Метод численного исследования обтекания пространственных конфигураций путём решения уравнений Навье-Стокса на основе схем высокого порядка точности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Волков, Андрей Викторович

• Волков, Андрей Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Волков, Андрей Викторович

Используемые аббревиатуры и обозначения.

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОД ГАЛЁРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ БАЗИСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ОСОБЕННОСТИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА.

1.1 Методы аппроксимации уравнений Навье-Стокса.

1.2 Сравнение схем конечного объёма и конечного элемента на деформированных сетках.

1.3 Особенности дискретизации уравнений Навье-Стокса методом Галеркина с разрывными базисными функциями.

1.4 Методы приближённого решения задачи Римана в РМГ.

1.5 Особенности применения модели турбулентности Спаларта-Алмараса

1.6 Квадратурный и аналитический способы интегрирования потоков.

1.7 Базисные функции РМГ.

1.8 Методы учёта кривизны обтекаемой границы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод численного исследования обтекания пространственных конфигураций путём решения уравнений Навье-Стокса на основе схем высокого порядка точности»

Совершенствование аэродинамических форм летательных аппаратов (ЛА) и их элементов достигается за счёт проведения большого объёма дорогостоящих трубных и лётных экспериментов. Высокая стоимость такого рода исследований делает целесообразным использование численных методов при проектировании ЛА. На этапе зарождения численных алгоритмов стоимость расчёта аэродинамических характеристик всегда оставалась пренебрежимо малой по сравнению со стоимостью эксперимента. Однако достоверность расчётных результатов была недостаточной из-за использования сравнительно простых моделей течения. Первые численные алгоритмы основывались на уравнениях идеального несжимаемого газа и ограничивались рассмотрением плоских (Серебрийский 1944, Павловец 1971) или упрощённых пространственных течений (Белоцерковский 1965). Совершенствование вычислительной техники позволило перейти к расчёту невязких сжимаемых течений путём решения уравнения для потенциала скорости и уравнений Эйлера (вагаЬеШап 1971, Колган 1972, Минайлос 1976, Ляпунов 1980, Вышинский 1983). Развитие асимптотических методов исследований задачи взаимодействия внешнего потенциального течения с пограничным слоем (Нейланд 1969; Сычев В., Рубан, Сычев Вик., Королев 1987) позволило перейти к более сложным моделям течений. При практическом проектировании элементов летательного аппарата широкое применение получили зональные подходы, базирующиеся на решении задачи о вязко-невязком взаимодействии (Брутян 1978, ЬеВаНеиег 1981, \Уо11соу & Ьуарипоу 1994, Волков и Ляпунов 1998). Эти методы позволили выполнять расчеты не только безотрывного обтекания, но и рассчитывать режимы с локальными зонами отрыва пограничного слоя. Широкую известность в промышленности получила вычислительная программа ВЬ\¥Б Карася и Ковалёва (1989), которая даёт возможность получать достоверные распределённые и интегральные аэродинамические характеристики компоновок современных JIA с учётом влияния вязкости на до- и трансзвуковых режимах обтекания.

Развитие вычислительной техники и дальнейший прогресс вычислительных методов позволил перейти к рассмотрению модели течения вязкого газа на основе уравнений Навье-Стокса. В последние полтора десятилетия было разработано большое количество подходов к решению этих уравнений (Anderson et al.l 996, Jespersen et al. 1997, Gerhold et al. 1997, Mavriplis & Venkatakrishnan 1997, ICrist et al. 1998, Kroll et al. 1998, Босняков, Власенко, Матяш, Михайлов 2007). Наиболее удачные численные схемы, реализованные в известных коммерческих вычислительных программах (FLUENT, CFX, STAR-CD, NUMECA), получили широкое распространение и относительно успешно используются при решении многих прикладных задач. Отметим, что в подавляющем большинстве численные коды базируются на методах конечных разностей (МКР) или конечного объёма (МКО). Точность повсеместно используемых численных схем, как правило, не превышает второй порядок, что в настоящее время является фактически стандартом.

Для решения задач аэродинамического проектирования современные расчётные схемы, базирующиеся на МКР или МКО, требуют использования значительных компьютерных и человеческих ресурсов, что приводит к заметному удорожанию результатов вычислений. Принимая во внимание пока ещё имеющую место некоторую недостоверность численных экспериментов, проистекающую из сложности моделируемых течений, и высокую стоимость вычислительных работ, проведение дорогостоящих экспериментальных исследований всё ещё является необходимым.

Высокая стоимость вычислительных работ при прямом численном решении уравнений Навье-Стокса обусловлена необходимостью привлечения больших компьютерных ресурсов (оперативная память, время расчёта) и высокопрофессиональных вычислителей. Этот факт убедительно и продемонстрирован в трудах известной международной конференции AIAA CFD Drag Prediction Workshop (DPW) (Lee-Rausch et al. 2003, Rumsey et al. 2004, Morrison & Hemsch 2006), посвященной оценке величины аэродинамического сопротивления тестовой конфигурации «крыло+фюзеляж». Выбранная модель DLR F—4 была исследована в различных аэродинамических трубах. Оценка точности экспериментальных измерений на режиме М=0.85, Су= 0.5, Re=5T06 составляет величину 4-Ю-4. При такой погрешности в определении сопротивления погрешность величины аэродинамического качества компоновки составляет 0.2 единицы, что приемлемо при современной технике проектирования JIA. Очевидно, что не следует ожидать от расчётов идеальной сходимости с экспериментом, хотя бы по причине отсутствия совершенной модели турбулентности и отсутствия учёта многих других факторов, оказывающих влияние на формирование реального течения. Однако требуется получить точное численное решение в рамках имеющейся модели течения, описываемой уравнениями Навье-Стокса и конкретной моделью турбулентности. Теоретически такое решение может существовать на сетках с очень мелкими ячейками, дальнейшее измельчение которых не приводит к заметным изменениям решения. В рассматриваемом тестовом случае достаточное приближение к точному численному решению, как оказалось, достигается лишь на структурированных сетках с объёмом ячеек более 10 млн. Отметим, что построение сеток такого типа представляет собой трудоёмкий процесс, требующий высокой квалификации пользователя. Неструктурированные сетки могут быть сгенерированы значительно быстрее и с минимальным участием пользователя. Однако, добиться при этом приемлемого качества величины сопротивления удаётся лишь на сетках с объёмом более 30 млн. узлов.

Практический расчёт обтекания JIA в крейсерской конфигурации не является задачей, требующей решения именно уравнений Навье-Стокса и привлечения значительных вычислительных ресурсов. В настоящее время с расчётом подобной конфигурации надёжно справляется, например, вычислительная программа ВЬ\УТ, основанная на более простой модели течения. Очевидно, что уравнения Навье-Стокса необходимо применять для расчетов геометрически сложных конфигураций, течений со значительными отрывными зонами, например, для задачи расчёта взлётно-посадочных аэродинамических характеристик ЛА при существенно отклонённой механизации крыла или, например, для расчёта обтекания маневренных самолётов при больших углах атаки. Построение структурированных сеток для таких конфигураций является технически сложной проблемой. Простые оценки показывают, что необходимый объём неструктурированных сеток в этом случае может превысить сто миллионов узлов. Вычислительные ресурсы, требуемые для решения таких задач, пока доступны лишь отдельным крупным научным центрам. Поэтому снижение потребных вычислительных ресурсов является одной из актуальных проблем, решение которой позволит обеспечить реальный прогресс во многих практически важных приложениях.

