Численное исследование сверхзвуковых течений разреженных газовых смесей с сильно отличающимися массами компонент тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Мальцев, Роман Владимирович

• Мальцев, Роман Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мальцев, Роман Владимирович

Оглавление

Введение

Глава 1. Метод прямого статистического моделирования (обзор)

1.1. Физическое описание разреженного газа

Статистическое описание газа и уравнение Больцмана

Связь уравнений Навье-Стокса и уравнения Больцмана

Уравнения диффузии для смеси газов

Свойства течений разреженного газа

1.2. Модели столкновений, применяемые в методе ПСМ

1.3. Стохастическая модель выбора столкновительных пар в методе ПСМ

1.4. Классические рекомендации к выбору дискретизации

Теоретические предсказания

Численные исследования

1.5. Дополнительные приёмы для улучшения дискретизации

Схема Бёрда компонентных весовых множителей

Пространственно-зависимые весовые множители

Математические исследования схем весовых множителей

Методы устранения неконсервативности

Пространственно-зависимый временной шаг

1.6. Трудоёмкость метода

1.7. О достижении стационарности потока

1.8. Расчетные сетки в методе ПСМ

1.9. Накопление и представление данных

Влияние временного шага

1.10. Статистические погрешности

1.11. Модель Боргнакке-Ларсена для учёта внутренних степеней свободы

1.12. Граничные условия в методе ПСМ

Столкновение с поверхностью тела

Открытые границы

1.13. Прочие направления развития метода ПСМ

Схемы расчета околоравновесных течений

Схема Нанбу

Схемы с уменьшенным шумом

1.14. Выводы

Глава 2. Адаптация метода ПСМ к решению современных задач динамики разреженных газов

2.1. Исследование ошибок дискретизации в методе ПСМ, основанном на схеме мажорантной частоты

Задача Фурье. Измерение теплового потока на стенку

Новый критерий подобия для числа модельных частиц

Размер ячейки

Временной шаг

Определение теплового потока приближенным решением уравнения

теплопроводности

Автокорреляционные свойства пристеночных макропараметров, поправочный коэффициент дисперсии

2.2. Влияние временного шага на коэффициент диффузии тяжелого газа в легком

Теоретический расчет

Численная верификация

2.3. Схема временных множителей

Качественное испытание временных множителей

Количественное испытание при замедлении легкой компоненты

Количественное исследование при замедлении тяжелой компоненты

2.4. Схемы весовых множителей для осесимметричных задач

Особенности классической схемы Бёрда

Размножение частиц при столкновениях

Пакетное размножение частиц

Сбалансированные радиальные множители

Комбинированная схема радиальных множителей

2.5. Практическое сравнение схем решения осесимметричных задач

Случай сильно несбалансированных весов компонент

Случай близких весов компонент

2.6. Подавление флуктуаций числа частиц

Автомодельный процесс размножения/уничтожения частиц при перемещении

Описание подхода

Испытание эффективности подхода

Применение подхода в схемах с размножением частиц в столкновениях

2.7. Обеспечение сохранения осевой компоненты момента импульса в осесимметричных задачах

Предлагаемый алгоритм столкновения

Тестирование нового алгоритма

2.8. Детектирование повторных столкновений

2.9. Заключение

Глава 3. Неравновесные эффекты в разреженных газовых смесях

3.1. Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными

Столкновение оппозитных струй

Свободная струя, и струя, натекающая на препятствие

3.2. Сжатый слой перед пластиной, поставленной под прямым углом к сверхзвуковому потоку одноатомного газа

3.3. Торможение тяжелых молекул примеси в сжатом слое перед пластиной на примере смеси Не+Хе

Картина течения перед пластиной при обтекании смесью газов

Качественная модель сжатого слоя

Случай полного поглощения тяжелой примеси пластиной

Случай отсутствия поглощения тяжелой примеси пластиной

3.4. Конвергентный источник сверхзвукового потока и его свойства

Течение однокомпонентного газа

Конвергентное течение смеси газов

Некоторые особенности процесса повышения энтальпии

Эффект разделения по энергиям

Аппроксимация зависимости температуры в «облаке» от состава смеси

Влияние ширины щели

3.5. Заключение

Глава 4. Применение усовершенствованного метода ПСМ для интерпретации результатов

экспериментов по осаждению наноразмерных бактерицидных кластеров серебра

4.1. Исходные эксперименты и их результаты

4.2. Предварительные оценки условий в реакторе-испарителе

4.3. Параметры численной модели

4.4. Влияния буферного аргона на скорость испарения серебра

4.5. Оценка неизотермичности реактора-испарителя

4.6. Оценка возможности гомогенной конденсации серебра в тигле

4.7. Распределение потока массы испаренного серебра внутри тигля

4.8. Течение смеси аргон + пары серебра из реактора-испарителя

4.9. Модель взаимодействия наноразмерных кластеров серебра с потоком аргона

4.10. Сравнение газодинамики течения при использовании звукового сопла и сверхзвукового сопла

4.11. Обоснование и результаты эксперимента по осаждению серебра на длинную пластину

4.12. Движение наноразмерных кластеров в потоке аргона при условиях эксперимента

4.13. Движение наноразмерных кластеров при наличии подложки-мишени

4.14. Выводы

4.15. О гетерогенных процессах образования кластеров

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование сверхзвуковых течений разреженных газовых смесей с сильно отличающимися массами компонент»

Введение

Актуальность работы. Последние годы академической и прикладной наукой много внимания уделяется исследованиям, связанным с созданием новых наносгруктурных материалов и покрытий. К одному из способов получения наносгруктурных покрытий относятся газоструйные методы. Такие методы, например, активно исследуются в Институте теплофизики СО РАН.

