Численное моделирование переходных процессов в прикладных задачах теплопроводности с фазовыми превращениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рожин, Игорь Иванович

• Рожин, Игорь Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рожин, Игорь Иванович

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ.

1.1. Математическая модель и метод сглаживания коэффициентов уравнения теплопроводности.

1.2. Численная реализация модели и алгоритм решения.

1.3. Точное автомодельное решение задачи промерзания грунта.

1.4. Сравнение численного и точного автомодельного решений.

1.5. Выбор оптимальной толщины теплоаккумулирующего материал а.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСКУССТВЕННОГО ЗАМОРАЖИВАНИЯ ГРУНТА.

2.1. Математическая постановка трехмерной задачи замораживания грунта.

2.2. Разностные схемы для уравнений задачи и алгоритм расчета времени образования ледопородной завесы заданной толщины.

2.3. Результаты вычислительного эксперимента.

2.4. Оценка эффективности системы замораживания грунта с принудительной циркуляцией хладоносителя.

3. ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИИ НА ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ АВТОДОРОГИ В РАЙОНАХ КРИОЛИТОЗОНЫ.

3.1. Математическая постановка.

3.2. Численное решение задачи методом фиктивных областей.

3.2.1. Разностные схемы для реальной области.

3.2.2. Аппроксимация теплофизических параметров.

3.3. Анализ результатов вычислительного эксперимента.

4. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА АККУМУЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОТЫ,

ОСНОВАННОГО НА ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ.

4.1. Общие положения аккумулирования теплоты.

4.2. Математическая модель задачи.

4.3. Расчет теплового режима аккумулятора конечно-разностным методом и его алгоритм.

4.4. Результаты вычислительного эксперимента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование переходных процессов в прикладных задачах теплопроводности с фазовыми превращениями»

Актуальность темы диссертации. Освоение природных богатств и развитие Северо-востока России связано с проектированием, строительством и эксплуатацией различных инженерных сооружений, контактирующих с мно-голетнемерзлыми грунтами и горными породами, что непосредственно сказывается на их тепловом режиме, следовательно, на технических и конструктивных решениях сооружений. Успешное решение таких задач невозможно без правильного научного понимания тепловых процессов, происходящих в системе «мерзлый или талый грунт - инженерное сооружение - окружающая среда». Для их решения необходимо знать температурное поле грунта в любой момент времени, поскольку это дает возможность обоснованно прогнозировать устойчивость различных сооружений. Однако составление таких прогнозов на длительный срок затруднительно из-за того, что при знакопеременной температуре окружающей среды приходится решать многофронтовую задачу Стефана. Подобное обстоятельство полностью исключает возможность применения аналитических методов.

С развитием вычислительной техники появилась возможность получать при помощи вычислительного эксперимента достаточно достоверные данные о тепловых процессах, изучение которых в лабораторных или натурных условиях очень сложно, иногда просто невозможно и всегда требует значительных затрат средств и времени. Такой подход, однако, требует адекватной математической постановки и надежных методов решения задач сопряженного теплообмена при фазовых превращениях.

Математическое моделирование — современный метод научного познания окружающего мира, дающий возможность управлять им. Основной целью моделирования являются исследование явлений или объектов реального мира, и предсказание результатов будущих наблюдений. Его широко применяют при решении прикладных задач в различных областях науки и техники.

В математическом моделировании предполагается замена реального явления (или объекта) его математическим описанием, воспроизводимым вычислительными средствами. Суть метода вычислительного эксперимента выражается триадой «модель — алгоритм - программа», что предполагает решение трех взаимосвязанных задач: построение математической модели, разработка алгоритма решения и составление компьютерной программы для его численной реализации.

В действительности, на практике исходным пунктом моделирования является некоторая эмпирическая ситуация (объект или явление), ставящая перед исследователями «задачу», на которую требуется «ответ». Построение модели начинается со словесно-смыслового описания ситуации. Заметим, что реальные ситуации не всегда бывают четко очерченными, а сложное взаимодействие с окружающей средой делает их точное описание затруднительным. Помимо сведений общего характера о природе ситуации даются некоторые предположения.

На основе ранее известных экспериментальных и теоретических данных выделяются определяющие свойства и характеристики исследуемой ситуации. Для описания закономерностей изменения выбранных характеристик выбирается или формулируется закон (вариационный принцип, аналогия и т.п.), которому подчиняется ситуация и записывается в математической форме. Дополнительные сведения о ситуации или иные ее характеристики, без знания которых невозможно определить поведение ситуации, также записываются математически. Построенная модель изучается всеми доступными исследователю методами, в том числе со взаимной проверкой различных подходов, что позволяет получить важные предварительные знания об ситуации.

При постановке задачи необходимо установить основные наиболее существенные особенности ситуации. Важную роль в упрощении модели играют схематизация, идеализация или формализация ситуации, поскольку учет всех факторов и эффектов, достаточно усложняет задачу. Следовательно, чтобы получить идеализированную задачу, поддающуюся математическому анализу, необходимо отбросить несущественные особенности. Тем самым ощутимо упростится решение задачи, но полученная модель должна быть хорошим приближением к реальной ситуации.

Другая сторона упрощения связана со сравнением порядка различных величин, фигурирующих в модели. Допустим, что в результате наблюдения или вычисления замечено, что какой-то член уравнения модели гораздо больше по значению какой-то другой составляющей. Можно сэкономить много времени и усилий, упростив уравнение (отбросив малый член), но, несмотря на это, полученное решение будет правильно отражать ситуацию.

В результате приведения модели к безразмерному виду появляется возможность уменьшить число определяющих параметров и выделить малые или большие безразмерные параметры, сопоставление которых также позволяет упростить математическую модель. Введение таких параметров существенно определяет выбор метода решения и интерпретации получаемых результатов. Построенная математическая модель должна быть адекватной, т.е. математическая основа модели должна быть непротиворечивой и подчиняться всем обычным законам математической логики. Справедливость модели также зависит от ее способности адекватно описывать исходную ситуацию. Проверка модели осуществляется сравнением полученных результатов с экспериментальными данными или сопоставлением с результатами, полученными другими методами.