Другая проблема современных методов решения уравнений Навье-Стокса, связана с необходимостью минимизации влияния человеческого фактора, неизбежно присутствующего при проведении вычислений. Часто результаты численных решений одних и тех же задач у разных пользователей заметно отличаются друг от друга. В основном различие связано с построением расчётных сеток. Современные пакеты генерации сеток предоставляют пользователю широкий набор возможностей, позволяя измельчать или укрупнять ячейки в заданных областях расчётного поля. Каждый пользователь делает это в соответствии со своими представлениями о физике течения, что в конечном итоге и обуславливает разницу результатов. Отметим, что такое «ручное» построение сеток может быть причиной «необъяснимых» существенных различий в результатах полученных одним и тем же пользователем на незначительно модифицированных геометриях. Решение проблемы сопряжено с задачей определения оптимального положения сеточных узлов или, другими словами, с необходимостью использования алгоритмов адаптации сеток и численных схем к особенностям течения. Идеи адаптации известны давно (см., например, 8акоу1сИ е1 а1. 1998), однако, в реальных расчётах они практически не используются по двум основным причинам. Во-первых, технология адаптации предполагает использование неструктурированных сеток, а как было описано выше, точность расчётов на неструктурированных сетках заметно хуже. Во-вторых, реальная адаптация приводит к необходимости расчётов на неравномерных сетках с сильно деформированными ячейками. Современные же схемы, базирующиеся на МКР и МКО, ориентированы на использование равномерных сеток с ячейками правильных форм.

Адаптивные сетки позволяют устранить человеческий фактор из процесса решения и, одновременно, дают возможность существенно сократить используемые компьютерные ресурсы. Проиллюстрируем это на примере численного решения плоской задачи обтекания взлётно-посадочной конфигурации. На рис. 1. представлены фрагменты типичной сетки с плавной вариацией форм и размеров ячеек.

Рис. 1. Фрагменты сетки с плавной вариацией форм и размеров ячеек пригодной для расчета МКО. Количество ячеек -110 ООО

Данная сетка содержит -110 тыс. ячеек и вполне годится для получения достоверных результатов при помощи МКО. Использование для решения этой задачи адаптивных сеток с сильной анизотропией форм ячеек позволяет существенно сэкономить их необходимое количество. Пример такой сетки изображён на рис. 2.

Рис. 2. Фрагменты адаптивной сетки с сильной анизотропией форм ячеек.

Количество ячеек ~ 28 ООО

Такое же покрытие поля течения обеспечивается значительно меньшим количеством ячеек ~ 28 тыс. Данную сетку характеризует высокая неравномерность форм и размеров ячеек, соседство крупных элементов с тонкими вытянутыми («щелочными») элементами. Использование МКО для решения задачи на такой сетке невозможно из-за потери точности аппроксимации и сложностей поиска решения получающейся системы сеточных уравнений. Таким образом, разработка схем расчёта на подобных высокоанизотропных сетках позволит, с одной стороны, снизить объёмы расчётных сеток, и, с другой стороны, устранить влияние человеческого фактора на получение окончательных результатов путём использования технологии автоматического построения сеток.

Другой способ значительного снижения задействованных компьютерных ресурсов связан с применением схем высокого порядка точности. Преимущества использования таких схем схематично отражены на рис. 3. Здесь в логарифмическом масштабе изображена зависимость точности численного решения от числа узлов расчётной сетки (числа неизвестных дискретной задачи). Широко используемый в настоящее время метод второго порядка точности представлен красной линией, в то время как метод более высокого порядка изображен зелёной линией, имеющей больший наклон. Рисунок отражает общую закономерность того, что разница точного и численного решений, полученная на последовательности вложенных сеток, убывает тем быстрее, чем выше порядок точности схемы. Другими словами можно сказать, что та же точность расчёта может быть достигнута методом высокого порядка точности на более грубой сетке или, иначе говоря, на фиксированной расчётной сетке точность расчёта будет выше.

Точность

Рис. 3. Зависимость точности численной схемы от числа неизвестных дискретной задачи

Таким образом, одно из решений проблемы эффективности численных схем связано с использованием схем высокого порядка точности, позволяющих выполнять расчёты на анизотропных адаптивных сетках. Разработка высокоточных схем ускорит решение не только задач внешней и внутренней аэродинамики, но также позволит решать многие другие актуальные задачи. Среди них задачи акустики, моделирование турбулентности (LES/DES) и другие.

Схемы с высоким порядком дискретизации исследовались на компактном шаблоне в работах Толстых (1990), Lele (1992), Tarn & Webb (1993), Tolstykh & Lipavskii (1998), а на расширенном шаблоне со стандартным методом конечных разностей в работе Visbai & Gaitonde (2002). Для получения монотонного решения с высоким порядком аппроксимации были разработаны также методы ENO (Harten et al. 1987), WENO (Liu et al. 1994, Jiang & Shu 1996). Все эти методы имеют солидный теоретический фундамент, но, к сожалению, применяются в основном на структурированных и неструктурированных сетках с почти равномерным распределением размеров и форм соседних ячеек. Возможность применения таких методов на анизотропных неструктурированных сетках не столь очевидна. Кроме того, в случае расширения шаблона аппроксимации открытыми остаются вопросы распараллеливания алгоритма расчёта и его точности в случае использования многоблочных сеток.

В работе Ladeinde et al. (2006) впервые расчетная схема высокого порядка точности использована при решении задач внешней аэродинамики для тел сложных геометрических форм. Здесь рассматривалась возможность создания надежного, высокоточного алгоритма решения уравнений Рейнольдса на базе ENO/WENO схем с использованием блочно-структурированных сеток. В качестве примера рассмотрен расчет компоновки современного самолета.

В настоящее время имеется широкий выбор методов, альтернативных МКР или МКО. В работах Ekaterinaris (2000) и Wang (2007) дан обзор различных способов аппроксимации высокого порядка точности на неструктурированных сетках.

Одним из наиболее перспективных подходов к высокоточной аппроксимации как на структурированных, так и неструктурированных сетках является метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ). В англоязычной литературе метод имеет название Discontinuous Galerkin Method (DGM). В последние годы этот метод вызывает повышенный интерес многих исследователей вследствие его общности, гибкости и надежной теоретической обоснованности. Впервые метод был предложен Reed & Hill (1973) для решения уравнения описывающего перенос нейтронов, а первый анализ был дан в работе Saint & Raviart (1974). Численное решение 2-D уравнений Эйлера и Навье-Стокса на треугольных неструктурированных сетках этим методом впервые представлено в работах Bassi & Rebay (1997). Наиболее полное теоретическое описание метода с решением 1-D и 2—D модельных задач приведено в работах Cockburn & Shu (1998, 2001). Подробное исследование

РМГ можно также найти в работах Lyapunov & Wollcov (2000), Волкова и Ляпунова (2006, 2007, 2009) и в диссертации Ляпунова (2008).