Среди газоструйных методов, следует особо упомянуть подход, использующий явление ускорения тяжёлой примеси (например, органического прекурсора) в сверхзвуковой струе лёгкого несущего газа (например, гелия). Так как при направленном движении кинетическая энергия молекул пропорциональна их массе, а преобладающий лёгкий несущий газ позволяет достичь в расширяющейся сверхзвуковой струе очень высоких скоростей, кинетическая энергия тяжёлых ускоренных молекул при столкновении с подложкой-мишенью может достигать единиц, десятков электрон-вольт и более. Такая высокая энергия способна принципиально влиять на результат взаимодействия осаждаемых молекул или наночастиц с подложкой [72], а получаемые покрытия обретают уникальные свойства [70]. Несомненно, получаемые в этом направлении результаты говорят в пользу перспективности дальнейших исследований.

Диссертация посвящена исследованию эффектов в разреженных газовых смесях, связанных с большой разницей масс компонент и направлена как на оптимизацию существующих, так и на разработку новых схем осаждения, эксплуатирующих эти эффекты.

В качестве инструмента исследования ставка делается на численные методы, а именно, на метод прямого статистического моделирования (ПСМ) [21]. При этом, около половины Диссертации посвящено методу ПСМ. Достоинство метода ПСМ в том, что он, фактически, моделирует уравнение Больцмана и тем самым позволяет естественным образом учесть широкий спектр неравновесных процессов, недоступных, например, для описания уравнениями Навье-Стокса.

Если первоначально разработанный в середине XX века метод ПСМ применялся прежде всего для решения простых идеализированных задач, то последнее время, благодаря современной вычислительной технике, метод ПСМ широко применяют для моделирования течений таких разных масштабов, как обтекание космических аппаратов при входе в

атмосферы планет, течения газа внутри микро- и наноустройств, течения газа при вакуумных технологических процессах, и, конечно же, течений газа в экспериментах по газоструйному осаждению. Однако, в связи с нарастающей сложностью современных задач, обращает на себя внимание вопрос эффективности метода. В частности, большие отношения масс и сечений компонент, а также перепады плотности на несколько порядков, характерные для экспериментов по осаждению, относятся к неблагоприятным факторам для традиционного метода ПСМ. Часто, на конференциях можно услышать оптимистичные прогнозы, полагающиеся на закон Мура, и подразумевающие, что совершенствование расчетных методов относится к задачам второстепенного плана. Автор, однако, отступает от этой традиции, уделяя большое внимание развитию алгоритмов ПСМ, направленному на повышение его эффективности при равной мощности вычислительных машин. Достаточно упомянуть, что часть результатов, изложенных в Диссертации, удалось получить лишь именно благодаря новым усовершенствованиям метода.

Цель работы. В Диссертации решается несколько задач, каждая из которых преследуется свою цель:

• Развить метод ПСМ с целью снижения трудоёмкости численного моделирования задач, характерных для газоструйных методов осаждения.

• Построить модели сжатого слоя перед плоской пластиной, способной как количественно предсказывать потерю энергии проникших через него тяжелых частиц примеси, так и качественно описать влияние различных факторов на энергетический спектр достигших пластины тяжелых молекул.

• Изучить свойства конвергентного (центростремительного) сверхзвукового течения смеси газов с сильно отличающимися массами компонент, и предложить на их основе вероятное его применение, в т.ч. в газоструйном осаждении.

• Проанализировать численно условия экспериментов по осаждению наночастиц серебра, проводившихся в ИТ СО РАН. Прояснить механизм образования наноразмерных кластеров серебра, полученных в экспериментах.

Тем не менее, есть и объединяющая глобальная цель: развитие научного понимания газоструйного метода осаждения и его дальнейшее совершенствование.

Научная новизна. Схема временных множителей, позволяющая использовать при моделировании стационарных задач разный временной шаг для разных сортов частиц, предложена впервые.

Выполненное благодаря ей исследование диффузии наноразмерных кластеров серебра в аргоне в условиях эксперимента по осаждению, по-видимому, является первой удачной попыткой численного исследования смесей со столь экстремальным отношением масс (сотни-тысячи раз) и сечений столкновения (десятки раз) компонент.

Впервые предлагается возможность, используя конвергентный источник, сформировать изолированную от поверхностей, относительно плотную и почти равновесную область в газе, с температурой, превышающей температуру торможения подаваемого газа, и формирующей затем направленную струю. Предложение обоснованно численным исследованием.

Практическая ценность. Новые усовершенствования метода ПСМ позволяют существенно расширить множество разрешимых задач при существующей мощности вычислительной техники.

Разработанная модель торможения тяжелой примеси в сжатом слое перед плоской пластиной может использоваться для оценки потерь энергии в сжатом слое при планировании экспериментов по газоструйному осаждению.

Конвергентный источник является перспективным инструментом для использования в экспериментах по осаждению. Он позволяет повысить температуру осаждаемого газа без его контакта с твёрдыми поверхностями (которые могут иметь нежелательную каталитическую активность), после чего сформировать направленную струю повышенной энтальпии. Это свойство также может оказаться востребованным при исследовании кинетики физико-химических процессов в газовой фазе.

Численный анализ условий экспериментов по осаждению наноразмерных кластеров серебра позволил существенно продвинуться в понимании механизма образования кластеров.

Достоверность. Для численного моделирования использовалось П/О собственной разработки, включающей в себя всестороннее тестирование как отдельных блоков программ, так и всего программного кода целом. При тестировании программы решались также и тестовые задачи с известным результатом.

Различные усовершенствования алгоритмов и схем ПСМ, предложенные Автором, испытывались на различных тестовых проблемах, при этом результаты, полученные стандартным и доработанным методами ПСМ, сравнивались между собой.

