Численное решение нестационарных теплофизических задач с фазовым переходом в интервале температур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Попов, Владимир Николаевич

• Попов, Владимир Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Попов, Владимир Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕШ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

§ 1.1. Алгоритм численного решения одномерной

задачи затвердевания металла в изложнице

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Описание алгоритма решения

1.1.3. Исследование сходимости итерационного процесса

1.1.4. Оценка погрешности разностного решения

1.1.5. Выводы

§ 1.2. Неявные разностные схемы для многомерных

уравнений теплопроводности

1.2.1. Сходимость разностной схемы для двухмерного квазилинейного уравнения параболического типа

с краевыми условиями 1-Ш родов

1.2.2. Исследование условий монотонности разностных схем повышенной точности для решения нестационарных двухмерных и трехмерных

уравнений теплопроводности

1.2.3. Схема повышенного порядка точности для уравнения тешюпереноса в цилиндрической

системе координат

1.2.4. Схема повышенной точности для квазилинейного параболического уравнения

1.2.5. Выводы

§ 1.3. Использование метода неполной факторизации с ускорением по методу сопряженных градиентов для решения нестационарных двухмерных задач теплопереноса

1.3.1. Описание и свойства итерационного алгоритма

1.3.2. Сравнивание МНФСГ и метода блочной верхней релаксации по результатам численных расчетов

модельной задачи

1.3.3. Результаты -численных расчетов при использовании МНФСГ для схем повышенной точности

1.3.4. Результаты расчетов нелинейной модельной задачи

1.3.5. Выводы

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЯОПЕРЕНОСА В МЕТАЛЛУРГИЙ

§ 2.1. Исследование тепловых режимов формирования

непрерывного слитка стаж

2.1.1. Постановка задачи и основные уравнения

2.1.2. Алгоритм решения задачи

2.1.3. Определение зависимости коэффициентов теплоотдачи от расходом воды при теплообмене в зоне вторичного охлаждения

2.1.4. Оценка структуры получаемого слитка

2.1.5. Выводы

§ 2.2. Исследование тепловых процессов в пятиканальной

изложнице при затвердевании металла

2.2.1. Математическая постановка задачи

2.2.2. Алгоритм численного решения

2.2.3. Результаты расчетов

2.2.4. Анализ термонапряженного состояния изложницы

2.2.5. Выводы

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОХЛАЖДЕНИЯ ВАЗИТ0В0Г0 РАСПЛАВА.

ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ ПЛОСКИХ МАГМАТИЧЕСКИХ КАНАЛОВ И КАМЕР

§ 3.1. Численные исследования процесса интрудирования

базитовой магмы по щелевому каналу

3.1.1. Математическое описание модели

3.1.2. Алгоритм решения и значения принятых

в расчетах физических параметров

3.1.3. Динамика интрудирования базитовой магмы

по проводнику

3.1.4. Выводы

§ 3.2. Динамика охлаждения базитового расплава при

заполнении магматических камер

3.2.1. Модель заложения магматической камеры

3.2.2. Алгоритм решения задачи

3.2.3. Условия формирования магматических тел 1%

3.2.4. Результаты численных исследований динамики охлаждения расплава в магматических камерах

3.2.5. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

СПРАВКА 0 ВНЕДРЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение нестационарных теплофизических задач с фазовым переходом в интервале температур»

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке и применению математических моделей описывающих теплофизические процессы в металлургии и петрологии, связанные с затвердеванием расплавов в интервале температур, а также развитию математического аппарата решения возникающих задач.

Возрастающие требования к современной технологии получения металла выдвигают задачи исследования процессов затвердевания сплавов с помощью построения адекватных математических моделей [1-7,46,47,501. Следует отметить, что методы моделирования с использованием быстродействующих ЭВМ часто оказываются единственным способом определения оптимальных режимов, при которых происходит тот или иной процесс, так как возможности экспериментального изучения этих явлений ограничены методическими и техническими трудностями.

При фундаментальном теоретическом подходе к исследованию затвердевания металла требуется анализ всего комплекса происходящих процессов, т.е. следует учитывать тепловые, диффузионные и гидродинамические явления, протекающие одновременно. Однако при этом математическая модель получается сложной и трудно применимой в численных исследованиях [83. Теплофизические процессы в связанной динамической системе развиваются с неодинаковыми скоростями, т.е. характерные времена их протекания неодинаковы. Это дает возможность оценивать основные особенности изучаемых явлений и тем самым при разработке математической модели и проведении последующих расчетов учитывать только главные "движущие силы". В случае необходимости этот подход может реализовыватся не только для всего рассматриваемого временного интервала, но и для отдельных его этапов. Поэтому на практике нередко используются упрощенные вари-

анты моделей для анализа и исследования тепловых режимов, что вполне оправдано.

При затвердевании расплавов сложного состава, т.е. переходе из жидкого состояния в твердое, ведущая роль принадлежит процессам тепломассообмена. На основе теории теплопроводности решается множество задач, основные из которых - определение динамики нарастания объема твердой фазы, продвижения фазового фронта и продолжительности процессов затвердевания.

Традиционная постановка задачи о затвердевании жидкости, сформулированная австрийским математиком Стефаном более ста лет назад 191, основана на представлении о существовании поверхности фронта кристаллизации, где выполняются следующие условия:

а) кристаллизация (плавление) происходит на достаточно гладкой границе раздела фаз, определяемой уравнением )=0, которое можно переписать в виде

г=Фи,у>г), <р(*»у.о)=Ф0и,уь <х»у,Оеа=аг-на5>

где аз - области жидкого и твердого состояний вещества;

б) фазовый переход происходит при постоянной температуре кристаллизации

т = т

1 z кр*

в) скорость движения границы раздела фаз определяется условием отвода скрытой теплоты фазового перехода

дТ дТ

э^р V = к — - кг —, -У 5 П 5 дп I. дп

где А. - коэффициенты теплопроводности вещества в жидком и твердом состояниях, р3 - плотность твердой фазы, э^ - удельная

скрытая теплота фазового перехода.

После дополнения математической формулировки задачи уравнениями нестационарной теплопроводности для жидкой и твердой фаз, соответствующими начальными и граничными условиями, можно определить закон затвердевания расплава (движение границы раздела фаз), а также распределение температурных полей в системе с течением времени.

Однако в настоящее время приближение Стефана используется при решении узкого круга задач: затвердевание чистых металлов, рост монокристаллов, кристаллизация с гладкой границей фазового перехода в контролируемых условиях.

Изучение динамики затвердевания сплавов при использовании различных экспериментальных методов позволило сделать вывод о том, что фронт кристаллизации существует в виде пространственно-распределенной двухфазной зоны и лишь в очень редких случаях как совершенно гладкая поверхность раздела фаз. Именно в переходной зоне закладываются многие структурные, химические и механические свойства металла [1,10-173. Влияние каким либо доступным способом на процессы происходящие в переходной зоне, дает возможность получения слитков или готовых изделий с наперед заданными характеристиками [48,491. Поэтому особый интерес представляет определение зависимости изменения температурных полей от типа сплава, начальных условий заливки и внешних условий охлаждения во время процесса затвердевания.

Формирование слитка обусловливается совместным протеканием процессов затвердевания и кристаллизации, которые являются двумя неразрывными сторонами сложного процесса перехода расплава из жидкого состяния в твердое. Кристаллизацией называется процесс формирования структуры металла с учетом всех сопровождающих его явле-

ний. Под затвердеванием понимают процессы теплопереноса в условиях фазового превращения. В любой момент затвердевание и кристаллиза-зация характеризуются одщой и той же скорость протекания, но роль их в процессе перехода из жидкого состояния в твердое неодинакова. Процесс кристаллизации связан условиями возникновения и роста кристаллических зародышей, а процесс затвердевания, связанный прежде всего с теплоотводом, определяет окончательное формирование. твердой фазы слитка £181.

Таким образом, теплоперенос в условиях фазового превращения определяет обе стороны процесса перехода металла из жидкого состояния в твердое. Тепловые условия в слитке (в частности температурное поле) являются главными факторами.

