Разработка технологии высокоточных вычислений на базе спектрального метода конечных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Попонин, Владимир Сергеевич

• Попонин, Владимир Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попонин, Владимир Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

1.1 Обзор основных вычислительных приемов, применяемых при решении задач динамики вязкой жидкости.

1.2 Метод взвешанных невязок.

1.3 Численное интегрирование.

1.4 Спектральный метод.

1.5 Обзор основных алгоритмов, применяемых для решения вязких несжимаемых течений.

1.6 Выводы.

ГЛАВА 2. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

2.1 Метод спектральных элементов для одномерных линейных краевых задач математической физики.

2.1.1 Основные определения метода спектральных элементов.

2.1.2 Алгоритм расчета одномерной задачи методом спектральных элементов.

2.1.3 Преобразования координат.

2.1.4 Сшивка решения на гранях элементов.

2.1.5 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

2.1.6 Результаты расчетов.

2.2 Метод спектральных элементов для двумерных линейных краевых задач математической физики.

2.2.1 Алгоритм расчета уравнения Пуассона методом спектральных элементов.

2.2.2 Метод аппроксимации граничных условий Дирихле и Неймана.

2.2.3 Преобразования координат.

2.2.4 Результаты расчетов.

2.3 Выводы.

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

3.1 Движение вязкой проводящей жидкости в круглой трубке с частично проводящими стенками.

3.1.1 Математическая постановка задачи.

3.1.2 Численный расчет течения вязкой проводящей жидкости.

3.1.3 Результаты расчетов.

3.2 Течение электропроводящей жидкости в канале с однородными неидеальными стенками.

3.3 Течение электропроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения.

3.3.1 Математическая постановка задачи.

3.3.2 Результаты расчетов.

3.4 Выводы. элементов.

4.4 Результаты расчетов.

4.4.1 Сопоставление результатов с известным аналитическим решением.

4.4.2 Расчет течения в плоской каверне.

4.4.3 Стационарное течение за уступом.

4.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка технологии высокоточных вычислений на базе спектрального метода конечных элементов»

Актуальность проблемы

Появление вычислительных машин в 60-х годах прошлого столетия стимулировало развитие вычислительных методов в естественных науках, инженерных дисциплинах и в управлении. Появление персональных компьютеров на рубеже 70-80 годов заметно ускорило процессы разработки новых алгоритмов и математических моделей. Дальнейшее развитие вычислительной техники - создание многопроцессорных компьютеров -позволяет успешно решать задачи моделирования сложных физических процессов. В связи с этим, разработка новых математических алгоритмов является важной и актуальной задачей.

Применение вычислительных методов оказалось особенно эффективным для задач динамики жидкости и газа, что позволило получить решения для круга задач, считавшихся ранее неразрешимыми. Связано это с тем, что такие особенности уравнений гидродинамики, как нелинейность, высокий порядок и возникновение разрывных решений, делают вычислительный метод наиболее предпочтительным и эффективным методом исследования.

В 60 - 70х годах 20го века наиболее широкое распространение получили методы конечных разностей [92],[85],[71],[81],[89]. Связано это было с тем, что достаточно правдоподобные аппроксимации данных дифференциальных уравнений можно было получить с небольшими затратами вычислительных ресурсов. Но круг задач, решаемых с помощью этого метода, был не широк и ограничивался интегрированием дифференциальных уравнений в областях простой формы. Для областей сложной геометрической формы приходилось находить преобразования координат, переводящие исходную область интегрирования в область стандартную или каноническую. Недостаток такого подхода очевиден - это отсутствие универсальных алгоритмов преобразования координат, и, как следствие, - наличие задач, для которых такой подход не применим.

Вышеупомянутые недостатки метода конечных разностей привели к разработке новых, более универсальных алгоритмов. Особенно широкое распространение получили методы конечных элементов [59],[83],[4] и методы контрольных объемов [36],[21],[25],[75]. Данные методы позволяют решать сложные инженерные задачи в реальных областях, форма которых далека от канонической. Недостатком метода конечных элементов является отсутствие консервативности, что может привести к нефизическим решениям. Напротив, метод контрольного объема обладает свойством консервативности, что делает данный метод более предпочтительным. Однако, и метод конечных элементов, и метод контрольных объемов обладают существенным недостатком - низким порядком точности, что может оказаться критичным при решении ряда практических задач, например, задач газовой динамики для сопел управления.