Первые 3-D реализации метода относятся к решению задач аэроакустики, где решались линеаризованные уравнения Эйлера (Atkins & Lockard 1999, Remalci et al. 2002, Reymen et al. 2005, Peyret 2007). Практическая реализация РМГ для решения нелинейных уравнений Эйлера и Навье-Стокса встречается с принципиальными трудностями, по причине которых этот метод ещё не получил широкого распространения. В настоящее время можно выделить несколько основных проблем, которые необходимо решить для успешного применения РМГ.

1) Большое количество арифметических операций на одну степень свободы. В отличие от МКО в РМГ необходимо точное интегрирование не только потоков через грани контрольного объёма, но и вычисление объёмных интегралов внутри ячеек. Традиционный подход к интегрированию базируется на использовании квадратурных точек Гаусса. Суммирование значений подынтегральных функций в этих точках с определёнными весами обеспечивает получение точного значения в случае полиномиального представления подынтегральной функции. Чем выше порядок полинома, тем большее число гауссовых точек необходимо использовать. Присутствие объёмных и поверхностных интегралов в рассматриваемом методе приводит к необходимости использования чрезмерно большого количества этих точек и на гранях контрольного объёма и внутри него.

2) Немонотонность схемы высокого порядка в областях разрывов решений. Решение задач обтекания может характеризоваться наличием в поле течения областей с большими локальными возмущениями, в частности, скачков уплотнения. Численное решение таких задач с использованием схем повышенного порядка точности приводит к нефизичным осцилляциям решения. В МКО для устранения нефизичных осцилляций используют ограничители градиентов решения, определяемые по значениям в ячейке и её соседях. Такой способ неприменим в РМГ для решения стационарных задач неявным методом.

3) Постановка граничных условий высокого порядка точности. Решение дифференциальных уравнений с высоким порядком точности требует адекватного представления обтекаемой границы. Порядок полинома реконструирующего решение в ячейке должен согласовываться с порядком кривой её ограничивающей.

В традиционном МКО для получения второго порядка точности используют кусочно-линейное описание границы. Для решения уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса требуется использование сеток с ячейками, вытянутыми вдоль обтекаемого контура. При этом реальная граница может пересекать ряд приграничных ячеек. Как следствие, более точное описание границы течения входит в противоречие с прижатыми сеточными ячейками. Таким образом, для повышения порядка точности численной схемы необходимо решение этой проблемы.

4) Проблема решения больших нелинейных систем сеточных уравнений.

Достижение приемлемой точности расчёта осуществляется за счёт использования большого числа искомых неизвестных, которое достигается либо измельчением сеток, как это принято в МКО второго порядка точности, либо расчётом на более редких сетках, но с использованием большого числа неизвестных в каждой ячейке, как это делается в РМГ. Оба подхода сталкиваются с проблемой поиска решения уравнений дискретизации. Общепринято, что наиболее эффективным подходом к решению пространственных задач является многосеточный метод, в основе которого лежат расчёты на редких сетках. В случае РМГ, где решение ищется на редких сетках, такой подход оказывается неэффективным.

Решению указанных проблем и посвящена диссертационная работа.

В настоящее время число 3-0 реализаций РМГ для нелинейных уравнений законов сохранения весьма ограничено. В открытой печати можно найти информацию лишь о нескольких примерах успешной реализации метода. К примеру, применение РМГ на тетраэдальных сетках описано в работе Luo et al. (2006). Первая успешная реализация РМГ на неструктурированных гексаэдральных сетках представлена в настоящей работе и в публикациях: Wolkov, Hirsch, Leonard (2007); Hirsch, Wolkov, Leonard (2009); Волков (2009); Волков (2010).

Отметим, что гексаэдральные расчётные сетки имеют очевидное преимущество по сравнению с сетками, образованными тетраэдрами, так как, обеспечивая то же самое покрытие расчётной области, сетки из гексаэдров имеют меньшее количество внутренних граней, что сокращает общее количество арифметических операций. Поэтому в настоящей работе РМГ был адаптирован к решению уравнений Эйлера и Навье-Стокса именно на неструктурированных гексаэдральных сетках. Разработанный эффективный алгоритм учитывает кривизну обтекаемой поверхности и позволяет выполнять необходимые для практики расчёты с четвёртым порядком точности.

Актуальность диссертационной работы связана с развитием авиационной техники и подходов, направленных на повышение качества и сокращения сроков проектирования ДА. Этой цели служит развитие численных методов решения задач аэродинамики, которые позволяют существенно уменьшить потребные компьютерные ресурсы по сравнению с существующими подходами к проектированию.

Цель диссертации состоит в развитии нового метода аппроксимации уравнений Навье-Стокса и их эффективного численного решения с использованием схем высокого порядка точности на неструктурированных адаптивных сетках. Особое внимание уделяется практической реализации и сравнению метода с уже используемыми подходами.

Практическая значимость работы заключается в разработке эффективных методов расчёта уравнений Эйлера и Навье-Стокса. Дан набор рекомендаций по применению предложенного подхода. Созданные в процессе работы вычислительные программы используются при проведении расчётных исследований, как отдельных элементов ЛА, так и пространственной конфигурации в целом, в процессе выполнения инициативных научных исследований, а также при выполнении НИР ЦАГИ по контрактам с Роспромом. Разработанные методы открывают перспективы эффективного расчёта обтекания сложных конфигураций ЛА.

Научная новизна работы заключается в адаптации МКЭ к решению уравнений движения вязкого газа. Схемы, построенные на базе этого метода, позволяют обеспечить высокий порядок точности на компактном шаблоне с использованием неструктурированных сеток. В сравнении с МКО такие схемы более надёжны при работе с деформированными, адаптивными сетками.

На базе метода Галёркина с разрывными базисными функциями предложена новая гибридная схема, позволяющая плавно варьировать порядок точности численной аппроксимации, что совместно с предложенным новым сенсором разрывов даёт возможность устранять нефизичные осцилляции решений.

В качестве эффективного решателя системы сеточных уравнений впервые предложен полиномиальный многосеточный подход с локально-неявным сглаживателем.

Метод РМГ высокого порядка точности для решения пространственных задач аэродинамики впервые практически реализован на гексаэдральных неструктурированных сетках.

Выполнено непосредственное сравнение требуемых компьютерных ресурсов при выполнении одних и тех же расчётов методами МКО и РМГ.

Автор защищает следующие результаты:

1. Метод численного решения пространственных уравнений Эйлера и Навье-Стокса при до и околозвуковых скоростях течения. Предложенный метод основан на конечно-элементном подходе и может быть использован для геометрически сложных областей течения с использованием концепции неструктурированных адаптивных сеток. Метод использует меньшие компьютерные ресурсы по сравнению с традиционным подходом, основанным на методе конечного объёма второго порядка точности.

2. Универсальный способ устранения нефизичных осцилляций численного решения в областях течений с большими локальными неоднородностями. Способ основан на гибридном подходе, объединяющем немонотонную схему высокого порядка в основной области течения с монотонной схемой первого порядка точности в области локальной неоднородности.