Процесс затвердевания, связанный с теплоотводом, определяется теплофизическими свойствами расплава: теплопроводностью, теплоемкостью и скрытой теплотой кристаллизации. Скрытая теплота кристаллизации физически соответствует энергии, которую необходимо отвести от металла при переходе от неупорядоченной структуры жидкости к упорядоченной структуре твердой фазы. При этом энергия тепловых колебаний атомов не изменяется, что и соответствует постоянству температуры при этом переходе. Затвердевание сплавов происходит в интервале температур ликвидуса и солидуса Эти температуры определяются диаграммой состояния сплавов. Скрытая теплота кристаллизации выделяется в пределах двухфазной зоны в интервале

В последнее время для решения задач затвердевания металлических сплавов широко и наиболее успешно используется теория "квазиравновесной" двухфазной зоны, предложенная и развитая В.Т. Борисовым £19-223. Эта теория не учитывает концентрационное (или диффузионное) переохлаждение расплава. Так как его величины в реальных

условиях малы (по результатам экспериментов не более 1°), при математическом моделировании этим параметром можно пренебречь. В указанной теории выявлена высокая скорость роста твердой фазы при малых отклонениях от равновесных условий. Это позволяет предполагать, что в каждом элементарном объеме двухфазной области жидкость и твердая фаза находятся в равновесии, а концентрация жидкости связана с температурой условием равновесия, т. е. уравнением линии ликвидуса расплава: где С - концентация растворенного

элемента.

В систему уравнений теории квазиравновесной двухфазной зоны входят уравнения теплопроводности и переноса массы в жидкой части двухфазной области. Решение этой системы в соответствии с началь-начальными и граничными условиями позволяет с достаточно высокой точностью определить температурное поле в слитке, поле концентраций и объемной доли жидкой фазы.

Ввиду малой диффузионной подвижности компонентов в твердой фазе, распределение вещества в растущих кристаллах неоднородно и полное равновесие в системе не достигается. Считается, что оно имеет место только на фазовой поверхности. Поэтому кристаллизация завершается не при температуре равновесного солидуса, соответствующей исходной концентрации компонентов в расплаве С)Э> а при более низкой - в связи с обогащением остаточной жидкости примесными компонентами. Считается, что затвердевание полностью завершается при температуре, соответствующей особой точке диаграммы состояния: эвтектике ?Е> перитектике ? и т. д. Чаще всего используется При этом сечение жидкой фазы меняется скачком от значения до нуля. В практических расчетах при численном моделировании окончание затвердевания определяется заданием величины 0.025-0.05 в конце двухфазной зоны. При исследовании чисто тепло-

вого режима кристаллизации диффузией компонентов в жидкости пренебрегают, то есть не учитывают макроскопическую дифференциацию. Из предположения того, что Си? связаны, следует: сечение жидкой и твердой / фаз, а также спектральная теплота кристаллизации эе^р З/^/дУ являются функциями температуры и вполне определяются видом диаграммы состояния.

В пределах двухфазной зоны уравнение теплопереноса имеет следующий вид [223

дТ а/,

{Ре)18 ^ =^СЛ.258гай(?)3-ае)Эр5 , (х.у.й,)^.

Последнее слагаемое отлично от нуля только в интервале температур кристаллизации. Индекс 1з характеризует соответствующие теплофизи-ческие параметры.

Функция относительного количества жидкой фазы, кристаллизующейся в двухфазной зоне отливки, определяется по диаграмме состояния, согласно различным методикам. Например, для линейной диаграммы состояния по правилу равновесного рычага [53:

Г тго~т 1п

где показатель степени п варьируется для разных сплавов и зависит также от концентрации примесей в материалах; либо по правилу неравновесного рычага для бинарных сплавов [21,233:

/г

1/(1-6,)

либо, для многокомпонентны! сплавов, выражением £24}

N

связывающим температуру в двухфазной зоне с сечением жидкой фазы Здесь Тк - температура плавления основного компонента сплава, ?20 - равновесная температура ликвидуса, - исходная

концентрация, коэффициент распределения и модуль углового коэффициента наклона линии ликвидуса для I-того растворенного примесного компонента; 81=р5/рг. Существуют и другие способы определения , см. £4,6,18,22,25] и цитируемые в них работы. Выбор того или иного приближения сказывается на точности определения ширины двухфазной зоны, времени затвердевания, оценке размеров структурных параметров сплавов £26,511.

В связи с тем, что определяется как функция температуры, то после использования подстановки

щ д^ дт_ ог дт м *

уравнение теплопроводности в двухфазной зоне переписывается в виде

дТ

где едф называется эффективной удельной теплоемкостью сплава в двухфазном его состоянии и определяется выражением

а для (рс) обычно используются выражения вида

(рс)г5=(рс)г/г+(рс)5/5.

Таким образом, учет выделения тепла кристаллизации в двухфазной зоне сводится к соответствующему заданию зависимости эффективной удельной теплоемкости сплава от температуры, а уравнение теплопереноса приобретает вид, характерный для квазилинейных параболических уравнений.

На границе жидкой и двухфазных зон т^ выполняется условия

-о

дТ

Т)г+0>

а для фронта конца кристаллизации в двухфазной зоне на границе т)3 справедливо

=Т

дТ

М?)

дТ

5 дп

%+0>

Используя уравнения теплопроводности для области перегретого расплава 0-,

Ч

дТ

(ре), — =<Илг[А.7(Г)згас1(Г)3, (г,у, 3,)^!,,

ь и с

И

(рс),

дТ

дг

для затвердевшей части 05, и задав начальные и граничные условия Ти,у,2,0)=Т0(х,у,г), (х,у,г)е0=аг+0г5+а5.

(Х,у,2)еШ,

получаем замкнутую систему для определения закона затвердевания и изменения температурных полей.

После анализа исследуемого физического процесса с целью предварительной оценки возможной скорости движения границ фазового перехода, а также учитывая тот факт, что доля жидкой фазы конца зоны затвердевания обычно не превышает величины 0.05, при численных исследованиях используются иж условия

0-

дТ

дТ

=М*>

V0" 5

V3,

иж алгоритмы сквозного счета для решения задачи Стефана [27-393. й хотя существуют подходы позволяющие при этом точно фиксировать фазовую границу 1341, наиболее распространенным является жбо сглаживание разрывных коэффициентов задачи £29,351, жбо введение функции теплосодержания. Последнее позволяет свести искомую задачу к нежнейному уравнению для разрывной функции, описывающему тепло-перенос во всей области включая фазовую границу. Так как функция имеет разрыв первого рода, то при использовании аппроксимации, она вместе с теплофизическими константами подвергается сглаживанию на некотором конечном интервале температур [27,29,323.

Границы фазового превращения в этом случае явно не выделяются. йх положение, когда это необходимо, устанавливается после расчета температурного поля сжтка £1,333.

Метода математического моделирования и алгоритмы численных исследований в металлургии нашж свое применение и в других областях науки. Теория магматических и магматогенных гидротермальных рудных месторождений связана с разработкой динамики дифференциации (перераспределения) магмы в камерах земной коры, которая интенсивно развивается три последних десятилетия [40-453. Магматогенные

процессы являются главными генераторами большинства рудных месторождений. Поэтому с момента возникновения петрологии развивается и совершенствуется основанное на модельных исследованиях прогнозирование при поиске руд, пространственно сопряженных с проявлением магм в форме интрузивных массивов и вужанов. Центральное место здесь занимает проблема описания процессов формирования рудоносных флюидов. Толчком к этому послужили исследования в металлургии по теории управления слитком металла. Использование в геохимии и петрологии идей зонной перекристаллизации и направленной кристаллизации металлических расплавов позволило углубить созданные ранее качественные теории. Решение проблемы количественного описания процессов перераспределения компонентов пока продвинулось мало С453, поэтому представляет теоретический и прикладной интерес разработка моделей дифференциации магм и получение соответствующих оценок.

Таким образом, широкий круг проблем, при модельном исследовании которых используются квазилинейные параболические уравнения делают актуальным поиск эффективных численных алгоритмов. Рассмотрению некоторых вопросов, появляющихся при этом, посвящена первая глава.

В настоящее время для решения задач теплопереноса широко используется метод конечных элементов (см. [633 и содержащиеся в ней ссылки), однако конечно-разностные алгоритмы продолжают сохранять свою привлекательность. Это подтверждает и появление публикаций посвященных так называемым методам конечных объемов, или бокс-методам (см. [64-69] и цитируемые там работы), которые способствуют сближению техники конечных разностей и конечных элементов.

