Численное моделирование искусственного замораживания фильтрующих грунтов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Павлова, Наталья Васильевна

• Павлова, Наталья Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павлова, Наталья Васильевна

Содержание

Введение

Глава 1. Численное моделирование задачи промерзания грунта с фазовым переходом

1.1. Математическая модель

1.2. Конечно-элементная дискретизация

1.3. Вычислительная реализация

1.4. Численное исследование тестовой задачи

1.5. Численное решение модельной ЗБ задачи

Глава 2. Численное моделирование задачи замораживания фильтрующих грунтов

2.1. Математическая модель

2.2. Конечно-элементная дискретизация

2.3. Численное моделирование фильтрации методом фиктивных областей

2.4. Численное решение модельной ЗБ задачи

Глава 3. Прикладные задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов

3.1. Температурная стабилизация вертикальных скважин

3.2. Моделирование укрепления фундаментов зданий

3.3. Моделирование замораживания ствола шахты

Заключение

Литература

>

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование искусственного замораживания фильтрующих грунтов»

Введение

Исследование современных прикладных проблем базируется на применении информационных технологий. Интеллектуальным ядром информационных технологий является математическое моделирование [1-8]. Вычислительные средства (компьютеры и численные методы) делают возможным описание свойств исследуемого объекта с необходимой полнотой и детальностью на основе адекватных математических моделей. Исследуемые математические модели включают системы связанных друг с другом нестационарных нелинейных уравнений с частными уравнениями, системы обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений.

Эффективное решение большинства прикладных задач предполагает широкое использование компьютеров и, следовательно, разработку ориентированных на компьютеры численных методов [9-13]. Вычислительные технологии используются при решении стационарных и нестационарных краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными. При приближенном решении нестационарных задач основное внимание уделяется разностным методам [14-25]. В тоже самое время, аппроксимация по пространству может быть как разностной, так и конечно-элементной. Проблемы применения конечно-элементных аппроксимаций при решении нестационарных задач обсуждаются в [26, 27].

Исследование изменений температурного режима грунтов является необходимым элементом инженерно-геологического обоснования строительства объектов в районах многолетнемерзлых грунтов. При сезонном оттаивании мерзлых грунтов изменяются их физико-механические свойства, что приводит к нарушению несущей способности фундаментов зданий и сооружений. Для укрепления фундаментов используется метод замораживания грун-

tob [28-31]. Замораживание грунтов может производиться с помощью специальных холодильных установок или с помощью сезонных охлаждающих устройств, не требующих затрат электрической энергии в условиях резко континентального климата Крайнего Севера [32]. Использование сезонных охлаждающих устройств также позволяет производить охлаждение грунтов в районах, где электричество не доступно, например, на нефтепроводах и газопроводах.

Искусственное замораживание фильтрующих грунтов применяется практически во всех областях строительства и горного дела. Такая технология, например, широко применяется при проходке шахт, тоннелей, метрополитенов, выемке котлованов глубоких фундаментов, гидротехническом строительстве для устройства противофильтрационных завес, предотвращающих проникновение в различные водоносные горизонты больших объемов воды с растворенными вредными веществами. При строительстве зданий на многолетне-мерзлых грунтах искусственное замораживание с использованием охлаждающих устройств применяется вблизи свай для обеспечения устойчивости, за счет создания вокруг сваи глыбы замерзшего грунта большой массы, которая предохранит грунт от размораживания в течение летнего периода [33-37].

При строительстве стволов подземных рудников технология термостабилизации фильтрующих грунтов применяется для прохода через водоносные горизонты, что позволяет избежать загрязнения окружающей среды, связанные с утилизацией откачиваемых высокоминерализованных вод. Для создания противофильтрационной завесы, вокруг ствола рудника устанавливаются замораживающие колонны, в которых курсирует хладагент, охлаждаемый специальными компрессионными установками. Создаваемая таким образом плотная ледяная стена призвана защитить ствол от попадания воды, а также позволяет повысить несущую способность массива горных пород [38, 39].

При проектировании инженерных сооружений на вечномерзлых грунтах проводится научное обоснование технических решений. Для этого используют методы математического моделирования технологических процессов взаимодействия оснований, фундаментов зданий и сооружений с грунтами.

