Математическое моделирование волновых процессов в гетерогенных средах с помощью сеточно-характеристического метода и наложенных сеток с выделением неоднородностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Митьковец Иван Анатольевич

• Митьковец Иван Анатольевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Митьковец Иван Анатольевич

Введение

Глава 1. Определяющие уравнения

1.1 Введение

1.2 Система уравнений линейной теории упругости

1.3 Граничные условия

1.4 Модель двух береговой трещины Шонберга

1.5 Вейвлет Рикера

Глава 2. Численные методы

2.1 Сеточно-характеристический метод

2.2 Конечно-разностная схема

2.3 Модель трещины Шонберга, применительно к сеточно-характеристическом методу

2.4 Контактные граничные условия

2.5 Наложенные сетки

2.6 Сеточная интерполяция

Глава 3. Реализация не однороднойстей

3.1 Явный учет геологических неоднородностей применением наложенных сеток

3.1.1 Полая пора

3.1.2 Включение инородного упругого материала

3.1.3 Повернутая трещина

3.2 Результаты применения наложенных сеток, для явного учета геологических неоднородностей

3.2.1 Реализация 1: Полая пора

3.2.2 Реализация 2: Включение инородного материала

3.2.3 Реализация 3: Тонкая трещина

3.3 Исследование точности и применимости предлагаемого подхода . 53 3.3.1 Сравнение с другими решениями

3.3.2 Исследование симметричности явного учета пористой неоднородности с применением наложенной сетки

3.3.3 Исследование симметричности явного учета включения инородного материала с применением наложенных сеток

3.3.4 Исследование применимости наложенных сеток и верификация моделирования наклонной трещины, при численном решении задачи распространения упругих волн

Глава 4. Численное решение ряда задач распространения

упругих возмущений в гетерогенных геологических средах

4.1 Моделирование сегмента реалистичной пористой породы

4.2 Прохождение фронта плоской волны через пористый слой

4.3 Моделирование слоистой геологической среды, содержащей множественные трещиноватые включения

4.4 Моделирование гетерогенной геологической среды, содержащей различные включения

4.5 Межпроцессорная декомпозиция вычислений при явном учете геологических неоднородностей с применением наложенных сеток

4.6 Исследование зависимости анизотропии отклика волны отраженной кластером наклонных трещин, от дисперсии угла наклона

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование волновых процессов в гетерогенных средах с помощью сеточно-характеристического метода и наложенных сеток с выделением неоднородностей»

Введение

Численные методы решения динамических задач механики сплошных сред, в настоящее время имеют широкое применение при исследовании практических задач. Таких, как поиск полезных ископаемых, исследование свойств композитных материалов, моделирование поведения механических систем, анализ сейсмической активности земной коры. Частными случаями являются поиск и исследование нефтегазовых месторождений средствами сейсморазведки, которые остаются одними из основных методов исследования данной области, на ряду с электромагнитными и гравиметрическими. Такие месторождения на прямую связанны с наличием пористых и трещиноватых неоднородностей в геологических структурах. Ведущим методом интенсификации добычи нефти и природного газа остается гидроразрыв пласта. Современные методики гидроразрыва состоящие из десятков стадий, позволяют возобновить добычу, даже в месторождениях, которые десятилетия считались выработанными. Геофизические данные получаемые сейсморазведкой, позволяют проводить моделирование гидроразрыва пласта, что необходимо для корректировки технологии относительно отдельно взятого месторождения. Учет расположения существующих трещин, а так же параметров трещиноватости и пористости породы в разрабатываемой области, которые можно получить средствами сейсморазведки, позволяют контролировать форму создаваемого разрыва. Необходимость контроля формы создаваемой трещины, обуславливается риском образования заторов в образованных каналах, что приводит к их закупориванию и снижению эффективности разработки месторождения. Геологические структуры с трещинами и порами активно используются для хранения нефти и газа в настоящее время. Эти структуры называются подземными хранилищами и могут быть естественными или созданными человеком. Их использование представляет собой эффективный способ стратегического сохранения нефтегазовой продукции.

Методы сейсморазведки основываются на обработке данных получаемым на геофонных станциях, в результате распространения упругих волн вызванных естественными процессами в земной коре или спровоцированными человеком (заряды взрывчатых веществ, вибрационный источник и т.п.). На

основе построенных на таких данных сейсмограмм, решается обратная задача моделирования распространения упругого возмущения в гетерогенной геологической среде. Такое решение позволяет восстановить структуру и геологические свойства исследуемой области под поверхностью. Итеративная работа над увеличением точности моделирования распространения упругих возмущений в трещиноватой либо пористой среде, позволяет повышать точность решения обратной задачи сейсморазведки и достигать более детального описания геологических характеристик потенциальных или действующих нефтегазовых месторождений.

В процессе распространения упругих волн через среду с присущими неоднородностями, такими как поры или трещины, наблюдается ослабление возмущений. Это явление обусловлено не только потерей плотности энергии вследствие расширения фронта волны и трения зернистых материалов, но также и частичным отражением упругой волны от подобных неоднородностей [1]. Величин данного эффекта определяется пористостью среды, формой и размерами трещин, пор, их взаимным расположением, а также материалом, которым заполнены последние. Учитывая, что все эти параметры могут значительно варьироваться в реальных геологических породах, их необходимо принимать во внимание при создании реалистичных моделей среды [2]. При разработке соответствующих математических моделей и численных методов, рассмотрение данных факторов является крайне важным. Следует отметить, что в дополнение к разнообразию параметров, неоднородности могут проявляться и в результате динамических процессов, таких как тектонические движения, гидроразрыв и процессы карстообразования. Поэтому, важность интегрирования этих аспектов в модели и численные методы усиливается с учетом изменчивости и сложности естественных условий.

В настоящее время существует несколько подходов к учету наличия трещиноватых включений в процессе моделирования распространения волн упругих возмущений в реалистичных геологических структурах. Один из самых популярных - математический подход, основанный на модели линейного скольжения Шонберга (ЬБЫ) представлена в статье [3], и позже приобрела экспериментальное подтверждение в [4; 5]. Однако для моделирования зоны с разломами, использование анизотропных моделей [6] является наиболее эффективным на больших длинах волн, но не учитывает большинство характеристик. Другим подходом, имеющим альтернативные

преимущества, для моделирования зоны с разломами является эксплицитный подход [7]. Были рассмотрены и другие подходы, такие как добавление дополнительных узлов в работах [8; 9], а также использование вспомогательных вычислительных сеток для описания распространения волн внутри разлома [10].