В первой главе рассматриваются неявные схемы, применяемые для численного решения задач при модельном исследовании процессов

теплопереноса, и методы решения получаемых систем уравнений. Предваряет содержание главы краткий обзор работ по теме исследований.

При практических расчетах используются, как правило, наиболее известные разностные алгоритмы численного решения линейных или нелинейных задач теплопереноса £27,52-59,119,1201, существенный вклад в развитие которых внесли A.A. Самарский, Г.И. Марчук, H.H. Яненко, J. Douglas. Основными показателями качества разностного уравнения являются устойчивость и сходимость, порядок погрешности, экономичность. Ввиду того, что значительная часть результатов при анализе разностных алгоритмов описывается в терминах матричных или векторных операций, в последние годы все более широкое распространение находит использование свойств монотонных и положительных матриц [73-75,1221, позволяющих находить наиболее значимые на практике равномерные оценки точности. Результаты исследований по теории трехдиагональных матриц £56,57,733 дают подход к анализу разностных схем при численном решении линейных и нелинейных систем.

В § I.I рассматривается одномерная задача затвердевания металла в изложнице, математическая модель которой сводится к параболическому уравнению с разрывными коэффициентами, включающему основные сильноменяющиеся теплофизические параметры. Для этой задачи с использованием свойств М-матриц определяются условия сходимости итерационного процесса и получена оценка погрешности разностного решения в равномерной норме.

В § 1.2 рассматриваются неявные алгоритмы для решения задач описываемых многомерными уравнениями теплопроводности. В первом разделе параграфа проводится исследование разностной схемы, используемой для решения задачи, описываемой квазилинейным параболическим уравнением с краевыми условиями I-III родов.

Чисто неявные схемы для многомерных линейных уравнений устойчивы при любых соотношениях временного и пространственных шагов. Однако использование их для квазилинейных уравнений наталкивается на необходимость определения условий устойчивости и сходимости разностного решения, что в каждом конкретном случае приводит к громоздким вычислениям при весьма грубых оценках [27,831. Поэтому в данном параграфе на основе свойств трехдиагональных матриц проводится исследование разностной системы и находится погрешность ее решения в равномерной норме.

Дальнейшие части § 1.2 посвящены рассмотрению "компактных" разностных схем повышенного порядка точности (с использованием узлов ближайших к рассматриваемому узлу сетки) для решения много-гомерных уравнений параболического типа. Такого вида аппроксимации имеют длительную историю и исследовались различными авторами (например, [27,123,182,184-1921). Однако многие вопросы их использования остаются открытыми [27,691.

В разделах параграфа исследуются способы аппроксимаций повышенной точности для уравнений теплопереноса, а также анализируются условия на соотношения между пространственными и временными шагами, обеспечивающие монотонность разностных схем. Наряду с этим рассматриваются аппроксимации порядка 0(?И) для уравнения теплопроводности в цилиндрической системе координат, которое имеет свои особенности на оси симметрии.

Минусом использования неявных разностных схем при решении многомерных задач является трудоемкость реализации расчетов на каждом временном шаге. Большой объем вычислений, необходимый для каждой итерации при решении алгебраических систем высокого порядка, обуславливает поиск экономичных алгоритмов (см. [85-901 и прилагаемый там список литературы). Среди таких методов решения находятся

итерационные алгоритмы неполной факторизации при использовании ускорения с помощью сопряженных градиентов [85-92,1821, которые, в силу своих достоинств, открывают новые возможности решения пяти-и девятиточечных сеточных уравнений, позволяя использовать чисто неявные аппроксимации как наиболее устойчивые. Поэтому § 1.3 посвящен исследованию этого алгоритма, а также сравнению его с другими методами.

В последующих параграфах рассматриваются результаты решения задач, полученные с использованием изложенных в первой главе алгоритмических подходов с соответствующими дополнениями, отражающими их конкретную специфику. Две задачи, связанные с актуальными вопросами, выдвинутыми металлургическим производством, рассматриваются во второй главе.

Получение качественного металла является главным направлением развития современной технологии. Использованием непрерывного литья стаж для получения заготовок дает возможность высокоэффективного производства при экономии энергии и увеличении выхода годного металла 14,7,18,47,76,1811. В связи с повышением требований к скорости разливки, качеству и расширению марочного состава сталей, исследование тепловых условий формирования непрерывного сжтка является актуальной практической задачей. Рассмотрение вопросов теплофизики, тепло- и массопереноса . в тесной связи с технологией определяет все дальнейшие стороны интенсификации и оптимизации технологических процессов £4,6-8,18,50,95-1031. Существенный вклад в модельное исследование процессов получения непрерывного сжтка внесж Е.М. Китаев, Ю.А. Самойлович, В.А.Журавлев, В.А. Емельянов.

Авторы наиболее известных публикаций £4,7,18,95,961 рассмат-риваж установившиеся процессы затвердевания при заданных значениях коэффициентов теплоотдачи в секциях зоны вторичного охлаждения.

принимая во внимание потоки тепла только в поперечном сечении слитка. Нестационарная модель, предложенная в § 2.1, лишена этих недостатков, а алгоритм решения позволяет проводить вычислительные эксперименты по отработке рациональных режимов и исследовать переходные процессы всех стадий формирования круглого стального слитка в машинах непрерывного литья заготовок. Это дало возможность на основе численного моделирования и опытных данных решить практическую задачу по определению зависимости, связывающей значения коэффициентов теплоотдачи с удельным расходом воды в зоне вторичного охлаждения для установки Западно-Сибирского металлургического комбината, а также оценить характерные размеры дендритной структуры получаемых слитков.

В металлургии большое внимание уделяется проблемам затвердевания расплавов в изложницах. Ввиду того, что формирование слитка сопровождается протеканием целого ряда физических и химических процессов, основная масса работ посвящена прогнозированию свойств затвердевающего металла, а проблемы изложниц рассматриваются только с точки зрения оценки в них теплового потока и поглощения тепла.

Главные требования к изложницам состоят в обеспечении заданного ресурса работы и требуемой скорости оборачиваемости. Процессы, отвечающие за их эксплуатационные свойства, основываются на законах теплопроводности, термомеханики поверхностных явлений. Температурные условия формируют уровень термоупругих и термопластических напряжений, которые необходимо знать при изучении работы системы слиток-изложница [76,104-107,1831. Поэтому важное значение для увеличения стойкости и срока экслуатации изложницы имеет поиск оптимальных тепловых режимов заливки и охлаждения металла, определение параметров влияющих на эти процессы.

В §2.2 рассматривается практическая задача, целью решения которой было численное исследование изменения температурного поля изложницы сложной геометрической формы с затвердевающими и остыва-щими в ней пятью слитками для последующей оценки величин возникающих напряжений.

Третья глава посвящена исследованию переходных процессов теплопереноса в петрологии.

Вез решения задачи охлаждения расплава в период заполнения магматических камер затруднительно корректно анализировать динамику дифференциации после завершения процесса интрузии [45,133-137]. Поэтому для общего анализа происходящих процессов динамика дифференциации магмы должна описываться с момента ее генерации в очаге и заканчиваться затвердеванием в интрузиве. При этом информация о распределении температур в объеме расплава, содержании в нем твердой и газовой фаз, ширине зоны контактовых изверженных пород, положении границы жидкотекучести в магматическом теле, является существенной для анализа разделения компонентов.

В настоящее время при количественном исследовании этой задачи в основном ограничиваются заданием простейших условий - "мгновенное" заполнение камеры, однородное распределение в ней температур и фаз, рассмотрение процесса затвердевания в приближении Стефана, стационарный расход жидкости [45,131,134,136,138-143 и др.]. Однако состояния в реальных магматических системах во время и после прекращения напорного течения расплава весьма далеки от такой идеализированной картины. Оценить их можно лишь после численного решения соответствующих моделей неизотермической нестационарной динамики заполнения магматических камер различной формы.