Сравнение численных результатов с известными экспериментальными данными также оказалось успешным.

Личный вклад Автора включает в себя идеи усовершенствования метода ПСМ, их проработку и испытание, разработку и тестирование всех расчетных программ, проведение серий численных расчётов. Автор участвовал в постановке задач и в анализе полученных результатов. Ему принадлежит идея центростремительная источника, рассматриваемого в Главе 3 Диссертации. Задача численного анализа условий экспериментов по осаждению серебра, была поставлена и решена Автором самостоятельно.

На защиту выносятся следующие положения:

• Критерий подобия ЫсКпс для оценки требуемого числа модельных частиц.

• Схема временных множителей, позволяющая использовать разный временной шаг для разных сортов частиц.

• Результаты численного исследования неравновесной диффузии наноразмерных кластеров серебра разной массы в несущем газе при условиях экспериментов по осаждению бактерицидных плёнок, проводимых в лаборатории разреженных газов Института теплофизики СО РАН.

• Результаты исследования центростремительного течения смеси газов сильно отличающихся масс из кольцевой щели на примере смеси гелий + ксенон: структура течения, зависимость степени обогащения и температуры газа в центральной зоне торможения от состава смеси.

• Модель торможения тяжелой примеси в сжатом слое перед плоской пластиной.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 11 работ (не считая электронных публикаций на arxiv.org и тезисов конференций). Из них 2 в иностранных и 4 в российских рецензируемых журналах.

В периодических изданиях из списка ВАК:

1. R. V. Maltsev, М. Yu. Plotnikov, А. К. Rebrov. Shock structure in low density gas mixture flows over cylinders and plates. Phys. Fluids. 19 (10) - 2007. - 10106102 (7 pages)

2. Р. В. Мальцев, А. К. Ребров. Трансформация энергии и состава газовых смесей при столкновении разреженных сверхзвуковых потоков // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - Т. 50, N2 2. - С. 198-204

3. Р. В. Мальцев, А. К. Ребров. Газодинамические коллайдеры: численное моделирование // Прикл. мех. и техн. физ. 2007, Т. 48, N9 3, С. 142-151.

4. Р. В. Мальцев, А. К. Ребров. Трансформация энергии и состава газов при взаимодействии сверхзвуковых потоков газовых смесей // Докл. АН. 2007, Т. 416, № 6, С. 759-762

5. Мальцев Р. В., Ребров А. К. Поперечное обтекание полосы сверхзвуковым потоком разреженного газа // Известия РАН. Механика жидкости и газа. -2005. - № 1. - С. 159-167.

Прочие публикации:

6. R. V. Maltsev. Employing per-component time step in DSMC simulations of disparate mass and cross-section gas mixtures. Comm. Comput. Phys. 14 (3) - 2013. - pp. 703721

7. R. V. Maltsev. On the Selection of the Number of Model Particles in DSMC Computations. AIP Conf. Proc. 1333 (Proc. of 27th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, 10-15 July 2010), pp. 289-294.

8. R. V. Maltsev. Inertia effects in the compressed layer In front of a flat plate I I AIP Conf. Proc. 1333 (Proc. of 27th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, 10-15 July 2010), pp. 295-300.

9. R. V. Maltsev, A. K. Rebrov. Convergent Supersonic Gas Mixture Flow behind the Ring Slot Nozzle II AIP Conf. Proc. 1084 (Proc. of 26th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, 20-25 July 2008), pp. 275-280.

10. R. V. Maltsev, A. K. Rebrov. The promising gas-dynamic schemes of vacuum deposition from the supersonic gas mixture flows I I Journal of Physics: Conference Series 100 (8), 082012

11. R. V. Maltsev, A. K. Rebrov. Transformation of energy and composition by collision of rarefied supersonic gas mixture flows I I Proc. Intern. Conf. On Computational Heat and Mass Transfer, 18-22 May 2009, Guangzhou, China, pp. 465-570

Апробация работы. Результаты Работы докладывались на:

• 24-м (2004, Италия), 26-м (2008, Япония), 27-м (2010, США) Симпозиумах по динамике разреженных газов

• 9-й (Китай, 2009) международной конференции по вычислительному тепломассопереносу,

• XXI (2007, Новосибирск) всероссийского семинара «Струйные, отрывные и нестационарные течения»

• XV (2008, Крым) международной конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам,

• многократно на Всероссийской конференции «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий» (Новосибирск)

• Всероссийском семинаре «Современные проблемы теоретической и прикладной механики» (2007, Новосибирск)

• Всероссийской конференции «Современные проблемы динамики разреженных газов» (2013, Новосибирск)

• Различных конференциях молодых учёных, организовывающихся Институтом теплофизики СО РАН,

• Семинарах Отдела разреженных газов ИТ СО РАН

Содержание Диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

Первая глава является обзором, который содержит наиболее важные сведения о методе ПСМ, установившихся практиках его использования, основных моделях и т. п., отсылки к этой информации имеются во второй главе.

Вторая глава излагает разработанный комплекс новых подходов и схем для метода ПСМ, позволяющий во многих случаях снизить рост трудоёмкости вычислений и ресурсных требований к ЭВМ: выводится и тестируется критерий подобия, позволяющий упростить выбор количества модельных частиц; строится схема временных множителей, позволяющая использовать разный временной шаг для разных сортов модельных частиц; предлагаются новые подходы к решению осесимметричных задач, в т.ч. основанные на временных множителях; а также описывается ещё несколько второстепенных улучшений. В большинстве численных расчётов, выполненных в рамках Работы, так или иначе, использовались эти усовершенствования.