В научных исследованиях используются различные теоретические модели пористых сред, среди которых наиболее известна классическая модель Гассмана [11; 12]. Она позволяет определить связь между упругими параметрами насыщенной жидкостью или газом пористой среды. В рамках модели Гассмана предполагается, что упругие свойства пористой среды могут быть описаны аналогично однородному изотропному материалу. Для этого предполагается, что порода состоит из твердого каркаса, равномерно распределенного жидкого или газообразного флюида. Исходя из этого предположения, производится расчет эффективных параметров среды, описывающих упругие свойства материала, таким образом можно получить продольную или поперечную скорость упругой волны. Однако следует учитывать, что предположения, заложенные в модель Гассмана, накладывают определенные ограничения на ее применение. В первую очередь, это связано с частотой распространения сигнала, которая, при достаточно высоких значениях, не позволяет описывать упругие характеристики двухфазных сред. Это происходит из-за отсутствия учета влияния движения флюида относительно твердого каркаса. Такое влияние механики пор учитывается в твердожидкостной модели Био, которая может описывать пористые среды, в этой модели жидкая и твердая фазы имеют схожую плотность [13]. Таким образом, для анализа упругих свойств пористых сред на высоких частотах более подходящей является модель Био. В модели Био, как и в модели Гассмана, поры представляют собой равномерно распределенные по всему объему среды полости. Тем не менее в модели Био также учитывается частота проходящей волны и движение вязкой жидкости в порах. На основе этой модели были разработаны другие модели, которые учитывают такие свойства жидкости, как проницаемость и углы падения, например, модели Squirt и BISQ [14—17]. Также существует частично насыщенная модель [18; 19], которая основана на модели Био.

В исследованиях [20—22] также было обращено внимание на затухание продольных волн в частично насыщенных породах. Некоторые породы

обладают анизотропией, которая может значительно влиять на их свойства. Для учета этого эффекта была разработана обобщенная модель Био для анизотропных вязкоупругих сред, представленная в работе [23]. Эта модель позволяет описывать анизотропные характеристики породы и учитывать их при проведении экспериментов в области физики пород и горных работ. Кроме этого, в работах [24—26] был представлен микроструктурный подход к аналитическому изучению затухания и дисперсии волн, проходящих через пористую среду. Для описания такой среды использовалось представление пор в виде эллипса с заданным соотношением полуосей и пористостью (долей объема, занимаемого полостями пор). Этот подход позволяет учитывать анизотропные свойства породы, так как в природе существуют породы с различными геометрическими формами и размерами пор.

В работе [27] была представлена нелинейная теория фильтрации, на основе которой была разработана линеаризованная модель Доровского [28]. Эта модель использует скорости распространения упругих волн и требует, в ней используется три параметра для описания пористой среды, в отличие от модели Био, где используется четыре параметра. Таким образом, модель Доровского имеет преимущества перед моделью Био. Однако следует обратить внимание на то, что несмотря на преимущества, модель Доровского не может точно описывать волны Стоунли при различных частотах, как отмечено в работе [29]. Поэтому, для более точного описания волн Стоунли может потребоваться использование других моделей или уточнение параметров модели Доровского.

Существуют сложные зависимости между скоростью прохождения упругой волны и пористостью, вызванные неоднородной структурой пор и микротрещин [30]. Тем не менее существует целый ряд новых исследований, которые показывают, что классические формулы не всегда могут достаточно точно описать такие зависимости. В работе [31] было продемонстрировано, что степенная зависимость скорости прохождения упругой волны от соотношения полуосей эллипса, описывающего поры, не выявлена для поверхностных волн. Более того, в статье [32] исследуется чувствительность продольной скорости упругой волны к соотношению сторон пор, отмечается различие скорости для породы с иглообразными и сферическими порами при одинаковых макропараметрах, а также отмечается влияние насыщающего флюида (газа или жидкости). Эти результаты указывают на то, что для полного понимания

процесса распространения упругих волн в пористых средах необходимо учитывать более сложные зависимости. Кроме того, важность учета распределения пор по размерам и толщине их стенок была продемонстрирована при помощи моделирования на микроуровне в работе [33]. В этой статье авторы показывают, что учет распределения пор по размерам и толщине их стенок может значительно повысить точность моделирования, что, в свою очередь, может привести к более точным результатам.

Таким образом развитие численных механико-математических моделей и численных методов для численного решения задач распространения динамических возмущений в гетерогенных геологических средах является актуальной задачей.

Цель данной работы заключается в разработке модификации численного метода для решения задачи моделирования упругих динамических процессов сеточно-характеристическим методом в условиях гетерогенной среды, обусловленной высокой плотностью пористых и трещиноватых включений. В рамках данной модификации сеточно-характеристического метода использованы наложенные сетки с целью явного выделения неоднородностей для более точного моделирования сложных волновых процессов. Реализован программный комплекс, позволяющий производить моделирование распространения упругих волн с применением предлагаемой модификации. На основе реализованного программного комплекса, исследована точность и применимость разработанных алгоритмов, для задач моделирования распространения волн упругих возмущений сеточно-характеристическим методом, в средах содержащих пористые и трещиноватые неоднородности, включения инородных материалов.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработка модификации сеточно-характеристического метода на структурированных расчетных сетках с применением наложенных сеток, для численного решения прямой задачи сейсморазведки с явным учетом трещиноватых и пористых неоднородностей, включений инородного материала.

2. Разработка физико-математической модели геологических структур содержащих слой пористых включений, с явным учетом отдельных неоднородностей.

3. Исследование точности и применимости разработанных модификаций сеточно-характеристического метода, изучение данных полученных в результате проведения вычислительных экспериментов по моделированию распространения упругих волн в присутствии отдельных геологических неоднородностей.

4. Верификация разработанной модели пористого слоя, проверкой согласованности результатов численного моделирования с аналитическими моделями.

5. Разработка и тестирование алгоритмов параллельных вычислений применительно к разработанным модификациям сеточно-характеристического метода.

6. Реализация модификаций сеточно-характеристического метода, в виде программного комплекса, для проведения вычислительных экспериментов позволяющих моделировать распространение упругих возмущений в гетерогенных геологических средах с применением наложенных сеток.

Научная новизна:

1. Предложена модификация сеточно-характеристического метода на структурированных расчетных сетках с применением наложенных сеток, для явного учета трещиноватых и пористых неоднородностей, включений инородных материалов различных форм, при моделировании распространения упругих волн в геологических структурах.

2. Предложена модель гетерогенной геологической среды, содержащей пористый слой бесконечной ширины.

3. Произведена верификация разработанной модификации сеточно-характеристического метода, для явного учета трещиноватых и пористых неоднородностей, путем сравнения результатов численного моделирования с существующим численным решением.

4. Предложенная модель пористого слоя, была реализована при помощи разработанной модификации сеточно-характеристического метода и верифицирована путем сравнения результатов численного

моделирования распространения упругих волн, с результатами аналитических моделей.

5. Предложены и протестированы параллельные алгоритмы для численного решения прямой задачи сейсморазведки с явным учетом геологических неоднородностей.

6. Разработанные модификации сеточно-характеристического метода реализованы в виде программного комплекса. Программный комплекс позволяет производить численное решение прямой задачи сейсморазведки с явным учетом различных неоднородностей.

7. Получено численное решение ряда задач сейсморазведки в гетерогенных геологических средах, содержащих пористые и трещиноватые включения.

Научная и практическая значимость заключается в том что полученные в работе результаты предоставляют возможность в процессе численного моделирования распространения упругих возмущений в геологической среде учитывать такие неоднородности, как трещины, поры и включения инородного материала. В частности, предложенные модификации позволяют явно учитывать каждую отдельную неоднородность, что повышает точность моделирования распространения упругих волн в геологической среде. Была разработана постановка задачи моделирования распространения упругих волн в геологической среде, содержащей пористый слой, с использованием данного подхода. Это позволяет учитывать различные комбинации и конфигурации геологических неоднородностей для различных постановок задач. В целях численного решения прямой задачи сейсморазведки разработан программный комплекс, позволяющий численно решать задачи с различными комбинациями геологических неоднородностей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработана модификация сеточно-характеристического метода на структурированных расчетных сетках с применением наложенных сеток, для явного учета трещиноватых и пористых неоднородностей, включений инородных материалов различных форм, в задачах моделирования распространения упругих волн в геологических структурах.