Математические модели процессов тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах, искусственного замораживания фильтрующих грунтов представлены, например, в работах [40-47].

Во многих работах исследуются модели, описывающие физические процессы тепломассопереноса в многолетнемерзлых грунтах с учетом влияния взаимодействующих объектов. Например, вопросы обеспечения устойчивости копров вертикальных стволов подземных рудников в алмазодобывающей промышленности рассмотрены в работах [48, 49] и др. В этих работах представлены разработки математических моделей сложных геотехнологических сооружений, предложены численные расчеты задачи температурной стабилизации грунтов в основании башенных копров с использованием охлаждающих устройств (замораживающих скважин).

В работе [50] рассматриваются аналитические решения задачи промерзания подземной ледопородной емкости в фильтрирующем пласте для одномерного случая, приводятся результаты экспериментальных данных для определения теплопритока и среднего безразмерного радиуса промерзания на различные периоды времени. Проблемы определения равновесной формы тел, образовавшихся при застывании фильтрационного потока, рассмотрены в работах [51-53]. В этих работах исследуется настационарный перенос тепла при замораживании фильтрующих грунтов на основе математической модели, учитывающей произвольное расположение хладоисточников. Рассмотрены приближенные подходы к исследованию динамики роста ледопородных ограждений в режиме фильтрационного потока в двумерном случае.

В большинстве случаев (в двумерном и трехмерном) аналитические решения задачи промерзания фильтрующего грунта получить сложно. В связи с этим представляется актуальным численное исследование нестационарных нелинейных многомерных задач тепломассопереноса с фазовыми превращениями.

Основные подходы математического моделирования тепломассообмена в многолетнемерзлых грунтах строятся на локализации области фазового перехода [54-56]. Для численного моделирования процессов теплопереноса с фазовыми превращениями используется классическая модель Стефана, характеризующаяся заданием постоянной температуры на границе фазового перехода [57-60].

При численном решении модели Стефана используются два основных подхода: методы с выделением границы раздела фаз (variable domain methods) и методы без выделения границы, т.е. методы сквозного счета (fixed domain methods) [58, 61, 62]. В первом подходе используются методы, в которых положение свободной границы фазового перехода определяется на каждом временном слое положением соответствующих узлов расчетной сетки. Например, в одномерном случае адаптация к границе раздела фаз может осуществляться за счет использования переменных шагов по времени (ловля фронта в узел сетки). Также к первой группе относятся методы с выпрямлением фронта, когда используется динамическая сетка постоянной структуры с закреплением узлов на границе раздела фаз. Такие методы плохо приспособлены к решению многомерных задач в связи с алгоритмическими сложностями и большими вычислительными затратами [58, 61].

Для приближенного решения многомерных задач широкое распространение получили методы сквозного счета. Для этого используется обобщенная формулировка классической задачи Стефана, при которой условия Стефана

включаются в само уравнение теплопроводности с применением дельта-функции. Выделение или поглощение тепла при фазовом переходе соответствует наличию сосредоточенной теплоемкости на границе фазового перехода.

При моделировании промерзания грунта помимо фазовых переходов нужно учитывать движение воды. Принципиальный факт, который усложняет численное решение задачи, связан с необходимостью расчета гидродинамических процессов в изменяющейся (динамической) расчетной области. Численное моделирование может проводиться на основе вычислительных алгоритмов сквозного счета.

Численное моделирование динамики несжимаемой жидкости и процессов тепло- и массообмена часто проводится на основе использования функции тока и вихря скорости [63-65]. В настоящее время имеется большое многообразие разностных схем для реализации такого подхода. При этом основное внимание уделяется проблемам аппроксимации конвективных слагаемых, граничным условиям для вихря. Ориентируясь на решение общих трехмерных задач, вычислительные алгоритмы приближенного решения уравнений На-вье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости строятся на основе использования стандартных естественных переменных давление, скорость. Основные проблемы численного решения таких задач связаны с расчетом давления, для которого в исходной постановке нет краевой задачи. На основе расщепления по физическим процессам (отделяется перенос, связанный с давлением) строятся эффективные вычислительные алгоритмы, в которых на сеточном уровне формулируется эллиптическая краевая задача для давления.