Третья глава посвящена численному исследованию модельных задач, так или иначе имеющих отношение к газодинамическим схемам осаждения. В § 3.1. численные результаты ПСМ сравниваются с известными из литературы данными экспериментов, в которых плотность и состав смеси измерялись посредством анализа спектра излучения газа, возбужденного электронным пучком. В § 3.2. численно исследуется сжатый слой перед длинной плоской пластиной фиксированной ширины, поставленной поперёк сверхзвукового потока. Наибольшее внимание уделяется определению зависимости толщины ударной структуры (ударная волна + сжатый слой) от числа Кнудсена, на основе которой строится аппроксимационная формула, позволяющая оценивать среднюю энергию достигших пластины ускоренных тяжелых молекул. В § 3.3. решается более полная задача, в которой фигурирует двухкомпонентная

модельная смесь газов (гелий + ксенон). Качественно исследуется энергетический спектр тяжелых молекул, столкнувшихся с пластиной. При этом учитывается влияние отражённых от пластины медленных молекул, а также модели столкновений молекул. Параграф § 3.4. посвящен исследованию центростремительного сверхзвукового течения из кольцевой щели. Известно [2], что при столкновении оппозитных сверхзвуковых между ними формируется сжатый слой («облако»), обогащенное тяжелой компонентой, которое удалено от твёрдых поверхностей. Идея центростремительного источника заключается в том, чтобы «обратить» течение. Если при столкновении встречных струй формируется расходящееся веерное течение, то особенность центростремительного течения в том, что, формируются, наоборот, две оппозитные направленные струи.

В четвёртой главе, на примере реальных проводившихся в ИТ СО РАН экспериментов по осаждению наночастиц серебра и металлополимеров, численно исследуется диффузия наноразмерных кластеров серебра в несущем газе. Численные результаты сопоставляются с экспериментальными данными. Такой комбинированные анализ позволяет сделать выводы о протекающих в эксперименте процессах, которые не могли быть сделаны непосредственно из экспериментальных данных. В частности, удалось выяснить, что осаждаемые в эксперименте наноразмерные кластеры формируются гетерогенным образом на недогретых внутренних поверхностях источника паров серебра.

В заключении сформулированы основные результаты Работы.

Глава 1. Метод прямого статистического моделирования

(обзор)

1.1. Физическое описание разреженного газа Статистическое описание газа и уравнение Болъцмана

Два фундаментально различающихся способа описания состояния газа - это макро- и микро- описания. Микроописание - максимально точное описание, описание состояния всех составляющих систему молекул. Макроописание - описание пространственного распределения макроскопических величин (плотность, скорость, давление, температура и др.). Статистическое описание системы молекул занимает промежуточное положение и заключается в общем случае в задании функции фазовой плотности, эволюция которой описывается уравнением Лиувилля. В случае разреженного газа, принимается ряд допущений, которые в итоге позволяют записать уравнение Больцмана, описывающее эволюцию одночастичной функции распределения фазовой плотности /((:,*, г?):

— + VI — + — — = /[/],

ot охI т оVI

т = Л х, х, о-тх, 0/(01,*,с)} ¿к^.п^-гмшч,

где:

Р - внешняя сила, действующая на молекулы,

т - масса молекул,

/[/] - интеграл столкновений, описывающий парное взаимодействие молекул

между собой,

Ух - скорость молекулыпартнера,

а - дифференциальное сечение рассеяния молекул в телесный угол сШ.

р', - скорости молекул после столкновения как функция V, П.

Именно уравнение Больцмана, как это принято допускать, моделирует метод прямого статистического моделирования.

Граничные условия для уравнения Больцмана заключаются в задании функции распределения молекул, прибывающих в область через границу. Начальные условия заключаются в задании начальной функции распределения во всей области.

На практике, большая часть наиболее используемых газов даже при нормальных условиях (760 мм. рт. ст. при 300 К) хорошо удовлетворяют условиям разреженности.

Сечение столкновения. Если межмолекулярный потенциал известен, дифференциальное сечение столкновение, входящее в уравнение Больцмана, может быть вычислено рассмотрением процесса рассеяния согласно классических или квантовых законов.

Для вычисления длины свободного пробега Л = по возможности используют полное сечение столкновения а. Для твердых сфер а = + ¿2)2- Для плавно спадающих потенциалов в классической механике полное сечение обычно бесконечно, однако угол отклонения стремится к нулю при больших прицельных расстояниях. В квантовой механике полное сечение хоть и конечно, может быть достаточно велико. В подобных случаях вместо полного сечения берут некоторую разумную величину, так или иначе привязанную к эффективной дальности взаимодействия

Разреженность газа принято характеризовать числом Кнудсена Кп = Я/1, где Я-средняя длина свободного пробега, / - характерный масштаб течения.

Обзору современного состояния кинетической теории, например, посвящена работа

[14].

Связь уравнений Навье-Стокса и уравнения Больцмана

Методы кинетической теории позволяют вывести уравнения Навье-Стокса из уравнения Больцмана, считая функцию распределения близкой к равновесной. При этом коэффициенты переноса, входящие в уравнения Навье-Стокса, вычисляются на основе известного дифференциального сечения рассеяния, входящего в уравнение Больцмана.

Уравнения Навье-Стокса имеют меньшую размерность, чем уравнение Больцмана. Но точность описания газа уравнениями Навье-Стокса ухудшается по мере роста числа Кп и теряет смысл при Кп ^ 0.1, что, в частности, создает проблемы при описании сильных ударных волн.

Это вынуждает использовать именно уравнение Больцмана при описании неравновесных разреженных течений.

Применяются разложения и более высокого порядка по Кп (уравнения Барнетта и т. д.), но они не позволяет продвинуться в сторону больших чисел Кнудсена.