2. Разработана вычислительная модель гетерогенной геологической среды, содержащей пористый слой бесконечной ширины.

3. Показаны результаты верификации явного учета трещин и пор с применением наложенных сеток.

4. Проведено сравнение результатов численных расчетов, проведенных с использованием вычислительной модели гетерогенной геологической среды, содержащей пористый слой с существующими аналитическими моделями.

5. Разработан параллельный алгоритм сеточно-характеристического метода с использованием наложенных сеток на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

6. Разработан программный комплекс, позволяющий производить численное решение прямой задачи сейсморазведки в гетерогенных геологических средах содержащих трещиноватые и пористые неоднородности, включения инородных упругих материалов.

7. Выполнено численное решение ряда задач с помощью реализованных модификаций численных методов. Постановки задач включали в себя сложные модели гетерогенных геологических сред, с множеством различных неоднородностей.

Степень достоверности полученных результатов гарантируются использованием верифицированных и протестированных численных методов, алгоритмов и расчетных программ. Для этого применены численные методы, обладающие свойствами сходимости (аппроксимация устойчивости) при решении системы дифференциальных уравнений в частных производных. Особое внимание было уделено проверке полученных результатов с использованием сторонних программных пакетов и аналитических моделей. Полученные данные после проведенных исследований согласуются с результатами, полученными другими учеными и сопоставлены с результатами их численных экспериментов.

Апробация работы.Основные результаты работы докладывались на:

1. Научных семинарах Кафедры информатики и вычислительной техники МФТИ.

2. The 3rd BRICS Mathematics Conference (Казань, 2019).

3. 62-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2019).

4. 2019 Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications (Долгопрудный, 2019).

5. EAGE 2020 Annual Conference & Exhibition Online (Онлайн, 2020).

6. 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2020).

7. 2020 Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications (Сочи, 2020).

8. Математические идеи П. Л. Чебышёва и их приложения к современным проблемам естествознания (Обнинск, 2021).

9. 64-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2021).

10. 2021 Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications (Долгопрудный, 2021).

11. 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2023).

12. 10th International Conference "Distributed Computing and Grid Technologies in Science and Education"(GRID'2023) (Дубна, 2023).

Личный вклад. Все представленные в диссертации результаты являются оригинальными и получены автором лично или при его непосредственном участии. Приведенные в диссертации результаты являются актуальными, используются и развиваются как российскими, так и зарубежными научными группами. Автор принимал активное участие в разработке программного комплекса.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 4 из которых изданы в периодических научных журналах: 3 - в изданиях индексируемых Scopus[34—36], 1 - в рекомендованном ВАК РФ

[37]

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Полный объём диссертации составляет 125 страниц с 43 рисунками и 15 таблицами. Список литературы содержит 86 наименований.

Глава 1. Определяющие уравнения 1.1 Введение

В данной главе мы представим определяющие уравнения, которые будут использоваться в предлагаемой работе. Основным объектом исследований являются динамические волновые процессы, происходящие в упругих деформируемых гетерогенных геологических средах. Основные уравнения, применяемые для расчетов таких процессов, могут быть описаны с использованием уравнений линейной теории упругости и обобщений этих уравнений. Моделирование динамических волновых процессов требует использования математических уравнений, которые описывают соотношения между напряжениями и деформациями в упругих средах.

В целом, понимание основных уравнений, применяемых в моделировании динамических волновых процессов, важно для разработки точных и достоверных численных методов, а также для интерпретации полученных результатов и сравнения их с экспериментальными данными. В последующих разделах мы более детально исследуем эти уравнения и обсудим их применение в работе.

1.2 Система уравнений линейной теории упругости

Одним из основных уравнений в линейной теории упругости является закон Гука, который связывает тензор напряжений с тензором деформаций [38; 39]. Также используются уравнения сохранения массы и импульса для описания распространения волн в среде. Более сложные модели упругих сред могут представляться с использованием обобщенных уравнений, которые учитывают нелинейные и неоднородные свойства среды. Эти уравнения могут включать нелинейные зависимости между напряжением и деформацией, а также учитывать различные физические явления, такие как анизотропия или диссипация энергии. Некоторые из этих моделей, характеризующие упругие

процессы в неоднородных средах, мы рассмотрим далее, для верификации полученных результатов.

Для начала проведем анализ трехмерного случая в тензорной форме, охватывающего все три пространственные координаты. Что позволит нам перейти к рассмотрению двумерного уравнения упругости, ограничиваясь двумя координатами в плоскости. В данном исследовании мы будем использовать декартову систему координат для удобства анализа и описания физических процессов. В своей работе для решения обобщенной задачи моделирования распространения сейсмической волны в грунте выбрана линейно-упругая и изотропная модель среды. Эта модель была рассмотрена ранее в работах таких авторов, как [40—43]. Суть данной модели легко представить в тензорной форме, которая подробно описана в статье [44].

Второй закон Ньютона для каждой точки упругой среды можно записать в следующем виде:

р^г = (V- Т)т (1.1)

Где Т - тензор напряжений Коши, р - плотность среды, V - скорость перемещения среды.

Закон Гука в тензорной форме имеет вид:

Т = Мг(е)1 + 2р,е (1.2)

£ = 1 (V® и + (и ® V)т) (1.3)

Где и - тензор смещения, I - единичный тензор, Л и д - параметры Ламе, характеристики упругих деформаций, £ - тензор деформаций, ® - оператор тензорного произведения (V ® V)— = V^з.

В итоге учитывая воздействие внешней силы , можно вывести уравнения движения для линейно-упругой изотропной среды в виде, который мы будем использовать далее:

Т = Л (V") I + д (V ® " + (V ® ")Т) (1.4)

р^г = (V • Т)т + ? (1.5)

Система уравнений описываемая ф-л. 1.4 и 1.5, для трехмерного случая, при отсутствии внешней силы имеет следующий вид системы дифференциальных уравнений в частных производных:

3Т, = )1гз + м(у^, + У,^) (1.6)

(у^ —^ \

д ЗТл

= -т: (1.7)

В системе координат (х,у,г) получаем:

д. Тхх = х(д^ + + ЗМ + 2м (дМ (1.8)

ЗЬ хх \дх ду Зг / \дх /

IТ- = + Й + Й) +245) (19)

д _ Л / Зу х д уУ Зу , \ „ (ду, ^ Т , = А ^ + + +2I

дЬ \Зх Зу Зг) \ Зг

З т (-V у ЗУх \

ЗЬ ху I \ Зх Зу )

З (ЗУх. ЗУ ,

-Тх, = I +

О I """ х, \ о 1 о

д д д х

З _ (Зуу ЗУ ,

Т у, = I +

1.10) 1.11) 1.12)

1.13)

1.14)

1.15)

Зх ' Зу ' Зг V 6)

При характеризации упругих свойств изотропной среды, помимо параметров Ламе, можно использовать и другие константы, являющиеся их производными. Однако ключевым фактором является наличие двух независимых переменных для полного описания изотропной упругой среды. В некоторых случаях (в частности при описании акустических сред, где I = 0) удобнее использовать объемный модуль упругости, также известный как

ЗЬ \Зг Зу)

З ЗТхх ЗТху ЗТх,

р_ух =__|__+___

ЗЬ х Зх Зу Зг

З ЗТ ЗТ ЗТ

у ху ^ ^ УУ + у,

^ ЗЬ у Зх Зу Зг

З ЗТх, , ЗТу, ЗТ,

модуль объемного сжатия(Ьи1к modulus), характеризует степень сжатия или сжимаемость среды под воздействием внешних сил или давления. Через параметры Ламе выражается следующим образом:

2

К = А + 2 М (1.17)

Модуль Юнга (Young modulus) Е, также известный как коэффициент продольной упругости, характеризует отклик материала на продольное растяжение или сжатие. Он является мерой упругости материала и определяется отношением напряжения к деформации в направлении, параллельном приложенной силе.