3. Новый сенсор локальных неоднородностей течения, не зависящий от анизотропных свойств ячеек сетки и указывающий на области, где необходимо использование монотонной схемы.

4. Метод численного решения систем сеточных уравнений конечно-элементной аппроксимации течений, основанный на многоуровневом подходе с использованием различного набора полиномиальных базисных функций в реконструкции решения.

5. Результаты численных исследований течений вязкой жидкости и газа в модельных задачах аэродинамики и акустики, а также результаты расчётов обтекания компоновок ЛА.

В первой главе диссертации анализируются основные подходы к аппроксимации систем дифференциальных уравнений с точки зрения их использования для построения схем высокого порядка точности на неструктурированных, существенно неравномерных сетках. Делается вывод о преимуществе метода Галёркииа с разрывными базисными функциями (РМГ), являющегося модификацией метода конечных элементов. Рассмотрена общая теория РМГ и особенности его применения к решению уравнений Навье-Стокса с моделью турбулентности Спаларта-Алмараса. Изучены методы приближённого решения задачи Римана, методы интегрирования потоков и методы учёта кривизны обтекаемой границы.

Во второй главе рассматриваются подходы к построению ограничителей нефизичных осцилляций решения. Делается вывод о неприменимости традиционных ограничителей решения в МКЭ при реализации неявной схемы решения. Для обеспечения монотонности решения целесообразно локальное использование схемы первого порядка точности. С этой целью предложена новая гибридная схема РМГ с параметром А,, позволяющим плавно менять порядок точности численной схемы. Проанализированы известные сенсоры нефизичных осцилляций решения. Предложен новый сенсор, работающий не только на равномерных, но и на высокоанизотропных неструктурированных сетках. Возможность получения монотонных решений проиллюстрирована на примерах решения тестовых задач.

В третьей главе подробно рассматриваются возможные методы решения сеточных уравнений конечноэлементной аппроксимации течений. В качестве эффективного решателя систем сеточных уравнений аппроксимирующих пространственные течения предложен полиномиальный многосеточный подход с локально-неявным сглаживателем. Описаны различные стратегии и сглаживатели многосеточного метода. Приведены примеры решения пространственных задач, демонстрирующие эффективность предложенного алгоритма.

В четвёртой главе проведены исследования порядка точности разработанной численной схемы путем численного анализа поведения решений на последовательности вложенных сеток. Демонстрируется практический высокий порядок точности схемы РМГ как при решении уравнений Эйлера, так и при решении уравнений Навье-Стокса с моделью турбулентности. Приведены примеры решения задач аэродинамики и акустики, демонстрирующие существенное сокращение вычислительных ресурсов по сравнению с традиционным методом конечного объёма второго порядка точности.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Lyapunov & Wolkov (1996); Sakovich, Sorokin, Wolkov, Lyapunov (1998); Wolkov & Lyapunov (2000); Lyapunov & Wolkov (2000); Волков & Ляпунов (2004, 2006, 2007, 2009); Petrovskaya, Wolkov, Lyapunov (2006); Wolkov, Hirsch, Leonard (2007); Vlasenko, Wolkov, Hirsch (2007); Petrovskaya & Wolkov (2007, 2008); Hirsch, Wolkov, Leonard (2009); Волков (2009, 2010); Петровская & Волков (2010).

Результаты работы обсуждались на Международном конгрессе по авиационным наукам ICAS (1996), 3-ей Европейской конференции по механике жидкости EUROMECH (1997), 6-ой международной конференции по генерации сеток для вычислительной аэродинамики (1998), 16-м Конгрессе Международной ассоциации математического и компьютерного моделирования IMACS (2000), конференциях Американского Института Авиации и Аэронавтики AIAA (2007, 2009), международной конференции по высокоскоростным течениям WEHSFF (2007), 5-ом Европейском конгрессе по численным методам в прикладной науке ECCOMAS (2008), франко-российском семинаре ONERA-ЦАГИ (2009), международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (2004, 2006), и на 12-ти школах-семинарах ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов» (1998 - 2009).

В данную диссертацию ' включены результаты исследований, поддержанные РФФИ (Проекты №96-01-00209-л, № 96-01-00210-л, № 00-01-00070-а, № 03-01-00236-а, №06-01-00283-а, №09-01-00243-а).

Автор выражает глубокую благодарность д.ф.м.н. С.В.Ляпунову, в тесной работе с которым были выполнены основные исследования, изложенные в диссертации. Автор считает своим долгом выразить благодарность профессору Г.А.Павловцу за постоянную поддержку и внимание к данной работе. Автор выражает признательность президенту компании NUMECA профессору Ч.Хиршу (Ch. Hirsch) за предоставление промышленной программы метода конечного объема и помощь в проведении настоящих исследований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Волков, Андрей Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Решение проблем повышения качества и сокращения сроков проектирования новых ЛА всё в большей мере связывается с совершенствованием численных методов расчёта их аэродинамических характеристик. Модель течения, основанная на полных уравнениях Навье-Стокса, позволяет обеспечить новый уровень проектирования, однако современные подходы, основанные на методе конечного объёма (МКО) второго порядка точности, требуют привлечения очень больших компьютерных ресурсов, недоступных в настоящее время большинству пользователей.

В диссертационной работе выделено два основных направления сокращения вычислительных затрат: использование адаптивных расчётных сеток и повышение порядка точности численных схем. Приведён анализ современных методов решения уравнений Навье-Стокса, на основании которого показано, что разрывный метод Галёркина (РМГ), базирующийся на методе конечного элемента, обеспечивает наиболее удобный и надёжный механизм повышения порядка точности схемы при использовании узкого шаблона аппроксимации. Важным преимуществом РМГ по сравнению с МКО является возможность работы с сильно анизотропными адаптивными сетками. Успешное применение схемы РМГ для решения практических задач аэродинамики и акустики сопряжено с рядом принципиальных трудностей, пути решения которых изложены в диссертационной работе. Получены следующие основные результаты:

1. На базе РМГ разработана новая гибридная схема, позволяющая непрерывно варьировать порядок точности в зависимости от локальных особенностей течения. В совокупности с предложенным сенсором схема высокого порядка точности обеспечила возможность получения монотонных решений в задачах с локальными неоднородностями, такими как скачок уплотнения или пристеночная часть пограничного слоя при использовании достаточно редких сеток.

2. Для эффективного решения пространственных уравнений конечно-элементной аппроксимации уравнений Эйлера и Навье-Стокса впервые реализован полиномиальный многосеточный подход с локально-неявным сглаживателем. Описана основная стратегия данного многосеточного метода. Приведены примеры численного решения пространственных задач аэродинамики, демонстрирующие значительное ускорение итерационного процесса получения решения.

3. Предложено два основных пути сокращения арифметических операций РМГ в расчёте на одну степень свободы: о использование аналитического способа интегрирования потоков на низких многосеточных уровнях решателя; о комплексная оптимизация квадратурных точек, используемых для расчёта поверхностных и объёмных интегралов.