В газовых смесях коэффициенты переноса зависят от состава смеси. Последний, в свою очередь, может изменяться под действием процессов диффузии, возникающей в результате градиентов макропараметров. Диффузия, как дополнительный к среднемассовому движению смеси массовый поток ¡-й компоненты, описывается уравнением диффузии:

Здесь использованы следующие обозначения: X, - сила, действующая на ^ю компоненту, р -массовая плотность смеси, п - молекулярная плотность смеси, П) - молекулярная плотность '¡-й компоненты, п^- - масса молекул ¡-й компоненты, Бу - коэффициент взаимной диффузии 1-й и '¡-м компонент смеси (диагональные коэффициенты равны нулю), - коэффициент термодиффузии ¡-й компоненты, Т-температура газа, Р-давление, <с^>- средняя тепловая скорость ¡-й компоненты.

В случае бинарной смеси, 012 = Т>21, = —Щ, ^ = —

Диффузию условно можно разделить на несколько составляющих. Концентрационная диффузия возникает из-за непостоянства состава смеси в пространстве и стремится выровнять состав. Бародиффузия вызвана инерционными силами, в результате которых тяжелая компонента скапливается в области повышенного давления, а легкая - в области пониженного. Термодиффузия приводит к разделению смеси под действием градиента температуры. Сила эффекта термодиффузии существенно зависит от модели столкновений. Например, твёрдые сферы имеют сильно выраженную термодиффузию, в то время как максвелловские молекулы термодиффузией не обладают.

Уравнения диффузии для смеси газов

Для малой примеси очень тяжелых частиц размером в единицы нанометров в легком несущем газе, термодиффузионное отношение практически пропорционально отношению сечений столкновения легкого газа с тяжелыми частицами и с самим собой и может достигать сравнительно больших значений, при этом наночастицы устремляются в холодную область.

Свойства течений разреженного газа

Критерии подобия. Для уравнения Больцмана, наиболее важный критерий подобия -уже упоминавшееся число Кнудсена, характеризующее степень разреженности.

Для уравнений Навье-Стокса существует несколько критериев подобия. Число Маха где и - скорость течения, а - скорость звука, характеризует скорость течения. Число

Рейнольдса Яе = ^р гдер- массовая плотность, г] - динамическая вязкость, характеризует

отношение инерционных сил к вязкостным силам. Прочие критерии подобия в настоящей

м

Работе не применяются. Приближённо можно считать

Ударные волны. Волны сжатия, как правило, распространяются в газах быстрее скорости звука перед фронтом (М > 1) и в процессе увеличивают свою крутизну из-за эффекта

опрокидывания, пока этому не препятствуют диссипативные процессы. Толщина фронта

р

сформировавшейся ударной волны составляет где Я-длина свободного пробега, Р0-

давление за фронтом, АР - перепад давления в ударной волне [6]. Толщина сильных ударных волн (М ^ 1.5) сравнима с длиной свободного пробега, и это является причиной, по которой уравнения Навье-Стокса не могут использоваться при моделировании сильных ударных волн.

Переход от сверхзвуковой скорости газа к дозвуковой почти всегда происходит с формированием ударных волн.

Смеси газов с большим отношением масс компонент. Чем сильнее относятся массы двух компонент, тем менее эффективен обмен энергией между лёгкими и тяжелыми молекулами при их столкновении. Для такой смеси характерно наличие нескольких характерных времён поступательной релаксации, причём, релаксация поступательной энергии между компонентами разной массы происходит обычно существенно дольше релаксации внутри преобладающей компоненты. Вследствие этого, неравновесные эффекты могут

проявляться на сравнительно больших газодинамических временах. Это также очень сильно ограничивает применение уравнений Навье-Стокса даже при довольно умеренных числах Кнудсена.

Ударные волны в таких смесях обладают довольно сложной структурой [17]. Фронт сжатия тяжелой компоненты запаздывает от фронта сжатия лёгкой. Общая толщина ударной волны может быть довольно большой и при малой концентрации тяжелой компоненты пропорциональна отношению масс.

При ударе достаточно разреженной сверхзвуковой струи такой смеси о преграду, может наблюдаться инерционное разделение компонент, с обогащением сжатого слоя перед преградой тяжелой компонентой [3] и сопутствующим повышением температуры в сжатом слое [4].

Исторически, интерес к смесям газов с большим отношением масс компонент был связан с поиском эффективных схем газодинамического разделения изотопов [28]. В настоящее время, такие смеси газов характерны для нанотехнологических задач газовой динамики. Например, лёгкий газ может нести в себе сравнительно тяжелые кластеры, тепловая скорость которых всё ещё заметна на фоне макроскопических скоростей течения, что не позволяет считать кластеры макроскопической примесью.

1.2. Модели столкновений, применяемые в методе ПСМ

Недостаток плавно убывающих потенциалов взаимодействия - бесконечность полного сечения столкновения. При этом, при больших прицельных расстояниях изменение скорости молекул в столкновениях стремится к нулю. В методе прямого статического моделирования, применяющегося для численного решения уравнения Больцмана, используются модели с конечным полным сечением столкновений, что позволяет рассматривать столкновения как дискретную последовательность событий. Простое обрезание потенциала обычно не является эффективным решением проблемы полного сечения, поэтому используются специальные модели столкновения, которым, вообще говоря, не всегда можно поставить в соответствие какой-либо физический потенциал.

Параметры таких искусственных моделей обычно выбираются таким образом, чтобы получить соответствие следующих из них макроскопических коэффициентов переноса исходным, так, чтобы в околоравновесных режимах эти модели давали близкие макропараметры. Для сильно неравновесных режимов, однако, отличия моделей могут проявляться. Более того, функция распределения будет отличаться даже в слабонеравновесном режиме (так как её Навье-Стоксово приближение зависит от потенциала). Тем не менее, на практике обычно считают, что чем больше эффективных сечений столкновения искусственной модели столкновений соответствуют таковым исходной модели, тем точнее результат моделирования.