Количественное описание заполнения интрузивной камеры может быть самосогласованно выполнено только в рамках общей модели дина-

мики развития магматической системы. Последовательно замкнутое решение этой задачи излагается в работах Ю.П. Желтова, М.Р. Ryan, d.d. Pollard, А.Н. Черепанова и В.Н. Шарапова. При этом проблема распадается на две взаимосвязанные, но представляющие самостоятельный интерес, задачи: интрудирование магмы в трещинные проводники, которая рассматривается в § 3.1, и заполнение магматических камер различной формы (§3.2).

В рамках сформулированной во введении третьей главы модели, в §3.1 осуществляется математическая постановка задачи, при решении которой на основе численных экспериментов получены оценки высоты подъема магматической колонны по щелевидному проводнику и скорости движения магматического потока в зависимости от значений различных учитываемых параметров.

Алгоритм решения для разработанной нестационарной модели дает возможность проводить вычислительные эксперименты по исследованию переходных процессов всех стадий формирования магмопроводника, от начала его заполнения до выхода на стационарный режим существования, либо оценить условия его "перемораживания".

Впервые с использованием квазиравновесного приближения [221 для описания развития гетерофазной зоны в § 3.2 получены параметры, характеризующие нестационарный процесс охлаждения расплава в магматической камере в процессе развития системы. Из результатов решения нестационарной задачи динамики интрудирования определяется, что охлаждение базитового расплава как в процессе, так и по завершению заложения камер существенно различается в зависимости от их формы.

Разработанный алгоритм решения нестационарной модеж дает возможность проводить вычисжтельные эксперименты по исследованию переходных процессов всех стадий формирования интрузивов, опреде-

лять движение расплава в щелевидном проводнике и заполнение магматической камеры, температурные поля, условия формирования и размеры фазовых зон в расплаве магматической системы, а также локальные значения скоростей охлаждения и кристаллизации.

Каждый параграф диссертации имеет независимую нумерацию формул в виде группы из трех чисел: первое число соответствует номеру главы, второе - параграфу, третье - порядковый номер.

Ряд полученных результатов сформулирован в виде выводов в конце каждого параграфа.

Таблицы с исходными параметрами для расчетов и результатами исследований располагаются в тексте параграфов в местах ссылок на них и имеют соотвествующий порядок нумерации.

В конце параграфов помещены рисунки, которые иллюстрируют расматриваемые задачи и полученные результаты. Нумерация рисунков по порядку ссылок на них.

Список цитируемой литературы располагается вслед за заключением, в котором приведены основные результаты диссертации.

Достоверность выполненных теоретических исследований подтверждается результатами численных экспериментов при математическом моделировании процессов теплопереноса и структурообразования. Полученные в диссертации результаты нашли практическое применение в усовершенствовании существующих и разработке новых технологических процессов. Пакеты прикладных программ на основе разработанных алгоритмов решения задач теплопереноса внедрены на АО "ЗападноСибирский металлургический комбинат", АО "Новосибирский завод хим-концентратов", а также используются в Объединенном институте геологии, геофизики и минералогии СО РАН

Результаты третьей главы получены в ходе работы, поддержаной Российским фондом фундаментальных исследований (проекты ,№95-05-

9646, #95-05-15586а).

По материалам, используемым в диссертации, делались доклады на Международных конференциях "Численные методы и приложения" (София, 1989), "Высокоазотистые стаж - 89" (Варна, 1989), "Применение компьютеров в штейном производстве" (София, 1990), "Кристаллизация и компьютерные модели" (Ижевск, 1991, 1992, 1994), на Х1П-ом Российском совещании по экспериментальной минералогии (Черноголовка, 1995). Полученные результаты обсуждались на семинарах Института вычислительной математики и математической геофизики и Института теоретической и прикладной механики СО РАН.

Настоящая работа написана по публикациям 126,34,48,50,51,76, 105-108,121,170-175,1813, результаты в которых бы ж получены на основе моделей, разработанных авторским коллективом, и алгоритмов решения, предложенных и обоснованных автором диссертации. Исследования [47,109,1823 выполнены соискателем самостоятельно.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность профессору Валерию Павловичу Ильину, д.ф.-м.н. Анатолию Николаевичу Черепанову и профессору Виктору Николаевичу Шарапову за совместную плодотворную работу, определившую его научную судьбу, а также академику РАН Михаилу Федоровичу Жукову, чей доброжелательный интерес во многом содействовал скорейшему написанию диссертации.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Попов, Владимир Николаевич

Основные результаты диссертации заключаться в следущем:

1. На основе свойств монотонных матриц исследованы неявные разностные алгоритмы численного решения одномерных и двухмерных задач затвердевания сплавов с фазовым переходом в интервале температур, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с краевыми условиями 1-Ш родов, и получены оценки погрешности в равномерной норме.

2. Построены "компактные" разностные схемы повышенного порядка точности для многомерных уравнений теплопроводности и определены соотношения между пространственными и временными шагами, при которых они являются монотонными. Показано, что схема Кранка-Николсона с погрешностью порядка 0(%г+ПА) для решения задачи, описываемой трехмерным уравнением, абсолютно немонотонна.

3. Исследована возможность применения итерационного метода неполной факторизации с ускорением по методу сопряженных градиентов для решения линейных и нелинейных систем, получаемых при неявной аппроксимации многомерных задач теплопереноса, и показана высокая эффективность такого алгоритмического подхода.

4. Предложена нестационарная модель, описывающая получение круглого стального слитка в машине непрерывного литья, и численно исследованы температурные режимы переходах процессов формирования заготовки: от момента запуска установки до выхода процесса затвердевания металла на установившийся режим. По результатам расчетов и опытных данных определены зависимости, связывающие значения коэффициентов теплоотдачи с удельным расходом воды в секциях зоны вторичного охлаждения.

5. На основе численного моделирования проведено исследование нестационарных теплофизических процессов в многоканальной чугунной изложнице при затвердевании в ней пяти цилиндрических слитков. Согласно полученному решению задачи рассмотрен характер изменения температурных полей системы и проведена оценка возникающих термонапряжений в изложнице.

6. С помощью численного решения нестационарной задачи динамики интрудирования базитовых расплавов по щелевидному проводнику, получены оценки средних скоростей движения магмы и высоты ее подъема, определены зависимости критических скоростей от размеров проводника. Эти результаты, с учетом размеров дайковых проводников и базитовых плутонов, дают возможность очертить диапазон расходов расплава при формировании магматических камер и вероятные времена заполнения.

7. Решение нестационарной модели, описывающей динамику формирование интрузивов, показывает существование различных режимов затвердевания магмы, определяемых ее движением и геометрической формой заполняемых камер. Из этого можно сделать вывод, что и последующая солидификация, а также разделение компонентов в процессе фазовых переходов могут протекать различным образом как в локальных частях, так и во всем объеме интрузивного массива. I

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Попов, Владимир Николаевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Баландин Г.Ф. Основы теории формирования отливки. Ч. I. - М. : Машиностроение, 1976.

2. Ефимов В.А. Разливка и кристаллизация стали. - М. : Металлургия, 1976. - 552 с.

3. Авдонин R.A. Математическое описание процессов кристаллизации.

- Рига: Зинатне, 1980. - 177 с.

4. Журавлев В.А., Китаев Е.М. Теплофизика формирования непрерывного слитка. - М.: Металлургия, 1974. - 210 с.

5. Китаев Е.М. Затвердевание стальных слитков. - М.: Металлургия, 1982.

6. Самойлович Ю.А. Формирование слитка. - М. : Металлургия, 1977.

- 158 с.

7. Самойлович Ю.А., Крулевецкий С.А., Горяинов В.А., Кабаков З.К. Тепловые процессы при непрерывном литье стаж. - М: Металлургия, 1982. - 152 с.

8. Саломатов В.В. Теплофизические основы энергосберегающих технологий в металлургическом производстве на линии от разжвки до прокатки. - Новосибирск, 1987. - 68 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ие. йн-т теплофизики; № 154-87).

9. Stefan I. über einige Probleme der Theorie der Waermeleitung // Sitsungsber. Wien. Akad. Miss. Math. Maturw. - 1889. -Bd. 98, $ 11a - S. 473-484.