Для численного решения задач в сложных расчетных областях на фиксированной расчетной сетке используются методы фиктивных областей [66]. Применительной к задачам с фазовыми переходами с учетом гидродинамики различные подходы рассмотрены в обзоре [67]. Из более поздних работ в этом

направлении отметим работу [68].

Прикладные задачи связаны с необходимостью решения краевых задач в реальной геометрии. Расчетная область является трехмерной и достаточно сложной. Для учета геометрических факторов мы должны использовать достаточно большие нерегулярные расчетные сетки. Такие особенности учи-таваются, в частности, использованием конечно-элементных аппроксимаций по пространству.

Особенностью моделирования термостабилизации фильтрующих грунтов является ярко-выраженная геометрическая разномасштабность моделируемых объектов: небольшие диаметры замораживающих колонок и большие размеры ствола рудника, а также самой области моделирования процесса. При прикладном моделировании, даже при использовании существенно неравномерных расчетных сеток, их размеры получаются достаточно больших размеров: типичная расчетная сетка содержит десятки миллионов ячеек. Численное решение таких задач в настоящее время невозможно без применения вычислительных систем параллельной архитектуры.

Инженерные и научные вычисления проводятся на параллельных вычислительных системах, которые обеспечивают параллельную обработку данных на многих вычислительных узлах [69-71]. При разработке современного прикладного программного обеспечения необходимо учитывать эти особенности компьютеров для максимального использования их возможностей. При построении вычислительного алгоритма выделяются относительно самостоятельные подзадачи с возможностью их решения на отдельном вычислительном узле.

Параллельные вычисления поддерживаются различными технологиями программирования. Повышение быстродействия программы на вычислительных системах, которые имеют несколько процессоров, процессор с несколь-

кими ядрами, а также на кластере машин обеспечивается использованием многопоточной модели программирования. Для создания параллельных приложений широко используется OpenMP (Open Multi-Processing). Этот стандарт включает совокупность директив компилятора, библиотечных процедур и переменных окружения, которые предназначены для программирования многопоточных приложений на многопроцессорных системах с общей памятью. При разработке программ для параллельных вычислительных систем с распределенной памятью, для которых затраты на передачу данных между процессами велики, используется стандарт обмена данными MPI (Message Passing Interface).

В настоящее время теоретическое исследование прикладных проблем проводиться на основе широкого применения вычислительных средств (компьютеров и численных методов). Программное обеспечение в рамках концепции компонентного программирования базируется на использовании хорошо проработанных программных единиц для решения отдельных базовых проблем. Вычислительные технологии исследования базируются на построении геометрических моделей, генерации расчетной сетки, использовании того или иного способа аппроксимации непрерывной задачи, приближенному решению дискретных задач, визуализации и обработке расчетных данных.

Функциональное наполнение современных программных комплексов прикладного математического моделирования должно отражать достигнутый уровень развития теории и практики вычислительных алгоритмов и программного обеспечения, самих вычислительных комплексов. Эта цель достигается компонент-ориентированным программированием, которое базируется на использовании хорошо разработанного, оттестированного программного продукта для решения базовых математических задач (общематематического функционального наполнения).

Необходимо использовать наиболее совершенные вычислительные алгоритмы при реализации сложных нелинейных многомерных нестационарных прикладных моделей с учетом параллельной архитектуры (кластерной, многоядерной) современных вычислительных систем. Природа используемых алгоритмов должна быть чисто математической — без привлечения каких-либо других соображений. Иерархия по мере усложнения:

1. Решатели линейных задач — прямые и, прежде всего, итерационные при ориентации на системы большой размерности;

2. Решатели нелинейных задач — общие методы для решения нелинейных систем алгебраических уравнений при реализации;

3. Решатели для систем обыкновенных дифференциальных уравнений — решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые имеем при построении математических моделей.

Решатели должны поддерживать как скалярные, так и параллельные вычисления, отражать современное состояние численного анализа и прикладного программирования. Это означает, в частности, что нужно использовать соответствующее специализированное программное обеспечение, которое разработано специалистами по численному анализу, проверено широкой вычислительной практикой и хорошо оценено мировым научным сообществом.