Часто при построении математических моделей применяется принцип «от простого к сложному»: причем построение простой (упрощенной) модели делается для того, чтобы «почувствовать» характерные особенности явления; и постепенно усложняя модель можно найти приемлемое или адекватное решение. При этом возникает цепочка (иерархия) все более полных моделей, каждая из которых обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая. Существует еще противоположный принцип, при котором сразу вводится большое число факторов в модель, из которой при соответствующих упрощающих предположениях получается последовательность все более простых моделей. Этот принцип «от сложного к простому» обычно используется для оценки границы области применимости модели.

После качественного исследования математической модели, где также проводится изучение корректности, существования и единственности решения, следует процесс отыскания решения поставленной задачи. Точное или приближенное решение находится с помощью аналитических и численных методов. Например, для линейных задач теплопроводности известны методы разделения переменных, интегральных преобразований и т.д.

Математические модели большинства реальных процессов нелинейны и не подчиняются принципу суперпозиции: отдельные частные решения нелинейных уравнений могут не отражать характер поведения объекта в более общей ситуации. Для линейных моделей принцип суперпозиции применим, но они справедливы лишь при описании незначительных изменений величин, характеризующих объект, и служат лишь первым приближением к реальности. Для нелинейных моделей аналитические методы решения используются в ограниченных случаях, поэтому в основном применяются численные методы из-за явной недостаточности теоретических подходов и сложного поведения величин.

На втором этапе вычислительного эксперимента модель представляется в дискретной форме, удобной для применения численных методов, проводится исследование и разработка эффективного вычислительного алгоритма, реализующего рассматриваемую модель на компьютере. Вычислительный алгоритм должен не искажать основные свойства модели и исходного объекта, быть экономичным и адаптирующимся к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров. Точность алгоритма должна быть гарантированной. На последнем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм на доступный компьютеру язык.

Вначале полученная триада отлаживается, тестируется в пробных опытах. Если адекватность триады исходному объекту достигается, то с моделью проводятся разнообразные опыты, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Если полученные результаты имеют большие расхождения с экспериментальными данными или теоретическими представлениями, то возникает необходимость уточнения и улучшения всех звеньев триады. Таким образом, повторяется весь цикл вычислительного эксперимента.

Многие процессы теплообмена связаны с изменением агрегатного состояния или физико-химической природы среды. Основной трудностью подобных задач является необходимость учета агрегатного состояния среды, в результате чего задача становится нелинейной. Математические модели процессов теплопереноса с фазовыми превращениями разделяют на: модели с образованием границы раздела фаз (задачи типа Стефана) и модели с образованием зоны фазовых превращений (задачи в спектре температур). В задачах типа Стефана не учитывается наличие связанной воды и движение влаги. Такие задачи относятся к классу задач теории теплопроводности, в которых рассматриваемая среда имеет точку фазовых превращений, т.е. при определенной температуре претерпевает плавление или затвердевание для фазового превращения «жидкость — твердое тело». На границе фазового превращения все время сохраняется постоянная температура {Uf - const). При движении поверхности фазового превращения происходит выделение (или поглощение) скрытой теплоты плавления (или затвердевания). Решение подобного рода задач имеет большое практическое значение в металлургии, строительной теплотехнике и в других прикладных дисциплинах.

Задачей Стефана называется задача определения температурного поля и границы фазового превращения в чистом веществе (крупнодисперсные среды, металлы). Считается, что агрегатное состояние среды изменяется только вследствие теплопроводности среды под воздействием внешних и внутренних источников теплоты. Передача энергии в каждой фазе рассматриваемого вещества описывается уравнением теплопроводности, а поведение границы фазового превращения, называемой свободной границей, - условием

Стефана, наличие которого относит задачу к нелинейным. Условие Стефана выражает баланс энергии при переходе среды из одного агрегатного состояния в другое, подробный вывод которого для одномерного случая приведен в [70] и для многомерного - в работе [63]. Ключевым условием на свободной границе, помимо условия Стефана, является равенство температуры среды к температуре плавления данного вещества, которая считается известной постоянной величиной. Это условие имеет характер аксиомы, так как не следует ни из каких фундаментальных законов, но достаточно точно отражает многие реальные процессы.

В настоящее время общеизвестно, что точное аналитическое решение задачи Стефана в простейшем виде получено австрийским физиком Стефаном для расчета глубины промерзания - протаивания грунта Он получил строгое решение автомодельной задачи для полуограниченной однородной среды при постоянной, в общем случае, отличной от нуля, начальной температуре среды, называемой «классической задачей Стефана». Он же доказал, что условие на подвижной границе раздела фаз обуславливает нелинейность задачи из-за усеченности температурного поля среды, описываемого функцией линейной задачи.

Задачам теплопроводности с подвижными границами посвящено огромное количество работ, в которых исследуются различные математические и прикладные проблемы с помощью различных аналитических и численных методов. Г. Карелоу, Д. Егер [40], А.В. Лыков [43] в своих фундаментальных монографиях по теории теплопроводности рассматривали задачи промерзания (протаивания) влажных тел.

A.M. Мейрманов в монографии [48] исследование задач типа Стефана условно разделяет на несколько направлений: существование и единственность решения в случае одной пространственной переменной и в случае многих пространственных переменных; изучение структуры и качественных свойств решения, в том числе его поведение при неограниченном возрастании времени; квазистационарная многомерная задача Стефана; численные методы решения; оптимальное управление процессами фазового перехода. В его работе построена математическая модель процесса плавления-затвердевания чистого вещества, доказана корректность модели, описаны качественные свойства решения, исследовано классическое решение задачи Стефана в случае двух и более пространственных переменных.