Е = (1.18)

Л + д v у

Коэффициент Пуассона (Poisson's ratio) v, определяет отношение поперечной деформации к продольной деформации при механическом нагружении. Этот параметр является мерой изменения поперечных размеров материала при растяжении или сжатии в продольном направлении.

v = \ ч (1.19)

2 (Л + 2fi) v J

Эффективным подходом к описанию упругих характеристик среды является использование скоростей распространения звуковых волн: продольных Ср и поперечных Cs в среде. Скорость продольной звуковой волны определяет скорость распространения волны в среде в направлении, параллельном приложенной силе. Скорость поперечной звуковой волны определяет скорость распространения волны в среде в направлении, перпендикулярном приложенной силе. Они могут быть выраженны через параметры Ламе и плотность среды:

Ср =Х1 (1.20)

С = J ^ (1.21)

Систему уравнений выраженную в ф-л. 1.4 и 1.5, описывающую линейную теорию упругости можно представить в виде:

и =

V

Т

(1.22)

Компонентная запись уравнения 1.22 содержит девять и пять элементов в трёхмерном и двумерном случаях соответственно, и имеет следующий вид:

и = (иЬ ... ид)Т = (V1, V2, V3, Тц, Т22, Т33, Т23, Т13, Ту) (1.23)

и = (иу,...ив)т = (V1, V2, Т11, Т22, Т 12)Т (1.24)

Рассмотрим представление систем уравнений линейной теории упругости в матричном формате. Такое представление удобно при разработке численных методов, основанных на характеристических свойствах. Система уравнений линейной теории упругости представляет собой гиперболическую систему уравнений в частных производных, представленную в ф-л. 1.8-1.16, которую можно представить в виде:

ди А ди А ди А ди .

+ А1 + А2 ЦТ + А3 = о (1.25)

д£ дх1 дх2 дх3

А при наличии вектора внешней силы Р = (Р1, Р2,... ) , согласно 1.5.

и + ^ Агщ = Р (1.26)

г

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Митьковец Иван Анатольевич, 2023 год

Список литературы

1. An analysis of seismic scattering attenuation in a random elastic medium / J. Liu [и др.] // Applied Geophysics. — 2011. — дек. — т. 8, вып. 4. — с. 344—354. — DOI: 10 . 1007 / S11770 - 011 - 0296 - Y. — URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s11770-011-0296-y.

2. Wei Y, Ba J., Carcione J. M. Stress Effects on Wave Velocities of Rocks: Contribution of Crack Closure, Squirt Flow and Acoustoelasticity // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 2022. — окт. — т. 127, вып. 10. — e2022JB025253. — DOI: 10.1029/2022JB025253. — URL: https://onlinelibrary. wiley.com/doi/full/10.1029/2022JB025253.

3. Schoenberg M. Elastic wave behavior across linear slip interfaces // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1980. — нояб. — т. 68, вып. 5. — с. 1516—1521. — DOI: 10.1121/1.385077. — URL: https://pubs.aip.org/asa/ jasa/article-abstract / 68/5/1516/685808/Elastic-wave-behavior-across-linear-slip.

4. Pyrak-Nolte L. J., Myer L. R., Cook N. G. Anisotropy in seismic velocities and amplitudes from multiple parallel fractures // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 1990. — июль. — т. 95, B7. — с. 11345—11358. — DOI: 10.1029/ JB095IB07P11345. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/ JB095iB07p11345.

5. Hsu C.-J., Schoenberg M. Elastic waves through a simulated fractured medium // https://doi.org/10.1190/L1443487. — 1993. — февр. — т. 58, вып. 7. — с. 924—1060. — DOI: 10 . 1190 / 1 . 1443487. — URL: https://library.seg.org/doi/10.1190/L1443487.

6. Backus G. E. Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering // Journal of Geophysical Research. — 1962. — окт. — т. 67, вып. 11. — с. 4427—4440. — DOI: 10 . 1029 / JZ067I011P04427. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/JZ067i011p04427.

7. Zhang J. Elastic wave modeling in fractured media with an explicit approach // Geophysics. — 2005. — сент. — т. 70, вып. 5. — DOI: 10.1190/1.2073886/ ASSET/IMAGES/LARGE/T75_1_F10.JPEG. — URL: https://library.seg. org/doi/10.1190/1.2073886.

8. Slawinski R. A., Krebes E. S. The homogeneous finite-difference formulation of the P-SV-wave equation of motion // Studia Geophysica et Geodaetica. — 2002. — т. 46, вып. 4. — с. 731—751. — DOI: 10.1023/A:1021133606779.

9. Slawinski R. A., Krebes E. S. Finite-difference modeling of SH-wave propagation in nonwelded contact media // Geophysics. — 2002. — т. 67, вып. 5. — с. 1656—1663. — DOI: 10.1190/1.1512753.

10. Zhang J., Gao H. Elastic wave modelling in 3-D fractured media: An explicit approach // Geophysical Journal International. — 2009. — июнь. — т. 177, вып. 3. — с. 1233—1241. — DOI: 10.1111/J.1365-246X.2009.04151.X/3/177-3- 1233-FIG008.JPEG. — URL: https://dx.doi.org/10.1111/j.1365-246X.2009. 04151.x.

11. Gassmann F. On Elasticity of Porous Media // Classics of Elastic Wave Theory. — 2007. — янв. — с. 389—408. — DOI: 10.1190/1.9781560801931.CH3P.

12. Berryman J. G. Origin of Gassmann's equations // Geophysics. — 1999. — т. 64, вып. 5. — с. 1627—1629. — DOI: 10.1190/1.1444667.

13. Biot M. A. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid-Saturated Porous Solid. II. Higher Frequency Range // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1956. — июнь. — т. 28, вып. 2. — с. 179. — DOI: 10.1121/1. 1908241. — URL: https://asa.scitation.org/doi/abs/10.1121/1.1908241.

14. Dvorkin J., Nur A. Dynamic poroelasticity: a unified model with the squirt and the Biot mechanisms // Geophysics. — 1993. — т. 58, вып. 4. — с. 524—533. — DOI: 10.1190/1.1443435.

15. Dvorkin J., Nolen-Hoeksema R., Nur A. The squirt-flow mechanism: macroscopic description // Geophysics. — 1994. — т. 59, вып. 3. — с. 428—438. — DOI: 10.1190/1.1443605.