Подобное прикладное программное обеспечение представлено, в частности, в коллекциях:

• Trilinos [72] — Sandia National Laboratory,

• SUNDIALS [73] — Lawrence Livermore National Laboratory,

• PETSc [74] — Argonne National Laboratory.

Актуализация функционального наполнения разрабатываемых программных комплексов прикладного математического моделирования будет проведена на основе компонентного программирования с использованием подобных свободных программных продуктов решения базовых задач численного анализа (решение линейных и нелинейных систем алгебраических уравнений, решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений).

Например,PETSc (The Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computation) [74] представляет собой набор структур данных и процедур, которые, как строительные блоки, применяются в реализации программных кодов крупномасштабных научных вычислений на параллельных (и последовательных) компьютерах. Большие возможности библиотек, решателей PETSc демонстрируются их использоватем во многих работах по прикладному математическому моделированию.

Для численного моделирования физических процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, существуют множество вычислительных пакетов различного уровня абстракции. Одним из них является вычислительный пакет FEniCS [75]. Основным достоинством FEniCS является простая формулировка вариационного уравнения, близкая к математическим обозначениям. Вариационную задачу получаем из дифференциального уравнения в частных производных. FEniCS является очень удобным инструментом для решения краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, методом конечных элементов.

Решение задач с помощью FEniCS состоит из следующих шагов:

1. Определение дифференциального уравнения в частных производных, задание граничных условий и представление в вариационной формули-

ровке;

2. Выбор конечных элементов, определение сеточной задачи, запись уравнения в ОТЬ-формате, генерация С++ классов из иРЬ-файлов, реализация численного решения;

3. Проведение экспериментов, вывод промежуточных значений, вычисление производных решения, визуализация результатов.

Кроме автоматического решения линейной и нелинейной вариационной задачи, к основным особенностям вычислительного пакетаРЕп^-СБ относятся:

• Автоматический контроль ошибок и адаптивность, возможность задания функционала, который должен минимизироваться с определенной точностью;

• Расширяемая библиотека метода конечных элементов: кроме стандартных конечных элементов, таких как лагранжевы, поддерживаются разрывные методы Галеркина, векторные элементы и специальные типы конечных элементов, такие как Сгоиге1х-11ау1аг1;;

• Высокопроизводительная линейная алгебра, несколько вариантов реализации линейной алгебры, такие как РЕТБс [74], ТгШпоз/ЕреЪга [76], иВЬАБ [77] и МТЬ4 [78], параллельные вычисления поддерживаются пакетами РЕТБс и ТгИз-поБ/Ере-Ьга;

• Поддержка расчетов в одно-, двух- и трехмерных областях, адаптивные расчетные сетки;

• Обработка результатов, возможность визуализации сетки, функций и полученных результатов, поддержка широко используемого формата УТК [79];

• Возможность использования языков программирования Python и С++, подобные интерфейсы классов и функций для обоих языков;

• Подробная документация и большое количество примеров, детальное описание алгоритмов и реализации пакета;

• Простая установка на большинство известных платформ.

Целью работы является разработка вычислительных алгоритмов, ориентированных на современные компьютеры параллельной архитектуры, для численного моделирования искусственного замораживания фильтрующих грунтов, разработка прикладного программного обеспечения и его использование для расчетно-теоретического исследования прикладных проблем искусственного замораживания.

Математические модели базируются на использовании уравнений теплопроводности с учетом фазового перехода, динамики жидкости в пористых средах. Используются вычислительные алгоритмы сквозного счета с размазыванием коэффициентов для задачи Стефана и метод фиктивных областей для описания процессов фильтрации. Вычислительная реализация базируется на конечномерных аппроксимациях по пространству на нерегулярных расчетных сетках и разностных схемах линеаризации по времени. Прикладное программное обеспечение построено на основе пакетаFEniCS. Расчеты выполнены на высокопроизводительном вычислительном кластере Ариан Кузьмин СВФУ им. М.К.Аммосова.