В связи со всем вышесказанным, особенно актуальным является разработка вычислительных алгоритмов, позволяющих решать задачи на неструктурированных сетках с высоким порядком аппроксимации.

Два фундаментальных качества производимых вычислений составляют доктрину всей вычислительной математики - это точность и быстродействие расчетов. Если быстродействие может быть увеличено, в том числе, и за счет технических решений, таких как, например, использование многопроцессорной техники или увеличение скоростей обменных процессов в компьютере, то точность повышается, главным образом, за счет применения математических решений. Высокоточные методы были разработаны впервые в конце 70-х начале 80-х годов 20го века, но, в силу достаточно низкой производительности компьютерной техники, не получили широкого распространения.

К высокоточным методам относится спектральный метод [3],[10],[33]. Принцип, лежащий в основе всех сеточных методов, заключается в сведении исходных дифференциальных уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений, которые могут быть решены известными методами [76],[75]. Однако, в спектральных методах [92], [5], [53] процедура, реализующая этот принцип, аналогична используемой в аналитических методах решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. В этом случае решение ищется путём разложения в ряд по некоторой системе ортогональных функций, называемых базисными функциями. Имея представления искомых функций в спектральном пространстве, то есть определив их в виде разложения по базисным функциям, в глобальном спектральном методе строится система интегральных соотношений, получающихся умножением исходных или преобразованных дифференциальных уравнений на тестовую функцию и далее проводится интегрирование по всей области.

Использование глобального спектрального метода ограничено областями простой геометрической формы, что существенно сужает его применимость к реальным физическим процессам. В том числе для надёжного описания физического процесса требуется плотная сетка, покрывающая расчётную область, что приводит к использованию большого числа базисных функций для разложения решения. По причине ограниченных возможностей ЭВМ, использование расширенного набора базисных функций, не даёт повышения качества результатов и во многих случаях, наоборот, приводит хотя и к незначительной, но все же потере точности решений [5],[28]. По указанным выше причинам глобальный спектральный метод не получил широкого распространения.

Метод спектральных элементов основан на тех же самых принципах, что и глобальный спектральный метод. Основное отличие метода спектральных элементов состоит в том, что интегрирование ведётся по части пространства независимых переменных, которую отождествляют с конечным элементом. Учитывая свойства базисных функций, удаётся выразить все интегралы через нули и веса наивысших аппроксимирующих полиномов. Таким образом, мы приходим к системе алгебраических уравнений для определения значений искомой функции в узлах сетки, определённой способом построения конечно-элементного разбиения и положением нулей наивысших полиномов на каждом из элементов разбиения. В таком случае для достижения необходимой точности расчётов и плотности сетки, накрывающей расчётную область, нет необходимости использовать излишне большое число базисных функций на каждом из элементов. Весь комплекс этих мер приводит к существенной экономии вычислительных ресурсов без потери спектральной точности и даёт возможность проводить вычисления в геометрически сложных областях реалистичной формы.

Целью исследования является построение математического аппарата, позволяющего получать решения высокого порядка точности в областях сложной геометрии для плоских задач динамики вязкой жидкости.

Основные задачи исследования состоят в следующем:

1. Обобщить метод спектральных элементов и расширить область его использования в реальных инженерных и физических задачах.

2. Разработать алгоритм решения плоских линейных краевых задач на основе обобщенного метода спектральных элементов.

3. Разработать алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости на основе обобщенного метода спектральных элементов.

Научная новизна работы определяется следующими положе-ниями:

1. Разработан обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана, позволяющий повысить точность и качество решений плоских линейных и нелинейных задач динамики вязкой жидкости по сравнению с аналогами.

2. На основе обобщенного спектрального метода разработан алгоритм решения плоских линейных краевых задач.

3. На основе обобщенного спектрального метода разработан алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости.

4. Предложен способ решения системы линейных алгебраических уравнений, позволяющий существенно сократить время расчета за счет подбора предобуславливающей матрицы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Обобщенный метод спектральных элементов, использующий универсальную технику реализации неоднородных граничных условий Дирихле и Неймана.

2. Алгоритм решения плоских линейных краевых задач обобщенным методом спектральных элементов.

3. Алгоритм решения плоских нелинейных задач динамики вязкой жидкости обобщенным методом спектральных элементов.

4. Способ решения систем линейных алгебраических уравнений, получающихся при дискретизации уравнений Навье-Стокса обобщенным методом спектральных элементов.

5. Результаты моделирования течения вязкой жидкости в прямоугольной каверне, в канале за уступом, а также результаты моделирования течения Коважного.