16. Dvorkin J., Mavko G., Nur A. Squirt flow in fully saturated rocks // Geophysics. — 1995. — т. 60, вып. 1. — с. 97—107. — DOI: 10.1190/1.1443767.

17. Yang D., Zhang Z. Effects of the Biot and the squirt-flow coupling interaction on anisotropic elastic waves // Chinese Science Bulletin. — 2000. — т. 45, вып. 23. — с. 2130—2138. — DOI: 10.1007/BF02886316. — URL: https://link. springer.com/article/10.1007/BF02886316.

18. Pride S. R., Berryman J. G., Harris J. M. Seismic attenuation due to wave-induced flow // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 2004. — янв. — т. 109, B1. — DOI: 10 . 1029 / 2003JB002639. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/2003JB002639.

19. Muller T. M, Toms-Stewart J., Wenzlau F. Velocity-saturation relation for partially saturated rocks with fractal pore fluid distribution // Geophysical Research Letters. — 2008. — май. — т. 35, вып. 9. — с. 9306. — DOI: 10.1029/ 2007GL033074. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/ 2007GL033074.

20. Velocity dispersion and attenuation of P waves in partially-saturated rocks: Wave propagation equations in double-porosity medium / B. Jing [и др.] // Chinese Journal of Geophysics. — 2012. — янв. — т. 55, вып. 1. — с. 219—231. — DOI: 10.6038/J.ISSN.0001-5733.2012.01.021. — URL: http://www.geophy.cn/ /en/article/doi/10.6038/j.issn.0001-5733.2012.01.021?viewType=HTML.

21. Water saturation effects on elastic wave attenuation in porous rocks with aligned fractures / K. Amalokwu [и др.] // Geophysical Journal International. — 2014. — май. — т. 197, вып. 2. — с. 943—947. — DOI: 10 . 1093 / GJI / GGU076. — URL: https://academic.oup.com/gji/article/197Z2/943/623957.

22. Comparison of P-wave attenuation models of wave-induced flow / W. Sun [и др.] // Geophysical Prospecting. — 2015. — март. — т. 63, вып. 2. — с. 378—390. — DOI: 10 . 1111 / 1365 - 2478 . 12196. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/1365-2478.12196.

23. Generalized Effective Biot Theory and Seismic Wave Propagation in Anisotropic, Poroviscoelastic Media / X. Huang [и др.] // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 2022. — март. — т. 127, вып. 3. — e2021JB023590. — DOI: 10 . 1029 / 2021JB023590. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/2021JB023590.

24. Kachanov M. Elastic Solids with Many Cracks and Related Problems // Advances in Applied Mechanics. — 1993. — янв. — т. 30, вып. C. — с. 259—445. — DOI: 10.1016/S0065-2156(08)70176-5.

25. Guéguen Y., Sarout J. Crack-induced anisotropy in crustal rocks: Predicted dry and fluid-saturated Thomsen's parameters // Physics of the Earth and

Planetary Interiors. — 2009. — янв. — т. 172, вып. 1/2. — с. 116—124. — DOI: 10.1016/J.PEPI.2008.05.020.

26. Gueguen Y, Sarout J. Characteristics of anisotropy and dispersion in cracked medium // Tectonophysics. — 2011. — апр. — т. 503, вып. 1/2. — с. 165—172. — DOI: 10.1016/J.TECTO.2010.09.021.

27. V D. N. Continual theory of filtration // Sov. Geology and Geophysics. — 1989. — с. 34—39.

28. Blokhin A. M. ( M., Dorovskii V. N. ( N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum. — 1995.

29. Dorovsky V. N., Perepechko Y. V., Fedorov A. I. Stoneley waves in the Biot-Johnson and continuum filtration theories // Russian Geology and Geophysics. — 2012. — май. — т. 53, вып. 5. — с. 475—483. — DOI: 10.1016/J.RGG.2012.03.008.

30. Numerical Investigation of the Effect of Heterogeneous Pore Structures on Elastic Properties of Tight Gas Sandstones / Z. Guo [и др.] // Frontiers in Earth Science. — 2021. — апр. — т. 9. — с. 219. — DOI: 10.3389/FEART.2021.641637/BIBTEX.

31. Numerical study of pore structure effects on acoustic logging data in the borehole environment / T. Li [и др.] // https://doi.org/10.1142/S0218348X20500498. — 2020. — май. — т. 28, вып. 3. — DOI: 10.1142/S0218348X20500498.

32. Pore morphology effect on elastic and fluid flow properties in Bakken formation using rock physics modeling / O. Ozotta [и др.] // Geomechanics and Geophysics for Geo-Energy and Geo-Resources. — 2022. — дек. — т. 8, вып. 6. — с. 1—19. — DOI: 10.1007/S40948-022-00519-7/FIGURES/7. — URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s40948-022-00519-7.

33. Aney S., Rege A. The effect of pore sizes on the elastic behaviour of open-porous cellular materials // Mathematics and Mechanics of Solids. — 2022. — окт. — DOI: 10 . 1177 / 10812865221124142 / ASSET / IMAGES / LARGE / 10 . 1177 _ 10812865221124142 - FIG6 . JPEG. — URL: https://journals.sagepub.com/doi/10.1177/10812865221124142.

34. Khokhlov N. I., Stetsyuk V. O, Mitskovets I. A. Overset grids approach for topography modeling in elastic-wave modeling using the grid-characteristic method // Компьютерные исследования и моделирование. — 2019. — т. 11, вып. 6. — с. 1049—1059. — DOI: 10 . 20537 / 2076 - 7633 - 2019 - 11 - 6 - 1049 - 1059. — URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/2863/.

35. Grid-characteristic method using Chimera meshes for simulation of elastic waves scattering on geological fractured zones / N. Khokhlov [и др.] // Journal of Computational Physics. — 2021. — дек. — т. 446. — с. 110637. — DOI: 10 . 1016 / j . jcp . 2021 . 110637. — URL: https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0021999121005325.

36. Mitskovets I. A. Application of Chimeric Meshes for Explicit Accounting for Inhomogeneities in Modeling the Propagation of Elastic Waves // Radioelectronics. Nanosystems. Information Technologies. — 2023. — июнь. — т. 15, вып. 2. — с. 185—192. — DOI: 10 . 17725 / RENSIT . 2023 . 15 . 185. — URL: http://en.rensit.ru/vypuski/article/503/.

37. Митьковец И. А., Хохлов Н. И. Моделирование неоднородных сред с явным выделением неоднородностей сеточно-характеристическим методом // Успехи кибернетики. — 2022. — март. — т. 3, вып. 1. — с. 58—62. — DOI: 10 . 51790 / 2712 - 9942 - 2022 - 3 - 1 - 9. — URL: https://ru.jcyb.ru/nisii_tech/article/view/116.

38. Лурье А. И. Теория упругости. — Москва : Наука, 1970.

39. Новацкий В. Теория упругости. — Москва : МИР, 1975. — с. 872.

40. Aki K., Richards P. G. Quantitative Seismology, 2nd Ed. // Quse. — 2002. — т. 68, вып. 5. — с. 1546—1546. — URL: https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/ 2002quse.book.....A/abstract.