В первой главе проводится численное исследование задачи промерзания грунта с фазовыми переходами. Для моделирования процессов теплопе-реноса с фазовыми превращениями используется классическая модель Стефана, характеризующаяся заданием постоянной температуры на границе фазового перехода [58-60, 80, 81]. Процесс распространения тепла в пористой

среде описывается уравнением теплопроводности на основе уравнения сохранения энергии в энтальпийной формулировке. Дискретизация по пространству начально-краевой задачи проводится методом конечных элементов. Для аппроксимации по времени уравнения используется чисто-неявная схема с линеаризацией с предыдущего временного слоя. Численное решение задачи проводится в общей двумерной и трехмерной постановках. Приводятся результаты численных расчетов температуры с учетом фазового перехода: подбора ширины интервала фазового перехода, также приводится сравнение изотерм температуры на различных расчетных сетках со сгущением вблизи замораживающей скважины для различных моментов времени. В трехмерном случае проводится численное исследование эффективности распараллеливания на различных расчетных сетках в зависимости от количества запущенных процессов на вычислительном кластере.

Во второй главе рассматривается задача замораживания фильтрующих грунтов на основе различных моделей тепломассопереноса. Проводится численное исследование задачи фильтрации с движущейся границей фазового перехода с использованием метода фиктивных областей в общей двумерной и трехмерной постановках. Математическая модель включает уравнение неразрывности для поровой влаги и закон Дарси. Численная реализация модели базируется на методе конечных элементов и проводится в вычислительном пакете РЕтСЗ. Приводятся результаты численных расчетов распределения давления в зависимости от параметра продолжения разрывных коэффициентов фильтрации, от степени аппроксимационного полинома и на различных сетках. Полученные численные результаты сравниваются с эталонным решением уравнения на подробной сетке. Исследована зависимость количества итераций и времени счета от степени аппроксимационного полинома и расчетной сетки.

В третьей главе рассматриваются прикладные задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов: задача температурной стабилизации нефтяных и газовых скважин, задача укрепления фундаментов зданий и сооружений, а также моделирование замораживания грунтов с использованием охлаждающих устройств при проходке стволов рудников или шахт через фильтрующиеся грунты. Для численного моделирования процессов строятся математические модели тепломассопереноса с учетом температуры замораживающей жидкости в сезонных охлаждающих устройствах, температуры атмосферного воздуха, задаваемого с учетом типичного для Якутии сезонного колебания температуры (от —55°С до +35°С). Рассматриваемые прикладные математические модели (задачи) характеризуются большой размерностью расчетной сетки и поэтому решаются на компьютерах параллельной архитектуры (вычислительном кластере). Приводятся результаты численных расчетов распределения температуры и давления, которые показывают динамику сформированной (замороженной) ледопородной завесы с выраженным влиянием фильтрационного потока, а также показана хорошая эффективность распараллеливания на различных сетках.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Павлова, Наталья Васильевна

Заключение

Диссертационная работа посвящена разработке вычислительных алгоритмов и прикладного программного обеспечения, ориентированных на современные компьютеры параллельной архитектуры, для численного моделирования искусственного замораживания фильтрующих грунтов и его использование для расчетно-теоретического исследования прикладных проблем искусственного замораживания грунтов. Работа состоит из трех глав, 52 рисунков и 9 таблиц.

В диссертационной работе получены следующие научные результаты:

• Разработаны вычислительные конечно-элементные алгоритмы сквозного счета и прикладное программное обеспечение вычислительных систем параллельной архитектуры для численного исследования двух- и трехмерных моделей тепло- и массопереноса в фильтрующих грунтах с учетом фазового перехода;

• Проведено численное моделирование искусственного замораживания при стабилизации и укреплении инженерных сооружений в районах вечной мерзлоты: температурная стабилизация нефтяных и газовых скважин, укрепление фундаментов зданий и сооружений, замораживание грунтов при проходке стволов рудников или шахт через фильтрующиеся грунты.

Результаты, изложенные в диссертации, имеют большое практическое значение. Разработанные вычислительные алгоритмы и программное обеспечение позволяют проводить численные исследования прикладных задач искусственного замораживания грунтов на мощных вычислительных системах кластерного типа для оценки технических решений по температурной стабилизации и укреплении инженерных сооружений в районах многолетнемерз-лых грунтов.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РС(Я) (2008 г), гранта РФФИ - Дальний Восток (проект №12-01-98514) и гранта РФФИ (проект МЗ-01-00719А).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павлова, Наталья Васильевна, 2013 год

Литература

1. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2005.

2. Вабищевич П. Н. Численное моделирование. М.: Изд-во Московского университета, 1993.