Достоверность полученных результатов следует из корректной математической постановки задачи, а также обеспечивается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

Теоретическая значимость. Разработанный обобщенный метод спектральных элементов открывает широкий спектр возможностей применения высокоточных вычислений в различных областях науки и техники, в частности, в исследовании турбулентных течений. Кроме того, задача обобщения вышеупомянутого метода на случай трёх независимых переменных выглядит вполне разрешимой.

Практическая значимость. Метод спектральных элементов позволяет получать решения плоских задач динамики вязкой жидкости с высоким порядком точности на грубых неструктурированных сетках. Данный метод позволяет очень точно аппроксимировать решения в областях с большими градиентами, что, в свою очередь, позволяет учитывать тонкие физические эффекты и моделировать истинное поведение решения. Метод спектральных элементов, в отличие от метода конечных разностей, может быть использован для решения задач в областях сложной формы, и, в отличие от метода конечных элементов и контрольных объемов, имеет экспоненциальную скорость сходимости приближенного решения к точному. Решения, полученные с использованием метода спектральных элементов, служат для тестирования алгоритмов локальной аппроксимации, а также могут иметь самостоятельное значение для разработки высокоточных приборов и систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на 4 конференциях, в том числе на двух международных, одной всероссийской, а также на 100-м юбилейном семинаре «Численные методы решения задач механики сплошной среды» в г. Кемерово. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 7 работах, в том числе в 2-х журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 115 е., в том числе 107 с. основного текста с рисунками. Список цитируемой литературы содержит 92 названия.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Попонин, Владимир Сергеевич

4.5 Выводы

Таким образом, в данной главе задача определения компонент скорости переформулирована для пространства функций Соболева, известный метод проекций применен для случаев спектрального представления искомых функций, отработана технология реализаций граничных условий Дирихле и

Неймана для функции давления. В целом, по результатам работ, выполненных в четвертой главе, сконструирован вычислительный алгоритм, использующий неструктурированные сетки, преобразования координат и спектральные разложения искомых функций, позволяет получать высокоточные решения нелинейных эллиптических задач с нелинейностью типа конвективного члена, характерной для уравнений Навье - Стокса. Такие решения могут иметь самостоятельное значение, если нас интересуют тонкие эффекты, сопровождающие исследуемый процесс или же они могут применяться как тестовые результаты при построении алгоритмов метода конечных разностей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе представлена и реализована идея метода спектральных элементов на примере линейных одномерных и двумерных задач, а также на примере нелинейных плоских задач динамики вязкой жидкости. Метод позволяет использовать грубые неструктурированные сетки и при этом добиваться высокой точности вычислений. В работе описана техника реализации граничных условий Неймана и неоднородных условий Дирихле, заимствованная из метода конечных элементов. Указанная техника опирается на идею подстановки граничных условий в основную интегральную формулу метода спектральных элементов. Это позволяет получить схему согласованного с условиями на границе расчета коэффициентов, получающуюся в результате применения спектрального метода, системы алгебраических уравнений. Показана высокая точность и спектральная сходимость метода при численном решении ряда линейных задач, имеющих аналитическое решение. Для нелинейных процессов динамики вязкой жидкости задача определения компонент скорости переформулирована для пространства функций Соболева, а известный метод проекций модифицирован на случай спектрального представления искомых функций. Отработана также технология реализации граничных условий для функции давления. Метод опробирован на точном решении уравнений Навье-Стокса, полученным Коважным. При этом удалось подтвердить возможноть повышения точности вычислений как за счет увеличения числа элементов разбиения области интегрирования, так и за счет увеличения степени аппроксимирующих полиномов, так и за счет роста количества глобальных итераций, реализующих нелинейность типа конвективного члена.

Необходимо отметить, что имеется спектр возможностей для обобщения предложенной технологии на случаи нелинейностей типа переменности теплофизических свойств и типа источникого члена. Наряду с этим хотелось бы добавить, что на взгляд автора, задача обобщения представленной в работе технологии на случай трех независимых переменных выглядит вполне разрешимой. При этом, весь опыт, накопленный по триангуляции пространственных областей, без особенных затруднений может быть использован в технологии метода спектральных элементов. Для этого достаточно каждый из конечных элементов, имеющих вид тетраэдра, разбить на шестигранники способом, аналогичным разбиению треугольников на четырехугольники. Не возникает принципиальных трудностей при построении отображений элементарных шестигранников на единичный куб, а также при построениисистемы ортогональных на единичном кубе аппроксимирующих полиномов.