Численные методы решения задач теплопроводности для сложных тел и систем тел являются в настоящее время наиболее эффективными и универсальными в арсенале современных методов теории теплопроводности. Из-за нелинейности основным методом решения задач типа Стефана являются численные методы. Только в отдельных частных случаях возможно применение аналитического метода.

Разработке разностных методов решения краевых задач теплопроводности посвящено большое количество, как монографических работ, так и огромное число статей в периодических журналах и различных сборниках. Основы методов конечных разностей подробно изложены в монографиях Н.Н. Калиткина [39], Г.И. Марчука [47], А.И. Тихонова, А.А. Самарского [70], Л.И. Турчака [72], Н.Н. Яненко [81] и в других работах, как [54, 62-65]. Существенный вклад в разработку конечно-разностных методов решения задач теплопереноса внесли Б.М. Будак [20], П.Н. Вабищевич [22, 27], Ф.П. Васильев [26], а также другие ученые.

Известно, что разностные методы решения математических задач обеспечивают высокую точность результатов, учитывают большое число параметров и не требуют грубых ограничений и допущений. Однако при этом, как правило, программы расчетов бывают громоздкими, а анализ результатов затруднителен из-за сложности выделения параметров, которые доминируют в полученных решениях. С другой стороны, аналитические решения, реализуемые приближенными методами, обычно недостаточно точны, так как строятся на определенных допущениях и упрощениях, т.е. учитывают меньшее число физически значимых факторов. Тем не менее, полученные аналитические выражения наглядны и довольно удобны для анализа. Самое ценное то, что они более отчетливо отражают основные тенденции и закономерности рассматриваемых процессов - выявляют качественную картину и могут служить «эталоном» для оценки численных решений [55].

В настоящее время известны следующие разностные методы решения задач типа Стефана: метод ловли фронта в узел разностной сетки, метод выпрямления фронтов, метод сглаживания коэффициентов и схемы сквозного счета. С применением их к различным конкретным задачам можно ознакомиться в работах [25, 52].

Метод ловли фронта в узел сетки применяется только для одномерных однофронтовых задач, а метод выпрямления фронтов - многофронтовых задач. Характерная особенность этих методов состоит в том, что разностные схемы строятся с явным выделением искомого фронта фазового превращения. Следует отметить, что методы с явным выделением неизвестной границы фазового превращения для случая циклического изменения температуры на границе не подходят, т.к. число немонотонно движущихся фронтов может быть несколько, при этом некоторые из них могут сливаться друг с другом или исчезать.

Наиболее подходящим для численного решения прикладных задач типа Стефана, которые в основном бывают многомерными и характеризуются наличием несколько немонотонно движущихся фронтов фазового превращения, являются методы, основанные на подходе А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [70]. Используя этот подход, А.А. Самарский и Б.Д. Моисеенко [63] разработали экономичную схему сквозного счета со сглаживанием разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности по температуре в окрестности фазового превращения. Схемы со сглаживанием коэффициентов предложены и в работе Б.М. Будака, Е.Н. Соловьевой, А.Б. Успенского [20]. Обе работы основаны на одной и той же идее сглаживания. Схема сквозного счета характеризуется тем, что граница раздела фаз явно не выделяется, и используются однородные разностные схемы. При этом теплота фазового превращения вводится с применением <5-функции Дирака как сосредоточенная теплоемкость в коэффициент теплоемкости. Получаемая таким образом разрывная функция затем «размазывается» по температуре, и не зависит от числа измерений и фаз.

В связи с этим представляется актуальным исследование реальных нелинейных задач теплопроводности с фазовыми превращениями при помощи вычислительного эксперимента, включая построение качественных и приближенных математических моделей изучаемых объектов, позволяющих прогнозировать, регулировать и управлять температурными режимами инженерных сооружений. В данной работе разработанные вычислительные алгоритмы используются для решения задач тепловой защиты автодорожного полотна, искусственного замораживания грунта и аккумулирования теплоты с использованием фазовых превращений «плавление - затвердевание». Общим в таких задачах является тепловая инерционность отдельных элементов рассматриваемых систем, использование которой позволяет управлять теплооб-менными процессами.

Цель диссертации заключается в исследовании теплообменных процессов с фазовыми превращениями в теплоинерционных системах при знакопеременных температурных воздействиях.

Для достижения поставленной цели необходимо:

• разработать математические модели исследуемых процессов;

• создать эффективные алгоритмы решения сопряженных задач;

• провести серийные численные расчеты для изучения динамики тепло-обменных процессов в исследуемых объектах.

Основные задачи исследования:

• создать алгоритм численного решения сопряженных задач теплообмена с неизвестными подвижными границами фазового перехода в теплоинерционных системах;

• исследовать возможности управления искусственным замораживанием грунта;

• разработать метод оценки влияния теплоизоляции на тепловой режим инженерных сооружений на мерзлых грунтах;

• исследовать возможности выбора параметров конструкции тепловых аккумуляторов, в которых используется принцип фазового превращения «твердое тело - жидкость».

Научная новизна и значимость полученных результатов:

• в вычислительном эксперименте проанализированы технически реализуемые методы управления тепловыми режимами инженерных объектов различного назначения, основанные на теплоинерционности системы;

• установлено, что с помощью теплоизоляции инженерных сооружений на мерзлых грунтах можно повысить надежность их работы и снизить затраты на их сооружение;

• показано, что оптимальный объем теплоаккумулирующего материала при циклическом температурном воздействии можно определить из условия равенства тепловой энергии, накопленной при плавлении и израсходованной при затвердевании.

Практическая ценность работы заключается в том, что предложенные математические модели и разработанные вычислительные алгоритмы послужили основой для оценки эффективности тепловой защиты полотна автодороги на мерзлых грунтах и системы замораживания грунта с принудительной циркуляцией хладоносителя.