4. Впервые метод РМГ высокого порядка точности реализован для решения пространственных задач аэродинамики и акустики с использованием неструктурированных гексаэдральных сеток и приведено его широкое сравнение с МКО.

5. Проведены численные исследования точности новой схемы аппроксимации на последовательности вложенных сеток. В процессе решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса на неструктурированных сетках продемонстрирована оптимальная сходимость результатов к точным значениям с порядком К+1, где К максимальный порядок базисного полинома.

6. Рассмотрены разнообразные тестовые случаи (вязкое дозвуковое обтекание цилиндра, сферы, пластины; пространственное течение вязкой жидкости в изогнутой трубке; распространение акустических волн в невязком газе; турбулентное трансзвуковое обтекание профиля и крыла), демонстрирующие хорошее согласование расчётов по предложенной схеме высокого порядка точности с теоретическими и (или) экспериментальными результатами даже при использовании экстремально грубых сеток. При сравнении аналогичных по точности решений, полученных методами РМГ высокого порядка и стандартной схемой МКО второго порядка, оказалось, что наблюдается устойчивый выигрыш схемы РМГ в использовании вычислительных ресурсов (память, время).

7. Получены численные решения задач ламинарного и турбулентного обтекания аэродинамических конфигураций на предельно грубых сетках. Сравнения с экспериментальными результатами демонстрируют удовлетворительное согласование. По сравнению с традиционным подходом, основанным на МКО, предложенный метод, при условии одинаковой точности, использует заметно меньшие компьютерные ресурсы.

8. Показано, что разработанный метод позволяет проводить анализ особенностей местной аэродинамики ЛА, например, области стыка крыла с фюзеляжем, что позволяет использовать настоящий подход на этапе предварительного проектирования и открывает перспективы улучшения качества проектирования новых ЛА.

Продемонстрированное в диссертации успешное применение метода РМГ высокого порядка точности к решению различных прикладных задач даёт основание рассчитывать на то, что в ближайшем будущем он составит достойную конкуренцию существующему подходу, основанному на МКО второго порядка.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Волков, Андрей Викторович, 2010 год

1. Белоцерковский С.М. (1965) Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука.

2. Босняков С.М. (2007) Концепция программного продукта EWT ЦАГИ и основные этапы ее развития // Труды ЦАГИ, выпуск 2671, 2007, стр.3-19.

3. БрутянМ.А. (1978) Исследование отрывного обтекания симметричного профиля в несжимаемой жидкости // Ученые записки ЦАГИ, 6.

4. Власенко В.В. (2007) О математическом подходе и принципах построения численных методологий для пакета прикладных программ EWT ЦАГИ. стр.20-85 // Труды ЦАГИ, выпуск 2671, стр.3-19.

5. Волков A.B. (2006) Применение метода Галеркина с разрывными базисными функциями к решению пространственных уравнений Эйлера и Навье-Стокса // Труды VI международной школы семинар «Модели и Методы Аэродинамики». Евпатория 2006.

6. Волков A.B. (2009) Особенности применения метода Галеркина к решению пространственных уравнений Навье-Стокса на неструктурированных гексаэдральных сетках // Ученые записки ЦАГИ, т. XL, .№6.

7. Волков A.B. (2010) Применение многосеточного подхода к решению 3-D уравнений Навье-Стокса на гексаэдральных сетках методом Галеркина с разрывными базисными функциями // ЖВМиМФ, т.50, №3, с. 517 531.

8. Волков A.B. (2010) Методы решения сеточных уравнений конечно-элементной аппроксимации пространственных течений. Ученые записки ЦАГИ, т. XLI, .№3.

9. Волков A.B., Ляпунов C.B. (1998) Метод расчета вязкого отрывного обтекания систем крыловых профилей // Ученые записки ЦАГИ, том XXIX №3-4.

10. Волков A.B., Ляпунов C.B. (2004) Метод и результаты расчета аэродинамических характеристик крылового профиля при наличии льда разнообразных форм на передней кромке. Техника воздушного флота. Том LXXVII, № 1 (666).

11. Волков A.B., Ляпунов C.B. (2006) Исследование эффективности использования численных схем высокого порядка точности для решения уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса на неструктурированных адаптивных сетках // ЖВМиМФ, Том 46, №10, стр. 1894-1907.

12. Волков A.B., Ляпунов C.B. (2007) Применение конечно-элементного метода Галеркина с разрывными базисными функциями к решению уравнений Рейнольдса на неструктурированных адаптивных сетках // Ученые записки ЦАГИ. том XXXVIII, № 3-4, стр. 22-30.

13. Волков A.B., Ляпунов C.B. (2009) Монотонизация метода конечного элемента в задачах газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. том XL, №4.

14. Вышинский B.B. (1983) К расчету пространственного околозвукового обтекания удлиненных тел // ЖВМиМФ, т.23, №1, с.160-169.

15. Годунов С.К. (1957) Разностный метод расчёта ударных волн. Успехи математических наук. Том. 12, № 1 (73), 176 177.

16. Годунов С.К., Рябенький B.C. (1973) Разностные схемы. (Введение в теорию). М.: Наука.

17. ГольдинВ.Я., Калиткин H.H., ШишоваТ.В. (1965) Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений// ЖВМиМФ 5, №5, 938944.

18. Егоров И.В., Зайцев O.JI. (1991) Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье-Стокса методом сквозного счёта // ЖВМиМФ, т.31, №2.

19. Жуков В.Т., Феодоритова О.Б., Янг Д.П. (2004) Итерационные алгоритмы для схем конечных элементов высокого порядка// Матем. моделирование, том 16, номер 7, с. 117-128.

20. Иванов М.Я., Крайко А.Н. (1978) Об аппроксимации разрывных решений при использовании разностных схем сквозного счёта// ЖВМиМФ, №3, стр. 780-783.

21. Карась О.В., Ковалев В.Е. (1989) Применение обратного метода расчета трехмерного пограничного слоя к задаче обтекания крыла с учетом влияния вязкости // Уч. зап. ЦАГИ. Т. 20. № 5. С. 1-11.

22. Колган В.П. (1972) Применение принципа минимальных значений производных к постороению конечно-разностных схем для расчёта разрывных решений газовой динамики// Учёные записки ЦАГИ, 3, №6, 6872.

23. Корн Г., Корн Т. (1973) Справочник по математике для научных работников и инженеров / М.: Наука.

24. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. (2001) Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / М.: ФИЗМАТЛИТ.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1986) Гидродинамика. Теоретическая физика 6 /М.: Наука.

26. Ляпунов C.B. (1980) Программа расчёта обтекания профиля трансзвуковым потоком идеального газа // Труды ЦАГИ. Вып. 2064. М.

27. Ляпунов C.B. (2008) Разработка и исследование численных схем высокого порядка точности для решения уравнений газовой динамики на неструктурированных сетках / Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

28. Меньшов И.С. (1991) Обобщенная задача о распаде произвольного разрыва // Прикладная математика и механика, т. 55, №1, 86-94.

29. Минайлос А.Н. (1976) Сверхзвуковое течение у тонкого трапециевидного крыла // Ученые записки ЦАГИ. т.7, №4.