В заключение автор хотел бы выразить глубочайшую благодарность своему научному руководителю профессору Бубенчикову Алексею Михайловичу за помощь, терпение и постоянное внимание, оказываемые при выполнении работы. Автор выражает признательность научному консультанту доценту Фирсову Дмитрию Константиновичу за полезные советы, замечания и конструктивную критику, а также выражает благодарность своим друзьям и коллегам по работе - Руденко Олегу Викторовичу, Тюлькину Евгению Степановичу, Жукову Андрею Петровичу за неоценимую помощь в освоении программирования и численных методов, а также всем сотрудникам кафедры теоретической механики за оказанную поддержу. Автор особенно благодарен профессору Афанасьеву Константину Евгеньевичу за ценные замечания и указание недостатков в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попонин, Владимир Сергеевич, 2007 год

1. Andersen J. Computational Fluid Dynamics, New York, 1996, 563p.

2. Armaly B, Durst F, Pereira F., Schonung B. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow II J. Fluid Mech. 1983, V. 127, № 473.

3. Bailey, F.R. // Overview of NASA's Numerical Aerodynamic Simulation Program. Vol. 1, p.21-32.

4. Baker A. Finite Element Computational Fluid Mechanics // Hemisphere Publishing Corporation, 1983, p.510.

5. Boyd J. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Second Edition, University of Michigan, 2000.

6. Canuto C, Hussaini M, Quarteroni A, Zang A. Spectral Methods in Fluid Dynamics // Springer Verlag, Berlin, 1988.

7. Demaret P., Deville M. Chebyshev pseudospectral solution of the stokes equations using finite element preconditioning // J. Computational Physics, 83, 1989, p. 463-484.

8. Deville M., Fischer P., E. Mund. High-order methods for incompressible fluid flow. Cambridge University Press, 2002.

9. Fornberg B. A practical guide to pseudospectral methods. Cambridge University Press, 1996.

10. Fournier A. Spectral Element Method Parti: Numerical algorithm. // Annual Conf. CMD, Canada, 6,2000.

11. Fox R., McDonald A. Introduction to fluid mechanics. John Wiley & Sons, Inc, fourth edition, 1994.

12. Freund R.W., Golub G.H., Naehtigal N.M. QMR: a quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems //Numer. math., 60, 1991, pp. 315 339.

13. Funaro D. Polynomial approximation of differential equations. Lecture notes in physics. New York, Springer-Verlag, 1992.

14. Funaro D., Heinrichs W. Some results about the pseudospectral approximation of one dimensional forth-order problems //Numer. Math., 58, 1990, pp. 399-418.

15. Hartman J., Lazarus F. Hg. DynamicsII. Det. Kgl. Danare. Vidensrab. Selsra // Math.-fys. Medd., 1937. Bd.15, №7.

16. Heinrich W. A spectral multigrid methods for the stokes problem in streamfiinction formulation // Comput. Phys., 102,1992, pp. 310 318.

17. Heinrich W. Spectral collocation schemes on the unit disk // Comput. Phys., 199, 2004, pp. 66 86.

18. Heinrich W. Spectral shemes on triangular elements. // J Comp. Physics, 1998.

19. Heinrich W. Stabilization techniques for spectral methods // Sei. Comput., 6, 1991.

20. Helenbrook B. A Two-Fluid Spectral Element Method. Department of Mechanical and aeronautical engineering, 1999.

21. Hubbard M. Multidimensional Slope Limiters for MUSCL-Type Finite Volume Schemes on Unstructured Grids // Journal of Computational Physics, 1999, V.l 55, P.54-74.

22. Hunt J.C.R. Magneto hydrodynamic flow in rectangular ducts. // Fluid Mech. 1965, V. 21, part 4, p. 577-590.

23. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields.// Bull. Sei. and Engng Res. Lab. Waseda Univ., 1963, v. 22, p. 1-9.

24. Jan Jin. Attractiors and error estimates for diskretization of incompressible Navier-Stokes equations // SIAM. J. Numer. Anal. 1996. V. 33. № 4 P. 1451-1472.

25. Ji-Wen Wang, Ru-Xu Liu. A comparative study of finite volume methods on unstructured meshes for simulation of 2D shallow water wave problems // Mathematics and Computers in Simulations. 2000. V.53. P.171-184.