Достоверность результатов, защищаемых в диссертации, обоснована использованием математических моделей, построенных на основе законов сохранения массы и энергии, применением эффективных и теоретически обоснованных вычислительных алгоритмов и проверкой работоспособности разработанных алгоритмов на тестовых задачах, имеющих известные решения.

Апробация работы. Основные положения и результаты докладывались на: международном симпозиуме «Геокриологические проблемы строительства в Восточной России и Северном Китае» (г. Чита, 1998); международной конференции «Физико-технические проблемы Севера» (г. Якутск, 2000); международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 80-летию Н.Н. Яненко (г. Новосибирск, 2001); III международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2001); конференции «Математика. Информатика. Образование» (г. Якутск, 2002); VII Лаврентьевских чтениях (г. Якутск, 2003); VI научно- технической конференции, посвященной памяти Н.С. Иванова (г. Якутск, 2003); V Минском международном форуме по тепломассообмену (г. Минск, 2004).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертационной работы отражены в 12 печатных работах.

В первой главе рассматривается одномерная задача теплопроводности с фазовым превращением «жидкость-твердое тело» (задача типа Стефана) и алгоритм ее численной реализации.

Математическая модель задачи включает уравнение нестационарного распространения тепла с учетом фазового превращения «жидкость — твердое тело». Это уравнение дополняется краевыми условиями, определяемыми характером сопряжения тепловых потоков.

Для оценки точности конечно-разностной схемы, разработанной на основе метода Самарского — Моисеенко [63], проводится сравнение результатов численного расчета с точным автомодельным решением задачи промерзания неограниченного массива грунта для различных интервалов сглаживания, т.е. для различного числа пространственных узлов, охватываемых фазовым переходом. В расчетах приняты одинаковые количества узлов, входящих в интервал сглаживания как со стороны жидкой, так и твердой фаз, однако температурные полуинтервалы сглаживания А/ и As могут отличаться друг от друга. Также проводится сопоставление результатов при постоянных значениях полуинтервалов сглаживания А/ и Д5, но при этом количество «охватываемых» узлов будет изменяться с течением времени. При симметричности половинок интервала сглаживания количества узлов, охватываемых областью фазового перехода как со стороны жидкой, так и твердой фаз, будут неодинаковыми.

Разработанный при этом вычислительный алгоритм используется для задачи определения оптимальной толщины теплоаккумулирующего материала (ТАМ). Исследуется процесс плавления и затвердевания пластины из ТАМ, претерпевающего фазовое превращение. На одной границе ТАМ задается циклично изменяющаяся температура, а на другой — условие тепловой изоляции. Режимы плавления и затвердевания ТАМ чередуются.

Оптимальный размер ТАМ определяется методом подбора, при котором ТАМ в половине периода колебания температуры полностью плавится или затвердевает, т.е. фазовый фронт достигает конечной границы ТАМ. При этом количество теплоты, накопленное ТАМ во время плавления, должно равняться количеству теплоты, израсходованной им во время затвердевания. Только в этом случае рассматриваемая система аккумулирования теплоты будет оптимальной в энергетическом отношении. При нарушении данного условия произойдет ненужное плавление всей системы или ее отвердевание, что приведет к нарушению режима работы системы.

В качестве ТАМ рассмотрены влажный грунт и парафин. Рассчитаны и сравнены значения общего количества теплоты при зарядке и разрядке ТА Qac и Qad, подводимой и отводимой теплоты через единичную поверхность Qhs и Qhe за полный цикл работы ТА. Исследованы изменения этих величин с отклонением толщины ТАМ от оптимального размера.

Для аккумулятора, заполненного влажным грунтом, также были проведены вычислительные эксперименты с различными значениями влажности. Выявлено влияние влажности на величины оптимального размера ТАМ, количеств теплоты при зарядке-разрядке ТА и отвода-подвода тепла.

В проведенных расчетах время плавления и время затвердевания были приняты одинаковыми. Очевидно, что время затвердевания однозначно зависит от времени плавления, но только неявным образом. Если время плавления будет взято большим, то рабочее тело (ТАМ) прогреется сильнее. Но с другой стороны, при отборе накопленной энергии внешняя среда не успеет забрать все тепло за время затвердевания.

Во второй главе исследуется проблема управления искусственным замораживанием грунта.

Этот способ нашел применение практически во всех областях строительства и горного дела. Его в основном применяют для создания монолитного ледопородного основания в фундаментах инженерных сооружений, для образования противофильтрационных ледопородных завес в насыпных плоj тинах (хвостохранилищах), для создания плавучих ледяных платформ на шельфах северных морей, для аккумулирования холода в грунте и для других целей. Создание противофильтрационных ледопородных завес предотвращает проникновение в различные водные горизонты больших объемов воды с растворенными вредными веществами (цианитами и др.), используемых при технологии добычи различных полезных ископаемых. В условиях резко континентального климата Крайнего Севера замораживание грунта можно проводить в зимнее время, используя низкую температуру окружающего воздуха, т.е. используя естественный холод вместо дорогостоящего искусственного холода, вырабатываемого холодильными машинами.

Для интенсификации процесса обычно применяют жидкостные охлаждающие устройства с принудительной циркуляцией хладоносителя. Жидкостная замораживающая система состоит из трех основных элементов: замораживающих колонок, распределителя и коллектора, замораживающей станции. Замораживающая колонка состоит из коаксиально расположенных внутренней и внешней труб, т.е. имеет вид теплообменника типа «труба в трубе» с противотоком. Охлаждение хладоносителя и его циркуляция в колонках осуществляется с помощью замораживающей станции, которая состоит из теплообменника (радиатора), вентилятора, расширительной емкости и циркуляционного насоса.

Рассматривается замкнутый цикл, в котором хладоноситель проходит через замораживающие колонки, пробуренные в подстилающий грунт, а на поверхности — через радиаторы воздушного охлаждения (калориферы с вентилятором) с принудительным обдувом. Таким образом, подводимая энергия тратится на работу вентиляторов и перекачку рабочей жидкости, но не на ее охлаждение, которое осуществляется за счет теплообмена с наружным холодным воздухом.