41. LeVeque R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems // Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. — 2002. — авг. — DOI: 10 . 1017 / CBO9780511791253. — URL: https : / / www . cambridge . org / core / books / finite - volume - methods - for -hyperbolic-problems/97D5D1ACB1926DA1D4D52EAD6909E2B9.

42. Zhdanov M. S. Geophysical inverse theory and regularization problems. — 2002.

43. Zhdanov M. S. Inverse Theory and Applications in Geophysics. — Elsevier Inc., 09.2015. — с. 1—704. — ISBN 9780444626745. — DOI: 10.1016/C2012-0-03334-0. — URL: http://www.sciencedirect.com:5070/book/9780444626745/inverse-theory-and-applications-in-geophysics.

44. Modelling the wave phenomena in acoustic and elastic media with sharp variations of physical properties using the grid-characteristic method / A. V. Favorskaya [и др.] // Geophysical Prospecting. — 2018. — окт. — т. 66, вып. 8. — с. 1485—1502. — DOI: 10.1111 / 1365 - 2478.12639. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/1365-2478.12639.

45. Favorskaya A. V., Khokhlov N. I., Petrov I. B. Grid-Characteristic Method on Joint Structured Regular and Curved Grids for Modeling Coupled Elastic and Acoustic Wave Phenomena in Objects of Complex Shape // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2020. — апр. — т. 41, вып. 4. — с. 512—525. — DOI: 10.1134/S1995080220040083. — URL: https://link.springer.com/article/ 10.1134/S1995080220040083.

46. Lan H. Q., Zhang Z. J. Seismic wavefield modeling in media with fluid-filled fractures and surface topography // Applied Geophysics. — 2012. — окт. — т. 9, вып. 3. — с. 301—312. — DOI: 10.1007/S11770-012-0341-5. — URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s11770-012-0341-5.

47. Stognii P. V., Khokhlov N. I., Petrov I. B. Modeling vertical fractures using the Schoenberg model on structured grids by grid-characteristic method // Radioelektronika, Nanosistemy, Informacionnye Tehnologii. — 2019. — т. 11, вып. 3. — с. 351—356. — DOI: 10.17725/RENSIT.2019.11.351.

48. Stognii P., Khokhlov N. Modelling of fractured media with the help of the LSM model by the grid-characteristic method // Saint Petersburg 2020 -Geosciences: Converting Knowledge into Resources. — 2020. — нояб. — т. 2020, вып. 1. — с. 1—5. — DOI: 10 . 3997 / 2214 - 4609 . 202053056 / CITE / REFWORKS. — URL: https://www.earthdoc.org/content/papers/10.3997/2214-4609.202053056.

49. Schoenberg's Model-Based Simulation of Wave Propagation in Fractured Geological Media // Mechanics of Solids. — 2020. — дек. — т. 55, вып. 8. —

с. 1363-1371. — DOI: 10 . 3103 / S0025654420080282. — URL: https://link.springer.com/article/10.3103/S0025654420080282.

50. Petrov I. B., Stognii P. V., Khokhlov N. I. Mathematical Modeling of 3D Dynamic Processes near a Fracture Using the Schoenberg Fracture Model // Doklady Mathematics. - 2021. - сент. - т. 104, вып. 2. - с. 254-257. -DOI: 10.1134/S1064562421050070. - URL: https://link.springer.com/article/ 10.1134/S1064562421050070.

51. Khokhlov N., Stognii P. Novel Approach to Modeling the Seismic Waves in the Areas with Complex Fractured Geological Structures // Minerals 2020, Vol. 10, Page 122. - 2020. - янв. - т. 10, вып. 2. - с. 122. - DOI: 10.3390/ MIN10020122. - URL: https://www.mdpi.com/2075-163X/10/2/122/htm.

52. Ryan H. Ricker, Ormsby, Klander, Butterworth - A Choice of Wavelets // CSEG Recorder. - 1994. - сент. - т. 19, вып. 7.

53. Salehabady A. G. Why Ricker Wavelets Are Successful In Processing Seismic Data: Towards A Theoretical Explanation // Open Access Theses & Dissertations. - 2014. - янв. - URL: https://scholarworks.utep.edu/open_etd/1247.

54. Calculation of dynamic deformation and distructure of elastic-plastic body by grid-characteristic methods / V.D.Ivanov [и др.] // Matem. Mod. - 1990. -т. 2, вып. 11. - с. 11-29. - URL: http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1124094.

55. Golubev V. I., Petrov I. B., Khokhlov N. I. Numerical simulation of seismic activity by the grid-characteristic method // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2013. - окт. - т. 53, вып. 10. - с. 1523-1533. -DOI: 10.1134/S0965542513100060. - URL: https://link.springer.com/article/ 10.1134/S0965542513100060.

56. Magomedov K., Kholodov A. The construction of difference schemes for hyperbolic equations based on characteristic relations // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1969. - янв. -т. 9, № 2. - с. 158-176. - DOI: 10.1016/0041-5553(69)90099-8. - URL: https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0041555369900998.

57. Kholodov A. S., Kholodov Y. A. Monotonicity criteria for difference schemes designed for hyperbolic equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2006. — сент. — т. 46, вып. 9. — с. 1560—1588. — DOI: 10 . 1134 / S0965542506090089. — URL: https://link.springer.com/article/10.1134/S0965542506090089.

58. Rokhlin S. I., Wana Y. J. Analysis of boundary conditions for elastic wave interaction with an interface between two solids // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1991. — февр. — т. 89, вып. 2. — с. 503—515. — DOI: 10 . 1121 / 1 . 400374. — URL: https: / / pubs.aip.org/ asa/jasa/article-abstract/89/2/503/ 681554/ Analysis-of-boundary-conditions-for-elastic-wave.

59. Santos J. E., Picotti S., Carcione J. M. Evaluation of the stiffness tensor of a fractured medium with harmonic experiments // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2012. — нояб. — т. 247/248. — с. 130—145. — DOI: 10.1016/J.CMA.2012.08.004.

60. Numerical simulation of destruction processes by the grid-characteristic method / V. Golubev [и др.] // Procedia Computer Science. — 2018. — янв. — т. 126. — с. 1281—1288. — DOI: 10.1016/J.PR0CS.2018.08.071.

61. Grigorievih D., Khokhlov N., Petrov I. Calculation of dynamic destruction in deformable bodies // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2017. — т. 29. — с. 45—58.

62. Ruzhanskaya A., Khokhlov N. Modelling of fractures using the Chimera grid approach // 2nd Conference on Geophysics for Mineral Exploration and Mining. — 2018. — сент. — т. 2018, вып. 1. — с. 1—5. — DOI: 10 . 3997 / 2214 - 4609 . 201802730 / CITE / REFWORKS. — URL: https://www.earthdoc.org/content/papers/10.3997/2214-4609.201802730.

63. Zang N., Zhang W., Chen X. An overset-grid finite-difference algorithm for simulating elastic wave propagation in media with complex free-surface topography // Geophysics. — 2021. — июль. — т. 86, вып. 4. — T277—T292. — DOI: 10.1190/GEO2020-0915.1.