26. Junk M, Rao S. A new discrete velocity method for Navier-Stokes Equations. // Journal of computational physics 155, p. 178-198,1999.

27. Kim J., Choi H. Distributed forsing of flow over a circular cylinder // Physics of Fluids, 17,2005.

28. Lee I. An 0(n log n) solution algorithm for spectral element methods, 2003.

29. Low M., Perktold K., Raunig R. Hemodynamics in rigid and distensible saccular aneurysm: A numerical study of pulsate flow characteristics // Biorheology. 1993. V.30. P. 287-298.

30. Ollivier-Gooch C, Altena M. A high-order-Accurate Unstructured Mesh Finite-Volume Scheme for the Advection-Diffusion Equation // Journal of Computational Physics, 2002, V. 181, P. 729-752.

31. Orszag S. Spectral methods for problems in complex geometries // Comput. Phys.,37,1980, pp. 70-92.

32. Ozawa S. Numerical studies of steady flow in a two-dimensional square cavity at high Reynolds numbers // J. Phys. Soc. Jpn 1975, V 38, p.889.

33. Pasquetti R. Spectral Element Methods on triangles and quadliterals: comparisons and applications. Universite de Nice, 2001.

34. Peyret R. Spectral methods for incompressible viscous flow //Appl. Math. Sci., 2002.

35. Phyllips T. Multidomain collocation methods for the stream functionformulation of the Navier-Stokes equations // Sci. Comput., 16, 1995, pp. 773 797.

36. Piller M, Stalio E. Finite-volume compact schemes on staggered grids // Journal of Computational Physics, 2004, V. 197(1), P.299-340.

37. Piquet J., Vasseur X. Multigrid Preconditioned Krylov Subspace Method for Three-dimensional Numerical Solutions of the Incompressible Navier-Stokes Equations //Numerical Algorithms. V. 17. 1998. № 1,2. P. 1-32.

38. Press W, Vetterling W. Numerical Receipes in C++. Cambridge University Press, 2002.

39. Priymak V., Miyazakiy T. Accurate Navier-Stokes investigation of transitional and turbulent flows in a circular pipe // Comput. Phys., 142, 1998, pp. 370-411.

40. Raspo I. A direct spectral domain decomposition method for the computation of rotating flows in a t-shape geometry // Computers and Fluids, 32, pp. 431 -456,203.

41. Rhie C, Chow W. Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation //AlAA Journal. 1983. V. 21. № 11. P. 1525-1532.

42. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2000.

43. Saad Y. Krylov subspace methods for solving large unsymmetric linear systems // Math. Comp., 37,1981, pp. 105 126.

44. Saad Y., Schultz A. GMRES: a general minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // Sci. and Statist. Computations, 7,1986, pp. 856 -869.

45. Schultz W., Lee N., Boyd P. Chebyshev pseudospectral method of viscous flows with corner singularities // Sci. Comput., 4, 1989.

46. Shen Jie. On new pseudocompressibility method for the incompressible Navier-Stokes equations //Appl. Numer. Math. 1996. V. 21. № 1. P. 71-90.

47. Shen J. A new fast chebyshev-fourier algorithm for poisson-type equations inpolar geometries // Appl. Numer. Math., 33,2000, pp. 183 190.

48. Shercliff J.A. Steady motion of conducting fluids in pipes under traverse magnetic fields. // Proc. Cambrige. Philos.Soc., 1953, v. 49, № 1, p. 136-144.

49. Shercliff J.A. Steady motion of conducting fluids in circular pipes under traverse magnetic fields. // J. Fluid Mech., 1956, v.l, part 6, p. 644-666.

50. Shewchuk J. Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation // Computational Geometry, 2002, V.22, P. 21-74.

51. Torres D., Coutsias E. Pseudospectral solution of the two-dimensional navier-stokes equations in a disk// Sci. Comput, 21, 1999, pp. 378-403.

52. Trujillo J., Karniadakis G. A penalty method for the vorticity-velocity formulation // Comput. Phys., 149,1999, pp. 32 58.53. van de Vosse F. Spectral Element Methods: theory and application, 1999.

53. Wan D, Patnaik V, Wei W. Discrete Singular Convolution-Finite Subdomain Method for the Solution of Incompressible Viscous Flows // Journal of Computational Physics 2002, V. 180, p. 229-255.

54. Wang Z. Spectral (finite) volume method for conservation laws on unstructered grids // Comp. Phys., 178, 2002, pp. 210 251.