Полная математическая модель включает: уравнения нестационарного распространения тепла за счет вынужденной конвекции хладоносителя в центральной трубе и кольцевом канале замораживающей колонки; трехмерное уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в во-донасыщенном грунте с учетом фазового перехода «вода-лед», а также краевые условия, определяемые технологической схемой замораживания и характером сопряжения тепловых потоков. Для замыкания системы уравнений полной математической модели используется тепловой баланс замораживающей системы, в результате которого определяется температура хладоносителя, подаваемого в систему замораживающих колонок.

Выявлено, что учет инерционных членов в уравнениях переноса тепла хладоносителем и вертикальной теплопроводности в грунте (кроме устья и забоя колонки) мало влияет на форму и положение границы фазового фронта. Тем самым установлено, что без ущерба для точности вычислений полную математическую модель можно существенно упростить.

Для проверки правильности работы некоторых блоков вычислительного алгоритма проводится сопоставление результатов численного и приближенного решений при постоянной температуре хладоносителя на входе в колонки. поыъателц

Даны критерии оценки эффективности замораживающей системы — коэффициент охлаждения хладоносителя, коэффициент замерзания грунта. Введено понятие «холодосодержание», с помощью которого можно определить время окончания аккумуляции холода в грунте, что позволяет предотвратить обратную транспортировку холода теплоносителем. Показано, что для повышения эффективности системы замораживания необходимо повышать значение коэффициента охлаждения хладоносителя, а расход выбирать, руководствуясь техническими возможностями и особенностями теплообмен-ных процессов.

В третьей главе рассматривается задача выявления влияния теплоизоляции, заложенной в насыпи, на формирование температурного поля полотна автодороги.

Проектирование, строительство, эксплуатация и обеспечение надежности автомобильных магистралей в условиях многолетней мерзлоты сопровождаются трудностями, связанными с засоленностью, льдистостью и низкими прочностными свойствами грунтов. В условиях многолетней мерзлоты одним из основных принципов строительства является сохранение в мерзлом состоянии основания сооружений в процессе их эксплуатации, который обеспечивает устойчивость, надежность и увеличивает продолжительность работы объектов. Исходя из этого принципа, автомобильные магистрали сооружаются на грунтовых насыпях, высота которых в зависимости от климатических условий района составляет от 2 до 5 м. При таких насыпях объем земляных работ настолько велик, что только отсыпка грунта растягивается на несколько лет. Если к этому добавить стоимость песчаных грунтов, из которых чаще всего производится отсыпка, то становится ясно, как дорого обходится строительство подобных сооружений. С другой стороны, резкие колебания температуры и динамические воздействия могут привести к нарушению устойчивости всего массива, и это потребует дополнительных капитальных вложений. Поэтому проблемы сокращения времени и стоимости строительства и увеличения срока эксплуатации являются актуальными в регионах распространения многолетнемерзлых грунтов. Одним из возможных путей разрешения вышеуказанной проблемы является укладка в основание автодорог различных теплоизолирующих материалов.

Математическая постановка задачи динамики температурного поля в многослойной конструкции автодороги получена на основе общей постановки задач типа Стефана и включает квазилинейное уравнение теплопроводности с соответствующими краевыми условиями. В этой разработанной математической модели двумерного разреза автодороги с теплоизолирующим материалом в ее насыпи учитываются: изменение температуры атмосферного воздуха; воздействие суммарной солнечной радиации и альбедо поверхности; изменение толщины и теплофизических свойств снежного покрова; зависимость коэффициента конвективного теплообмена от скорости ветра.

Поставленная задача решается конечно-разностным методом с использованием продольно-поперечной схемы. При этом исходное уравнение расщепляется на уравнения с весами, которые решаются методом сквозного счета со сглаженными коэффициентами теплопроводности и объемной теплоемкости. Таким образом, эффективный расчет двумерной задачи строится на основе метода расщепления по пространственным координатам с использованием схемы переменных направлений и с привлечением для обеспечения устойчивости получающихся одномерных задач неявных методов на основе алгоритма прогонки.

Полученные результаты теоретических исследований позволяют обосновать методы строительства и способы использования новых теплоизолирующих материалов, а также новых технологий регулирования температурного режима в насыпи автодороги.

Четвертая глава посвящена решению осесимметричной задачи аккумулирования тепла, основанного на фазовом переходе ТАМ при его теплообмене с теплоносителем, температура которого изменяется циклически.

В последние годы новое направление в изучении процессов и технологий аккумулирования тепловой энергии привлекает все большее внимание специалистов, занимающихся проблемой использования и экономии энергетических ресурсов. Тепловые аккумуляторы включаются в состав энергетических систем при колебаниях мощности теплового источника или энергопотребления и служат целям стабилизации, повышения эффективности и экономии энергии таких систем.

Применение нетрадиционных источников энергии, в частности, солнечной, невозможно без решения проблемы аккумулирования теплоты. Наибольшие перспективы представляет аккумулирование тепла, основанное на явлении фазовых переходов типа «плавление - затвердевание». Так как наиболее перспективными с точки зрения экономической привлекательности являются аккумуляторы для низкотемпературных теплоносителей, то одним из требований к этим материалам является достаточно низкая температура фазовых превращений типа «жидкость — твердое тело».

Тепловой аккумулятор (ТА) с использованием теплоты фазового перехода «жидкость - твердое тело» может широко использоваться в различных объектах космической и наземной техники, таких как солнечные энергетические установки с машинным способом преобразования тепла, системы обеспечения теплового режима различных аппаратов, системы утилизации сбросового тепла и т.д.

Эффективность аккумуляторов в значительной степени зависит от степени использования потенциала накопления и отдачи энергии за полный цикл работы соответствующего устройства. Это ставит перед исследователями задачу выбора оптимальных параметров конструкции, куда входят объем и масса аккумулирующего материала и т.п. Комплекс возникающих при этом задач может быть решен только методами математического моделирования. Соответствующая математическая модель должна описывать сопряженный теплообмен теплоносителя с аккумулирующим материалом и многофронтовой фазовый переход внутри этого материала.