64. Pesnya E., Favorskaya A., Khokhlov N. Grid-characteristic method on Chimera meshes using a single background grid with varying elastic properties // Procedia Computer Science. — 2022. — янв. — т. 207. — с. 1398—1407. — DOI: 10.1016/J.PROCS.2022.09.196.

65. Petrov I. B., Khokhlov N. I. Modeling 3D seismic problems using high-performance computing systems // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2014. — июль. — т. 6, вып. 4. — с. 342—350. — DOI: 10 . 1134 / S2070048214040061. — URL: https://link.springer.com/article/10.1134/S2070048214040061.

66. Benkhaldoun F., Sari S., Seaid M. A family of finite volume Eulerian-Lagrangian methods for two-dimensional conservation laws // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2015. — т. 285. — с. 181—202. — DOI: 10.1016/J.CAM.2015.02.014.

67. P-wave dispersion and attenuation due to scattering by aligned fluid saturated fractures with finite thickness: theory and experiment / J. Guo [и др.] // Geophysical Journal International. — 2018. — дек. — т. 215, вып. 3. — с. 2114—2133. — DOI: 10 . 1093 / GJI / GGY406. — URL: https://dx.doi.org/10.1093/gji/ggy406.

68. SH wave scattering from 2-D fractures using boundary element method with linear slip boundary condition / T. Chen [и др.] // Geophysical Journal International. — 2012. — янв. — т. 188, вып. 1. — с. 371—380. — DOI: 10.1111/J.1365-246X.2011.05269.X/2/M_188-1-371-IEQ013.JPEG. — URL: https://dx.doi.org/10.1111/j.1365-246X.2011.05269.x.

69. Emami M, Eskandari-Ghadi M. Lamb's problem: a brief history // https://doi.org/10.1177/1081286519883674. — 2019. — нояб. — т. 25, вып. 3. — с. 501—514. — DOI: 10 . 1177 / 1081286519883674. — URL: https : / / journals . sagepub . com / doi / abs / 10 . 1177 / 1081286519883674 ? journalCode=mmsa.

70. Komatitsch D., Tromp J. Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation // Geophysical Journal International. — 1999. — дек. — т. 139, вып. 3. — с. 806—822. — DOI: 10.1046/J. 1365-246X. 1999.00967.X/3/139-3-806-FIG016. JPEG. — URL: https://academic.oup.com/gji/article/139/3/806/587264.

71. Mitskovets I., Stetsyuk V., Khokhlov N. Novel Approach for Modeling Curved Topography Using Overset Grids and Grid-Characteristic Method //. т. 2020. вып. 1. — European Association of Geoscientists & Engineers, 12.2020. — с. 1—5. — DOI: 10.3997 / 2214 - 4609.202011784. — URL: https://www.earthdoc.org/content/papers/10.3997/2214-4609.202011784.

72. Pore-scale modeling of pore structure effects on P-wave scattering attenuation in dry rocks / Z. Wang [и др.] // PLoS ONE. — 2015. — май. — т. 10, вып. 5. — DOI: 10.1371/JOURNAL.PONE.0126941.

73. Mavko G., Mukerji T, Dvorkin J. Effective elastic media: bounds and mixing laws // The Rock Physics Handbook. — 2009. — март. — с. 169—228. — DOI: 10.1017/CBO9780511626753.005. — URL: https://www.cambridge.org/core/ books / rock- physics- handbook / effective- elastic- media- bounds- and- mixing-laws/9A42FD8C9203A53F84ADFFDECFB5EBF5.

74. Multiscale seismic models of complex fracture networks / R. L. Gibson [и др.] // SPE/AAPG/SEG Unconventional Resources Technology Conference 2017. — 2017. — DOI: 10.15530/URTEC-2017-2671351.

75. Linear-slip discrete fracture network model and multiscale seismic wave simulation / Y. Cho [и др.] // Journal of Applied Geophysics. — 2019. — май. — т. 164. — с. 140—152. — DOI: 10.1016/J.JAPPGEO.2019.03.006.

76. Modeling the hydrodynamic behavior of fractures and barriers in porous media using coupling finite elements / M. Camargo [и др.] // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 2022. — янв. — т. 208. — с. 109700. — DOI: 10.1016/J.PETROL.2021.109700.

77. Ivanov A. M., Khokhlov N. I. Parallel implementation of the grid-characteristic method in the case of explicit contact boundaries // Computer research and modeling. — 2018. — т. 10, вып. 5. — с. 667—678. — DOI: 10.20537/20767633-2018-10-5-667-678.

78. Ivanov A. M., Khokhlov N. I. Efficient inter-process communication in parallel implementation of grid-characteristic method // Smart Innovation, Systems and Technologies. — 2019. — т. 133. — с. 91—102. — DOI: 10.1007/978-3-030-06228-6_9/COVER. — URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-06228-6_9.

79. М.В. Я. Введение в параллельные методы решения задач. — Издательство Московского университета, 2013. — с. 328.

80. Fofanov V. K. N. Optimization of Load Balancing Algorithms in Parallel Modeling of Objects Using a Large Number of Grids // Russian Supercomputing Days. — 2020. — с. 63—73. — DOI: 10.1007/978-3-030-64616-5_6.

81. Chekuri C., Khanna S. A Polynomial Time Approximation Scheme for the Multiple Knapsack Problem // https://doi.org/10.1137/S0097539700382820. — 2006. — июль. — т. 35, вып. 3. — с. 713—728. — DOI: 10 . 1137 / S0097539700382820. — URL: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0097539700382820.

82. Kvasov I. E., Pankratov S. A., Petrov I. B. Numerical study of dynamic processes in a continuous medium with a crack initiated by a near-surface disturbance by means of the grid-characteristic method // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2011. — июнь. — т. 3, вып. 3. — с. 399—409. — DOI: 10 . 1134 / S2070048211030070. — URL: https://link.springer.com/article/10.1134/S2070048211030070.

83. Numerical study of the anisotropy of wave responses from a fractured reservoir using the grid-characteristic method // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2012. — май. — т. 4, вып. 3. — с. 336—343. — DOI: 10.1134/ S2070048212030064.

84. Estimation of wave responses from subvertical macrofracture systems using a grid characteristic method // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2013. — сент. — т. 5, вып. 5. — с. 479—491.

85. Seismic Imaging of Fractured Elastic Media on the Basis of the Grid-Characteristic Method // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2018. — авг. — т. 58, вып. 8. — с. 1309—1315. — DOI: 10 . 1134 / S0965542518080080. — URL: https://link.springer.com/article/10.1134/S0965542518080080.

86. Favorskaya A. V., Petrov I. B. The Use of Full-Wave Numerical Simulation for the Investigation of Fractured Zones // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2019. — июль. — т. 11, вып. 4. — с. 518—530. — DOI: 10.1134/ S2070048219040069.