3. Введение в математическое моделирование / В. Н. Ашихмин, М. Б. Гит-ман, И. Э. Келлер [и др.]. М.: Логос, 2005.

4. Dym С. L. Principles of mathematical modeling. Academic Press, 2004.

5. Meyer W. J. Concepts of mathematical modeling. Dover Publications, Inc., 2004.

6. Gershenfeld N. A. The nature of mathematical modeling. Cambridge University Press, 1999.

7. Golub G. H., Ortega J. M. Scientific computing and differential equations: an introduction to numerical methods. Academic Press, Inc. Orlando, FL, USA, 1991.

8. Strang G. Introduction to applied mathematics. Wellesley-Cambridge Press Wellesley, MA, 1986.

9. Grossmann C., Roos H. G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential equations. Springer Verlag, 2007.

10. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

11. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1994.

12. Knabner P., Angermann L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. Springer Verlag, 2003.

13. Larsson S., Thomee V. Partial differential equations with numerical methods. Springer Verlag, 2003.

14. Самарский А. А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1989.

15. Forsythe G. E., Wasow W. R. Finite Difference Methods for Partial Differential Equations. New York: Wiley, 1960.

16. Johnson G. M. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. Cambridge: Cambridge University Press, 1987.

17. Kreiss H. O., Lorenz J. Initial-Boundary Value Problems and the Navier-Stokes Equations. San Diego: Academic Press, 1989.

18. Mitchell A. R., Griffiths D. F. The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. Chichester: Wiley, 1980.

19. Richtmyer R. D., Morton K. W. Difference Methods for Initial-Value Problems. New York: Wiley, 1967.

20. Smith G. D. Numerical Solution of Partial Differential Equations. Finite Difference Method. Oxford: Clarendon Press, 1992.

21. Strikwerda J. C. Finite difference schemes and partial differential equations. Society for Industrial Mathematics, 2004.

22. Thomas J. W. Numerical Partial Differential Equations. Finite Difference Methods. Berlin: Springer-Verlag, 1995.

23. Hundsdorfer W. H., Verwer J. G. Numerical solution of time-dependent advection-diffusion-reaction equations. Springer Verlag, 2003.

24. Gustafsson B. High order difference methods for time dependent PDE. Springer Verlag, 2008.

25. Ascher U. M. Numerical methods for evolutionary differential equations. Society for Industrial Mathematics, 2008.

26. Fujita H., Suzuki T. Evolution problems // Handbook of numerical analysis. 1991. T. 2. C. 789-928.

27. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Springer Verlag, 2006.

28. Зильберборд А. Ф. Тепловой режим шахт в области распространения многолетнемерзлых горных пород:. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1963.

29. Маньковский Г. И. Замораживание горных пород при проходке стволов шахт. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1961.

30. Маньковский Г. И. Специальные способы сооружения стволов шахт. М.: Наука, 1965.

31. Докучаев В. В. Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах. М.: Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строит, материалам, 1963.

32. Велли Ю. Я. Здания и сооружения на Крайнем Севере: справочное пособие. М.: Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строит, материалам, 1963.

33. Хакимов X. Р. Вопросы теории и практики искусственного замораживания грунтов. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1957.

34. Хрусталев JI .Н., Никифоров В. В., Войтковский К. Ф. Стабилизация вечномерзлых грунтов в основании зданий. Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, 1990.

35. Andersland О. В., Ladanyi В. An introduction to frozen ground engineering. Chapman & Hall, 1994.

36. Harris J. S. Ground Freezing in Practice. Thomas Telford Limited, 1995.

37. Кузьмин Г. П., Каменский P. M. Подземные сооружения в криолито-зоне:. М.: Наука, 2002.

38. Войтковский К. Ф. Фундаменты сооружений на мерзлых грунтах в Якутии. М.: Наука, 1968.

39. Втюрина Е. А., Втюрин Б. И. Льдообразование в горных породах. М.: Наука, 1970.

40. Дядькин Ю. Д., Зильберборд А. Ф. Тепловые и механические процессы при разработке полезных ископаемых: горные работы в массиве мерзлых пород. М.: Наука, 1965.

41. Иванов Н. С. Теплообмен в криолитозоне. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1962.