Одним из способов отвода и подвода тепла является пропускание теплоносителя через канал, расположенный внутри ТА. Процесс конвективного теплообмена при течении теплоносителя в канале носит ярко выраженный нестационарный характер, определяемый непрерывным изменением граничных условий для теплоносителя, как во времени, так и по длине канала.

Конструкция исследуемого ТА представляет пустотелую полую цилиндрическую камеру (теплоизолированную с торцов и наружной поверхности), пространство между стенками которой заполняется ТАМ, а через проточную область (канал) прокачивается теплоноситель с циклично изменяющейся температурой. Следовательно, режим работы ТА периодически меняется, при этом один полный цикл работы включает период плавления и период затвердевания.

Полная математическая модель включает в себя уравнения нестационарного распространения тепла за счет вынужденной конвекции теплоносителя в канале и двумерное уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в ТАМ с учетом фазового перехода, а также - граничные и начальные условия, определяемые характером сопряжения тепловых потоков.

В рамках этой модели необходимо выбрать оптимальные параметры конструкции: размеры проточной области и камеры, где хранится активный материал, расход теплоносителя и т.п. С помощью метода суммарной аппроксимации (метода расщепления) и интегроинтерполяционного метода построены разностные схемы для двумерной задачи, из которых определяется распределение температуры ТАМ с помощью алгоритма прогонки с применением метода простой итерации.

Для выявления стабильности функционирования ТА расчеты повторяются для нескольких рабочих циклов. Толщина ТАМ (парафина) определяется методом подбора свободного параметра (внешний радиус камеры), при котором вся масса ТАМ должна расплавиться или затвердеть в конце полупериода колебания температуры теплоносителя (воздуха) на входе в канал.

При фиксированных значениях параметров теплового аккумулятора оптимальная толщина ТАМ определяется по тем же критериям и таким же способом, как в главе 1. Этот параметр зависит от скорости и режима течения теплоносителя. Проведено сопоставление температурных полей теплоносителя и ТАМ для ламинарного и турбулентного режимов течения. При найденных значениях оптимальной толщины ТАМ проверено выполнение условия равенства количеств теплоты для зарядки и разрядки ТА, подводимой и отводимой теплоты через поверхность канала. Выявлена роль геометрических параметров (радиуса и длины), определяющих площадь поверхности канала, через которую подводится и отводится тепло, на толщину ТАМ и величину аккумулируемой энергии.

В результате сравнения режимов движения теплоносителя было установлено, что при одной и той же поверхности теплообмена наиболее эффективным является турбулентный режим из-за того, что размер (или масса) ТАМ в этом случае больше, чем при ламинарном режиме. Для полной оценки необходим технико-экономический анализ, так как повышение энергетической эффективности при турбулентном режиме достигается за счет увеличения габаритов, следовательно, и стоимости теплового аккумулятора.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рожин, Игорь Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Методами математического моделирования изучена динамика теплообмена в теплоинерционных системах с существенно различными скоростями переходных процессов. Обоснована эффективность использования метода сквозного счета со сглаживанием разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности для теплоинерционных систем.

2. Разработана математическая модель процесса аккумулирования тепла фазового перехода при циклическом изменении температуры на границе, которая позволяет рассчитать и проанализировать температурные поля в ТАМ, а подбором свободного параметра определить размер ТАМ, при котором рабочее тело в конце полупериода колебания температуры полностью плавится или отвердевает. Для найденной оптимальной толщины общее количество теплоты, необходимое для полного расплавления ТАМ, должно быть равно общему количеству теплоты, необходимому для полного его отвердевания. Показано, что на количество аккумулируемого тепла наибольшее влияние оказывают теплофизические свойства (коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость, плотность, скрытая теплота фазового перехода) ТАМ и размер аккумулятора.

3. Исследована возможность управления искусственным замораживанием грунта. Показано, что инерционные члены в уравнениях конвективного переноса тепла хладоносителем и теплопроводность грунта в вертикальном направлении оказывают малое влияние на точность вычислений. Введены критерии оценки эффективности системы замораживания грунта: коэффициент охлаждения хладоносителя, коэффициент замерзания грунта. Из их анализа следует, что при проектировании систем замораживания грунта с принудительной циркуляцией хладоносителя основное внимание следует уделять совершенствованию системы ее теплообмена с атмосферным воздухом.

4. В вычислительном эксперименте установлено, что горизонтальный слой теплоизоляции в теплозащитной насыпи полотна автодороги значительно уменьшает глубину протаивания массива, что позволяет снизить объемы земляных работ, то есть сократить сроки и стоимости строительства, увеличить теплоустойчивость массива. Теплоизоляция, проложенная в основание при строительстве автодороги в зимнее время, способствует аккумуляции холода в массиве, что увеличивает несущую способность автодороги и продлевает сроки ее эксплуатации.

5. Численными методами решена осесимметричная задача аккумулирования тепла фазового перехода ТАМ при его теплообмене с теплоносителем, температура которого изменяется циклически. Результаты вычислений для ламинарного и турбулентного режимов подачи теплоносителя показали, что при одной и той же поверхности теплообмена наиболее эффективным является турбулентный, так как размер (или масса) ТАМ в этом случае больше, чем при ламинарном режиме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рожин, Игорь Иванович, 2005 год

1. Bondarev Е.А., Popov F.S. Systems of earth dam freezing with forced circulation of a coolant. // 1.t. Conference on Development and Commercial Utilization of Technologies in Polar Regions. "POLARTECH' 94". - Lulea, Sweden, 1994, pp. 165-176.

2. Casano G., Piva S. Experimental and numerical investigation of the steady periodic solid-liquid phase-change heat transfer. // Int. J. Heat and Mass Transfer 45 (2002), pp. 4181-4190.