В монографии [21] Бёрд описывает 3 модели столкновений моделирующих частиц с конечным полным сечением: твердые сферы (Hard Spheres, HS), переменные твердые сферы (Variable Hard Spheres, VHS), переменные мягкие сферы (Variable Soft Spheres, VSS). Последняя была предложена [41].

В работе [48] предложена модель переменных сфер (Variable Spheres, VS). Кроме того, в этой работе произведено численное сравнение результатов, рассчитанных при помощи численной модели, построенной для потенциала Леннарда-Джонса, с результатами, рассчитанными по модели VS, параметры которой задаются таким образом, чтобы первые два эффективных сечения совпадали. Показано, что даже в ударной волне (являющейся сильно неравновесным течением) макропараметры течения практически совпадают для двух моделей, в то время, как локальная функция распределения может заметно отличаться. Что, опять же, говорит в пользу того, что, несмотря на подмену моделей, результаты моделирования могут оставаться достаточно достоверны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мальцев, Роман Владимирович, 2013 год

-216-Список литературы

1. Бочкарев А. А., Полякова В. И. Процессы формирования микро- и нанодисперсных систем /А. А. Бочкарев, В. И. Полякова; отв. ред. .А. К. Рубров; Рос. акад. Наук, Сиб. Отд-ние, Ин-т теплофизики им. С. С. Кутателадзе. - Новосибирск : Издательство СО РАН, 2010.-468 стр.

2. Бочкарев A.A. [и др.] Эффекты диффузионного разделения при столкновении гиперзвуковых потоков разреженной газовой смеси / А. А. Бочкарев // ПМТФ. - 1971. -№ 2. - С. 149-153.

3. Бочкарев A.A. [и др.] Обтекание затупленного тела сверхзвуковой струей азота и азотоводородной смеси низкой плотности / А. А. Бочкарев // ПМТФ. -1972. - № 6 . - С. 5055.

4. Бочкарев A.A. [и др.] Теплообмен в лобовой точке затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым разреженным потоком азотно-водородной смеси / А. А. Бочкарев // ПМТФ. -1973. - № 6. - С. 88-91.

5. Ерофеев А. И. Перепухов В. А. Расчет поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа / А. И. Ерофеев // Изв. АН СССР, МЖГ. -1976. - № 4. - С. 106-112.

6. Зельдович Я. Б. и Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я.Б. Зельдович. - Москва: Наука, 1966.

7. Иванов М. С., Рогазинский С. В. [и др.] Глобально-весовой метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана / М. С. Иванов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2005. -Т. 45, № 10. - С. 1860-1870.

8. Иванов М. С., Рогазинский С. В. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа / М. С. Иванов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. -1988. - Т. 23, № 7. - С. 1058-1070.

9. Кикоин И.А. Таблицы физических величин: Справочник / И.А.Кикоин. - Москва: Атомиздат. -1976. -1008 стр.

10. Коган М. Н. Динамика разреженного газа / М. Н Коган. - Москва: НАУКА. -1967.

-21711. Коротченко М. А., Михайлов Г. А., Рогазинский С. В. Модификации весовых алгоритмов метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений / М. А. Коротченко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2007. - Т. 47, № 12. - С. 2110-2121.

12. Морозов А. А. Прямое статистическое моделирование взаимодействия газовых потоков низкой плотности и разлета газа в вакуум: дис.... к.ф.-м.н. / А. А. Морозов - Новосибирск: ИТ СО РАН. - 2004. - С. 156.

13. Плотников М. Ю., Шкарупа Е. В. Оценка статистической погрешности метода прямого статистического моделирования / М. Ю. Плотников // Ж. вычисл. матем. и матем физ. -2010.-Т. 50, №2.-С. 1-10.

14. Рудяк В. Я. Кинетическая теория и современная аэрогидромеханика / В. Я. Рудяк // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2005. - Т. 8, № 3. -С. 121-148.

15. Сафонов А. И. Вакуумное газоструйное осаждение фторполимерных пленок с кластерами серебра: дис.... к.ф.-м.н. / А. И. Сафонов. - Новосибирск: ИТ СО РАН, 2010.

16. Чепмен С. и Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов / С. Чепмен, Т. Каулинг. - Москва: Издательство иностранной литературы. -1960.

17. Шавалиев М. Ш. Сильно неравновесные течения смесей газов с большой разницей в массах молекул / М. Ш. Шавалиев // Математическое моделирование. - 1996. - Т. 8, № 6 -С. 72-76.

18. Эммонс Г. Аэродинамика больших скоростей и реактивная техника. Основы газовой динамики / Г. Эммонс. - Москва: Издательство иностранной литературы, 1963. - Т. 3.

19. Alexander Francis J., Garciaa Alejandro L. [et. al.] Cell size dependence of transport coefficients in stochastic particle // Phys. Fluids. -1998. - V. 10, N 6.

20. Baker L. L., Hadjiconstantinou N. G. Variance reduction for Monte Carlo solutions of the Boltzmann equation // Phys. Fluids. - 2005. -V. 17, N 5. - pp. 051703-051703-4.

21. Bird G. A. Molecular gas dynamics and direct simulation of gas flows / Bird G. A. - Oxford: Clarendon press. -1994.

-21822. Boyd I. D. Conservative species weighting scheme for the direct simulation Monte Carlo method //J. Thermophys. Heat Transfer. -1996. - V. 10, N. 4. - pp. 579-585.