10. Флеминге M.С. Процессы затвердевания. - M.: Мир, 1977. 423 с. щ/."'II. Jackson К.A., Chalmers В. Kinetics of solidification // Can. J. Phys. - 1956. -7. 34. $ 6. -p. 473-490. 12. Jacobi H.„ Schwerdtfeeger K. Dendrite morphology of steady state unidirectionally solidified steel // Metallurgical tran-

sactions A. - 1976. - V. 7A. - p. 811-820.

13. Taha M.A. Some observations on dendritic morfology and dendri-te arm spacings .// Métal. Science. - 1979- - V. 13-, ЯМ . -p. 9-12.

14. ïrivedi R., Ailier W.A. Interface morphology during cristallisation /./ Acta Metallurgica. - 1978. - Y. 26. - p. 671-68715. Yoxxng K.P., Kirkwood D.H. The dendrite arm spacings of aluminium-copper alloys solidified under steady - state condition // Metall. Trans. - 1975- - V. 6k, - p. 197-20516. Черепанов A.H., Попов В.H. Формирование дендритной субструктуры при неравновесной кристаллизации кристаллизации сплавов // Математическое моделирование процессов затвердевания металлов и сплавов: Сб. научн. тр. - Новосибирск, ОФТП СО АН СССР,

1983. - с. I0-II.

17. Попов В.Н., Черепанов А.Н. 0 динамике поведения зародыша газового пузырька в гетерофазных средах // Журн. прикл. механики и техн. физики. - 1986. - » 4. - с. 68-76.

18. Емельянов В.А. Тепловая работа машин непрерывного литья заготовок. М.: Металлургия. 1988. 141 с.

19. Борисов В.Т. Кристаллизация бинарного сплава при сохранении устойчивости // ДАН СССР. - 1961. - Т. 136, $ 3. - с. 583-586.

20. Борисов В.Т., Виноградов В.В., Духнин А.й. и др. 0 применимости теории квазиравновесной двухфазной зоны к описани кристаллизации слитка // Изв. АН СССР. Металлы. - 1971, 16.-с. I04-II0.

21. Борисов В.Т., Матвеев Ю.Е. Кинетический режим развития двухфазной зоны в двойном металлическом расплаве. // Изв. АН СССР. Металлы, 1977. - » 3. - с. I0I-IÛ5.

22. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М. :

Металлургия, 1986. 223 с.

23. Авдонин H.A. Теория обобщенного решения задачи кристаллизации бинарной системы. - В. кн.: Прикладные задачи теоретической и математической физики. Рига, 1977, с. 3-26.

24. Черепанов А.Н. Математические модели неравновесной кристаллизации сплавов. - Новосибирск, 1988. - 45 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ие. Ин-т теплофизики; М 177-88).

25. Васин A.C. Модифицированное правило рычага для сталей. - Новосибирск, 1984. - 30 с. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ие. йн-т теплофизики; № 117).

26. Попов В.Н., Черепанов А.Н., Манолов В.Н. Сравнение результатов численного исследования процесса затвердевания стального слитка с помощью равновесной и квазиравновесной математических моделей // Численные методы и приложения: Сб. научн. тр. -София, 1989. - с. 385-389.

27. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

28. Демченко В.Ф., Ле Чонг Винь. 0 точности схемы сквозного счета для уравнения диффузии в многофазной среде с движущимися границами раздела фаз // Вычислительная и прикладная математика: Сб. научн. тр. - Киев: йзд-во Киевского ун-та, 1975. - Вып. 25. - С. 14-25.

29. Вудак В.М., Соловьева E.H., Успенский A.B. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Журн. вычисл. математики и матем. физики. - 1965. - Т. 5, # 5. - С. 828-841.

30. Соловьева E.H., Успенский A.B. Схемы сквозного счета численного решения задач для параболических уравнений с неизвестными границами // Вычислительные методы и програмирование: Сб. научн. тр. - М.: 1974. - С. 3-23.

31. Соловьева E.H., Успенский A.B. Схемы сквозного счета численного решения краевых задач с неизвестными границами для одномерных уравнений параболического типа // Методы решения краевых и обратных задач: Сб. научн. тр. - М.: Изд-во МГУ, 1975. - С. 3-23.

32. Самарский A.A., Мэисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерных задач Стефана // Журн. вычисл. математики и матем. физики. - 1965. - Т. 5, * 5. - С. 816-828.

33. Соловьева E.H. О методе итераций в решении многофронтовой задачи Стефана // Вычислительная математика и математическое обеспечение ЭВМ: Сб. научн. тр. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - С. 37-43.

34. Попов В.Н. Разностный метод сквозного счета с определением точного положения фронта для решения двухфазной задачи Стефана // Теплофизика кристаллизации и высокотемпературной обработки материалов: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1990. - С. 87-93.

35. Петров Е. Об одной экономической схеме сквозного счета для решения многофронтовых задач типа Стефана // Дифференциальные уравния и их приложения: Сб. научн. тр. - Вильнюс, 1985. -* 37. - с. 36-41.

36. Streit U. An efficient enthalpy-type method for the Stefan problem // IMA J. Mumer. Anal. - 1989. - Vol. 9> $ 3. -P. 353-372.

37. Li Chin Hsien. A finite-element front-tracking entalpy method for Stefan problems /./ IMA J. Mumer. Anal. - 1983. - Vol. 3> » 1. - P. 87-107.

38. White R.E. A modified finite difference scheme for the Stefan problem // Math. Comput. - 1983. - Vol. 41 > * 164. -p. 337-347.

39. Аверкин Ю.А., Черепанов А.Н., Шарапов В.Н. Эволшция флщдных систем при ретроградном кипении магм. - Новосибирск, 1988. -52 с. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ие. Институт геологии и геофизики; # 886).

40. Shimazu J. к thermod.yiiami.cal aspect of the earth interiorphi-phisical interpretation of magma tic differentiation process .// J. Earth Sci. Magoya Univ., 1959- - V. 7. - p. 1-34.

41. Shimazu J. A thermodynamical aspect of the earth interior-phisical interpretation of magma tic differentiation process /./ J. Earth Sci. Magoya Univ., 1960. - 7. 8. - p. 72-85.

42. Shimazu Y. Physical theory of generation, upward transfer, differentiation and explosion of magma // J. Earth Sci. Magoya Univ., 1961,- Y 9. - P. 185-22343. Френкель М.Я., Ярошевский А.А. Кристаллизационная дифференциация интрузивного магматического расплава // Геохимия, 1976. -№8. - с. II97-I2Q3; » II. - с. 1624-1632.

44. Черепанов А.Н., Шарапов В.Н., Кривенко А.П. Модель динамики неравновесной кристаллизационной дифференциации магмы в бази-товых плутонах // Геология и геофизика, 1983. - $ 3. -с. 85-89.

45. Шарапов В.Н., Черепанов А.Н. Динамика дифференциации магм. -Новосибирск: Наука, 1986. 192 с.

46. Черепанов А.Н., Цимбал В.П., Попов В.Н., Мочалов С.П. Компьютерное моделирование теплофизических процессов в металлургическом реакторе непрерывного действия // Изв. ВУЗов. Черная металлургия. - 1996. - # 12. - С. 42-47.

47. Черепанов А.Н., Попов В.Н. Компьютерная модель формирования профильного изделия, получаемого вытягиванием вниз из расплава // Кристаллизация и компьютерные модели: Труды V Междунар.

конф., окт. 1992 г. - Ижевск, 1994. - С. 69-74.

48. Черепанов А.Н., Казаков A.A.., Плаксин С.И., Попов В.Н. Компьютерное исследование формирования химических соединений переменного состава при кристаллизации // Кристаллизация и компьютерные модели: Труды Y Междунар. конф., окт. 1992 г. - Ижевск, 1994. - С. 75-84.

49. Черепанов А.Н., Попов В.Н. Влияние переменного поля давления на поведение газового пузырька в двухфазной зоне // Изв. АН СССР. Металлы. - 1977. - 1 5. - С. 31-38.

50. Черепанов А.Н., Попов В.Н., Айзатулов P.C. и др. Расчетно-экспериментальное исследование тепловых режимов формирования непрерывного слитка стаж // Изв. ВУЗов. Черная металлургия.

- 1997. - » 8. - С. 43-47.

51. Черепанов А.Н., Манолов В.К., Попов В.Н., Рашев Ц.В., Илиев О.П. Математическое моделирование затвердевающей стаж с учетом образования двухфазной зоны // Высокоазотистые стали-89: Труды Междунар. научно-техн. конф. - НРБ, Варна, 1989. -С. 99-101.