55. Wright J, Smith R. An Edge-Based Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations on Polygonal Meshes // Journal of Computational Physics, 2001, V. 169, P. 24-43.

56. Xua C., Pasquetti. On the efficiency of semi-implicit and semi-lagrangian spectral methods for the calculation of incompressible flows // Numer. Meth. Fluids, 35, pp. 319-340, 2001.

57. Yin Z. A new parallel strategy for two dimensional incompressible flow simulations using pseudospectral methods // Comput. Phys., 210 : 325 341,2005.

58. Zienkiewicz O.C. The finite Element Method: Fluid Dynamics, Oxford, 2000.

59. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Поионин B.C. Движение вязкой проводящей жидкости в круглой трубке в скрещенном электромагнитном поле // Математическое моделирование, 2005, том 17, №5, с. 3 9.

60. Бубенчиков А. М., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Течение проводящей жидкости в тонких трубках в поперечном магнитном поле // Математическое моделирование, 2003, т. 15, номер 9, с. 75-87.

61. Бубенчиков А. М., Ливаев Р. 3. Некоторые автомодельные задачи магнитной гидродинамики // Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации. 2001, №4, с. 32-35.

62. Бубенчиков А. М., Попонин В. С. Метод граничных элементов для решения задач динамики вязкой жидкости в каналах // Международная конференция по математике и механике. Томск, 2003, 145- 153.

63. Бубенчиков A.M., Попонин B.C. Спектральный метод решения плоских краевых задач // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации «Вычислительная гидромеханика», 2006, №81, с. 21 -37.

64. Бубенчиков A.M., Попонин B.C., Колесникова A.B. Течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками // Вычислительные технологии, 2006, т. 11, №1, с. 26 34.

65. Бубенчиков A.M., Попонин B.C., Фирсов Д.К. Расчет неизотермического течения вязкой жидкости в каналах сложного профиля поперечного сечения// Международная конференция по математике и механике. Томск, 2003, с. 153 -165.

66. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Численное исследование вихревых структур в прямоугольной каверне // Вычислительная гидродинамика. Томск, 1999, с. 8-14.

67. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К., Котовщикова М.А. Численное решение плоских задач динамики вязкой жидкости методом контрольных объемов на треугольных сетках. //Математическое моделирование. 2007, т. 19, № 4

68. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитодинамические течения в каналах. М.: Наука, 1970.

69. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400с.

70. Елизарова Т. Г. Математические модели и численные методы в динамике газа и жидкости. Подходы, основанные на системах квазидинамических уравнений // М.: Физический факультет МГУ, 2005.

71. Елизарова Т. Г., Серегин В.В. Аппроксимация квазидинамических уравнений на треугольных сетках // Вестник Московского Университета, серия 3. Физика. Астрономия, 2005. № 4, с. 15-18.

72. Икрамов X. Д. Разреженные матрицы // Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 20, 1982, с. 179 260.

73. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Издательство Института Математики, 2000-345с.

74. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Наука, 1995.

75. Ильин В. П. Численный анализ. Часть 1. Новосибирск, 2004.

76. Kapo К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981.607 с.

77. Куликовский А.Г. О модельных стационарных течениях проводящей жидкости при больших числах Гартмана. «Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа», 1968, №2, с.3-10.

78. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 740с.

79. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536с.

80. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152с.

81. Полежаев В.И., Простомолотов А.К., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в задачах гидромеханики и тепломассообмена. Технологические приложения. //Численные методы и приложения: Труды международной конференции. София. 1989 С. 375-384.

82. Попонин B.C., Фирсов Д.К. Вычислительная технология построения высокоточных решений краевых задач математической физики // V Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск: ТПУ, 2007.

83. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. -552с.

84. Симуни Л.М. Численное решение задач теплообмена при неизотермическом течении вязкой жидкости в плоской трубе // Инженерно-физич. журнал, 1966. Т. 10, №1, с. 89-91.

85. Тананаев A.B. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат, 1979,428 с.

86. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир.1981.

87. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применения в задачах аэрогидродинамики, М. 1986 г.

88. Фирсов Д.К. Расчет течения несжимаемой жидкости на неортогональной неразнесенной сетке // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. Т. II. С. 156-160.

89. Фирсов Д.К., Бубенчиков A.M. Алгоритм расчета течений ньютоновской жидкости в естественных переменных в неортогональной системе координат на неразнесенной сетке. Библиогр. 11 назв. Деп. в ВИНИТИ 27.12.00 №3285-В00.

90. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991.