30. Михайлов C.B. (2007) Объектно-ориентированный подход к созданию эффективных программ, реализующих параллельные алгоритмы расчета // Труды ЦАГИ, выпуск 2671, стр.86-108.

31. НейландВ.Я. (1969) К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР, МЖГ, №4, с.53-57.

32. ПавловецГ.А. (1971) Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 1344.

33. Петровская Н.Б., Волков A.B. (2010) Влияние геометрии сетки на точность реконструкции решения в конечно-объёмных и конечно-элементных схемах высокого порядка // Математическое моделирование, 22, №3, стр. 145 160.

34. Пинчуков В.И., Шу Ч.В. (2000) Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики / Новосибирск: Издательство Сибирского отделения РАН.

35. Родионов А.В. (1987) Повышение порядка аппроксимации схемы С.К. Годунова//ЖВМиМФ, 27, №12, 1853-1860.

36. Самарский А.А. (1989) Теория разностных схем. М.: Наука.

37. Серебрийский Я.М. (1944) Обтекание крыловых профилей произвольной формы// Труды ЦАГИ, вып. 553.

38. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев В.В., Королев Г.В. (1987) Асимптотическая теория отрывных течений/ Под ред. В.В. Сычева. М.: Наука.

39. Толстых А.И. (1990) Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М. : Наука.

40. Толстых А.И. (2000) О построении схем заданного порядка с линейными комбинациями операторов// ЖВМиМФ, 40, №8, 1206-1220.

41. Федоренко Р.П. (1961) Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений// ЖВМ и МФ, т.1, №5, 922-927.

42. Федоренко Р.П. (1962) Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений// ЖВМиМФ 2, №6, 1122-1128.

43. Anderson W.K., RauschR.D., and Bonhaus D.L. (1996) Implicit Multigrid Algorithms for Incompressible Turbulent Flows on Unstructured Grids // Journal of Computational Physics, v. 128, No. 2, pp. 391-408.

44. Atkins H.L. and Lockard D.P. (1999) A high-order method using unstructured grids for the aeroacoustic analysis of realistic aircraft configurations// AIAA 991945.

45. Atkins H.L., Shu C.W. (1996) Quadrature-Free Implementation of Discontinuous Galerkin Method for Hyperbolic Equations // AIAA 96-1683.

46. Barter G.E., Darmofal D.L. (2007) Shock capturing with high-order, PDE-based artificial viscosity // AIAA-3823.

47. Barth T.J. (1991) A three-dimensional upwind Euler solver of unstructured meshes //AIAA-91-1548.

48. Barth T.J. (1992) Aspects of unstructured grids and finite-volume solvers for the Euler and Navier-Stokes equations. Special course on unstructured grid methods for advection dominated flows // AGARD-R-787, pp.6-1 6-61.

49. Barth T.J. (1993) Recent developments in high order k-exact reconstruction on unstructured meshes // AIAA Paper-0668.

50. Barth T.J. (2004) A posteriori error estimation and mesh adaptivity for finite volume and finite element methods. Springer series lecture notes in computational science and engineering, v. 41.

51. Barth T.J., Frederickson P.O. (1990) Higher order solution of the Euler equations on unstructured grids using quadratic reconstruction // AIAA-90-0013.

52. Barth T.J., Jespersen D.C. (1989) The design and application of upwind schemes on unstructured meshes// AIAA Paper-89-0366.

53. Barth T.J., Larson M.G. (2002) A-posteriori error estimation for higher order Godunov finite volume methods on unstructured meshes // NASA Technical Report NAS-02-001.

54. Bassi F. and RebayS. (1997) High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Solution of the 2D Euler Equations // J. Comput. Phys., v. 138, pp. 251285.

55. Bassi F., RebayS. (1997) A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations// Journal of Computational Physics v. 131, pp. 267-279.

56. Brandt A. (1980) Multilevel adaptive computations in fluid dynamics // AIAA Journal, V.18, №-10, October.

57. Chapman A., SaadY., WigtonL. (2000) High-order ILU preconditioners for CFD problems // Intematioanl Jouranal for numerical methods in fluids, v.33, 767788.

58. Cockburn B., Hou S., Shu C. (1990) TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws IV: the multidimensional case // Math. Comp., 54.

59. Cockburn B., ShuC-W. (1998) The Local Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Convection-Diffusion Systems // SIAM J. Numer. Anal., v.175, pp. 2440-2463.

60. Cockburn B., Shu C-W. (2001) Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems // Journal of Scientific Computing, v. 16, No. 3, September.

61. Cook P.H., McDonald M.A., & FirminM.C.P. (1979) Aerofoil RAE 2822 -pressure distribution, and boundary layer and wake measurements // AGARD-AR-138.

62. Ekaterinaris J.A. (2000) Implicit High-Order-Accurate-in-Space Algorithms for the Navier-Stokes Equations // AIAA Journal Vol. 38, No. 9, September 2000.

63. EnayetM., Gibson M., Taylor A., YianneskisM. (1982) Laser Doppler Measurements of Laminar and Turbulent Flow in a Pipe Bend // NASA Contract Report CR-3551.

64. EngquistB., OsherS. (1981) One-sided difference approximations for nonlinear conservation laws // Math. Comput. v.36, No. 154, 321-351.

65. Fidkowski K.J., Oliver T.A., Lu J., Darmofal D.L. (2005) p-Multigrid solution of high-order discontinuous Galerkin discretizations of the compressible Navier-Stokes equations//Journal of Computational Physics v.207 pp. 92-113.

66. FriedrichO. (1998) Weighted essentially non-oscillatory schemes for the interpolation of mean values on unstructured grids // Journal of Computational Physics, v. 144, pp. 194-212.

67. Garabedian P.R., Corn D.G. (1971) Analysis of transonic airfoils // Comm.Pure Appl.Math., vol.24, No 6.

68. Gerhold T., FriedrichO., Evans J., Galle M. (1997) Calculation of Complex Three-Dimensional Configurations Employing the DLR TAU-Code // AIAA Paper 97-0167.

69. Giles M., Pierce N.A. (1999) Improved lift and drag estimates using adjoint Euler equations // AIAA-99-3293.

70. Harten A. (1984) On a Class of High Resolution Total Variation-Stable Finite-Difference Schemes // SIAM J. Numer. Anal., v. 21.

71. Harten A., Engquist B, Osher S., Chakravarthy S. (1987) Uniformly high order essentially non-oscillatory schemes, III // Journal of Computational Physics, v.71, pp. 231-303.

72. Harten A., EngquistB., OsherS. and Chakravarthy S. (1987) Uniformly high order essentially non-oscillatory schemes, III // J. Comp. Phys., v. 71, pp. 231— 303.

73. Helenbrook B.T., Mavriplis D., Atkins H.L. (2003) Analysis of p-multigrid for continuous and discontinuous finite element discretizations // AIAA Paper 3989.

74. Hirsch Ch. (2007) Numerical Computation of Internal and External Flows / Elsevier.

75. Hirsch Ch., Wolkov A., B.Leonard B. (2008) Discontinuous Galerkin Method on Unstructured Hexahedral Grids for 3D Euler and Navier-Stokes Equations // 5th. European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008).