52. Самарский A.A. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982.

- 272 с.

53. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967.

54. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. - М.: Наука, 1973. - 416 с.

55. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978.

56. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980.

57. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 631 с.

58. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1962.

59. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. - М.: Наука, 1977.

60. Никитенко Н.й. Исследование нестационарных процессов тепло- и массообмена методом сеток. - Киев: Наукова думка, 1971.

61. Никитенко Н.И. Исследование процессов тепло- и массообмена методом сеток. - Киев: Наукова думка, 1978.

62. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. 4.2. -М.: Высшая школа, 1982.

63. Лаевский Ю.М. Проекционно-сеточные методы решения двумерных параболических уравнений. - Новосибирск, 1987.

64. Yarga R.S. Matrix iterative analysis. - N. Y.: Prentice-Hall, Bnglevrood Cliffs, 1962.

65. Franz A.P., Franz G.A., Selberherr S., Ringhofer C., Markovich P. Finite boxes - a generalization of the finite-difference method suitable for semiconductor device simulation .// IBEB Trans, on Б1. Dev. - 1983. - V. 30, $ 9. - P. 1070-1081.

66. Hackbush W. On first and second order box schemes // Computing.

- 1989. - V". 41. - P. 277-286.

67. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. - М: Мир, 1990. - Т. I.

68. Туракулов А.А. Программная реализация метода конечных объемов для решения трехмерного уравнения Пуассона. - Новосибирск, 1994. - 32 с. - (Препринт / РАН Сиб. отд-ние. Вычислительный центр; # 1009).

69. Ильин В.П. Интегро-балансные аппроксимации повышенной точности

- Новосибирск, 1992. - 28 с. - (Препринт / РАН Сиб. отд-ние. Вычислительный центр; $ 962).

70. Самарский А. А. 0 сходимости и точности однородных разностных схем для одномерных и многомерных параболических уравнений // Журн. вычисл. математики и матем. физики. - 1962. - Т. 2, $ 4.

- С. 603-634.

71. Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках // Журн. вычисл. математики и матем. физики. -1963. - Т. 3, Л 3. - С. 431-446.

72. Douglas J. The application of stability in the numerical solution of quasi-linear parabolic differential equftions // Trans. Amer. Math. Soc. - 1958. - Vol. 89, 12. - P. 484-518.

73. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагоналъные матрицы и их приложения. - М.: Наука, 1985.

74. Pandian Maharaja С. A partial upwind difference scheme for nonlinear parabolic equations .// J. Comput. and Appl. Math. -1989. - Vol. 26, * 3. - P. 219-23375. Galeone L. The use of positiv matrices for the analisis of

the large time behavior of the numerical solution of reaction-diffusion sistem // Math. Comput. - 1983- - Vol. 41, Л 164. -P. 461-485.

76. Черепанов A.H., Попов B.H., Караник Ю.А., Григорьева Г.ML Оптимизация процесса формирования отливки с помощью вычислительного эксперимента // Кристаллизация и компьютерные модели: Труды IV Всесоюзной конф.- 1991 г.- Ижевск, 1991.- С. I07-II5.

77. Дренска Н.Т. Об одной задаче сопряжения двух параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, $ 12.

- С. 2251-2262.

78. Дренска Н.Т. Свойства разностных схем для задачи об остывании металла в форме // Дифференциальные уравнения. - 1980. - Т. 16, J 9 - С. 1677-1687.

79. Дренска Н.Т. Разностные схемы для энтальпийной постановки одной задачи о кристаллизации металла в форме // Численные методы и пакеты программ для решения уравнений математической физики: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1985. - С. 3-9.

80. Дренска Н.Т. Точность численных алгоритмов для одномерной задачи об остывании металла в формах // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Выч. математика и кибернетика. - 1981. - # 4. - С. 60-64.

81. Самарский А..А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журн. вычисл. математики и матем. физики. - 1962. - Т. 2, * 5. - С. 787-811.

82. Самарский А.А. Однородные разностные схемы для нелинейных уравнений параболического типа // Журн. вычисл. математики и матем. физики- - 1962. - Т. 2, » I. - С. 25-56.

83. Саулъев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. - М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960.

84. Мату с П., Станишевская Л. 0 безусловной сходимости некоторых разностных схем для многомерных параболических и гиперболических уравнений с переменными коэффициентами в равномерной метрике // Дифференциальные уравнения и их применение: Сб. научн. тр. - Вильнюс, 1989. - Вып. 44. - С. 40-53.

85. Ильин В.П. Сравнение двух итерационных алгоритмов решения пятиточечных сеточных уравнений. - Новосибирск, 1990. - 15 с. -(Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ие. Вычислительный центр; $ 886).

86. Ильин В.П. Методы неполной факторизации. Ч. I. Явные алгоритмы // Вопросы атомной энергетики. Сер. Математическое моделирование физических процессов. - 1990. - Вып. 2. - С. 17-24.

87. Ильин В.П. Методы неполной факторизации. Ч. 2. Неявные алгоритмы // Там же. - С. 25-29.

88. Ильин В.П. Методы неполной факторизации. Ч. 3. Теория и эксперименты // Вопросы атомной энергетики. Сер. Математическое моделирование физических процессов. - 1990. - Вып. 3. - С. 22-27.

89. Кучеров ¿.В., Николаев E.G., Самарский A.A. Прогресс в построении эффективных итерационных методов для решения уравнения диффузионного типа // Вопросы атомной энергетики. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. - 1985. - Вып. 5. - С. 3-11.

90. Воронков A.B., Кучеров A.B., Николаев Е.С. и др. Исследование эффективности итерационных методов решения уравнения диффузионного типа // Вопросы атомной энергетики. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. - 1985. - Вып. 5. - С. 12-17.

91. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. - М.: Физматлит, 1995. - 288 с.

92. Доледенок O.A., Ильин В.П. 0 скорости сходимости метода неполной факторизации для диффузионно-конвективных уравнений // Труды ВЦ СО РАН. Вычислительная математика: Сб. научн. тр. -Новосибирск, 1995. - Я 3. - С. 41-51.

93. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1995.

94. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. 392 с.

95. Соболев В.В., Трефилов П.М. Оптимизация тепловых режимов затвердевания расплавов. - Красноярск: йзд-во Краен, ун-та, 1986. - 154 с.

96. Черепанов А.Н., Куценко В.М., Свободов А.Н. Математическая модель процесса формирования структуры непрерывного слитка стаж типа фермонал // Изв. АН СССР. Металлы. 1989. JS5. С. 60-66.

97. Журавлев В.А. 0 макроскопической теории кристалжзации сплавов // Изв. АН СССР. Металлы. 1976. J» 5. С. 93-99.

98. Черепанов А.Н. К макроскопической теории неравновесной крис-талжазции сплавов (Сообщение 2)// Изв. вузов. Черн. металлургия. 1988. № 4. С. 50-54.

99. Ермаков О.Н., Лебедев В.И., Евтеев Д.П.и др. Комплексное определение гидравлических и теплотехнических параметров водовоз-душного охлаждения непрерывножтых сжтков // Сталь. 198?. * 6. С. 24-27.

100. Нисковских В.М., Каржнский С.Е., Веренов А.Д. Машины непрерывного жтья слябовых заготовок. - М.: Металлургия, 1991. 272 с.

101. Мураками М., Микамэ Т., Тэдзука К. Исследование метода водовоз душного охлаждения на блюмовой МШВ // Testu-to-hagane. - 1985. - V. 71., № 4. - Р. 257.

102. Фукуми Д., Мияваки Е., Тэрада 0. Разработка метода водовоз-душного охлаждения. Часть 3. Применение водовоздушного охлаждения на МНЛЗ $ 4 завода Фуку яма // Testu-to-hagane. -1984. - У. 70, » 12. - Р. 993.

103. Накасима К., Харики М., Такасима К., Кавасаки М. Разработка технологии смешанного водовоздушного охлаждения для непрерывного жтья. Сообщение 3. Коэффициент теплопередачи в процессе смешанного воздушно-водяного охлаждения // Testu-to-hanage. - 1985. - У. 71 , № 12. - Р. 1055.