42. Иванов Н. С. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. М.: Наука, 1969.

43. Фельдман Г. М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. М.: Наука, 1973.

44. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах / В.И. Васильев, A.M. Максимов, Е.Е. Петров [и др.]. М.:Наука, 1996.

45. Бондарев Э.А. Васильев В.И. Искусственное замораживание фильтрующих грунтов / / Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. 1987. Р. 38-47.

46. Alexiades V., Solomon A.D. Mathematical modeling of melting and freezing processes. Hemisphere Publishing Corporation, 1993.

47. Esch D.C., on Cold Regions Engineering Technical Council. Thermal analysis, construction, and monitoring methods for frozen ground. Technical Council on Cold Regions Engineering Monograph Series. American Society of Civil Engineers, 2004.

48. Мордовской С.Д., Петров Е.Е. Математическое моделирование термомеханического состояния многолетнемерзлых пород при проектировании, строительстве и эксплуатации горнотехнических сооружений в северных регионах // Известия Академии наук высшей школы. 2003. Т. 1(23). С. 148-157.

49. Прогноз состояния грунтов под основанием фундаментов копров рудника ,,Удачный,,с учетом их засоленности / Ю.А. Хохолов, А.С. Курилко, В.И. Попов [и др.] // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2010. Т. 6. С. 321-328.

50. Сапунов Н.Е. Исследование процесса промерзания полусферической подземной ледопородной емкости, размещенной в фильтрирующем пласте // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. 1980. С. 228-235.

51. Корнев К.Г., Чугунов В.А. Определение равновесной формы тел, образовавшихся при застывании фильтрационного потока // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52, № 6. С. 991-996.

52. Корнев К.Г., Мухамадуллина Г.И. О влиянии фильтрационного потока на равновесную форму тел, образующихся при искусственном замораживании // Инженерно-физический журнал. 1991. Т. 61, № 6. С. 980-985.

53. Алимов М.М., Корнев К.Г., Мухамадуллина Г.И. Равновесная форма ле-допородного тела, образовавшегося при обтекании жидкостью системы двух замораживающих скважин // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, № 5. С. 110-124.

54. Цыпкин Г. Г. Течения с фазовыми переходами в пористых средах. Физ-матлит, 2009.

55. Меламед В. Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых переходах. М.: Наука, 1980.

56. Мальков Ю. К. Моделирование термодинамических процессов многолет-немерзлых пород. Якутск: ЯНЦ СО АН СССР, 1990.

57. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

58. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003.

59. Вабищевич П. Н., Илиев О. П. Численное решение сопряженных задач тепло-и массопереноса с учетом фазового перехода // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 7. С. 1127-1132.

60. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967.

61. Вабищевич П. Н. Вычислительные методы математической физики. Нестационарные задачи. М.: Вузовская книга, 2009.

62. Samarskii A.A., Nikolaev E.S. Numerical Methods for Grid Equations. Basel: Birkhauser Verlag, 1989. Т. 1 and 2.

63. Fletcher C. A. J. Computational techniques for fluid dynamics: Fundamental and general techniques. Springer, 1991.

64. Peyret R., Taylor T. D. Computational Methods for fluid Flow. Berlin: Springer-Verlag, 1983.

65. Roache P. J. Computational Fluid Dynamics. Albuquerque, N. M.: Hermosa, 1982.

66. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1991.

67. Numerical simulation of convection/diffusion phase change problems—a review / A. A. Samarskii, P. N. Vabishchevich, O. P. Iliev [и др.] // International journal of heat and mass transfer. 1993. T. 36, № 17. C. 4095-4106.

68. Belhamadia Y., Kane A. S., Fortin A. An enhanced mathematical model for phase change problems with natural convection // Int. J. Numer. Anal. Model., Ser. B. 2012. Vol. 3, no. 2. P. 192-206.

69. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб: БХВ-Петербург, 2002.

70. Гергель В. П., Стронгин Р. Г. Основы параллельных вычислений для многопроцессорных вычислительных систем. Н. Новгород: Изд-во Ни-жегор. ун-та, 2003.

71. Богачёв К. Ю. Основы параллельного программирования. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.

