B. Moran, A.Yu. Semenov, V.V. Belikov //International journal for numerical methods in engineering. 2001. -Vol. 50. - P. 1-27.

132. Teichmann, M. Surface reconstruction with anisotropic density-scaled alpha-shapes текст. / M. Teichmann, M. Capps // In IEEE Visualization '98 Proceedings, San Francisco, CA, ACM. SIGGRAPH Press, 1998. -P. 67-72.

133. Traversoni, L. An algorithm for natural spline interpolation текст. / L. Traversoni //Numerical algorithms. 1993. — Vol. 5. - P. 63-70.

134. Traversoni, L. Natural neighbor finite elements текст. / L. Traversoni // In International Conference on Hydraulic Enginnering Software. Hydrosoft Proceedings 2. Computational Mechanics Publications, 1994. -P. 291-297.

135. Wan, D. Discrete Singular Convolution-Finite Subdomain Method for the Solution. of Incompressible Viscous Flows текст. / D. Wan, V. Patnaik, W. Wei // Journal of Computational Physics, 2002. V. 180, p. 229-255.

136. Watson, D. Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with application to Voronoi polytopes текст. / D. Watson // The Computer Journal. 1981. - Vol. 24, №2. - P. 167-172.

137. Watson, D.F. Neighborhood-based interpolation текст. / D.F. Watson, G.M. Philip, // Geobyte. 1987. - Vol. 2, № 2. - P. 12-16.

138. Watson, D.F. Natural neighbor sorting on the N-dimensional sphere текст. / D.F. Watson // Pattern recognition. 1988. - Vol. 21, № 1. - P. 63-67.

139. Watson, D.F. Contouring: A guide to the Analysis and display of spatial data текст. / D.F. Watson. — England: Oxford, Pergamon Press, 1992.-P. 41-57.

140. Watson, D. F. Nngridr: An implementation of natural neighbor interpolation текст. / D.F. Watson. // Claremont Australia: Dave Watson Publisher, 1994. P. 23-39.

141. Wu, J.C., Numerical solutions of time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using an integro-differential formulation текст. / J.C. Wu// Comput. Fluids. 1973. - Vol. 1. -P 197-215.