104. Коваленко А.Д. Основы теории термоупругости. - Киев: Наукова думка, 1979. - 307 с.

105. Черепанов А.П., Попов В.Н., Георгиев Г., Караник Ю.А. Математическое модежрование теплсфизических и термоупругих процессов при затвердевании стальной отжвки // Литейное производство. - 1994. - * 3. - С. '25-27.

106. Черепанов А.Н., Попов В.Н., Караник Ю.А., Георгиев Г. Числен-

вые исследования тепловых термоупругих процессов формирования цилиндрической отливки // Применение компьютеров в литейном производстве: Материалы III Междунар. конф., июль 1990 г. -НРБ, София, 1990. - С. 135-136.

107. Попов В.Н., Черепанов Á.H., Аброськин А.Е. и др. Компьютерное моделирование процессов затвердевания металла и тепловых полей в многоочковой чугунной изложнице // Кристаллизация: компьютерные модели, эксперимент, технология: Тезисы VI Меж-дунар. конф-, 1994 г. - Ижевск, 1994. - С. 50-51.

108. Ильин В.П., Попов В.Н. Сходимость разностного решения для одномерной задачи кристаллизации металла в форме // Численные методы механики сплошной среды: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1989. - Т. 3(20), * 4. - С. 73-82.

109. Попов В.Н. Сходимость разностной схемы для двухмерного квазилинейного уравнения параболического типа // Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа: Сб. научн. тр. -Новосибирск, 1991. - с. 124-133.

НО. Гавзе М.Н., Гудцов Н.Т. Воздействие ртути как теплоносителя на сталь в энергетических установках. М.: йзд-во АН СССР, 1963. - 240 с.

111. Кристаллизация из расплава. Справочник. Под ред. Хайка К., Вуринча Э.М. - М-: Металлургия. 1987. - 319 с.

112. Денисов В.А., Денисов A.B. Метод расчета температур затвердевания стаж // Литейное про-во. - 1982. - J 5. - С. 11.

113. Теплсфизические свойства веществ. Справочник. Под ред. Вар-гафтика Н.Б. - М.-Л.: Госэнергоиздат, 1956. - 367 с.

114. Зиновьев В.Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах. - М.: Металлургия, 1989. - 384 с.

115. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов ядерной тех-

нш. - M.: Атомиздат, 1968. - 484 с.

116. Теплопроводность твердых тел. Справочник. Под ред. Охотина А.С. - М. : Энергоатомиздат, 1984. - 321 с.

117. йзлучательные свойства твердых материалов. Справочник. Под ред. Шейндлина A.M. - M.: Энергия, 1974. - 471 с.

118. Конструкционные материалы. Справочник. Под ред. Арзамасова Б.Н. - М. : Машиностроение, 1990. - 688 с.

119. Крылов В.й., Бобков В.В., Монастырный П.й. Вычислительные методы. T. I. - М.: Наука, 1976.

120. Крылов В.й., Бобков В.В., Монастырный П.й. Вычислительные методы. T. II. - М.: Наука, 1977.

121. Ильин В.П., Попов В.Н. 0 применении метода неполной факторизации для решения двухмерного параболического уравнения // Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1991. - С. 61-75.

122. Ильин В.П. Разностные методы решения элиптических уравнений.

- Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1970.

123. Ильин В.П. Балансные аппроксимации повышенной точности для уравнения Пуассона // Сибирский математический журнал.- 1996.

- Т. 37, » I. - С. 151-169.

124. Золотухин В.В., Шарапов В.Н. Исследование условий формирования рудоносных интрузий // Сов. геол. - 1968. - J 8. - С. 72-84.

125. Попов B.c. Механизм интрузии тонких даек и силлов // Изв. АН СССР. Геология. - 1978. - J 10. - С. 713-718.

126. Поспелов Г.Л. Парадоксы и геолого-физическая сущность метасоматоза. - Новосибирск: Наука, 1973. - 303 с.

127. Пек А.А. К интрузивной способности магматически расплавов // Изв. АН СССР. Геология. - 1968. - if 7. - С. 3-12.

128. Желтов Ю.П. Деформации горных пород. - Москва: Наука, 1966. -138 с.

129. Pollard D.D., Mufler О.Н. The effects of gradients in regio-onal stress an magma pressure on the form of sheet intrusions in cross section // J. Geophys. Res. - 1976. - Y. 81. - C. 975-984.

130. Pollard D.D., Delaney P.T.„ Duffield W.A., Okamura k.T. Surface deformation in volcanic rift zone // Tectonophysics. -1983. - Y. 53. - C. 27-57.

131. Шарапов B.H. К динамике интрудирования магм // Метасоматоз и интрузии при магматизме и рудообразовании: Сб. научн. тр. -Новосибирск: Наука, 1976. - с. 102-122.

132. Попивняк Й.В., Лазько Е.Е. Включения затвердевших расплавов в минералах кимбержтовых пород Западной Якутии // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 244, Ji I. - С. 194-197.

133. Brandais G., Jaupart 0. On the interaction between convection and crystallisation i cooling magma chambers // Barth Planet Sci. Let. - 1985. - V. 77. - P. 345-361.

134. Френкель М.Я., Ярошевский А.А., Арискин А.А. и др. Динамика внутрикамерной дифференциации мата. М.: Наука, 1988. - 216 с.

135. Hort М.„ Marsh B.D., Spohn Т. Igneous layering through oscillatory nucleation and crystal seting in well-mixed magmas .// Contrib. Miner. Petrol. - 1993- - Y. 114. - C. 425-440.

136. Marsh B.D. Magma chambers .// Ann. Rev. Barth Planet. Sci. -1989- - Y. 17. - P. 439-474.

137. Worster S.G., Hurppert H.E., Sparks S.J. Convection and crystallisation in magma cooled from above /7 Barth Planet. Sci. Let. - 1990. - Y. 101. - P. 78-89.

138. Delaney P., Pollard D.D. Solidification of magma during

flow ill a dyke .// Amer. J. Sci. - 1982. - V. 282. - 6. -P. 856-885.

139. Huppert H.E. „ Sparks R.S.I. Cooling and contamination of mafic and ultramafic magmas during ascent through continental crust // Earth Planet. Sci.Let. - 1985. - У. 74.- P. 371-386.

140. Cherepanov A.N., Sharapov V.N., Aprosimova N.G. The dynamics of magma crystallization in intrusive processes // Modern Ge-ol. - 1986. - Y. 10. - P. 51-63.

141. Bruce P.M., Huppert H.E. Solidification and melting along dykes by the laminar flow of basaltic magma //Magma transport and storage. Wiley &, Sons. Ltd. - 1990. - P. 84-101.

142. Petford N., Lister J.R. , Kerr R.C. The ascent of felsic magmas in dykes /7 Lithos. - 1994. - V. 32. - P. 161-168.

143. Cherepanov A.N. Sharapov Y.N. The heat transfer in the basic magna flow through slitt channals /./ Modern Geol. - 1993- -Y. 17. - P. 343-353144. Parfitt B.A. Wilson L., Head J.W. Ill Basaltic magma reservoirs: factors controlling thier rupture characteristics and evolution .// J. Yolcanol. Geo therm. Res. - 1993. - V. 55- - P. 1-14.

145. Баландин Т.Ф. Литье намораживанием. - Москва: Машгиз., 1962. - 825 с.

146. Вейник A.M. Теория специальных видов литья. - Москва: Машгиз., 1956. - 300 с.

147. Ryan М.Р. Neutral buoyancy and mechanical evolution of magma-tic systems.Magmatic Processes, Physical Principles // The Geochem Soc. Sp. Publ. - 1987- - V. 1. - P.259-287.

148. Ryan M.P. Neutral buoyancy and the structure of Mid-Ocean Ridge magma reservoirs // J. Geophys. Res. - 1993. - V. 98. -

* В12. - P. 22321-22338.

149. Lirster J.R., Kerr R.C. Fluid-mechenical models propagation and their application to magma-transport in dykes // J. Geophys. Res. - 1991- - V. 96- -P. 10049-10077.