76. Houston P., Senior B., Slili E. (2002) hp-Discontinuous Galerkin finite element methods for hyperbolic problems: error analysis and adaptivity. Int. J. Numer. Meth. Fluid, v.40, pp. 153-169.

77. Hughes T.J.R., Brooks A.A (1979) Multidimensional upwind scheme with no crosswind diffusion, in Finite element methods for convection dominated flows. New York: ASME.

78. Hughes T.J.R., Engel G, Mazzei L, Larson M.G. (2000) Te continuous Galerkin method is locally conservative // Journal of Computational Physics, v.163, pp.467-488.

79. Hughes T.J.R., Franca L.P., and HulbertG.M. (1989) A new finite element formulation for computational fluid dynamics: VII The Galerkin/least-squares method for advective-diffusive systems // Comput.Methods Appl. Mech. Engrg, v.73, pp. 173-189.

80. Jespersen D.C., Pulliam T.H., and Buning P.G. (1997) Recent Enhancements to OVERFLOW // Tech. Rep. AIAA-97-0644.

81. Jiang G. and ShuC.-W. (1996) Efficient implementation of weighted ENO schemes // J. Comp. Phys., v. 126, pp. 202-228.

82. Johnson D.A., Bachalo W.D. (1980) Transonic flow past a symmetrical airfoil inviscid and turbulent flow properties // AIAA J. V. 18, p. 16-24.

83. Klaij C.M., van der Vegt J.J.W. and vanderVenH. (2006) Space-time discontinuous Galerkin method for the compressible Navier-Stokes equations, J. Comput. Phys., v.217, Issue 2 , pp. 589-611.

84. Krist S.L., Biedron R.T., and Rumsey C.L. (1998) CFL3D User's Manual (Version 5.0) // NASA TM-1998-208444.

85. Krivodonova L, BergerM. (2006) High-order accurate implementation of solid wall boundary conditions in curved geometries // Journal of Computational Physics v.211, pp. 492-512.

86. Krivodonova L., XinJ., Remacle J.-F., Chevaugeon N., Flaherty J.E. (2004) Shock detection and limiting with Discontinuous Galerkin methods for hyperbolic conservation laws// Applied Numerical Mathematics, v.48.

87. KrollN, Rossow C.-C., Becker K., Thiele F. (1998) MEGAFLOW A Numerical Flow Simulation System// 21stICAS Congress, ICAS.

88. Ladeinde F., Alabi K., Safta C., Cai X. and Johnson F. (2006) The First HighOrder CFD Simulation of Aircraft: Challenges and Opportunities // 44th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, AIAA-Paper 2006-1526, Jan.

89. Larson M.G., BarthT.J. (1999) A-posteriori error estimation for adaptive discontinuous Galerkin approximations of hyperbolic systems. // NAS Technical Report NAS-99-010.

90. LaxP.D. (1954) Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation// Comm. Pure Appl. Math, v.7 No.l, 159-193.

91. Le Balleuer J.C. (1981) Strong Matching Method for Computing Transonic Viscous Flows Including Wakes and Separations // La Recherche Aerospatiale, No.3, pp 21-45.

92. Lee-Rausch E., M. Buning P. G., Morrison J. H., Park M. A., Rivers S. M., Rumsey C. L. (2003) CFD Sensitivity Analysis of a Drag Prediction Workshop Wing/Body Transport Configuration AIAA 2003-3400.

93. Lele S.K. (1992) Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. // J. Comp. Phys., v. 103, pp. 16^42.

94. Léonard B., Patel A., DelanayeM. and HischCh. (2000) All hexahedra unstructured mesh adaptive solver for turbulent flow simulations// Proc. Of the 1 st International Conference on Computational Fluid Dynamica (ICCFD), Kyoto, Japan, July.

95. Lesaint P., Raviart P.A. (1974) On a finite element method to solve the neutron transport equation, in Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations, edited by C.de Boor. New York: Academic Press.

96. LiuX.D., OsherS. and ChanT. (1994) Weighted essentially-non-oscillatory schemes // J. Comp. Phys., v. 115, pp. 200-212.

97. LuoH., BaumJ.D., LôhnerR. (2006) A fast, p-multigrid discontinuous Galerkin method for compressible flows at all speeds // AIAA 2006-110.

98. LuoH., BaumJ.D., LôhnerR. (2007) A Hermite WENO-based limiter for Discontinuous Galerkin method on unstructured grids // AIAA 2007-510.

99. Lyapunov S.V., WolkovA.V. (1996) Application of the Viscous-Invisid Interaction Model to Calculation of Two-Dimensionai Separated Flows // TsAGI Journal, v.2, 1, 1996.

100. Lyapunov S. V., WolkovA.V. (1996) Application of Viscous-Inviscid Interaction Methods for a Separated Flow Calculation About Airfoils and HighLift Systems // ICAS Proceedings, ICAS-96-1.10.2.

101. Lyapunov S.V., WolkovA.V. (2000) Application of Discontinuous Galerkin finite element method to the solution of partial differential equations. Part I. 2D scalar conservation laws. 16th IMACS World Congress. Lausanne-Switzerland. August 21-25.

102. Mavriplis D.J. and Venkatakrishnan V. (1995) Agglomeration Multigrid for Two Dimensional Viscous Flows// Computers and Fluids, v. 24, No. 5, pp. 553570.

103. Mavriplis D.J. and Venkatakrishnan V. (1997) A Unified Multigrid Solver for the Navier-Stokes Equations on Mixed Element Meshes // International Journal for Computational Fluid Dynamics. No. 8, pp. 247-263.

104. Morrison J., HemschM. (2006) "Statistical Analysis of CFD Solutions from the 3rd AIAA Drag Prediction Workshop", 3rd AIAA APA Drag Prediction Workshop.http://aaac.Iarc.nasa.gov/tsab/cfdlarc/aiaadpw/Workshop3/presentations/index.html

105. MiillerU.R., SchulzeB., HenkeH. (1996) Computation of transonic steady and unsteady flow about LANN wing. Validation of CFD codes and assessment of turbulence models, ECARP Report 58, pp. 479-500, Vieweg.

106. Nastase C.R. Mavriplis D.J. (2006) Discontinuous Galerkin Methods Using an hp-Multigrid Solver for Inviscid Compressible Flows on Three-dimensional Unstructured Meshes // AIAA 2006-107.

107. Nielsen E.J., Andersen W.K., Walters R.W., Keyes D. (1995) Application of Newton-Krylov methodology to a three-dimensional unstructured Euler code // AIAA-95-1733.

108. Persson P.-O., PeraireJ. (2006) Sub-cell shock capturing for discontinuous Galerkin method// AIAA 112.

109. Petrovskaya N.B., Wolkov A.V. (2007) The Issues of Solution Approximation in Higher Order Schemes on Distorted Grids. International Journal of Computational Methods// (IJCM) v. 4, No. 2, pp: 367 382.

110. Petrovskaya N.B., Wolkov A.V., Lyapunov S.V. (2006) Modification of Basis Functions in High Order Discontinuous Galerkin Schemes for Advection Equation. Preprint 2006/26. School of Mathematics, Edgbaston, Birmigham B215 2TT, U.K.