Список рисунков

1.1 Схематическая визуализация взаимодействия фронта плоской продольной волны с наклонной трещиной. Компоненты волн отображены различными цветами: продольная составляющая красного цвета, а поперечная - синего................ 24

1.2 Вейвлет Рикера, применяемый для задания функции амплитуды источника упругих возмущений в численных экспериментах. ... 26

2.1 Иллюстрация контактных сеток.................... 32

2.2 Узлы основной и наложенной сетки, в которые происходит интерполирование значений из наложенной и основной сеток соответсвенно.............................. 35

2.3 Схема, иллюстрирующая интерполяцию значения в точку, находящуюся внутри ячейки вычислительной сетки......... 36

3.1 Наложенная криволинейная сетка, моделирующая полую пору. . 40

3.2 Наложенные криволинейные сетки, моделирующие включение инородного материала.......................... 43

3.3 Наложенная прямолинейная регулярная сетки, моделирующие тонкую трещину............................. 45

3.4 Распространение упругой волны, в присутствии полой поры круглой формы............................. 48

3.5 Распространение упругой волны, в присутствии круглого включения инородного материала................... 50

3.6 Распространение упругой волны, в присутствии наклонной

тонкой трещины............................. 52

3.7 Постановка эксперимента для исследования симметричности явного учета полой поры применением наложенной сетки.....56

3.8 Зависимость ошибки показаний приемников в парах симметрии по норме Ь2, в зависимости от угла падения плоских волн на

полую круглую пору........................... 58

3.9 Зависимость ошибки показаний приемников в парах симметрии по норме Ь2, в зависимости от угла падения плоских волн на круглое включение инородного материала.............. 60

3.10 Схематическое изображение эквивалентных постановок численных экспериментов, использованных для сравнения показаний зарегистрированных на виртуальных приемниках для

различных реализаций......................... 62

3.11 Волновые картины, демонстрирующие распространение упругой волны в присутствии тонкой трещины, моделируемой без использования наложенной сетки................... 64

3.12 Волновые картины, демонстрирующие распространение упругой волны в присутствии тонкой трещины, моделируемой с использованием наложенной сетки................... 64

3.13 Сравнение показаний зарегистрированных на виртуальных

приемниках в вычислительных экспериментах по моделирования тонкой трещины с использованием и без использования наложенной сетки. Для приемников расположенных над трещиной. 66 3.14 Сравнение показаний зарегистрированных на виртуальных

приемниках в вычислительных экспериментах по моделирования тонкой трещины с использованием и без использования наложенной сетки. Для приемников расположенных под трещиной. 67

3.15 Схематическое изображение эквивалентных постановок численных экспериментов, использованных для исследования суммарной ошибки, в зависимости от угла поворота тонкой трещины................................. 68

3.16 Визуализация экспериментов, в задаче исследования суммарной ошибки, в зависимости от угла поворота тонкой трещины.....70

3.17 Пример сравнения компонент скорости смещения среды Ух,Уу разрегистрированных на парных приемниках............ 71

3.18 Зависимость накопленной ошибки по норме Ь2 от угла между трещиной и осью ОХ.......................... 72

3.19 Волновые картины в различные момент времени, в эксперименте исследования суммарной ошибки, в зависимости от угла поворота тонкой трещины. При заданном угле поворота

трещины 55°............................... 73

3.20 Наложенные сейсмограмма полученная в ходе эксперимента по исследованию суммарной ошибки, в зависимости от угла поворота тонкой трещины. При заданном угле поворота трещины 55°............................... 74

4.1 Схематическая постановка задачи моделирования распространения упругой волны в реалистичной пористой среде

из статьи [72]............................... 76

4.2 Волновые картины, полученные в результате численного моделирования распространения плоской волны упругих возмущений, в модели реалистичной пористой среды........ 79

4.3 Взаимное расположение вычислительных сеток при моделировании пористого слоя..................... 81

4.4 Распространение упругой волны, в пористом слое. Белыми точками обозначены поры. Градиентом показана амплитуда упругой волны.............................. 84

4.5 Результаты моделирования пористого слоя предложенным подходом при различной пористости. ................ 87

4.6 Постановка задачи моделирования распространения упругой волны в двухслойной геологической среде, содержащей трещиноватые кластеры. Из работы [74]............... 89

4.7 Сейсмограмма полученная в результате моделирования взаимодействия плоской упругой волны с двухслойной геологической среде, содержащей трещиноватые кластеры..... 90

4.8 Постановка задачи, моделирования трещиноватой среды, взятая

из статьи [75]............................... 91

4.9 Волновые картины, полученные в результате моделирования распространения волны упругих возмущений в трещиноватой слоистой среде в различные моменты времени............ 94

4.10 Результат моделирования распространения волны упругих возмущений в трещиноватой среде в момент времени £ = 0.44 секунд................................... 95

4.11 Пример гетерогенный геологической среды, содержащей неоднородности различного типа.................... 96

4.12 Волновые картины, полученные в результате численного моделирования распространения плоской волны упругих возмущений, в модели реалистичной среды.............. 97

4.13 Декомпозиция узлов вычислительных сеток по 8 процессам, геометрическим алгоритмом...................... 99

4.14 Декомпозиция узлов вычислительных сеток по 8 процессам, параметрическим алгоритмом.....................101

4.15 Сравнение эффективности геометрического и параметрического алгоритмов параллелизаций вычислений при решении прямой задачи сейсморазведки сеточно-характеристическим методом, с применением наложенных сеток....................102

4.16 Схематическая постановка, задачи исследования анизотропии сейсмического отклика от трещиноватого кластера.........103

4.17 Сейсмограммы, полученные в результате моделирования распространения плоской упругой волны, в полупространстве содержащем трещиноватый кластер.................. 105

4.18 Зависимость анизотропии от дисперсии наклона трещин в кластере.................................107

Список таблиц

1 Параметры используемых сеток и среды, в расчете демонстрирующем применение наложенных сеток для явного

учета полой поры............................ 49

2 Параметры используемых сеток и среды, в расчете демонстрирующем применение наложенных сеток для явного

учета включение инородного материала................ 51

3 Параметры используемых сеток и среды, в расчете демонстрирующем применение наложенных сеток для явного

учета тонкой трещины......................... 53

4 Параметры используемых сеток и среды, в задаче проверки симметричности полой пористой неоднородности.......... 57

5 Параметры используемых сеток и среды, в задаче проверки симметричности включения инородного материала......... 59

6 Параметры используемых сеток, в задаче сравнения различных реализаций учета тонкой трещины. ................. 63

7 Параметры используемых сеток и среды, в задаче исследования суммарной ошибки, в зависимости от угла поворота тонкой трещины................................. 69

8 Параметры используемых сеток и моделируемой среды, в реалистичной постановке задачи моделирования

распространения упругих возмущений в пористой среде...... 78

9 Параметры сеток сегментов и наложенных на них сеток, при моделировании пористого слоя..................... 83

10 Параметры верхней и нижней сеток, при моделировании пористого слоя.............................. 83

11 Параметры используемых сеток и моделируемой среды, в задачи моделирования распространения упругих возмущений в двухслойной геологической среде, содержащей трещиноватые кластеры................................. 89

12 Параметры используемых сеток и моделируемой среды, в реалистичной постановке задачи моделирования распространения упругих возмущений в слоистой трещиноватой среде................................... 92

13 Параметры используемых сеток и моделируемой среды, в постановке задачи моделирования распространения упругой волны в геологической среде содержащей различные неоднородности............................. 96

14 Параметры используемых сеток и моделируемой среды, в исследовании алгоритмов параллелизаций вычислений при решении прямой задачи сейсморазведки сеточно-характеристическим методом, с применением наложенных сеток............................102

15 Параметры используемых сеток и моделируемой среды, в задаче исследования анизотропии отклика от трещиноватого кластера. . 104