150. Dvorak J.J., Dzurisin D. Variations in magma supply at Kilauea volcano, Hawaii .// J. Gephys. Res. - 1993- - V. 98.

# B12. - P. 22255-22268.

151. Hokomb R.T. Eruptive history and long-term behevior of Kilauea volcano /./ Yolcanism in Hawaii. U.S. Geol. Sur. Prof. Paper № 1360. - 1987- - P- 261-350.

152. Tilling R.I. Fluctuations in surface height of active lava lakes during 1972 - 1974 Mauna Ulu er apt ion, Kilauea volcano, Hawaii /7 J. Geophys. Res. - 1987. - V. 92., M B13. - P. 13721-13730.

153. Phillips W.J. Dynamic emplacement of cone sheets /./ Tectono-physics. - 1974. - V. 24- - G. 69-84154. Pollard D.D. Equations for stress and displacement fields

around pressurised elliptical holes in clastic solids .// Math. Geol. - 1973- - 5. - 0. 11-25.

155. Roberts J.L. The in tr is ion of magma into foritle rocks //Geol. J. Spec. - 1970. - Issue 2. - G. 287-338.

156. Rabin A.M., Pollard D.D. Origins of blade-lake dikes in volcanic rift zone // US Geol. Ser. Profes. Pap. 1350. Washington. - 1987. - C. 1449-1470.

15?. Schlakenatlas (slag atlas). Verlag stahleisen M.B.H. Dordrecht, 1981. - 197 p. 158. Yoller V.R., Brent A.D., Prakasy C. The modeling of heat, mass and solute transport in solidification systems // J. Heat Mass Transf. - 1989. - V. 32, № 9. - P. 1719-1731.

159. Лойцанский А.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973.

- 847 с.

160. Ten Brink U.S., Brocher Ф.М. Multichannel seismic evidence for a subcrustal intrusive complex under Oahu and model for Hawaiia n volcanism // J. Geophys. Res. - 198?. - У. 92, JS B13. - P- 13687-13707.

161. Котляр П.Е. Пространственно-временные модеж Гавайской вулка-канической системы (томографический анажз сейсмичности). -Новосибирск, 1989. - 40 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ие. ЙГИГ; * 14).

162. Klein F.R., Koyanagi R.Y., Makata J.S., Tanigawa W.R. The seism is it.у of Kilauea's magma system ././ Volcanism in Hawaii, US Geol. Sur. Prof. Paper - 1987. 1350. - P. 1019-1185.

163. ShawH.R., Chouet B. Fractal hierarchiers of magma transport in Hawaii and critical self-organisation of tremor // J. Ge-ophys. Res. - 1991. - V. 96, B6. - P. 191-102.

164. Meal O.A., Dagger T.J., Wolfe E.W. Lava samples, temperature, and compositions // The Puu Oo eruption of Kilauea volcano, Hawaii: Episides 1-20, 1983-1984. US Surv. Prof. Pap. - 1988.

- £ 1463. - P. 99-126.

165. Lirster J.R., Kerr R.C. Pluid-mechenical models propagation and their application to magma-transport in dykes // J. Geo-phys. Res. - 1991. - V. 96. - P. 10049-10077.

166. Кимбержты и кимбержтоподобные породы. - Новосибирск: Наука, 1990. - 261 с.

167. Лампроиты. - М.: Наука, 1991. - 294 с.

168. [Парков Е.В. Петрология расслоенных интрузий. - Л.: Наука, 1980. - 180 с.

169. Wager L., Brown G. Layering Rocks. - Bdinburg-London, 1968.

- 588 p.

170. Шарапов В.H., Черепанов A.H., Попов В.H. Динамика охлаждения базитового расплава при заполнении воронковидной интрузивной камеры // ХШ-е Российское совещание по экспериментальной минералогии: Тез. докл., сент. 1995 г. - Черноголовка, 1995. - С. 182-183.

171. Sharapov y.К., Cherepanov A.N., Popov y. m., Lobov À.G. Byna-mic solidification of foasic melt at emplacement of magmatic chambers of différent shapes // Bxperiment in geosciences. 1996. - * 2.

172. Шарапов В.П., Черепанов А.П., Попов В.П., Лобов А.Г. Динамика охлаждения базитового расплава при заполнении воронковидной интрузивной камеры // Петрология. - 1997. - Т. 5, $ I. -С. 10-22.

173. Шарапов В.Н., Черепанов А.П., Попов В.И. Термодинамические условия развития и вырождения структурных фаций магматических тел .// Геология и геофизика.- 1995.- Т. 36, $ 12. - С. 80-98.

174. Шарапов В.П., Черепанов А.П., Попов В.Н. Динамика развития и формирования лополитов // Докл. РАН. - 1997. - Т. 352, J 5. -С. 672-675.

175. Черепанов А.Н., Шарапов В.Н., Попов В.Н. Динамика охлаждения базитового расплава при заполнении магматических камер // Геология и геофизика. - 1996. - Т. 37, #7. - С. 47-59.

176. Хворинов Н.й. Кристаллизация и неоднородности стаж. - М. : Машгиз, 1958. - 390 с.

177. Раддл Р.У. Затвердевание отливок. - М. : Машгиз, i960.- 391 с.

178. Хренов А.П. Динамика извержений и процессов кристалжзации магм. - М.: Наука, 1982. - 124.

179. Wolfe B.W., Ыеа1 С.A., Banka N.G., Duggan T.J. Geologoical

observation and chronology of eruptive events // U.S. Geol. Surv. Prof. Paper. - 1988. - № 1463- - P. 1 - 98.

180. Origins of igneous layering // NATO ASI Series С. У. 196. Dordrecht - Boston - Tokyo. 1987. 626 p.

181. Черепанов A.H., Попов В.П., Черепанова B.K. Моделирование динамики тепловых процессов в изложнице и затвердевающих слитках металла // Металлы. - 1998. - » 2.

182. Попов В.й. Применение метода неполной факторизации для решения задач теплопереноса с использованием неявных разностных схем. - Новосибирск, 1997.- 15 с. - (Препр./ РАН. Сиб. отд-ние. йн-т теорет. и прикл. механ.; » 4-97).

183. Николайчик Н.П. Повышение стойкости чугунных изложниц. - М.: Металлургиздат, 1956. 232 с.

184. Микеладзе Ш.Е. О численном интегрировании дифференциальных уравнений с частными производными // Изв. АН COOP. Сер. Физ.-мат. - 1934, » 6. - С. 819-842.

185. Самарский A.A. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности // ЖВМиМФ. - 1963, Т. 3, » 5. - С. 812-840.

186. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. - Новосибирск, НГУ, 1973.

187. Паасонен В.й. Обобщение методов повышенной точности для нелинейных уравнений 2-го порядка в ортогональных системах координат // Численные методы механики сплошной среды: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1977. - Т. 8, » 2. - С. 94-99.

188. Douglas J., Quirn G. Two high correct difference analogues for the eguation of multidimensional heat flow // Math, of Comput. - 1963.- T. 3, # 5.

189. Spots W.F., Garey G.F. High order finite difference methods

/7 Proceed, of the ICOSAHOM-95 Conference, UH, Texas, 1996.

- P. 397-408.

190. Abarbanel S.A., Ditkowski A. Asymtotically stable fourth-order accurate schemes for the diffusion equation on coplex shapes // J. Comput. Physics. - 1997. - rvr. 133. - P. 279-288.

191. XuH.Y., Matovic M.D., Pollard A. Finite difference schemes for three-dimensional time-dependent convection-diffusion equation using full global discretisation /7 J. Comput. Physics. - 1997. - V. 130. - P. 109-122.

192. Gupta M.M., Kouatchou J.K., Zhang J. A compact multigrid solver for convection-diffusion equations //J. Comput .Physics.

- 1997. - V. 132. - P. 123-129.

" _1997 г.

СПРАВКА

о внедрении результатов численного исследования тепловых процессов в чугунной изложнице

На Новосибирском заводе химконцентратов при оптимизации конструкции пятиканальной изложницы использовались математическая модель и численный алгоритм, изложенные в диссертационной работе старшего научного сотрудника Института теоретической и прикладной механики СО РАН к.ф.-м.н. Попова В.Н. Разработанный пакет компьютерных программ применяэтся для анализа развития нестационарных теплофизических и термоупругих процессов системе затвердевающие слитки - изложница.

Начальник ЦНИЛ

Аброськин И. К