111. Petrovskaya N.B., Wolkov A.V., Lyapunov S.V. (2008) Modification of Basis Functions in High Order Discontinuous Galerkin Schemes for Advection Equation. Applied Mathematical Modelling, v. 32, Issue 5, May 2008, pp.826-835.

112. Peyret C. (2007) hp Discontinuous Galerkin Method for Computational Aeroacoustics // AIAA-2007-3475.

113. ReedW.H. and Hill T.R. (1973) Triangular mesh methods for the neutron transport equation// Technical Report LA-UR-73—479. Los Alamos Scientific Laboratory.

114. RedekerG. (1994) DLR-F4 wing body configuration. A selection of experimental test cases for the validation of CFD code // AGARD-AR-303, v.2.

115. RemakiM., Habashi W.G., Ait-Ali-Yahia D. and Jay A. (2002). A 3D discontinuous Galerkin method for multiple pure tone noise problems // AIAA 2002-0229.

116. Reymen Y., De Roeck W., Rubio G., Baelmans M. and Desmet W. (2005) A 3D discontinuous Galerkin method for aeroacoustic propagation. // Twelfth International Congress on Sound and Vibration. ICSV12 Lisbon.

117. Roe P.L. (1981) Approximate Riemann problem solvers, parameter vectors, and difference schemes//J.Comput.Physics. v.43, No-2, 357-372.

118. Ronquist E.V., Patera A.T. (1987) Spectral element multigrid. I. Formulation and numerical results// Journal of Scientific Computing, v.2. No.4.

119. Rumsey C.L., Rivers S. M., Morrison J.H. (2004) Study of CFD variation on transport configurations from the second drag-prediction workshop // AIAA 2004394.

120. SaadY. (2004) Iterative Methods for Sparse Linear Systems. SIAM edition. Имеется в открытом доступе: http://www-users.cs.umn.edu/~saad/books.html.

121. SaadY. and Schultz M. (1986) GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems// SIAM J. Sci. Statist. Comput. 7, 856-869.

122. Saint P. Le, RaviartP. (1974) On a finite element method for solving the neutron transport equation I in: C. de Boor (Ed.), Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations, Academic Press, New York, pp. 89145.

123. Sakovich V.S., SorokinA.M., WolkovA.V., Lyapunov S.V. (1998) Anisotropic unstructured grid generation for 3D flow simulation problems // 6th Int. Conf. on numerical grid generation in computational fluid simulation.

124. ShakibF., Hughes T.J.R., JohanZ., (1989) A multi-element group preconditioned GMRES algorithm for nonsymmetric problems arising in finite element analysis// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 87, pp 415-456.

125. ShuC.W. (2001) Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Term //Advances in Scientific Computing.

126. ShuC.-W. (2001) High Order Finite Difference and Finite Volume WENO Schemes and Discontinuous Galerkin Methods for CFD // NASA/CR-2001-210865, ICASE Report No. 2001-11.

127. Shu C.-W., OsherS. (1988) Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes // Journal of Computational Physics, v.11, pp. 439-471.

128. Shu C.-W., OsherS. (1989) Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes II // Journal of Computational Physics, v.83, pp. 32-78.

129. Spalart P.R., Allmaras S.R. (1992) A One-Equation Turbulent Model for Aerodynamic flows. AIAA-92-0439.

130. Strang G., Fix G. (1973) An analysis of the finite element method. / Prentice Hall, New Jercey.

131. TamC.K.W. and Webb J.C. (1993) Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics // J. Comp. Phys. v. 107, pp. 262.

132. Tolstykh A.I., Lipavskii M.V. (1998) On performance of methods with third-and fifth-order compact upwind differencing// J.Comp.Phys., v. 140, №2, 205-232.

133. Van LeerB. (1979) Towards the ultimate conservative difference schemes V. A second order sequel to Godunov's method// J.Comp.Phys., v.32.

134. Van der Vegt J.J.W, Van der Ven H.(2002) Space-time discontinuous Galerkin finite element method with dynamic grid motion for inviscid compressible flows. I. General formulation // J Comput Phys 2002;v.l82, pp.546-585.

135. Van der Ven H, Van der Vegt J.J.W. (2002) Space-time discontinuous Galerkin finite element method with dynamic grid motion for inviscid compressible flows. II. Efficient flux quadrature // Comput Meth Appl Mech Engrg; v.191, pp. 4747-4780.

136. Vassberg J.C., BuningP.G., RumseyC.L. (2002) Drag prediction for the DLR-F4 wing/body using OVERFLOW and CFL3D on an overset mesh. AIAA-2002-0840.

137. Venditti D.A., Darmofal D.L. (2003) Anisotropic grid adaptation for functional outputs: application to two-dimensional viscous flows // Journal of Computational Physics.

138. Venkatakrishnan V. (1988) Newton solution of inviscid and viscous problems // AIAA-99-0413.

139. Venkatakrishnan V. (1995) Comvergence to steady state solutions of the Euler Equations on Unstructured Grids with limiters // Journal of Computational Physics, v. 118, 120-130.

140. Venkatakrishnan V., Mavriplis D.J. (1993) Implicit solvers for unstructured meshes // Journal of Computational Physics, v. 105, pp.83-91.

141. Venkatakrishnan V., Allmaras S.R., Kamenetskij D.S., Johnson F.T. (2003) Higher order schemes for the compressible Navier-Stolces equations // AIAA-3987.

142. Visbal M.R. and Gaitonde D.V. (2002) On the use of higher-order finite-difference schemes on curvilinear and deforming meshes // J. Comp. Phys., v. 181, pp. 155-185.

143. Vlasenko V., WolkovA., HirschCh., (2007) Computationally effective Discontinuous Galerkin scheme for Linearized Euler Equations // West-East High Speed Flow Field Conference 2007. Moscow, November 19-22.

144. Wang Li, Mavriplis D.J. (2009) Adjoint-based h-p adaptive Discontinuous Galerkin methods for the compressible Euler equations //AIAA 2009-952.

145. Wang Z.J. (2007) High-order methods for the Euler and Navier-Stokes equations on unstructured grids // Progress in Aerospace Sciences v.43, pp 1-41.

146. WigtonL., Young D. (1985) GMRES acceleration of computational fluid dynamics codes// AIAA-1494.

147. Wolkov A., Hirsch Ch., Leonard B. (2007) Discontinuous Galerkin Method on Unstructured Hexahedral Grids for 3D Euler and Navier-Stokes Equations / 18th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference // AIAA Paper 2007- 4078.

148. Wolkov A.V., Lyapunov S.V. (1994) Numerical Prediction of Transonic Viscous Separated Flow Past an Airfoil // Theoretical and Computational Fluid Dynamics, v.6, №1, 49-63.

149. Wolkov A.V., Lyapunov S.V. (1997) A Separated Flow Calculation About Airfoils and High-Lift Systems on Basis of Viscous-Inviscid Interaction Methods // EUROMECH, 3rd European Fluid Mechanics Conference, Book of Abstracts, Gottingen, Germany.