23. Burt J. M., Boyd I. D. A Global Convergence Criterion for Steady State DSMC Simulations // AIP Conf. Proc. 1333, V. 1: 27th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - American Institute of Physics, 2010. - pp. 230-235.

24. Cercegnanl C., Lam pis M. Kinetic models for gas-surface interactions // Transport theory and statistical physics. -1971. -V. 1, N. 2. - pp. 101-114.

25. DENG Hui-fang, Stark J., Liddell H. An investigation into the effect of weighting factor on computational perfomance in 2D axi-symmetric flow past a flat-nosed cylinder // Proceedings of the 20th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. - Beijing, China: Peking University Press, 1997. - pp. 155-161.

26. Fan J., Shen C. Statistical simulation of low-speed unidirectional flows in transition regime // Rarefied Gas Dynamics: proceedings of the 21st International Symposium. - Toulouse: Cepadus-Editions, 1999. -V. 2, p. 245.

27. Fan JIng. A Generalized Soft-Sphere Model for Monte Carlo Simulation // AIP Conf. Proc. 663: Rarefied Gas Dynamics, 23rd International Symposium. - American Institute of Physics, 2003. -pp. 366-373.

28. Fernández De La Mora J., Halpern B. L., Wilson J. A. Inertial impaction of heavy molecules // Journal of Fluid Mechanics. -1984. - V. 149. - pp. 217-233.

29. Gallís M. A., Piekos E. S. Accelerating DSMC Data Extraction: Technical Report / Sandia National Laboratories, SAND2006-6692. - 2006. - pp. 64.

30. Haas B. L. [et al.] Rates of thermal relaxation in direct simulation Monte Carlo methods // Phys. Fluids. -1994. - V. 6, N. 6. -pp. 2191-2201.

31. Hadjiconstantinou N. G. [et al.] Statistical error in particle simulations of hydrodynamic phenomena //Journal of Computational Physics. - 2003. -V. 187, N. 1. - pp. 274-297.

32. Hadjiconstantinou N. G. Analysis of discretization in the direct simulation Monte Carlo // Physics of Fluids. - 2000. -V. 12, N. 10. - p. 2634

33. Halicioglu T.f Pound G. M. Calculation of potential energy parameters form crystalline state properties // physica status solidi (a). -1975. - V. 30, N. 2. - pp. 619-623.

34. Hassan H. A., Hash D. B. A generalized hard-sphere model for Monte Carlo simulatiion // Phys. Fluids A. -1993. -V. 5, N. 3. - pp. 738-744.

35. Hedahl M. 0., Wilmoth R. G. Comparisons of the Maxwell and CLL gas/surface interaction models using DSMC: Technical Report // NASA Langley Technical Report Server. -1995.

36. Homolle T. M. M., Hadjiconstantinou N. G. A low-variance deviational simulation Monte Carlo for the Boltzmann equation // Journal of Computational Physics. - 2007. - V. 226. - pp. 23412358.

37. Ikegawa Masato, Kobayashi Junichi. Development of a Rarefied Flow Simulator Using the Direct-Simulation Monte Carlo Method //JSME International Journal. -1990. - Series II, V. 33, N. 3. - pp. 463-467.

38. Ivanov M. S., Gimelshein S. F. Current status and prospects of the DSMC modeling of near-continuum flows of non-reacting and reacting gases // AIP Conf. Proc. 663: Proc. of 23rd Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - New York, 2003. - p. 339.

39. Kannenberg K. C. Computational methods for the Direct Simulation Monte Carlo Technique with application to plume impingement: PhD dissertation / K.C. Kannenberg. - Ithaca: Cornell University, 1998. -119 p.

40. Ketsdever A. D., Wadsworth D. C., Muntz E. P. Influence of Gas-Surface Interaction Models on Predicted Performance of a Micro-Resistojet: Technical paper // AIAA Thermophysics Conference, AIAA 2003-2430. - 2000. - AD-A409495.

41. Koura K., Matsumoto H. Variable soft sphere molecular model for inverse-power-law or Lennard-Jones potential // Phys. Fluids A. -1991. - V. 3, N. 10. - pp. 2459-2465.

42. Lord R. G. Some extensions to the Cercignani-Lampis gas-surface scattering kernel // Phys. Fluids A. -1991. - V. 3, N. 4. - pp. 706-710.

43. Lord R. G. Some further extensions of the Cercignani-Lampis gas-surface interaction // Phys. Fluids. -1995. - V. 7, N. 5. - pp. 1159-1161.

-22044. Luo W. H.( Hu W. Y., Xiao S. F. Size Effect on the Thermodynamic Properties of Silver Nanoparticles // J. Chem. Phys. C. - 2008. - V. 112, N. 7. - pp. 2359-2369.

45. Macrossan M. N. A Particle Simulation Method for the BGK Equation // AIP Conf. Proc. 585: Rarefied Gas Dynamics, 22nd International Symposium. - 2001. - pp. 426-433.

46. Macrossan M. N. Some developments of the equilibrium particle simulation method for the direct simulation of compressible flows: Contractor Report / NASA. -1995. - NASA-CR-198175.

47. Matheis lngo, Wagner Wolfgang. Convergence of the stochastic weighted particle method for the Boltzmann equation // SIAM J. SCI. COMPUT. - V. 24, N. 5. - pp. 1589-1609.

48. Matsumoto Hiroaki. Vaiable Sphere Molecular Model in the Monte Calo Simulation of Rarefied Gas Flow//AIP Conf. Proc. 664: Proc. 23rd Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - New York: AIP, 2003.-pp. 358-365.

49. Morozov A. A., Plotnikov M. Yu. Analysis of efficiency of some approaches of solving problems by the DSMC method // Proceedings of the 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, V. 2 / ed. Brun R. [et all]. - Toulouse, FRANCE: Cepadues Editions, 1999. - pp. 133140.

50. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation. I. Monocomponent gases//Journal of the Physical Society of Japan. -1980. -V. 49, N. 5.-pp. 2042-2049.

51. Nance R. P., Hash D. B., Hassan H. A. Role of Boundary Conditions in Monte Carlo Simulation of Microelectromechanical Systems // Journal of Thermophysics and Heat Transfer. - 1998. -V. 12, N. 3. - pp. 447-449.

52. Nugrahani Endar H., Rjasanow Sergej. On the Stochastic Weighted Particle Method // Lecture Notes in Computational Science and Engineering. - 2002. -V. 26. - pp. 319-326.

53. Ohwada T. Higher order approximation methods for the Boltzmann equation // J. Comput. Phys.. -1998. - V. 139, N. 1. - pp. 1-14.

54. Olson S. E., Christlieb A. J. Gridless DSMC // Journal of Computational Physics. - 2008. -V. 227. - pp. 8035-8064

-22155. Pareschi L., Russo G. Time relaxed Monte Carlo methods for the Boltzmann equation // SIAM J. SCI. COMPUT. - 2001. - V. 23, N. 4. - pp. 1253-1273.

56. Peikos E. S., Breuer K. S. Numerical Modeling of Micromechanical Devices Using the Direct Simulation Monte Carlo Method // Journal of Fluids Engineering. - 1996. - V. 118. - pp. 464469.

57. Plotnikov M. Yu., Shkarupa E. V. Selection of sampling numerical parameters for the DSMC method // Computers & Fluids. - 2012. - V. 58. - pp. 102-111.

58. Plotnikov M. Yu., Shkarupa E. V. Some approaches to error analysis and optimization of the DSMC method // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2010. -V. 25, N, 2. - pp. 147-167.

59. Pullin D. I. Direct simulation methods for compressible inviscid ideal-gas flow // Journal of computational physics. -1980. - V. 34. - pp. 231-244.

60. Rader D. J. [et al.] Direct simulation Monte Carlo convergence behavior of the hard-sphere-gas thermal conductivity for Fourier heat flow // Physics of Fluids. - 2006. - V. 18. - p. 077102.

61. Rebrov A. K., Skovorodko P. A. An improved sampling procedure in DSMC method // Proceedings of the 20th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. - Beijng, China: Peking University Press, 1997. - p. 215.

62. Rjasanow Sergej, Wagner Wolfgang. Stochastic Weighted Particle Method - Theory and Numerical Examples [preprint] /S. Rjasanow, W. Wolfgang. - Berlin, 2005, ISSN 0946-8633.

63. Rogasinsky S. V., Levin D. A., Ivanov M.S. Statistical errors of DSMC results for rarefied gas flows // Proc. 25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics / ed. M.S. Ivanov M. S, A. K. Rebrov. - Saint-Petersburg, Russia: Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 2007. - p. 391.

64. Ronghai Zhang, Wei Yao, Jindong Li. A selection limiter of DSMC for near continuum flows // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2008. - V. 12. - pp. 22032212.

65. Rothe E. Dietmar Electron Beam Studies of the Diffusive Separation of Helium-Argon Mixtures // Physics of Fluids. -1966. - V. 9, N. 9. - pp. 1643-1658.

66. Skovorodko P. A. Angular Momentum Conservative Algorithm of Collisional Process in DSMC Method [электронная публикация] / P. A. Skovorodko. - ArXiv.org, 2004. -arXiv:physics/0401026.

67. Stankus S. V. [et al.]. Thermal Conductivity and Thermal Diffusivity Coefficients of 12Khl8N10T Stainless Steel in a Wide Temperature Range // High temperature. - 2008. - V. 46, N. 5. -pp. 731-733.

68. Sun Quanhua. Information preservation methods for modeling micro-scale gas flows: PhD dissertation / Q. Sun. - Aerospace engineering, The University of Michigan, 2003. -150 p.

69. Suri M., Dumitriciä T. Efficient sticking of surface-passivated Si nanospheres via phasetransition plasticity // Physical Review B. - 2008. - V. 78, N. 8. - p. 081405.

70. Toccoli T. [et al.] Supersonic seeded beams of thiophene based oligomers for preparing films of controlled quality // PHILOSOPHICAL MAGAZINE B. -1999.. -V. 79, N. 11/12. - pp. 2157-2166.

71. Trazzi Stefano, Pareschi Lorenzo, Wennberg Bernt. Adaptive and Recursive Time Relaxed Monte Carlo methods for rarefied gas dynamics // SIAM J. on Scientific Computing. - 2008. -V. 32, N. 2. - pp. 1379-1398.

72. Valentini P., Dumitricä T. Microscopic theory for nanoparticle-surface collisions in crystalline silicon // Physical Review B. - 2007. - V. 75, N. 22. - p. 224106.

73. Vikhansky Alexander, Kraft Markus. Conservative method for the reduction of the number of particles in the Monte Carlo simulation method for kinetic equations // Journal of Computational Physics. - 2005. -V. 203, N. 2. - pp. 371-378.

74. Walzer Karsten [et al.] Morphological and optical properties of titanyl phthalocyanine films deposited by supersonic molecular beam epitaxy (SuMBE) // Surface Science. - 2004. - V. 573, N. 3 —pp. 346-358.

75. Wang Moran, Li Zhixin. Simulations for gas flows in microgeometries using the direct simulation Monte Carlo // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 2004. - V. 25. -pp. 975-985.

76. Wu J.-S. [et al.] Assessment of conservative weighting scheme in simulating chemical vapour deposition with trace species // INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN FLUIDS. - 2003. - V. 43, N. 1. - pp. 93-114.