72. Software package Trilinos. http://trilinos.sandia.gov/.

73. Software package SUNDIALS, https://computation.llnl.gov/casc/ sundials/main.html.

74. Software package PETSc. http://www.mcs.anl.gov/petsc/.

75. Software package FEniCS. http://fenicsproject.org/.

76. Software package Trilinos/Epetra. http://trilinos.sandia.gov/ packages/epetra/.

77. Software package uBLAS. http://www.boost.org/doc/libs/release/ libs/numeric/ublas/doc/index.htm.

78. Software package MTL4. http://www.simunova.com/de/node/24.

79. Software VTK. http: //www. vtk. org/.

80. Salvatori Luca, Tosi Niccolo. Stefan Problem through Extended Finite Elements: Review and Further Investigations // Algorithms. 2009. C. 1177-1220.

81. Вабищевич П. H. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во Московского университета, 1987.

82. Цытович Н.А., Сумгин М.И. Основания механики мерзлых грунтов. Изд-во Академии наук СССР, 1937.

83. A Comparison of Enthalpy and Temperature Methods for Melting Problems on Composite Domains / J.H. Brusche, A. Segal, C. Vuik [и др.]. 2006. С. 585-592.

84. Лаевский Ю.М., Калинкин А.А. Двухтемпературная модель гидрато-содержащей породы // Матем. моделирование. 2010. Vol. 22, по. 4. Р. 23-31.

85. Anders Logg Kent-Andre Mardal Garth N. Wells. Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. 2011.

86. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. M.: Наука, 1973.

87. Brenner S.C., Scott L.R. The mathematical theory of finite element methods. Springer, 2008.

88. Самарский А. А., Моисеенко В. Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5, № 5. С. 816-827.

89. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Society for Industrial Mathematics, 2003.

90. Software Gmsh. http://geuz.org/gmsh/.

91. Software package Paraview. http://www.paraview.org/.

92. Software package Netgen. http://sourceforge.net/apps/mediawiki/ netgen-mesher/.

93. Гергель В. П. Теория и практика параллельных вычислений. М.: ИН-ТУИТ.РУ, 2007.

94. Эндрюс Г. Р. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования. М.: Издательский дом Вильяме, 2003.

95. Антонов A.C. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. M.: Изд-во МГУ, 2004.

96. Тищенко Т.И., Гусев А.Ю. Технические решения по термостабилизации грунтов устьев нефтяных и газовых скважин // Сборник материалов международной научно-практической конференции по инженерному мерзлотоведению. 2011. Р. 80-83.

97. Захарова В.Н., Бекирова С.А. Прогнозные исследования и технические решения по термостабилизации устья нефтяных и газовых скважин // Сборник материалов международной научно-практической конференции по инженерному мерзлотоведению. 2011. Р. 97-102.

98. Матюхова В.А., Анфилофьева О.С. Алгоритм принятия технических решений при проектировании систем температурной стабилизации грунтов оснований // Сборник материалов международной научно-практической конференции по инженерному мерзлотоведению. 2011. Р. 71-76.

99. Материалы Международной научно-практической конференции по инженерному мерзлотоведению, посвященной ХХ-летию создания ООО НПО «Фундаментстройаркос». 2011.

100. Павлова Н.В. Численное решение задачи тепломассопереноса с фазовыми переходами в фильтрующих грунтах / Н.В. Павлова // Труды Международной конференции по вычислительной математике (МКВМ-2004). 2004. № 2. С. 585-589.

101. Васильева М.В., Павлова Н.В. Численное решение нестационарной задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов // Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 113-123.

102. Павлова Н.В. Конечно-элементная реализация задачи замораживания фильтрующих грунтов / М.В. Васильева, Н.В. Павлова // Математические заметки ЯГУ. 2013. Т.20, № 1. С. 202-212.

103. Павлова Н.В. Численное моделирование термостабилизации фильтрующих грунтов / П.Н. Вабищевич, М.В. Васильева, Н.В. Павлова // Препринты ЦВТ СВФУ. № 2013-3. 2013. С. 1-22.

104. Pavlova N.V. Mathematical modeling of thermal stabilization of vertical wells on high performance computing systems /P.N. Vabishchevich, M.V. Vasilyeva, N.V. Pavlova // Arxiv preprint, arXiv:1304.1625. 2013. C. 1-9.