3. Cho Keumnam, Choi S.H. Thermal characteristics of paraffin in a spherical capsule during freezing and melting processes. // Int. J. Heat and Mass Transfer 43 (2000), pp. 3183-3196.

4. Kaushik S.C., Sodha M.S., Bhardwaj S.C., Kaushik N.D. Periodic heat transfer and load levelling of heat flux through a PCCM thermal storage wall/roof in an air-conditioned building // Building and Environment, Vol. 16, № 2, 1981, pp. 99-108.

5. Laouadi A., Lacroix M. Thermal performance of a latent heat energy storage ventilared panel for electric load management. // Int. J. Heat and Mass Transfer 42 (1999), pp. 275-286.

6. Popov F.S., Rozhin I.I. Heat exchange control in different engineering structures and technological systems. / Proceedings of Int. conference «Physical and technical problems of the North». Yakutsk: SB RAS Publishers, 2000, Vol. I, pp. 360-369.

7. Savovic S., Caldwell J. Finite difference solution of one-dimensional Stefan problem with periodic boundary conditions. // Int. J. Heat and Mass Transfer 46 (2003), pp. 2911-2916.

8. Zhang Y., Faghri A. Heat transfer enhancement in latent heat thermal energy storage system by using the internally finned tube. // Int. J. Heat Mass Transfer. Vol. 39, № 15, 1996, pp. 3165-3173.

9. Zhang Y., Faghri A. Semi-analytical solution of thermal energy storage system with conjugate laminar forced convection. // Int. J. Heat Mass Transfer. Vol. 39, № 4, 1996, pp. 717-724.

10. Алексеева О.И. Создание и совершенствование противофильтрационных мерзлотных завес: Автореферат дисс. канд. техн. наук. — Якутск: Институт мерзлотоведения СО АН СССР, 1988. 22 с.

11. Анисимов В.А. Экспериментальное исследование жидкостной замораживающей системы. // Известия ВУЗов. Строительство и архитектура, №9, 1983. С. 86-92.

12. Анисимов В.А., Бондарев Э.А., Попов Ф.С. Методика расчета системы жидкостных замораживающих колонок с принудительной циркуляцией хладоносителя. Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1987. 48 с.

13. Ахмедов Р.Б., Верченко М.А. и др. Аккумулирование солнечной энергии на основе фазовых, химических и термохимических превращений. / Альтернативные источники энергии. Ч. II. Использование солнечной энергии. М.: ЭНИН, 1983. С. 79-91.

14. Бахолдин Б.В. Выбор оптимального режима замораживания грунтов в строительных целях. М.: Госстройиздат, 1963. 70 с.

15. Бекман Г., Гилли П. Тепловое аккумулирование энергии. М.: Мир, 1987.272 с.

16. Биянов Г.Ф. Плотины на вечной мерзлоте. М.: Энергия, 1975. 184 с.

17. Бондарев Э.А., Капитонова Т.А., Попов Ф.С. Теплообмен замораживающей колонки с грунтом. / Тепловые расчеты процессов и устройств в горном деле Севера. Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1987. С. 34-37.

18. Бондарев Э.А., Ларионов С.М., Попов Ф.С. Оценка эффективности систем замораживания земляных плотин с принудительной циркуляциейхладоносителя. // ИФЖ, т. 60, №6, 1991. С. 1041-1042. Деп. в ВИНИТИ 22.01.91, №367-В91. 11 с.

19. Будак Б.М., Соловьева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана. //Журнал вы-числ. математики и матем. физики, т. 5, № 5, 1965. С. 828-840.

20. Бучко Н.А., Турчина В.А. Искусственное замораживание грунтов (обзор). -М.: Информэнерго, 1978. 68 с.

21. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. — М.: Изд-во Моск. университета, 1987. 164 с.

22. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. 720 с.

23. Васильев В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1985. 160 с.

24. Васильев В.И., Петров Е.Е. Введение в вычислительную теплофизику. Ч. 1. Прямые задачи тепломассопереноса. Якутск: Изд-во Якутского гос. университета, 1997. 83 с.

25. Васильев Ф.П. Разностный метод решения задач типа Стефана для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами. //Доклады АН СССР, 1964, т. 157, № 6. С. 1280-1283.

26. Вычислительные методы в математической физике. /Вабищевич П.Н., Головизнин В.М., Еленин Г.Г. и др. — М.: Изд-во Моск. университета, 1986. 150 с.

27. Гаврилова М.К. Климат центральной Якутии. — Якутск: Якутское книжное изд-во, 1973. 120 с.

28. Гаврильев Р.И. Теплофизические свойства горных пород и напочвенных покровов криолитозоны. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998. 280 с.

29. Галкин А.Ф., Хохлов Ю.А. Теплоаккумулирующие выработки. — Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1992. 133 с.

30. Гапеев С.И. Укрепление мерзлых оснований охлаждением. — JL: Строй-издат, 1984. 156 с.

31. Дихтиевский О.В., Конюхов Г.В., Мартыненко О.Г., Юревич И.Ф. Численное моделирование оптимального теплового аккумулятора на фазовом переходе. // ИФЖ, 1991, том 61, №5. С. 749-755.

32. Дихтиевский О.В., Юревич И.Ф., Мартыненко О.Г. Тепловые аккумуляторы. Препринт № 27. — Минск: Институт тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова АН БССР, 1989. 55 с.

33. Дорман Я.А. Искусственное замораживание грунтов при строительстве метрополитенов. -М.: Транспорт, 1971. 272 с.

34. Замораживание грунтов при проходке стволов шахт. Указания по проектированию и производству работ. / Сост. Н.Г. Трупак, Х.Р. Хакимов. — М.: Углетехиздат, 1950. 64 с.

35. Иванов В.Н. Высокоэффективная теплоизоляция в основаниях аэродромов и дорог. -М.: Транспорт, 1988. 133 с.

36. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. М.: Энергоиздат, 1981. 416 с.

37. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

38. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.

39. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. — М.: Наука, 1975.225 с.

40. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1970. — 659 с.

41. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

42. Лыков А.В. Тепломассообмен. — М.: Энергия, 1971. 560 с.ф

43. Макаров В.И. Замораживающие устройства с естественной циркуляцией жидкого теплоносителя. / Проектирование плотин для оросительных мелиорации в Центральной Якутии. — Якутск: Изд-во Института мерзлотоведения СО АН СССР, 1976. С. 204-219.

44. Макаров В.И. Создание противофильтрационных элементов в земляных, плотинах мерзлого типа посредством жидкостных замораживающих устройств (термосифонов). / Автореферат дисс. канд. техн. наук. — М.: Московский гидромелиоративный институт, 1978. 21 с.

45. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1973. 352 с.

46. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1986. 187 с.

47. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. — М.: Энергия, 1973. 320 с.

48. Павлов А.В. Теплообмен почвы с атмосферой в северных и умеренных широтах территории СССР. — Якутск: Якутское книжное изд-во, 1975. 304 с.

49. Павлов А.В., Оловин Б.А. Искусственное оттаивание мерзлых пород теплом солнечной радиации при разработке россыпей. — Новосибирск: Наука, 1974. 180 с.

50. Павлов А.Р. Математическое моделирование процессов тепломассопере-носа при фазовых переходах. — Якутск: Изд-во Якутского госуниверситета, 2001. 56 с.

51. Папазов В.Т. Исследование процесса замораживания горных пород. — М.: Углетехиздат, 1951. 215 с.

52. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов П.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.

53. Попов Ф.С. Вычислительные методы инженерной геокриологии. — Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. 1995. 136 с.

54. Попов Ф.С., Рожпн И.И. Алгоритм численного решения инженерных задач теплопроводности. / Сборник научных трудов «Ресурсы строительного комплекса Республики Саха (Якутия)». — Якутск: Якут. гос. инже-нерно-технич. институт, 2001, с. 137-142.

55. Попов Ф.С., Рожин И.И. Управление искусственным замораживанием грунта. // Наука производству, №9, 2004, с. 67-69.

56. Попов Ф.С., Шкулев С.П., Рожин И.И. Влияние теплоизоляции на тепловой режим автодороги. / Труды международной конференции «Физико-технические проблемы Севера». Якутск: ГУП «Полиграфист» ЯНЦ СО РАН, 2000, ч. I, с. 297-309.

57. Порхаев Г.В., Щелоков В.К. Прогнозирование температурного режима вечномерзлых грунтов на застраиваемых территориях. Л.: Стройиздат, Ленингр. отделение, 1980. 112 с.

58. Пудовкин М.А., Чугунов В.А., Саламатин А.Н. Задачи теплообмена в приложении к теории бурения скважины. Казань: Издательство Казанского университета, 1978. 184 с.

59. Рожин И.И. Численное решение задачи аккумулирования тепла при фазовом переходе. / Сборник научных трудов «Исследования по инженерно-физическим проблемам Севера» — Якутск: ЯФ изд-ва СО РАН, 2003. С. 109-114.

60. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. 550 с.

61. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерных задач Стефана. // Журнал вычислит, математики и ма-тем. физики, т. 5, № 5, 1965. С. 816-827.

62. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. 592 с.

63. Самарский А.А., Фрязинов И.В. О сходимости локально-одномерной схемы решения многомерного уравнения теплопроводности на неравногомерных сетках. // Журнал вычислит, математики и матем. физики, т. 11, №3, 1971. С. 642-657.

64. СНиП II-3-79**, часть II, глава 3. Строительная теплотехника. — Москва: Центральный институт типового проектирования, 1986. 32 с.

65. Справочник по строительству на вечномерзлых грунтах. / Под ред. Белли Ю.Я., Докучаева В.И., Федорова Н.Ф. — JL: Стройиздат, 1977. 552 с.

66. Тепловая защита мерзлых обнажений от протаивания при открытой разработке алмазных месторождений Якутии: Препринт. / Самохин А.В., Слепцов В.И., Вычужин Т.А., Шкулев С.П., Местников А.Е. — Якутск: Изд-во ЯНЦ СО РАН, 1994. 44 с.

67. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд. 5-е. -М.: Наука, 1977. 736 с.

68. Трупак Н.Г. Замораживание грунтов при строительстве подземных сооружений. -М.: Недра, 1979. 344 с.

69. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 320 с.

70. Филатов Л.Л., Рзаев А.И., Циклаури Г.В., Пахорский В.А., Кабанова Е.Б. Расчет и экспериментальное исследование системы охлаждения с использованием тепла фазового перехода. // Теплоэнергетика, № 5, 1990. С. 72-74.

71. Фрид С.Б. Аккумуляторы тепла. // Энергия, № 6, 1985. С. 71-77.

72. Хакимов Х.Р. Вопросы теории и практики искусственного замораживания грунтов. -М.: Изд-во АН СССР, 1957. 191 с.

73. Хакимов Х.Р. Замораживание грунтов в строительных целях. — М.: Стройиздат, 1962. 187 с.

74. Чернядьев В.П. Использование местных грунтов при строительстве автомобильных и железных дорог на Бованенковском месторождении. / Материалы I конференции геокриологов России. — М.: 1996. С. 189-197.

75. Шейндлин А.Е. Новая энергетика. М.: Наука, 1987. С. 331-342.

76. Шкловер A.M. Теплопередача при периодических тепловых воздействиях. -M.-JL: Госэнергоиздат, 1961. 160 с.

77. Шкулев С.П., Харлампьева С.И. Повышение устойчивости насыпи автомобильных дорог. / Проблемы обеспечения завоза грузов и их сохранности в работах Крайнего Севера в современных социально-экономических условиях.-Новосибирск, 1998. С. 172-176.

78. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967. 196 с.